Proceso de ortogonalizacin de Gram-Schmidt

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Proceso de ortogonalizacin de Gram-SchmidtEn lgebra lineal, el proceso de ortogonalizacin de GramSchmidt es un algoritmo para construir, a partir de un conjunto de vectores de un espacio prehilbertiano (usualmente, el espacio eucldeo Rn), otro conjunto ortonormal de vectores que genere el mismo subespacio vectorial. Este algoritmo recibe su nombre de los matemticos Jrgen Pedersen Gram y Erhard Schmidt.

Descripcin del algoritmo de ortogonalizacin de GramSchmidtSe define, en primer lugar, el operador proyeccin mediante

Los dos primeros pasos del proceso de GramSchmidt

donde los corchetes angulares representan el producto interior. Es evidente que

es un vector ortogonal a los vectores ortonormales

. Entonces, dados los vectores de la manera siguiente:

, el algoritmo de GramSchmidt construye

A partir de las propiedades de la proyeccin y del producto escalar, es sencillo probar que la sucesin de vectores es ortogonal.

Proceso de ortogonalizacin de Gram-Schmidt

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EjemploConsidera el siguiente conjunto de vectores en R2 (con el convencional producto interno)

Ahora, aplicamos GramSchmidt, para obtener un conjunto de vectores ortogonales:

Verificamos que los vectores u1 y u2 son de hecho ortogonales:

Entonces podemos normalizar los vectores dividiendo por su norma como hemos mostrado anteriormente:

Enlaces externos 2009, C. Lpez, Publicacin - Ortogonalizacin de Gram-Schmidt [1]

Referencias[1] http:/ / uvg. kmels. net/ files/ 2009/ mm2002/ gram-schmidt/ Gram-Schmidt. pdf

Fuentes y contribuyentes del artculo

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Fuentes y contribuyentes del artculoProceso de ortogonalizacin de Gram-Schmidt Fuente: http://es.wikipedia.org/w/index.php?oldid=46646641 Contribuyentes: Andreshf5, B1mbo, Cgb, Dprotas, FAR, GTubio, Ingenioso Hidalgo, Josefydami, Kmels, Paintman, SikarioLais, 27 ediciones annimas

Fuentes de imagen, Licencias y contribuyentesArchivo:GramSchmidt process.svg Fuente: http://es.wikipedia.org/w/index.php?title=Archivo:GramSchmidt_process.svg Licencia: Public Domain Contribuyentes: Gustavb

LicenciaCreative Commons Attribution-Share Alike 3.0 Unported http:/ / creativecommons. org/ licenses/ by-sa/ 3. 0/