Ignacio CascosDepto. Estadística, Universidad Carlos III1 Distribuciones habituales Tema 5.

Ignacio Cascos Depto. Estadística, Universidad Carlos III 1

Distribuciones habituales

Tema 5


Descripción breve del tema1. Distribuciones discretas

Bernoulli Binomial Geométrica Poisson

2. Distribuciones continuas Uniforme Exponencial Normal

Teorema Central del Límite Distribuciones derivadas de la normal


Objetivos Adquirir soltura con el manejo de funciones

de distribución, probabilidad y densidad. Reconocer los modelos básicos de

distribución: Binomial, Geométrica, etc. Reconocer el papel central que juega la

distribución Normal. Aplicar con soltura el Teorema Central del

Límite.


Distribución de BernoulliUna variable aleatoria que describe el número de

éxitos en 1 realización de un experimento, en el

que la probabilidad de éxito es p decimos que

sigue distribución de Bernoulli de parámetro p.

X ~ B(1, p)

X“número de éxitos en 1 realización”


Distribución de Bernoulli Función de probabilidad:

P(X = 1) = p ; P(X = 0) = 1p

Función de distribución:

Parámetros: E[X] = p ; Var[X] = p(1p)

11

101

00

)(

xsi

xsip

xsi

xF


Distribución de Bernoulli

0 1

Bernoulli(0'8)

0.0

0.2

0.4

0.6

0.8

-1.0 -0.5 0.0 0.5 1.0 1.5 2.0

0.0

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0

Bernoulli(0'8)


Distribución BinomialUna variable aleatoria que describe el número de

éxitos en n realizaciones independientes de un

experimento, en el que la probabilidad de éxito

en cada realización es p decimos que sigue

distribución binomial de parámetros n y p.

X ~ B(n, p)X“número de éxitos en los n intentos indep.”


Distribución Binomial Función de probabilidad:

Podemos escribir X=X1+…+Xn donde las Xi son variables

de Bernoulli e independientes. Parámetros: E[X] = np ; Var[X] = np(1p)

Si X~B(n1, p) e Y~B(n2, p) son independientes, entonces

X+Y~B(n1+n2, p)

.},,1,0{ ,)1()( nkppk

nkXP knk


Distribución Binomial

0 1 2 3 4 5

B(5,0'7)

0.00

0.05

0.10

0.15

0.20

0.25

0.30

0.35

0 3 6 9 13 17 21 25 29 33 37 41 45 49

B(50,0'7)

0.00

0.02

0.04

0.06

0.08

0.10

0.12


Distribución GeométricaUna variable aleatoria que describe el número de

realizaciones independientes de un experimento para el

que la probabilidad de obtener éxito en cada realización

es p hasta obtener el primer éxito, sigue distribución

Geométrica o de Pascal de parámetro p.

X ~ G(p)X“número de veces que hay que repetir el

experimento hasta conseguir el primer éxito”


Distribución Geométrica Función de probabilidad:

Parámetros: E[X] = 1/p ; Var[X] = (1p)/p2

.},3,2,1{ ,)1()( 1 kppkXP k


Distribución Geométrica

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 12 14

G(0'5)

0.0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 12 14

G(0'3)

0.00

0.05

0.10

0.15

0.20

0.25

0.30


Distribución de PoissonUna variable aleatoria que describe el número de

sucesos ocurridos en una región, de tal modo que

dichos sucesos ocurren independientemente y

con una tasa constante decimos que sigue

distribución de Poisson de parámetro .

X ~ ()X“número de sucesos ocurridos en una región”


Distribución de Poisson Función de probabilidad:

Parámetros: E[X] = ; Var[X] =

Si X~() e Y~() son independientes,

entonces X+Y~(+)

.},2,1,0{ ,!

)( kk

ekXPk


Distribución de Poisson

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

P(3)

0.00

0.05

0.10

0.15

0.20

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

P(1)

0.00

0.05

0.10

0.15

0.20

0.25

0.30

0.35


Distribución Uniforme (continua)Una variable aleatoria X con distribución

uniforme entre a y b (a<b) representa un número

elegido al azar entre los valores a y b,

de tal modo que la probabilidad de que dicho

número esté en cualquier subconjunto del

intervalo (a,b) depende exclusivamente del

tamaño de dicho conjunto, X~U(a,b)


Distribución Uniforme (continua) Función de densidad:


Parámetros: E[X] = (a+b)/2 ; Var[X] = (ba)2/12

),(0

),()(

1

baxsi

baxsixf ab

bxsi

bxasi

axsi

xF abax

1

0

)(


Distribución Uniforme (continua)

Lower limit,Upper limit

1,3

Uniform Distribution

x

dens

ity

0 0,4 0,8 1,2 1,6 2 2,4 2,8 3,2 3,6 40

0,10,20,30,40,50,60,70,80,9

1Lower limit,Upper limit

1,3

Uniform Distribution

x

cum

ulat

ive

prob

abili

ty0 0,4 0,8 1,2 1,6 2 2,4 2,8 3,2 3,6 4

0

0,2

0,4

0,6

0,8

1


Distribución ExponencialSi el número de sucesos que ocurren en un

tiempo t sigue distribución de Poisson

proporcional a dicho tiempo (t), entonces la

variable aleatoria

X“tiempo entre sucesos”

sigue distribución exponencial de parámetro .

X ~ Exp()


Distribución Exponencial Función de densidad:


Parámetros: E[X] = ; Var[X] =

00

0)(

xsi

xsiexf

x

00

01)(

xsi

xsiexF

x


Distribución Exponencial

Mean10

Exponential Distribution

0 10 20 30 40 50 60

x

0

0,02

0,04

0,06

0,08

0,1

dens

ity

Mean10

Exponential Distribution

x

cum

ulat

ive

prob

abili

ty-10 0 10 20 30 40 50 60 70

0

0,2

0,4

0,6

0,8

1


Distribución ExponencialLa distribución exponencial no tiene memoria.

Dados t1,t2>0 y una variable aleatoria T con

distribución exponencial

P(T > t1+t2 | T > t1) = P(T > t2)


Distribución NormalLa distribución Normal o de Gauss es el modelo probabilístico más importante. Se utiliza para modelar gran número de fenómenos aleatorios, entre ellos el ruido y los errores en la medida. Aparece además como distribución límite en el Teorema Central del Límite. Sus parámetros son la media y la desviación típica ,

X ~ N(,)


Distribución Normal Función de densidad normal estándar N(0,1):

Función de densidad N(,):

Parámetros: E[X] = ; Var[X] = 2

2exp

2

1)(

2xxf

2

2

2

)(exp

2

1)(

x

xf


Distribución Normal

Mean,Std. dev.0,1

Normal Distribution

-5 -3 -1 1 3 5

x

0

0,1

0,2

0,3

0,4

dens

ity

Mean,Std. dev.0,1

Normal Distribution

-5 -3 -1 1 3 5

x

0

0,2

0,4

0,6

0,8

1

cum

ulat

ive

prob

abili

ty


Distribución Normal

-6 -4 -2 0 2 4 6

0.0

0.2

0.4

0.6

0.8

N(0,0'5) rojo, N(0,1) negro, N(0,2) azul

r

-6 -4 -2 0 2 4 6

0.0

0.1

0.2

0.3

0.4

N(0,1) negro, N(2,1) rojo

r


Distribución Normal Propiedades de la Normal.1. Si X ~ N(,) , para cualesquiera a y b,

aX+b ~ N(a+b , |a|)2. Si X ~ N(,) e Y ~ N(,) indep, para a, b

aX+bY ~ N(a+b, (ab)) Tipificación. Dada X~N(,), la variable

aleatoria (X)/ sigue distribución N(0,1). A esta transformación se le llama tipificación


Tabla de la normal


Teorema Central de LímiteDada X1,X2,…,Xn n variables aleatorias independientes,

con medias y varianzas finitas E[Xi]=i y Var[Xi]=i2,

su suma sigue aproximadamente distribución normal

X1+X2+…+XnN(i=1,ni , (i=1,ni2)1/2)

Buena aproximación si n > 30.

Si las variables son discretas, para aproximar su suma

por una continua, realizamos corrección por continuidad.


Aproximaciones con la Normal Aproximación Binomial-Normal. Una binomial

B(n,p) puede construirse como suma de n variables de

Bernoulli independientes. Aplicando el TCL, si n > 30

y np(1p) > 5, aproximamos una B(n,p) por una

0 3 6 9 13 17 21 25 29 33 37 41 45 49

B(50,0'7) y N(35,3'24)

0.0

00.0

40.0

80.1

2

)1(,N pnpnp


Aproximaciones con la Normal Aproximación Poisson-Normal.

Una Poisson () con > 5 puede aproximarse por

una normal

N(, )

0 6 13 21 29 37 45 53 61 69 77 85 93

P(49) y N(49,7)

0.0

00.0

20.0

4


Chi cuadradoSi X1,X2,…,Xn son n variables aleatorias

independientes con distribución N(0,1), entonces

Y=X12+X2

2+…+ Xn2 es una variable aleatoria con

distribución chi cuadrado con n grados de

libertad,

Y ~ n2

E[Y] = n ; Var[Y] = 2n


Chi cuadrado

Deg. of freedom10

Chi-Square Distribution

0 10 20 30 40

x

0

0,02

0,04

0,06

0,08

0,1

dens

ity

Deg. of freedom10

Chi-Square Distribution

0 10 20 30 40

x

0

0,2

0,4

0,6

0,8

1

cum

ulat

ive

prob

abili

ty


t de StudentSi X es una variable aleatoria normal estándar e

Y es independiente de ella con distribución chi

cuadrado con n grados de libertad, entonces

X/(Y/n)1/2 sigue distribución t con n grados de

libertad

E[Z] = 0 si n 2 ; Var[Z] = n/(n2) si n 3

ntnY

XZ ~

/


t de Student

Deg. of freedom10

Student's t Distribution

x

dens

ity

-6 -4 -2 0 2 4 60

0,1

0,2

0,3

0,4 Deg. of freedom10

Student's t Distribution

x

cum

ulat

ive

prob

abili

ty

-6 -4 -2 0 2 4 60

0,2

0,4

0,6

0,8

1


F de FisherSi X es una variable aleatoria chi cuadrado con n1

grados de libertad e Y es independiente de ella

con distribución chi cuadrado con n2 grados de

libertad, entonces (X/n1)/(Y/n2) sigue

distribución F con n1 y n2 grados de libertad

21 ,2

1 F~/

/nnnY

nXZ


F de Fisher

Numerator d.f,Denominator d.f.

10,10

dens

ity

0 1 2 3 4 50

0,2

0,4

0,6

0,8 Numerator d.f,Denominator d.f.

10,10

F (variance ratio) Distribution

0 1 2 3 4 5

x

0

0,2

0,4

0,6

0,8

1

cum

ulat

ive

prob

abili

ty

Ignacio CascosDepto. Estadística, Universidad Carlos III1 Distribuciones habituales Tema 5.

Documents

Transcript of Ignacio CascosDepto. Estadística, Universidad Carlos III1 Distribuciones habituales Tema 5.