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I.E.

CÁRDENAS CENTRO

MÓDULO DE GEOMETRÍA

CICLO IV

GRADO OCTAVO

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TABLA DE CONTENIDO

pág. UNIDAD 1 1. SIMETRÍA RESPECTO A UN PUNTO Y A UNA RECTA 3 2. TRASLACIÓN, ROTACIÓN Y HOMOTECIAS 6 2.1. TRASLACIÓN 6 2.2. ROTACIÓN 8 2.3. HOMOTECIAS 10 3. PARALELISMO Y PERPENDICULARIDAD 11 3.1. PARALELISMO 11 3.2. PERPENDICULARIDAD 11 4. ÁNGULOS DETERMINADOS POR DOS RECTAS PARALELAS Y UNA SECANTE 12 UNIDAD 2 1. PROPIEDADES Y ÁNGULOS EN POLÍGONOS Y TRIÁNGULOS 15 1.1. POLÍGONOS 15 1.1.1. Elementos de un polígono 15 1.1.2. Clasificación según el número de lados 15 1.1.3. Los ángulos en los polígonos 16 1.1.4. Polígonos inscriptos y circunscriptos 16 1.2. TRIÁNGULOS 17 1.2.1. Propiedades de los ángulos del triángulo 17 1.2.2. Clasificación de triángulos según la medida de sus ángulos 17 1.2.3. Clasificación de triángulos según sus lados 18 1.2.4. Propiedades del triángulo 18 2. CONGRUENCIA DE POLÍGONOS 19 3. CONGRUENCIA DE TRIÁNGULOS Y CRITERIO DE CONGRUENCIA DE TRIÁNGULOS 19 4. SEMEJANZA DE TRIÁNGULOS 19 UNIDAD 3 1. PROPIEDADES DE LOS CUADRILÁTEROS 21 1.1. PARALELOGRAMO 21 1.2. RECTÁNGULO 21 1.3. CUADRADO 21 1.4. ROMBO 21 1.5. TRAPECIO ISOSCELES 22 1.6. TRAPECIO 22 2. POSTULADOS DE ÁREA. 23 3. TEOREMA DE PITÁGORAS Y APLICACIONES 25 4. ÁREAS DE POLÍGONOS REGULARES, REGIONES CIRCULARES Y SOMBREADAS 27 UNIDAD 4 1. CLASIFICACIÓN DE LOS POLIEDROS 30 1.1. POLIEDRO REGULAR 30 1.2. POLIEDRO IRREGULAR 31 2. UNIDADES DE VOLÚMENES DE CUERPOS SÓLIDOS 32 3. CÁLCULO DE VOLÚMENES DE CUERPOS SÓLIDOS 35 EVALUACIÓN DE COMPETENCIAS 36 BIBLIOGRAFÍA 38

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UNIDAD 1

1. SIMETRÍA RESPECTO A UN PUNTO Y A UNA RECTA

En geometría conviene distinguir simetría como transformación geométrica y simetría como propiedad de una figura. Tipos de simetría .

Una simetría central de centro O es una transformación que hace corresponder a cada punto P otro punto P' tal que O es el punto medio del segmento PP'. Una simetría de este tipo coincide con un giro del mismo centro y ángulo 180º. Es, por tanto, un movimiento directo.

Una simetría axial de eje e es una transformación que hace corresponder a cada punto P otro punto P' tal que la recta e es mediatriz del segmento PP'. Las simetrías axiales son movimientos inversos porque para hacer coincidir una figura con su simétrica es necesario sacarla del plano y abatirla de nuevo sobre la otra cara.

Figuras simétricas Una figura se llama simétrica si existe una recta tal que tomada como eje de simetría transforma a la figura en ella misma. Hay figuras que tienen varios ejes de simetría. Por ejemplo, un rectángulo tiene dos, un cuadrado cuatro y un círculo infinitos (cualquier recta que pasa por su centro es eje de simetría).

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Ejemplos Encuentra las imágenes de las siguientes figuras en las simetrías centrales que se indican:

Solución:

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RESUELVE Se plantean a continuación tres situaciones problem áticas:

1) Una persona debe caminar desde su casa hasta un canal que conduce agua, llenar allí un recipiente y transportarlo hasta un galpón.

2) Un operario debe ajustar una fuerte luz que emite un rayo luminoso que luego de reflejarse en un espejo debe accionar un sensor.

3) En un potrero rectangular se desea aislar de los animales la zona sombreada en la figura, para lo cual se tenderá un alambre electrificado AMB. Los postes A y B son ya existentes. El poste intermedio M debe colocarse.

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La persona de la situación (1) se pregunta si el punto del canal donde procede a llenar el recipiente tiene alguna influencia en la distancia total que debe recorrer para hacer la tarea.

El operario de la situación (2) se pregunta si puede dirigir el rayo de luz a cualquier punto del espejo. (Recuerda que un rayo de luz para ir de un punto a otro reflejándose en un espejo, elige el camino que le insume menor tiempo).

La persona que desea realizar la tarea en la situación (3) se pregunta si el costo en pesos del alambre necesario para el trabajo dependerá de la posición del poste M.

1. ¿qué le contestarías a cada una de las personas y de consultaran?. 2. Intenta plantear un modelo geométrico para cada uno de los casos, dictando qué hipótesis asumes?. 3. Si bien los modelos corresponden a situaciones reales totalmente diferentes, ¿encuentras desde el punto

de vista geométrico algo en común en sus modelos?. 4. Puedes tratar tres problemas con un modelo único?. 5. Cuál es el problema geométrico que debes resolver dar solución a las tres situaciones?.

2. TRASLACIÓN, ROTACIÓN Y HOMOTECIAS

2.1. TRASLACIÓN

Traslación de vector , es una transformación geométrica que hace corresponder a cada punto P otro punto Pð

tal que . Las traslaciones son movimientos directos, es decir, mantienen la forma y el tamaño de las figuras, a las cuales

deslizan según el vector .

La traslación de un segmento de extremos P (a, b) y Q (c, d) es una transformación que mueve sus puntos extremos a las posiciones (a ± m, b ± n) y (c ± m, d ± n), donde m y n son números reales. Ejemplo: Un río de orillas paralelas separa dos ciudades desigualemte alejadas de aquellas. Se desea construir un puente perpendicularmente a la orilla de manera que ambas localidades queden a igual distancia de la entrada correspondiente.

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Plantea un modelo geométrico del problema indicado. Qué hipótesis asumes y resuelve el problema.

Solución: Suponemos el problema, plano, orillas rectilíneas y paralelas y representamos las ciudades por puntos. consideremos la siguiente figura de análisis.

Se desea que seg.AM = seg.NB, MN ⊥ r1, r2.

Si construimos el punto C tal que ( )C T NM B=�����

, la figura MNBC será un paralelogramo. Por tanto NB= MC= AM, lo que nos indica que el punto M debe pertenecer a la mediatriz del segmento AC, y ello nos permite ubicar M sobre r1. La construcción que resuelve el problema será entonces:

- Construimos el punto C tal que ( )C TQP B=����

.

- Construimos lña mediatriz del segmento AC y cortando con la recta r1 determinaods el punto M. - Ubicamos finalmente N en r2 con MN ⊥ r2.

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RESUELVE

En cada uno de los siguientes casos indica si las semirectas A (a) y B (b) pueden hacerse corresponder en una traslación. En los casos afirmativos indica el vector de la traslación.

2.2. ROTACIÓN

Rotación de centro O y ángulo á, es una transformación geométrica que

hace corresponder a cada punto P otro punto Pð tal que: y

. Un ejemplo de rotación sería el esquema de un columpio visto lateralmente, con la trayectoria que sigue cuando un niño se balancea sentado en él. Las Rotaciones son movimientos directos, es decir, mantienen la forma y el tamaño de las figuras.

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CENTRO DE ROTACIÓN DE ORDEN N. Se dice que una figura tiene un centro de giro, O, de orden n (número natural mayor que 1) cuando se puede hacer coincidir consigo misma mediante giros de centro O y ángulos á·k/n (k = 1, 2,…n). Para k = n la figura da una vuelta completa y, por tanto, vuelve a la posición inicial. Por ejemplo, el centro de un triángulo equilátero es un centro de giro de orden tres porque se puede hacer coincidir la figura consigo misma haciéndola girar ángulos de 120º, 240º y 360º alrededor de él. Ejemplo:

Un reloj de aguja está indicando las “dos de la tarde”. Al observarlo detectas que está “parado”. Decides ponerlo en hora para lo cual giras las agujas en sentido horario hasta que indique las “tres y veinte” de la tarde. Suponiendo que las agujas giran con velocidad angular constante:

a) ¿Qué ángulo giró el minutero?. b) ¿Qué ángulo giró el horario?.

Solución:

Los ángulos 102, 203, 304, ………. Son de 30ª. El minutero pasa de la posición (0 – 12) a la posición (0.4) girando un ángulo de 480ª. La rotación en que se corresponden la posición inicial y la posición final es R0, - 120ª. El horario tiene posición inicial (0 – 2), mientras que su posición final será interior al ángulo 3º4. Tratemos de determinar esa posición. Por cada vuelta completa del minutero, el horario gira 30ª. Como el minutero giró 360ª + 120ª el horario habrá girado

130 30 40 .

3a a a+ =i

Por tanto la rotación que hace corresponder las posiciones inicial y final del horario será: R0, - 40ª. La hipótesis de velocidad angular constante que se impuso al ejercicio

justifica el razonamiento anterior que supone proporcionalidad entre los ángulos girados por ambas agujas.

RESUELVE Una escuadra “30º - 60º” se rota en sentido horario con cnetro en el vértice A según figura, pasando de la posición I a la posición II. Indica el valor del ángulo de rotación en la que II es la imagen de I.

2.3. HOMOTECIAS

Homotecia : Formación de figuras semejantes en las que los puntos correspondientes están alineados dos a dos con respecto a otro punto fijo. Una homotecia de centro O y de razón pasa por O, a una recta L´, paralela a L.Hemos de tener en cuenta que los lados aumentan si a>0, disminuyen si a<0 y se mantienen si a=1. Además,a=1 decimos que los triángulos son congruentes, es decir, si los lados correspondientes son iguales y sus ángulos correspondientes son iguales.

Ejemplo:

Encuentra la imagen del punto A en las homotecias siguientes:

Solución:

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: Formación de figuras semejantes en las que los puntos correspondientes están alineados dos a dos

Una homotecia de centro O y de razón a , lleva a toda recta que pasa por O a sí misma, y a una recta L que no pasa por O, a una recta L´, paralela a L. Hemos de tener en cuenta que los lados aumentan si a>0, disminuyen si a<0 y se mantienen si a=1. Además,a=1 decimos que los triángulos son congruentes, es decir, si los lados correspondientes son iguales y sus ángulos

La ecuación anterior puede escribirse también como una transformación afín de la forma:

Encuentra la imagen del punto A en las homotecias siguientes:

: Formación de figuras semejantes en las que los puntos correspondientes están alineados dos a dos

, lleva a toda recta que pasa por O a sí misma, y a una recta L que no

Hemos de tener en cuenta que los lados aumentan si a>0, disminuyen si a<0 y se mantienen si a=1. Además, si a=1 decimos que los triángulos son congruentes, es decir, si los lados correspondientes son iguales y sus ángulos

La ecuación anterior puede escribirse también como una

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3. PARALELISMO Y PERPENDICULARIDAD

3.1. PARALELISMO

Las rectas paralelas no se cruzan ni se juntan aunque se alarguen

3.2. PERPENDICULARIDAD

Dos rectas que al juntarse en un punto forman ángulo recto, se llaman perpendiculares.

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4. ÁNGULOS DETERMINADOS POR DOS RECTAS PARALELAS Y UNA SECANTE

Observa en el dibujo que dos rectas paralelas cortadas una recta transversal crea 8 ángulos que reciben distintos nombres según la posición que ocupan: Las recta r corta a las rectas paralelas m y n:

Los nombres de los ángulos según el lugar que ocupan reciben los nombres: Interiores o internos :

En azul, son los que se encuentran entre las rectas paralelas. Ángulos exteriores o externos :

Los ángulos exteriores o externos en color violeta, son los que hallan en la zona exterior de las paralelas.

Ángulos correspondientes: Son los que se encuentran en el mismo lado de la secante, un ángulo en la parte interior y otro en el exterior de las paralelas. Los ángulos del mismo color son correspondientes: El ángulo a se corresponde con el ángulo a’ El ángulo b se corresponde con el ángulo b’ El ángulo c se corresponde con el ángulo c’ El ángulo d se corresponde con el ángulo d’

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Teniendo en cuenta lo dicho hasta aquí y fijándonos en la figura podemos afirmar que los ángulos correspondientes son iguales entre sí.

Ángulos alternos internos Son los que se encuentran a distinto lado de la secante y en la zona interior de las rectas paralelas:

Los ángulos internos son d’, c, b y a’. Si los tomamos alternadamente, tendríamos, por un lado, los ángulos d’ y b, y por otro, c y a’ y comprobarás que los alternos internos son iguales entre sí. Ángulos alternos externos: Son los que se encuentran a distinto lado de la secante y en la zona externa de las rectas paralelas:

Los ángulos externos son: a, b’, c’ y d que tomándolos alternadamente tendremos, por un lado los ángulos a y c’ , y por otro, los ángulos b’ y d. Comprobarás que los ángulos alternos externos son iguales entre sí.

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RESUELVE Observa la figura siguiente y después, contesta a las preguntas siguientes:

1. ¿Cómo son los ángulos 1 y 2? 2. ¿Cómo podemos llamar a los ángulos 1 y 4? 3. ¿Son suplementarios los ángulos 2 y 4? 4. ¿Son iguales los ángulos 2 y 3? ¿Por qué? 5. ¿Son correspondientes los ángulos 3 y 7? 6. ¿Cómo son los ángulos 4 y 6? 7. ¿Es el ángulo 6 correspondiente al ángulo 3? 8. ¿Son iguales los ángulos 5 y 8? ¿Por qué? 9. ¿Cómo puedes llamarles a los ángulos 1 y 8? 10. ¿Son alternos internos los ángulos 5 y 6?

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UNIDAD 2

1. PROPIEDADES Y ÁNGULOS EN POLÍGONOS Y TRIÁNGULOS

1.1. POLÍGONOS

1.1.1. Elementos de un polígono. Son: Lados, vértices, ángulo interior, ángulo exterior y diagonales.

1.1.2. Clasificación según el número de lados. Según el número de lados se clasifican en: Triángulo, cuadrilátero, pentágono, hexágono, heptágono, octógono, eneágono, decágono, undecágono, dodecágono.

1.1.3. Los ángulos en los polígonos.

• Ángulo central del triángulo equilátero• Ángulo central del cuadrado• Ángulo central del pentágono• Ángulo central del exágono: 360° ÷ 6 = 60°.• Ángulo central del octógono• Ángulo central del decágono

1.1.4. Polígonos inscriptos y circunscriptos.

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Los ángulos en los polígonos. En los polígonos regulares se distinguen dos tipos de ángulos:

Los ángulos interiores — que son los que se forman en el vértice entre los lados.

Los ángulos centrales — que son los que se forman con vértice en el centro del polígono, y cuyos lados son los radios que unen ese centro a dos vértices consecutivos. Por lo tanto, un polígono regular tiene tantos ángulos centrales, todos iguales, como lados.

Por lo tanto, como la medida de la suma de todos los ángulos que pueden formarse alrededor de un punto, es de 360° la medida del ángulo central de un polígono regular es igual a 360 dividido por la cantidad de lados.

triángulo equilátero: 360° ÷ 3 = 120°. cuadrado: 360° ÷ 4 = 90°. pentágono: 360° ÷ 5 = 72°.

: 360° ÷ 6 = 60°. octógono: 360° ÷ 8 = 45°. decágono: 360° ÷ 10 = 36°.

inscriptos y circunscriptos.

Se dice que un polígono está inscriptocírculo, cuando todos los vértices coinciden con

puntos de su circunferencia.

Se dice que un polígono está circunscriptocírculo, cuando los puntos medios de

lados coinciden con puntos de su circun

En los polígonos regulares se distinguen dos tipos de ángulos:

que son los que se forman

que son los que se forman con vértice en el centro del polígono, y cuyos lados son los radios que unen ese centro a dos vértices consecutivos. Por lo tanto, un polígono regular tiene tantos ángulos centrales, todos iguales, como lados.

como la medida de la suma de todos los ángulos que pueden formarse alrededor de un punto, es de 360° la medida del ángulo central de un polígono regular es igual a

inscripto en un coinciden con

puntos de su circunferencia.

circunscripto en un los puntos medios de todos sus

inciden con puntos de su circun ferencia.

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1.2. TRIÁNGULOS

En un triángulo existen dos tipos de ángulos:

Los ángulos interiores lo forman dos lados. Los ángulos exteriores lo forman un lado y su prolongación. 1.2.1. Propiedades de los ángulos del triángulo 1. La suma de los ángulos interiores de un triángulo es igual a 180°. A + B + C = 180º 2. El valor de un ángulo exterior de un triángulo es igual a la suma de los dos interiores no adyacentes. α = B + C 3. Un ángulo interior y exterior de un triángulo son suplementarios, es decir, suman 180º. α = 180º - A 1.2.2. Clasificación de triángulos según la medida de sus ángulos

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1.2.3. Clasificación de triángulos según sus lados

1.2.4. Propiedades del triángulo

ACTIVIDAD………..

Realiza en cartulina: un triángulo, un cuadrado, un pentágono, un hexágono.

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2. CONGRUENCIA DE POLÍGONOS

Son aquellos que tienen congruentes todos los lados y ángulos correspondientes.

3. CONGRUENCIA DE TRIÁNGULOS Y CRITERIO DE CONGRUENCIA DE TRIÁNGULOS

La congruencia de triángulos estudia los casos en que dos o más triángulos presentan ángulos y lados de igual medida o congruentes.

Condiciones de congruencia

Para que se dé la congruencia de dos o más triángulos, se requiere que sus lados respectivos sean congruentes, es decir que tengan la misma medida. Esta condición implica que los ángulos respectivos también tienen la misma medida o son congruentes.

Las figuras congruentes son aquellas que tienen la misma forma y el mismo tamaño. Las partes coincidentes de las figuras congruentes se llaman homólogas o correspondientes.

Para corroborar que dos triángulos son congruentes se debe asegurar la congruencia de todos los lados de uno con todos los lados correspondientes del otro y la congruencia de todos los ángulos de uno con todos los ángulos correspondientes del otro. Criterios de congruencia de triángulos

Dos triángulos son congruentes cuando sus tres lados y ángulos también lo son. Sin embargo, puede demostrarse la congruencia de dos triángulos si se sabe que algunas de sus partes correspondientes son homólogas .

Las condiciones mínimas que deben cumplir dos triángulos para que sean congruentes se denominan criterios de congruencia, los cuales son:

� Criterio LLL : Si en dos triángulos los tres lados de uno son respectivamente congruentes con los del otro, entonces los triángulos son congruentes.

� Criterio LAL : Si los lados que forman un ángulo, y éste, son congruentes con dos lados y el ángulo comprendido por estos de otro triángulo, entonces los triángulos son congruentes.

� Criterio ALA : Si dos ángulos y el lado entre ellos son respectivamente congruentes con los mismos de otro triángulo, entonces los triángulos son congruentes.

EJERCICIO

En la siguiente pareja de triángulos se conocen las congruencias que se indican. Responde las preguntas que aparecen.

; ,AB DF BC FE B F= = =∢ ∢

- ¿Qué ángulo es congruente con A?.

- ¿Qué ángulo es congruente con C?.

4. SEMEJANZA DE TRIÁNGULOS

Se dice que un polígono es semejante a otro, cuando los ángulos el primero son respectivamente iguales a los ángulos del segundo y cuando los lados del primero son proporcionales a sus homólogos del segundo.

Dos triángulos son semejantes si:

- Tienen dos ángulos iguales (A-A). - Tienen los lados proporcionales (L-L-

L). - t ienen dos lados proporcionales y el

ángulo comprendido entre el los igual (L-A-L).

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EJERCICIOS………….. 1. Los lados de un triángulo miden 24 m., 18m. y 36

m., respectivamente. Si los lados de otro triángulo miden 12m., 16 m. y 24 m., respectivamente. Determina si son o no semejantes, justificando tu respuesta.

2. Si los triángulos ABC y A’B’C’ tienen iguales los ángulos marcados del mismo modo, establece la proporcionalidad de sus lados.

3. Los lados de un triángulo miden 36 m., 42 m. y 54 m., respectivamente. Si en un triángulo semejante a éste, el lado homólogo del primero mide 24 m., hallar los otros dos lados de este triángulo.

4. La razón de semejanza del triángulo ABC con el triángulo A’B’C’ es 3:4. Si los lados del primero son 18, 21 y 30, determina los lados del segundo.

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UNIDAD 3

1. PROPIEDADES DE LOS CUADRILÁTEROS

1.1. PARALELOGRAMO

- Dos pares de lados paralelos. - Dos pares de lados congruentes. - Diagonales bisectan una a otra. - Ángulos opuestos congruentes. - Ángulos consecutivos complementarios.

1.2. RECTÁNGULO

- Dos pares de lados paralelos. - Dos pares de lados congruentes. - Todos los ángulos son rectángulos. - Las diagonales son congruentes. - Las diagonales bisectan una a la otra. - Ángulos opuestos congruentes. - Ángulos consecutivos suplementarios.

1.3. CUADRADO

- Dos pares de lados paralelos. - Todos los lados son congruentes. - Todos los ángulos son rectángulos. - Las diagonales son congruentes. - Las diagonales bisectan una a la otra. - Las diagonales forman un ángulo rectángulo. - Ángulos opuestos congruentes. - Ángulos consecutivos suplementarios.

1.4. ROMBO

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- Dos pares de lados paralelos. - Todos los lados son congruentes. - Las diagonales NO son iguales. - Las diagonales bisectan una a la otra. - Las diagonales forman un ángulo rectángulo. - Ángulos opuestos congruentes y son bisectados por las diagonales. - Ángulos consecutivos suplementarios.

1.5. TRAPECIO ISOSCELES

- Exactamente un par de lados paralelos. - Un par de lados congruentes. - Las diagonales son congruentes. - Las diagonales NO se bisectan una a la otra. - Los ángulos de las bases son congruentes. - Ángulos opuestos son suplementarios.

- Línea que conecta el punto medio de ambos lados congruentes es la Mediana

1.6. TRAPECIO

- Exactamente un par de lados paralelos. - Línea que conecta el punto medio del lado congruente es la Mediana.

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2. POSTULADOS DE ÁREA.

Postulado 24.1.1 (Postulado del área). A toda región poligonal le corresponde un número real único no negativo, llamado área de la región. El área de una región plana es independiente de su posición y sólo depende de su tamaño y de su forma. Postulado 24.1.2 (De la adición de áreas). El área de una región o superficie plana es la suma de las áreas de las regiones en las cuales ha sido dividida. Si la superficie o región plana la denotamos por R y las regiones componentes por R1, entonces: Área de R≡ a(R)≡ R = a(R1) + a(R2) + … a(Rn) si y sólo si Ri ⋂ Rj = o Ri ⋂ Rj = punto o Ri ⋂ Rj = segmento, siendo Postulado 24.1.3 (De la congruencia). Si dos figuras geométricas son congruentes, entonces las regiones planas correspondientes tienen áreas iguales. El recíproco del postulado anterior no necesariamente se cumple, es decir, si dos regiones planas tienen igual área, no implica que las figuras correspondientes sean congruentes y decimos que son equivalentes. Para medir el área de una región escogemos arbitrariamente una “unidad de área”. La unidad de área está relacionada con la unidad de distancia por conveniencia. Así, si la distancia está en centímetros, el área se medirá en centímetros cuadrados; si la distancia está en metros, el área se medirá en metros cuadrados, y en general para cualquier unidad (U) de distancia, el área se medirá en la correspondiente unidad cuadrada (U2) La unidad de área es entonces la región del plano limitado por un cuadrado cuyo lado mide U.

Por ejemplo, en la figura anterior ABCD es un cuadrado cuyo lado mide U unidades de longitud y la medida del área de la región del plano limitada por ABCD es U2. Si U = 1 cm, entonces ABCD = 1 cm2; si U = 1m, entonces ABCD = 1m2. Para medir el área de una región plana se ha tomado, por razones prácticas, la forma rectangular como referencia y la región cuadrada como patrón o unidad básica. Si una región rectangular se puede descomponer en 12 cuadrados, entonces su área medirá 12 unidades cuadradas. Si la longitud de cada lado del cuadrado es de 1cm, decimos que el área del rectángulo es de 12 cm cuadrados (12 cm2).

En general, si el lado del cuadrado que se toma como patrón mide U (unidades de longitud),entonces el área medirá 12 U cuadradas (12U2).

Podemos entonces encontrar fácilmente el área de una región trazando pequeños cuadrados unitarios (patrones); será un número entero y por ello se han

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deducido fórmulas que nos permiten encontrar el área de una región.

En adelante cuando utilicemos los términos base y/o altura nos estamos refiriendo a la “longitud o medida de la base” y a la “longitud de la altura”.

Postulado 24.1.4 (Área del rectángulo). El área de un rectángulo es el producto de la base por la altura y escribimos:

NOTA: Se llama altura de un paralelogramo al segmento de la perpendicular trazada desde un vértice al lado opuesto a su prolongación (CI o DH).

El área de un paralelogramo es el producto entre cualquiera de las bases y la altura correspondiente.

MODERNOS AVANCES

La geometría sufrió un cambio radical de dirección en el siglo XIX. Los matemáticos Carl Friedrich Gauss , Nikolái Lobachevski, y János Bolyai , trabajando por separado, desarrollaron sistemas coherentes de geometría no euclídea. Estos sistemas aparecieron a partir de los trabajos sobre el llamado "postulado paralelo" de E uclides, al proponer alternativas que generan modelos extraños y no intuitivos de espacio , aunque, eso sí, coherentes.

Casi al mismo tiempo, el matemático británico Arthu r Cayley desarrolló la geometría para espacios con más de tres dimensiones. Imaginemos qu e una línea es un espacio unidimensional. Si cada uno de los puntos de la lín ea se sustituye por una línea perpendicular a ella, se crea un plano, o espacio bidimensional. De la misma manera, si cada punto del plano se sustituye por una línea perpendicular a él, se gene ra un espacio tridimensional.

Yendo más lejos, si cada punto del espacio tridimen sional se sustituye por una línea perpendicular, tendremos un espacio t etradimensional. Aunque éste es físicamente imposible, e inimaginable, es conceptua lmente sólido. El uso de conceptos con más de tres dimensiones tiene un importante número de aplicaciones en las ciencias físicas, en particular en el desarrollo de teorías de la relati vidad.

También se han utilizado métodos analíticos para e studiar las figuras geométricas regulares en cuatro o más dimensiones y compararlas con figuras similares en tres o menos dimensiones. Esta geometría se conoce como geometría estructural . Un ejemplo sencillo de este enfoque de la geometría es la definición de la figura geométri ca más sencilla que se puede dibujar en espacios con cero, una, dos, tres, cuatro o más dim ensiones.

Carl Fiedrich Gauss

János Bolyai

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En los cuatro primeros casos, las figuras son los b ien conocidos punto, línea, triángulo y tetraedro respectivamente. En el espacio de cuatro dimensiones, se puede demostrar que la figura más sencilla está compuesta por cinco puntos como vértices, diez segmentos como aristas, diez triángulos como caras y cinco tetraedros. El tetraedro, analizado de la misma manera, está

compuesto por cuatro vértices, seis segmentos y cua tro triángulos.

Otro concepto dimensional, el de dimensiones fracci onarias, apareció en el siglo XIX. En la década de 1970 el concepto se desarrolló como la ge ometría fractal.

3. TEOREMA DE PITÁGORAS Y APLICACIONES

Teorema de Pitágoras En un triángulo rectángulo el cuadrado de la hipotenusa es igual a la suma de los cuadrados de los catetos. a2 = b2 + c2 En todo triángulo el cuadrado del lado opuesto a un ángulo agudo es igual a la suma de los cuadrados de los otros dos lados menos el duplo de uno de ellos por la proyección del otro sobre él. En todo triángulo el cuadrado del lado opuesto a un ángulo obtuso es igual a la

suma de los cuadrados de los otros dos lados más el duplo de uno de ellos por la proyección del otro sobre él.

Arthur Cayley

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EJERCICIOS……….

Calcula la longitud de A’B’ en la figura adjunta

Calcula AB en la figura adjunta

Un árbol proyecta una sombra de 6 m y, a la misma hora y en el mismo sitio, un palo de 1,5 m proyecta una sombra de 2 m. Calcula la altura del árbol.

4. ÁREAS DE POLÍGONOS REGULARES, REGIONES CIRCULARE S Y SOMBREADAS

Consideramos primero el área de un polígono regular de n lados.

Teorema 24.2.1. El área de un polígono regular de n lados es el semiperímetro por la apotema.

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Demostración: Sabemos que todo polígono regular de n lados se puede descomponer en n triángulos isósceles congruentes y de vértices en el centro O. El área del polígono regular será la suma de las áreas de los triángulos isósceles. El área del triángulo isósceles y el área del polígono es:

( ) ( )2

AB OHÁrea polígono n AOB n= = i

12 n nn a = ℓ

2n nn a= iℓ i

( )

(2 ) . tan :

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n

nn

pero n es el perímetro p del polígono Por to

p aÁrea polígono p a= =

iℓ

ii

Teorema 24.2.2. El área de un círculo de radio r es el producto del número irracional π y el cuadrado del radio. Un círculo no puede descomponerse en triángulos isósceles congruentes como lo hicimos con los polígonos regulares, pero puede dividirse en sectores circulares congruentes suficientemente pequeños y considerados aproximadamente iguales a triángulos isósceles. Para lograr lo anterior basta dividir la circunferencia en un número muy grande de arcos congruentes y trazar los segmentos radiales por sus puntos de división. Si trazamos dos diámetros perpendiculares, la circunferencia queda dividida en cuatro arcos congruentes y el círculo en cuatro sectores circulares congruentes de ángulo central 90°. Si a continuación trazamos la s bisectrices de estos ángulos rectos, obtenemos en la circunferencia ocho arcos congruentes y en el círculo ocho sectores circulares congruentes de ángulo central 45°; si co ntinuamos en forma similar, obtenemos la circunferencia dividida en 16, 32, 64, 128, 256,.... arcos congruentes y el círculo en el mismo número de sectores circulares congruentes.

Si imaginamos la circunferencia dividida en un número par muy grande de arcos congruentes y al círculo como la unión de igual número de sectores circulares congruentes, y disponemos estos sectores como lo muestra la siguiente figura, obtendríamos una figura muy similar a un paralelogramo, de altura igual al radio y de base igual a la longitud de la semicircunferencia.

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Teorema 24.2.3 El área de un sector circular es el semiproducto de su radio y la longitud de su arco. Recordemos que un sector circular es la región del círculo limitada por un ángulo central.

Consideremos el círculo dividido en 360 sectores circulares congruentes de ángulo central 1º. Entonces el área que corresponde a cada uno de estos sectores es:

Área del sector de 1º2

360ºrπ θ= .

Si el ángulo central que corresponde a un sector circular es 0θ , entonces su área es:

Área del sector circular de 0θ2

360ºrπ θ=

El área del sector circular puede expresarse como:

�( )�( ) 2

º0 .

360 2 2

long ABr rAB r r

π θθ= = =i i

RESUELVA 1. Halle la base de un paralelogramo si el área es 48 cm2, la base x + 3 y la altura x + 1. 2. En un paralelogramo halle la base si la base es a la altura como 5 es a 2, y el área del paralelogramo es 90 cm2. 3. En un rombo encuentre:

a) Una diagonal si la otra mide 14 cm y el área 42 cm2 b) El lado, si el área es 54 m2 y las diagonales son entre sí como 4 : 3. c) El lado, si el área es 100 m2 y una diagonal es el doble de la otra. d) El lado, si el área es 24 m2 y una diagonal mide 8 m. e) El lado, si el área es 6 m2 y una diagonal es cuatro veces la otra.

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UNIDAD 4

1. CLASIFICACIÓN DE LOS POLIEDROS

Poliedro. Sólido limitado por superficies planas (polígonos). Sus partes se denominan: • caras : polígonos que limitan al poliedro, • aristas : lados de las caras del poliedro, • vértices : puntos donde concurren varias aristas.

Los poliedros se clasifican básicamente en:

• poliedros regulares • poliedros irregulares

1.1. POLIEDRO REGULAR Poliedro cuyas caras son polígonos regulares iguales y todas sus aristas son de igual longitud; en consecuencia, todos sus vértices están contenidos en una esfera. Los poliedros regulares son cinco y se denominan:

• tetraedro regular : poliedro regular definido por 4 triángulos equiláteros iguales, • hexaedro regular (cubo) : poliedro regular definido por 6 cuadrados iguales, • octaedro regular : poliedro regular definido por 8 triángulos equiláteros iguales, • dodecaedro regular : poliedro regular definido por 12 pentágonos regulares iguales, • icosaedro regular : poliedro regular definido por 20 triángulos equiláteros iguales.

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1.2. POLIEDRO IRREGULAR Poliedro definido por polígonos que no son todos iguales. Los poliedros irregulares se clasifican básicamente en:

• tetraedro, pentaedro, hexaedro, heptaedro, octaedro . Según el número de sus caras. • pirámide • prisma

Pirámide. Poliedro definido por un polígono base y cuyas caras laterales son triángulos que poseen un vértice común (V), denominado vértice de la pirámide , que no está contenido en el plano base. La recta que pasa por el vértice de la pirámide y el centro geométrico de la base se denomina eje de la pirámide (e). Las pirámides se clasifican en:

• pirámide recta : el eje es perpendicular al polígono base, • pirámide oblicua : el eje no es perpendicular al polígono base, • pirámide regular : la base es un polígono regular,

o pirámide regular recta : la base es un polígono regular y el eje es perpendicular al polígono base. o pirámide regular oblicua : la base es un polígono regular y el eje no es perpendicular al polígono

base.

Prisma. Poliedro definido por dos polígonos iguales y paralelos (son paralelogramos. La recta que uneprismas se clasifican en:

• prisma recto : el eje es perpendicular a los polígonos base,• prisma oblicuo : el eje no es perpendicular a los polígonos base,• prisma regular : las bases son

o prisma regular rectobase.

o prisma regular oblicuopolígonos base.

• paralelepípedo : prisma cuyas bases son paralelogramos. Pueden ser a su vez rectos u oblicuos

2. UNIDADES DE VOLÚMENES DE CUERPOS SÓLIDOS Las unidades de volumen son estandarizaciones que permiten dimensionar el número que indica el volumen. Como unidad base, se considera a un cubo cuya arista mide un centímetro o un metro, un kilómetro, etc. Por definición su volumen tendrá el valor 1, acompañado de la unidad de su arista elevada a tres. Por ejemplo, en la figura siguiente, el volumen del cubo mide un centímetro cú

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Poliedro definido por dos polígonos iguales y paralelos (bases ) y cuyas caras laterales, en consecuencia, son paralelogramos. La recta que une los centros geométricos de las bases se denomina

: el eje es perpendicular a los polígonos base, : el eje no es perpendicular a los polígonos base, : las bases son polígonos regulares,

prisma regular recto : las bases son polígonos regulares y el eje es perpendicular a los polígonos

prisma regular oblicuo : las bases son polígonos regulares y el eje no es perpendicular a los

prisma cuyas bases son paralelogramos. Pueden ser a su vez rectos u oblicuos

2. UNIDADES DE VOLÚMENES DE CUERPOS SÓLIDOS

Las unidades de volumen son estandarizaciones que permiten dimensionar el número que indica el volumen. nsidera a un cubo cuya arista mide un centímetro o un metro, un kilómetro, etc. Por

definición su volumen tendrá el valor 1, acompañado de la unidad de su arista elevada a tres. Por ejemplo, en la figura siguiente, el volumen del cubo mide un centímetro cúbico y se abrevia por 1 cm

Volumen del cubo unidad = 1 cm

) y cuyas caras laterales, en consecuencia, los centros geométricos de las bases se denomina eje del prisma (e). Los

regulares y el eje es perpendicular a los polígonos

regulares y el eje no es perpendicular a los

prisma cuyas bases son paralelogramos. Pueden ser a su vez rectos u oblicuos.

Las unidades de volumen son estandarizaciones que permiten dimensionar el número que indica el volumen. nsidera a un cubo cuya arista mide un centímetro o un metro, un kilómetro, etc. Por

definición su volumen tendrá el valor 1, acompañado de la unidad de su arista elevada a tres. Por ejemplo, en la bico y se abrevia por 1 cm3.

Volumen del cubo unidad = 1 cm3

En la siguiente tabla se muestra las

Arista del cubo unidad

1 Milímetro

1 Centímetro

1 Decímetro

1 Metro

1 Decámetro

1 Hectómetro

1 Kilómetro

Si la unidad de volumen del cubo unidad es el centímetro cúbico, entonces todos los volúmenes obtenidos a partir de él estarán en centímetros cúbicos. Se sigue la misma analogía si el cubo unidad tiene otra unidad de volumen.

Medición del volumen de algunsimples con dos caras paralelas

Volumen de un cubo. Un cubo es cuerpo formado por seis caras cuadradas y en cada vértice convergen 3 aristas mutuamente perpendiculares.

El volumen de un cubo es igual al valor de su arista elevada a tres, como muestra la siguiente figura: Si la arista del cubo adjunto mide 3 cm entonces su volumen se obtiene elevando a tres su arista:

Vcubo=(3cm)3 = 33 cm3 = 27cm3

Por lo tanto, si la arista de un cubo mide su volumen se calcula a través de la fórmula:

33

En la siguiente tabla se muestra las unidades de medida de volumen más utilizadas:

Arista del cubo

Unidad de Volumen asociada Abreviatura

Milímetro Milímetro cúbico mm3

1 Centímetro Centímetro cúbico cm3

1 Decímetro Decímetro cúbico dm3

Metro cúbico m3

1 Decámetro Decámetro cúbico Dm3

1 Hectómetro Hectómetro cúbico Hm3

Kilómetro Kilómetro cúbico Km3

Si la unidad de volumen del cubo unidad es el centímetro cúbico, entonces todos los volúmenes obtenidos a partir de él estarán en centímetros cúbicos. Se sigue la misma analogía si el cubo unidad tiene otra unidad de volumen.

Medición del volumen de algun os cuerpos

s cuerpo formado por seis caras cuadradas y en cada vértice convergen 3 aristas mutuamente perpendiculares.

El volumen de un cubo es igual al valor de su arista muestra la siguiente figura: Si

la arista del cubo adjunto mide 3 cm entonces su volumen se obtiene elevando a tres su arista:

Por lo tanto, si la arista de un cubo mide a, entonces su volumen se calcula a través de la fórmula:

El volumen a · a · a = atambién definir como el producto del área de la cara basal a · a por la altura

V = a · a · a= (a · a ) · a

El hectómetro cúbicovolumen, con la que se nombra, la capacidad de los embalses o de una tubería o de un trasvase

Sería el volumen que ocupa un cubo de 100 lado.

1 Hm3 = 1.000.000 m3

Litro. El litro es una unidad de normalmente utilizada para medir granulares, y que corresponde al volumen que ocupa 1 Kg de agua a 4 °C y a 1

más utilizadas:

Abreviatura

a · a · a = a3 de un cubo se puede también definir como el producto del área de la cara

por la altura a, es decir:

a = a

hectómetro cúbico (Hm3), es una medida de volumen, con la que se nombra, la capacidad de los embalses o de una tubería o de un trasvase de agua.

Sería el volumen que ocupa un cubo de 100 m de

= 106 m3.

es una unidad de capacidad, normalmente utilizada para medir líquidos o sólidos granulares, y que corresponde al volumen que ocupa

y a 1 atm de presión.

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Se abrevia con la letra l o con la letra L, para evitar problemas en la tipografía, cuando la l puede confundirse con el número 1.

Equivale a la capacidad de un contenedor de un decímetro cúbico o a una milésima de metro cúbico.

1 l = 1 dm3 = 0.001 m3 = 10-3 m3

1 l = 1000 ml = 100 cl = 10 dl = 1 l = 1 dm3 = 0.001 m3

103 ml = 102 cl = 101 dl = 1 l = 1 dm3 = 10-3 m3

Además de masa, los cuerpos tienen una extensión en el espacio, ocupan un volumen. El volumen de un cuerpo representa la cantidad de espacio que ocupa su materia y que no puede ser ocupado por otro cuerpo.

Muchas veces cuando preparamos un jugo volcamos el líquido en una jarra o una botella. Cuando hacemos una torta volcamos el azúcar o la harina en un recipiente. Se necesitan tantos gramos para llenar una jarra o tantos gramos para llenar una cacerola. Por tanto hay una relación entre las medidas de volumen, capacidad y peso.

Al igual que la masa, el volumen puede medirse en muchas unidades: pintas, galones, arrobas, etc. pero las medidas más usadas son el litro (l) y la unidad del S.I. el metro cúbico (m3), que equivale a 1.000 litros o, lo que es lo mismo, un litro es igual que un decímetro cúbico (dm3) o sea que es la cantidad de agua que cabe en un cubo que tiene 1 dm de arista. Las equivalencias entre los múltiplos y submúltiplos más habituales del metro cúbico y el litro aparecen en la siguiente tabla:

Nombre Abreviatura Equivalencia en m 3 Equivalencia en l

Hectómetro cúbico Hm3 10.000 m3 10.000.000 l

metro cúbico m3 1 m3 1.000 l

Hectolitro hl 0'1 m3 100 l

decímetro cúbico dm3 0'001 m3 1 l

centímetro cúbico c.c. o cm3 0'000001 m3 0'001 l

decilitro dl 0'0001 m3 0'1 l

centilitro cl 0'00001 m3 0'01 l

mililitro ml 0'000001 m3 0'001 l

Si observas un recibo del agua podrás ver que el ag ua que gastas no aparece en litros sino en metros cúbicos Para medir el volumen de un líquido se emplean distintos recipientes graduados. Pero la relación entre las medidas de peso y volumen no es constante. ¿Por qué? Porque solo un litro de agua destilada pesa 1kg.. Así por ejemplo 1 dm3 hierro pesa7,8 kg y un dm3 de aceite pesa 0,92 kg..Entonces ¿cómo hacemos para averiguar la relación de volumen y peso de cualquier sustancia que no sea agua destilada?. Par eso necesitamos conocer su peso específico que es la relación entre el peso y el volumen de cualquier parte de esa sustancia.

El volumen de un sólido no es tan fácil de medir. Si se trata de un sólido regular, covolumen puede calcularse a partir de sus medidas, ancho, alto y profundidad, con ayuda de las matemáticas. Si se trata de un cuerpo irregular la medición se hace de forma indirecta: si llenamos un recipiente con un líquido, al introducir en él el sólido cuyo volumen deseamos conocer, el líquido se desbordará del recipiente en tanta cantidad como volumen tenga el sólido introducido. Midiendo luego el volumen del midiendo el del sólido que sumergimos en élsiglo III antes de Cristo.

3. CÁLCULO DE VOLÚMENES DE CUERPOS SÓLIDOS

El volumen nos indica la cantidad de espacio quutilizamos las siguientes ecuaciones matemáticas:

Ejercicios de áreas y volúmenes

1. Calcula el volumen, en centímetros cúbicos, de una habitación que tiene 5 m de largo, 40 dm de ancho y 2500 mm de alto.

2. Una piscina tiene 8 m de largo, 6 m de ancho y 1.5 m de profundidad. S18.000 pesos el metro cuadrado. a. Cuánto costará pintarla. b. Cuántos litros de agua serán necesarios para llenarla.

3. En un almacén de dimensiones 5 m de largo, 3 m de ancho y 2 m de alto queremos almacenar cajas de dimensiones 10 dm de largo, 6 dm de ancho y 4 dm de alto. ¿

4. Determina el área total de un 5. Calcula la altura de un prisma6. Calcula la cantidad de hojalata que se necesitará para hacer 10 botes de forma cilíndrica de 10 cm de

diámetro y 20 cm de altura. 7. Un cilindro tiene por altura la misma longitud que la circunferencia de la base. Y la altura mide 125.66 cm.

Calcular: a) El área total. b) El volumen

8. En una probeta de 6 cm de radio se echan cuatro cubiel agua cuando se derritan?

9. La cúpula de una catedral tiene forma el m2, ¿A cuánto ascenderá el presupuesto de la restauración?

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El volumen de un sólido no es tan fácil de medir. Si se trata de un sólido regular, covolumen puede calcularse a partir de sus medidas, ancho, alto y profundidad, con ayuda de las matemáticas. Si se trata de un cuerpo irregular la medición se hace de forma indirecta: si llenamos un recipiente con un líquido, al ntroducir en él el sólido cuyo volumen deseamos conocer, el líquido se desbordará del recipiente en tanta cantidad como volumen tenga el sólido introducido. Midiendo luego el volumen del midiendo el del sólido que sumergimos en él. Este método fue descubierto por Arquímedes

3. CÁLCULO DE VOLÚMENES DE CUERPOS SÓLIDOS

El volumen nos indica la cantidad de espacio que ocupa un cuerpo. Para medir el volumen de cuerpos regulares utilizamos las siguientes ecuaciones matemáticas:

Ejercicios de áreas y volúmenes

Calcula el volumen, en centímetros cúbicos, de una habitación que tiene 5 m de largo, 40 dm de ancho y

Una piscina tiene 8 m de largo, 6 m de ancho y 1.5 m de profundidad. Sel metro cuadrado.

Cuánto costará pintarla. Cuántos litros de agua serán necesarios para llenarla.

dimensiones 5 m de largo, 3 m de ancho y 2 m de alto queremos almacenar cajas de dimensiones 10 dm de largo, 6 dm de ancho y 4 dm de alto. ¿Cuántas cajas podremos almacenar?Determina el área total de un tetraedro, un octaedro y un icosaedro de 5 cm de arista.

prisma que tiene como área de la base 12 dm2 y 48 l de capacidad.Calcula la cantidad de hojalata que se necesitará para hacer 10 botes de forma cilíndrica de 10 cm de

tiene por altura la misma longitud que la circunferencia de la base. Y la altura mide 125.66 cm.

En una probeta de 6 cm de radio se echan cuatro cubitos de hielo de 4 cm de arista. ¿A qué altura llegará el agua cuando se derritan? La cúpula de una catedral tiene forma semiesférica, de radio 50 m. Si restaurarla tiene un cost

, ¿A cuánto ascenderá el presupuesto de la restauración?

El volumen de un sólido no es tan fácil de medir. Si se trata de un sólido regular, como un cubo o una esfera, su volumen puede calcularse a partir de sus medidas, ancho, alto y profundidad, con ayuda de las matemáticas. Si se trata de un cuerpo irregular la medición se hace de forma indirecta: si llenamos un recipiente con un líquido, al ntroducir en él el sólido cuyo volumen deseamos conocer, el líquido se desbordará del recipiente en tanta cantidad como volumen tenga el sólido introducido. Midiendo luego el volumen del líquido derramado estamos

Arquímedes , un sabio griego del

Para medir el volumen de cuerpos regulares

Calcula el volumen, en centímetros cúbicos, de una habitación que tiene 5 m de largo, 40 dm de ancho y

Una piscina tiene 8 m de largo, 6 m de ancho y 1.5 m de profundidad. Se pinta la piscina a razón de

dimensiones 5 m de largo, 3 m de ancho y 2 m de alto queremos almacenar cajas de cajas podremos almacenar?

de 5 cm de arista. y 48 l de capacidad.

Calcula la cantidad de hojalata que se necesitará para hacer 10 botes de forma cilíndrica de 10 cm de

tiene por altura la misma longitud que la circunferencia de la base. Y la altura mide 125.66 cm.

tos de hielo de 4 cm de arista. ¿A qué altura llegará

, de radio 50 m. Si restaurarla tiene un coste de 300 €

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EVALUACIÓN DE COMPETENCIAS

ROMPECABEZAS EL TANGRAM El tangram es un rompecabezas de origen chino. Consta de un cuadrado dividido en siete partes que forman siete figuras geométricas. Estas figuras son: un cuadrado pequeño, dos triángulos pequeños, uno mediano, dos grandes y un paralelogramo. Dentro de sus variaciones se encuentran los cuadrados, que se dividen en diferentes figuras geométricas, la mayoría de ellas simétricas o regulares (Figuras 1 y 2).

Estos rompecabezas son especialmente interesantes porque sus piezas forman un cuadrado y con ellas se puede armar una amplia gama de figuras y formas sin superponerlas. LOS POLIOMINÓS

Los poliominós son polígonos construidos a partir de un conjunto de cuadrados del mismo tamaño. Éstos se encuentran conectados entre sí por uno de sus lados (lado adyacente), de tal forma que no queden espacios huecos en el interior del polígono resultante. De acuerdo con el número de cuadrados que se emplee podemos hablar de dominós (2 cuadrados), triminós (3 cuadrados), tetrominós (4 cuadrados), pentominós (5 cuadrados), etc. Para que dos poliominós formados con la misma cantidad de cuadrados, sean diferentes, uno de ellos no puede ser obtenido por reflexiones o rotaciones del otro (Figura 3).

Sin embargo, existen variaciones en las que se consideran diferentes los poliominós obtenidos por reflexión, por rotación o por las dos transformaciones (Figura 4).

Como vemos, la cantidad de poliominós que se puede formar con cierto número de cuadrados aumenta cuando se emplea mayor número de ellos.

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La relación existente entre los posibles poliominós y el número de cuadrados empleados es:

n G H T S 1 1 1 1 1 2 1 1 2 1 3 2 2 6 3 4 5 7 19 4 5 12 18 63 6 6 35 60 216 10 7 108 196 760 20 8 369 704 2725 34 9 1285 2500 9910 70

En la tala, n es el número de cuadrados empleados, G es el número de poliominós que se pueden formar sin contar rotaciones ni reflexiones. H, por su parte, es el número de poliominós diferentes formados sin contar rotaciones, T es el número de poliominós distintos formados incluso por rotación y reflexión y S los formados sin tener presente la reflexión de otros poliominós. De los datos anteriores, se puede ver que para cada n: S = 2 G – H Los principales problemas que se trabajan a partir de los poliominós son los recubrimientos de tableros, esto es, cubrir con poliominós de determinado tamaño un tablero cuadrado similar a uno de ajedrez. 1. En la figura 1, si cada unidad de la cuadrícula tiene valor x, entonces el perímetro de la figura C es:

a) 2 √10 x b) 4x (2 + √2) c) 12 x d) 8x

2. El área del cuadrado que puede formarse con las partes del rompecabezas de la figura 1, es:

a) 64 x2 b) 52 x2 c) 16 x d) 32 x2 3. En la figura 2, en las piezas G y H:

a) XZ es un congruente con NP. b) El triángulo XYZ es rectángulo. c) El triángulo MNP es equilátero. d) El ángulo M es congruente con el ángulo Z.

Considera que el área de cada cuadrado que hace parte de uno de los poliominós se puede representar por la expresión: 9 (x – 2)2. 3. El área de cualquier pentominó puede representarse así:

a) 45x2 – 180 c) 14 (x – 2)2 b) 45x2 – 180x + 180 d) 9 (x – 2)2 + 5

4. El perímetro del poliominó de la ficha G es:

a) 30 (x – 2) c) 3x – 6 b) 90 (x – 2)2 d) 90x2 – 180

5. Al unir las piezas E y G de la figura 2, la relación de la nueva pieza con la D es:

a) Las dos piezas son congruentes. b) El área de la nueva pieza es mayor que el de

la D. c) Las dos piezas son semejantes. d) El área de la pieza D es mayor que el de la

nueva. 6. Para recubrir un cuadrado de 8 x 8 con el tetraminó E, es necesario emplear:

a) 12 piezas b) 16 piezas c) 24 piezas d) No se puede recubrir con un número exacto

de piezas. 7. Un cuadrado de dimensiones 4 x 4 puede ser recubierto por:

a) 4 piezas E c) 4 piezas C b) 4 piezas G d) 4 piezas H

8. Si para n=10, el número de poliominós que se puede formar sin contar rotación ni reflexión es de 4655 y los formados sin reflexión son 121, entonces el número formado sin contar las rotaciones es:

a) 16446 b) 9189 c) 4413 d) 4776 9. Si para n = 12, el número de poliominós que se puede formar sin contar rotación y reflexión es de 63600 y sin contar rotaciones es 126759, entonces el número de poliominós que se puede formar sin reflexión de otras es:

a) 441 b) 505861 c) 253959 d) 19035

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BIBLIOGRAFÍA

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http://www.escueladigital.com.uy/geometria/4_figplanas.htm

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http://argentina.aula365.com/EditorContenidos/Infografias/Contenido/infoPoligonos.swf

http://rpdp.net/mathdictionary/spanish/vmd/full/c/congruentpolygons.htm

http://tutormatematicas.com/GEO/Propiedades_cuadrilateros.html

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http://www.salonhogar.com/matemat/geometria/teo_contenido.html

www.tallerdegalileo.es/Instituto/volumen .doc