“tabla de multiplicar” -...

“tabla de multiplicar”

Laura Gasque 2016-1 1

E C3 C32 ’ ’’

E E C3 C32 ’ ’’

C3 C3 C32 E ’

C32 C3

2 E C3

E C32

’ ’ C3 E

’’ ’’ E

Ojo con la NO conmutatividad

Convención 1: “el de abajo por el de arriba” o “el de arriba por el de abajo”

Convención 2 : elección de , ’ y ’’

Teorema del rearreglo: SUDOKU Clases: Ejemplo: Encontrar con qué elemento está conjugado cada u...

“tabla de multiplicar”


E C3 C32 ’ ’’

E E C3 C32 ’ ’’

C3 C3 C32 E ’ ’’

C32 C3

2 E C3 ’’ ’

’’ ’ E C32 C3

’ ’ ’’ C3 E C32

’’ ’’ ’ C32 C3 E

Ojo con la NO conmutatividad

Convención 1: “el de abajo por el de arriba” o “el de arriba por el de abajo”

Convención 2 : elección de , ’ y ’’

http://chemwiki.ucdavis.edu/Theoretical_Chemistry/Symmetry/Combining_symmetry_operations%3A_%E2%80%98group_multiplication%E2%80%99

Teorema del rearreglo: SUDOKU Clases: Ejemplo: Encontrar con qué elemento está conjugado cada u...

http://chemwiki.ucdavis.edu/Theoretical_Chemistry/Symmetry/Combining_symmetry_operations:_%E2%80%98group_multiplication%E2%80%99

El conjunto de las transformaciones lineales de R3 R3 :

{E, C3, C32, , ’, ’’ forma un GRUPO con la

composición.

¿ . . ?



Definición de grupo• Un conjunto G = {gi, gj, gk . . .) y una operación forman un GRUPO si:

• i) gG, gigj = gk

• Cerradura

• ii) e G giG, egi =gie = gi

• Existencia del neutro o idéntico

• iii) gi G, gjG gigj= e

• Existencia de los inversos i.e. gj =gi-1

• iv) gi, gj, gk, gi(gj gk) = (gi gj) gk

• Asociatividad

• v) En algunos grupos se cumple gi, gj , gi gj = gj gi

• Conmutatividad A los grupos conmutativos se les llama abelianos

Demostrar que conjunto de las transformaciones

lineales de R3 R3 :

{E, C3, C32, , ’, ’’= C3v

forma un GRUPO con la composición.


Hint: Usar la definición de grupo y la tabla de multiplicar de C3v

Grupos Puntuales


Las operaciones de simetría

(transformaciones lineales de R3R3)

de cualquier objeto, forman un GRUPO

(grupo puntual)

. . . . Ejemplos . . .


Un detalle de formalidad

• Elemento de simetría Operación de simetría

• Elemento de simetría = ente geométrico: eje, plano, punto

• Operación de simetría = T.L de R3 R3 que se realiza a través de un

elemento de simetría


C3V


Una familia de grupos puntuales: Cnv

• ¿Qué elementos tienen estos grupos?

• Cn = Rotación de (360/n)° alrededor de un eje.

• Cnm = Composición sobre sí misma (o potencia) de Cn

• n planos que contienen al eje de rotación v

• E = la operación “identidad” o “el idéntico” E(x, y, z) = (x, y, z)


Otro ejemplo; C2v

• H2O, py, catecol, cis-platino

• más ejemplos:

• . . .


Ejemplos de C4v


Moléculas con simetría C4v

• Ni(H2O)5NH3 Ojo: despreciando los enlaces O-H y N-H

• IF5


¿C5v?


Otras familias de grupos puntuales

• Cn

• Dnh

• Dn

• Dnd

• Cnh

• S

• De baja simetría:

• C1, C2, Cs, Ci

• De alta simetría

• Td, Oh, Ih

• Casos especiales:

• T, Th, O

• Grupos infinitos: moléculas lineales

• Cv, Dh


Dnh

• Tiene todos las operaciones de simetría del correspondiente Cnv y ADEMÁS

un la reflexión a través de un h y las operaciones que resulten de la

composición de ésta con los otros elementos:

• Ojo h v ; h es un plano perpendicular al eje principal de rotación

• Ojo: Cn h = h Cn = Sn rotación impropia


Primer ejemplo D2h

D2h = C2v = {E, C2, v , v’ } y además h y los productos

que se obtengan entre ellas

• E (x, y, z) = (x, y, z)

• C2z= (-x, -y, z)

• v = xz(x, y, z) = (x, -y, z)

• v’ = yz (x, y, z) = ?

• h = xy (x, y, z) = ?


Tarea para ahorita

• Encontrar los elementos faltantes del grupo D2h realizando la composición

de los elementos de C2v con h

• Hacer la tabla de multiplicar de D2h (agrupar así: E, ejes, i, planos)

• Encontrar el inverso de cada elemento

• ¿Es éste un grupo conmutativo?


• C2z= (-x, -y, z) ; h = xy (x, y, z)= (x, y, -z)

• C2z xy (x, y, z) = C2

z xy (x, y, z) = C2

z (x, y, -z) = (-x, -y, -z) = ¿Nueva?

• i (x, y, z) = (-x, -y, -z)

• h v (x, y, z)=xy xz (x, y, z) = xy(x, -y, z) = (x, -y. –z) = ¿ ?

• C2x (x, y, z)= ( x, -y, -z)



D2h E C2(z) C2(y) C2(x) i xy xz yz

E

C2(z)

C2(y)

C2(x)

i

xy

xz

yz

Ejemplos de moléculas con simetría D2h


Tarea para casa (importante)

• Siguiendo el mismo procedimiento del ejemplo anterior, encontrar todos los elementos del grupo D3h= . . . . . . . . . . . . . (C3v “+” h)

• Ojo: obtener las “recetas” para cada una de las potencias de S3

• Por ej. S3(x,y,z) = C3 h S32 (x, y, z) = ? . . . . etc.

• NOTA: C3 y h conmutan porque actúan sobre subespacios ajenos

• Hacer la tabla de multiplicar

• Identificar el inverso de cada elemento

• ¿Es abeliano?


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