Homologia Singular

HOMOLOGIA SINGULAR

Agripino Garca Armas

Indice general

0.1. Presentacion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50.2. Introduccion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6

1. CONCEPTOS PRELIMINARES 71.1. Categoras y funtores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

2. TEORIA DE HOMOTOPIA ELEMENTAL 132.1. Homotopa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 132.2. Equivalencia homotopica y espacios contraibles . . . . . 202.3. Cofibracion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 222.4. H-Espacios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 262.5. H-Coespacios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 302.6. Construccion de James . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 372.7. Desviacion de aplicaciones entre H-espacios . . . . . . . . . . . 412.8. Sucesion exacta de Barrat- Puppe . . . . . . . . . . . . . . . . 44

3. TEORIA DE HOMOLOGIA 473.1. Axiomas de Eilenberg -Steenrod . . . . . . . . . . . . . . . . 473.2. Homologa de complejo de cadenas . . . . . . . . . . . . . . . 513.3. Homomorfismo inducido . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 553.4. Homotopa de cadenas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 603.5. Teorema de modelos acclicos . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68

4. HOMOLOGIA SINGULAR 734.1. Complejo singular . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 734.2. Invariabilidad bajo homotopa . . . . . . . . . . . . . . . . . 834.3. Subdivision baricentrica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 854.4. Susecion de Mayer-Vietoris . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93

5. APLICACIONES ELEMENTALES 995.1. Teorema de punto fijo de Brouwer . . . . . . . . . . . . . . . . 995.2. Grado de Brouwer . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 100

3

46. HOMOLOGIA CELULAR 1076.1. Espacio celular . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 107

7. RELACION ENTRE LOS GRUPOS DE HOMOTOPIA YHOMOLOGIA 1117.1. Teorema de Hurewicz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1117.2. Teorema de Whitehead . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112

8. FIBRACIONES 1138.1. Fibraciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1138.2. Haces fibrados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 120

9. ANILLO DE COHOMOLOGIA SINGULAR 1259.1. Cohomologa singular . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 125

10.HOMOLOGIA DE ESPACIOS FIBRADOS 13110.1. Pareja Exacta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13110.2. Sucesion espectral de una fibracion . . . . . . . . . . . . . . . 13610.3. Cuadrados de Steenrod y relaciones de Adem . . . . . . . . . 136

50.1. Presentacion

Estas notas tienen por objeto presentar la homologa singular y algunasaplicaciones a resultados clasicos, surgieron de un curso que el autor dicto enel segundo semestre del ano 1998 en la Escuela Academico Profesional deMatematicas para los estudiantes del octavo semestre en la Universidad Na-cional Mayor de San Marcos.

Considero que el material que aqu se presenta, debe ser del conocimientode todo estudiante de Licenciatura en Matematica, justificando as la apari-cion de estas notas.

60.2. Introduccion

El objeto de la Topologa Algebraica es hallar modelos algebracos de losespacios topologicos . As , si X es un espacio topologico , un modelo puedeser un grupo,T (X), y si f : X Y es una aplicacion continua es naturalrequerir que induzca un homomorfismo T (f) : T (X) T (Y ) tal que:

1. Si Xf Y g Z, T (g f) = T (f) T (g) : T (X) T (Z)

2. Si idX : X X es la aplicacion identidad ,T (idX) : T (X) T (X)sea el homomorfismo identidad.

Bajo estas condiciones si f : X Y es homeomorfismo entoncesT (f) : T (X) T (Y ) es isomorfismo. Luego T (X) 6= T (Y ) implica queX no es homeomorfo a Y.

Un problema que siempre se presenta es : Dados un subconjunto A deun espacio topologico X y una aplicacion continua g : A Y existe unaaplicacion continua f : X Y tal que f |A= g ?

Existen, en casos particulares, soluciones famosas .

Teorema de extension de Tietze. Sea A un subconjunto cerrado deun espacio topologico X y g : A R una aplicacion continua, entonces existef : X R una aplicacion continua tal que f |A= g

Un espacio X es conectable por trayectorias si para cualesquiera x, y Xexiste : [0, 1] X una aplicacion continua tal que (0) = x y (1) = y

La conectabilidad por trayectorias puede plantearse como un problema deextension. Sea A = {0, 1} , X = [0, 1] entonces Y es conectable por trayecto-rias s y solo si para cada par de puntos x, y de Y , la aplicacion : A Yes tal que (0) = x y (1) = y puede extenderse a f : X Y

Por medio del modelo T(X)el problema de extension induce un problemade extension algebraca

T (X)T (i) T (g)T (A) T (f) T (Y )

Captulo 1

CONCEPTOSPRELIMINARES

1.1. Categoras y funtores

Introducimos el lenguaje de categoras y funtores por dos razones: Laprimera es que se encuentra con frecuencia estos conceptos cuando lee losarticulos de la referencia y la segunda es que resulta la formulacion masconveniente de muchos de los resultados de estas notas estan dadas en estecontexto

Definicion 1.1.1 Una categora C consiste de:1. Una clase de objetos, denotado por Obj(C)2. Para cualquier par de objetos A,B, un conjunto de morfismos de A

a B,denotado por MorC(A,B). Si f MorC(A,B), A se denominadominio de f y B el rango de f, se escribe f : A B o A f B

3. Para cualquier terna ordenada de objetos A,B,C se da una ley de com-posicion

MorC(A,B)MorC(B,C)MorC(A,C)(f, g) 7 g f

satisfaciendo las siguientes dos axiomas:

1. Si f MorC(A,B),g MorC(B,C), h MorC(C,D) entoncesh (g f) = (h g) f

7

8 Categoras y Funtores

2. Existe un morfismo identidad idA MorC(A,A) tal que para cuales-quiera f MorC(A,B), g MorC(C,A) se verifica

f idA = f, idA g = g

este morfismo identidad es unico, en efecto,

idA = idAid,A = id

,A

Ejemplo 1 Categora de conjuntos, C = ConjLos objetos de esta categora son los conjuntos y los morfismos las aplicacio-nes entre conjuntos con la composicion usual

Ejemplo 2 Categora de grupos abelianos, C = GALos objetos de esta categora son los grupos abelianos y los morfismos loshomomorfismos de grupos con la composicion usual

Ejemplo 3 Catregora de espacios topologicos , C = TOPLos objetos de esta categora son los espacios topologicos y los morfismos lasaplicaciones continuas con la composicion usual

Ejemplo 4 Sea G un grupo y la categora que contiene a G como unicoobjeto y morfismos los elementos de G multiplicando a la izquierda

Definicion 1.1.2 Sean C y D dos categoras. Un funtor covariante T deC a D, escrito, T : C D, asocia a cada objeto A C un objeto T (A) Dy a cada morfismo f : A B de C un morfismo T (f) : T (A) T (B)de Dtal que

1. T (f g) = T (f) T (g) para todo morfismo A f B g C2. T (idA) = idT (A) para todo A Obj(C)

Un funtor contravariante T de C a D, escrito, T : C D asocia a cadaobjeto A C un objeto T (A) D y a cada morfismo f : A B de C unmorfismo T (f) : T (B) T (A) tal que

1. T (f g) = T (g) T (f) para todo morfismo A f B g C en C2. T (idA) = idT (A) para todo A Obj(C)

Ejemplo 5 Funtor identidad , id : C Cid(A) = A para todo A Obj(C) y id(f) = f para todo f MorC(A,A)

conceptos preliminares 9

Ejemplo 6 Si T : C D y S : D E dos funtores , la composicionS T : C E definido por (S T )(A) = S(T (A) y (S T )(f) = S(T (f)) esun funtor

Ejemplo 7 Para cualquier D Obj(D) fijado tenemos el funtor constanteT : C D tal que T (A) = D para todo A Obj(C) y T (f) = idD para todof MorC(A,B)Ejemplo 8 Sea C la categora de conjuntos, n un numero natural,T : C Ctal que T (A) = An para todo Obj(C), T (f) = fn para todo f MorC(A,B)es un funtor

Ejemplo 9 Sea C la categora de espacios topologicos , T : C C tal queT (X) =

X = suspencion de X = espacio de identificacion de X I al

identificar X0 y X1 a puntos , X Obj(C), T (f) = f : X Yes un funtor, denominado funtor suspension denotado por

Ejemplo 10 Sea C la categora de espacios topologicos , T : C C tal queT (X) = (X) = espacio de lazos de X = curvas que empiezan y terminanen un punto fijo x0 para X Obj(C) , T (f) = (f) : (X) (Y ) paraf MorC(X, Y ) ,es un funtor denominado funtor lazo denotado por Ejemplo 11 Sea C la categora de espacios vectoriales sobre un campo K ,T : C C tal que T (A) = A = Hom(A,K) para A Obj(C) y T (f) = f :B A , para f MorC(A,B) es un funtor contravarianteDefinicion 1.1.3 Si f : A B, g : B A son morfismos en una categoraC tales que g f = id entonces g se denomina inverso izquierdo de f, y finverso derecho de g.

Si f admite un inverso izquierdo g y tambien un inverso derecho h entonces

g = g(fh) = (gf)h = h

en este caso a f se denomina una equivalencia o isomorfismo

Se dice que A es equivalentes a B si existe un isomorfismo f Mor(A,B).Una equivalencia en la categora Conj es una aplicacion biyectiva, una

equivalencia en la categora TOP es un homeomorfismo y en la catregoraGA es un isomorfismo en el sentido usual.

Proposicion 1.1.1 Sea T : C D un funtor covariante. Si f MorC(A,B)es un isomorfismo entonces T (f) MorD(T (A), T (B)) es un isomorfismo yT (f1) = T (f)1


Demostracion Como f es un isomorfismo tiene un inverso denotado porf1 tal que f f1 = id y f1f = id tenemos T (f)T (f1) = T (f f1) =T (id) = id y T (f1)T (f) = T (f1f) = T (id) = id,luego T (f1) = T (f)1

Definicion 1.1.4 Sean S, T : C D funtores covariantes . Una transfor-macion natural de T a S escrito : T S consiste de un sistema demorfismos A MorD(T (A), S(A)) uno para cada objeto A Obj(C) talque para cualquier morfismo f MorC(A,B) el siguiente diagrama

T (A)T (f) T (B)

A BS(A)

S(f) S(B)conmuta

Una transformacion natural : T S tal que A es una equivalenciaen D para cada A Obj(C) se denomina una equivalencia natural

Ejemplo 12 Sea C una categora arbitraria , D = Conj, para A Obj(C)fijo tenemos el funtor CA : C D definido de la siguiente manera : CA(X) =MorC(A,X) para cada X Obj(C) y CA(f) = f = composicion de fpor la izquierda , para f MorC(X, Y )Sea T : C D un funtor arbitrario , a T (A) fijoDefinamos

a : CA TaX : CA(X) = MorC(A,X) T (X)

g 7 ag = T (g)(a)tenemos

(aY CA(f))(g) = aY (CA(f)(g))= aY (f g)= T (f g)= (T (f) aX)(g)

Ejemplo 13 Sea C la categora de espacios vectoriales sobre K , si V esobjeto de C , V dual de V y V doble dual de V son objetos de C, existe unaaplicacion lineal iV : V V dada por iV (v) = v donde v() = (v) , v V, V i es una transformacion natural del funtor identidad id : V V al

conceptos preliminares 11

funtor : C C o sea i : Id en efecto, , sea f : V W un morfismoen C , el siguiente diagrama conmuta

ViV V

f f W

iW W

(f iV )(v)() = (f ())(v) = f v() = v(f ()) = (f ())(v) = (f(v)) =f(v)() = (iW f)(v)()

Proposicion 1.1.2 (Lema de Yoneda) Si T : C Conj es un funtor cova-riante y : CA T una transformacion natural entonces existe un unicoelemento a T (A) tal que = a , es decir, a = A(idA)

Demostracion.- Como es una transformacion natural , el diagrama

CA(A) CA(f) CA(X)A XT (A)

T (f) T (X)

conmuta para cualquier f MorC(A,X)En particular

X(CA(f)(idA)) = (T (f)A)(idA)Como CA(f)(idA) = f idA = fTenemos

X(f) = T (f)(a)

= aX(f)

donde a = A(idA)Ahora supongamos que existe otro b T (A) tal que = b luego

a = A(idA) = bA(idA) = T (idA)(b) = idT (A)(b) = b

Definicion 1.1.5 Si T : C Conj es un funtor covariante y A Obj(C)entonces u T (A) es un elemento universal si u es una equivalencianatural

No es cierto que todo funtor covariante T : C Conj admita un ele-mento universal , si lo admite diremos que T es representable y el par (A, u)representa al funtor T . El par (A, u) es unicamente determinado salvo equi-valencia como veremos a seguir


Proposicion 1.1.3 Sea T : C Conj un funtor representable con elementouniversal u T (A) . Si c Obj(C) y c T (C) entonces existe un unicomorfismo f : A C tal que T (f)(u) = c . Si c es elemento universal , f esuna equivalencia

Demostracion. Si c es un elemento universal existe g : C A tal queT (g)(c) = cC(g) = u entonces

T (g f)(u) = T (g) (T (f)(u)) = T (g)(c) = u

luego g f = idA por la universalidad de u

T (f g)(c) = T (f) (T (g)(c)) = T (f)(u) = c

luego f g = idC por la universalidad de c

Captulo 2

TEORIA DE HOMOTOPIAELEMENTAL

2.1. Homotopa

Definicion 2.1.1 Sean X, Y espacios topologicos , f, g : X Y aplicacio-nes continuas . Diremos que f es homotopico a g si existe una aplicacioncontinua H : X I Y tal que H(x, 0) = f(x) y H(x, 1) = g(x) paracualquier x X

A la aplicacion H se denomina una homotopa entre f y g . denotadopor f ' g o H : f ' g

Para cada 0 t 1 se denota H(x, t) por Ht(x) que da origen a unafamilia de aplicaciones continuas Ht : X YDefinicion 2.1.2 Una aplicacion f : X Y se denomina nulo homotopi-co si f es homotopico a una aplicacion constante

Definicion 2.1.3 Sea A un sub conjunto de X y f, g : X Y aplicacionescontinuas. Diremos que f es homotopico a g realtivo a A , denotado porf ' g rel A si existe una homotopa

H : X I Ytal que

H(x, 0) = f(x), para cualquier x XH(x, 1) = g(x), para cualquier x X

H(a, t) = f(a), para cualquier a A, t I

13

14 homotopa

Si f ' g rel A se tiene f(a) = g(a) para todo a A . Si A = , f ' grel A es equivalente a f ' g : X Y

Definicion 2.1.4 Una aplicacion f : X Y se denomina nulo homotopi-co relativo a A si f es homotopico a una aplicacion constante relativo a A

Proposicion 2.1.1 La homotopa relativo a A es una relacion de equivalen-cia en el conjunto de aplicaciones de X en Y

Demostracion

Reflexiva: f ' f rel A, para f : X Y , en efecto, definamos H :X I Y por H(x, t) = f(x)Simetra: Si H : f ' g rel A .Veamos que g ' f rel A, en efecto, definamos

F : X I Y

por

F (x, t) = H(x, 1 t)Transitiva : Si H : f ' g rel A y F : g ' h rel A. Veamos G : f ' h rel

A , en efecto,definamos

G : X I Ypor

G(x, t) =

{H(x, 2t) si 0 t 1

2

F (x, 2t 1) si 12 t 1

G es continua , puesto que la restriccion a cada uno de los conjuntos cerradosX [0, 1

2] y X [1

2, 1] es continua

Esas clases de equivalencia se denominan clases de homotopa relativo aA . Denotemos por [X, Y ]A al conjunto de estas clases de homotopa . Dadof : X Y usaremos [f ]A para denotar un elemento de [X, Y ]A determinadopor f.Para espacios X e Y la notacion [X, Y ] significa [X, Y ].Una pregunta que surge inmediatamente es se le puede dar una estructurade grupo al conjunto [X, Y ]A? , en las secciones posteriores daremos respuestaa esta pregunta

Proposicion 2.1.2 Sean f0, f1 : X Y homotopicos relativos a A X yg0, g1 : Y Z homotopicos relativos a B Y tal que f1(A) B , entoncesg0 f0 ' g1 f1 rel A

teora de homotopa elemental 15

Demostracion .- Sean H : f0 ' f1 rel A y G : g0 ' g1 rel B , la composicion

X I H Y g0 Zes g0 H : g0 f0 ' g0 f1relA, y la composicion

X I f1idI Y I F Zes G (f1 idI) : g0 f1 ' g1 f1 rel f1(B). Como A f1(B) hemosprobado que g0 f0 ' g0 f1 rel A y g0 f1 ' g1 f1 rel A por la transitividadde la relacion de homotopa resulta g0 f0 ' g1 f1 rel A

Definicion 2.1.5 Un espacio con punto base es un espacio topologico Xcon un punto fijo elegido x0 X llamado punto base

Sean X e Y espacios con punto base x0, y0 respectivamente .Una aplicacioncontinua f : X Y preserva punto base si, f(x0) = y0Definicion 2.1.6 Sean X e Y espacios con punto base x0, y0 respectivamentey f, g : X Y aplicaciones que preservan punto base , f es homotopico a gsi, f ' g rel x0 . El conjunto de las clases de equivalencia de aplicacionesque preservan punto base de X en Y por la relacion de homotopa relativoal punto base x0 se denotan [X, Y ]. Para cualquier aplicacion que preservapunto base f : X Y , [f ] denota la clase de homotopa determinada por f

Proposicion 2.1.3 Son equivalentes las siguientes afirmaciones:

1. la aplicacion continua f : Sn Y es nulo homotopico2. Existe una aplicacion continua F : Dn+1 Y tal que F |Sn= f3. Sea p0 un punto arbitrario de S

n , f : Sn Y es nulo homotopicorelativo a p0

Demostracion.-(1) (2) Sea c : Sn Y , c(y) = y0 para todo y Sn . Como f es nulo homotopico existe una homotopa H : f ' c tal queH(y, 0) = f(y) y H(y, 1) = c(y) = y0 para todo y Sn . Definamos

F (x) =

{y0 si 0 x 12

H( xx , 2 2 x ) si 12 x 1como H(y, 1) = y0, F esta bien definida y es continua pues la restriccion

a cada uno de los conjuntos cerrados {x Rn+1 : 0 x 12} y {x

Rn+1 : 12 x 1} es continua . Como H(y, 0) = f(y) para todo y Sn ,

16 homotopa

F |Sn= f(2) (3)Para f : Sn Y por (2) existe F : Dn+1 Y tal que F |Sn= f .Definamos una homotopa H : Sn I Y por

H(x, t) = F ((1 t)x+ tp0)

tenemos H(x, 0) = F (x) = f(x) y H(x, 1) = F (p0) para x Sn. ComoH(p0, t) = F ((1 t)p0 + tp0) = F (p0) para t I resulta que H es una homo-topa relativo a {p0} de f a una aplicacion constante . (3) (1) es inmediato

La categora homotopica de espacios con punto base es la cate-gora cuyos objetos son espacios con punto base y los morfismos las clases dehomotopa [f ], la composicion es definido por [f ] [g] = [f g] la proposicion2.1.2 garantiza que esta bien definida

Definicion 2.1.7 El n-esimo grupo de homotopa de un espacio X conpunto base n(X) es definido por

n(X) = [Sn, X]

para n 0

0(X) no es un grupo en general , 1(X) se denomina grupo funda-mental de X.

Una aplicacion f : Y1 Y2 que preserva punto base induce para cualquierespacio X con punto base una aplicacion

f : [X, Y1] [X, Y2]

definida porf[] = [f ]

Esta aplicacion esta bien definida , en efecto, si : X Y1 es tal que ' por la proposicion 2.1.2 f ' f luego f[] = [f ] = [f ] = f[]

Proposicion 2.1.4 Sean X, Y, Y1,Y2, Y3 espacios topologicos con punto ba-se. Se cumplen las siguientes afirmaciones :

1. Si f, g : Y1 Y2 son aplicaciones que preserva punto base y g ' f ,entonces g = f

2. Si id : X X es la aplicacion identidad , entonces id : [X, Y ] [X, Y ] es la aplicacion identidad


3. Si f : Y1 Y2,g : Y2 Y3 son aplicaciones que preservan punto baseentonces (g f) = g f

Demostracion.- Las afirmaciones 1,2 y 3 son consecuencias inmediatas dela definicion

Una aplicacion f : X1 X2 que preserva punto base induce para cual-quier espacio Y con punto base una aplicacion

f : [X2, Y ] [X1, Y ]definido por

f ([] = [f ]

esta aplicacion esta bien definida

Proposicion 2.1.5 Sean X, X1, X2, X3 , Y espacios con punto base. Secumplen las siguientes afirmaciones:

1. Si f, g : X1 X2 son aplicaciones preservando punto base, g ' fentonces g = f

2. Si id : X X es la aplicacion identidad , entonces id : [X, Y ] [X, Y ] es la aplicacion identidad

3. Si f : X1 X2,g : X2 X3 son aplicaciones preservando punto base,entonces (g f) = f g

Demostracion.-Las afirmaciones 1,2 y 3 son consecuencias inmediatas de ladefinicion

Sean X e Y espacios topologicos con punto base x0 , y0 respectivamente, definamos el sub espacio X Y de X Y como

X Y = (X {y0}) ({x0} Y )El producto smash , X Y es definido por

X Y = X Y(X {y0}) ({x0} Y )

denotaremos por x y los elementos de X Y donde x X , y Y

Proposicion 2.1.6 Sean X, Y, Z espacios topologicos con punto base , en-tonces

18 homotopa

1. [X Y, Z] = [X,Z] [Y, Z]2. [X, Y Z] = [X, Y ] [X,Z]Demostracion.- (1)Sean iX : X X Y y iY : X X Y las

inclusionesDefinamos

: [X Y, Z] [X,Z] [Y, Z]por

([]) = (iX([]), iY ([])

para [] [X Y, Z]. Veamos que es sobre , en efecto, sea ([1], [2]) [X,Z] [Y, Z] donde 1 : X Z y 2 : Y Z aplicaciones preservandopunto base , entonces existe una unica aplicacion : X Y Z tal que |X= 1 y |Y = 2 luego ([]) = ([1], [2])Veamos que es inyectiva, en efecto, supongamos que ([]) = ([]) en-tonces iX([]) = i

X([]) e i

Y ([]) = i

Y ([]) esto es, existen homotopas

H : |X' |X y F : |Y' |YDefinamos

G : (X Y ) I Zpor

G(x, t) =

{H(x, t) para x X

F (x, t) para x Yes una homotopa de a luego [] = []

(2).- Sean pY : Y Z Y y pZ : Y Z Z las proyecicionesDefinamos

: [X, Y Z] [X, Y ] [X,Z]por

([]) = (pY ([]), pZ([]))

para [] [X, Y Z] de la misma manera que (1) se prueba que es biyectiva

Como consecuencia de la parte 2 de la proposicion 2.1.5 tenemos

n(X Y ) = n(X) n(Y )para n 0

Dados los espacios topologicos X e Y , es denotado por Map(X, Y ) elespacio de funciones continuas con la topologa compacta abierta


Si X e Y son espacios con punto base, el espacio de funciones continuas quepreservan punto base, es denotado por Y X y es un sub espacios de Map(X, Y )

Proposicion 2.1.7 Sean X un espacio topologico de Hausdorff con puntobase x0, Y un espacio topologico de Hausdorff localmente compacto con pun-to base y0 , Z espacio topologico con punto base z0. Entonces la aplicacionasociada reducida

: ZXY ZY X

induce una aplicacion biyectiva

: [X Y, Z] [X,ZY ]DemostracionLa aplicacion esta definida por [f ] = [(f)]

Veamos que esta bien definida , en efecto, Sea g ' f , existe una homotopaH : (X Y ) I Z tal que H(x y, 0) = g(x y) ,H(x y, 1) = f(x y), H(x0 y, t) = z0, H(x y0, t) = z0. Sea p : X Y X Y la aplicacioncociente . La composicion

X Y I pidI (X Y ) I H Zes tal que H p idI(x0, y, t) = H(x0 y, t) = z0 y H p idI(x, y0, t) =H(x y0, t) = z0,la cual induce una aplicacion

H : (X I) Y Zla aplicacion asociada

(H) : X I ZYes una homotopa entre (g) y (f) pasando a clases de homotopa tenemos[g] = [(g)] = [(f)] = [f ]

Veamos que es sobre , en efecto, sea [g] [X,ZY ] donde g : X ZY .Como es sobre existe f : X Y Z tal que (f) = g ,por lo tanto existe[f ] [X Y, Z] tal que [f ] = [(f)] = [g]

Veamos que es inyectiva ,en efecto, supongamos [f ] = [g] o sea(f) ' (g) entonces existe una homotopa H : X I ZY tal queH(x, 0) = (f)(x) y H(x, 1) = (g)(x). Como es sobre existe una aplica-cion G : (XI)Y Z tal que G) = H. Sea q : XY I (XI)Yla aplicacion definida por q(x, y, t) = (x, t) y, la composicion

X Y I q (X I) Y G Z

20 equivalenica homotopica

es tal que G q(x0, y, t) = z0 y G q(x, y0, t) = z0 .Como p : X Y I (X Y ) I es una aplicacion cociente Gq induce una aplicacion F : (X Y ) I Z tal que F p = G q y F : f ' g , luego pasando a clasestenemos [f ] = [g]

Corolario 2.1.1 Sea X un espacio con punto base , entonces

n(X) = 0(nX) = 1(n1X)para n 0

2.2. Equivalencia homotopica y espacios

contraibles

Definicion 2.2.1 Dado un funtor T : TOP GA diremos que es un fun-tor de homotopa si T (f) = T (g)cuando f ' gDefinicion 2.2.2 A una aplicacion continua f : X Y se denomina unaequivalencia homotopica si existe una aplicacion continua g : Y Xtal que g f ' idX y f g ' idY . La aplicacion g se denomina inversohomotopico de f

Un espacio X es homotopicamente equivalente a Y si, existe una equi-valencia homotopica entre X e Y . En este caso se dice que X tiene el mismotipo de homotopa que Y y se denota X ' Y

Si T es un funtor de homotopa entonces los grupos T(X) y T(Y) sonisomorfos

Definicion 2.2.3 Un espacio topologico se denomina contraible si la apli-cacion identidad es homotopico a alguna aplicacion constante de X en X

Ejemplo 14 Sea Y un espacio topologico con punto base y0. Una trayecto-ria en Y es una aplicacion continua : I Y , a (0) se denomina puntoinicial y a (1) punto final. Al conjunto

P (Y, y0) = { : I Y : (0) = y0}con la topologa compacta abierta se denomina espacio de trayectorias deYP (Y, y0) es contraible al camino constante cy0, en efecto , bastara definir unaaplicacion continua


H : P (Y, y0) I P (Y, y0)

tal que H (f, 0) = f , H (f, 1) = cy0 para cualquier f como I es localmentecompacto la topologia compacta abierta es admisible , luego la aplicacionevaluacion e : P (Y, y0) I Y es continua. Consideremos la aplicacioncontinua

: I P (Y, y0) I Y (s, f, t) = e (f, s (1 t))

para todo s I , t I f P (Y, y0) la aplicacion asociada a es:

H : () : P (Y, y0) I Y I () (f, t) (s) = (s, (f, t))

= e (f, s (1 t))= f (s (1 t))

tenemos

H (f, 0) (s) = f (s)H (f, 0) (s) = f (0) = y0

como H(f, t)(0) = f(0) = y0.Podemos considerar a H : P (Y, y0) I P (Y, y0) como la aplicacion buscada .

El espacio

(Y, y0) = {f P (Y, y0) /f (0) = y0 = f (1)}

se denomina espacio de lazos basado en y0.

Ejemplo 15 El intervalo cerrado I es contraible; en efecto, definamos unahomotopa

H : I I Ipor F (s, t) = 1 (1 s)(1 t)

de la misma manera In es contraible y cualquier espacio homeomorfo aello es contraible por ejemplo el disco Dn

Ejemplo 16 El cono CX sobre X es contraible , en efecto , definamos unahomotopa

H : CX I CXpor H(< x, s >, t) =< x, 1 (1 s)(1 t) >

22 cofibracion

Proposicion 2.2.1 Cualquiera dos aplicaciones de un espacio arbitrario aun espacio contraible son homotopicos

Demostracion Sea X un espacio arbitrario , Y un espacio contraible , esto es,idY ' c , donde c : Y Y es una aplicacion constante . Sean f0, f1 : X Ydos aplicaciones arbitrarias, entonces

f0 = idY f0 ' cf0 = cf1 ' idY f1 = f1

Proposicion 2.2.2 Un espacio es contraible s y solo si tiene el mismo tipode homotopa que un espacio de un solo punto

Demostracion Supongamos que X es contraible, por la definicion 2.2.3 exis-te una homotopa H entre la aplicacion identidad idX : X X y la constantec : X X , c(x) = x0 para todo x X , si j : {x0} X es la inclusion lacomposicion cj = id{x0} y H : idX ' jc,luego c : X {x0} es una equiva-lencia homotopicaSupongamos que X es del mismo tipo de homotopa que un espacio de unsolo punto P entonces existen aplicaciones f : X P y g : P X tales queidX ' g f y como g f es constante , X es contraible.

Corolario 2.2.1 Cualesquiera dos espacios contraibles tienen el mismo tipode homotopa

Definicion 2.2.4 Un sub espacio A de X se denomina retracto de X si laincluson i : A Xtiene un inverso izquierdo , es decir, existe una aplicacioncontinua r : X A tal que r i = idA

A un sub espacio A de X se denomina retracto debil de X si i : A X tieneun inverso homotopico izquierdo , es decir, existe una aplicacion continuar : X A tal que ri ' idA

2.3. Cofibracion

Lo concerniente a los problemas de extension de aplicaciones continuases tema central en topologa . Dado un sub espacio A de X y una aplicacioncontinua f : A Y existe una aplicacion continua g : X Y tal queg |A= f? . Si Y = A y f = idA existe una retraccion X A ?El estudio de estos problemas se facilita enormemente si la inclusion i : A X satisface la condicion de cofribacion


Definicion 2.3.1 Una aplicacion continua : A X es una cofribacionsi, para cualquier espacio topologico Y y dadas las aplicaciones continuasf : X Y y G : A I Y tales que

G(a, 0) = f((a))

para cualquier a A, existe una aplicacion continua F : X I Y tal queF (x, 0) = f(x)y F ((a), t) = G(a, t) para cualquier x X , a A, t I ,esto es , el siguiente diagrama conmuta

A X f Y

F X I

A A I G Y

En la seccion 2.2 hemos introducido el concepto de espacio de trayectoriasPY = Y I , definamos la aplicacion = : PY Y por 0() = (0) para PYUna definicion equivalente a la dada en 2.3.1 es la siguiente:Una aplicacion continua : A X es una cofribacion si tiene la siguientepropiedad para todo espacio topologico Y. Dadas una aplicacion continuaf : X Y y una homotopa g : A PY tal que 0g = f. Entonces existeuna homotopa h : X PY tal que 0h = f y h = g

Ag PY

h 0X

f YUn caso especial es, cuando A es un sub espacio de X , es decir , cuando

(X,A) es una pareja de espacios

Definicion 2.3.2 Una pareja de espacios (X,A) es un par cofibrado si,la inclusion i : A X es una cofibracion

Proposicion 2.3.1 (X,A) es un par cofibrado si y solo si X 0A I esun retracto de X I

Demostracion.Supongamos que es un par cofibrado . Veamos la exis-tencia de una aplicacion continua r : X I X 0 A I tal que

24 cofibracion

r |X0AI= id, en efecto, como la inclusion i : A X es una cofibracion,el siguiente diagrama conmuta

X 0 A I id X 0 A I

X I r X 0 A Iluego r es la retraccionSupongamos que r : X I X 0 A I es una retraccion , sean Y unespacio topologico, f : X Y y G : A I Y tales que G |A0= f |A.Veamos la existencia de una aplicacion continua H : X I Y tal que elsiguiente diagrama

X 0 A I fG Y

X I H Yconmute , en efecto, tomando H como la composicion

X I X 0 A I f GYtenemos el resultado

Proposicion 2.3.2 Sean : A X, : A Y y : X Y aplicacionescontinuas tales que = . Supongamos que admite inverso izquierdo ,entonces es cofibracion si es cofibracion

Demostracion .- Sea Y un espacio topologico , : Y X inverso izquierdode . Dado el diagrama conmutativo

Ag PA

0X

f ZVeamos la existencia de una aplicacion continua h : X PA tal que

h = g, 0 h = f , en efecto, en el diagramaA = A

g PA 0Y

X f Ztenemos f = f = 0 g pues = . Com es una co-fibracion existe L : Y PA tal que L = g y 0 L = f . Pon-gamos h = L : X PA, tenemos h = L = L = g y


0 h = 0 L = f = f .

Dada una aplicacion : A X la aplicacion cilindro M() es definidacomo el push out

M()j X

H A I 1 A

Tenemos el siguiente diagrama

AH PM()

1X

j M()

donde H esta definido por H(a)(t) = H(a, t) y 1(f) = f(1). El diagramaresulta conmutativo, en efecto, 1(H(a)) = H(a)(1) = H(a, 1) = H1(a) =j (a) para todo a A o sea 1 H = j Si es una cofribacion , existe h : X PM() tal que h = H y 1h = j.Ahora ,1 h = 1 H luego es un encaje , esto prueba la siguiente

Proposicion 2.3.3 Si : A X es una cofibracion entonces es un encaje

De acuerdo a esta proposicion sin perdida de generalidad podemosrestringirnos al caso cuando A es un sub espacio de X y la inclusion

Proposicion 2.3.4 Si A es contraible y j : A X es una cofibracion,entonces la aplicacion cociente p : X X

Aes una equivalencia homotopica

Demostracion.- Sea a0 punto base de A : Como A es contractible, existeuna homotopa H : A I A tal que H(a, 0) = idA y H(a, 1) = a0 paratodo a A. Veamos la existencia q : X

A X tal que p q ' id y q p ' id ,

en efecto, tenemos el siguiente diagrama conmutativo

A X id X

F X I

A

j0 A I jH XComo j es cofibracion , existe F : XI X tal que F (j1) = j H y

F j0 = idX tenemos Ft : X X definido por Ft(x) = F (x, t), en particularF0(x) = F (x, 0) = x = 1X(x) y F1(a) = F (a, 1) = j H(a, 1) = a0 constante

26 H-espacios

para todo a A , Luego F1 induce una aplicacion continua q : XA X quehace conmutativo al diagrama

XF1 X

p qXA

luego F : X I X es una homotopa entre la identidad y q p enefecto, F (x, 0) = x y F (x, 1) = F1(x) = q p(x)

Definamos una aplicacion continua

G :X

A I X

A

porG(p(x), t) = p Ft(x)

G es una homotopa entre la identidad y p q

2.4. H-Espacios

Los espacios topologicos considerados en esta seccion son los espaciostopologicos con punto base y las aplicaciones continuas son las que preservanpunto base. Y X denota el espacio de funciones que preservan punto base conla topologa compacta abierta y [X, Y ] el conjunto de clases de homotopaque preservan punto base de aplicaciones que preservan punto base de X enY. Queremos dotar de una estructura algebraica a este conjunto para ello esnecesario introducir los espacios de Hopf

Definicion 2.4.1 Un espacio topologico Y con punto base y0 es un H- es-pacio si existe una aplicacion continua

: Y Y Yllamada multiplicacion, tal que si c : Y Y es una constante , c(y) = y0,entonces es una identidad salvo homotopa , es decir, las composiciones

Y(c,idY ) Y Y Y

Y(idY ,c) Y Y Y

homotopicas a la identidad idY


Un H-espacio Y es homotopicamente asociativo si el diagrama

Y Y Y idY Y Y idY Y Y Y

conmuta salvo homotopa

Un H-espacio Y es homotopicamente conmutativo si el diagrama

Y Y T Y Y Y = Y

conmuta salvo homotopa ,donde T (x, y) = (y, x)

Una aplicacion : Y Y es un inverso homotopico si el diagramaY Y Y Y Y (, idY ) (idY , )

Yc Y c Y


Definicion 2.4.2 Un H-espacio es un H-grupo si es homotopicamenteasociativo con inverso homotopico

Proposicion 2.4.1 Sea Y un H-grupo y sea X un espacio de Hausdorff conpunto base . Entonces Y X es un H-grupo

Demostracion.- Sea : Y Y Y la multiplicacion con inverso ho-motopico : Y Y y sea : Y X Y X Y X el homeomorfismo.Lamultiplicacion en Y X

: Y X Y X Y X

se define como = idX

donde idX : (Y Y )X Y X , idX (g) = g . El inverso homotopico : Y X Y X

se define como = idX . La multiplicacion es asociativa con inverso ho-motopico por consiguiente Y X un H-grupo

28 H-espacios

Ejemplo 17 Espacio de lazos . Sea Y un espacio topologico con puntobase y0 su espacio de lazos (Y ) tiene una estructura de H-grupo , en efecto,la multiplicacion

: Y Y Yesta definida por

(, ) =

{(2t) 0 t 1

2

(2t 1) 12 t 1

para todo , Y , es continua. Si c : Y Y es la aplicacionconstante 0 : I Y , 0(t) = y0. Veamos que (0, ) ' y (, 0) ' para todo Y , en efecto, la homotopa

H : Y I Yes definida por

H(, s)(t) =

{( 2t

1+s) 0 t 1+s

2

y01+s

2 t 1

Para ver que es homotopicamente asociativo debemos construir unahomotopa entre (, idY ) y (idY , ), en efecto, la homotopa

H : Y Y Y I Yesta definida por

H(, , , s)(t) =

( 4t

1+s) 0 t 1+s

4

(4t 1 s) 1+s4 t 2+s

4

(4t2s2s )

2+s4 t 1

El inverso homotopico : Y Y esta dada por ()(t) = (1 t).Veamos (, idY ) ' c y (1Y , ) ' c ,en efecto, la homotopa

H : Y I Yesta definida por

H(, s)(t) =

{(2(1 s)t) 0 t 1

2

(2(1 s)(1 t)) 12 t 1

Definicion 2.4.3 Si X e Y son H - espacios y f : X Y una aplicacioncontinua preservando punto base , diremos que f es una H-aplicacion si eldiagrama

X X X X f f fY Y Y Y



Si este diagrama conmuta estrictamente , diremos que f es homomorfismo. Es claro que cualquier homomorfismo es una H-aplicacion pero el reciprocono es verdad en general

Teorema 2.4.1 Si Y es un H-grupo, entonces [X, Y ] es un grupo para cual-quier espacio X con punto base

Demostracion.- Definamos una operacion binaria

: [X, Y ] [X, Y ] [X, Y ]([f ], [g]) = [f g]

donde f g = (f g) 4X

Veamos que esta operacion esta bien definida, en efecto, sean f, g

:X Y aplicaciones continuas tales que f ' f , g ' g entonces existenhomotopas F : f

' f y G : g ' g. Definamos la aplicacionM : X X I Y Y

porM(x, y, t) = (F (x, t), G(y, t))

M es una homotopa entre f g y f g, luegof g = (f g) 4X

' (f g) 4X= f g

Veamos la propiedad asociativa , en efecto

(f g) h = ((f g) h) 4= (( (f g) 4) h) 4= (( id) (f g h) (4 id)) 4' ((id ) (f g h) (id4)) 4= (f (g h) 4) 4= (f (g h)) 4= f (g h)

Veamos la existencia del elemento neutro; en efecto, sea c : X Y laaplicacion constante c(x) = y0 para todo x X

f c = (f c) 4= i1 f' idY f= f

30 H-coespacios

donde i1 : Y Y Y definida por i1(y) = (y, y0) . De la misma manera seprueba que c f ' f

Veamos la existencia del inverso, en efecto, sea : X Y el inversohomotopico

( f) f = (( f) f) 4= ( id) 4 f' c

de la misma manera se prueba f ( f) ' cProposicion 2.4.2 Sea Y un H-grupo, X e Y espacios con punto base, unaaplicacion f : X Z preservando punto base induce un homomorfimo degrupos

f : [Z, Y ] [X, Y ]Demostracon.- La aplicacion f : [Z, Y ] [X, Y ] esta definida por

f [g] = [g f ]. Veamos que esta bien definida, en efecto, si h ' g entoncesexiste una homotopa H : ZI Y tal que H(z, 0) = h(z) y H(z, 1) = g(z)la composicion

X I fidI Z I H Yes la homotopa entre h f y g f , luego

(g h) f = (g h) 4 f= (g h) (f f) 4= (g f h f) 4= g f h f

Corolario 2.4.1 Si f es una equivalencia homotopica entonces f es un iso-morfismo de grupos

Demostracon.-Si f es una equivalencia homotopica , existe una apli-cacion continua g : Z X tal que g f ' idX y f g ' idZ . Como(g f) = f g, idX = id , (g f) = (idX) y (f g) = (idZ) tenemos elisomorfismo

2.5. H-Coespacios

Sean X e Y espacios con punto base x0 y y0 respectivamente . Su productocartesianoXY es un espacio con punto base x0y0 . El producto reducidoo cuna de X e Y , X Y , es un sub espacio de X Y

X Y = X {y0} {x0} Y


Sean f : X Z, g : Y Z aplicaciones continuas preservando puntobase . Definamos la aplicacion

< f, g >: X Y Zpor

< f, g > (x, y) =

{f(x) si y = y0g(y) si x = x0

Sean f : X Y , g : Z Q aplicaciones continuas preservando puntobase .Definamos la aplicacion preservando punto base

f g : X Z Y Qpor

(f g)(x, z) = (f(x), g(z))

Definicion 2.5.1 Un espacio topologico X con punto base x0 es un H-coespcio si existe una aplicacion continua

: X X Xllamada comultiplicacion tal que si c : X X es la aplicacion constantecon valor el punto basico, c(x) = x0 para todo x X , entonces es unacoidentidad salvo homotopa , es decir, las composiciones

X X X (idX ,c) X

X X X (c,idX) X

son homotopicos a la identidad idX

Un H- espacio X es homotopicamente coasociativo, si el diagrama

X X X

idXX X iX X X X


Una aplicacion : X X es un coinverso homotopico si el diagramaX X X X X (idX , ) (, idX)

Xc X c X

32 H-coespacios

es conmutativo salvo homotopa.

Un H- espacio X es homotopicamente coconmutativo, si el diagrama

X = X

X X T X X

es conmutativo salvo homotopa , donde T (x, y) = (y, x)

Definicion 2.5.2 Un H- coespacio es un H-cogrupo si es homotopica-mente coasociativo con coinverso homotopico

Definicion 2.5.3 Si X e Y son H-coespacios y f : X Y es una aplicacioncontinua preservando punto base, diremos que f es un H-coaplicacion si eldiagrama

XX X X

f f fY

Y Y Y


Proposicion 2.5.1 Sea X un espacio de Hausdorff con punto base . Supon-gamos que X es H-cogrupo con comultiplicacion : X X X . EntoncesY X es un H-grupo

Demostracion Sea : X X X la comultiplicacion con coinversohomotopico : X X y sea : Y X Y X Y XX el homeomorfismo . Lamultiplicacion en Y X

: Y X Y X Y X

se define como

= idY donde idY : Y

XX Y X , idY (f) = idY f. El inverso homotopico

: Y X Y X

se define como = idYLa multiplicacion es asociativo con inverso por consiguiente Y X un H-grupo


Ejemplo 18 S1 se identifica con II

= [0,1]{0,1} ,S1 es un H-cogrupo con la co-

multiplicacion : S1 S1 S1 definido por

(t) =

{(2t, ) 0 t 1

2

(, 2t 1) 12 t 1

y un coinverso homotopico (t) = 1 t

Corolario 2.5.1 nY es un H-espacio para n 1

Proposicion 2.5.2 Sean X e Y espacios con punto base . Supongamos queX es H-cogrupo. Entonces X Y es H-cogrupo

Demostracion.Sea : X X X la comultiplicacion en X con coin-verso : X X . La comultiplicacion

: X Y (X Y ) (X Y )esta definida por

= g ( idY )donde g : (X X) Y (X Y ) (X Y ) es un homeomorfismo

El coinverso : X Y X Y

esta definida por = idY

La comultiplicacion es homotopicamente asociativo con coinverso , luegoX Y es un H-cogrupo

Sea X un espacio con punto base . La n-esima suspencion de X esdefinido por

nX = Sn XPor la proposicion 2,5,2 como S1 es un H-cogrupo

nX = (S1 S1 ... S1) X = S1 n1X

es H-cogrupo ,hemos probado la siguiente

Proposicion 2.5.3 Sea X un espacio con punto base . Entonces nX es unH-cogrupo para n 1

34 H-coespacios

Teorema 2.5.1 Sea Y un espacio con punto base y X un H-cogrupo . En-tonces [X, Y ] es un grupo

Demostracion.Definamos una operacion binaria

: [X, Y ] [X, Y ] [X, Y ]

([f ], [g]) = [f g]donde f g = 5 (f g)

Veamos que esta operacion esta bien definida, en efecto, sean f, g: X

Y aplicaciones continuas tales que f ' f , g ' g entonces f g ' f g,

luego f g = 5 (f g) ' 5 (f g) =f g pasando a clases setiene la igualdad . El elemento neutro es la clase de la aplicacion constante.El inverso de [f ] es [f ]

Proposicion 2.5.4 Sea X un H-cogrupo, la aplicacion f : Y Z preser-vando punto base induce un homomorfismo de grupos

f : [X, Y ] [X,Z]

Demostracion.- La aplicacion

f : [X, Y ] [X,Z]

esta definida porf[g] = [f g]

Veamos que esta bien definida , en efecto, si g ' g tenemos f g ' f g y

pasando a clases de homotopa obtenemos la igualdad Veamos que f es unhomomorfismo , en efecto,

f (g h) = f 5 (g h) ' 5 (f g f h) = f g f h

Corolario 2.5.2 Si f es una equivalencia homotopica entonces f es un iso-morfismo

Demostracion.- Como f es una equivalencia homotopica existe una apli-cacion g : Z Y tal que g f ' idY y g f ' idZ , luego (g f) = g f =(idY ) = id y (f g) = f g = (idZ) = id de aqu resulta que f es unisomorfismo


Lema 2.5.1 Sea X un conjunto con dos multiplicaciones Y satisfaciendo:

1. Existe e X tal quex e = x e = x = e x = e x

para todo x X2. (x x) (y y) = (x y) (x y), para todo x, x , y, y X entonces y son iguales y ambas son asociativas y conmutativas

Demostracion. Veamos que las operaciones y son iguales, en efecto,x y = (x e) (e y) = (x e) (e y) = x y

Veamos que es conmutativo, en efecto,x y = (e x) (y e) = (e y) (x e) = y x = y x

de la misma manera se prueba que es conmutativoVeamos que es asiciativo, en efecto,

x (y z) = (x e) (y z) = (x y) (e z) = (x y) zde la misma manera se prueba que es asociativo

Teorema 2.5.2 Sean X un H-cogrupo, Y un H- grupo entonces las dos multi-plicaciones en [X, Y ] inducidas por y son iguales y ambas son asociativasy conmutativas

Demostracion.-Sean [f ], [g] [X, Y ], la multiplicacion inducida por esta dada por [fg] es la clase de homotpopa representada por la composicion

X X X fg Y Y 5Y

La inducida por esta dada por [f g]es la clase de la homotopa repre-sentada por la composicion

X4 X X fg Y Y Y

para hacer uso del lema 2.5.1 es suficiente probar que, para [f ], [f], [g], [g

]

[X, Y ], se cumple la siguiente igualdad

([f ] [f ]) ([g] [g ]) = ([f ] [g]) ([f ] [g ])

36 H-coespacios

lo que es lo mismo

(f f ) (g g) ' (f g) (f g)

esto es, el siguiente diagrama

X X X 44 (X X) (X X) (ff

)(gg ) (Y Y ) (Y Y ) Y Y 5 Y

X

4 X X (X X) (X X) (fg)(fg ) (Y Y ) (Y Y ) 55 Y Y Y

debe conmutar salvo homotopa . Para ello bastara probar que los siguientesdiagramas conmutan

1.

X X X 44 (X X) (X X) = (X X x0 x0) (x0 x0 X X)

id T id (X x0 X x0) (x0 X x0 X)X

4 X X (X X) (X X)

donde T (x, y) = (y, x) . Consideremos (x) = (x, x) XX XX

( ) 4(x) = ( )(x, x) x X= ((x), (x))= (x

, x, x, x)

= id T id(x , x , x , x)= id T id (44)(x , x)= id T id (44) (x)

2.

(X X) (X X) (ff)(gg ) (Y Y ) (Y Y )

id T id id T id(X x0 X x0) (x0 X x0 X) (f,f

,g,g

(Y y0 Y y0) (y0 Y y0 Y )

(X X) (X X) (fg)(fg ) (Y Y ) (Y Y )

es inmediata la conmutatividad

Teora de Homotopa elemental 37

3.

(Y Y y0 y0) (y0 y0 Y Y ) = (Y Y ) (Y Y ) Y Y 5 Y id T id

(Y y0 Y y0) (y0 Y y0 Y )

(Y Y ) (Y Y ) 55 Y Y Y (55) id T id(y, y , y0, y0) = (55)(y, y0, y , y0)

= (y, y)

= 5((y, y), y0)= 5 ( )(y, y , y0, y0)

de la misma manera se prueba

(55) id T id(y0, y0, y, y) = 5 ( )(y0, y0, y, y)

Proposicion 2.5.5 Sea X un H-cogrupo homotopicamente conmutativo , Yun espacio con punto base , entonces [X, Y ] es un grupo abeliano

Demostracion.-Sean [f ], [g] [X, Y ] :Veamos f g ' g f ,en efecto,f g = 5 (f g)

' 5 (f g) T ' 5 (g f) = g f

Corolario 2.5.3 Sea X un espacio con punto base, el n-esimo grupo de ho-motopa

n(X) = [Sn, X]

es un grupo abeliano para n 2

2.6. Construccion de James

Sea X un espacio con punto base , para cada k 0. Definamos

Jk(X) =xk

donde Xk = X . . .X

kvecesy es la relacion de equivalencia generada

por

(x1, x2, x3, ..., xi1, , xi+1, ..., xk) (x1, x2, ....., xj1, , xj+1, ..., xk)

38 construccion de James

para cualquier 1 i, j k, esto es, el punto base conmuta en la k-upla concualquier elemento. Los elementos de Jk(X) son denotadas por [x1, x2, ..., xk]

Si k = 0 , Jk(X) = Si k = 1, Jk(X) = X

La inclusion Xk1 Xk , (x1, x2, ..., xk1) (x1, x2, ..., xk1, ) induceuna aplicacion

ik : Jk1 Jktal que el diagrama

Xk1 Xkqk1 qk Jk1(X)

ik Jk(X)conmuta donde qk : X

k Jk(X) es la aplicacion cociente . Sea C subconjuntocerrado de Jk1(X) , como qk1 es continua q1k1(C) es cerrado en X

k1 .Veamos que ik(C) es cerrado en Jk(X)para ello basta probar que q

1k (ik(C))

es cerrado en Xk, en efecto,

q1k (ik(C)) = ki=1Eidonde Ei = {(x1, ..., xi1, , xk+1, ...xk) Xk : (x1, ..., xi1, xk+1, ...xk) q1k1(C)} es cerrado en Xk debido a que Ei = X i1Xkipi1i (q1k1(C)) ,pii : X

k Xk1, pii(x1, ...., xk) = (x1, ...xi1, xi+1, ..xk) es la proyeccion coor-denada . Luego ik aplica Jk1(X) homeomorficamente sobre el sub espaciocerrado ik(jk1(X)) de Jk(X) , podemos identificar Jk1(X) con un sub es-pacio cerrado de Jk(X)Tenemos

= X0 X1 X2 ......Xk Xk+1 ....

Definicion 2.6.1 Definimos la Construccion de James por

J(X) = k0Jk(X)

J(X) es un espacio topologico con la topologa debil y cada Jk(X) es un subespacio cerrado de J(X)

Proposicion 2.6.1 Sea X un espacio de Hausdorff localmente compacto conpunto base , entonces J(X) es un H- espacio estrictamente asociativo con lasiguiente propiedad universal: Cualquier aplicacion f : X M en un H- es-pacio estrictamente asociativo M, puede extenderse a una unica H- aplicacion


f : J(X)M , esto es, el siguiente diagrama conmutaJ(X)

q fX

fMDemostracion .- Tenemos el siguiente diagrama conmutativo

Xn Xm = Xn+m qn+m Jn+m(X)qn qm nm

Jn(X) Jm(X)esto es nm (qn qm) = qmn . Com X es localmente compacto de Hausdorffqn qm es una aplicacion cociente

nm([x1, .., xn], [y1, ..., ym]) = [x1, ..., xn, y1, ..., ym]

nm induce una unica aplicacion

: J(X) J(X) J(X)tal que el diagrama

Jn(X) Jm(X) nm Jn+m(X)

J(X) J(X) J(X)conmuta para cualquier n,m . Sea C un conjunto cerrado en J(X). Veamosque 1(C) es cerrado en J(X) J(X), en efecto, C Jn+m(X) es cerradoen Jn+m(X) para cualquier n,m y

1nm(C Jn+m(X)) es cerrado en Jn(X)

Jm(X) luego

1(C) (Jn(X) Jm(X)) = 1nm(C Jn+m(X))es cerrado en Jn(X) Jm(X) lo que prueba que es continua , luego

J(X) es un H-espacio con multiplicacion : J(X) J(X) J(X)Podemos definir

f : J(X)Mpor

f([x1, x2, ..., xk]) = f(x1)f(x2)....f(xk)

f es una H-aplicacion que hace conmutativo el siguiente diagrama

J(X)

q fX

fM

40 construccion de James

esto es , f q = f

Observacion .- La proposicion sigue siendo valida si reemplazamos aM por un H-espacio homotopicamente asociativo en este caso el diagramaresulta ser homotopicamente conmutativo

Denotemos por X(n) = X . . . X nveces

Proposicion 2.6.2 Para cada n

Jn(X)

Jn1(X) X(n)

Demostracion.- Sean qn : Xn Jn(X), pn : Xn X(n) las aplicaciones

cociente. La aplicacion pn : Xn X(n) se factoriza atraves de Jn(X) , esto

es existe una aplicacion pn : Jn(X) X(n) tal que el siguiente diagramaconmuta

Xnpn X(n)

qn pnJn(X)

o sea pnqn = pn , pn es una aplicacion cociente . Como p

n(Jn(X)) = ,

pn induce una aplicacion

pn :Jn(X)

Jn1(X) X(n)

es un homeomorfismo por ser inyectiva, sobre y una aplicacion cociente

Definicion 2.6.2 Dado un espacio X con punto base . Definamos la Sus-pencion de Freudental E : X X como la aplicacion adjunta a laaplicacion identidad X X

Esto es, dado x X , E(x) es un lazo en X dada por E(x)(t) = [x, t] X . La aplicacion E suele pensarse como la inclusion de X en X

Considerando M = X y f = E en el diagrama anterior obtenemosuna unica H- aplicacion

: J(X) Xtal que el siguiente diagrama conmuta

J(X) X X


Aun mas en el caso que X es un CW-complejo, que sera definido en elproximo captulo, : J(X) X resulta ser una equivalencia homotopicaTeorema 2.6.1 (Teorema de James) Si X es un CW- complejo conectablepor trayectorias ,entonces

1. : J(X) X es una equivalencia homotopica debil2. Existe una equivalencia homotopica

(J(X)) ' k0Xk

conocida como la Descomposicion de James

2.7. Desviacion de aplicaciones entre H-espacios

Dados X, Y H-espacios conviene saber si una aplicacion arbitraria f :X Y es o no un H-aplicacion, con este proposito se introduce una nuevaaplicacion D(f) : X X Y conocida como la desviacion de f.Definicion 2.7.1 Sea X un espacio con punto base x0 el fat-wedge, FWk(X)de X es el sub espacio de Xk = X . . .X

kveces

FWk(X) = {(x1, x2, ..., xk) Xk : xj = x0 para algun j}Si k = 1, FW1(X) = {x0}

Si k = 2, FW2(X) = X X

Si k 3 tenemos X X ... X FWk(X)Definicion 2.7.2 Un espacio X tiene categora n si la aplicacion diagonaln+1 : X Xn+1 se factoriza atraves de FWn+1(X), esto es, si existe unaaplicacion

n+1 : X FWn+1(X)tal que el siguiente diagrama

Xn+1 Xn+1

n+1 jFWn+1(X)

donde j : FWn+1(X) Xn es la aplicacion inclusion ,es homotopica-mente conmutativo

42 desviaciones de aplicaciones

Observacion .-Una condicion equivalente para que un espacio con puntobase tenga categora n es que tenga un cubrimiento abierto de exactamenten abiertos contraibles en X

Lema 2.7.1 Si A tiene categora n entonces tiene categora m para todom n

Demostracion.- Bastara probar que A tiene categora n+1 para afirmarque A tiene categora m para m > n. Veamos que la diagonal 4 : A An+2se factoriza atraves de FWn+2 , en efecto, sea t : A

n+1 An+2 la inclusiont(a1, a2, ..., an+1) = (a1, a2, ..., an+1, an+1) tenemos t 4 = 4 4 : A An+1es la aplicacion diagonal. Como A tiene categora n existe una aplicacionn+1 : A FWn+1(A) que hace homotopicamente conmutativo el siguientediagrama

An+1 An+1

n+1 i1 FWn+1(X)

o sea i1n+1 ' entonces existe una homotopa H : A I An+1

tal que H(a, 0) = i1n+1(a) y H(a, 1) =

(a) .Como t(FWn+1) FWn+2

pongamos n+2 = tn+1 como queremos que el diagrama

A An+2

n+2 i2 FWn+2(X)

homotopicamente conmute o sea i2 n+2 ' 4, definamos una homotopa

H : A I An+2

por

H = t Htenemos

H(a, 0) = t H(a, 0) = t i1n+1(a) = i2 t n+1(a) = i2 n+2(a)

H(a, 1) = t H(a, 1) = t 4(a) = 4(a)esto prueba que i2 n+2 ' 4


Hemos definido anteriormente que una aplicacion f : X Y entre H-espacios es una H- aplicacion si el diagrama siguiente es homotopicamenteconmutativo

X X ff Y YX YX

f Yesto es, f X ' Y (f f)

Definicion 2.7.3 Sean X un H- espacio , Y un H-grupo y f : X Y unaaplicacion , la desviacion de f es la aplicacion

D(f) : X X Y

dada por

D(f)(x1, x2) = f(x2)1.f(x1)1f(x1.x2)Y (fX(x1, x2), Y (f(x2)1, f(x1)1)

donde X es la multiplicacion en X y Y la multiplicacion en Y

La desviacion tiene las siguientes propiedades :

1. f es una H- aplicacion si, y solo si D(f) '

2. Sea Z un H- grupo y g : Y Z una H- aplicacion , entonces

D(gf) = gD(f)

Definicion 2.7.4 Las desviaciones superiores Dn(f) : Xn Y se definen

por induccion como sigue:D1(f) = fD2(f) = D(f)...Dn(f)(x1, x2, ..., xn) = (Dn1(f)(x1, ..., xn2, xn))1Dn1(f)(x1, ..., xn1))1Dn1(f)(x1, ..., xn2, xn1.xn))

Proposicion 2.7.1 La restriccion de Dn(f) a FWn(X),Dn(f) |FWn(X), esuna aplicacion nulohomotopico

44 sucesion exacta

Demostracion .- Veamos por induccion en n. Para n = 1 , D1(f) |FW1(X)es la aplicacion que manda punto base en el punto base es una aplicacionnulohomotopico.Ahora supongamos por hipotesis de induccion que el resultado vale pa-ra n o sea Dn(f) |FWn(X) es nulohomotopico . Veamos para n + 1 o seaque Dn+1(f) |FWn+1(X) es nulohomotopico, en efecto, sea (x1, x2, .., xn+1) FWn+1(X) tenemos

Dn+1(f)(x1, x2, ..., xn+1) = (Dn(f)(x1, ..., xn1, xn+1))1

(Dn(f)(x1, ..., xn))1 Dn(f)(x1, ..., xn1, xn.xn+1)

por hipotesis de induccion el primer o segundo factor son nulohomotopicoslos dos terminos restantes se cancelan salvo homotopa

2.8. Sucesion exacta de Barrat- Puppe

Sean A y B conjuntos de puntos con punto base a0,y b0 respectivamente, f : A B una funcion que preserva punto baseDenotaremos Ker(f) = f1(b0) la pre- imagen del punto base b0

Una sucesion de conjunto con punto base y aplicaciones que preservanpunto base

.... An+1 fn+1 An fn An1 fn1 ...se denomina exacta si cada aplicacion fn preserva punto base y Ker(fn) =Im(fn+1)

Sean X e Y espacios topologicos que preservan punto base y [X, Y ] denotael conjunto de las clases de homotopa de aplicaciones que preservan puntobase bajo la relacion de homotopa que preservan punto base .

Proposicion 2.8.1 Sea f : X Y una aplicacion preservando punto basey j : Y Y f CX la inclusion, entonces la sucesion

[Y f CX,Z] j [Y, Z] f [X,Z]

es exacta para cualquier espacio Z con punto base

Demostracion .- Veamos Im(j) Ker(f ) , en efecto, sea [h] Im(j)entonces existe [g] [Y f CX,Z] tal que j[g] = [g j] = [h] o sea h ' g j.


Para que [h] Ker(f ) f [h] = [h f ] = [constante] o sea h f 'constante relativo al punto base , pero h f ' g j f ' constante relativoal punto base .Por lo tanto, bastara probar que j f ' Constante raltivo alpunto base , en efecto, tenemos el diagrama siguiente conmutativo

X I p CXi0 iX

jf Y f CXdonde i0(x) = (x0, 0), p : X I CX la proyeccion. La composicion

i p es una homotopa entre j f y la aplicacion constante relativo al puntobase

Veamos Ker(f ) Im(j), en efecto, sea [] Ker(f ) entonces f [] =[ f ] = [constante] o sea f ' constante , existe una homotopa

H : X I Ztal que H(x, 0) = f(x), H(x, 1) = z0 , H(x0, t) = z0 . Para que [] Im(j) s, y solo si exite [h] [Y f CX,Z] tal que j[h] = [h j] = [] osea h ' j tenemos el siguiente diagrama conmutativo

X I H Zq HCX = CX

o sea H q = H donde q es la aplicacion cociente . Tenemos la aplicacion H : Y CX Z y el siguiente diagrama conmuta

Y CX H Zp

Y f CX = Y f CXy |Y = o sea j = esto prueba [] Im(j

Dada una aplicacion continua F : X Y existe una sucesion de espaciosy aplicaciones

Xf Y j Y fCX k (Y fCX)jCY l ((Y fCX)jCY )kC(Y fCX) ....

Proposicion 2.8.2 Tenemos las siguientes afirmaciones:

1. (Y f CX) j CY es homotopicamente equivalente a la Y

46 sucesion exacta

2. ((Y f CX)j CY )k C(Y f CX) es homotopicamente equivalente ala X

Demostracion .-(1)

(Y fCX)jCYCY

' Y fCXY' CXX

= X

(2)

((Y fCX)jCY )kC(Y fCX)C(Y fCX) '

((Y fCX)jCY )Y fCX

' CYY' Y

Proposicion 2.8.3 El siguiente diagrama es homotopicamente conmutativo

(Y f CX) j CY ((Y f CX) j CY ) k C(Y f CX)' 'X

f Y

Como consecuencia de las proposiciones anteriores tenemos el siguiente :

Teorema 2.8.1 (Barrat- Puppe) Sean X,Y espacios topologicos con puntobase y f : X Y , una aplicacion preservando punto base. Entonces existeuna sucesion exacta larga

... [Y fCX,Z] [Y, Z] [X,Z] [Y fCX,Z] [Y, Z] [X,Z]

para cualquier Z espacio topologico con punto base

Captulo 3

TEORIA DE HOMOLOGIA

Comenzaremos este captulo enunciando los axiomas de Eilenberg-Steenrodpara luego construir un funtor de homologa de la categora de parejas de es-pacios topologicos a la categora de grupos abelianos que verifiquen estosaxiomas y como consecuencia tendremos la homologa singular

3.1. Axiomas de Eilenberg -Steenrod

Sea (X,A) una pareja de espacios topologicos, esto es, A un sub espaciode X y f : (X,A) (Y,B) una aplicacion de parejas de espacios , esto es,es una aplicacion continua f : X Y tal que f(A) B

A la categora cuyos objetos son parejas de espacios topologicos y losmorfismos aplicaciones de parejas se denomina Categora de parejas deespacios y se denota TOP 2

Si f, g : (X,A) (Y,B) son aplicaciones de parejas . Se dice que fes homotopico a g y denotado por f ' g si existe una aplicacion continuaF : X I Y tal que F (x, 0) = f(x), F (x, 1) = g(x) y F (A I) B, estoes , la homotopa F es una aplicacion

F : (X,A) I = (X I, A I) (Y,B)Definicion 3.1.1 Una Teora de Homologa h es una familia de funto-res covariantes de la categora de parejas de espacios topologicos a la categorade grupos abelianos

hn : TPO2 GA

para n Z, junto con transformaciones naturales

47

48 Axiomas de Eilenberg-Steenrod

: hn(X,A) hn1(A)para cualquier n Z y cualquier pareja de espacios (X,A) llamado ho-

momorfismo de conexion , satisfaciendo los siguientes axiomas:

1. Axioma (Naturalidad) Para cualquier aplicacion f : (X,A) (Y,B)el diagrama siguiente conmuta

hn(X,A)fn hn(Y,B)

hn1(A)

(f |A)n1 hn1(B)

2. Axioma (exactitud )Para cualquier pareja de espacios (X,A) existeuna sucesion exacta larga

... hn+1(X,A) n+1 hn(A) in hn(X) jn hn(X,A) n ..donde i : (A, ) (X,) y j : (X,) (X,A) son las aplicacionesinclusion

3. Axioma (homotopa )Si f, g : (X,A) (Y,B) son aplicaciones ho-motopicas , f ' g, entonces f = g : h(X,A) h(Y,B)

4. Axioma (Escision) Si U es un sub conjunto abierto de X cuya clausu-ra ,U , esta contenido en el interior de A, Int(A),( esto es, U V Apara algun conjunto abierto V)entonces la inclusion j : (X U,A U) (X,A) induce un isomorfismo

j : hn(X U,A U) hn(X,A)para cada n Z

5. Axioma(dimension) Sea P un espacio que consiste de un solo punto,entonces hn(P ) = 0 para n 6= 0

Una teora de homologa generalizada es una teora de homologah que satisface los primeros cuatro axiomas excepto el axioma dimension

Una teora de homologa ordinaria es una teora de homologa h quesatisface los cinco axiomas

Teora de Homologa 49

En este caso , h(X,A) se denomina la homologa de la pareja (X,A)con coeficientes en G = h0(P ) y es denotado por H(X,A;G). EscribiremosH(X,A) para la homologa entera H(X,A;Z)

Proposicion 3.1.1 El axioma 3 es equivalente a la siguiente afirmacion:Sean j0, j1 : (X,A) (X,A) I aplicaciones definidas por j0(x) = (x, 0),j1(x) = (x, 1) entonces j0 = j1

Demostracion .- Supongamos que se cumple el axioma 3 y sean j0, j1 :(X,A) (X I, A I)las aplicaciones definidas por j0(x) = (x, 0), j1(x) =(x, 1) .Veamos j0 = j1 , en efecto, definamos una aplicacion continua

F : (X,A) I (X,A) I

porF (x, t) = (x, t)

tenemos F (x, 0) = (x, 0) = j0(x) ,F (x, 1) = (x, 1) = j1(x) y F (AI) AI. Luego F : j0 ' j1 y por el axioma 3 tenemos j0 = j1

Ahora supongamos que las aplicaciones f, g : (X,A) (Y,B) son ho-motopicos f ' g y se cumple la afirmacion . Veamos f = g, en efecto,como f ' g existe una aplicacion continua F : (X,A) I (Y,B) tal queF (x, 0) = f(x) , F (x, 1) = g(x) y F (A I) Btenemos

F j0(x) = F (x, 0) = f(x)F j1(x) = F (x, 1) = g(x)

luego como j0 = j1 tenemos

f = (F j0) = Fj0 = Fj1 = (Fj1) = g

Proposicion 3.1.2 El axioma 4 es equivalente a la siguiente afirmacion:Sean X1 , X2 sub espacios de X tales que X1 es cerrado y X = Int(X1) Int(X2). Entonces la inclusion i : (X1;X1 X2) (X;X2) induce un iso-morfismo

i : hn(X1;X1 X2)=hn(X;X2)

Demostracion .- Supongamos que se cumple el axioma 4 y que X1 yX2 son subespacios de X tales que X1 es cerrado y X = Int(X1) Int(X2).Veamos i : hn(X1;X1 X2) hn(X;X2) es un isomorfismo , en efecto,

50 Axiomas de Eilenberg-Steenrod

pongamos A = X2 y U = X X1, luego como X1 es cerrado en X , U esabierto en X, la clausura de U

U CX1 C(Int(X1)) Int(X2) Int(A)como

X U = X (X X1) = X1

A U = X2 (X X1) = X1 X2la inclusion i : (X U ;A U) = (X1;X1 X2) (X A) = (X,X2) poraxioma 4 induce un isomorfismo

i : hn(X;X1 X2) hn(X,X2)para cada n

De la misma manera se prueba la implicacion que falta

Definicion 3.1.2 Una teora de cohomologa h es una familia de fun-tores contravariantes de la categora de parejas de espacios topologicos a lacategora de grupos abelianos

hn : TPO2 GApara n Z, junto con transformaciones naturales

: hn(X,A) hn1(A)para cualquier n Z y cualquier pareja de espacios (X,A) llamado homo-morfismo de conexion , satisfaciendo los siguientes axiomas

1. Axioma (Naturalidad) Para cualquier aplicacion f : (X,A) (Y,B)el diagrama siguiente conmuta

hn(X,A)fn hn(Y,B)

hn1(A)

(f |A)n1 hn1(B)2. Axioma (exactitud )Para cualquier pareja de espacios (X,A) existe

una sucesion exacta larga

... hn+1(X,A) n+1 hn(A) in hn(X) jn hn(X,A) n ..donde i : (A, ) (X,) y j : (X,) (X,A) son las aplicacionesinclusion


3. Axioma (homotopa ) Si f, g : (X,A) (Y,B) son aplicacioneshomotopicas , f ' g entonces f = g : h(X,A) h(Y,B)

4. Axioma (Escision) Si U es un sub conjunto abierto de X cuya clausuraU esta contenido en el interior de A, Int(A),( esto es, U V A paraalgun conjunto abierto V)entonces la inclusion j : (X U,A U) (X,A) induce un isomorfismo

j : hn(X U,A U) hn(X,A)para cada n Z

5. Axioma (dimension) Sea P un espacio que consiste de un solo punto,entonces hn(P ) = 0 para n 6= 0

Una teora de cohomologa generalizada es una teora de cohomologa h

que satisface los primeros cuatro axiomas execpto el axioma de la dimensionUna teora de cohomologa ordinaria es una teora de cohomologa h

que satisface los cinco axiomas

En este caso , h(X,A) se denomina la cohomologa de la pareja (X,A)con coeficientes en G = h0(P ) y es denotado por H(X,A;G). EscribiremosH(X,A) para la cohomologa entera H(X,A;Z) que estudiaremos en elproximos captulos

3.2. Homologa de complejo de cadenas

Definicion 3.2.1 Un complejo de cadenas C = (Cq, q) es un par desucesiones: una de grupos abelianos (Cq)qZ y otra de homomorfismos q :Cq Cq1 tal que q1q = 0 para toda q Z.

Con frecuencia un complejo de cadenas es representado por un diagramade la forma

....q+2 Cq+1 q+1 Cq q Cq1 q1 .....

A los elementos de Cq se denominan q-cadenasEn las aplicaciones de estas nociones usualmente se considera Cq = 0 si

q < 0 ,esto es,

C : ....Cqq Cq1 ...... 2 C1 1 C0 0

en este caso se denomina complejo de cadenas no negativo

52 complejo de cadenas

Definicion 3.2.2 Un complejo de cadenas aumentado es un complejode cadenas no negativo con un epimorfismo : C0 Z tal que 1 = 0.

A un complejo de cadenas C = (Cq, q) esta asociada de modo naturalciertos subgrupos de Cq en cada dimension q.

Zq(C) = Kerq

Bq(C) = Imq+1

A los elementos de Zq(C) se denominan q- ciclos del complejo C y a losde Bq(C) q-bordes del complejo C.

Definicion 3.2.3 De la condicion qq+1 = 0 , para todo q, tenemos Bq(C) Zq(C). Al grupo cociente

Hq(C) =Zq(C)

Bq(C)

Se denomina el q-esimo grupo de homologa del complejo CLos elementos de Hq(C) se denominan clases de homologa y si z Zq(C) ,la clase de homologia a la cual z pertenece es denotada por z +Bq(C)

Definicion 3.2.4 Dados dos complejos de cadenas (cq, q) y C = (cq,

q).

Una aplicacion de cadenas : C C es una familia de homomorfismos = (q)qZ donde q : Cq C q es tal que q q = q1 q, para todaq Z

Podemos imaginar a una aplicacion de cadenas : C C como unaescalera

... cq+1 q+1 cq q cq1 .... q q q1

... cq+1q+1 cq

q cq1 ...sujeto a la condicion que cada cuadrado de este diagrama constituye una

subdiagrama conmutativo

Proposicion 3.2.1 Sean : C C , : C C dos aplicaciones decadenas , entonces : C C es una aplicacion de cadenas


Demostracion .Sean C = (Cq, q)qZ , C = (C q, q)qZ y C

= (C q , q )qZ,

como = (q) y = (q) .Definamos

( )q = q qq Zluego

( )q1q = q1 (q1 q)= (q1 q) q= q (

q q)

= q ( )q

Definicion 3.2.5 Sea C = (Cq, q) un complejo de cadena .Un sub com-plejo de cadena es una sucesion de subgrupos Dq Cq y de homomorfismoq : Dq Dq1 tal que q = q |Dq

Una sucesion de subgrupos Dq Cq define un subcomplejo s y solo si esestable en relacion a los q, es decir ,q(Dq) Dq1

Definicion 3.2.6 Dado un subcomplejo D C el complejo cociente E =CD

es el complejo de cadena E = (Eq, q)qZ donde

Eq =CqDq

y q : Eq Eq1

se obtiene de q pasando al cociente ( visto que q(Dq) Dq1)

A los elementos de Eq =CqDq

denotaremos por c + Dq donde c Cq y qactua segun la formula

q(c+Dq) = (q(c)) +Dq1

Se verifica inmediatamente que q1 q = 0

La operacion de suma esta dada por:

c+Dq + c +Dq = (c+ c) +Dq

Proposicion 3.2.2 Dada una aplicacion de cadenas : C C

1. (q(Cq)) define un subcomplejo de C

2. (Ker(q))define un subcomplejo de C

54 complejo de cadenas

Demostracion Sean C = (Cq, q) , C = (C q, q) y Gq = q(Cq)

(1).- Veamos q(Gq) Gq1, en efecto, sea x q(Gq) entonces existe y Gq,y = q(z) para algun z Cq tal que x = q(y) de aqu x = q(y) =q(q(z)) = q1 q(z) Gq1(2).- Veamos q(Ker(q)) Ker(q1) , en efecto, sea x q(Ker(q)),x = q(y) para algun y Ker(q), q(y) = 0 tenemos

q1(x) = q1 q(y) = q q(y) = q(0) = 0Estos subcomplejos seran denotadas por:

Ker() = (Ker(q), q) y Im() = (q(Cq), q)

Definicion 3.2.7 Una sucesion

Af B g C

de grupos abelianos y homomorfismos es una sucesion exacta en B siIm(f) = Ker(g)

Una sucesion exacta de la forma

0 A f B g C 0se denomina una sucesion exacta corta

Definicion 3.2.8 Una sucesion exacta corta se denomina escindible o se-parable si una de las siguientes condiciones equivalentes se tiene

1. Existe un homomorfismo h : B A tal que h f = idA2. Existe un homomorfismo : C B tal que g = idC

Definicion 3.2.9 Un complejo de cadena C es un complejo acclico siHq(C) = 0 para toda q

Definicion 3.2.10 Si C = (Cq, q) ,C = (C q,

q) ,C

= (C q , q ) son com-

plejos de cadenas, = (q) : C C , = (q) : C C aplicaciones decadenas . Diremos que la sucesion

C C C

es exacta si la sucesionCq C

q C

q

es exacta para cada q, es decir, Im(q) = Ker(q)

homologa de complejo de cadenas 55

Ejemplo 19 Si D es un subcomplejo de C , i = (iq) donde iq : Dq Cq lasinclusiones, i : D C es una aplicacion de cadenas.Ejemplo 20 Sea E = C

Del complejo cociente , j = (jq) donde jq : Cq Eq

las proyecciones entonces j : C E = CD

es una aplicacion de cadenas.

Proposicion 3.2.3 La sucesion 0 D i C j CD 0 es exacta.

Demostracion.- Para cada q la sucesion de grupos abelianos 0 Dq iqCq

jq CqDq 0 es exacta.

Consideremos dos pares de complejos de cadena D C , D C , unaaplicacion de cadenas : C C tal que (D) D induce una aplicacionen el cociente

q :CqDq C

q

Dq

Proposicion 3.2.4 Si : (C,D) (C , D) es una aplicacion de pares decadenas entonces : C

D C

D es una aplicacion de cadenas

DemostracionVeamos la conmutatividad del siguiente diagrama

CqDq

q CqDq

q qCq1Dq1

q1 Cq1Dq1

en efecto

q q(c+Dq) = q(q(c)) +Dq1 = q1 q(c) +Dq1 = q1 q(c+Dq)

3.3. Homomorfismo inducido

Sea = (q) : C = (Cq, q) C = (C q, q) una aplicacion de cadenas ,larelacion qq = q1q implica q(Zq(C)) Zq(C ) y q(Bq(C)) Bq(C )luego q : Cq C q para cada q, induce de modo natural un homomorfismode grupos de homologa

Hq() : Hq(C) Hq(C )Hq()(cq +Bq(C)) = q(cq) +Bq(C

)

denominado homomorfismo inducido

56 homomorfismo inducido

Proposicion 3.3.1 El homomorfismo inducido tiene las siguientes propie-dades:

1. Si : C C es la identidad ,entonces Hq() es la identidad2. Si : C C es nula ,entonces Hq() es nula.3. Si : C C y : C C son aplicaciones de cadenas entonces

Hq( ) = Hq() Hq()

Por comodidad denotaremos por ? en lugar de H() para el homomor-fismo inducido en homologa por

Demostracion (1).- ?q(cq +Bq(C)) = q(cq) +Bq(C) = cq +Bq(C)

(2).- ?q(cq +Bq(C)) = q(c) +Bq(C) = Bq(C ) pues es nula

(3).- ()?q(cq+Bq(C)) = ()q(cq)+Bq(C ) = ?q(?q(cq+Bq(C)) =?q ?q(cq +Bq(C)

Proposicion 3.3.2 Sean , : C C aplicaciones de cadenas, entonces + : C C es una aplicacion de cadenas,y

( + )? = ? + ?

Demostracion Sean C = (Cq, q),C = (C q,

q) , = (q), = (q).Veamos

+ es una aplicacion de cadenas, en efecto, q(q+q) = qq+qq =q1 q + q1 q = (q1 + q1) q

Veamos ( + )? = ? + ?, en efecto,

( + )?q(cq +Bq(C)) = (q + q)(cq) +Bq(C)

= q(cq) + q(cq) +Bq(C)

= ?(cq +Bq(C)) + ?(cq +Bq(C))

Teorema 3.3.1 Si 0 A i B j C 0 es una sucesion exacta decomplejos de cadenas, entonces

....... Hq(A) i? Hq(B) j? Hq(C) Hq1(A) i? .........es una sucesion exacta larga de grupos de homologia


Demostracion Para definir el homomorfismo conexion . Consideremosel siguiente diagrama

0 Aq+1 iq+1 Bq+1 jq+1 Cq+1 0

q+1 q+1 q+10 Aq iq Bq jq Cq 0

q q q0 Aq1 iq1 Bq1 iq1 Cq1 0

q1 q1 q10 Aq2 iq2 Bq2 jq2 Cq2 0

sea cq + Bq(C) Hq(C) con cq Zq(C) o sea q (cq) = 0 Como jq

es epimorfismo existe bq Bq tal que jq(bq) = cq. Tenemos 0 = q (cq) =q jq(bq) = jq1

q(bq) o sea

q(bq) Ker(jq1) = Im(iq1) lo que implica que

existe aq1 Aq1 tal que iq1(aq1) = q(bq). Veamos que q1(aq1) = 0,en efecto, 0 = q1

q(bq) =

q1iq1(aq1) = iq2q1(aq1) y como iq2 es

monomorfismo se tiene q1(aq1) = 0Definamos

(c+Bq(C)) = aq1 +Bq1(A)

Veamos que esta bien definida, en efecto, si cq = cq +Bq(C) existe bq Bq

tal que jq(bq) = cq y iq1(a

q1) =

q(bq) como c

q cq = q (cq+1) para algun

elemento cq+1 Cq+1 y jq+1 es sobre existe bq+1 Bq+1 tal que jq+1(bq+1) =cq+1Ahora

jq(bq bq q+1(bq+1) = jq(bq) jq(bq) jqq+1bq+1

= cq cq q+1jq+1(bq+1)= cq cq q+1(cq+1)= cq cq cq + cq = 0

luego bq bq q+1(bq+1) Kerjq = Im(iq) o sea bq bq q+1(bq+1) =iq(aq) para algun aq AqPor otra parte

iq1(aq1 aq1 q(aq)) = iq1(aq1) iq1(aq1) iq1q(aq)= iq1(aq1) iq1(aq1) qiq(aq)= q(bq) q(bq) q(bq bq q+1(bq+1))= 0

58 homomorfismo inducido

como iq1 es monomorfismo aq1aq1 = q(aq) o sea aq1 = aq1+Bq1(A)loque prueba que esta bien definida

Veamos la exactitud en Hq(B) o sea Im(i?) = Ker(j?), en efecto,j?qi?q = (jqiq)? = 0 esto prueba Im(i?) Ker(j?) Para la otra inclusiontomemos un elemento bq + Bq(B) Ker(j?q),q(bq) y j?q(bq + Bq(B)) = 0,probemos que bq +Bq(B) Im(i?), en efecto,tenemos

0 = j?q(bq +Bq(B)) = jq(bq) +Bq(C)

de donde se deduce jq(bq) Bq(C), esto es , jq(bq) = q+1(cq+1) para alguncq+1 Cq+1 .Como jq+1 es sobre existe bq+1 Bq+1 tal que jq+1(bq+1) = cq+1luego

jq(bq) = q+1(cq+1)

= q+1jq+1(bq+1)= jq(

q+1(bq+1))

de aqui se deduce que bqq+1bq+1 Ker(jq) = Im(iq) luego bqq+1bq+1 =iq(aq) para algun aq Aq

iq1q(aq) = qiq(aq)= q(bq q+1bq+1)= q(bq)= 0

y como iq1 es monomorfismo q(aq) = 0 o sea aq es un ciclo,pasandoa clases aq + Bq(A) Hq(A) luego i?q(aq + Bq(A)) = bq + Bq(B) o seabq + Bq(B) Im(i?) Veamos la exactitud en Hq(C) o sea Im(j?) =Ker() .Para probar la inclusion Ker() Im(j) tomemos un elemen-to cq +Bq(C) Ker(), q(cq) = 0. Veamos cq +Bq(C) Im(j), en efecto ,0 = (cq +Bq(C)) = aq1 +Bq1(A) donde jq(bq) = cq y iq1(aq1) = q(bq)luego aq1 Bq1(A) ,esto es , aq1 = q(aq) para algun aq Aq

jq(bq iq(aq)) = jq(bq) jqiq(aq)= jq(bq)= cq

de donde

j?((bq iq(aq)) +Bq(B)) = jq(bq iq(aq)) +Bq(C)= cq +Bq(C)


o sea cq +Bq(C) Im(j?). Para probar la inclusion Im(j?) Ker() bastaprobar j? = 0, en efecto ,sea bq +Bq(B) Hq(B), q(bq) = 0, luego

j?(bq +Bq(B)) = (jq(bq) +Bq(B))= aq1 +Bq1(A)= Bq1(A) pues aq1 = 0

Veamos la exactitud en Hq1(A) o sea Im() = Ker(i?). Para probarIm() Ker(i?) basta probar i? = 0, en efecto,sea cq + Bq(C) Hq(C),(cq) = 0

i?(cq +Bq(C)) = i?(aq1) +Bq1(B)= iq1(aq1) +Bq1(B)= (bq) +Bq1(B)= Bq1(B)

Para probar que Ker(i?) Im()tomemos un elemento arbitrario aq1+Bq1(A) Ker(i?q), q1(aq1) = 0 veamos aq1 + Bq1(A) Im(), enefecto, 0 = i?q(aq1 + Bq1(A)) = iq1(aq1) + Bq1(B) esto implica queiq1(aq1) Bq1(B), esto es, iq1(aq1) = q(bq) para algun bq Bq

Tenemosq jq(bq) = iq1

q(bq)

= jq1iq1(aq1)= 0

pasando al cociente tenemos jq(bq) + Bq(C) Hq(C) luego (jq(bq) +Bq(C)) = aq1 +Bq1(A) lo que prueba Ker(i?) Im()

Proposicion 3.3.3 -Si

0 A i B j C 0 f g h

0 A i B j C 0

es un diagrama conmutativo de aplicaciones de cadenas con filas exactas,entonces

.. Hq(B) j? Hq(C) Hq1(A) i? Hq1(B) .. g? h? f? g?

.. Hq(B) jstar Hq(C )

Hq(A) istar Hq(B) ..

es tambien un diagrama conmutativo

60 homotopia de cadenas

Demostracion. Como if = gi por la proposicion 1.5 i?f? = (if)? =

(gi)? = g?i?, de la misma manera h?j? = j?g? .Veamos h? = f? ,en efecto,

f?(cq +Bq(C)) = f?(aq1 +Bq1(A))= fq1(aq1) +Bq1(A)= (hq(cq) +Bq(C

))= h?(cq +Bq(C))

3.4. Homotopa de cadenas

Si C = (Cq, q) y C = (C q,

q) son complejos de cadena podemos deter-

minar un nuevo complejo de cadena

Hom(C,C ) = (Hom(C,C )q, q )

donde Hom(C,C )q =

mZ Hom(Cm, Cq+m) , esto es, un elemento f de este

grupo es una sucesion

f = {fm : Cm C q+m}

de homomorfismos.

q : Hom(C,C)q Hom(C,C )q1

esta definido por

q (f) = q+mfm (1)qf m 1m}qZ

resulta q q+1 = 0 , Z0(Hom(C,C

)) consiste de todas las aplicaciones decadenas C C , esto es, una aplicacion de cadenas f : C C es un 0-ciclo, decir que dos aplicaciones de cadenas f, g : C C son homologas significaque existe H Hom(C,C )1 tal que 1 = f g a esta nocion se denominahomotopa de cadenas

Definicion 3.4.1 Dadas dos aplicaciones de cadenas

f, g : C = (Cq, q) C = (C q, q)

una homotopa de cadenas H de f a g ,denotada por H : f ' g es unasucesion de homomorfismos H = (hq) donde hq : Cq C q+1 tal que , paratodo q.

qhq + hq1q = fq gq


Diremos que f y g son homotopicos si tal H existe

Proposicion 3.4.1 La relacion de homotopa de cadenas ' es una relacionde equivalencia

DemostracionReflexiva: 0 : f ' f

Simetrica:H : f ' g H : g ' f

Transitiva:H : f ' g y T : g ' k H + T : f ' k

Denotaremos por [f ] la clase de homotopa de f

Proposicion 3.4.2 Si f ' g : C C y f ' g : C C entoncesf f ' gg

Demostracion Si H : f ' g tenemos f H : f f ' f gSi H : f ' g tenemos H g : f g ' gg por la transitividad de la relacion deequivalencia ' resulta f f ' ggSi se verifica la relacion dada en la proposicion 1.9 diremos que la relacionde homotopa es compatible con la composicion

Proposicion 3.4.3 Si f, g : C C son homotopicos de cadena entonces

f? = g? : H?(C) H?(C )

Demostracion Sea cq +Bq(C) Hq(C) , q(cq) = 0

(f?q g?q)(cq +Bq(C)) = fq(cq) gq(cq) +Bq(C )= (q+1hq + hq1q)(cq) +Bq(C

)= (q+1hq(cq) + hq1q(cq)) +Bq(C

)= q+1hq(cq) +Bq(C

)= Bq(C

)

Definicion 3.4.2 Una aplicacion de cadenas f : C C es una equivalen-cia homotopica si existe g : C C aplicacion de cadena tal que fg ' idCy gf ' idC

Proposicion 3.4.4 Si f : C C es una equivalencia homotopica entoncesf? : H?(C) H?(C ) es un isomorfismo


Demostracion . Como fg ' idC y gf ' idC se tiene f?g? = (fg)? =(idC)? = id y g?f? = (gf)? = (idC)? = id lo que prueba que f? es unisomorfismo

Definicion 3.4.3 Un complejo de cadenas C es contractible si idC ' 0o equivalentemente C ' 0

Proposicion 3.4.5 Si C es contractible entonces H?(C) = 0

Demostracion . Como idC ' 0 tenemos

id = (idC)? = 0? = 0 : H?(C) H?(C)

Proposicion 3.4.6 Si H y G son grupos abelianos y tenemos

Hf G g H

son tales que gf = idH , entonces G = f(H)Ker(g) y f : H= f(H)

Demostracion .Dado x G , x fg(x) Ker(g) luego x = fg(x) + y, y Ker(g) .Veamos f(H) Ker(g) = {0}, en efecto, z = f(t) para algunt H y g(z) = 0 luego 0 = g(z) = gf(t) = idH(t) = t de aqu z = f(0) = 0 .Ahora veamos que f es monomorfismo , esto es, Ker(f) = 0, en efecto , seay Ker(f),f(y) = 0 de aqu y = idH(y) = gf(y) = g(0) = 0 luego y = 0

Proposicion 3.4.7 Sea C un complejo acclico , esto es, H?(C) = 0 en-tonces C ' 0 s y solo si para todo q , Zq(C) es un sumando directo deCq

Demostracion () Sea H : idC ' 0 ,es decir ,H = (hq) y los hq verificanla igualdad qhq1 +hq2q1 = idCq1 . Para cada bq1 Bq1(C) = Imq =Kerq1 , q1(bq1) = 0, qhq1(bq1)+hq2q1(bq1) = idCq1(bq1) = bq1luego qhq1(bq1) = bq1 o sea qhq1 |Bq1(C)= idBq1(C) por la proposicion1.13

Cq = hq1(Bq1(C)) Zq(C)lo que prueba Zq(C)es un sumando directo de Cq()Sea Zq(C) un sumando directo de Cq . Veamos C ' 0 , en efecto, existetq1 : Bq1(C) Cq con qtq1 = idBq1(C) es decir,

Cq = tq1(Bq1(C)) Zq(C)= tq1(Bq1(C))Bq(C)


Definamos para cada q , hq : Cq Cq+1 tal que q+1hq + hq1q = idCq , enefecto, definamos

hq |Bq(C) = tqhq |tq1(Bq1(C)) = 0

Para cada bq Bq(C) = Zq(C), q(bq) = 0, luegoq+1hq(bq) + hq1q(bq) = q+1tq(bq)

= bq

Para cada x tq1(Bq1(C)) ,x = tq1(bq1) para algun bq1 Bq1(C) =Zq1(C) luego

q+1hq(x) + hq1q(x) = hq1q(x)= hq1q(tq1(bq1))= hq1(bq1)= tq1(bq1)= x

esto prueba q+1hq + hq1q = idCq

Definicion 3.4.4 Si f : C = (Cq, q) C = (C q, q) es una aplicacion decadenas definamos un nuevo complejo de cadena Cf , la Aplicacion Conode f

(Cf )q = Cq Cq1, q (y, x) = (q(y) + fq1(x),q1(x))

Tenemos

q+1 q (y, x) = q+1(q(y) + fq1(x),q1(x))= (q+1(

q(y) + fq1(x)) + fq(q1(x)), q(q 1(x)))

= (q+1 q(y) + q+1 fq1(x) fqq1(x), q(q1(x)))= (0, 0)

Si C = 0 ,f = 0 entonces C+ = Cf se denomina Suspension de C

C+q = Cq1, +q = q1

luegoHq(C

+) = Hq1(C)

A la aplicacion cono de la identidad , idC : C C, Cid, se denominaCono de C y se denota Con(C)


Tenemos una sucesion exacta corta de complejo de cadenas

0 C i Cf p C+ 0las aplicaciones de cadenas dadas por

i(y) = (y, 0), p(y, x) = x

Lema 3.4.1 Si Cf ' 0 entonces i ' 0 y p ' 0Demostracion .- Supongamos que Cf ' 0, esto es, idCf ' 0 entonces

existe para cada q Z un homomorfismohq : (Cf )q (Cf )q+1

tal queq+1h

q + h

q1

q = id

Definamos un homomorfismo para cada q Zhq : C

q (Cf )q+1

porhq(y) = h

q(y, 0)

tenemos

q+1hq(y) + hq1q(y) =

q+1h

q(y, 0) + h

q1(

q(y), 0)

= q+1hq(y, 0) + h

q1(

q (y, 0))

= (q+1hq + h

q1

q )(y, 0)

= id(y, 0)= (y, 0)= iq(y)

luego H = (hq)qZ : i ' 0Para la segunda parte definamos un homomorfismo para cada q Z

hq : (Cf )q C+q+1por

hq = pq+1 hqtenemos

+q+1 hq + hq1 q = +q+1 pq+1 hq + p hq1 q= pq q+1 hq + pq hq1 q= pq(

q+1 hq + hq1 q )

= pq id= pq

luego H = (hq)qZ : p ' 0


Proposicion 3.4.8 Si el cono de la aplicacion f : C = (Cq, q) C =(C q,

) es contractible entonces f es una equivalencia homotopica

Demostracion Suponiendo Cf ' 0. Veamos la existencia de una aplica-cion de cadenas g : C C tal que g f ' idC y f g ' idC en efecto ,haciendo uso del lema 3.4.1 tenemos i ' 0,entonces existe una homotopa decadenas H = (hq)qZ : i ' 0. Definamos para cada q Z

gq : Cq C q y q : C q C q+1por

hq(y) = (q(y), gq(y))

tenemos

(y, 0) = iq(y)= q+1 hq(y) + hq1 q(y)= q+1(q(y), gq(y)) + (q1(

q(y)), gq1(

(y)))= (q(q(y) + fq(gq(y)),q(gq(y))) + (q1(q(y)), gq1(q(y)))= (q+1(q(y) + fq gq(y) + q1(q(y)), gq1(q(y)) q(gq(y)))

por igualdad de pares

q+1(q(y) + fq gq(y) + q1(q(y)) = y

gq1(q(y)) q(gq(y)) = 0luego

q+1 q + q1 q = id fq gq

gq1 q = q gqesto prueba que existe una aplicacion de cadenas g = (gq)qZ : C C quees inverso derecho de f o sea f g ' id

Por otra parte por el mismo lema tenemos p ' 0 entonces existe unahomotopa de cadenas H = (hq)qZ : p ' 0. Definamos para q Z

gq : Cq Cq y q : Cq Cq+1

por

hq(y, x) = gq(y) + q1(x)


tenemos

x = pq(y, x)

= (+q+1hq + hq1q )(y, x)

= +q+1(gq(y) + q1(x)) + hq1(

q(y) + fq1(x),q1(x))

= +q+1(gq(y) + q1(x)) + g

q1(

q(y) + fq1(x)) + q2(q1(x))

= +q+1 gq(y) + +q+1 q1(x) + gq1(q(y) + gq1 fq1(x)) q2 q1(x)= (q gq + gq1 q)(y) + (q q1 + gq1 fq1 q2 q1)(x)

luego

q q1 + q2 q1 = gq1 fq1 id

q gq = gq1 qesto prueba la existencia de una aplicacion de cadenas g : C C inversoizquierdo de f o sea f g = idVeamos que g = g, en efecto

g = g id = g (f g) = (g f) g = id g = g

Definicion 3.4.5 Un complejo de cadenas C = (Cq, q) es libre si Cq eslibre para cada q Z

Proposicion 3.4.9 En un complejo libre C = (Cq, q) el grupo de ciclosZq(C) es un sumando directo de Cq

Demostracion Los subgrupos de un grupo libre son libres por lo tantoBq(C) es libre entonces existe un homomorfismo g tal que la composicion

Bq1(C)g Cq q Bq1(C)

q g = idBq(C). De la proposicion 3.4.6 Zq(C) es un sumando directo deCq

Proposicion 3.4.10 Si f : C C es una aplicacion de cadenas entoncesel homomorfismo conexion de la sucesion exacta

0 C i Cf p C+ 0coincide con f : H(C) H(C )


Demostracion Consideremos el diagrama

0 C qiq Cfq

pq C+q = Cq1 q q +q = q1

0 C q1iq1 Cfq1

pq1 C+q1 = Cq2

Veamos que = f , en efecto, sea cq1+Bq1(C) Hq1(C), q1(cq1) = 0,tenemos

q (cq, cq1) = (

q(cq) + fq1(cq1),q1(cq1))

= (q(cq) + fq1(cq1), 0), pues q1(cq1) = 0

= iq(q(cq) + fq1(cq1))

luego aplicando la definicion del homomorfismo conexion 4 tenemos(cq1 +Bq1(C)) = fq1(cq1) + q(c

q) +Bq1(C

)= fq1(cq1) +Bq1(C ) pues q(c

q) Bq1(C )

= f(cq1 +Bq1(C))

o sea 4 = fProposicion 3.4.11 Si f : H(C) H(C ) es isomorfismo donde f :C C es una aplicacion de cadenas ,entonces Cf es acclico

Demostracion .- Veamos que H(Cf ) = 0 , en efecto, consideremos lasucesion exacta de homologa asociada a la sucesion exacta corta de complejode cadenas

0 C i Cf p C+ 0

. Hq+1(C+) Hq(C ) i Hq(Cf ) p Hq(C+) Hq1(C ) f f

. Hq(C) Hq1(C)por la exactitud y como f es isomorfismo Hq(C ) = Im(f) = Ker(i) y

Im(p) = Ker(f) , tenemos la sucesion exacta

Ker(f) Hq(Cf ) Im(p)veamos que Ker(i) = 0 , en efecto, sea cq +Bq(C

) Ker(i) ,q(cq) = 0

68 modelos acclicos

0 = i(cq +Bq(C)) = iq(cq) +Bq(Cf )

de donde resulta iq(cq) = 0 y como iq es monomorfismo c

q = 0 o sea

Ker(i) = 0Veamos Imp = 0, en efecto , como f es isomorfismo Kerf = 0 luegoImp = Kerf = 0, luego obtenemos la sucesion exacta

0 Hq(Cf ) 0por lo tanto H(Cf ) = 0

Proposicion 3.4.12 Si f : C C es una aplicacion de cadenas entrecomplejos de cadenas libres tal que f : H(C) H(C ) es isomorfismoentonces f es una equivalencia homotopica

Demostracion Para que f sea equivalencia homotopica de acuerdo conla proposicion 3.4.8 basta probar Cf ' 0 , en efecto, como f es isomorfismopor la proposicion 3.4.11, Cf es acclico . Como la suma de dos grupos libreses libre tenemos (Cf )q = C

q Cq1 es libre, luego por la proposicion 3.4.9

Zq(Cf ) es sumando directo de (Cf )q. Concluimos por la proposicion 3.4.7 queCf ' 0

3.5. Teorema de modelos acclicos

Definicion 3.5.1 Una categora con modelos es una categora Cjunto con un conjuntoM de objetos de C llamado modelos . Sea T : C

GA un funtor covariante de la categora C a la categora de grupos abelianosUna base para T es un conjunto {gj}J tal que gj T (Mj) para ciertoMj M de modo que para todo objeto X de C el conjunto

{T (f)gj}jJ,fHom(Mj ,X)es una base de T (X)

Diremos que T es un funtor libre con modelos en M si tiene una basecon modelos en MSea ahora GA la categora de complejos de cadena y

T : (C,M) GAun funtor ,diremos que T es libre con modelos enM si cada funtor Tq es

libre con modelos en M para toda q


Diremos que T es aciclico en dimensiones positivas si Hq(T (M)) = 0 siq > 0 y M M

Teorema 3.5.1 (Teorema de los modelos acclicos )Sea C una categora conmodelos M. Sean T, T : C GA tales que T es libre y no negativo y T esacclico en dimensiones positivas . Entonces toda transformacion natural

: H0(T ) H0(T )esta inducido por una transformacion natural : T T y si y

son dos transformaciones naturales inducen la misma transformacion naturalH0(T ) H0(T ) entonces son naturalmente homotopicas , esto es, existe unatransformacion natural : T T tal que (X) es una homotopa entre(X) y (X) para todo objeto X

Demostracion.-(Existencia) Para cada objeto X de C definiremos unaaplicacion de cadenas (X) : T (X) X de modo que si h : X Y es unmorfismo en C entonces debe conmutar el siguiente diagrama

T (X)T (h) T (Y )

(X) (Y )T (X)

T (h) T (Y )

sea T (h) (X) = (Y ) T (h) Como T es libre y no negativo para cadaq 0 fijemos una base {gj}jJ de Tq de modo que gj Tq(Mj) para algunMj M , esto es, cada grupo abeliano Tq(X) tiene como base al conjunto{Tq(f)(gj)}jJq ,fHom(Mj ,X)El homomorfismo

q(X) : Tq(X) Tq(X)que queremos definir quedara determinado por

q(X)(i,jni,jTq(fi,j)(gj)) = i,jni,jTq(fi,j)(q(Mj)(gj))

si especificamos {q(Mj)(gj)}jJq

definiremos q(X) por induccion en q tal que

q1(X) = q(X)

Para q = 0 cualquier elemento de T0(Mj) es ciclo , en particular los gjcon j J0 son ciclos . Definamos 0(Mj)(gj) T0(Mj) de tal manera que

70 modelos acclicos

[0(Mj)(gj)] = (Mj)([gj]) extendemos a 0(X) por . Veamos que inducea , en efecto, si g g T0(X) entonces [0(X)(g)] = (X)([g])si j J1 entonces 0(Mj)(gj) es una frontera en T0(Mj) podemos definir1(Mj)(gj) T1(Mj) tal que

(1(Mj)(gj)) = 0(Mj)(gj)

y extendemos por a 1(X) : T1(X) T (X)supongamos que i esta definido para i < q, q > 0 bastara definir q(Mj)(gj)para j Jq tal que

(q(Mj)(gj)) = q1(Mj)((gj)) lu

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