Topologia aplicada a la ciencia de datos

Luis Alexandher V.G.

FES Acatlan

November 14, 2018

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Topologia

Definicion

Rama de las matematicas que estudia las propiedades cualitativas de losespacios topologicos

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Clasico ejemplo

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Topologia algebraica

Definicion

Forma de relacionar la topologia con el algebra

Componentes conexas

”Pedazos”

Agujeros

Nos interesa estudiar agujeros de los espacios topologicos (dimension0,1,2)

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Homologia persistente

Datos

Vectores ∈ Rn

Definicion (homologia persistente)

Medir las caracteristicas topologicas de nuestros datos por medio de unmetodo algebraico (detectar los agujeros)

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Complejo simplicial

A nuestros vectores (datos) les asociaremos un espacio topologico llamadocomplejo simplicial

Definicion (complejo simplicial)

Es un tipo particular de espacio topolgico construido mediante el pegadode puntos, segmentos de linea, triangulos, tetraedros

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Complejo simplicial

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De datos a complejos simpliciales

1.- Cada punto (dato) sera el centro de un circulo de radio r2.- Cuando dos circulos se intersectan se dibuja una linea que une a cadapunto3.- Las lineas son las aristas y los puntos nuestros vertices.

Asi hemos formado nuestro complejo simplicial

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Ejemplo

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Ejemplo

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Ejemplo

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Ejemplo

Para una r ”chica”

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Ejemplo

Para una r muy grande

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Todas las r posibles

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”Vida” de agujeros

ESTO ES LA HOMOLOGIA PERSISTENTE

Persistencia de los agujeros. ”Nace” en r1 y muere en r2, es decir, ”vive”un tiempo (r1, r2)

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Homologia persistente: Nos interesan los agujeros que mas PERSISTEN

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Codigo de barras asociado

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Diagrama de persistencia

Diagrama de persistencia (arriba) y codigo de barras asociado (abajo)

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En nuestro diagrama vemos que un agujero persiste y el espacio topologicomas simple que tiene un agujero es el circulo.

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Un algoritmo

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Como curiosidad

Definicion: Sea T un conjunto ordenado. Un modulo de persistencia Vsobre T es una familia indexada de transformaciones lineales deΛ−modulos {Vs |s ∈ T} y una familia doblemente indexada detransformaciones lineales {v ts : Vs → Vt |s ≤ t} tales que v tr ◦ v rs = v tscuando s ≤ r ≤ t. Ademas v tt = idVt .

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Otros ejemplos

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En R3

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En R3

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Referencias

[1] Un rol para la curva de Betti en problemas de ciencia de datos, RfaelJose Gonzalez de Gouveia, Tesis para obtener el grado de maestro enciencias.[2] Analisis topologico de datos: Robusticidad y analisis de sensibilidad dealgoritmos, Jesus Manuel Perez Angulo, Tesis para obtener el grado demaestro en ciencias.[3] Barcodes: The persistent topology of data, Robert Ghrist[4] Aspectos computacionales del ”Analisis topologico de datos”, FranciscoValiente Castro

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FIN

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