HIDRO_UNITARIO
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Hidrograma UnitarioHidrograma Unitario
Por Laura Ibez Castillo
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HidrogramaHidrograma
(volumen / unidad de tiempo) producido por una lluvia decualquier magnitud para una duracin especfica. Unhidrograma puede ser el resultado de un proceso de aforos
en un ro. HIDROGRAMA DE TORMENTA
20000
ec
2
0
5000
1000015000
0 2 4 6 8 10 12 14 16 18
Tiempo en horas
Gastoenft3/
-
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Como predecir un hidrogramaComo predecir un hidrograma
en tiempo real (pronstico) o elen tiempo real (pronstico) o el
hidrograma para una tormentahidrograma para una tormentadiseo en una cuencadiseo en una cuenca
3
(planeacin)?(planeacin)?HIDROGRAMA UNITARIOHIDROGRAMA UNITARIO
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De que es resultado elDe que es resultado el
hidrograma?hidrograma?
El hidrograma es la huella digitalde la cuenca y captura la relacinlluvia-escurrimiento en una cuencay es el resultado de:
Condiciones meteorolgicas
6
Condiciones fisiogrficas, y, Condiciones de usos del suelo
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Factores Climticos queFactores Climticos que
Influyen en el hidrogramaInfluyen en el hidrograma
Intensidad de la lluvia
Duracin de la lluvia Distribucin espacial de la lluvia
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sobre la cuenca
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La influencia del Uso del Suelo enLa influencia del Uso del Suelo en
el hidrogramael hidrograma La presencia o ausencia de cubierta
vege a ur an zac n re uce oincrementa las velocidades con quese mueve el agua en la cuenca
influenciando el gasto pico. La cubierta vegetal incrementa la
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can a e agua n ra a en esuelo La vegetacin intercepta lluvia
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Proceso LluviaProceso Lluvia--EscurrimientoEscurrimiento
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Esquema del proceso LluviaEsquema del proceso Lluvia--
EscurrimientoEscurrimiento
L lu v i a
I n t e r c e p c i n p o r v e g e t a c i n
E v a p o r a c i n y E V T *
A l m a c e n a m ie n t o e n p e q u e a s d e p r e s i o n e s
A l m a c e n a m ie n t o a m o r t ig u a d o r
I n f i lt r a c i n
F l u jo
S u p e r f ic ia l
I n t e r f lu jo
F l u jo S u p e r f ic i a l
A g u a S u b t e r r n e a
F lu jo B a s e
11
e s c u r r i m ie n t o e n
c o r r ie n t e s
* P a r a u n a t o r m e n t a d e d u r a c i n m e n o r a 2 4h o r a s ( d a n u b la d o ) la E V T p u e d e s e rd e s p r e c ia b l e . R e p r e s e n ta p o r m u c h o
a p r o x i m a d a m e n t e 2 % . S i l o q u e s e h a c e e su n b a la n c e h id r o l g i c o s e m a n a l, m e n s u a l
y /o a n u a l s d e b e s e r c o n s id e r a d a .
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Lluvia Exceso o EscurrimientoLluvia Exceso o Escurrimiento
Directo o Lluvia efectivaDirecto o Lluvia efectiva
=depresiones + evaporacin + infiltracin +
escurrimiento superficial
Lluvia Exceso = Lluvia Bruta (infiltracin
+Almacenamiento en de resiones , ,
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Lluvia Exceso = Lluvia Bruta prdidas* Almacenamiento amortiguador puede ser includo en
escurrimiento superficial; EV y EVT despreciadas.
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Lluvia Exceso o EscurrimientoLluvia Exceso o Escurrimiento
DirectoDirecto
Lluvia Exceso o Escurrimiento Directo o
Lluvia Efectiva = Lluvia Bruta infiltraci*
*Finalmente el contingente ms grande de las prdidas ser
14
.
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Hidrograma UnitarioHidrograma Unitario
(Sherman, 1932; Horton, 1933)(Sherman, 1932; Horton, 1933)
El hidro rama ue resulta de 1-mm de lluvia exceso o 1 ul ada o 1
cm) distribuido uniformemente en espacio sobre un rea para unaduracin dada.
Los puntos clave:
1-mm de lluvia EXCESOLa lluvia exceso est distribuda uniformemente en espacio
sobre un rea
15
-
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Supuestos del HidrogramaSupuestos del Hidrograma
Unitario (Aparicio, p. 209)Unitario (Aparicio, p. 209)
Excesos de Lluvia de igual duracin producen hidrogramas contiempos bases equivalentes sin importar la intensidad de lalluvia
Las ordenadas del escurrimiento directo para una tormenta deuna duracin dada se suponen directamente proporcionales(lineales) a los volmenes de exceso de lluvia. Por lo tanto eldoble de exceso de lluvia produce el doble de las ordenadas del
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hidrograma.Superposicin de causas y efectos. El hidrograma que resulte de
un periodo de lluvias puede superponerse a hidrogramasresultantes de lluvias previas o posteriores.
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Representacin GrficaRepresentacin Grfica
tiempo al pico y tiempo basetiempo al pico y tiempo baseDuracin de la
Tiempo alpico
lluvia exceso
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Tiempo Base
Flujo base
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Mtodo TradicionalMtodo Tradicional1) Separar flujo base de flujo directo
2) Clculo del volumen de escurrimiento directo. Medir el volumentotal bajo el hidrograma
3) Clculo de la altura de precipitacin efectiva : dividir Vol. Esc.Directo entre area de la cuenca y obtenerlo en mm o cm o pulgadas
4) Derivar las ordenadas del hidrograma unitario dividiendo las
19
or ena as e rograma o a en re a a ura prec p ac n e ec va
del punto 35) Determinar duracin efectiva separando lluvia efectiva e infiltracin
y viendo la duracin de la lluvia efectiva (en este momento hacerlocon el indice de infiltracin media, )
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Indice de Infiltracin Media,Indice de Infiltracin Media,
4
6
8
10
= 2.5 mm/hr
Lluvia exceso=
6 mm
Duracin lluvia
Exceso= 4
horas
20
0
2
0-2 2-4 4-6 6-8 8-10
=
17 mm
-
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EJEMPLO-DETERMINACION H.U.METODO TRADICIONAL
Determinar H.U. para una cuenca de 888 Km2Hietograma de altura de precipitacion :
Tiempo (horas) Precipitacin, Hp (mm)
0-2 7.02-4 9.0
21
- .
6-8 1.0
8-10 2.0
EJEMPLO H.U. METODO TRADICIONAL
-
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EJEMPLO H.U. METODO TRADICIONALHidrograma de escurrimiento medido a la salida de
la cuenca:
,
0 40.0
2 80.0
4 220.06 300.0
22
8 200.010 120.0
12 60.0
14 40.0
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Separation of BaseflowSeparation of Baseflow... enerall acce ted that the inflection oint on the recession limb of a
hydrograph is the result of a change in the controlling physical processesof the excess precipitation flowing to the basin outlet.
In this example, baseflow is considered to be a straight line connecting
that point at which the hydrograph begins to rise rapidly and theinflection point on the recession side of the hydrograph.
the inflection point may be found by plotting the hydrograph in semi-
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log fashion with flow being plotted on the log scale and noting the timeat which the recession side fits a straight line.
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SemiSemi--log Plotlog Plot100000
100
1000
10000
Flow(
cfs)
Recession side of hydrograph
beco mes linear at approximately hour
64.
24
1
29 34 39 44 49 54 59 64 69 74 79 84 89 94 9910
410
911
411
912
412
913
4
Tim e (hrs.)
-
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Hydrograph & BaseflowHydrograph & Baseflow25000
10000
15000
20000
Flow(
cfs)
25
0
0 7
1
4
2
1
28
3
5
4
2
49
5
6
6
3
70
7
7
8
4
91
9
8
105
112
11
9
126
133
Tim e (hrs.)
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Separate BaseflowSeparate Baseflow25000
10000
15000
20000
Flow(cfs)
26
0
5000
0 71
42
12
835 4
249
56 63
70
77 84
91
9810
51
12
119
12
61
33
Tim e (hrs.)
-
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Sample CalculationsSample Calculations In the present example (hourly time step), the flows are summed and
then multi lied b 3600 seconds to determine the volume of runoff in
cubic feet. If desired, this value may then be converted to acre-feet bydividing by 43,560 square feet per acre.
The depth of direct runoff in feet is found by dividing the total volumeof excess precipitation (now in acre-feet) by the watershed area (450
mi2 converted to 288,000 acres). In this example, the volume of excess precipitation or direct runoff for
storm #1 was determined to be 39,692 acre-feet.
27
The depth of direct runoff is found to be 0.1378 feet after dividing bythe watershed area of 288,000 acres.
Finally, the depth of direct runoff in inches is 0.1378 x 12 = 1.65inches.
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Obtain UHG OrdinatesObtain UHG Ordinates The ordinates of the unit h dro ra h are
obtained by dividing each flow in the directrunoff hydrograph by the depth of excessprecipitation.
In this example, the units of the unithydrograph would be cfs/inch (of excess
28
.
-
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Determine Duration of UHGDetermine Duration of UHG The duration of the derived unit hydrograph is found by examining the
in excess. This is generally accomplished by plotting the precipitation in
hyetograph form and drawing a horizontal line such that theprecipitation above this line is equal to the depth of excessprecipitation as previously determined.
This horizontal line is generally referred to as the-index and is based
30
.
The uniform infiltration necessary to cause 1.65 inches of excessprecipitation was determined to be approximately 0.2 inches per hour.
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Excess PrecipitationExcess Precipitation
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
0.9
1
ExcessPrec.
(in
ches)
Small amounts o f
excess precipitation a tbeginning and end ma y
be o mitted.
De rived unit hydrograp h is the
result of ap proximately 6 hours
of excess p recip itation.
32
0
0.1
0.2
.
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 1 1 2 13 1 4 1 5 16 17 1 8 19
Tim e (hrs.)
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Mtodo de la Curva S
1. Se desplaza varias veces el hidrograma unitario conocido,de tal manera ue la se aracin entre cada hidro rama sea
igual a la duracin de.2. Se suman las ordenadas de los hidrogramas unitarios
desplazados, con lo que se obtiene un hidrograma llamado
la curva-S que corresponde a la lluvia efectiva conintensidad constante i = 1 mm/ de, mantenida durante untiempo muy grande y que eventualmente (en tc) llevar a la
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cuenca a un escurrimiento equilibrio (todo lo que precipita,escurre):
c
e
ce Ad
mmAiQ ==
1
-
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... Contina Curva S
3. Se desplaza la curva S una distancia igual a de.
5. Las ordenadas del hidrograma unitario deseado (duracinde) se obtienen multiplicando los resultados obtenidos enel paso 4 por el cociente de/de
35
EJEMPLO
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H.U. (P.ef.=1 mm), de = 4 hs., Ac=888 Km2
Cambiar a H.U. de=2 hrs.
,
0 0.0
2 6.67
4 30.06 43.33
36
8 26.6710 43.33
12 3.33
14 0
-
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-
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*Correccin a Gasto equilibrio
1== A
d
mmAiQ c
e
e
38
67.6146.36.3 === deQe
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-
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-
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De/de
4
.2.;4 ==
de
hsdehsde
41
.
2de
Curva S S despl. 2 Diferencia H.U. - 2hs.
-
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Curva S
(4 horas)
S despl. 2hs.
Diferencia H.U. 2hs.
(m3/s)
Dif. x de/de
0 0 0
6.67 0 6.67 13.33
30.0 6.67 23.33 46.67
50.0 30.0 20.0 40.056.67 50.0 6.67 13.33
42
61.67 56.67 5.0 10.061.67 61.67 0.0 0
61.67 61.6761.67 61.67 de/de=2.0
H.U. = 1 mmH.U. = 1 mm
-
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H.U. 1 mmH.U. 1 mm
d.e.d.e. = 4 hs= 4 hs
H.U. para de=2 horas
40
60
enm3
/s
43
0
0 2 4 6 8 10 12
tiempo en horas
Gas
to
Hid U it iHid U it i
-
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Hidrogramas UnitariosHidrogramas Unitarios
SintticosSintticos
SCS (triangular y curvilneo)
Snyder
Clark
44
Hid U it iHid U it i
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Hidrogramas UnitariosHidrogramas Unitarios
SintticosSintticos
Se usan las caractersticas generales de lascuencas (p. ej. tiempo de concentracin),
por lo que se utilizan formulas empricas Son ara duraciones efectivas crticas
45
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H.U. Sinttico Triangular del SCSH.U. Sinttico Triangular del SCSDuration ofexcess
precipitation.
Tiempo de retraso, tr
46
Tiempo al pico, tp
Tiempo base, tb
-
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H.U. SCS gasto picoconversin de unidades:
kmencuencaladeareaA
)1(,555.0
2=
=b
cp
tAq
47
m3/s/mmenunitariopicogastoqhorasenbasetiempot
p
b
==
Deduccin de la ecuacin de qpq
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c
b
cA
qT
AVolmm
== 2.1
b
c
c
b
TmmAq
Aqmm
=
=
,12
qdespejando,2
1
48
b
c
TA
=
= 555.0
TA20.2777q
:horasenTbyKm2enAm3/s,enq:necesariasunidadeslastenerPara
b
c
-
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H.U. SCS tiempos
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)2(67.2
:s)hidrogramade(analisisMockusaacuerdoDe
pb tt =
:MockusaacuerdoDe
)3(
2
:figuralaaacuerdoDe
re
p td
t +=
50
)5(1333.0
.
ce
cr
td
tt
=
=
-
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H U Sinttico Curvilneo del SCS
-
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H.U. Sinttico Curvilneo del SCS
Se requiere qp y tp:
)7(208.0
)6(3
2
t
Aq
tt
cp
cp
=
=
52
)8(
9100000227.0
5.0
7.0
8.0
Y
CNL
tc
=
-
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SCSSCS
SCS Dimensionless UHG Features
0.4
0.6
0.8
1
Q/Qpeak
Flow ratios
Cum. Mass
54
0
0.2
0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 5
T/Tpeak
Dimensionless RatiosDimensionless Ratios
-
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Dimensionless RatiosDimensionless RatiosTime Ratios
(t/tp)
Discharge Ratios
(q/qp)
Mass Curve Ratios
(Qa/Q)
0 .000 .000
.1 .030 .001
.2 .100 .006
.3 .190 .012
.4 .310 .035.5 .470 .065
.6 .660 .107
.7 .820 .163
.8 .930 .228
.9 .990 .300
1.0 1.000 .375
1.1 .990 .450
1.2 .930 .522
1.3 .860 .5891.4 .780 .650
1.5 .680 .700
1.6 .560 .751
1.7 .460 .790
1.8 .390 .822
55
. . .
2.0 .280 .871
2.2 .207 .908
2.4 .147 .9342.6 .107 .953
2.8 .077 .967
3.0 .055 .977
3.2 .040 .984
3.4 .029 .989
3.6 .021 .993
3.8 .015 .995
4.0 .011 .997
4.5 .005 .9995.0 .000 1.000
-
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Triangular RepresentationTriangular RepresentationSCS Dimensionless UHG & Triangular Representation
D
0.4
0.6
0.8
1
.
Q/Qp
eak
Flow ratios
Cum. Mass
Triangular
Precipitation
Tlag
Tc
Point of
Inflection
56
0
0.2
0.0 1.0 2.0 3.0 4.0 5.0
T/Tpeak
TpTb
-
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Triangular RepresentationTriangular Representationpb Tx2.67T =
SCS Dimensionless UHG & Triangular Representation
1
1.2 Excess
Precipitation
D
Tlag
ppbr Tx1.67T-TT ==
)T+T(2
q=
2
Tq+
2
Tq=Q rp
prppp
T+T
2Q=q
rp
p
0
0.2
0.4
0.6
0.8
0.0 1.0 2.0 3.0 4.0 5.0
T/Tpeak
Q/Qpeak
Flow ratios
Cum. Mass
Triangular
Tc
TpTb
Point of
Inflection
57
T+T
QxAx2x654.33
=q rpp The 645.33 is the conversion used fordelivering 1-inch of runoff (the areaunder the unit hydrograph) from 1-square
mile in 1-hour (3600 seconds).T
QA484=q
p
p
-
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484 ?484 ?T
QA484=q
p
p
Comes from the initial assumption that 3/8 of the volumeunder the UHG is under the rising limb and the remaining 5/8
is under the recession limb.
General Description Peaking Factor Limb Ratio
(Recession to Rising)
Urban areas; steep slopes 575 1.25
Typical SCS 484 1.67
58
Mixed urban/rural 400 2.25
Rural, rolling hills 300 3.33
Rural, slight slopes 200 5.5Rural, very flat 100 12.0
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SnyderSnyder En 1938 Sn der estudio varias cuencas en las montaas A alaches
(varios estados del Este de los E.U.A.) Las cuencas variaban de 10 mi2 a 10,000 mi2 (30 a 30,000 Km2)
Encontr relaciones entre caractersticas de las cuencas y suhidrograma unitario
En 1959, el U.S. Army Corps of Engineers confirm dichas relaciones Concluyeron que las relaciones obtenidas en las cuencas
61
,
cuencas no instrumentadas para deducir su hidrograma unitariobasados en parmetros de la cuenca instrumentada
La cuenca instrumentada y la no instrumentada deben estar en lamisma regin y con caractersticas semejantes
Hidrograma unitario sinttico Snyder:Hidrograma unitario sinttico Snyder:
-
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Hidrograma unitario sinttico Snyder:Hidrograma unitario sinttico Snyder:
las cinco caractersticas necesariaslas cinco caractersticas necesarias
e
El gasto pico, qp El tiempo de retraso o lag time, tr El tiempo base, tb Ancho del hidrograma unitario en unidades de tiempo al
50% del gasto pico, W50
62
Ancho del hidrograma unitario en unidades de tiempo al75% del gasto pico, W75 .(El ancho de W50 y W75 estnubicados 1/3 antes y 2/3 despus del qp)
-
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-
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Relaciones SnyderRelaciones Snyder-- Sist.InglsSist.Ingls3.0)( catr LLCt =tr = tiempo de retraso
5.5r
etd =
83 rb tt +=
e = urac n e a uv a exceso
L=Longitud del cauce principal, mi
La= Longitud sobre cauce principal desde el
punto de salida al centroide de la cuenca, mi
Ct= coeficiente derivado de cuencas
instrumentadas en la misma regin
A = Area de la cuenca en mi2
Cp = Coeficiente derivado de cuencas
64
)(25.0 ' eerr ddtt +=
r
p
p
t
q =instrumentadas en la misma regin
tb= tiempo base en horasqp = gasto pico en cfs
-
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-
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SnyderSnyder-- Sist.MtricoSist.Mtrico 3.0)(75.0 catr LLCt =tr = tiempo de retraso
5.5r
etd =
83
r
b
t
t+=
AC75.2
e = urac n e a uv a exceso
L=Longitud del cauce principal, kmLa= Longitud sobre cauce principal desde el
punto de salida al centroide de la cuenca, km
Ct= coeficiente derivado de cuencas
instrumentadas en la misma regin
A = Area de la cuenca en km2
Cp = Coeficiente derivado de cuencas
66
)(25.0 ' eerr ddtt +=
r
pt
q =instrumentadas en la misma regin
tb= tiempo base en horasqp = gasto pico en m3/s
-
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H.U. SnyderH.U. Snyder-- Sist.MtricoSist.Mtrico08.175 22.1
=q
Wp
W75 =El ancho del hidrograma unitario en0.75 el qp, en horas.
08.1
50 14.2
=
A
qW
p
W-75
67
W50 =El ancho del hidrograma unitario en
0.50 el qp, en horas.
Ambos Ws estan distribudos 1/3 tiempoantes del qp y 2/3 del tiempo despus de qp
W-50
SnyderSnyder-- Sist.Mtrico (Chow, 1988)Sist.Mtrico (Chow, 1988)
-
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yy ( , )( , )
'
H.U. ESTANDAR qpPARA duracin de
H.U. REQUERIDO qprPARA duracin de
3.0)(75.0 catr LLCt =
5.5ret
d = . eerrtt +=
PR
bq
t 56.5=r
p
pt
ACq
75.2=
'
r
rp
pRt
tqq =
68
.
7522.1
=
A
qW
pR
08.1
50 14.2
=
A
qW
pR
Longitudes en kilometros
Areas en Km2
Gastos en m3/s
Tiempos en horas
-
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-
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H.U. DE CLARKH.U. DE CLARKClark desarroll el mtodo en 1943 y en suClark desarroll el mtodo en 1943 y en su
p an eam en o or g na era para cuencasp an eam en o or g na era para cuencas
instrumentadas y en los 80s la U.S. Army Corps ofinstrumentadas y en los 80s la U.S. Army Corps of
Engineers lo llevarn a mtodo sinttico paraEngineers lo llevarn a mtodo sinttico para
generar H.U.generar H.U.
Parmetros necesariosParmetros necesarios
70
,, cc
Coeficiente de almacenamiento en horas, RCoeficiente de almacenamiento en horas, R
Relacin de tiempo versus areaRelacin de tiempo versus area
-
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H.U. de Clark o de AreaH.U. de Clark o de Area--TiempoTiempo
71
-
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Incrementos de AreaIncrementos de Area40
5
10
15
20
25
30
35
Incremen
talArea(sqauremiles)
72
0
1 2 3 4 5 6 7 8
Time Increment (hrs)
2
345
6
7
5
7
7
1
Curva acumulada de areaCurva acumulada de area--
-
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tiempotiempo8
9
1
2
3
4
5
6
7
Cumul
ativeArea(sqauremiles
)
73
0
0 20 40 60 80 100 120 140 160 180 200
Time (hrs)
2
345
6
7
5
7
7
1
Problemas para obtener unaProblemas para obtener una
-
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curva de Tiempocurva de Tiempo--area?area?
0.5)Ti(0for414.1 5.1 = ii TTA
1.0)Ti(0.5for)1(414.11 5.1 = ii TTA
T = Fraccin del tiem o de
74
concentracin
TA = Area Acumulada
correspondiente al Ti
Use las curvas sintticasarea-tiempo de la U.S.
Army Corps of Engineers
(HEC 1990)
-
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Como regla generalComo regla general
R El coeficiente de almacenamiento linealPuede ser estimado aprximadamente 0.75 veces
el tiempo de concentracin.
SER CIERTO?
75
-
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-
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Ecuacin bsica en el H.U.Ecuacin bsica en el H.U.
-
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sinttico de Clarksinttico de Clark
( )tR
tC
+
=
+=
2
2
12
78
Se inicia el clculo con la relacin tiempo-area para generar ICon t y R se calcula C
En el inicio del clculo, el gasto de salida es 0.0 ya que la lluvia inicial espara infiltracin y otras prdidas.
-
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Tabla Tiempo-Area
-
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(Translado del Hidrograma)TIEMPO AREA INCR. AREA HIDROGR. HIDROGR.
(HORAS) (MI 2) (MI 2) (MI 2-IN/HR) (CFS)
0 0.0
1 3.3 3.3 3.3 2130
2 12.6 9.3 9.3 60023 32.0 19.4 19.4 12519
80
. . .
5 55.7 9.4 9.4 6066
6 66.5 10.8 10.8 6970
7 76.5 10.0 10.0 6453
8 78.0 1.5 1.5 968
Atenuacin del Hidrograma
-
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TIEMPO HIDR. C I (1-C)Oi-1 Oi 1-hour UH
TRANSL. 0.122 I 0.878 Oi-1
(HORAS) (CFS)
0 0 0 0 0 0
1 2130 260 0 260 130
2 6002 732 228 960 6103 12519 1527 843 2371 1665
4 9228 1126 2081 3207 2789
5 6066 740 2816 3556 3382
6 6970 850 3122 3972 3764
7 6453 787 3488 4275 4124
8 968 118 3754 3872 40739 0 0 3399 3399 3635
10 2985 2985 3192
11 2620 2620 2803
81
12 2301 2301 2461
13 2020 2020 2160
14 1774 1774 1897
15 1557 1557 1665
16 1367 1367 1462
17 1200 1200 1284
18 1054 1054 1127
Como regla generalR??Como regla generalR??
-
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Esto es lo real:Esto es lo real:par me ro requ ere ca rac n cuenca
instrumentada!) y su significado es ms tericoque fsico
De acuerdo a Clark:
82
cuenca. Es igual al tiempo en el cual el decrementode gastos a la salida es el ms grande
Determinacin de RDeterminacin de R
Calibrandolo con parmetros conocidos deCalibrandolo con parmetros conocidos de
-
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pp
la cuencala cuenca
e erm na o con cuenca ns rumen a a se pue ecalibrar con parmetros conocidos y hacer
extensivo a cuencas similares. Ejem. En Illinois:
790.0342.0
64.1 = SLR
83
R en horas
L = Longitud del canal principal en millas
S = Pendiente del canal principal, ft/milla
Determinacin de RDeterminacin de R
(Requiere ms comprensin de trnsito de(Requiere ms comprensin de trnsito de
-
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avenidas con Muskingum)avenidas con Muskingum)
e acuer o a ar : e e erm na e reg s ros e
gastos a la salida de la cuenca y R se determina entiempo en el cual el decremento de gastos do/dta
la salida es el ms grande
84
dtdOR
/=