helicopteros-02

UNIVERSIDADPOLITCNICADEMADRIDEscuelaUniversitariadeIngenieraTcnicaAeronuticaDepartamentodeAerotecnia

HELICPTEROSTeora y Descriptiva

Madrid, Abril de 2008

Miguel A. Barcala Montejanongel A. Rodrguez Sevillano

AERODINMICA DEL ROTOR

CAPTULO 2TEORA DE LA CANTIDAD DE MOVIMIENTO EN VUELO VERTICAL ASCENDENTE


TEORA DE LA CANTIDAD DE MOVIMIENTO EN VUELO VERTICAL ASCENDENTE

2. 2

Iniciamos el estudio realizando un anlisis del rotor principal, como elemento sustentador del

helicptero, en la condicin de vuelo mas sencilla, que es la de vuelo vertical uniforme y ascendente,

en esta condicin las velocidades en el plano del rotor son simtricas respecto al eje de giro, las

fuerzas aerodinmicas sobre las palas son constantes independientemente de la posicin angular de

stas y el plano que forman las puntas del rotor es perpendicular al rbol de arrastre.

Para el estudio de la aerodinmica del rotor existen diversas teoras de las cuales nosotros

vamos a tratar dos, una la aplicacin directa de la teora de la cantidad de movimiento, (estudiada en

Mecnica de fluidos) y otra la teora del elemento de pala (estudiada en Aerodinmica)

considerndola como un ala de gran alargamiento.

A continuacin pasamos al estudio de la aerodinmica del rotor aplicando la teora de la

cantidad de movimiento, la mas sencilla de las dos, siendo de suma importancia fijar adecuadamente

las hiptesis de partida para ajustar los valores que obtengamos lo mas posible a la realidad.



2. 3

Figura 2-1

1. HIPTESIS INICIALES

1.1 Consideramos el aire, para la aplicacin de esta teora, como fluido ideal.

1.2 Sustituimos el rotor, que esta compuesto por palas que giran, por un disco totalmente poroso

del mismo radio (R) del rotor que sustituye, que deja pasar el aire a travs de l.

1.3 Suponemos que la corriente afectada por el disco est delimitada por el tubo de corriente

esquematizado en la figura (2-1).

1.4 El movimiento del fluido en el tubo de corriente se considera unidimensional, estacionario e

incompresible.

1.5 Se desprecian efectos de rotacin de estela y prdidas en punta de pala.

1.6 Otras consideraciones.

Los ejes de referencia en los que nos apoyamos para aplicar esta teora son ejes Euler, y por

tanto:

- La velocidad del fluido aguas arriba del rotor es la velocidad ascendente del rotor (Vv).

- La velocidad del fluido en la seccin del

disco es la suma de la velocidad

ascendente del rotor y la velocidad

inducida por el disco sustentador (Vv+vi).

- La velocidad del fluido aguas abajo del

rotor es la suma de la velocidad

ascendente del rotor y un numero de

veces, a determinar, la velocidad inducida

en el plano del disco (Vv+Avi).

Esta teora como observaremos a lo largo

de este curso obtiene una expresin de la potencia

necesaria, para obtener una traccin dada, que

difiere de la potencia real al no tener en cuenta fenmenos como: Las prdidas en punta de pala,



2. 4

Figura 2-2

(2.1)

resistencia aerodinmica y no uniformidad de flujo de aire as como la rotacin de la estela. Estos dos

ltimos fenmenos slo considerados en teora turbillonaria, que no vamos a estudiar en este curso.

2. CLCULO DE LA TRACCIN Y LA POTENCIA

Para su clculo, como indica el enunciado de esta captulo, vamos a aplicar el teorema de la

cantidad de movimiento al volumen de control descrito por la lnea continua, excluido el disco,

representado en la figura (2-2), donde las paredes laterales son las paredes del tubo de corriente

comentado en las hiptesis, cuya ecuacin teniendo en cuenta la hiptesis realizadas es:

siendo en nuestro caso:

- Fuerzas de presin nulas por ser un volumen cerrado

de presin exterior constante e igual a la presin

atmosfrica.

- Fuerza exterior al fluido, que ejerce el disco sobre l, "(-

T)". Nota: Se ha puesto (-T) al ser (T) la fuerza del fluido

sobre el disco

- Gasto (G): Lo calculamos en la seccin del disco.

* Velocidad de salida: Vs = Vv + A vi

* Velocidad de entrada: Ve = Vv

La ecuacin de la cantidad de movimiento anterior, introduciendo las expresiones anteriores,

es de la forma:

donde "A" es un parmetro a determinar.



2. 5

Figura 2-3

(2.2)

(2.3)

(2.4)

(2.5)

Para ello definimos de acuerdo con la figura (2-3):

P - Presin en el estrados del disco.

P'- Presin en el intrads del disco.

Escribiendo la ecuacin de la traccin como la

resultante de las fuerzas de presin sobre el disco,

es decir:

Calculando la presin en el extrads y en el intrads a partir de la ecuacin de Bernouilli

aplicada entre:

-Aguas arriba del disco y el extrads del disco:

-El intrads del disco y aguas abajo del disco:

y sumando ambas ecuaciones obtenemos el incremento de presin:

Expresin que introducida en la ecuacin (2.2) permite escribir:

Igualando esta ecuacin y la ecuacin (2.1), obtenemos: A = 2 , es decir, que la velocidad

inducida por el rotor en el infinito aguas abajo del disco es el doble a la inducida en el plano del disco.

Siendo la traccin del rotor:



2. 6

(2.6)

(2.7)

(2.8)

(2.9)

(2.10)

y las presiones en el plano del disco:

Y la potencia ideal necesaria suministrar al disco para obtener la traccin calculada:

es decir:

3. VUELO A PUNTO FIJO

Se define el vuelo a punto fijo cuando la velocidad de vuelo del rotor es nula, en nuestro caso,

" Vv = 0 ".

Obtenindose las expresiones de traccin y potencia en vuelo a punto fijo sin mas que

imponer esta condicin en las ecuaciones (2.5) y (2.6), y designando, en este caso, la velocidad

inducida en el plano del disco por vio.

Siendo por tanto las expresiones de la velocidad inducida y de la potencia ideal en vuelo a

punto fijo en funcin de la traccin del rotor.



2. 7

(2.11)

(2.12)

4. RELACIN DE VELOCIDADES

Si tenemos en cuenta que, independientemente de que el rotor est en vuelo vertical

ascendente o en vuelo a punto fijo, la traccin suministrada es la misma, para que el rotor est en

equilibrio, podemos igualar las ecuaciones (2.5) y (2.7) obteniendo:

que nos proporciona la relacin:

Relacin que nos va a ser de gran utilidad a lo largo del curso, y que tendremos en cuenta en

muchas ocasiones aunque estemos aplicando una teora distinta a sta en el estudio aerodinmico

del rotor.

A partir de esta ecuacin podemos obtener las siguientes relaciones:

- Relacin de velocidades inducidas. Que obtenemos a partir de la ecuacin de segundo grado

resultante de desarrollar la ecuacin (2.11).

Cuya solucin, eligiendo la solucin positiva para ser coherentes con las hiptesis de partida,

es:

Ecuacin que determina la velocidad inducida en el plano del disco en funcin de la

velocidad de vuelo ascendente adimensionalizadas ambas con la velocidad inducida en el

plano del disco para vuelo a punto fijo.

- Relacin de velocidad en el disco con la velocidad inducida en el plano del disco para vuelo



2. 8

(2.13)

(2.14)

(2.15)

a punto fijo. Que obtenemos sumando Vv/vio en ambos miembros de la ecuacin (2.12).

Ecuacin que determina la velocidad en el plano del disco en funcin de la velocidad

de vuelo adimensionalizadas ambas con la velocidad inducida en el plano del disco para vuelo

a punto fijo.

- Relacin de potencias ideales. Que obtenemos a partir de las ecuaciones (2.6) y (2.8) junto

con la (2.11).

e introduciendo la expresin (2.13) se transforma en:

Donde se observa que la relacin de potencias es la inversa de la relacin de

velocidades inducidas.

- Relacin de la velocidad ascendente con la velocidad inducida en el plano del disco para

vuelo a punto fijo. Que se obtiene a partir de las ecuaciones (2.11) y (2.14).



2. 9

0

0,5

1

1,5

2

2,5

3

3,5

4

4,5

0 1 2 3 4

Vv/Vio

Pi/PioVi/Vio

Figura 2-4

En la figura anterior (2-4) se ha representado la potencia ideal y la velocidad inducida en

funcin de la velocidad de vuelo, observndose que la velocidad inducida disminuye y la potencia

necesaria para una traccin dada aumenta al aumentar la velocidad de vuelo ascendente.

5. COEFICIENTES DE TRACCIN Y POTENCIA

En los cursos anteriores se estudio la posibilidad de realizar estudios aerodinmicos y de

fluidos en general mediante el anlisis adimensional, ver capitulo IX de los apuntes de aerodinmica

y mecnica de vuelo, definindose varios parmetros adimensionales, de entre los cuales vamos

hacer uso de:

- Coeficiente adimensional de fuerza:

- Coeficiente adimensional de potencia:



2. 10

(2.17)

(2.18)

(2.20)

Eligiendo en el caso que nos ocupa como parmetros adimensionalizadores, la superficie del

disco, S=BR2, y la velocidad de rotacin de punta de pala, V=SR. Obtenemos una expresin para el

coeficiente de fuerza, que a partir de ahora llamaremos coeficiente de traccin, de la forma:

Coeficiente de traccin: (2.16)

que junto con la ecuacin (1.7) nos permite escribir:

De la que se obtiene directamente la velocidad inducida en el plano del disco para vuelo a

punto fijo adimensionalizada en funcin del coeficiente de traccin.

Y para el coeficiente de potencia:

que introduciendo la ecuacin (2.6) obtenemos: (2.19)

En el caso de vuelo a punto fijo el coeficiente de potencia es:

que con la ecuacin (2.8) obtenemos el coeficiente de potencia para vuelo a punto fijo en funcin del

coeficiente de traccin:



2. 11

6. EXPRESIONES ADIMENSIONALES

En este apartado vamos a obtener aquellas expresiones ya obtenidas anteriormente,

(adimensionalizadas con la velocidad inducida en vuelo a punto fijo), pero en este caso

adimensionalizando con la velocidad de rotacin en punta de pala, para obtener las expresiones en

funcin de la velocidad de vuelo vertical adimensionalizada y del coeficiente de traccin.

- De la ecuacin (2.12):

introduciendo la ecuacin (2.18): (2.21)

- De la ecuacin (2.14):



2. 12

(2.22)

(2.23)

introduciendo la ecuacin (2.18):

- Otra relacin de utilidad a lo largo del curso, no obtenida anteriormente, basada en las

ecuaciones (2.20) y (2.22) es:

Estas relaciones, adems de comparar los resultados obtenidos con esta teora con los

resultados que obtengamos con la teora del elemento de pala, nos permiten calcular los distintos

parmetros del rotor conocida la traccin del rotor y la velocidad de vuelo ascendente.

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