Determinacion de la densidad y movilidad de los portadores de carga

en p-germanio por efecto Hall

1Carlos A. Conde, 1Daniela Angulo, 1Nestor A. Barrios1Universidad Nacional de Colombia, Sede Bogota. Dpto. Fısica. Experimentos de fısica moderna 2014-I.

Resumen

Al colocar una placa de p-germanio semiconductora en el seno de un campo magnetico perpendicular,se genera un campo electrico interno llamado Hall debibo a la redistribucion de cargas que genera lafuerza de Lorentz. Si se conecta adecuadamente un voltımetro, se logra medir el voltaje Hall VH para tressituaciones diferentes. La primera es dejar el campo magnetico fijo y hacer variar la corriente que atra-viesa el p-germanio para poder determinar la densidad y movilidad de los portadores de carga (huecos).La segunda, dejar fija la corriente e ir variando el campo para determinar el coeficiente Hall del material.La tercera, expresar el voltaje Hall en funcion de la temperatura para analizar las transiciones entre lasconductividades intrınseca y extrınsecas debido a los electrones y huecos por dopaje respectivamente. Lastres situaciones descritas estan detalladas en la seccion de resultados y discusion donde se obtuvieron dife-rentes valores dependiendo de los casos mencionados. El coeficiente Hall del p-germanio se determino conun valor experimental promedio de (8, 33× 10−3 ± 4, 94× 10−5m3/As )

1. Introduccion

El efecto Hall es un fenomeno que se produce alinterior de un conductor o semiconductor que ex-plica la aparicion de un campo electrico al interiordel material cuando este interacciona con un campomagnetico uniforme. Dicho efecto es de gran impor-tancia para el estudio de semiconductores, pues per-mite identificar los portadores de carga si se conocela polaridad del voltaje hall producido por el cam-po electrico y la direccion del campo magnetico. Acontinuacion se ilustra un montaje donde aparece elefecto Hall:

Figura 1: Esquema del proceso de aparicion del efectoHall.

La figura 1 muestra una placa de un material por elcual se hace circular una corriente, conectando unabaterıa en los extremos izquierdo y derecho de la mis-ma de modo que los portadores de carga fluyan hori-

zontalmente. Perpendicularmente a la placa (como ala corriente) se somete un campo magnetico uniformeB de manera que los portadores de carga al interiordel material experimentan una fuerza de Lorentz cu-ya direccion apunta segun la regla de la mano derechay considerando el signo de la carga. Si el material esuna placa metalica o un semiconductor tipo N, losportadores de carga son electrones cuya velocidad dederiva apunta hacia la izquierda como lo indica Vn, demanera que la fuerza debido al campo B apunta haciaarriba como lo indica FL. Para semiconductores tipoP en cuyo caso los portadores de cargas son huecoscon carga positiva, el diagrama de cuerpo es mostra-do sobre la misma placa por facilidad y comparacioncon los semiconductores tipo N. Es de aclarar que engeneral en un semiconductor existen corrientes debi-do a los huecos o electrones como lo muestra la figura,sin embargo los portadores de carga si dependen deldopaje dado. La fuerza que experimentan las particu-las cargadas al interior del material debido al campomagnetico, hace que se produzca un reagrupamientode cargas segun su polaridad en la parte superior einferior de la placa mostrada. Por lo tanto, estos dosgrupos de carga (+ o -) generan un campo electricoal interior del material denominado campo Hall. Elproceso de redistribucion de cargas se detendra cuan-do exista un equilibrio entre la fuerza de Lorentz FL

y la fuerza electrica Fe debido al campo Hall comolo muestra la misma figura. Por ultimo, es posibleconectar un voltımetro a lo ancho de la placa paradeterminar el voltaje Hall VH que se produce al inte-

1

rior dado por:

VH =RH ·Bd

I (1)

Lo cual implica una relacion lineal entre el voltajeHall VH y la corriente I si se conocen los parametrosRH llamado coeficiente Hall, la distancia d que repre-senta la anchura de la placa y la magnitud del campomagnetico uniforme B. Por otro lado, el coeficienteHall puede expresarse en terminos de otros parame-tros que intervienen segun el material de la siguientemanera:

RH =1

ε0·p · µ2

p − n · µ2n

(p · µp + n · µn)2(2)

donde ε0 es la carga elemental, p = pE + pS ladensidad total de huecos que representa la suma de ladensidad de huecos debido a la conduccion intrınsiecapE mas la debida a la conduccion de huecos debidoal p-dopaje pS , n = nE densidad de electrones debi-do a la conduccion intrınseca, µp la mobilidad de loshuecos y µn la mobilidad debido a los electrones. Atemperatura ambiente para el dopaje p-germanio, ladensidad de huecos debido al dopaje ps puede predo-minar sobre la densidad intrınseca de los portadoresde carga (pE y nE), por tanto se pueden considerarnulos estos ultimos. Teniendo en cuenta la ecuacion(2) y cancelando los terminos nulo, podremos elimi-nar RH al igualar (2) con la ecuacion (1) para RH demanera que la densidad de huecos debido al dopajese puede formular como:

VH =B

ε0 · d· IpS

(3)

Por otro lado, podemos calcular la mobilidad de losportadores de carga como una medida de interaccionentre los mismos y la placa de p-germanio. En estecaso los portadores de carga son los huecos por lo quela siguiente expresion describe la movilidad de estos:

µp =VpE

(4)

donde Vp representa la velocidad de deriva de los hue-cos y E el campo electrico debido a la caıda de volta-je. Como este voltaje se aplica entre el largo w de laplaca (figura 1) para que exista flujo de corriente, secrea un campo electrico que puede determinarse conla conocida relacion:

E =U

w(5)

Como ya se ha comentado anteriormente, el procesode redistribucion de carga se detendra en el momen-to en que exista una condicion de equlibrio entre lafuerza electrica debido al campo Hall y la fuerza de

Lorentz producida por el campo magnetico, de modoque esta condicion permite expresar:

ε0 · Vd ·B = ε0 · EH (6)

Despejando Vd :

Vd =EH

B=

VHb ·B

(7)

Donde en la ecuacion (7) se ha utilizado la mismaecuacion que (5) pero para el campo Hall a lo anchod de la placa (EH = b · VH). Por lo tanto utilizan-do las ecuaciones (4), (5) y (7) podemos calcular lamovilidad de huecos en una lamina de p-germanioen terminos del voltaje Hall, el largo y el ancho dela placa (w y d), el campo magnetico B y el voltajeaplicado a la placa U mediante la siguiente relacion:

µp =VH · wb ·B · U

(8)

Finalmente y sin realizar un procedimiento rigurosode las ecuaciones puesto que no se manipulan directa-mente en este experimento, es posible colocar el vol-taje Hall VH en funcion de la temperatura que solose enuncia a continuacion:

pE = −pS2

+

√p2S

4+ η2 (9)

donde η esta en funcion de la temperatura y repre-senta una cantidad denominada densidad efectiva deestado cuyo valor depende de una funcion exponen-cial decreciente y se obtiene al multiplicar la densidadtotal de huecos por la densidad de los electrones quetambien dependen de la temperatura y se modelancomo funciones exponenciales decrecientes. Por tan-to, se tiene una expresion en terminos de las densi-dades lo cual hace posible investigar que ocurre conel voltaje Hall al variar la temperatura y las transi-ciones de conductividad extrınseca e intrınseca.

2. Procedimiento Experimental

Se utiliza un montaje como el de la imagen,

Figura 2: Montaje Experimental del Efecto Hall.

2

en el cual una placa de Germanio se encuentrarodeada por dos bobinas las cuales con su respectivosistema pueden variar el campo magnetico que inci-de sobre la placa. A su vez, dos sistemas adicionalesson capaces de moderar la corriente que atraviesa laplaca y la temperatura de la misma y una salida depotencial que conectada a un sistema del computadorregistra la evolucion temporal del VH gracias a la son-da Hall.• Los primeros registros que se guardan correspondena la variacion del Voltaje Hall como funcion de la co-rriente correspondiente a distintos campos magneti-cos.• La segunda serie de datos que se registraron corres-ponden a la variacion del Voltaje Hall como funciondel Campo magnetico para una corriente constante.• La tercera serie de registros de datos correspondena la variacion del Voltaje Hall en funcion de la Tem-peratura para una corriente constante, y realizandola medicion para diferentes campos magneticos.

Para los componentes utilizados es preciso recal-car que el cristal de Germanio p-dopado es extrema-damente fragil y no se deben exceder corrientes de33mA.

Anotacion: Es importante resaltar que por moti-vos de ruido de la red electrica interna no se pudieronrealizar las mediciones pues estos ruidos interferıanen el circuito y no se lograba estabilizar el voltajeHall, por lo que los analisis se realizan entorno a me-diciones antiguas ya registradas en el sistema.

3. Resultados y discusion

3.1. Voltaje Hall como funcion de la co-rriente

Se realizaron doce tomas de datos para valoresdistintos del campo magnetico aplicado, sin embargosolo se representaran seis de estos para evitar conges-tion en la grafica (figura 3).

0.005 0.01 0.015 0.02 0.0250

0.01

0.02

0.03

0.04

0.05

0.06

0.07

0.08

0.09

0.1

Corriente [A]

Vol

taje

Hal

l [V

]

Voltaje Hall vs. Corriente (1)

0,166 T

0,213 T

0,250 T

0,114 T

0,061 T

0,019 T

Figura 3: Voltaje Hall en funcion de la corriente paradistintos valores del campo magnetico

Se observa la dependencia lineal entre VH y laintensidad de corriente para valores constantes delcampo magnetico, lo cual comprueba una parte de larelacion matematica (1). Para concretar la veracidadexperimental de dicha expresion, bastara con estu-diar la dependencia entre VH y un campo magneticoconstante para distintos valores.

Para cada conjunto de datos obtenidos a partir delos diferentes valores del campo magnetico constante,se realizo un ajuste lineal y = mx usando el metodode mınimos cuadrados; en el cuadro 1 se presentandichos resultados.

B [T] m [V/A] ∆m [V/A]

0,006 0,99 0,01

0,019 1,13 0,01

0,034 1,33 0,01

0,061 1,64 0,01

0,086 1,92 0,01

0,114 2,13 0,01

0,139 2,46 0,01

0,166 2,78 0,01

0,189 3,03 0,01

0,213 3,25 0,01

0,233 3,44 0,01

0,250 3,59 0,01

Cuadro 1: Pendiente para cada ajuste lineal del vol-taje Hall en funcion de la corriente

En el cuadro 1 no debe pensarse que todos los va-lores de la pendiente poseen el mismo error, esta ca-sualidad sucede por aproximar dichas incertidumbresa dos cifras decimales. La ecuacion de la pendiente(ver apendice 1, parte A) para las rectas representa-das en la figura 1, esta dada por:

m =RH ·Bd

A temperatura ambiente la densidad de huecos ps de-bida al germanio p-dopado predomina sobre la den-sidad de huecos por conduccion intrınseca pe y por lotanto se puede aproximar nE = pE ≈ 0, en donde nEes la densidad de electrones debida a la conduccionintrınseca del material. Bajo esta lınea de razona-miento y de acuerdo a las ecuaciones (1) y (2), ps sepodra hallar de la siguiente manera y en el cuadro2 se muestraran los resultados para cada valor delcampo magnetico:

ps =B

e0 · d ·m

En donde d = 1, 0×10−3[m] corresponde al grosor dela muestra de germanio. El error de la anterior mag-nitud se encuentra detallado en el apendice 1 (parteB).

3

ps × 1020[1/m3] ∆ps × 1018[1/m3]

0,38 0,26

1,04 0,79

1,60 0,81

2,31 1,65

2,79 1,64

3,35 2,27

3,53 1,74

3,72 1,83

3,89 1,71

4,09 1,48

4,22 1,11

4,34 1,04

Cuadro 2: ps para cada valor del campo magnetico

Haciendo uso de las ecuaciones que relacionan lavelocidad y la movilidad de huecos con el voltaje Hally algunas propiedades del material como sus dimen-siones, es posible obtener valores para las dos magni-tudes mencionadas:

vp[m/s] µp[m2/V s]

495,2 7,07

179,2 2,56

117,1 1,67

80,9 1,16

67,1 0,96

56,0 0,80

53,0 0,76

50,3 0,72

48,2 0,69

45,8 0,65

44,4 0,63

43,1 0,62

Cuadro 3: vp y µp para cada valor del campo magneti-co.

3.2. Voltaje Hall como funcion del campomagnetico

En el cuadro 3 se presentan los datos obtenidos apartir de variar el campo magnetico y medir el vol-taje Hall VH , la corriente se mantuvo constante a 30[mA].En la figura ** se observa una dependencia lineal en-tre el voltaje Hall y el campo magnetico, si combina-mos este resultado con el anterior con respecto a lacorriente se confirma la ecuacion 1 y es posible hallarel coeficiente Hall RH mediante la pendiente de larecta m2 ası:

m2 =RH · Id

→ RH =m · dI

B ± 5× 10−5[T ] VH ± 5× 10−5[V ]

0,00000 -0,00480

-0,00015 -0,00465

-0,00015 -0,00435

-0,00045 -0,00465

0,03150 0,00435

0,07980 0,01650

0,13575 0,03090

0,17700 0,04065

0,21195 0,04875

0,21120 0,04800

0,21420 0,04875

0,21360 0,04860

0,21345 0,04875

Cuadro 4: Voltaje Hall con variacion del campomagnetico aplicado

0 0.02 0.04 0.06 0.08 0.1 0.12 0.14 0.16 0.18 0.2

0

0.01

0.02

0.03

0.04

0.05

B[T]

VH

[V]

Voltaje Hall vs. Campo magnético

Figura 4: Voltaje Hall en funcion del campo magneti-co para I = 30[mA]

En la practica se realizaron dos tomas de datospara este paso, la que se muestra y otra en la que seinvertıa el sentido del campo magnetico, se presen-taran ambos resultados (cuadro 4) con sus respecti-vos errores que se encuentran detallados en la parteC del apendice 1.

m2 ±∆m2[V/T ] RH [m3/As] ∆RH [m3/As]

1 0,249 ± 0,002 8,31×10−3 6,38×10−5

2 0,250 ± 0,002 8,34×10−3 7,55×10−5

Cuadro 5: Coeficiente Hall para dos tomas de datos

El hecho de que las graficas no partieran del ori-gen no influye en el calculo de RH , ya que solo se tieneen cuenta el grado de inclinacion de dichas rectas yeste no varıa ante las traslaciones.

4

3.3. Voltaje Hall como funcion de la tem-peratura

En la figura ** se muestra la dependencia entreel Voltaje Hall y la temperatura:

-0,0008

0,0042

0,0092

0,0142

0,0192

0,0242

0,0292

0,0342

0,0392

0,0023 0,0025 0,0027 0,0029 0,0031 0,0033

VH

[V]

T +293 [K]

Voltaje Hall vs. Temperatura

Figura 5: Voltaje Hall en funcion de la temperatura

A temperatura ambiente el comportamiento deVH se debe a huecos creados por los atomos acep-tores en el germanio. Al aumentar la temperatura eltransporte de carga se debe cada vez mas a electronesactivados termicamente. Cuando el numero de elec-trones excede el numero de huecos el voltaje Hall sevuelve negativo.A temperaturas altas la densidad de electrones y hue-cos es aproximadamente la misma. El voltaje Hal seaproxima finalmente a cero gracias a los campos in-versos pero de igual magnitud de los electrones y loshuecos.

4. Conclusiones

Se verifico la linealidad entre el voltaje Hall yel campo magnetico descrito por la figura 3 co-mo era lo esperado pues al aumentar el cam-po magnetico, la fuerza de Lorentz que experi-mentan los portadores de carga se incrementa ypor lo tanto exisitra un campo Hall mayor paraequilibrar dicha fuerza, con lo cual se deduceque el voltaje Hall tambien aumenta.

Se verifico que la movilidad de los portadores decarga aumenta cuando existe mayor velocidadde deriva y viceverza puesto ambas cantidadesdependen del inverso del campo magnetico porlas ecuaciones (7) y (8).

Se calculo el coeficiente Hall para un semicon-ductor p-germanio con un valor promedio de(8, 33× 10−3 ± 4, 94× 10−5)[m3/As].

Como lo muestra la figura 5, a medida que latemperatura se aumenta el voltaje Hall dismi-nuye debido a que existe una transicion parala cual comienza a existir mayor conductividadintrınseca de electrones de las capas valenciasdebido a la energıa termica lo cual hace que pre-domine sobre la conductividad extrınseca debi-do al dopaje (huecos).

Referencias

[1] Eisberg, Robert Martin y RobertResnick, Fısica cuantica: atomos, molecu-las, solidos, nucleos y partıculas. Limusa,Mexico, 1978.

[2] Young, Hugh D., Roger A. Freed-man, A. Lewis Ford y Francis Wes-ton Sears, ((Sears and Zemansky’s uni-versity physics: with modern physics 11thed)). San Francisco: Pearson Addison Wes-ley, 2004.

[3] Ardila Vargas, Angel Miguel Fısi-ca experimental. Universidad Nacional deColombia (Bogota). Facultad de Ciencias:2007.

5. Apendice 1

5.1. Parte A

La incertidumbre para los valores de la pendientehallados por el metodo de mınimos cuadrados esta da-da por:

σ =

√∑Ni=1(Yi −mXi − b)2

N − 2

∆m =

√Nσ√

N∑N

i=1X2i − (

∑Ni=1Xi)2

5.2. Parte B

La densidad de huecos debida a la conduccion porel dopaje p presenta la siguiente incertidumbre:

∆ps =B

e0 · d ·m2∆m

5.3. Parte C

La incertidumbre para el coeficiente Hall esta re-presentada por la siguiente expresion matematica:

∆RH =d

I∆m2

5