LIBRO PARA EL MAESTROMATEMÁTICAS

CUARTO GRADO

Maestra, maestro:

Forma tu biblioteca. Cuida Tus libros

Este libro ha sido elaborado por el Gobierno de la República y se entrega gratuitamente a todos los maestros de educación primaria del país. Forma parte del proyecto general de mejoramiento de la calidad en la educación básica y tiene el propósito de apoyar al maestro en el desempeño de su práctica docente.

El libro no está sujeto a ninguna disposición de resguardo, es para el uso personal del maestro que lo recibe, quien podrá conservarlo indefinidamente y usarlo en el ciclo escolar siguiente, en caso de continuar atendiendo el mismo grado. Si cambia de grado, deberá recibir los materiales para el maestro que correspondan. Al paso del tiempo, y con cada dotación, el maestro podrá ir formando una biblioteca básica sobre la enseñanza de los contenidos correspondientes a la educación primaria.

Los juicios y opiniones de los maestros son indispensables para mejorar la calidad de este libro. Sus comentarios pueden ser enviados a la siguiente dirección:

SUBSECRETARÍA DE EDUCACIÓN BÁSICA Y NORMAL DIRECCIÓN GENERAL DE MATERIALES Y MÉTODOS EDUCATIVOS

Avenida Cuauhtémoc 1230, octavo piso, Santa Cruz Atoyac, 03310, Benito Juárez, México, D.F.

El Libro para el maestro. Matemáticas. Cuarto grado fue elaborado en la Dirección General de Materiales y Métodos Educativos de la Subsecretaría de Educación Básica y Normal de la Secretaría de Educación Pública

Coordinación general Elisa Bonilla Rius Alba Martínez Olivé Rodolfo Ramírez Raymundo

Redacción Víctor Manuel García Montes

Asesoría Hugo Balbuena Corro

Colaboración María de los Ángeles Olivera Bustamante Irma Griselda Pasos Orellana

Coordinación editorial Elena Ortiz Hernán Pupareli

Diseño Mauro Calanchina Poncini

Cuidado de la edición José Agustín Escamilla Viveros

Supervisión técnica Alejandro Portilla de Buen

Formación Martín Aguilar Gallegos

Portada Diseño: Comisión Nacional de Libros de Texto Gratuitos, con la colaboración de Luis Almeida

Ilustración: Matemáticas. Cuarto grado, SEP, 1994. Presencia núm. III, Fernando García Ponce, acrílico sobre tela, 1972. Museo de Arte Moderno, México, D.F. Reproducción autorizada por el Instituto Nacional de Bellas Artes y Literatura

Primera edición, 1994 Segunda edición, 2001 Tercera edición, 2002 Segunda reimpresión, 2004 (ciclo escolar 2004-2005)

D.R. © Secretaría de Educación Pública, 1994             Argentina 28, Centro,             06020, México, D. F.

ISBN 970-18-7719-5

Impreso en México DISTRIBUCIÓN GRATUITA-PROHIBIDA SU VENTA

Índice

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Presentación

Introducción

Recomendaciones didácticas generales

Recomendaciones didácticas por eje

Recomendaciones de evaluación

Sugerencias bibliográficas para el maestro

Bibliografía consultada y créditos de ilustración

Presentación

En el año escolar 1993-1994 se aplicó la primera etapa de la reforma de los planes y programas de estudio de la educación primaria. En esa etapa el nuevo currículo entró en vigor en los grados primero, tercero y quinto, y a partir del año escolar 1994-1995 se aplica también en los grados segundo, cuarto y sexto.

Al mismo tiempo que se reformaron los planes y programas de estudio, se inició la renovación de los libros de texto gratuitos que el gobierno de la República entrega a todos los alumnos de las escuelas primarias del país.

Con objeto de asegurar el conocimiento preciso del nuevo currículo, se ha enviado a todos los maestros y directivos escolares un ejemplar del libro Plan y programas de estudio. Educación básica. Primaria, en el que se describen los propósitos y contenidos de la enseñanza de cada asignatura y grado y del ciclo en su conjunto.

La reforma del currículo y los nuevos libros de texto tienen como propósito que los niños mexicanos adquieran una formación cultural más sólida y desarrollen su capacidad para aprender permanentemente y con independencia. Para que esta finalidad se cumpla, es indispensable que cada maestro lleve a la practica las orientaciones del plan y los programas y utilice los nuevos materiales educativos en forma sistemática, creativa y flexible.

Tradicionalmente la Secretaría de Educación Pública distribuye los libros para el maestro como un apoyo al trabajo profesional que se realiza en nuestras escuelas primarias. La forma de organización y presentación de estos libros ha sido modificada. En el pasado se integraban en un solo volumen las recomendaciones didácticas correspondientes a todas las áreas o asignaturas de un grado. A partir de esta etapa hay libros de menor volumen para cada asignatura de un grado o, excepcionalmente, para una pareja de asignaturas interrelacionadas estrechamente.

Esta nueva organización del Libro para el maestro tiene como propósito facilitar su manejo, actualización y mejoramiento, así como proporcionar material de estudio adecuado para los maestros que deseen profundizar en la enseñanza de una asignatura, a lo largo de todo el ciclo de la educación primaria.

La nueva presentación integra abundantes propuestas para la enseñanza de los contenidos y la utilización del libro de texto y otros materiales educativos de cada asignatura y grado escolar. Adicionalmente, los maestros recibirán el Fichero. Actividades didácticas. Matemáticas. Cuarto grado y podrán consultar el Avance Programático. Cuarto grado. Educación básica. Primaria, recurso auxiliar para planear y organizar la secuencia, dosificación y articulación de contenidos y actividades de enseñanza.

Este Libro para el maestro. Matemáticas. Cuarto grado no tiene una finalidad directiva ni es su pretensión indicar a los profesores, de manera rígida e inflexible, lo que tienen que hacer en cada clase o en el desarrollo de cada tema. El contenido del libro y su presentación parten de reconocer la creatividad del maestro y la existencia de múltiples métodos y estilos de trabajo docente. Por esta razón, las propuestas didácticas son abiertas y ofrecen amplias posibilidades de adaptación a las formas de trabajo del maestro, a las condiciones específicas en las que realiza su labor y a los intereses, necesidades y dificultades de aprendizaje de los niños.

El Libro para el maestro. Matemáticas. Cuarto grado, además de ser un recurso práctico para apoyar el trabajo en el aula, se ha concebido como un medio para estimular y orientar el análisis colectivo de los maestros sobre su materia de trabajo, ya sea que se realice de manera informal o como actividad

del Consejo Técnico. Igualmente, el libro será material básico de actividades y cursos de actualización profesional.

Los planes y programas de estudio, los libros de texto gratuitos y otros materiales didácticos, destinados a los maestros y a los alumnos, son instrumentos educativos que deben ser corregidos y mejorados con frecuencia y sistemáticamente, a la luz de los resultados que se obtienen al utilizarlos en la práctica. Es por ello que la Secretaría de Educación Pública reitera la atenta invitación hecha a los profesores de educación primaria para que envíen a esta dependencia sus opiniones y recomendaciones relativas al mejoramiento de los instrumentos educativos mencionados y en particular del presente libro.

Secretaría de Educación Pública

Introducción

La formación matemática que permita a cada miembro de la comunidad enfrentar y dar respuesta a los problemas matemáticos que se presentan en la vida moderna dependerá en gran medida de las habilidades y nociones desarrolladas durante la educación primaria, así como de los conocimientos construidos dentro y fuera de la escuela. El tipo de experiencias que tengan los niños durante el proceso de enseñanza, estudio y aprendizaje de las matemáticas en la educación primaria, determinará también las actitudes que asuman ante los problemas que requieran el uso de esta disciplina.

El Plan y programas de estudio. Educación básica. Primaria plantea estudiar en las aulas una matemática que permita a los alumnos construir conocimientos a través de la resolución de situaciones problemáticas que despierten su interés y su deseo de búsqueda de soluciones. Paralelamente, la propuesta pretende ofrecer a los alumnos la oportunidad de desarrollar habilidades para estimar, medir, comunicar (de manera oral y escrita), operar (mentalmente y con los algoritmos usuales) para hacer inferencias y generalizaciones. Asimismo, se pretende que el alumno disfrute al hacer matemáticas desarrollando su creatividad e imaginación.

La comprensión y uso de conceptos matemáticos, el dominio de los algoritmos usuales y la habilidad para resolver diversos problemas se apoya firmemente en la evolución de los conocimientos previos. La evolución de éstos se dará en la medida en que el maestro proponga diversos retos a sus alumnos. El papel del maestro es fundamental como mediador entre los saberes de los alumnos, las situaciones de aprendizaje y el conocimiento matemático que tiene rango social.

Por tanto, las situaciones de aprendizaje que los maestros pueden proponer constituyen la materia prima necesaria para generar hipótesis, estrategias y

procedimientos por parte de los alumnos. Dada la dificultad para diseñar diversas situaciones de aprendizaje, los maestros de educación primaria cuentan con un repertorio importante en los libros de texto gratuitos y en los ficheros de actividades didácticas.

Propósitos generales del grado

Con fundamento en este enfoque se espera que, a lo largo del cuarto grado, el alumno logre obtener experiencias significativas en las que:

Desarrolle la habilidad para leer, escribir, ordenar, ubicar en la recta numérica y comparar números naturales hasta de cinco cifras y números decimales hasta centésimos. Desarrolle estrategias para estimar y calcular mentalmente el resultado de problemas de suma, resta y multiplicación. Desarrolle la capacidad para reconocer, plantear y resolver problemas que impliquen el algoritmo de las cuatro operaciones fundamentales. En el caso de la división, con divisores hasta de dos cifras. Resuelva problemas que impliquen el uso de fracciones en situaciones de reparto, medición, comparación, equivalencia u orden. Resuelva problemas que impliquen el uso y equivalencia de unidades de longitud, peso, superficie, capacidad y tiempo para profundizar en el estudio del Sistema Métrico Decimal. Adquiera, a través de la comparación de giros, la noción de ángulo y la capacidad para medirlos en fracciones de vuelta o en grados. Desarrolle la habilidad para elaborar e interpretar croquis y representar puntos y desplazamientos en el plano. Desarrolle la habilidad en el manejo de diferentes instrumentos de geometría para trazar líneas paralelas y perpendiculares, figuras, ejes de simetría y desarrollos planos de cuerpos geométricos. Use las tablas de variación proporcional directa en la resolución de problemas. Desarrolle la capacidad de recolectar, organizar, comunicar e interpretar información que provenga de encuestas, tablas, gráficas, pictogramas, etcétera. Adquiera la capacidad de estimar los resultados de diferentes juegos de azar, utilizando los términos "más probable que" y "menos probable que", los registre y los organice en tablas de frecuencias.

Organización de los contenidos

Los contenidos de Matemáticas, a lo largo de la educación primaria, se han organizado alrededor de seis ejes:

Los números, sus relaciones y sus operaciones Geometría Medición Tratamiento de la información Procesos de cambio La predicción y el azar

En cuarto grado se introducen contenidos correspondientes al eje "Procesos de cambio", los cuales se tratarán con mayor profundidad en los siguientes grados de la educación primaria.

La organización por ejes no significa que los contenidos de cada uno deban tratarse de manera aislada o independiente. Ha de buscarse sistemáticamente la interrelación entre los contenidos correspondientes a cada uno de los diferentes ejes. Cabe señalar, por otra parte, que tal interrelación debe tratar de hacerse de manera natural sin forzar la incorporación de otros contenidos.

Por ejemplo, en la actividad que consiste en trazar figuras con igual perímetro, pero diferente área (véase, la lección "Hilaza para el contorno", p. 42) se trabajan varios contenidos: la medición con el centímetro cuadrado, la multiplicación y el trazo y manejo de formas geométricas, entre otros.

Recomendaciones didácticas generales

Para que las matemáticas puedan disfrutarse, su enseñanza debe incluir informaciones y aplicaciones útiles e interesantes para el niño. Al enseñar matemáticas no sólo se pretende promover aprendizajes significativos, sino también fomentar el gusto por esta asignatura. Esta nueva presentación de la matemática está más cerca de los intereses infantiles; es una matemática atractiva y lúdica, pero también útil y significativa.

Con base en esta idea se trabaja a partir de situaciones propias de la cultura infantil, presentando una matemática más cercana al niño. Los animales y las plantas, los juegos, la lectura, los libros y el periódico infantil -entre otros- son soporte y contexto de los contenidos matemáticos. Por lo mismo, se han incorporado noticias periodísticas, notas deportivas, sorteos, anuncios, carteles, datos sobre animales, plantas y fenómenos naturales. El objetivo es que, paralelamente al aprendizaje de las matemáticas, los niños manejen información diversa y se interesen por indagar sobre temas de otras asignaturas o intereses personales que apenas se tocan.

Por esta razón en el libro del alumno no aparecen definiciones formales; éstas son, en todo caso, la conclusión de actividades realizadas a lo largo de una o varias sesiones.

El papel del profesor en la enseñanza de las matemáticas

La participación del profesor es esencial para el éxito de esta propuesta. Es el organizador, el coordinador de las actividades, el que orienta a los alumnos en las dificultades, quien sugiere fuentes de información y da apoyo adicional cuando es necesario.

Sin el apoyo del profesor en la lectura, algunas páginas del libro de texto probablemente resulten incomprensibles para el niño. Un ejemplo de esto son las lecciones dedicadas al algoritmo de la multiplicación y al de la división (véase Matemáticas. Cuarto grado, pp. 34, 60, 104 y 108 ). Puede decirse que éstas lecciones requieren especialmente de la participación directa del profesor. Con base en ellas puede, como mediador del diálogo con el libro, ayudar a los niños a entender los algoritmos y otras nociones asociadas a la multiplicación y a la división.

La actividad central del maestro en la enseñanza de las matemáticas va mucho más allá de la transmisión de conocimientos, definiciones y algoritmos matemáticos:

Selecciona problemas matemáticos que sean adecuados para propiciar el aprendizaje de los distintos contenidos. Elige actividades para favorecer que los alumnos pongan en juego los conocimientos matemáticos que poseen, graduándolas de acuerdo con su nivel. Propone situaciones que contradigan las hipótesis de los alumnos, favoreciendo la reflexión sobre los problemas y la búsqueda de nuevas explicaciones o procedimientos que los aproximen hacia la formalización de los conocimientos matemáticos. Promueve y coordina la discusión sobre las ideas que tienen los alumnos acerca de las situaciones que se plantean, mediante preguntas que permitan conocer el porqué de sus respuestas.

Los conocimientos previos de los niños

La enseñanza de las matemáticas basada en la resolución de problemas se apoya en la idea de que los niños tienen, además de los conocimientos aprendidos en la escuela, conocimientos adquiridos en la calle, en la casa, en los juegos, etcétera, que les permiten solucionar problemas diversos.

Al resolver las situaciones que el maestro les presenta, los niños utilizan los conocimientos y concepciones construidos previamente. Por ello, la enseñanza de las matemáticas se entiende como la promoción y enriquecimiento de las concepciones iniciales del alumno, mediante un proceso que, a través de la presentación de situaciones concretas, lo llevan a abandonar, modificar o enriquecer dichas concepciones, y a acercarse paulatinamente al lenguaje y los procedimientos propios de las matemáticas, sin olvidar que dicho proceso es largo y complejo.

Los conocimientos previos y los procedimientos iniciales de los niños en la resolución de problemas deben ser, en el discurso y en los hechos, el punto de partida para avanzar en la construcción de nuevos conocimientos.

La resolución de problemas y la adquisición de conocimientos significativos

Con el propósito de que los alumnos aprendan matemáticas a través de la resolución de problemas, se pide a los niños que los resuelvan utilizando sus propias estrategias y recursos, sin imponerles restricciones ni indicarles caminos precisos; como el algoritmo convencional. Cuando los alumnos tienen libertad para buscar la manera de resolver un problema, utilizando las operaciones que conocen o con otros procedimientos (con material, dibujos, cálculo mental, etcétera), por lo general encuentran, al menos, una forma de aproximarse a la solución. Dichas estrategias se deberán dar a conocer al grupo para determinar cuáles llevaron a la solución del problema y cuáles no. Comparar las estrategias pertinentes favorece que los alumnos observen que unas son más sencillas que otras, es decir, más económicas, y que éstas les permiten llegar con mayor facilidad a la solución del problema. De manera paulatina, a través del diálogo entre los compañeros, el maestro y el libro de texto, los niños evolucionarán en sus procedimientos de solución, aproximándose a los procedimientos convencionales. Posteriormente, el maestro deberá proponer el procedimiento convencional como una forma, más económica para encontrar la solución.

Es probable que después de que se les haya enseñado el procedimiento usual, los alumnos continúen utilizando sus estrategias con las que los han resuelto. Es recomendable permitírselos y después recordarles que también pueden resolverse con el procedimiento convencional enseñado. Poco a poco, en la medida en que los alumnos comprendan éste último procedimiento se apropiarán de él y lo utilizarán para resolver problemas. Mediante este proceso se espera que las expresiones matemáticas y los algoritmos de cálculo convencionales tengan sentido y sean de utilidad para los niños.

De acuerdo con lo anterior, para llegar al procedimiento usual de cada una de las operaciones aritméticas, los niños deben resolver primero diversos problemas mediante sus propios recursos; éstos implican la búsqueda creativa de variados caminos, ensayos y errores. Este acercamiento paulatino a los algoritmos convencionales permitirá al alumno comprenderlos, cuando se enfrente a ellos. Por otra parte, la posibilidad de resolver problemas con sus propios recursos facilitará al estudiante desarrollar su capacidad de razonamiento.

Es importante señalar que al permitir a los niños usar sus propias estrategias no sucede que cada uno utilice una estrategia diferente y que, por lo tanto, el maestro tenga que conciliar 30 o 40 procedimientos distintos para cada problema. Los estudios realizados al respecto muestran una regularidad en los recursos que los niños utilizan. Es decir, no aparecerán más que un número manejable de estrategias de resolución que obedecen al momento de desarrollo conceptual en el cual los niños se encuentran.

Por otra parte, la discusión misma les permitirá adoptar aquellas estrategias utilizadas por sus compañeros que consideren mejores. Interrogantes como: ¿qué forma de resolver este problema les gusto más? ¿Con cuál procedimiento pueden resolver más rápido el problema?, son cuestionamientos clave que el maestro puede formular para promover la comparación de estrategias y llevar a los niños a seleccionar las que les parezcan más económicas.

Es recomendable que el maestro proponga también problemas que tengan diferentes respuestas correctas, con el propósito de que los alumnos no se acostumbren a resolver sólo problemas con respuestas únicas (véase, por ejemplo, "El puesto de tortas", libro de texto, p. 180).

Antes de presentar o redactar un problema es importante que el maestro tenga claro qué propósito se persigue. Por otro lado, debe asegurarse que el problema cumpla con determinadas condiciones:

Que responda a una necesidad o interés del niño. Que despierte el interés de búsqueda para resolverlo. Que pueda expresarse en varios lenguajes (aritmético, geométrico, gráfico, etcétera) y que sea posible la traducción de uno a otro. Que su grado de dificultad no sea tan alto como para desanimar a los alumnos. Que a veces los problemas tengan más de una respuesta correcta.

Desde esta perspectiva la resolución de problemas es fuente y criterio de verdad de los conocimientos para el niño. Se aprende al resolver problemas nuevos porque se construyen conocimientos para poder hacerlo; se aprende también cuando se aplican los conocimientos a situaciones diversas porque se abstrae y se generaliza el saber anteriormente construido. Es ahí donde se muestra la solidez y validez de los conocimientos.

El diálogo y la interacción en la clase de matemáticas

Ésta es una propuesta para dialogar con el compañero de banca, con los compañeros de equipo, con el maestro y para interactuar con la información escrita y con las ilustraciones del propio libro o de otras fuentes. Se aprende más y más rápidamente si se dialoga con los compañeros y con el maestro. Escuchar las opiniones de los demás, preguntar, refutar, comparar y argumentar redunda en beneficio de alumnos y maestros. El grupo es una instancia educadora, y el texto, material fundamental con que se cuenta en las escuelas, promueve desde sus páginas el diálogo, la confrontación y el aprendizaje en grupo.

En la construcción de conocimientos, la interacción entre compañeros y alumnos con el maestro juega un papel fundamental. La confrontación de estrategias y respuestas ayuda a los niños a percatarse de que puede haber

mejores formas para solucionar un problema determinado; también permite ayudar a los compañeros menos avanzados en el proceso de aprendizaje, así como a los más adelantados, a verificar respuestas y enriquecer conocimientos. Se espera que en este diálogo el niño construya los conocimientos y desarrolle las habilidades matemáticas planteadas para el cuarto grado.

El diálogo, la confrontación y el convencimiento deben prevalecer en el proceso educativo. Aprovechar los momentos en los que los alumnos resuelven alguna situación problemática con procedimientos propios y no convencionales, para comunicarlo al resto del grupo, es una tarea que se debe llevar a cabo todos los días. El hecho de explicar los procedimientos permite que sea el propio niño quien convenza a los otros de su validez, sin que deba esperar una respuesta externa que apruebe sus acciones, lo que contribuye a fortalecer la seguridad del alumno. El maestro también debe tener en cuenta que no todas las respuestas de los niños son correctas, por lo que es necesario analizar tanto los procedimientos que llevan a una solución acertada como los que no.

Es formativo, para clarificar la naturaleza del error, que el alumno sepa por qué con determinados procedimientos no es posible resolver el problema. Esto se puede lograr si el maestro propicia un clima para que los niños expliquen la lógica de sus estrategias, identifiquen sus errores y los corrijan. Este proceso ayuda a disminuir la frustración que genera el no resolver correctamente un problema matemático.

El maestro, entonces, debe considerar que durante la enseñanza y el aprendizaje hay tres momentos en el planteamiento de un problema o actividad:

Cuando el maestro organiza a su grupo en equipos, en parejas o de manera individual y en el que se plantea la actividad. Cuando los niños se hacen cargo del problema, es decir, en el momento en que los alumnos realizan las acciones que consideran pertinentes para resolverlo y en el que el maestro observa cómo lo hacen. Cuando se discuten, se validan, se socializan los procedimientos encontrados por los alumnos y se analizan sus ventajas y sus desventajas.

El uso del libro de texto y las fichas didácticas

Los materiales con los que el maestro cuenta para trabajar en el transcurso del año escolar son: el libro para el maestro, el libro de texto, un fichero de actividades didácticas y el avance programático.

El libro del alumno ayuda al profesor a organizar la clase porque contiene los elementos básicos para apoyar el proceso de construcción de cada concepto. Es decir, en cada lección se presenta una situación problemática a partir de la

cual se derivan actividades, preguntas, discusiones, simbolizaciones y ejercicios de aplicación que, en conjunto, permiten lograr los propósitos del tema en cuestión.

Las ilustraciones del libro de texto juegan un papel fundamental para la solución de ejercicios y problemas, por lo que el alumno deberá entender que no son únicamente decorativas y tendrá que aprender a interpretarlas. Las consignas incluidas en las lecciones, como "Compara tu procedimiento o tu resultado con tus compañeros", " Organízate en equipo" o "Trabaja con un compañero", se incorporan porque la dificultad o la novedad de la tarea hacen necesaria la ayuda mutua, el intercambio de puntos de vista y la conjunción de ideas para promover el aprendizaje colectivo y la reflexión individual.

Las situaciones problemáticas que se plantean en el libro no presentan explicaciones de cómo resolverlas o definiciones conceptuales, pues su propósito es que los alumnos, de manera individual, por grupos o en parejas, aborden las lecciones de acuerdo con las consignas señaladas, para que busquen estrategias de solución, discutan y reflexionen sobre sus procedimientos que, finalmente, los llevarán al conocimiento deseado.

Además, las actividades propuestas en las fichas didácticas son sugerencias complementarias que apoyan y enriquecen la propuesta contenida en el libro del alumno, mismas que el maestro podrá utilizar cuando lo considere necesario -porque hay que reforzar algún tema o porque las actividades incorporadas en el libro no son suficientes- antes o después de tratar algún tema, adaptarlas y proponer otras actividades que el propio maestro considere pertinentes.

En el avance programático se sugiere una forma de integrar las actividades de ambos materiales; el maestro debe tomar en cuenta que hay algunas lecciones que introducen al tema y otras que requieren de actividades previas, como las que se sugieren en las fichas didácticas.

En cualquiera de los dos casos el libro de texto contiene los puntos clave del proceso de aprendizaje. Al maestro le corresponde iniciar, adaptar o ampliar la secuencia propuesta en el libro, utilizando las actividades y problemas propuestos en las fichas.

Importancia del uso de material concreto

Si bien el empleo de material concreto en los primeros grados es indispensable, en cuarto grado también es muy importante para continuar con la construcción o el desarrollo de muchos conocimientos matemáticos.

Generalmente se asocia la palabra actividad a la manipulación de objetos. Si para resolver un problema el maestro entrega el material a los alumnos y les indica la manera en que deben utilizarlo, aprenderán a seguir instrucciones, pero muy probablemente no podrán comprender por qué tuvieron que realizar dichas acciones con el material. En cambio, si plantea el problema, les entrega el material y les da libertad de usarlo como ellos consideren conveniente para encontrar la solución, los niños pondrán en juego sus conocimientos sobre la situación planteada, echarán mano de experiencias anteriores y utilizarán el material como un recurso que les ayude a resolver los problemas.

En muchas de las actividades que realizan los niños de cuarto grado, el material concreto es necesario. Algunas veces lo utilizan como un instrumento que permite buscar, construir y llegar a la solución de un problema. Éste es el caso de las secuencias planteadas para la medición de longitudes usando fracciones, cuya comprensión y manejo sería prácticamente inaccesible sin el apoyo del material concreto (véase, por ejemplo, "La tienda del pueblo", p.14).

En otras ocasiones el material es un instrumento que permite verificar las hipótesis y soluciones anticipadas por los niños, por ejemplo, cuando se utiliza para comprobar si la estimación del resultado de un cálculo o una medición son o no correctos. En este sentido, el papel del material concreto es fundamental, dado que uno de los propósitos de la educación primaria es que los alumnos desarrollen la habilidad para calcular, estimar y verificar sus resultados.

La mayor parte del material que se utiliza durante el año se ha incorporado en el libro de texto. Éste está compuesto por 19 recortables y puede completarse con corcholatas de colores, semillas, etcétera. De este modo, cuando el maestro lo necesite, tendrá el material suficiente para desarrollar su curso. Se sugiere que el profesor solicite ayuda a los padres de familia cuando la tarea de recortar sea difícil para los niños. También será conveniente guardar el material en un sobre o en una bolsa con el nombre de cada alumno. La intención es que se conserve todo el año y pueda utilizarse cuantas veces sea necesario.

Otros materiales que el maestro debe utilizar para que el desarrollo de los temas son: periódicos, revistas infantiles, los Libros del Rincón editados por la Secretaría de Educación Pública u otros, como fuentes de situaciones para el trabajo matemático. El uso de estos materiales ayudará a que los problemas sean más interesantes, reales y atractivos para los niños. Asimismo, permitirá relacionar la matemática con otras asignaturas del plan de estudios.

Por ejemplo, pueden establecerse relaciones con Geografía a través de la lectura y la elaboración de croquis y mapas; con Historia, mediante el cálculo

de los años que han transcurrido desde determinado acontecimiento al elaborar "la línea del tiempo"; con Ciencias Naturales, a partir de situaciones basadas en datos referentes a los hábitos, la alimentación o el peso de algunos animales y además apoyará la lectura, actividad fundamental en la formación de los niños propia de Español y, desde luego, en el aprendizaje de las Matemáticas.

Recomendaciones didácticas por ejeLos números, sus relaciones y sus operaciones

Los números naturales

Este eje tiene como uno de sus objetivos centrales el estudio y uso del sistema de numeración decimal. El rango que se trabaja en el cuarto grado es el de las decenas de millar. Para el trabajo en esta dirección el maestro deberá tener en cuenta que, con frecuencia, los niños conocen los números más allá de lo que han aprendido en la escuela, debido a que los utilizan funcionalmente.

Se parte de la idea de que los alumnos reconocen y usan los números en rangos mayores a los previstos en la escuela para resolver situaciones y problemas que se les presentan en las diversas actividades que desarrollan en sus juegos y en sus compras.

Para iniciar el trabajo con la numeración se sugiere promover el reconocimiento y uso de los números que los niños conocen, a través de preguntas como: ¿qué números conoces? ¿Dónde has visto números? ¿Qué números sabes escribir? ¿Cuál es el número más grande que conoces? ¿Cuál es el más pequeño? ¿Qué número va primero, el mil o el dos mil? ¿Cuál va antes del...? ¿Cuál va después del... ?

Las respuestas a preguntas como éstas, así como su discusión, permitirá al maestro conocer el rango de números que sus alumnos manejan oralmente o por escrito y, además iniciar el trabajo con números a partir de sus experiencias y de sus conocimientos.

En esta etapa también es importante promover que los alumnos identifiquen números y reflexionen sobre los que ven en los precios, los anuncios, los domicilios, el periódico, las placas de los autos, etcétera. Es decir, se trata de que manejen los números y reflexionen sobre ellos en situaciones en las que son útiles.

Con base en esta idea, en los primeros bloques el trabajo sobre esta temática se inicia con la lectura de números en situaciones que les den significado, por

ejemplo, en "El sorteo" y "Cuadros y números", páginas 12 y 50. A partir de la lectura de los números que aparecen en precios, anuncios, etcétera, se realiza un primer trabajo de comparación, ordenación, identificación y descomposición de números. Paulatinamente se logrará una ordenación más sistemática -y con rangos más amplios- de la serie numérica.

La construcción de series numéricas cortas, orales y escritas son también actividades en las que se pueden hacer reflexiones interesantes. Por ejemplo: señalar como punto de partida el número 20 000 y solicitar a los niños escribir los 10 números que van antes y los 10 números que van después; esto los hará reflexionar sobre los principios que subyacen a la escritura de dichos números. La elaboración de series con intervalos amplios (como podría ser contar de 50 en 50, de 100 en 100, de 250 en 250, de 500 en 500, de 1000 en 1000, etcétera) permitirá observar otras regularidades en la serie numérica.

En síntesis, se propone que a lo largo del año los niños manejen significativamente los números, hasta de cinco cifras, sin necesidad de hacer series numéricas largas y aburridas. Para apoyar dicha tarea, a continuación se proporcionan al maestro algunas sugerencias generales que pueden realizarse a lo largo del año escolar.

El uso del tablero

El tablero (véase la página 25 de este libro) es un material que puede ser elaborado por los alumnos, se sugiere utilizarlo para representar números, para conocer y estudiar la serie numérica y el valor posicional de las cifras, así como para desarrollar la habilidad del cálculo mental en los alumnos.

El uso del tablero puede hacerse más interesante a medida que avanza el año escolar si las preguntas o consignas a partir de las cuales se trabaja se van haciendo cada vez más complejas.

En este grado las fichas para representar a los números en el tablero no tienen color diferente como en los grados anteriores; la intención es que el alumno se dé cuenta de que el valor del número es por el lugar que ocupa y no por el color que tiene; es probable que en el transcurso del año se abandone el uso de este material, pero será el avance y dominio del tema por parte de los alumnos lo que marcará la pauta para dejar a un lado estos materiales.

Representación de números mediante monedas y billetes

El uso de material concreto para representar cantidades favorece que los alumnos entiendan la regla de cambio "diez por uno" del sistema de numeración decimal y, a la vez, favorece la comprensión del valor relativo de las cifras contenidas en un número.

En la lección "Cajeros y clientes", página 104, los alumnos trabajan diversos aspectos que implican el aprendizaje de los números, además de las equivalencias propias y naturales que se trabajan en contextos de dinero. Dentro del sistema decimal de numeración se manejan diferentes maneras de representar el mismo número y se continúa con la secuencia didáctica de actividades orientadas al estudio del algoritmo de la división.

Estimación de resultados y cálculo mental

La anticipación de resultados, así como el cálculo mental son actividades que deberán desarrollarse durante todo el año, ligadas al desarrollo específico de las lecciones y de la resolución de problemas. Una vez que el niño ha comprendido lo que se desea al plantear un problema, se le debe conducir hacia la estimación del resultado o pedirle que haga el cálculo mental, sin olvidar que tanto la estimación como el cálculo mental sólo adquieren sentido si el niño los compara con el resultado exacto del problema planteado.

La frecuencia con la que se practique este tipo de cálculos permitirá, entre otras cosas, que el alumno discrimine un resultado lógico de otro que no lo es y genere procedimientos propios cuando lleve a cabo operaciones por vías distintas a los algoritmos convencionales.

Solicitar a los niños el cálculo mental aproximado de operaciones o problemas y después verificar sus resultados realizando cálculos escritos o utilizando la calculadora, puede ser una forma habitual de trabajar. Por ejemplo, se pueden plantear algunas preguntas como las siguientes para estimar el resultado de un problema que implique multiplicar 12 x 8: ¿cuál creen que será el resultado? ¿Será más de 100 o menos de 100? ¿Estará entre 100 y 150, o entre 150 y 200?

Después de esta etapa de estimación puede indicarse a los alumnos que calculen mentalmente el resultado exacto. Por ejemplo, sin multiplicar directamente por 8. Es conveniente, después del ejercicio, registrar las diferentes maneras que surgieron del grupo y discutir la estrategia utilizada en cada caso; este ejercicio es sumamente interesante por los resultados que arroja:

12 x 8 = 12 x 4 x 2

12 x 8 = 12 x 10 - 12 x 2

Por último, los alumnos deberán resolver la operación para verificar sus resultados.

Es conveniente proponer a los alumnos la búsqueda de errores para posteriormente discutirlos en clase, argumentando en qué consiste el error (véase la página 26 de este libro).

El conteo de cantidades grandes

El conteo, y en particular el conteo de cantidades grandes de objetos, es una actividad importante para desarrollar la intuición sobre los números e ideas claras acerca de su magnitud. Pedirle a los niños que cuenten la cantidad de corcholatas que hay en una caja, la cantidad de garbanzos que contiene un frasco, etcétera, les permitirá tener una idea más precisa de lo que es una centena, un millar, cinco mil, diez mil, etcétera. Los niños probablemente empezarán a contar "de uno en uno", pero, a medida que avancen, se darán cuenta de que es mejor buscar otras estrategias para contar, por ejemplo, hacer grupos y sumar la cantidad que tiene cada grupo.

La realización frecuente de actividades como las que se acaban de señalar permitirá al maestro llevar a sus alumnos a la comprensión de la magnitud de los números y del sistema decimal con el que los representamos. El profesor encontrará en el libro del niño (véase, por ejemplo, "Un montón de lentejas", p. 24) y en el fichero de actividades algunas sugerencias para el desarrollo de estas nociones.

El uso de la calculadora en la escuela primaria

El uso de la calculadora se ha restringido en la escuela primaria, entre otras razones por el temor de los maestros y padres de familia de que este instrumento evite que los niños aprendan a efectuar (sin calculadora) las operaciones básicas. Sin embargo, numerosas experiencias en el ámbito de la investigación en didáctica de las matemáticas han podido constatar que el uso controlado de la calculadora en ciertas actividades específicas, lejos de obstaculizar el aprendizaje lo favorece. Por ejemplo, permite:

Plantear problemas cuya finalidad es que los alumnos establezcan relaciones adecuadas entre los datos y seleccionen, de manera autónoma, la o las operaciones con las que pueden resolverse. Verificar resultados obtenidos mediante el cálculo mental o escrito. Inferir los procesos que sigue la calculadora a partir del análisis de las teclas que se oprimen y de los resultados que arroja. Resolver problemas que requieren efectuar muchas operaciones o cálculos numéricos engorrosos.

Por lo anterior, en algunas lecciones del libro de texto (véanse las páginas 17, 35, 93 y 181) y en las fichas 7, 12 y 40 del Fichero. Actividades didácticas. Matemáticas. Cuarto grado se incorporaron situaciones en las que se sugiere utilizar la calculadora.

Algunas de las actividades del fichero permiten indagar los conocimientos previos de los alumnos acerca de los números, favorecen el aprendizaje de la serie numérica oral y escrita y de las operaciones de suma y resta. Otras propician el cálculo mental y la estimación de resultados, mismos que se verifican con el auxilio de la calculadora.

¿Cómo trabajar las actividades con la calculadora?

Es conveniente que antes de aplicar las actividades, el maestro las experimente usando diferentes tipos de calculadoras, pues no todas funcionan de la misma manera. Por ejemplo, con cualquier calculadora es posible construir sucesiones numéricas de 1 en 1, de 2 en 2, etcétera. Sin embargo, no siempre se procede de la misma forma. Si tiene a la mano dos o tres calculadoras sencillas de diferente modelo y marca, probablemente encontrará distintos resultados al ejecutar, en cada una, las siguientes instrucciones:

1. Encienda la calculadora (en la pantalla aparece el 0).

2. Oprima las teclas para realizar la siguiente suma: 17 + 3 (en la pantalla aparece primero el 17 y luego el 3).

3. Oprima tantas veces como desee, la tecla = y observe cada vez el número que aparece en la pantalla.

Es probable que en alguna de las calculadoras obtenga la siguiente sucesión de números al oprimir repetidamente la tecla =: 20, 23, 26, 29, 32, 35... En otra calculadora tal vez los resultados sean: 20, 37, 54, 71, 88, 105... otra quizás arroje los siguientes resultados: 20, 20, 20...

Puede observarse que en el primer caso (20, 23, 26, 29, 32, 35...), al oprimir consecutivamente la tecla =, la calculadora suma de manera constante el segundo sumando que se introdujo (17 + 3). En el segundo caso (20, 37, 54, 71, 88, 105...), se observa que la calculadora toma como constante el primer sumando (17 + 3) y en el tercer caso (20, 20, 20...), no se modifica el primer resultado.

Para construir sucesiones numéricas con estas últimas calculadoras, tal vez se requiera oprimir dos veces seguidas el signo + (17 ++ 3 = = = ...). Saber cómo funcionan las calculadoras que usan los alumnos permitirá al maestro coordinar con éxito las actividades propuestas.

En algunas lecciones del libro Matemáticas. Cuarto grado se propone que los alumnos utilicen la calculadora para verificar resultados. En tales casos es importante que los alumnos resuelvan primero las actividades mediante el

cálculo mental o con lápiz y papel y después usen la calculadora para verificar los resultados obtenidos.

Los juegos como apoyo didáctico

Cuando los alumnos practican por primera vez un juego lo hacen sin tener estrategias definidas con las que aseguren ganar. Para construir una estrategia que les permita ganar sistemáticamente es necesario que jueguen varias veces el mismo juego, que conozcan y dominen sus reglas y analicen las jugadas. De esta manera el jugador, frente al juego, tiende a ser autónomo, ya que no aplica instrucciones dictadas por otro, sino que construye sus propias estrategias en la interacción con sus compañeros.

Sin embargo, no todos los juegos son interesantes para el alumno, desde el punto de vista de las matemáticas que se aprenden ni todas las actividades que sirven para aprender son realmente juegos. El reto es entonces descubrir o construir actividades que sean realmente juegos para los niños y que, a la vez, propicien aprendizajes interesantes de matemáticas (véase la página 27 de este libro).

En los libros Juega y aprende matemáticas y Los números y su representación, de la colección de Libros del Rincón (SEP) el maestro podrá encontrar, entre otros, algunos juegos que permiten al niño profundizar, afianzar o introducir diversos aspectos del sistema de numeración decimal. Por ejemplo, en el juego "La pulga y las trampas" del libro Juega y aprende matemáticas, los alumnos aplican los conocimientos que poseen sobre series con intervalos constantes.

Operaciones y problemas

Las operaciones con números naturales es un tema central en la educación primaria. En este grado se utilizan las cuatro operaciones fundamentales. La multiplicación y la división se abordan con matices distintos a la adición y la sustracción.

En relación con la adición y la sustracción, se da énfasis a la resolución de problemas que implican alguna de ellas. Se deja de lado el trabajo relacionado con los algoritmos de esas operaciones, ya que desde el primer grado de primaria los alumnos realizan un amplio trabajo para comprenderlas y en tercer grado amplían sus conocimientos sobre el manejo de los algoritmos convencionales de la suma y de la resta. En cuarto grado, la complejidad del uso de la suma y la resta se centra en el tipo de problemas que se plantean y no necesariamente en el tamaño de los números. Por ejemplo, en "La rueda de la fortuna", página 16 del libro de texto, se plantean problemas como los siguientes:

A la rueda de la fortuna subieron 23 personas, ¿cuántos lugares quedaron vacíos? (En la ilustración se observa que caben 32 personas en la rueda). Rosa dijo: cuando me subí al látigo íbamos 25 personas y quedaron 19 lugares vacíos, ¿cuántas personas caben en el látigo?

Los problemas se pueden expresar, respectivamente, como se muestra enseguida:

23 + _____ = 32

25 + 19 = _____

En el primer problema identificar la resta como la operación que permite encontrar el dato no es sencillo, ya que los niños tendrán primero que hacer una inversión en el planteamiento inicial del problema:

23 + _____ = 32 ----> 32 - 23 = ____

Aunque este problema se resuelve con una resta muy simple, la identificación de la operación no es obvia para el alumno.

Ninguno de estos dos problemas es sencillo para los niños que cursan cuarto grado, no obstante que no se involucran datos de más de dos dígitos. Para ellos resulta más difícil resolver problemas como éstos -aun teniendo números pequeños- que resolver algunos problemas con números de cuatro o cinco cifras, en los que la suma o la resta son identificadas fácilmente. Un ejemplo sería:

En su trabajo Gerardo ganó $ 3 176 y le dio $ 1 875 a Lalo, ¿cuánto dinero le quedó?

A pesar de que los datos de este problema involucran números de cuatro cifras, por diversas razones es de fácil resolución. La primera de ellas es que la palabraquedó anuncia a los niños la resta; la segunda razón es que el problema tiene la incógnita al final:

3 176 - 1 875 = _____

Por lo anterior, a lo largo del programa y en los materiales de apoyo se ha establecido una diferencia entre la dificultad en el uso del algoritmo y la dificultad en la resolución de problemas. En el primer problema de la rueda de la fortuna, la dificultad radica en la identificación de la resta como operación que resuelve el problema, mientras que en el problema del dinero la dificultad se ubica en el dominio del algoritmo. El maestro debe apoyar ambos aspectos de las operaciones; teniendo la precaución de trabajar las "técnicas de cálculo" cuando éstas ya tengan significado para los niños, es decir, cuando las hayan identificado como instrumentos para resolver cierto tipo de problemas.

La situación es diferente con la multiplicación y la división. Probablemente los niños todavía no dominan ambos algoritmos, por lo tanto, en este grado deberán ser tratados por el profesor de manera especial.

La multiplicación se inicia con una síntesis del tratamiento que se hizo en tercer grado, basado en la descomposición de arreglos rectangurales (véase, por ejemplo,"El vivero de don Fermín”, p. 34).

Posteriormente, a partir de la misma estrategia se amplía el rango de números hasta que se presenta el procedimiento usual para resolver multiplicaciones. Se espera que la descomposición de una multiplicación en arreglos rectangulares haga más comprensible a los niños el algoritmo de tal operación.

No solamente se maneja la multiplicación con la idea de arreglos rectangulares, también se utiliza en problemas de variación proporcional directa (véase, por ejemplo, "El mercado", p. 10) y en problemas de combinatoria (véase, por ejemplo, "Combinaciones", p. 168), la actividad consiste en combinar un número diferente de faldas y blusas para vestir a una muñeca. El maestro deberá hacer reflexionar a los alumnos sobre la relación entre el número de faldas, el de blusas y el total de combinaciones. Una vez que los alumnos han resulto la situación con material concreto, se propone introducir la representación gráfica, como se muestra en la misma lección, para llegar, posteriormente, a la representación simbólica:

5 X 4 = 20

La división

Desde segundo grado los alumnos resuelven problemas de reparto de objetos y en tercero se incluyen problemas de agrupamiento o tasativos, es decir, aquellos en los que se debe determinar cuántas veces cabe una cantidad en otra. Es importante continuar con este tipo de problemas en cuarto grado porque ayuda al alumno a profundizar en los diferentes significados de la

división y se afianza a la comprensión del procedimiento usual para dividir. A continuación se dan algunos ejemplos de problemas. El primero y el tercero son de agrupamiento o tasativos, y el segundo es de reparto.

Catalina debe colocar 250 manzanas en cajas con 6. Tiene 40 cajas. Quiere saber si le alcanzan o le sobran cajas. A Yólotl, Carlos, Luis, Cesar y Pamela les regalaron una caja de chocolates. La caja tiene 3 pisos. Cada piso tiene 4 filas y cada fila tiene 5 chocolates. Deciden repartirlos en partes iguales. ¿Cuántos le tocan a cada quien? Uriel, Paco y René quieren guardar sus dulces en bolsas. Deciden poner 10 dulces en cada bolsa. Uriel tiene 153 dulces, Paco 192 y René 214. ¿Cuántas bolsas necesita cada niño para guardar sus dulces? ¿Sobrarán dulces? ¿Podrán hacer otra bolsa con los dulces sobrantes?

Con los ejemplos anteriores queremos ilustrar el hecho de que los niños no adquieren conocimientos en pequeñas dosis mediante la información que reciben del maestro. Más bien, lo que les permite construir su conocimiento es el proceso de poner constantemente a prueba sus propias hipótesis en las situaciones que se les presentan. Esta forma de trabajo constituye uno de los propósitos más importantes de esta propuesta.

La lectura de los diálogos que aparecen en el libro del alumno también permitirá a los niños aclarar dudas y corregir posibles errores. Esta actividad será un apoyo importante en la construcción y autoevaluación de las estrategias de resolución de problemas y de cálculos.

En tercer grado los niños llegaron a conocer el procedimiento usual para dividir, pero es necesario un trabajo mucho más amplio para que poco a poco adquieran dominio sobre esta operación. La secuencia de situaciones que se plantea en el libro de cuarto grado comienza con el uso de distintos procedimientos para resolver problemas de división (véase, por ejemplo, "La huerta de Don Fermín" y "Entre 10 y 100", pp. 28 y 62). Entre una lección y otra el maestro debe proponer otros problemas similares para que los niños sistematicen y afirmen su conocimiento sobre la multiplicación al resolver problemas de división.

Anticipar el resultado de la división, situándolo entre 1 y 10, entre 10 y 100, entre 100 y 1000 (véase, por ejemplo, "Entre 10 y 100", p. 62) hará que el alumno infiera si el resultado de las operaciones efectuadas es absurdo o lógico. También es recomendable que antes de efectuar las divisiones los alumnos estimen el número de cifras que tendrá el cociente y verifiquen cada vez si su estimación fue o no correcta.

Fracciones

En cuarto grado se amplía el trabajo con las fracciones, enfatizando su uso en situaciones problemáticas en diferentes contextos, relacionados con la medición de longitudes, el peso de algunos objetos, la capacidad de algunos recipientes, así como en situaciones de reparto.

La diferencia entre problemas que se plantean en tercer grado y los de cuarto es el nivel de complejidad de las actividades y el tipo de fracciones con las que se trabaja. Además de trabajar con las fracciones cuyo denominador es dos, cuatro u ocho; se incluyen también los tercios, los quintos y las fracciones decimales.

Las fracciones en situaciones de reparto

Más que memorizar los términos de una fracción y saber distinguirlos, es necesario que los alumnos le den un significado al numerador y al denominador. Este aspecto se aborda en la lección "Más galletas y más niños", libro de texto, página 94, en la que se trabaja la noción de fracción como resultado de un reparto.

Una vez resueltos los puntos 1, 2, 3 y 4 de la lección, es conveniente que el maestro propicie un análisis sobre la relación que existe entre los datos del reparto y la fracción que representa el resultado del reparto, de tal manera que descubran que en el resultado de un reparto se puede identificar el número de unidades que se repartieron y el número de elementos entre los que se hizo el reparto o que, mediante el análisis de los datos del reparto se puede anticipar el resultado.

Por ejemplo, si se reparte 5 pasteles entre 3 niños a cada niño le toca 1 pastel + 1/3 + 1/3 de pastel, que es lo mismo que 5/3. En la fracción 5/3 el numerador indica el número de pasteles que se repartieron y el denominador indica el número de niños entre los que se hizo el reparto.

Estos significados permiten a los niños hacer reflexiones como las siguientes: ¾ es mayor que 3/5, porque en los dos casos se reparten tres galletas, pero en ¾ hay cuatro niños, mientras que en 3/5 hay cinco, por lo que a estos últimos les toca menos. Si el problema es comparar 3/2 con 8/15 puede actuarse intuitivamente mediante la siguiente reflexión: en tres medios hay más galletas que niños, en tanto que en 8/15 hay más niños que galletas, por lo tanto 3/2 es mayor que 8/15. Cuando el caso es de fracciones equivalentes a un entero, por ejemplo 3/3 y 4/4, el razonamiento es que hay igual número de galletas que de niños, por lo que les toca lo mismo en ambos casos.

Estas comparaciones a nivel intuitivo son más importantes que la introducción prematura de cualquier algoritmo para comparar fracciones. Es por eso que en cuarto grado no se sugieren algoritmos para estos temas.

Fracciones en situaciones de medición

La noción de fracción como resultado de la medición de longitudes se introduce a través de situaciones en las que, para medir con más precisión una longitud, es necesario fraccionar en partes iguales la unidad de medida, porque ésta no cabe un número exacto de veces en la longitud a medir. En estas situaciones se enfatiza el hecho de que la unidad de medida puede ser una tira, un segmento o cualquier objeto alargado y también se propicia el uso de fracciones con numerador mayor que uno y de los números mixtos.

En el transcurso del año escolar las situaciones de reparto y de medición que involucran el uso de las fracciones se van haciendo más complejas, con el fin de que los procedimientos iniciales empleados por los niños evolucionen.

En un principio se plantean problemas en los que se utilizan fracciones para medir longitudes (véase, por ejemplo, "La tienda del pueblo", p.14) o bien el problema de dividir un segmento en partes iguales (véase, por ejemplo, "En partes iguales sin doblar", p.18). En este tipo de situaciones se usan fracciones con numerador diferente a uno. Al principio, los niños utilizan hojas o tiras de papel para realizar y verificar sus ejercicios y posteriormente pueden usar su regla graduada para encontrar las soluciones.

Para medir el peso de algunos objetos, la capacidad de recipientes y la superficie de figuras, se sugiere que los niños construyan o consigan algunas unidades de medida: el metro, el centímetro, ¼ de kilogramo, ½ kilogramo (véase la página 37, de este libro), el decímetro y el centímetro cuadrado..., el litro, ¼ de litro, etcétera, para que los usen en juegos o actividades que involucren contenidos del eje "Medición", así como contenidos del aspecto de fracciones correspondientes al eje "Los números, sus relaciones y sus operaciones".

Otro aspecto importante que se presta para trabajar también con las fracciones es la medición de ángulos. Este aspecto se introduce a partir de giros de una vuelta completa, media vuelta, un cuarto de vuelta o un tercio de vuelta. Igualmente, se empieza a trabajar la idea de fracción como parte de un todo formado por 360º (véase la ficha 5, página 38 de este libro).

Equivalencia de fracciones

Uno de los aspectos más importantes para la comprensión de las fracciones es la noción de equivalencia. Antes de abordar este tema se maneja en el libro de

texto la comparación de fracciones con procedimientos informales (véase, por ejemplo, "Galletas redondas", p. 82). A lo largo del curso se presentan situaciones que propician el uso de expresiones equivalentes que se pueden aprovechar para enfatizar dicha noción. Por ejemplo, en los problemas de reparto, dependiendo de las particiones que se hagan, pueden surgir distintas expresiones aditivas que representan el mismo valor (véase, por ejemplo, "Más galletas y más niños", p. 94).

Las situaciones de medición de longitudes y de capacidades también pueden aprovecharse para el uso de expresiones equivalentes. Es importante destacar que en todas las situaciones donde aparece la noción de equivalencia, deben realizarse actividades para verificar los resultados que obtienen los niños. Si se trata de situaciones de reparto, al principio pueden usarse hojas de papel y, poco a poco, los niños apoyarán sus razonamientos sobre la equivalencia de los repartos en sus propios dibujos.

En las situaciones de medición puede resultar de gran utilidad el uso de una hoja rayada para dividir segmentos en partes iguales. No se pretende que los alumnos utilicen las expresiones formales o las reglas para encontrar fracciones equivalentes.

La escritura formal de la suma y la resta de fracciones se trabaja en el bloque IV, en la lección "Esferas de plastilina", página 136; sin embargo, hay otras situaciones a lo largo del texto en las que se calculan sumas o restas sin necesidad de utilizar el algoritmo convencional. Si la equivalencia y el orden entre las fracciones se trabaja detenidamente, los niños no tendrán dificultad para inferir los resultados de las sumas o de las restas. Para que los niños comprendan el significado de las fracciones que se trabajan, es importante que éstas estén asociadas a unidades de medida, por ejemplo: ¾ de metro, ½ litro, y no con fracciones en abstracto como ¾ y ½.

Fracciones y números decimales

El campo de los números fraccionarios se amplía en cuarto grado con la introducción de las fracciones decimales. El primer tratamiento de estos números está en la lección "Adornos para el festival", página 102, en una situación en la que es necesario dividir una unidad (pedazo de cuerda) en diez partes iguales. Que los alumnos realicen este tipo de situaciones es fundamental para darle a los decimales su carácter genérico, supeditado exclusivamente a la unidad de que se trate (longitudes, superficies, capacidad, peso, dinero).

El propósito fundamental que se plantea en cuarto grado sobre los números decimales es que los alumnos comprendan su significado. Para ello se insiste en la necesidad de que interpreten primero las cantidades escritas con punto

decimal en términos de número de unidades + décimos + centésimos. Por ejemplo, antes de que los niños logren interpretar 3.75 metros como 3 metros 75 centímetros es necesario que comprendan que 3.75 significa 3 metros más 7 décimos de metro, más 5 centésimos de metro o 3 metros más 75 centésimos de metro.

Se insiste también en que los alumnos representen, con fracciones, las descomposiciones aditivas de números representados con punto decimal. Por ejemplo:

3.75 es igual a 3 + 7/10 + 5/100

El uso de la recta numérica es un recurso gráfico de gran utilidad para trabajar la partición de las unidades en partes iguales, como se hace en algunos problemas de la lección "Animales que saltan", página 134.

Los números decimales también se pueden trabajar mediante actividades que impliquen el uso de dinero, litros, metros, etcétera (véase, por ejemplo, en "Particiones decimales", p. 140); se presentan situaciones en diversos contextos que se resuelven utilizando los números decimales.

Asimismo, se pueden plantear problemas mediante actividades que involucren el uso de publicidad impresa, en donde los alumnos deben investigar los precios reales de diferentes objetos.

Medición

El trabajo que se desarrolla en este eje está relacionado con las unidades de medida de longitud, capacidad, peso, superficie, tiempo y medidas angulares. Para alcanzar los propósitos asociados a esta temática, el maestro ha de considerar que las nociones relacionadas con la medida se desarrollan precisamente haciendo mediciones y reflexionando sobre el resultado de las mismas.

Desde el punto de vista didáctico, el uso de unidades arbitrarias de medida es también de suma importancia, no sólo porque permite adquirir una noción más amplia acerca del concepto de unidad de medida, sino porque permite apreciar mejor la utilidad de las medidas convencionales. Es entonces recomendable que el maestro promueva el trabajo de medición con unidades arbitrarias, como antecedente al uso de las unidades convencionales.

Peso, capacidad y longitud

En el caso de la medición de longitudes se han diseñado actividades en las que es necesario realizar mediciones usando unidades arbitrarias, por ejemplo, las tiras de cartón que se utilizan en la lección "La paloma de la paz", página 118,

así como unidades convencionales como el centímetro y el metro, que se utilizan en diferentes lecciones del texto, (véanse, por ejemplo, "Cuerdas resistentes" e "Hilaza para el contorno", pp. 26 y 42).

Otro tipo de actividad que se sugiere es el uso de un intermediario para realizar mediciones. Tal actividad tiene sentido en situaciones en las que resulta difícil medir directamente, utilizando la regla graduada en centímetros o el metro rígido. En estos casos un cordón es un instrumento útil para hacer mediciones (véase, por ejemplo, "Cuerdas resistentes", p. 26).

A lo largo del grado se plantean situaciones en las que es necesario el uso del kilogramo y del litro. Los niños podrán apreciar mejor el significado de estas unidades de medida si se hace referencia a su experiencia cotidiana: por ejemplo, comprar "un kilo de tortillas", "un kilo de frijol" o "un litro de petróleo". La construcción de una balanza (véase, por ejemplo, "Las golosinas", p. 110) y el uso de paquetes de 1 kilogramo, 5/3 o ¼ de kilogramo como unidades de medida, también permitirá a los alumnos aproximarse significativamente a la noción de peso. Si bien en el uso diario de algunas magnitudes se emplea solamente el prefijo de algunos múltiplos de la unidad, por ejemplo kilo, es conveniente que el niño tenga la información de que tal forma de expresión usada comúnmente está relacionada con el kilogramo.

Algunos de los materiales necesarios para la construcción de estas unidades de medida aparecen en el material recortable o se sugiere, en el libro de texto, cómo elaborarlos y muchos otros pueden adquirirse con facilidad.

Otro elemento que enriquecerá de manera significativa el trabajo en este eje es el empleo de algunas unidades de medida usadas en las diferentes regiones de nuestro país, así como la comparación de esas medidas con las unidades de medida convencionales (por ejemplo, el uso del "doble", del "cuartillo" y la "maquila" en el estado de Guerrero).

Otro aspecto importante de la medición que se debe desarrollar en este grado consiste en ordenar y comparar dos o más longitudes a partir del resultado de mediciones (véase, por ejemplo, "Cuerdas resistentes", p. 26).

En cuanto a las unidades de medida de capacidad y de peso, es conveniente que el maestro presente a los niños distintos objetos pequeños, especialmente aquellos en los que se utilicen submúltiplos del litro o gramos como unidades de medida, por ejemplo: frascos de medicina, de especias, de perfume, de

cremas, etcétera. De esta manera los alumnos pueden formarse una idea acerca de la magnitud de las unidades pequeñas, como el mililitro y el gramo (véase, por ejemplo, "Jarabe para la tos" y "Las golosinas", pp. 96 y 110).

Superficie

Respecto a la medición de superficies, se parte de formar figuras con igual perímetro y diferente área (véase, por ejemplo, "Hilaza para el contorno", p. 42), para posteriormente pasar a la medición de la superficie del triángulo mediante el conteo de cuadrados (véase, por ejemplo, "La mitad de un rectángulo", p. 154), y por último llegar a la deducción de la fórmula respectiva y su aplicación en el cálculo de áreas de cuadriláteros (véase, por ejemplo, "Alfombras de flores", p. 178). De esta manera contarán con un procedimiento general para obtener el área de figuras de lados rectos, a través de su descomposición en triángulos, cuadrados y rectángulos, según convenga, y no estarán obligados a depender de la memoria para recordar la fórmula para cada figura.

Tiempo

El tiempo, para los alumnos, es una de las nociones más difíciles de adquirir. Por ello es importante que durante el curso realicen diferentes actividades en las que se utilicen la hora y los minutos como unidades de medida. En la lección "El circo", página 32, se plantean algunos problemas en los que pueden reflexionar sobre el uso y la utilidad de estas unidades de medida y sobre los diferentes tipos de instrumentos de medición del tiempo que conocen.

El calendario es otro recurso que el maestro puede utilizar para plantear situaciones en las que se mida el tiempo transcurrido entre un suceso y otro, utilizando el día, la semana y el mes como unidades de medida. Otro tipo de actividades que permite trabajar con esta noción es la elaboración de la línea del tiempo, en la que los alumnos ubiquen lustros, décadas o siglos durante los cuales se desarrollaron determinados sucesos históricos (véase, por ejemplo, "La ONU", p. 52 ). De esta manera se relaciona este aspecto de la medición con otras asignaturas.

Ángulos

La noción de ángulo y su medida es un aspecto que por primera vez se introduce en el libro de texto de cuarto grado. La idea que se maneja en éste es que los ángulos se describen cuando se realizan giros. La mayor parte de la secuencia de situaciones se desarrolla en el contexto de viajes a diferentes países.

La medición se inicia considerando giros menores de una vuelta. Cada giro se describe entre una línea de salida y una de llegada. En la lección "La vuelta al mundo", página 78, se inicia el trabajo con los ángulos y se sugiere el uso de material recortable que consiste en un círculo dividido en octavos. Se pide a los niños que traten de reproducirlo en papel transparente o plástico para que lo puedan usar como instrumento para medir ángulos. Posteriormente, en "El cazador", página 132, aparecen los ángulos de 1/12 de vuelta, es decir, los que miden 30° o un número múltiplo de 30. En este nivel se utiliza la palabra grado más que su símbolo.

En "La vuelta al mundo en 360 grados", página 112, aparece el grado como unidad de medida, y se ilustra la amplitud que tiene un ángulo de un grado. En esta lección se propicia la reflexión en el sentido de que la medida de los ángulos es independiente de la longitud de los lados que lo forman.

En el punto 10, de la misma lección, ante la pregunta: "¿Cuál de los siguientes ángulos mide más?", seguramente muchos niños pensarán que mide más el que tiene los lados más largos. Es necesario que el maestro propicie la discusión sobre este aspecto y haga notar que los dos ángulos miden lo mismo porque ambos se generan con un giro de ¼ de vuelta. Los ángulos se presentan en otras lecciones del texto como una de las características de las figuras. Esa es la idea de ángulo en su forma estática, misma que el maestro puede complementar propiciando que los niños distingan los ángulos en algunos objetos que estén a la vista.

Geometría

Tradicionalmente, la enseñanza de la geometría partía de las definiciones de punto, recta y plano. A partir de estos conceptos se definían rectas perpendiculares, paralelas, ángulos, figuras y luego cuerpos. Investigaciones realizadas en torno del aprendizaje infantil han mostrado que el proceso es inverso; en otras palabras, es necesario partir de lo sólido para llegar a lo más abstracto: las líneas y los puntos.

Sólidos geométricos

Con el estudio que se hace en el libro de texto sobre los sólidos geométricos, se pretende que los niños identifiquen qué figuras forman las caras de un sólido (véase, por ejemplo, "Casas de diferentes países", p. 74) y que establezcan la relación entre el dibujo en el plano y el sólido en tres dimensiones, es decir: se abordan dos aspectos.

Un sólido puede representarse en el plano, intentando plasmar sus tres dimensiones.

A partir del plano puede construirse un sólido (con tres dimensiones). De ahí derivan lecciones como "Cubos y construcciones" y "Construimos poliedros", páginas 146 y 182.

En las lecciones del libro se diferencian los sólidos que son poliedros de los que no lo son, y se solicita permanentemente la anticipación de formas y espacios, con lo cual se espera que los alumnos desarrollen su imaginación espacial e identifiquen relaciones para saber si con determinada plantilla se puede o no construir un poliedro; por ejemplo, el número de caras, las medias de las aristas, los lados adyacentes, etcétera. Asimismo, descubrirán que para elaborar un sólido determinado pueden construir más de una plantilla.

Trazos y reproducción de figuras

Un aspecto importante del eje "Geometría" es el que se refiere a las características de las figuras y su trazo. Se sugiere utilizar diversos recursos como el doblado de papel, el dibujo, los mensajes, etcétera, para que los niños reproduzcan figuras.

La reproducción de figuras es una actividad motivante para los niños si se plantea adecuadamente. Se propone que el maestro dé libertad a los niños para que busquen estrategias que les permitan reproducirlas. Con ello, además de desarrollar destrezas en el trazo se estará promoviendo el análisis de las figuras y de sus propiedades geométricas. Una situación importante que se presenta en algunas lecciones de geometría consiste en reproducir, a partir de un mensaje, una figura o construir un sólido (véase, por ejemplo, "Dibujos y medidas" y "Forma y tamaño exactos", pp. 54 y 120, entre otras lecciones). En dicha situación tener las figuras a la mano y observar sus características geométricas es fundamental para poder realizar la actividad.

El paralelismo, la perpendicularidad, la simetría, el tamaño de los lados y de los ángulos son características geométricas importantes en las que se basa la construcción y el análisis de figuras en este grado. Se pretende que los niños se apoyen en tales aspectos cuando se les pide la reproducción y el análisis de figuras. Es importante destacar que en ningún caso se pretende que los niños hagan un análisis riguroso y exhaustivo de las figuras o de los sólidos. Únicamente se pretende que desarrollen la capacidad de análisis y de observación, que encuentren similitudes y diferencias, y que las utilicen como criterios para hacer descripciones y clasificaciones, así como para crear y construir formas diversas.

El tipo de figuras que se reproducen podrá hacerse progresivamente más complejo a lo largo del curso.

Figuras simétricas

En tercer grado, la simetría se inició con un tratamiento intuitivo, mediante la simulación de formas reflejadas en el agua como si ésta fuera un gran espejo, o a través del dibujo de las figuras "reflejadas en el espejo". En un primer momento se recomienda que los alumnos de cuarto grado utilicen este recurso para reproducir figuras simétricas. Posteriormente, se realizan actividades que permiten profundizar un poco más acerca de la simetría y algunas de sus características, en "Artesanías", página 36, se propone el uso de papel cuadriculado para que los niños dibujen o completen figuras simétricas. En "Bordados y simetría", página 130, se aplica el reconocimiento y trazo de los ejes de simetría, pero ya sin apoyo de la cuadrícula, sin embargo, para el desarrollo de este tema el maestro también podrá sugerir juegos o dejar a los alumnos que exploren diversas posibilidades, utilizando hojas cuadriculadas hasta que se sientan con la suficiente confianza para abandonarlas.

Otras actividades que el maestro puede sugerir con el mismo propósito son las de papiroflexia (doblado de papel). Con el apoyo de este recurso se hará más atractiva la clase de geometría y más accesibles algunos contenidos de este aspecto del programa.

Mediante las actividades de papiroflexia se promueve el desarrollo de la imaginación espacial y la capacidad de construir hipótesis, ya que permiten al niño anticipar las formas que se obtendrán doblando de determinada manera un pedazo de papel.

Ubicación espacial

El trabajo en el eje de "Geometría" incluye situaciones que inducen al niño a buscar diferentes maneras de ubicarse en su entorno y a experimentar formas de expresar y registrar tal ubicación. Las actividades incluidas en las fichas y en el libro de texto tienen también como finalidad que los niños hagan sus propias representaciones del entorno inmediato y familiar. En todos los casos es necesario que se liguen las situaciones planteadas en el texto y en las fichas con el entorno de los niños.

El trabajo en este aspecto se ha orientado básicamente a construir un sistema elemental (no formal) de ubicación de puntos en el plano. Es por ello que las actividades, en su mayoría, están dirigidas a la interpretación y construcción de planos urbanos, es decir, a la lectura y trazo de planos que tienen calles y avenidas. Sin embargo, la tarea de interpretar un plano no es fácil para los niños; por ello el trabajo se inicia con la ubicación de puntos y descripción de trayectos en un pueblo sencillo, donde las casas no han perdido sus características más evidentes (véase, por ejemplo, "Camino al mercado", p. 8).

En un segundo momento se propone la elaboración de planos a partir de fotografías aéreas más complejas. Se espera que, de esta manera, cuando los

niños se enfrenten a un plano como el que aparece en "Las calles de la ciudad", página 38, las líneas que representan las calles tengan significado para ellos.

Una vez realizado este trabajo, que podríamos llamar "lectura comprensiva del plano", se inicia la tarea específica de ubicar puntos tomando como referencia los ejes de coordenadas que se representan con dos calles principales. El propósito fundamental del curso es llegar a manejar un lenguaje simplificado como (2,4) en lugar de decir "dos calles a la derecha y 4 calles hacia arriba". El uso de este lenguaje implica un proceso en el que se usen expresiones que los niños construyan.

Procesos de cambio

Las actividades correspondientes al eje "Procesos de cambio" introducen a los alumnos de cuarto grado, al análisis de situaciones que implican variación proporcional directa.

La elaboración de tablas y el análisis de la información propicia que los alumnos descubran las relaciones de dobles, triples y mitades entre los datos de un problema, por ejemplo, en la lección "El mercado", página 10, se plantean varios problemas que implican la relación proporcional entre los kilogramos de frutas y verduras que se venden, y el dinero que se obtiene en cada caso. Para completar cuánto cuestan 8 kg de jitomate, el alumno calculará el doble de los $12 que corresponden a 4 kg, es decir, tendrá que concluir que el doble de 4 kg es 8 kg y el doble de $12 es $24.

En ocasiones las relaciones de dobles, triples, etcétera, no alcanzan para completar dichas tablas y es necesario recurrir al valor unitario. En el caso de los jitomates se sabe que 1 kg cuesta $3 y a partir de este dato puede calcularse, por ejemplo, el precio para 5 kg. Para completar en la misma lección la tabla del precio de la sandía es necesario averiguar cuanto cuesta 1 kg (valor unitario), y a partir de este dato calcular los que faltan, donde las relaciones de dobles, triples, etcétera, no son tan evidentes (véase la página 49 de este libro).

El propósito es que el maestro ayude a los alumnos a desarrollar procedimientos intuitivos de proporcionalidad, como son las relaciones entre los datos. El maestro podrá reforzar estas ideas planteando problemas que impliquen una comparación multiplicativa. Por ejemplo: "Si Juanito tiene 10 años y Pedro tiene el doble, ¿cuántos años tiene Pedro?".

Con este tipo de problemas, además de profundizar en el significado de la multiplicación, como se puede observar en las últimas tablas de la lección "El

mercado", página 10, se prepara al alumno para identificar relaciones proporcionales sin hacerlo explicito.

Otras actividades, como analizar recetas de diferentes comidas para distinta cantidad de comensales, favorecen que el alumno empiece a trabajar en este tema. En "Hacemos recetas", página 122, se pretende que el alumno comprenda que es necesario duplicar la cantidad de cada uno de los ingredientes, si se quiere preparar gelatina para doce personas, dado que la receta esta hecha para seis.

Cabe destacar que la noción de variación proporcional directa es compleja; por tanto se propone que los alumnos completen tablas a partir de las nociones intuitivas que tienen sobre la proporcionalidad, por supuesto sin llegar a mecanizar reglas ni a repetir definiciones.

El objetivo es que los niños se aproximen a la noción de proporcionalidad directa en términos cualitativos, a través del análisis de diferentes tablas de variación proporcional para que los alumnos puedan ver la manera en que una cantidad varía en función de la otra.

Situaciones de variación ligadas a la geometría

Es importante que además de presentar a los alumnos situaciones numéricas de variación, se les planteen situaciones de geometría. Por ejemplo, el perímetro de un cuadrado está en función de la medida de sus lados. Si se aumenta al doble la medida de sus lados el perímetro aumenta también al doble, y si disminuye a la mitad el perímetro disminuirá en la misma proporción. Éste es un caso de variación proporcional directa.

Tratamiento de la información

El objetivo de los contenidos incluidos en este eje es, como su nombre lo indica, desarrollar la capacidad de los alumnos para obtener, analizar y utilizar información numérica en distintos contextos.

Es conveniente resaltar dos aspectos de este eje, el registro y el análisis de datos:

En cuanto a los contenidos referidos a la elaboración e interpretación de registros, se debe enfatizar la lectura de gráficas de barras e introducir pictogramas a los que se les asignan valores de 1 000, 5 000 o 10 000 para representar números grandes (véanse, por ejemplo, "Naciones poco pobladas" y "El censo de población", pp. 70 y 128). Los valores de los pictogramas pueden modificarse dependiendo de las cantidades que se manejen y, además, dicho valor puede ser modificado.

Para el estudio de los contenidos referidos al análisis de la información se debe promover, durante el año escolar, la reflexión sobre los datos que son útiles para resolver un problema, los que no lo son y los que faltan (véase, por ejemplo, "¿Se puede responder? ", p. 20).

El tratamiento didáctico en este eje debe iniciarse con situaciones cercanas a los intereses de los niños de este nivel, por ejemplo, los animales, los juegos o las materias escolares que les gustan. Los fenómenos meteorológicos pueden ser otra fuente de situaciones interesantes para los alumnos.

Además de las situaciones sugeridas en el libro de texto y en las fichas de actividades didácticas, el maestro puede aprovechar otras situaciones escolares que sean de interés para los niños, como el registro diario de la puntualidad, el aseo, las ventas de la cooperativa o la organización de algún acto cívico, entre otros.

Lo primero que debe hacer el niño para resolver un problema es organizar y analizar la información que se le presenta. Esta información puede ser oral, escrita o presentarse en ilustraciones o imágenes. Esto quiere decir que ayudar a los niños a obtener y analizar información es una tarea fundamental para contribuir al mejoramiento de su capacidad para plantear y resolver problemas.

Las lecciones del libro de texto favorecen el análisis de la información durante el curso. Para su resolución los niños deben, en la mayoría de los casos, seleccionar y analizar la información que se proporciona en una ilustración o en un documento y hacer preguntas con las que pueda obtener más información o información más relevante. Por ejemplo, en "Estadios y números", página 90, deben analizar la información contenida en el cuadro para contestar las preguntas.

El maestro deberá aprovechar todos los temas del programa para trabajar el tratamiento de la información como un aspecto colateral del contenido; con ello promoverá a la vez la capacidad de reflexión y de resolución de problemas. Dicha tarea podría apoyarse en actividades como las que se describen a continuación.

Planteamiento de preguntas y problemas a partir de la información que puedan obtener de ilustraciones y documentos. Identificación de preguntas que pueden o no responderse, a partir de la información contenida en un texto. Un ejemplo de esta actividad es la lección "¿Se puede responder?", libro de texto, página 20.

La predicción y el azar

El estudio de este eje se inicia en tercer grado. El tratamiento didáctico que se le ha dado es meramente intuitivo y mediante situaciones de juego (véase, por

ejemplo, "Águila o sol", p. 22). El registro de las diferentes posibilidades en un juego de azar y la comparación de los registros y respuestas entre los compañeros es importante para que el alumno intuya la posibilidad de predecir o instrumentar alguna estrategia para ganar el juego (véanse, por ejemplo, "Los colores del dado" y "Canicas de colores", pp. 76 y 114).

Se pretende introducir a los niños en la reflexión de situaciones en las que se sabe lo que va a pasar y en otras en las cuales no es posible saberlo. Esto sin precisar que, en algunos casos, el no saber puede deberse a la falta de información, mientras que en otros no es posible obtener la información porque se está, precisamente, en situaciones de azar. Por ejemplo, al lanzar una moneda al aire no se sabe con certeza sobre qué cara caerá (véase, por ejemplo, "Águila o Sol", p. 22).

Es conveniente que durante el desarrollo de estas actividades el maestro ayude a los niños a entender las reglas de los distintos juegos, cuando éstas sean difíciles, y a anticipar lo que creen que sucederá.

En este grado se empieza a manejar a través de las actividades de "Canicas de colores", página 114, la noción de mayor o menor probabilidad de que ocurra un evento, al analizar la posibilidad de sacar de una caja una canica de algún color determinado (véase la página 50 de este libro).

En un primer momento los niños pueden asociar el término azar a la palabra suerte que ellos manejan. Sin embargo, hay que promover gradualmente su significado correcto. También deben aprender que existe una gran variedad de juegos en los que el azar no interviene. En éstos siempre hay una estrategia para ganar, como en el ajedrez o como en el juego "Carrera a veinte", del libro Juega y Aprende matemáticas, página 57.

Se sugiere al maestro permitir una amplia flexibilidad en lo que se refiere a las caracterizaciones que hagan los niños de los juegos, dada la dificultad para establecer afirmaciones rigurosas respecto al concepto de azar, sobre todo en este nivel.

Es recomendable también que el maestro utilice los juegos practicados en su región o localidad para el trabajo sobre la predicción y el azar. Una tarea puede consistir, precisamente, en indagar cuales son los juegos propios de lugar y, entre ellos, distinguir los que son de azar.

Recomendaciones de evaluación

La evaluación es uno de los aspectos de mayor complejidad en la enseñanza, pues no consiste solamente en otorgar una calificación a los alumnos, sino en la apreciación permanente de su aprendizaje. Muchas veces la evaluación no se considera como parte del proceso de aprendizaje, sino como el momento en el que se miden conocimientos terminales a partir de la calificación de un examen.

En el caso de las matemáticas, el maestro debe tener presente que los conceptos se construyen paulatinamente, por lo que su adquisición deberá ser valorada a lo largo de todo el año escolar, a partir del desempeño del alumno en las diferentes actividades de aprendizaje. La evaluación, desde este punto de vista, no corresponde a una sesión específica o a un examen cada mes.

Generalmente, los errores que cometen los niños son muestra del grado de comprensión que han alcanzado de un concepto. En este sentido, los errores no constituyen un elemento para etiquetar a los que saben y a los que no saben, sino que son una fuente muy importante para que los niños busquen nuevos procedimientos para resolver problemas y para que el maestro sepa cómo piensan sus alumnos, las dificultades que enfrentan y las actividades que conviene que realicen para superarlas.

La estimación y el cálculo mental que realizan los alumnos al dar una respuesta aproximada a determinadas situaciones son también habilidades que deben considerarse y valorarse mediante la observación, la revisión de los trabajos y la participación individual y en grupo. Las destrezas y habilidades que muestran los niños en el manejo de los instrumentos geométricos, por sencillos que éstos sean, son indicadores del grado de comprensión que tienen sobre diferentes conceptos o procedimientos matemáticos asociados a ellos.

Por esta razón, el maestro deberá valorar el avance de los alumnos al observar la forma en que manejan los instrumentos geométricos, así como su habilidad para realizar los trazos.

También es importante considerar si los alumnos logran analizar la información contenida en diferentes documentos e ilustraciones, así como plantear preguntas y problemas relacionados con dicha información, sin olvidar que deben tener la capacidad para relacionar y "escoger" la operación u operaciones adecuadas para resolver el problema. Respecto a la medición, es conveniente que el maestro observe el desarrollo paulatino de la habilidad de sus alumnos para utilizar los instrumentos y las unidades de medida convencionales (de longitud, superficie, medidas angulares, capacidad, peso y tiempo), no sólo en la resolución de problemas escritos, sino fundamentalmente en su uso práctico y en la decisión del niño para seleccionar la unidad adecuada para cada contexto.

Es conveniente elaborar un expediente individual de los alumnos que contenga diferentes documentos (pruebas, registros, observaciones, anécdotas, etcétera), con la finalidad de observar la evolución de la aplicación de las operaciones y diferentes estrategias en la resolución de problemas, además de los avances en los trazos y análisis de figuras geométricas. Dicho expediente puede servir también para el registro de actividades y avances que presenten en cualquiera de las otras asignaturas.

En síntesis, la evaluación en Matemáticas debe realizarse desde el primer día de clases, con el propósito de obtener información acerca de los conocimientos y avances de los niños. Esta información sirve al maestro para ajustar las actividades de enseñanza a las necesidades y momentos particulares de aprendizaje de los alumnos.

Plan de clase: Las ecuaciones

Resumen: En un mundo donde los conocimientos matemáticos se desarrollan vertiginosamente y aumentan sus aplicaciones día a día, en el que calculadoras y ordenadores forman parte del quehacer cotidiano, hay consenso social a nivel mundial sobre la importancia de la matemática y la necesidad de su aprendizaje por todos los estudiantes, esto significa dotar a los alumnos y alumnas de una cultura matemática que les proporcione recursos para toda su vida, lo que implica brindarles oportunidades de aprendizaje que estimulen el desarrollo de su pensamiento lógico matemático.

Publicación enviada por Rudy Mendoza Palacios

I. TITULO: RESOLVEMOS ECUACIONES 

II.- FUNDAMENTACION

2.1.- PEDAGOGÍAEn un mundo donde los conocimientos matemáticos se desarrollan vertiginosamente y aumentan sus aplicaciones día a día, en el que calculadoras y ordenadores forman parte del quehacer cotidiano, hay consenso social a nivel mundial sobre la importancia de la matemática y la necesidad de su aprendizaje por todos los estudiantes, esto significa dotar a los alumnos y alumnas de una cultura matemática que les proporcione recursos para toda su vida, lo que implica brindarles oportunidades de aprendizaje que estimulen el desarrollo de su pensamiento lógico matemático, y particularmente del aprendizaje de las ecuaciones, toda vez que estas son la base de todo proceso cognitivo que aspira a dar respuesta a cuestiones problemáticas.

Las ecuaciones permiten al alumno el hacerles partícipes conscientes y activos en la creación de conocimientos, potenciar la actitud de reflexión – acción abierta, el análisis crítico y la capacidad de adaptación a las necesidades emergentes de la sociedad, lo cual exige un gran

esfuerzo y un proceder perseverante de todos los actores educativos.

El pensamiento matemático se va estructurando desde los primeros años de vida en forma gradual y sistemática. El niño y la niña observan y exploran su entorno inmediato y los objetos que lo configuran, estableciendo relaciones entre ellos al realizar actividades concretas a través de la manipulación de materiales, participación en juegos didácticos, elaboración de esquemas, gráficos, dibujos. Estas interacciones les permiten representar y evocar aspectos diferentes de la realidad vivida, interiorizarlas en operaciones mentales y manifestarlas utilizando símbolos como instrumentos de expresión, pensamiento y síntesis de las acciones que despliegan sobre la realidad, para luego ir aproximándose a niveles de abstracción.

Al empezar su escolaridad, las niñas y los niños poseen cierto nivel de desarrollo de sus estructuras cognitivas, llevan al aula una considerable experiencia matemática, a partir de las cuales pueden seguir avanzando en la construcción de sus conocimientos lógico matemáticos con el apoyo pedagógico del docente en función a las necesidades particulares de cada alumno y alumna para permitirles que desarrollen sus potencialidades en forma óptima. A partir de la actividad lógico matemática en la resolución de ecuaciones , los alumnos van desarrollando y modificando sus esquemas de interpretación de la realidad, ampliándolos, reorganizándolos y relacionando los nuevos saberes con sus conocimientos previos.

El Cuarto grado de Primaria es una etapa de afirmación de las competencias básicas y la formación de estructuras de conocimientos y conceptos fundamentales en relación con los diversos aspectos de la realidad, construidos activamente a partir del contacto con el medio estas estructuras y conceptos serán la base de nuevos aprendizajes referidos a otros espacios y tiempos.

El Área Lógico Matemática en la Estructura Curricular Básica del Cuarto grado de Primaria prevé la enseñanza a de las ecuaciones en su forma simple , tomando en cuenta que a partir del aprendizaje de las mismas , los alumnos podrán desarrollar su aparato cognitivo, mejorando su nivel de deducción e inducción, y estableciendo hipótesis, probándolas y extrayendo conclusiones.

Por otro lado, la enseñanza de las ecuaciones es importante porque ayuda al niño a, pensar en la resolución de problemas, no solo del tipo matemático, sino también le ayudara a resolver aquellas cuestiones que se le presentan en su vida cotidiana

En el tratamiento de las ecuaciones, en busca de la solución el alumno podrá desarrollar operaciones matemáticas utilizando la adicción, sustracción, multiplicación y división, ya que con estas operaciones básicas su desarrollo mental cognitivo , ayudara a reconocer componentes y establecer la respuesta o solución correcta al planteamiento que la ecuación otorga.

2.1.1.- PSICOPEDAGÓGICALa formulación de problemas dentro de la enseñanza de la Matemática es tan importante como su solución y al decir de Polya (1998) La experiencia de un alumno en Matemática será incompleta mientras no tenga la ocasión de resolver un problema que él mismo haya inventado", algunos investigadores coinciden en afirmar que mediante la formulación de problemas se contribuye a la solidez de los conocimientos, se desarrollan la expresión oral y escrita, el análisis y la síntesis, la abstracción y la generalización como operaciones mentales que contribuyen al desarrollo del pensamiento lógico, flexible, heurístico y creativo (González, D. 1996 ).

Además, como los problemas deben estar vinculados a situaciones de la vida en sus diferentes esferas, tanto en lo político-ideológico, económico-laboral y científico-ambiental, ello propicia que los mismos se apoyen en informaciones actualizadas, tanto del ámbito internacional como nacional así como de la comunidad en que viven, todo lo cual contribuye al fortalecimiento de valores y el desarrollo multilateral del estudiante. Los libros de texto de que se dispone en la primaria datan de 1990,y algunos remozados del año 2000 en los mismos se refleja de manera adecuada el contenido matemático, pero los problemas que contienen, en su mayoría son de carácter hipotético, por lo que para los profesores resulta tanto útil como necesario saber

formular problemas y saber enseñar a sus alumnos a hacerlo, lo que contribuye a fortalecer sus valores, su educación político-ideológica, desarrollar habilidades matemáticas relacionadas con la solución de problemas y ampliar su bagaje cultural.

El desarrollo de las matemáticas a decir de Piaget:"En la mayoría de las lecciones de matemática toda la diferencia estriba en el hecho de que se le pide al alumno que acepte una disciplina intelectual ya completamente organizada, la cual puede o no entender, mientras que en el contexto de actividad autónoma tiene que descubrir por sí mismo las relaciones y los conceptos, y recrearlos hasta el momento en que es feliz de ser guiado y enseñado."(Introducción a Piaget. Pensamiento, Aprendizaje, Enseñanza. Labinowicz, , 1987)

Para Piaget el conocimiento lógico-matemático es el que no existe por si mismo en la realidad (en los objetos). La fuente de este razonamiento está en el sujeto y éste la construye por abstracción reflexiva. De hecho se deriva de la coordinación de las acciones que realiza el sujeto con los objetos. El ejemplo más típico es el número, si nosotros vemos tres objetos frente a nosotros en ningún lado vemos el "tres", éste es más bien producto de una abstracción de las coordinaciones de acciones que el sujeto ha realizado, cuando se ha enfrentado a situaciones donde se encuentren tres objetos

El conocimiento lógico-matemático de las ecuaciones ,"surge de una abstracción reflexiva", ya que este conocimiento no es observable y es el niño quien lo construye en su mente a través de las relaciones con los números , desarrollándose siempre de lo más simple a lo más complejo, teniendo como particularidad que el conocimiento adquirido una vez procesado no se olvida, ya que la experiencia no proviene de los objetos sino de su acción sobre los mismos. De allí que este conocimiento posea características propias que lo diferencian de otros conocimientos.

Las operaciones lógico matemáticas de las ecuaciones antes de ser una actitud puramente intelectual, requiere en el alumno la construcción de estructuras internas y del manejo de ciertas nociones que son, ante todo, producto de la acción y relación del niño con los componentes de la ecuación y que a partir de una reflexión le permiten adquirir las nociones fundamentales para la solución . El docente que acompaña al niño en su proceso de aprendizaje debe planificar didáctica de procesos que le permitan interaccionar con los problemas que representan las ecuaciones , que sean su realidad: personas, juguetes, ropa, animales, plantas, etc.

2.1.2.- FILOSÓFICALa originalidad de la filosofía de la matemática radica en su elaboración desde la perspectiva de la inteligencia sentiente o de la impresión de la formalidad de realidad. Wolf (2002), afirma que la inteligencia no es concipiente sino sentiente. Su función primaria no es concebir y juzgar lo dado por los sentidos, sino impresión de realidad. La inteligencia siente "a una" el contenido sensible y su realidad . 

La matemática filosóficamente es un juego. ¿Por que? Porque la matemática se ama con reglas que se van combinando con una lógica para llegara conclusiones. Tan es asi que podemos cambiar las reglas de juego y armar otra matemática. Esto seria para charlar lo largo y tendido pero es así. Eso por un lado, pero hay otra cosa que es importante y es que en realidad , cuando pensamos en nuestros alumnos , incluso en nuestros docentes que tienen que lidiar con la matemática, estamos pensando en una matemática cotidiana, no una cosa muy abstracta , muy filosófica, sino en una cosa muy cotidiana.

La matemática mueve al mundo , es decir, la matemática tiene verdades que las necesitamos para que funcione el supermercado, para que funcionen los colectivos , las cosas de todos los días . Entonces, esa matemática que nosotros tenemos que enseñar y que aprender, tiene que tener que ver con las cosas de todos los días.

El filosofar del porque enseñar las ecuaciones implica pensar en como y porque debemos no solo enseñarla sino también aprenderla. No existe filosofía de las ecuaciones, pero si podemos decir que esta ayudan al niño y al hombre a pensar que cada acto , que cada hecho tiene una

razón, las incógnitas que nos presentan las ecuaciones nos indican que cada hecho también las tiene. Aprender a resolver incógnitas de las ecuaciones , de una u otra forma ayuda al niño y al hombre a desarrollar su pensamiento en la toma de decisiones para dar solución a los problemas que se le presentan en la vida cotidiana.

Las ecuaciones con sus componentes nos idealizan que en el mundo real todo tiene un orden y una consecuente realidad. Nada hay mas racional que en la expresión 4 + x = 9. Donde la incógnita “x” es el numero 5. de igual forma el pensar de porque hay que colocar el 5 en lugar de la “X” lleva al niño a pensar , y el pensar es la base de toda filosofía.

2..3.- EPISTEMOLÓGICAEn toda experiencia educativa interactúan en el proceso varios elementos en forma dinámica: docente, alumno, currículo, medio o contexto en el cual se da la experiencia. Las competencias (capacidades y actitudes) y las orientaciones metodológicas constituyen también elementos interactuantes que deben considerarse en conjunto. La niña y el niño adquieren y desarrollan competencias matemáticas a través de un proceso en espiral en el que van ampliando el nivel de elaboración y profundización de sus saberes, dándoles cada vez mayor complejidad e introduciendo nuevos conocimientos de acuerdo a sus progresos y ritmos de aprendizaje, lo cual les permite aplicar sus conocimientos a nuevas construcciones mentales y encontrar sentido a lo que aprenden.

La organización del Currículo por Grados permite a los educandos disponer de más tiempo para lograr las experiencias necesarias y construir las competencias esperadas. Las orientaciones metodológicas que enmarcan la acción pedagógica en esta etapa de la escolaridad se dirigen al logro de las competencias básicas que deben alcanzar las niñas y los niños al terminar el Cuarto Grado de Primaria, para lo cual es necesario tener en cuenta lo siguiente:

El edificio de las matemáticas reposa sobre estructuras de la inteligencia: es necesario basar la didáctica matemática en la organización progresiva de estas estructuras operatorias. Las operaciones se originan en las acciones que se interiorizan coordinándose en estructuras. En el niño y la niña todo conocimiento supone una participación de la experiencia para constituirse. Las experiencias físicas conducen a la abstracción del objeto mismo y las experiencias lógico matemáticas conducen a la abstracción a partir de las acciones operaciones realizadas sobre el objeto. 

Por eso el niño y la niña en esta etapa de su escolaridad necesitan manipular objetos concretos, familiarizarse con ellos, establecer relaciones, buscar regularidades...así encuentran su trabajo fácil, interesante y espontáneo además el tiempo utilizado es importante para crear un clima de confianza, esencial en el acto de aprender. El maestro pacientemente deberá comprender el valor que tienen las exploraciones que hacen los alumnos y alumnas y promoverlas.

La adquisición y desarrollo de las competencias matemáticas dependerá en gran medida de lo que el niño y la niña hagan, de sus propias construcciones, de este modo comprenderán mejor los conocimientos que vayan estructurando y tendrán ocasión de organizar su experiencia perceptiva y activa, de rectificar sus realizaciones cuando convenga, de engendrar nuevas situaciones.

Entre los contenidos que se desarrollan en el informe “Aprendamos a resolver ecuaciones” tenemos 1.- Reconocemos las ecuaciones como una igualdad de número naturales2.- Identificamos los elementos y miembros de una ecuación3.- Resolvemos ecuaciones aplicando las propiedades de los números naturales4.- Usamos diferentes estrategias para resolver ecuaciones

2.2.- FUNDAMENTACION METODOLOGICA

2.2.1.- MetodologíaLa Metodología es la ciencia que se encarga del método utilizando para descubrir , sintetizar o

transmitir el saber : conocer m, hacer, ser y convivir (ECITEC) “Metodología y tecnología educativa” U.N.E. Enrique Guzmán y valle”)

Es una forma simple de decirla así : la disciplina que estudia aspectos teóricos y objetivos (Suárez Froilan, 2002) 

La metodología de la enseñanza es el conjunto de procedimientos didácticos implicado en los métodos y técnicas de enseñanza que tiene por objeto llevar a un buen término de acción didáctica, es decir, alcanzar los objetivos de la enseñanza , y en consecuencia , los de la educación con un nuevo esfuerzo y un máximo de rendimiento (Incder Nerice,1980)

CLASES DE METODOLOGÍA

1.- METODOLOGÍA TRADICIONAL O CONDUCTISTAEl profesor es el centro de todo el sistema de enseñanza y el alumno es solamente un ser pasivo, receptor y memorista.

2.- METODOLOGÍA MODERNA ACTIVA Y CONSTRUCTIVISTAEl alumno es el centro del aprendizaje , siendo el profesor un facilitador , un guía para descubrir los nuevos aprendizajes, relacionándolos con sus conocimientos previos.

2.2.2..- MÉTODO Hay unas variedades de definiciones acerca el método, desde el etimológico que lo considera como el camino mas corto para llegar a una meta.

Dewey lo define como la dirección eficaz del material hacia los resultados deseados. Rousselot dice que el método es el camino mas corto para descubrir la verdad para comunicarla cuando ha sido descubierta.

El método lo definimos como lo hace ( Luria 1998) la Manera ordenada de hacer cierta cosa, en particular, de enseñar o aprender algo(. “ La Ciencia y su Método”. -Mendoza Bermejo, José Maria , 1999)

Existen varias clases de métodos , pero nosotros vamos a verlos desde la óptica del alumno y la relación del docente alumno:

2.2.2.1.- CLASES DE MÉTODOEl método en cuanto a su origen científico :

MÉTODO LÓGICO DEDUCTIVOMediante ella se aplican los principios descubiertos a casos particulares, a partir de un enlace de juicios. El papel de la deducción en la investigación es doble:

Primero consiste en encontrar principios desconocidos, a partir de los conocidos. Una ley o principio puede reducirse a otra más general que la incluya. Si un cuerpo cae decimos que pesa porque es un caso particular de la gravitación .También sirve para descubrir consecuencias desconocidas, de principios conocidos. Si sabemos que la formula de la velocidad es v=e/t, podremos calcular la velocidad de un avión. La matemática es la ciencia deductiva por excelencia; parte de axiomas y definiciones

MÉTODO LÓGICO INDUCTIVOEs el razonamiento que, partiendo de casos particulares, se eleva a conocimientos generales. Este método permite la formación de hipótesis, investigación de leyes científicas, y las demostraciones. La inducción puede ser completa o incompleta.

Inducción completa. La conclusión es sacada del estudio de todos los elementos que forman el objeto de investigación, es decir que solo es posible si conocemos con exactitud el numero de elementos que forman el objeto de estudio y además, cuando sabemos que el conocimiento generalizado pertenece a cada uno de los elementos del objeto de investigación. Las llamadas demostraciones complejas son formas de razonamiento inductivo, solo que en ellas se toman

muestras que poco a poco se van articulando hasta lograr el estudio por inducción completa.

Inducción incompleta: Los elementos del objeto de investigación no pueden ser numerados y estudiados en su totalidad, obligando al sujeto de investigación a recurrir a tomar una muestra representativa, que permita hacer generalizaciones.

Diferencia entre método inductivo y deductivoLa diferencia fundamental entre el método deductivo y el inductivo es que el primero aspira a demostrar, mediante la lógica pura, la conclusión en su totalidad a partir de unas premisas, de manera que se garantiza la veracidad de las conclusiones, si no se invalida la lógica aplicada. Se trata del modelo axiomático propuesto por Aristóteles como el método ideal.

Por el contrario, el método inductivo crea leyes a partir de la observación de los hechos, mediante la generalización del comportamiento observado; en realidad, lo que realiza es una especie de generalización, sin que por medio de la lógica pueda conseguir una demostración de las citadas leyes o conjunto de conclusiones. Estas conclusiones podrían ser falsas y, al mismo tiempo, la aplicación parcial efectuada de la lógica podría mantener su validez; por eso, el método inductivo necesita una condición adicional, su aplicación se considera válida mientras no se encuentre ningún caso que no cumpla el modelo propuesto.

Proceso del método inductivo deductivo- Observación: el primer paso es la observación de una parte limitada del universo o población que constituye la muestra. Anotación de lo observable, posterior ordenamiento, tabulación y selección de los datos obtenidos, para quedarse con los más representativos. 

- Hipótesis: se desarrolla en esta etapa, el planteamiento de las hipótesis que expliquen los hechos ocurridos (observados). Este paso intenta explicar la relación causa - efecto entre los hechos. Para buscar la relación causa – efecto se utiliza la analogía y el método inductivo. La HP debe estar de acuerdo con lo que se pretende explicar (atingencia) y no se debe contraponer a otras HP generales ya aceptadas. La HP debe tener matices predictivos, si es posible. Cuanto más simple sea, mas fácilmente demostrable (las HP complejas, generalmente son reformulables a dos o más HP simples). La HP debe poder ser comprobable experimentalmente por otros investigadores, o sea ser reproducible. 

- Experimentación: la hipótesis debe ser comprobada en estudios controlados, con autentica veracidad.

- Hipótesis en Investigación: Hipótesis significa literalmente “lo que se supone”. Está compuesta por enunciados teóricos probables, referentes a variables o relaciones entre ellas. En el campo de la investigación, la hipótesis, supone soluciones probables al problema de estudio 

Los métodos en cuanto al trabajo del alumno- Método de Trabajo Individual: Se le denomina de este modo, cuando procurando conciliar principalmente las diferencias individuales el trabajo escolar es adecuado al alumno por medio de tareas diferenciadas, estudio dirigido o contratos de estudio, quedando el profesor con mayor libertad para orientarlo en sus dificultades. 

- Método de Trabajo Colectivo: Es el que se apoya principalmente, sobre la enseñanza en grupo. Un plan de estudio es repartido entre los componentes del grupo contribuyendo cada uno con una parcela de responsabilidad del todo. De la reunión de esfuerzos de los alumnos y de la colaboración entre ellos resulta el trabajo total. Puede ser llamado también Método de Enseñanza Socializada. 

- Método Mixto de Trabajo: Es mixto cuando planea, en su desarrollo actividades socializadas e individuales. Es, a nuestro entender, el más aconsejable pues da oportunidad para una acción socializadora y, al mismo tiempo, a otra de tipo individualizador. 

Los métodos en cuanto a la relación entre el profesor y el alumno. 

- Método Individual: Es el destinado a la educación de un solo alumno. Es recomendable en

alumnos que por algún motivo se hayan atrasado en sus clases. 

· Método Recíproco: Se llama así al método en virtud del cual el profesor encamina a sus alumnos para que enseñen a sus condiscípulos. 

MÉTODO A USAR EN LA SESIÓN DE APRENDIZAJEEn nuestra clase aplicaremos el método individual y grupal de manera que los alumnos interioricen primero el concepto de ecuación y luego en grupo, puedan dialogar ye intercambiar opiniones para su resolución

2.2.3. LA TÉCNICALa TÉCNICA la definimos como los recursos necesarios de la enseñanza; son los vehículos de realización ordenada, metódica y adecuada de la misma. Los métodos y técnicas tienen por objeto hacer más eficiente la dirección del aprendizaje. Gracias a ellos, pueden ser elaborados los conocimientos adquiridos, las habilidades e incorporados con menor esfuerzo los ideales y actitudes que la escuela pretende proporcionar a sus alumno.( Didáctica general. UNMSM .Luis Marcel, 1999)

Destacan las principales técnicas :

EXPOSICIÓNEs una técnica explosiva centrada en el instructor, y consiste en proporcionar información al grupo, al tiempo que se limita la participación de éste.

LLUVIA DE IDEASEs una técnica que permite la libre expresión de las ideas de los participantes sin las restricciones o limitaciones con el propósito de producir el mayor número de datos, opiniones y soluciones obre algún tema.

DISCUSIÓN DIRIGIDAConsiste en un intercambio de ideas y opiniones entre los integrantes de un grupo relativamente pequeño, acerca de un tema específico con un método y una estructura en la que se mezclan la comunicación formal y las expresiones espontáneas de los participantes.

JUEGO DE PAPELESEn esta técnica algunos participantes asumen un papel diferente al de su propia identidad, para representar un problema real o hipotético con el objeto de que pueda ser comprendido y analizado por el grupo.

EXPERIENCIA ESTRUCTURADAEs una técnica en la cual los participantes realizan una serie de actividades previamente diseñadas, cuyo propósito es destacar los principales elementos de un tema o aspecto del programa. Es importante destacar que hay una gran confusión entre la experiencia estructurada y las llamadas "Dinámicas de grupo", conviene aclarar que la dinámica grupal existe en todo momento como consecuencia del comportamiento de las personas y de su interacción en el grupo, con independencia de la técnica que se emplee.

LECTURA COMENTADAConsiste en dejar a los participantes leer un documento y que lo comenten con la dirección del instructor. Como variante de esta práctica se puede usar el debate, cuya mecánica es semejante.

INSTRUCCIÓN PROGRAMADAEs una técnica individualizada por medio de materiales que permiten que el participante dirija su aprendizaje a su propio ritmo, gracias a la retroalimentación constante de respuestas correctas

TÉCNICAS A USAR EN LA SESIÓN DE APRENDIZAJENosotros usaremos las técnicas de la exposición, la experiencia estructurada, la instrucción programada y las lluvias de ideas en el aprendizaje y la enseñanza de las ecuaciones.

2.2.4.- ESTRATEGIASTodo método tiene una estrategia, de allí que definimos ESTRATEGIA , siguiendo a la acepción que da la Real Academia Española : el Arte de dirigir un asunto para lograr el objeto deseado.( RAE. Diccionario de la Reala Academia de Lengua Española. 2001)

Nosotros consideramos que las estrategias se confunden con las técnicas, de allí que en matemáticas creemos que podemos emplear las estrategias de dirigidas a obtener o movilizar información , dirigidas a elaborar o transformar información y las dirigidas a comunicar información (. “ Estrategias y técnicas de Enseñanza. Taylor, Joseph. 2000: 43)

Las enunciamos como un proceso consciente e intencionado que favorece el análisis , la reflexión, el control del proceso y la valoración de lo que se hace. Utilizamos estrategias cuando solucionamos , comprendemos un texto ,planificamos una entrevista (PLANCAD, 2001)

Actualmente las estrategias los mapas conceptuales: Los mapas conceptuales permiten organizar de una manera coherente a los conceptos, su estructura organizaciones (Novack, 1999) se produce mediante relaciones significativas entre los conceptos en forma de proposiciones, estas a su vez constan de dos o más términos conceptuales unidos por palabras enlaces que sirven para formar una unidad semántica. Además los conceptos se sitúan en una elipse o recuadro, los conceptos relacionados se unen por líneas y el sentido de la relación se aclara con las palabras enlaces, que se escriben en minúscula junto a las líneas de unión. Hay que tener en cuenta que algunos conceptos son abarcados bajo otros conceptos más amplios, más inclusivos, por lo tanto deben ser jerárquicos; es decir, los conceptos más generales deben situarse en la parte superior del mapa, y los conceptos menos inclusivos, en la parte inferior.

Los mapas conceptuales le permiten a los profesores y alumnos intercambiar sus puntos de vista sobre la validez de un vínculo preposicional determinado para finalmente proporcionar un resumen esquemático de todo lo que se ha aprendido.

Los mapas conceptuales son herramientas útiles para ayudar a los estudiantes a aprender acerca de la estructura del conocimiento y los procesos de construcción de pensamiento. 

Este puede servir como punto de partida de cualquier concepción de concepto que la persona pueda tener concerniente a la estructura del conocimiento, es decir, sirve para descubrir los preconceptos del alumno y cuando se llegue al final del proceso servirá para clarificar relaciones entre nuevos y antiguos conocimientos

ANALOGÍASConsiste en analizar comparaciones entre la información nueva y la información ya conocida.

ORGANIZADOR PREVIO

Es un material elaborado por el docente en forma de texto o de diagramas que contiene ideas y conceptos generales sobre el tema que van a aprender.

ILUSTRACIONES

Son las fotografías , esculturas , dibujos, gráficos , histogramas que tienen como propósito despertar el interés y mantener la atención de los alumnos sobre un determinado aprendizaje

ESTRATEGIA A EMPLEAR EN LA SESION DE APRENDIZAJEEn la sesión de aprendizaje emplearemos la estrategia de grupo; desarrollan ejercicios y problemas de ecuaciones , exposición de trabajos , intercambian trabajos para corregir errores, exponen sus trabajos y los mejoran con el aporte de toda la clase , ubican los trabajos en el área de lógico matemática del cuarto grado de educación primaria.

2.2.5.- MEDIOS Y MATERIALESLos MEDIOS Y MATERIALES los definimos como Medios auxiliares que usa el docente para

lograr motivar e interesar a los alumnos a adquirir y similar nuevos contenidos dentro de una materia o asignatura escolar.( “ La Didáctica educativa” Marcus José México DF. 2000)Los Medios; su fin es le logro de los objetivos educacionales.

MATERIALES EDUCATIVOSSon todos los medios y recursos que facilitan el proceso de enseñanza y la construcción de los aprendizajes porque estimulan la función de los sentidos y activa las experiencias y aprendizaje previos para acceder más fácilmente a la información , al desarrollo de habilidades y destrezas y a la formación de actitudes y valores.

CLASES DE MEDIOS Y MATERIALESSegún los medios de comunicación que emplea :- Materiales impresos : Textos, manuales , laminas , folletos- Materiales audiovisuales : Videos , películas , diapositivas , programas de radio , grabaciones de audio , programas de computadoras, etc.- Materiales multimediales : Programa de computadora con materiales impresos , equipos de laboratorio con textos de aprendizajes , materiales de arte plástica con diapositivas , sonidos grabados y uso de textos de autoaprendizaje.

Según su intencionalidad :- No estructurados : Aquellos no elaboraos con propósitos definidos. Generalmente se recolectan del entorno. Ejemplo : Chapas, semillas , etiquetas , palitos, hojas, cordones, envases, conchas , cuentas, periódicos, instrumentos musicales, retazos de lana, etc.- Estructurado : Son aquellos elaboraos para que sirvan de soporte en las actividades de aprendizajes. Ejemplo : regletas de colores, maquetas armables, bloques lógicos, juegos de encaje , rompecabezas, fichas de aplicación.

De particular importancia para nuestro objetivo es la clasificación de medios y materiales que establece Edgard Dale en su famoso Cono de la experiencia (1966), donde ordena los niveles de concreción y abstracción de los métodos de enseñanza y los materiales instructivos en el sentido de abstracción creciente. Dale opinaba que las ideas pueden ser más fácilmente entendidas y retenidas si se construyen a partir de la experiencia concreta.

MEDIOS Y MATERIALES A USAR EN LA SESIÓN DE CLASEEn nuestro caso aplicaremos los símbolos orales, y visuales: pizarra, tiza, plumones, lapiceros, cuadernos de apuntes, regla, tabla de multiplicar, fichas informativas , cuartillas, papelotes, cuaderno de apuntes. etc. .

Aún cuando algunos de los problema que proponemos pueden resolverse utilizando sistemas de ecuaciones, intentaremos que el alumno los resuelva utilizando una sola incógnita, aunque por vicio adquirido tienda a introducir varias, método que en general le pude resultar más fácil a la hora de plantear el problema, pero no a la de resolverlo, pues generalmente desconoce el estudio de la compatibilidad de sistemas.

En las actividades se proponen ejercicios que dan lugar a la discusión de la ecuación de primer grado, con ejemplos concretos de cada caso posible (problema sin solución, con infinitas soluciones y con solución única), y su interpretación en el problema planteado. A la hora de resolver un problema algebraico, es aconsejable que el alumno siga ciertas pautas. Un esquema posible a seguir es el siguiente:- Leer y comprender el enunciado- Designar la incógnita- Plantear la ecuación- Resolver la ecuación- Discusión e interpretación de los resultados

Ante resultados no satisfactorios, es decir, que el alumno no llegue a la solución o bien ésta no cuadre, se podría plantear una serie de interrogantes mediante el dialogo.

2.2.6- LA EVALUACION

· Es un proceso interactivo , consustancial a la enseñanza y al aprendizaje orientado a identificar las necesidades de aprendizaje y valorar el valor del logro alcanzado por los niños y niñas en el desarrollo de competencias, con el propósito de tomar decisiones que lleven a la mejora de la práctica educativa. (PLANCAD,2001)

· La evaluación es integral y continua en todo proceso educativo para proporcionar al maestro la información que le permita mediar y apoyar de cerca los aprendizajes de los niños y niñas. En este sentido , la evaluación puede ser inicial, de proceso o seguimiento y de confirmación o sustantiva.

CLASES DE EVALUACIÓN

EVALUACIÓN INICIALLe evaluación inicial posibilita recoger datos para precisar el nivel de expectativas , intereses y aprendizajes previos. Esta evaluación debe hacerse en relación al año académico , un trimestre o al inicio de una unidad didáctica.

- Cuando un alumno llega por primera vez a una institución educativa ya sea para iniciar su escolaridad o para continuarla , si llegara por primera vez es necesaria una amplia recogida de datos (personales, familiares y sociales). Esta evaluación tiene un carácter diagnostico , servirá para conocer a esa niña o niños y poder adecuar desde el primer momento la actuación del profesor y del centro a sus peculiaridades.

- Cuando se inicia un proceso de aprendizaje concreto, por ejemplo, al inicio de una unidad didáctica. Esta evaluación permite detectar las idea previas que l alumno posee en relación con las capacidades a desarrollar, igualmente se puede percibir las actitudes manifiestas hacia las mismas.

EVALUACIÓN DE PROCESO O DE SEGUIMIENTOConsiste en la valoración del aprendizaje del niño o niña y de la enseñanza del profesor mediante el recojo sistemático de datos análisis de los mismos y de la toma oportuna , mientras tiene lugar el propio proceso, lo acompañan como parte constitutiva de el. La información obtenida durante esta evaluación permite al profesor una ayuda ajustada , entendiéndose como la que proporciona el docente al alumno para atender oportunamente las dificultades , obstáculos y necesidades que se van presentando durante el desarrollo de una unidad didáctica.

Pone de manifiesto los distintos ritmos de avances de los alumnos y permite hacer reajustes necesarios a la programación y a las estrategias empleadas por el docente.

EVALUACIÓN DE CONFIRMACIÓN O SUMATIVAEs la valoración que busca confirmar los resultados y las tendencias que se han venido registrando durante la evaluación de seguimiento. La información resultante deberá ser contrastada con la evaluación de inicio y de proceso para identificare el nivel de logros. Esta evaluación no admite los resultados sin más, pone en cuestión el proceso y trata de indagar si las competencias han sido desarrolladas, si los materiales han sido los más adecuados y si en consecuencia las medidas adoptadas han sido eficaces.

TIPOS DE EVALUACIONExisten tres tipos básicos de evaluación : - la Heteroevaluacion es la que realizan los agentes externos del proceso de aprendizaje, como el propio docente, otros miembros de la institución educativa y los padres de familia.

- La auto evaluación Cuando cada alumno hace una reflexión y Apreciación critica de sus aprendizajes, teniendo como referencia los indicadores de logro, considerados en la unidad didáctica que se esta autoevaluando.

- La coevaluacion es la apreciación de los desempeños que se hace entre pares ( niña-niño) cuya finalidad es la de retroalimentarse mutuamente, para reconocer y precisar sus avances, logros, esfuerzos y meritos en relación a sus indicadores de logros previstos.

EVALUACION QUE SE APLICARA EN LA SESIÓN DE APRENDIZAJEEn nuestro caso estamos aplicando la Heteroevaluacion y Auto evaluación a través de una ficha de observación, la misma que el alumno desarrollara y evaluara la construcción de sus aprendizajes.

INSTRUMENTOS DE EVALUACIONEntre los instrumentos mas usados tenemos :· Practica calificada· Prueba Oral· Prueba escrita· Ficha de auto evaluación· Ficha de coevaluacion

2.2.8.- TIEMPOEl tiempo que se utilizara para el desarrollo de la sesión de aprendizaje será de ciento ochenta minutos ( 180¨)

1. La enseñanza. es el proceso mediante el cual se comunican o transmiten conocimientos especiales o generales sobre una materia. Este concepto es más restringido que el de educación, ya que ésta tiene por objeto la formación integral de la persona humana, mientras que la enseñanza se limita a transmitir, por medios diversos, determinados conocimientos. En este sentido la educación comprende la enseñanza propiamente dicha. 

2. Los métodos de enseñanza descansan sobre las teorías del proceso de aprendizaje y una de las grandes tareas de la pedagogía moderna a sido estudiar de manera experimental la eficacia de dichos métodos, al mismo tiempo que intenta su formulación teórica. En este campo sobresale la teoría psicológica : la base fundamental de todo proceso de enseñanza-aprendizaje se halla representada por un reflejo condicionado, es decir, por la relación asociada que existe entre la respuesta y el estímulo que la provoca. 

3. La tendencia actual de la enseñanza se dirige hacia la disminución de la teoría, o complementarla con la práctica. En este campo, existen varios métodos, uno es los medios audiovisuales que normalmente son más accesibles de obtener económicamente y con los que se pretende suprimir las clásicas salas de clase, todo con el fin de lograr un beneficio en la autonomía del aprendizaje del individuo. Otra forma, un tanto más moderno, es la utilización de los multimedios, pero que económicamente por su infraestructura, no es tan fácil de adquirir en nuestro medio, pero que brinda grandes ventajas para los actuales procesos de enseñanza – aprendizaje

4. El proceso enseñanza-aprendizaje constituye un verdadero par dialéctico en el cual y, respecto al primer componente, el mismo se debe organizar y desarrollar de manera tal que resulte como lo que debe ser: un elemento facilitador de la apropiación del conocimiento de la realidad objetiva que, en su interacción con un sustrato material neuronal, asentado en el subsistema nervioso central del individuo, hará posible en el menor tiempo y con el mayor grado de eficiencia y eficacia alcanzable, el establecimiento de los necesarios engranajes sensoriales, aspectos intelectivos y motores para que el referido reflejo se materialice y concrete, todo lo cual constituyen en definitiva premisas y requisitos para el logro los objetivos propuestos.

5. La adquisición de una metodología basada en el cuestionamiento científico, en el reconocimiento de las propias limitaciones, en el juicio crítico y razonado, debe insertarse en todo proyecto de desarrollo de la persona y colaborar en la formación de un ciudadano capaz de tomar sus propias decisiones, ya que prepara y favorece una actitud crítica, razonable.

6. Es difícil escoger un método como el ideal y único camino para realizar una investigación, pues muchos de ellos se complementan y relacionan entre si. A mi consideración el método mas completo es el método Inductivo-Deductivo ya que en él se plantea una hipótesis que se puede analizar deductiva o inductivamente y posteriormente comprobar experimentalmente, es decir que se busca que la parte teórica no pierda su sentido, por ello la teoría se relaciona

posteriormente con la realidad. Como notamos una de las características de este método es que incluye otros métodos, 

7. Las estrategias, en el ámbito educativo, son los procedimientos que el alumno pone en marcha para concretar las capacidades propuestas en los objetivos de aprendizaje de sus programaciones de aula. Por lo tanto, las estrategias están integradas en el propio proceso de E-A; de ahí, que no deban trabajarse al margen del currículum, tal y como proponen, por ejemplo, los programas para enseñar a pensar. Las estrategias las emplea el profesor al enseñar y el alumno al aprender y, si realmente son potentes y están bien ajustadas, las que se utilizan para transmitir información y para procesarla deben ser las mismas. 

8. La evaluación es un aspecto fundamental de la práctica docente, ya que permite realizar un seguimiento de los aprendizajes que los alumnos y alumnas van obteniendo. La evaluación debe considerar la posibilidad del error por parte del estudiante, o de una desmesurada exigencia por parte del docente, por lo que una de nuestras propuestas principales en este ámbito es la asistencialidad como factor evaluativo, es decir, cada vez que sea necesario, en una evaluación formal, proponemos que el profesor pida a sus alumnos expresen sus dudad o temores en sus aprendizajes.

III.- COMPETENCIA- Resuelve ecuaciones y crea problemas matemáticos relacionados con situaciones cotidianas para cuya solución se requiere de la adicción y sustracción, multiplicación y división de números naturales.

- Demuestra confianza en sus propias capacidades y perseverancia en la búsqueda de soluciones

Capacidades y Actitudes- Utiliza las propiedades de los números naturales d dicción, sustracción, multiplicación y división para resolver ecuaciones- Resuelve problemas que requieren de operaciones con números naturales en la solución de ecuaciones- Halla de manera rápida y eficaz el resultado de una ecuación aplicando estrategias personales.- Inventa y resuelve problemas relacionados con las ecuaciones demostrando originalidad y coherencia con la realidad.- Usa distintas estrategias para resolver problemas y las comunica. Verifica y comprueba lo razonable de los resultados.

IV.- ACTIVIDADES Y ESTRATEGIAS

RESOLVEMOS ECUACIONES

ACTIVIDADES ESTRATEGIAS

1. Reconocemos las

ecuaciones como una

igualdad de números

naturales

·        El docente presenta una

ecuación a los alumnos

·        Los alumnos observan el

ejemplo de ecuaciones

·        Dialogan con el docente

acerca de las

características de las

mismas

·        Reconocen la ecuación

como una igualdad  de

números naturales.

 

2. Identificamos a los

elementos y miembros de

una ecuación

·        Dada la ecuación los

alumnos expresan de

manera oral los

componentes de la

ecuación

·        El docente establece los

componentes de la

ecuación

·        El docente realiza la

resolución de la ecuación

especificando el papel de

cada componente

 

3.- Resolvemos

ecuaciones aplicando las

propiedades de los

números naturales

 

 

Se desarrollara en la sesión de

aprendizaje

 

4.- Usamos diferente

estrategias para resolver

ecuaciones

·        Los alumnos expresan

problemas de la vida cotidiana a

foie de resolver ecuaciones

De manera individual y grupal

resuelven las ecuaciones

Sistematizan la información y

presentan resultados

V.- INFORMACIÓN TEÓRICA

LA ECUACIÓN

Definición- Una ecuación es toda igualdad entre dos expresiones matemáticas sin importar el valor que - tomen las variables implicadas en cada expresión. - Forma matemática de expresar la igualdad de dos expresiones algebraicas; en física, expresión que relaciona una o dos cualidades fundamentales. También se emplea en Química.- Es un planteamiento de igualdad escrito en términos de variables y constantes.

Historia de las ecuacionesLos primeros en tratar las ecuaciones de primer grado fueron los árabes, en un libro llamado Tratado de la cosa, y a la ciencia de hacerlo, Álgebra (del ár. algabru walmuqābalah, reducción y cotejo). La cosa era la incógnita. La primera traducción fue hecha al latín en España, y como la palabra árabe la cosa suena algo parecido a la X española medieval (que a veces ha dado J y otra X porque su sonido era intermedio, como en México/Méjico, Jiménez/Jiménez), los matemáticos españoles llamaron a la cosa X y así sigue.

Para resolver ecuaciones de primer y segundo grado, el hombre no encontró gran dificultad, la situación fue completamente diferente para ecuaciones de grado mayor de 2. En efecto, la ecuación general de tercer grado:

... ax3 + bx2 + cx + d = 0 Requirió consideraciones bastante profundas y resistió todos los esfuerzos de los matemáticos de la antigüedad. Sólo se pudieron resolver a principios del siglo XVI, en la Era del

Renacimiento en Italia. Aquí se presentará el ambiente en que aconteció el descubrimiento de la solución de las ecuaciones de tercer grado o cúbicas. Los hombres que perfeccionaron las cúbicas, italianos todos, constituyeron un grupo de matemáticos tan pintoresco como nunca se ha dados en la historia. La mayoría de ellos eran autodidactas, trabajaban en contabilidad, en problemas de interés compuesto y de seguros.

Habiéndose elevado por encima del simple cálculo práctico, los grandes algebristas italianos constituían en su mayor parte un grupo sagaz y oportunista que se encontraba en su elemento tanto entre tramposos y jugadores de cartas, espadachines que frecuentaban las Callejas del Renacimiento, como en las cátedras de Universidad, a las que aspiraban y algunas veces ocupaban. Para dar publicidad a sus pruebas de agilidad mental sostuvieron entre sí competencias para la solución de problemas. (Algo muy similar a lo que hacían los hindúes siglos antes). 

Para hacer doblemente difícil su deporte, algunas veces hacían apuestas que depositaban en manos de un tercero. El ganador se lo llevaba todo. En esta atmósfera combativa estalló la guerra en torno a la ecuación cúbica. La chispa pudo haber sido encendida, sin querer, por un padre Franciscano, Luca Pacioli, quien en 1492 publicó un compendio de álgebra, la "Suma Aritmética". Con ella transmitió el álgebra inventada hasta la fecha y terminó con la irritante observación de que los matemáticos no podrían todavía solucionar ecuaciones cúbicas por métodos algebraicos.

El primer hombre en recoger el desafío de Pacioli en torno a las cúbicas fue, como ya dijimos Scipio del Ferro, el hijo de un fabricante de papel, que llegó a ser catedrático de matemáticas en la Universidad de Bolonia. Habiendo encontrado la solución general para todas las ecuaciones cúbicas de la forma simplificada x3 + nx = h.Del Ferro mantuvo en secreto su descubrimiento, probablemente para confundir a los adversarios durante las competencias. Pero en sus últimos días confío su solución a un estudiante, Antonio Fior, quien la utilizó en una disputa de álgebra con un rival, Nícolo Fontana, llamado Tartaglia o tartamudo a causa de que padecía este defecto.En la época de la contienda con Fior, Tartaglia había pasado a ser uno de los más sagaces solucionadores de ecuaciones de Italia, y había ideado un arma secreta propia: Una solución general para las cúbicas del tipo x3 + mx2 = h 

Como resultado, cuando Fior le dio un grupo de ejemplos específicos del tipo x3 + px + q = 0, le respondió con ejemplos del tipo x3 + mx2 = n. Durante el intervalo concedido para obtener las respuestas, tanto Tartaglia como Fior trabajaron ardorosamente, ocho días antes de finalizar el plazo, Tartaglia había encontrado una solución general para las ecuaciones del tipo x3 + px = q y en dos horas resolvió todas las ecuaciones de Fior; de esta suerte, cuando se acabó el tiempo y llego el día de hacer el cómputo, Tartaglia había solucionado los problemas de Fior y éste no había solucionado los de Tartaglia. 

Como nuevo e insigne calculador de Italia, Tartaglia pronto se encontró con un rival más fuerte: Gerolamo Cardano, hijo ilegítimo de un abogado y a su vez padre de un asesino. Cardano era un astrólogo que hacia horóscopos para los reyes, un médico que visitaba a sus enfermos y un escritor científico de cuya pluma emanaron montañas de libros. Fue también un jugador inveterano, siempre balanceándose al borde de la prisión. Pero Cardano siempre salía bien parado. 

El Santo Padre lo pensionó solucionándole así sus problemas económicos y Cardano, a base de adulaciones, obtuvo de Tartaglia la solución de la ecuación cúbica.Aunque Cardano juró mantener secreta la solución de Tartaglia, la publicó unos cuantos años después, en 1545, en un tratado monumental sobre ecuaciones llamado "Ars Magna" (Gran Arte). Tartaglia, que había estado a punto de escribir su propio libro, pasó el resto de su vida maldiciendo a Cardano por su estafa. 

No obstante, el libro de Cardano reconocía el descubrimiento de Tartaglia. También en el mismo libro, Cardano hizo pasar a la historia a otro matemático: el alborotador y blasfemo Lodovico Ferran que murió a la edad de 43 años, envenenado por su propia hermana. Así como Tartaglia había solucionado la cúbica, de la misma forma Ferran, cuando todavía

estudiaba con Cardano, solución de las de cuarto grado o cuárticas (con fórmulas más complicadas que las de tercer grado). Al descubrir la obra de ambos hombres, Cardano en su "Ars Magna" pudo dar al mundo las soluciones generales de las cúbicas y las cuárticas, divulgando los dos avances del álgebra más trascendentales desde la muerte de Diofanto, 1300 años antes.

En el Ars Magna, Cardano aceptó formalmente el concepto de los números negativos y enunció las leyes que los rigen. También anticipó otro tipo nuevo de número que denominó ficticio o sofisticado. Tal fue la raíz cuadrada de un número negativo, que es incluso más difícil de comprender que un número negativo propiamente, ya que ningún número real multiplicado por sí mismo da un número negativo. En la actualidad los matemáticos llaman a la raíz cuadrada de un número negativo número imaginario; cuando dicha cantidad se combina con un número real, el resultado se llama número complejo. Los matemáticos posteriores han mostrado que los números complejos pueden tener toda clase de aplicaciones.

En gran parte debido a Cardano, las Matemáticas salieron de su paso por las pugnas del Renacimiento enormemente enriquecidas. El éxito de los matemáticos italianos produjo un gran efecto. Era la primera vez en que la ciencia moderna había sobrepasado las conquistas de los antiguos.

Hasta entonces, en todo el curso de la Edad Media, la aportación había consistido solamente en entender el trabajo de los antiguos, y ahora finalmente, ciertas cuestiones que los antiguos no habían tenido éxito en conquistar, fueron resueltas. Y esto sucedió en el siglo XVI, un siglo antes de la invención de nuevas ramas de las matemáticas: Geometría analítica y Cálculo diferencial e Integral que finalmente afirmaron la superioridad de la nueva ciencia sobre la antigua. Después de esto, no hubo matemático importante que no intentara extender las conquistas de los italianos resolviendo ecuaciones de quinto, sexto y más alto grado en forma análoga a los italianos, es decir, encontrando una fórmula general o como se dice actualmente, resolverlas por radicales. 

El prominente algebrista del siglo XVII, Tschimhausen (1651- 1708) creyó haber encontrado un método general de solución. Su método estaba basado en la transformación de una ecuación a otra más simple; pero esta sola transformación requería de algunas ecuaciones auxiliares.

Más tarde, con un análisis más profundo se demostró que el método de transformación de Tschimhausen, en efecto, da la solución de ecuaciones de segundo, tercero y cuarto grado, pero para una ecuación de quinto grado se necesita resolver primero una ecuación auxiliar de sexto grado, cuya solución no era conocida.

El famoso matemático francés Lagrange en su gran trabajo "Reflexiones sobre la solución de ecuaciones algebraicas" publicado en 1770-1771, ( con más de 200 páginas) críticamente examina todas las soluciones de las ecuaciones de segundo, tercer y cuarto grado conocidas hasta su época y demostró que su éxito siempre se basa en propiedades que no cumplen ecuaciones de quinto grado y superiores.

Desde el tiempo de Del Ferro hasta este trabajo de Lagrange, más de dos siglos y medio habían pasado y nadie durante este gran intervalo había dudado de la posibilidad de resolver ecuaciones de quinto grado y mayores por radicales, esto es, de encontrar fórmulas que envuelven sólo operaciones de suma, resta, multiplicación, división, exponenciación y raíces con exponentes enteros positivos, que pueden expresar la solución de una ecuación en términos de los coeficientes, esto es, fórmulas similares a aquélla por la que se había resuelto la ecuación de segundo grado en la antigüedad y a aquéllas encontradas por los italianos para las ecuaciones de tercero y cuarto grados. Los matemáticos pensaron que sus fracasos se debían principalmente a su propia incapacidad para encontrar una solución. Lagrange dice en sus memorias:

"El problema de resolver (por radicales) ecuaciones cuyo grado es más alto que el cuarto es uno de esos problemas que no han sido resueltos aunque nada prueba la imposibilidad de resolverlos". Lagrange avanzó bastante en la teoría de las ecuaciones algebraicas formalizando el trabajo anterior a su época y descubriendo nuevas relaciones entre esta teoría

y otras como la teoría de las permutaciones. Sin embargo, a pesar de sus persistentes esfuerzos, el problema permaneció sin solución y constituía, en palabras del mismo Lagrange, "Un reto para la mente humana".

Consecuentemente fue una sorpresa enorme para todos los matemáticos cuando en 1824 vino a la luz el trabajo de un joven genio noruego llamado Niels Henrik Abel (1802 - 1829), en el cual se daba una prueba de que si los coeficientes de una ecuación se tomaban simplemente como letras, entonces no existe ninguna expresión algebraica con dichos coeficientes que fuera solución de la ecuación correspondiente. Entonces, por tres siglos los esfuerzos de los más grandes matemáticos de todos los países para resolver ecuaciones de grado mayor que cuatro por radicales no fue coronado por el éxito por la sencilla razón de que éste problema simplemente no tiene solución.

Esas fórmulas son conocidas para ecuaciones de segundo, tercero y cuarto grado, pero para ecuaciones de grado mayor no existen tales fórmulas

Pero eso no es todo aún. Un resultado extremadamente importante en la teoría de las ecuaciones algebraicas esperaba todavía ser descubierto. El hecho es que hay muchas formas especiales de ecuaciones de cualquier grado que sí se pueden resolver por radicales, y muchas de ellas son exactamente las que son importantes para resolver problemas concretos de la realidad.

Resumiendo, después del descubrimiento de Abel la situación era la siguiente:Aunque la ecuación general de grado mayor que 4 no se podía resolver por radicales, hay un número ilimitado de ecuaciones de grado mayor a cuatro que sí se pueden resolver por radicales. La pregunta era ¿cuáles ecuaciones sí se pueden resolver por radicales y cuáles no? o en otras palabras: ¿qué condiciones debe cumplir una ecuación para que pueda ser resuelta por radicales? La respuesta a este problema que daba fin a todo éste asunto de las ecuaciones la dio el brillante matemático francés Evariste Galois. (1811-1832).

A pesar de lo corto de su vida, Galois hizo descubrimientos muy avanzados para su tiempo en muchas ramas de las matemáticas y en particular dio la solución al problema que quedaba pendiente en la teoría de las ecuaciones algebraicas en un pequeño manuscrito titulado "Memoria sobre las condiciones para resolver las ecuaciones por radicales", que fue escrito en treinta y un páginas casi ininteligibles escritas de prisa la noche antes del duelo en que fue muerto a la edad mencionada de 20 años.

En todo lo anterior hablamos de los intentos durante tres siglos, para resolver por radicales cualquier ecuación de cualquier grado. El problema resultó ser más difícil y más profundo de lo que se pensaba en un principio y dio origen a la creación de nuevos conceptos, importantes no sólo para el álgebra sino también para las matemáticas en general. Para la solución práctica de las ecuaciones el resultado de todo este trabajo fue el siguiente:

Quedó claro que una fórmula general para las ecuaciones está muy lejos de existir y aun en los casos particulares en que existe, era de poca utilidad práctica a causa de las operaciones sumamente complicadas que se tenían que hacer. (Actualmente las computadoras facilitan todo ese trabajo).

En vista de lo anterior, los matemáticos desde hace mucho empezaron a trabajar en tres direcciones completamente diferentes, que son:En el problema de la existencia de raíces (soluciones). En el problema de saber algo acerca de las soluciones, sólo trabajando con sus coeficientes. En el cálculo aproximado de las raíces o soluciones de una ecuación.

RECONOCIENDO LAS ECUACIONESEn una ecuación existen cantidades desconocidas (incógnitas), que en general se designan por letras minúsculas de la parte final del alfabeto: x, y, z y cantidades conocidas (coeficientes), que pueden designarse por letras minúsculas iniciales del alfabeto: a, b, c. Lo anterior lo introdujo el matemático René Descartes en 1637.

En la ecuación: ax + b = ca, b y c son coeficientes, x es la incógnita

En la ecuación 5z – 4 = 16Los coeficientes son los enteros 5, 4, y 16 y la incógnita es z.

Llamaremos raíces o soluciones de la ecuación a los valores de las incógnitas que cumplen la igualdad.

Ejemplos:

Si voy al Correo con s/. 500 y quiero despachar 3 cartas (franqueo nacional: S/.1,,50) ¿qué vuelto recibiré? Si v representa el valor del vuelto, éste tiene que cumplir:500 = 3 x 150 + v 

En la ecuación anterior v es la incógnita y el valor v = 50 es la solución.

Clasificación de las ecuaciones con una incógnita:

Las ecuaciones se catalogan según el exponente o potencia más alto que tenga la incógnita. 

Así,

6x + 34 = 5 es una ecuación de primer grado.8x2 + 7x +45 = 3 es una ecuación de segundo grado.4 x3 + 35 x2 –3x + 2 =7 es una ecuación de tercer grado.

Resolución de ecuaciones

Resolver una ecuación es encontrar el o los valores de la incógnita que satisface la igualdad.

Por ejemplo la ecuación:

500 = 450 + v (el caso del vuelto)se satisface parav = 50Luego el vuelto de franquear 3 cartas con s/.500 es s/.50. 

En caso que el valor de la incógnita no se pueda encontrar por inspección se procede a 

En situaciones reales la solución de la ecuación debe tener sentido en el contexto en que se trabaja. 

Notemos los siguientes casos:

a) Pertinencia de la solución:Se quiere repartir equitativamente 24 dulces a 5 niños. Sea x la cantidad de dulces que corresponde a cada niño, x debe ser un número natural que satisfaga la ecuación:5 x = 24La ecuación anterior no tiene solución en los naturales (N).

b)Existencia de la soluciónLa ecuación 4x + 5 = 2No tiene solución en los naturales (N) ni en los enteros (Z) sino que en los racionales y en los reales.La ecuación 4x.x = -7No tiene solución en los reales (R) ya que no existe ningún número real que la satisfaga.

c) Infinitas solucionesLa ecuación2 + x + x = 2(x+1)Es una ecuación que es satisfecha por cualquier valor que tome x, luego tiene infinitas soluciones

VI.- SESIÓN DE APRENDIZAJE

6.1.- TITULO:APRENDEMOS A RESOLVER ECUACIONES APLICANDO LAS PEOPIEDADES DE LOS NUMEROS NATURALES

6.2.- JUSTIFICACIÓNLos niños y niñas del cuarto grado de Primaria de la Institución educativa Nº 14970 del caserío El Barco, comprensión de la Provincia de Sechura desconocen la importancia de aprender a resolver ecuaciones ,esto debido al desinterés que muestran sus padres y ellos mismos en el proceso educativo.

Se pretende dar a conocer en esta sesión de aprendizaje la forma como el niño (a) logra aprender dichos contenidos para su propio beneficio.

6.3.- COMPETENCIA- Resuelve ecuaciones y crea problemas matemáticos relacionados con situaciones cotidianas para cuya solución se requiere de la adición y sustracción, multiplicación y división de números naturales- Demuestra confianza en sus propias capacidades y perseverancia en la búsqueda de soluciones

CAPACIDADES ACTITUDES- Analiza el enunciado de una ecuación para identificar los componentes y la incógnita de la misma a fin de lograr una solución acertada- Aplica técnicas operativas o estrategias propias para resolver problemas de ecuaciones- Resuelve ecuaciones y problemas aplicando la propiedades de adición sustracción, multiplicación y división de los números naturales relacionados con las actividades que se desarrollan en su entorno (compra venta, mediciones, etc.). 

6.4.- GRADO DE ESTUDIOS : 4º GRADO DE PRIMARIA

6.5.- ORGANIZACIÓN DEL APRENDIZAJE

MOMENTO

S

ACTIVIDADES MEDIOS Y MATERIALES TIEMPO

 INICIO · El docente plantea

una situaron

actual “Ala de

precios

constantes” y lo

hace en forma

de ecuaciones

· Se extraen saberes

previos a través

de conceptos ,

resolución de

ejercicios.

       · Los niños y niñas se

organizan por grupos de

trabajo con la dinámica

      ·  Palabra      oral

·   Pizarra

·   Tizas

·    Mota

·    Pizarra

·    Tiza

·    Mota

      ·    Palabra oral

 

 

15¨

“Las frutas” (Anexo 1)

 

 

·    Pizarra

·    Tizas

·     Mota 

  PROCESO  

 ·    Los niños analizan la

ficha informativa (anexo

2)

 ·    Se les distribuye 

cuartillas conteniendo

ecuaciones y problemas

para que formulen sus

planteamientos  

· Dialogan

ycomentan al

respecto 

· El docente alcanza

una hoja

practica

conteniendo

problemas

sobre

ecuaciones

(Anexo 3) 

· El docente

pregunta¿Cómo

se verifican los

resultados de

una ecuación? 

·  Da las pautas para

verificar los

ejercicios de

ecuaciones.

  

Ficha informativa

Cuartillas

conteniendo 

ecuaciones

Ficha informativa

Texto De Matemática

Papelotes

Plumones

Regla

Lápices de Colores

  

50´

  

TERMINO

 

Los niños hacen

uso del texto

Lógico

Matemático y

desarrollan  las

ecuaciones.

Crean

problemas

teniendo en

cuenta

situaciones de

 

Texto de Lógico

Matemática

Lapicero, lápiz de

color

Cuaderno de apuntes

Lapicero

Regla

 

20´

la vida

cotidiana,

aplican las

propiedades de

los números

naturales y

demuestran  los

resultados

verificándolos.

Desarrollan

practica

Calificada

( Anexo 4)

 

Pizarra

VII.- EVALUACIÓN

 CAPACIDADES  INDICADORES  INSTRUMENTO

 

TIPOA C H

 

·        Analiza el

enunciado

de una

ecuación

para

identificar

los

componen

tes y la

incógnita

de la

misma a

fin de

lograr una

solución

acertada

 

Aplica

técnicas

operativas

o

estrategia

s propias

para

resolver

problemas

de

ecuacione

s

 

·        Resuelve

 

Identifica los

componentes

de la ecuación

 

 

 

 

 

 

 

 

Desarrolla

problemas de

ecuaciones de

manera

individual y

grupal y

comunica los

resultados

obtenidos

 

 

 

Ficha de

observación

 

 

 

 

 

 

 

 

Ficha de

observación

 

 

 

 

 

Ficha e

   

 

 

 

X

 

 

 

 

 

 

 

 

 

X

 

 

 

 

 

 

ecuacione

s y

problemas

aplicando

la

propiedad

es de 

adición

sustracció

n,

multiplica

ción y

división  

de los

números

naturales

relacionad

os con las

actividade

s que se

desarrolla

n en su

entorno

(compra

venta,

medicione

s, etc.).  

Aplica las

propiedades

de los

números

naturales para

dar solución a

las ecuaciones

planteadas

por el docente

observación 

 

 

 

 

 

 

X

A : Auto evaluaciónC : CoevaluacionH : Heteroevaluacion

VIII. RECOMENDACIONES1. El tratamiento del concepto de ecuación y su identificación de componente debe partir de dar un ejemplo , para que después , tras la solución el docente denote sus componentes y como actúan en la solución del problema.

2. Los problemas sobre ecuaciones deben ser formulados tomando como base la realidad y el contexto en donde vive e interactúa el alumno, de manera que le sea fácil su comprensión y solución

3. El docente necesita conocer a sus alumnos y alumnas: debe llamarlos por su nombre, tener un registro personal (situación familiar, estado de salud, etc.), conocer sus logros y dificultades, tener una idea sobre su carácter, fortalezas, debilidades, temores, etc.

4. El docente debe ser consciente de su rol como organizador, guía, , facilitador de los aprendizajes de sus alumnos y alumnas. Es necesario que reflexione sobre su comportamiento como persona y profesional de la educación, tanto en su aula como fuera de ella.

5. Los problemas sobre ecuaciones deben ser formulados en base a situaciones reales, es decir ,las situaciones vinculadas con sus juegos, sus deportes, la vida familiar, su cultura, su historia, su comunidad, son, en este sentido, significativas.

6. El uso del texto Lógico Matemática debe ser estructurada como una guía para el alumno , un complemento e la información dada por el profesor , mas debe evitarse que su uso implique la copia o genere el facilismo en los alumnos al momento de dar solución a las ecuaciones

7. En el proceso de evaluación debemos tener en cuenta los resultados, pero también las

condiciones iniciales, las estrategias puestas en marcha, los procesos desencadenados, los ritmo de consecución, la proporción rendimiento /esfuerzo ,etc.

IX. BIBLIOGRAFÍA

Del docente1. CARDOZA PEÑA, Miguel ( 2004). “ La enseñanza de la Matemática. Pedagogía y Didáctica”. Universidad Nacional de Ingeniería, Lima, Perú, 100 pp.

2. PEREZ YUPANQUI, Joel (2000). “ La enseñanza de la matemática en el Nivel Primario”. En : Editorial San Marcos. Tomo II. Colección “Historia General del Perú”. Lima, Perú.

3. MENDAÑA, Arturo ( 2004). “Didáctica de la Matemática” Editorial Abedul. Lima, Perú, 120 pp.

Del alumno1. SANTILLANA , Editores. ( 20003) “Lógico Matemática” Texto para el Cuarto Grado de Primaria. Editorial Santillana, Lima Perú

X. ANEXOSFICHA INFORMATIVA

LA ECUACIONES

El misterio de las ecuacionesAntes de hablar de ecuaciones necesitamos identificar el concepto de igualdad.Llamamos igualdad a elementos que tienen el mismo significado, como podemos ver en los siguientes ejemplos:

3 + 2 = 5 7 1 = 9 - 2En cada igualdad hay 2 miembros separados por el signo =

Primer miembro: en el primer ejemplo es 3 + 2; en el segundo, 7 .1 Segundo miembro: en el primer ejemplo 5 ; en el segundo, 9 - 2. Ahora que conocemos las igualdades, podremos desarrollar el concepto de ecuación.

DefiniciónUna ecuación es una igualdad en la que se desconoce un término de uno de los miembros. Ese término desconocido, llamado también incógnita, se nombra con una letra. Generalmente esa letra es la x.

Por ejemplo: 

5 + x = 12

La x representa al número que, sumado con 5, tiene como suma al 12. Para saber cuál es el término que falta, en este caso aplicamos la operación inversa: sustracción.x = 12 - 5x = 7En esta ecuación el valor de x es 7, porque 5 + 7 = 12. 

Con decimalesResolver la ecuación es bastante simple si utilizamos numerales pequeños. Veamos lo que sucede con ejemplos en el ámbito de los decimales:x - 4,25 = 32,3 0,6 Resolvemos el 2º miembro.x - 4,25 = 19,38 Aplicamos operación inversa a la del primer miembro.x = 19,38 + 4,25 Sumamosx= 23,63 Este es el valor de la incógnita.Comprobamos si es efectivo reemplazando la x por su valor:

Resolviendo problemasLas ecuaciones son una forma rápida y efectiva para resolver problemas. Comprobémoslo con un ejemplo. 

Mi hermano mide 1,82 metros, que equivalen a la estatura de mi papá aumentada en 0,03 metros. ¿Cuánto mide mi papá? Estatura del papá: xAumentada = más 0,03 Estatura de mi hermano: 1,82

Escribiendo la ecuación, queda así: x + 0,03 = 1,82

Aplicamos la operación inversa:x = 1,82 - 0,03x = 1,79 

Hay muchos problemas cuyo enunciado literal se transforma en una expresión matemática relacionada con números.

Por ejemplo, si tenemos que el doble de un número es igual a 3,5 + 26,3. Transformamos a: 2x = 3,5 + 26,3 Sumamos2x = 29,8 Inverso de la multiplicación de 2x = 29,8 : 2 x = 14,9 El número es 14,9

Expresiones matemáticas El doble de un número: 2 xEl triple de un número: 3 xLa mitad de un número: x : 2El número aumentado en 5,3 x + 5,3El número disminuido en 3,9 x - 3,9Dos números consecutivos: x y x + 1 

Espero que estos contenidos te ayuden a conocer que es la ecuación y a resolver los problemas con ecuaciones

INDICADORES SI NOAnote adecuadamente la ecuación Comprendí adecuadamente el problema para establecer la ecuación ¿He utilizado todos los datos? ¿He planteado bien la ecuación? Logre establecer el valor de x? ¿Está bien elegida la incógnita? ¿La ecuación está bien resuelta? ¿Seguí el método adecuado y enseñado por el profesor? Logre sistematiza la información 

LISTA DE COTEJOS

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

AUTORRudy Mendoza Palacios( 073)35- 6820 Piura -Perú

La célula necesita este proceso porque es importante para esta expulsar de su interior los desechos del metabolismo y adquirir nutrientes del líquido extracelular, gracias a la capacidad de la membrana celular que permite el paso o salida de manera selectiva de algunas sustancias. Las vías de transporte a través de la membrana celular y los mecanismos básicos para las moléculas de pequeño tamaño son:

Transporte pasivo o difusión: El transporte pasivo es el intercambio simple de moléculas de

INDICADORES SI NO

Anote adecuadamente laecuación 

   

Comprendí adecuadamente el problema para

establecer la ecuación   

 ¿He utilizado todos los datos? 

   

¿He planteado bien la ecuación? 

   

Logre establecer el valor de x? 

   

¿Está bien elegida la incógnita?    

¿La ecuación está bien resuelta? 

   

¿Seguí el método adecuado y enseñado  por el

profesor?    

Logre sistematiza la información 

   

una sustancia a través de la membrana plasmática, durante el cual no hay gasto de energía que aporta la célula, debido a que va a favor del gradiente de concentración o a favor de gradiente de carga eléctrica, es decir, de un lugar donde hay una gran concentración a uno donde hay menor. El proceso celular pasivo se realiza por difusión. En sí, es el cambio de un medio de mayor concentración (medio hipertónico) a otro de menor concentración (un medio hipotónico).

Difusión simple: Algunas sustancias pasan al interior o al exterior de las células a través de una membrana semipermeable, y se mueven dentro de éstas por Difusión simple, siendo un proceso físico basado en el movimiento al azar. La difusión es el movimiento de átomos, moléculas o iones de una región de mayor concentración a una de menor concentración sin requerir gasto de energía. La difusión implica, no sólo el movimiento al azar de las partículas hasta lograr la homogénea distribución de las mismas (y esto ocurre cuando las partículas que azarosamente vienen se equiparan con las que azarosamente van) sino también el homogéneo potencial químico del fluido, ya que de existir una membrana semipermeable que particione un fluido en dos de distinto potencial químico, se generará una presión osmótica desde el potencial químico mayor (p.e. solvente puro) hacia el menor (p.e. solvente y soluto) hasta que ambas particiones se equiparen o la presión hidrostática equilibre la presión osmótica.

Difusión facilitada : Es el movimiento de moléculas más grandes que no pueden pasar a través de la membrana plasmática y necesita ayuda de una proteína u otros mecanismos (exocitosis) para pasar al otro lado. También se llama difusión mediada por portador porque la sustancia transportada de esta manera no suele poder atravesar la membrana sin una proteína portadora específica que le ayude. Se diferencia de la difusión simple a través de conductos en que mientras que la magnitud de difusión de la difusión simple se incrementa de manera proporcional con la concentración de la sustancia que se difunde, en la difusión facilitada la magnitud de difusión se aproxima a un máximo (Vmax), al aumentar la concentración de la sustancia.

FILTRACION: La filtración es el movimiento de agua y moléculas disueltas a través de la membrana debido a la presión hidrostática generada por el sistema cardiovascular. Dependiendo del tamaño de los poros de la membrana, sólo los solutos con un determinado tamaño pueden pasar a través de la membrana. Por ejemplo, los poros de la membrana de la cápsula de Bowman en los glomérulos renales, son muy pequeños, y sólo la albúmina, la más pequeña de las proteínas, tienen la capacidad de ser filtrada a través de ella. Por otra parte, los poros de las membranas de los hepatocitos son extremadamente grandes, por lo que una gran variedad de solutos pueden atravesarla.

OSMOSIS: La ósmosis es un tipo especial de transporte pasivo en el cual sólo las moléculas de agua son transportadas a través de la membrana. El movimiento de agua se realiza desde un punto en que hay mayor concentración a uno de menor para igualar concentraciones. De acuerdo al medio en que se encuentre una célula, la ósmosis varía. La función de la osmosis es mantener hidratada a la membrana celular. Dicho proceso no requiere gasto de energía. En otras palabras la ósmosis u osmosis es un fenómeno consistente en el paso del solvente de una disolución desde una zona de baja concentración de soluto a una de alta concentración del

soluto, separadas por una membrana semipermeable. Se relaciona con el movimiento browniano.

TRANSPORTE ACTIVO: Consiste en el transporte de sustancias en contra de un gradiente de concentración, para lo cual se requiere un gasto energético. En la mayor parte de los casos este transporte activo se realiza a expensas de un gradiente de H+ (potencial electroquímico de protones) previamente creado a ambos lados de la membrana, por procesos de respiración y fotosíntesis; por hidrólisis de ATP mediante ATP hidrolasas de membrana (F1F0). El transporte activo varía la concentración intracelular y ello da lugar un nuevo movimiento osmótico de rebalanceo por hidratación. Los sistemas de transporte activo son los más abundantes entre las bacterias, y se han seleccionado evolutivamente debido a que en sus medios naturales la mayoría de los procariotas se encuentran de forma permanente o transitoria con una baja concentración de nutrientes.

MEMBRANA PLASMATICA 

TRANSPORTE DE MATERIALES A TRAVES DE LAS MEMBRANAS PLASMATICASLos mecanismos que permiten a las sustancias cruzar las membranas plasmáticas son esenciales para la vida y la comunicación de las células. Para ello, la célula dispone de dos procesos: 

1. Transporte pasivo: cuando no se requiere energía para que la sustancia cruce la membrana plasmática 

2. Transporte activo: cuando la célula utiliza ATP como fuente de energía pasa hacer atravesar la membrana a una sustancia en particular 

TRANSPORTE PASIVOLos mecanismos de transporte pasivo son:

Difusión simple  Osmosis 

Ultrafiltración 

Difusión facilitada 

Difusión Simple

Las moléculas en solución están dotadas de energía cinética y, por tanto tienen movimientos que se realizan al azar. Ladifusión consiste en la mezcla de estas moléculas debido a su energía cinética cuando existe un gradiente de concentración, es decir cuando en una parte de la solución la concentración de las moléculas es más elevada. La difusión tiene lugar hasta que la concentración se iguala en todas las partes y será tanto más rápida cuanto mayor sea energía cinética (que depende de la temperatura) y el gradiente de concentración y cuanto menor sea el tamaño de las moléculas. 

Algunas sustancias como el agua, el oxígeno, dióxido de carbono, esteroides, vitaminas liposolubles, urea, glicerina, alcoholes de pequeño peso molecular atraviesan la membrana celular por difusión, disolviendose en la capa de fosfolípidos. 

Algunas sustancias iónicas también pueden cruzar la membrana plasmática por difusión, pero empleando los canales constituídos por proteínas integrales llenas de agua. Algunos ejemplos notables son el Na+, K+, HCO3, Ca++, etc. Debido al pequeño tamaño de los canales, la difusión a través de estos es mucho más lenta que a través de la bicapa fosfolipídica

Osmosis

o Es otro proceso de transporte pasivo, mediante el cual, un disolvente - el agua en el caso de los sistemas biológicos - pasa selectivamente a través de una membrana semi-permeable. La membrana de las células es una membrana semi-permeable ya que permite el paso del agua por difusión pero no la de iones y otros materiales. Si la concentración de agua es mayor (o lo que es lo mismo la concentración de solutos menor) de un lado de la membrana es mayor que la del otro lado, existe una tendencia a que el agua pase al lado donde su concentración es menor. 

El movimiento del agua a través de la membrana semi-permeable genera un presión hidrostática llamada presión osmótica. La presión osmótica es la presión necesaria para prevenir el movimiento neto del agua a través de una membrana semi-permeable que separa dos soluciones de diferentes concentraciones.

La ósmosis puede entenderse muy bien considerando el efecto de las diferentes concentraciones de agua sobre la forma de las células. Para mantener la forma de un célula, por ejemplo un hematíe, esta debe estar rodeada de una soluciónisotónica, lo que quiere decir que la concentración de agua de esta solución es la misma que la del interior de la célula. En condiciones normales, el suero salino

normal (0.9% de NaCl) es isotónico para los hematíes.  Si los hematíes son llevados a una solución que contenga menos sales (se dice que la solución es hipotónica), dado que la membrana celular es semi-permeable, sólo el agua puede atravesarla. Al ser la concentración de agua mayor en la solución hipotónica, el agua entra en el hematíe con lo que este se hincha, pudiendo eventualmente estallar (este fenómeno se conoce con el nombre

de hemolisis. Por el contrario, si los hematíes se llevan a una solución hipertónica (con una concentración de sales superior a la del hematíe) parte del agua de este pasará a la solución produciéndose el fenómeno de crenación y quedando los hematiés como "arrugados". 

Ultrafiltración

En este proceso de transporte pasivo, el agua y algunos solutos pasan a través de una membrana por efecto de una presión hidrostática. El movimiento es siempre desde el área de mayor presión al de menos presión. La ultrafiltración tiene lugar en el cuerpo humano en los riñones y es debida a la presión arterial generada por el corazón. Esta presión hace que el agua y algunas moléculas pequeñas (como la urea, la creatinina, sales, etc) pasen a través de las membranas de los capilares microscópicos de los glomérulos para ser eliminadas en la orina. Las proteínas y grandes moléculas como hormonas, vitaminas, etc., no pasan a través de las membranas de los capilares y son retenidas en la sangre. 

Difusión facilitada

Algunas moléculas son demasiado grandes como para difundir a través de los canales de la membrana y demasiado insolubles en lípidos como para poder difundir a través de la capa de fosfolípidos. Tal es el caso de la glucosa y algunos otros monosacáridos. Esta sustancias, pueden sin embargo cruzar la membrana plasmática mediante el proceso de difusión facilitada, con la ayuda de una proteina transportadora. En el primer paso, la glucosa se une a la proteína transportadora, y esta cambia de forma, permitiendo el paso del azúcar. Tan pronto como la glucosa llega al citoplasma, una kinasa (enzima que añade un grupo fosfato a un azúcar) transforma la glucosa en glucosa-6-fosfato. De esta forma, las concentraciones de glucosa en el interior de la célula son siempre muy bajas, y el gradiente de concentración exterior --> interior favorece la difusión de la glucosa. 

La difusión facilitada es mucho más rápida que la difusión simple y depende: 

del gradiente de concentración de la sustancia a ambos lados de la membrana  del número de proteínas transportadoras existentes en la membrana 

de la rápidez con que estas proteínas hacen su trabajo 

La insulina, una hormona producida por el páncreas, facilita la difusión de la glucosa hacia el interior de las células, disminuyendo su concentración en la sangre. Esto explica el porque la ausencia o disminución de la insulina en la diabetes mellitus aumenta los niveles de glucosa en sangre al mismo tiempo que obliga a las células a utilizar una fuente de energía diferente de este monosacárido

Mecanismos de intercambio o de Transporte celular

Transporte a través de membrana celular

Conociendo la estructura celular, sabemos que la bicapa lipídica de la membrana celular actúa como una barrera que separa dos medios

acuosos, el medio donde vive la célula y el medio interno celular.

Las células requieren nutrientes del exterior y deben eliminar sustancias de desecho procedentes del metabolismo y mantener su medio interno

estable. Para posibilitar este intercambio, la membrana celular presenta una permeabilidad selectiva, ya que permite el paso de pequeñas

moléculas, siempre que sean lipófilas, pero regula el paso de moléculas no lipófilas. 

Los mecanismos que permiten a las sustancias cruzar las membranas plasmáticas de las células son esenciales para la vida y la comunicación de

las células. Para ello, la célula dispone de dos procesos: 

 •   Transporte pasivo: cuando no se requiere energía para que la sustancia cruce la membrana plasmática.

 •   Transporte activo: cuando la célula utiliza ATP como fuente de energía para hacer atravesar la membrana a una sustancia en particular.

 

Transporte pasivo

Los mecanismos de transporte pasivo son:

 •   Difusión simple

 •   Osmosis

 •   Ultrafiltración

 •   Difusión facilitada

Difusión Simple

Las moléculas en solución están dotadas de energía cinética y, por tanto, tienen movimientos que se realizan al azar. La difusiónconsiste en la

mezcla de estas moléculas debido a su energía cinética cuando existe un gradiente de concentración; es decir; cuando en una parte de la

solución la concentración de las moléculas es más elevada.

La difusión tiene lugar hasta que la concentración se iguala en todas las partes y será tanto más rápida cuanto mayor sea la energía cinética (que

depende de la temperatura) y el gradiente de concentración y cuanto menor sea el tamaño de las moléculas. 

Ver: PSU: Biología; Pregunta 08_2006

Algunas sustancias como el agua, el oxígeno, dióxido de carbono, esteroides, vitaminas liposolubles, urea, glicerina, alcoholes de pequeño peso

molecular atraviesan la membrana celular por difusión, disolviendose en la capa de fosfolípidos. 

Algunas sustancias iónicas también pueden cruzar la membrana plasmática por difusión, pero empleando los canales constituidos por proteínas

integrales llenas de agua. Algunos ejemplos notables son el Na+, K+, HCO3, Ca++, etc. Debido al pequeño tamaño de los canales, la difusión a

través de estos es mucho más lenta que a través de la bicapa fosfolipídica.

Ver: PSU: Biología, Pregunta 03_2005

Osmosis

Es otro proceso de transporte pasivo, mediante el cual, un disolvente –el agua en el caso de los sistemas biológicos– pasa

selectivamente a través de una membrana semipermeable.

La membrana de las células es una membrana semipermeable ya que permite el paso del agua por difusión pero no la de

iones y otros materiales.

Si la concentración de agua es mayor (o, lo que es lo mismo, la concentración de solutos es menor) de un lado de la

membrana que la del otro lado, existe una tendencia a que el agua pase al lado donde su concentración es menor. 

El movimiento del agua a través de la membrana semipermeable genera un presión hidrostática llamada presión osmótica.

La presión osmótica es la presión necesaria para prevenir el movimiento neto del agua a través de una membrana

semipermeable que separa dos soluciones de diferentes concentraciones.

Ver: PSU: Biología; Pregunta 07_2010.

La ósmosis puede entenderse muy bien considerando el efecto de las diferentes concentraciones de agua sobre la forma de

las células. Para mantener la forma de un célula, por ejemplo un hematíe, esta debe estar rodeada de una

solución isotónica, lo que quiere decir que la concentración de agua de esta solución es la misma que la del interior de la

célula. En condiciones normales, el suero salino normal (0,9% de NaCl) es isotónico para los hematíes. 

Si los hematíes son llevados a una solución que contenga menos sales (se dice que la solución es hipotónica), dado que la

membrana celular es semipermeable, sólo el agua puede atravesarla. Al ser la concentración de agua mayor en la solución

hipotónica, el agua entra en el hematíe con lo que este se hincha, pudiendo eventualmente estallar (este fenómeno se

conoce con el nombre de hemolisis.

Por el contrario, si los hematíes se llevan a una solución hipertónica (con una concentración de sales superior a la del hematíe) parte del agua de

este pasará a la solución produciéndose el fenómeno de crenación y quedando los hematíes como "arrugados".

Ultrafiltración

En este proceso de transporte pasivo, el agua y algunos solutos pasan a través de una membrana por efecto de una presión hidrostática. El

movimiento es siempre desde el área de mayor presión al de menos presión.

La ultrafiltración tiene lugar en el cuerpo humano en los riñones y es debida a la presión arterial generada por el corazón. Esta presión hace que el

agua y algunas moléculas pequeñas (como la urea, la creatinina, sales, etcétera) pasen a través de las membranas de los capilares microscópicos

de los glomérulos para ser eliminadas en la orina. Las proteínas y grandes moléculas como hormonas, vitaminas, etc., no pasan a través de las

membranas de los capilares y son retenidas en la sangre. 

Difusión facilitada

Algunas moléculas son demasiado grandes como para difundir a través de los canales de la membrana y demasiado insolubles en lípidos como

para poder difundir a través de la capa de fosfolípidos. Tal es el caso de la glucosa y algunos otrosmonosacáridos. Esta sustancias, pueden sin

embargo cruzar la membrana plasmática mediante el proceso de difusión facilitada, con la ayuda de una proteina transportadora.

Ejemplo de endocitosis.

En el primer paso, la glucosa se une a la proteína transportadora, y esta cambia de forma, permitiendo el paso del azúcar. Tan pronto como la

glucosa llega al citoplasma, una kinasa (enzima que añade un grupo fosfato a un azúcar) transforma la glucosa en glucosa-6-fosfato. De esta

forma, las concentraciones de glucosa en el interior de la célula son siempre muy bajas, y el gradiente de concentración exterior --> interior

favorece la difusión de la glucosa. 

La difusión facilitada es mucho más rápida que la difusión simple y depende:

 •   del gradiente de concentración de la sustancia a ambos lados de la membrana

 •   del número de proteínas transportadoras existentes en la membrana

 •   de la rápidez con que estas proteínas hacen su trabajo

La insulina, una hormona producida por el páncreas, facilita la difusión de la glucosa hacia el interior de las células,

disminuyendo su concentración en la sangre. Esto explica el porqué la ausencia o disminución de la insulina en la diabetes

mellitus aumenta los niveles de glucosa en sangre al mismo tiempo que obliga a las células a utilizar una fuente de energía

diferente de este monosacárido.

Transporte activo y otros procesos activos

Algunas sustancias que son necesarias en el interior de la célula o que deben ser eliminadas de la misma no pueden

atravesar la membrana celular por ser muy grandes, por llevar una carga eléctrica o porque deben vencer un gradiente de

concentración.

Para estos casos, la naturaleza ha desarrollado el transporte activo, un proceso que consume energía y que requiere del

concurso de proteínas integrales que actúan como "bombas" alimentadas por ATP, para el caso de moléculas pequeñas o

iones y el transporte grueso específico para moléculas de gran tamaño como proteínas y polisacáridos e incluso células

enteras como bacterias y hematíes.

Transporte activo

Por este mecanismo pueden ser transportados hacia el interior o exterior de la célula los iones H+ (bomba de protones) Na+ y K+ (bomba de sodio-

potasio), Ca++, Cl-, I, aminoácidos y monosacáridos.

Hay dos tipos de transporte activo:

Transporte activo primario: en este caso, la energía derivada del ATP directamente empuja a la sustancia para que cruce la membrana,

modificando la forma de las proteínas de transporte (bomba) de la membrana plasmática.

El ejemplo más característico es la bomba de sodio potasio (Na+/K+), que mantiene una baja concentración de Na+ en el citosol extrayéndolo de

la célula en contra de un gradiente de concentración. También mueve los iones K+ desde el exterior hasta el interior de la célula pese a que la

concentración intracelular de potasio es superior a la extracelular. Esta bomba debe funcionar constantemente ya que hay pérdidas de K+ y

entradas de Na+ por los poros acuosos de la membrana.

Esta bomba actúa como una enzima que rompe la molécula de ATP y también se llama bomba Na+/K+-ATP'asa. Todas las células poseen

cientos de estas bombas por cada mµ2 (milimicra cuadrada) de membrana.

Tipos de gradientes de

concentración.

Fagocitosis

Transporte grueso

Algunas sustancias más grandes como polisacáridos, proteínas y otras células cruzan las membranas plasmáticas mediante varios tipos de

transporte grueso:

Endocitosis: es el proceso mediante el cual la sustancia es transportada al interior de la célula a través de la membrana.

Se conocen tres tipos de endocitosis:

 •   Fagocitosis: en este proceso, la célula crea proyecciones de la membrana y el citosol llamadas pseudópodos que rodean la partícula sólida.

Una vez rodeada, los pseudópodos se fusionan formando una vesícula alrededor de la partícula llamada vesícula fagocítica o fagosoma. El

material sólido dentro de la vesícula es seguidamente digerido por enzimas liberadas por los lisosomas.

Los glóbulos blancos constituyen el ejemplo más notable de células que fagocitan bacterias y otras sustancias extrañas como mecanismo de defensa .

Endocitosis mediante un receptor.

 

 •   Pinocitosis: en este proceso, la sustancia a transportar es una gotita o vesícula de líquido extracelular. En este caso, no se forman

pseudópodos, sino que la membrana se repliega creando una vesícula pinocítica. Una vez que el contenido de la vesícula ha sido procesado, la

membrana de la vesícula vuelve a la superficie de la célula.

De esta forma hay un tráfico constante de membranas entre la superficie de la célula y su interior.

Pinocitosis

 

 •   Endocitosis mediante un receptor: este es un proceso similar a la pinocitosis, con la salvedad de que la invaginación de la membrana sólo

tiene lugar cuando una determinada molécula, llamada ligando, se une al receptor existente en la membrana.

Una vez formada la vesícula endocítica está se une a otras vesículas para formar una estructura mayor llamada endosoma. Dentro del

endosoma se produce la separación del ligando y del receptor: Los receptores son separados y devueltos a la membrana, mientras que el ligando

se fusiona con un liposoma siendo digerido por las enzimas de este último.

Aunque este mecanismo es muy específico, a veces moléculas extrañas utilizan los receptores para penetrar en el interior de la célula. Así, el HIV

(virus de la inmunodeficiencia adquirida o del sida) entra en las células de los linfocitos uniéndose a unas glicoproteínas llamadas CD4 que están

presentes en la membrana de los mismos.

Las vesículas endocíticas se originan en dos áreas específicas de la membrana:

 •   Los "hoyos recubiertos" ("coated pits") son invaginaciones de la membrana donde se encuentran los receptores.

 •   Los cavéolos son invaginaciones tapizadas por una proteína especializada llamada caveolina, y parece que juegan diversos papeles:

La superficie de los cavéolos dispone de receptores que pueden concentrar sustancias del medio extracelular.

Se utilizan para transportar material desde el exterior de la célula hasta el interior mediante un proceso llamado transcitosis. Esto ocurre, por

ejemplo, en las células planas endoteliales que tapizan los capilares sanguíneos.

Están implicados en el proceso de envío de señales intracelulares: la unión de un ligando a los receptores de los cavéolos pone en marcha un

mecanismo intracelular de envío de señales.

Exocitosis

Es el mecanismo por el cual las macromoléculas contenidas en vesículas citoplasmáticas son transportadas desde el interior celular hasta la membrana plasmática, para ser vertidas al medio extracelular.

Exocitosis

 

Durante la exocitosis, la membrana de la vesícula secretora se fusiona con la membrana celular liberando el contenido de la misma. Por este

mecanismo las células liberan hormonas (por ejemplo, la insulina), enzimas (por ejemplo, las enzimas digestivas) o neurotransmisores

imprescindibles para la transmisión nerviosa.

Mediante este mecanismo, las células son capaces de eliminar sustancias sintetizadas por la célula, o bien sustancias de desecho.

En toda célula existe un equilibrio entre la exocitosis y la endocitosis, para mantener la membrana plasmática y que quede asegurado el

mantenimiento del volumen celular.

Transcitosis

Es el conjunto de fenómenos que permiten a una sustancia atravesar todo el citoplasma celular desde un polo al otro de la célula. Implica el doble proceso endocitosis-exocitosis. Es propio de células endoteliales que constituyen los capilares sanguineos, transportándose así las sustancias desde el medio sanguineo hasta los tejidos que rodean los capilares.

Transcitosis: el doble proceso endocitosis-

exocitosis.

 

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Ficha educativa 333Fichas caligrafía

Caligrafía de los números 0 y 1.

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Ficha educativa 339Fichas caligrafía

Caligrafía de los días de la semana.

Ficha didáctica para imprimir para hacer caligrafía.Para imprimir la ficha, es mejor guardarla primero en el ordenador.

Ficha educativa 335Fichas caligrafía

Caligrafía de los números 4 y 5.

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Ficha educativa 334Fichas caligrafía

Caligrafía de los números 2 y 3.