PONTIFICIA UNIVERSIDAD CATOLICA DE CHILEFACULTAD DE MATEMATICADEPARTAMENTO DE MATEMATICASegundo Semestre 2014

MAT1020 - Guıa 10

1. Para las siguientes funciones

i) f(x) =x2 − 1x2

ii) f(x) =x

x2 − 1iii) f(x) = x4/3 + 4x1/3

iv) f(x) = x2/3(x2 − 2x− 6) v) f(x) = x2

√4− x2 vi) f(x) = e−x

2.

a) Determine el Dom(f).

b) Determine la paridad de f. (Es par, o impar o ninguna de las anteriores)

c) Determine donde f es crece y donde decrece.

d) Determine donde f es concava y donde es convexa.

e) Determine si f tiene un maximo o mınimo local y calcule el valor.

f ) Determine si f tiene asıntotas.

g) Determine un grafico aproximado de f.

2. Sea x ≥ 0,

a) Pruebe que x ln(π) > π ln(x)

b) Sera verdad que πx > xπ?

3. Demuestre que si x ≥ 0 entoncesx ≥ sin2(x).

4. Demuestre que si x ≥ 0 entoncesex ≥ 1 + x.

5. Demuestre que si x ≥ 0 entonces

ex ≥ 11 + x

.

6. Demuestre que si x ≥ 0 entoncesarctan(x) ≥ x

1 + x2.

7. Demuestre que si x ≥ 0 entoncesln(x+ 1) ≥ x

1 + x.

8. Demuestre que si x ≥ 0 entoncestan(x) ≥ x.

1

9. Calcule los siguientes lımites usando la regla de L’Hopital:

i) lımx→0

(2 + x)2 − 4x

ii) lımx→−4

x2 − 16x+ 4

iii) lımx→1

x4 − 1x2 − 1

iv) lımx→1

√x− 1x− 1

R: 4 R: -8 R: 2 R: 1/2

v) lımx→3

x2 − 2x− 3x2 − x− 6

vi) lımx→1

1x − 1x− 1

vii) lımx→−1

x2 + x

x3 − xviii) lım

x→1

x2 −√x√

x− 1

R: 4/5 R: -1 R: -1/2 R: 3

ix) lımx→0

√x+ 4− 2

xx) lım

x→−1

x4 − 1x+ 1

xi) lımx→1

x2 − 2x+ 1x3 − x

xii) lımx→1

√2− x− 1x− 1

R: 1/4 R: -4 R: 0 R: -1/2

10. Calcule los siguientes lımites usando la regla de L’Hopital:

i) lımx→0

sin(3x)x

ii) lımx→0

x cos(x)− sin(x)sin(2x)

iii) lımx→0

1− cos(4x)x2

R: 3 R: 0 R: 8

iv) lımx→0

5x− sin(x)x+ sin(x)

v) lımx→0

2x − 3x

4x − 1vi) lım

x→0

1− cos(x)sin(x)

R: 2 R: [ln(2)− ln(3)]/ ln(4) R: 0

vii) lımx→0

(1

sin(x)− 1

tan(x)

)viii) lım

x→0

1−√

cos(x)x2

ix) lımx→0

x2 − 1 + cos2(x)x2

R: 0 R: 1/4 R: 0

x) lımx→∞

x3

exxi) lım

x→∞

x3

ex2 xii) lımx→0

ex − 1− x− x2

2

sin(x)− x cos(x)

R: 0 R: 0 R: 1/2

xiii) lımx→0+

(1x− 1ex − 1

)xiv) lım

x→∞e−x

2(x− sin(x)) xv) lım

x→0+ex ln(x)

R: 1/2 R: 0 R: 1

xvi) lımx→1

(1

ln(x)− x

ln(x)

)xvii) lım

x→0

ln(x3 + 1)x2

xviii) lımx→1

99x100 − 100x99 + 1x51 − x50 − x+ 1

R: -1 R: 0 R: 99

xix) lımx→∞

ln(x)x

xx) lımx→0

ex − e−x − 2xx− sin(x)

xxi) lımx→0

[sin(x)]x

R: 0 R: 2 R: 1

2