PONTIFICIA UNIVERSIDAD CATOLICA DE CHILEFACULTAD DE MATEMATICAS.DEPARTAMENTO DE MATEMATICA.PRIMER SEMESTRE 2012.

MAT1109 ? GeometrıaGuıa Vectores

1. Que condiciones deben satisfacer los vectores −→v ,−→u para que se tengan las siguientesrelaciones,

a) |−→u +−→v | = |−→u −−→v |.b) |−→u +−→v | < |−→u −−→v |.c) |−→u +−→v | > |−→u −−→v |.

2. Que condiciones debes satisfacer los vectores −→u ,−→v para que el vector −→u +−→v bisecteal angulo formado por los vectores −→u ,−→v .

3/2−→u +−→v , −−→u −−→v , −1/2−→u + 1/3−→v .

3. El punto O es el centro de gravedad del triangulo ABC, probar que−→OA+

−−→OB +

−→OC =−→

O .

4. Si ABC es un triangulo y L, M, N son los puntos medios de sus lados. Probar que paracualquier eleccion del punto O se tiene que

−→OA +

−−→OB +

−→OC =

−→OL +

−−→OM +

−−→ON.

5. Si−−→OA′ = 3

−→OA,

−−→OB′ = 2

−−→OB y los segmentos AB, A′B′ se intersectan en el punto P , en

que razon divide este punto a los segmentos en cuestion.

6. Probar que los puntos medios de los lados de un cuadrilatero corresponden a los verticesde un paralelogramo.

7. Suponga que los puntos P, Q dividen, respectivamente, a los lados CA, CB del triangulo

ABC en las razones x/(1− x); y/(1− y). Si−→PQ = λ

−→AB probar que x = y = λ.

8. Si E, F son los puntos medios de los lados AB, BC del paralelogramo ABCD. Probarque las lineas DE,DF dividen a la diagonal AC en tres segmentos de igual medida yque AC corta a las lineas en la razon 2/3.

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9. El segmento DE es trazado paralelo a la base AB del triangulo ABC y esta contenidoen los lados de este triangulo. Si las lineas AE, BD se intersectan en P probar que CPbisecta AB.

10. Se dan los vectores −→u = (3,−2, 6),−→v = (−2, 1, 0). Determine las proyecciones sobrelos ejes coordenados de los vectores

−→u +−→v , −→u −−→v , 2−→u + 3−→v , 1/3−→u +−→v .

11. Verificar que los vectores (2,−1, 3); (−6, 3,−9) son colineales. Cual es mas largo? Comoestan dirigidos?.

12. Determine valores de α, β de manera que los siguientes vectores sean colineales.

−→u = −2i + 3j + βk, −→v = αi− 6j + 2k.

13. Dado el vector −→v = 16i − 15j + 12k determine las componentes del vector −→u que esparalelo a −→v , que tiene direccion opuesta a el y |−→u | = 75.

14. Dados los vectores −→u = (2,−3, 6);−→v = (−1, 2,−2) estan aplicados a un mismo punto.Hallar las coordenadas del vector −→w que tiene la direccion de la bisectriz del anguloque forman −→u ,−→v y tal que |−→w | = 3

√42.

15. Demostrar que si −→u ,−→v son dos vectores cualesquiera no colineales, cada vector situadoen su plano se puede escribir de manera unica de la forma α−→u + β−→v .

16. Considere los vectores −→u = (2,−3);−→v = (1, 2). Determine valores α, β de manera que−→w = (9, 4) se puede escribir de la forma α−→u + β−→v .

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