Guía Práctica Nº 2 Microeconomia

8/19/2019 Guía Práctica Nº 2 Microeconomia

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Guía PrácticaMICROECONOMÍA I

(segunda parte)

Docentes:

Folgar, Cristian

Gesualdo, GustavoVargas, Rafael

Abril de 2007


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Microeconomía I Mercados ImperfectosFolgar – Gesualdo Abril de 2007

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Mercados Imperfectos

El presente documento tiene por objetivo facilitar la formalización matemática de cada uno de lostemas vistos en el curso en lo referido a mercados imperfectos. Las explicaciones del presentedocumento no reemplazan los contenidos dados en clases, ni tampoco la bibliografía de cualquierade los libros de texto recomendados al principio del curso, sin embargo pueden resultar de utilidad para ordenar el repaso de la formalización requerida.

PARTE I: MONOPOLIO

En esta parte nos ocuparemos de la formalización utilizada en microeconomía parael análisis de situación de mercado con un único oferente de determinado bien.

A. Monopolio Simple

El primer modelo a analizar es el de monopolio simple, donde los supuestosprincipales radican en la existencia de una demanda atomizada similar a la decompetencia perfecta, un único oferente de un bien y que el empresario buscarámaximizar sus beneficios económicos.

Dados estos supuestos, la situación que enfrenta el monopolista es bastante sencillay formalmente vendría expresada por la siguiente ecuación de beneficios que sebuscará maximizar:

( ) ( )qC qq pC I −×=−=π

Dada esta función de beneficios, la condición de primer orden de la maximizaciónserá:

0=−= CMg IMg dq

d π

Esto implica que la condición de primer orden de la maximización está pidiendoobtener aquel valor de q donde el ingreso marginal sea igual al costo marginal.

Una vez determinado el o los valores de q para los cuales se igualan el ingresomarginal y el costo marginal, se deberá evaluar las condiciones de segundo ordenpara verificar si los puntos críticos hallados son un máximo o un mínimo.

La condición de segundo orden será:


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Mercados Imperfectos Microeconomía I Abril de 2007 Folgar – Gesualdo

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02

2

0, por lo que estamos en presencia de un mínimo; cuando


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q = 300, la derivada segunda es – 18 < 0, por lo que estamos en presencia de unmáximo.

Esto significa que 300 es el nivel de producción que maximiza los beneficios del

empresario, por lo que si el mismo se comporta de manera racional su nivel deproducción debería ser éste. Con este nivel de producción, se obtienen lossiguientes resultados:

Cantidades ofrecidas por el empresario (q*) = 300

Precio (p) = $ 2.950

Ingresos por ventas = $ 885.000

Costos Totales = $ 495.000

Beneficios económicos = $ 390.000

Representado la situación anterior gráficamente, tenemos:

MONOPOLIO SIMPLE

0

1.000

2.000

3.000

4.000

5.000

6.000

0 100 200 300 400 500 600

CANTIDADES (q)

P E S O S

( $ )

Img

CMg

CMeV

Precio

CmeT


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B. Monopolio Perfectamente Discriminador

Los supuestos propios de este punto son similares a los del monopolio simple, salvo

que se agrega la posibilidad de poder discriminar el precio de venta de manera tal decobrar el máximo precio que los consumidores están dispuestos a pagar por cadaunidad del bien cuyo productor es monopólico.

De esta manera, la función de beneficios del empresario quedará formulada de lasiguiente manera:

( ) ( )∫ −=−= qC dqq pC I π

Esto implica que la función de beneficios del empresario monopolista perfectamente

discriminador es similar a la del monopolista simple, con la diferencia en el ingreso.En este modelo, el ingreso del monopolista será igual a toda el área ubicada pordebajo de la función de demanda, entre los niveles de producción donde q es 0 ydonde q es el óptimo valor de producción a encontrar.

A partir de esta función de beneficios, la condición de primer orden de lamaximización será similar a la obtenida anteriormente:

0=−= CMg IMg dq

d π

La particularidad de este modelo hace que, dada la forma que adquiere la función debeneficios, el ingreso marginal es igual a la función de demanda:

( )q pdq

dI IMg ==

La verificación de las condiciones de segundo orden es exactamente igual que en elcaso de monopolio simple.

02

2


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( ) ( )000.150500.25,701,05,7200.5 23 ++−−−= ∫ qqqdqqπ

Buscamos entonces la condición de primer orden:

0500.21503,05,7200.5 2 =−+−−= qqqdq

d π

Despejamos y obtenemos:

0700.25,703,0 2 =++− qq

Esta expresión tiene raíces en q = – 200 y q = 450.

Verificamos las condiciones de segundo orden, y las evaluamos en ambos puntoscríticos:

5,706,02

2

+−= qdq

d π

Cuando q = - 200, la derivada segunda es 19,5 > 0, por lo que se trata de unmínimo; cuando q = 450, la derivada segunda es – a 19,5 < 0, por lo que estamosfrente a un máximo.

Sabiendo que la producción óptima del empresario monopolista perfectamentediscriminador es 450 unidades, tenemos que:


Precio mínimo cobrado (P marginal) = $ 1.825

Ingresos por ventas = $ 1.580.625

Costos Totales = $ 667.500Beneficios económicos = $ 913.125

En el gráfico siguiente se muestra el equilibrio del empresario:


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MONOPOLIO PERFECTAMENTE DISCRIMINADOR

0

1.000

2.000

3.000

4.000

5.000

6.000

0 100 200 300 400 500 600

CANTIDADES (q)

P E S O S ( $ )

CMg

CMeV

Precio

CmeT

q*


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C. Monopolio con dos mercados

El presente modelo es posible utilizarlo no sólo para dos, sino también para tres,

cuatro o más mercados. En caso particular donde existe una sólo mercado es el demonopolio

Los supuestos que tiene detrás el presente modelo son nuevamente, casi losmismos a los vigentes en el modelo de monopolio simple. A éstos, debe añadirse laposibilidad de discriminar en dos mercados diferenciados el mismo bien a diferentesprecios. Esta posibilidad tiene sentido sólo si no se permite el arbitraje entre ambosmercados, es decir que un tercero compre en un mercado bienes y los venda en elotro mercado.

Formalizando los supuestos anteriores, la función de beneficios quedaría expresada

de la siguiente manera:

( ) ( ) ( ) ( )t nnn qCT qq pqq pqq p −×++×+×= ...222111π

En la función de beneficios, p1 se refiere al primer mercado diferenciado, p2 alsegundo mercado diferenciado y pn al mercado diferenciado n. Adicionalmente sedefine a qt = q1 + q2 +...+ qn. Cuando estamos frente a dos mercados, tenemos elcaso particular:

( ) ( ) ( )t qCT qq pqq p −×+×= 222111π

Una vez planteada la función de beneficios de esta manera, las condiciones deprimer orden serán:

011

=−=∂

∂CMg IMg

q

π

022

=−=∂

∂CMg IMg

q

π

Como se observa, lo que deriva de las condiciones de primer orden es que en el

equilibrio del empresario monopolista que enfrenta la posibilidad de discriminar endos mercados es1:

1 Debe tenerse presente que en lo relativo a la derivada del costo respecto a q1 o a q2, en ambos casos se obtiene el CostoMarginal expresado en término de las cantidades totales producidas y no en términos de las cantidades destinadas a cadamercado individual. Formalmente esto es debido a que la función de costos está expresada en términos de q t, que depende asu vez de q1 y q2. Aplicando la regla de la cadena, podemos expresar esto de la siguiente manera:

( )( )21;qqqCT t

Teniendo presente que qt = q1 + q2, y por tanto la derivada de qt respecto a q1 es 1, queda entonces que la derivada del Costorespecto a q1 es:


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CMg IMg IMg == 21

Las condiciones de segundo orden para verificar que el punto crítico hallado al

despejar la condición de primer orden sea efectivamente un máximo son:

0

0

22

2

2

1

2

<∂

∂

<∂

∂

q

q

π

π

02

2

2

12

2

21

2

2

1

2

>

∂

∂

∂∂

∂

∂∂

∂

∂

∂

=

qqq

qqq

H π π

π π

Continuando con el ejemplo que estamos desarrollando, la situación con dosmercados sería la siguiente:

000.150500.25,701,0 23 ++−= qqqCT

11 5,7200.5 q P −=

22 10900.8 q P −=

Con estos datos, se construye la función de beneficios del empresario:

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )000.150500.25,701,010900.85,7200.5 232211222111 ++−−×−+×−=−×+×= t t t t qqqqqqqqCT qq P qq P π Las condiciones de primer orden quedan entonces:

0500.21503,015200.5 211

=−+−−=∂

∂t t qqq

q

π

0500.21503,020900.8 222

=−+−−=∂∂ t t qqqq

π

Igualando ambas y cancelando términos, queda que ambos ingresos marginalesdeben ser iguales, por lo que tenemos:

111

×=∂

∂×=

∂

∂CMg

q

q

dq

dCT

q

CT t

t


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Página 10

21

21

21

4

3185

2015700.3

20900.815200.5

qq

qq

qq

=+

=+

−=−

Como qt = q1 + q2, podemos afirmar que:

114

3185 qqqt ++=

Despejando q1:

( ) 17

4185 qqt =×−

Una vez que tenemos esta expresión, la reemplazamos en la derivada de la funciónde beneficios respecto a q1, obteniendo:

( ) 0500.21503,07

418515200.5 2 =−+−

×−×− t t t qqq

0500.21503,07

100.11

7

30200.5 2 =−+−+− t t t qqq

Finalmente reordenamos los términos, quedando:

07

000.30

7

4503,0 2 =++− t t qq

Multiplicamos todo por 7:

0000.304521,0 2 =++− t t qq

Obtenemos las raíces de esta expresión, que son: – 285.71 y 500.

Con qt = 500, tenemos que q1 = 180 y q2 = 320.

Verificamos las condiciones de segundo orden:

301506,0152

1

2

−=+−−=∂

∂t q

q

π


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351506,0202

2

2

−=+−−=∂

∂t q

q

π

151506,012

2

21

2

−=+−=∂∂

∂=∂∂

∂ t qqqqq

π π

Por lo tanto, el determinante de la matriz Hessiana es 825.

Con estos resultados, se verifica que:

0

0

22

2

2

1

2

∂

∂

∂∂

∂

∂∂

∂

∂

∂

=

qqq

qqq H

π π

π π

Una vez asegurado que el punto crítico hallado es efectivamente un máximo,podemos obtener los siguientes resultados:

Cantidades ofrecidas por el empresario (qt*) = 450

Cantidades ofrecidas al mercado 1 (q1*) = 180

Cantidades ofrecidas al mercado 2 (q2*) = 320

Precio en el mercado 1 (P1) = $ 3.850

Precio en el mercado 2 (P2) = $ 5.700

Ingresos por ventas totales = $ 2.517.000

Ingresos por ventas en el mercado 1 = $ 693.000

Ingresos por ventas en el mercado 2 = $ 1.824.000


Beneficios económicos = $ 1.742.000


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D. Monopolio con plantas

En esta sección analizaremos el modelo microeconómico utilizado para describir el

comportamiento de un empresario monopolista que tiene dos funciones de costos,representativas de, por ejemplo, dos plantas diferentes de producción. Este modelomantiene los supuestos básicos del modelo de monopolio simple e incorpora comosupuesto adicional la posibilidad de diferenciar al menos dos funciones de costospara la producción del bien q. Este supuesto adicional es de utilidad, por ejemplo,para analizar el nivel de producción óptimo en cada planta cuando es posiblediferenciar los costos generados por el funcionamiento de cada una de ellas. Adicionalmente puede ser utilizado para analizar, por ejemplo, los posiblesbeneficios de instalación de nuevas instalaciones o de la compra de una empresacompetidora.

La formalización de lo expresado anteriormente sería:

( ) ( ) ( )2211 qC qC qq p t t −−×=π

Una ver construida la función de beneficios del empresario, la maximización de losmismos llevará a buscar el cumplimiento de las condiciones de primer orden:

( ) ( ) 0111

=−=∂

∂qCMg q IMg

q t

π

( ) ( ) 0222

=−=∂

∂ qCMg q IMg q

t

π

En este modelo, al igual que como sucedía al trabajar con dos mercados, debemosderivar una función que está expresada en términos de q t con respecto a q1 y a q2.Tal como fue explicado en el caso anterior, por la aplicación de la regla de lacadena, aquí, la derivada del ingreso (que depende de las cantidades totalesvendidas) respecto a las cantidades producidas en la planta 1 será igual a laderivada del ingreso respecto a qt (que es el ingreso marginal) multiplicado por laderivada de qt respecto a q1 (que es 1). Por esto, las condiciones de primer orden

pueden también ser expresadas de la siguiente manera:

21 CMg CMg IMg ==

Una vez encontrado el valor crítico de q que cumple con las condiciones de primerorden, debe verificarse que las condiciones de segundo orden se cumplan:


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0

0

22

2

2

1

2

<

∂

∂

<∂

∂

q

q

π

π

0

2

2

2

12

221

2

2

1

2

>

∂

∂

∂∂

∂

∂∂

∂

∂

∂

=

qqq

qqq H

π π

π π

Tal como hemos venido haciendo con los otros modelos, a continuación exponemosun ejemplo práctico de un monopolio con dos funciones de costos diferenciadas:

t q P 5,7200.5 −=

000.150500.25,701,0 12

1

3

11 ++−= qqC

2

2

22 755 qqC +=

Construimos la función de beneficios:

( ) ( ) ( )22

21

2

1

3

1 755000.150500.25,701,05,7200.5 qqqqqqq t t +−++−−×−=π

Obtenemos las condiciones de primer orden:

0500.21503,015200.51

2

1

1

=−+−−=∂

∂qqq

q t

π (1)

0751015200.52

2

=−−−=∂

∂qq

q t

π (2)

Tomando la segunda ecuación, podemos obtener que:

21015125.5 qqt =−

Teniendo presente que qt = q1 + q2, queda:

221 101515125.5 qqq =−−

21 2515125.5 qq =−


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Página 14

215

3205 qq =− (3)

Reemplazando en la ecuación (1) qt por q1 + q2, queda:

0500.21503,01515200.5 12

121 =−+−−− qqqq Reordenando:

0700.203,015 212 =+−− qq (4)

Incluyendo (3) en (4):

0700.203,05

320515 211 =+−

−− qq

0700.203,09075.3 211 =+−+− qq

Reordenando, finalmente tenemos que:

0375903,0 12

1 =−+− qq

Obtenemos las raíces de esta ecuación, que son 50 y 250. A partir de estos posiblesvalores de q1 calculamos los correspondientes a q2 y qt.

Si q1 = 50, entonces q2 = 175 y qt = 225.

Si q1 = 250, entonces q2 = 55 y qt = 305.

Ahora debemos verificar las condiciones de segundo orden para identificar queniveles de producción están maximizando los beneficios.

1506,015 121

2

+−−=∂

∂q

q

π

101522

2

−−=∂

∂

q

π

1512

2

21

2

−=∂∂

∂=

∂∂

∂

qqqq

π π

Cuando q1 = 50, q2 = 175 y qt = 225 tenemos que:


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032

1

2


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E. Simulación de las condiciones de competencia perfecta

En los modelos anteriores se ha analizado el comportamiento de un empresario que

actúa como único oferente en el mercado de un bien cuya demanda actúacompetitivamente. Adicionalmente tiene gran importancia en el análisis de losresultados obtenidos la posibilidad de compararlos contra el que se habría obtenidoen caso de no tratarse de un monopolio sino una industria competitiva.

Teniendo presente la asignación de recursos que surge del funcionamiento demercados competitivos y su eficiencia, ahora nos concentraremos en ladeterminación de los diferentes resultados que se obtendrían en una industriamonopólica si se simularan las condiciones de competencia perfecta.

Ahora bien, la simulación de las condiciones de de competencia perfecta pueden

realizarse siguiendo diferentes caminos, uno buscando determinar el resultado demercado que se habría obtenido si se mantuviera la igualdad existente entre elprecio y el costo marginal (situación que se obtiene en el equilibrio de competenciaperfecta en el corto plazo), y el otro buscando que en la industria no se obtenganbeneficios extraordinarios (situación que se obtiene en el equilibrio de competenciaperfecta en el largo plazo).


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a. Solución de corto plazo

Para la determinación de la solución cuasi – competitiva, que es la que simula las

condiciones de equilibrio de corto plazo, debemos simplemente buscar el nivel deproducción donde el costo marginal sea igual al precio. De esta manera, la condiciónque debemos cumplir es simplemente:

( ) CMg q P =

Para verificar la elección de un nivel de producción donde se verifique esta relación,deberá siempre optarse por aquel que verifique la siguiente relación:

dq

dCMg

dq

dP <

Siguiendo con el ejemplo que hemos estado analizando en las partes anteriores,tendríamos la siguiente situación:

q P 5,7200.5 −=

000.150500.25,701,0 23 ++−= qqqCT

A partir de estas funciones de demanda y costos, buscamos se cumpla la relaciónentre el precio y costo marginal:

500.21503,0 2 +−= qqCMg

Lo igualamos con la función de demanda:

500.21503,05,7200.5 2 +−=− qqq

Reordenamos:

0700.25,703,0 2 =−− qq

Buscamos las raíces de esta ecuación, y obtenemos dos diferentes niveles deproducción donde el costo marginal es igual al precio: 450 y -200.

Más allá de tener que descartar la solución donde q = -200 por la imposibilidad de

existencia de niveles de producción negativos, al verificar la relacióndq

dCMg

dq

dP <

observamos que cuando q = 450, – 7,5


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Una vez hallado el nivel de producción, podemos calcular cada uno de los demásresultados como lo hemos hecho en cada uno de los modelos vistos hasta elmomento:


Precio (p) = $ 1.825

Ingresos por ventas = $ 821.250


Beneficios económicos = $ 153.750

El resultado encontrado está representado gráficamente a continuación:

SOLUCIÓN CUASI COMPETITIVA

0

1.000

2.000

3.000

4.000

5.000

6.000

0 100 200 300 400 500 600

CANTIDADES (q)

P E S O S ( $ )

Img

CMg

CMeV

Precio

CmeT

q*

P*


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b. Solución de largo plazo

Para la determinación de la solución que simula las condiciones de equilibrio de

largo plazo debemos simplemente buscar el nivel de producción donde losbeneficios extraordinarios sean 0, es decir que el costo medio sea igual al precio. Deesta manera, la condición que debemos cumplir es simplemente:

( ) CMeq P =


dq

dCMe

dq

dP <

Siguiendo con el ejemplo que hemos estado analizando en las partes anteriores,tendríamos la siguiente situación:

q P 5,7200.5 −=

000.150500.25,701,0 23 ++−= qqqCT

Sin embargo, resolver esta situación plantea un problema importante, que deriva delhecho de estar trabajando con una función de Costos de Corto Plazo en lugar deuna de Largo Plazo.

Con el único objetivo de comparar los resultados con las soluciones anteriores, seobtuvieron las cantidades máximas que puede ofrecer el monopolista en el cortoplazo sin incurrir en beneficios económicos negativos. Calculando posteriormentetodos los demás datos tenemos que:

Cantidades ofrecidas por el empresario (q*) = 489,22

Precio (p) = $ 1.530,83

Ingresos por ventas = $ 748.916,04

Costos Totales = $ 748.916,04

Beneficios económicos = $ 0

Gráficamente tendríamos:


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SOLUCIÓN SIMULANDO CONDICIONESCOMPETITIVAS DE LARGO PLAZO

0

1.000

2.000

3.000

4.000

5.000

6.000

0 100 200 300 400 500 600

CANTIDADES (q)

P E S O S ( $ )

Img

CMg

CMeV

Precio

CmeT

q*

P*

Ahora bien, para resolver adecuadamente un ejercicio donde se busca simular lascondiciones competitivas de largo plazo, en realidad debemos trabajar con una

función de costos de largo plazo.

Para ello, supondremos que la demanda a largo plazo permanece inalterada y que lafunción de costos de largo plazo de esta industria está expresada por la siguienteexpresión:

qqqC LP 800.25,701,0 23 +−=

A partir de estas funciones de demanda y costos, buscamos se cumpla la relaciónentre el precio y costo medio:

( ) ( )

800.25,701,05,7200.5 2 +−=−

=

qqq

qCMeq P

Reordenamos los términos y obtenemos que:

0400.201,0 2 =+− q


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Entonces las cantidades para las que se cumple esta relación son: 90,489=q y90,489−=q

Para verificar que cantidades serían las óptimas, (más allá de que resulta evidenteque no es posible fabricar cantidades negativas en el mercado) debemos verificar

que:

dq

dCMe

dq

dP <

Para nuestro caso, tenemos:5,702,05,7 −


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F. Existencia de Monopolio Natural

Para determinar si un monopolio es o no un monopolio natural, debemos verificar la

existencia de subaditividad de costos. Esta verificación consiste en determinar si esmás eficiente o no que haya sólo una empresa abasteciendo determinado mercado.Este tipo de análisis presupone que la empresa cuya función de costos estamosanalizando utiliza la mejor tecnología disponible en la economía y que esta mismatecnología está al alcance de su potencial competidor.

Con el fin de facilitar el análisis de un mercado particular, compararemos el resultadoque se obtendría si una empresa abasteciera a todo el mercado con el que resultaríade utilizar dos empresas haciéndolo. En este contexto, se entiende por abastecer atoda la demanda a la situación en que se ofrece la mayor cantidad de productoposible sin incurrir en beneficios económicos negativos.

Con las simplificaciones realizadas, lo primero que debemos hacer es determinar lasmáximas cantidades que puede ofrecer una sola empresa sin incurrir en beneficioseconómicos negativos, para lo que buscaremos el nivel de producción que cumpla lasiguiente condición:

( ) CMeq P =


dq

dCMe

dq

dP <

Una vez realizado esto, calculamos el costo unitario de producir esas cantidades, alo que llamaremos ( )*1 qCMe .

Ahora comparamos esta situación con la que se observaría si existieran dosempresas en el mercado. Para ello, sabiendo que ambas empresas tendrían lamisma función de costos, resultaría eficiente que ambas empresas fabricaran la

misma cantidad de producto, de manera de garantizar que ambos costos marginalessean iguales. Por lo tanto, podemos analizar lo que sucede si en cada empresa sefabrica la mitad de las cantidades q* halladas.Esto nos permite asegurar que el costo medio de producir la mitad de las unidadesen cada empresa, será entonces el costo medio de la industria para fabricar lascantidades totales con dos empresas. Llamaremos ( )*2 qCMe al costo medio de laindustria de producir q* unidades del bien con dos empresas.

Para garantizar que el mercado analizado es un monopolio natural, se debe verificarque:


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( ) ( )** 21 qCMeqCMe <

A continuación analizaremos el caso que hemos usado como ejemplo anteriormente.

En esta situación tenemos que:

q P 5,7200.5 −=

qqqC LP 800.25,701,0 23 +−=

A partir de estas funciones de demanda y costos, buscamos se cumpla la relaciónentre el precio y costo medio:

( ) ( )

800.25,701,05,7200.5 2 +−=−

=

qqq

qCMeq P

Reordenamos los términos y obtenemos que:

0400.201,0 2 =+− q

Entonces las cantidades para las que se cumple esta relación son: 90,489=q y90,489−=q

Para verificar que cantidades sean las óptimas, (más allá de que resulta evidenteque no es posible fabricar cantidades negativas en el mercado) debemos verificarque:

dq

dCMe

dq

dP <

Para nuestro caso, tenemos:5,702,05,7 −


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Este valor es el que surgiría como el costo medio en cada empresa de fabricar244,95 unidades. De esta manera hemos verificado que dadas estas estructuras decostos y demanda, estamos frente a un monopolio natural, ya que:

( ) ( )** 21 qCMeqCMe < Gráficamente tenemos la siguiente situación:

EXISTENCIA DE MONOPOLIO NATURAL

0

1.000

2.000

3.000

4.000

5.000

0 100 200 300 400 500 600 700 800

CANTIDADES (q)

P E S O S ( $

)

CMe

Precio

CMe (2 empresasiguales)

ZOOM

EXISTENCIA DE MONOPOLIO NATURAL

1.400

1.450

1.500

1.550

1.600

1.650

1.700

470 475 480 485 490 495 500CANTIDADES (q)

P E S O S ( $ )

CMe

Precio

CMe (2 empresasiguales)

q*

CMe*


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a. Monopolio Natural Fuerte

Una vez determinada la existencia de un monopolio natural, es posible hacer una

clasificación del mismo en fuerte o débil. Un monopolio natural era fuerte cuando alabastecer a toda la demanda, se observaban rendimientos crecientes a escala, o loque es lo mismo, costos medios decrecientes.

Formalizando lo mencionado en el párrafo anterior, una vez determinada laexistencia de un monopolio natural, debe cumplirse que para las cantidadesmáximas que puede ofrecer el empresario monopolista sin incurrir en beneficioseconómicos negativos, los costos medios estén decreciendo.

( )0

*<

dq

qdCMe

Siguiendo con el ejemplo anterior, la derivada del costo medio es:0298,25,790,48902,05,702,0 >=−×=−= q

dq

dCMe

Esto no verifica la condición anterior, por lo que no estamos frente a un monopolionatural fuerte.

b. Monopolio Natural Débil

Un monopolio natural era débil cuando al abastecer a toda la demanda, seobservaban rendimientos decrecientes a escala, o lo que es lo mismo, costos

medios crecientes.

Formalizando lo mencionado en el párrafo anterior, una vez determinada laexistencia de un monopolio natural, debe cumplirse que para las cantidadesmáximas que puede ofrecer el empresario monopolista sin incurrir en beneficioseconómicos negativos, los costos medios estén creciendo.

( )0

*>

dq

qdCMe

Siguiendo con el ejemplo anterior, la derivada del costo medio es:

0298,25,790,48902,05,702,0 >=−×=−= qdq

dCMe

Esto verifica la condición anterior, por lo que estamos frente a un monopolio naturaldébil.


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Oligopolio

Es una estructura de mercado donde existen unas pocas empresas, en este sentidoes un intermedio entre la competencia perfecta (existen infinitas empresas) y elmonopolio (un solo oferente). Al ser este el número de concurrentes al mercado,una empresa no puede ignorar que su accionar posiblemente afecte a las empresasque compiten con él en el mercado.

Siguiendo la mis forma de análisis que hasta ahora solo modificaremos la cantidadde empresas oferentes en el mercado, manteniendo el resto de los supuestos decompetencia perfecta (existe información perfecta, los empresarios y consumidoresson racionales y los bienes son homogéneos). A su vez, y para simplificar nos

remitimos a una versión reducida del oligopolio donde solo existen dos empresas enel mercado, llamada Duopolio, los resultados obtenidos con esta simplificación sonextensibles al caso mas general del oligopolio.

Para estudiar esta estructura de mercado existen distintos enfoques, en una primerainstancia expondremos el modelo de Cournot, luego el modelo de Stackelberg y paraconcluir un modelo de colusión.

a. Cournot2

El supuesto básico de este modelo es que cada empresa toma como dadas las

cantidades que produce su competidor. De esta forma, cada empresario se dedica amaximizar su beneficio considerando a las cantidades que ofrece su rival como unaconstante.

Veamos un caso simbólico suponiendo que ambas empresas enfrentan unademanda lineal y poseen los mismos costos, como se detalla a continuación:

t bqa p −= 1 2t donde q q q= +

i iCT cq d = + con i= 1,2

Quedando el beneficio del empresario 1 planteado por

1 1 2 1 1( ; ) ( ) IT CT p q q q CT qπ = − = × −

Reemplazando la demanda y los costos el beneficio es:

( ) ( )1 1 1t a bq q cq d π = − − +

2 Cournot, A. (1838) “Recherches sur les principes mathematiques de la theorie des richesses ”.


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( )1 1 2 1 1a bq bq q cq d π = − − − − 2

1 1 1 1 2 1aq bq bq q cq d π = − − − − (1)

Derivando e igualando a cero se obtienen las condiciones de primer orden:

02 211

1 =−−−= cbqbqadq

d π (2)

Despejando las cantidades del empresario que se toma en consideración en funciónde los parámetros, recordando que según se desprende de la conjetura de Cournotlas cantidades del otro empresario son una constante, se obtiene la Función deReacción del Empresario 1.

b

cbqaq 2

21

−−=

De la misma forma obtenemos la función de reacción para el empresario 2;planteando su beneficio, derivando e igualando a cero para obtener las condicionesde primer orden:

( ) ( )

( )

2 1 2 2 2

2 2

1 2 2 2

( ; ) ( )

t

IT CT p q q q CT q

a bq q cq d

a bq bq q cq d

π = − = × −

= − − +

= − − − −

22 1 2 2 2aq bq q bq cq d = − − − − (3)

Condición de primer orden:

21 2

2

2 0d

a bq bq cdq

π = − − − = (4)

Función de reacción:

b

cbqaq2

12

−−=

No es casualidad que las funciones de reacción sean tan similares, esto se debe aque ambos empresarios tienen los mismos costos y por lo tanto el problema essimétrico.

El supuesto básico propuesto por Cournot indica que cada empresario toma comodadas las cantidades que produce su rival, la pregunta es ¿Cuál va a ser la


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conjetura del empresario sobre las cantidades de su rival? Si existe informaciónperfecta y sabiendo que ambos empresarios son racionales, entonces espera que elrival ofrezca las cantidades que le maximizan el beneficio y estas vienen dadas porsu función de reacción. Por ello el empresario 1 utiliza la función de reacción del

rival para calcular las cantidades que le maximizan el beneficio.

1

1

2

2

a bq ca b c

bq

b

− − − −

=

Despejando las cantidades en función de los parámetros se obtiene,

1

1

3

a cq

b

−=

Reemplazando las cantidades obtenidas para el empresario 1 en la función dereacción del empresario 2 obtenemos las cantidades que este llevaría al mercado

2

1

3

2

a ca b c

bq

b

− − −

=

2

1

3

a cq

b

−=

Como era de esperar, las cantidades de ambos empresarios son iguales y esto sedebe a que ambos poseen los mismos costos.

Las condiciones de segundo orden requieren que, para cada duopolista, el ingresomarginal tenga menor pendiente que el costo marginal, es decir, que el costomarginal corte al ingreso marginal por debajo.

1 1

1 1

dIMg dCMg

dq dq<

O que es igual, derivando una segunda vez el beneficio dado por la ecuación Nº 1:

2

1 1 1

2

1 1 1

0d dIMg dCMg

dq dq dq

π = − <

Tomando en consideración esta ultima formulación, derivando la ecuación Nº 2:

2

1

2

1

2 0d

bdq

π = − <


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Siguiendo el mismo proceso para el empresario 2:

2

2 2 2

22 2 2 0

d dIMg dCMg

dq dq dq

π

= − <

Derivando una vez más la ecuación Nº 4,

2

2

2

2

2 0d

bdq

π = − <

Se debe remarcar que estas condiciones de segundo orden son diferentes a las quese utilizan en el caso de un empresario monopolista con dos plantas, la diferenciaes que en este caso los ingresos marginales no tienen que ser necesariamenteiguales.

Como ambas condiciones de segundo orden indican que b>0 y esto implica que lademanda tenga pendiente negativa es que se puede afirmar que las cantidadesobtenidas para cada empresario maximizan su beneficio. Habiendo llegado a estainstancia, no cuesta mucho obtener las cantidades totales:

2

3

C

t

a cq

b

−=

Reemplazando las cantidades totales en la demanda inversa, se obtiene el precioque se cobra en el mercado:

2

3

C a c p a bb

− = −

Para obtener los beneficios de ambos empresarios hay que reemplazar lascantidades y el precio en las respectivas funciones de beneficio, las ecuaciones (1) y(2).

Veamos un ejemplo práctico, utilizando la siguiente demanda lineal:

t q p 5,7200.5 −=

Con unos costos dados por:

3 2

1 1 1 10, 01 7, 5 2.500 150.000CT q q q= − + + 2

2 2 25 75CT q q= +


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Página 30

Con estos datos, el beneficio del empresario 1 es el siguiente:

( ) ( )3 21 1 2 1 1 1 1 1 1( ; ) ( ) 5.200 7,5 0,01 7,5 2.500 150.000t p q q q CT q q q q q qπ = × − = − − − + +

Distribuyendo y dado que qt = q1 + q2 :

( ) 3 21 1 2 1 1 1 15.200 7,5 7,5 0, 01 7,5 2.500 150.000q q q q q qπ = − − − + − − 2 3 2

1 1 1 1 2 1 1 15.200 7,5 7,5 0,01 7,5 2.500 150.000q q q q q q qπ = − − − + − − (1)

La siguiente condición de primer orden se obtiene derivando e igualando a cero:

211 2 1 1

1

5.200 15 7,5 0, 03 15 2.500 0d

q q q qdq

π = − − − + − =

212 1

1

2.700 7,5 0, 03 0d q qdq

π = − − =

Despejando las cantidades del empresario que estoy tomando en consideración enfunción de los parámetros –según se desprende de la conjetura de Cournot, estoincluye a las cantidades del rival – obtenemos la función de reacción del Empresario1.

2 21 2

2.700 7,590.000 250

0,03

qq q

−= = −

Planteamos los beneficios del empresario 2 y buscamos su función de reacción:

( ) ( )22 1 2 1 1 2 2 2( ; ) ( ) 5.200 7,5 5 75t p q q q CT q q q q qπ = × − = − − +

Distribuyendo y dado que qt = q1 + q2 , obtenemos:

( ) 22 1 2 2 2 25.200 7,5 7,5 5 75q q q q qπ = − − − − 2 2

2 2 1 2 2 2 25.200 7,5 7,5 5 75q q q q q qπ = − − − − (2)

Derivando e igualando a cero para obtener las condiciones de primer orden:

21 2 2

2

5.200 7,5 15 10 75 0d

q q qdq

π = − − − − =

21 2

2

5.125 7,5 25 0d

q qdq

π = − − =


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Despejando las cantidades del empresario que se toma en consideración en funciónde los parámetros, recordando que según se desprende de la conjetura de Cournotlas cantidades del otro empresario son una constante, se obtiene la función dereacción del Empresario 2.

12 1

5.125 7,5205 0,3

25

qq q

−= = − (3)

Reemplazando la función de reacción del empresario 2 en la del empresario 1:

( )21 190.000 250 205 0,3q q= − − 2

1 190.000 51.250 75q q= − +

Reordenando:

2

1 175 38.750 0q q− − =

De donde se obtenien dos puntos críticos: q1 = 237,89 y q1 = -162,89. Como esimposible producir unidades físicas negativas las cantidades serían 237,89.Como vimos antes, las condiciones de segundo orden requieren que:

2

1 1 1

2

1 1 1

0d dIMg dCMg

dq dq dq

π = − <

2

112

1

0,06 0d qdq

π

= − <

Evaluando esta condición para las cantidades obtenidas antes:

( )

( )

0,06 237,89 14,27 0

0, 06 162, 89 9, 77 0

− = <

− − = − >

Deduciendo que para 237,89 se obtiene un máximo de los beneficios del empresario1.

Reemplazando la producción del empresario 1 en la función de reacción delempresario 2 obtenemos las cantidades que este produciría para maximizar subeneficio.

( )2 205 0,3 237,89 133,63q = − =

Verificando si se cumplen las condiciones de segundo orden para el empresario 2:


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34/63


Página 34

( )21 1 1 1 1 1

2 2

1 1 1 1 1 1

2

1 1 1

1

2

1 1 1

2 2 21 1 11 1 1

2 2 2

aq bq bq a bq c cq d b

aq bq aq bq cq cq d

aq bq cq d

π = − − − − − −

= − − + + − −

= − + − + − −

Resulta,

2

1 1 1 1

1 1 1

2 2 2aq bq cq d π = − − −

Derivando e igualando a cero para obtener las condiciones de primero orden:

11

1

1 10

2 2

d a bq c

dq

π = − − = (4)

Despejando se obtienen las cantidades del empresario 1:

1

1

2

a cq

b

− =

Reordenando la función de reacción del empresario 2,

12

1

2 2

2 2

bqa cq

b b

qa c

b

−= −

−= −

Reemplazando las cantidades óptimas de la firma 1, se obtienen las cantidades queproducirá el empresario 2:

2 22 2

2 4

2 2

4 4

2 2

4

a c

a c bqb

a c a c

b b

a c a c

b b

a a c c

b

−

−= −

− −= −

− −= −

− + −=


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36/63


Página 36

Sumamos las cantidades de cada empresario para obtener las cantidades totales:

S S S

t L S q q q= +

1 1

2 4t

a c a cq b b

− − = +

Sacando factor y denominador comunes se obtienen las cantidades totales que setransan en el mercado si utilizamos el supuesto de Stackelberg.

3

4

S

t

a cq

b

− =

Recordando las cantidades de la solución de Cournot:

2

3

C

t

a cq

b

−=

Como bajo la conjetura de Stackelberg las cantidades son mayores se deduce quedebería existir un precio menor. Para comprobarlo a continuación se calcula elprecio que se cobrará finalmente en el mercado. Reemplazando las cantidadestotales en la demanda inversa:

3

4

S a c p a bb

− = −

Para constatar la relación entre los precios bajo los supuestos de Cournot con losobtenidos para la solución de Stackelberg. Se recuerda también el precio deCournot:

2

3

C a c p a bb

− = −

Como en el precio de Stackelberg se detrae algo mayor este será menor que elresultante siguiendo la conjetura de Cournot.

Para obtener los beneficios de ambos empresarios hay que reemplazar lascantidades y el precio en las respectivas funciones de beneficios.

Volviendo a analizar el ejemplo numérico, siendo en este caso el empresario 1 lídery el empresario 2 seguidor:

t q p 5,7200.5 −= 3 2

1 1 1 10, 01 7, 5 2.500 150.000CT q q q= − + +


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2

2 2 25 75CT q q= +

Como se dijo antes, el empresario 2 decide sus cantidades tomando como dadas lascantidades del líder, ajustando las unidades producidas en función de las queofrezca su rival. Por todo ello, utiliza la misma función de reacción que en el modelode Cournot. Reproduciendo las ecuaciones del beneficio, la condición de primerorden y la función de reacción:

2 2

2 2 1 2 2 2 25.200 7,5 7,5 5 75q q q q q qπ = − − − −

21 2

2

5.125 7,5 25 0d

q qdq

π = − − =

2 1205 0,3q q= −

En cambio el empresario líder sigue otro comportamiento, tiene en cuenta lascantidades del seguidor. Por ello su beneficio tiene incorporada la función dereacción del seguidor, reemplazando la función de reacción en la ecuación Nº 5:

( )2 3 21 1 1 1 1 1 1 15.200 7,5 7,5 205 0,3 0, 01 7, 5 2.500 150.000q q q q q q qπ = − − − − + − − 2 2 3 2

1 1 1 1 1 1 1 15.200 7,5 1537,5 2, 25 0, 01 7,5 2.500 150.000q q q q q q qπ = − − + − + − − 2 3 2

1 1 1 1 1 13.662, 5 5, 25 0, 01 7, 5 2.500 150.000q q q q qπ = − − + − −

Derivando e igualando a cero para obtener las condiciones de primer orden:

211 1 1

1

3.662, 5 10, 5 0, 03 15 2.500 0d q q qdq

π = − − + − =

Reordenando:

2

1 10, 03 4, 5 1.162, 5 0q q− + + =

De esta ecuación se obtienen dos posibles cantidades: -135.64 y 285,64, si bienpara definir cuales son las cantidades que maximizan el beneficio del empresarionecesitamos calcular las condiciones de segundo orden podrían desestimarse las

negativas por ser imposible su producción física.

2

112

1

0,06 4,5 0d

qdq

π = − + <

Evaluando para las cantidades críticas obtenidas en las condiciones de primerorden:


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Página 38

( )0,06 285,64 4,5 12,64 0− + = − <

Debido a que se satisfacen las condiciones de segundo orden se puede afirmar queel empresario 1 maximiza su beneficio produciendo 285,64 unidades del bien. Comodijimos, al seguir las conjeturas de Stackelberg el empresario 2 tiene en cuenta estascantidades, por ello reemplazamos las cantidades óptimas del empresario 1 en lafunción de reacción del empresario 2.

( )2 205 0,3 285,64

119,31

q = −

=

La condición de segundo orden:

2

22

2

25 0d

dq

π

= − <

Verificando que se cumplen las condiciones de segundo orden se puede afirmar que119,31 es un máximo del beneficio del empresario 2.

Comparando con el caso donde los empresarios forman conjeturas siguiendo elsupuesto de Cournot, vemos que el empresario que actúa como líder produce másmientras que el seguidor produce menos. Sumando las cantidades de ambos seobtiene las cantidades totales:

1 2

285,64 119,31

404,95

t q q q= +

= +

=

Al igual que en el caso simbólico planteado más arriba, las cantidades que seproducen en la industria son mayores en el modelo de Stackelberg que en el deCournot.

Reemplazando en la demanda inversa:

( )5.200 7,5 404,95

5.200 3.037,12

2.162,88

p = −

= −

=

Como es de esperarse, teniendo una demanda con pendiente negativa, alproducirse más unidades en el modelo de Stackelberg que en el de Cournot elprecio que se cobra es menor.


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Una vez que hemos identificado los niveles de producción y el precio óptimos quemaximizan las funciones de beneficios de cada empresario, podemos ya calcular elresto de los resultados:

Cantidades totales ofrecidas (qt*) = 404,95

Cantidades ofrecidas por el empresario 1 (q1*) = 285,64

Cantidades ofrecidas por el empresario 2 (q2*) = 119,31

Precio en el mercado (P) = $ 2.162,88

Ingresos por ventas empresario 1 = $ 617.805,04

Costos Totales empresario 1 = $ 485.227,7

Beneficios económicos empresario 1= $ 132.577,34


Costos Totales empresario 2 = $ 80.122,63


Comparando los beneficios que obtiene la empresa líder con los que obtenía en el

modelo de Cournot se ve como estos crecen al ejercer el liderazgo en la industria.c. Colusión

Cuando los empresarios de una industria se ponen de acuerdo en maximizar losbeneficios de la misma evitando disputas por el mercado se dice que existe colusiónen dicha industria. El resultado de esto es la formación de un cartel, este enfrentados problemas: maximizar el beneficio de la industria y lograr subsistir.

Suponiendo que existen dos empresas en la industria el beneficio de la industria es:

1 2

1 1 2 2

1 2 1 1 2 2 1 2( ; ) ( ; ) ( ) ( )

I

IT CT IT CT

p q q q p q q q CT q CT q

π π π = += − + −

= × + × − −

Como ambas empresas forman el total del mercado puede decirse que 1 2t q q q= + ,

entonces:


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41/63


Página 41 de 63

0

2

2

2

12

221

2

2

1

2

>

∂

∂

∂∂

∂

∂∂

∂

∂

∂

=

qqq

qqq H

π π

π π

Son diferentes a los modelos de Cournot o Stackelberg porque en este caso se tratadel beneficio de la industria que engloba a las dos empresas mientras que en losanteriores modelos cada empresa solo tenía interés por maximizar sus propiosbeneficios.

Volviendo al ejemplo numérico:

t q p 5,7200.5 −= 3 2

1 1 1 10, 01 7, 5 2.500 150.000CT q q q= − + + 22 2 25 75CT q q= +

El beneficio de la industria es

( ) ( ) ( )1 2

3 2 2

1 1 1 2 2

2 3 2 2

1 1 1 2 2

( ) ( ) ( )

5.200 7,5 0,01 7,5 2.500 150.000 5 75

5.200 7,5 0, 01 7,5 2.500 150.000 5 75

I t

t t

t t

IT q CT q CT q

q q q q q q q

q q q q q q q

π = − −

= − − − + + − +

= − − + − − − −

Utilizando la regla de la cadena para derivar el beneficio de la industria e igualando acero se hallan las condiciones de primer orden:

2

1 1

1

2

2

5.200 15 0, 03 15 2.500 0

5.200 15 10 75 0

I t

I t

q q qq

q qq

π

π

∂= − − + − =

∂

∂= − − − =

∂

Dado que 1 2t q q q= + y reordenando obtenemos

2

2 1

1

1 2

2

2.700 15 0,03 0

5.125 15 25 0

I

I

q qq

q qq

π

π

∂= − − =

∂

∂= − − =

∂

Reordenado la última condición de primer orden, y despejando las cantidades delempresario 2:


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Página 42

2 1

12

1

25 5.125 15

5.125 15

25

205 0,6

q q

qq

q

= −

−=

= −

Reemplazando esta relación en la condición de primer orden del empresario 1:

( ) 21 12

1 1

2

1 1

2.700 15 205 0, 6 0, 03 0

2.700 3075 9 0, 03 0

375 9 0,03 0

q q

q q

q q

− − − =

− + − =

− + − =

Esta ecuación arroja dos puntos críticos para las cantidades del empresario 1, 50 y250, calculamos las condiciones de segundo orden para ver cual de ellos maximizalos beneficios del empresario 1.

2

12

1

2

2

2

0,06

25

I

I

qq

q

π

π

∂= −

∂

∂= −

∂

A su vez se calculan las derivadas cruzadas para poder resolver el correspondientehessiano:

2 2

1 2 2 1

15 I I q q q q

π π ∂ ∂= = −

∂ ∂

( ) ( )

1

1

1

0,06 15

15 25

0,06 25 15 15

1, 5 225

q H

q

q

− −=

− −

= − ×− − − ×−

= −

El siguiente caso se cumple para cualquier cantidad que arroje la condición de

primer orden:

2

2

2

25 0 I q

π ∂= − <

∂

Evaluando las otras condiciones para el valor critico 50:


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Página 43 de 63

2

2

1

0,06(50) 3 0

1,5(50) 225 150 0

I

q

H

π ∂= − = − <

∂

= − = − <

El hessiano no posee el signo adecuado por lo tanto no es un máximo. Evaluamoslas condiciones para 250,

2

2

1

0,06(250) 15 0

1,5(250) 225 150 0

I

q

H

π ∂= − = − <

∂

= − = >

Estas cantidades maximizan los beneficios de la industria. Reemplazando en larelación entre ambas cantidades:

2 205 0,6(250)

205 150

55

q = −

= −

=

El empresario 2 producirá 55 unidades para maximizar el beneficio de la industria.Sumando las unidades que produce cada empresario se obtienen las cantidadestotales que se ofertaran en la industria:

1 2

250 55

305

t q q q= +

= +

=

Reemplazando en la demanda inversa se obtiene el precio

( )5.200 7,5 305

5.200 2.287,5

2.912,5

p = −

= −

=

Una vez que hemos identificado los niveles de producción y precio óptimos quemaximizan los beneficios de la industria, podemos ya calcular el resto de losresultados:


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Cantidades totales ofrecidas (qt*) = 305

Cantidades ofrecidas por el empresario 1 (q1*) = 250

Cantidades ofrecidas por el empresario 2 (q2*) = 55

Precio en el mercado (P) = $ 2.912,5

Ingresos por ventas empresario 1 = $ 728.125

Costos Totales empresario 1 = $ 462.500

Beneficios económicos empresario 1= $ 265.625


Costos Totales empresario 2 = $ 19.250


d. Resumen

Esta sección es para realizar una breve comparación entre los tres modelosplanteados con anterioridad.

El modelo de Stackelberg es el que ofrece mayores cantidades en la industria, y porlo tanto, menores precios. En el extremo opuesto esta la colusión, con las mismascantidades que un monopolio multiplanta y el mayor precio. Entre estos dos casosesta el modelo de Cournot.

El beneficio de la industria es el mayor en la colusión y menor en el modelo deStackelberg. Por otro lado, el empresario 1, incrementa su beneficio al actuar comolíder en el modelo de Stackelberg respecto del beneficio que obtiene en el modelode Cournot, mientras que el empresario 2 lo reduce al comportarse como seguidor.


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Teoría de Juegos5

Al hablar de Teoría de Juegos en Economía nos estamos refiriendo a lainterdependencia estratégica de los agentes económicos. En la mayoría de loscasos el pensamiento estratégico se encuentra en el mundo empresarial, pero no seexcluye de otros procesos de negociación que pueden incluir otros actoreseconómicos tales como consumidores y gobiernos.

John Nash fue quizás quien le dio el giro más relevante a la teoría en el siglo XX, sinembargo, los primeros pasos de esta herramienta matemática se dieron hace másde 200 años y se ha aplicado a una infinidad de disciplinas además de la Economía.

Específicamente, en Microeconomía la Teoría de los Juegos se desarrollóampliamente con infinidad de aplicaciones. Sin embargo, es importante entenderque la Teoría de Juegos puede usarse en ámbitos tan amplios como ennegociaciones políticas, en modelos de biología, en juegos de mesa así como en lainterpretación de la conducta económica.

Se empieza con un juego sencillo con supuestos simplificadores para analizar loselementos constitutivos básicos de todo juego. La interdependencia estratégicapuede involucrar infinidad de jugadores y estrategias pero vamos a simplificar lainteracción a dos personas para representar fácilmente una matriz de resultados omatriz de pagos. El término “matriz de pagos” resulta más relevante porque insinúa

la idea de que por la estrategia que armen los jugadores van a recibir una retribuciónpositiva o negativa.

a. Estrategias Dominantes

Supongamos una matriz de pagos con la siguiente estructura y contenido:

El juego en este caso consiste en elegir simultáneamente dónde se va a parar cada jugador. El jugador A puede elegir filas (arriba o abajo); el jugador B puede elegir

columnas (izquierda o derecha). Es importante entender que si bien la elección de laestrategia se da de manera simultánea, la realización de la misma puede no ser demanera simultánea. Esto es particularmente importante para aquellos juegos en losque la distinción resulta crucial para los resultados.

5 Material complementario elaborado por Ignacio Bruera.


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en caso de elegir “derecha” obtiene 0 en lugar de 1. Lo mismo para A: si B elige“izquierda”, lo mejor que puede hacer es elegir “arriba” dado que si elige “abajo”obtendrá 0 en lugar de 2.

Entonces, un equilibrio de Nash estará definido como la elección óptima deuna estrategia por parte de una persona dada la elección de la otra.

Si se observa bien, esto no es más que la generalización del equilibrio deCournot que vieron antes, demostrándose así que el pensamiento estratégico entérminos de teoría de los juegos tiene larga data. En ese caso cada empresa elegíasu nivel de producción, considerando fija la elección de la otra. De esta manera, laempresa se preocupaba por maximizar su beneficio dando por sentado que las otrasempresas mantendrían la estrategia elegida inicialmente.

Lo que Nash hizo, como matemático, fue generalizar este razonamiento intuitivo

dando la posibilidad de que se aplique en otras situaciones que no sea la explicaciónde la conducta de un oligopolista. Dado que este razonamiento implica una dinámicade elección distinta a aquella que ayudó a construir la economía política clásica y lamicroeconomía neoclásica. Desde Adam Smith en adelante se decía que seobtendría el mayor beneficio social a partir de la maximización del beneficioindividual y, es por esto que hay quienes afirman que Nash revolucionó 200 años depensamiento económico (si bien los escritos no matemáticos relativos a losbeneficios de la cooperación no eran ninguna novedad hacia 1950).

Pero toda revolución tiene sus problemas. Muchas veces lo que se busca eneconomía y en diferentes disciplinas son soluciones únicas. Para empezar, elequilibrio de Nash expresado en su forma pura no plantea soluciones únicas paradeterminados casos.

En el ejemplo dado que el juego es simétrico la misma lógica aplicada que nos llevóa la solución (arriba, izquierda) nos lleva también a la solución (abajo, derecha).

c. El equilibrio de Nash para estrategias mixtas

Pero el segundo problema resulta más importante dado que tiene que ver con la

existencia de la solución. En determinados juegos, puede no encontrarse solucionesde Nash por lo que la lógica del equilibrio o solución de Nash para estrategias purasno resulta general en los ejemplos. El siguiente ejemplo muestra un caso en el queno pueden encontrarse soluciones de Nash a partir de estrategias puras:


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Jugador B

Izquierda Derecha

Arriba 0,0 0,-1Jugador A

Abajo 1,0 -1,3

En este caso, si el jugador A elige “arriba”, lo mejor que podrá hacer el jugador Bserá elegir “izquierda” dado que se evita de perder 1 y queda en 0; ahora bien, si Belige “izquierda”, lo mejor que puede hacer A es elegir “abajo” dado que ganará 1 enlugar de nada.

Sin embargo, los dos problemas no aparecen si se amplía la definición de soluciónde Nash incluyendo la herramienta matemática de la probabilidad estadística. Hasta

ahora estuvimos hablando de estrategia pura. Los jugadores elegían exclusivamente“arriba” o “abajo” y “derecha” o “izquierda”. Acá se introduce el concepto deestrategia mixta que tiene que ver con la conducta según la cual los individuosasignan una probabilidad a cada elección y actúan de acuerdo a ella. De estamanera, se puede hablar de la “probabilidad” de que determinado jugador elija unaposición determinada. Por ejemplo, “el 75% de las veces, el jugador A eligió “arriba””,lo que es lo mismo que decir, que de 4 veces que se jugó el juego, A eligió “arriba”en tres ocasiones.

Entonces, se define el equilibrio de Nash para estrategias mixtas como aquel en elque cada agente elige la frecuencia óptima con la que seguirá sus estrategias, dada

la frecuencia que elija el otro.

En el ejemplo, la probabilidad objetiva de solución para ambos jugadores será:

Jugador A: 0 dado que (1 + 0 + 0 + (-1)) / 4 = 0Jugador B: ½ dado que (0 + 0 + (-1) + 3) / 4 = ½

Se calcula el promedio de los pagos posibles para cada uno de los jugadores.

Entonces, se llegará a una solución de Nash siempre que el jugador A elija “arriba”con una probabilidad de ¾ y “abajo” con una probabilidad de ¼, y el jugador B elija

“izquierda” con una probabilidad de ½ y “derecha” con una probabilidad de ½.

Así:

¾ * (0 + 0) + ¼ * (1 – 1) = 0¾ * (0 + 0) + ¼ * (-1 + 3) = ½

Por lo tanto, una definición general del equilibrio de Nash que envuelve tanto aquelpara estrategias puras como mixtas dice: Un equilibrio de Nash consiste en las


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expectativas sobre la probabilidad de que se elijan las diferentes estrategias y en laprobabilidad de que se elijan las estrategias propias, tales que:

1) Las expectativas son correctas (es decir, los jugadores son racionales y no se

equivocan respecto de las estrategias propias y ajenas).2) Cada uno de los jugadores elige las estrategias que maximizan su utilidadesperada.

Es evidente que el equilibrio de Nash es un equilibrio basado en acciones yexpectativas. En condiciones de equilibrio, cada uno de los jugadores prevécorrectamente la probabilidad de que el otro elija las diferentes opciones y lasexpectativas de los dos son mutuamente correctas. Nótese que una estrategia purano es más que un caso particular de las estrategias mixtas en las que la probabilidadde elegir alguna posición corresponde al 100%.


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Competencia Monopolística

Este modelo nace por el aporte de Edwar Chamberline6 como respuesta a lasinquietudes planteadas por Piero Sraffa7 y Joan Robinson8 en torno a la falta deteoría que de cuenta de los mercados situados entre la competencia perfecta y elmonopolio.

En oposición a los modelos de oligopolio y de competencia perfecta los bienes eneste modelo son heterogéneos, la diferenciación de ellos le permite al empresarioostentar cierto poder de monopolio. Pero mantiene la característica de lacompetencia perfecta de la libre entrada y de la competencia por cantidades yprecios. Como vemos comparte características de ambos modelos por eso recibe talnombre.

Se pueden agrupar a las firmas que producen y venden bienes que son sustitutoscercanos entre ellos en una misma “industria”. Esta clasificación puede ser criticadapor subjetiva, puesto que el límite en el cual los bienes dejan de ser sustitutoscercanos no esta bien marcado. Pero aun así es útil a fines de nombrar al grupo deempresas que van a concurrir al mercado analizado. A los fines de la determinación de los equilibrios del modelo a corto y largo plazo, sibien resulta posible trabajar sin recurrir a las simplificaciones que a continuación serealizan, las mismas permiten una más clara y sencilla exposición.

Si suponemos que todas las empresas tienen funciones de costo idénticas, podemos

trabajar con una empresa representativa (la firma k). Dado que los bienesproducidos por las empresas de una misma industria son sustitutos cercanos,entonces la demanda que enfrenta el empresario representativo será función de lascantidades producidas por él (qk) y de las producidas por el resto de las i firmas (qi). Adicionalmente, sólo con el objetivo de ver más claramente la dinámica del ajustehacia la situación del equilibrio, supondremos además que nuestro empresariorepresentativo actúa como si su acción no tuviese efecto en el resto de las firmas dela industria.

a. Solución de corto plazo

Planteamos el problema de corto plazo, suponiendo que sea lineal la curva dedemanda inversa que enfrenta la empresa representativa, la misma será:

6 Chamberlin, Edgard (1933) “The Theory of Monopolistic Competition”. Harvard University Press.7 Sraffa, Piero (1926) “The Laws of Returns Ander Competitive Conditions”. Economic Journal.8 Robinson, Joan (1933) “The Economics of Imperfect Competition”. Macmillan.


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( )∑≠=

×−−=n

k ii

iik k qbaq A p;1

9

Con todo esto los beneficios de la firma representativa son:

)();(k k ik k k

qC qqq pC I −×=−=π

La condición de primer orden será:

0=−= k k k

k CMg IMg dq

d π

Al igual que en el caso del monopolio simple la condición de primer orden pide queel ingreso marginal sea igual al costo marginal. Pero en este caso el ingresomarginal además de ser función de qk es función de qi. En este punto, si la empresarepresentativa puede incrementar sus beneficios modificando su nivel de producción,también lo pueden hacer (y lo harán) el resto de las empresas. Con los supuestossimplificadores que hemos realizado, si a la empresa k le resulta conveniente ofrecerqk unidades, a las firmas competidoras también.

Por ello es que una vez determinada la condición de primer orden, a los efectos dedeterminar las cantidades que resultarán de equilibrio a corto plazo, podemosestablecer que qk = qi. En síntesis, para encontrar las cantidades ofertadas por lafirma representativa reemplazamos qi por qk en el ingreso marginal. De esta forma

queda todo en función de qk .Para comprobar si se trata de un máximo o un mínimo hay que evaluar lascondiciones de segundo orden. Éstas nos exigen que el ingreso marginal seacortado desde abajo por el costo marginal, o formalmente:

dq

dCMg

dq

dIMg <

Veamos un ejemplo practico, utilizando una demanda lineal:

9 Dados los supuestos antes enunciados se puede expresar la sumatoria de la siguiente forma:

( ) ( )

112211

1

1;1

..... −−

−

=≠=

×++×+×=

×=× ∑∑

nn

n

i

ii

n

k ii

ii

qbqbqb

qbqb

Como a su vez supusimos que todos los empresarios son idénticos se están sumando términosiguales, de forma que la sumatoria se reduce a,

( )1−××= nqb


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∑≠=

−−=n

k ii

ik k qq p;1

01,02000.2

Donde a=2, bi= 0,01, qk son las cantidades ofrecidas por el mismo empresario y qison las ofrecidas por cada una de las restantes firmas.

Con unos costos dados por:

500700.15,702,0 23 ++−= k k k qqqC

Sabiendo además que en la industria existen 250 firmas (n=250), se puede resolverel problema. Construimos la función de beneficios del empresario representativo:

( )500700.15,702,001,02000.2)();( 231

++−−×

×−−=−×= ∑≠=

k k k k

n

k ii

ik k k ik k qqqqqqqC qqq pπ

Como qi es igual para cada empresa resolvemos la sumatoria:

( ) ik ii

i qq ××−=×∑≠=

01,0125001,0250

;1

De forma que la condición de primer orden quedará:

0700.11506,0)1250(01,04000.2 2 =+−−×−×−−=−= k k ik k k k

k qqqqCMg IMg dq

d π

Como aclaramos antes, para obtener las cantidades de equilibrio, hacemos qk = qi ,reemplazando y despejando qk :

030051,806,0 2 =++− k k qq

Esto nos da dos valores críticos de las cantidades producidas por el empresario

representativo: qk = 171,06 y qk = -29,22. Evaluamos las condiciones de segundoorden para cada uno de ellos (aunque desecharíamos las cantidades negativas porno poder producirse físicamente):

1512,049,6 −


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Gráficamente tendríamos:

b. Solución de largo plazo

Para la determinación de la solución de largo plazo debemos buscar el nivel deproducción donde los beneficios extraordinarios se anulen, o lo que es igual, que elcosto medio sea igual al precio. Como la cantidad de empresas puede variar porqueestá permitida la libre entrada y salida, ésta también es una incógnita.

Recordando que para estar en equilibrio se debe dar la igualdad entre qk = qi , a lacondición de máximo de corto plazo se le suma:

Cantidades ofrecidas por cada empresario (qi ) = 171,06

Cantidades ofrecidas por la industria (incluyendo a la empresa k) Σ qi = 42.765,61

Precio ( pk ) = 1.231,93

Ingresos por ventas de la empresa k = 210.736,89

Costos totales de la empresa k = 171.952,26

Beneficios económicos de la empresa k = 38.784,63

COMPETENCIA MONOPOLISTICADE CORTO PLAZO


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k k k CMeq p =)(

De existir dos niveles que cumplen esta condición, debe optarse por aquel en el cualel costo medio tenga mayor pendiente que la curva de demanda inversa.

Resolvemos el ejemplo anterior:

∑≠=

−−=n

k ii

ik k qq p;1

01,02000.2

500700.15,702,0 23 ++−= k k k qqqC

Eso nos plantea un problema ya que tenemos unos costos de corto plazo pararesolver un problema de largo plazo. A pesar de ello, el cálculo de la solución es útila fines de poder compararla con la de corto plazo.

Cantidades ofrecidas por cada empresario (qi ) = 138,15

Número de empresas en al industria = 489,22

Cantidades ofrecidas por la industria (incluyendo la empresa k ) Σ qi = 67.587,88

Precio (p) = 1.049,19

Ingresos por ventas de la empresa k = 144.951,14

Costos totales de la empresa k = 144.951,14

Beneficios económicos de la em resa k = 0

COMPETENCIA MONOPOLISTICADE LARGO PLAZO


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A continuación resolvemos correctamente el problema, trabajando con una funciónde costos de largo plazo. Manteniéndose inalterada la demanda.

k k k LP qqqC 000.25,701,0 23 +−=

Resolvemos la condición de largo plazo

CMeq p k =)(

000.25,701,0)1(01,02000.2 2 +−=−−− k k ik qqqnq ( 1)

A su vez porCMg IMg =

000.21503,001,04000.2 2;1

+−=−− ∑≠=k k

n

k ii

ik qqqq

k k ik qqqnq 1503,0)1(01,04 2 −=−−− ( 2)

Después de reemplazar qk = qi por las razones antes expuestas. Tenemos dosincógnitas (n y qk ) y dos ecuaciones. Despejando (n - 1) de (2) y reemplazando en(1) se puede obtener qk

000.25,701,001,0

1103,001,02000.2 2

2

+−=×

−

−×−− k k i

k

k k k qqq

q

qqq

Reordenando

05,502,0 2 =− k k qq

Obtenemos qk = 275 reemplazando en (2) obtenemos n = 276. Verificamos lascondiciones de segundo orden:

dq

dCMg

dq

dIMg <

1506,04 −


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Cantidades ofrecidas por cada empresario (qi) = 275

Número de empresas en al industria = 276

Cantidades ofrecidas por la industria Σ qi = 75.900

Precio (p) = 693,73

Ingresos por ventas = 190.781,25

Costos totales = 190.781,25

Beneficios económicos = 0

COMPETENCIA MONOPOLISTICADE LARGO PLAZO


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Ejercicios:

1) Dada la siguiente función de demanda de mercado del bien q: p = 1.500 – 0,5 q

a) Obtener la función de ingreso marginal a la que se enfrentaría un monopolista.b) Calcular para que valores de q la demanda es elástica.

c) Calcular para que valores de q la demanda es inelástica.

2) Dada la siguiente función de Costos: C = 4 q2 +12 q + 320

a) Determinar el nivel de producción y beneficios si vende su producto en un mercado

competitivo cuyo precio de venta es p = 400 .

R: q* = 48,5; * = 9.089

b) Determinar el nivel de producción, beneficios, y precio de venta si es el único oferente de un

mercado donde p= 500 – 0,5q.

R: q* = 54,22; p* = 472,89; * = 12.910,23

c) Verificar las condiciones de segundo orden

3) Dada la siguiente función de costos de fabricación del bien q:

C = 0,75 q3 – 25 q

2 + 7.500 q + 3.000.000

a) Determinar las cantidades óptimas ofrecidas por el monopolista si la demanda del bien está

dada por p = 85.000 – 300 q. Verificar las condiciones de segundo orden.

R: q* = 100.b) Determinar el precio de equilibrio, ingreso total del empresario, costos totales y beneficios

alcanzados.

R: p* = 55.000; I* = 5.500.000; C* = 4.250.000; * = 1.250.000.

c) Determinar las cantidades que serían ofrecidas simulando las condiciones de competencia

perfecta de corto plazo (solución cuasi – competitiva).

R: q* = 138,17.

d) Determinar el precio de equilibrio, ingreso total del empresario, costos totales y beneficios

alcanzados con el nivel de producción establecido en el punto anterior.

R: p* = 43.548; I* = 6.017.172; C* = 5.537.492; * = 473.680.


C = 0,0005 q3 – 0,7 q2 + 620 q


dada por p = 820 – 1,05 q. Verificar las condiciones de segundo orden.

R: q* = 200.


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b) Determinar el precio de equilibrio, ingreso total del empresario, costos totales y beneficios

alcanzados.

R: p* = 610; I* = 122.000; C* = 100.000; * = 22.000.

c) Determinar la elasticidad del costo para el nivel de producción obtenido en el punto “a)”.Especificar los rendimientos a escala observables a dicho nivel de producción.

R: E - Costo = 0,8; Rendimientos crecientes a escala.

d) Determinar las cantidades que serían ofrecidas simulando las condiciones de competencia

perfecta de largo plazo (solución cuasi – competitiva).

R: q* = 372,84.

e) Determinar el precio de equilibrio, ingreso total del empresario, costos totales y beneficios

alcanzados con el nivel de producción utilizado en el punto anterior.

R: p* = 428,52; I* = C* = 159.768; * = 0.

f) Determinar la elasticidad del costo para el nivel de producción obtenido en el punto “d)”.

Especificar los rendimientos a escala observables a dicho nivel de producción.

R: E - Costo = 0,72; Rendimientos crecientes a escala.

g) Determinar si, dadas las funciones de costos y de demanda, existe subaditividad de costos.

En caso afirmativo, determinar si se trata de un monopolio natural fuerte o débil.

R: Como existen rendimientos crecientes a escala hay subaditividad de costos; y por

estas dos condiciones se trata de un monopolio natural fuerte .


C 1 (q1 ) = 0,0015 q13 – 2,1 q1

2 + 1.860 q1

C 2 (q2 ) = 0,0015 q2 3 – 2,1 q2

2 + 1.860 q2


dada por p = 2.500 – qt . Especifique las cantidades producidas en cada planta y las cantidades

totales. Verificar las condiciones de segundo orden.

R: q1* = 400; q2* = 400; qt* = 800.

b) Determinar el precio de equilibrio, ingreso total del empresario, costos por cada planta y

totales y beneficios alcanzados.

R: p* = 1.700; I* = 1.360.000; C1* = 504.000; C2* = 504.000; Ct* = 1.008.000; * =352.000.

6) Dada la siguiente función de Costos: C= 0,25q2 + 250q

a) Determinar el nivel de producción, beneficios, y precio de venta si es el único oferente de un

mercado donde p= 500 – 0,5q.

R: q* = 166,66; * = 20.833,33; p* = 416,67.

b) Verificar las condiciones de segundo orden


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c) Si ahora tiene la posibilidad de vender en dos mercados (mercado 2: p = 400 ), determine el

nivel de producción, cantidades ofrecidas a cada mercado, beneficios, y precios de venta en cada

mercado.

R: q1* = 100; q

2* = 200; p

1* = 450; p

2* = 400;

1* = 17.500;

2* = 20.000.

7) Un monopolista discriminador de precios en dos mercados (siendo imposible para los

compradores adquirir el producto en un mercado y revenderlo en otro) cuyas funciones de demanda

son respectivamente:

p1 = 122 -12 q1 p2 = 52 -8 q2

Si la función coste total de producción es C = 200 + 20 (q1 + q2 ) se pide:

a) Determinar las cantidades correspondientes, los precios y el beneficio máximo.

R: q1* = 4,25; q2* = 2; p1* = 71; p2* = 36; * = 48,75.

b) Verifique las condiciones de segundo grado (suficientes).

8) Un monopolista perfectamente discriminador cuyas funciones de demanda y coste son

respectivamente:

P = 250 – 8 q C = 120 + 40 q +q2

Se pide:

a) Determinar las cantidades correspondientes, el precio marginal y el beneficio máximo.

R: q marginal = 21; p marginal = 82; * = 2.085

b) Corroborar las condiciones de segundo orden.

9) En el mercado de fabricantes de electrodomésticos prevalece una situación de competencia

monopolística. Hay 51 empresas cuyas funciones de demanda y de costos son idénticas:

51

1

200 0,02k k i

ii k

p q q=≠

= − − ∑ C k = 0,09 qk 3-5 qk 2 +152 qk

A partir de lo anterior, se le pide:

a) Calcular la cantidad producida por la empresa representativa, la cantidad total producida en el

mercado y el precio vigente en el mismo; y el beneficio de la empresa representativa en el corto plazo.R: qk* = 31,56; qt* = 1.609,51; p* = 136,88; * = 1.673,88.

b) Determinar el número de empresas, la cantidad producida por la empresa representativa, la

cantidad total producida en el mercado y el precio vigente en el mismo en el largo plazo.

R: N* = 209; qk* = 22,22; qt* = 4.644,44; p* = 85,33.


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10) Considere el caso de un monopsonista que utiliza un solo input X (trabajo) para la elaboración

de un producto Q que vende en un mercado de competencia perfecta a un precio fijo p = 5. Siendo

sus funciones de producción y de oferta de trabajo:

Q = 17,5x 2 – 0.25 x

3 r = 75 + 5x

a) Calcule los valores de x, q y r para los que maximiza su beneficio.

R: x* = 43,54; Q* = 12.540,26; r* = $292,7; * = 49.957,16.

b) Verifique condiciones de segundo grado (suficientes).

11) Considere un duopolio cuya función de demanda y costos son:

P = 1200 – 6 (q1 + q2 ) C 1 = 6 q12 C 2 = 60 q2

a) Se pide, aplicando la Solución de Cournot, los valores de equilibrio, el precio, la cantidad y el

beneficio de cada empresa. Determine las funciones de reacción de ambos duopolistas.

R: q1* = 30; q2 * = 80; p* = 540; 1* = 10.800; 2* = 38.400.

b) Se pide que aplicando la Solución de Stackelberg en donde el duopolista Nº 1 actúa como

líder y el duopolista Nº 2 actúa como seguidor determine, los valores de equi

Guía Práctica Nº 2 Microeconomia

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