GUIA No. 2DE ESTUDIOEJERCICIOS RESUELTOS ALGEBRA LINEAL MATRICES Y OPERACIONES UNA MATRIZ es un arreglo rectangular de nmeros formado por filas y columnas de orden mn,(m filas, n columnas), las matrices se denotan por letras maysculas, si en una matrizde tamao n x n, es decir cuandoel nmero de filas y el nmero de columnas son iguales se llama MATRZ CUADRADA,de orden (n); en una matrizcuadradaA , los elementosaii , sedenominan elementos diagonalesuna matrizm x n con todos los elementos iguales a cero se denomina matriz nula ( o matriz cero) y se denota por cero (0) el tamaode la matriz cero ser evidente en el contexto en el cual se use. Para denotar matrices se puede utilizar parntesis redondo o parntesis cuadrado, generalmente se usa elparntesis redondo. Los vectores son matricesdeun rengln o de una columna,cada vector es un tipo especialde matriz, ejemplo el vector rengln de n -componentes(a1, a2, a3,. Cn), es una matrizde 1 x n , mientras que el vector columna de ncomponentes Es una matriz de n x 1 Igualdad de matrices Dos matricesA = (aij) m x nyB= (bij) m x n son iguales si:1). Son del mismo tamao. 2). Si las componentes correspondientes soniguales. Ejemplo: Por ladefinicin anterior se tiene: 4 =1 + 3 1 = 1 5 = 2 + 32 = 1+1 -3 = 1 4 0 = 6 6 OPERACIONES CON MATRICES 4 1 5 1 3 1 2 32 3 0 1 1 1 4 6 6+ + | | | |= || + \ . \ .12naaa| | | | | |\ .Suma de matrices SeanA = (aij) m x nyB= (bij) m x ndos matrices m x n. entonces la suma deA yB es la matriz m x n,A + B que se obtiene al sumar las componentes correspondientes de A yB. Nota: La suma dedosmatrices sedefine nicamente cuando lasmarices son del mismo tamaom x n. Ejemplo Sumar las matrices: Las matrices que se estn sumando al igual que la matriz que se obtuvo como resultado, son de orden 3 x 4, (3 filas, 4 columnas).Si las matrices son de tamao diferente la suma no esta definida. Diferencia de Matrices Dadas dos matrices A=y B Se definela diferenciade las matrices A B, por A + (-1) B Ejemplo: Multiplicacindeuna matriz por un escalar A=(aij)esunamatrizdemxnysiesunescalar(nmero),entoncesse puede multiplicarcada componente (elemento)de A, por el escalar 2).seaA= 2 4 6 7 0 1 6 2 2 0 4 1 6 6 7 2 2 5 0 51 3 2 1 2 3 4 3 1 2 3 3 2 4 1 3 3 6 6 44 3 5 5 2 1 4 4 4 2 3 1 5 4 5 4 6 4 1 9 + + + | | | | | | | | ||||+ = + + + + = |||| |||| + + + \ . \ . \ . \ .2 4 2 3 4 2 4 4 4 ( 2) 4 3 8 16 8 124 1 2 6 2 4 1 4 2 4 6 4 2 4 8 24 83 7 1 7 4 ( 3) 4 7 4 1 4 7 12 28 28 28 | | | | | | |||= = ||| ||| \ . \ . \ .1 3 4 2 2 1 2 ( 3) 2 4 2 2 2 6 8 43 1 4 6 2 2 3 2 1 2 4 2 6 6 2 8 122 3 5 7 2 ( 2) 2 3 2 5 2 7 4 6 10 14A entonces A | | | | | | |||= = = ||| ||| \ . \ . \ .( )( )ijmnijmnA aB b==23 23 2332 32 324 2 1 2 3 1 2 5 21 3 5 1 5 4 0 2 14 5 1 4 11 22 1 3 3 2 2 8 122 1 1 3 7 7Ejemplo | | | | | | = ||| \ . \ . \ . | | | | | | ||| = ||| ||| \ . \ . \ . Suma de mltiplos escalares de dos vectores Los vectores se designan por letras minsculas Y Calcular 2a 3b Vector rengln de n componentes Un Vectorde n componentes, se define como un conjunto ordenadode varios nmeros escritos de la siguiente manera: Vector columna de n componentes U n Vector columna de n componenteses un conjunto ordenadode varios nmeros escritos de la siguiente manera:

Componentes de un vector X1, se denomina la primera componente del vector,X2 , se denomina la segunda componente del vector,Xn, se denomina la n-simacomponente del vector. Es muy importante tener el concepto de ordenado . Dos vectores con las mismas componentes escritas en diferente orden no son iguales. los vectores se pueden representar con letras minsculas negritas. 4613a||||=||\.2430b | | | |= | |\ .4 2 8 6 146 4 12 12 02 3 2 ( 3)1 3 2 9 113 0 6 0 6a b || | | | | | | | ||||||||||| = + = + =||||||||||\. \ . \ . \ . \ .( )1, 2, 3, nx x x x12nxxx| | | | | |\ .Cada vector es un tipo especial de matriz, ypuede ser un vector rengln o filao un vector columna, el Vector rengln de n componentes Es una matriz de 1 x n, mientras que el vector columna de n- componentes den x 1.Es una matriz Producto escalar El productode una matriz 1 x n , ( llamada vector fila ) por una matrizn x 1(llamada vector columna ) se define como:

Teniendo en cuenta que el producto es un nmero (escalar)parapoder realizar el producto el vector fila y el vector columna deben tener el mismo nmero de elementos. Ejemplo

Si tenemos dos vectores columnaa y b, entonces entre ellos tambin se puede realizar el producto escalar as:

El producto escalar se llama con frecuencia producto punto o producto interno de los vectores Ejemplo: ( )1 2, ,na a a12naaa| | | | | |\ .( )522 1 3 4 (2)( 5) ( 1)(2) (3)(4) (4)(6) 10 2 12 24 2446 | | | | = + + + = + + = | |\ .1 12 21 1 2 2.....n nn na ba ba b ab a b a b a ba b| | | | || ||= = = + + + || ||\ . \ .3 22 54 1a b| | | | ||= = || ||\ . \ .( )121 2 1 1 2 211....nn n n j ininbba a a a b a b a b a bb=| | | | = + + + = | |\ . Entonces la solucin esta dada por: a -b = ( 3)(2) + (-2)(5) + (4)(-1) = 6 104 = 8 Productode matrices Dadas dos matricesA Y B, el producto es una matrizC. Se puede hallar la multiplicacinentre ellas nicamentesi el nmero de columnas de la primera es igual al nmero de filas de la segunda, entonces se dice que las matrices A yB son compatibles bajo la multiplicacin. Si esto no es posibleel producto punto no est definido, es decir las matrices A y B son incompatibles. Ejemplos 1.) Sean las matrices Ay B, tales que : =

2.) Sean las matrices A y B, tales que: ( )( )( )2 22 22 2 2 211 1 112 1 221 2 122 22 13 43 35 22 1 3 33 4 5 232, 1 (2)(3) (1)(5) 6 5 11532, 1 (2)(3) (1)( 2) 6 2 4233, 4 ( 3)(3) (4)(5) 9 20 115ABAB CC ABC ABC A BC A | |=|\ .| |=|\ .| | | | = || \ . \ .| |= = = + = + = |\ .| |= = = + = = |\ .| |= = = + = + = |\ .= ( )22 2 2 2 2 233, 4 ( 3)(3) (4)( 2) 9 8 1722 1 3 3 11 43 4 5 2 11 17BEntonces | |= = + = = |\ .| | | | | |= ||| \ . \ . \ . Ejemplo 3: ( )( )2334233411 1 112 1 25 2 31 4 73 6 1 42 3 2 51 4 3 23 6 1 45 2 32 3 2 51 4 71 4 3 235, 2, 3 2 (5)(3) ( 2)(2) (3)( 1) 15 4 3 8165, 2, 3 3 (5)( 64ABC ABC ABC AB | |=|\ . | | |= | | \ . | | | | |= | |\ . | \ .| | |= = = + + = = | |\ . | | |= = = | |\ .( )( )( )13 1 314 1 421 2 1) ( 2)( 3) (3)(4) 30 6 12 1215, 2, 3 2 (5)(1) ( 2)(2) (3)(3) 5 4 9 10345, 2, 3 5 (5)(4) ( 2)(5) (3)( 2) 20 10 6 4231, 4, 7 2 ( 1)(3) (4)(2) (7)(1C ABC ABC A B+ + = + + = |||= = = + + = + =||\.| | |= = = + + = = | |\ .| | |= = = + + | |\ .( )( )( )22 2 223 2 324 2 41) 3 8 7 261, 4, 7 3 ( 1)( 6) (4)( 3) (7)(4) 6 12 28 22411, 4, 7 2 ( 1)(1) (4)(2) (7)(3) 1 8 21 28341, 4, 7 5 ( 1)(4) (4)(5) (7)( 2) 4 20 142C A BC A BC A B = + = | | |= = = + + = + = | |\ .|||= = = + + = + + =||\.| | |= = = + + = + | |\ .23 2 4342:3 6 1 45 2 3 8 12 10 42 3 2 51 4 7 2 22 28 21 4 3 2Entonces = | | | | | | | = || | \ . \ . | \ . El producto no esta definido porque el nmero de columnas de la primera matriz no es igual al nmero de filas de la segunda matriz. 342323342 2 3 51 4 7 16 3 2 63 2 11 4 52 2 3 53 2 11 4 7 11 4 56 3 2 6ABAB | | |= | | \ . | |=|\ . | | | | | = | |\ . | \ .