GUIA N° 7 - VERANO 2011

Ciclo

Preuniversitario

GUIA NO 7

VERANO

2011

ÁLGEBRA

- ANÁLISIS

COMBINATORIO

- LOGARITMOS

ARITMÉTICA

- MCD-MCM

GEOMETRÍA

- GEOMETRÍA DEL

ESPACIO

TRIGONOMETRÍA

- ECUACIONES

TRIGONOMÉTRICAS

- RESOLUCIÓN DE

TRIÁNGULOS

RAZ .

MATEMÁTICO

- PSICOTECNICO - RAZONAMIENTO

INDUCTIVO-DEDUCTIVO

HABILIDAD

VERBAL

CÍRCULO DE ESTUDIO HD 2

Jr. Alberto Montellanos 391 – Urb. Apolo – La Victoria – Teléfono : 4735039

ANALISI COMBINATORIO Principio de Adición Si un evento designado como A se puede realizar de “a” maneras distintas y otro cuento B se puede realizar de “b” maneras distintas (A y B no simultáneamente) en total pueden realizarse de “a + b” maneras diferentes. Principio de Multiplicación Si un evento designado por A ocurre de “a” maneras distintas y para cada una de ellas otro evento designado como B ocurre de “b” maneras diferentes, entonces el evento A seguido el otro evento B o ambos A y B ocurren simultáneamente de “a b” maneras distintas. VARIACIONES Definición: * Se toman algunos elementos. * Si importa el orden. A. Variaciones Sin Repetición El número de variaciones de “n” objetos tomados de “k” en “k” es:

k)!-(n

n! Vn

k

Ejemplo: 602!

5!

3)!-(5

5! 5

3 V

Forma Práctica:

factores

2)...-1)(n-n(n

k

nkV

Ejemplo:

210

factores 3

7.6.5 7

3 V

B. Variaciones Con Repetición El número de variaciones con repetición de “n” objetos tomados de “k” en “k” es:

knk

n V

PERMUTACIONES Definición: * Se toman todos los elementos * Si importa el orden A. Permutaciones Sin Repetición

!nPn Donde: n elementos que intervienen B. Permutaciones Con Repetición

... !!!

n! ...,, nP

Donde: n total de elementos, de los cuales algunos de ellos se repiten , ... veces. C. Permutaciones Circulares

)!1(1)( nnPncP

Donde: n elementos que intervienen. D. Permutaciones con Lugares Fijos

)!( mnmnP

Donde: n es el número total y “m” es el número de elementos fijos. COMBINACIONES Definición * Se toman algunos o todos los elementos * No importa el orden. A. Combinaciones Sin Repetición

k)!-(nk!

n! nkC

Ejemplo:

210!6.2.3.4

!6.7.8.9.10

!6 !4

!10

4)!-(104!

10! C10

4

Forma Práctica

!

factores k""

2)...-(n 1)-n(n

knkC

Ejemplo:

2104!

10.9.8.7 C10

4

B. Combinaciones Con Repetición

1-knkC nkCR

APLICACIÓN

1. Para que valor de “n” se verifica la siguiente igualdad:

51n

3n5

CnC

a) 4 b) 6 c) 8 d) 3 e) 5

2. Si “n” verifica: 41

3

242 n

nC

nCnC

a) 3 b) 4 c) 2 d) 5 e) 6

3. El equivalente reducido de:

!7

!8!9

!8

!9!10

!9

!10!11

L

a) 55 b) 100 c) 110 d) 280 e) 385

4.

!1!2....!28!29!30

)!30!29!28(...)!4!3!2)(!3!2!1( A

a) 15 b) 7,5 c) 225 d) 30 e) 10

5. Calcular el valor de n+ k que satisfaga la

condición:

910

10645

4kCk

nCnCn

a) 11 b) 12 c) 13 d) 14 e) 15

6. Encontrar un posible valor de “m+n” en:

2712114106948 nCmCmCmCmCmC

a) 36 b) 37 c) 38 d) 29 e) 40

7. Sabiendo que:

P

3027....10

785

63

41

Calcular el equivalente de :

3128....11

896

79

52S

a P

3128

b) P

3228

c) 13128

P

d) 13228

P e) P

3229

8. Reducir:

1285

131374

3

1374

7136

115212

5

CC

CCCE

a) 3,5 b) 2,5 c) 3 d) 2 e) 1,5

9. Hallar n si:

20!6

!!1

nnn

a) 7 b) 8 c) 10 d) 5 e) 4

10. Calcular “n” si:

x! (x + 1) (x + 2) (x + 3) = 720 a) 3 b) 5 c) 7 d) 8 e) N.A.

11. Calcular “n” en la igualdad.

1331233

13

4 nCnCnC

a) 1 b) 12 c) 13 d) 4 e) N.A.

12. Calcular el valor de x que satisface la

igualdad.

45022xCxV

a) 5 b) 7 c) 8 d) 6 e) N.A.

13. Calcular “n” en.

np

CnpC 2

102

2

a) 5 b) 2 c) 4 d) 7 e) N.A.

14. Calcular “m” en:

33

38

mnCmC

a) 13 b) 11 c) 10 d) 8 e) N.A.

15. Simplificar:

2113

218

208

147

186

185

CC

CCCCE

a) 1/2 b) 2 c) 4 d) 8 e) N.A.

16. Hallar 43nV si 110

2nV

a) 210 b) 110 c) 10 d) 0 e) N.A.

17. Hallar “x”.

xCxC2

2023

3

a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 5

18. Calcular “x” en:


Jr. Alberto Montellanos 391 – Urb. Apolo – La Victoria – Teléfono: 473 - 5039

4502

.2

xCxV

a) 5 b) 4 c) 3 d) 2 e) 6

19. Calcular “n” y “p” en la igualdad

np

CnpC 2

102

2

a) 2 y b) 4 y 6 c) 2 y 3 d) 4 y 5 e) 4 y 10

20. Hallar “n” en: 57

24

132

n

nn

C

CC

a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 5

21. Hallar “x”.

xCxC2

2023

3

a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 5

22. Calcular “x” en:

4502

.2

xCxV

a) 5 b) 4 c) 3 d) 2 e) 6

23. Calcular “n” y “p” en la igualdad

np

CnpC 2

102

2

a) 2 y b) 4 y 6 c) 2 y 3 d) 4 y 5 e) 4 y 10

24. Hallar “n” en: 57

24

132

n

nn

C

CC

a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 5

25. ¿De cuántas formas se puede seleccionar una consonante y una vocal de la palabra “estudio”? a) 8 b) 10 c) 12

d) 14 e) 16 26. En una biblioteca hay 10 libros de R.M y

6 de R.V. ¿De cuántas maneras pueden colocarse 5 libros en un estante de los cuales 3 sean de RM y 2 de RV.

a) 1 200 b) 1 500 c) 1 600 d) 1 800 e) 600

27. ¿De cuántas maneras se puede repartir

12 objetos entre 4 personas?. a) 720 b) 1 440 c) 1 200

d) 11 880 e) 600 28. Se va a colorear un mapa de 4 países, de

colores diferentes para cada país, si hay disponibles 6 colores diferentes. ¿De cuantas maneras diferentes se puede colorear el mapa?.

a) 36 b) 72 c) 240

d) 360 e) 420

29. Un estudiante de la academia tiene que

contestar 8 d 10 preguntas en un examen. Si las tres primeras son obligatorias. ¿de cuántas maneras puede escoger las preguntas?.

a) 45 b) 24 c) 36

d) 18 e) 21

30. ¿De cuantas maneras puede

seleccionarse un comité de 4 o más personas, si hay 10 personas disponibles?.

a) 24 b) 420 c) 572

d) 210 e) 848

31. Con 7 hombres y 5 mujeres se van a

formar comités mixtos de 6 personas. ¿De cuántas maneras pueden formarse si en el comité hay dos mujeres?.

a) 175 b) 210 c) 420

d) 350 e) N.A

32. Un turista desea viajar de Lima a Cuzco y

tiene a su disposición 4 líneas aéreas y 6 líneas terrestres. ¿De cuántas maneras diferente podrá viajar?.

a) 24 b) 10 c) 8

d) 16 e) 6

33. Para las elecciones del 2000 hay 5

candidatos para presidente y 4 para alcalde. ¿De cuántas maneras de pueden elegir personas para estos dos cargos?.

a) 24 b) 9 c) 18

d) 20 e) 16

34. Si yo tengo para vestir 5 pantalones; 4

camisas y 3 pares de zapatos, ¿de cuántas maneras me podré vestir?.

a) 56 b) 60 c) 48

d) 52 e) 64

35. El disco compacto de Shakira “¿Dónde

están los ladrones?” se puede comprar en tres supermercados diferentes. En el primero es posible en 6 stands; en el segundo en 5 stands; en el tercer supermercado en 5 stands. ¿De cuántas maneras podrá adquirir dicho producto?

a) 120 b) 48 c) 15

d) 16 e) 60

36. Si en una olimpiada 6 atletas: Guillermo;

William; Isidoro; Edward; Santiago y Fortunato compiten en una carrera de 1000m con vallas, ¿de cuántas maneras Fortunato ganará la carrera?.

a) 24 b) 720 c) 96

d) 120 e) 48

37. ¿De cuántas maneras pueden colocarse

en un estante 5 libros?.

a) 24 b) 120 c) 96

d) 48 e) 60

38. ¿De cuántas formas pueden ordenarse 5

personas en una hielera si una de ellas debe estar siempre en uno de los extremos?

a) 24 b) 48 c) 72

d) 36 e) 120

39. ¿De cuántas maneras diferentes se

pueden acomodar 4 personas en una fila de asientos dejando los 2 asientos libres siempre juntos?

a) 210 b) 320 c) 180

d) 240 e) 280

40. ¿De cuántas maneras podrá vestirse una

persona que tiene 6 camisas (3 iguales); 5 pantalones (2 iguales) y 4 pares de zapatos (2 iguales).

a) 48 b) 56 c) 42

d) 52 e) 50

41. ¿Cuántas parejas de baile se pueden

formar con 6 varones y 8 mujeres?.

a) 36 b) 24 c) 48

d) 6 e) 56

42. ¿Cuántos números de 4 cifras significativas y diferentes entre sí existen en el sistema decimal?

a) 428 b) 2 016 c) 336

d) 1 260 e) 3 024

43. ¿Cuántos números de 8 cifras tienen

como producto de cifras 105?

a) 280 b) 288 c) 336

d) 672 e) 576

44. En un campamento 5 amigos conversan

alrededor de una fogata. ¿De cuántas maneras se pueden ordenar alrededor de dicha fogata?

a) 24 b) 48 c) 60

d) 72 e) 120

45. ¿De cuántas formas diferentes se pueden

ubicar en un automóvil 5 personas; sabiendo que sólo 3 de ellas saben conducir?

a) 72 b) 36 c) 56

d) 64 e) 48

46. ¿Cuántos triángulos diferentes se pueden

formar uniendo los 6 vértices de un hexágono?.

a) 10 b) 12 c) 18

d) 20 e) 24

47. Si el número de combinaciones de “x”

objetos tomados de 6 en 6 es 30 veces mayor que el de combinaciones de esos objetos tomados de 4 en 4. Hallar “x”.

a) 10 b) 12 c) 8

d) 14 e) N.A

48. De todos los números non capicúas de 7

cifras que empiezan y terminan en 7. ¿Cuántos tienen 4 cifras de segundo orden o 2 en la cifra de cuarto orden?.

a) 1 000 b) 9 000 c) 18 000

d) 1 711 e) 1 611

49. De cuantas maneras diferentes puede un

Padre repartir 12 regalos entre sus 3 hijos , si el mayor debe recibir 6 regalos y los menores 3 regalos cada uno.

a) 55 440 b) 48 260 c) 72 320 d) 68 320 e) 42 620

50. Seis hombres y seis mujeres compiten

realizando cierta tarea, si los seis primeros puestos son ocupados por 4 hombres y dos mujeres, determine el número de casos.

a) 4320x6¡ b) 11 200x6¡ c) 3 240x6¡ d) 3600x6¡ e) 225x6¡

51. Halle el numero de maneras diferentes

en que se pueden formar números enteros positivos con los dígitos 3 , 4 , 5 , 6 , 7 de manera que los dígitos no se repitan. a) 320 b) 325 c) 300 d) 120 e) 720

52. De 9 números positivos y 6 números

negativos, se escogen 4 números al azar y se les multiplica. Calcule el número de formas en que se puede escoger, de tal manera que el producto sea positivo. a) 362 b) 315 c) 650 d) 681 e) 670



LOGARITMOS

Entonces: Log

bN = N = b

Ejemplos: Log

525 = 2; por que: 25 = 52

Log1/3

9 = -2; por que: 9 = (1/3)-2

Log31 = 0 ; por que: 1 = 3º

IDENTIDAD FUNDAMENTAL De la definición tenemos: = Log

bN…(1)

Tenemos que: b = N ……(2) Reemplazando: (1) en (2)

NLogbNb Identidad Fundamental

x > 0 a R+ - {1} PROPIEDADES

1. 01Logb

Log31 = 0

2. 1bLogb

Log33 = 1 ; log

55 = 1

3. Logxab = Log

xa + Log

xb

Log10

6 = Log10

2 + Log10

3

4. Logx(a/b) = Log

xa - Log

xb

Log10 2

3 = Log

103 - Log

102

5. NLogm

nnNa

Logam

6. bLogaLog ab

1

23

13

2

LogLog

7. bLog

aLogaLog

x

xb

38

3

85

5 LogLog

Log

RReeggllaa ddee CCaaddeennaa 8. Log

ba . Log

cb . Log

dc = Log

da

Log35 . Log

23 . Log

252 = Log

255 = 52

5Log

CCOOLLOOGGAARRIITTMMOO Se define cologaritmo de un número al logaritmo del inverso multiplicativo de dicho número es decir: Colog

bN = Log

b(1/N) = -Log

bN

Ejemplo

33

1133

13log

3332727LogLogLogCo

= 3

1

AANNTTIILLOOGGAARRIITTMMOO

NbNaritmoAntib

log

Ejemplo Antilog

38 = 38

Además: Ejemplo 1

5153

53 35

3

LogLog

APLICACIÓN 01. Resolver la ecuación logarítmica:

0)x(loglog77x

a) 7 b) 7 c) 1/7

d) 1 e)7

7

02. Resolver la ecuación:

2

1

3log)6log()17log(

)3(log2log2

xx

x

a) 9 b) 1/9 c) 2

d) 6 e) 1

03. Resolver:

0log1log1log1 xpcbaLog

a) a b) bc c) p

d) 1 e) 0

04. Calcular:

3

168

5Log

a) 20 b) 9 c) 15/4

d) 20/9 e) 9/20


01.0loglog

logloglog x

xanti.Cox

a) 2 b) 1/2 c) -1

d) 1/10 e) N.a.


25logln5log33loglnlog

5 353 xx

a) 1/e b) e c) 10

d) 1/10 e) N.a.


2)43(3log x

a) x < , 3/2> b) x <- , - 3/2>

c) x IR d) IR - {1}

e) N.a.

08. Resolver la inecuación:

2)52(3/1log x

a) < , 2> b)<- , 0> c) IR - {2}

d) <-2 , > e) N.a.


e

x

ex

exx

1ln

log

ln

lnlog

. Hallar “x”.

a) e9e/11 b) e3e/7 c) e5e/7

d) e11e/9 e) N.a

10. Calcular el valor de “x” en:

871229ln 24

xx

e

a) 4 b) 2 c) 3

d) 5 e) 6

11. Calcular el valor de:

5log20log25log E ,

si log 2 = 0.30103

a) 0,69897 b) 0,3615 c) 0,7257

d) 0,2117 e) 0,8436

12. Calcular el valor de.

8

25.781logE , si log 2 = 0.30103

a) 0.3615 b) 0.8737 c) 0.3737

d) 0.69897 e) 1.7257

13. Calcular el número de cifras que tendrá

el desarrollo de:

205293282 xxE

Si: log 2 = 0.30103 , log 3 = 0,47712

a) 25 b) 28 c) 32

d) 37 e) 36

14. Si se cumple que:

1logloglog.log caabaa

Calcular “x” en: xc

xbaa xlog

loglog

a) 2a b) 1/a c) bc

d) ab/c e) 1

15. Calcular:

437

4573

LogLog

Log

a) 2 b) 3 c) 4

d) 5 e) 7

16. Calcular:

8135,09)25,0( 16 LogLogLog

a) 1 b) 2 c) 3

d) 4 e) N.a

17. Calcular:

243

32

9

52

16

75LogLogLogP

a) Log 3 b) Log 2 c) Log 5

d) Log 6 e) N.a

18. Calcular el valor de:

E = 25

145522

7

77

Log

LogLog

a) 2 b) 3 c) 4

d) 5 e) 7

19. Siendo: Logb a = 2, calcular:

3 46 abLogLogR

a) – 1 b) 1 c) 2

d) 2 e) – 2

20. Encontrar el mayor de 2 números, uno es

el doble del otro, cuya diferencia es igual

a la diferencia de sus logaritmos

a) Log 2 b) Log 4 c) Log 6

d) Log 8 e) Log 5

21. Si: Log(xy) x = 4, calcule:

S = Logxy

y

xy3

a) 11/6 b) 2/3 c) ¼

d) 3/7 e) N.a

22. Calcular el siguiente producto indicado si

tiene 12 factores

Log16 20 . Log20 24. Log24 28 ................

a) 3/2 b) 1 c) 0

d) 2/3 e) 4/5



23. Reducir la expresión:

S = Logxyx . Logxy Y [Logx y + Logy x + 2]

a) x b) y c) x/y

d) y/x e) 1

24. Si a b = (Log3a) (Log3b)

Hallar: 35 9

a) 27 b) 45 c) 15

d) 25 e) 9

25. Calcule “x” en:

7572 aa LogxxLog = 343

a) a b) a3 c) a5

d) a4 e) a2

26. Hallar “x” en:

Log x =2+0,5 (Log18 +Log8 –2Log25)

a) 36 b) 42 c) 48

d) 54 e) 60

27. Resolver:

Log (2 – x) + Log (3 – x) = Log 20

a) 7 b) – 7 c) – 2

d) 2 e) 14

28. Si: Log x – 3 Log 2 = 1

hallar “x”:

a) 2 b) 8 c) 80

d) 40 e) 1

29. Halle de:

20)(102

xxLog

a) 4 b) 3 c) 6

d) 7 e) 4 y – 5

30. En la siguiente ecuación:

522832

1)9( LogxLogxLog

un valor “x” es:

a) 15 b) 10 c) 12

d) 9 e) 11

31. Si: 10x = 18 ; 10y = 12 entonces el valor

de Log 6 es:

a) 3

2 xy b)

3

yx c)

3

xy

d) 3

2 yx e)

3

yx

32. Resolver:

antilog4 x = antilog2 {colog6 (3Log33)}

a) – 1 b) 0 c) 2

d) 16 e) Log6 1

3

33. Hallar “x” en:

xxCo

xantiCo

LogLog

logloglog

310

a) 3 b) 1/3 c) 1

d) ¼ e) 4

34. Encontrar el valor de E, donde:

E = Antilog10

c

a

cb

c

ba

b

a log

)(loglog

log

)(loglog

log

)(loglog

a) abc b) abc c) 0

d) 1 e) a + b + c

35. Dados las condiciones:

nyeznxey 1

1

,1

1

Encontrar: x en términos de z. (e =

2.71828384...)

a) zlog.1

1

10 b) log z c) loge z

d) ze log1

1

e) nze 1

1

36. Sabiendo que: a2 + b2 = 14ab a>0

b>0; reducir la expresión:

ba

ba 11log

2

1

4log

a) 14 b) 7 c) 1

d) 0 e) –2

37. Sabiendo que b > 0 ; b = 1 ; x > 0, además:

antilogb cologb logb x = b

1.

Calcular el valor de: logb (- cologb antilogx

b).

a) 3 b) 2 c) – 5

d) 2

1 e) 0

38. De las condiciones: {a; b; c} = N – {1}

logabc a = 7 ; logabc b= 4.

Señale el equivalente de:

c

baabc

3log

a) 2 b) 4 c) 6

d) 8 e) 10

39. Luego de resolver:

52

log1

1210

xx

x

Indicar el reciproco de la solución

aumentada el 1/5

a) 5/4 b) 4/5 c) 1/5

d) 5 e) 1

40. Resolver:

1

332log

42log1

xx

x

a) 5 b) + 1 c) 3

d) 4 e)7

41. Calcular el producto de las soluciones de:

)2(log2 xx x

a) – 1/3 b)3 c) 5

d) 2 e) 5

42. Siendo x > 0 y conociendo:

log log log x = log

3log49log53249log.4 32

log

Halle: 5 loglog

5

1log x

a) 0 b) 1 c) 2

d) 3 e) 4

43. Del sistema adjunto:

4

log)1;0(3

yx

xy

Señale la suma de los cuadrados de todos

sus soluciones:

a) 12 b) 15 c) 17

d) 20 e) 24

44. Luego de resolver el sistema:

nny

xnxyn

ynxn

26loglog

loglog

Señale: y

x

a) 7 b) 9 c) 10

d) 13 e) 15

45. Si: x > 0 ; y > 0 ; x y ; xy 1

Donde: 4

log21

)(log21

y

y

x

yxy

Halle un valor de:

)(loglog xy

y

xy

xxy

a) 3/2 b) ½ c) 5/2

d) 7/2 e) 1/7



MCM – MCD

MÁXIMO COMÚN DIVISOR (MCD) Se llama MCD de un conjunto de dos o más números enteros positivos, al número que cumple dos condiciones: Es divisor común de los números dados. Es el mayor posible. Ejemplo: Sean los números 32 y 40 32 1 ; 2 ; 4 ; 8 ; 16 ; 32 40 1 ; 2 ; 4 ; 5 ; 8 ; 10 ; 20 ; 40 Los divisores comunes son: 1; 2; 4; 8, de los cuales el mayor es 8, entonces MCD (32 ; 40) = 8 MÍNIMO COMÚN MÚLTIPLO (MCM) Se llama MCM de un conjunto de dos o más números enteros positivos, al número positivo que cumple dos condiciones: Es un múltiplo común de todos los

números. Es el menor posible. Ejemplo: Sean los números 12 y 8 12 12; 24 ; 36 ; 48 ; 60 ; 72 ; 84 ; 96 ; ... 8 8 ; 16 ; 24 ; 32 ; 40 ; 48 ; 56 ; 64 ; 72 ; ... Los múltiplos comunes son: 24 ; 48 ; 72 ; ...., de los cuales el menor es 24, entonces MCM (12 ; 8) = 24 DETERMINACIÓN DEL MCD Y MCM 1. POR DESCOMPOSICIÓN SIMULTÁNEA: Ejemplos: Hallar el MCD (360 ; 480) 360 – 480 2 180 – 240 2 90 – 120 2 45 – 60 3 15 – 20 5 3 – 4 Hallar el MCM (120 ; 200) 120– 200 2 60– 100 2 30– 50 2 15– 25 5 3– 5 3 1– 5 5 1– 1 2. POR DESCOMPOSICIÓN CANÓNICA: Ejemplo: Dados los números: 120 = 23 . 3 . 5 200 = 23 . 52

MCD (120 ; 200) = 23 . 5 ...... Factores comunes elevados al menor exponente MCM (120 ; 200) = 23 . 3 . 52... Todos los factores elevados al mayor exponente OBSERVACIONES:

1. Si: N = a

N = b

2. Si: N = a r

N = b r

N = c r

PROPIEDADES Si a un conjunto de dos o más números enteros los dividimos entre su MCD, los cocientes que se obtienen son números PESI. Es decir, si el MCD (A; B; C) = K, entonces:

PESI son r y q ; p

.

.

.

rKCrK

C

qKBqK

B

pKApK

A

Los cocientes de dividir el MCM de un conjunto de dos o más enteros entre cada uno de ellos son siempre PESI. Es decir, si el MCM (A; B; C) = m, entonces:

PESI son 3p y ;2p ;1

3

2

1

p

pC

m

pB

m

pA

m

El producto de dos enteros positivos, siempre es igual al producto de su MCD por su MCM, es decir: OBSERVACIONES: Sean A y B dos números PESI, entonces: MCD (A; B) = 1 MCM (A; B) = A . B

Sean dos números A y B, tal que A = B (“A”

contiene a “B”), entonces: MCD (A; B) = B MCM (A; B) = A Si a un conjunto de dos o más números enteros se les multiplica por una misma cantidad, su MCD y su MCM también quedan multiplicada por dicha cantidad. Es decir: MCD (A; B) = K

MCD (Am ; Bn) = Kn MCM (A; B) = m

MCM (An ; Bn) = mn El MCM de dos números es el producto de los factores comunes y no comunes.

. . MCD

. MCD

. MCD A

MCM

B

APLICACIÓN 1. El MCM de dos números de los cuales

uno contiene el otro es el (......) de ellos. A) mayor C) producto E) N.A. B) menor D) cociente

2. El MCD de dos números es el producto

de ellos (......) por su MCM. A) multiplicado C) sumado E) N.A. B) dividido D) restado

3. El MCM de 2 números primos entre sí es

(......). A) El cociente de ellos B) El producto de ellos C) El mayor de ellos D) No se puede determinar E) El menor de ellos

4. Dos números son tales que su MCD es 17 y su suma es 102. ¿Cuál es el mayor de los números? A) 102 B) 85 C) 68 D) 51 E) N.A.

5. Hallar la diferencia de 2 números

enteros sabiendo que su MCD es 48 y su suma 288. A) 96 B) 192 C) 240 D) 288 E) 144

6. ¿Cuántas parejas de números son tales

que su MCD sea 9 y su suma sea 45? A) 4 B) 3 C) 2 D) 1 E) 5

7. ¿Cuántos pares de números suman 476 y

tienen como MCD a 28? A) 1 B) 6 C) 8 D) 13 E) 16

8. El producto de dos números es 5915 y el MCD de ellos es 13. Hallar el mayor si ambos son menores que 100. A) 65 B) 91 C) 142 D) 78 E) 133

9. Determinar dos números tales que su

MCD es 11 y la diferencia de sus cuadrados es 2904. Dar el número de soluciones: A) 0 B) 1 C) 2 D) 3 E) 4

10. La suma de dos números es 667 y el

cociente de su MCM y su MCD es 120. Dar el mayor de ellos. A) 232 B) 435 C) 572 D) 115 E) 552

11. Si a, b son dos naturales positivos y se

sabe que: MCD (a, b) = 5 y MCM (a, b) = 320. Hallar el producto de los números a y b. A) 800 B) 1600 C) 1200 D) 1500 E) F.D.

12. La suma de dos números es igual a 99.

Sabiendo además que su máximo común divisor es 9, ¿cuántos pares de números cumplen tales condiciones? A) 10 B) 8 C) 5 D) 3 E) N.A.

13. El producto de dos números es 3402 y su

MCD es 9. ¿Cuántos pares de números cumplen con dicha condición? A) 1 B) 2 C) 3 D) 4 E) 5

14. Los cuadrados de dos números difieren

en 3375 y su MCD es 15. Hallar la suma de los números. A) 144 B) 225 C) 175 D) 150 E) 425

15. ¿Cuántos números menores que 80

tienen con 360 un MCD igual a 4? A) 6 B) 2 C) 3 D) 5 E) 4

16. Hallar A B, si A + B = 150 y MCM (A, B)

= 180. A) 5400 B) 360 C) 9000 D) 6000 E) 7200

A . B = MCD (A; B) . MCM (A; B)

Factores comunes

MCD (360 ;

480) = 23 . 3 . 5

MCD (360 ;

480) = 120

Todos los factores

MCM (120 ;

200) = 23 . 3 .

52

MCM (120 ;

200) = 600

N =

);( baMCM

N = rcbaMCM

);;(



17. Siendo la suma de 2 números igual a 85 y su MCM igual a 102, determinar su diferencia. A) 20 B) 17 C) 15 D) 31 E) 28

18. La suma de 2 números es 39 y su MCM es

40 veces su MCD. ¿Cuál es su diferencia? A) 8 B) 9 C) 12 D) 6 E) 7

19. Dos números son entre sí como 40 es a

75; además su MCM es 1080. Halle la suma de dichos números. A) 230 B) 225 C) 216 D) 207 E) 184

20. Hallar la suma de dos números sabiendo que su MCD es 144 y que tienen respectivamente 33 y 35 divisores. A) 11664 C) 9216 E) 20880 B) 20800 D) 5280

21. Calcular el valor de “N” sabiendo que:

MCM [500 – N ; 770 – N] = 1053 A) 410 B) 472 C) 419 D) 412 E) 370

22. ¿Cuántas parejas de números existen

cuyo MCM sea igual a 180 veces su MCD? A) 16 B) 24 C) 32 D) 4 E) 8

23. Sabiendo que el MCM de N, N+1 y 3N es

546. Hallar el MCM de N+2 y 2N+1. A) 80 B) 105 C) 135 D) 225 E) 315

24. El producto de dos números es 11 340 y

su MCM es 630. ¿Cuáles son estos números? Dar su suma. A) 158 B) 218 C) 220 D) 198 E) 216

25. ¿Cuáles son los dos números primos

entre sí, cuyo MCM es 330 y su diferencia 7? A) 55 y 46 C) 18 y 25 E) 22 y 15 B) 22 y 29 D) 14 y 21

26. El producto de dos números es 8 veces

su mcm y la suma de dichos números es 6 veces su MCD. Hallar los números. A) 9 y 50 C) 3 y 180 E) N.A. B) 6 y 120 D) 8 y 40

27. Hallar 2 números enteros sabiendo que

su producto es 420 veces su MCD y que la suma de sus cuadrados es 21364. A) 140 y 44 C) 142 y 40 E) N.A. B) 138 y 42 D) 140 y 42

28. El MCD de dos números es 18 y el MCD

de otros dos es 24. Si comparamos los 4 números, ¿cuál será su MCD? A) 18 B) 12 C) 3 D) 6 E) 4

29. Hallar 2 números tales que su suma sea

10 veces su MCD y su producto 225 veces su MCD. Dar como respuesta la suma de estos números. A) 140 B) 210 C) 350 D) 410 E) 250

30. Si MCD (9x, 36x) = 99. Hallar “x”

A) 22 B) 9 C) 36 D) 11 E) 13

31. Si MCM (21a, 14a) = 210. Hallar “a”. A) 1 B) 2 C) 3 D) 4 E) 5

32. Hallar el valor de “N” en los números: A = 12 45N B = 12N 45, sabiendo que su MCM tiene 90 divisores. A) 2 B) 3 C) 4 D) 5 E) 6

33. Hallar el menor de dos números tales

que su MCM es 216, si la suma de sus cuadrados es 3492. A) 18 B) 24 C) 30 D) 48 E) N.A.

34. La diferencia de dos números es 60 y su

MCM es 120. Calcular la suma de las cifras del mayor de ellos. A) 2 B) 3 C) 4 D) 5 E) 6

35. Sabiendo que la suma de los cuadrados

de dos números es 13968 y que su MCD es 12, hallar la diferencia de dichos números. A) 50 B) 55 C) 48 D) 60 E) 72

36. Hallar el producto de dos números

enteros; sabiendo que su suma es 225 y que la suma de su MCM y su MCD es 315. A) 1215 C) 12150 E) 31500 B) 12500 D) 3150

37. La suma de los cuadrados de dos

números enteros es 676 si uno de ellos es igual a 12 veces su MCD. Determinar la diferencia de los números. A) 10 B) 11 C) 12 D) 13 E) 14

38. Hallar el MCD de (51207 – 1) y (51349 – 1)

A) 517 – 1 C) 517 + 1 E) 591 – 1 B) 519 – 1 D) 571 – 1

39. Calcular a . b, si MCM ( ba,ab ) = 336

A) 12 B) 24 C) 32 D) 40 E) 36

40. Se sabe que dos enteros tienen 9

divisores comunes y que además del MCM de estos enteros es 2475. ¿Cuál es la suma de estos enteros? A) 2040 B) 2700 C) 2800 D) 2400 E) 2070

41. Si el número de naranjas que tiene un

vendedor se cuenta de 15 en 15, de 18 en 18 y de 24 en 24 siempre sobra 11. Hallar el número de naranjas si es el menor posible. a) 320 b) 351 c) 371 d) 391 e) 357

42. Se tiene 3 rollos de tela que miden 2442

m, 2772 m, y 3300 m de longitud. Se quiere sacar rollos más pequeños todos de igual longitud. ¿Cuántos de estos rollos como mínimo se podrán obtener en total?. a) 129 b) 137 c) 141 d) 131 e) 128

43. Hallar “k” sabiendo que:

MCD (210 K; 300 K; 420 K) = 1200 a) 20 b) 30 c) 35 d) 40 e) 25

44. Si se sabe que el cuadrado del MCM de 2

números es igual al cubo de su MCD y que la suma de estos números es 180. Hallar su MCD. a) 24 b) 56 c) 36 d) 72 e) 32

45. El cociente de 2 números es igual a su MCD . Si su MCM es igual a 81. El menor de dichos números es: a) 9 b) 18 c) 15 d) 81 e) 36

46. La suma de los cuadrado de 2 números

es 676 y que uno de ellos es 12 veces su MCD. Hallar la diferencia de los números. a) 12 b) 14 c) 13 d) 15 e) 16

47. M y N tienen 10 y 9 divisores

respectivamente. Si ambos números tienen los mismos factores primos. ¿Cuál es el menor valor que puede tomar el MCD de M y N?. a) 10 b) 18 c) 24 d) 36 e) 12

48. El MCD de 2 números es 18. Uno de ellos

tiene 21 divisores y el otro tiene 10. ¿Cuál es el MCM?. a) 5134 b) 5194 c) 5184 d) 5224 e) 5124

49. El MCD de )4()2( cbba y )2(0 bac es 126.

Hallar: a + b + c a) 5 b) 8 c) 10 d) 9 e) 6

50. ¿Cuál es la máximo diferencia posible

entre 2 números naturales cuya suma es 47040, sabiendo que dichos números tiene 21 divisores comunes?. a) 40720 b) 40768 c) 40728 d) 40528 e) 40764

51. La suma del MCD y el MCM de 2

números es 612. si la razón de los números es 11/3. Hallar la suma de los números. a) 225 b) 243 c) 252 d) 248 e) 280

52. Dos números naturales son entre sí

como 5 es a 9. Si su MCM es 945. ¿Cuánto vale el menor de dichos números?. a) 130 b) 110 c) 125 d) 105 e) 135

53. Dados: A = 3n x 42 , B = 32 x 4n

Hallar “n” sabiendo que el MCM de A y B es 1728 y “n” es mayor que 2. a) 1 b) 2 c) 4 d) 3 e) 5

54. Hallar “n” si el MCD de A y B es 8000 y A

= 4n x 5n ; B = 12 n x 15 n . a) 2 b) 3 c) 2 d) 1 e) 5

55. Si al calcular el MCD de )1( aab y 83b

por el algoritmo de Euclides se obtuvo: 1; 2; 2 y 8 como cocientes en dicho orden. Calcular “a – b”. Sabiendo que la segunda división se realizó por exceso y a > 3. a) 3 b) 2 c) 4 d) 5 e) 8

56. El producto de 2 números es 160. EL

cociente de dividir la media aritmética por la media armónica del MCD y el MCM de dichos números es el número mixto

4013 . Calcular la suma de los números.

a) 40 b) 60 c) 36 d) 28 e) 32



N

C

DA

L

M

B

P

GEOMETRIA DEL ESPACIO

1. En la siguiente figura, la arista del cubo

mide 2m. ¿Cuál es la longitud menor para ir de M a D recorriendo la superficie del cubo? A) 2 2 1 m

B) 2 5 1 m

C) 2 3m

D) 2 5m

E) 2 6m

2. Hallar el volumen del sólido que se

forma cuando la figura gira 360º alrededor del eje “L”

a) 108 b) 110 c) 90 d) 120 e) 100 3. En el gráfico calcular la relación de

volúmenes del cilindro y del cono recto. a) 3/2 b) 3/4 c) 3 d) 1 e) 2/5 4. Hallar la superficie esférica, si el área de

su círculo máximo es 36. a) 100 u2 b) 144 c) 124 d) 120 e) 152 5. En el gráfico si el volumen de la esfera es

32/3 u2. Calcular el volumen del cilindro.

a) 16 u3 b) 18 c) 30 d) 24 e) 20 6. Calcular el volumen del cono menor: a) 720 u3 b) 868 c) 700 d) 668 e) 768 7. En la figura, en que relación se encuentra

el volumen del cono recto de revolución y el volumen de la esfera inscrita en dicho cono?

a) 3/1 b) 2/1 c) 8/5 d) 4/1 e) 8/3

8. La diagonal del cubo mostrado es 6 3 .

Calcular el volumen de la esfera inscrita en el cubo.

a) 27 b) 36 c) 54 d) 81 e) 288 9. Calcular el volumen del sólido generado

cuando la región sombreada gire alrededor del eje “L”.

a) 8 3

b) 16 3

c) 33

8

d) 33

16

e) 16 2

10. Hallar cuántos galones de pintura son

necesarios para pintar integramente la pieza tubular mostrada sabiendo que un

galón rinde 18m2. a) 4,9 galones aproximadamente b) 7,3 galones aproximadamente c) 15,4 galones aproximadamente d) 16,3 galones aproximadamente e) 17,9 galones aproximadamente 11. En un cesto se han colocado dos pelotas

de igual radio y el volumen de uno de ellos es de 32/3. Hallar el volumen del cesto.

a) 16 b) 22 c) 42 d) 30 e) N.A. 12. ¿Qué parte del volumen del cilindro es el

volumen del cono? a) 1/2 b) 1/3 c) 2/3 d) 1/4 e) 3/4 13. En el gráfico, el radio de la esfera es 2u.

Hallar el radio de la base del cono recto.

a) 2 3

b) 6 c) 4

d) 4 3

e) 3 3

14. En el cono recto, hallar:

i. área lateral ii. área total iii. volumen a) 120 ; 150 ; 100 b) 60 ; 96 ; 144 c) 60 ; 96 ; 96 d) 60 ; 148 ; 96 e) 30 ; 96 ; 148 15. En la pirámide regular, hallar: i. área lateral ii. área total iii. volumen a) 260 ; 360 ; 480 b) 260 ; 360 ; 400 c) 520 ; 360 ; 400 d) 260 ; 400 ; 500 e) 260 ; 300 ; 360 16. Hallar el área lateral, área total y

volumen del sólido que se forma cuando la figura gira 360º alrededor del eje “L”

a) 100 ; 190 ; 150 b) 65 ; 90 ; 100 c) 65 ; 90 ; 130 d) 130 ; 180 ; 260 e) 65 ; 180 ; 240 17. En la figura se muestra un cono

equilátero cuya altura mide 6cm. Hallar el área de la esfera inscrita.

a) 36 b) 16 c) 72 d) 120 e) 144 18. La pirámide ye l cono mostrados son

sólidos equivalentes. Si: r = , calcular

“a” a) /2 b) /3

c)

d) e) 2 19. Hallar el área total de la pirámide

cuadrangular regular a) 331 b) 531 c) 431 d) 631 e) 600 20. En el cubo mostrado: ''O'' es el centro de

la cara EFGH. Calcular el área de la región AOC.

a) 52u2 b) 102 c) 205 d) 202 e) N.A.

R



13

5

3

2

26

21. La figura muestra un cono de revolución.

Halle su área total.

S = 3 m2

a) 6m2 b) 12 c) 18 d) 20 e) N.A. 22. Calcular el volumen del cono de

revolución mostrado. a) 9 b) 81 c) 18 d) 27 e) 36 23. Calcular el volumen del cono circular

recto mostrado. (O : centro) a) 27 b) 9 c) 18 d) 9

e) 9 3

24. Calcular el área de la región sombreada

si el volumen del tetraedro regular es

144 2 .

a) 36 2

b) 72

c) 36

d) 72 3

e) 144

25. En el cubo mostrado “O” es el centro de

la cara EFGH. Calcular el área del triángulo AOC.

A) 802 B) 102 C) 205 D) 202 E) 252 26. En la figura se pide la arista del cubo

sabiendo que el área sombreada es 33m2.

A) 2 B) 3 C) 1 D) 2 E) 3 27. Calcular el volumen del prisma regular

mostrado. A) 320 B) 640 C) 540 D) 480 E) 360

28. Calcular la diagonal del paralelepípedo rectangular mostrado.

A) 5 B) 6 C) 7 D) 8 E) 9 29. Calcular el volumen de la pirámide

regular mostrada.

A)

B)

C)

D)

E)

30. Calcular el volumen de la pirámide

regular mostrada.

A) 24 B) 30 C) 36 D) 48 E) 32 31. En la figura, se muestra un cilindro de

revolución con generatriz PH = 3 m “O”

es el centro de la base. Si la distancia de

H a PO es 1 m, calcular el volumen del

cilindro.

a) 3 3 / 2 m3

b) 2 3 m3

c) 3 / 3 m3

d) 3 / 2 m3

e) 3 3 m3

32. La arista del cubo que se muestra mide

10 2 m. Calcular el área de la región

sombreada (ABCD). A) 182m2 B) 282m2 C) 100m2 D) 280m2 E) 180m2 33. En el exaedro regular que se muestra

calcular la mABC.

A) 30 B) 60 C) 45 D) 90 E) 37

34. Calcular AO sabiendo que la arista del

cubo mide 4 (“O” centro de la cara).

A) 3 6

B) 6

C) 2 6

D) 4 6

E) 4 2

35. Si P y Q son centros de las caras ABCD y

ADEF del exaedro regular que se muestra. Calcular PQ.

A) 1

B) 2

C) 2 /2

D) 2 2

E) 2 /4

36. La arista del exaedro regular que se

muestra mide 12. Calcular x.

A) 6 /24

B) 2 6 /13

C) 9 6

D) 12 6

E) 36 6

2

2

2

7 4 3

4 8 3

8 3 3

9 4 3

6 5 3

2 O

S

3

81

P

H O

O

3 1

72

GUIA N° 7 - VERANO 2011

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