Guia - Matematicas - Novenoclei Segundo Periodo

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COLEGIO INTEGRADO

SAN JOS

Cdigo: RG-DP-03 Formamos jvenes

Josemitas responsables y

conscientes de su

protagonismo en la

Sociedad

Versin: 02

GUAS Fecha: 16/07/2007

MATEMTICAS

PERIODO II

Li Ye fue un matemtico chino que vivi durante la Dinasta Song. Dej como legado dos importantes libros acerca de clculo de la superficie y permetro del crculo, as como mtodos de clculo para reducir a ecuaciones algebraicas los problemas geomtricos. Se reconoce tambin su aporte a la definicin de los nmeros negativos. Su mtodo de solucin de ecuaciones se asemeja mucho al enfoque conocido mucho ms tarde como algoritmo de Horner.

Piero della Francesca (Pietro di Benedetto dei Franceschi) fue un pintor y matemtico italiano del siglo XV. Aunque la historia actual recoge principalmente sus aportes a la pintura del Quattrocento, (y dentro de ella, principalmente sus frescos), en su poca fue reconocido por sus contribuciones como matemtico a la geometra euclidiana. En sus obras de teora del arte se dedic principalmente a la perspectiva, como asimismo a la geometra y la trigonometra. Como pintor se destac adems por ser el primero en buscar soluciones matemticas a los problemas de la representacin del espacio en el plano bidimensional (perspectiva). Aparte de estas matemticas aplicadas, se conservan obras estrictamente matemticas de su autora como el Trattato d'abacco (hay un ejemplar en la (Biblioteca Laurenciana de Florencia).9 Entre sus discpulos notables, se cuenta al matemtico Luca Pacioli (1445-1514).

DOCENTE. LEYDI JOHANA ARCINIEGAS

Estudiante: ______________________________

SECCIN SECUNDARIA GRADO NOVENO CLEI

2015

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TABLA DE CONTENIDO

Tema 1 Sistemas de ecuaciones lineales con tres incgnitas

Tema 2 Sistemas de inecuaciones lineales con dos incgnitas

Tema 3Conjunto de los nmeros complejos

Tema 4Representacin grfica de los nmeros complejos. Mdulo y conjugado

Tema 5 Adicin y sustraccin de nmeros complejos

Tema 6 Multiplicacin y divisin de nmeros complejos

Tema 7 Grfica de la funcin cuadrtica. Mximo y mnimo de la funcin cuadrtica

Tema 8 Races de la funcin cuadrtica

Tema 9Solucin de la ecuacin cuadrtica por factorizacin

Tema 10 Solucin de la ecuacin cuadrtica completando el cuadrado

Tema 11 Solucin de la ecuacin cuadrtica con la frmula cuadrtica

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TEMA 1 SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES CON TRES INCGNITAS El mtodo de Gauss consiste en utilizar el mtodo de reduccin de manera que en cada ecuacin tengamos una incgnita menos que en la ecuacin precedente.

Resolucin por el mtodo de Gauss 1 Ponemos como primera ecuacin la que tenga el cmo coeficiente de x: 1 -1, en caso de que no fuera posible lo haremos con y o z, cambiando el orden de las incgnitas.

2 Hacemos reduccin con la 1 y 2 ecuacin, para eliminar el trmino en x de la 2 ecuacin. Despus ponemos como segunda ecuacin el resultado de la operacin: E'2 = E2 3E1

3 Hacemos lo mismo con la ecuacin 1 y 3 ecuacin, para eliminar el trmino en x. E'3 = E3 5E1

4 Tomamos las ecuaciones 2 y 3, trasformadas, para hacer reduccin y eliminar el trmino en y. E''3 = E'3 2E'2

5 Obtenemos el sistema equivalente escalonado.

6 Encontrar las soluciones. z = 1 y + 4 1 = 2 y = 6

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x + 6 1 = 1 x = 4 ACTIVIDAD

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4 U n c l i ent e de un supe rmercado ha pagado un t ot a l de 156 por 2 4 l de

l e che , 6 kg de j amn se r rano y 12 l de a ce i t e de o l iv a . Cal cu l a r e l p rec io de

cada a r t cu lo , s ab iendo que 1 l de a ce i t e cue s t a e l t r i p l e que 1 l de l e che y que

1 kg de j amn cues t a i gua l que 4 l de a ce i t e ms 4 l de l e che .

5 U n videoc lub e s t e spec i a l i z ado en pe l cu l a s de t re s t i pos : in f ant i le s , oes t e

amer i cano y t e r ror . S e s ab e que :

E l 60% de l a s pe l cu l a s in fant i l e s ms e l 50% de l a s de l oe s t e rep re sent an e l

30% de l t ota l de l a s pe l cu l a s .

E l 20% de l a s in f ant i l e s ms e l 60% de l a s de l oe s t e ms de l 60% de l a s de

t e r ror a l r ep re sent an l a mi t ad de l t ot a l de l a s pe l cu l a s .

H ay 100 pe l cu l a s ms de l oe s t e que de inf ant i le s .

H a l l a e l nmero de pe l cu l a s de cada t i po .

TEMA 2 SISTEMAS DE INECUACIONES LINEALES CON DOS INCGNITAS La solucin a este sistema es la interseccin de las regiones que corresponden a la solucin de cada inecuacin. Tomemos como ejemplo la inecuacin:

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1 Representamos la regin solucin de la primera inecuacin. Transformamos la desigualdad en igualdad. 2x + y = 3 Damos a una de las dos variables dos valores, con lo que obtenemos dos puntos. x = 0; 2 0 + y = 3; y = 3; (0, 3) x = 1; 2 1 + y = 3; y = 1; (1, 1) Al representar y unir estos puntos obtenemos una recta.

Tomamos un punto, por ejemplo el (0, 0), los sustituimos en la desigualdad. Si se cumple, la solucin es el semiplano donde se encuentra el punto, si no la solucin ser el otro semiplano. 2x + y 3 2 0 + 0 3 0 3 S

2 Representamos la regin solucin de la segunda inecuacin. x + y = 1 x = 0; 0 + y = 1; y = 1; (0, 1) x = 1; 1 + y = 1; y = 0; (1, 0)

; x + y 1 0 + 0 1 No

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3 La solucin es la interseccin de las regiones soluciones.

ACTIVIDAD

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TEMA 3CONJUNTO DE LOS NMEROS COMPLEJOS

Los nmeros complejos son una extensin de los nmeros reales y forman el mnimo cuerpo algebraicamente cerrado que los contiene. El conjunto de los nmeros complejos se designa como , siendo el conjunto de los reales se cumple que . Los nmeros complejos incluyen todas las races de los polinomios, a diferencia de los reales. Todo nmero complejo puede representarse como la suma de un nmero real y un nmero imaginario (que es un mltiplo real de la unidad imaginaria, que se indica con la letra i), o en forma polar.

Los nmeros complejos son la herramienta de trabajo del lgebra, anlisis, as como de ramas de las matemticas puras y aplicadas como variable compleja, ecuaciones diferenciales, aerodinmica y electromagnetismo entre otras de gran importancia. Adems los nmeros complejos se utilizan por doquier en matemticas, en muchos campos de la fsica (notoriamente en la mecnica cuntica) y en ingeniera, especialmente en la electrnica y las telecomunicaciones, por su utilidad para representar las ondas electromagnticas y la corriente elctrica.

En matemticas, estos nmeros constituyen un cuerpo y, en general, se consideran como puntos del plano: el plano complejo. Este cuerpo contiene a los nmeros reales y los imaginarios puros. Una propiedad importante que caracteriza a los nmeros complejos es el teorema fundamental del lgebra pero que se demuestra an en un curso de variable compleja , que afirma que cualquier ecuacin algebraica de grado n tiene exactamente n soluciones complejas. Los anlogos del clculo diferencial e integral con nmeros complejos reciben el nombre de variable compleja o anlisis complejo

TEMA 4REPRESENTACIN GRFICA DE LOS NMEROS COMPLEJOS. MDULO Y CONJUGADO

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R epre sent ac in gr f i ca de los nmer os co mple jos

Los n meros co mple jos se rep re sent an en un os e j e s ca r t e s ianos . E l e j e X se l l ama

e j e rea l y e l Y, e je imagina r io .

E l punt o ( a , b ) , s e l l ama su af i jo ,

Pot enc i a s de l a unidad imagina r i a

i 0 = 1

i 1 = i

i 2 = 1

i 3 = i

i 4 = 1

TEMA 5 ADICIN Y SUSTRACCIN DE NMEROS COMPLEJOS La adicin y sustraccin de nmeros complejos se realiza adicionando o sustrayendo partes reales entre s y partes imaginarias entre s.

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El producto de dos nmeros complejos se realiza aplicando la propiedad distributiva de la multiplicacin con respecto a la adicin y teniendo en cuenta que a

Tema 6. Multiplicacion y divisin de nmeros complejos El producto de los nmeros complejos se realiza aplicando la propiedad distributiva del producto respecto de la suma y teniendo en cuenta que i2 = 1.

Ejemplo:

(5 + 2 i) (2 3 i) = 10 15i + 4i 6 i 2= 10 11i + 6 = 16 11i

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TEMA 7 GRFICA DE LA FUNCIN CUADRTICA. MXIMO Y MNIMO DE LA FUNCIN CUADRTICA

Si hay un tema que podemos llamar "muy importante" en todos los cursos de matemtica, es este.

DEFINICIN: Llamaremos funcin cuadrtica a las funciones polinmicas de segundo grado, de dominio real y codominio real.

y= f(x) = ax+bx+c con a 0.

Tal como lo vimos en el tema funciones y en funcin lineal, si no se dice lo contrario, suponemos, o convenimos, que estamos trabajando con todos los nmeros reales.

En lenguaje matemtico, nuestro dominio es el conjunto de los nmeros reales.

Ejemplos de funciones cuadrticas:

A(x) = 3x+5x-8 P(x) = -2x-7x+1 C(x) = x-1 D(x) = -x miles de ejemplos

Grfica:

Cada punto tiene dos componentes, (x,y). A la x la llamamos abscisa; a la y la llamamos ordenada. Cmo se ubica un punto en un par de ejes perpendiculares (tambien llamados ortogonales) ?

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A cada valor de los elementos del dominio, llamados x, le corresponde un nico valor en el codominio, y. La pareja (x,y) es el punto que colocamos en el grfico. Los valores de y=f(x) los obtenemos como resultado de hacer las operaciones en la funcin cuadrtica.

Por ejemplo,si nuestra funcin cuadrtica es A(x) = 3x+5x-8, entonces cual es el correspondiente del -4 ? Al -4 le corresponde A(-4).

A(-4) = 3(-4)+5(-4) -8

A(-4) = 3(16) -20 -8

A(-4) = 48 -20 -8 = 20

Entonces, en resumen, al -4 le corresponde el 20. El punto es el (-4,20).

Para hacer la grfica, podemos empezar haciendo una tabla de valores y vamos colocando los puntos obtenidos en el grfico. Ahora lo veremos un poco ms abajo.

Este ser nuestro primer mtodo para hacer la representacin grfica. La forma obtenida se llama Parbola.

La representacin grfica de funciones polinmicas de segundo grado son parbolas.

Es importante revisar las operaciones, las cuentas. Hay que tener cuidado con los parntesis.

Por supuesto que slo podemos representar en el grfico unos pocos puntos. Aunque hagamos 975 puntos, igual sern unos pocos puntos, considerando los infinitos puntos que tiene la parbola, funcin de dominio real y codominio real.

Los nmeros reales son infinitos. Entonces siempre podemos representar slo unos pocos puntos.

Podemos imaginarnos como quedara la forma completa. Basta con intentar completar esos pocos puntos que hicimos, con una linea continua. Hzlo en tu cuaderno.

Ahora que ya "hicimos" unas cuantas grficas de funciones cuadrticas, podemos intentar responder algunas preguntas; esto es, hagamos algunas actividades. Tambin puedes volver atras para ayudarte a responderlas. Y tambin puedes ir a algunos libros para ver las respuestas.

Para empezar, cmo podras definir la Concavidad ? Mira las grficas siguientes

En las funciones cuadrticas podemos distinguir entre las que tienen concavidad positiva y las que tienen concavidad negativa. En ambas encontramos un punto extremo, llamado vrtice, que puede ser el mximo o el mnimo de la funcin. Adems estas funciones pueden tener, o no, raices. Veamos los diferentes casos con ejemplos.

Actividad 1) Lo primero que se puede observar al ver las diferentes grficas de las funciones cuadrticas es que hay dos grandes clases, segun que su concavidad sea + o .

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Esto de que depende ? Si prestas atencin, podrs ver que hay una relacin entre la concavidad y el signo del coeficiente principal, a, que es el de mayor grado.

y=f(x)= ax+bx+c

Buscamos entonces la relacin entre la concavidad y el signo de "a". Cul es esa relacin?

Actividad 2) Otro aspecto interesante de las funciones cuadrticas es que todas, repito, todas, tienen un slo extremo. Ese extremo ser un mximo si el signo de "a" y es un mnimo si el signo de "a"

Trata tambin de buscar la relacin que hay entre la absisa del extremo y los valores de a, b y c. Para hacerlo, puedes utilizar las graficas de las parbolas que ya usamos antes. Es este un trabajo de investigacin individual. Intenta hacerlo antes de ver la respuesta.

En resumen:

Signo de a Concavidad El extremo es un .... La abscisa del extremo es:

+ + mnimo -b/2a

mximo -b/2a

Un ejercicio resuelto aqu

Y ahora, para terminar, tenemos que ver como hacemos para calcular las raices de una funcin cuadrtica. Pero, que son las raices ?

Definicin : Las raices son los valores de los elementos del dominio que hacen que la imagen de la funcin valga cero. Tratemos de explicar esto. Sea f(x)= x-6x+5

Investiguemos: el nmero 7 ser raz?

f(7)=(7)-6.(7)+5 , entonces f(7) = 49-42+5 , luego f(7)=12, no es cero, 7 NO es raz.

el nmero 4 ser raz?

f(4)=(4)-6.(4)+5 , entonces f(4) = 16-24+5 , luego f(4)=-3, no es cero, 4 NO es raz.

el nmero 5 ser raz?

f(5)=(5)-6.(5)+5 , entonces f(4) = 25-30+5 , luego f(5)= 0, es cero, 5 SI es raz.

Tendr otra raz? investiguemos con el nmero 1 ?

f(1)=(1)-6.(1)+5 , entonces f(1) = 1-6+5 , luego f(1)=0, cero, SI, 1 tambin es raz.

Otra definicin: es raz de f(x) si y slo si f() = 0

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Por ejemplo, -15 es raz de f(x) si y slo si f(-15) = 0

Pero cmo haremos para calcular las raices de una funcin cuadrtica cualquiera? Tendremos que ir tanteando, probando ? La verdad, no.

Para resolver ecuaciones de segundo hay varios mtodos. Uno de ellos, un mtodo geomtrico fue inventado por Al-Kwrismi hace apenas 1200 aos.

Existe otro mtodo, una frmula descubierta por Bhskara, hace.....10 aos? ......100 aos? ........1000 aos ? Si te interesa saber quin fu Bhskara, su nacionalidad, y cmo se demuestra su frmula, puedes ir a enlaces.

Lo que ha descubierto, o mejor dicho, inventado, Bhskara, es un mtodo para hallar las raices de una funcin cuadrtica, si es que tiene raices.

DISCRIMINANTE: En la frmula de Bhskara aparece la raz cuadrada del trmino b-4.a.c que lo usaremos mucho. A este trmino se le llama discriminante, porque no ayuda a discriminar si la funcin cuadrtica tendr o no raices reales. Vamos ahora a ver como se hace esto. Cundo existe una raz cuadrada? Siempre se puede hacer esta operacin? Dicho de otra forma, a cules nmeros se les puede calcular la raz cuadrada?

Como en la frmula de Bhskara aparece una raz cuadrada, sta se podr hacer siempre que el nmero al que se la apliquemos sea positivo, o cero.

Veamos ejemplos:

Entonces, en resumen, cundo se puede hacer una raz cuadrada?

DISCRIMINANTE: cmo se usa? para que sirve?

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Signo de una funcin cuadrtica

Y ahora que ya sabemos calcular raices, podemos estudiar el signo de una funcin cuadrtica. Hemos visto que las grficas de las funciones cuadrticas pueden o no tener raices, ademas de que su concavidad puede ser positiva o negativa. Tenemos entonces 6 casos diferentes.

Crecimiento de una funcin cuadrtica

Cmo ser el crecimiento de una funcin cuadrtica? De que depende? Inspeccionanado el grfico de las funciones cuadrticas, ya vimos que hay una zona de crecimiento y otra de decrecimiento. Y es justamente el vrtice el que separa ambas zonas.

Trata de completar este cuadro, mirando la forma general de las parbolas y pensando un poco......

Preguntas.

1) Las funciones polinmicas de segundo grado, o mas sencillamente, las funciones cuadrticas, siempre tienen raices?

2) Cmo calcular las coordenadas del vrtice de la parbola?

3) Cuando la funcin cuadrtica tiene raices, qu relacin hay entre la absica del vrtice y la absisa de las raices?

4) Cmo se indica el crecimiento de una funcin cuadrtica?

5) Cmo se indica el signo de una funcin cuadrtica?

6) Bhskara, Quin fu y que invent?

7) Qu es el discriminante? Qu aplicaciones tiene?

8) En que se basa el mtodo de Al-Kwrismi para resolver ecuaciones de segundo grado? Cmo funciona?

ACTIVIDAD

R epre sent a la s func iones cuadr t i ca s

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1 y = x + 4x 3

2 y = x + 2x + 1

3 y = x + x + 1

4 H a l la e l v r t i ce y l a e cuac in de l e j e de s imet r a de l a s s i gu ient e s pa rb ola s :

1 y = ( x 1) + 1

2 y = 3( x 1) + 1

3 y = 2( x + 1 ) - 3

4 y = -3(x 2) 5

5 y = x 7x 18

6 y = 3x + 12x 5

5 Ind i ca , s in d ib u ja r l a s , en cuant os punt os cor t an a l e j e de ab sc i s a s la s s i gu ient e s pa rb ola s :

1 y = x 5x + 3

2 y = 2x 5x + 4

3 y = x 2x + 4

4 y = x x + 3

6U na func in cuadr t i ca t i ene una expre s in de l a forma y = x + ax + a y pa sa por e l punt o ( 1 , 9) . Ca l cu l a r e l v a lor de a .

7 Se s ab e que l a func in cuadr t i ca de ecuac in y = ax + b x + c pa sa por los punt os ( 1 , 1) , ( 0 , 0) y ( - 1 , 1 ) . Ca l cu l a a , b y c .

8 U na pa rb ola t i ene su v r t i ce en e l punt o V( 1 , 1 ) y pa sa por e l punt o ( 0, 2) . H a l l a su ecuac in.

9 Pa rt i endo de l a gr f i ca de l a func in f ( x) = x 2 , r ep re sent a :

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1 y = x + 2

2 y = x 2

3 y = ( x + 2)

4 y = (x 2)

5 y = ( x 2) + 2

6 y = ( x + 2) 2

TEMA 9 SOLUCIN DE LA ECUACIN CUADRTICA POR FACTORIZACIN La Propiedad Cero de la Multiplicacin La Propiedad Cero de la Multiplicacin establece (en trminos algebraicos, por supuesto!) algo que todos siempre hemos sabido: si el producto de dos nmeros es 0, entonces por lo menos uno de los factores es 0. Propiedad Cero de la Multiplicacin Si ab = 0, entonces ya sea a = 0 o b = 0, o ambos a y b son 0.

Esta propiedad puede parecer obvia, pero tiene importante implicaciones en cmo resolvemos ecuaciones cuadrticas: significa que si tenemos un polinomio factorizado igual a 0, podemos estar seguros de que al menos uno de sus factores es tambin 0. Podemos usar este mtodo para identificar soluciones de una ecuacin. Pero nos estamos adelantando empecemos con un ejemplo de una ecuacin cuadrtica y pensemos en cmo resolverla. La ecuacin 5a2 + 15a = 0 es una ecuacin cuadrtica porque puede escribirse como 5a2 + 15a + 0 = 0, que es equivalente a la forma ax2 + bx + c = 0, con c = 0. Ejemplo

Problema Resolver a en 5a2 + 15a = 0

5a2 + 15a = 0

El problema nos pide resolver a; empecemos por factorizar el lado izquierdo de la ecuacin

5(a2 + 3a) = 0 5 es factor comn de 5a2 y 15a.

5a(a + 3) = 0 a es factor comn un de a2 y 3a.

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En este punto hemos factorizado completamente el lado izquierdo de la ecuacin. Si slo quisiramos factorizar la expresin, podramos parar aqu, pero recuerda que estamos resolviendo a de la ecuacin. Aqu es donde usamos la Propiedad Cero de la Multiplicacin. Ya que toda la expresin es igual a cero, sabemos que por lo menos uno de los trminos, 5a o (a + 3), tiene que ser igual a cero. Vamos a continuar con la solucin de este problema igualando cada trmino a cero y resolviendo las ecuaciones.

5a = 0 a + 3 = 0 Igualar cada factor a cero

a + 3 3 = 0 3 a = 0 a = -3

Resolver la ecuacin

Solucin a = 0 o a = -3 Resultan dos valores posibles de a: 0 y -3. (Estos valores tambin se llaman races de la ecuacin.) Para comprobar nuestras respuestas, podemos sustituir ambos valores directamente en nuestra ecuacin original y ver si obtenemos una expresin vlida para cada una.

Comprobando a = 0 Comprobando a = -3 5a2 + 15a = 0 5a2 + 15a = 0 5(0)2 + 15(0) = 0 5(-3)2 + 15(-3) = 0 5(0) + 0 = 0 5(9) 45 = 0 0 + 0 = 0 45 45 = 0 0 = 0 0 = 0

Sustituir estos valores en la ecuacin original produce dos expresiones correctas, entonces sabemos que nuestros valores son correctos. Esta ecuacin cuadrtica, 5a2 + 15a = 0, tiene dos races: 0 y -3. Podemos usar el Producto Cero de la Multiplicacin para resolver ecuaciones cuadrticas de la forma ax2 + bx + c = 0. Primero factorizamos la expresin, y luego resolvemos cada una de las races.

Ejemplo Problema Resolver r.

r2 5r + 6 = 0.

r2 3r 2r + 6 = 0

Expandir el trmino -5r usando dos coeficientes tales que su suma sea -5 y su producto sea 6.

(r2 3r) (2r 6) = 0

Agrupar trminos

r(r 3) 2(r 3) = 0

Sacar los factores comunes de cada grupo

(r 3)(r 2) = 0 Usar la Propiedad Distributiva para sacar (r 3) como un factor

r 3 = 0 r 2 = 0 Usar la Propiedad Cero de la Multiplicacin para igualar cada factor a 0

r = 3 r = 2 Resolver la ecuacin

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Solucin r = 3 o r = 2

Las races de la ecuacin original son 3 o 2

La solucin de esta ecuacin es r = 2 o r = 3, ya que ambos valores de r resultarn en una expresin vlida. (Escptico? Sustituye r por los valores 2 y 3 en la ecuacin original. Resolver h: h(2h + 5) = 0 A) h = 0 B) h = 2 o 5 C) h = 0 o 2.5 D) h = 0 o -2.5 Aplicando la Propiedad Cero de la Multiplicacin Cuando usamos la Propiedad Cero de la Multiplicacin para resolver una ecuacin cuadrtica, necesitamos asegurarnos que la ecuacin este igualada a cero. Algunas veces esto requerir de mover los trminos para que quede 0 en un lado de la ecuacin. Como un ejemplo, piensa en la ecuacin 12x2 + 11x + 2 = 7. Podramos factorizar el trinomio del lado izquierdo de la ecuacin tal como esta, pero nos quedara la ecuacin (4x + 1)(3x + 2) = 7. Y es hasta aqu a donde podemos llegar! Esta nueva ecuacin nos dice que los dos factores, (4x + 1) y (3x + 2), son iguales a 7 cuando son multiplicados. Igualar cada factor a 7 y luego resolver la ecuacin tampoco nos ayuda; no estamos buscando los factores que son 7; sino los factores que, cuando se multiplican, son iguales a 7. Es decir, no podemos usar la Propiedad Cero de la Multiplicacin cuando no hay un cero en el otro lado de la ecuacin! Entonces cul es la solucin? Para tener un cero en un lado de la ecuacin, debemos restar 7 de ambos lados. Esto significa que nuestra ecuacin cuadrtica de 12x2 + 11x + 2 = 7 se convierte 12x2 + 11x 5 = 0. Podemos factorizar el trinomio en lado izquierdo y luego usar la Propiedad Cero de la Multiplicacin para encontrar los valores de x. El ejemplo siguiente muestra cmo resolver una ecuacin cuadrtica donde ningn lado es originalmente igual a cero. (Nota que la secuencia de factorizacin ha sido acortada.)

Ejemplo Problema

Resolver b en 5b2 + 4 = -12b

5b2 + 4 + 12b = -12b + 12b

La ecuacin original tiene -12b a la derecha. Para hacer este

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lado igual a cero, sumar 12b a ambos lados

5b2 + 12b + 4 = 0 Combinar trminos semejantes

5b2 + 10b + 2b + 4 = 0

Reescribir 12b para agrupar y factorizar fcilmente

5b(b + 2) + 2(b + 2) = 0

Usar la Propiedad Distributiva para sacar los factores comunes de los pares de trminos

(5b + 2)(b + 2) = 0

Usar la Propiedad Distributiva para sacar el factor (b + 2). La cuadrtica queda completamente factorizada

5b + 2 = 0

b + 2 = 0 b = -2

Aplicar la Propiedad Cero de la Multiplicacin

Solucin

o b = -2

Algunas veces podemos factorizar ecuaciones cuadrticas que resultan as: 8(x + 3)(x + 2) = 0. Sabemos cmo aplicar la Propiedad Cero de la Multiplicacin a los factores (x + 3) y (x + 2), pero qu hacemos con el coeficiente 8? Podemos aplicar la Propiedad Cero de la Multiplicacin a un entero? En esta situacin tenemos 3 factores: 8, x + 3, y x + 2. La regla de la Propiedad Cero de la Multiplicacin nos dice que si el producto de tres factores, 8(x + 3)(x + 2), va a ser igual a cero en el lado derecho de la ecuacin, la nica manera de que eso pueda pasar es si por lo menos uno de los tres factores en el lado izquierdo es 0. Entonces probemos cada uno de ellos: El factor 8 nunca ser igual a 0, entonces podemos simplemente ignorarlo como una de las posibilidades. El factor x + 3 podra ser igual a cero, y lo es cuando x = -3 entonces lo es. El factor x + 2 podra ser igual a cero, y lo es cuando x = -2 entonces lo es. Entonces nuestras soluciones para la ecuacin original son x = -3 o x = -2, el factor 8 no contribuye a una tercera solucin. Resolver m. 2m2 + 10m = 48 A) m = 3 o -8 B) m = -3 o 8

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protagonismo en la

Sociedad

Versin: 02


C) m = 0 o -5 D) m = 0 o 5 ACTIVIDAD Escribe en tu cuaderno los ejercicios propuestos en clase y resuelve

Guia - Matematicas - Novenoclei Segundo Periodo

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