UNIDAD I

La presente unidad esta dedicada al estudio de las desigualdades, intervalos, desigualdades

con valor absoluto y sistemas de coordenadas cartesianas; además se darán las fórmulas de

la distancia entre dos puntos y punto medio de un segmento de recta. Así mismo se

presentaran las rectas en el plano cartesiano, formas de la ecuación de la recta y la

circunferencia con sus ecuaciones.

1. DESIGUALDADES

Entre los números reales y los puntos de una recta existe una correspondencia

biunívoca, en el sentido de que a cada número real le corresponde uno y sólo un punto

en y viceversa, a cada punto le corresponde un número real. Denotemos por O el

punto de la recta correspondiente al número 0 (cero). Los números reales que corresponden

a los puntos ubicados a la derecha del punto O, se denominan números reales positivos, y

los que se encuentran a la izquierda se denominan números reales negativos.

Si son números reales y es positivo, se dice que y se

escribe . Esto es equivalente a decir que ( ). Los símbolos > y <

se llaman signos de desigualdad y expresiones como y se denominan

desigualdades. La expresión se lee a es menor que b o bien que a = b. El símbolo

se interpreta de manera análoga.

PROPIEDADES DE LAS DESIGUALDADES

Propiedad EjemploSi

Si un número real cualquiera, entonces

Si

Si

Además se cumplen otras propiedades similares si cada signo de desigualdad, <, entre

1

INTERVALOS

Definición. Sean dos números reales tales que . En la siguiente tabla se definen

las diferentes clases de intervalos sobre la recta real.

Tipos de Intervalos Definición Notación de Intervalo

Gráfica

Abierto

Cerrado

Semi-abierto a la derecha

Semi-abierto a la izquierdaInfinito

Infinito

Infinito

Infinito

Infinito

Los números se denominan extremos del intervalo.

A continuación se presentan ejemplos de resolución de inecuaciones.

1.1 Desigualdad Lineal.

Ejemplo 1.1.1 Resolver

Solución. Para resolver la inecuación planteada se despeja la variable x, para ello se

efectuarán diversas operaciones fundamentadas en las propiedades de las desigualdades.

Se suma 2 a ambos lados de la desigualdad para obtener

2

Se multiplica cada lado de la desigualdad por resultando

Por lo tanto la solución es el conjunto de todos los valores

Ejemplo 1.1.2 Hallar la solución de .

Solución. Para resolver esta inecuación se agruparán de un sólo lado de la misma los

múltiplos de la incógnita ; obsérvese que es irrelevante el lado se elija para tal fin. Para

ello sumemos 3x y 3 a ambos lados de la inecuación.

De donde la solución es el intervalo .

1.2 Doble Desigualdad Lineal.

Ejemplo 1.2.1 Resolver

Solución Se suma algebraicamente –9 a cada miembro de la doble desigualdad, para

obtener

Seguidamente se multiplica por cada miembro de la doble desigualdad, para obtener

Por lo tanto la solución es el conjunto de todos los valores de

Ejemplo 1.2.2 Resolver la siguiente desigualdad .

Solución. Para determinar la solución de la desigualdad planteada se resolverán

separadamente las desigualdades según el procedimiento

3

seguido en el ejemplo 1.1.2 y luego se intersectan ambas soluciones. Se deja al lector la

verificación de que el resultado es

1.3 Desigualdad Cuadrática.

Ejemplo 1.3.1 Resolver

Solución. Para resolver este tipo de desigualdad puede procederse de la siguiente manera.

i. Se iguala a cero el polinomio de la desigualdad dada:

ii. Se factoriza el polinomio:

iii. Se construye un diagrama de signos para el polinomio.

Para este fin se divide la recta real, utilizando las raíces obtenidas en la

factorización del polinomio en los siguientes intervalos: . Lo que se

muestra en la siguiente figura.

Posteriormente en cada intervalo se elige un elemento arbitrario, distinto de las

raíces, y se evalúa la expresión cuadrática en cada uno de estos valores, para determinar

el signo de dicha expresión en el intervalo respectivo. Por ejemplo: a) consideremos el

elemento , al sustituirlo en la expresión cuadrática se obtiene:

Obsérvese que al ser positivo el signo de la cantidad resultante, también será positivo el

signo de cualquier número obtenido mediante la evaluación de la expresión cuadrática en

todo elemento del intervalo .

b) Escojamos 5/2 en el intervalo (2, 3). Si evaluamos en este número, se tendrá

4

Como en el caso a), podemos afirmar que la función cuadrática mantendrá constante el

signo negativo en el intervalo (2, 3).

c) Repitiendo el procedimiento para el número 4 en el intervalo , se tiene

Por lo tanto el signo de en el intervalo será positivo.

Representamos los resultados obtenidos en los casos a, b y c, en la siguiente figura

Los intervalos solución de la desigualdad planteada, serán aquellos en los que la evaluación

de la expresión cuadrática dio como resultado un número positivo. Por lo tanto la solución

de la desigualdad cuadrática es Obsérvese que los extremos de los

intervalos no forman parte de la solución, pues éstos anulan la ecuación cuadrática y

consecuentemente no satisfacen la desigualdad estricta.

Otro procedimiento para la resolución de la desigualdad cuadrática.

Dado que se requiere que el producto de los dos factores sea positivo, por

lo que ambos factores deben tener el mismo signo, es decir o

.

Caso 1.

Si entonces y por lo tanto

simultáneamente. En consecuencia , así la solución parcial de este

primer caso es .

Caso 2.

Si entonces , de donde

simultáneamente, lo cual quiere decir que , por lo que la solución

parcial correspondiente a este caso es .

5

Finalmente la solución de la desigualdad es la unión de las soluciones parciales, es decir

1.4 Desigualdad tipo Cociente de expresiones algebraicas.

Ejemplo 1.4.1 Resolver

Solución. Un método para resolver esta clase de desigualdades esta definido mediante

los pasos que se describen a continuación.

i. Determinación de las raíces del numerador y del denominador de la fracción.

Para calcular las raíces del numerador y del denominador, se resuelven las ecuaciones

y , cuyas soluciones son respectivamente.

ii. Se construye un diagrama de signos para el cociente.

Procediendo como en el ejemplo anterior, se divide la recta real en los intervalos

. Seleccionemos un número en cada intervalo para evaluar la

expresión

(1)

y determinar el signo de la cantidad resultante. Si elegimos –3 en el intervalo y lo

sustituimos en la fracción, se obtiene , por lo tanto el signo de la expresión (1)

es positivo sobre el intervalo en cuestión. Se deja al lector la verificación de que

toma sólo valores negativos sobre el intervalo y sólo positivos en el intervalo

.

Estos resultados quedan representados en el gráfico siguiente.

Según los resultados, los intervalos (- forman parte del conjunto

solución de la desigualdad. Cabe destacar que extremo –2 del primer intervalo, pertenece a

6

la solución porque al ser raíz del numerador de la fracción (y no del denominador), anula la

fracción por lo que se satisface la desigualdad Conviene aclarar que el extremo 2

no forma parte de la solución dado que es raíz del denominador, pues es bien conocido el

hecho de que no es posible dividir entre cero.

Por lo tanto la solución de la inecuación es

Ejemplo 1.4.2 Resolver

Solución.

i. Se transforma la desigualdad, de manera tal que en el lado derecho aparezca el

valor cero, es decir, debe llevarse a una expresión como la planteada en el caso anterior.

Para ello se debe restar 1 a ambos lados de la desigualdad y se resuelve la operación

algebraica resultante:

A continuación se sigue el procedimiento aplicado en el ejemplo anterior.

ii. Determinación de las raíces del numerador y del denominador de la fracción.

Al resolver las ecuaciones y se obtienen las siguientes soluciones

respectivamente.

iii. Se construye un diagrama de signos para el cociente.

Dividimos la recta real en los intervalos Seleccionemos

un número en cada intervalo para evaluar la expresión

(2)

7

y determinar el signo de la cantidad resultante. Se deja al lector el ejercicio de verificar

que, la expresión (2) toma sólo valores negativos sobre el intervalo y sólo

positivos en los intervalos

Estos resultados quedan representados en el gráfico siguiente.

Según estos resultados, el intervalo forma parte del conjunto solución de la

desigualdad. Es importante señalar que ninguno de los extremos pertenece a la solución

pues el número 2 es raíz del numerador y la desigualdad es estricta, adicionalmente el

valor –3/2 anula el denominador y no está permitido dividir por cero.

Por lo tanto la solución de la desigualdad es el intervalo abierto

2. DESIGUALDADES CON VALOR ABSOLUTO

Iniciaremos esta sección con la definición del valor absoluto de un número real y las

propiedades del valor absoluto.

Definición. El Valor Absoluto de un número se denota con y se define como:

Propiedades del Valor Absoluto.

Sean números reales cualesquiera, en el siguiente cuadro se enuncian las

propiedades del Valor Absoluto más frecuentemente utilizadas.

8

PROPIEDAD EJEMPLO

1.

2.

3.

4.

5.

6.

7. y evidentemente

8. siendo

9.

A continuación se presentan ejemplos de resolución de desigualdades con valor absoluto.

Ejemplo 2.1 Resolver

Solución.

Por la propiedad 6 de la tabla anterior se tiene la siguiente desigualdad doble:

Por lo tanto resolver la desigualdad con valor absoluto planteada es equivalente a resolver

cada una de las desigualdades:

y luego intersectar las dos soluciones.

Primero se determinará la solución de la inecuación

9

Como se puede apreciar dicha desigualdad es del tipo cociente de expresiones algebraicas

dado en el ejemplo 1.4.2.

Para transformar la inecuación, se restará a ambos lados el valor y luego se

resuelven las operaciones resultantes, para así obtener

Determinación de las raíces del numerador y del denominador de la fracción.

Al resolver las ecuaciones y se obtienen las siguientes soluciones

respectivamente.

Se construye un diagrama de signos para el cociente.

Dividimos la recta real en los intervalos Seleccionemos un

número en cada intervalo para evaluar la expresión.

(1)

y determinar el signo de la cantidad resultante. Se deja al lector el ejercicio de verificar

que, la expresión (1) toma sólo valores positivos sobre el intervalo y sólo

negativos en los intervalos

Estos resultados quedan representados en el dibujo siguiente.

1

Según estos resultados, la solución de la desigualdad es la unión de los intervalos

, es decir . Es importante señalar que el extremo

no pertenece a la solución pues la desigualdad es estricta.

A continuación se determinará la solución de la inecuación . Siguiendo

los pasos de la parte I, se deja al lector la comprobación de que la solución de la

desigualdad II es . Intersectando los resultados de

I y II, obtenemos la solución

Ejemplo 2.2 Resolver

Solución. Por la propiedad 7 del valor absoluto, tenemos que

si y sólo si

Por lo tanto para resolver la desigualdad planteada debemos hallar las soluciones de a)

y b) y luego unirlas. Ambas desigualdades se resuelven según el procedimiento empleado

en los ejemplos 1.4.1 y 1.4.2. Al hacer esto, se obtienen los siguientes resultados: el

intervalo es solución de la desigualdad a) y el intervalo de la

desigualdad b). Consecuentemente la solución de la desigualdad con valor absoluto es

1

EJERCICIOS PROPUESTOS

1. Resolver las siguientes desigualdades.

a)

b)

c)

d)

e)

f)

g)

h)

i)

j)

k)

l)

m)

n)

o)

p)

q)

r)

s)

t)

u)

v)

w)

x)

2. Resolver las siguientes desigualdades con valor absoluto.

a)

b)

c)

d)

e)

f)

g)

h)

i)

j)

k)

1

l)

m)

n)

o)

p)

q)

r)

1

3. SISTEMA DE COORDENADAS CARTESIANAS

3.1 Representación de puntos en el sistema de coordenadas cartesianas

El Sistema de Coordenadas Cartesianas es un sistema de referencia en el

plano que permite localizar puntos en él, mediante pares ordenados de números reales.

Dicho sistema se construye a partir de dos rectas perpendiculares que se intersectan

en un punto denominado origen. Generalmente una de las rectas es horizontal y se

denomina eje o eje de las abscisas y la recta vertical es denominada eje o de las

ordenadas. Se establece una escala numérica a lo largo del eje de manera que los

números reales positivos estén ubicados a la derecha del origen y los negativos a la

izquierda, similarmente se adopta una escala numérica a lo largo del eje en la cual los

números positivos se encuentran por encima del origen y los negativos por debajo de él.

Un punto en el plano se representará de forma única en este sistema de coordenadas

mediante un par ordenado de números reales de la siguiente manera: dado un par

ordenado de números reales se trazan rectas paralelas a cada uno de los ejes

coordenados de tal forma que una de ellas intersecte al eje Y en y la otra al eje X en

El punto que se obtiene por la intersección de dichas rectas tiene coordenadas

Recíprocamente, dado un punto en el plano, si se trazan rectas paralelas a los ejes

X e Y que pasen por y cuyos cortes con tales ejes sean los números a y b

respectivamente, el punto del plano tendrá coordenadas , tal como se muestra en

el siguiente gráfico.

Ejemplo 3.1.1 Representar los siguientes puntos en el sistema de coordenadas

cartesianas.

Los ejes coordenados dividen al plano en cuatro cuadrantes de tal forma que los signos de

las coordenadas de los puntos que se hallan en cada uno de los cuadrantes son los que se

indican en la siguiente figura.

3.2 Fórmula de la distancia entre dos puntos

Sean P1(x1,y1) y P2(x2,y2) puntos en el sistema de coordenadas cartesianas. La

distancia entre los puntos P1 y P2 es, por definición, la longitud del segmento de

recta que une a P1 y P2, la cual se calcula mediante la siguiente fórmula, obtenida a partir

del Teorema de Pitágoras, como se observa en la siguiente figura.

Ejemplo 3.2.1. Calcular la distancia entre los puntos P1(-2,3) y P2 (-1,2/3).

Solución. Al Sustituir las coordenadas de los puntos dados, en la fórmula de la distancia

resulta

de donde

3.3 Fórmula para el punto medio de un segmento de recta.

El punto medio del segmento de recta con extremos es

el punto denotado por cuyas coordenadas son

Ejemplo 3.3.1. Hallar el punto medio del segmento que une los puntos

Solución. Al sustituir las abscisas y ordenadas en la fórmula respectiva se obtiene

Por lo tanto

EJERCICIOS PROPUESTOS

1. Trazar un sistema de coordenadas y marcar en él:

a) Los puntos ( ,3), (-7,-2), (9, ) y (

b) El conjunto de puntos cuya abscisa es

c) El conjunto de puntos cuya ordenada es

2. Si se dan los puntos determinar el punto como intersección de la horizontal

trazada por y de la vertical trazada por Además halle la distancia entre

a) b) c)

d) e)

3. Los puntos medios de los lados de un triángulo son (2,5), (4,2) y (1,1). Hallar las

coordenadas de los tres vértices.

4. Demostrar los puntos son los vértices de un triángulo

rectángulo.

5. En el segmento el punto A tiene coordenadas y el punto medio tiene

coordenadas (4,3). Hallar las coordenadas de

6. Sean y Si la distancia entre es 10m, hallar la ordenada

y de B.

4. RECTAS EN EL PLANO CARTESIANO

En esta sección expondremos detalladamente lo concerniente a la recta y sus ecuaciones.

4. 1. Ángulo de inclinación de una recta

El ángulo de inclinación de una recta es el menor ángulo , que forma

la parte positiva del eje X con , medido en sentido contrario a la marcha de las

manecillas del reloj.

4. 2. Pendiente de una recta

Sean una recta no paralela al eje Y y dos puntos distintos

sobre ella, el número dado por la igualdad:

se denomina pendiente de

A continuación daremos otra forma de calcular la pendiente de una recta.

Sea el ángulo de inclinación de la recta con entonces:

La siguiente figura nos explica esta igualdad.

Si es paralela al eje X, o coincide con él, entonces si es

paralela al eje Y o coincide con él, entonces y no esta definida la pendiente

correspondiente de

4.3 Posiciones relativas de dos rectas.

Teorema 4.3.1 Dos rectas no verticales son paralelas si, y sólo si, sus

pendientes son iguales.

Teorema 4.3.2 Dos rectas no verticales son perpendiculares si, y sólo si, sus

pendientes son recíprocas y de signo contrario, es decir:

Ejemplo 4.3.1 Calcular la pendiente y el ángulo de inclinación de la recta que pasa por los

puntos P1(1,0) y P2(2, ).

Solución. De 4.2, se tiene que:

y entonces , por lo tanto

4.4 Formas de la ecuación de la recta

4.4.1 Ecuación punto- pendiente

Si una recta pasa por el punto P(x0, y0) y tiene pendiente m, entonces su ecuación tiene la

Forma:

Ejemplo 4.4.1.1 Hallar la ecuación de la recta que pasa por el punto P(2, -3) y cuyo

ángulo inclinación es

Solución. Para formar la ecuación dada en 4.5.1, se requiere conocer la pendiente y las

coordenadas de un punto por el que pase la recta.

Según 4.2, conocido el ángulo de inclinación es posible determinar la pendiente de la

recta calculando la tangente de este ángulo, es decir . De donde la ecuación

de la recta es . Por lo tanto . Desarrollando esta

ecuación resultará

3y - x + 9 +2 = 0

Al multiplicar ambos lados de la ecuación por –1, se obtiene

4.4.2 Ecuación pendiente-ordenada en el origen.

Si una recta de pendiente m corta al eje de las ordenadas en el punto de coordenadas

tiene por ecuación

Esta ecuación se obtiene sustituyendo el punto de coordenadas en la ecuación

punto- pendiente (4.4.1).

Ejemplo 4.4.2.1. Determinar la ecuación de la recta con pendiente –2 y ordenada en el

origen 6.

Solución. Como m = -2 y b = 6, la ecuación tendrá la forma

Reescribiendo esta ecuación se tiene

4.4.3 Ecuación de la recta que pasa por dos puntos.

La recta que pasa por los puntos P1(x1,y1) y P2(x2, y2) tiene por ecuación

Ejemplo 4.4.3.1. Hallar la ecuación de la recta que pasa por los puntos P(-2,1) y Q(3, -4).

Solución. Sabemos que m = , luego sustituyendo en la ecuación dada en

4.5.3, se obtiene , de donde y + 4 = -x + 3. De aquí resulta que

x + y + 1 = 0

4.4.4 Forma simétrica de la ecuación de la recta.

La recta cuya intersección con los ejes X e Y son respectivamente,

tiene por ecuación

Ejemplo 4.4.4.1. Determinar la ecuación de la recta que corta al eje X en el punto

y al eje Y en .

Solución. Los puntos de cortes con los ejes X e Y, nos indican que ,

entonces aplicando la expresión correspondiente a la ecuación simétrica de la recta se

tiene que

Reescribiendo la ecuación simétrica se obtiene

Seguidamente al multiplicar ambos lados de la ecuación por 3, resulta

De donde:

4.4.5. Ecuación General de la recta.

La ecuación

donde A,B y C son constantes, con A y B no simultáneamente iguales a cero, se denomina

Ecuación General de la recta.

Observación. Cabe destacar que las ecuaciones resultantes en los ejemplos de las secciones

4.4.1, 4.4.2, 4.4.3 y 4.4.4, corresponden a la Ecuación General de la recta.

Ejemplo 4.4.5.1. Hallar la ecuación de la recta que pasa por el punto (-3,1) y es paralela a

la recta que une los puntos (2,4) y (4,7).

Solución. Sea R la recta que pasa por el punto (-3,1) y cuya ecuación, en su forma punto-

pendiente, se quiere calcular. Como R es paralela a la recta L que contiene a los puntos

(2,4) y (4,7), la pendiente de esta última es igual a la de R. Es decir,

Seguidamente sustituyendo en la ecuación punto-pendiente el punto (-3,1) y la

pendiente , resulta que

Desarrollando las operaciones, se obtiene

Por lo tanto la ecuación de la recta R es

Ejemplo 4.4.5.2. Hallar la ecuación de la recta R que pasa por el punto (4,7) y es

perpendicular a la recta L cuya ecuación es

Solución. Como en el anterior ejemplo, determinaremos la ecuación de la recta en su forma

punto-pendiente. Con este fin calcularemos su pendiente haciendo uso del teorema

4.3.2 que afirma, que al ser R y L rectas perpendiculares, sus pendientes satisfacen la

siguiente igualdad Para hallar se reescribe la ecuación de L en la forma

pendiente-ordenada en el origen, resultando

De aquí se tiene que . Por lo tanto la pendiente de R es

Sustituyendo el punto (4,7) y la pendiente en la ecuación punto-pendiente, se tiene

que

De donde

Por lo tanto la ecuación de la recta R es:

Ejemplo 4.4.5.3. Hallar la distancia del punto a la recta de ecuación

Solución. En la figura se muestra que la distancia entre el punto (4,2) y la recta ,

está dada por la longitud del segmento de recta , el cual es perpendicular a la recta dada.

Para calcular la longitud de dicho segmento, se determinarán las coordenadas (a, b) del

punto de intersección de con la recta

Con este fin hallemos la ecuación de la recta que contiene al segmento . Para ello

calculemos la pendiente de la recta despejando de la ecuación:

De donde la pendiente es . Por el teorema 4.3.2, la recta perpendicular a la recta dada y

que pasa por el punto (4, 2) tiene pendiente . Luego la ecuación de la recta buscada es

. Reescribiendo esta última ecuación se obtiene A

continuación plantearemos el sistema de ecuaciones

para determinar el punto de intersección de ambas rectas. Este sistema podemos resolverlo,

entre otros, por el método de reducción. Para ello multiplicamos la primera ecuación por 4

y la segunda por 3, para obtener

Por lo tanto . Conocido el valor de , despejamos el de utilizando

cualquiera de las dos ecuaciones del sistema. Elijamos para esto la segunda ecuación

De aquí tenemos que

Por lo que Entonces las coordenadas del punto de intersección son

.

La siguiente gráfica muestra las coordenadas del punto

Con el punto (4,2) y el punto de intersección hallado, podemos calcular la distancia

entre ellos, mediante la fórmula

Resultando

Así la distancia entre el punto (4,2) y la recta es .

Observación. Toda recta horizontal tiene por ecuación donde es el punto de

corte con el eje Por otra parte, toda recta vertical esta dada por la ecuación siendo

el punto de corte con el eje

EJERCICIOS PROPUESTOS

1. Hallar la ecuación de la recta que pasa por los puntos (4,2) y (-5,7).

2. Hacer la representación gráfica de:

a) La recta de pendiente que pasa por el punto (2,5)

b) La recta 2x+4y-8=0

3. Hallar la ecuación de la recta cuya pendiente es –3 y cuya intersección con el eje Y es

4. Una recta corta los ejes X e Y en los puntos 2 y –3 respectivamente. Hallar su ecuación.

5. Demostrar que los puntos (-5,2), (1,4) y (4,5) son colineales, hallando la ecuación de

la recta que pasa por dos de estos puntos.

6. ¿El punto , está en la recta que pasa por los puntos ?.

Demuéstrelo.

7. Determine por medio de la pendiente si los puntos A(-6,-8), B(4,2) y C(14,4) son

colineales.

8. Hallar la ecuación de la recta que pasa por el punto (-3, ) y es perpendicular a la recta

4x+8y=16.

9. Hallar la ecuación de la recta cuya pendiente es –4 y que pasa por el punto de

intersección de las rectas 2x+y-3=0 y 3x-2y+4=0.

10. Una recta pasa por la intersección de las rectas 3x+2y+8=0 y 2x-9y-5=0. Hallar su

ecuación sabiendo que es paralela a la recta 6x-2y+11=0.

11. Una recta pasa por la intersección de las rectas de ecuaciones 7x-2y=0 y 4x-y-1=0 y

es perpendicular a la recta 3x+8y-19=0. Hallar su ecuación.

12. Hallar la distancia entre las rectas 3x-4y+8=0 y 6x-8y+9=0.

13. Hallar el valor de para que la recta sea paralela a la recta

14. ¿Para qué valores de tendrá la recta las siguientes propiedades:

a) pendiente 1; b) intersección con el eje en 2; c) pase por el punto ; d) sea

paralela a la recta ; e) sea perpendicular a la recta

5. LA CIRCUNFERENCIA

Definición. Circunferencia es el conjunto de los puntos del plano que equidistan de un

punto fijo. Este punto fijo, denotado por se denomina centro de la circunferencia

La distancia constante se llama radio de la circunferencia

5.1 Ecuaciones de circunferencia.

5.1.1 Ecuación ordinaria o canónica.

La circunferencia de centro el punto y de radio la constante tiene por

ecuación

Esta ecuación se obtiene como resultado de la aplicación de la fórmula que permite

calcular la distancia entre dos puntos del plano cartesiano.

Ejemplo 5.1.1.1. Hallar la ecuación de la circunferencia que pasa por el punto (-1,1) y cuyo

centro es el punto (3,-2).

Solución. Conociendo el centro de la circunferencia y un punto de ella, se puede determinar

el radio , aplicando la fórmula de la distancia entre ambos puntos, es decir,

Al sustituir el radio y las coordenadas del centro de la circunferencia en la ecuación

canónica, se tiene

Así la ecuación canónica de la circunferencia es

Ejemplo 5.1.1.2. Hallar la ecuación de la circunferencia en la que una de las cuerdas que

contiene al centro tiene por extremos los puntos de coordenadas (1,-2) y (-3, 2).

Solución. Como la cuerda contiene al centro de la circunferencia, éste debe coincidir con el

punto medio de la cuerda. Por lo tanto las coordenadas del centro de la circunferencia son

las siguientes:

Halladas las coordenadas del centro de la circunferencia, podemos determinar el radio

calculando la distancia entre cualquiera de los puntos dados y el centro.

Luego, la ecuación canónica de la circunferencia es

5.1.2 Ecuación general

La expresión

representa una circunferencia de radio diferente de cero, solamente si

Las coordenadas del centro son, entonces, y el radio es

Observación. Cabe mencionar que al desarrollar la ecuación ordinaria de la circunferencia,

se obtienen las expresiones anteriores.

Ejemplo 5.1.2.1. Reducir la siguiente ecuación a la forma ordinaria de la ecuación de la

circunferencia. Si la ecuación representa una circunferencia, hallar su centro y radio.

Solución. Para llevar la ecuación a la forma ordinaria se deben seguir los siguientes pasos:

a) Si los coeficientes de son diferentes de 1 e iguales, se divide la ecuación

dada por el valor de tales coeficientes, es decir en este caso al dividir la ecuación por

2, se obtiene

Si ambos coeficientes valen 1, ir directo al paso b).

b) Ubicar el término independiente en el lado izquierdo de la ecuación. Para ello, se debe

sumar ambos lados de la ecuación por esto nos da, después de ordenar los

términos,

c) Completación de cuadrados: Se suma el cuadrado de la mitad del coeficiente de y

el cuadrado de la mitad del coeficiente de a ambos miembros de la ecuación

obtenida en b). Esto da

d) Reescribir los polinomios en cada paréntesis usando la factorización por trinomio

cuadrado perfecto. Con lo que se tiene

De donde, podemos decir que la ecuación dada representa una circunferencia cuyo centro

es y cuyo radio es 4.

EJERCICIOS PROPUESTOS

1. Hallar la ecuación de la circunferencia de:

a) Centro y radio 2.

b) Centro y radio 3.

c) Centro y radio 5.

d) Centro y radio

1. En cada uno de los siguientes ejercicios: reducir la ecuación dada a la forma ordinaria y

determinar si representa o no una circunferencia. Si la respuesta es afirmativa, hallar su

centro y su radio.

a)

b)

c)

d)

e)

f)

g)

2. El centro de una circunferencia es La referida circunferencia es tangente a la

recta dada por Hállese su ecuación.

3. Una circunferencia pasa por los puntos y su centro está en la recta

Hallar su ecuación.

Ayuda. Toda recta perpendicular que pase por el punto medio de una cuerda contiene al

centro de la circunferencia.

1. Hallar las ecuaciones de las rectas tangentes a la circunferencia

en los puntos de ordenada

Ayuda. Toda recta perpendicular a una recta tangente a una circunferencia, que la

intersecte en el punto de tangencia, pasa por el centro de la circunferencia.

2. Hallar el centro y el radio de la circunferencia que pasa por y es tangente a la

recta en el punto .

3. Hallar las ecuaciones canónicas de las circunferencias de radio 2, tangentes a ambas

rectas

4. Hallar el valor de de manera que sea la ecuación de una

circunferencia de radio 5.

5. Hallar las ecuaciones de las circunferencias que pasan por el punto y son tangentes

a las rectas

6. Hallar la ecuación canónica de la circunferencia concéntrica con al circunferencia

y es tangente a la recta