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8/12/2019 Guia de Mat 101pucmm__adaptada Al Nuevo Pograma

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Gua de matemtica 101, Por: Cristian Gonzlez Cruz, MSc,. Derechos Reservados 1

GUA DE MATEMTICA 101

CRISTIAN M. GONZLEZ CRUZ, MSc.

Revisada y Corregida Por:PATRIA FERNNDEZ

Derechos ReservadosProhibida la copia parcial o total de este documento


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UNIDAD 1 ECUACIONES EINECUACIONES

PGINA

Las ecuaciones 3Solucin de una ecuacin lineal 4

Ecuacin fraccionaria 7Ejercicio de ecuacin 9Despeje de frmula 10Ecuaciones cuadrticas 12Problemas de palabras 20Los nmeros complejos 31Operaciones con nmeros complejos 33Ecuaciones miscelneas (otro tipos deecuaciones)

36

Las desigualdades 41Los intervalos 42

Inecuaciones productos y cocientes 46UNIDAD 2 GEOMETRAANALTICAEjes de coordenadas 54distancia y coordenadas del punto medio 54Grfica de ecuaciones 58La rectas 63Ecuacin de la circunferencia 72

777883

88LAS FUNCIONES 93

Tipos de funciones y graficas 94Graficas trasladadas 106Reflexiones 108Funciones a trozos 110Operaciones con funciones 112Funciones crecientes y decrecientes 114Funciones cuadrticas 117Proporcionalidad o las variaciones

UNIDAD 4 CEROS DE OLINOMIOSDivisin de polinomios 126La divisin sinttica 128Teorema del residuo y del factor 130Factorizacin de polinomios de grado > 2 133Sistemas de ecuaciones lineales y nolineales

137

Sistema de ecuaciones lineales 140


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UNIDAD 1.1

LAS ECUACIONES

ECUACION: Es un enunciado que expresa la igualdad de dos expresiones o cantidades

que pueden tener una o ms variables x, y m, n, a, b etc.Ejemplos

1. 2x + 5 = 3x 72. D = v t3. 3x2 - 6x + 5 = 0

SOLUCIN O RAIZde una ecuacin: es un nmero o valor por el cual si sustituimos lavariable y produce una expresin verdadera en la igualdad.

Ejemplo: 2x 4 = 6, si x = 5 tenemos 2(5) 4 = 6 V entonces

5 es una solucin o raz de la ecuacin 2x 4 = 6

ECUACIONES LINEALES EN UNA VARIABLE

Toda ecuacin de la forma ax + b = 0, donde a y b son nmeros reales y a 0,

Ejemplos: 1. 2 x + 6 = 0 2. 3x 9 = 2

RESOLVER UNA ECUACION: es hallar todos los valores que satisfacen la igualdad, o

sea, los valores que puede tomar la variable para hacer cierta la igualdad.ECUACION ALGEBRAICA: es una ecuacin que slo contiene expresiones algebraicasya sean polinomios, radicales, expresiones racionales etc.

ECUACION CONDICIONAL: es una ecuacin para la cual existen valores que nosatisfacen la igualdad ejemplo: 2x 1 = 7 no se satisface con otro valor diferente de 4.

IDENTIDAD: se satisface para todos los valores que estn dentro del dominio de lavariable.

Ejemplo (2y 3)

2

= 4y

2

- 12y + 9la igualdad se satisface para cualquier valor que tomela variable y.

ECUACIN LINEAL EN LA VARIABLE X: es toda ecuacin que se puede escribirde la formaa x + b = 0 donde a0, ay b denotan nmeros reales.Ejemplos: 2x 12 = 0, 3x + 4 = 2x 1, 2x 7 = 3x + 16.


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ECUACIONES EQUIVALENTES: son ecuaciones que tienen las mismas soluciones

OPERACIONES QUE PRODUCEN LAS ECUACIONES EQUIVALENTES

1) Sume o reste en cada lado de la ecuacin la misma expresin que represente unnumero real.

2) Multiplique o divida cada lado de una ecuacin por la misma expresin querepresente un nmero real diferente de cero.

Ejemplo 1: Hallar la solucin de x - 2 = - 5,Si a ambos lados sumamos 2

x 2 + 2= - 5 + 2x + 0 = - 3x = - 3, C S = {-3}

Ejemplo 2: x + 3 = 12 si a ambos lados restamos 3x + 3 -3 = 12 - 3

x = 9CS ={9}

Ejemplos 3: Encuentre el conjunto solucin de: 2x 1 = 7

es equivalente con 2x 1 + 1= 7 + 1 equivalente a 2x = 8 Este a su vez es

equivalente a equivalente a x = 4, CS = {4}

SOLUCION DE UNA ECUACION LINEAL

Una ecuacin de la forma ax + b = 0 siempre que a0

Ejemplo 1: encuentra la solucin de la ecuacin lineal ax + b= 0a x + b b= 0 - b

a x = - b

CS = { }

Resolver la ecuacin 5x 4 = 2x + 2,

Para solucionar 5x 4 = 2 x + 2

aplicamos las propiedades de las ecuaciones equivalentes y sumamos 4en ambosmiembros y restaremos 2xen ambos miembros


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5x 4 + 4 2x = 2 x + 2 2x + 4, entonces 5x 2x -4 + 4 = 2x 2x + 2 + 6,

5x 2x + 0 = 0 + 2 + 6, de modo que tenemos 3x 0 = 0 + 6,

Entonces 3x = 6

Si dividimos ambos miembros entre 3, tenemos de ah que x = 2

Observe que:sumamos 4para que con -4que est en el 1er miembro obtener cero,-4 + 4 = 0,

Restamos 2x para que sumado con el 2x que est en el 2do miembro obtener cero,

2x -2x = 0

Otra forma de realizar este ejemplo y de mejor comprensin para el alumno es:

Hallar el conjunto solucin de: 5x 4 = 2 x + 2

5x 4 + 4 = 2x + 2 +4 Sumamos 4 en ambos lados5x = 2x + 65x 2x = 2x + 6 -2x restamos 2x en ambos lados3x = 6

Dividimos ambos lados entre 3

x = 2 CS = {2}

PRUEBA DE LA SOLUCION: sustituimos la variable x por 2

5(2) 4 = 2(2) + 2, entonces 10 - 4 = 4 + 2 de modo que 6 = 6, esto prueba que x

= 2 es una solucin de la ecuacin 5x 4 = 2x + 2.

Ejemplo 2:

Hallar la solucin de la ecuacin 2x (3x-4) = 6x2 - 7x 1

Realizamos la multiplicacin en el 1ermiembro 6x2 8x = 6x2- 7x - 1

Observa que: los dos miembros tienen 6x2 estos se puedeneliminar o suprimiraplicando la propiedad cancelativa,

-8x = -7x 1, sumando 7x en ambos miembros tenemos-8x + 7x = -7x - 1 + 7x,- x = - 1 multiplicamos ambos lados por -1 obtenemos que x = 1,


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Prueba:

(-1)(-x) = (- 1) (-1) y obtenemos que x = 1 CS = {1}

EJEMPLO 3: RESUELVA LA ECUACION

( x 5 )

2

+ 2 = (x -2)

2

+ 5 Desarrollando el cuadrado en ambos miembros tenemosx2 10x + 25 + 2 = x2 - 4x + 4 + 5 restar x2 en ambos lados (propiedad cancelativa)

- 10 x + 27 = - 4x + 9- 10 x + 27 -27 = - 4x + 9 27

-10 x = - 4x -18

-10 x +4x = -4x -18 + 4x

- 6 x = -18

CS = {3}

EJEMPLO 4: como el M.C.M. de los denominadores es 2,

vamos a multiplicar ambos lados por 2

2( ) = 2( )

3x 5 = x + 1

3x 5 + 5 = x+1 + 5

3x = x + 63x x = x + 6 x

2x = 6

=

X = 3 CS = {3}

EJEMPLO 5: el M.C.M. de los denomidadores es 3(5) = 15

15 ( ) = 15( )


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9x 10 = 5x + 189x 5x = 18 +10 restamos 5x en ambos lados, sumamos 10 en ambos lados4x = 28

=

x = 7 CS = {7}

ECUACIONES CON DECIMALES:0.3 x 0.2 = 0.04 x + 0.5

Observas que: si hay decimas, centsimas, milsimas se debe multiplicar por 10 si todoslos decimales son dcimas,

Multiplicamos por 100 si aparecen centsimas y no hay milsimas ni diez milsimas,

Multiplicamos por mil si hay por lo menos una milsima.

EJEMPLO 1:

ENCUENTRE LA SOLUCIN DE LA ECUACIN 0.3 X 0.2 = 0.04 X + 0.5.Para solucionar 0.3 x 0.2 = 0.04 x + 0.5 debemos multiplicar por 100 en ambos

miembros porque aparece 0.04

(0.3 x 0.2)100 = (0.04 x + 0.5)100 y tenemos 30x 20 = 4x + 50 que es una

Ecuacin con valores enteros y que ya podemos solucionar de manera normal30 x - 20 + 20 - 4x= 4x + 50 +20 -4x

26 x = 70 entonces simplificando

EJEMPLO 2: ENCUENTRE LA SOLUCION DE: 0.2 x + 1.2 = 0.7

Multiplicamos por 10 en ambos lados 10(0.2 x + 1.2) = 10(0.7)2x + 12 = 72x +12 - 12 = 7 -12

x = , x = CS ={ }

ECUACIONES FRACCIONARIAS: se debe multiplicar ambos miembros por elM.C.M. de los denominadores y cuando se finalice se debe buscar el conjunto solucindentro del dominio de la variable.

Ejemplos 1: Resolver la ecuacin

Factorizamos cada denominador

y 2 = y -2


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y2-4 = (y+2)(y-2) el M.C.M. de los denominadores es: (y+2) (y- 2)

re - escribimos la ecuacionen la solucion y 2

multiplicamos cada lado por el M.C.M. de los denominadores (y+2) (y-2)

y + 2 = 2y + 1

y 2y = 1 2

-y = -2 multiplicando por -1 y = 1. CS = {1}

Ejemplos 2: Resolver la ecuacin

Multiplicamos ambos miembros por el M.C.M. de los denominadores que es x - 2,

Observas que: 2 no est dentro del dominio de la variable x, por tal motivo no puede sersolucin de la ecuacin porque hace el denominador cero.

Entonces multiplicando por el m.c.m. x 2

y obtenemos

Entonces 3x x + 2 = 6, 2x + 2 = 6 de ah que restamos 2 en ambosmiembros y 2x+2 2 = 6 2, 2x = 4 dividiendo entre 2 nos queda que:

por lo que x = 2.

Como 2 nos esta dentro del dominio de la variable en el conjunto solucin se excluyeeste valor y se expresa CS = { }.

Si en el ejercicio anterior obtenamos cualquier valor diferente de 2 (que no estaba enel dominio), entonces tomamos dicho valor para el conjunto solucin.

Ejercicios 1.1:REALICE LAS SIGUIENTES ECUACIONES Y COMPRUEBE CADARESULTADO

1. 2x 3 = 5x + 42. 3y(2y 7) = (6y-2) ( y 6)


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3. 4(2m 3) = 7m 124. (2x - 4)(5x + 3) = 10 x2 12x 25. 3m2 - 5m + 8 = (m -1)(3m + 2)6. 3x (2x +4) +2x(5x-1) = 10x2 + 4x -27. 6m (5m + 1) + 2m(4m-1) = 8 m2 + 2m 78. 0.1a+ 0.7 = 0.3a+ 0.59.10.

11.

12.(x + 3)2 + 11 = x2 + 6x + 2013. 0.03 b 0.25 = 0.9 b + 0.3514.x-2 =15.

16.17.18.19.20.21.Considere lo siguiente x = -4

4x = -16

x2+ 4x = x2 16

x (x + 4) = (x + 4)(x - 4)


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x = x - 4

0 = - 4

Por qu se obtiene el enunciado falso a partir de la ecuacin x = -4?

22.Considere esta secuencia de ecuacionesx2-1 = x2-2x-3

(x+1)(x-1) = (x-3) (x+1)

x - 1 = x - 3

- 1 = -3 es falso

cul es la solucin de la primera ecuacin de la secuencia?1.2FORMULAS Y APLICACIONES

Algunas aplicaciones en ciencias requieren el uso de frmulas queincluyan varias variables y muchas veces es necesario obtener unafrmula ms conveniente a partir de otra despejando la variabledeseada en funcin de las variables restantes, encontrando ecuacionesequivalentes.

DESPEJE DE FORMULAS:

Ejemplo 1.

Si tenemos la frmula de la distancia en el movimiento rectilneo y uniformed = v t despejar v

Como la variable v y la variable testn multiplicando, debemos dividir ambosmiembros entre t ,

de donde es decir que

Ejemplo 2FRMULA DEL MONTO EN EL INTERES SIMPLEM = C + C r t despejar C,

Observe que: Caparece ms de una vez en un mismo miembro de la ecuacion,


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por tanto debemos factorizar antes de despejar,

extrayendo el factor comn en el segundo miembro M = C (1 + r t)

dividimos ambos miembros entre el factor (1 + r t)

o lo que es lo mismoFRMULA DE LA RESISTENCIA TOTAL (RESISTENCIAS EN PARALELO)

DESPEJAR R1,

Como la formula tiene el modelo de una ecuacin fraccionaria, usamos el mismoprocedimiento que usamos para resolver dicho tipo de ecuaciones

a) Buscar el M.C.M. de los denominadores R R1R2b) Multiplicamos cada miembro por el M.C.M. hallado

Simplificando tenemos

R1R2= R R2+ R R1

Observas que R1 est en ambos miembros, debes agruparlo en un solo miembro yluego factorizamos

Si restamos R R1 en ambos lados y tenemos

R1 R2 R R1= R R2+ R R1 R R1 cancelamos

R1R2 R R1= R R2 extraemos el factor comn en el miembro de la izquierda R1

R1 (R2 R) = R R2 dividiendo ambos lados entre (R2 R)

EJERCICIOS 1.2

EN CADA UNA DE LAS FORMULAS DADAS DESPEJA LA VARIABLE QUE SETE INDICA


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1. C = Grados Celsius Despejar F2. Resistencia en paralelo Despejar R2,3. C = 2r Longitud de una circunferencia Despejar r4. I = C r t Inters simple Despejar t, despejar r5. A = rea de un trapecio Despejar B, Despejar h6. P = 2 l + 2 h Permetro de un rectngulo Despejar l, despejar h7. A = Area de un triangulo Despejar b, despejar h.8. Ley de ohm en electricidad Despejar I, despejar V9. H = vot + g t2 Altura en cada libre Despejar vo,10.V = r3 Volumen de una esfera Despejar r11. Volumen de un cono Despejar r, despejar h12. Lentes en ptica Despejar p, despejar q

1.3 ECUACIONES CUADRATICAS

Toda ecuacin de la forma ax2

+ b x + c =0 donde a0es llamada ecuacin cuadrtica de variable x.(la ecuacin cuadrtica es unaecuacin polinmica), tambin se le llama ecuacin de segundo grado

Ejemplos1. 5x2 3x + 2 = 02. x2 + 5 = 7x3. 6x2 = - 4 + 9 xTEOREMA DEL FACTOR CEROSi p y q son dos expresiones algebraicas, entonces

p. q = 0 si y solo si p = 0 o q = 0

Una ecuacin cuadrtica se puede resolver por varios mtodos


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a) Solucin por factorizacin:

Ejemplos1. Resolver por factorizacin la ecuacin 2x2 + 5x 3 = 0

Factorizamos aplicando el trinomio de la forma ax2 + bx + c

2 x2+ 5x 3 = 0(2x - 1) (x + 3 ) = 0 apliquemos el teorema del factor cero(2 x 1) = 0 (x 3) = 0

x1=

2

1 x2= 3 Cs={ , 3}.

2. Resolver por factorizacin la ecuacin: x2 3 x 10 = 0Factorizamos el trinomio de la forma x2 + bx + c tenemos

x2 3 x 10 = 0

(x 5) (x + 2) = 0 aplicamos el teorema del factor cerox 5 = 0 x + 2 = 0x1= 5, x2= -2 Cs= {-2, 5}

3.

Resolver por factorizacin: la ecuacin 5x

2

10x = 0Extrayendo el factor comn 5x tenemos 5x (x 2) = 0Usamos el teorema del factor cero 5x = 0 x - 2 =0

x1 = 0 x2 = 2 Cs= {0, 2}

4. Resolver por factorizacin x2 4 = 0Factorizamos la diferencia de cuadrados (x + 2)(x 2) = 0

Usamos el teorema del factor cero x + 2 = 0 x 2 = 0

x1= - 2 x2= 2Cs = {-2, 2}

5. Resolver por factorizacin usando nmeros reales; x2+ 5x +2 = 0Solucin: Como x2+ 5x +2 no es factorizable en los reales, eso no significa que laecuacin no tenga solucin si no que se debe usar otro mtodo que explicaremos masadelante..


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EJERCICIOS 1.3 a

Realiza las siguientes ecuaciones por factorizacin

1. x2 16 = 02. 2x2 6x = 03. x2 4 x 21 = 04. x2+ 2x + 1 = 05. x2 - 7 x + 10 = 06. 3x2+ 13x + 4 = 07. 5x2 14 x 3 = 08. 2x2 - 7 x + 3 = 09. 4x2 x 5 = 010.6x2+ 5x 4 = 011.3x2= 10 x12.x2+ 16 = 8x

b) METODO DE LA RAZ CUADRADA O ECUACION CUADRATICA

ESPECIALSI x2= d entonces x =

EjemplosRESUELVE LAS SIGUIENTES ECUACIONES USANDO EL METODO DE LARAIZ CUADRADA

1. x2= 3 entonces x = es decir que: x1= x2= -2. (x 2)2= 9 entonces x 2 = por lo que x 2 =

De ah que x = 2 x1= 2 + 3 x2= 2 3

X1= 5 x2= - 1 Cs = {-1, 5}

EJERCICIOS 1.3 bREALIZA LAS ECUACIONES USANDO LA FRMULA ESPECIAL

1. x2= 4


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2. x2= 13. x2 16 = 04. x2 - 5 = 45. (x + 1)2= 46. (x 3 )2= 497. (x + 5)2= 648. (x + 4)2= 29. (x + 7)2= 2510.(x - 9)2= 4c) SOLUCIN DE UNA ECUACIN CUADRTICA COMPLETANDO EL

CUADRADO

Dado x2+ kx para formar un trinomio de modo que sea de cuadradosperfectos, el tercer termino debe ser (k/2)2 y asi obrenemos

a) x2+ k x + ( )2 = (x + )2Dado x2- kx para formar un trinomio de modo que sea de cuadradosperfectos, el tercer termino debe ser (k/2)2 y asi obrenemos

b) x2- k x + ( )2 = (x - )2Observa: Que el tercer trmino del trinomio es igual al cuadrado de la mitad delcoeficiente del segundo trmino del trinomio.

Si tenemos un trinomio de cuadrados perfectosc) x2+ k x + ( )2 = (x + )2d) x2- k x + ( )2 = (x - )2

Observe que:el coeficiente del segundo trmino del trinomio es igual al doble de laraz cuadrada del tercer trmino del trinomio.

EJEMPLOS:

ENCUENTRA EL VALOR DE d QUE COMPLETA EL CUADRADO1. x2+ 6 x + d sabemos que d = (6/2)2 por lo que d = 9


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2. x2+ 5 x + d sabemos que d = (5/2)2 por lo que d = 25/43. x2+ d x + 16 sabemos que d = 2 por lo que d = 2(4) d = 8

EJEMPLO:1. Resuelve la ecuacin x2+ 6x 40 = 0 completando el cuadrado

x2+ 6x 40 + 40 = 0 + 40

x2+ 6x + _____ = 40

completamos el cuadrado del miembro de la izquierda

x2+ 6x + _____ = 40 el termino que falta es (2

6)2 = 9

Sumemos 9en ambos lados

Tenemos x2+ 6 x + 9= 40 + 9

factorizamos el trinomio de cuadrados perfectos (x + 3)2= 49si aplicamos la formula especial o mtodo de la raz cuadrada

x + 3 = x + 3 = 7 x = 3 7

x1= 3 + 7 x2= 3 7

x1= 10 x2= - 4 Cs = { -4 , 10}

2. RESUELVE LA ECUACIN X2 3 X 2 = 0 COMPLETANDO ELCUADRADOSumando 2 en ambos miembros tenemos x2 3x 2 +2 = 0 + 2

x2 3x + ______ = + 2 completando el cuadrado en el miembro de laizquierda

X2 3x + ( 2= 2 + ( 2

x2 3 x + 9/4 = 2 + 9/4

Factorizando (x - )2 = (x - )2 =

por lo que

x1 = x2 =


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Cs = { , }

3. RESUELVE ax2+ b x + c = 0 CONa 0 POR EL MTODO DECOMPLETAR EL CUADRADO

Dividimos ambos miembros entre a +

x2 + restamos en ambos miembros

X2+ + _____ = 0 - completando el cuadrado en el miembro de la izquierda

tenemos

x2 + = -

factorizamos (x + =

x + =

x = -

x =

x = esta es la llamada frmula cuadrtica o frmulageneral.

EJERCICIOS 1.3 cHALLAR EL VALOR DE d QUE COMPLETA EL CUADRADO

1. x2 8x + d2. x2 12x + d3. x2+ 6x + d4. x2 + 3x + d5. x2+2x + d6. x2 d x + 9d7. x2+ d x + 818. x2 d x + 121


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9. x2 d x + 410.x2+ d x + 1

RESUELVA LAS ECUACIONES COMPLETANDO EL CUADRADO1. x2 8x + 9 = 02. x2 4x - 21 = 03. y2+ 16y 36 = 04. w2+ 2w 5 = 05. a2+ 6a +6 = 406. x2 5x = -47. y210y 24 = 08. m23m 2 = 09. x2+ 5x 3 = 010.2+ x 6 x2 = 011. 2m2 4m + 10 =012.3x2 2x 3 = 0d)

SOLUCIN DE ECUACIONES CUADRTICAS USANDO LA FMULACUADRTICA O FORMULA GENERAL

x = observas el radicando se llama discriminante

Valor del discriminante Naturaleza de las races

Si > 0 Las races son reales y diferentes

Si = 0 Las races son reales e iguales, unasolucin real con multiplicidad 2

Si < 0 Las races no son reales y ambas son

distintas (complejas y conjugadas)

EJEMPLOSRESOLVER LA ECUACIN 4 X2+ X 3 = 0 USANDO LA FRMULACUADRTICAa= 4 b = 1 c = -3

Buscamos el valor del discriminante para saber la naturaleza de las races


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(1)2 4 (4)(-3)1 + 4849 como 49 > 0 las races son reales y diferentes

Usando la frmula cuadrtica

x =

Este ejercicio se poda resolver as:

x =

y se obtienen las mismas soluciones

ejemplo 2: encuentre el conjunto solucin de la ecuacion 4x2-4x = -1

4x2 - 4x + 1 = 0

a=4, b = -4, c = 1el discriminante es b2 4 ac

(-4)2 - 4 (4) (1)

16 16 = 0 como el discriminante es igual a cero las soluciones son realese iguales

x =

x = , x = x = esta raz tiene multiplicidad 2

Cs = { }

EJERCICIOS 1.3 d


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RESUELVA LAS SIGUIENTES ECUACIONES USANDO LA FRMULACUADRATICA O FRMULA GENERAL1. x2+ 4x 96 = 02. 2m2-3m +1 = 03. x2+ 4x 21 = 04. y2+ 7y 60 = 05. w2+ 49 = 14w6. 3s2 = - s - 17. 5x2+ 4 =9x8. 4x2+11x +45 = 09. 4x2+ x 3 = 010.9x2 30x +25 = 011.x2+ 5x +6 = 012.4s2 3s 80 = 513.3x (2- x) + 9 = 014.5x (1 x) = -215.16.17.18.19.20.

Despeje la variable especificada

1) E = M V2 (Energia cinetica) Despeje V


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2) V = r2h (Volumen de un cilindro) Despeje r3) A = r2 (Area del circulo) Despeje r4) F = G (Ley de la gravitacin universal) Despeje d5) (Ecuacion de una elipse) Despeje y, Despeje x1.4 PROBLEMAS DE PALABRAS

ESCRIBE EN LENGUAJE MATEMATICO ESTOS ENUNCIADOS1. El doble de un nmero n___________________2. El cubo de un nmero x ____________________3. El cuadrado de la suma de x con y __________4. La suma de los cuadrados de x e y ____________5. La diferencia de dos nmeros m y n____________6. El cuadrado de una diferencia de dos nmeros x , y __________7. La diferencia de los cuadrados de dos nmeros m, n__________8. El triplo de un nmero x _______________9. El cuadrado de un nmero m mas el cubo de ese mismo nmero_______10.Un nmero x aumentado en 12 unidades_______________11.El doble de un nmero w disminuido 8 unidades12.El cubo de un nmero z menos el doble de el mismo nmero___________

PROBLEMAS DE PALABRAS O DE PLANTEO

Sugerencias: para resolver un problema de palabraLea cuidadosamente el problema hasta comprenderlo

1. Use siempre una variable x, y, m, n, p, s para plantear los enunciados en formasimblica o lenguaje matemtico.

2. Haga una lista de los datos conocidos y su relacin con los datos desconocido3. La palabra es equivale a = en el planteo un problema4. plantee con los smbolos matemticos las operaciones que el problema describe5. Si es apropiado use un esquema, una tabla un diagrama, o una grfica.6. Resolver la ecuacin o inecuacin formulada7. Verifique o compruebe la solucin hallada.


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(un problema de edad)

Ejemplo 1: La edad de una abuela es el triplo de la edad del nieto y juntos tienen 76aos, hallar la edad de cada uno.

Vamos a escribir la edad de la abuela en funcin de la edad del nieto porque tienemenos aos que ella.

Sea x la edad del nietoSea 3x la edad de la abuela, esto as, porque la abuela tiene el triple de la edad del nietoJuntos tienen 76 aos

Planteo x + 3x = 76 y resolviendo esta ecuacin obtenemos la solucin delproblema

x + 3x = 76, sumando en el primer miembro 4x = 76 dividiendo entre 4

4

76

4

4=x x = 19 esta es la edad del nieto y 3x = 3(19) = 57 es la edad de la abuela,

as 19 + 57 =76.

(Un problema de suma y diferencia de nmeros)

Ejemplo 2. La suma de dos nmeros es 50 y su diferencia es 26, encuentre los dosnmeros.Se puede plantear de dos formas: por la prueba de suma o por la prueba de diferenciaPrueba de la diferencia prueba de la sumaSea x el menor uno de los nmeros

Sea x + 26 en mayor de los nmerossea x uno el menor de los nmerossea 50 x el mayor de los nmeros

Plnteo Plnteox + (x + 26) = 50 (50 x) x = 26

Solucin x + x + 26 = 502x + 26 = 502x + 26 26 = 50 262x = 24

22

x =224

x=12

x + 26 = 12 + 26 = 38los dos nmeros son 12 y 38

Solucin 50 x x = 2650 2x = 2650 2x 50 = 26 50

- 2 x = - 24

22

x =

224

x=12

50 x = 50 12 = 38los dos nmeros son 12 y 38

(Un problema de edad pasado el tiempo)Ejemplo 3: Hacedos aos Jos tenia cinco veces la edad de Pedro. Ahora es ocho aosmayor que Pedro. Encuentre la edad actual de ambos

Edad actual Edad de hace 2 aosPedro x x 2Jos x + 8 x + 8 2, x + 6


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El planteo est en el enunciado donde dice:

Hace dos aos Jos tena cinco veces la edad de pedrox + 6 = 5 (x 2), x + 6 = 5 x 10, x + 6 5x -6 = 5 x 10 5x -6 ,

x 5 x = - 10 6, - 4x = - 16, x =

4

16

, x = 4 edad actual de pedro,

x + 8 = 4 + 8 = 12 edad actual de Jos.

Otro planteo es:Edad actual Edad de hace 2 aos

Jos x x 2Pedro x 8 x 8 2, x 10Hace dos aos Jos tena cinco veces la edad de pedro

x 2 = 5 (x 10) resuelva la ecuacin y encuentre las edades.

(Problema de Estadstica)

Ejemplo 4 Un estudiante obtiene 78 puntos en un examen y 82 puntos en un segundoexamen de la misma asignatura, si desea que su promedio sea 85 puntos Cunto debeobtener en el tercer examen.

Calificacin del primer examen 78 puntos

Calificacin del segundo examen 82 puntos

Calificacin del tercer examen x puntos (no se conoce esa puntuacin, usamosuna variable)

PlanteoPromedio =

3

321 examenerdelnotaexamendodelnotaexamenerdelnota ++

85 =3

8278 x++ 3(85) = 160 + x, 255 = 160 + x, 255 160 = x, 95 = x

95 es la puntuacin que debe obtener en el tercer examen.

(Problema de trabajo)Ejemplo 5. Una bomba A llena un tanque de agua en 2 horas y una bomba B llena elmismo tanque de agua en 3 horas, si usamos las dos bombas a la vez, en que tiempollenaran el tanque?

Trabajo realizado por la bomba A en una hora =2t

(Si lo llena en 2 horas, en una hora lo llena hasta la mitad del volumen del tanque)

Trabajo realizado por la bomba B en una hora =3

t

(Si lo llena en 3 horas, en una hora lo llena hasta un tercio del volumen del tanque)


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Planteo: los problemas de trabajo se reducen a la unidad en su plnteo

El tiempo para llenar el tanqueTrabajo de la bomba A + trabajo de la bomba B = 1

2

t+

3

t= 1,

2

6t+

3

6t= (6)1, 3 t + 2 t = 6, 5 t = 6 t =

5

6 t = 1.2 horas

Las dos bombas juntas llenaran el tanque en 1 hora y 12 minutos. (0.2 x 60) = 12

Otro planteo es:

Parte del tanque llenado por la bomba A en 1 hora =2

1,

Parte del tanque llenado por la bomba B en 1 hora =3

1,

Parte llenada por A y B juntas =t

1

} } }juntasbyAhoraenBbombahoraenAbomba

t

1

3

1

2

111

=+

623+

=t

1,

65

=t

1,

65t

= 1, t =56

t = 1.2 horas

(Problema de inversin)Ejemplo 6: Se tienen $24,000 para invertir de modo que una cantidad x se colocar en uncertificado financiero que paga 12% anual y la cantidad restante se invertir en una cuentade ahorros al 9% anual. Si al finalizar el ao desea obtener de ganancia el 10% del total

invertido.Total a invertir $ 24,000Sea x cantidad a invertir en el certificado financieroSea $ 24,000 x la cantidad restante a invertir en ahorro

Inters a ganar en el certificado financiero (1 ao)I = C r t = (x) (12 %) (1) = 0.12 x

Inters a ganar en ahorros (1 ao)I= ($ 24, 000 x) ( 9 % ) (1)I = ($ 24, 000 x) (0.09) (1)

I= $ 2,160 0.09 xTotal de intereses a cobrar en el aoIT = 10% de $ 24,000 = 0.10 ($ 24,000) = $2,400

Planteo del problemaIntereses del certificado financiero + intereses de los ahorros = intereses totales

0.12 x + $ 2,160 0.09 x = $ 2, 400


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0.03 x + $ 2, 160 = $ 2, 4000.03 x = $ 2,400 - $ 2,160

0.03 x = $ 240 multiplicando por 100, 3 x = $ 24, 000, x =3

000,24$

X = $ 8,000.00 cantidad a invertir en el certificado financiero

$ 24, 000 x = $ 24,000 - $8,000 = $ 16,000 cantidad a invertir en ahorro.

(Problema de mezcla)Ejemplo. Cuntos litros de una solucin cida al 60% hay que aadir a 28 litros de unadisolucin al 20% para hacer una solucin acida al 30%?Datos

Cantidad original Cantidad aadida Cantidad finalSolucin 28 litros X 28 + xAcido 28 (0.20) x (0.60) 28 (0.20) + x (0.60)

(28 + x) (0.30) = 28 (0.20) + x (0.60)8.4 + 0.4 x = 5.6 + 0.6 x, 0.4 x 0.6 x = 5.6 8.4, -0.2 x = - 2.8, multiplicando por

10, - 2 x = -28, x =2

28

, x = 14 litros de solucin cida al 60% se deben aadir.

(Problema de mezcla)Ejemplo 8. Un qumico tiene 80 ml de una solucin que contiene un acido a 40% deconcentracin Cuntos ml. de acido puro debe agregarse para que la concentracin sea al60%?Datos

Cantidad original Cantidad aadida Cantidad finalSolucin 80 ml. X 80 + x

Acido 28 (0.40) x (100%) 80 (0.40) + x

(80 + x)(0.60) = 80(0.4) + x, 48 + 0.6 x = 32 + x, 0.6 x x = 32 48, - 0.4 x = -16

Multiplicando. Por 10 - 4 x = - 160, x =4

160

,

1. x = 40 litros de solucin cida al 60% se deben aadir.Ejemplo 9. El ancho de un rectngulo es 3 unidades menor que su largo. Si el rea es iguala 4 m2, Cunto miden los lados?

Vamos a dibujar el rectngulo

L = h + 3

h


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Sea L el largo del rectnguloSea h el ancho del rectngulo

largo x ancho = rea del rectnguloL (h) = 4 m2

(h + 3)(h) = 4, h

2

+ 3 x = 4, resolviendo esta ecuacin cuadrtica , h

2

+ 3 x - 4= 0h2+ 3 h - 4= 0(h + 4) (h 1) = 0, h + 4 = 0 h 1 = 0, entonces h = - 4 h = 1Como son dimensiones o medidas -4 se descarta como solucin y las dimensiones sonh = 1 y l = 3 + h l = 3 + 1, l = 4, largo = 4 m2, ancho = 1m2.

Ejemplo 10. La suma de los cuadrados de dos nmeros enteros pares consecutivospositivos es 452. Encuentre dicho nmeros.

Sea x el menor de dos nmeros enteros paresSea x + 2 el siguiente numero par (los nmeros enteros pares consecutivos se llevan 2)

La suma de los cuadrados de los dos nmeros enteros pares consecutivos es: x2 + (x+2)2,

Planteox2 + (x+2)2 = 452 desarrollamos el cuadrado

x2 + x2 + 4 x + 4= 4522x2 + 4x + 4 - 452= 0, 2x2 + 4x - 448= 0, dividiendo entre 2

x2 + 2x - 224 = 0 resolviendo la ecuacin cuadrtica(x + 16) (x - 14) = 0, x + 16 = 0 x 14 = 0

x = - 16 x = 14Como son positivosx = 14, x + 2 = 14 + 2, x + 2 = 16, los nmeros son 14 y 16.

EJERCICIO 1.4

PROBLEMAS DE APLICACIN (Se resuelven con ecuaciones de una sola variable,de primer y segundo grado, no usar dos variables)

1. Un estudiante obtiene 83 puntos en un examen y 93 puntos en un segundo examende la misma asignatura, si desea que su promedio sea 90 puntos Cunto debeobtener en el tercer examen.

2. Un solar tiene cerrado en todo su alrededor 100m. si el largo es 20m. ms que elancho, hallar medidas de las dimensiones del largo y el ancho.

3. Hace 10 aos la edad de Juan era 4 veces la edad de Manny, hoy Juan es 15 aosmayor que Manny, hallar las edades de Juan y de Manny.


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4. En una tienda un artculo tiene precio de $1860 y se anuncia que dicho artculotendr un 20% de descuento a partir de hoy Cunto se debe pagar si hoy deseocomprar dicho artculo?

5. Se tienen $824,000 para invertir de modo que una cantidad x se colocar en uncertificado financiero que paga 16% anual y la cantidad restante se invertir enahorro al 10% anual. Si al finalizar el ao desea obtener de ganancia $36,000 Qucantidad de dinero debe colocar en cada inversin?

6. Un qumico tiene 10ml de una solucin que contiene un acido a 30% deconcentracin. cuantos mililitros de acido puro debe invertir para que laconcentracin aumente al 50%?

7. Un Seor $682,000 para invertir de modo que una cantidad x se colocar en uncertificado financiero que paga 16% anual y la cantidad restante se invertir en unacuenta de ahorros al 10% anual. Si al finalizar el ao desea obtener de ganancia el

12% del totalinvertido8. Una pareja desea cenar en un restaurant, pero no quiere gastar mas de $400 si deben

pagar 16% de itbis ms 10% de propinan Cul es la cantidad que debe hacer en lacuenta para gasta justo $400.

9. Encuentre tres nmeros enteros consecutivos cuya suma sea 192, encuentre los tresnmeros

10.Un trabajador dominicano recibe $8,000 de su salario neto y antes del pago se lehizo un descuento del 25% de su salario bruto Cul es su salario bruto?

11.Un patrn cobra para si $60 por hora trabajada y $20 por hora trabajada para suayudante. Si a un cliente le entregan una factura por $580 y el ayudante trabajo 5horas menos que su jefe Cuntas horas trabaj cada uno?, Qu cantidad le toca acada uno?

12.Hallar dos nmeros sabiendo que su suma es igual a 21 y que uno de ellos es igualal doble del otro.

13.Cuatro veces un numero disminuido en disminuido en diez es igual a 14cual es elnumero?

14.Hallar dos nmero sabiendo que su suma es 37 y que si se divide el mayor por elmenor, el cociente vale 3 y el residuo 5

15.Encuentre dos nmero cuya suma sea 50 y cuya diferencia sea 2616.El cociente de dos nmeros es 4. Si un numero es 39 menos que el otro, encuentre

los dos nmeros


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17.Encuentre tres nmeros enteros consecutivos cuya suma sea 4818.En 5 aos Bryan tendr 3 veces la edad que tena hace 7 aos cuntos aos tiene?19.La edad de una persona es 41 aos y la de su hijo es 9. Hallar al cabo de cuantos

aos la edad del padre triplica del hijo

20.Hace diez aos, la edad de Paty era cuatro veces mayor que la edad de Johanna y,hoy en da, es solamente el doble. hallar las edades de ambos

21.La edad actual de Juan es el doble de la de Fernando hace cinco aos Juan era tresveces mayor que Fernando. Hallar su edades actuales

22.En una oferta, una tienda de artculos deportivos redujo un 24% en precios de lasbolas de beisbol, hasta alcanzar un precio de 96.40cual es el precio original?

23.Marcos compro un libro al que le rebajaron un 15 %. si pago $1,020.00 cual era elprecio original del libro? Construye las ecuaciones relacionadas

24.Encuentra tres nmeros consecutivos enteros tales que el producto del primero porel tercero es igual a 5 veces el segundo mas 13.

25.Un cuadrado de lado L se deforma para obtener un rectngulo sumando 3 unidadesa uno de sus lados y restando 2 al otro lado. El rectngulo obtenido tiene rea 6.Hallar el valor de L.

26.La suma de los cuadrados de dos nmeros impares consecutivos es 74. Encuentredicho nmeros.

27.Encuentra tres nmeros consecutivos enteros tales que el cuadrado del primero msel cuadrado del segundo es igual al cuadrado del tercero mas 7 veces el segundo.

28.El rea de un rectngulo es igual a 35 y si permetro es igual a 24 metrosCules son las dimensiones del rectngulo?

29.En un triangulo rectngulo, la hipotenusa mide 2 unidades mas que uno de loslados y una unidad mas que el otro Cules son las dimensiones del rectngulo?

30.Encuentra dos nmeros enteros cuyo producto sea 30 y tales que uno sea 11unidades mayor que el otro Hay mas? por que?

31.En un rectngulo, el ancho mide 2 cm menos que el largo. Si el rea mide 48Cules son las dimensiones del rectngulo? Cunto mide de las diagonales?


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32.En un triangulo rectngulo, uno de los catetos mide una unidad menos que el otro.Si el cuadrado de la hipotenusa es igual a 25. Cunto mide cada uno de loscatetos?

33.El producto de la diferencia de 17 menos un nmero por la suma de 17 mas elmismo nmero es igual a 64 sabes cual es el nmero? puedes encontrar otro quecumpla las mismas condiciones?

34.El producto de dos nmeros es 42. El mayor es el triple del menor menos 11.Encuentra dichos nmeros.

35.El lado de un cubo mide 2 cm. El volumen de ese cubo mas el volumen de otrocubo es igual a 12 por la suma del lado del primer cubo mas el lado de segundo.Encuentra cuantos centmetros mide el lado del segundo cubo.

36.Dos cubos son tales que el lado de uno de ellos es 6 unidades mayor que el otro. Sila diferencia de las reas de una de las caras de cada cubo es igual a 432 cual es ladiferencia de los volmenes de los cubos?

37.El volumen comprendido entre dos esferas concntricas es igual a Cules el volumen de la esfera pequea si se sabe que su radio es 2cm menor que elradio de la grande?

38.Dos nmeros enteros consecutivos satisfacen que la diferencia del cubo del mayormenos el cubo del menor es igual a 7. Encuentra dichos nmeros

39.Dos nmeros enteros consecutivos satisfacen que la diferencia del mayor elevado ala cuarta, menos el menor elevado a la cuarta es igual a 80 veces la suma de 1 masel producto de la mitad del mayor por el menor. Encuentra dicho nmeros

40.Encuentra tres nmeros enteros pares consecutivos tales que la suma de loscuadrados de los dos primeros es igual a cuadrado del tercero.

41.Encuentra dos nmeros enteros pares consecutivos tales que la diferencia de suscuadrados sea igual a -176.

42.La suma de los cuadrados de dos nmeros enteros consecutivos es 61. Encuentradichos nmeros.

43.La suma de dos nmeros enteros consecutivos es 13. Encuentra los nmeros.44.La suma de dos nmeros enteros consecutivos es -17 encuentra los nmeros45.La suma de dos nmeros enteros pares consecutivos es 34.encuentra los nmeros


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46.La suma de dos nmeros enteros impares consecutivos es 16. Encuentre losnmeros

47.Un rectngulo tiene un permetro de 28 cm y un rea de 45 Cuntos cm midensus lados?

48.La suma de los cuadrados de dos nmeros enteros pares consecutivos es 100.encuentra dichos nmeros.

49.Una bomba puede vaciar una cisterna en horas, y otra la puede vaciar en 4horas. en cuanto tiempo vaciaran la cisterna las dos bombas trabajando juntas?

50.Cuatro por el reciproco de cierto nmero es 14. Encuentra dicho nmero.51.Cinco tercios de un nmero, aumentado en siete tercios es 5. Encuentra el nmero52.Cinco veces el nmero ms 21 es igual a tres veces ese nmero menos 11.encuentra el nmero.53.Una bomba A trabajando sola llena un tanque en 5 horas, y otra bomba B llena el

mismo tanque en 3 horas, en qu tiempo lo llenar trabajando juntas las dosbombas?

54.Una tienda departamental anuncia que aportara para la construccin de escuelas$3por cada 150 que venda de cierto artculo. si la aportacin durante el primer mesfue de $1, 000qu cantidad recibi por la venta del articulo mencionado?

55.El peso del vapor de agua es el 62.5% del peso del aire, si 1 litro de vapor de aguapesa 0.80625 gramos Cunto pesa un litro de aire?

56.El hidrogeno pesa el 6.9 % del peso del aire Qu cantidad de hidrogeno hay en unglobo de 15 de cantidad, si el decmetro cubico de aire pesa 1.3 gramos?

57.Si el 7% del agua de mar es sal Cuntos gramos de agua hay que evaporar paraobtener un kilo de sal?

58.Una inversin inicial de $7,400 se convirti en $9,000 al cabo de un ao Cul erala tasa de inters a la que estuvo invertida?

1.5 LOS NMEROS COMPLEJOSEl conjunto de los nmeros complejos es necesario para resolver ecuaciones cuyassoluciones no son posibles dentro del conjunto de los nmeros reales.

Por ejemplo: Al resolver la ecuacin x2+ 1 = 0


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obtenemos expresin que no tiene sentido en el conjunto de los nmerosreales, pues tiene ndice par y el radicando es negativo .

Es llamada la unidad imaginaria, de modo que: = i

Se defini la unidad imaginaria i =

Ejemplo 1. Hallar el valor de:1.2.3.4.5.

EJERCICIOS 1.5 a

Hallar el valor de los siguientes radicales1.2.3.4.5.6.7.8.9.10.

Definicin:Un numero complejo expresado en su forma binmica o cannica a + b iposee una cantidad real y una cantidad imaginaria, a es la parte real,b i es la parte imaginaria, pero a y b son nmeros reales


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Ejemplos:

a) 2 + 5i, b) - 4 - 3i, c) 0+9i = 9i, d) -6 + 0i = -6

En el ejemplo c el nmero complejo 9i se llama imaginario puro

En el ejemplo d el nmero complejo -6 se llama real puro.

POTENCIAS DE ii0 = 1

i1= = i

i2= ( )2= - 1

i3= i

2(i

1)= -1(i) = -i

i4= i

2(i

2) = (-1)(-1) =1

i5= i

4(i) = (1 )i= i

i6= i

4(i

2) = 1(-1) = - 1

Observas que despus de las primeras cuatro potencias de i, los valores se repiten

Nota: Para encontrar el valor de cualquier potencia de i que sea mayor que cuatro,divide el exponente entre cuatro y el residuo ser la nueva potencia de i que es

equivalente al resultado de la potencia que estamos buscando.EJEMPLO 1. Encuentra el valor de:

1. i54 dividimos 54 entre 4 y obtenemos cociente 13 y residuo 2, de modo que:i54

= i2

= -1

2. i28 dividimos 28 entre 4 y obtenemos cociente 7 y residuo cero, de modo que: I

28= i

0= 1

3. i19 dividimos 19 entre 4 y obtenemos cociente 4 y residuo 3, de modo quei19

= i3

= -i


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EJERCICIO 1.5 b: Encuentra el valor de

1. i412. I953. I364. i215. i306. i487. i62

Definicin:IGUALDAD DE NMEROS COMPLEJOS

Dos nmeros complejos Z = a + b i, y Z1= c + di son iguales (Z = Z1) solamentesi ocurre que: a = c, y b = d

Ejemplos:1. Hallar el valor de x e y si 2x + 8 i = 10 4y i,

Por la definicin anterior 2x = 10, y 8 = - 4 yResolviendo estas ecuaciones x = 5, y = -2

EJERCICIOS 1.5 b : Hallar el valor de x e y en cada expresin dada si:

1. 3x + 9i = - 1 + 2y i

2. (2x + 3) + (3y - 1) i = 19 + 26 i3. ( - 3x + 1) + (2y + 5) i = 4 + (2x + 17) i4. 3x + 9i = -1 + 2y i5. (x + 3) + (3y - 5) i = 5 + 22 i6.

( - 3x - 1) + (2y + 3) i = -2 + (x + 1) i

7. x + 72 i = - 1 + 8y i8. (5x - 3) + (-5y - 1) i = -23 + 14 i9. ( -8x + 2) + (y + 5) i = 18 + (2x + 4) i10. ( 2 x + 2) + (y +1) i = 18 + (3x + 9) i


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OPERACIONES CON NMEROS COMPLEJOS

Operaciones DefinicinSuma de nmeros complejos (a+ b i) + (c + d i) = (a+ c) + (b + d)iResta de nmeros complejos (a+ b i) - (c + d i) = (a- c) + (b - d)i

Multiplicacin de nmeros complejos (a+ b i) (c + d i) = (ac b d) (ad + b c)i

EJEMPLOS 1: Dado los nmeros complejos Z = 2 5 i, y Z1= - 6 - 3 irealiza las operaciones siguientes:

1. Z + Z1,2. Z - Z13. Z Z1

La sumaZ + Z1 =(2 5i) + (-6 -3i) = ( 2+ (-6) ) + ( - 5 +( - 3 ) ) i = - 4 - 8 i

La resta Z - Z1 =(2 5i) - (-6 -3i) = (2- (-6)) + (-5 (-3)) i = 8 -2 i

LamultiplicacinZ Z1=(2 5i). (-6 -3i)= ( 2(-6) (- 5)(- 3)) + (2 (-3) +(- 5)(-6)) i = -27 + 24 i

Definicin:Conjugado de un nmero complejo: Si Z = a + bi es un nmero complejo, entonces suConjugado, denotado por

Ejemplos: ESCRIBA EL CONJUGADO DE cada nmero complejo dado:

1. 3 2 i el conjugado es 3 + 2i2. 5 + 3 i el conjugado es - 5 3 i3. -2 4 i el conjugado es - 2 + 4 i4. 6 + 5 i el conjugados es _________5. 1 i el conjugado es __________6. 8 3 i el conjugado es ___________7. -9 + 7 i el conjugado es ___________8. -3i + 2 el conjugado es ___________9. 7 i 6 el conjugado es ___________10. 3i el conjugado es ___________


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Recuerda el producto notable

( a + b) (a b) = a2 b

2

EJEMPLO 1:

En los nmeros complejos conjugados se cumple que:

( a + b i) (a b i) = a2 ( b i )

2

( a + b i) (a b i) = a2 b

2i

2

( a + b i) (a b i) = a2 b2(-1)

= a2+ b2

EJEMPLO 2:

Realiza el producto de: (3 + 4i)(3 - 4i) = 32 + 42

(3 + 4i)(3 - 4i) = 9 + 16

(3 + 4i)(3 - 4i) = 25 pues son complejos conjugados y secumple el producto notable anterior

COCIENTES DE NUMEROS COMPLEJOS

Debemos multiplicar el numerador y el denominador por el complejo conjugadodel denominador (estos es multiplicar por un 1 expresado de manera especial)

EJEMPLO 3: EXPRESA DE LA FORMA a + b i EL NUMEROCOMPLEJO

El conjugado del denominador es: 2 + 5 i

por tanto multiplicaremos por (ese es nuestro 1 expresado

de manera especial)

1.

EJERCICIO 1.5 c : EXPRESA EN LA FORMA a + bi

2.


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3.4.5.EJERCICIOS 1.5 d:

REALIZA LAS OPERACIONES INDICADA Y EXPRESA EL RESULTADO EN LAFORMA a + b i

1. (2 + 3 i) + (4- i) =2. ( - 8 5 i) +(-1 + 3 i) +3. ( -9 + 3 i) (- 5 + 4 i) +4. (3 + 2i) (-7 2 i) =5. (-2 2i)(6 3i) +6. (4 + 5 i) (3+2i)7. [(2 3 i) +( - 6 5 i)] ( 10 - 4 i) =8. [(12 3 i) -( 6 2 i)] +(9 -3 i) =9. [(-7 4 i) +( -1+ i)] ( 5 -2 i) =10.[(2 3 i) ( - 6 5 i)] +( 10 - 4 i) =11.[(- 2 + 3 i)( -1 5 i)] ( 13 +1 4 i) =12.13.14.15.


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1.6 ECUACIONES MISCELNEAS U OTRO TIPOS DE ECUACIONESHay una gran variedad de ecuaciones que vamos a explorar y a realizar en este acpite

Por ejemplo:ECUACIONES CON VALOR ABSOLUTO

Las ecuaciones siguientes a) | x|= 5, b) | 3x--2| = 18, c) | 5x +5|-2 = 43,d) 3| -2y + 9|-7 = 65 son ecuaciones que poseen valor absoluto

La solucin de una ecuacin con valor absoluto se fundamenta el la siguientepropiedad

S i |x| =a, entonces x =a x = -a para todo a0.

EJEMPLOS

REALICE LAS ECUACIONES SIGUIENTES Y ECUENTRE SU CONJUNTOSOLUCIN1. |x - 5| = 9, entonces x - 5 = 9 x - 5 = - 9

Resolviendo cada una de esta dos ecuaciones a) x 5 = 9, x 5 + 5 = 9 + 5x = 14,

b) x 5 = - 9, x 5 + 5 = -9 + 5, x = -4 c.s. = {14, -4}

2. |5 - 2x| = 7, entonces 5 2x = 7 5 2 x = -7.Resolviendo estas dos ecuaciones tenemos que:a) 5 2x = 7

5 2x 5 = 7 5, - 2 x = 2

b) 5 2x = - 7 5 2x 5 = -7 5, - 2 x = - 12,CS = { - 1 , 6}

c) |5 x - 10| = - 70 no tiene solucin puesto que el valor absoluto nunca esnegativo, Recuerde la propiedad para a0

d) 2 |3 x - 4| + 5 = 9 debemosdejar el valor absoluto solo en el miembro de laizquierda de modo que: 2|3 x - 4|+5 - 5 = 9 -5,

2|3 x - 4| = 4, dividiendo entre 2

|3 x - 4| = 2 procedemos a plantear la ecuacin de acuerdo a la propiedadanterior3x 4 = 2 3x -4 = - 2 Si resolvemos estas ecuaciones

obtenemos que: x = 2 x = CS = { 2, }


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EJERCICIOS 1.6 a :

ENCUENTRA EL CONJUNTO SOLUCION DE LAS SIGUIENTES

ECUACIONES1. |2 x - 13| = 252. |6 - 4 x | = 63. |5 x - 4| + 2 = 364. |-2 x +8| - 5 = 315. 2|3 x - 1| + 7 = 376. - 2| x - 4| + 2 = 567. 3|-2 x - 10| = 0 9. |2 x - 3| + 12 = 128. |3 x - 1| + 7 = 5 10. -5|3 x - 1| + 5 = - 45

ECUACIONES CON RADICALES

Son ecuaciones que contienen variables en el radicando del radical

EJEMPLOS:

a) ,b) ,c)d) -1= 0e) ,SUGERENCIAS PARA RESOLVER ESTAS ECUACIONES CONRADICALES

1. Reescriba la ecuacin de modo que asle el radical en uno de los miembros de laigualdad (Si contiene ms de un radical distribuirlo en cada lado de la igualdad)

2. Eleve cada miembro de la igualdad a una potencia igual al ndice del radical


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3. Si an le quedan radicales con variables en el radicando repita los pasos 1 y 2.4. Resuelva la ecuacin resultante5. Verifique todas las soluciones encontradas para escoger el conjunto solucin, de

manera que rechace las soluciones extraas.

Ejemplos

HALLAR EL CONJUNTO SOLUCIN DE LAS ECUACIONES

1. 2 = 0 aislamos el radical 2 +2 = 0 + 2= 2 elevando cada lado al cuadrado porque el ndice es 2

( )2= (2)2, entonces x 3 = 4 resolviendo esta ecuacin x-3 +3 = 4 + 3, x

= 7.Verificando2 = 0 2 = 0 2-2 = 0 V CS = {7}

2. aislando el radical tenemosElevando al cubo (

2y 4 = 8 2y = 8 + 4, 2y = 12 y = = 6 CS = {6}

Si el ndice es impar no vas a encontrar valores extraos en la solucin.

3.

+ x 2 = 2 asle el radical ___________________________= 2 + 2 x= 4 x eleve ambos miembros al ndice____________

De modo que )2= (4 x)2 2x 5 = 16 8x +x2

Organizando la ecuacin cuadrtica 0 = x2 8 x +16 2x +50 = x2 10 x +21 resolviendo por factorizacin0= (x 7) (x 3) aplicando el teorema del factor cero

0 = x 7 0 = x 3 de donde x = 7 x = 3

Comprobacin para x = 7+ 7 2 = 2

+ 7 2 = 2 3 +7 -2 = 2 F x = 7 no es solucin

Comprobacin para x = 3


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+ 3 2 = 2, + 3 2 = 2, 1 + 3 2 = 2 v CS = {3}

EJERCICIOS 1.6 b:

ENCUENTRE EL CONJUNTO SOLUCIN DE LAS SIGUIENTESECUACIONES

1.2.3. 24. x 6 +5.6.7. - 15 = - 128.9.10.11.12.13.14. = 215.

ECUACIONES DE GRADO MAYOR O IGUAL A 3 QUE SE PUEDENRESOLVER POR AGRUPACION DE TRMINOS

EJEMPLO:RESOLVER LA ECUACION x3 2 x2 x + 2 = 0 agrupando(x3 2 x2) ( x 2 ) = 0 factorizandox2( x 2) (x 2 ) = 0(x 2 )(x2 1 ) = 0


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(x 2) (x +1) (x 1 ) = 0 aplicado el teorema del factor ceroX 2 = 0 x + 1 = 0 x 1 = 0X1 = 2, x2= - 1 x3= 1

EJERCICIOS 1.6 c:

REALICE LAS SIGUIENTES ECUACIONES1. X3 4 x = 02. 2X3 18 x2= =3. x3 3 x24 x + 12 = 04. 2x3+ x2 8 x + 4 = 05. x3 5 x2+6x = 06. - x32 x2 + 2 x = 07. x3 2 x2 x + 2 = 08. x3+ 2 x29 x 18 =09. x3+ 2 x2 x 2 = 010.10x3 6 x2 = 15 x 4 x4

ECUACIONES DEL TIPO CUADRATICOAlgunas ecuaciones no son realmente cuadrticas, pero pueden expresarse de la forma a u2

+ b u + c = 0, donde a 0. Y u es una expresin en que contiene la variable de la

ecuacin original dada, estas ecuaciones son llamadas ecuaciones del tipo cuadrtico.

La solucin de una ecuacin del tipo cuadrtico es muy parecida a la solucin de laecuacin cuadrtica o de segundo grado.

EJEMPLOS:HALLAR LA SOLUCIN DE LAS SIGUIENTES ECUACIONES

1. X4 4 x2+ 3 = 0recuerda que x4 = (x2)2 de modo que: podemos expresar laecuacin (x2)2 4 (x2) + 3 = 0 de modo que si hacemos u = x2 sustituyendo

Tenemos u2 4 u + 3 = 0 que es una ecuacin cuadrtica, factorizamos y(u 3) (u 1) = 0 , entonces u 3 = 0 u 1 = 0

u = 3 u = 1 como u = x2Sustituimos x2= 3, x2= 1, entonces

CS = { , }

2. como = ( )2 expresamos la ecuacin


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( )2 + ( ) 6 = 0 si hacemos u = , entoncesu2+ u 6 = 0 ( ecuacin cuadrtica)(u + 3) (u 2) = 0, u + 3 = 0 u 2 = 0 as que u = - 3 u = 2

Como u = , entonces

Elevamos ambos miembros al cubo x = - 27 x = 8

EJERCICIOS 1.6 dRESUELVA CADA ECUACIN1. 2X4 3 x2 2 = 02. X 4 4 x-2 - 6 = 03. 3X6 6 x3 7 = 04. 2X4 5 x2+ 2 = 05.6.7.

1.7 LAS DESIGUALDADES

Una desigualdad es el enunciado de que dos expresiones o dos cantidades no son iguales,una cantidad puede ser mayor >, o puede ser menor -2x + 24, 5 m 7 < 3 2 m, 3 24.

Ejemplos

Expresiones Conclusiones7 > 4 Verdadero2 > 6 Falso8 < 3 Falso2 < 9 Verdadero6 9 Verdadero7 7 Verdadero

1210 Falso8 2 Verdadero5 5 Verdadero2 6 falso

Todas las expresiones anteriores son desigualdades.


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INECUACIN: es una desigualdad entre dos expresiones algebraicas las cualesposeen por lo menos una variable.Ejemplos: 3 x + 12 > -2x + 24, 4 y 21 6 y 12, - 5 > 2 m + 7

SOLUCION DE UNA INECUACIN O DESIGUALDADSi se obtiene una expresin verdadera cuando se sustituye la variable ya sea x, y, m, n porun nmero b, entonces el nmero b es una solucin de la inecuacin o desigualdad.

Ejemplo en la desigualdad 2 x 3 < 9, el nmero 5 est dentro del conjunto solucinpuesto que: 2(5) 3 = 7 y 7 < 9 es una expresin verdadera.

Observas que hay mas valores que tambin son soluciones de esta desigualdad.

RESOLVER UNA INECUACIN O DESIGUALDAD: es encontrar todas lassoluciones, o sea encontrar todos los valores que forman el conjunto solucin.

DESIGUALDADES EQUIVALENTES O INECUACIONES EQUIVALENTES: Son

las desigualdades que tienen idnticas soluciones.

La mayor parte de inecuaciones o desigualdades posee un nmero infinito de soluciones

Ejemplo1:1. 5 < x < 7 tiene como solucin el conjunto de todos los nmeros reales comprendidoentre 5 y 7(sin incluir el 5 ni el 7).

2. 3 x 10 tiene como solucin el conjunto de todos los nmeros reales comprendidoentre 3 y 10 incluyendo el 3 y el 10.

3. 4 y < 6 tiene como solucin el conjunto de todos los nmeros realescomprendido entre 4 y 6, incluyendo el 4, pero no el 6.

4. 3 < m 12 tiene como solucin el conjunto de todos los nmeros reales comprendidoentre 3 y 12, no incluye el 3, pero si incluye el 12.

ESTOS CONJUNTOS SOLUCIONES RECIBEN EL NOMBRE DE INTERVALOS

LOS INTERVALOS

DEFINICION DE INTERVALO:Es un conjunto de nmero reales que puede estar comprendido o no entre dos nmeros

reales.


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Ejemplos:La desigualdad: 2 < x < 5 tiene como solucin todos los valores reales entre 2 y 5, noincluye ni 2, ni 5, es decir que es un intervalos cuyo valores estn entre 2 y 5

La desigualdad x < 7 tiene como solucin todos los valores reales menores que 7, no

incluye el 7, es decir que solo conocemos un extremos en este intervalo que est desde hasta 7.

TIPOS DE INTERVALOS Y NOTACINLos intervalos pueden ser abiertos, cerrados y mixtosIntervalos abiertos: no incluye los extremos, su notacin es: (a, b) o puede ser tambin] a, b [, la desigualdad que corresponde a este intervalo es a< x < by la grfica correspondiente en la recta numrica es:

a b aes llamado extremo inferior, b es llamado extremosuperior

Intervalos cerrados: incluyen los extremos, su notacin es: [a, b], la desigualdadcorrespondiente es: ax b

Grfica correspondiente en la recta numrica es: a b

Intervalos mixtos; incluyen solamente uno de sus extremos, ya sea el inferior o el superior,su notacin es: [a, b) este incluye el extremo a, pero no incluye b,

La desigualdad correspondiente es: ax < b

La grfica correspondiente es: a b

(a, b] este intervalo no incluye a, pero si incluye a b,

la desigualdad correspondiente es: a< x b,

la grfica correspondiente es: a b

Existen otros intervalos que contienen infinito y/o infinito negativo

Ejemplos:1. ( , ), este intervalo representa el conjunto de todos los nmeros reales, su

desigualdad correspondiente es: < x <

Su grfica es la recta numrica real completa

2. ( , a] incluye todo los valores desde hasta a, la desigualdadcorrespondiente es: x a


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Dibuja la grafica correspondiente ______________________

3. ( ,a) incluye todo los valores desde hasta a, pero no incluya a,La desigualdad correspondiente es: x < a


4. (b, ), incluye todo los valores desde b hasta ,la desigualdad correspondiente es: x > b


5. [b, ), incluye todo los valores desde b hasta ,incluyendo bla desigualdad correspondiente es: x b


EJERCICIOS 1.7

A CADA INTERVALO REALIZA LA DESIGUALDAD Y LA GRFICA QUE LECORRESPONDE

INTERVALO GRFICA DESIGUALDAD[ - 3, 7](0, 9)(-5, 2][2,13]

( ,6 )( ,-2][-3, )(4, )(-1, 1]

A CADA DESIGUALDAD ESCRIBE EL INTERVALO Y LA GRFICA QUE LECORRESPONDE

DESIGUALDAD INTERVALO GRAFICA- 3 < x < 94 x < 8-1 x 3

0 > xx < 7

5 < x 12X - 52 x

PROPIEDAD DE LA DESIGUALDAD:

Multiplicar o dividir por un nmero positivo


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1. Si x < a para c > 0, entonces c x < c a y2. Si x > a para c > 0, entonces c x > c a y

Multiplicar o dividir por un nmero negativo1. Si x < a para c < 0, entonces c x > c a y2. Si x > a para c < 0, entonces c x < c a yNota: Las propiedades para la suma de las ecuaciones equivalentes se cumplentambin en las desigualdades o inecuaciones.

SOLUCION DE UNA DESIGUALDAD O INECUACIN:Solucione la desigualdad y escriba el resultado en forma de intervalo y la grfica

correspondiente1. 2x + 4 < -16 restando 4 en ambos lados 2x + 4 - 4< - 16 42 x < - 20 dividiendo entre 2 ambos lados , x < -10

La solucin en notacin de intervalo es (

Realice la grafica de la solucin _______________________________

2. 3x + 6 2x 14 vamos a sumar -2 x 6 en ambos lados de la desigualdad 3x + 6 - 2 x 6 2x 14 - 2 x 6

5x - 20 dividiendo entre 5por tanto x 4

La notacin de intervalo correspondiente es ( ]Realiza la grafica correspondiente ____________________________

DESIGUALDADES O INECUACIONES SIMULTNEAS

-10 < 3X + 5 17

Aqu tenemos dos desigualdades a la vez y podemos descomponer dichadesigualdad en dos -10 < 3X + 5 y 3X + 5 17

Podemos solucionar cada una por separado y luego unir en un solo intervalo las

soluciones -10 - 5 < 3X + 5 5, - 15 < 3x - 5 < x

3X + 5 - 5 17 5, entonces 3x 12, x 4


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De manera que la solucin es (- 5, 4]

Otra forma es resolverla de manera simultneaRESOLVER LA DESIGUALDAD Y ESCRIBA LA SOLUCIN EN FORMADE INTERVALO Y LA GRAFICA CORRESPONDIENTE A LA SOLUCIN

-10 < 3X + 5 17 restando 5 en cada lado -10 5 < 3X + 5 5 17 5- 15 < 3x 12 dividiendo entre 3

, de modo que: - 5 < x 4

_________________

INECUACIONES O DESIGUALDADES CON VALOR ABSOLUTO

PROPIEDADESPara b > 0

1. SI | x| < b, entonces - b < x < bEJEMPLOS:Resolver la desigualdades y escriba la solucin en forma de intervalo y realice la

grafica correspondiente a la solucin

a. | 2x 5 | < 35, entonces 35 < 2 x 5 < 35Resolvemos esta inecuacin simultnea

35 + 5 < 2 x 5 + 5 < 35 + 5

30 < 2 x < 40, 15 < x < 20

Solucin (- 15, 20)Grfica ______________________

b. | 5 x + 10 | 35, planteamos 35 5 x + 10 35Resolvemos la inecuacin o desigualdad simultnea 35 10 5 x + 10 10 35 10


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45 5 x 25 dividiendo entre 5

de modo que: 9 x 5

Organizamos 5 x 9 intervalo [ 5, 9]

Haz la Grfica __________________________Para b > 0

2. SI | x| > b, entonces x < - b x > bEJEMPLOS:Resolver la inecuacin y escriba el intervalo de la solucin y la grfica

a. | 2x - 4| > 18, planteamos 2x 4 < - 18 2x 4 > 18Resolvemos 2x 4 < - 18 2x 4 > 18

2x 4 + 4 < - 18 + 4 2x 4 + 4 > 18 + 42 x < - 14 2 x > 22

X < - 7 x > 11

Solucin (Grfica ___________________________________

1.8 OTRAS DESIGUALDADES

Las desigualdades siguientes se resuelven con un razonamiento simpleusando la regla de los signos para dividir cantidades

Ejemplos:Resuelve la desigualdad1. Observas que es negativo, dice menor que ceroSi observa el numerador 5 de modo que el denominador x 3 espositivo, pues x 3 > 0, x > 0 + 3, x > 3

Solucin (3, )Grfica _________________

2. es positivo, dice mayor que cero


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Si observas el numerador 3 es positivo, de modo que el denominador x+ 5 es positivo,

As x + 5 > 0 x > 0 5, x > 5Solucin (-5, ), Grfica _______________

EJERCICIOS 1.8

RESUELVE LAS DESIGUALDADES Y ESCRIBE LA SOLUCIN ENNOTACIN DE INTERVALO Y EN FORMA GRFICA1. 2 x 7 < - 92. 7 3x < - 223. 2 7 x > - 94. 5 x 8 > - 18

5. 3x 6 - 2 x + 24

6. 5x 2 4 x 3

7. x 2 4 x 8

8. 10 < 2 x < 30

9a. 30 < - 3 x + 3 27

9b. 6 2 x + 4 < 26

10. 2 - 2 x + 8 12

11.

12.

13.

14.

15.

16. |3x - 9| < 18


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17. | - 2x -1| 13

18. | 5x +15| < 3519. | 3x + 3| 27

20. |2x + 3| > 3121. | - 10 x - 5| 45

22. | x + 7| > 5

23. | - 3x + 12| 45

1.9 INECUACIONES NO LINEALES (CUADRTICAS, CUBICAS):

Sean a, b, c constantes reales tales que a 0. Sea x una variable real.

Llamaremos inecuacin cuadrtica a toda inecuacin que tiene uno de sus miembros en laforma ax2 + bx + c, y el otro miembro es cero.

Son inecuaciones cuadrticas o cbicas

a) x2 -2x 35 < 0,b) x2-2x-10 > 0,c) x (x-3) (x+4) 0, d) x (x+1) (x-2) 0

Si la expresin ax2+bx+c es factorizable. Para resolver estas inecuaciones se debefactorizar la expresin ax2 + b x + c

Luego encontramos los valores crticos (son los valores que hacen cero a cada factor), loscolocamos en una recta numrica para ver los intervalos en que divide la misma

Y la solucin la encontramos usando una tabla de signos

Ejemplos:

ENCUENTRE LA SOLUCIN DE: x2 -2x 35 < 0

Podemos hallar la ecuacin auxiliar, pero trabajaremos con el diagrama de signo

Solucin: 1ro. factorizamos: x2 -2x 35 = (x-7 ) (x+5)

2do. Encontramos los valores crticos de cada factor que son los valores que lo hacencero, es como que aplicamos el teorema del factor cero

x - 7 = 0 x + 5 = 0, de ah que x = 7 o x = -5


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3ro.si colocamos estos valores en una recta numrica y buscamos los intervalos abiertosen los cuales se divide obtenemos (- , -5), (-5, 7), (7, )

4to. Diagrama de signos o tabla de signos intervalos

Factores (- , -5)

Valor de prueba -6

(-5, 7)

Valor de prueba 2

((7,)

Valor de prueba 8(x-7) - - +(x+5) - + +(x-7)(x+5) + - +

Observa que la solucin est donde el signo sea negativo por que dice que: x2

-2x 35 esmenor que cero y menor que cero significa valores reales negativos.

Entonces la solucin esta en el intervalo abierto (-5, 7)

Ejemplo 2) Encuentre la solucin de: x (x- 4) (x+1) 0,

Observa que dice x (x-4) (x+1) es mayor o igual que cero la solucin est donde quedensignos positivos y por que dice igual los intervalos sern cerrados, es decir que incluyen losextremos.

Como la expresin est factorizada avanzamos a buscar los valores crticos

x = 0 o x - 4 = 0 o x + 1 = 0, de ah que x = 0, x = 4, x = -1

Intervalos a usar (- , -1) (-1, 0), (0, 4), (4, )

DIAGRAMA O TABLA DE SIGNOS intervalos

FACTORES (- , -1)

-2

(-1, 0)

-0.5

(0, 4)

1

((4, )

5

X - - + +X-4 - - - +X+1 - + + +X (X-4) (X=1) - + - +

SOLUCION [-1, 0] U [4, )


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EJERCICIOS 1.9 : Encuentre la solucin de cada una de estas desigualdades y escribala solucin como un intervalo y de forma grafica.

d) x2 -2x -10 > 0e) x (x-3) (x+4) 0f)

x (x+1) (x-2)

0g) 2x2 x 6 < 0h) 18x2 - 2x > 0

i) -2x2 + 3x + 2 0j) x2 9 0k) x2 - 4x 0l) (x-1) (x-3) (x+2) > 0

Inecuaciones en las que uno de sus miembros es un cociente y el otro miembro es ceroEn general estudiaremos en las pginas siguientes los tipos

; ; ; en donde p(x) y q(x) son polinomios con

q(x) 0

Para resolver este tipo de inecuaciones la realizaremos con igual procedimiento que lasecuaciones cuadrticas y cubicas como producto, pero debemos tener presente no incluir enla solucin los valores que hacen cero el denominador de cada cociente, por eso usaremoslas propiedades de los intervalos abiertos.

Por lo anterior es que al resolver inecuaciones en las cuales uno de sus miembros es uncociente y el otro miembro es cero, usaremos tablas de signos tal y como si hizoanteriormente.

Ejercicios 1.10 : Resuelva cada una de las siguientes inecuaciones:

a.) b.)

c.) ch.)

d.) e.)

Resuelva cada una de las siguientes inecuaciones:

1. 6.


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2. 7.

3. 8.

4. 9.

5.

10. 11.

12. 13.

14. 15.

16. 17.

UNIDAD 2 (GEOMETRIA ANALITICA)

EJES DE COORDENADAS RECTANGULARES O COORDENADASCARTESIANAS

Los ejes de coordenadas cartesianas o ejes o coordenadas rectangulares son dos rectasnumricas perpendiculares una horizontal y otra vertical que se cortan en el puntocorrespondiente al cero de ambas rectas numricas (origen del sistema) y dividen el planoen cuatro regiones llamadas cuadrantes.

La horizontal se llama abscisa o eje x, y la vertical se llama ordenada o eje y

Observe que:


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En el primer cuadrante el eje x es positivo, y el eje y es positivoEn el segundo cuadrante el eje x es negativo y el eje y es positivoEn el tercer cuadrante tanto el eje x como el eje y son negativosEn el cuarto cuadrante el eje x es positivo y el eje y es negativo

UBICACIN DE PUNTOS EN EL PLANO CARTESIANO

Todo punto en el plano corresponde a la forma (x, y), es decir que:la primera componente corresponde a la coordenada x o abscisa yla segunda componente corresponde a la coordenada y u ordenada.

EJEMPLOS DE UBICACIN DE PUNTOS EN EL PLANO.Determina la ubicacin en el Plano Cartesiano de los siguientes puntos:P1(3, 2), P2(-2, -4), P3(-3, 3), P4(1, -

2)


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EJERCICIOS 2.0:Ubicar en el planos los siguientes puntos y diga el cuadrante al que pertenececada punto

1)(3, 5)2)(-2, -4)3)(4, -6)4)(-1, 3)5)(0, -4)6)(5, 0)7)(-0.5, 0.5)8) (0,3)9)(-5, 0)10)(-7, 2)11)(9, 1)12)(1, -2)13)(-6, -7)14)(1/3, 4)15)(-4,8)

II) Escribe las coordenadas (x, y) de los puntos marcados en negrita en el siguientegrfico


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2.1 DISTANCIA ENTRE DOS PUNTOS DEL PLANO P1(X1, Y1) Y P2(X2,Y2)

Distancias en el plano:OBSERVAS LA GRFICA

Las sub-variedades lineales del plano son los puntos y las rectas.

Qu puede expresar de lo observado en la figuraanterior?__________________________________________________________________________________________________________________________________________

Si haces un dibujo como el de la figura en seguida te das cuenta que la distancia horizontalentre los dos puntos es c a.

la distancia vertical es d - b,

Si observa el triangulo rectngulo de la figura te dars cuenta que c-a es uncateto y d-b el otro cateto y por Pitgoras

hipotenusa2 = cateto2 + cateto2


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Hipotenusa =

Por lo tanto, como la distancia entre los puntos es la hipotenusa, entonces

La distancia =

Podemos decir que c= x2, y a = x1, d = y2 b = y1 entonces usaremos la frmulapara la Distancia entre dos puntos as:

Dados dos puntos del plano p1= (x1, y1) y p2= (x2, y2 )

Se determina la distancia entre estos dos puntos a travs de la frmula:

Dp1p2=

Ejemplo:

1)

Dados los puntos p1(2,-5) y p2(3,1) hallar la distancia entre los dos puntosDatosX1= 2Y1= -5X2 = 3Y2= 1

Frmula

Dp1p2=

Dp1p2=

Dp1p2=

Dp1p2= = se puede dejar expresada o buscar en unacalculadora.

La distancia es igual a

EJERCICIOS 2.1

1) A cada par de puntos encuentra la distancia ellos

a) P1(-2,1) y p2(4, 9)b) P1(2,1) y p2(2, 4)c) P1(2,-5) y p2(-3, 7)d) P1(1,1) y p2(4,3)


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e) P1(-2,1) y p2(-1,-3)2.2 LAS COORDENADAS DEL PUNTO MEDIOLas coordenadas del punto medio del segmento con extremosp1 (x1, y1) y p2(x2, y2) coinciden con la semisuma de las coordenadas de lospuntos extremos.

Se debe expresar como un punto PM

Ejemplo 2): Hallar las coordenadas del punto medio ubicado entre los puntos P 1(-2,1) y p2(4, 9)

Datos frmula

PMPM = = (1, 5)

(1, 5) Es el punto medio entre P1(-2,1) y p2(4, 9).

EJERCICIOS 2.2:

Ubique los puntos en el plano cartesiano y encuentre la distancia entre ellos ylas coordenadas del punto medio

a) P1(3,-3) y p2(8, 9)b) P1(5,1) y p2(9, 4)c) P1(6,-5) y p2(-3, 7)c) P1(-1,6) y p2(7,-9)d) P1(-2,3) y p2(-4,-3)e) P1(-4,1) y p2(4,7)f) P1(2,1) y p2(2, 3)g) P1(-2,5) y p2(3,- 7)h) P1(1,3) y p2(2,3)i) P1(0,4) y p2(4,0)

Ejercicios 2.2 b:Traza el tringulo formado por cada tro de puntos, usa la distancia entre cada par de

puntos para probar si es rectngulo, si es equiltero, si es issceles, si es escaleno.


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1) P1(1,1), p2(-2,7) y P3(1,7)2) P1(2,1), p2(2,5) y P3(5,1)3) P1(3,2), p2(8,2) y P3(3,6)4) P1(-1,3), p2(-1,9) y P3(2,9)

2.3 GRFICAS DE ECUACIONESLas leyes de los movimientos son relaciones matemticas entre constantes yvariables (frmulas) y no podemos explorarlas sin algn conocimiento de lasmismas.

Descripcin Matemtica de una CurvaEl sistema cartesiano designa a cualquier punto en el plano con un par de nmeros(x, y) que son las distancias a dos ejes perpendiculares. Esos nmeros se conocencomo "coordenadas" del punto.

Una lnea en el plano, recta o curva, contiene muchos puntos, cada uno con suspropias coordenadas (x, y). Con frecuencia existe una frmula ("ecuacin") querelaciona x e y:

Ejemplo:La lnea recta tiene la relacin: y =ax + b

Graficar la lnea recta y =

Tomaremos una muestra de los valores que puede tomar el eje x para calcular

los valores del eje yX -2

-1 0 1 2

Y 10/3 8/3 2 4/3 2/3

La curva dibujada aqu es

Donde con cualquier par de nmeros (x, y), y con esos puntos se obtiene comoresultado una lnea recta, en este caso.


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Otras relaciones ms complicadas dan lugar a curvas .

El trazado de una lnea dado por tales relaciones por cualquier relacin, hasta unasimple observacin.

Ejemplo: la temperatura segn pasa el tiempo se puede expresar por medio de unagrfica.

Hay Relaciones ms complicadas dan grficas que son curvas:

Por ejemplo:y =a x2, es una parbola, siendo a cualquier nmero real.

Normalmente si la variable y est aislada o explicita (aunque no siempre),entonces, la frmula tiene la forma: y = f(x)

Ejemplo: Grafique la ecuacin y = x2

Aqu a= 1, damos valores al eje x, calculamos la coordenada correspondientea cada valor en el eje y, y asi obtenemos

X -2 -1 0 1 2Y 4 1 0 1 4

Es una parbola y = x2

Donde f (x) simboliza "cualquier expresin que implique a x" o, en trminosmatemticos, una "funcin de x"

En general, la grfica de cualquier ecuacin de la forma y = ax2

+ c,a

0Es una parbola con vrtice (0; c)

Que abre hacia arriba si a > 0 o hacia abajo si a < 0.

Cuando c = 0, la ecuacin se reduce a: y = a x 2, el vrtice est en el origen (0,0).Las parbolas tambin pueden abrir a la derecha o a la izquierda


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x= a y 2+ c O en otras direcciones.

INTERSECTOS DE UNA GRFICA:

La grfica de una ecuacin puede cortar (o no) el eje de las x o al eje de

Lasy.Una interseccin con el eje de lasx se conoce tambin como cero de la

Grfica de una ecuacin o como raz de una ecuacin, aqu y = 0.

El punto de interseccin con x tiene coordenadas (x, 0)

En las intersecciones con el eje y, x=0 el punto de interseccin tiene coordenadas (0, y)

Ejemplo: Encontremos las intersecciones enx y eny de la grfica dey =x2+3.

a) Intersecciones enx: Hacemosy = 0 en la ecuacin y despejamosx.0 =x2 +3

Obtenemosx2= -3 o x = no tiene punto intersectos con x pues es unacantidad compleja, que no es real.

Por lo tanto, los puntos en que la grfica corta el eje x no existen.

b) Intersecciones eny:Hacemosx = 0 en la ecuacin y despejamosy.y = 0 +3

Obtenemosy = 3As, el punto en que la grfica cruza el ejey es (0, 3).

Ver la grfica:

SIMETRA:Diremos que una grfica es simtrica con respecto:

Al eje y, Siempre que el punto (x, y) se encuentre en la grfica cuando (-x, y) tambin


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Lo est.

La grfica dey =x2+3 del ejemplo anterior tiene esta propiedad, ya que la

Sustitucin dex por -x da la misma ecuacin:y = (-x)2+3 =x2+3.

Diremos que una grfica es simtrica con respecto Al eje x:

Siempre que el punto (x, y) se encuentre en la grfica cuando (x,- y) tambin lo est,

Dado que siempre que la sustitucin dey por -y dela misma ecuacin.

Ejemplo 1:El ejercicio anteriory =x2+3 su grafica no es simtrica con respecto al eje x dado que alsustituir y por y no logramos obtener la misma ecuacin que tenamos al principio.

-y =x2+3 y multiplicando por -1 obtenemosy = -x23

Ejemplo 2:si tenemosx =y2 es simtrica con respecto al ejex, y su grfica tambin lo es.

Al sustituir y por y obtenemos la misma ecuacin x = (- y)2, x = y2

Que es la ecuacin que tenamos al principio. (Ver la grfica)

SIMETRA CON RESPECTO AL ORIGEN

Diremos que una grfica es simtrica con respecto al origen si la sustitucin Simultnea dex porx, y la y por y lleva a la misma ecuacin dada al principio.

Por ejemplo 3:probar si 4 y2=x2, es simtrica con respecto al origen

Cambiamos la x por x y cambiamos y por y de manera simultanea as


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4(-y)2= (-x)2 es equivalente a 4y2=x2. Es simtrica con respecto al origen

La grfica de esta ecuaciones como sigue

Si una grfica es simtrica con respecto a un eje, basta determinar lagrfica en la mitad del plano coordenado, ya que el resto se puede trazar Tomando

una imagen espejo, oreflexin, en el eje apropiado.

Graficar la ecuacin y2 x 2 = 0 (ecuacin expresada de manera implcita, la Y noesta aislada)

Solucin: Despejando y se obtiene: y =

Hacemos una tabla de valores:X -2 -1 0 1 2 3Y 0 1 1.4 1.7 2 2.2

Luego escribimos los ejes de coordenadas y ubicamos los puntos encontrados y

procedemos a unirlos para obtener la grfica de la ecuacin y2 x 2 = 0, olo que es lo mismo y =

Generalmente cuando se pide realizar una grfica de una ecuacin se buscanlos intersectos con x, con y, la simetra con x, con y, y con el origen.


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Ejercicio 2.3Grafique las ecuaciones siguientes, encuentre los intersectos y la simetra conlos ejes de coordenadas y con el origen si es que hay .a) Y = 2x - 1b) Y= x2 + 1c) Y= x2 - 3d) Y= x3 + 1e) Y2= - x2 + 4f) Y= x3g) 2x - 4y + 6 = 0h)

Y= 2x

2

-4x-1i) X - 2y + 8 = 0j) Y= 2x2 - 4x + 3k) 2x - y + 2 = 0l) Y= -x2 + x + 1

2.4 LAS RECTAS Y LAS ECUACINES DE LA RECTA

Una lnea recta se puede entender como un conjunto de puntos alineados en unanica direccin

Uno de los postulados de la geometra Euclidiana dice "para determinar una rectasolo es necesario dos puntos del plano.

PENDIENTE DE UNA RECTA

Si tenemos una recta L que pasa por los puntos p1(x1, y1) y p2(x2, y2) al nmero

, donde x2x1, se le llama pendiente de la recta L


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La pendiente M =

M =

Veamos los siguientes grficos segn la pendiente mPendiente m positiva Pendiente m negativa

Pendiente m =0, y2= y1, grfico y = 2 Pendiente m indefinida x2= x1grficox=3

El ngulo que una recta tiene con el eje positivo de X, est relacionado con la pendienteM, en la siguiente ecuacin: ( ) esta ecuacin no la usaremos por ahora eneste curso de matemtica.


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Ejemplo:1) Hallar la pendiente de la recta que pasa por los puntos

p1(-2,3) y p2( 1, 5)DatosX1= -2Y1=3X2=1Y2=5

Frmula

EJERCICIOS 2.4 a2) Hallar la pendiente de la recta que pasa por los puntos p1(2,-3) y p2(- 1, 7)3) Hallar la pendiente de la recta que pasa por los puntos p1(-3,3) y p2( 6, 1)4) Hallar la pendiente de la recta que pasa por los puntos p1(-2,2) y p2( 1, 1)5) Hallar la pendiente de la recta que pasa por los puntos p1(0,4) y p2(6, 2)6) Hallar la pendiente de la recta que pasa por los puntos p1(8,5) y p2( 1, 4)7) Hallar la pendiente de la recta que pasa por los puntos p1(5,3) y p2( -1,- 5)8) Hallar la pendiente de la recta que pasa por los puntos p1(-2,4) y p2( -4, 5)9) Hallar la pendiente de la recta que pasa por los puntos p1(-12,5) y p2( 1, -5)10)Hallar la pendiente de la recta que pasa por los puntos p1(1,3) y p2(6,8)

ECUACION DE LA RECTA PENDIENTE INTERSECTOLa ecuacin es la ecuacin de la recta pendiente - intercept de la rectacon el eje y.Por lo tanto, m es la pendiente en esta ecuacin,

el valor de b puede ser interpretado como el punto donde la recta intercepta al eje y, esdecir, el valor de y cuando x = 0. Este valor tambin es llamado ordenada al origen.

ECUACION DE LA RECTA PUNTO - PENDIENTESi la pendiente m de una recta y la recta pasa por el punto (x1, y1), entonces la ecuacin dela recta puede ser encontrada usando:

y y1= m (x - x1)


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EJEMPLO:Hallar la ecuacion de la recta que tiene pendiente m = -2/3 y pasa por el punto (5, 4) y laecuacionpendiente intersectoDatosM=-2/3

X1=5Y1= 4

formula y y1= m (x - x1)

y 4 = si multiplicamos ambos lados de la igualdad por 3

para eliminar el denominador tenemos

3 (y 4) = 3( de ah tenemos 3 y 12 = -2 (x - 5)

3 y 12 = -2 x + 10y la ecuacion de la recta es 2 x +3y -12 -10 =0

2x + 3y -22 =0

La ecuacion pendiente intersectos se encuentra despejandola variable y.3 y = -2x + 22 dividiendo ambos lados entre 3,

3

222

3

3 +=

xy aplicando la propiedad distributiva

y =3

22

3

2+

x, es decir que la pendiente

m = - 2/3 y el intersecto b = + 22/3.

ECUACION GENERAL DE LA RECTA

La ecuacin general de una recta es A x + B y + c = 0,

Donde la pendiente est dada por

Esto quiere decir que si tenemos la ecuacin general de una recta tambien

tenemos la pendiente de esa recta.

Ejemplo:Hallar la pendiente de una recta cuya ecuacion es 3x +4y -1 = 0

A = 3

B= 4 frmula sustituyendo la pendiente es

RECTAS PARALELASDos rectas L1y L2 con pendiente M1y M2respectivamente son paralelas entre si,

Si ocurre que M1= M2


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Esto es que dos o ms rectas son paralelas si ambas poseen la misma pendiente, o si ambasson verticales y por ende no tienen pendiente indefinida;

RECTAS PERPENDICULARESDos rectas L1y L2 con pendiente M1y M2respectivamente son perpendiculares entre si,

Si ocurre que M1. M2= - 1, esto es que M2 = - 1/ M1, o M1 = - 1/ M2,

se puede presentar el caso de una recta horizontal o con pendiente M = 0 y otra verticalcon pendiente indefinida que tambin son perpendiculares.

En palabras esto significa que:

(Dos o ms rectas que son perpendiculares (forman un ngulo recto entre ellas) y elproducto de sus pendientes es igual a -1, o una posee pendiente 0 y la otra no esta definida(infinita))

Ejercicios1) Hallar la ecuacin de una recta que pasa por el punto (2,8) y su pendiente m = -52) Hallar la ecuacin de una recta que pasa por el punto (-2,8) y su pendiente m = - 3/43) Hallar la ecuacin de una recta que pasa por el punto (5,7) y su pendiente m =4) Hallar la ecuacin de una recta que pasa por el punto (-5,-7) y su pendiente m =

5) Hallar la ecuacin de una recta que pasa por el punto (3,2) y su pendiente m =6) Escribe de todas las formas posibles la ecuacin de la recta que pasa por los puntos

A (1,2) y B (-2,5).

7) Escribe de todas las formas posibles la ecuacin de la recta que pasa por los puntosA (9,1) y B (-2,-5).

8) Escribe de todas las formas posibles la ecuacin de la recta que pasa por los puntosA (-1,2) y B (-7,3).

9) Escribe de todas las formas posibles la ecuacin de la recta que pasa por los puntosA (1,-8) y B (-2,2).

10)Escribe de todas las formas posibles la ecuacin de la recta que pasa por los puntosA (7,9) y B (3,-5).

11)Hallar la pendiente y la ordenada en el origen o intercepto de la recta


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-2x + 3y - 1 = 0.

12)Hallar la pendiente y la ordenada en el origen o intercepto de la recta5x + 2y +4 = 0.

13)Hallar la pendiente y la ordenada en el origen o intercepto con y, de la recta3x + 7y - 7 = 0.

14)Hallar la pendiente y la ordenada en el origen o intercepto de la recta4x + 10y +9 = 0.

15)Hallar la pendiente y la ordenada en el origen o intercepto y, de la rectax + 2y - 3 = 0.

16)Hallar la pendiente y la ordenada en el origen de la recta -5x + 8y +6 = 0.17)Hallar la ecuacin de la recta r, que pasa por A(1,5), y es paralela a la rectaS= 2x + y + 2 = 0.

18)Hallar la ecuacin de la recta r, que pasa por A(-4,3), y es paralela a la rectas =4x +-7y + 2 = 0.

19)Hallar la ecuacin de la recta r, que pasa por A(1,5), y es perpendicular a la rectaS = 2x + 2y -1 = 0.

20)Hallar la ecuacin de la recta r, que pasa por A(-1,-7), y es paralela a la rectas= - 9x +3y + 2 = 0.

21)Hallar la ecuacin de la recta r, que pasa por A (1,5), y es perpendicular a la rectas = -x +3 y + 8 = 0.

22)Hallar la ecuacin de la recta r, que pasa por A(4,-7), y es perpendicular a la rectas = 5x + 2y + 12 = 0.

23)Hallar la ecuacin de la recta r, que pasa por A(-1,1), y es paralela a la rectaS= -3x +8 y + 1 = 0.

24)Hallar la ecuacin de la recta r, que pasa por A(9,4), y es perpendicular a la rectas = -2x -5 y + 3 = 0.

25)De un paralelogramo ABCD conocemos A (1, 3), B (5, 1), C (-2, 0). Halla lascoordenadas del vrtice D(x,y).


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26)Clasificar el tringulo determinado por los puntos: A(6, 0), B(3,0) y C(6, 3).27)Hallar la pendiente y la ordenada en el origen de la recta 3x + 2y - 7 = 0.

II) Estudiar la posicin relativa (paralelas entre si, perpendiculares entre si) de las rectas deecuaciones:1) 2x + 3y - 4 =02 ) x - 2y + 1= 03 ) 3x - 2y -9 = 04 ) 4x + 6y - 8 = 05) 2x - 4y - 6 = 06) 2x + 3y + 9 = 0III) Hallar la ecuacin de la recta r, que pasa por A(1,5), y es paralela a la rectas = 2x + y + 2 = 0.

IV)Se tiene el cuadriltero ABCD cuyos vrtices son

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