Guia prac. mat 100 fcp fce (año 2017) pdf

Elaborado por: Ing. José Morón Rossel; Docente titular “C” Fac. Auditoria y Ciencias Económicas UAGRM ( Pág. 1 )

GUIA DE EJERCICIOS PRACTICOS GESTION

CALCULO I MAT 100

Elaborado por: Ing. José Morón Rossel; Docente titular “C” Fac. Auditoria y Ciencias Económicas UAGRM (PAG 2 )

PRESENTACION:

Con el beneplácito de mantener una continuidad anual destacable, lanzamos la versión No 15 de esta

“GUIA DE TRABAJOS PRACTICOS” para las materias de Calculo Diferencial e Integral Nivel I y

Nivel II.

El propósito de esta Guía es que sirva como material de apoyo bibliográfico a los Estudiantes de las

Facultades de Contaduría Pública y Ciencias Económicas, y del mismo modo a los estimados colegas

que han visto en este medio una herramienta más para el desempeño eficiente en la parte práctica del

proceso de enseñanza a impartir.

Esta Guía cada año cuenta con la recepción de numerosas ideas de los profesores que figuran líneas

abajo, todas relativas a la materia, y para el mejoramiento continuo de la misma, y de esta manera

lograr un consenso de uniformidad mínimo en cuanto se refiere a los contenidos en el momento de

impartir las materias de referencia.

A los estimados alumnos respetuosamente se les pide:

Ser tolerantes es sus observaciones

Colaborar en el proceso de mejoramiento de la presente guía.

DOCENTES QUE APOYAN Y COLABORAN EN LA EDICION:

Ing. José Morón R

Ing. Jorge Antelo

Ing. Osvaldo Koller.

Ing. Víctor Hugo Vaca D.

Lic. Ramiro Limón. (Vgde).

Ing Fernando Amelunge Martínez

Lic. Jaime Velasco.

Lic. Víctor Romero

Lic. Alfredo M. Osinaga C

Lic. Mario Limón.

Lic. Roberto castro

Contactos: [email protected] https://jmoronr.wordpress.com/

ALUMNO: GRUPO:

SANTA CRUZ - MARZO – 2017

mailto:[email protected]

https://jmoronr.wordpress.com/


CALCULO I MAT 100

Ing. José Morón Rossel; Docente titular “C” Fac. Auditoria y Ciencias Económicas ( PAG 3 )

UNIVERSIDAD AUTONOMA: “GABRIEL RENÉ MORENO”

FACULTAD: “CONTADURÍA PUBLICA”

FACULTAD: CIENCIAS ECONOMICAS Y FINANCIERAS

PROGRAMA ANALITICO GESTION 2017

IDENTIFICACIÓN:

CARRERA: CICLO COMUN FACULTATIVO

GRADO ACADEMICO: LICENCIATURA

NOMBRE DE LA MATERIA: CALCULO I

SIGLA DE MATERIA: MAT 100

PRERREQUISITOS: PAB/PSA

SE DICTA EN EL: PRIMER SEMESTRE

No DE CREDITOS: 5

No DE HORAS SEMANALES: 4 HT + 2HP

2011

SANTA CRUZ - MARZO - 2017


CALCULO I MAT 100


CONTENIDO MINIMO:

Aritmética – Álgebra - Conjuntos – Ecuaciones – Inecuaciones - Relaciones y Funciones en dos

variables - Limites y continuidad – funciones derivadas con dos variables.

OBJETIVOS GENERALES: Al finalizar el curso el estudiante será capaz de:

- Nivelar y Consolidar sus conocimientos previos de colegio.

- Manejar, Interpretar y analizar las funciones básicas en dos variables.

- Analizar la continuidad de funciones en dos variables.

- Determinar funciones derivadas con dos variables.

METODOLOGÍA Y MEDIOS DE ENSEÑANZA:

- Se empleara la clase magistral y prácticas grupales como esencia del aprendizaje..

- Los medios a emplear serán la pizarra, el marcador y la vos.

JUSTIFICACIÓN DE LA MATERIA:

La materia forma parte de las herramientas básicas para el desarrollo y formación de los

estudiantes de la Facultad de Contaduría Pública y la Facultad de Ciencias Económicas

Administrativas y Financieras. Estas herramientas constituyen los temas correspondientes de

aritmética, álgebra, análisis y aplicación de funciones básicas y finalmente la determinación e

interpretación de una función derivada.

EVALUACIÓN:

PARTE “PRACTICA”.- Por cada capítulo se tomaran practicas grupales, u otra modalidad. con una calificación de 25 puntos. La ponderación será el resultado de la suma total de las

pruebas del semestre. En esta calificación se considerara la asistencia para efectos de notas

finales.

PARTE “EXAMENES PARCIALES EP”.- Se evaluaran tres exámenes parciales: o El EP1 de las unidades uno y dos

o El EP2 de las unidades tres

o El EP3 de la unidad Cuatro con aplicación de conceptos de las unidades anteriores.

PONDERACIÓN:

Exámenes % Obs.

Exámenes prácticos 25 Practicas grupales

1er Examen parcial 25 Unid. 1,2

2do Examen parcial 25 Unid. 3,4

3er Examen parcial 25 Unid. 4(aplicaciones)

CRONOGRAMA PARA UN SEMESTRE ACADEMICO 2017

16 semanas calendario

MES MES 4

SEMANA S0 S1 S2 S3 S4 S5 S6 S7 S8 S9 S10 S11 S12 S13 S14 S15 S16 S17 S18

TEMAFECHA

(Lunes)

1 ARITMETICA Y ALGEBRA BASICA

2 RELACIONES Y FUNCIONES y=F(x)

3 LIMITES Y CONTINUIDAD

4 FUNCIONES DERIVADAS

SEMESTRES 2011 (16 Semanas)MES 1 MES 2 MES 3 MES 5


CALCULO I MAT 100


DESARROLLO DE LAS UNIDADES PROGRAMATICAS:

UND. No1

“CONOCIMIENTOS PREVIOS” TIEMPO 18 Horas - aula

OBJETIVOS ESPECÍFICOS:

Lograr que los alumnos nivelen los conocimientos previos de colegio.

Lograr que los alumnos se adapten a la metodología del docente.

CONTENIDO:

1.1.0 Aritmética y Álgebra Básica

1.1.1. Aritmética: Propiedades y operaciones con fracciones.

1.1.2. Aritmética: Propiedades y operaciones de la Potenciación, radicación y logaritmos.

1.1.3. Algebra: Expresiones algebraicas, factorización.

1.1.4. Conjuntos: Definición y operaciones con conjuntos (finitos e infinitos)

1.1.5. Ecuaciones: Solución de ecuaciones lineales y cuadráticas.

1.1.6. Inecuaciones: Solución de inecuaciones lineales, cuadráticas y con fracción.

UND. No 2

“RELACIONES Y FUNCIONES” TIEMPO 42 Horas - aula


Lograr que los alumnos identifiquen los tipos de funciones básicas.

Aprendan a determinar e interpretar el dominio, imagen y la gráfica de las funciones básicas mediante técnicas matemáticas.

Hacer aplicaciones de funciones básicas a las Ciencias Económicas, Administrativas y Financieras.

CONTENIDO:

2.1.0 Conceptos básicos:

2.1.1. Par ordenado.

2.1.2. Producto cartesiano.

2.1.3. Relaciones con elementos finitos e infinitos, Dominio, imagen y graficas

2.2.0 Función definidas por extensión y comprensión en conjuntos finitos:

2.2.1 Concepto y notación.

2.2.2 Dominio e imagen o rango.

2.2.3 Grafica

2.3.0 Análisis de funciones básicas definidas por comprensión en el conjunto de los números reales.

2.3.1 Funciones lineales.

2.3.2 Funciones cuadráticas, Cúbicas, (conceptos de simetría).

2.3.3 Funciones con fracciones: (conceptos de simetría asimetría y, asíntotas).

2.3.4 Funciones con raíz cuadrada.

2.3.5 Funciones exponenciales:

2.3.6 Funciones logarítmicas:


CALCULO I MAT 100


2.4.0 Funciones especiales y su análisis.

2.4.1 Función Inversa:

2.4.2 Función compuesta (composición de funciones):

2.4.3 Función implícita

2.4.4 Función definida por secciones:

2.5.0 Aplicaciones a las Ciencias Económicas administrativas y financieras de Funciones:

2.5.1 Ecuación de la Recta.

2.5.2 Relaciones de Oferta y Demanda:

2.5.3 Punto de equilibrio de mercado (oferta y demanda)

2.5.4 Relaciones de Ingreso, costo y Beneficio.

UND. No 3

“FUNCIONES DERIVADAS CON DOS VARIABLES” TIEMPO 24Horas - aula


Comprender intuitivamente el concepto de límite para analizar la continuidad de funciones:

Relacionar y Comprender el concepto geométrico de tangente (pendiente) con el valor de la derivada en un punto.

Relacionar la función derivada en un punto como la razón de cambio de la variable Y por

unidad de X, con el concepto marginal aplicado en ciencias económicas

Lograr destreza y habilidades para determinar funciones derivadas:

Calcular el valor de las funciones derivadas en un punto.

Interpretar en valor marginal de las funciones con aplicación a las ciencias económicas.

CONTENIDO:

3.1.0 Límites y continuidad: Conceptos básicos

3.1.1 Definición intuitiva, notación y propiedades de límite.

3.1.2 Relación entre valor de límite y valor de una función en un punto:

3.1.4 Calculo de límites sin y con indeterminación

3.1.5 Aplicaciones de límites: Asíntotas y continuidad.

3.2.0 Funciones derivadas; Conceptos básicos.

3.2.1 Definición y notación, y propiedades:

3.2.2 Derivadas de funciones básicas por definición

3.2.3 Derivadas de funciones con fórmulas estándar

3.2.4 Aplicaciones: Valor e interpretación en un punto.


CALCULO I MAT 100


UND. No 4

“FUNCIONES DERIVADAS ESPECIALES” TIEMPO 12 Horas - aula

4.1.0 Derivada de Funciones Especiales:

4.1.1 Derivada de orden superior

4.1.2 Derivada de una Función inversa

4.1.3 Derivada de una Función Compuesta.

4.1.4 Derivada de una Función Implícita.

4.2.0 Aplicaciones a las Ciencias Económicas Administrativas y Financieras:

4.2.1 Función Oferta Marginal: Análisis e interpretación.

4.2.2 Función Demanda Marginal: Análisis e interpretación.

4.2.3 Función Ingreso Marginal: Análisis e interpretación.

4.2.4 Función Costo Marginal: Análisis e interpretación.

4.2.5 Función Costo promedio Marginal: Análisis e interpretación.

4.2.4 Función Costo Marginal: Análisis e interpretación.

4.2.6 Función Utilidad o Benéfico Marginal interpretación.

BIBLIOGRAFÍA (1)

1. WEBER, JEAN,; 1984, MATEMATICAS PARA ADMINISTRACION Y ECONOMIA,

Editorial. Harla, México D.F.

2. CHUNGARA, Victor , 1995, CALCULO I, Editorial UMSA.

3. ALLENDORF y OAKLEY, 1993 FUNDAMENTOS DE MATEMÁTICAS

UNIVERSITARIAS, Editorial Mc Graw Hill, México D.F.

4. GUTIERREZ P.A.,1989, LA PRACTICA DEL CALCULO DIFERENCIAL, Editorial El

Jisunú, Santa Cruz de la Sierra


CALCULO I MAT 100



CALCULO I MAT 100


UNIVERSIDAD AUTONOMA: “GABRIEL RENÉ MORENO”

FACULTAD: “CONTADURÍA PUBLICA”

FACULTAD: CIENCIAS ECONOMICAS Y FINANCIERAS

SECCION

GUIA DE EJERCICIOS:

CALCULO I

MAT 100

DOCENTES QUE APOYAN Y COLABORAN EN LA EDICION:

Ing. José Morón R

Ing. Jorge Antelo

Ing. Osvaldo Koller.

Ing. Víctor Hugo Vaca D.

Lic. Ramiro Limón. (Vgde).

Ing Fernando Amelunge Martínez

Lic. Jaime Velasco.

Lic. Víctor Romero

Lic. Alfredo M. Osinaga C

Lic. Mario Limón.

Lic. Roberto castro

ALUMNO: GRUPO:

SANTA CRUZ - MARZO - 2017


CALCULO I MAT 100

Elaborado por: Ing. José Morón Rossel; Docente titular “C” Fac. Auditoria y Ciencias Económicas UAGRM ( PAG 10 )

CONTIENE

CONCEPTOS, EJEMPLOS Y EJERCICIOS

DE:

CONOCIMIENTOS PREVIOS

o ARITMÉTICA BASICA

o ALGEBRA BASICA y conceptos

RELACIONES Y FUNCIONES

o CONCEPTOS BÁSICOS

o RELACIONES (En conjuntos finitos e infinitos)

o FUNCIONES BASICAS (En conjuntos finitos e infinitos)

o ÁLGEBRA DE FUNCIONES

o FUNCIONES ESPECIALES

o APLICACIONES

FUNCIONES DERIVADAS (Derivadas)

o CONCEPTOS BÁSICOS, PROPIEDADES Y APLICAIONES DE LIMITES

o CONCEPTOS BÁSICOS Y DEFINICION DE DERIVADAS.

o DERIVADAS POR DEFINICIÓN Y POR TABLAS

o DERIVADA DE FUNCIONES ESPECIALES

o APLICACIONES


CALCULO I MAT 100


UND. 1

CONOCIMIENTOS PREVIOS

1.0.0 OBJETIVO.- El objetivo en este capítulo es recordar y practicar nociones elementales de

aritmética y algebra básica para disponer de una herramienta imprescindible antes de iniciar curso.

1.10.- ARITMETICA: Resolver los siguientes tipos de ejercicios:

Ejercicios Tipo T1:

Operaciones con fracciones.

1a)

; 2a)

( ).

/

.

/

1b)

2b)

.

/

3a) 0

.

/1

.

/

; 4a) . / .

/

.

/

3b)

0 . /

1

. /

4b) 0

.

/1

.

/

5a)

0

.

/1

.

/

; 6a) 0

.

/.

/ 1

5b) 0 .

/

1

6b)

0

.

/1

.

/.

/

Soluciones pares: (R2a=-1/3): (R4a=-2): (R2b=+2): (R4b=0):

Ejercicios Tipo T2:

Operaciones con fracciones y exponenciales:

7a) .

/( )

.

/( ) ; 8a)

√

√ √

√

√ 4 √

5

7b) .

/( )

.

/( ) 8b)

√ √

√

9a) ( .

/

)( )

.

/( ) ; 10a)

√

√ [ .

/

] 9b)

.

/( )

( .

/

)( ) 10b)

√

[.

/

]

√

Soluciones: (R8a=-3): (R10a=-4): (R8b=3): (R10b=1):

Ejercicios Tipo T3:

Operaciones con logaritmos.

11a) ( ) ; 12a) ( ) 11b) ( ) 12b) ( )

13a)

√

; 14a) .√√

/

13b)

.√√

/

; 14b)

√

Soluciones: (R12a=-3): (R14a=1): (R12b=-2): (R14b=-1):


CALCULO I MAT 100


1.2.0.- ALGEBRA: Operaciones con y sin indeterminación.

Ejercicios Tipo T4:

Hallar el valor de las expresiones para el valor de x indicado

15a)

Calcular para: x=2 15b)

; Calcular para: x=1

16a)

Calcular para: x=-1 16b)

; Calcular para: x=-1

17a)

Calcular para: x=-2 17b)


18a)

√ Calcular para: x=1 18b)

√


19a) 6

√

7

.

/ 19b) (√

) 4√

5 ;

Para: x=3; Rp=10 Para: x=3; Rp=2

Ejercicios Tipo T5:

Hallar el valor de las siguientes expresiones algebraicas (indeterminadas), en el punto indicado.

20a)

; 21a)

√ 20b)

21b)

√

x=-3 x=1 x=-5 x=4

22a)

23a)

22b)

23b)

x=-1 x=2 x=-1 x=2

24a)

25a)

24b)

25b)

x=-2 x=2 x=1 x=2

Soluciones pares: R22a=-2/3): (R24a=9/7): (R22b=1/2): (R24b= -2):

Ejercicios Tipo T6:

Hallar el valor de las siguientes expresiones algebraicas (indeterminadas), en el punto indicado.

26a)

√ 27a)

√

26b)

√

27b)

√

x=4 x=-2 x=-1 x=-3

28a)

√ 29a)

√ 28b)

√ 29b)

√

x=-5 x=3 x=1 x=3

Soluciones pares: R26a= -6): (R27b= -3):


CALCULO I MAT 100


1.3.0 CONJUNTOS. 1.) El objetivo es comprender y aplicar el concepto de conjuntos por comprensión y extensión,

para plantear y resolver operaciones con conjuntos finitos e infinitos.

Definición: Se denomina conjunto a una serie de elementos (Objetos o sujetos) reunidos y que

además éstos tienen una o más características en común:

Ejemplo de Conjuntos por comprensión: Ejemplo de Conjuntos por extensión:

* ⁄ + * +

* ⁄ + * +

2.) Operaciones con conjuntos:- Dados dos conjuntos A,B,C,D…, se definen las siguientes

operaciones entre dos conjuntos finitos o infinitos:

1. : / ; 4. : /

2. : / ; 5. : / ( ....)

3. :

x x

x x

Unión A B x A y B Complemento A U A x U x A

Intersección A B x A y B Conjunto Universo x A B C D

Diferencia A B

/ ; 6. : /x xx A x B Conjunto Vacio A A x A x A

Como resultados de las operaciones entre dos conjuntos se espera un tercer conjunto definido,

vacío, o universal.

3.) Conjuntos numéricos finitos.- Son tal que sus elementos se los puede establecer o determinar;

Estos, generalmente son el resultado de resolver un tipo de ecuación.

Ejercicios Tipo T7.-

Dados los conjuntos expresados por comprensión, se pide expresarlos por extensión, y

graficarlos en la recta X, una vez resuelta la ecuación.

30a) * ⁄ + 30b) * ⁄ + ; 31a) * ⁄ + 31b) * ⁄ + ;


Con los siguientes conjuntos: 2,4,5 ; 3,4,6 ; 1,3,5A B C

Resolver las siguientes operaciones entre conjuntos.

32a) ( ) 33a) ( ) 32b) ( ) 33b) ( ) 33a) ( ) 35a) ( ) 33b) ( ) 35b) ( ) 34a) ( ) 37a) ( ) 34b) ( ) 37b) ( )

35a) ( ) 40a) ( ) ; 35b) ( ) ; 40b) ( ) ;


CALCULO I MAT 100


4.) Conjuntos numéricos infinitos.- Son tal que sus elementos no se los puede establecer o

determinar explícitamente; Estos, generalmente son el resultado de resolver un tipo de

inecuaciones, ya sea:

a) Lineal.

b) Cuadrática,

c) Fraccionaria

d) Combinada con valor absoluto.

Las soluciones tienen notación Conjuntista mediante intervalos abiertos, cerrados, semi-

abiertos y al infinito.


Resolver las siguientes inecuaciones, luego expresar el intervalo o conjunto solución en forma

conjuntista y gráfica, en la recta real.

41a) * ⁄ + 41b) * ⁄ + ; 42a) * ⁄ + 42b) * ⁄ + ; 43a) * ⁄ + 43b) * ⁄ + ;

44a) 2

⁄ 3 44b) 2

⁄ 3 ;

45a) 2

⁄ 3 45b) 2

⁄ 3 ;

Ejercicios Tipo T10-

Dados los siguientes conjuntos infinitos: - , , - , , - -

Resolver las siguientes operaciones entre conjuntos, luego expresar el intervalo o conjunto

solución en forma conjuntista y gráfica, en la recta real.

46a) ( ) 47a) ( ) 46a) ( ) 47b) ( ) 48a) ( ) 49a) ( ) 48a) ( ) 49b) ( ) 50a) ( ) 51a) ( ) 50a) ( ) 51b) ( )

52a) ( ) 53a) ( ) 52a) ( ) ; 53b) ( )

54a) ( ) 55a) ( ) 54a) ( ) ; 55b) ( )


CALCULO I MAT 100


( )x A

( )y B

A B

UND. 2

RELACIONES Y FUNCIONES

2.0.0.- El objetivo del presente capitulo es relacionar los elementos (x,y), de dos conjuntos A B,

respectivamente, para comprender analítica y gráficamente el concepto de lo que significa una

función.

Además se pretende que el alumno entienda la diferencia entre producto cartesiano, relación y

función; conocidos los elementos de dos conjuntos de partida y llegada.

2.1.0 Conceptos Básicos:

Sistema de ejes de coordenadas.- convencionalmente se adopta el sistema ortogonal de ejes horizontales X y de ejes verticales Y, donde se

localizan diferentes representaciones.

Par ordenado.- Es un elemento binario que representa un punto en el

plano o sistema de ejes coordenados

Se denota por (a,b) donde: a es un lugar en el eje X

b es un lugar en el eje Y

Producto cartesiano.- Dados dos conjuntos de partida y llegada, A y B, se define el producto de A por B como:

El conjunto de pares ordenados resultado de la combinación de

todos los elementos del conjunto A con todos los elementos del

conjunto B. *( ) ⁄ +

Ejemplo 1: Dada los siguientes conjuntos finitos:

* + * +

Se pide:

a) Hallar el producto cartesiano :

Rp.) . *( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )+

b) Gráfica:

Ejercicios Tipo T1-

Dados los conjuntos finitos: * + * + * + Se pide:

Hallar y graficar los productos cartesianos, en el plano (x,y).

) )

) )

) ( ) ( ) ) ( ) ( )

,x y

( )x A

( )y B

,x y

( )x A

( )y B

,x y


CALCULO I MAT 100

Ing. José Morón Rossel; Docente titular “C” Fac. Auditoria y Ciencias Económicas UAGRM (PAG 16 )

Ejercicios Tipo T2-

Dados los conjuntos infinitos: - , , - , , - - Se pide:

Hallar y graficar el producto cartesiano solución en el plano de coordenadas (x,y).

) )

) )

) ( ) ) ( )

2.2.0.- Relaciones entre dos conjuntos.-

1) Definición: Dados dos conjuntos A (Partida) y B (llegada), se define la relación de A en B

como:

- El conjunto de pares ordenados incluidos en un producto

cartesiano, y definidos por una determinada característica.

*( ) ( ) ⁄ +

- La dependencia convencional de la variable Y respecto a la

Variable X; es decir ( )y f x , (se lee f depende de x,)

donde f(x) es una expresión algebraica, dependiente de x.

- Una gráfica, representada en el plano de coordenadas (x,y) en forma de líneas, círculos

parábolas, elipses, hipérbolas, y otros tipos de figura.

2) Características de las relaciones.

Dada una relación de A en B, se definen las siguientes características básicas.

a) Dominio.-

Es el conjunto formado por los valores de x (1er y único valor de los pares ordenados)

que hacen posible obtener uno de y en la relación, y se denota como: * ⁄ + Gráficamente es el conjunto que forma la proyección de la gráfica al eje X.

b) Imagen.-

Es el conjunto formado por los valores de y (2do valor de los pares ordenados), que

hacen posible obtener uno de x en la relación, y se denota como: * ⁄ + Gráficamente es el conjunto que forma la proyección de la gráfica al eje Y.

c) La grafica .- Una relación toma variadas formas sin ninguna restricción como ser:

Líneas, Curvas abiertas y/o cerradas.

( )x A

( )y B

Relacion


CALCULO I MAT 100


Ejemplo 1: Dada los siguientes conjuntos: * + * + finitos, y la relación *( ) ⁄ +

Se pide:

c) Hallar la relación de A en B, expresada por extensión:

Rp.) . *( ) ( ) ( ) ( )+ d) Indicar su dominio e imagen:

Rp.) .: * + * + e) Gráfica:


Dados los conjuntos finitos: 2,4,5 ; 3,4,6 ; 1,3,5A B C Se pide:

Expresar por extensión las siguientes relaciones,

Hacer la gráfica de las relaciones de pares ordenados (ver ejemplo).

) *( ) ⁄ + ) *( ) ⁄ +

) *( ) ⁄ + ) *( ) ⁄ +

) *( ) ⁄ + ) *( ) ⁄ +

NOTA.-

- Los ejercicios de relaciones entre dos conjuntos infinitos, se analizara en el estudio de

funciones, una vez que se considera que toda función es una relación.

- En la competencia del curso se tiene previsto la aplicación de ejercicios prácticos lo que

implica estudiar relaciones funcionales.


CALCULO I MAT 100


2.3.0.- Funciones entre dos conjuntos.-

1.) Dados dos conjuntos A (Partida) y B (llegada), se define la

función de A en B, como:

Una relación o conjunto de pares ordenados (x,y),

*( ) ( ) ⁄ +

Una relación que cumple con las condiciones de: Unicidad y Existencia. Unicidad.- Se cumple esta condición si:

(Condición necesaria)

(criterio gráfico)Cualquier línea vertical corta a la gráfica

en un solo punto

Existencia.- Se cumple esta condición si:

El dominio es igual al conjunto de partida.

(criterio gráfico) Cualquier línea vertical trazada por el conjunto de partida

corta la gráfica por lo menos una sola vez.

Una representación gráfica (líneas o curvas no cerradas), en el plano de coordenadas (x,y) y que tienen sentido en aplicaciones prácticas, o estudios de caso.

Nota: Hacemos notar que toda función es relación y no toda relación es función

2.) Características de las relaciones y funciones.

Dada una función definida entre los conjuntos A B, se definen las siguientes características

básicas.

a) Dominio.-

i. Es el conjunto formado por los valores de x (1er y único valor de los pares ordenados),

que hacen posible obtener uno de y en la función, Notación: * ⁄ + ii. Gráficamente es el conjunto que forma la proyección de la gráfica al eje X.

b) Imagen.-

i. Es el conjunto formado por los valores de y (2do valor de los pares ordenados), que

hacen posible obtener uno de x en la función, Notación: * ⁄ + ii. Gráficamente es el conjunto que forma la proyección de la gráfica al eje Y

c) La grafica Una función toma variadas formas condicionadas por la unicidad y la existencia

como ser:

i. líneas

ii. Curvas abiertas. (Toda línea recta trazada por su grafica debe cortar una única vez)

( )x A

( )y B

Funcion


CALCULO I MAT 100


Ejemplos

Ejemplo 1: Dados los siguientes conjuntos: * + * + finitos, y la relación *( ) ⁄ +

Se pide:

a) Hallar la relación de A en B, expresada por extensión:

Rp.) . *( ) ( ) ( ) ( )+ b) Indicar su dominio e imagen:

Rp.) .: * + * + c) Indicar si es función

Rp.) . No es función porque el par (5,3) y (5,6) tienen la primera

componente repetida, y no cumple la condición de unicidad. d) Gráfica:

Ejemplo 2: Dados los siguientes conjuntos: * + * + finitos, y la relación

2( )

⁄ 3

Se pide:

a) Hallar la relación de A en B, expresada por extensión:

Rp.) . *( ) ( ) ( )+ b) Indicar su dominio e imagen:

Rp.) . * + * +. c) Indicar si es función

Rp.) . Es función porque cumple la condición de unicidad.

d) Gráfica: (En este caso particular, la respuesta son tres pares

ordenados)

Ejemplo 3: Las gráficas de todas las cónicas como ser parábolas invertidas, elipses, hipérbolas; no

son funciones (Ver ejemplos del profesor)

Ejercicios Tipo T4.- Dadas los conjuntos (finitos). * + y * + las siguientes relaciones definidas de

A en B:

) *( ) ( ) ( )+ ) *( ) ( ) ( )+

) *( ) ( ) ( )+ ) *( ) ( ) ( )+

) *( ) ( ) ( ) ( )+ ) *( ) ( ) ( ) ( )+

) *( ) ( )+ ) *( ) ( )+

Se pide determinar:

a) El dominio e imagen.

b) Indicar si las relaciones son funciones (justificar si cumplen con la unicidad y existencia)


CALCULO I MAT 100


2.4.0.- Análisis de funciones básicas en R×R.-

Son aquellas donde el conjunto de partida y llegada son el conjunto infinito de los números

Reales, es decir los pares ordenados y graficas son genéricos.

El objetivo en esta sección es analizar, los distintos tipos de funciones básicas en el conjunto de

los números reales, es decir el alumno debe saber determinar, el dominio, la imagen y trazar la

gráfica de la respectiva función.

El propósito además es:

- Relacionar la dependencia convencional de la variable (Y) respecto a la variable (X), es

decir: ( )y f x lo que significa que la función o variable y depende de la variable x

- Distinguir y analizar el tipo y las características más importantes de las funciones básicas,

como ser: Su dominio, imagen y su respectiva gráfica:

- Relacionar las funciones básicas con las aplicaciones de oferta y demanda.

- Analizar los siguientes tipos de funciones:

Función Lineal Función Cuadrática

Función Cuadrática Función Fraccionaria

Función Raíz cuadrada Función Logarítmica

Tipos de funciones Básicas en RR:

En esta sección se analizara los diferentes tipos de funciones básicas,, dado que se considera

que es la mínima competencia que el estudiante de Contaduría Pública debe tener para

relacionar las funciones aplicadas a las ciencias económicas y financieras.


CALCULO I MAT 100


1) Función lineal:

Son del tipo: ( ) Dónde: a, b, son valores constantes, y su grafica son líneas rectas.

Ejemplos

Ejemplo 1 Análisis intuitivo grafico de funciones lineales y genéricas.

Ejemplo 2: Dada la siguiente función:

( )

Se pide:

a) Indicar su dominio e imagen:

Rp.) .

b) Graficar:

Rp.) . Para los valores de x=2, 4, 6; los respectivos valores

de la función son. Y=4, 3, 2, (Ver grafica)

Ejercicios Tipo T5.- Analizar las siguientes funciones: Hallar el dominio, la imagen y gráfica:

14a) ( ) 14b) ( )

15a) ( ) 15b) ( )

16a) ( ) ( ) 16b) ( ) ( )

17a) ( )

17b) ( )

18a) ( ) (

) 18b) ( )

(

)

19a) ( ) ( ) (

) 19b) ( ) .

/ (

)


CALCULO I MAT 100


Funciones Cuadrática o de segundo grado:

Son del tipo: ( ) Dónde: a, b, c, son valores constantes; Su graficas en una parábola y su vértice esta ubicado

en:

Ejemplos

Ejemplo 1 Análisis intuitivo grafico de funciones de 2do grado y genéricas.

- - , ,


( )

Se pide:


Rp.) . - -

b) Graficar:

Rp.) . Para los valores de x=0, 2; los respectivos

valores de la función son. Y=5, 3, (Ver grafica)


20a) ( ) 20b) ( )

21a) ( ) 21b) ( )

22a) ( ) ( ) 22b) ( ) ( )

23a) ( ) ( ) 23b) ( ) ( )

24a) ( ) .

/

24b) ( ) .

/

25a) ( ) ( ) 25b) ( ) ( )


CALCULO I MAT 100


Funciones Raíz cuadrada:

Son del tipo: ( ) √ ( ) ( )

Dónde: a, b, c son valores constantes, su grafica es la mitad de una parábola invertida y la

expresión sub-radical una expresión algebraica de primer grado. ( )p x .

Ejemplos.

Ejemplo 1 Análisis intuitivo grafico de funciones raíz cuadradas y genéricas.

, , - - , , , ,

Ejemplo 2: Dada la función: ( ) √

Se pide:


Rp.)

Si ; entonces: - - Si ; entonces: - -

b) Gráfica:

Rp.) . Para los valores de x=2, 5,6; los respectivos

valores de la función son. Y=3, 1,-1 (Ver grafica


26a) ( ) √ 26b) ( ) √

27a) ( ) √ 27b) ( ) √

28a) ( ) √ 28b) ( ) √

29a) ( ) √ 29b) ( ) √

30a) ( ) √ 30b) ( ) √

31a) ( ) √ √ 31b) ( ) √ √


CALCULO I MAT 100


Funciones fraccionarias:

Son del tipo: ( ) ( )

( ) ( )

Dónde: ( ) ( ) son expresiones algebraicas de primer grado, su grafica es una hipérbola

tipo .

Ejemplo 1 Análisis intuitivo grafico de funciones fraccionarias y genéricas.

* + * + * + * +


( )

Se pide:


Rp.) Despejando x, y respectivamente.

* + * + AV: x=-1 AH: y=6

b) Graficar


valores de la función son. Y=1, 3.5, 5(Ver grafica)

Ejercicios Tipo T8.- Analizar las siguientes funciones: Hallar el dominio, la imagen y grafica

32a) ( )

32b) ( )

33a) ( )

33b) ( )

34a) ( )

34b) ( )

35a) ( )

35b) ( )

36a) ( )

36b) ( )

37a) ( ) ( )

37b) ( )

AH

AH AV

AV

AH

AV


CALCULO I MAT 100


Funciones exponenciales:

Son del tipo: ( )

( )p x

y f x k

Dónde: k, es una constante y ( )p x es una expresión algebraica de primer grado, y su grafica

una curva delimitada por una asíntota horizontal.

Ejemplo 1 Análisis intuitivo grafico de funciones exponenciales y genéricas.

- - , ,


( ) ( ) Se pide:

c) Indicar su dominio e imagen: Si ( )

Rp.) y -1>0; y >+1

. , , AH: y=1

d) Graficar

Rp.) . Para los valores de x=0, 1,2; los

respectivos valores de la función son. Y=5, 3.2

(Ver grafica)


38a) ( ) 38b) ( )

39a) ( ) ( ) 39b) ( ) ( )

40a) ( ) ( ) 40b) ( ) ( )

41a) ( ) ( ) 41b) ( ) ( )

42a) ( )

( ) 42b) ( )

( )

43a) ( ) ( ) 43b) ( ) ( ) ( )

AH

AH

AH


CALCULO I MAT 100


Funciones logarítmicas:

Son del tipo: ( ) , ( )- .

Dónde: ( ) es una expresión algebraicas de primer grado, y a,b son números

reales, su grafica es una curva delimitada por una asíntota vertical.

Ejemplo 1 Análisis intuitivo grafico de funciones logarítmicas y genéricas.

, , , ,


( ) ( ) Se pide:


Rp.) ; si 3x+3>0; x>-1.

, , , AV; x=-1

b) Graficar


valores de la función son. Y=3, 3.8, 4.7 (Ver grafica)


44a) ( ) ( ) 44b) ( ) ( )

45a) ( ) ( ) 45b) ( ) ( )

46a) ( ) ( ) 46b) ( ) ( )

47a) ( ) ( ) 47b) ( ) ( )

48a) ( ) √ 48b) ( ) √

49a) ( ) √ √ 49b) ( ) √ √

AV

AH

AV

AV

AV


CALCULO I MAT 100


2.5.0.- FUNCIONES ESPECIALES:

Son aquellas que resultan de hacer una aplicación particular a una o más funciones básicas, para

determinar una nueva o tercer función con características diferentes.

Las funciones especiales a estudiar son las siguientes:

i). Función inversa,

ii). Función compuesta.

iii). Función implícita

iv). Función definida por secciones o seccionada.

1.- Funciones Inversas:

Definición: Dadas la función y= f(x) (directa); entonces:

Se define la función inversa como: ( ) resultado de cambiar la variable

dependiente por la independiente o viceversa.

(Recuerde que no toda inversa es función, y que la gráfica en simétrica a una mediatriz entre el

1er y 2do cuadrante)

Ejemplo 1.- Con la función:

Hallar la función inversa y su aplicación para x=3:

a) Invirtiendo las variables X por Y, seo tiene:

Luego despejando la nueva ( ) , se tiene

como la nueva función inversa.

b) Aplicación: El valor de la función inversa en x=3;

( )

;

( )


Con las funciones enunciadas se pide hallar la función inversa, luego el valor en el punto indicado.

1a) ( ) { ( )

( )

1b) ( )

{

( )

( )

2a) ( ) { ( )

( )

2b) ( ) { ( )

( )

3a) ( ) √ { ( )

( )

4b) ( ) √ { ( )

( )

4a) ( )

{

( )

( ) 4b) ( )

{

( )

( )

Nota: En todos los casos el alumno deberá hacer la respectiva grafica inversas (cuando sean

básicas), para justificar si la misma es función.


CALCULO I MAT 100


2.- Función compuesta:

Definición: Dadas las funciones y=f(w) w=g(x), entonces:

Se define la composición de f con g, como la dependencia de la función F respecto de la

función G; ó que si Y depende de W W depende de X, entonces Y depende de X.

Simbólicamente se define como: , -( ) , ( )- Recuerde que:

Ejemplo 1).- Con las funciones enunciadas a continuación: ( ) y ( ) √ .

Hallar la composición y respectiva aplicación en el punto indicado:

a) , -( ) , ( )- b) ( )( ) ( ( ))

a) Hallar la composición: , -( ) , ( )- x<4

Rp. , ( )- [√ ] (√ )

b) Aplicación: Hallar el valor de la función compuesta resultante para:

( )( ) (√ ) √

c) Hallar la composición ( )( ) ( ( )) Rp.

, ( )- , - √ ( ) √

d) Aplicación: Hallar el valor de la función resultante para:

( )( ) √ ( ) √ ; o ( ) ( )


Con las funciones enunciadas a continuación: Hallar: La función resultante de la composición

entre dos funciones, luego su valor en el punto indicado.

5a) ( ) ( ) 5b) ( ) ( ) Hallar: (f g)(x), aplicar para x=1 Hallar: (g f)(x), aplicar para x=2

6a) ( ) √ ( ) ( ) 6b) ( ) ( ) ( ) √

Hallar: (h o j) (x), aplicar para x=2 Hallar: (h o j) (x), aplicar para x=0

Dada las funciones Y que depende de la función W. se pide hallar la función resultante

7a) Si

7b) Si

Hallar: f(x), luego f(x=1)=? Hallar: f(x), luego f(x=1)=?

8a) Si

8b) Si

Hallar: f(x), luego f(x=1)=? Hallar: f(x), luego f(x=1)=?

Nota: Opcionalmente y en caso de que la función resultante sea básica hallar el dominio, la

imagen y la gráfica.


CALCULO I MAT 100


3.- Funciones Implícitas:

Definición: Si ( ), es una función explicita, (La variable independiente, esta despejada), entonces: ( ) se la define como una función implícita (la variable independiente, no está

despejada),

Nota: Recuerde que no toda función implícita se hace explicita como ser las trascendentes

(trigonométricas y logarítmicas)

Ejemplo. 1: Con la siguiente función implícita: Se pide hallar la función

explicita, luego su valor para x=2.

a) Rp.) Despejando la variable y=? se tiene: ( )

Es la función explicita

b) Aplicación: Hallar el valor de la función en x=2: ( )


Con las funciones enunciadas a continuación: Hallar: a) La función explicita resultante y =

f(x), b) luego su valor en el punto indicado. En todos los casos hallar el dominio

9a) (( ) ( ) 9b) ( )

10a)

( ) 10b)

( )

11a) √ ( ) 11b) √ ( )

12a) ( ) ( ) 12b) ( ) ( )

4.- Funciones definidas por secciones:

Definición: Son funciones que dependen de dos o más funciones y

que actúan en un mismo plano de coordenada.

Este tipo de funciones son la base para comprender el concepto de

límites laterales.

Definición simbólica:

( ) { ( )

( )


Con las funciones enunciadas a continuación: se pide analizarlas completamente (Hallar:

Dominio, imagen y grafica)

13a) ( ) 8

13b) ( ) 8

14a) ( ) {

14b) ( ) {

Sección 1 Sección 2

h(x) j(x)

Y=

f(x)

x


CALCULO I MAT 100


2.6.0.- APLICACIONES DE FUNCIONES.-

El objetivo en esta sección es hacer aplicaciones a las Ciencias Económicas con las funciones

básicas estudiadas hasta el momento. Además:

Interpretar la pendiente de una resta y de una recta.

Relacionar el concepto marginal con la pendiente de una resta.

Analizar funciones de oferta demanda, ingreso costo y utilidad. Nota: Recuerde también que toda aplicación tiene sentido si el análisis es en el 1er cuadrante.

1.- Ecuaciones de la recta.- Es una función que representa una línea recta y además es la más

aplicada como modelo en las materias básicas de economía.

Definición de la ecuación genérica para la línea recta:

ó como una función lineal tipo: ( )

Características básicas:

La pendiente (m): Es un coeficiente que mide la variación de y por unidad de x. ⁄

Angulo de inclinación (𝛼): Es la abertura medida en grados o radianes, entre la recta y el eje x.

𝛼 ( )

Relaciones para determinar la ecuación de una recta:

a) Conocidos dos puntos 1 1 2 2( , ) ( , )P x y P x y , entonces: .

/ ( )

b) Conocidos un punto: 1 1( , )P x y y su pendiente m k , entonces: ( )

Donde Además la pendiente entre dos puntos: ( ) ( ) .

/ la

Relación entre dos rectas: Conocida la pendiente, entre dos puntos:

a) Dos rectas son

paralelas sii:

1 2m m

b) Dos rectas son

perpendiculares sii:

1

2

1m

m

Relación de Oferta y Demanda:

Conocida la pendiente, entre dos puntos ( ) ( )

Dada una función Y=f( ), esta es una relación de:

Demanda si su pendiente entre dos puntos

próximos del primer cuadrante es negativa.

Oferta si su pendiente entre dos puntos

próximos del primer cuadrante es positiva.

x

y1m

2m1m

2mx

y


CALCULO I MAT 100


Ejemplo 1 .- Con los siguientes puntos: ( ) y ( ). Se pide: a) La pendiente y su interpretación:

Rp.) . Pendiente:

Interpretación: Por cada unidad que aumente la cantidad X; el valor de la cantidad Y

disminuye dos unidades.

b) La ecuación de la recta que pasa por los dos puntos:

Rp. .

/ ( ); .

/ ( );


Dados dos puntos del plano de coordenadas:

1a) ( ) ; ( ) 1b) ( ); ( )

2a) ( ); ( ) 2b) ( ); ( )

Determinar e interpretar el valor de la pendiente (m=?)


Dados: a) Dos puntos, b) Un punto y su pendiente, Se pide; Halar las respectivas ecuaciones de la

recta e indicar si su grafica es aplicable a una función de oferta o demanda.

3a) ( ) ; ( ) 3b) ( ); ( )

4a) ( ); ( ) 4b) ( ); ( )

5a) ( ); ( ) 5b) ( ); ( )

6a) ( ); 6b) ( );

7a) ( );

7b) ( );

8a) ( );

8b) ( );

Ejercicios Tipo T17.- Problemas

9a) Determinar la ecuación de la línea recta

que pasa por el punto ( ) y es paralela a

la resta definida por:

9b) Determinar la ecuación de la línea recta

que pasa por el punto ( ) y es paralela a

la resta definida por:

10a) Determinar la ecuación de la línea recta

que pasa por el punto ( ) 1 P (1,1) y es

perpendicular a la resta definida por:

10b) Determinar la ecuación de la línea recta

que pasa por el punto ( ) 1 P (1,1) y es

perpendicular a la resta definida por:


CALCULO I MAT 100


2.- Funciones de Oferta y demanda:

Dada una función ( ) donde X representa las unidades ofertadas o demandadas de los insumos o artículos x, y donde Y representa los respectivos precios unitarios de oferta y

demanda.

Se define como:

La función oferta si su pendiente es positiva. O que la relación entre cantidades y

precios (x,y), entre dos puntos es directa

La función demanda si la pendiente es negativa. O que la relación entre cantidades y precios (x,y), entre dos puntos es inversa

Ejemplo1.- Dada la función: ( )

y ( ). Se pide:

a) Hallar la pendiente entre dos puntos continuos, luego indicar si la función es de oferta o

demanda.

Rp. Con los puntos: { ( )

( ) Su pendiente es:

Conclusión: Como la pendiente es positiva m>0; entonces f(x) es una función de Oferta.

b) Indicar si la función es oferta o demanda mediante la verificación de relaciones directas o

inversas ente (x,y).

Tabla de verificación:

Si el precio aumenta, entonces la cantidad aumenta.

Conclusión: Como la relación (x,y), entre dos puntos es directa. Luego f(x), es oferta.


Mediante el cálculo de pendientes o la comparación de las relaciones (inversa o directa),

indicar justificadamente cual función es oferta y cual demanda.

11a) ( ) 11b) ( )

12a) ( ) ( ) 12b) ( ) ( )

13a) ( )

13b) ( )

14a) ( ) ( ) 14b) ( ) ( )

15a) ( ) ( ) 15b) ( ) ( )

16a) ( ) √ 16a) ( ) √


CALCULO I MAT 100


3.- Punto de equilibrio de mercado entre la F. Oferta y la F. demanda.-

El punto de equilibrio de mercado, es un lugar del plano (x,y), donde los precios unitarios de la

cantidad ofertada son igual al de la cantidad demandada, respectivamente. ( ) ( )

El objetivo es resolver en forma analítica y gráficamente el sistema de las ecuaciones de oferta

y demanda para determinar las cantidades y precios de equilibrio.

Ejemplo1.- Dada las funciones de oferta y demanda:

( )

( )

. Se pide hallar el punto de

equilibrio de mercado

i) Condición: ( ) ( )

ii) Resolviendo el sistema

;

iii) Luego el precio Y: ( ) ( )

iv) Conclusión: ( ) punto de equilibrio.

Ejemplo2.- Dada las funciones de oferta y demanda:

( ) ( ) y ( ) .

/ . Se pide determinar el

punto de equilibrio de mercado:

i) Condición: ( ) ( )

ii) Resolviendo el sistema ( ) .

/ ;

iii) Luego el precio Y: ( ) ( )

iv) Conclusión: ( ) punto de equilibrio.


Con los siguientes pares de funciones de oferta y demanda se pide: hallar el punto de equilibrio

y las respectivas gráficas. 17a) ( ) ( ) 17b) ( ) ( )

18a) ( ) ( ) 18b) ( ) ( )

19a) ( )

( )

19b) ( ) ( )

20a) ( )

( )

20b) ( )

( )

21a) ( ) √ ; ( )

21b) ( ) √ ; ( )

Ejercicios con solución:

22a) 8 ( ) ( )

( ) ( ) {

22b) 8 ( ) ( )

( ) ( ) {

23a) { ( ) ( )

( ) ( ) {

23b) { ( ) ( )

( ) ( ) {

PE

Demanda

Oferta


CALCULO I MAT 100



Problema de planteamiento: Ecuaciones de funciones de Oferta o Demanda.

24a) Se dispone de los siguientes datos de

una librería: Cuando el precio es de 50Bs. se

venden 60 libros y 80 libros si el precio

unitario baja 30Bs. Determinar la ecuación

de la demanda, luego el precio para x=70

libros (Rep.: 40 libros).

24b) Se dispone de los siguientes datos de

una librería: Cuando el precio es de 50Bs. se

venden 60 libros y 40 libros si el precio

unitario sube a 90. Determinar la ecuación de

la demanda, luego el precio para x=50 libros

(Rep.: 70 libros).

25a) Un productor tiene los siguientes datos

respecto a sus productos: Se venden 20 sillas

cuando el precio de oferta es de 60Bs. Pero si

el precio unitario sube a 70Bs se venden 40

sillas. Determinar la ecuación de la oferta,

luego el precio para tener ventas de 30 (Rep.:

65 sillas).

25b) Un productor tiene los siguientes datos

respecto a sus productos: Se venden 20 sillas

cuando el precio de oferta es de 60Bs. y si el

precio unitario sube 10bs se venden 40 sillas.

Determinar la ecuación de la oferta, luego el

precio para tener ventas de 50 (Rep.: 75

sillas libros).


CALCULO I MAT 100


UND 3

FUNCIONES DERIVADAS

3.0.0.- El objetivo de este capítulo es aprender a determinar funciones derivadas (Resultado de otra),

para luego hacer sus respectivas aplicaciones a las ciencias Económicas.

En este capítulo se verá en detalle los siguientes sub temas:

i). Límites y continuidad

ii). Funciones derivadas estándar.

3.1.0 LÍMITES Y CONTINUIDAD. El propósito en esta sección es que el alumno distinga el concepto del valor de una función y su

respectivo limite en un determinado lugar del eje X.

Dada una función ( )y f x , entonces:

El valor de la función .- o Se lo define como el valor que toma la variable Y para un determinado valor de X

o Si x a , y k ó ( )f x a k ; Donde: x a (a, es el valor de x)

El límite de la función: o Se lo define cono el valor próximo que tiende a tomar la variable Y cuando la

variable X tiende o se aproxima a tomar un valor determinado.

o Si , o , ( )- .

Limites laterales:

Dada una función y=f(x), esta tiene un límite en un lugar x=a, si y solo si los valores de los

limites laterales (Por izquierda y por derecha); existen y además son iguales.

, ( )- {

( ) , ( )-

( )

, ( )-

1.- Análisis intuitivo y conceptual de un límite a partir de una gráfica seccionada. El objetivo es que a partir de una función esquemática se distinga el concepto de valor de la

función y sus respectivos límites en un punto señalado.

x

y

x

y

Fig. (a) Fig. (b)

AH

AV


CALCULO I MAT 100


Ejemplo 1a) Ver la fig. a), para determinar:

a) El valor de la función en x=-3 ( )

b) Sus límites laterales en

, ( )- los laterales son

{

( ) , ( )-

( )

, ( )-

Ejemplo 2a) Ver la fig. a), para determinar:

a) El valor de la función en x→∞ ( )

a) Su límite lateral en ;

, ( )-

Porque:

, ( )-

Ejemplo 1b) Ver la fig. b), para determinar:

a) El valor de la función en ; ( )

c) Sus límites laterales en ,

, ( )- ; los laterales son =

{

( ) , ( )-

( )

, ( )-

Ejemplo 2b) Ver la fig. b), para determinar:

a) El valor de la función en x→∞ ( )

b) Su límite lateral en ;

, ( )-

Porque:

, ( )-

Propiedades de los límites:

Dadas dos funciones: f(x) g(x); se verifican las siguientes propiedades para el cálculo de

límites:

a)

, ( )-

, ( )-

b)

0 ( )

1

, ( )-

c)

, ( ) ( )-

, ( )-

, ( )-

Límites inmediatos:

a)

, - d)

0

1

b)

, - e)

0

1

c)

, - f)

, -

Ejercicios Tipo T1.- En los puntos indicados de las figuras a) b), determine por simple inspección el valor de la función y sus respectivos límites (si x es un número real calcule los limites

laterales) 1a) 1b)

2a) 2b)

3a) 3b)

4a) 4b)

5a)

, ( )- 5b)

, ( )-

6a)

, ( )- 6b)

, ( )- ……..


CALCULO I MAT 100


2.) Cálculo de Límite de funciones algebraicas (Sin indeterminación).-

Se presentan dos casos:

- Si el valor de X pertenece al dominio; el cálculo del límite es igual que calcular el valor de

una función

- Si el valor de X no pertenece al dominio y la función no existe; entonces se calculan límites

laterales (Por izquierda y/o por derecha);

Ejemplo 1) Con la función: ( ) se pide hallar el valor del límite en

Rp.) . Dado que: entonces se calcula directamente, no siendo necesario el

cálculo de los límites laterales

Por lo tanto:

, - * ( ) ( ) +

Conclusión.- , -

Ejemplo 2) Dada la siguiente función: ( )

* + * +

Se pide hallar el límite par .

Rp.) Dado que: entonces se calculan los límites laterales por izquierda y por

derecha.

{

[

] (

)

[

] (

)

[

]

Nota: Para una mejor comprensión de aplica valores aproximados de X.

Conclusión.- Dado que los límites laterales son distintos se concluye que el límite general

no existe: ó ( )


Con cada una de las funciones, determine el valor de la función y sus respectivos límites.

En el caso de las funciones seccionadas calcular los límites laterales en el punto indicado.

7a) ( ) 7b) ( )

8a) ( )

2

8b) ( )

2

9a) ( ) √ 2

9b) ( ) √ 2

10a) ( ) 10b) ( )

11a) ( ) ( ) 11b) ( ) ( )

12a) ( )

12b) ( )

Función seccionada Función seccionada

13a) ( ) {

2

13b) ( ) {

2


CALCULO I MAT 100


3.) Cálculo de Límites de funciones algebraicas (con indeterminación): Este caso se da cuando para un determinado valor de X el valor del límite resulta una

operación indeterminada.

Tipos de indeterminaciones para estudiar: 0

; ; ; 00

Para salvar estas indeterminaciones se aplican propiedades del algebra hasta conseguir un

límite equivalente sin indeterminación o que nos dé un valor real.


* + * +

Se pide calcular el límite para :

Rp.) Dado que: y además se verifica una indeterminación

0

1

,

inmediata; entonces se aplican propiedades del algebra para simplificar y determinar un

nuevo límite equivalente, y sin indeterminación.

6

7

6( )( )

( )7

, -

Conclusión.- ( )


√ * + * +


Rp.) Dado que se verifica una indeterminación

0

√ 1

inmediata; entonces se

aconseja dividir al numerador y denominador por la variable con mayor grado para salvar

la indeterminación.

0

√ 1

[

√

]

√

Conclusión.- ( )

Ejemplo 3) Dada la siguiente función: ( ) √ , ,


Rp.) Dado que se verifica una indeterminación

[ √ ] inmediata;

entonces se aconseja factorizar una variable o sección común de la expresión algebraica

para salvar la indeterminación.

[ √ ]

[√ ( √ )]

Conclusión.- ( )


CALCULO I MAT 100



En cada uno de los ejercicios planteados se pide; Calcular y verificar el valor del límite

Indeterminación: Tipo:

)

[

]

)

6

7

)

6

7 )

[

]

)

[

√ ] )

6√

7

Indeterminación: Tipo:

)

[

] )

6

7

)

6√

7

)

6 √

7

)

6√

7 )

6

7

Indeterminación: Tipo: ;

)

[ √ ] )

[ √ ]

)

0 √ 1 )

0√ 1

)

[ (

)] )

[ (

)]


CALCULO I MAT 100


4.) Continuidad de funciones (Aplicaciones de limites): En esta sección se pretende que el

alumno aprenda a:

- Distinguir y determinar, los valores de x (puntos de estudio), donde la gráfica de una

función deja de ser continua.

- Analizar y aplicar la condición para demostrar si la función es continua o discontinua

en un punto de estudio (PE), o punto crítico (PC).

Definición de continuidad:- Dada una función y=f(x), ésta es continua e un punto de estudio

x=a; si y solo si se cumplen las siguientes condiciones.

i). El valor de la función en el punto debe existir. F(x=a)=K

ii). El valor del límite en el punto debe existir.

lim ( )x a

f x k

iii). El valor de la función y del límite deben ser iguales ( ) lim ( )x a

F x a f x k

en el

punto de estudio.

Ejercicios Tipo T4.- Con las siguientes funciones líneas abajo:

23a) ( )

23b) ( )

24a) ( )

24b) ( )

25a) ( ) {

25b) ( ) 8

Determinar:

a) Los puntos de estudio

b) Demostrar justificadamente si la función es o no continúa en los puntos de estudio

c) Graficar cada una de ellas. ( ) lim ( )x a

F x a f x k


CALCULO I MAT 100


𝑥 𝑥

𝑦

𝑦

𝑑𝑥

𝑑𝑦 𝛼

3.2.0 FUNCIONES DERIVADAS. Objetivo.- En este capítulo el alumno aprenderá el concepto y la determinación de funciones

derivada como una herramienta para hacer análisis y aplicaciones básicas a las Ciencias

Económicas administrativas y Financieras.

1.) Definición y notación del concepto de la Función Derivada.

Definición.- Una función derivada se interpreta como un

coeficiente genérico (pendiente), que mide la variación de (y)

por unidad de cambio en (x), a partir de un punto.

Notación: Dada la función: y = f(x), entonces la función

derivada, se la designa como:

( ) o dy

y f x ydx

2.) Definición geométrica.- Es la pendiente de una recta

tangente en un punto cualquiera de una curva o función:

( ) (𝛼)

6 ( ) ( )

7

3.) Propiedades básicas: Dadas las funciones y = f(x) y=g(x), y una constante K; entonces se

consideran necesarias la aplicación de las siguientes propiedades.

4.)

i) ( )

( )

ii) ( )

( )

iii) ( ) ( )

( ) ( )

5.) Funciones Derivadas aplicando formulas Básicas (por definición):

Se las denomina así a todas aquellas funciones derivadas que son el resultado de aplicar la

definición geométrica, y que consiste en determinar la pendiente o tangente genérica de una

recta en un punto cualquiera de la curva. En esta sección se considera una formula básica a

aquella que se aplica a un solo termino algebraico.

FORMULAS BÁSICAS PARA DERIVACIÓN

i) ( )

ii) ( )

iii) ( )

iv) ( )

v) ( ) ( )

vi) ( )

Nota: Todas pueden ser demostrables aplicando la definición de derivada.


CALCULO I MAT 100


Ejemplo 1) Dada la función: ( ) .

/ ( )

Aplicando las formulas básicas se pide: Hallar la función derivada luego su valor e

interpretación en los puntos: a) Derivada aplicando las formulas básicas. Previamente se descompone en factores.

Función equivalente: ( )

Aplicando las formulas básicas se tiene: ( ) ( ) ( ) .

/ ( )

Función derivada:

( )

b) Aplicaciones: Valor de la función derivada en el punto

Aplicación: Para x=2: ( ) entonces: ( ) Interpretación: Por cada unidad que aumente X, entonces Y aumenta 2 unidades

Aplicación: Para : ( ) entonces: ( )

Interpretación: Por cada unidad que aumente X, entonces Y disminuye 2unidades


Aplicando las formulas básicas estudiadas por definición (Ver formulario de la presente guía),

se pide determinar las funciones derivadas, su valor e interpretación en el punto indicado.

1a) ( ) 1b) ( )

2a) ( ) ( ) 2b) ( ) ( )

3a) ( ) ( )( ) 3b) ( ) ( )( )

4a) ( ) ( ) 4b) ( ) ( )

5a) ( )

5b) ( )

6a) ( ) .

/ .

/ 6b) ( ) .

/ .

/

7a) ( ) ( )

7b) ( ) ( )

8a) ( ) ( ) 8b) ( ) ( )

9a) ( ) ( ) .

/ 9b) ( ) .

/ ( )

10a) ( )

( ) 10b) ( ) ( )


CALCULO I MAT 100


6.) Funciones derivadas aplicando las tablas estandar: (ver formulario adjunto): El objetivo en esta sección es aplicar formulas estándar, para la determinación de funciones

derivadas donde la función original tiene características no básicas o un relativo grado de

complejidad.

FORMULAS ESTANDAR PARA DERIVAR

i) ( ) ( )

ii) ( ) ( ) ( ) ii2) ( ) ( )

iii) ( ) ( ) ( )

( ) iii2) ( ) ( ) ( )

iv) ( ) ( )

v) ( )

( )

vi) ( ) ( ) ( )

Ejercicios.- Aplicando las formulas Estándar (Ver formulario de la presente guía)

Se pide hallar:

a) La función derivada.

b) El valor de la función derivada en el punto indicado.

Formula F1.- ( )

( )


11a) Si ( ) ; Hallar: ( ) 11b) Si ( ) ; Hallar: ( )

12a) Si ( ) ( ) ; Hallar: ( ) 12b) Si ( ) ( ) ; Hallar: ( )

13a) Si ( ) ( ) ; Hallar: ( ) 13b) Si ( ) ( ) ; Hallar: ( )

14a) Si ( ) √

; Hallar: ( ) 14b) Si ( ) √

; Hallar: ( )

15a) Si ( ) (√ ) ; Hallar: ( ) 15b) Si ( ) (√

) ; Hallar: ( )

16a) Si ( )

√ ; Hallar: ( ) 16b) Si ( )

√ ; Hallar: ( )

17a) Si ( ) .

/ ; Hallar: ( )

17b) Si ( ) .

/ ; Hallar: ( )


CALCULO I MAT 100


Formula F2.- { ( )

( ) ( )

( )

( )


18a) ( ) Hallar: ( ) 18b) ( ) Hallar: ( )

19a) ( ) Hallar: ( ) 19b) ( )

Hallar: ( )

20a) ( ) ( ) Hallar: ( ) 20b) ( ) ( )

Hallar: ( )

21a) ( ) ( ) Hallar: ( ) 21b) ( ) ( )

Hallar: ( )

22a) ( ) √ Hallar: ( ) 22b) ( ) √

Hallar: ( )

23a) ( ) √

Hallar: ( ) 23b) ( ) √ Hallar: ( )

Formula F3.- { ( ) ( )

( )

( )

( ) ( )

( )


24a) ( ) ( ) Hallar: ( ) 24b) ( ) ( ) Hallar: ( )

25a) ( ) ( ) Hallar: ( ) 25b) ( ) ( ); Hallar: ( )

26a) ( ) .

/ Hallar: ( ) 26b) ( ) .

/; Hallar: ( )

27a) ( ) ( ) Hallar: ( ) 27b) ( ) ( ); Hallar: ( )

28a) ( ) (√

) Hallar: ( ) 28b) ( ) (√ ); Hallar: ( )

29a) ( ) .

/ Hallar: ( ) 29b) ( ) .

/; Hallar: ( )


CALCULO I MAT 100


Formula F4.- ( )

( )

Ejercicios Tipo T6.- 30a) ( ) ( )( ); Hallar: ( ) 30b) ( ) ( )( ); Hallar: ( )

31a) ( ) ( )( ); Hallar: ( ) 31b) ( ) ( )( ); Hallar: ( )

32a) ( ) ( ) ( ); Hallar: ( ) 32b) ( ) ( ) ( ); Hallar: ( )

33a) ( ) √ √ ; Hallar: ( ) 33b) ( ) √ ( ) ; Hallar: ( )

34a) ( ) √

√ ; Hallar: ( ) 34b) ( ) √ √

; Hallar: ( )

35a) ( ) .

/ .

/; Hallar: ( ) 35b) ( ) .

/.

/; Hallar: ( )

Formula F5.- ( )

( )


36a) ( )

; Hallar: ( ) 36b) ( )

; Hallar: ( )

37a) ( )

; Hallar: .

/ 37b) ( )

; Hallar: .

/

38a) ( )

; Hallar: ( ) 38b) ( )

; Hallar: ( )

39a) ( )

; Hallar: ( ) 39b) ( )

; Hallar: ( )

40a) ( ) √

√ ; Hallar: ( ) 40b) ( )

√

√ ; Hallar: ( )

41a) ( ) √

; Hallar: ( ) 41b) ( ) √

; Hallar: ( )

Formula F6.- ( ) [ ( )] ( )

( ) ( )


42a) ( ) ( ) ; Hallar: ( ) 42b) ( ) ( ) ; Hallar: ( )

43a) ( ) √ ( )

; Hallar: ( ) 43b) ( ) √ ( )

; Hallar: ( )

44a) ( ) .

/√

; Hallar: ( ) 44b) ( ) ( ) ( ); Hallar: ( )


CALCULO I MAT 100



Miscelánea: En esta serie de ejercicios el alumno deberá:

- Analizar el tipo de fórmula que aplicará.

- Hallar la función derivada, luego hallar el valor de la primera derivada en el punto

indicado.

45a) ( ) ( ) .

/;

Hallar: ( )

45b) ( ) .

/ ( );

Hallar: ( )

46a) ( ) .

/

;

Hallar: ( )

46b) ( ) .

/ .

/

;

Hallar: ( )

47a) ( ) √( )

;

Hallar: ( ) 47b) ( ) √( )

;

Hallar: ( )

48a) ( ) .

/ ( );

Hallar: ( )

48b) ( ) .

/ ( );

Hallar: ( )

49a) ( ) .

√ / .

√ /;

Hallar: ( )

49b) ( ) .√

/ .

√ /;

Hallar: ( )

50a) ( )

√ ;

Hallar: ( )

50b) ( ) √

;

Hallar: ( )

51a) ( ) ( )( );

Hallar: ( ) 51b) ( ) ( )( ); Hallar: ( )

52a) ( ) 4√

5;

Hallar: ( )

52b) ( ) 4√

5;

Hallar: ( )

53a) ( ) ( )( ); Hallar: ( )

53b) ( ) ( )( ); Hallar: ( )

54a) ( ) .

/√

;

Hallar: ( )

54b) ( ) ( )√ ;

Hallar: ( )

55a) ( ) √ √

;

Hallar: ( ) 55b) ( ) √ √

;

Hallar: ( )


CALCULO I MAT 100


UND. 4

DERIVADA DE FUNCIONES ESPECIALES Y APLICACIONES

4.0.0.- DERIVADA DE FUNCIONES ESPECIALES.

En esta sección vamos a considerar la derivada de funciones Especiales al proceso de:

- Derivar n veces una función que ya fue derivada una vez “Derivada de segundo orden”

- Derivar una función Inversa

- Derivar una función Compuesta

- Derivar una función implícita.

4.1.0.- Derivadas de orden superior.

Si ( ) ; ( ); ( ); ( ); ................... ( );n ny f x y f x y f x y f x y f x

Son la primer, segunda y n - esima derivada de y con respecto a x respectivamente


Hallar la segunda derivada de las funciones y su valor en lugar indicado.

1a) ( ) ( ) ; Hallar: ( ) 1b) ( ) ( ) ; Hallar: ( )

2a) ( )

; Hallar: ( ) 2b) ( )

; Hallar: ( )

3a) ( ) ; Hallar: ( ) 3b) ( ) ; Hallar: ( )

4a) ( )

(√

);

Verificar: ( )

4b) ( )

(√ );

Verificar: ( )

5a) ( )

√ ;

Verificar: ( )

5b) ( ) √

;

Verificar: ( )

4.2.0.- Función Inversa. ( )


Hallar la derivada de y respecto a

; luego el valor para Y=1 en todos los casos

6a) ( ) ; 6b) ( )

;

7a) ( ) ( ) .

/ ; 7b) ( ) .

/ ( );

8a) ( )

; 8b) ( )

;

9a) ( ) √ ; 9b) ( ) √ ;

10a) ( ) ( ) ; 10b) ( ) ;


CALCULO I MAT 100


4.3.0.- Función Compuesta. ( ) ( )


Hallar la derivada de las funciones compuestas. Luego su valor en el punto indicado

11a) Si

Hallar:

, para:

11b) Si

Hallar:

, para:

12a) Si ( )

Hallar:

, para:

12b) Si ( )

Hallar:

, para:

13a) Si √ ( )

Hallar:

, para:

13b) Si ( ) √

Hallar:

, para:

14a) Si

Hallar:

, para:

14b) Si

Hallar:

, para:

15a) Si √

.

/

Hallar:

, para:

15b) Si .

/

√

Hallar:

, para:

4.4.0.- Función Implícita. Ejercicios: ( )

Ejercicios Tipo T4.- Hallar la derivada de la variable y (dependiente), respecto a la x

(independiente, luego su valor en el punto indicado.

16a) Si

Hallar:

, para:

16b) Si

Hallar:

, para:

17a) Si ( )

Hallar:

, para:

17b) Si ( )

Hallar:

, para:

18a) Si

Hallar:

, para:

18b) Si ( )( )

Hallar:

, para:

19a) Si ( ) .

/

Hallar:

, para:

19b) Si .

/ ( )

Hallar:

, para:

20a) Si ( )

Hallar:

, para:

20b) Si ( )

Hallar:

, para:


CALCULO I MAT 100


4.5.0.- Aplicaciones de las funciones derivadas a las Ciencias Económicas.-

El objetivo es relacionar e interpretar académicamente una función algebraica con su

derivada, para resolver casos de aplicación a las ciencias económicas:

En este nivel, el cálculo e interpretación de la función marginal (derivada), es la

primera aplicación de una función económica.

A continuación se presentan las funciones Económicas de más aplicación.

FUNCIÓN ORIGINAL FUNCIÓN DERIVADA

Función oferta ( )y O x Función Oferta marginal ( )mgy O x

Función Demanda ( )y D x Función Demanda marginal ( )mgy D x

Función Ingreso. ( )y I x Función Ingreso marginal ( )mgy I x

Función Costo. ( )y C x Función Costo marginal ( )mgy C x

Función Utilidad o beneficio. ( )y U x Función Utilidad marginal ( )mgy U x

Definición.- La función marginal se interpreta como la variación del valor de la función por

unidad de cambio en la cantidad o el precio.

Convencionalmente se considerara a la variable (y) como dependiente de la cantidad (x) y

además con una unidad de medida en (unidades monetarias); $, Bs. etc.

1.) Función Oferta O(x):

S ( ) ( ); Es función de Oferta, que depende de la cantidad x; Entonces se define:

o La función Oferta marginal

Derivada dela función Oferta

( ) ; para x>0

o Interpretación de la Oferta marginal: Por cada unidad adicional Ofertada el precio

de la Oferta aumenta k unidades monetarias.

Ejercicios Tipo T5.- Con las siguientes funciones de oferta se pide:

a).- Hacer la respectiva grafica

b).- Determinar e interpretar el valor de la oferta marginal en los puntos indicados.

1a) Si ( ) ;

Hallar: ( ) 1b) Si ( )

;

Hallar: ( )

2a) Si ( )

Hallar: ( ) 2b) Si ( ) ;

Hallar: ( )

3a) Si ( ) ( ) Hallar: ( )

3b) Si ( ) ( ); Hallar: ( )

4a) Si ( )

Hallar: ( )

4b) Si ( )

;

Hallar: ( )


CALCULO I MAT 100


2.) Función Demanda D(x):

Si ( ) ( ), Es Función Demanda que depende de la cantidad; Entonces se define: o La función Demanda marginal

Derivada dela función demanda

( ) ; para x>0

o Interpretación de la demanda marginal: Por cada unidad adicional demandada el

precio de la demanda disminuye k unidades monetarias, o viceversa.

Ejercicios Tipo T6.- Con las siguientes funciones de demanda se pide:

a).- Hacer la respectiva gráfica,

b).- Determinar e interpretar el valor de la demanda marginal en los puntos indicados.

5a) Si ( ) ;

Hallar: ( ) 5b) Si ( ) ;

Hallar: ( )

6a) Si ( )

;

Hallar: ( )

6b) Si ( )

( );

Hallar: ( )

7a) Si ( ) ( ); Hallar: ( )

7b) Si ( ) ( ); Hallar: ( )

8a) Si ( )

;

Hallar: ( )

8b) Si ( )

;

Hallar: ( )

3.) Función ingreso I(x)

Básicamente se la define como el producto entre una cantidad vendida por el precio unitario de

demanda, es decir que el ingreso es nulo si no existe cantidad para vender.

o Función ingreso: ( ) ( ) Dónde: {

( )

o Función ingreso marginal: ( )

Derivada del Ingreso

o Interpretación de la demanda marginal en un punto: Por cada unidad adicional vendida

el monto del ingreso aumenta (+) ó disminuye (-); k unidades monetarias.


Dadas las funciones de ingreso, se pide:

a) Graficar la función.

b) Hallar e interpretar el valor del ingreso marginal en los puntos indicados.

9a) Si ( ) ; en x=1 x=5 9b) Si ( ) ; en x=1 x=3

10a) Si ( ) ( ); en x=1 x=3 10b) Si ( ) ( ); en x=1 x=4

11a) Si ( )

( ); en x=1 x=3 11b) Si ( ) .

/; en x=2 x=4

12a) Si ( ) ( ) ; en x=1 x=3 12b) Si ( )

( ); en x=2 x=9


CALCULO I MAT 100


4.) Función costo: Costo total: y costo promedio.-

4.1) El costo total C(x).- Se define como la suma de dos componentes básicos en el proceso

productivo que son un costo fijo más un costo variable que depende de las unidades

producidas.

Función costo total: ( ) Costo variable más costo fijo.

Función costo marginal: ( ) ( )

ó Derivada del costo respecto a (x).

Interpretación del costo marginal: Por cada unidad adicional producida el monto del costo

total aumenta k unidades monetarias.


Dadas las funciones de costo, se pide:


b) Hallar e interpretar el valor del costo marginal en los puntos indicados.

13a) Si ( ) ; en x=1 13b) Si ( )

; en x=2

14a) Si ( )

; en x=0 14b) Si ( )

; en x=1

15a) Si ( ) √ ; en x=0 15b) Si ( ) √ ; en x=1

4.2) Función costo promedio Cp(x).- Se define como el cociente entre el costo total y el número

de unidades producidas en un proceso.

- Función costo promedio: ( ) ( )

ó Costo total dividido la cantidad (x)

- Función costo promedio marginal: ( ) ( )

ó derivada del costo promedio.

- Interpretación del costo promedio marginal: Por cada unidad adicional producida el monto

del costo promedio de aumenta (+), ó disminuye (-); k unidades monetarias.


Dadas las funciones de costo, se pide:


b) Hallar e interpretar el valor del costo promedio marginal en los puntos indicados.

16a) Si ( )

; en x=0 16b) Si ( )

; en x=1

17a) Si ( )

( ) ; en x=0 17b) Si ( )

( )

; en x=1

18a) Si ( )

; en: 2

18b) Si ( )

; en 2


CALCULO I MAT 100


5.) Función Beneficio o Utilidad U(x): Se define como la diferencia de dos componentes básicos, es decir el ingreso menos costo

total, los mismos que dependen de las unidades vendidas y las unidades producidas

.

- Función utilidad ( ) ( ) ( ): función ingreso menos función costo total

- Función utilidad marginal: ( ) ( ) ( ) ingreso menos costo total

marginal.

- Interpretación de la Utilidad o Beneficio marginal: Por cada unidad adicional

producida y vendida el monto de la utilidad o Beneficio aumenta (+), ó disminuye (-); k

unidades monetarias.

Ejercicios Tipo T10.- Dadas las funciones de utilidad o beneficio se pide:


b) Hallar e interpretar el valor de la utilidad o beneficio marginal en los puntos indicados.

19a) ( ) 2

19b) ( ) 2

20a) ( ) ( ) 2

20b) ( ) ( ) 2

21a) ( )

* 21b) ( )

*


Con las funciones de ingreso y costo total:

Hallar las Utilidades marginales en el punto. Indicado.

22a) { ( )

( ) 2

22b) { ( )

( )

2

Recomendación: Dado que todas las funciones de aplicación planteadas son del tipo BASICO, se

recomienda trazar las respectivas gráficas.


CALCULO I MAT 100


ANEXOS


CALCULO I MAT 100



CALCULO I MAT 100


FORMULARIO PARA CALCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL. A) PROPIEDADES DEL ALGEBRA: Exponentes, logaritmos, algebra y ecuaciones.

B) TABLAS DE DERIVACION: PROPIEDADES:

1) 2)

3)

FORMULAS BASICAS DE DERIVACION: 1) ( ) ( ) 2) ( ) ( ) 3) ( ) ( )

4) ( )

( )

5) ( ) ( ) ( )

6) ( ) ( )

FORMUÑAS ESPECIALES DE DERIVACION: Para derivar funciones: Inversas, compuestas e implícitas y orden superior. Derivadas de Orden superior

𝑆𝑖 𝑦 𝑓(𝑥) Es una función sin derivar

𝑦 𝑓 (𝑥) Es la 1er función derivada respecto a x

𝑦 𝑓 (𝑥) Es la 1er función derivada respecto a x

𝑦 𝑓 (𝑥) Es la 1er función derivada respecto a x ……… ………………………….

𝑦𝑛 𝑓𝑛(𝑥) Es la enésima función derivada respecto a x

De una función Inversa: 𝑆𝑖 𝑥 𝑓(𝑦) 𝑑𝑦

𝑑𝑥

De una función Compuesta: para dos funciones que son dependientes

𝑆𝑖 {𝑦 𝑓(𝑤)

𝑤 𝑓(𝑥)

𝑑𝑦

𝑑𝑥

𝑑𝑦

𝑑𝑤

𝑑𝑤

𝑑𝑥

De una función Implícita: 𝑆𝑖 𝐹 𝑓(𝑥 𝑦) 𝑑𝑦

𝑑𝑥

𝜕𝐹

𝜕𝑥𝜕𝐹

𝜕𝑦

Dónde: 𝜕𝐹

𝜕𝑥 𝜕𝐹

𝜕𝑦 son las derivadas parciales de F

FORMULAS ESTANDAR DE DERIVACION:

Dadas las funciones U, V, W que dependen de x

1) 𝑆𝑖 𝑓(𝑥) 𝑈𝑛 𝑓 (𝑥) 𝑛𝑈𝑛 𝑈

2) 𝑆𝑖 { 𝑓(𝑥) 𝐾𝑈 𝑓 (𝑥) 𝑈 𝐾𝑈𝑙𝑛(𝑘)

𝑓(𝑥) 𝑒𝑈 𝑓 (𝑥) 𝑈 𝑒𝑈

3) 𝑆𝑖 { 𝑓(𝑥) 𝑙𝑔(𝑈) 𝑓 (𝑥)

𝑈

𝑈𝑙𝑔(𝑒)

𝑓(𝑥) 𝑙𝑛(𝑈) 𝑓 (𝑥) 𝑈

𝑈

4) 𝑆𝑖 𝑓(𝑥) 𝑈 𝑉 𝑓 (𝑥) 𝑈 𝑉 𝑈 𝑉

5) 𝑆𝑖 𝑓(𝑥) 𝑈

𝑉 𝑓 (𝑥)

𝑈 𝑉 𝑈 𝑉

𝑉

6) 𝑆𝑖 𝑓(𝑥) 𝑈𝑉 𝑓 (𝑥) 𝑣𝑈𝑣 𝑈 𝑉 𝑈𝑉𝑙𝑛(𝑈)

PRODUCTOS NOTABLES

1) (𝑎 𝑏) 𝑎 𝑎𝑏 𝑏

2) (𝑎 𝑏) 𝑎 𝑎 𝑏 𝑎𝑏 𝑏

COCIENTES NOTABLES

1) 𝑎 𝑏 (𝑎 𝑏)(𝑎 𝑏) 2) 𝑎 𝑏 (𝑎 𝑏)(𝑎 ∓ 𝑎𝑏 𝑏 )

3)𝑎 𝑏

𝑎 𝑏 (𝑎𝑛 𝑎𝑛 𝑏 𝑎𝑛 𝑏 ⋯ 𝑏𝑛 );

n=impar

4)𝑎 𝑏


n=par o impar

5)𝑎 𝑏


n=par

6)𝑎 𝑏

𝑎 𝑏 𝑛𝑢𝑛𝑐𝑎 𝑒𝑠 𝑑𝑖𝑣𝑖𝑑𝑖𝑏𝑙𝑒 𝑠𝑖 𝑛 𝑒𝑠 𝑝𝑎𝑟

PROPIEDADES DE LOS EXPONENCIIALES

1. 𝑎 2. 𝑛

3. (𝑎𝑛)𝑚 𝑎𝑛 𝑚 4. (𝑎 𝑏)𝑚𝑛 𝑎𝑛 𝑏𝑛

5𝑎𝑛 𝑎𝑚 𝑎𝑛 𝑚. 6. 𝑎𝑛

𝑎𝑚 𝑎𝑛 𝑚

7. 𝑎 𝑛

𝑎𝑛 8. 𝑎

𝑛 √𝑎𝑚

9. .𝑎

𝑏/𝑛

.𝑏

𝑎/ 𝑛

𝑎𝑛

𝑏𝑛 10. √√𝑎

𝑛𝑚 √𝑎

𝑚 𝑛 𝑎

𝑛 𝑚

PROPIEDADES DE LOS LOGARITMOS

1. 𝑙𝑔𝑏( ) 2. 𝑙𝑔𝑏(𝑏)𝐴

3. 𝑙𝑔𝑏(𝑎)𝑛 𝑛 𝑙𝑔𝑏(𝑎) 4. 𝑙𝑔𝑏𝑛(𝑏)𝐴

𝑛 𝑙𝑔𝑏(𝑎)

5. 𝑙𝑔𝑏(𝐴 𝐵) 𝑙𝑔𝑏(𝐴) 𝑙𝑔𝑏(𝐵) 6. 𝑙𝑔𝑏(𝐴 𝐵⁄ ) 𝑙𝑔𝑏(𝐴) 𝑙𝑔𝑏(𝐵)

7. 𝐴𝑙𝑔𝑏(𝐴) 𝐴 8. 𝑙𝑔𝐶(𝐴) 𝑙𝑔𝑏(𝐴)

𝑙𝑔𝑏(𝐶)

ECUACIONES CUADRATICAS INECUACIONES CON VALOR ABSOLUTO Si: 𝑎𝑥 𝑏𝑥 𝑐 1. 𝑃(𝑥) 𝑎 𝑎 𝑃(𝑥) 𝑎

𝑥

( 𝑏 √𝑏 𝑎𝑐) 2. 𝑃(𝑥) 𝑎 𝑃(𝑥) 𝑎 𝑃(𝑥) 𝑎

3. 𝑃(𝑥) ,𝑃(𝑥)- 𝑎


CALCULO I MAT 100


C) TABLAS PARA INTEGRAR FUNCIONES: Si k, A,B,.. son valores constantes y además U, V, W,… son funciones que dependen

de x; entonces:

PROPIEDADES:

1) ∫, - ∫, - 2) ∫ 0

1

∫, - 3) ∫, - ∫, - ∫, -

FORMULAS BASICAS PARA INTEGRAR FUNCIONES:

1) ∫, - ∫ 2) ∫, - 3) ∫, -

4) ∫ 0

1

5) ∫ 0

1 ( ) 6) ∫, -

FORMULAS ESTANDAR PARA INEGRAR FUNCIONES:

1) ∫, -

2) ∫, -

( )

3) ∫ 0

1 ( ) 4) ∫ 0

1

.

/

5) ∫ 0

1

.

/ 6) ∫ 0√ 1

√

. √ /

7) ∫ [

√ ] . √ /

INTEGRALES DEFINIDAS APLICACIONES Definición: Excedente del Consumidor:

∫ , ( )-

( )

( ) ( ) ∫ , ( )-

Propiedad. Excedente del productor:

∫ , ( )-

∫ , ( )-

∫ , ( )-

∫ , ( )-

D) PROPIEDADES DEL ALGEBRA LINEAL: Aplicables en los temas de Matrices y sistemas de ecuaciones lineales.

Dadas las matrices A, B, y m, n son las dimensiones de las mismas.

ALGEBRA DE MATRICES ALGEBRA DE MATRICES 1) 1) ( )

2) ( ) 2) ( )

3) ( ) 3) ( ) ( )

4) ( ) ( ) 4) ( ) ( ) ( )

5) 5) ( ) ( ) ( )

6)

PROPIEDADES DE A MATRIZ INVERSA PROP. SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES

1) ( )

Dado un sistema matricial de Ecuaciones:

2) ( )

: Entonces las soluciones son:

3) ( )

1) Método de la matriz Inversa: ( ) 2) Método de Gauss

4) Si: ( B es inversa de A) 3) Método de la Matriz adjunta.


CALCULO I MAT 100


FORMATOS PARA LAS DIFERENTES PRESENTACIONES Y ACTIVIDADES

MAT100 (.…)

Fecha:

……………………

Trabajo Práctico No: …….

ALUMNO: ………………..…………………………… Registro …………………..

TEMA: ………………………………………………………………………………………………...

MAT100 (…..)

Fecha:

……………………

Trabajo Individual No: …….

ALUMNO: …………………………..……………………… Registro: …………………..

TEMA: ………………………………………………………………………………………………...

MAT100 (……)

Fecha:

……………………

Trabajo Grupal No: …….

INTEGRANTES: ……………………..…………………………… Nota ……………………..

……………………..…………………………… Nota ……………………..

TEMA: ………………………………………………………………………………………………..

MAT100 (……)

Fecha:

…………………

Examen parcial No: …….

ALUMNO: …………………..…………………………… Registro …………………..

TEMA: ………………………………………………………………………………………………...

NOTA: El alumno en todos los casos deberá: - Emplear uno de los encabezados de identificación personal

- Emplear hojas tamaño CARTA, pudiendo ser de traper o cuadernillo

- El docente tiene libertad de adoptar o no estos formatos

Firma


CALCULO I MAT 100


NOTAS IMPORTANTES

SC……/……./2017

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AGENDA RAPIDA

No Nombre Teléfono Correo

1 Docente 3702322 [email protected]

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7

8

FIRMAS DE PARTICIPACION Y SEGUIMIENTO Nombre del Alumno: …………………………………..………………………….. Firma:……..…………….

mailto:[email protected]

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