Guia Geometrai y Trig.

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Nombre de la asignatura: Geometría-Trigonometría

Parcial de estudio: Primero

IntroducciónLa Geometría y la Trigonometría son dos asignaturas que le permiten seguir sus estudios en asignaturas más avanzadas del área matemática, puesto que existen muchos conceptos y definiciones que usted debe conocer.

En este primer parcial vamos a realizar el estudio de algunos conceptos básicos de la Geometría, términos con los que debe familiarizarse, para a continuación revisar las características más importantes de los ángulos y triángulos. El objetivo es reconocer los diferentes tipos de ángulos que existen, saber diferenciarlos y poder hacer conversiones de un sistema de medida angular a otro, además estudiar los triángulos, su notación, clasificación, algunos postulados importantes y poder identificar cuando dos triángulos son congruentes, así como realizar el estudio de los criterios que nos permitan identificar si dos triángulos son semejantes. También veremos el círculo y la circunferencia, sus líneas fundamentales, los ángulos formados en el círculo, la longitud de la circunferencia y el área del círculo.

Uno de los temas de la Geometría más utilizados es el de las áreas de figuras geométricas como: el triángulo, cuadrado, rectángulo, rombo y trapecio. En la vida diaria, a menudo nos encontramos con figuras geométricas de las cuales necesitamos conocer su perímetro y/o su área, es por ello que requerimos aprender las fórmulas así como saber aplicarlas en la resolución de problemas.

Tómese su tiempo en el estudio de esta guía didáctica y realice las actividades de aprendizaje indicadas, recuerde que solo su dedicación hará que logre los objetivos propuestos.

Asesoría didáctica 1.1.

La presente asesoría didáctica tiene por objeto realizar el estudio de algunas definiciones preliminares de términos geométricos. Estudie, entienda y aprenda los conceptos de cada uno de estos términos y familiarícese con ellos.

Debido a que esta asignatura no hace uso de un texto guía en particular, a continuación se encuentra el material que usted debe estudiar.

GEOMETRÍA

DEFINICIÓN

La palabra geometría proviene de dos palabras griegas: Geo, que significa tierra y metrón que significa medida. Por consiguiente etimológicamente significa medición de la tierra. Se divide, en forma general, en el campo de la geometría plana y en el campo de la geometría del espacio.

Los antiguos griegos, romanos, babilonios y egipcios usaron la Geometría para muchas actividades de su vida, como la construcción de las grandes obras y monumentos que hasta el día de hoy merecen nuestra admiración, también aplicaron conocimientos de Geometría en la repartición de tierras para el pago de impuestos.

CONCEPTO DE GEOMETRÍA

Muchos autores definen a la geometría como una disciplina, quizá la más antigua de la humanidad, que parte de verdades que se aceptan sin demostración (postulados) para llegar a una conclusión o tesis planteada con anterioridad sobre las figuras geométricas; pero, en general intentemos una definición más sencilla: “Estudia las propiedades y relaciones de las figuras geométricas. Se sustenta en una sistematización rigurosa, lógica y secuencial de principios y definiciones sencillas, para establecer conclusiones de gran dificultad”.

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La geometría plana estudia las figuras cuyos puntos se hallan en un mismo plano. En cambio la geometría del espacio estudia los sólidos cuyos puntos constitutivos no se encuentran en un mismo plano.

¿QUÉ ES UNA FIGURA GEOMÉTRICA?

Es el conjunto de puntos y líneas que toman una forma determinada y con características propias. La figura debe ser necesariamente visualizada para poder definirla completamente ya que ayuda categóricamente en la resolución de problemas. Se debe procurar dibujar a una escala aproximada ya que esto ayuda a comprender las soluciones.

CLASIFICACIÓN DE LAS FIGURAS

Las figuras en geometría pueden ser:

SEMEJANTES: Cuando tienen igual forma, pero diferente tamaño.

CONGRUENTES: Cuando pueden superponerse una sobre la otra coincidiendo todos sus elementos, es decir, igual forma y tamaño. Se puede emplear el término “iguales” pero con ciertas limitaciones.

EQUIVALENTES: Cuando tienen diferente forma pero igual área.

TÉRMINOS GEOMÉTRICOS INDEFINIDOS

Existen términos muy empleados en el estudio de la geometría, que son enunciados y no definidos satisfactoriamente. Al enunciarlos aceptamos que existen. Estos son: el punto, la línea y el plano.

Punto: Puede concebirse o imaginarse, sea como el extremo de una línea o sea como la intersección de dos rectas. Existen infinitos elementos denominados puntos.

La señal que deja la punta de un lápiz sobre el papel, la que deja la punta de un alfiler, imaginados sin dimensiones, da una idea del punto geométrico.

El punto puede representarse por el cruce de dos pequeños trazos X o bien por la señal del lápiz en el papel, y se lo designa con una letra mayúscula de imprenta.

Líneas: Se puede definir a la línea como la huella que deja un punto al moverse en un plano. Si dos superficies contiguas se cortan, también forman una línea. Así pues, se puede decir que línea es el límite de una superficie.

La línea tiene solo una dimensión a saber: longitud. No tiene ni espesor ni anchura.

Línea recta: Es una línea especial que tiene las siguientes características: a) Dos puntos bastan para determinarla y b) Es ilimitada en sus dos sentidos. Se la puede designar por dos de sus puntos con el símbolo « en la parte superior. Se puede definirla también como la huella del movimiento de un punto que se mueve en una sola dirección.

«AB

Postulados

a. Por dos puntos puede pasar una sola recta o infinitas rectas coincidentes.b. Dos rectas solo pueden tener un punto en común o todos sus puntos son comunes (rectas

superpuestas).

Línea curva

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Es la línea que no tiene segmento alguno recto por pequeña que se suponga.

Es la huella de un punto que cambia constantemente de dirección.

Línea quebrada

Es la que se compone de dos o más segmentos rectilíneos. Recibe el nombre de poligonal y puede ser abierta o cerrada.

Semirrecta: Una semirrecta es una de las regiones de una recta determinada por un punto.

En el ejemplo dibujado tenemos dos semirrectas: tienen su origen en A pero no tienen fin. El punto A, consecuentemente determina las dos semirrectas, AC y AB.

Se representan por el símbolo ®. ® ®

AB y AC

Segmento: Se llama segmento, al conjunto de puntos comprendidos entre dos puntos de una recta. Generalmente, los segmentos se designan por las letras de sus extremos con un trazo encima.

Postulado

“La distancia más corta entre dos puntos es el segmento que los une”.

Postulado

Si un segmento es dividido en dos partes iguales por el punto M, se dice que M es punto medio del segmento o que el punto medio biseca al segmento AB.

ABIERTACERRADA

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Si una recta pasa por el punto medio M se dice que la recta biseca el segmento AB.

Si tres puntos A, B y C se encuentran sobre una recta, entonces se dice que los tres puntos son colineales.

Plano: La idea de plano es una hoja de papel extendida y un plano se extiende indefinidamente en todas las direcciones. Se lo designa con letras griegas o góticas.

Ángulo

Es la abertura comprendida entre dos semirrectas que tienen el mismo origen.

Ángulos adyacentes

Para que dos ángulos se consideren adyacentes deben cumplir tres condiciones:

Tener el mismo vértice.Tener un lado común.Ser externo el uno del otro.

Ángulo AOB es adyacente del BOC.

Ángulos consecutivos

Son aquellos ángulos adyacentes uno a continuación de otro que se forman alrededor de un solo vértice.

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Rectas perpendiculares

Se define como rectas perpendiculares a dos rectas que se cortan y forman cuatro ángulos consecutivos iguales de 90o.

Corolario: Si al cortarse dos rectas no forman ángulos consecutivos iguales, entonces estas son oblicuas.

Postulado: Por un punto exterior a una recta del plano pasa una y solo una perpendicular a dicha recta.

Perpendicular bisectriz: Llamada también mediatriz, es la perpendicular levantada en el punto medio de un segmento.

DISTANCIA DE UN PUNTO A UNA RECTA

“Es la perpendicular bajada desde el punto a la recta o a su prolongación”.

Rectas paralelas: Dos rectas son paralelas si no tienen punto común aunque se prolonguen.

Postulado de las paralelas

Por un punto cualquiera exterior a una recta puede trazarse una paralela a esa recta y sólo una.

Ð COB, ÐCOA, ÐAOD y ÐDOB son consecutivos.

Si estos cuatro ángulos consecutivos son iguales entonces se dice que.

CD ^ AB

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Sin embargo podemos considerar que dos rectas son paralelas si la una es coincidente con la otra, es decir que ambas tienen todos los puntos coincidentes.

PROPOSICIÓN

Se llama proposición al enunciado de una cuestión por resolver.

Proposiciones

Axioma: Es una proposición que, siendo evidente, no requiere demostración.

Ejemplos

El todo es mayor que cualquiera de las partes. El todo es igual a la suma de las partes. Cualquier cantidad es igual a sí misma. Si a cantidades iguales se agregan o quitan cantidades iguales, los resultados son

iguales.

Postulado: Es una proposición cuya verdad, aunque no tenga la evidencia de un axioma, se admite sin demostración. Este término es más aceptado para la Geometría, en cambio el axioma se utiliza para el Álgebra y la Aritmética.

Ejemplos

La distancia más corta que existe entre dos puntos es el segmento que los une. Existen infinitos puntos. Por dos puntos de un plano pasa solamente una recta. Dos rectas solo tienen un punto común o tienen todos sus puntos comunes. La bisectriz de un ángulo es única.

Teorema: Se llama teorema a una proposición que necesita ser demostrada. El teorema consta de dos partes: hipótesis y tesis.

La hipótesis es lo que se supone o se tiene de datos y la tesis lo que se quiere demostrar.

Las hipótesis pueden ser enunciadas directamente en el problema, pueden ser gráficas conforme la costumbre de poner señas en los elementos homólogos de dos o más figuras o pueden estar ocultas en un concepto general.

Corolarios: Proposiciones que son consecuencias inmediatas de los teoremas demostrados y cuya comprobación requiere poco o ningún razonamiento nuevo.

INSTRUCCIONES PARA UNA DEMOSTRACIÓN

Construir un gráfico claro y representativo, indicando marcas, símbolos, letras y otras características enunciadas.

Expresar la hipótesis, identificando hipótesis gráficas u ocultas en el enunciado. Expresar la tesis en forma clara y comprender las interrogantes planteadas. Ejecutar la demostración justificando detalladamente los pasos y los conceptos. Recuerde que la demostración de teoremas es general; la resolución de problemas es

particular. Los pasos deben ser lógicos y secuenciales. No debe suponer ningún paso o

concepto. Con alguna práctica debe tratar de encontrar el algoritmo óptimo.

Axioma

Postulado

Teorema

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Asesoría didáctica 1.2.ÁNGULOS

Definición

Es la figura geométrica que se forma por la abertura de dos semirrectas que tiene un mismo origen, llamado el vértice del ángulo.

NOTACIÓN

Un ángulo se puede notar de las siguientes formas:

- Mediante tres letras mayúsculas.

Ejemplo

- Mediante una letra mayúscula en su vértice.

Ejemplo

- Mediante una letra griega en el interior del ángulo.

Ejemplo

- Mediante una señal en la abertura del ángulo.

Ejemplos

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NOTA

Si dos ángulos tienen la misma señal en su abertura, estos dos ángulos son congruentes.

Ejemplo

MEDIDA ANGULAR

Está dada por el número de partes que contiene el arco subtendido entre los lados del ángulo, de la circunferencia cuyo centro es el vértice del ángulo, con respecto al número total de partes en las que se ha dividido la circunferencia.

Existen cuatro sistemas de medidas angulares, diferenciados exclusivamente en el número de partes en que se divide la circunferencia: Sistema sexagesimal, centesimal, radián y mil. Nos ocuparemos exclusivamente de los sistemas, sexagesimal y radián.

Sistema sexagesimal: Divide a la circunferencia en 360 partes, cada una de ellas se llama grado sexagesimal.

Sistema cíclico o radián: Divide a la circunferencia en 2p = 6,2832 partes, cada una de ellas se llama radián. Esta división se la hace sobre la base del número de veces que la circunferencia contiene a su radio.

DEFINICIONES

Un grado sexagesimal: Es la medida de un ángulo central a cuyos lados subtienden un arco de longitud igual a una de las 360 partes en que este sistema divide a la circunferencia.

Radián: Es la medida de ángulo central cuyos lados subtienden un arco de longitud igual al radio de la circunferencia.

a

1 de las 360 1o=1 de las 360 partes

1o=60 minutos (‘)

1’=60 segundos (“)

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TRANSFORMACIONES DE UN SISTEMA A OTRO

Los dos sistemas más usados son el sexagesimal y el radián. Por lo tanto, vamos a calcular los llamados coeficientes de transformación para relacionar los dos sistemas.

COEFICIENTES DE TRANSFORMACIÓN

Se pueden obtener por simples reglas de tres.

Si deseamos transformar de sexagesimales a radianes:

En el sistema sexagesimal: 360° en el sistema radián: 2p

1° x

x = 2 p / 360° = p / 180°

y viceversa para la transformación de radianes a sexagesimales; en resumen:

A: SEXAGESIMAL a : RADIÁNDe : Sexagesimal ----- p / 180De : Radián 180 / p -----

Ejemplos

1) Convertir a radianes

a) 22º 32´ 16´´

Se debe, en primer lugar, transformar los minutos y segundos a fracción decimal.

A continuación sumamos los grados obtenidos, con los del problema y este resultado multiplicamos por p y dividimos para 180 como nos indica el factor de conversión.

b) - 117o 48’ 29”

1 de las 6,2832 partes

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2) Transformar a grados sexagesimales

a) - 2,34 radianes

Multiplique los radianes por 180 y divida para p como indica el factor de conversión.

- 2,34 * - 134,07°

Como 1o tiene 60’, tomamos los decimales y realizamos una regla de tres simple:

1o ----------- 60’ 0,07o ----------- X = 4,2’

Como 1’ tiene 60”, tomamos los decimales y realizamos una regla de tres simple:

1’ ------------ 60” 0,2’------------ X = 12”

Por lo que:

-2.34 rad = -134o 04’ 12”

b) 4/9 rad

Como 1o tiene 60’, tomamos los decimales y realizamos una regla de tres simple:

1o ----------- 60’ 0,46o ----------- X = 27,6’

Como 1’ tiene 60”, tomamos los decimales y realizamos una regla de tres simple:

1’ ------------ 60” 0,6’------------ X = 36”

Por lo que:

4/9 rad = 25o 27’ 36”

c) p / 4 radianes

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ALFABETO GRIEGO

Α : α = alfa Ξ : ξ = xiΒ : β = beta Ο : ο = omicrónΓ : γ = gamma Π : π = piΔ : σ = delta Ρ : ρ = rhoΖ : ζ = dseta Σ : σ = sigmaΗ : η = eta Τ : τ = tauΘ : θ = theta Φ : φ = phiΙ : ι = iota Χ : χ = jiΚ : κ = kappa Ψ : ψ = psiΛ : λ = lambda Ω : ω = omegaΜ : μ = muΝ : ν = nu

BISECTRIZ DE UN ÁNGULO

Se llama bisectriz de un ángulo a aquella línea que partiendo del vértice divide al ángulo en dos ángulos iguales. Su trazo se identifica con la línea corta y un punto.

Muchos autores identifican a la bisectriz con dos números iguales y que corresponden a cada uno de los ángulos productos de la división del ángulo mayor.

Otros lo hacen con unas señales en los arcos correspondientes.

CLASIFICACIÓN DE LOS ÁNGULOS

Por su magnitud (abertura) pueden ser: convexos y cóncavos. Los convexos son aquellos ángulos cuya medida es mayor que 0° pero menor que 180°.

Los cóncavos son aquellos cuya medida es mayor que 180° pero menor que 360°.

A su vez, los ángulos convexos pueden ser: agudos, rectos u obtusos.

Agudos. Cuando la medida es menor que 90º ó p / 2 rad.

Rectos. Cuando la medida es igual a 90º ó p / 2 rad.

Obtusos. Cuando su medida es mayor que 90º pero menor a 180º; 90º < A <180º.

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Ángulo llano. Se llama también ángulo plano, cuando su medida es igual a 180º.

Ángulos de una vuelta. Son aquellos cuyo valor es 360º.

Ángulos complementarios. Dos ángulos son complementarios y cada uno es el complemento del otro cuando la suma de sus valores es igual a 90º. El complemento de “a” es (90º -a) (fig. 1).

Ángulos suplementarios. Dos ángulos son suplementarios y cada uno es el suplemento del otro cuando la suma de sus valores es igual a 180º. El suplemento de <2 es (180º - <2) (fig. 2).

Fig.1 COMPLEMENTARIOS Fig.2 SUPLEMENTARIOS

Ángulos opuestos por el vértice

Dos ángulos son opuestos por el vértice cuando los lados del uno son las prolongaciones del otro.

Corolario: Ángulos iguales tienen ángulos complementarios y suplementarios iguales.

TEOREMA. Los ángulos opuestos por el vértice son iguales.

Ð 1 + Ð 2 = 180º (forman ángulo llano)

Ð 1 + Ð 4 = 180º (forman ángulo llano)

Ð 2 = Ð 4

De idéntica forma podemos demostrar que el Ð 1 = Ð 3.

Corolario: Las bisectrices de ángulos opuestos por el vértice forman una sola recta.

ÁNGULOS FORMADOS POR UNA TRANSVERSAL O SECANTE

Cuando dos rectas pertenecientes al mismo plano son cortadas por una transversal o secante se originan 8 ángulos que merecen nuestro estudio por la importancia en los teoremas y demostraciones posteriores (Fig.3).

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Fig. (3)Siendo S una secante y L1 y L2 2 líneas del plano los ángulos así formados reciben nombres específicos:

Ángulos: 1, 2, 7 y 8 se denominan ángulos externos.Ángulos: 3, 4, 5 y 6 se denominan ángulos internos.Ángulos: 3 y 6, 4 y 5 se denominan ángulos alternos internos.Ángulos: 2 y 7; 1 y 8 se denominan ángulos alternos externos.Ángulos: 1 y 5; 3 y 7; 2 y 6; 4 y 8 se denominan ángulos correspondientes.Ángulos: 3 y 5; 4 y 6 se denominan ángulos conjugados internos.Ángulos: 1 y 7; 2 y 8 se denominan ángulos conjugados externos.

Esta importancia viene dada cuando las dos rectas cortadas son paralelas y pertenecen todas las rectas a un mismo plano (Fig.4), puesto que se desprenden los siguientes teoremas:

Fig. (4) TEOREMAS

Si dos rectas paralelas son cortadas por una transversal o secante, los ángulos alternos internos son iguales.

Si dos rectas paralelas son cortadas por una transversal o secante, los ángulos alternos externos son iguales.

Si dos rectas paralelas son cortadas por una transversal o secante, los ángulos correspondientes son iguales.

Si dos rectas paralelas son cortadas por una transversal o secante, los ángulos conjugados internos son suplementarios.

Si dos rectas paralelas son cortadas por una transversal o secante, los ángulos conjugados externos son suplementarios.

TEOREMA: Ángulos formados por lados respectivamente paralelos o perpendiculares son iguales o suplementarios.

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(Fig. 1) (Fig. 2)

Cuando los lados son respectivamente paralelos: (Fig. 1)

Ð a = Ð x por correspondientes y Ð b = Ð x por correspondientes

Ð a = Ð b

Cuando los lados son respectivamente perpendiculares: (Fig. 2)

Trazamos L1 y L2 paralelas a AC y AD respectivamente.

Ð b + Ð x = 90º y Ð y + Ð x = 90º \ Ð b = Ð y

Por demostración anterior podemos afirmar que:

Ð a = Ð y \ Ð a = Ð b

OPERACIONES CON ÁNGULOS

Los ángulos por ser magnitudes geométricas pueden operarse. Es así que se plantean sumas de ángulos, restas, multiplicación por un número entero o división de un ángulo.

Ejemplos

1) Si el complemento del ángulo X es 2X. ¿Cuál es el ángulo?

Por complementarios: X + 2X = 90°

3X = 90° Þ X = 30°

2) Hallar dos ángulos suplementarios tales que el uno sea 20º mayor que el otro.

SOLUCIÓN: Si denominamos X a un ángulo, entonces su suplementario será (180o- X), por lo tanto:

X + 20o = 180o – X

Resolviendo la ecuación:

2X = 160o

X = 80o

Por lo tanto, los ángulos son 80o y 100o

3) Hallar el ángulo que disminuido en su suplemento es igual al triple de su complemento.

SOLUCIÓN

Sea “X” el valor del ángulo a determinar.

El complemento de “X” es (90º - X).

El suplemento de “X” es (180º - X), planteando la ecuación tenemos: X – (180º - X) = 3(90º - X)Resolviendo: X – 180o + X = 270o – 3X

3X + 2X = 270o+180o

5X = 450o

X = 90o

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4) Establecer la relación que existe entre los siguientes ángulos:

< 1 y < 4 …………Opuestos por el vértice

<3 y <4 …………Complementarios

< 4 y < 5 ………...Suplementarios

<1 y < 3 ………...Suplementarios

< AOD y < 5 ...….Opuestos por el vértice

5) Encontrar la medida de los ángulos AOC, BOE y AOE.

< AOC = a + b = 90o+35o = 125o

< BOE =b + c + d = 35o+45o+50o= 130o

< AOE = a + b + c + d

< AOE = 90o+35o+45o+50o= 220o

6) En la siguiente figura encuentre los valores de los ángulos a y b.

Como AD es paralela a BC: <a = 40o por ser alternos internos

<b + 40o + 55o = 180o por ser conjugados internos

<b + 95o = 180o

<b = 85o

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R: <a = 40o

<b = 85o

7) En el siguiente gráfico encuentre el valor de (< α + < β).

Si trazamos una recta DC perpendicular a las dos paralelas tenemos:

< FEC + < DEF = 180o por ser suplementarios

Pero < DEF = < DEG – 59o

Por lo tanto: < FEC + (< DEG – 59o ) = 180o

Y como: < FEC = < β por correspondientes y < DEG = < α por correspondientes

Entonces: < β + ( < α - 59o) = 180o

< α + < β = 239o

Asesoría didáctica 1.3.TRIÁNGULOS

- Es la figura geométrica resultante de la unión de tres puntos no colineales.- Es el espacio comprendido entre tres rectas que se cortan de dos en dos en un mismo

plano.- Es el conjunto de puntos pertenecientes a un plano que se hallan dentro de tres líneas de

ese mismo plano y que se cortan mutuamente.

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Notación

Los triángulos se notan con 3 letras mayúsculas en sus vértices.

Ejemplo:

Elementos

- Vértices del triángulo = A, B y C = los puntos de unión de las rectas.- Lados del triángulo = AB, BC y CA, los segmentos que limitan al triángulo. También son

denominados con las letras minúsculas correspondiente a las mayúsculas del vértice opuesto a, b y c.

- Perímetro = a + b + c = P suma de los valores de los lados (dimensiones)- Semiperímetro = (a +b +c) / 2 = P/2 = s- Ángulos internos : A, B y C- Ángulos externos (α,β y θ): Son aquellos formados por un lado y la prolongación del

adyacente.- Ángulos internos no adyacentes: Son aquellos (2) que se encuentran en los vértices

opuestos de un ángulo externo.

CLASIFICACIÓN

1. Según las características de sus lados

Escálenos: todos sus lados desiguales. Isósceles: dos lados congruentes. Equilátero: tres lados congruentes.

El triángulo equilátero también es equiángulo ya que tiene sus 3 ángulos iguales y cada uno mide 60o.

2. Según las características de sus ángulos

Acutángulo: tres ángulos internos agudos. Rectángulo: un ángulo interno igual a 90º.

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Obtusángulo: un ángulo interno mayor que 90o.

Los triángulos acutángulos y obtusángulos forman los llamados triángulos oblicuángulos.

Nota: En los triángulos rectángulos el lado opuesto al ángulo recto se denomina hipotenusa y los lados perpendiculares se llaman catetos.

LÍNEAS Y PUNTOS NOTABLES EN UN TRIÁNGULO

1. Base y altura. Cualquiera de los lados del triángulo puede ser considerado como la base del triángulo pero debe tenerse en cuenta que la altura guarda una relación bi - unívoca con la base, por lo tanto si en el gráfico la base se considera el lado “c”, la altura será la distancia que existe desde la base al vértice opuesto es decir hc. Es así que la altura se define como la perpendicular trazada desde el vértice al lado opuesto o a su prolongación. El cruce de las alturas es el punto llamado ORTOCENTRO (O).

2. Medianas. Son segmentos que partiendo de los vértices de un triángulo llegan al punto medio del lado opuesto. Estos segmentos se cortan en un punto interno llamado centro de gravedad o BARICENTRO (G).

3.-

Bisectrices internas. Son líneas que dividen a cada ángulo interno en dos ángulos iguales. También estas líneas se cruzan en un punto común interno llamado el INCENTRO (I).

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El incentro tiene la particularidad de ser equidistante de los lados del triángulo, es decir que las perpendiculares trazadas desde I (que no siempre coinciden con la prolongación de la bisectriz) a los lados del triángulo son iguales, y por lo tanto son radios de un círculo inscrito en el triángulo.

IQ = IR = IP = r (radio de la circunferencia inscrita en el triángulo).

4. Mediatrices. Son líneas perpendiculares levantadas en los puntos medios de los lados de un triángulo, estas líneas se cortan en un punto común llamado CIRCUNCENTRO. (M) existiendo la posibilidad de que sea un punto interno, externo al triángulo o coincida con uno de los lados.

Este punto equidista de los vértices del triángulo y por lo tanto se lo considera el centro de una circunferencia que contiene a los tres vértices del triángulo.

AM = MB = MC = Radio de la circunferencia circunscrita

Consecuencia de esta particularidad nace el teorema que dice que por 3 puntos no colineales y situados en un mismo plano pasa una y solo una circunferencia.

TEOREMA: En todo triángulo se cumple que la suma de sus ángulos internos es igual a 180 º

o p radianes.

Demostración

Construimos la recta L, paralela a lado AB ABC es un triángulo cualquiera con sus ángulos internos a y b. L paralela AB por construcción

BC es una transversal o secante a las paralelas L y AB.

\ el ángulo b = al ángulo 1 por alternos internos (1)

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el ángulo g = el ángulo g por identidad (2)

Si consideramos el lado AC como transversal a las paralelas AB y L.

El ángulo a = ángulo 2 por correspondientes (3)

Si sumamos (1) + (2) + (3)

Por lo tanto la suma de los ángulos internos = 180°.

Corolario 1. El ángulo externo de un triángulo es igual a la suma de los dos ángulos internos no adyacentes.

<α = < B + < C

<β = < A + < B

<θ = < A + < C

Corolario 2. En un triángulo rectángulo, los dos ángulos diferentes a 90 º son agudos y complementarios.

Corolario 3. En un triángulo cualquiera no puede existir más de un ángulo obtuso ni más que un ángulo recto.

Corolario 4. La suma de los ángulos exteriores de un triángulo es igual a 360º.

180º - A = <B + <C Por corolario 1

180º - B = <A + <C

ÐÐÐ

ÐÐ

Ð

21

2

1

g

g

gab

agb

ÐÐÐ

ÐÐ

Ð =

=

=

1



180º - C = < A + < B

Sumando miembro a miembro tenemos:

180º - A + 180º - B + 180º - C = 2( A + B + C).

Pero A + B + C = 180º si ( 180º - A) + (180º - B) + (180º - C) = Σ < int.

Entonces: Σ < int. = 2 x 180º = 360º.

PROBLEMAS

1. Demostrar que las bisectrices de los ángulos agudos de un triángulo rectángulo forman un ángulo de 45º.

Solución

Al ser BD bisectriz del ángulo B divide a este ángulo en dos partes iguales y como CD es bisectriz del ángulo C divide a este ángulo en dos partes iguales, y ya que la suma de los ángulos internos de un triángulo es igual a 180o, tenemos que:

2 b + 2 c + A = 180o

Pero como A es igual a 90o por ser triángulo rectángulo:

2b + 2c = 90o

De donde: b + c = 45o

El ángulo “x” es un ángulo externo del triángulo BCD y por lo tanto:

De ahí que:

< x = 45o

2. En el siguiente triángulo encontrar los ángulos A y C.

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Solución

Al ser AB paralela a DE el ángulo 1 es igual a 36o por ser alternos internos.

En el gráfico podemos observar que el ángulo A se divide en 2 ángulos 1, entonces:

< A = 2 < 1< A = 2 * 36o

< A = 72o

Como la suma de los ángulos internos es 180o y el ángulo B es igual a 90o tenemos:

< A + < B + < C = 180o

< C = 180o- < A - < B < C = 180o – 72o – 90o

< C = 18o

3. Resolver:

Solución

En el triángulo ABD: 60o + 57o + d = 180o por suma de ángulos internos

Por lo tanto: d = 180o – 60o – 57o

d = 63o

En el triángulo BCD: b + 45o = d por ser d ángulo externo

b = 63o – 45o b = 18o

4. Resolver:

Solución:

Solución:

2 < 1 + 2 < 4 = 180o por ser suplementarios

Entonces: < 1 + < 4 = 90o ( 1 )

1



Por ser L1 paralela a L2: 2 < 3 = 2 < 4 por ser alternos internos < 3 = < 4 ( 2 )

En el triángulo ACD: <1 + 2 < 2 + < 3 = 180o

Reemplazando 2: < 1 + 2 < 2 + < 4 = 180o

Reemplazando 1: 2 < 2 + 90o = 180o

De ahí que: < 2 = 45o ( 3 )

En el triángulo ABC: <1 + < 4 + < 2 + < X = 180o

Reemplazando 1 y 3: 90o + 45o + < X = 180o

Por lo tanto: < X = 45o

Asesoría didáctica 1.4.CONGRUENCIA DE TRIÁNGULOS

Dos figuras geométricas son congruentes (iguales) cuando al superponer una sobre otra coinciden todos sus elementos (lados y ángulos) y por lo tanto las características de la una son idénticas a las características de la otra.

Tratándose de triángulos existen tres casos en los cuales podemos decir que existen dos triángulos idénticos o congruentes.

CRITERIOS DE CONGRUENCIA

PRIMER CASO. Dos triángulos son congruentes cuando tienen respectivamente dos lados iguales y el ángulo comprendido entre estos dos lados también es igual. L.A.L.

b = b’c = c’

< A = < A’

SEGUNDO CASO. Dos triángulos son congruentes si tienen respectivamente un lado y dos ángulos iguales. A.L.A.

< A = < A’ b = b’

< C = < C’

1



TERCER CASO. Si los tres lados de un triángulo son respectivamente iguales a los tres lados del otro, los dos triángulos son iguales. L.L.L.

a = a’b = b’c = c’

TEOREMA. Dos tr iángulos rectángulos son iguales si la hipotenusa y un cateto del uno son respectivamente iguales a la hipotenusa y un cateto del otro.

AB = A´B´ (hipotenusa) BC = B´C´ (cateto)

Entonces: p ABC = p A´B´C´

Corolario . Dos tr iángulos rectángulos son iguales si dos lados cualquiera del uno son iguales a los correspondientes dos lados del otro.

CARACTERÍSTICAS DE LOS TRIÁNGULOS ISÓSCELES

TEOREMA. En el triángulo isósceles los ángulos opuestos a los lados iguales son iguales.

Corolario:

Si dos ángulos de un tr iángulo son iguales, los lados opuestos a esos ángulos son también iguales y por tanto se trata de un tr iángulo isósceles (teorema recíproco).

ÐA = Ð C

AB = BC

1



TEOREMA: Al trazar la altura que corresponde al vértice del triángulo:

a. Se forman dos triángulos congruentes.

b. La altura trazada desde el vértice de un triángulo isósceles es también: mediana, bisectriz y perpendicular bisectriz (mediatriz).

c. Si un segmento trazado desde el vértice de un triángulo cumple con por lo menos dos características enunciadas anteriormente el triángulo es isósceles.

d. Las medianas, bisectrices y alturas que corresponden a los ángulos iguales de un triángulo isósceles son iguales.

TEOREMA: Los segmentos comprendidos entre dos pares de paralelas son iguales.

AD = BC y AB = DC

TEOREMA: Si los segmentos determinados en una transversal por tres o más paralelas son iguales, también son iguales los determinados en cualquier otra transversal por las mismas paralelas.

QR = ½ ABPR = ½ BC

TEOREMA DE LAS LÍNEAS MEDIAS

Las rectas que unen los puntos medios de los lados de un triángulo dividen a este en cuatro triángulos iguales, son paralelas al tercer lado e igual a la mitad de este lado.

1



PQ = ½ AC

Todos los triángulos que se forman (4 en total) son congruentes porque tienen sus tres lados respectivamente congruentes.

TEOREMA: La longitud de la mediana que corresponde a la hipotenusa es igual a la mitad de ella.

PROBLEMAS

1. En el siguiente ejercicio demostrar que el triángulo ABD es congruente con el triángulo BDC, si se conoce que AB = BC.

Solución

El ángulo ABD es congruente con el ángulo DBC por hipótesis.

AB = BC por hipótesis

BD = BD lado común

Por L. A. L. El triángulo ABD es congruente con el triángulo BDC.

2. Encontrar “x” y “y”, en el gráfico siguiente:

En el gráfico se puede observar que:

AB = AD por hipótesis

BC = DC por hipótesis

AC = AC lado común

1



Por L. L. L. el triángulo ABC es congruente con el triángulo ADC, y por consecuencia sus respectivos ángulos son congruentes, entonces:

y – 5o = 42o x + 20o = 26o

y = 47o x = 6o

3. Resolver:

Al ser AB = BC por hipótesis, el triángulo ABC es isósceles, por lo tanto:

m <BAC = m< ACB = 40o

Al ser <DAB suplementario del <BAC:

m <DAB = 180o- m <BAC

m <DAB = 180o – 40o

m <DAB = 140o ( 1 )

Como AD = AB por hipótesis, el triángulo ABD es isósceles y por lo tanto:

m <BDA = m <ABD = m <X ( 2 )

Por suma de ángulos internos en el triángulo ADB:

m <BDA + m <DAB + m <ABD = 180o

Reemplazando 1 y 2, tenemos:

m <X + 140o + m <X = 180o

m <X = 20o

4. En el siguiente gráfico encuentre la medida del ángulo X.

1



Al ser BD = BC por hipótesis, entonces:

m <BDC = m <BCD ( 1 )

Sumando los ángulos internos del triángulo ADC:

m <BCD + (m <BDC + 40o) + 20o = 180o ( 2 )

Reemplazando 1 en 2:

m <BDC = m <BCD = 60o

Por lo tanto el ángulo CDE mide 80o.

En el triángulo DBC el ángulo DBC mide 60o, lo que convierte al triángulo DBC en equilátero, y:

DB = DC = BC = CE

Al ser DC = CE, el triángulo DCE es isósceles y:

m <CDE = m <CED = 80o

Sumando los ángulos internos del triángulo CDE y despejando el ángulo X, tenemos:

m <CDE + m <CED + m <X = 180o

m <X = 180o – 80o – 80o

m <X = 20o

Asesoría didáctica 1.5.Antes de estudiar la semejanza de triángulos, vamos a hacer una rápida revisión de las razones y proporciones.

RAZONES Y PROPORCIONES

Razón: Es la comparación de una cantidad con otra semejante. El resultado es un número abstracto, y por lo tanto no tiene unidad.

1



Una razón es una fracción, consecuentemente, todas las propiedades que tiene una fracción se aplican a las razones.

Para representar la razón 15 a 4 se lo hace así: o 15: 4

El 15 y el 4 se denominan términos de la razón.

Proporción: Es una expresión que resulta de la igualdad de dos razones. Si las razones tienen el mismo valor, las razones pueden igualarse formando una proporción.

Ejemplo:

Generalizando, una proporción puede representarse así:

Se lee “a” es a “b” como “c” es a “d” o “a” es proporcional a “b” como “c” es a “d”.

Términos de una proporción

“a” y “d” son extremos; “b” y “c” son medios.

“a” y “c” son antecedentes; “b” y “d” son consecuentes.

Cuarta proporcional: De las tres cantidades, el cuarto término se define como la cuarta proporcional.

“x” es la cuarta proporcional entre a, b y c.

Media proporcional (Media geométrica): Si en una proporción, el segundo y el tercero o primero y cuarto términos son iguales, se dice que cualquiera de los dos es media proporcional entre el primero y cuarto o segundo y tercero términos, respectivamente.

x = media proporcional entre a y d o en el otro caso x = media proporcional entre b y c.

PROPIEDADES DE LAS PROPORCIONES

En una proporción puede invertirse las razones:

1



El producto de los medios es igual al producto de los extremos.

En una proporción a cada antecedente se puede sumar o restar su respectivo consecuente o a cada consecuente sumar o restar su respectivo antecedente y la proporción no altera.

En una serie de razones iguales, la suma de los antecedentes es a la suma de los consecuentes, como cualquiera de sus antecedentes es a su respectivo consecuente.

SEMEJANZA DE TRIÁNGULOS

En general se dice que dos polígonos son semejantes cuando sus ángulos son respectivamente iguales y sus lados homólogos son proporcionales.

RAZÓN DE SIMILITUD: Se llama razón de similitud o razón de semejanza de dos polígonos semejantes, la razón de dos lados homólogos cualesquiera.

Particularizando estos conceptos a los triángulos, se dice que dos triángulos son semejantes si tienen o cumplen dos condiciones:

a. Los ángulos de un triángulo son iguales a los ángulos del otro.

b. El lado opuesto al ángulo igual de un triángulo es proporcional al lado opuesto al ángulo igual del otro triángulo (Lados homólogos).

Ejemplo

Los triángulos ABC y DEF son semejantes porque tienen sus ángulos respectivamente congruentes.

1



Entonces la

proporcionalidad es:

TEOREMA BÁSICO DE SEMEJANZA: (TEOREMA DE THALES)

“Los segmentos de dos o más transversales interceptados entre paralelas son proporcionales”.

Sea L1, L2 y L3 rectas paralelas cortadas por dos transversales l1, l2.

Corolario 1: Toda recta paralela a uno de los lados de un triángulo divide a los dos lados en segmentos proporcionales y cada uno de los lados son proporcionales a los segmentos correspondientes determinados en ellos.

Corolario 2. Si una recta divide proporcionalmente a dos de los lados de un triángulo entonces es paralela al tercer lado.

Corolario 3. Dos triángulos son semejantes si los lados son respectivamente paralelos.

1



En general se puede decir que un triángulo es semejante a su respectiva representación o escala (cualquiera que esta fuere).

Corolario 4. Todos los triángulos equiángulos (equiláteros) son semejantes.

Corolario 5. Dos triángulos son semejantes si dos ángulos del uno son respectivamente iguales a los dos ángulos del otro.

Corolario 6. Dos triángulos rectángulos son semejantes si tienen un ángulo agudo igual.

PROPIEDAD DEL BARICENTRO

El baricentro divide a cada una de las medianas en dos segmentos, tales que el uno es el doble del otro.

G = Baricentro

AG = 2 GMBG = 2.GNCG = 2.GP

Por lo tanto, el baricentro G está ubicado a los 2/3 de cada mediana, medidos desde el vértice hacia el punto medio del lado opuesto.

PROBLEMAS

1. En la siguiente figura y DF = 60. Encontrar el valor de

PD.

1



PB = 3 AP (1) Y BC = 2 AP (2)

Por Teorema de Thales

Despejando PD y reemplazando 1 y 2

PD = 10

R: PD mide 10

2. En la siguiente figura encuentre las medidas de AB y BD.

Solución

Por hipótesis (gráfico) el <A es igual al <E.

1



B es ángulo común de los triángulos ABC y DBE.

Por el corolario 5 los triángulos ABC y DBE son semejantes; de ahí que:

Tomando la primera proporción:

AB = 6

Tomando la segunda proporción:

DB = 3

3. En la siguiente figura demuestre que:

AH2 = AB . HD

Solución

Si le llamamos 1 al ángulo B, y 2 al ángulo C, podemos observar que:

El ángulo DHC es 1 Por suma de ángulos internos en el triángulo DHC.El ángulo AHD es 2 Porque 1 y 2 son complementarios.El ángulo HAD es 1 Porque el triángulo AHD es rectángulo.El ángulo BAH es 2 Porque el triángulo ABH es rectángulo.

Por lo tanto, los triángulos ABH y AHD son semejantes porque tienen sus ángulos congruentes. Haciendo la proporcionalidad tenemos:

1



(Recuerde que a ángulos congruentes, lados proporcionales).

AH2 = AB . HD

4. Resolver:

Solución

Como m<C = m<A / 2 por hipótesis, la medida del <C es igual a la medida del ángulo 1.

m <ADB = 2 m<1 por ser ADB ángulo externo del triángulo ADC.

B ángulo común de los triángulos ABC y ABD, por lo tanto, estos triángulos son semejantes.

Haciendo proporcionalidad de los lados tenemos:

Por lo tanto: AB2 = BC . BD

1



Asesoría didáctica 1.6.LUGAR GEOMÉTRICO

Se llama lugar geométrico al conjunto de todos los puntos y solamente de aquellos, cuyas coordenadas satisfacen la o las condiciones pedidas.

Ejemplo 1: El lugar geométrico de todos los puntos de un plano situados a una distancia dada r de un punto dado O es la circunferencia del círculo cuyo centro es O y radio es r.

Ejemplo 2: La bisectriz de un ángulo es el lugar geométrico de todos los puntos que equidistan de los lados del ángulo.

Al trazar las distancias desde los puntos T y S (de la bisectriz) se forman triángulos rectángulos, los cuales son iguales puesto que PT = TQ y SR = SM.

Ejemplo 3: La perpendicular bisectriz de una recta es el lugar geométrico de todos los puntos equidistantes de los extremos de la recta.

Ejemplo 4: El lugar geométrico del centro de una rueda que corre por un plano es la línea paralela al plano.

EL CÍRCULO

Definición. El círculo es una figura plana limitada por una curva cerrada cuyos puntos equidistan de un punto interior llamado centro del círculo o centro de la circunferencia.

1



Circunferencia. Es el lugar geométrico de todos los puntos que equidistan de otro llamado centro, también se la define como la curva que limita al círculo. En otras palabras, el contorno (perímetro) de un círculo es la circunferencia. La distancia desde un punto de la circunferencia al centro se llama radio.

IGUALDAD DE LOS RADIOS. Como consecuencia de la definición anterior se dice que todos los radios de un círculo son iguales y también que dos círculos son iguales si sus radios lo son.

LÍNEAS Y PUNTOS FUNDAMENTALES EN EL CÍRCULO

Cuerda: Segmento recto que une dos puntos de la circunferencia.

Secante: Línea que corta el círculo.

Diámetro: Cuerda mayor o la línea que une dos puntos de la circunferencia, pasando por el centro del círculo. El diámetro es igual a 2 veces el radio de la circunferencia.

Tangente: Línea recta externa a la circunferencia que tiene un punto común con ella.

AB = Cuerda

L = Secante

AB = Diámetro = D

TP = TangenteT = Punto de tangencia o punto común

1



Arco: Es el segmento de una circunferencia.

ÁNGULOS EN EL CÍRCULO

Ángulo central: Aquel cuyo vértice coincide con el centro de la circunferencia. Sus lados pueden considerarse como los radios de la misma.

TEOREMA: Todo ángulo central tiene por medida el arco comprendido entre sus lados.

Ángulo inscrito: Ángulo interior en un círculo cuyo vértice es uno de los puntos de la circunferencia.

TEOREMA: Todo ángulo inscrito tiene por medida la mitad del arco comprendido entre sus lados.

Corolario: 1. Todo ángulo inscrito en un semicírculo es un ángulo recto.

Arco AB = (menor)Arco ACB = (mayor)

a = ángulo central

b = ángulo inscrito

1



Ángulo semiinscrito: Aquel cuyos lados son la tangente y la cuerda que pasa por el punto de tangencia.

TEOREMA: El ángulo formado por una tangente y una cuerda que pasa por el punto de tangencia tiene por medida la mitad del arco subtendido por la cuerda.

Ángulo ex inscrito: Es el suplemento del ángulo inscrito.

Al ser β y θ suplementarios:

Ángulo interno: Aquel formado por dos cuerdas del círculo.

TEOREMA: El ángulo formado por dos cuerdas que se cortan tiene por medida la semisuma de los arcos comprendidos entre sus lados.

= ángulo semiinscrito

θ = ángulo ex inscrito b = ángulo inscrito

g=ángulo internoAB = cuerdaCD = cuerda

1



Ángulo externo: Aquel formado por el trazo de dos tangentes a un círculo desde un punto exterior a ella, por dos secantes que cruzan la circunferencia o por una secante y una tangente.

TEOREMA: El ángulo formado por dos secantes o por dos tangentes o por una secante y una tangente, trazadas a un círculo desde un punto exterior tiene por medida la semidiferencia de los arcos comprendidos entre los lados del ángulo.

CASO I: Cuando son 2 secantes

CASO II: Cuando son 1 secante y 1 tangente

CASO III: Cuando son 2 tangentes

h = ángulo externo (2 tangentes)a = ángulo externo (2 secantes)b = ángulo externo (secante y tangente)

1



REGIONES DEL CÍRCULO

Segmento circular: Área limitada por una cuerda y el arco correspondiente.

Anillo: Es el área comprendida entre dos círculos que tienen el mismo centro pero distinto radio (círculos concéntricos).

LONGITUD DE LA CIRCUNFERENCIA

La longitud de una circunferencia es igual al doble producto de π por el radio, es decir:

ÁREA DEL CÍRCULO

El área del círculo es igual al producto de π por el radio al cuadrado, es decir:

PROBLEMAS

1. Calcular el área del círculo y la longitud de la circunferencia de diámetro igual a 10 cm.

Solución

Como el diámetro es igual a 2 radios, entonces:

Área sombreada donde el segmento BC es la cuerda y B x C es el arco que subtiende la cuerda.

r1 y r2 = radios de dos círculos que tienen el mismo centro.

1



Aplicando las respectivas fórmulas tenemos:

2. Si la longitud de una circunferencia es de 38 cm, ¿cuál será el área de su respectivo círculo?

Solución

Si despejamos el radio de la fórmula de la longitud de la circunferencia tenemos:

Reemplazando este resultado en la fórmula del área:

3. En la figura Si < b = 46º, ¿cuál es el valor del ángulo a?

Solución

1



Como el <b es un ángulo inscrito:

de donde:

Debido a que la medida del ángulo central a es igual a la medida del arco AC:

4. Resolver el siguiente ejercicio:

H) AC paralela a DE

T) < a = ?

Arco AbD = ?

Solución

Por ser AC y DE paralelas, el ángulo CDE es igual al ángulo ACD, por alternos internos y como CDE es un ángulo inscrito tenemos:

Por lo tanto:

Como el ángulo ACD es un ángulo inscrito:

Ya que la medida del arco AC es igual a 180o, por ser un semicírculo, entonces:

5. Resolver:

1



Por ser a ángulo interno, se tiene que:

Despejando la medida del arco AC y reemplazando las hipótesis, tenemos que:

( 1 )

De otro lado, el ángulo P es externo, por lo que:

Despejando la medida del arco AC y reemplazando las hipótesis:

( 2 )

Igualando 1 y 2:

Asesoría didáctica 1.7.

PERÍMETROS Y ÁREAS DE FIGURAS GEOMÉTRICAS

PERÍMETRO

El perímetro de una figura geométrica de lados rectos se obtiene sumando las medidas de todos sus lados.

ÁREA O SUPERFICIE

Las dos palabras son consideradas sinónimas por su uso común, sin embargo podemos realizar una ligera diferencia diciendo que “el área de una superficie es el número de unidades cuadradas contenidas en ella”.

TRIÁNGULOS

1



Perímetro

Área

Conocidos la base y altura del triángulo

Donde s es el semiperímetro: s =

Área de un triángulo equilátero

Si se conoce el lado:

Si se conoce la altura:

TEOREMA DE PITÁGORAS: En un triángulo rectángulo la hipotenusa al cuadrado es igual a la suma de los cuadrados de los catetos.

1



Corolario

a2 = c2 - b2

b2 = c2 – a2

CUADRILÁTEROS

Es una figura cerrada cuyos límites son cuatro segmentos, llamados lados del cuadrilátero.

CLASIFICACIÓN

1.1.1 Trapecio escaleno

1.1 Trapecios 1.1.2 Trapecio isósceles

1.1.3 Trapecio rectángulo

1.2 Trapezoides

1. CUADRILATEROS 1.2.1 Rectángulo

1.3 Paralelogramos 1.2.2 Cuadrado

1.2.3 Rombo

1.2.4 Romboide

Paralelogramos: Son aquellos que tienen los lados opuestos paralelos e iguales. Estos se clasifican en rectángulos, cuadrados, rombos y romboides. Altura. Se llama altura de un paralelogramo a la "distancia" entre lados paralelos.

Diagonal. Es la recta que une dos vértices no consecutivos de una figura rectilínea cerrada.

Rectángulos: Paralelogramo que tiene sus cuatro ángulos rectos.

1



Perímetro: P = 2h + 2b Área: A = b x h

Cuadrado: Paralelogramo que tiene sus cuatro ángulos rectos y sus cuatro lados iguales.

Perímetro: P = 4 x l Área: A = l2

Rombo: Aquel paralelogramo que tiene sus cuatro lados iguales, pero sus ángulos no son rectos.

Perímetro: P = 4 x L Área:

Romboide: Es el verdadero paralelogramo, tiene sus ángulos y lados opuestos iguales de dos en dos.

1



Trapecios: Son aquellos que tienen dos lados paralelos. Se clasifican en escalenos, isósceles y rectángulos.

Escaleno: Tiene 2 lados paralelos. Isósceles: Tiene 2 lados paralelos, 2 ángulos de la base iguales y los 2 lados no

paralelos también son iguales. Rectángulo: Tiene 2 lados paralelos, y un lado es perpendicular a las 2 bases.

Área:

Trapezoides: Son aquellos que no tienen lados paralelos. Un tipo especial es el llamado simétrico o contraparalelogramo: Se caracteriza porque una diagonal es mediatriz de la otra.

PROBLEMAS

1. ¿Cuánto costará enmarcar un cuadro de forma romboidal, si se conoce que su diagonal mayor mide 48 cm, su diagonal menor mide 20 cm, y que el precio por cm lineal colocado es de $0,18?

Solución

Graficamos el cuadro.

1



Un rombo forma 4 triángulos rectángulos cuyos catetos son la mitad de las medidas de las diagonales, por lo que podemos calcular la medida de su lado utilizando el teorema de Pitágoras.

L2 = 102 + 242

L2 = 100 + 576L = 26 cm Con este resultado encontramos el perímetro del cuadro:

P = 4 x LP = 4 x 26 cmP = 104 cm

Para calcular el costo multiplicamos el número total de cm que tenemos por el precio de colocación de cada cm de marco.

Costo = 104cm x $0,18/cm

Costo = $18,72

2. Se desea poner papel contac en una ventana que tiene la forma de la figura. ¿Cuántos m2 de papel se necesitarán y cuánto costará la instalación si el precio de m2 de papel contac colocado es de $1,75?

Solución

Como podemos observar en la figura la ventana está formada por un rectángulo cuyas medidas son b = 0,75 m y h = 1,20 m y un semicírculo (mitad de un círculo) cuyo radio es la mitad de la base del rectángulo, es decir 0,375 m. Calculando el área del rectángulo y del semicírculo, tenemos:

A1 = b x h A2 = (π x r2) / 2

A1 = ( 0,75 m ) (1,20 m ) A2 = (π x ( 0,375m )2) /2

1



A1 = 0,90 m2 A2 = 0,22 m2

Por lo tanto, el área de la ventana y de los m2 de papel que se necesitan son:

A = A1 + A2

A = 0,90 m2 + 0,22 m2

A = 1,12 m2

Para calcular el costo multiplicamos este resultado por lo que cuesta cada metro cuadrado de papel.

Costo = 1,12 m2 x $1,75/m2

Costo = $ 1,96

3. Encontrar el perímetro y el área del siguiente triángulo:

Solución

El valor de x lo podemos encontrar aplicando el teorema de Pitágoras.

c2 = a2 + b2

(10x - 3)2 = (9x – 1)2 + (3x)2

100x2 – 60x + 9 = 81x2 – 18x + 1 + 9x2

10x2 – 42x + 8 = 0 5x2 – 21x + 4 = 0

Resolviendo la ecuación de segundo grado:

(x – 4 ) (5x – 1) = 0

x = 4 x = 1/5Por lo que tenemos 2 respuestas:

Respuesta 1: Reemplazando el valor de x = 4, encontramos que los lados miden: a = 35, b = 12 y c = 37. Por lo que el perímetro y el área para este triángulo son:

P = a + b + c

P = 35 + 12 + 37

P = 84u u2

Respuesta 2: Reemplazando el valor de x = 1/5, encontramos que los lados miden: a = 4/5, b = 3/5 y c = -1. Como la medida de los lados no puede ser negativa entonces ésta no sería respuesta.

1



4. La base menor de un trapecio de 75 u2 de superficie es la mitad de su base mayor, y la altura es la suma de las 2 bases dividida para 6. Calcular las medidas de la base menor, base mayor y altura.Solución

y Por lo tanto la altura en función de la base menor será igual a:

Reemplazando en la fórmula del área podemos encontrar la medida de la base menor:

Despejando b:

Una longitud solo puede ser positiva, por lo tanto la medida de la base menor es de 10 u, con este resultado calculamos las medidas de la base mayor y de la altura:

B = 2 b B = 20 u

h = b/2 h = 5 u

Actividades de aprendizaje

Actividad de aprendizaje 1.1.

Planteamiento

En los siguientes ejercicios escoja la respuesta correcta:

1. El punto medio M, pertenece a: (0,5 puntos)

a) Una rectab) Un segmentoc) Una semirrecta

2.La Tesis y la Hipótesis son parte de: (0,5 puntos)

a) Un Axioma.b) Un Teorema.c) Un Postulado.

3. La línea recta es: (0.5 puntos)

a) Limitada en sus dos sentidosb) Limitada en un solo sentido

c) Ilimitada en sus dos sentidos

Objetivos

Comprender los conceptos sobre punto, línea, plano. Identificar las diferencias entre recta, semirrecta y segmento. Diferenciar entre rectas paralelas y rectas perpendiculares. Conocer los diferentes tipos de proposiciones existentes y sus definiciones.

Orientaciones didácticas Para contestar las preguntas lea detenidamente la asesoría didáctica 1.1.

Lea y entienda la pregunta y compare con los conceptos que se encuentran en la asesoría didáctica 1.1.

1



Tómese el tiempo necesario para contestar las preguntas, pero recuerde que debe invertir su tiempo de la mejor manera.

Criterios de evaluación

Escoge el literal que corresponde a la respuesta correcta.


Planteamientos

1. Convertir en radianes cada uno de los siguientes ángulos: (0,5 puntos)

a) 630° 53’ 32” b) -210° 29’ 55” 2. Expresar en grados, minutos y segundos cada uno de los siguientes ángulos (0,5 puntos)

a) – 0.58 rad b) 28/7 rad 3. Dados los ángulos consecutivos AOB, BOC, COD, de modo que los ángulos AOC y

BOD sumen 120°, hallar el ángulo AOD, si la suma de los ángulos AOB y COD es 80°. (0,5 puntos)

4. En la siguiente figura encuentre la medida del ángulo x. (1 punto)

JUSTIFIQUE SUS RESPUESTAS

5. En la siguiente figura encuentre la medida del ángulo x. AB y CD son paralelas (1 punto)

1



Objetivos

Identificar los diferentes tipos de ángulos. Realizar conversiones de un sistema de medida angular a otro. Diferenciar entre ángulos complementarios y suplementarios. Resolver ejercicios de ángulos comprendidos entre paralelas. Resolver ejercicios de operaciones con ángulos.

Orientaciones didácticas

En la asesoría didáctica 1.2, usted encontrará ejercicios resueltos similares a los que se le pide resolver.

Por favor, incluya el desarrollo completo de los ejercicios. En el ejercicio 4 utilice el concepto de ángulos formados entre rectas

paralelas cortadas por una transversal. Tómese el tiempo necesario para contestar las preguntas, pero recuerde que

debe invertir su tiempo de la mejor manera. Se sugiere utilizar el editor de ecuaciones.


Aplica correctamente el factor de conversión. Diferencia entre ángulo complementario y suplementario. Resuelve problemas de ángulos comprendidos entre paralelas. Resuelve ejercicios de operaciones con ángulos.

Actividad de aprendizaje 1.3. Planteamientos

1. En la siguiente figura encuentre el valor de a. AB y CD son paralelas (1 punto)

2. Se construye un triángulo equilátero ABC al interior del cuadrado ADEC, hallar el

ángulo X (1 punto)

3. Sobre el lado AB se ubica el punto D, de modo que AD = DC y DB = BC, hallar

el ángulo ACB. (1 punto)

1



Objetivos Identificar los diferentes tipos de triángulos. Aplicar las definiciones de líneas y puntos notables de un triángulo. Resolver ejercicios de suma de ángulos y ángulo externo en un triángulo.



Por favor, incluya el desarrollo completo de los ejercicios. Tómese el tiempo necesario para contestar las preguntas, pero recuerde que



Grafica correctamente los triángulos. Resuelve ejercicios de suma de ángulos en un triángulo.


Planteamientos

1. En el siguiente gráfico encuentre el valor de X. (1 punto)

2. En el siguiente gráfico encuentre la medida del ángulo x. (1 punto) Si <ABC = 122°, AF = FB, BG = GC.

Objetivos Reconocer los criterios de congruencia de triángulos. Identificar las características de un triángulo isósceles. Resolver ejercicios de congruencia de triángulos.

Orientaciones

1



didácticas





Aplica el criterio de congruencia correcto. Aplica los teoremas de los triángulos isósceles.


Planteamientos

1. Dado un triángulo ABC, la mediana trazada del vértice A y la mediana trazada del vértice B son perpendiculares entre sí y miden 12 y 9 m. respectivamente, calcular la medida de la mediana trazada del vértice C. (1punto)

2. Las bases de un trapecio isósceles miden 8 y 5 m respectivamente y su altura es

de 3.5 m. hallar la altura del triángulo formado por la base menor y la prolongación de los lados no paralelos del trapecio al cortarse. (1 punto)

3. El rectángulo ABCD está construido por tres cuadrados iguales de 30 m. de lado, hallar la medida de FE. (1 punto)

Objetivos Comprender los teoremas de semejanza de triángulos. Resolver ejercicios de semejanza de triángulos.






Aplica los teoremas de semejanzas de triángulos en la solución de los ejercicios.

Actividad de aprendizaje 1.6.Planteamientos

1. Desde el punto exterior P, se traza la tangente PA y la secante PBC a una circunferencia, que forman en P un ángulo de 50°, el arco BC mide 120° cuanto mide al ángulo X. (1 punto)

1



2. En una pista circular de 1000m de radio se encuentran los puntos A y B los

cuales forman con el centro de la circunferencia un ángulo de 135°, una bicicleta tiene ruedas de 60 y 80 cm. de diámetro respectivamente y circula sobre la pista, cuantas vueltas debe dar cada una de las ruedas para ir del punto A al punto B. (1 punto)

3. Se trazan dos circunferencias iguales secantes en los punto A y B, desde un

punto P exterior se trazan dos secantes que pasan por A y B respectivamente, hallar la medida de X si: los arcos DF - CE = 40° (1 punto)

4. Una polea se encuentra colgada en la viga de un techo y tiene un diámetro de 66 cm. Qué altura levantará a un objeto que se encuentra en el piso si la polea gira 6.5 revoluciones. (1 punto)

Objetivos Resolver problemas reales de longitud y área de una circunferencia. Reconocer los ángulos presentes en un círculo. Resolver ejercicios de ángulos en el círculo.






Aplica las fórmulas del área y de la longitud de la circunferencia. Resuelve ejercicios de ángulos en el círculo. Reconoce el tipo de ángulo y aplica su fórmula correctamente.

Actividad de aprendizaje 1.7.Planteamiento

Resolver los siguientes problemas:

1. En la siguiente figura calcular el área y el perímetro triángulo CEF. (1 punto)

1



2.-) La ESPE requiere construir un cerramiento cuyas dimensiones son 1.8 m. de alto por 96 m. de largo, mediante elementos circulares de 6 cm. de radio. Calcular la cantidad de varillas de 12 m. que se necesitan para fabricar estos elementos.

(1 punto)

3. Hallar el área de la estrella si el lado del triángulo equilátero es 3m. (1 punto)

Objetivos

Identificar las características más importantes de cada una de las figuras geométricas.

Conocer las fórmulas del perímetro y área de las figuras geométricas. Resolver problemas de perímetro y área de figuras geométricas.



Por favor, incluya el desarrollo completo de los ejercicios. Entregue las respuestas con dos cifras decimales de ser el caso. Tómese el tiempo necesario para contestar las preguntas, pero recuerde que


Criterios de

1



evaluación Grafica las figuras geométricas. Aplica las fórmulas correctas del área y perímetro de cada figura geométrica.

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Actividades de aprendizaje

Puntaje

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“En caso de que el examen sea estrictamente necesaria la consulta de tablas, fórmulas, esquemas

o gráficos, estos serán incluidos como parte del examen o en un anexo”.

EL EXAMEN SERÁ SIN CONSULTA.

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