1 Guia de Estudio Ecuaciones Diferenciales

En este curso cubriremos los tpicos y conceptos fundamentales de ecuacionesdiferenciales. Buscar soluciones a las edos numricamente es fundamental en laactualidad pero nosotros no lo cubriremos porque se lo hace mejor en el cursode anlisis numrico. Veremo muchas aplicaciones de las edo en varios camposaunque no todas las propuestas en su libro. Recordemos que un libro es unapropuesta de currculo y nosotros implementaremos uno basado en este libre yligeramente diferente al orden prouesto. Tenemos que estar bien atentos decmo vamos usando el libro para nuestros propsitos. Describo brevemente elplan de estudios para el siguiente examen con referencia al nuestro texto:

1. Tenemos cubiertas las secciones 1.1,1.2,1.3. T, por ejemplo, debe poderresponder a las siguientes preguntas: Qu es una ecuacin diferenciallineal ordinaria? Cul es la diferencia entre una ecuacin diferenciallineal y una no lineal? Para qu sirven las condiciones iniciales? En qucosiste un problema con valores iniciales?

2. T tienes que saber resolver ecuaciones del tipoy0(x) + P (x)y(x) = Q(x)

y(x0) = y0

ver recuadro pgina 51del texto, en este punto es importante el conceptode factor integrante (ver ejercicios de la primera prueba que adjunto abajoen caso de que necesiten)

3. Recordar que tambin resolvimos algunas ecuaciones no lineales como laecuacin de Bernoulli. Hallar la solucin de

y0 +2x

x2 + 1y =

1

(x2 + 1)2y2y(0) = 2

4. T debes saber escribir ecuaciones diferenciales que describan algunos pro-cesos fsicos, qumicos, de mezclas o ambientales como los que hemos dis-cutido en clase y en tu deber. En este punto tambin te recuerdo quedebes saber las Leyes de Newton que hemos utilizado, como por ejemplo,para describir el movimiento en los sistemas de masa-resorte con amor-tiguamiento y sin amortiguamiento que son ecuaciones diferenciales lin-eales de segundo orden con coecientes constantes.

5. Tienes que saber resolver ecuaciones del tipo ay00(t)+by0(t)+cy(t) = f(t).Primero resolviendo la ecuacin diferencial homognea (yh(t)) y luegohallando una solucin particular a la ecuacin diferencial no-homognea(yp(t)). Siguiente este esquema escribimos la solucin general de laecuacin diferencial no homognea. Finalmente usamos las condicionesiniciales para hallar la solucin que buscamos. Por ejemplo: hallar lasolucin general de las ecuaciones diferenciales siguientes

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(a) y00 y = 21 + ex

(b) yiv 16y = 2014(c) f 0000(t) 6f 000(t) + 12f 00(t) 8f 0(t) = e5t

6. Conceptos relacionados al tema anterior son: ecuacin caracterstica, con-junto de soluciones fundamentales, combinaciones lineales de funciones,funciones linealmente independientes, funciones linealmente dependientes,matriz deWronski y su determinante que es el Wronskiano (http://es.wikipedia.org/wiki/Wronskiano).Por ejemplo, Son las funciones sin(t); cos(t); ex; e2x linealmente indepen-dienes?

Problemas de la prueba anterior y algo ms:

7. Resolver las siguientes ecuaciones diferenciales lineales de primer orden

(a) dydt +12y = 2 + t con condicin inicial y(0) = 2

(b) y0 y = xe2014x con la c.i. y(0) = 1(c) xf 0(x) + 2f(x) = 4x2 con c.i f(1) = 2

8. Un tanque de 1000 galones de capacidad est parcialmente lleno con 100galones de salmuera (mezcla de sal y agua) que contiene una cantidadinicial de 10 libras de sal disuelta. A esta mezcla entra salmuera con 12libra de sal por galn a razn de 6 galonesminuto : El contenido del tanque est bienmezclado en cada instante y de l sale a razn de 4 galonesminuto de solucin.

(a) Calcule la cantidad de libras de sal que hay en el tanque a los 30 min-utos. (Deje expresada la respuesta en caso de existir algn clculonumrico complicado. Recuerde que no puede usar calculadora)

(b) Calcule la cantidad de libras de sal que hay en el tanque cuando estese llena a su maxima capacidad que es de 1000 galones.

Les adjunto de regalito un problema de antao que me encontr en un le ya arrumado entre las aventuras de man y las de Ela.Los comparto con cario y le pido resolver estos problemas

9. (Un problema que me hace recordar a algunos personajes de misantiguas caricaturas de las aventuras de Ela, sus amigas y porsupuesto, de la abuela de Ela) Gorbella (la erecilla domada) decideinvitar a todos sus compaeros a su esta de cumpleaos. Los amigossaben que ella es puntualsima al extremo, as que deciden todos llegar alas 7pm a su departamento y oh! sorpresa! encuentran una hoja pegadaen la puerta que dice " Mil disculpas, me olvid en la casa de la abuelade Ela el ponche de ciruelas y claudias pero entren noms. Acab desacar una torta de manzana y banana con grosellas del manso Guayas quepueden adelantarse con un pedazo hasta que yo regrese". Los compaerosentran al departamento y FriedErick dice "A que no adivinan a que hora

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sac el pastel del horno". CarHola exclama "demen 15 minutos y les digoexactamente a que hora sac el pastel del horno pero que nadie se mueva!"FriedErick paralizado acepta el reto. CarHola muy inteligentemente sacadel pequeo laboratorio casero de Gorbella un termmetro y anota que latemperatura de la sala es de 200C y chequea en el horno a la temperaturaque Gorbella ha sacado el pastel y est marcado a 1400C. Toma la tem-peratura del pastel y este est a 800C: Pone un disco de Roger Hodgson,comenta sobre el concierto del anterior Jueves en el Agora de la Casa dela Cultura y cuan fantstico estuvo. Los compaeros se aguantaron elhomenaje improvisado a Roger Hodgson por 15 minutos hasta que tomla temperatura nuevamente. Aha! est a 700C ! y se retira oyendo "Hidein your shell". Regresa en exactamente 5 minutos y les dice exactamentea la hora que Gorbella sac el pastel! FriedErick maravillado le pide quesea su novia y CarHola acepta solo si reproduce los clculos realizados porella en esos 5 minutos. FriedErick les regresa a ver a todos sus compaerosdesesperado y al unsono le gritan: "Te dijimos que estudies EcuacionesDiferenciales!" "Es la nica forma de conquistar a esta mujer". CarHolale dedica "Fools Overture" y se retira a picar zanahorias! FriedErick lespide a ustedes ahora viernes que lo ayuden a resolver este problema y yo lospido que por favor lo hagan. Vamos! vamos! Asumiendo que Gorbellasac el pastel del horno y sali corriendo a buscar el ponche de ciruelasy claudias. A que hora sali de casa?. Nota: Si adivinan la cancinfavorita de CarHola (Cantada por Roger Hodgson por supuesto) tienenun punto extra al promedio nal y si me ayudan a determinar cuandoexactamente escrib esta historia para la revista de las aventuras de Elales doy otro punto.

10. (Este es un problema de un examen de antao) Considere untanque cnico de 8 m de profundidad con un radio de 8 m en el topesuperior del tanque. El tanque est inicialmente vaco. Se adiciona aguaa una tasa de 2 (m3=min). Una vlvula en el fondo del tanque dejasalir agua a una tasa proporcional a la profundidad del agua (la constantede proporcionalidad es ): El agua de la supercie se evapora del tanquea una tasa proporcional al rea de la supercie del agua (constante deproporcionalidad igual a 1).

(a) Se llega a llenar el tanque?. Si la respuesta es armativa, determineel tiempo en el que se llena. Si el tanque nunca llega a llenarsedeterminar el volmen lmite al que podra alcanzar.

(b) Hallar una relacin (implcita) entre la profundidad al que llega elagua y el tiempo.

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