Asignatura: Matemática Año Escolar: 2013-2014 Lapso: 2do Año: 5to Secciones: A-B-C Docente: Lcdo. Molero G. Renso M.

UNIDAD EDUCATIVA COLEGIO

“LOS PIRINEOS DON BOSCO”

INSCRITO EN EL M.P.P.L

N° S2991D2023

RIF: J-09009977-8

INSTRUCCIONES: 1) La guía de ejercicios se desarrollará en el cuaderno respectivo a la asignatura. 2) Los ejercicios se deben realizar de la manera en que se desarrollan en la Guía

NOTA: Esta guía didáctica está basada en el Libro Texto Matemática II (William Suarez) y Objetivo Nuevo 3.2 señalado en el Plan de Lapso-

GUIA DIDACTICA

MATEMATICA 5to

PARABOLA

GEOMETRIA EN EL PLANO

PARABOLA: Es el lugar geométrico de los puntos del plano que equidistan de un punto fijo “F” llamado foco y de una recta fija llamada directriz.

Elementos de la parábola:

D es la directriz

F es el foco

Eje focal ó eje de la parábola ó eje de simetría es la recta perpendicular (eje y) a la directriz que pasa por el foco y el vértice.

El vértice V es el punto de intersección de los ejes con la parábola. Es el punto medio de AF, punto medio entre el foco y la directriz.

El parámetro p es la distancia del foco al vértice

El lado recto es el segmento perpendicular al eje de la parábola. El lado recto RS tiene como longitud cuatro veces la distancia del vértice al foco.

TIPOS DE PARABOLAS: FORMULAS: 1) Ecuación Canónica de la Parábola Vertical Positiva 2) Ecuación Canónica de la Parábola Vertical Negativa

𝑥2 = 4𝑝𝑦 𝑥2 = −4𝑝𝑦 P es positivo P es negativo

Vértice es el origen de coordenadas V(0,0) Vértice es el origen de coordenadas V(0,0)

Foco de la Parábola F(0,p) Foco de la Parábola F(0,–p)

Directriz (D) es la recta y = -p Directriz (D) es la recta y = p

Lado Recto |4𝑝| Lado Recto |4𝑝|

FORMULAS: 3) Ecuación Canónica de la Parábola Horizontal Positiva 4)Ecuación Canónica de la Parábola Horizontal Negativa

𝑦2 = 4𝑝𝑥 𝑦2 = −4𝑝𝑥 P es positivo P es negativo

Vértice es el origen de coordenadas V(0,0) Vértice es el origen de coordenadas V(0,0)

Foco de la Parábola F(p,0) Foco de la Parábola F(–p,0)

Directriz (D) es la recta x = -p Directriz (D) es la recta x = p

Lado Recto |4𝑝| Lado Recto |4𝑝|

PROCEDIMIENTO PARA GRAFICAR LA PARABOLA: 1. Se realiza el Plano Cartesiano:

- Se dibujan los Ejes (x,y), sus longitudes deben ser cuatro veces el valor de “p”, es decir 4p

- Se escriben los números en cada Eje, separados por 1 centímetro cada uno.

2. Utilizando las coordenadas del Vértice, se ubica y señala con un punto (•).

3. Utilizando las coordenadas del Foco, se ubica y señala con un punto (•). 4. Utilizando las coordenadas el punto de intersección “A” con la Recta Directriz “D”, se ubica y señala con

un punto (•). 5. Se dibuja la Recta Directriz “D”, paralela al eje que corresponda a la respectiva Ecuación de la Parábola,

señalado en los Tipos de Parábolas.

6. (Opcional). Si se tiene el valor del Lado Recto de la Parábola, se dibuja y ubican los puntos “R” y “S”,

sabiendo que el Foco es el punto medio del Lado Recto. Nota: observar los Tipos de Parábolas.

7. Se dibuja una CURVA que pase por los siguientes puntos: R - V - S:

- Dependiendo del Tipo de Parábola (Observar las gráficas de cada tipo de parábola), la CURVA se

dibujará hacia arriba ó hacia abajo ó hacia la derecha ó hacia la izquierda.

GUIA DE EJERCICIOS

PARÁBOLA

NOTA: Esta guía didáctica está basada en el Libro Texto Matemática II (William Suarez) y Objetivo Nuevo 3.2 señalado en el Plan de Lapso I.- Parte: Analiza con cuidado cada una de los ejercicios y determina lo requerido en cada ejercicio: Ejercicio Propuesto.- Dada la ecuación de la parábola y2 = 8x. Determinar: a) las coordenadas del foco y el vértice b) la longitud del lado recto c) la ecuación de la directriz.

CALCULAR: a) F(x,y): ¿? V(x,y): ¿? b) Lado Recto: ¿? c) Directriz: ¿?

a)

𝐹(𝑝, 0) y 𝑉(0,0) Se escribe la expresión matemática del FOCO y VERTICE para este tipo de Parábola

𝑦2 = 4𝑝𝑥 ↔ 𝑦2 = 8𝑥 Se escribe la fórmula de la Ecuación Canónica de la Parábola Horizontal Positiva y la Ecuación del Ejercicio para luego determinar el valor de p

𝑦2 = 𝟒𝒑𝑥 ↔ 𝑦2 = 𝟖𝑥 Se comparan las Ecuaciones para deducir que valor le corresponde a 4p

4𝑝 = 8 → 𝑝 =8

4 → 𝒑 = 𝟐 Se despeja p y se determina su valor

𝑭(𝟐, 𝟎) y 𝑽(𝟎, 𝟎) Se identifican las coordenadas del FOCO y el VERTICE

b)

𝐿𝑎𝑑𝑜 𝑅𝑒𝑐𝑡𝑜 = |4𝑝| Se escribe la fórmula del Lado Recto de la Parábola

𝐿𝑎𝑑𝑜 𝑅𝑒𝑐𝑡𝑜 = |4.2| = |8| Se sustituye el valor de p en la fórmula y se realiza la operación respectiva

𝑳𝒂𝒅𝒐 𝑹𝒆𝒄𝒕𝒐 = |𝟖| = 𝟖 Se resuelve el valor absoluto y se determina el valor del Lado Recto de la Parábola

c) 𝐷: 𝑥 = −𝑝

Se escribe la expresión matemática de la DIRECTRIZ (D) para este tipo de Parábola

𝑫: 𝒙 = −𝟐 Se sustituye el valor de p y se determina la Ecuación de la Recta Directriz

Ejercicio 1.- Dada la ecuación de la parábola y2 = 4x. Determinar: a) las coordenadas del foco y el vértice b) la longitud del lado recto c) la ecuación de la directriz. Ejercicio Propuesto.- Dada la ecuación de la parábola x2 = 12y. Determinar: a) las coordenadas del foco y el vértice b) la longitud del lado recto c) la ecuación de la directriz.

CALCULAR: a) F(x,y): ¿? V(x,y): ¿? b) Lado Recto: ¿? c) Directriz: ¿?

a)

𝐹(𝑜, 𝑝) y 𝑉(0,0) Se escribe la expresión matemática del FOCO y VERTICE para este tipo de Parábola

𝑥2 = 4𝑝𝑦 ↔ 𝑥2 = 12𝑦 Se escribe la fórmula de la Ecuación Canónica de la Parábola Horizontal Positiva y la Ecuación del Ejercicio para luego determinar el valor de p

𝑥2 = 𝟒𝒑𝑦 ↔ 𝑥2 = 𝟏𝟐𝒚 Se comparan las Ecuaciones para deducir que valor le corresponde a 4p

4𝑝 = 12 → 𝑝 =12

4 → 𝒑 = 𝟑 Se despeja p y se determina su valor

𝑭(𝟎, 𝟑) y 𝑽(𝟎, 𝟎) Se identifican las coordenadas del FOCO y el VERTICE

b)

𝐿𝑎𝑑𝑜 𝑅𝑒𝑐𝑡𝑜 = |4𝑝| Se escribe la fórmula del Lado Recto de la Parábola

𝐿𝑎𝑑𝑜 𝑅𝑒𝑐𝑡𝑜 = |4.3| = |12| Se sustituye el valor de p en la fórmula y se realiza la operación respectiva

𝑳𝒂𝒅𝒐 𝑹𝒆𝒄𝒕𝒐 = |𝟏𝟐| = 𝟏𝟐 Se resuelve el valor absoluto y se determina el valor del Lado Recto de la Parábola

c) 𝐷: 𝑥 = −𝑝

Se escribe la expresión matemática de la DIRECTRIZ (D) para este tipo de Parábola

𝑫: 𝒙 = −𝟑 Se sustituye el valor de p y se determina la Ecuación de la Recta Directriz

Ejercicio 2.- Dada la ecuación de la parábola x2 = 16y. Determinar: a) las coordenadas del foco y el vértice b) la longitud del lado recto c) la ecuación de la directriz.

Ejercicio Propuesto.- Encontrar la ecuación de la parábola cuyo foco está sobre el eje y a una distancia de 3 unidades por debajo del origen y la directriz es paralela al eje x, pasando por el punto A(0, 3). Realiza su gráfica:

CALCULAR: Determinar la Ecuación de la Parábola

- Foco esta sobre el eje Y. - Foco esta distanciado 3 unidades por debajo del origen.

𝑭(𝟎, −𝟑)

Se analiza la información del ejercicio con respecto al FOCO

La Parábola abre hacia abajo debido a que el Foco esta

en 𝑭(𝟎, −𝟑) Por lo tanto le corresponde la Ecuación 𝒙𝟐 = −𝟒𝒑𝒚

Se describe si la Parábola abre hacia abajo ó hacia arriba, y se determina la respectiva Ecuación Canónica de la Parábola

- Directriz es paralela al eje X. - Directriz pasa por el Punto A(0,3).

𝐴(0,3) → 𝐴(0, 𝑝) entonces 𝒑 = 𝟑

Se analiza la información del ejercicio con respecto a la DIRECTRIZ

𝑥2 = −4𝑝𝑦 → 𝑥2 = (−4). 3𝑦 → 𝒙𝟐 = −𝟏𝟐𝒚 Se sustituye el valor de p; y se determina la Ecuación de la Parábola

Gráfica de la Parábola

Ejercicio 3.- Encontrar la ecuación de la parábola cuyo foco está sobre el eje y a una distancia de 2 unidades por abajo del origen y la directriz es paralela al eje X, pasando por el punto A(0, 2). Realiza su gráfica: Ejercicio Propuesto.- Encuentra la ecuación de la parábola cuyo vértice está en el origen, si se sabe que la directriz es la recta de ecuación x – 5 = 0:

CALCULAR: Determinar la Ecuación de la Parábola

- Vértice es el origen.

𝑽(𝟎, 𝟎)

Se analiza la información del ejercicio con respecto al VERTICE

- Directriz es la recta de ecuación x – 5 = 0 x = 5.

𝑫: 𝒙 = 𝟓 por lo que 𝑫: 𝒙 = 𝒑 entonces 𝒑 = 𝟓

Se analiza la información del ejercicio con respecto a la DIRECTRIZ

- La Parábola abre hacia la izquierda debido a que la Directriz es

𝑫: 𝒙 = 𝟓, la cual es una recta paralela al lado derecho del eje Y; por lo

tanto le corresponde la expresión matemática 𝑦2 = −4𝑝𝑥

Se describe si la Parábola abre hacia la izquierda ó hacia la derecha, y se determina la respectiva Ecuación Canónica de la Parábola

𝑦2 = −4𝑝𝑥 → 𝑦2 = (−4). 5𝑥 → 𝒚𝟐 = −20𝒙 Se sustituye el valor de p; y se determina la Ecuación de la Parábola

Ejercicio 4.- Encuentra la ecuación de la parábola cuyo vértice está en el origen, si se sabe que la directriz es la recta de ecuación x + 2 = 0: