LA PARABOLA

La parbola es el lugar geomtrico de los puntos del plano que equidistan de un punto fijo llamado foco y de

una recta fija llamada directriz. De forma matemtica se expresa de la siguiente manera:

(, ) = (, )

Ecuacin de la Parbola

Por la definicin anterior sabemos que una parbola est dada por una igualdad de distancias, Son los puntos

que equidistan del Foco y de la Directriz, es decir:

(, ) = (, )

Entonces dice que debemos encontrar la distancia que hay entre el punto F y el punto Q. Recordemos que la

frmula para obtener la distancia de un punto a otro es:

= (2 1)2 + (2 1)2

Necesitamos las coordenadas de nuestros dos puntos las cuales son, = (, ) y (, ), entonces sustituimos en nuestra formula y nos queda:

= ( )2 + ( 0)2

Simplificamos y nos queda:

= ( )2 + 2

Componentes de la Parbola

1. Foco: Es el punto fijo F

2. Directriz: Es la recta fija D

3. Parmetro: Es la distancia del foco a la directriz, se designa por la

letra p.

4. Eje: Es la recta perpendicular a la directriz que pasa por el foco.

5. Vrtice: Es el punto de interseccin de la parbola con su

eje.

6. Radio Vector: Es un segmento que une un punto cualquiera de la

parbola con el foco.

= (, )

: =

(, )

Entonces ya tenemos (, ) y lo sustituimos en la igualdad:

( )2 + 2 = (, )

Pero an nos falta obtener la distancia del punto Q a la Directriz, y la obtendremos de la siguiente manera:

En esta grfica nos muestra que la distancia de la Directriz al eje es p,

entonces solo debemos encontrar la distancia que falta del eje al

punto Q, el cual por sus coordenadas sabemos que es x. Entonces

concluimos que la distancia de la Directriz al punto Q es p+x.

Entonces ya tenemos la otra distancia y la sustituimos en nuestra

igualdad:

( )2 + 2 = +

Ahora lo que haremos ser desarrollar lo que tenemos hasta darle la

forma de la ecuacin de la parbola.

( )2 + 2 = ( + )2

2 2 + 2 + 2 = 2 + 2 + 2

Simplificamos y nos queda que:

2 + 2 = 2

Y por ltimo obtenemos la ecuacin que buscbamos:

2 = 4

= (, )

: =

(, )

Observaciones:

2 = 4 Horizontal positiva con vrtice en el origen. F (p , 0) y D: x=-p

2 = 4 Horizontal negativa con vrtice en el origen. F (-p , 0) y D: x=p

2 = 4 Vertical positiva con vrtice en el origen. F (0 , p) y D: y=-p

2 = 4 Vertical negativa con vrtice en el origen. F (0 , -p) y D: y=p

( )2 = 4( ) Horizontal positiva con vrtice en (a , b). F (p+a , 0) y D: x=a-p

( )2 = 4( ) Horizontal negativa con vrtice en (a , b). F (a-p,0) y D: x=p+a

( )2 = 4( ) Vertical positiva con vrtice en ( a , b). F (0 , p+b) y D: y=b-p

( )2 = 4( ) Vertical negativa con vrtice en (a , b). F (0 , b-p) y D: y=p+b

EJERCICIOS:

1. Dibuja un boceto de la parbola segn la forma de su ecuacin:

2 = 4

( )2 = 4( )

2 = 4

2. Dada la parbola 2 = 8, calcula su vrtice, su foco y la recta directriz. (Nota: 4p=8)

3. Dada la parbola 2 = 12, calcula su vrtice, su foco y la recta directriz.

4. Dada la parbola ( 2)2 = 8( 3), calcula su vrtice, su foco y la recta directriz.

5. Dada la parbola ( 3)2 = 8( 2), calcula su vrtice, su foco y la recta directriz.

6. Determina las ecuaciones de las parbolas que tienen los siguientes datos:

a. Directriz x=-3 y F(3,0)

b. F(2,0) y vrtice (0,0)

c. Directriz y=4 y vrtice (0,0)

d. F(3,2) y vrtice (5,2)

7. Calcula las coordenadas del vrtice de los focos y las ecuaciones de las directrices de las parbolas:

a. 2 6 8 + 17 = 0

b. = 2 6 + 11

8. Escribe la ecuacin de la parbola de eje paralelo a OY, vrtice en OX y que pasa por los puntos A(2,3) y

B(-1,12).

LA CIRCUNFERENCIA

La circunferencia es el lugar geomtrico de los puntos del plano que equidistan de un punto fijo llamado

centro.

Componentes de la Parbola

1. C (centro): Es el punto fijo F

2. r (radio): Es la distancia de C a cualquier punto de la

circunferencia.

3. parbola con el foco.

Ecuacin de la Circunferencia

Como ya se dijo en la definicin, son todos los puntos que equidistan a un punto C de forma matemtica lo

expresamos como:

Entonces dice que debemos encontrar la distancia que hay entre el punto C y el punto P. Recordemos que la

frmula para obtener la distancia de un punto a otro es:

= (2 1)2 + (2 1)2

Sustituimos las coordenadas de nuestros puntos en la frmula y al sustituirlo en la igualdad no queda:

Y si pasamos la raz como cuadrado obtendremos la ecuacin de la circunferencia:

EJERCICIOS:

1. Escribir la ecuacin de la circunferencia de centro (3, 4) y radio 2

2. Dada la circunferencia de ecuacin 2 + 2 2 + 4 4 = 0, hallar el centro y el radio.

Observaciones:

Forma Implcita Forma Explicita

Centro en Origen Centro fuera del Origen

(0 , 0) ( , )

3. Hallar la ecuacin de la circunferencia que pasa por los puntos A(2,0), B(2,3) y C(1,2).

4. Calcular la ecuacin de la circunferencia que tiene su centro en (2,-3) y es tangente al eje de las

abscisas.

5. Calcula la ecuacin de la circunferencia que tiene su centro en el punto de interseccin de la rectas

+ 3 + 3 = 0, + + 1 = 0 y su radio es igual a 5.

6. Los extremos del dimetro de una circunferencia son los punto A(-5,3) y B(3,1). Cul es la ecuacin de

esta circunferencia?

7. Hallar la ecuacin de la circunferencia que pasa por los puntos A(2,1) y B(-2,3) y tiene su centro sobre la

recta: + + 4 = 0.

LA ELIPSE

La elipse es el lugar geomtrico de los puntos del plano cuya suma de distancias a dos puntos fijos llamados

focos es constante.

Componentes de la Parbola

1. Focos: Son los puntos fijos F y F

2. Eje focal: Es la recta que pasa por los focos.

3. Eje secundario: Es la mediatriz del segmento FF

4. Centro: Es el punto de interseccin de los ejes.

5. Radios vectores: Son los segmentos que van desde un

punto de la elipse a los focos: PF y

PF.

6. Distancia Focal: Es el segmento FF de longitud 2c, c es el valor de

la semidistancia focal.

7. Vrtices: Son los puntos de interseccin de la elipse con los

ejes: A, A, B y B.

Eje mayor: Es el segmento AA de longitud 2a, a es el valor del

segmento mayor

Eje menor: Es el segmento BB de longitud 2b, b es el valor del semieje

menor.

Ejes de simetra: Son las rectas que contienen al eje mayor o al eje menor

Centro de simetra: Coincide con el centro de la elipse, que es el punto

de interseccin de los ejes de

simetra.

Ecuacin reducida de la elipse

Tomamos como centro de la elipse el centro de coordenadas y los ejes de la elipse como ejes de

coordenadas. Las coordenadas de los focos son:

F'(-c, 0) y F(c, 0)

Cualquier punto de la elipse cumple:

Esta expresin da lugar a:

Realizando las operaciones llegamos a:

Ejemplo

Dada la ecuacin reducida de la elipse , hallar las coordenadas de los vrtices de

los focos y la excentricidad.

Ecuacin de la elipse

Si el centro de la elipse C(x0,y0) y el eje principal es paralelo a OX, los focos tienen de

coordenadas F(X0+c, y0) y F'(X0-c, y0). Y la ecuacin de la elipse ser:

Al quitar denominadores y desarrollar se obtiene, en general, una ecuacin de la forma:

Donde A y B tienen el mismo signo .

Ejemplos

Hallar la ecuacin de la elipse de foco F(7, 2), de vrtice A(9, 2) y de centro C(4, 2).

Dada la elipse de ecuacin , hallar su centro, semiejes, vrtices y

focos.

Ecuacin de eje vertical de la elipse

Si el centro de la elipse C(x0,y0) y el eje principal es paralelo a OY, los focos tienen de

coordenadas F(X0, y+c) y F'(X0, y0-c). Y la ecuacin de la elipse ser:

Ejercicios

Representa grficamente y determina las coordenadas de los focos, de los vrtices y la

excentricidad de las siguientes elipses.

1

2

3

4

Halla la ecuacin de la elipse conociendo:

1

2

3

4

Escribe la ecuacin reducida de la elipse que pasa por el punto (2, 1) y cuyo eje menor mide 4.

La distancia focal de una elipse es 4. Un punto de la elipse dista de sus focos 2 y 6,

respectivamente. Calcular la ecuacin reducida de dicha elipse.

Determina la ecuacin reducida de un elipse cuya distancia focal es y el rea del rectngulo

construidos sobre los ejes 80 u2.

Determina la ecuacin reducida de una elipse sabiendo que uno de los vrtices dista 8 de un

foco y 18 del otro.

Halla la ecuacin reducida de una elipse sabiendo que pasa por el punto (0, 4) y su excentricidad

es 3/5.