UNIVERSIDAD DE CONCEPCIÓN DEPARTAMENTO DE INGENIERÍA METALÚRGICA

FACULTAD DE INGENIERÍA

GUÍA DE EJERCICIOS Nº1 ESTÁTICA DE FLUIDOS

Profesor : Arturo Barrientos Ayudantes : Leonel Badilla - Álvaro Aracena Fecha : 21 de Abril de 2010 1. Un fluido incompresible está en reposo e inmerso en un campo de fuerzas de cuerpo dado por:

zy,x, F^

)( = (2x-yz2) i + (2y-xz2) j - 2xyz k a) Demostrar que se satisface la condición necesaria para que sea posible el equilibrio mecánico. b) Encontrar la expresión correspondiente al campo de presiones. 2. Una gran esfera, de radio R, formada por un líquido incompresible, de densidad ρ, está aislada en el espacio, de modo que la masa líquida sólo está sometida a su propio campo gravitatorio y se encuentra en equilibrio. Demostrar que el campo de presiones p en un punto genérico situado a una distancia r del centro de la esfera viene dada por:

2220 rRG

3π2pp

donde G es la constante de gravitación universal y po es la presión en la superficie libre exterior. 3. Para un fluido newtoniano, deduzca justificadamente las siguientes expresiones:

gvv 0,v 2pDtD

4. Encontrar la diferencia de presiones entre los tanques A y B de la figura, sabiendo que: h1=30 cm, h2=15 cm, h3=46 cm, h4=20 cm y dHg=13.6

5. Cuando se requiere una gran precisión en la medición de presiones se utiliza un micromanómetro. En el sistema se utilizan dos líquidos no miscibles con pesos específicos 1 y 2, respectivamente. Se supone que los fluidos en los tanques E y B, cuya diferencia de presión quiere medirse, son gases con pesos específicos insignificantes. Calcule la diferencia de presión pE – pB en función de , d, 1 y 2. Si el área transversal del tubo del micromanómetro es “a” y las áreas de la sección transversal de los tanques C y D son “A”. Determine en función de d mediante consideraciones geométricas. Explique por qué si se tiene a/A muy pequeño y 1, casi igual a 2, una pequeña diferencia de presiones pE-pB causará un desplazamiento d grande, haciendo de esta manera un instrumento muy sensible. 6. Calcule la diferencia de presión entre los centros de los tanques A y B. Si el sistema completo se rota 180º alrededor del eje MM, ¿Que cambios en la presión entre los tanques serán necesarios para mantener inalterables las posiciones de los fluidos?.

7. Determine cuál de las tuberías A o B se encuentra a mayor presión. Justifique su respuesta. Datos: ρr Hg=13.6, γaceite=9 kN/m3, γCCl4=15.6 kN/m3. 8. Un manómetro está acoplado entre dos depósitos tal como se muestra en la figura. Determine cual de las cámaras, A o B, se encuentra a mayor presión. Justifique su respuesta. Datos ρr Hg = 13.6, γaceite = 9 kN/m3, γCCl4= 15.6 kN/m3. 9. Para el sistema en equilibrio de la figura se tiene: h1 = 180 cm, h2 = 250 cm, Peso especifico Hg = 1313280 N/m2. a) Calcule la presión del gas A, b) La lectura del manómetro (1) considerando que el manómetro (2) indica una presión de 115000 N/m2 del gas B.

10. Un bloque de aluminio (ρ=2.7 gr/cm3), de masa 2 kg, está en el seno del recipiente con agua colgado de una cuerda unido a una balanza. ¿Cuál es la lectura de la balanza? 11. Para determinar la densidad de un mineral insoluble en agua, se toma una muestra del mismo cuyo peso es 150 g. Sobre el plato de una balanza monoplano se coloca un vaso de laboratorio que contiene agua, entonces, la balanza indica 720 g. A continuación, se introduce la muestra de mineral en el agua, colgada de un hilo ligero, de modo que no toque ni con las paredes ni con el fondo del vaso y que quede totalmente sumergida, en estas condiciones, la balanza indica 775 g. a) Calcular la densidad del mineral, b) Calcular la tensión del hilo. 12. Un bloque de material con un volumen de 0.028 m3 y con un peso de 290 N se sumerge en agua. Una barra de madera de 3.3 m de longitud y sección transversal de 1,935 mm se une al bloque y a la pared. Si la barra pesa 13 N, ¿cuál será el ángulo θ en el equilibrio?

A1 Agua

g P0

13. Determinar el ángulo que forma con la horizontal la superficie libre de los líquidos en cada uno de los dispositivos que se muestran en las figuras siguientes. En ambos dispositivos se despreciará la fricción de las ruedecillas y la resistencia del aire 14. Un tubo capilar en U, usando mercurio como fluido manométrico, se usa para medir la caída de presión en una cañería circular que conduce agua (que puede considerarse un fluido newtoniano), tal como se muestra en la figura. Los extremos “a” y “b del capilar están conectados a la cañería. Debido a efectos de tensión superficial, existe un salto de presiones a través de las dos interfaces agua/mercurio. El ángulo de contacto tubo/mercurio/agua es mayor de 90º y el menisco tiene forma esférica. Encuentre una ecuación para la caída de presión en el tubo principal, es decir pa-pb, en función de la diferencia de altura “H”, entre las cimas de ambos meniscos.

Tensión superficial σ Ángulo de contacto θC Mercurio densidad ρm

Tubo de radio R Tensión superficial σ Ángulo de contacto θC

Agua densidad ρa a b

H

Cañería conduciendo agua

g

15. Un tubo en “U”, cerrado por uno de sus extremos, colocado con sus ramas verticales y completamente lleno de mercurio, gira alrededor de un eje vertical definido por su rama abierta, a razón de 120 rpm. Calcular las presiones manométricas en los puntos B, C y D. 16. Calcule la presión manométrica mínima “p” del agua en la localización mostrada e la figura, en N/m2, de tal manera que el tapón de goma en forma de cono invertido sea levantado. El peso del cono es de 2 kgf. Desprecie efectos interfaciales y suponga g=9.81 m/s2. Suponga al agua como un líquido incompresible de densidad 1 g/cm3. 17. Dada la compuerta A-B de ancho w, mostrada en la figura, que separa 2 líquidos, de densidad ρ1 y ρ2, respectivamente. Encontrar la fuerza neta resultante sobre la compuerta en función de θ y la altura H.

ρ1 ρ2

θ

A

B

H

P0 P0

H=75 cm

15 cm

d=20 cm

D=25 cm

P

agua

g

18. Para la compuerta de la figura, Calcule: a) La fuerza resultante en kgf que ejerce el agua sobre la compuerta. b) El torque resultante en kgfm, que ejerce el agua sobre la compuerta. c) El centro de presiones de la fuerza resultante. d) La reacción en kgf, en el pivote A. e) La reacción en la pared en kgf, punto B (suponga la pared lisa. f) ¿Donde debería aplicar la fuerza exterior sobre la compuerta para que la reacción en el pivote sea nula, si es posible?, en caso positivo, determinar esa fuerza exterior.

5 m1 m

Agua

Aire

.

A

B

19. Para la figura mostrada: a) Determinar la fuerza total debida a la presión del agua sobre la compuerta inclinada, de 3 m de ancho, que se muestra en la figura. b) Calcular el momento de dicha fuerza respecto a la bisagra. c) Localizar la línea de acción de dicha fuerza resultante. d) Determinar la reacción de la solera sobre el borde inferior de la compuerta.

5 m

Agua

Aire

A

B

1.5 m

300

1 m

20. Calcule la magnitud y la dirección de la fuerza resultante que ejerce el aceite sobre un cilindro de 3 m de longitud y 0.5 m de radio, tal como se muestra en la figura. Peso específico del aceite es 915 kg/m3.

o

Aire

Aceite

Aceite

.R

21. La figura muestra una compuerta recta, construida de un material sólido de densidad variable y que se encuentra pivoteada en “O”. La compuerta sirve para controlar el paso de

un líquido (que se puede suponer un fluido incompresible, de peso específico γ) hacia un túnel de descarga. Una fuerza F exterior (normal a la compuerta) mantiene la compuerta cerrada. La compuerta está construida de un material sólido de densidad variable, de

acuerdo a la ecuación

dg1-1C , donde C es una constante y “d” es la distancia

desde un punto sobre la comp0uerta hasta el origen. Una plancha de acero, empotrada en la parte superior, impide que la compuerta gire más allá del ángulo θ mostrado en la figura. El espesor “e” de la compuerta es relativamente muy delgado, mientras “W” es el ancho de la compuerta en la dirección perpendicular a la figura. Suponga los siguientes valores para los cálculos: γ=1000 kgf/m3, H=10 m, ℓ=5 m, W=6 m, e=20 cm, C =4500 kgf/m3, θ=52º. a) Calcule la fuerza debida al líquido sobe la compuerta, en kgf, b) Calcule el peso de la compuerta, en kgf, c) Calcule el torque sobe la compuerta debido al líquido, con respecto al origen, en lbf x pie, d) Calcule el torque sobre la compuerta, debida a su propio peso y con respecto al origen, en kgf x m, e) Encuentre el centro de presiones de la fuerza debida al agua sobre la compuerta, con respecto al origen, en m, f) Encuentre el centro de presiones (o centro de gravedad) del peso de la compuerta, con respecto al origen, en m, g) Calcule la fuerza externa mínima FMIN necesaria para mantener la compuerta cerrada, en lbf, h) Calcule la reacción en el pivote, en kgf, si F=1.5 FMIN, i) Calcule la reacción en la placa de acero (suponga que es perpendicular a la placa) si F=1.2 FMIN, en N. 22. La compuerta que se muestra en la figura, está compuesta de un semi-circulo de radio R=1 m y una placa vertical. La compuerta controla el paso del agua, de peso específico 1000 kgf/m3. La compuerta está pivoteada en “O” y puede girar libremente con respecto a este punto. La compuerta está construida de un material de densidad uniforme y

H

P0 y

x

P0

F

g

γ

ℓ

θ

O

su espesor puede despreciarse. El centro de gravedad de la compuerta se ubica a una distancia 5R/4 a la izquierda de “O”, tal como se muestra en la figura. La altura del agua es h=5 m. Determine: a) La fuerza debido al agua sobre la compuerta, en N, b) El torque neto ejercido por el agua sobre la compuerta, con respecto al pivote “O”, en Nm, c) E centro de presiones de la fuerza que ejerce el agua sobre la compuerta, en m, d) El peso de la compuerta P para mantener la compuerta en la posición mostrada, en N, e) La reacción en el pivote, en N. Considere la aceleración de gravedad igual a 9.81 m/s2. 23. Un recipiente cilíndrico con su extremo abierto hacia abajo está flotando sobre un líquido de densidad ρ = 62.4 lbm/pie3, tal como se muestra en la figura. El recipiente, de peso W, está sostenido por aire que está atrapado en su interior. Suponiendo que el aire sigue la ley de Boyle (situación a), a) Determine x1, la distancia entre la superficie exterior e interior del líquido y la presión del aire encerrado para las condiciones mostradas, con h=35 cm. b) Determine x2 y la presión del aire atrapado, cuando el recipiente se encuentra totalmente sumergido (situación b), debido a una fuerza externa F. Determine también la fuerza F necesaria para que se dé esta situación. Datos: Área seccional interior del recipiente A: 400cm2 Peso del recipiente W: 35 lbf, Presión atmosférica local p0: 1.033 kgf/cm2, Aceleración de gravedad g: 32.17 pies/s2, Todos los resultados deben ser expresados en MKS.

R/4 P

h

y

x

g

aire

aire

24. Una represa rígida está construida de un material de densidad ρR. La represa tiene una altura h. ¿Cuál es el ancho mínimo b de la represa necesario para que ella sea estable cuando agua de densidad ρ alcance la parte superior de la represa? En la base existe filtración de agua, de tal forma que la base está sometida a la presión hidrostática del agua correspondiente a esa altura. 25. Una varilla homogénea muy delgada (su centro de gravedad está en el centro), de longitud 2ℓ, flota parcialmente en agua, siendo ajustada por uno de sus extremos por un cordel, tal como se muestra en la figura. Si la gravedad específica de la varilla es 0.75, encuentre la longitud de la varilla x, que se encuentra sumergida dentro del agua. Encuentre también la tensión a que está sometido el cordel.

p1

p2

p0

ρ x1

F h

x2

g

ρR ρ

represa

suelo

b

h

P0 g

g

W

x

ℓ Cordel que sujeta varilla

θ P0

agua

26. Un tubo capilar de longitud L=20 cm y diámetro interior D=0.01 mm, inicialmente está lleno de aire en condiciones ambientales, p0=1 atm y T=15ºC. Uno de sus extremos es cerrado. El tubo se introduce en el agua por su extremo abierto, tal como se muestra en la figura. Por efectos de capilaridad, el agua asciende por el tubo, comprimiendo el aire atrapado, alcanzándose un equilibrio a la altura “h” mostrada. La longitud sumergida del tubo es de d=1 cm. El ángulo de contacto agua/aire/tubo es de 0º y la tensión superficial agua/aire es de 75 dinas/cm. Calcule la altura de ascensión del agua h, en cm y la sobre-presión del aire atrapado, en kgf/cm2. Suponga que nada del aire en el tuvo se escapa de él al sumergirlo. Suponga también que el aire es un gas ideal y que la compresión del aire se efectúa a temperatura constante. 27. Un estanque, que contiene un líquido incompresible, se desliza por un plano inclinado, tal como se muestra en la figura. El coeficiente de fricción dinámico entre el estanque y el plano es γ. Si el estanque está acelerando uniformemente hacia abajo, encuentre el ángulo β en función de γ. Desprecie la resistencia del aire. 28. La compuerta AB, pivoteada en B, tiene la forma de un cuarto de circunferencia y sostiene 15 pies de agua, tal como se muestra en la figura. Despreciando el peso de la compuerta, determine la magnitud, en N, y el centro de presiones, en m, de la fuerza debida al agua sobre la compuerta y el torque, en kgfm, que debe aplicarse en el pivote B para mantener a la compuerta en equilibrio. Suponga para el agua un peso específico de =998 kgf/m3. Calcule también la reacción en B, en lbf.

aire

h

d

L g

P0

β

α

g

29. Dos cubos de hielo idénticos, de aristas iguales a “a” se encuentran flotando en agua, separados por una distancia “b” muy pequeña, en perfecto paralelismo entre sus caras más cercanas, tal como se muestra en la figura. Como consecuencia de los efectos capilares, el agua sube por el espacio entre los cubos. El ángulo de contacto agua/aire/hielo es de 0º. La densidad del agua es ρa y la del hielo es ρh, ρh < ρa. Suponga que el menisco formado tiene la forma de un sector de la superficie curva de un cilindro circular. La curvatura media de la superficie curva de un cilindro circular está dada por ±1/2R, donde R es el radio del cilindro. a) Los cubos ¿se atraen o se repelen? Fundamente su respuesta. b) Encuentre una expresión para la fuerza de atracción o repulsión entre los cubos. c) Determine la altura “h” de ascensión capilar del agua entre los cubos, d) Determine la distancia crítica, bcrit, para la cual el agua rebalsará.

P0 A

B

15 pies

Ancho=10 pies

P0

g

aire g