GUIA Nº2. CALCULO I. INGENIERIA.

La Recta. 1.- Los vértices de un cuadrilátero son los puntos ( 1,3 ), ( 7,3 ), ( 9,8 ) y ( 3,8 ).

Demostrar que el cuadrilátero es un paralelogramo.

2.- Demostrar que los puntos A( 1,1+2 3 ), B( )3,3 y C( 2 3 -1,-1 ) son colineales.(No usar pendiente).

3.- Determinar un punto sobre el eje X cuya distancia a ( 1,3 ) sea 2 3 . ¿ Cuántos puntos hay que cumplan con esta condición ?.

4.- Dados los puntos A( 1,0 ) y B( -5,1 ), determinar el punto medio de AB . 5.- Determinar la ecuación de cada recta L, indicando su forma: a) y b) y c) y L 5 4

L L 3 15º 2 x x x 2 3 5 d) e) f) L L

4 L 5 3 -4 6.- Graficar, no punto a punto, cada una de las siguientes ecuaciones:

a) 135

3 =+ yx b) 3

5

3 −=++

y

x c) y = 3x -5

7.- La suma de los segmentos que una recta determina sobre los ejes coordenados es igual a 3.Determinar la ecuación de la recta sabiendo que contiene al punto (2,10). 8.- Determinar "m" y "n" para que la recta ( m + 2n - 3 ) x + ( 2m - n + 1 ) y + 6m + 9 =0 sea paralela al eje X e intersecte al eje Y en -3. 9.- Hallar la ecuación de la recta que pasa por la intersección de : 3x - 4y = 0 y 2x - 5y + 7 = 0 y forma con los ejes coordenados, un triángulo de área 8. 10.- Demostrar que las rectas 3x - 5y + 7 = 0 , 2x + 3y - 8 = 0 y 6x - 7y + 8 = 0 son concurrentes. 11.- Determinar el ángulo obtuso ""α entre las rectas 5x + 3y - 8 = 0 e y = x - 2. 12. -Dos rectas de pendientes negativas, pasan por el origen formando un ángulo de 45º.

Si sus pendientes están en la razón 6:1,determinar las ecuaciones de las rectas. 13.- Sean L1: ax - 4y + 4 = 0 y L2 : bx - ay - 2 = 0. Determinar "a" y "b" sabiendo que el producto de sus pendientes es -2 y que la intersección de 1L con el eje X es igual

a 8 veces la intersección de 2L con el mismo eje. 14.- Si las bases de un trapecio están sobre las rectas 4x - 3y + 10 = 0 y 8x - 6y + 30 =0, determinar la altura del trapecio. 15.- Desde el punto ( -4,1 ) se traza una perpendicular a la recta 3x - 4y + 6 = 0.Determinar la distancia de (-6,-8) a dicha perpendicular. 16.- Hallar las ecuaciones de las rectas paralelas a la recta 8x + 15y - 10 = 0 y que estén a 5 unidades del punto ( 2,3 ). La Circunferencia: 1.- Determinar la ecuación de la circunferencia sabiendo que: a) C( -1,3 ) y pasa por ( 4,1 ). b) Pasa por ( 0,4 ), ( 1,2 ) y ( 3,2 ). c ) Es circunscrita al triángulo cuyos lados están sobre L1: 3x + 2y = 13

2L :x-2y+1=0 y 3L :x+2y=3. d) C( 0,-2 ) y es tangente a 5x - 12y + 2 = 0. e) r = 5 y cuyo centro es el punto de intersección de las rectas 3x - 2y - 24 = 0 2x+7y+9=0. 2.- Una circunferencia pasa por A( -3,3 ) y B( 1,4 ) y su centro está sobre la recta 3x - 2y - 23 = 0. Hallar su ecuación. 3.- Reducir la ecuación dada a la forma ordinaria y determinar si representa o no una cir- cunferencia. En caso afirmativo hallar su centro y radio: a) 2x 071062 22 =++−+ yxy b) 4x 0538284 22 =+−++ yxy

c) 16x .017786416 22 =++−+ yxy

4.- Demostrar que las circunferencias x 0236422 =−+++ yxy y

02510822 =+−−+ yxyx son tangentes. 5.- Una circunferencia de radio 5 es tangente a la recta 3x - 4y - 1 = 0 en el punto (3,2). Determinar su ecuación. 6.- Hallar la ecuación de la circunferencia que pasa por ( 1,4 ) y es tangente a la circunfe- rencia 052622 =++++ yxyx en el punto (-2,1). 7.- Desde A(-2,-1) se traza una tangente a la circunferencia 034622 =−−−+ yxyx .Si D es el punto de contacto, hallar la longitud del segmento

.AD 8.-Determinar si las circunferencias dadas se cortan en dos puntos , son tangentes o no se cortan: 06741801768 2222 =+−−+=+−−+ yxyxyyxyx .

9.-Demostrar que 024042 2222 =+++=−++ yxyxyyxyx se cortan ortogonalmente.

10.-Hallar el área del trapecio ABCD , siendo: AB el segmento que une los centros de las

circunferencias 02712:4: 222

221 =+−+=+ xyxCyyxC . DC el segmento

tangente

a BCDenC ).3,1(1 − el segmento paralelo a AD . 11.-Determinar la ecuación de la circunferencia cuyo centro está en la recta 2x+y=0

y que es tangente a la recta x+y-1=0 en el punto (2,-1).

La Parábola.

1. Para cada una de las siguientes parábolas, determinar sus elementos principales y

graficarlas : a) xy 122 −= b) yx 162 −= c) yx2

52 =

2. Si el vértice de una parábola está en el origen, determinar su ecuación dado:

a) F(-4,0) b) F(0,3) c) directriz: y=2 d) directriz: .3

7=x

3.- Una cuerda de la parábola 042 =− xy es un segmento de x-2y+3=0 . Determinar su longitud. 4.- Determinar la ecuación de la circunferencia que pasa por el vértice y los puntos extremos del lado recto de la parábola 042 =− yx . 5.- Determinar la ecuación de la parábola cuyo eje es paralelo al eje X y pasa

por: ).7,6(,)5,0(,)1,2

3( −−−

6.- Determinar la ecuación de la parábola con vértice (4,-1) ,eje focal y + 1 = 0 y pasa por (3,-3).

7.- Para cada una de las siguientes parábolas, hallar las coordenadas del vértice y foco,las ecuaciones de la directriz, eje focal y la longitud del lado recto.

a) 7120484 2 =−− yxy b) 01672249 2 =+++ yxx

c) 15912484 2 =++ xyx

8.- Expresar el ángulo agudo que forman las rectas L ,21 Ly siendo L1 la recta que

pasa por el origen y por el vértice de la curva y 0644122 =+−− yx , y L 2 la recta que pasa por el origen y por un punto de la curva dada, cuya abscisa es la abscisa del foco de dicha curva y cuya ordenada es menor que 0.

9.- Una parábola de eje focal paralelo al eje X, pasa por los puntos A( -1,8 ), B( )0,5

19

y C(4,-2). Determinar la abscisa de un punto D, perteneciente a la parábola, si su ordenada es -4.

10.- Dadas las ecuaciones: y = 49 2 +− x , x = ,y y = 4, ,142

=+ yx identifícarlas

y graficarlas claramente en un mismo sistema de ejes coordenados, achurando la región que ellas encierran.

11.- En un mismo sistema de ejes coordenados, graficar e identificar las ecuaciones 12y

+ x ,0722 =− 1612

=+−

yx, y = 3. Achurar la región que ellas encierran y

determinar los puntos de intersección referidos a la región.

La Elipse. 1.-Para cada una de las siguientes elipses, determinar sus elementos principales y

graficarlas: a) 9x 22525 22 =+ y b) x 211664 22 −=+−+ yxy c) 9x 03284 22 =−−+ yy 2.- Determinar la ecuación de la elipse sabiendo que: a) V( )0,4()0,5 ±± Fy b) F( )0,3± y pasa por ( 4,1 )

c) V2

9...)6,9(),6,1( 21 =−− RLLyV

d) F )2,3(),8,3( 21 F y longitud eje menor es igual a 8.

3.- El punto medio de una cuerda de la elipse x 3864 22 =−−+ yxy es ( 5,2 ). Determinar la ecuación de la cuerda.

4.- Determinar la ecuación de la elipse que cumple las siguientes condiciones: su eje mayor

mide 10; uno de los extremos del eje mayor es el vértice de y ;01792362 =−−+ yx y

uno de sus focos es el foco de la curva dada. 5.- Sean C 0444:,444: 2

22

1 =−−−−−= yxyCxyy . Determinar la ecuación de la

elipse cuyo eje menor es el segmento que une los vértices de C 21 Cy y el eje mayor es

el segmento que une los puntos de intersección de C .21 Cy Obtener las coordenadas de

los focos y la longitud del lado recto de la elipse.

6.- En un mismo sistema de coordenadas graficar claramente: y = 4, x = 2 y ,

x = 0,

y = 12

16 2x− achurando el área de la región que ellas encierran. Determinar los

puntos de intersección correspondientes a la región. 7.- Una circunferencia con centro en el origen es tangente a una elipse de tal manera

que sus focos se encuentran sobre la circunferencia. Determinar su excentricidad. La Hipérbola. 1.- Para cada una de las siguientes hipérbolas determinar sus elementos principales y graficarlas: a) 9y 364 22 =− x b) 4x 6436329 22 −=++− yxy

c) 3x 0783022 =++− xy d) x 413649 22 −+−− yxy = 0 2.- Determinar la ecuación de cada hipérbola sabiendo que:

a) V( )0,7()0,5 ±± Fy b) V( 0, )7± y e = 3

4 c) V( 0, )4± y pasa por ( -

2,5 ) d) Ejes de la hipérbola son los ejes coordenados y pasa por ( 4,2 ) y ( -6,7 ).

e) V2

3)3,3(),3,1( 21 =− eyV f) C( 2,-2 ), V( 0,-2 ) y L.L.R. = 8.

3.- Hallar el ángulo agudo formado por las asíntotas de la curva: 9x 04423622 =+−−− yxy 4.-Los focos de una hipérbola son ( 4,-2 ) y ( 4,-8 ) y la longitud de su eje transverso es 4. Determinar la ecuación de la hipérbola, la L.L.R. y su excentricidad.

5.- Sea 1916

22

=− yx. Determinar las ecuaciones de las rectas perpendiculares a cada

una de sus asíntotas y que pasan por su foco derecho. 6.- Determinar la ecuación de la hipérbola cuyas asíntotas son 4x - 3y = 0 y 4x + 3y -

24 =0, y uno de sus focos está sobre la recta y = 9. 7.-Determinar el área del triángulo formado por y = 6 y las asíntoyas de

4y xxy 3693624 22 −=+− .

8.-Sea 5x 03636309 22 =+−−+ yxy . Hallar las ecuaciones de las asíntotas de la hipérbola que pasa por ( 3,7 ) y cuyos vértices coinciden con los extremos de uno de los lados rectos de la curva dada.

9.- Hallar la ecuación de la hipérbola, en la forma ordinaria, cuyas asíntotas son las rectas 2x + y - 3 = 0, 2x - y - 1 = 0, y que pasa por el foco de y 0121282 =−−+ yx .

10.- Determinar el valor de "k", para que la ecuación 2x 02222 =−+− yky represente dos rectas que se intersecten.

Respuestas a los ejercicios dados

I.- La Línea Recta:

7) 2x – y + 6 = 0 ; 5x – 2y + 10 = 0 8) m = 7 ; n = -2

9) 9x – 4y – 24 = 0 ; x – 4y + 8 = 0 11) )4(−= arctagα

12) 03,0202,03 =+=+∨=+=+ yxyxyxyx 13) a = 2 ; b = -8

14) altura = 1 15) d = 7 16) 0146158,024158 =−+=++ yxyx

II.-La Circunferencia :

1)a) 29)3()1( 22 =−++ yx b) 02815822 22 =+−−+ yxyx

c) 01322344 22 =++−+ yxyx d) ( )2

22

13

222

=++ yx e) 25)3()6( 22 =++− yx

2)4

629

2

17)2(

22 =

++− yx 5)( ) ( ) ( ) 256,2526 2222 =−+=++− yxyx

6)( ) ( ) 531 22 =−++ yx 7) 18 10)2

321=A

11)( ) ( ) 221 22 =++− yx

III.-La Parábola :

2)a) xy 162 −= b) yx 122 = c) yx 82 −= d) xy3

282 −=

3) 4 5 4) 0522 =−+ yyx 5) 015282 =−−+ yxy

6) )4(4)1( 2 −−=+ xy 8)8

9tagarc 9)

5

19=x 11) (0,6) ; (6,3) ; (-6,3)

IV.-La Elipse:

3) x + 2y – 9 = 0 4) 19

)1(

25

22

=−+ yx

5) 1...;)32,1(';)32,1(;14

)2()1(

22 =−−+−=−++ RLLFF

yx

6) ;3

32,0

A B(0,4) ; C(4,4) ; D(2,1) 7)

2

2=e

V.-La Hipérbola :

3)4

3tgarc 4) 5...;

2

3;1

5

)4(

4

)5( 22

===−−+RLLe

xy

5) 4x + 3y – 20 = 0 ; 4x –3y – 20 = 0 6)( ) ( )

19

3

16

4 22

=−−− xy 7) A = 6

8) 0256325;0256325 =−−+=−+− yxyx 9) ( ) ( )

111

1

11

14 22

=−−− yx

10) k = 2

1