Guía de Ejercitación - Matemáticas

FJCC.

Guía Teórico Práctica N° 3

Geometría de Proporciones – Teorema de Euclides

Objetivos: Identificar segmentos en un triángulo. Reconocer los teoremas relativos a propiedades

métricas en un triángulo rectángulo. Resolver problemas de la matemática utilizando teoremas de

Euclides.

Contenidos: Teoremas de Euclides referente a una altura y referente a un cateto. Teorema de Pitágoras

para triángulos rectángulos.

Habilidades: Reconocer, Representar, Aplicar, Calcular, Determinar, Identificar, Analizar.

Teorema de Euclides.

Sean triángulo rectángulo en y es altura. Los

triángulos y son semejantes. Entonces:

1. Referente a una altura: La altura correspondiente a la

hipotenusa es media proporcional geométrica entre las

proyecciones de los catetos sobre la hipotenusa.

pqhc =2

2. Referente a los catetos: Cada cateto es media

proporcional geométrica entre la hipotenusa y la

proyección de dicho cateto sobre la hipotenusa.

pca =2

qcb =2

Dada la siguiente figura, resuelve los siguientes ejercicios:

i. CD = 6 cm; AD = 3 cm; área del triángulo ABC = ?

ii. AD = 3,5 cm; BD = 1,5 cm.; AC = ?

iii. BD = 3,2 m.; AB = 5 m.; BC = ?

iv. AD = 2 cm; BD = 4 cm; CD = ?

v. AD = 16 cm; AB = 52 cm; CD = ?

vi. AB = 12 cm; AD = 9 cm; BC = ?

vii. AC = 5 cm; BC = 10 cm; CD = ?

viii. CD = 2 m; AC = m; BC = ?

ix. AD = 5 cm; AC = 8 cm; área del triángulo ABC = ?

x. AC = 12 cm; BC = 9 cm; CD = ?

xi. BD = 6m; CD = 5 m; AB = ?

xii. AB = 10 cm; AC = (p + 2) cm; BC = 2p cm; CD = ?

xiii. Demuestra que = AD · AB

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Miscelánea de enunciados:

i. En un triángulo rectángulo ABC se sabe que y .

Calcula las proyecciones de los catetos sobre la hipotenusa y la altura (desde el vértice

) del triángulo.

ii. ¿Es posible calcular todos los lados de un triángulo rectángulo, si se conocen y ?

iii. Un cateto de un triángulo rectángulo mide , se sabe que el largo de la hipotenusa

excede al del otro cateto en un centímetro. Calcula la longitud del otro cateto y de la

hipotenusa.

iv. En un triángulo rectángulo en , un cateto mide 8 centímetros, la proyección del otro

cateto sobre la hipotenusa mide 6,4 centímetros. Encuentra las longitudes de los otros dos

lados, la proyección faltante sobre la hipotenusa y la altura .

v. Demuestra que si es la altura de un triángulo equilátero de lado , entonces es igual a

.

vi. Demuestra que si es el radio de la circunferencia circunscrita a un triángulo equilátero de

lado , entonces es igual a .

“No hay un camino real para la Geometría”

“Lo que es afirmado sin prueba puede ser negado sin prueba”

(Ευκλείδης)

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