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Centro Educacional San Carlos de Aragón.

Dpto. de Matemática.

Prof.: Ximena Gallegos H.

Guía Nº 6 PTES NM – 4: Complejos y Más ....

(Prueba Transición a la Educación Superior)

Nombre: __________________________ Curso: _______ Fecha: _______ Aprendizaje Esperado: Plantear y resolver problemas que involucran el uso y propiedades de los números complejos. Instrucciones: Resuelve, utilizando sólo lápiz mina, y encierra en un círculo la alternativa correcta.

Conceptos Básicos Números Complejos !( ) : Este conjunto numérico nace de la necesidad de dar

respuesta a problemas de la forma: x2 =−1. Luego tenemos que:

i = −1 → i 2 =−1

Se define: != "+ I y se expresa como:

z = a + bi ↔ z = a,b( ) ; donde “a” es la parte

real y “b” la parte imaginaria. Observaciones: 1)

Re z( ) = a ; Im z( ) = b

2) Z = a + bi →

a = 0 → z = bi : z es imaginario purob = 0 → z = a : z es real puro⎧⎨⎩

3) Sean z = a + bi ; w = c + di , entonces, z = w ⇔ a = c ∧ c = d 4) Representación Gráfica. (Diagrama de Argand)

Operatoria en ! . Dados z = a + bi ; w = c + di

a) Adición y Sustracción:

z ± w = a + c( ) ± b + d( )i

z ± w = a + c , b + d( )

Cumple con las propiedades de: * Clausura * Conmutatividad * Asociatividad * Existe elemento neutro aditivo z0 = (0,0)

2

* Existe elemento inverso aditivo −z( ) = −a,−b( )

b) Multiplicación:

z ⋅ w = ac−bd( ) + ad + bc( )i

z ⋅ w = ac−bd , ad + bc( )

Cumple con las propiedades de: * Clausura * Conmutatividad * Asociatividad * Existe elemento neutro multiplicativo z ' = (1,0)

* Existe elemento inverso multiplicativo z−1 =

aa2 + b2

,− ba2 + b2

⎛

⎝⎜⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟⎟⎟

* Distributividad

c) División:

zw

= z ⋅w−1

zw

=zw⋅ww

; w :conjugado de w

Conjugado de un complejo z( ) . z = a,b( ) → z = a,−b( )

Propiedades. * * z +w = z +w * z ⋅w = z ⋅w

* si z = w → z = w * z +z = 2Re z( )

* z−z = 2Im z( ) * z ⋅z es real.

Valor absoluto de un Complejo z = a,b( ) → z = a2 + b2

Potencias de “i”

04 1

14 4 2

24 3

3

1

1 11

n

Generalizando n n

n

ii i

i ii i n

ii i

i i

+

+

+

⎫=⎧ =⎪

= ⎪⎪⎯⎯⎯⎯⎯→ = → = − ∀ ∈⎬ ⎨= − ⎪ ⎪ = −⎩⎪= − ⎭

¢

Propiedades 1) 0 1 2 3 4....... 0ni i i i i+ + + + + = 2) 4 4 1 4 2 4 3 0n n n ni i i i+ + ++ + + = 3) a) ( )21 2i i+ = b) ( )21 2i i− = −

4) a) 11i ii

+ =−

b) 11i ii

− = −+

5) ( )1 ;kk ki i k− = − ⋅ ∀ ∈¢ ( )2525 25: 1 1Ejemplo i i i i−⎡ ⎤= − ⋅ = − ⋅ = −⎣ ⎦

3

1) El valor de 2 i 0 + i− i6 + i3( ) = ?

a) 2+ i

b) 2− i

c) i

d) − i

e) 3 + 2 i 2) En el conjunto de los números complejos, la unidad imaginaria “ i ” y el elemento neutro

multiplicativo son, respectivamente:

a) 1,1( ) y 1,0( )

b) 1,−1( ) y 1,0( )

c) 1,0( ) y 1,1( )

d) 1,0( ) y −1,−1( )

e) 0,1( ) y 1,0( )

3) Si z =−2+ i , ¿cuál es el valor de z−1

a) 5

b)

125

c)

15

d) 3

e) Otro valor

4) De acuerdo a la figura adjunta, el valor de z1−z2 = ?

a) −2,6( )

b) 8,6( )

c) −8,2( )

d) 8,2( )

e) −8,−2( )

5) Sea z∈! : z = a +bi , entonces la suma entre el conjugado de z y el inverso aditivo de z

4

es:

a) Real puro

b) Imaginario puro

c) Un complejo que puede ser real o imaginario

d) Un número que no es ni real ni imaginario

e) Es siempre cero. 6) Dados los complejos

z1 = 1, 2( ) y z2 = 0,−3( ) ; es verdadero que:

I) z1 + z2 = 1,5( )

II) z1 + z1 = 2,0( )

III) z1 ⋅ z2 = 6,3( )

a) Sólo I b) Sólo I y II c) Sólo I y III d) Sólo II y III e) I, II y III 7) Respecto de los complejos representados en el plano, es Verdadero que:

a) z1 = 2,4( )

b) z2 = 3,0( )

c) z3 = −1,2( )

d) z4 =−3

e) z4 =−3 + i

8) Respecto del complejo z = 7 + i ; es verdadero que:

I) Re z( ) = 7

II) z−1 =

750

, 150

⎛

⎝⎜⎜⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟⎟⎟

III)

z( ) = 7 + i

a) Sólo I b) Sólo II c) Sólo III d) Sólo I y III e) I, II y III

5

9) Dado el complejo z =−1+ 3i , ¿Cuál es el valor de z2 ? a) 8−6i

b) −8 + 6i

c) −8−6i

d) 6 + 8i

e) −6 + 8i 10) El inverso multiplicativo de z = 1− i es: a) z

−1 = 1+ i b) z

−1 =−1+ i

c) z−1 =

12

,−12

⎛

⎝⎜⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟⎟⎟

d) z−1 =

12

, 12

i⎛

⎝⎜⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟⎟⎟

e) z−1 =

12

, 12

⎛

⎝⎜⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟⎟⎟

11) ¿Cuál de las siguientes aseveraciones es (son) verdadera(s)? I) 2,3( )+ 1,−2( )− −5,0( ) = 8 + i II) 2 i + 1−4i( ) = 1,6( ) III) 1+ 2i( ) 1−2i( ) = 5 a) Solo I b) Solo II c) Solo III d) Solo I y II e) Todas 12) Para que la expresión 1−2i( ) x−5i( )represente un número real, es valor de x debe ser: a) 1 b) 0 c) i

d) −

52

e) 10 13) Dado z = 1−2i ; es verdadero que: a) z = 3 b) z ⋅z

−1 = 1+ i c) z

2 = 1+ 4i 2 d) z ⋅z = 5 e) z + z = 2+ i

6

14) Al resolver

1+ 11− i

1− 11+ i

; se obtiene:

a) 2 – i b) 1 + i c) 1 – i d) 3i e) Otro valor 15) Para que la expresión

2a − 3i( ) 1+ 4i( ) represente un número imaginario, es valor de a debe ser: a) 1

b) 0

c) 6

d) −6

e) 12

16) 1− i( )4

= ? a) 0

b) 1

c) – 1

d) 2

e) – 4

17) Dados z1 = 1,−2( ) ; z2 = −1+ 3i ; z3 = 3 − i ; se cumple que:

I) z1 ⋅ z2 − z3( ) = −12+ 4i

II)

z1

z3

= 22

III) z1− z2−z1( ) = 3 + 3i a) Solo I b) Solo II c) Solo III d) Solo I y II e) I, II y III

7

18) 1i

+ 1i2 + 1

i3 + 1i4 =?

a) 1+ i b) 1 – i c) 0 d) 2 – i e) No se puede determinar 19) Si z1 = 2a−3i +b( ) y z2 = ai−2i + 2bi +1( ) Para que se cumpla la igualdad de complejos, los valores de a y b deben ser: a) 1 y – 1

b) 2 y 0

c) – 1 y 3

d) 1 y – 2

e) Iguales.

20) Si z1 = a,0( ) y z2 = 0,b( ) ; entonces z1 + z2⎡⎣ ⎤⎦

2= ?

a) a

2 + b2

b) a2−b2

c) a2, b2( )

d) a2 + 2ab + b2

e) a2−b2 , 2ab( )

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Repaso General Unidad Números. 21) Considerando que n es un número entero, ¿cuál de las siguientes afirmaciones es siempre verdadera? a) 3

n >1

b)

14⎛

⎝⎜⎜⎜⎞

⎠⎟⎟⎟⎟

n

<1

c) 3n ⋅2n ≥ 6

d) −1( )n es igual a 1 ó – 1

e) 2n > 2−n

22) El número exponencial de Euler se simboliza por la letra e y es aproximadamente igual a 2,71828 y 3 es aproximadamente 1,7320508. ¿Cuál es el valor de e− 3 aproximado por truncamiento a la centésima? a) 0,98

b) 0,99

c) 0,96

d) 1

e) 0

23) Para x e y números positivos se tiene que la expresión

log3x 9x2( ) + log18y 18y( ) es

igual a: a) 0,7

b) 0,6

c) 1,6

d) 2,5

e) Ninguno de los valores anteriores.

24) Si

3 7 + 7 321

= a + b . ¿ Cuál(es) de las siguientes afirmaciones es (son)

correcta(s)?

I)

ab

es racional.

II) a y b son números primos.

III)

a + b( )2= 10

a) Solo I b) Solo II c) Solo I y II d) Solo I y III e) Solo II y III

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25) Siendo z un número complejo de módulo no nulo, ¿cuál de los siguientes complejos

verifica que z +

1z

es igual al antecesor de la unidad?

a) 1− i

b) 2 i

c) −i

d) 1+ i

e) 3 + 7i

26) El inverso aditivo del recíproco de 1 3 1 1 7 1:4 5 5 7 5 3

⎡ ⎤⎛ ⎞ ⎛ ⎞⋅ − ⋅ −⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎢ ⎥⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎣ ⎦ es:

a) 43

b) – 43

c) − 34

d) 34

e) 4

27) Si p es un número entero par y q es un número entero impar consecutivo a p, entonces ¿cuál(es) de las siguientes aseveraciones es(son) siempre verdadera(s)? I) ( )2 1p q− = II) p + q es primo III) ( )2 1q p− = − a) Sólo I

b) Sólo II

c) Sólo I y II

d) Sólo II y III

e) I, II y III

28) De las siguientes expresiones, ¿cuál es la que entrega el mayor resultado? a) 0,23 + 0,32

b) 0, 23 + 0, 32

c) 0,2 3 + 0, 32

d) 0, 23 + 0,3 2

e) 0,2 3 + 0,3 2

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29) Una embotelladora tiene 2 máquinas A y B para envasar líquido. En cada hora, la máquina A llena 70 botellas y la máquina B llena 48 botellas. Si entre las dos máquinas llenaron un total de 1.036 botellas y cuando comenzó a envasar la máquina B, la máquina A llevaba 3 horas funcionando. ¿Cuántas botellas en total envasó la máquina A? a) 700

b) 636

c) 500

d) 436

e) 236

30) !∪"( ) ∩ #∪$( )⎡⎣ ⎤⎦ tiene solución en el conjunto de los números: a) Enteros

b) Racionales

c) Reales

d) Complejos

e) Cardinales.

31) El mínimo común múltiplo de los números 2 ⋅3

2 ⋅52 y 22 ⋅7 es: a) 2 ⋅32 ⋅52 ⋅7

b) 450

c) 210

d) 28

e) 2

32) A, B y C fueron a comprar fruta a la feria. A compró las dos quintas partes de un kilo y B compró la cuarta parte de un kilo. Si entre A, B y C compraron un kilo de fruta, ¿cuál(es) de las siguientes afirmaciones es (son) verdadera(s)?

I) C compró 720

partes de un kilo.

II) A compró menos fruta que B.

III) C compró menos fruta que A. a) Solo I

b) Solo III

c) Solo I y III

d) Solo II y III

e) I, II y III

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33) En relación al número 0,18 3 ; es falso que:

I) Es equivalente a 1160

II) Es un número irracional.

III) Al aproximarlo por defecto a la centésima el resultado es equivalente a 950

.

a) Solo I b) Solo II c) Solo III d) Solo I y II e) Solo I y III

34) El valor de −4( )3

− −2( )3⋅23⎡

⎣⎢

⎤⎦⎥

0

a) 1

b) – 1

c) − 1

128

d) 0

e) Indefinido

35) ¿Cuánto se obtiene si el producto 0,002 ⋅ 0,08( ) se divide por el producto

0,4 ⋅ 0,0002( )?

a) 0,002

b) 0,02

c) 0,2

d) 2

e) 20

36) El valor de 1 2011 2009 20112010 2010

⋅+ − es:

a) 12010

b) 0

c) 12010

−

d) 1 e) – 1

12

37) La quinta parte del triple de M se puede expresar como:

I) 0,6M II)

53⎛

⎝⎜⎜⎜⎜⎞

⎠⎟⎟⎟⎟

−1

⋅M III) 60 ⋅10−2 ⋅M

a) Solo I

b) Solo II

c) Solo III

d) Solo I y II

e) I, II y III

38) ¿Cuál es el valor de x en la siguiente secuencia?

a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) No se puede determinar 39) Se puede determinar la fracción de suero por minuto que se le suministra a un paciente desde una bolsa de 1.000 ml si: (1) La mitad de la cuarta parte de la bolsa de suero se consume en 10 minutos. (2) La bolsa de suero se consume en una hora 20 minutos. a) (1) por sí sola b) (2) por sí sola c) Ambas juntas, (1) y (2) d) Cada una por sí sola, (1) ó (2) e) Se requiere información adicional.

40) Se puede determinar el valor numérico de x yz

; z ≠ 0 , si:

(1) 0,20x y⋅ = (2) z es la quinta parte de x y⋅

a) (1) por sí sola b) (2) por sí sola c) Ambas juntas, (1) y (2) d) Cada una por sí sola, (1) ó (2) e) Se requiere información adicional.

Hoja de Respuestas. 1) e 2) e 3) c 4) d 5) b 6) e 7) d 8) d 9) c 10) e 11) e 12) d 13) d 14) a 15) d 16) e 17) d 18) c 19) a 20) e 21) d 22) a 23) d 24) b 25) c 26) a 27) a 28) c 29) a 30) a 31) a 32) c 33) b 34) e 35) d 36) e 37) e 38) d 39) d 40) b