LICEO BICENTENARIO ÓSCAR CASTRO ZÚÑIGA DOCENTE: CLAUDIA TORO DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICA Y FÍSICA NIVEL: CUARTO MEDIO

GUÍA N° 4

GEOMETRÍA ANALÍTICA EN 2D NOMBRE ESTUDIANTE: CURSO: TIEMPO DE ESTUDIO Y DESARROLLO:

11/mayo – 15/mayo OBJETIVO DE APRENDIZAJE (U.0)

Relacionar la geometría elemental, con la geometría cartesiana.

OBJETIVO DE LA CLASE

Mostrar que comprenden los elementos de la geometría cartesiana, tales como Distancia entre puntos, punto medio y ecuación de la recta.

INSTRUCCIONES GENERALES

➢ En la siguiente guía se presenta el contenido, ejercicios resueltos y ejercicios propuestos de “Geometría analítica (parte 1)”.

➢ De dicha guía, debe estudiar y desarrollarla en su cuaderno (NO enviar desarrollo al correo del profesor(a) de matemática).

➢ Las dudas que surjan, puede consultarlas por medio del correo oficial del curso, a la profesora Claudia Toro (claudia.toroz@liceooscarcastro.cl)

➢ El tiempo que debe destinar para el estudio y desarrollo será desde el 11 de mayo hasta el 15 de mayo de 2020.

➢ La retroalimentación de la guía estará disponible en la plataforma oficial el 15 de mayo de 2020. ➢ Cuando se retorne a clases presenciales, la o el profesor(a) revisaran su cuaderno, con todos los

desarrollos, con el fin de evaluar proceso con una nota acumulativa. ➢ Cada nota de proceso se promediará y será consignada en el Libro de Clases.

UN POCO DE HISTORIA. Todo estudiante de matemáticas rinde homenaje al matemático francés René Descartes (1596-1650) siempre que traza una gráfica. Se considera que Descartes es el inventor de la geometría analítica, que es la combinación del álgebra y la geometría,

en una época en que se creía eran campos de las matemáticas que no guardaban relación entre sí. El sistema de coordenadas o cartesianas se llama así en honor de Descartes. Los principios básicos de la geometría analítica se establecieron en La Géométrie, obra publicada en 1637. La invención del plano cartesiano contribuyó de manera muy importante al desarrollo posterior del cálculo que realizaron paralelamente Isaac Newton (1643-1727) y Gottfried Wilhelm Leibniz (1646-1716). René Descartes también era científico y escribió sobre óptica, astronomía y meteorología. Sin embargo, además de sus contribuciones a las matemáticas y la ciencia, Descartes es recordado por la enorme influencia que ejerció en la filosofía. De hecho, a menudo se le llama padre de la filosofía moderna, y su libro Meditaciones metafísicas sigue siendo lectura obligatoria para muchos estudiantes hasta la fecha. Su famosa frase cogito ergo sum (pienso,

luego existo) aparece en sus obras Discurso del método y Principios de filosofía. Aunque se decía católico devoto, la Iglesia recelaba de la filosofía y los escritos de Descartes sobre el alma, por lo que incluyó todas sus obras en el Índice de libros prohibidos en 1693.

Ejemplo: Calcular al distancia entre los puntos A y B

DISTANCIA ENTRE DOS PUNTOS

La distancia entre dos puntos 𝐴(𝑥1, 𝑦1) y 𝐵(𝑥2, 𝑦2) cualesquiera en el plano cartesiano XY, se determina por:

𝒅(𝑨, 𝑩) = √(𝒙𝟐 − 𝒙𝟏)𝟐 + (𝒚𝟐 − 𝒚𝟏)𝟐

Ejemplo: Determinar las coordenadas del punto medio del segmento 𝐴𝐵̅̅ ̅̅ :

* Una técnica para verificar que M es punto medio del segmento 𝐴𝐵̅̅ ̅̅ , es comprobando la veracidad de la siguiente igualdad: 𝑑(𝐴, 𝑀) = 𝑑(𝑀, 𝐵)

PENDIENTE DE UNA RECTA Dos puntos distintos cualesquiera en el plano Cartesiano, determinan una línea recta única y el concepto fundamental para plantear estas ecuaciones es la pendiente de una recta.

Si (x1, y1) y (x2, y2) son dos puntos distintos que determinan la recta L, se define la pendiente “m” como el grado de inclinación respecto al eje X y se calcula como:

𝒎 =𝒚𝟐 − 𝒚𝟏

𝒙𝟐 − 𝒙𝟏

PUNTO MEDIO

Las coordenadas del punto medio entre dos puntos 𝐴(𝑥1, 𝑦1) y 𝐵(𝑥2, 𝑦2) cualesquiera en el plano cartesiano XY, se determina por:

𝑴𝑨𝑩 = (𝒙𝟏 + 𝒙𝟐

𝟐,𝒚𝟏 + 𝒚𝟐

𝟐)

Ejemplo: Calcular la pendiente de la recta que pasa por los puntos P1 y P2 :

Ejemplos:

(1) Calcular la pendiente la recta que pasa por los puntos (−4, −1) y (1, −1). Grafica.

(2) Calcular la pendiente la recta que pasa por los puntos (1,3) y (1, −2). Grafica.

En las gráficas, observamos rectas con pendientes positiva, negativa, cero e indefinida. Si vemos, de izquierda a derecha, la primera recta tiene pendiente positiva (𝑚 > 0) se eleva conforme x aumenta, es decir, es creciente. La segunda, muestra una recta con pendiente negativa (𝑚 < 0) desciende a medida que x aumenta, es decir, es decreciente. En la tercera, si P1(x1, y1) y P2(x2, y2) son puntos sobre una recta horizontal, entonces 𝑦1 = 𝑦2 y la pendiente de la recta es cero (𝑚 = 0). En la última gráfica, si P1(x1, y1) y P2(x2, y2) son puntos sobre una recta vertical, entonces 𝑥1 = 𝑥2 , y decimos que la pendiente de la recta es indefinida, o que la recta no tiene pendiente

Ejemplo: Si A(2, –4) y B(1, 2) pertenecen a la recta L. Determina su ecuación:

EJERCICIOS RESUELTOS

1. Determine si los puntos 𝐴(0, 0) , 𝐵(3, 4) y 𝐶(7, 7) son vértices de un triángulo isósceles.

2. Determine las coordenadas del punto 𝐵(𝑥, 𝑦), si 𝑀 (3

2, 0) es el punto medio del segmento 𝐴𝐵̅̅ ̅̅ ,

sabiendo que 𝐴(−2,1).

ECUACIÓN DE UNA RECTA

Si (x1, y1) y (x2, y2) son dos puntos distintos que determinan la recta L, se define su ecuación como:

𝒚 − 𝒚𝟏 =𝒚𝟐 − 𝒚𝟏

𝒙𝟐 − 𝒙𝟏∙ (𝒙 − 𝒙𝟐)

3. Calcula la pendiente de la recta que pasa por los puntos (8, −1

2) y (2,

5

2)

4. Determinar la ecuación de la recta que pasa por (2, 3) y (6, 25).

EJERCICIOS PROPUESTOS

1. Analiza e indica si las siguientes afirmaciones son verdaderas (V) o falsas (F). Justifica en ambos

casos tus respuestas:

a) ______ La pendiente de la recta que contiene los puntos (0,3) y (9,3) es cero.

b) ______ Una recta que tiene pendiente m=0 siempre contiene el origen (0,0)

c) ______ La recta que contiene a los puntos (0,7) y (7,0) tiene pendiente m=7

d) ______ La recta que pasa por los puntos (5,2) y (5,-1) tiene pendiente positiva

2. Determina la distancia y el punto medio de cada segmento 𝑃𝑄̅̅ ̅̅

a) 𝑃(−4,6) y 𝑄(−4,18)

b) 𝑃(0,3) y 𝑄(0,15)

c) 𝑃 (1

3,

−1

2) y 𝑄 (

−1

6, 0)

d) 𝑃(−√5, √3) y 𝑄(2√5, 2√3)

3. La distancia entre los puntos 𝐴(−3, 𝑦) y 𝐵(9,2) es de 13 unidades. Hallar el valor de “y”.

4. Verificar que los puntos : 𝑃(−2,2) , 𝑄(6,6) y 𝑅(2, −2) son vértices de un triángulo isósceles.

Calcular su perímetro.

5. Verificar si los puntos 𝐴(7,1) , 𝐵(−4, −1) y 𝐶(4,5), son vértices de un triángulo rectángulo.

6. Calcular la pendiente de la recta que contiene los pares de puntos dados, en cada caso:

a) 𝐴(2, −8) y 𝐵(−4,11)

b) 𝑃(8,11) y 𝑄(−11, −8)

7. Determina la ecuación de la recta que pasa por los puntos dados, en cada caso:

a) 𝐴(−7, −2) y 𝐵(−2, −5)

b) 𝐴(−4,1) y 𝐵(3, −5)

c) 𝐴(0,0) y 𝐵(5, −3)

8. Se tiene el segmento 𝐴𝐵̅̅ ̅̅ , con 𝐴(−1,2) y 𝐵(3,4):

a) Calcula la medida de 𝐴𝐵̅̅ ̅̅

b) Determina el punto medio de 𝐴𝐵̅̅ ̅̅

c) Determina la ecuación de la recta que contiene a 𝐴𝐵̅̅ ̅̅

9. Determina la ecuación de la recta que corta al eje Y en el punto (0, −4) y al eje X en el punto (2,0)

10. Sea L una recta, tal que 𝐴(5,1) y 𝐵(−2, −3) son puntos que pertenecen a ella. ¿Cuál debe ser el

valor de “t” para que el punto (1 + 𝑡, 2𝑡) tambien pertenezca a L?

El trabajo tesonero todo lo vence