Matemática

Grado 8º y 9º

Programa de Bachillerato a Distancia

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Tabla de contenido

Resoluciones de Ecuaciones de Primer grado ................ 17 Resolución de Ecuaciones de Segundo grado ................ 21

Resolución de Sistemas de Ecuaciones ................ 29 Método de Sustitución ............... 29

Método de Reducción ............... 31 Método de Igualación ............... 33 Resolución de Ecuaciones Bicuadráticas ……………… 37

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Matemática para grado 8° y 9°

Núcleo 1

Ecuaciones Ecuación

1 INTRODUCCIÓN

Ecuación, igualdad en la que intervienen una o más letras, llamadas incógnitas. Es

decir, es una igualdad entre expresiones algebraicas.

Las expresiones que están a ambos lados del signo igual son los miembros de la

ecuación: primer miembro el de la izquierda, segundo miembro el de la derecha.

Se llama solución de una ecuación a un valor de la incógnita, o a un conjunto de valores

de las incógnitas, para los cuales se verifica la igualdad. Una ecuación puede tener una,

ninguna o varias soluciones. Por ejemplo:

3x – 7 = x + 1 es una ecuación con una incógnita. Tiene una única solución: x = 4.

x2 + y2 + 5 = 0 es una ecuación con dos incógnitas sin solución, pues la suma de dos

cuadrados es un número positivo a partir del cual no se puede obtener 0 sumándole 5.

2x + 3y = 15 es una ecuación con dos incógnitas que tiene infinitas soluciones, algunas

de las cuales son x = 0, y = 5; x = 3, y = 3; x = 30, y = -15.

Dos ecuaciones se llaman equivalentes si tienen las mismas soluciones o ambas

carecen de solución. Así, la ecuación 3x – 7 = x + 1 es equivalente a 2x – 8 = 0 porque

ambas tienen como solución única x = 4.

Introducción:

Una expresión algebraica es una combinación de números y símbolos (que representan

números). Por ejemplo: 5x2 + 3x3y3z.

4

Un término es una combinación de números y símbolos (que representan números)

unidos por operaciones de multiplicación o división. Por ejemplo: 5x2, 3x3y3z son los

términos de la expresión algebraica 5x2 + 3x3y3z.

Un factor es cada uno de los componentes de un término. Por ejemplo: 5 y x2, son los

factores del término 5x2 de la expresión algebraica 5x2 + 3x3y3z .

Elegido un factor, un coeficiente, es lo queda del término. Por ejemplo: 3 es el

coeficiente de x3y3z, x3 es el coeficiente de 3y3z, z es el coeficiente de 3x3y3 y así

sucesivamente. Si el coeficiente es un número se le llama coeficiente numérico.

Dos términos se dice que son similares cuando sólo se diferencian en el coeficiente

numérico.

El grado de un término es la suma de los exponentes de las variables. Por ejemplo: el

grado del término 3x3y3z es 7. El grado de una constante es cero.

Las ecuaciones son igualdades. Nunca debemos olvidar esto.

Debemos distinguir entre identidades y ecuaciones. Cuando dos expresiones son

iguales para cualesquiera valores que se pongan en lugar de las letras que figuran en la

expresión es una identidad. Cuando la igualdad sólo se cumple para determinados

valores de la expresión es una ecuación.

Por ejemplo: 2x2 + 5x2 + x2 = 8x2 es una identidad y 2x2 + 3x = 5 es una ecuación.

Clasificación

Las ecuaciones se pueden clasificar de varias formas:

a) Por el número de incógnitas.

Las ecuaciones pueden tener una o más incógnitas. Por ejemplo la

ecuación 3x + 4 = 10, sólo tiene una incógnita, la ecuación 3x - y = 5, tiene

dos y 5xy - 3x2 + z = 8 tiene tres incógnitas.

Las ecuaciones con una incógnita se pueden imaginar como puntos sobre

el eje x. Las de dos incógnitas como curvas en un plano. Las de tres

incógnitas como curvas en un espacio de tres dimensiones.

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b) Por el grado de la incógnita.

Las ecuaciones de una incógnita se pueden clasificar por el grado de la

incógnita (el grado es el exponente más alto de la incógnita).

Hay fórmulas generales para resolver las ecuaciones de grado 1 a 4 (pero

las fórmulas son complicadas y difíciles de recordar para grado mayor que

2). Si no se puede descomponer la ecuación en factores, cualquier

ecuación, sea del grado que sea, se puede resolver de esta forma:

Sea la ecuación: xn + a1xn-1 + a2x

n-2 + ... + an = 0

Si x1, x2, ..., xn son las soluciones de la ecuación, se cumplen las

siguientes ecuaciones:

x1 + x2 + ... + xn = -a1

x1x2 + x1x3+...+x1xn + x2x3+...+ x2xn + ...+ xn-1xn = a2

x1x2x3 + x1x2x4 + ...+ x1x2xn + x2x3x4 +...+ x2x3xn + ...+ xn-2xn-1xn = -a3

..................................

x1x2...xn = (-1)nan

Utilizando estas ecuaciones, tendríamos un sistema de ecuaciones que

nos permitiría obtener las soluciones.

c) Por el número de términos

c1) Ecuaciones binómicas:

Las ecuaciones con dos términos se llaman ecuaciones

binómicas.

c2) Ecuaciones polinómicas:

Las ecuaciones que tienen tres términos, se llaman

trinómicas, y aunque podríamos seguir llamándolas en

función del número de términos, se suelen llamar

polinómicas.

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¿Cómo se resuelven las ecuaciones?

Lo primero que hay que saber es que toda ecuación algebraica de grado n con

coeficientes reales o complejos tiene al menos una raíz real o compleja. Este enunciado

es el teorema fundamental del álgebra.

D'Alembert fue el primer matemático que dio una demostración, pero no era completa.

Se considera a Gauss como el primer matemático que dio una demostración rigurosa.

a) Ecuaciones de primer grado y una incógnita

Las ecuaciones de la forma ax + b = 0 son muy sencillas de resolver, basta con

despejar la x. Despejar la x significa dejar la x sola a un lado del signo igual. Para pasar

un número, o una variable, al otro lado del signo igual tenemos que seguir estas reglas:

-Si está sumando pasa restando y si está restando pasa sumando. En nuestro caso

quedaría ax = -b

-Si está multiplicando pasa dividiendo y si está dividiendo pasa multiplicando. En

nuestro caso x = -b/a.

b) Ecuaciones de segundo grado y una incógnita

Las ecuaciones de la forma ax2 + bx - c = 0, también son muy sencillas de resolver.

Basta aplicar la siguiente fórmula:

Obtendremos dos soluciones, una cuando sumamos a -b la raíz y lo dividimos por 2a, y

otra solución cuando restamos a -b la raiz y lo dividimos por 2a.

c) Ecuaciones de tercer grado y una incógnita

Aunque hay fórmula para resolver las ecuaciones de tercer grado, no merece la pena

aprenderse la fórmula, pues hay otros métodos de resolver la ecuación de una forma

más cómoda.

Sin embargo, vamos a ver cómo se resuelve un tipo concreto de ecuaciones de tercer

grado, las del tipo x3 + mx = n (por supuesto si la ecuación aparece 'disfrazada' de esta

forma ax3 + bx + c = 0, se puede convertir en la forma anterior, dividiendo todos los

términos por a, m = b/a y n = -c/a)

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El método para resolver estas ecuaciones se llama método de Cardano, pues se

atribuye a Girolamo Cardano (1501-1576) su descubrimiento.

El método es el siguiente:

Las ecuaciones de este tipo son famosas y los profesores suelen ponerlas en los

exámenes. Quedareis muy bien si además citais el libro en que apareció por primera

vez y el autor (Libro: Ars Magna. Autor: Girolamo Cardano).

c) Ecuaciones de cualquier grado y una incógnita

El método más frecuente de resolver ecuaciones de grado superior a 2 es descomponer

la ecuación en factores (dividiendo la ecuación por los posibles divisores), con lo que, si

tenemos suerte, la ecuación se reduce a un producto de otras ecuaciones de grado

menor que ya podemos resolver por las fórmulas anteriores.

A veces nos ponen una ecuación de segundo grado ‗disfrazada‘. Lo veréis con un

ejemplo: 3x4 + 2x2 - 5 = 0. En esta ecuación si hacemos el cambio de variable x2 = t,

nos queda 3t2 + 2t - 5 = 0. En este caso, hacéis el cambio de variable, resolvéis la

ecuación de segundo grado y después despejáis la x (calculando la raíz cuadrada del

valor que hemos obtenido para t).

Si ninguno de los métodos anteriores os da resultado, sorprenderéis a vuestro profesor

resolviendo la ecuación por este método:

Sea la ecuación: xn + a1xn-1 + a2x

n-2 + ... + an = 0

Si x1, x2, ..., xn son las soluciones de la ecuación, se cumplen las

siguientes ecuaciones:

x1 + x2 + ... + xn = -a1

x1x2 + x1x3+...+x1xn + x2x3+...+ x2xn + ...+ xn-1xn = a2

x1x2x3 + x1x2x4 + ...+ x1x2xn + x2x3x4 +...+ x2x3xn + ...+ xn-2xn-1xn = -a3

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..................................

x1x2...xn = (-1)nan

Utilizando estas ecuaciones, tendríamos un sistema de ecuaciones que

nos permitiría obtener las soluciones.

Las ecuaciones con una incógnita suelen tener un número finito de soluciones. Las

ecuaciones con varias incógnitas, sin embargo, suelen tener infinitas soluciones; por

ello, estas ecuaciones interesa estudiarlas cuando forman sistemas de ecuaciones. Las

ecuaciones con una incógnita pueden ser de distintos tipos: polinómicas, racionales,

exponenciales, trigonométricas…

Las ecuaciones polinómicas son de la forma P(x) = 0, donde P(x) es un polinomio en x.

O bien, son de tal forma que al trasponer términos y simplificar adoptan esa expresión.

3x3 - 5x2 + 3x + 2 = 0 es una ecuación polinómica.

Las ecuaciones polinómicas de primer grado, ax + b = 0, se llaman ecuaciones lineales.

5x + 7 = 3 es lineal y también lo es (x - 5)2 + 3 = x2 - 1 porque al desarrollar y simplificar

se obtiene -10x + 29 = 0.

Las ecuaciones polinómicas de segundo grado, ax2 + bx + c = 0, se llaman cuadráticas.

Son ecuaciones de este tipo: x2 - 5x + 3 = 0, (x – 2)2 + 7x =5 + x.

Las ecuaciones radicales son aquellas en las que la incógnita está bajo un signo

radical, como

Las ecuaciones racionales son ecuaciones en las que aparecen cocientes de

polinomios; por ejemplo:

En las ecuaciones exponenciales la incógnita está en un exponente: 2x + 4x + 1 - 18 = 0

En las ecuaciones trigonométricas la incógnita está afectada por alguna función

trigonométrica; por ejemplo: sen (p/4 + x) – cos x = 1

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Núcleo 2

Resolución de Ecuaciones

Resolver una ecuación es hallar su solución o soluciones, o bien concluir que no tiene

solución. Para resolver una ecuación, se pasa a otra equivalente cuya fisonomía sea

más sencilla. Así, mediante una serie de pasos sucesivos se llega a una última

ecuación del tipo x = s en la que la incógnita está despejada (es decir, aislada en el

primer miembro), con lo que la solución es evidente.

Por ejemplo, para resolver la ecuación 5x – 6 = 3x + 12 se procede como se explica a

continuación.

Para pasar los términos en x al primer miembro y los números al segundo miembro, se

resta en ambos miembros 3x y se suma 6, con lo que queda: 5x – 3x = 12 + 6

Y simplificando, 2x = 18.

Para despejar la x se divide por 2 en ambos miembros: x = 18/2 = 9

La solución es, evidentemente, x = 9.

Sin embargo, hay tipos de ecuaciones para cuya resolución se requieren técnicas

especiales. Es el caso, por ejemplo, de las ecuaciones cuadráticas y bicuadradas.

3.1 Resolución de ecuaciones cuadráticas

La expresión general de una ecuación cuadrática (polinomio de segundo grado) es: ax2

+ bx + c = 0

con a ≠ 0. Para resolverla se aplica la fórmula:

Por ejemplo, la ecuación 2x2 + 5x – 3 = 0 de coeficientes a = 2, b = 5, c = -3, se

resuelve así:

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Hay dos soluciones: x1 = 1/2; x2 = -3.

Esta misma ecuación se podría haber resuelto despejando la x. Para ello, se multiplica

la ecuación por 2: 4x2 + 10x – 6 = 0

Se pasa el 6 al segundo miembro: 4x2 + 10x = 6

Se suman 25/4 para completar un cuadrado perfecto (el cuadrado de una suma) en el

primer miembro: 4x2 + 10x + 25/4 = 6 + 25/4

Simplificando: (2x + 5/2)2 = 49/4

Extrayendo la raíz cuadrada y recordando que si A2 = B2 entonces A = ±B: 2x + 5/2 =

±7/2

Como consecuencia del signo ±, la igualdad da lugar a dos ecuaciones: 2x + 5/2 = 7/2

2x + 5/2 = -7/2

Resolviéndolas se obtiene:

4x + 5 = 7 → 4x = 2 → x1 = 1/2

4x + 5 = -7 → 4x = -12 → x2 = -3

Siguiendo este largo proceso se obtienen las mismas soluciones que mediante la

fórmula inicial. Es claro que la aplicación de ésta es un procedimiento mucho más

cómodo. De hecho, la fórmula se obtiene algebraicamente a partir de la ecuación

general mediante un proceso similar al que se ha seguido para resolver esta ecuación

concreta.

Las ecuaciones de segundo grado de los tipos siguientes se llaman incompletas porque

les falta uno de los términos:

ax2 + bx = 0

ax2 + c = 0

Se pueden resolver aplicando la fórmula general, pero es más cómodo resolverlas

despejando directamente la x.

En el primer caso,

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ax2 + bx = 0 → (ax + b)x = 0

Una solución es x = 0 y la otra se obtiene resolviendo la ecuación lineal ax + b = 0. Por

ejemplo:

3x2 + 5x = 0 → (3x + 5)x = 0

Las soluciones son: x = 0; x = -5/3.

En el segundo caso,

ax2 + c = 0 → ax2 = -c → x2 = -c/a

Por ejemplo:

3x2 - 17 = 0 → 3x2 = 17

Las soluciones son:

Método general de resolución

Los pasos que hay que seguir en la resolución de ecuaciones son:

1. o Eliminar paréntesis. 2. o Reducir términos semejantes (si los hubiera). 3. o Transponer términos. Pasos que se pueden repetir. 4. o Reducir términos semejantes. Pasos que se pueden repetir. 5. o Despejar la incógnita y hallar su valor numérico.

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Para comprender bien la temática:

Igualdad

Una igualdad se compone de dos expresiones unidas por el signo

igual.

2x + 3 = 5x − 2

Una igualdad puede ser:

Falsa:

2x + 1 = 2 · (x + 1) 2x + 1 = 2x + 2 1≠2.

Cierta

2x + 2 = 2 · (x + 1) 2x + 2 = 2x + 2 2 = 2

Identidad

Una identidad es una igualdad que es cierta para cualquier

valor de las letras.

2x + 2 = 2 · (x + 1) 2x + 2 = 2x + 2 2 = 2

Ecuación

Una ecuación es una igualdad que se cumple para algunos

valores de las letras.

x + 1 = 2 x = 1

Los miembros de una ecuación son cada una de las expresiones

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que aparecen a ambos lados del signo igual.

Los términos son los sumandos que forman los miembros.

Las incógnitas son las letras que aparecen en la ecuación.

Las soluciones son los valores que deben tomar las letras para

que la igualdad sea cierta.

2x − 3 = 3x + 2 x = −5

2 · (−5) − 3 = 3 · (−5) + 2

− 10 −3 = −15 + 2 −13 = −13

El grado de una ecuación es el mayor de los grados de los

monomios que forman sus miembros.

Tipos de ecuaciones según su grado

5x + 3 = 2x +1 Ecuación de primer grado.

5x + 3 = 2x2 + x Ecuación de segundo grado.

5x3 + 3 = 2x +x2 Ecuación de tercer grado.

5x3 + 3 = 2x4 +1 Ecuación de cuarto grado.

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Ecuaciones polinómica enteras

Las ecuaciones polinómica son de la forma P(x) = 0 , donde P(x)

es un polinomio.

Grado de una ecuación

El grado de una ecuación es el mayor de los grados de los

monomios que forman sus miembros.

Tipos de ecuaciones polinómica

1.1 Ecuaciones de primer grado o lineales

Son del tipo ax + b = 0 , con a ≠ 0, ó cualquier otra ecuación en la

que al operar, trasponer términos y simplificar adoptan esa expresión.

(x + 1)2 = x2 - 2

x2 + 2x + 1 = x2 - 2

2x + 1 = -2

2x + 3 = 0

1.2 Ecuaciones de segundo grado o cuadráticas

Son ecuaciones del tipo ax2 + bx + c = 0, con a ≠ 0.

Ecuaciones de segundo grado incompletas

ax2 = 0

ax2 + b = 0

15

ax2 + bx = 0

1.3 Ecuaciones de tercer grado

Son ecuaciones del tipo ax3 + bx

2 + cx + d = 0, con a ≠ 0.

1.4 Ecuaciones de cuarto grado

Son ecuaciones del tipo ax4 + bx3 + cx2 + dx + e = 0, con a ≠ 0.

Ecuaciones bicuadradas

Son ecuaciones de cuarto grado que no tiene términos de grado

impar.

ax4 + bx2 + c = 0, con a ≠ 0.

1.5 Ecuaciones de grado n

En general, las ecuaciones de grado n son de la forma:

a1xn + a2xn-1 + a3xn-2 + ...+ a0 = 0

2. Ecuaciones polinómicas racionales

Las ecuaciones polinómica son de la forma , donde P(x) y

Q(x) son polinomios.

3. Ecuaciones polinómica irracionales

Las ecuaciones irracionales son aquellas que tienen al menos un

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polinomio bajo el signo radical.

4. Ecuaciones no polinómica

4.1 Ecuaciones exponenciales

Son ecuaciones en la que la incógnita aparece en el exponente.

4.2 Ecuaciones logarítmicas

Son ecuaciones en la que la incógnita aparece afectada por un

logaritmo.

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4.3 Ecuaciones trigonométricas

Son las ecuaciones en las que la incógnita está afectada por una

función trigonométrica. Como éstas son periódicas, habrá por lo general

infinitas soluciones.

Resolución de Ecuaciones de Primer grado

En general para resolver una ecuación de primer grado debemos

seguir los siguientes pasos:

1º Quitar paréntesis.

2º Quitar denominadores.

3º Agrupar los términos en x en un miembro y los términos

independientes en el otro.

4º Reducir los términos semejantes.

5º Despejar la incógnita.

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Despejamos la incógnita:

Agrupamos los términos semejantes y los independientes, y

sumamos:

Quitamos paréntesis:

Agrupamos términos y sumamos:

Despejamos la incógnita:

Quitamos denominadores, para ello en primer lugar hal lamos el

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mínimo común múltiplo.

Quitamos paréntesis, agrupamos y sumamos los términos

semejantes:

Despejamos la incógnita:

Quitamos paréntesis y simplificamos:

Quitamos denominadores, agrupamos y sumamos los términos

semejantes:

Quitamos corchete:

20

Quitamos paréntesis:

Quitamos denominadores:

Quitamos paréntesis:

Agrupamos términos:

Sumamos:

Dividimos los dos miembros por: −9

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Ejercicio resuelto:

Un grifo tarda en llenar un depósito tres horas y otro grifo tarda en

llenarlo cuatro horas. ¿Cuánto tiempo tardarán en llenar los dos grifos

juntos el depósito?

En una hora el primer grifo llena 1/3 del depósito.

En una hora el segundo grifo llena 1/4 del depósito.

En una hora los dos grifos juntos habrán llenado:

7x = 12 x = 12/7 horas

Resolución de Ecuaciones de Segundo Grado

Resolución de ecuaciones de segundo grado

Una ecuación de segundo grado es toda expresión de la forma:

ax2 + bx +c = 0 con a ≠ 0.

Se resuelve mediante la siguiente fórmula:

22

Si es a<0, multiplicamos los dos miembros por (−1).

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Ecuaciones de segundo grado incompletas

Se dice que una ecuación de segundo grado es incompleta

cuando alguno de los coeficientes, b o c, o ambos, son iguales a

cero.

Resolución de ecuaciones de segundo grado incompletas

ax2 = 0

La solución es x = 0.

ax2 + bx = 0

Extraemos factor común x:

24

ax2 + c = 0

Despejamos:

25

Estudio de las soluciones de la ecuación de 2º grado

ax2 +bx +c = 0

b2 − 4ac se llama DISCRIMINANTE de la ecuación y permite averiguar

en cada ecuación el número de soluciones. Podemos distinguir tres

casos:

b2 − 4ac > 0

La ecuación tiene dos soluciones, que son números reales

distintos.

b2 − 4ac = 0

La ecuación tiene una solución doble.

b2 − 4ac < 0

La ecuación no tiene soluciones reales.

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Propiedades de las soluciones de la ecuación de 2º grado

La suma de las soluciones de una ecuación de segundo grado es

igual a:

El producto de las soluciones de una ecuación de segundo grado

es igual a:

Ecuación de 2º grado a partir de sus soluciones

Si conocemos las raíces de una ecuación, podemos escribir

ésta como:

Siendo S = x1 + x2 y P = x1 · x2

Escribe una ecuación de segundo grado cuyas soluciones son: 3 y

−2.

S= 3 − 2 = 1

P = 3 · 2 = 6

x2 − x + 6 = 0

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Factorización de un trinomio de segundo grado

a x2 + bx +c = 0

a · (x -x1 ) · (x -x2 ) = 0

28

Núcleo 3

Resolución de Sistemas de Ecuaciones

Método de Sustitución Resolver un sistema de ecuaciones con dos incógnitas Un sistema de ecuaciones contiene varias ecuaciones para ser resueltas al mismo tiempo y puede tener varias incógnitas en cada ecuación. ¿Cómo podemos resolver de forma sencilla un sistema de dos ecuaciones con dos incógnitas?

Definiciones

Sistema de ecuaciones con dos incógnitas

Un sistema de dos ecuaciones de primer grado con dos incógnitas tiene esta estructura:

donde x e y son incógnitas. a, b, c, d, e y f son valores conocidos que cumplen la siguiente condición: a o b ≠ 0 y d o e ≠ 0.

Ejemplo: es un sistema de dos ecuaciones de primer grado con dos incógnitas.

Resolver un sistema de ecuaciones

Decimos que un par de valores (u, v) es solución de un sistema de ecuaciones si las igualdades de ambas se cumplen cuando sustituimos x por u e y por v en cada ecuación. Ejemplo: queremos comprobar si el par (2, –1) es una solución de este sistema:

Sustituyendo x por 2 e y por –1, obtenemos: , es decir, Las igualdades de ambas ecuaciones son ciertas, por lo que podemos afirmar que el par (2, –1) es la solución de este sistema.

29

Nota: el orden de los números en el par ordenado es importante. Por ejemplo, si expresamos la solución como (–1, 2) estaríamos equivocados, ya que la solución correcta es (2,-1). Esto es así porque la primera componente de un par ordenado siempre hace referencia a la x, mientras que la segunda componente se refiere siempre a la y.

Métodos de resolución

Método de sustitución

Podemos explicar este método mediante un ejemplo.

Resuelve este sistema de ecuaciones: —Tomamos una de las dos ecuaciones para expresar una de las incógnitas en función de la otra. Por ejemplo, vamos a expresar la x en función de y usando la primera ecuación.

Despejando la x en la primera ecuación, el sistema quedaría así: —A continuación, sustituimos la x de la segunda ecuación por el valor que hemos obtenido en la primera (2y + 3). Por eso llamamos a este método de ―sustitución‖. De manera que ahora tenemos el sistema de la siguiente forma:

—Observa que la segunda ecuación ha quedado como una ecuación de primer grado con una incógnita, la y, la cual podemos resolver (reservaremos su valor para utilizarlo más tarde en la primera ecuación). El proceso de simplificación y resolución de la segunda ecuación quedaría así:

; ; ; —Ahora que hemos encontrado el valor de la y, lo sustituimos en la primera ecuación para obtener el valor de x:

, es decir: La solución de este sistema de ecuaciones es (1, –1). Más sobre el método de sustitución

Método para resolver ecuaciones algebraicas sustituyendo una variable con una cantidad equivalente en términos de otra(s) variable(s) de manera que el número total de incógnitas se reduzca a 1. Por ejemplo, para resolver las siguientes ecuaciones simultáneas:

x + y = 3 (1) y

30

x - y = 1 (2)

primero podemos obtener x en términos de y utilizando la ecuación (1):

x = 3 - y (3)

Después, sustituimos x con (3 - y) en la ecuación (2):

(3 - y) - y = 1 (4) 3 - 2y = 1 3 - 1 = 2y 2 = 2y y = 1

Como se muestra, reducimos el número de variables en la ecuación (2) de 2 a 1 utilizando el método de sustitución. El resultado es que obtenemos una nueva ecuación con sólo una variable. Por lo tanto, podemos resolver para y. Después, sustituimos y = 1 de nuevo en la ecuación (1) para resolver para x:

x + 1 = 3 x = 2

31

Núcleo 4

Método de Reducción

y Método de Igualación

Método de reducción

Explicaremos este método mediante un ejemplo.

Resuelve este sistema de ecuaciones: —Multiplicamos por 2 los dos miembros de la primera ecuación, de manera que tengamos el mismo coeficiente para la y en ambas ecuaciones.

El sistema quedaría así: . —Ahora, si restamos las dos ecuaciones, observaremos cómo la incógnita desaparece en ambas:

Observa: y si despejamos: . —Ya solo nos queda sustituir este valor en cualquiera de las dos ecuaciones iniciales para obtener el resultado de la y.

Tomamos el sistema desde el principio y sustituimos la x en cualquiera de ellas :

; ; ; ; ; . La solución del sistema es (3,5, 1,5).

Resolución de sistemas de ecuaciones por el método de reducción

1 Se preparan las dos ecuaciones, multiplicándolas por los

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números que convenga.

2 La restamos, y desaparece una de las incógnitas.

3 Se resuelve la ecuación resultante.

4 El valor obtenido se sustituye en una de las ecuaciones iniciales

y se resuelve.

5 Los dos valores obtenidos constituyen la solución del sistema.

Lo más fácil es suprimir la y, de este modo no tendríamos que

preparar las ecuaciones; pero vamos a optar por suprimir la x, para que

veamos mejor el proceso.

Restamos y resolvemos la ecuación:

Sustituimos el valor de y en la segunda ecuación inicial.

Solución:

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Método de igualación

Explicaremos este método mediante un ejemplo.

Resuelve este sistema de ecuaciones: —Despejamos la misma incógnita en ambas ecuaciones. La que queramos, por

ejemplo la y: —Como las dos ecuaciones son iguales a y, igualamos el segundo miembro de ambas y construimos así una ecuación de primer grado con una incógnita:

Simplificamos y resolvemos para hallar x: ; ;

; ; . —Solo nos queda sustituir este valor en cualquiera de las ecuaciones del sistema

y obtendremos el valor para y: ; ; ; . La solución del sistema es (–1, 3). Nota 1: los tres métodos, sustitución, reducción e igualación, pueden ser usados para resolver cualquier sistema de ecuaciones. Sin embargo, dependiendo de las ecuaciones, nos interesará elegir un método u otro, según cuál nos resulte más sencillo de utilizar. Nota 2: cuando nos encontremos con que algunos de los coeficientes de las ecuaciones sean fraccionarios, es conveniente reducir las fracciones a común denominador y eliminar denominadores antes de empezar a aplicar cualquiera de los tres métodos.

Resolución de sistemas de ecuaciones por el método de igualación

34

1 Se despeja la misma incógnita en ambas ecuaciones.

2 Se igualan las expresiones, con lo que obtenemos una ecuación

con una incógnita.

3 Se resuelve la ecuación.

4 El valor obtenido se sustituye en cualquiera de las dos

expresiones en las que aparecía despejada la otra incógnita .

5 Los dos valores obtenidos constituyen la solución del sistema.

1 Despejamos, por ejemplo, la incógnita x de la primera y segunda

ecuación:

2 Igualamos ambas expresiones:

3 Resolvemos la ecuación:

35

4 Sustituimos el valor de y, en una de las dos expresiones en las

que tenemos despejada la x:

5 Solución:

36

Núcleo 5

Resolución de Ecuaciones Bicuadradas

Resolución de Ecuaciones Bicuadráticas

Se llama bicuadrada la ecuación de la forma: ax4 + bx2 + c = 0 (1)

es decir, una ecuación polinómica de cuarto grado que no tiene términos de grado

impar. Si se realiza el cambio de variable x2 = y, con lo cual x4 = y2, entonces se

transforma en una ecuación de segundo grado: ay2 + by + c = 0 (2)

Cada una de sus soluciones puede dar lugar a dos, una o ninguna solución de la

ecuación inicial. Así, si y es solución de la ecuación (2), se verifica que:

si y1 > 0 , entonces x1 = √y1, x2 = -√y1 son raíces de (1);

si y1 = 0 , también x1 = 0 es raíz de (1);

si y1 < 0 , x2 = y1 no da lugar a ninguna solución real de x.

Por ejemplo, la ecuación bicuadrada: x4 - x2 – 12 = 0

se transforma, mediante el cambio de variable x2 = y, en la ecuación de segundo grado:

y2 - y - 12 = 0

Cuyas soluciones son

y1 = 4, y2 = -3

Para y1 = 4: x2 = 4

Luego, x1 =2, x2 = -2 son soluciones de la ecuación bicuadrada.

Para y2 = -3: x2 = -3

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Por tanto, las únicas raíces de la ecuación x4 - x2 - 12 = 0 son x1 = 2, x2 = -2.