Clase 25 Ecuación de Segundo Grado y Función Cuadrática 2015

Propiedad Intelectual Cpech

Ecuación de segundo grado y función cuadrática


ACOMPAÑAMIENTO ANUALBLOQUE 21

PP

TC

AC

046

MT

21

-A15

V1


¿Cómo reviso mis resultados?

Atiendo al resultado,

comparo mi puntaje con el

ensayo anterior.

Reviso mi puntaje, veo cuánto he

avanzado y me comparo con el

curso.

O soy el que además,

identifico los contenidos que

tengo que reforzar.

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obtenido por la sede


Resultados

por unidad

temática

Resultados por unidad temática


¿Entonces…cómo reviso mis resultados?


Reviso mi resultado, veo mi avance, lo comparo con mi curso y me fijo en los contenidos que debo fortalecer.


Aprendizajes esperados

• Resolver ecuaciones de segundo grado con una incógnita, con raíces reales o complejas.

• Deducir la fórmula de la ecuación general de segundo grado y el comportamiento de sus raíces.

• Determinar concavidad, vértice, eje de simetría e intersección con el eje de las ordenadas en una función cuadrática, estudiando las variaciones que se producen por la modificación de sus parámetros y determinar el dominio y recorrido de la función.

• Analizar la existencia de los ceros o raíces de una función cuadrática, mediante la interpretación del discriminante y determinarlos, indicando a qué conjunto pertenecen.

• Analizar las distintas representaciones de la función cuadrática.

• Utilizar la función cuadrática para modelar situaciones o fenómenos en contextos significativos, y representarlos gráficamente.


Contenidos

Resolución de ecuaciones de segundo grado.

Ecuación de segundo grado

y función cuadrática

Análisis de función cuadrática.

Determinación y análisis del discriminante.



Una ecuación cuadrática o de segundo grado es de la forma:

ax2 + bx + c = 0 con a ≠ 0

Ejemplos:

1) 5x2 + 3x + 1 = 0

2) – 2x2 + 7x – 1 = 0

3) x2 – 2x + 8 = 0

Toda ecuación de segundo grado tiene 2 soluciones o raíces.

a = 5, b = 3 y c = 1

a = – 2, b = 7 y c = – 1

a = 1, b = – 2 y c = 8


Raíces de una ecuación de segundo grado

Ejemplo:

¿Cuáles son las raíces o soluciones de la ecuación x2 – 3x – 4 = 0?

–(– 3) ± (– 3)2 – 4·1·(– 4)2·1x =

3 ± 9 + 162

x =

– b ± b2 – 4ac

2ax =


Una ecuación de segundo grado, se resuelve mediante la siguiente fórmula:

a = 1, b = – 3 y c = – 4


2x1 =

82

x2 = – 2

x1 = 4 x2 = – 1

3 ± 252

x =

3 ± 52

x =




También podemos obtener las raíces de la ecuación, factorizando como producto de binomios:

x2 – 3x – 4 = 0

(x – 4)(x + 1) = 0

(x – 4)= 0 ó (x + 1)= 0

x1 = 4 x2 = – 1



Ejemplo:


ca

x1 · x2 =

Propiedades de las raíces

Si x1 y x2 son las raíces de la ecuación de segundo grado, de la forma ax2 + bx + c = 0, entonces:

– ba

x1 + x2 =1)

2)


Ejemplo:Si en la ecuación x2 – 3x – 4 = 0, a = 1, b = – 3 y c = – 4, entonces:

–(– 3)1

x1 + x2 =

x1 + x2 = 3

– 41

x1 · x2 =

x1 · x2 = – 4


x2 – (x1 + x2)·x + x1·x2 = 0

Propiedades de las raíces

¿Cómo determinar una ecuación de segundo grado a partir de sus soluciones x1 y x2?


Ejemplo:

Al conocer x1 y x2, la ecuación se puede escribir como

Una ecuación de segundo grado cuyas soluciones son 4 y − 2 es

x2 – (4 + (– 2))·x + 4·(– 2) = 0

x1 = 4, x2 = – 2

x2 – 2x – 8 = 0


Discriminante

En una ecuación de segundo grado, de la forma ax2 + bx + c = 0,la expresión b2 – 4ac, se denomina “discriminante” y su valor permite conocer la naturaleza de las raíces.

Δ = b2 – 4ac

a) Si b2 – 4ac > 0, entonces la ecuación tiene dos soluciones reales y distintas.


b) Si b2 – 4ac < 0, entonces la ecuación NO tiene solución real.

c) Si b2 – 4ac = 0, entonces la ecuación tiene dos soluciones reales e iguales.


Discriminante


Ejemplo:

1) 2x2 – x – 3 = 0 b2 – 4ac = (– 1)2 – 4∙2∙(– 3)

b2 – 4ac = 1 + 24

b2 – 4ac = 25 > 0

Entonces la ecuación tiene dos soluciones reales y distintas

Al resolver la ecuación, lo podremos comprobar.

a = 2, b = – 1 y c = – 3

– b ± Δ

2ax =

1 ± 25

4x =

1 + 5

4x1 =

1 – 5

4x2 = x2 = – 1

32

x1 =


Discriminante


Ejemplo:

2) x2 – 6x + 10 = 0 b2 – 4ac = (– 6)2 – 4∙1∙(10)

b2 – 4ac = 36 – 40

b2 – 4ac = – 4 < 0

Entonces la ecuación tiene no tiene solución real. Tiene dos soluciones complejas conjugadas.

a = 1, b = – 6 y c = 10

Al resolver la ecuación, lo podremos comprobar. – b ± Δ

2ax =

6 ± – 4

2x =

6 + 2i

2x1 =

6 – 2i

2x2 = x2 = 3 – i

x1 = 3 + i


Discriminante


Ejemplo:

3) 25x2 + 10x + 1 = 0 b2 – 4ac = (10)2 – 4∙25∙(1)

b2 – 4ac = 100 – 100

b2 – 4ac = 0

Entonces la ecuación tiene dos soluciones reales e iguales.

a = 25, b = 10 y c = 1

Al resolver la ecuación, lo podremos comprobar. – b ± Δ

2ax =

– 10 ± 0

50x =

– 10 + 0

50x1 =

– 10 – 0

50x2 =

x1 = – 1 5

x2 = – 1 5



ax2 = 0

con a ≠ 0

Ejemplo:

3x2 = 0

ax2 + bx = 0 ax2 + c = 0

Las soluciones son

con a ≠ 0 con a ≠ 0

Ejemplo:

x2 + 3x = 0

x(x + 3) = 0

x1 = 0x2 = – 3

Ejemplo:

x2 – 25 = 0

x2 = 25

x1 = 5 x2 = – 5

Una ecuación de segundo grado es incompleta cuando b o c (o ambos) son iguales a cero. Por tanto, existen tres tipos:

x1 = 0

x2 = 0

Las soluciones son

x1 = 0

x2 = a

b a

c

Las soluciones son

a

c

x1 =

x2 =

x1 = 0x2 = 0


Función cuadrática

Definición

Es de la forma: f(x) = ax2 + bx + c

Ejemplos:

y su representación gráfica

corresponde a una parábola

a) Si f(x) = 2x2 + 3x + 1

b) Si f(x) = 4x2 – 5x – 2

a = 2, b = 3 y c = 1

a = 4, b = – 5 y c = – 2

con a 0; a, b, c IR


Intersección con eje Y

En la función cuadrática, f(x) = ax2 + bx + c , el coeficiente c indica la ordenada del punto donde la parábola intersecta al eje Y.

x

y

x

y

c(0, c)



Concavidad

En la función cuadrática, f(x) = ax2 + bx + c , el coeficiente a indica si la parábola es cóncava hacia arriba o hacia abajo.

Si a > 0,es cóncava hacia arriba

Si a < 0,es cóncava hacia abajo



Concavidad

Luego, la parábola intersecta al eje Y en el punto (0, – 4) y es

cóncava hacia arriba.

x

y

Ejemplo:

En la función f(x) = x2 – 3x – 4 , a = 1 > 0 y c = – 4.

(0, – 4)



Eje de simetría y vértice

El eje de simetría es la recta que pasa por el vértice de la parábola, y es paralela al eje Y.

x

y Eje de simetría

Vértice

El vértice de una parábola es el punto más alto o más bajo de la curva, según sea su concavidad.



Si f(x) = ax2 + bx + c , entonces:

b) Su vértice es:

a) Su eje de simetría es:

2a 2aV = –b , f –b

4a –b , 4ac – b2

2aV =

–b2a

x =




Ejemplo:

2·1 –2x =

En la función f(x) = x2 + 2x – 8, a = 1, b = 2 y c = – 8, entonces:

V = (– 1, f(– 1) )

a) Su eje de simetría es: x = – 1

b) Su vértice es:

V = (– 1, – 9)

2a –b

x =

–b , f –b2a 2a

V =




f(x)

V = (– 1, – 9 )

x = – 1Eje de simetría:

Vértice:





Nota: Si la parábola es cóncava hacia arriba, el vértice es el punto mínimo y si la parábola es cóncava hacia abajo, el vértice es el punto máximo.



Discriminante

Al igual que en la ecuación de segundo grado, el discriminante de una función cuadrática se define como:

Δ = b2 – 4ac

a) Si el discriminante es positivo, entonces la parábola intersecta

en dos puntos al eje X.

Δ > 0



b) Si el discriminante es negativo, entonces la parábola NO

intersecta al eje X.

Δ < 0

Discriminante



c) Si el discriminante es igual a cero, entonces la parábola

intersecta en un solo punto al eje X, es decir, es tangente

a él.

Δ = 0

Discriminante



x2x1

Una ecuación cuadrática o de segundo grado es de la forma:

ax2 + bx + c = 0, con a ≠ 0

Toda ecuación de segundo grado tiene 2 soluciones o raíces. Si estas son reales, corresponden a los puntos de intersección de la parábola f(x) = ax2 + bx + c con el eje X.

Relación entre función y ecuación cuadrática



Ejemplo:

Para determinar los puntos de intersección con el eje X de la función f(x) = x2 – 2x – 15, se debe resolver la ecuación cuadrática x2 – 2x – 15 = 0, ya que la curva corta al eje X cuando f(x) es cero.


Relación entre función y ecuación cuadrática

Como x2 – 2x – 15 = (x + 3)(x – 5) (x + 3)(x – 5) = 0

Luego, las soluciones o raíces de la ecuación son x1 = – 3 y x2 = 5, debido a que un producto es cero cuando al menos uno de los factores es cero.

Por lo tanto, los puntos de intersección de la parábola f(x) = x2 – 2x – 15 con el eje X son (– 3, 0) y (5, 0).


La alternativa correcta es…

I) Si a > 0, entonces la gráfica de la función es una parábola

que se abre hacia arriba.

II) La gráfica intersecta al eje de las ordenadas en el punto

(0,c).

III) Si a = 0 y b ≠ 0, su gráfica es una recta que pasa por el

punto (0,c).

A) Solo I

B) Solo II

C) Solo I y II

D) Solo I y III

E) I, II y III

Apliquemos nuestros conocimientos

1. ¿Cuál(es) de las siguientes afirmaciones es (son) verdadera(s),

con respecto a la función f(x) = ax2 + bx + c?


EHabilidad: ASE

Resolución:


I) Verdadera, ya que si a > 0, entonces la gráfica de la función

es una parábola que se abre hacia arriba.

II) Verdadera, ya que si x = 0, f(0) = a∙02 + b∙0 + c = c. Luego,

la gráfica pasa por el punto (0,c), intersectando en ese

punto al eje de las ordenadas.

III) Verdadera, ya que si a = 0 y b ≠ 0, entonces f(x) = bx + c.

Luego, la función sería del tipo afín, o lineal si c = 0, y su

gráfica sería entonces una recta que pasa por el punto

(0,c). Por lo tanto, las tres afirmaciones son verdaderas.



A) – 1 y 24

B) – 2 y 12

C) – 12 y 2

D) – 8 y 3

E) – 3 y 8


2. ¿Cuáles son las raíces o soluciones de la ecuación x2 + 5x = 24?


DHabilidad: Aplicación

Resolución:


Al resolver la ecuación x2 + 5x = 24, resulta

(Factorizando)

x2 + 5x = 24

(x – 3) (x + 8) = 0

x2 + 5x – 24 = 0

(x + 8) = 0ó

x2 = – 8x1 = 3

(x – 3) = 0




3. ¿Cuál de las siguientes afirmaciones es falsa, con respecto a la

ecuación x2 – 3x + 7 = 0?

A) La ecuación no tiene solución real.

B) El producto de sus raíces o soluciones es 7.

C) Tiene dos soluciones reales y distintas.

D) El discriminante asociado a la ecuación es igual a – 19.

E) Una de sus raíces o soluciones es 4

19- 3


CHabilidad: Aplicación

Resolución:


En la ecuación x2 – 3x + 7 = 0, el discriminante es: b2 – 4ac = (– 3)2 – 4∙1∙(7)

a = 1, b = – 3 y c = 7

b2 – 4ac = 9 – 28

b2 – 4ac = – 19

Como el discriminante es -19, menor que cero, entonces la ecuación no tiene solución real. Luego, la alternativa C es falsa, confirmando la veracidad de las alternativas A y D. Además,

3 ± -19

2x =

3 + -19

2x1 =

3 – -19

2x2 =

Por lo tanto, se verifica la alternativa E. Finalmente, B también es verdadera ya que

ca

x1 · x2 = = 7




4. ¿Cuál de las siguientes funciones podría estar representada en la parábola del gráfico?

Fuente : DEMRE - U. DE CHILE, Proceso de admisión 2013.

51

5

A) f(x) = – x2 + 6x – 5

B) g(x) = x2 + 6x + 5

C) h(x) = x2 – 6x + 5

D) m(x) = x2 + 5x + 6

E) n(x) = – x2 + 5x + 5


CHabilidad: Comprensión

Resolución:


51

5

La parábola, es abierta hacia arriba, por lo tanto, el coeficiente que acompaña a x2 es positivo. Así, descartamos las funciones f y n (alternativas A y E).

Por otro lado, la parábola intersecta al eje de las ordenadas en el punto (0,5). Luego, descartamos la función m (alternativa D), ya que su coeficiente de posición es 6.

x2 – 6x + 5 = 0

La función h, es abierta hacia arriba, intersecta al eje de las ordenadas en el 5, y al resolver la ecuación cuadrática asociada resulta:

(x – 1)(x – 5) = 0 (x – 5) = 0ó

x1 = 1 x2 = 5

(x – 1) = 0

Por lo tanto, intersecta al eje de las abscisas en 1 y 5.



5.


¿Cuál(es) de las siguientes afirmaciones es (son) verdadera(s),

con respecto a la función f(x) = x2 – 4x – 18?

I) Su eje de simetría es x = 2

II) Su gráfico intersecta al eje de las ordenadas en el punto (0, – 18).

III) El valor mínimo que alcanza es – 22.

A) Solo I

B) Solo II

C) Solo I y II

D) Solo I y III

E) I, II y III


EHabilidad: ASE

Resolución:


I) Verdadera, ya que el eje de simetría es

II) Verdadera, ya que si c = – 18, la parábola intersecta al eje de las

ordenadas en el punto (0, – 18).

III) Verdadera, ya que el valor mínimo que alcanza la función es

x = = = 2. 2a –b

Si f(x) = x2 – 4x – 18, entonces a = 1, b = – 4 y c = – 18. Luego:

2 4

18242 f(2) 2a

bf 2

1884 22

Por lo tanto, las tres afirmaciones son verdaderas.


Prepara tu próxima clase

En la próxima sesión, estudiaremos

Función raíz cuadrada y función potencia


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Equipo Editorial: Área Matemática

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