MATEMÁTICAS IIIMATEMÁTICAS IIIMATEMÁTICAS IIIMATEMÁTICAS III

ECUACIONES DE 2º ECUACIONES DE 2º GRADOGRADOECUACIONES DE 2º ECUACIONES DE 2º GRADOGRADOLa FORMA GENERAL de la

ecuación de 2°. grado es:02 cbxax

Sí es una ecuación de 2°. grado

b) 5 3 2 3 3 12 2 2x x x x x 2 4 0x NO

a Coeficiente de x2Nota: a no puede ser igual a cerob Coeficiente de x

c Término independienteUna ecuación es de 2°. grado, si después de simplificada, el mayor exponente de la

variables es 2.

x x x x3 1 6 2 1 a) 3 8 3 02x x

a = 3 b = 8 c = - 3

Si a = 0

entonces no es una ecuación de 2°. gradob = 2 ; c = 4

ECUACIONES INCOMPLETASECUACIONES INCOMPLETAS

Una ecuación de 2º grado puede ser reducida a una expresión

del tipo 0 donde 02 acbxax

* Si b = 0 obtenemos la expresión:

ax c2 0

Se le llama Incompleta Pura porque b = 0

* Si c = 0 obtenemos la expresión: ax bx2 0

Se le llama Incompleta Mixta porque c = 0

RESOLUCIÓN DE ECUACIONES DE 2º RESOLUCIÓN DE ECUACIONES DE 2º GRADOGRADOEcuaciones Incompletas PurasEcuaciones Incompletas Puras: b=0Ecuaciones Incompletas PurasEcuaciones Incompletas Puras: b=0

Observa el triángulo rectángulo y determina el valor de x.

12 cm

15 cm

X

Por el Teorema de Pitágoras sabemos que:

15 122 2 2 x

225 144 225 144 812 2 2x x x

Es una ecuación incompleta pura porque b b = 0= 0. No existe término en x.Es una ecuación incompleta pura porque b b = 0= 0. No existe término en x.

x x x2 81 81 9 Solución de la ecuación = { -9 , 9}

Respuesta: x es igual a 9, porque el valor del lado no puede ser negativoRespuesta: x es igual a 9, porque el valor del lado no puede ser negativo

Reducir las ecuaciones a expresiones del tipo

Indicar el valor de a , b y c, para determinar su solución.

002 a con cbxax

a) 3 2 1 242x x x x

3 6 24

2 18 0

2 2

2

x x x x

x

1º. Reducir a la forma general

ax bx c2 0

a = 2 ; b = 0 ; c = -18

2 1818

22 2x x

x x x2 9 9 32º. Resolver la ecuación e indicar su solución.

Solución = { - 3 , 3 }

b) 5 2 3 22x x x 1º Reducir a la forma general

ax bx c2 0

10 5 3 2 02x x x

5 15 02x a = 5 ; b = 0 ; c = 15

5 152x

x x2 215

53

2º Resolver la ecuación

Ecuación COMPLEJA, no existe un nº real cuyo cuadrado sea negativo.

x 3

No hay solución en el campo de los números reales

Ecuaciones Incompletas Mixtas:Ecuaciones Incompletas Mixtas: c c =0=0Ecuaciones Incompletas Mixtas:Ecuaciones Incompletas Mixtas: c c =0=0

7 28 02x x a = 7 ; b = 28 ; c = 0

1º Factorizar con respecto a X

x x7 28 0

2º Si el resultado es cero, cualquiera de los factores debe ser cero

02870 x ; x

3º Encontrar las soluciones

728 0 21 xyx

4y 0 21 xx

Solución = { 0, -4 }

Resolver la Resolver la ecuación:ecuación:

a = 2 ; b = 3 ; c = 0

1º Reducir a la forma general

x xx

2

3

3 4

22 3

6262

122

33²6

622

122

33

2

xxx

xxx

2 9 36 12 362x x x

2 3 02x x

x x2 3 0

032 0 21 xxyx

23 0 21 xyx

3º Factorizar con respecto a XX

4º Si el producto es cero, cualquiera de los factores debe ser cero

2° Multiplicar ambos miembros por 6 para eliminar los denominadores

Ecuaciones Ecuaciones CompletasCompletasEcuaciones Ecuaciones CompletasCompletasResolución por la Fórmula

GeneralDada una ecuación del tipo 0 02 aconcbxax

Podemos encontrar sus soluciones, utilizando la siguiente fórmula:

a

cabbx

242

Fórmula General

La expresión que está dentro del radical se le llama DISCRIMINANTE, se representa por:

cab 42

Resolver la Resolver la EcuaciónEcuaciónResolver la Resolver la EcuaciónEcuación

2 3 02x x a = 2 ; b = 1 ; c = - 3

x1 1 4 2 3

2 2

2

x1 1 24

4

x1 5

4

451

451

21 xyx

1y 23

44y

46

2121 xxxx Soluciones o Raíces

xb b ac

a

2 4

2

Conclusión: Si el DiscriminanteDiscriminante es positivo, la ecuación tiene dos raíces reales y diferentes.

Resolver la Resolver la EcuaciónEcuaciónResolver la Resolver la EcuaciónEcuación

x x2 3 5 0

x3 3 4 1 5

2 1

2

a = 1 ; b = - 3 ; c = 5

xb b ac

a

2 4

2

x3 9 20

2

x3 11

2

La ecuación no tiene soluciones reales

Conclusión: Si el DiscriminanteDiscriminante es negativo, la ecuación no tiene solución en el campo de los números reales. Sus raíces son complejas.

x

12 0

4

Resolver la Resolver la EcuaciónEcuaciónResolver la Resolver la EcuaciónEcuación

2 28 12 102x x

2 12 18 02x x a = 2 ; b = - 12 ; c = 18

1º Reducir a la forma general

xb b ac

a

2 4

2

x

12 12 4 2 18

2 2

2

x12 144 144

4

4

012 4

01221 xyx 3 3 21 xyx Raíce

s igualesConclusión: Si el DiscriminanteDiscriminante es cero, la ecuación

tiene dos raíces iguales.

APLICACIÓN DE LAS ECUACIONES DE 2º APLICACIÓN DE LAS ECUACIONES DE 2º GRADOGRADOAPLICACIÓN DE LAS ECUACIONES DE 2º APLICACIÓN DE LAS ECUACIONES DE 2º GRADOGRADODeterminar el perímetro del triángulo

rectángulo.

(2x+1)

cm

(x+3) cm

(3x+2)

cm Por el Teorema de Pitágoras: 3 2 2 1 32 2 2x x x

9 12 4 4 4 1 6 92 2 2x x x x x x

4 2 6 02x x

x

2 2 4 4 6

2 4

2

8

102 8

10221 xyx 1y

23

21 xx

cm 5.22233

X no puede ser 3

2

3 1 2 5 cm 1 3 4 cm

2 1 1 3 cm

Perímetro = 5+3+4 =12 cm

MARZO DE 2002

Ahora hay que poner en práctica

lo aprendid

o