Ecuaciones lineales, ecuaciones sin fracciones, con coeficientes fraccionarios e incógnita en el numerador y denominador, como modelo matemático.

Resultado del aprendizaje Identificar y resolver ecuaciones lineales aplicando las propiedades de la igualdad. Competencias a desarrollar Genéricas: 5. Desarrolla innovaciones y propone soluciones a problemas a partir de métodos establecidos. 5.1. Sigue instrucciones y procedimientos de manera reflexiva comprendiendo como cada uno de sus pasos contribuye al alcance de su objetivo. 5.2. Ordena información de acuerdo a categorías, jerarquías y relaciones. 5.3. Identifica los sistemas y reglas o principios medulares que subyacen a una serie de fenómenos. Disciplinares: 1. Construye e interpreta modelos matemáticos mediante las aplicaciones de procedimientos aritméticos, geométricos y variacionales, para la comprensión y análisis de situaciones reales, hipotéticas o formales. 3. Explica e interpreta los resultados obtenidos mediante procedimientos matemáticos y los contrasta con modelos establecidos o situaciones reales. 5. Analiza las relaciones entres dos o más variables de un proceso social o natural para determinar o estimar su comportamiento. Se forman equipos y se les asigna un problema. 1. Al visitar un museo una familia pago $260 por cuatro boletos de adulto y cuatro de niño. Si se sabe que pagaron $15 más por cada boleto de adulto, ¿cuánto pagaron por cada boleto de adulto y cada boleto de niño? 2. El papá de Blanca destina la tercera parte de su salario quincenal para comprar alimentos y la mitad para pagos diversos; si le sobran $500 ¿qué cantidad de su sueldo gasta en alimentos? Una vez que leyeron los problemas, contesten lo siguiente: Cada equipo debe plantear una ecuación resultante. ¿Existen diferencias entre las ecuaciones presentadas? ________________________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________________________ ¿Puedes resolver las ecuaciones obtenidas? ________________________________________________________________________________________ DESARROLLO Ecuaciones lineales En la vida diaria, y más especialmente en el mundo del trabajo, nos encontramos con situaciones que nos llevan a plantear Ecuaciones Lineales. A partir de la época de los faraones, el objeto básico del algebra ha permanecido invariable, haciendo posible la solución de un problema matemático en donde hay un número desconocido. La incógnita se representa por un símbolo abstracto elevado a la primera potencia, que se utiliza hasta que puede establecerse su valor numérico. A fin de precisar un problema y poder simplificarlo, es necesario una

ecuación, es decir establecer una proposición “de qué es igual a qué”. Es necesario establecer la diferencia e importancia entre los conceptos de igualdad, identidad y ecuación, ya que dichos conceptos juegan un papel importante en el campo de las matemáticas. En el conjunto de las expresiones algebraicas, una igualdad entre ellas es una relación de equivalencia. Por lo cual, una igualdad la podemos definir de la siguiente manera:

IGUALDAD Es la expresión matemática que está formada por dos cantidades que expresan la misma cantidad. También se puede expresar como una relación de equivalencia.

Esta relación se indica con el símbolo =, que se lee

"igual a" o "es igual a" . Identidad Es una igualdad que se verifica para cualquier valor que se le asigne a las literales que están en ambas expresiones.

Ecuación Es una igualdad en la que hay una o varias cantidades desconocidas a las cuales se les llama incógnitas, y cuyo valor solo se verifica para determinados valores de ellas.

Por ejemplo: Si tenemos la igualdad 8(x + 3) = 8x + 24 y la evaluamos para algunos valores de la variable “x”, obtenemos los siguientes resultados:

Por ejemplo: Si tenemos la igualdad 3x − 4 = 8 y la evaluamos para algunos valores de la variable “x”,

obtenemos los siguientes resultados:

En esta expresión la igualdad se cumple para cualquier valor de la variable. Por lo tanto, es una identidad.

La ecuación se satisface únicamente para x = 4. Por lo tanto, esta expresión es una ecuación.

Propiedades de la igualdad En el proceso de resolver una ecuación, es necesario realizar operaciones que den lugar a otras ecuaciones y saber si la ecuación derivada es “equivalente” a la ecuación original, para ello se deben tener presentes

las siguientes propiedades de la igualdad: Propiedad Aditiva

Ejemplo:

Si a ambos miembros de una igualdad le sumamos o restamos el mismo número entonces se obtiene una ecuación equivalente. Como consecuencia se deduce que se puede transponer un término de una ecuación de un miembro a otro cambiándole el signo.

Propiedad

Multiplicativa

Ejemplo:

Si a ambos miembros de una igualdad le multiplicamos o dividimos por el mismo número (diferente de cero) entonces se obtiene una ecuación equivalente.

Otras transformaciones que se realizan en el proceso de resolución de ecuaciones son las que resultan de elevar ambos miembros de una ecuación a una misma potencia, obteniéndose otra ecuación, la cual no necesariamente es equivalente a la original. Igual proceso se obtiene al extraer una misma raíz. Por ejemplo:

Potencia Extraer raíz

Transposición de miembros Los miembros de la igualdad pueden cambiar sus lugares sin que la igualdad se altere. Por ejemplo: Si tenemos es igual a tener Transposición de términos. Los términos de una igualdad pueden cambiarse de un miembro a otro, pero cambian los signos de estos. Por ejemplo: Si tenemos y Despejamos a2 Despejamos b2 Por lo tanto para resolver una ecuación de primer grado es preciso aplicar las propiedades de la igualdad. Para cambiar un término de un miembro a otro miembro (transposición de términos), hay que tener en mente los siguientes principios:

Si está sumando pasa restando (cambiando a la operación contraria).

Si está restando pasa sumando (cambiando a la operación contraria).

Si está multiplicando pasa dividiendo (cambiando a la operación contraria sin cambiar el signo).

Si está dividiendo pasa multiplicando (cambiando a la operación contraria sin cambiar el signo). Ecuación de primer grado Una ecuación es una igualdad, con signo =, en donde las letras desconocidas se llaman incógnitas, las cuales se indican, en minúsculas, con las letras del alfabeto. Además, una ecuación se cumple solo para determinados valores de las incógnitas. En una ecuación, la expresión a la izquierda del signo igual se llama primer miembro; la expresión a la derecha del signo se llama segundo miembro. Por ejemplo: 5x + 8 = x − 5 Primer miembro Segundo miembro Cuando un conjunto de números se pone en lugar de las incógnitas e iguala los dos miembros de la ecuación, se dice que satisface la ecuación. Al conjunto de números se le llama solución o raíces de la ecuación. Grado de una ecuación El grado de una ecuación lo determina el exponente de mayor grado de la incógnita. Así mismo, este grado determina el numero de soluciones por encontrar. Por ejemplo:

Ecuación de primer grado o ecuación lineal Ecuación de segundo grado o ecuación Cuadrática Ecuación de tercer grado etc.

Una

Dos

Tres

etc.

Ecuaciones Equivalentes: Son dos ecuaciones que tienen exactamente las mismas soluciones. Por ejemplo:

Son ecuaciones equivalentes ya que el conjunto solución de ambas es x=7. Una ecuación lineal con una incógnita es aquella que puede escribirse en la forma siguiente:

ax + b = c , donde a es diferente de cero.

Estas ecuaciones también reciben el nombre de ecuaciones de primer grado, ya que el termino de mayor grado en ellas es 1, es decir esta elevada a la primera potencia. Para resolver una ecuación lineal con una incógnita, se puede utilizar el siguiente procedimiento:

Efectuar, si las hay, las operaciones indicadas.

Reunir en un miembro todos los términos que contengan la incógnita y en el otro miembro todas las cantidades conocidas.

Reducir los términos semejantes en cada miembro de la ecuación.

Despejar la incógnita.

Los resultados se comprueban sustituyendo en los dos miembros de la ecuación, la incógnita por el valor obtenido, si este es correcto la ecuación se convertirá en una identidad.

Ecuaciones sin fracciones Ejemplo de inducción Resolver la siguiente ecuación lineal con una incógnita. Ecuación 2x − 7 = −8 + x

Identificación de los Miembros

Términos que contienen una variable o incógnita

Términos que no contienen variables

Primer miembro 2x − 7

2x − 7

Segundo miembro

− 8 + x x − 8

Solución de la ecuación lineal

Ecuación

2x − 7 = −8 + x

Del primer miembro despejamos el numero -7, al otro lado del signo de igual y con signo positivo.

2x = −8 + x + 7

Ahora la x del segundo miembro la pasamos al otro lado del signo de igual y con signo negativo.

2x − x = −8 + 7

Como en ambos miembros, ya tenemos términos semejantes, los podemos sumar o restar según sea el caso.

x = −1

Comprobación

Una vez encontrado el valor de la variable o incógnita, no se te olvide realizar la comprobación para saber si se cumple la igualdad o expresión algebraica.

Se sustituye el valor encontrado en la ecuación lineal x = - 1.

2 (-1) – 7 = - 8 + (-1)

Se multiplica el 2 por -1.

-2 – 7 = - 8 – 1

Se suman los términos.

- 9 = -9

Se observa claramente que se cumple la expresión algebraica o igualdad.

Ahora resuelve la siguiente ecuación Ecuación 3x + 2 = x − 4

Identificación de los Miembros

Términos que contienen una variable o incógnita

Términos que no contienen variables

Primer miembro

Segundo miembro

Solución de la ecuación

3x + 2 = x − 4

Ahora vamos a ver un ejemplo de ecuaciones lineales con paréntesis.

Resolver la ecuación: Recuerda que el 3 multiplica a lo que está dentro del paréntesis

No debes olvidar que el signo multiplica a lo que está dentro del paréntesis

Se eliminan paréntesis.

27x – 3x + 9 = 3x + 30

Se reúnen términos semejantes.

27x – 3x – 3x = 30 - 9

Se reducen los términos semejantes

21x = 21

Se despeja la variable quitándole la cantidad por la que está siendo multiplicado y se pasa dividiendo.

Se realiza la división.

x = 1

COMPROBACIÓN

Se sustituye el valor encontrado de x.

27 (1) – ( 3(1) – 9) = 3(1+10)

Se realizan las multiplicaciones.

27 –( 3 – 9) = 3 + 30

Se elimina paréntesis.

27 – 3 + 9 = 3 + 30

Se reúnen términos.

33=33

El 3x está positivo pasa negativo El 9 está positivo pasa negativo

Ecuaciones con coeficientes fraccionarios e incógnita en el numerador y denominador. Una ecuación con coeficientes fraccionarios se resuelve multiplicando ambos miembros de esta por el mínimo común múltiplo de los denominadores. Para resolver ecuaciones fraccionarias puedes tomar en cuenta lo siguiente:

Buscar el mínimo común múltiplo de los denominadores.

Se divide el común denominador entre cada uno de los denominadores y se multiplica el resultado por el numerador.

Se agrupan del lado izquierdo los términos que tengan la variable y del lado derecho los términos constantes.

Se realizan las operaciones correspondientes.

Se despeja la incógnita. Nota: Para comprobar que la respuesta sea correcta, solo sustituye el resultado en la ecuación original. Ejemplos de inducción Ejemplo de ecuación con coeficientes fraccionarios en el que la incógnita se encuentra en el numerador.

Se obtiene el mínimo común múltiplo (MCM) de los diferentes denominadores.

Se multiplica toda la ecuación por M.C.M

El resultado de multiplicar por cada uno da como resultado una ecuación lineal sin denominadores:

15x + 28x = 6

Se agrupan del lado izquierdo los términos que tengan la variable y del lado derecho los términos constantes:

15x + 28x = 6

Se realizan las operaciones correspondientes:

43x = 6

Se despeja la variable x.

Ejemplo de ecuación con coeficientes fraccionarios en el que la incógnita se encuentra en el denominador.

Se obtiene el mínimo común denominador M.C.D de los denominadores.

El mínimo común denominador de la literal es:

x

El M.C.D de la ecuación es:

10x

Se multiplica toda la ecuación por M.C.D

El resultado de multiplicar por cada uno de los términos de la ecuación es:

5−20 =14x −10+10x

Se agrupan del lado izquierdo los términos que tengan la variable y del lado derecho los términos constantes:

−14x −10x = −10−5+ 20

Se realiza las operaciones correspondientes:

− 24x = 5

Se despeja la variable x:

Las ecuaciones lineales como modelos matemáticos En las aplicaciones de las matemáticas a la vida real, se usan frecuentemente ecuaciones como modelos matemáticos. La aplicación del algebra en la solución de problemas prácticos, consiste en transformar del lenguaje común al lenguaje algebraico el enunciado de los problemas dados. Los problemas dados en palabras contienen DATOS que representan las cantidades conocidas, y una o varias INCÓGNITAS que representan las cantidades desconocidas y se relacionan entre sí para dar lugar a una ecuación lineal. Para plantear ecuaciones a partir del enunciado de problemas se recomienda lo siguiente:

Leer detenidamente el enunciado del problema hasta entenderlo claramente, identificar las cantidades conocidas (datos) y las desconocidas (incógnitas).

Expresar las incógnitas en términos de una sola variable.

Determinar la relación entre los datos e incógnitas en un planteamiento que forme una o más ecuaciones.

Resuelva la ecuación y compruebe el resultado obtenido, para lo cual es necesario sustituir el valor encontrado en la ecuación y verificar que cumple con la condición dada.

Ejemplo de inducción 1) La edad de Luis es el triple de la de su hermano; si entre ambos suman 32 anos; hallar la edad de Luis.

Datos

La suma de las edades de Luis y su hermano es: 32 anos Edad del hermano : x Edad de Luis : 3x

Planteamiento Entonces el modelo matemático que representa la suma de sus edades es: x + 3x = 32

Operaciones

x + 3x = 32 4x =32 x = 8

Resultados

La edad de su hermano es : 8 anos La edad de Luis es 3x = 3(8) = 24, Es decir 24años.

2) Una compañía de aviación divide a los pasajeros en tres categorías. En uno de sus aviones, la cantidad de asientos de primera clase es la séptima parte del total; la categoría ejecutiva tiene la quinta parte del total de asientos y hay 161 asientos de clase turista. ¿Cuántos asientos tiene ese avión? ¿Cuántos asientos tiene de primera clase? ¿Cuántos asientos tiene la clase ejecutiva?

Datos

Total de asientos : x

Primera clase:

Clase ejecutiva:

Clase turista: 161

Planteamiento

Entonces el modelo matemático es:

Operaciones Nota: Recuerda que debes resolver el problema de acuerdo a los problemas de las ecuaciones con denominadores

Resultados

Total de asientos : 245

Primera clase:

Clase ejecutiva:

CIERRE Ejemplos de aplicación Actividad .- Anota cada uno de los problemas presentados al inicio de la secuencia y la ecuación resultante y con los visto hasta ahora trata de resolverlos. Problema 1. _______________________________________________________________________________________ _______________________________________________________________________________________ _______________________________________________________________________________________ _______________________________________________________________________________________ Ecuación resultante:____________________________________ Solución:___________________________

Práctica 12. Solución de ecuaciones con una y con dos incógnitas

Nombre: _________________________________________________.SAETI.

Ejercicio 1

Ecuaciones con coeficientes enteros, con signos de agrupamiento y denominadores

Resuelve las ecuaciones

1:

2

3:

4:

5:

6:

Z = 13

7: 5c – 9 + c = 2c – 73

C = ‐16

8: y – 2 = ‐5(39 ‐ y)‐ 3

y=49

9: 84 ‐ 19y = ‐ 7 (60 + y)

y = 42

10: 5(4x ‐ 7) ‐ (3x ‐ 1) 2 = ‐5

X = 2

11:

12:

13:

14:

15:

Ejercicio 2

Solución de ecuaciones aplicados a la geometría

1:

2:

3:

Ejercicio 3

Solución de ecuaciones de primer grado con dos incógnitas

Solucionar el sistema por el método de igualación

1

2

3

4

Solucionar el sistema por el método de sustitución

1

2

3

4

Solucionar el sistema por el método de reducción (suma y resta)

1

2

3

4

Métodos de solución de ecuaciones cuadráticas incompletas, puras y mixtas

Resultado del aprendizaje Identificar los tipos de ecuaciones cuadráticas, además de resolver ecuaciones cuadráticas incompletas puras o mixtas por los métodos usuales para cada tipo. Competencias a desarrollar Genéricas: 5. Desarrolla innovaciones y propone soluciones a problemas a partir de métodos establecidos. 5.1. Sigue instrucciones y procedimientos de manera reflexiva comprendiendo como cada uno de sus pasos contribuye al alcance de su objetivo. 5.2. Ordena información de acuerdo a categorías, jerarquías y relaciones. 5.3. Identifica los sistemas y reglas o principios medulares que subyacen a una serie de fenómenos. Disciplinares: 1. Construye e interpreta modelos matemáticos mediante las aplicaciones de procedimientos aritméticos, geométricos y variacionales, para la comprensión y análisis de situaciones reales, hipotéticas o formales. 2. Formula y resuelve diferentes tipos de problemas matemáticos buscando diferentes enfoques. Actividad 1. Rescate de conocimientos previos, para ello es necesario formar equipos para resolver cada uno de los problemas que se presentan: 1. Se tiene un salón de eventos sociales que cuenta con un área de 600m2, deseamos saber cuánto mide de frente y de largo. Para ello lo único que nos cuenta el dueño de dicho salón es que: el largo mide 10 unidades más que el frente. 2. Contamos con un salón de eventos infantiles y deseamos saber sus dimensiones, para ello sabemos que el área de dicho salón es de: 72m2 y que tiene el doble de largo que el ancho. 3. Se tiene un salón de eventos sociales, del cual sabemos que tiene forma cuadrada y su área de: 100m2 A cada uno de los equipos se les asigna un problema y se les pide realizar lo siguiente: 1. Leer cuidadosamente el problema 2. Realizar el dibujo correspondiente al problema asignado 3. Considerar a la variable “x” para representar las medidas de largo y ancho

4. Cada equipo debe plantear y presentar la posible solución: dibujo y ecuación resultante. 5. Comentar cada una de las ecuaciones presentadas por los alumnos. ¿Existen diferencias entre las ecuaciones presentadas?__________________________________________ ¿Puedes resolver las ecuaciones obtenidas?_________ ¿Qué método utilizarías?_____________________ _______________________________________________________________________________________ DESARROLLO Actividad 2. Lee cuidadosamente el siguiente tema y realiza un resumen del mismo.

Ecuaciones cuadráticas Una ecuación cuadrática o de segundo grado con una incógnita, es aquella en la cual el mayor exponente en cualquiera de sus términos es dos. Incógnita: Letra o variable utilizada en una ecuación. La forma general de la ecuación de segundo grado o cuadrática es:

a x 2 + bx + c = 0

Termino de segundo grado con respecto a “x”

Termino de primer grado con respecto a “x”

Termino Independiente

Donde a, b y c representan cualquier número real, y a ≠ 0

Las ecuaciones cuadráticas o de segundo grado pueden ser:

Completas: Son aquellas que contienen los tres términos.

Incompletas: Son aquellas que contienen dos términos, estas pueden ser:

a. Puras: Es aquella que carece del término en “x”: ax2 + c = 0 b. Mixtas: Es aquella que carece del término constante: ax2 + bx = 0

Ejemplos de ecuaciones cuadráticas:

ECUACIONES CUADRATICAS

COMPLETA INCOMPLETA

PURA MIXTA

Actividad 3

Identifica las siguientes ecuaciones cuadráticas, cuales son completas, puras o mixtas.

__________________________

__________________________

__________________________

__________________________

__________________________

Solución de ecuaciones cuadráticas incompletas

Solucionar ecuaciones cuadráticas significa encontrar el valor de la incógnita, como es de segundo grado

esta tendrá dos valores que satisfacen dicha ecuación.

Ecuaciones cuadráticas mixtas.

Las ecuaciones de la forma se resuelven:

Descomponiendo en factores su primer término.

Este tipo de ecuaciones se resuelve por factorización. Para resolver este tipo de ecuaciones primero se

escribe la ecuación en la forma , en caso de ser necesario, después se extrae la “x” como

factor común y por último se iguala cada factor a cero y las soluciones obtenidas forman el conjunto

solución.

Ejemplo:

Extrayendo el factor común “x”:

Igualando a cero cada factor y despejando para “x” :

Las raíces de la ecuación son:

Ejemplos de inducción. Resolver las siguientes ecuaciones cuadráticas mixtas.

Extrayendo el factor común “x”:

Igualando a cero cada factor y despejando para “x”:

Las raíces de la ecuación son:

Extrayendo el factor común “x”:

Igualando a cero cada factor y despejando para “x”:

Las raíces de la ecuación son:

Actividad 4.

Ahora resuelve los siguientes problemas.

Ecuaciones cuadráticas puras

Las ecuaciones de la forma se resuelven:

Despejando el valor de la incógnita

Estas ecuaciones se resuelven directamente mediante la operación de raíz cuadrada.

Resolver las siguientes ecuaciones:

Se despeja la variable x2 Se obtiene la raíz cuadrada de ambos lados Las raíces de la ecuación son:

Actividad 5.

Ejemplos de aplicación.

Anota en tu libreta cada uno de los problemas presentados al inicio de la secuencia y la ecuación resultante,

para que identifiques el tipo de ecuación cuadrática correspondiente a cada uno de ellos.

Métodos de solución de ecuaciones cuadráticas completas: Factorización, completar trinomio y

fórmula general.

Resultado del aprendizaje Resolver las ecuaciones cuadráticas completas por medio de tres métodos, como son la Factorización, Completar trinomio cuadrado perfecto y la Formula general. Competencias a desarrollar Genéricas: 5. Desarrolla innovaciones y propone soluciones a problemas a partir de métodos establecidos. 5.1. Sigue instrucciones y procedimientos de manera reflexiva comprendiendo como cada uno de sus pasos contribuye al alcance de su objetivo. 5.2. Ordena información de acuerdo a categorías, jerarquías y relaciones. 5.3. Identifica los sistemas y reglas o principios medulares que subyacen a una serie de fenómenos. Disciplinares: 1. Construye e interpreta modelos matemáticos mediante las aplicaciones de procedimientos aritméticos, geométricos y variacionales, para la comprensión y análisis de situaciones reales, hipotéticas o formales. 2. Formula y resuelve diferentes tipos de problemas matemáticos buscando diferentes enfoques.

Actividad 1. (Rescate de conocimientos previos.)

Resuelve la siguiente problemática, identificando la relación que tienen problemas de la vida cotidiana,

con modelos matemáticos como el que se pretende establecer.

1. Se tiene un salón de eventos sociales de forma rectangular, que cuenta con un área de 600m2, que

deseamos saber cuánto mide de frente y de largo. Para ello lo único que nos cuenta el dueño de dicho salón

es que: el largo mide 10 unidades más que el frente.

Como no se conoce cuánto mide de frente, representémoslo con una “x” por lo tanto el largo seria “x

+10”. Como el área de un rectángulo se obtiene A = LM x Lm por lo tanto la forma de obtener la ecuación

representativa de este problema es multiplicando el frente (x) por el largo (x+10) e igualarlo al área del salón

(650).

Ecuación resultante: ____________________________________________

¿Sabes qué tipo de ecuación es la que obtuviste?

____________________________________________

¿Conoces algún método para resolver esta ecuación?

__________________________________________

DESARROLLO

Actividad 2.

Lee cuidadosamente y realiza un resumen.

Entre los métodos que se utilizan para resolver ecuaciones cuadráticas completas se encuentra los

siguientes:

Factorización

Completar un trinomio cuadrado perfecto

Formula general

Factorización por el método de trinomio con término común Para resolver una ecuación cuadrática completa por este método se requiere que la ecuación este escrita en su

forma general ax 2 + bx + c = 0 . Este método consiste en descomponer en factores dicha expresión, y

después cada factor se iguala a cero y se resuelve cada ecuación para “x”. Pasos para la solución:

1. Se iguala a cero y se acomodan los términos, considerando primero el termino elevado al cuadrado,

después el que tenga x y por último el termino constante. Es decir, ax 2 + bx + c = 0

2. Se buscan dos números m y n que multiplicados sean el coeficiente c y sumados algebraicamente

sean igual al coeficiente "b" . Si el coeficiente "c" es positivo, los números buscados tienen el

mismo signo.

3. Se escriben dos binomios cuyo termino común sea “x” y los números buscados m y n . Es decir:

( x + m ) ( x + n )

4. Cada binomio se iguala a cero y se obtienen los valores de x. (x + m) (x + n) = 0

( x + m ) = 0 ; ( x + n ) = 0

Ejemplo de inducción Resuelve la ecuación cuadrática. x2 + 7x = −6 se acomoda x2 + 7x + 6 = 0 Se buscan dos números que multiplicados den como resultado el coeficiente del tercer término. (m)(n) = c ; (6)(1) = 6 Los números encontrados (m)(n) que sumados algebraicamente den como resultado el coeficiente del segundo término. (m) + (n) = b (6) + (1) = 7 Se forman dos binomios con los números m y n y que tengan como termino en común a la “x”.

(x + m) (x + n) ; (x + 6) (x +1) Cada binomio se iguala a cero y se obtienen los valores de x. (x + 6) (x +1) = 0

Comprobación

Se sustituye el valor de x = -6 (-6)2 + 7(-6) + 6 =0

36 – 42 + 6 =0

42 – 42 = 0

Se sustituye el valor de x = -1 (-1)2 + 7(-1) + 6 = 0

1 - 7 + 6 = 0 7 – 7 = 0

Actividad 3. Resuelve las siguientes ecuaciones cuadráticas por factorización.

Completar un trinomio cuadrado perfecto El proceso de resolver una ecuación de segundo grado completando un cuadrado perfecto consiste en:

1. Se traslada y se ordenan los términos de la ecuación de tal modo que en el miembro de la izquierda queden los que contienen x2 y x como primero y segundo respectivamente y en el miembro de la derecha el termino independiente.

2. Se divide entre 2 el coeficiente del término que contenga x, y el resultado se eleva al cuadrado para ser sumado a los dos miembros de la ecuación.

3. En el miembro izquierdo queda un trinomio cuadrado perfecto, que lo podemos factor izar como el producto de dos binomios iguales; los cuales se obtienen sacando la raíz cuadrada del primer término, se toma el signo del segundo término y se saca la raíz cuadrada del tercer término y quedan igualados a una cantidad que tiene raíz cuadrada.

4. Debemos considerar que al obtener la raíz cuadrada del miembro de la derecha obtendremos dos valores, uno negativo y el otro positivo.

5. Cada binomio es igualado a un resultado positivo y negativo respectivamente, y encontrando con esto los valores de cada raíz.

Ejemplo de inducción. Resuelve la siguiente ecuación cuadrática X2 – 6X – 7 = 0 utilizando el método de completar un trinomio

cuadrado perfecto. X2 – 6X – 7 = 0

Se traslada el -7 al miembro derecho. X2 – 6X = 7

Se divide entre 2 el coeficiente 6 y el resultado se eleva al cuadrado, y el resultado es sumado a los dos miembros.

Factorizando el miembro izquierdo (x-3)(x-3) =16

Obtener la raíz cuadrada del miembro de la derecha. (x − 3)(x − 3) = (x − 3)(x − 3) = ±4

Se iguala cada binomio a su respectiva raíz y se obtiene el resultado.

(x – 3) =4 x-3=4 x= 4+3 X1 = 7 (x – 3) = -4 x – 3 = - 4 x= - 4+3 X2 = - 1

Comprobación

Se sustituye el valor de x = 7 en la ecuación (7)2 - 6(7) -7 = 0

49 – 42 – 7 = 0

49 – 49 =0

Se sustituye el valor de x = -1 en la ecuación

(-1)2 - 6(-1) – 7 =0

1 + 6 – 7 = 0

7 – 7 =0 Actividad 4. Resuelve en tu libreta las siguientes ecuaciones cuadráticas utilizando el método de completar un trinomio cuadrado perfecto

1) x2 + 6x - 8 = 0

2) x2 + 10x +16= 0

Fórmula general

Existen ecuaciones cuadráticas o de segundo grado, del tipo aX2 – bX – c = 0, con a ≠ 0 que no se pueden

resolver con una sencilla factorización. En este caso, existe una fórmula general que da con exactitud las dos raíces de cualquier ecuación cuadrática que se desee resolver. Con la formula general se puede resolver cualquier ecuación de segundo grado o cuadrática (completa e incompleta) al identificar y sustituir en ella los coeficientes a, b y c . Coeficientes

a del término cuadrático o de segundo grado

b del término lineal o de primer grado

c del término independiente

Ejemplo de inducción. Resolver las siguientes ecuaciones

Identificar los coeficientes:

Sustituyendo los coeficientes en la formula general:

Separando los valores de cada una de las raíces:

Las raíces de la ecuación son:

Identificar los coeficientes:

Sustituyendo los coeficientes en la formula general:

Separando los valores de cada una de las raíces:

Las raíces de la ecuación son:

El discriminante de una ecuación cuadrática y el carácter de sus raíces. Al intentar resolver una ecuación cuadrática, también podemos determinar la naturaleza de sus raíces. Este aspecto previo a la solución de la ecuación cuadrática se efectúa por medio del análisis de la expresión b2 - 4ac, componente de la formula general, dicha expresión llamada discriminante de una ecuación cuadrática. La importancia del discriminante de una ecuación cuadrática es que su valor proporciona el numero y la naturaleza de las raíces de dicha ecuación. De acuerdo al valor del discriminante la naturaleza de las raíces se describen en el siguiente cuadro:

Ejemplos de inducción. De las siguientes ecuaciones determina: a) La naturaleza de las raíces de la ecuación, por medio del valor del discriminante b) El conjunto solución, cuando la naturaleza de las raíces son reales.

Primero se identifican los valores de a, b y c.

a = -2, b = -9 y c = 3

Obtenemos el valor del discriminante d = b2 - 4ac sustituyendo los valores anteriores

Como el valor del discriminante es positivo

Las raíces son reales y diferentes

Se sustituyen los valores de a, b y c en la fórmula general:

para encontrar el conjunto solución

Primero se identifican los valores de a, b y c.

a = 1, b = -6 y c = 9

Obtenemos el valor del discriminante d = b2 - 4ac sustituyendo los valores anteriores

Como el valor del discriminante es positivo

Las raíces son reales e iguales

Se sustituyen los valores de a, b y c en la fórmula general:

para encontrar el conjunto solución

Primero se identifican los valores de a, b y c.

a = -1, b = 5 y c = -7

Obtenemos el valor del discriminante d = b2 - 4ac sustituyendo los valores anteriores

Como el valor del discriminante es negativo; por lo tanto no se sustituirán los valores de a, b y c en la formula, solo se establecerá como son las raíces.

Las raíces no son reales.

CIERRE Actividad 5. Ejercicio de cierre. Para cada una de las siguientes ecuaciones cuadráticas determina: a) La naturaleza de las raíces de la ecuación, por medio del valor del discriminante.

b) El conjunto solución, cuando la naturaleza de las raíces son reales.