Ecuaciones lineales, ecuaciones sin fracciones, con ... Ecuaciones lineales, ecuaciones sin...

download Ecuaciones lineales, ecuaciones sin fracciones, con ... Ecuaciones lineales, ecuaciones sin fracciones,

of 30

  • date post

    02-Oct-2018
  • Category

    Documents

  • view

    246
  • download

    1

Embed Size (px)

Transcript of Ecuaciones lineales, ecuaciones sin fracciones, con ... Ecuaciones lineales, ecuaciones sin...

  • Ecuaciones lineales, ecuaciones sin fracciones, con coeficientes fraccionarios e incgnita en el numerador y denominador, como modelo matemtico.

    Resultado del aprendizaje Identificar y resolver ecuaciones lineales aplicando las propiedades de la igualdad. Competencias a desarrollar Genricas: 5. Desarrolla innovaciones y propone soluciones a problemas a partir de mtodos establecidos. 5.1. Sigue instrucciones y procedimientos de manera reflexiva comprendiendo como cada uno de sus pasos contribuye al alcance de su objetivo. 5.2. Ordena informacin de acuerdo a categoras, jerarquas y relaciones. 5.3. Identifica los sistemas y reglas o principios medulares que subyacen a una serie de fenmenos. Disciplinares: 1. Construye e interpreta modelos matemticos mediante las aplicaciones de procedimientos aritmticos, geomtricos y variacionales, para la comprensin y anlisis de situaciones reales, hipotticas o formales. 3. Explica e interpreta los resultados obtenidos mediante procedimientos matemticos y los contrasta con modelos establecidos o situaciones reales. 5. Analiza las relaciones entres dos o ms variables de un proceso social o natural para determinar o estimar su comportamiento. Se forman equipos y se les asigna un problema. 1. Al visitar un museo una familia pago $260 por cuatro boletos de adulto y cuatro de nio. Si se sabe que pagaron $15 ms por cada boleto de adulto, cunto pagaron por cada boleto de adulto y cada boleto de nio? 2. El pap de Blanca destina la tercera parte de su salario quincenal para comprar alimentos y la mitad para pagos diversos; si le sobran $500 qu cantidad de su sueldo gasta en alimentos? Una vez que leyeron los problemas, contesten lo siguiente: Cada equipo debe plantear una ecuacin resultante. Existen diferencias entre las ecuaciones presentadas? ________________________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________________________ Puedes resolver las ecuaciones obtenidas? ________________________________________________________________________________________ DESARROLLO Ecuaciones lineales En la vida diaria, y ms especialmente en el mundo del trabajo, nos encontramos con situaciones que nos llevan a plantear Ecuaciones Lineales. A partir de la poca de los faraones, el objeto bsico del algebra ha permanecido invariable, haciendo posible la solucin de un problema matemtico en donde hay un nmero desconocido. La incgnita se representa por un smbolo abstracto elevado a la primera potencia, que se utiliza hasta que puede establecerse su valor numrico. A fin de precisar un problema y poder simplificarlo, es necesario una

  • ecuacin, es decir establecer una proposicin de qu es igual a qu. Es necesario establecer la diferencia e importancia entre los conceptos de igualdad, identidad y ecuacin, ya que dichos conceptos juegan un papel importante en el campo de las matemticas. En el conjunto de las expresiones algebraicas, una igualdad entre ellas es una relacin de equivalencia. Por lo cual, una igualdad la podemos definir de la siguiente manera:

    IGUALDAD Es la expresin matemtica que est formada por dos cantidades que expresan la misma cantidad. Tambin se puede expresar como una relacin de equivalencia.

    Esta relacin se indica con el smbolo =, que se lee "igual a" o "es igual a" .

    Identidad Es una igualdad que se verifica para cualquier valor que se le asigne a las literales que estn en ambas expresiones.

    Ecuacin Es una igualdad en la que hay una o varias cantidades desconocidas a las cuales se les llama incgnitas, y cuyo valor solo se verifica para determinados valores de ellas.

    Por ejemplo: Si tenemos la igualdad 8(x + 3) = 8x + 24 y la evaluamos para algunos valores de la variable x, obtenemos los siguientes resultados:

    Por ejemplo: Si tenemos la igualdad 3x 4 = 8 y la evaluamos para algunos valores de la variable x,

    obtenemos los siguientes resultados:

    En esta expresin la igualdad se cumple para cualquier valor de la variable. Por lo tanto, es una identidad.

    La ecuacin se satisface nicamente para x = 4. Por lo tanto, esta expresin es una ecuacin.

    Propiedades de la igualdad En el proceso de resolver una ecuacin, es necesario realizar operaciones que den lugar a otras ecuaciones y saber si la ecuacin derivada es equivalente a la ecuacin original, para ello se deben tener presentes

    las siguientes propiedades de la igualdad: Propiedad Aditiva

    Ejemplo:

    Si a ambos miembros de una igualdad le sumamos o restamos el mismo nmero entonces se obtiene una ecuacin equivalente. Como consecuencia se deduce que se puede transponer un trmino de una ecuacin de un miembro a otro cambindole el signo.

    Propiedad

  • Multiplicativa

    Ejemplo:

    Si a ambos miembros de una igualdad le multiplicamos o dividimos por el mismo nmero (diferente de cero) entonces se obtiene una ecuacin equivalente.

    Otras transformaciones que se realizan en el proceso de resolucin de ecuaciones son las que resultan de elevar ambos miembros de una ecuacin a una misma potencia, obtenindose otra ecuacin, la cual no necesariamente es equivalente a la original. Igual proceso se obtiene al extraer una misma raz. Por ejemplo:

    Potencia Extraer raz

    Transposicin de miembros Los miembros de la igualdad pueden cambiar sus lugares sin que la igualdad se altere. Por ejemplo: Si tenemos es igual a tener Transposicin de trminos. Los trminos de una igualdad pueden cambiarse de un miembro a otro, pero cambian los signos de estos. Por ejemplo: Si tenemos y Despejamos a2 Despejamos b2 Por lo tanto para resolver una ecuacin de primer grado es preciso aplicar las propiedades de la igualdad. Para cambiar un trmino de un miembro a otro miembro (transposicin de trminos), hay que tener en mente los siguientes principios:

    Si est sumando pasa restando (cambiando a la operacin contraria).

    Si est restando pasa sumando (cambiando a la operacin contraria).

    Si est multiplicando pasa dividiendo (cambiando a la operacin contraria sin cambiar el signo).

  • Si est dividiendo pasa multiplicando (cambiando a la operacin contraria sin cambiar el signo). Ecuacin de primer grado Una ecuacin es una igualdad, con signo =, en donde las letras desconocidas se llaman incgnitas, las cuales se indican, en minsculas, con las letras del alfabeto. Adems, una ecuacin se cumple solo para determinados valores de las incgnitas. En una ecuacin, la expresin a la izquierda del signo igual se llama primer miembro; la expresin a la derecha del signo se llama segundo miembro. Por ejemplo: 5x + 8 = x 5 Primer miembro Segundo miembro Cuando un conjunto de nmeros se pone en lugar de las incgnitas e iguala los dos miembros de la ecuacin, se dice que satisface la ecuacin. Al conjunto de nmeros se le llama solucin o races de la ecuacin. Grado de una ecuacin El grado de una ecuacin lo determina el exponente de mayor grado de la incgnita. As mismo, este grado determina el numero de soluciones por encontrar. Por ejemplo:

    Ecuacin de primer grado o ecuacin lineal Ecuacin de segundo grado o ecuacin Cuadrtica Ecuacin de tercer grado etc.

    Una

    Dos

    Tres

    etc.

    Ecuaciones Equivalentes: Son dos ecuaciones que tienen exactamente las mismas soluciones. Por ejemplo:

    Son ecuaciones equivalentes ya que el conjunto solucin de ambas es x=7. Una ecuacin lineal con una incgnita es aquella que puede escribirse en la forma siguiente:

    ax + b = c , donde a es diferente de cero. Estas ecuaciones tambin reciben el nombre de ecuaciones de primer grado, ya que el termino de mayor grado en ellas es 1, es decir esta elevada a la primera potencia. Para resolver una ecuacin lineal con una incgnita, se puede utilizar el siguiente procedimiento:

    Efectuar, si las hay, las operaciones indicadas.

    Reunir en un miembro todos los trminos que contengan la incgnita y en el otro miembro todas las cantidades conocidas.

    Reducir los trminos semejantes en cada miembro de la ecuacin.

    Despejar la incgnita.

  • Los resultados se comprueban sustituyendo en los dos miembros de la ecuacin, la incgnita por el valor obtenido, si este es correcto la ecuacin se convertir en una identidad.

    Ecuaciones sin fracciones Ejemplo de induccin Resolver la siguiente ecuacin lineal con una incgnita. Ecuacin 2x 7 = 8 + x

    Identificacin de los Miembros

    Trminos que contienen una variable o incgnita

    Trminos que no contienen variables

    Primer miembro 2x 7

    2x 7

    Segundo miembro

    8 + x x 8

    Solucin de la ecuacin lineal

    Ecuacin

    2x 7 = 8 + x

    Del primer miembro despejamos el numero -7, al otro lado del signo de igual y con signo positivo.

    2x = 8 + x + 7

    Ahora la x del segundo miembro la pasamos al otro lado del signo de igual y con signo negativo.

    2x x = 8 + 7

    Como en ambos miembros, ya tenemos trminos semejantes, los podemos sumar o restar segn sea el caso.

    x = 1

    Comprobacin

    Una vez encontrado el valor de la variable o incgnita, no se te olvide realizar la comprobacin para saber si se cumple la igualdad o expresin algebraica.

    Se sustituye el valor encontrado en la ecuacin lineal x = - 1.

    2 (-1) 7 = - 8 + (-1)

    Se multi