GIZARTE ZIENTZIEI APLIKATUTAKO MATEMATIKA I · PDF fileAixerrota BHI MATEMATIKA SAILA Marije...

Aixerrota BHI MATEMATIKA SAILA Marije Ortego F. de Retana

GIZARTE ZIENTZIEI APLIKATUTAKO MATEMATIKA I

FUNTZIOAK 1. orria

FUNTZIOAK

1. AZTERKETA. OINARRIZKO FUNTZIOAK, LIMITEAK ETA LIMITEEN ERABILERAK

Definizio eremua eta ibilbidea

Oinarrizko funtzioak

Problemak

Limiteak: Puntu batean Infinituan

Jarraitutasuna

Adar infinituak: Puntu batean: asintota bertikalak Infinituan: asintota horizontalak, zeiharrak, adar parabolikoak

2. AZTERKETA. DERIBATUAK, DERIBATUEN ERABILERAK, FUNTZIOEN GRAFIKOAK

Oinarrizko funtzioen funtzio deribatuak

Deribatuen erabilerak: Funtzio baten zuzen tangentea puntu batean Funtzio baten gorakortasuna eta beherakortasuna puntu batean

Funtzio polinomikoen ikasketa eta adierazpen grafikoa Definizio eremua eta jarraitutasuna Adarrak infinituan Tangente horizontaleko puntuak Gorakortasuna, beherakortasuna, maximoak eta minimoak Grafikoa

Funtzio arrazionalen ikasketa eta adierazpen grafikoa Definizio eremua eta asintota bertikalak Adarrak infinituan: asintota horizontala, zeiharra edo adar parabolikoa Gorakortasuna, beherakortasuna, maximoak eta minimoak Grafikoa

Problemak



FUNTZIOAK 2. orria

ZUZEN TANGENTEA

1. Aurkitu 3x4xy 2 −+−= kurbaren zuzen tangentearen ekuazioa x = 3 abzisa puntuan. Irudikatu kurba eta ukitzailea irudi berean.

3x4xy 2 −+−= y’ = -2x + 4

Puntua: x = 3 ; y = -9 + 12 -3 = 0

P(3, 0) Malda:

m = f’ (3) m = -6 + 4 m= -2

Tangentearen ekuazioa: y = y0 + m (x – x0) y = 0 + (-2) (x – 3) y = - 2x + 6

Grafikoa:

2. Aurkitu y = - x2 + 2x + 5 kurbaren zuzen ukitzailearen ekuazioa x = -1 abzisa puntuan.

Irudikatu kurba eta zuzen ukitzailea irudi berean.

a. Funtzioa: y = - x2 + 2x + 5 Deribatua: y ’ = -2 x + 2 Puntua: x = -1 y = -1 - 2 + 5 = 2 P(-1, 2) Malda: m= f ’ (-1) = 2 + 2 = 4 Ukitzailearen ekuazioa: y = f(a) + m (x-a) y = 2 + 4 (x + 1) y = 4x + 6

b. Grafikoa: Parabolaren erpina: y ’ = 0 -2 x + 2 = 0 x = 1 y = 6 P(1, 6)



FUNTZIOAK 3. orria

FUNTZIO POLINOMIKOAK

1. y = -x3 + 9x2 - 24x + 20 funtzioa izanda,

a. Aztertu: o Definizio eremua eta jarraitutasuna o Adar infinituak o Tangente horizontaleko puntuak eta adar infinituen laguntzaz, erabaki

maximoak ala minimoak diren. o Gorakortasun eta beherakortasun tarteak

b. Egizu funtzioaren grafikoa.

Definizio eremua eta jarraitutasuna D=R , jarraitua da R osoan

Adar infinituak: ( )( ) −∞=+−+−

+∞=+−+−

+∞→

−∞→

20x24x9xlim

20x24x9xlim

23

x

23

x

Tangente horizontaleko puntuak:

( )

( )( )⎩

⎨⎧

→=+−+−=→=→=+−+−=→=

→±

=−±

=

=+−→=−+−=

4,44209614464y4x

0,202048368y2x2

262

32366x

08x6x024x18x3x'f 22

Puntuak: (2, 0) minimoa (4,4) maximoa

Gorakortasun eta beherakortasun tarteak: )2,(−∞ beherakorra, (2, 4) gorakorra eta ),4( ∞+ beherakorra

Grafikoa:



FUNTZIOAK 4. orria

2. 1x3xy 23 −+−= funtzioa izanda,

a. Aztertu: o Definizio eremua eta jarraitasuna o Adar infinituak o Tangente horizontaleko puntuak eta adar infinituen laguntzaz, erabaki

maximoak ala minimoak diren. o Gorakortasun eta beherakortasun tarteak

b. Egizu funtzioaren grafikoa.

Definizio eremua eta jarraitasuna D=R , jarraitua da R osoan

Adar infinituak ( )( ) −∞=−+−

+∞=−+−

+∞→

−∞→

1x3xlim

1x3xlim

23

x

23

x

Tangente horizontaleko puntuak, 3x – 5 maximoak eta minimoak:

( )

( )⎩⎨⎧

=→=+−=

→=+−→=+−→=

+−=

2x06x30x

0)6x3(x0x6x30x'f

x6x3x'f

2

2

y’-ren zeinua: – + –

beherakorra 0 gorakorra 2 beherakorra min max

Puntuak: Pmin(0, -1) minimoa Pmax(2, 3) maximoa

Gorakortasun eta beherakortasun tarteak: )0,(−∞ beherakorra, (0, 2) gorakorra eta ),2( ∞+ beherakorra

Grafikoa:



FUNTZIOAK 5. orria

FUNTZIO ARRAZIONALAK

1. Honako funtzio hau emanda: f(x) = 1x

xx2

2

−

+

Aurkitu bere adar infinituak eta irudikatu grafiko batean kurbak haiekiko duen posizioa.

Definizio eremua eta asintota bertikalak: →±=±=⇒=⇒=− 11x1x01x 22 D { }1,1 −−= R

x = -1 puntuan:

⇒=−−

=−

=−+

+=

−+

−→−→−→ 21

21

)1x(x

lim)1x)(1x(

)1x(xlim

1x

xxlim

1x1x2

2

1x

⇒ x = –1 puntuan ez dago asintota bertikalik x = 1 puntuan:

⇒∞==−

+→ 0

2

1x

xxlim

2

2

1x x = 1 zuzena asintota bertikala da.

−∞=−

+⇒−=

−=

−→ 1x

xxlim9

19,071,1

)9,0(f2

2

1x

+∞=−

+⇒==

−→ 1x

xxlim11

21,031,2

)1,1(f2

2

1x

Asintota horizontala, zeiharra eta adar infinituak:

⇒==−

+∞→

111

1x

xxlim

2

2

x y = 1 asintota horizontala da

Grafikoa:

y=1

y=1

x=1



FUNTZIOAK 6. orria

2. Aztertu 2

23

x

4x2xy

++−= funtzioaren adar infinituak, bilatu asintotak eta ezarri kurba

asintota horien inguruan.

Definizio eremua: D = R – {0} Asintota bertikala:

⇒+∞=++−

+∞=++−

+− →→ 2

23

0x2

23

0x x

4x2xlim;

x

4x2xlim x = 0 zuzena asintota bertikala

da, eta adar biak gorantz daude. Adarrak infinituan:

⇒−∞=++−

+∞=++−

+∞→−∞→ 2

23

x2

23

x x

4x2xlim;

x

4x2xlim ez dago asintota horizontala

⇒++−=++−

22

23

x

42x

x

4x2x y = - x + 2 zuzena asintota zeiharra da.

0x

4,x

2>+∞→ ; ⇒>−∞→ 0

x

4,x

2 kurba alde bietan zuzenaren gainean dago.

Grafikoa:



FUNTZIOAK 7. orria

3. Aztertu 3x3

xy

2

−= funtzioaren gorakortasun tarteak eta maximo eta minimoak.

Tangente horizontaleko puntuak, maximoak eta minimoak:

( )

( )

1x0)3x3(

2x06x30x

0)6x3(x0x6x30x'f

)3x3(

x6x3

)3x3(

x3x6x6

)3x3(

3·x)3x3(x2x'f

2

2

2

2

2

22

2

2

=⇒=−

⎩⎨⎧

=→=−=

⇒=−⇒=−⇒=

−

−=

−

−−=

−

−−=

y’-ren zeinua:

+ - - +

gorakorra 0 beherakorra 1 beherakorra 2 gorakorra max Ez def min

Puntuak: Pmin(0, 0) maximoa

Pmax(2, 34

) minimoa

Gorakortasun eta beherakortasun tarteak: )0,(−∞ gorakorra, (0, 1) ∪ (1,2) beherakorra eta ),2( ∞+ gorakorra



FUNTZIOAK 8. orria

4. Adierazi grafikoki 4x

x4y

2 += funtzioa, definizio eremua, jarraitasuna, adar infinituak eta

maximo eta minimoak aztertuz.

Definizio eremua, jarraitasuna eta asintota bertikalak: D=R Jarraitua da R osoan. Ez du asintota bertikalik.

Adarrak infinituan:

⇒=+∞→

04x

x4lim

2x y=0 zuzena asintota horizontala da.

dagogainetikkurba0)10(f:zuzena

38,010440

)10(f:kurba0

4x

x4lim

dagoazpitikkurba0)10(f:zuzena

38,0104

40)10(f:kurba

04x

x4lim

2x

2x

⇒⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

=

===

+

⇒⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

=−

−=−

=−=

+

+

+∞→

−

−∞→

Tangente horizontaleko puntuak, maximoak eta minimoak:

( )

( )

anulatzendaez0)4x(

2x2x

04x016x40x'f

)4x(

16x4

)4x(

x816x4

)4x(

x2·x4)4x(·4x'f

22

22

22

2

22

22

22

2

⇒=+

⎩⎨⎧

=−=

⇒=−⇒=+−⇒=

+

+−=

+

−+=

+

−+=

y’-ren zeinua:

- + -

beherakorra -2 gorakorra 2 beherakorra min max

( ).abeherakorr),2(etaimoamaxpuntuan2x

,gorakorra)2,2(,dagoimoaminpuntuan2x,abeherakorr2,+∞−=

−−=−∞−

Puntuak: A(-2, -1) minimoa

B(2, 1) maximoa Grafikoa:



FUNTZIOAK 9. orria

PROBLEMAK

1. Enpresa bat duela 10 urte sortu zen, eta haren K kapitalak sorreratik izandako bilakaera t denboraren funtzioan adierazten du funtzio honek:

K(t) 10t0,10t34t2

≤≤++−=

K kapitala milioi eurotan adierazita dago; eta t, denbora, urtetan.

a. Adierazi grafikoki kapitalaren bilakaera.

b. Noiz lortu zen kapitalaren balio maximoa eta zenbatekoa izan zen? Zein denboralditan hazi zen kapitala, eta zeinetan txikitu?

K(t) 10t34t2

++−= D=[0,10]

32t

34t2

)t('K +−=+−=

6t032t

0)t('K =⇒=+−⇒=

t=0 K(0)=10 minimoa t=6 K(6)=19 maximoa t=10 K(10)=15 6. urtean lortu zen kapital handiena, 19 milioi eurokoa izan zen. Lehenengo 6 urteetan hazi zen kapitala eta hurrengo 4retan txikitu zen.

c. Zein da enpresaren gaur egungo kapitala? Kapital berdina izan den beste unerik egon da? Gaur egungo kapitala 15 milioi eurokoa da. Duela 8 urte kapital berdina izan zuen enpresak, hau da bere bigarren urtean.



FUNTZIOAK 10. orria

2. 9x

x60)x(f

2 += funtzioak enpresa batek martxan hasi zenetik lortu dituen irabaziak

adierazten ditu (f(x) milaka eurotan, x urtetan)

a. Adierazi grafikoa.

9x

x60)x(f

2 +=

D=(0, +h) eta jarraitua da.

⇒=+∞→

09x

x60lim

2x y=0 zuzena asintota horizontala da.

( )22

2

22

22

22

2

)9x(

540x60

)9x(

x120540x60

)9x(

x2·x60)9x(·60x'f

+

+−=

+

−+=

+

−+=

( )⎩⎨⎧

=−=

⇒=−⇒=+−⇒=3x3x

09x0540x600x'f 22

3 urte lehenago ez du zentzurik, enpresa ez zegoen martxan jarrita.

x=3 denean, lortzen da irabazi maximoa: 1018180

93

3·60

9x

x60)3(f

22==

+=

+=

+ –

0 gorakorra 3 beherakorra max

b. Zenbatgarren urtean lortuko du enpresak irabazi maximoa? Zenbatekoa da irabazi hori? 3. urtean lortuko du enpresak irabazi maximoa. 10 mila eurokoa izango da irabazi hori.

c. Galduko du enpresak dirua uneren batean? Ez, ez du inoiz dirua galduko; baina 3. urtea pasatu bezain pronto, irabaziak joango dira murrizten. Ez bada esku-hartzen, irabaziak desagertuko dira etorkizunean.

GIZARTE ZIENTZIEI APLIKATUTAKO MATEMATIKA I · PDF fileAixerrota BHI MATEMATIKA SAILA Marije...

Documents

Transcript of GIZARTE ZIENTZIEI APLIKATUTAKO MATEMATIKA I · PDF fileAixerrota BHI MATEMATIKA SAILA Marije...