MATEMATIKA 1

211

Transcript of MATEMATIKA 1

Page 1: MATEMATIKA 1

� ������� ����� � �

� �����������������������

�� "! ����#%$'&�()��*)� ��+"+-,.!

Page 2: MATEMATIKA 1

�����������

� �������������������� �����"!#���%$�&'�)(*��+"� �,.-/, 021#3547698;:)<>=@?A1CBD8E-F-G-H-F-F-H-F-H-F-F-H-F-G-H-F-H-F-F-H-F-H-F-G-H-F-F- ,,.-/,.-/, IDJ�K9L�='BM8ON2PRQSPRT -H-F-H-F-F-H-F-G-H-F-H-F-F-H-F-H-F-G-H-F-F- ,,.-/,.-VU W�<>='?A1*BM698"L9<>3XBY35ZY-[0\1]354^698;:9<>=@?A1CBM8_-F-H-F-F-H-F-H-F-G-H-F-F- `,.-/,.-a` W�8^6)=.bc6)8edR1*=.<>1*b -H-F-H-F-F-H-F-G-H-F-H-F-F-H-F-H-F-G-H-F-F-f,#g,.-/,.-ih j[?A1*k]:�1�-F-G-H-F-F-H-F-H-F-F-H-F-G-H-F-H-F-F-H-F-H-F-G-H-F-F-f,5,,.-VU l\=D=.<Am98^693YdR698en>K9nodp3#BM8H-F-F-H-F-H-F-F-H-F-G-H-F-H-F-F-H-F-H-F-G-H-F-F-f,#`,.-VUD-/, lq=M=.<>m)8^6�3Yd>698;nAK9nAdR3#BrK�<>3XBM6987698s-G-H-F-H-F-F-H-F-H-F-G-H-F-F-f,#`,.-VUD-VU lq=M=.<>m)8^6�3Yd>698;nAK9nAdR3#BrK�L9<A=.nAd>=.<>Kt-H-F-H-F-F-H-F-H-F-G-H-F-F-f,]h,.-VUD-a` j[?A1*k]:�1�-F-G-H-F-F-H-F-H-F-F-H-F-G-H-F-H-F-F-H-F-H-F-G-H-F-F-f,Xu

,.-a` l\=.bcL)4^1]J�nA698v:9<A=@?A1*BM8w-F-F-H-F-H-F-F-H-F-G-H-F-H-F-F-H-F-H-F-G-H-F-F-f,Xu,.-a`)-/, lq=.bxL9471]J�n>698;:9<>=@?A1CBM8�-H-F-F-H-F-G-H-F-H-F-F-H-F-H-F-G-H-F-F-f,Xu,.-a`)-VU ySLe1*<R35Z*8z?A1{n2J5=.bxL9471]J�n>6987b|:9<A=@?A1*BM87b}3~-F-F-H-F-H-F-G-H-F-F-f,#�,.-a`)-a` � <A8^�.=569=.bx1*dR<A8z?AnAJM8�=.:9478^JcJ5=.bxL94^1*J�n>69=.��:9<A=@?>3 -H-F-G-H-F-F-|U5U,.-a`)-ih j[?A1*k]:�1�-F-G-H-F-F-H-F-H-F-F-H-F-G-H-F-H-F-F-H-F-H-F-G-H-F-F-|UY�,.-ih IDK)nAdp3#BM8)?A1]m96935m9k]:)8�-H-F-F-H-F-H-F-F-H-F-G-H-F-H-F-F-H-F-H-F-G-H-F-F-�`Yh,.-ih9-/, ��<R35bx1]<A=XB.=�L9<R3#BM8^47=9-���1CdR1*<>bx8^6�356�d>1�-H-F-F-H-F-H-F-G-H-F-F-�`Yh,.-ih9-VU ��1*d>1]<Abc876�356�dR1�-F-H-F-H-F-F-H-F-G-H-F-H-F-F-H-F-H-F-G-H-F-F-�h.g,.-ih9-a` j[?A1*k]:�1�-F-G-H-F-F-H-F-H-F-F-H-F-G-H-F-H-F-F-H-F-H-F-G-H-F-F-�h),

� �F���;�X��&@� �e�UD-/, ��=@?>35b|B51]J�dR=.<>3x-F-G-H-F-F-H-F-H-F-F-H-F-G-H-F-H-F-F-H-F-H-F-G-H-F-F-�h�uUD-/,.-/, � =@?>3Yb|B.1*J�d>=.<R3 -H-F-H-F-F-H-F-G-H-F-H-F-F-H-F-H-F-G-H-F-F-�h�uUD-/,.-VU ySLe1*<R35Z*8z?A1{n�B.1*J�d>=.<>87b}3 -F-H-F-G-H-F-H-F-F-H-F-H-F-G-H-F-F-�h.�UD-/,.-a` js1]J�dR=5<>8"KrJ5=M=.<>m)8^6�3Yd>69=.b�n>K9nodp3#BMK_-F-H-F-F-H-F-H-F-G-H-F-F-�h.�UD-/,.-ih j[?A1*k]:�1�-F-G-H-F-F-H-F-H-F-F-H-F-G-H-F-H-F-F-H-F-H-F-G-H-F-F-|u5uUD-VU IDJ@354^35<>6)8;L9<A=Dm9K)J�d -H-F-F-H-F-H-F-F-H-F-G-H-F-H-F-F-H-F-H-F-G-H-F-F-|u5�UD-VUD-/, IDJ@354�3Y<>698eL9<>=Mm9K9J�d2B.1*J�d>=.<R3�-H-F-G-H-F-H-F-F-H-F-H-F-G-H-F-F-|u5�UD-VUD-VU yS<AdR=5�.=.6�35476�3�L9<A=@?A1]JYZ]8�?>3�B51]J�dR=.<>3 -F-H-F-F-H-F-H-F-G-H-F-F-��.UUD-VUD-a` j[?A1*k]:�1�-F-G-H-F-F-H-F-H-F-F-H-F-G-H-F-H-F-F-H-F-H-F-G-H-F-F-��YhUD-a` js1*J�d>=.<>nAJ�8�8;b{?A1*�>=XBM87dR8;L9<>=Mm9K9J�d2B.1*J�d>=.<R3�-H-F-H-F-F-H-F-H-F-G-H-F-F-��.u

8

Page 3: MATEMATIKA 1

ii SADRŽAJ [0.0]

UD-V`D-7, js1*J�d>=.<>nAJ�8�L)<>=Mm9K9J�d2B.1]J�d>=.<R3f-H-F-H-F-F-H-F-H-G-F-H-F-F-H-F-���uUD-V`D- U � ?A1*�>=XBM87d>8�L)<>=Mm9K9J�d�B.1*J�d>=.<R3 -H-F-H-F-F-H-F-H-G-F-H-F-F-H-F-��.�UD-V`D-V` js?A1]k]:�1 -H-F-F-H-F-H-F-F-F-F-F-H-F-H-F-F-H-F-H-G-F-H-F-F-H-F-��.U

UM-ah �s<>3#B.Z]8O8"<>3XBM6987691 -F-F-H-F-H-F-F-F-F-F-H-F-H-F-F-H-F-H-G-F-H-F-F-H-F-��.UUD-ah)-7, ��<R3#B5Z]8OK�<>3#BD6)8^698\-H-F-F-F-F-F-H-F-H-F-F-H-F-H-G-F-H-F-F-H-F-��.UUD-ah)- U 0\3#BD6)8^6�3 K L9<>=.nodR=.<AK -F-F-F-F-H-F-H-F-F-H-F-H-G-F-H-F-F-H-F-��.�UD-ah)-V` ��<R3#BY35ZGK L9<>=.nodR=.<AK�-F-F-F-F-F-H-F-H-F-F-H-F-H-G-F-H-F-F-H-F-��5�UD-ah)-ah ��=.4^=.k]3'?2<>3#BD6)8^6�3 8vL9<>3#B53YZ#3�K�L9<A=.nAd>=.<>K -F-H-G-F-H-F-F-H-F-���UUD-ah)- u js?A1]k]:�1 -H-F-F-H-F-H-F-F-F-F-F-H-F-H-F-F-H-F-H-G-F-H-F-F-H-F-��.�

� �������M+O�[��&'���O�D+"�%$�&@�D(]��+9� �"�`D-7, q8�*=XBD8":)<>=@?A1CB53 -H-F-F-H-F-H-F-F-F-F-F-H-F-H-F-F-H-F-H-G-F-H-F-F-H-F-��),`)-7,5-7, ��=@?>35b�698�#3 -H-F-H-F-F-F-F-F-H-F-H-F-F-H-F-H-G-F-H-F-F-H-F-��),

`)-7,5- U "8^bx1]n�6)8�#3D-slq=.6�B.1*<>�.1*6�dR698�698�*=XBD8{-F-F-H-F-H-G-F-H-F-F-H-F-��.``)-7,5-V` \1]J�8"B53Yk]698�?A8v698�*=XBD8 -F-F-F-F-H-F-H-F-F-H-F-H-G-F-H-F-F-H-F-��.�`)-7,5-ah W�<A=@?�� -H-F-F-H-F-H-F-F-F-F-F-H-F-H-F-F-H-F-H-G-F-H-F-F-H-F-����`)-7,5- u js?A1]k]:�1 -H-F-F-H-F-H-F-F-F-F-F-H-F-H-F-F-H-F-H-G-F-H-F-F-H-F-��.�

`D- U 0\1*m9=XBD8O:9<A=@?A1*BY3 -F-F-H-F-H-F-F-F-F-F-H-F-H-F-F-H-F-H-G-F-H-F-F-H-F-%,#g.g`)- UM-7, ��=@?>35b�<>1*m�3)-sl\=.6�B.1]<A�.1]6)Z]8z?>3�<>1*m�3 -F-F-H-F-H-G-F-H-F-F-H-F-%,#g.g`)- UM- U �{1]=.bx1*d><>8�?An>J�8v<>1*m -F-F-F-F-F-H-F-H-F-F-H-F-H-G-F-H-F-F-H-F-%,#g.``)- UM-V` l{<>8/dR1*<>8z?A8eJ5=.6�B51]<>�51]69Z*8z?A1F<>1]m)='BY3 -H-F-F-H-F-H-G-F-H-F-F-H-F-%,#g�u`)- UM-ah js?A1]k]:�1 -H-F-F-H-F-H-F-F-F-F-F-H-F-H-F-F-H-F-H-G-F-H-F-F-H-F-%,#g.�

� �����������i(]��� �O��� &'���"��� �O��!*������� � �D! �����h)-7, � =@?>35b�� K969J5Z*8z?A1 -F-F-H-F-H-F-F-F-F-F-H-F-H-F-F-H-F-H-G-F-H-F-F-H-F-%,5,.,h9-7,5-7, js?A1]k]:�1 -H-F-F-H-F-H-F-F-F-F-F-H-F-H-F-F-H-F-H-G-F-H-F-F-H-F-%,5,'uh)- U ��4^�51]:�35<An>JY1�� K96)J5Z]8�?A1 -H-F-H-F-F-F-F-F-H-F-H-F-F-H-F-H-G-F-H-F-F-H-F-%,5,X�h9- UM-7, ��=5dR1*69Z]8�?A1F-F-F-H-F-H-F-F-F-F-F-H-F-H-F-F-H-F-H-G-F-H-F-F-H-F-%,5,X�

h9- UM- U ��=.4^8769=.bx8\-F-F-H-F-H-F-F-F-F-F-H-F-H-F-F-H-F-H-G-F-H-F-F-H-F-%,5,X�h9- UM-V` 0\35Z]87=.6�3547691�� K96)J5Z]8�?A1 -F-F-F-F-H-F-H-F-F-H-F-H-G-F-H-F-F-H-F-%,XUD,h9- UM-ah js?A1]k]:�1 -H-F-F-H-F-H-F-F-F-F-F-H-F-H-F-F-H-F-H-G-F-H-F-F-H-F-%,XU.U

h)-V` � <>3569n>Z*1]69m)1]6�dR691�� K969J5Z*8z?A1 -F-F-F-F-F-H-F-H-F-F-H-F-H-G-F-H-F-F-H-F-%,XU5`h9-V`D-7, ��J�n>L�=.691*69Z]8�?>354^691 � K96)J5Z]8�?A1 -F-H-F-H-F-F-H-F-H-G-F-H-F-F-H-F-%,XU5`h9-V`D- U "=.��3Y<>87dR35bxn>J51!� K)69J5Z*8z?A1 -F-F-H-F-H-F-F-H-F-H-G-F-H-F-F-H-F-%,XUYhh9-V`D-V` ��<>87�.=.69=.bx1*d><>8�?An>J51!� K)69J5Z*8z?A1 -F-H-F-H-F-F-H-F-H-G-F-H-F-F-H-F-%,XU5�h9-V`D-ah �q<>J�K9n#"�Z]87J�4^=.bx1*d><>8z?AnAJ51%$&� K969JYZ]8z?A1H-H-F-F-H-F-H-G-F-H-F-F-H-F-%,#`.gh9-V`D- u js?A1]k]:�1 -H-F-F-H-F-H-F-F-F-F-F-H-F-H-F-F-H-F-H-G-F-H-F-F-H-F-%,#`�U

h)-ah q1]L)<>1]J�87m969=.nod�8v478^bx1]n'� K)69J5Z*8z?A1x-F-F-F-H-F-H-F-F-H-F-H-G-F-H-F-F-H-F-%,#`5hh9-ah)-7, \1]L9<A1]J�8^m96)=.nAd(� K969JYZ]8z?A1�-F-F-F-H-F-H-F-F-H-F-H-G-F-H-F-F-H-F-%,#`5hh9-ah)- U "8^bx1]n)� K)69J5Z*8z?A1�-F-H-F-F-F-F-F-H-F-H-F-F-H-F-H-G-F-H-F-F-H-F-%,#`.�h9-ah)-V` js?A1]k]:�1 -H-F-F-H-F-H-F-F-F-F-F-H-F-H-F-F-H-F-H-G-F-H-F-F-H-F-%,]h.h

Page 4: MATEMATIKA 1

[0.0] SADRŽAJ iii

� �E��&@� +)� ���a(*�w����&@� �}(]�M��� �M���uD-/, ��1*<>8/B53YZ]8z?>3#� K)69J5Z*8z?A1 -F-F-H-F-H-F-F-H-F-G-H-F-H-F-F-H-F-H-F-G-H-F-F-�,'u5`uD-/,.-/, ��<>=.:9471]b�dp3569�51]6�dR1Y-%��<A=.:94^1*b :9< ]8^6)1 -F-F-H-F-H-F-G-H-F-F-�,'u5`uD-/,.-VU ��1]<A87BY35Z*8z?>3#� K969JYZ]8�?A1 -H-F-F-H-F-G-H-F-H-F-F-H-F-H-F-G-H-F-F-�,'u5�uD-VU ��1*<>8/B53YZ]8z?A1�1]4^1*bc1*6�dp35<A698�� � K969JYZ]8�?>3�-H-F-G-H-F-H-F-F-H-F-H-F-G-H-F-F-�,'u5�uD-VUD-/, ��1]<A87BY35Z*8z?A1{3547�.1]:935<>nAJM8�� � K969J5Z*8z?>3 -H-F-H-F-F-H-F-H-F-G-H-F-F-�,'u5�uD-VUD-VU ��1]<A87BY35Z*8z?A1�d><R3569nAZ]1*69m91]6�d>698�� � K969J5Z*8z?>3 -F-F-H-F-H-F-G-H-F-F-�,X�),uD-VUD-a` ��8�� 1*<>1*69Z]8�?>354 � K96)J5Z]8�?A1 -H-F-F-H-F-G-H-F-H-F-F-H-F-H-F-G-H-F-F-�,X��uuD-VUD-ih ��<>8^bS?A1]6)1}-G-H-F-F-H-F-H-F-F-H-F-G-H-F-H-F-F-H-F-H-F-G-H-F-F-�,X�.�uD-VUD-Vu j[?A1*k]:�1�-F-G-H-F-F-H-F-H-F-F-H-F-G-H-F-H-F-F-H-F-H-F-G-H-F-F-�,X�.�uD-a` O35�.<>3569�.1*=XB}dR1*=.<>1*b -F-F-H-F-H-F-F-H-F-G-H-F-H-F-F-H-F-H-F-G-H-F-F-�,'�5`uD-a`)-/, ySn>69=XBM698"dR1*=.<>1*bc8e-H-F-H-F-F-H-F-G-H-F-H-F-F-H-F-H-F-G-H-F-F-�,'�5`uD-a`)-VU ��<>8^bS?A1]6)1}-G-H-F-F-H-F-H-F-F-H-F-G-H-F-H-F-F-H-F-H-F-G-H-F-F-�,'�.uuD-a`)-a` j[?A1*k]:�1�-F-G-H-F-F-H-F-H-F-F-H-F-G-H-F-H-F-F-H-F-H-F-G-H-F-F-�,'�5�uD-ih � 3��D47=.<>=XBcdR1]=5<>1]b -G-H-F-F-H-F-H-F-F-H-F-G-H-F-H-F-F-H-F-H-F-G-H-F-F-�,'�5�uD-ih9-/, ��1]<A87BY35Z*8z?A1�BM8^�A1]�x<>1*m�3 -F-F-H-F-G-H-F-H-F-F-H-F-H-F-G-H-F-F-�,'�5�uD-ih9-VU � 3��M4^=5<>=XB}d>1]=.<A1]b nA<>1]m)6@?A1FBM<A8z?A1]m)69=.nAd>8 -F-F-H-F-H-F-G-H-F-F-�,X�.`uD-ih9-a` ��<>8^bS?A1]6)1}-G-H-F-F-H-F-H-F-F-H-F-G-H-F-H-F-F-H-F-H-F-G-H-F-F-�,X�.�uD-ih9-ih j[?A1*k]:�1�-F-G-H-F-F-H-F-H-F-F-H-F-G-H-F-H-F-F-H-F-H-F-G-H-F-F-�,X�.�

Page 5: MATEMATIKA 1

iv SADRŽAJ [0.0]

Page 6: MATEMATIKA 1

� ����� ��� � ��

�~� ���� ����� ��� � ������ � � � ����

����� �� "!�#%$�&('�)+*-,. 0/�&

132413251 60708:9<;>=@?BADCFE�CHGI � �O� � &@� &'� � ���KJ~$ &'�D(]��+9�IMJMK)L

NMLONQP.PSRDPUTDPWV9PYXYX�XpPWZ PYX�XYX\[

nA1 ]=XB.1 !]� ������&Y� &'� ��� �KJ|$�&@�D(]��+9� - IDJ�K9L�N 87b}3 6�3'?Abc356@?A8�1*4^1*bc1*6�d�,^]�3Y4^86)1]bc3}6�3'?oB51�_]8 1]4^1*bc1*6�d#-a`;:)<>=@?qm)BY3}L)<>8^<A=Dm)6�3c:9<A=@?>3G?A1HL9<>87<>=Mm�356w:)<>=@?*-��s<A=Dm)K9J�dmDB53 L9<>87<>=Mm96�3 :9<>='?>3E?A1 L9<>87<>=Mm�356:9<>=@?*-cb L�3YJd]�K�n>J�K9L9K L)<>8^<A=Dm)698�� :9<A=@?A1*BY3 6)1L�=.nodR=@?A8"K)BM8�?A1]J�< ?A1]�>1*6@?A1�?A1]m96935m9k]:�1egfih LkjlX

� 35JY=E6�3�L9<>87b{?A1*<q6)1 Le=5nAdR='?A8 L9<A8^<>=Mm9698�:9<A=@? e dR35J@3#Bm]em�3F?A1 enf P<LoP^X;W�<>='?A1*BM8p]JY=@?A8"=.bx=.�.Kq_]3#B53X?AK < ?A1]�>3XBY356'?A1F=XBY35J�BM8�� ?A1]m96935m9k]:)8p]�n>1 *='BMK�Z]8z?A1*4^8e:9<>=@?A1CBM8 -I � �O� ���a(*�D���KJ$�&'�)(]��+)�IMJMK)L

Q�LrNQXYXYX*PYs:T)PYstRDPYs�P.PUu)PYP5PSRDPUT)P�XYXYXv[

,

Page 7: MATEMATIKA 1

2 1. REALNI I KOMPLEKSNI BROJEVI [1.1]

n>1�*=XB.1 !]� �O� ���a(]�M��� J $ &'�D(]��+9� -[IDJ�K9LEQ 691*b}3F6�3'?Abc356@?A8 ]M6)87dR8�6�3X?oB.1�_*8v1]471]bx1]6�d#-`;:9<>=@?Sm)BY3rZ]8z?A1*4�3�:9<A=@?>3�?A1xZ*8z?A1*4^8 :9<A=@?*-x��<>=Mm9K9J�d�mDB53rZ]8�?A1]4^3�:9<>=@?>3�?A1�Z]8�?A1]4^8 :9<>='?*-� 1]m � K)d>8^bD])Krn>J�K9L)KwZ]8�?A1]478��E:9<A=@?A1*BY3�691GLe=.nodR=@?A8;K)BM8z?A1]J}< ?A1]�A1]6@?A1 ?A1]m)6�35m9k*:e1

h3e L j X�3 L9<A8^bS?A1]<�]F691 L�=.nAd>=@?A8�Z*8z?A1*4^8�:)<>=@? e dp35J@3#Bd] m�3 ?A1 R e L P^X{W�<A=@?A1*BM8 ]�J5='?A8=.bc=5�.Kq_#3#BY3'?AKr< ?A1*�R3#BY356@?A1G=XBY35J�BD8���?A1]m96�3Ym9k]:98 ]�n>1 ]=XBMKw<>35Z]87=.6�3547698;:)<>=@?A1CBD8 -I � �O� &'� ��� �e�O����� �KJ�$�&'�)(*��+)�IDJ�K9L

TrL ���Z�� ��� QSP Z � Q-NFu [��

n>1 ]=XB.1 !]� �O� &'� ��� ����������� J $ &'�D(]��+9� -sIMJMK)L}T 691*b}3{6�3'?Abc356@?A8D6987d>896�3'?oB51�_*8�1*4^1 �bc1*6�d]- `;:9<A=@? m)BY3S<R35Z*8^=.69354^6�3\:9<>='?>3[?A1 <R35Z*8^=.69354�356H:9<>='?*-���<>=Mm9K9J�dsm)BY3S<R35Z*8^=.69354^6�3:9<>=@?>3 ?A1q<>35Z]87=.6�354^356 :9<A=@?*-� �nAJ�K9L9K�<>35Z]87=.6�3547698���:9<A=@?A1*BY3�?A1*m96�35m)k]:�3 h3e Lkj 8^bc3< ?A1]�A1]6@?A1��*8^b ?A1 h��Lku X0\35Z*8^=.6�3Y4^698e:9<>=@?A1CBM8"691Gbc=.<>3'?AKr8�*�.4^1*m�3YdR8�?A1]m96935J5=xm�3�:9K9m9K ?A1]m96935J�8 - �3�L9<*-stRT L R

stT Ls V� L s-R u

T^u L�������qBY3�<R35Z*8^=.6�3Y4^6�3w:)<>=@?>3�� ��P�� �rn>Kw?A1]m96935J�8p][35J5=}?A1 ��� L Z ��X b *bc1*m � K nABY35J@3 m)BY3<R3 *4^8!�*87dR3�<R35Z*8^=.6�3Y4^6�3�:9<A=@?>3�69354�3 *8�n>1c<R35Z*8^=.6�3Y4�356 :9<A=@?F<>3 ]478!�]8/d{=Mm�=XBY3�m)BY3)- q3L9<]- �)&Y� �'�����'�#"'�)� !]&'� ��� �O�

� � f � �R L ��� f Z$�

RFZ �:9<>=@?A1CBY3 � � P � � ?A1GdR35J@3#BE:9<>='?*- nAJMK)L9Kw<>35Z]87=.6�3547698���:)<>=@?A1CB53 691GL�=.nAd>=@?A8"K)BM8z?A1*J�< ?A1*�>1*6@?A1�?A1*m96�35m)k]:�1

e&% L h X� 35JY=�6�3xL9<>87b{?A1*<�]�691HLe=.nodR=@?A8O<>35Z]87=.6�354^356r:9<>=@? e dp35J@3#Bd]em�3{?A1 e % LOR Xm`v3c< ?A1]�R3 �B53Y6@?A1SdR1{8vbx69=.�58���m9<AK9�.8�� ?A1*m96�35m)k]:98"L�=5dR<A1]:96)8vn>Kr:9<A=@?A1*BM8p]�JY=@?A8v6987n>Kr<R3YZ]8^=56�354^6)8p]6�3 L9<]-(' RDP)' T)PYXYXYXaX

Page 8: MATEMATIKA 1

[1.1] 1.1. REALNI BROJEVI 3

1324132�� ��� ;���� =:?B9�� � =����+2���������t?���� ;���� =@?� ���O���*�D�M(]� ��&@��&'� ��� �KJ � ���i(]�M� �KJ��&'� �������O����� �KJ�$�&'�)(]��+)���O� ��&'��+9� � \= �*8^bx= m)BM8z?A1rbx1]m � K9nA=.:969= <R3 ]4^8 �]8/dR1}d>= �pJY1�6�3 L9<>3XB5Z]K ��8 dR=���8��nX���=$�pJM8��L)<>8^m)<>K9k*8^bx= :9<>=@?"u)P�3 dR=$�pJM8�� :9<A=@? P^X���=Dm)<R3 *K9bc8�?A1*BY35bx= m�3�m9K9k]876�3 ��� "�nAJ�K9Ld>= �]35J@3 6�3 L9<R3#B.Z*K ��8�*bc1*m � KrdR=$�#35J@3 �t8�� K9J�4z?AK �]K@?AKq_*8O8v6@?A8�� $�8^bc3 m9K94z?A876�K P^X

lF3Yk]1]bx=2m�3 ?A1[693\L9<>3#B.Z]K ��nAb{?A1*<O=Dm!� L9<A1]bc3-3 -2 -1 0 1 2 3 4

O E

"$# %'&�(�)+*,)+-/.0(21436587918:;7�<9=>%'=?3A@B19%'CD%6EF% :G79# %'CH9=?3�:;7JI4(

� ������� �'� +9�9� ]D3�=MmK�tL9<>1*b}3�� ����L��)�'� +9�9� -�s<A8^<A=Dm96)=.b :9<>=@?AK ZEL9<A8^m9<AK9k]K'?A1]bx={=.6�K dR=$�]J�KM P�J5='?>3cn>1Fm9=.:)8z?A1GJ@35m�nA1�=Mm d>= �pJY1�� 6�3Y691]nA1m)K9k]876�3 ��� Z L9K)dR3�K L�= ]8/dR8/BD6)=.b nAb{?A1*<>Kv- \1]��3@dR87BM69=5b Z]8�?A1]47=.b :)<>=@?AK �L)<>8^m)<>K9k*K@?A1]bx=}dR=$�pJ�K�N2P;J5='?>3rnA1 m9=.:98�?A1�J@35m nA1 =Dmwd>= �pJY1 �|6�356)1]n>1 m)K9k]876�3 ���

s � L)K)dp3�K�6)1]��3Yd>87BM69=.b�n>bS?A1]<AKv- �3�n>478^Z]8 ,.-/, ?A1GL9<A8^J@3 ]356r<>1 *K947dR3Yd#-0\35Z]87=.6�3547698@:9<>=@? � � n>1s6�3Y69=.n>8�6932L)<R3#BY35Z

0 1

OA’

T’

E

p’

1 2 3 45 5 5 5_ _ _ _

"$# %'&�(O)2* PQ-R.0(21436587918:;7S=T(UE4% 3V1U(2#W1F3+X�H6=?3�:G(

693cn>4�?A1]m91%_]8 6�3 �]876v- � 1*m � Kx?A1]m96935J�8^b�<R35Z*8^= �69354^6987b :9<>='?A1*BM8^bc3�K)BM8z?A1*JH87b}3\=.698�� n L�= ]8 �d>87BM6987bt6�3 *87BM6987J5=.bD]�L�3HL)<>1*d>Le=5nAdp3#BM8^bx=Gm�3?A1@ZZY u X.l{<>= d>= �pJ�K[� L�='BMK �*1]bx=HL)<R3#BY35Z�0\�P9JY=.n2K�=Mm969=.nAKr6�3 ��X �3 L9<>3#B.Z]K � \�=.m�3 �:�1]<A1]bx={dR=$�pJMK M \ �L]��8�=Mm�n ?A1*Z]8^�odp3 " d>= �*J51�#$ 6�35691*n>1]bx=�693FL9<>3#B53YZ � \ m9K9k*8^6�K � M \ Z L9K)dp3GK}nAb{?A1*<>Kx=Dm[� L9<>1*b}3 M \ X�� 35JY=m)=.:98z?A1*bc=�6�3 L9<R3#B5Z]K � \ dR=$�pJ�K^N \ X9� =XBMK �*1]bx=xL)<R3#BY35Z{J�<>= Sd>= �pJY1_� 6�3 L9<R3#B5Z]K �8�N \ 693cL9<>3XB5Z]K � \ X�� 35<>354^1*4^69=xnqd>8^b L9<>3#BDZ*1]bfLe=XBMK �*1]bx=�L9<R3#BY35ZHJM<A= GdR=$�pJMK M \ X� 3'?�L9<R3#BY35ZGn>8�?A1��]1GL9<>3#B53YZ �wKrdR=$�pJ�8 M X� n>J�4^35m9K n\L�= *6�3YdR87b�L�=.K �pJY=.b�=n ?A1��*1]6@?AKFL9<R3Ybc1*6�3 L9<R3#BY35Z]32L935<R35471]4^35b}3 ]*dR= �

11

1

11

1

1

1

1

1

1

1

√2−√3−√4−

√5−

√6−

√7−

√8−

√9−

"`# %'&a(�)+* bB-Rc`IU(U@V=d(Fea16%$&a3f=g% :G7916%

�pJ�8 M L9<A8^m9<AK9k]K@?A1*bc=�:9<>='?ih�.X �35JY=.6 dR=5��3m)K9k]876MK � M 6�3Y691]nA1]bx= � L)K)dp3�K L�= ]8/dR8/B �6)=.b n>bS?A1]<AK~8^478-s � L9K)dR3 K~6)1]��3Yd>87BM69=.bnAb{?A1*<>KE=Mm}dR=$�pJ51j��=XBM8^n>6)= =�dR=.bx1�m93�4^8.?A1� Le= ]87d>87BY356{874^8.691*��3Yd>87BY356v-O� 35J5=qm9=.:98�?A1]bx=d>= �pJ�K JY=@?A=@?�L9<>87L�35m�3c:9<>=@? � � X q3�n>478^Z]8s,.-VU?A1{L�=.J@3 ]3569= J@35J5=�nA1{bc=.�5KE=Dm9<A1]m98/dR8�dR=$�pJ51JY=@?A8^bc3 L9<A8^L�35m93'?AKr:9<>=@?A1CBM8 hk P %k Pmlk P�nk XlsB53Ym9<R3Yd>691�JY=.<>8�?A1]691qL9<>87<>=Mm9698��}:9<A=@?A1*BY3' RDP ' TDP ' V)P ' o P ' �)P XYXYXsbx=.k]1*bc= n>b �?A1*nAd>87dR8�693 L9<>3XBY35Zrdp3YJ5=q] m93 J5=569nAd><>K987<R35bx=m)K9k]87691 ] �*8z?A1�nAK m9K94z?A87691G?A1*m96�35JY1EK9L9<>3XB5=�dR87b JY=.<>8�?A1]6987b}3 ] 8�m93�8�� ]3YdR87b 6935691 �nA1]bx= 6�3 L9<R3#BY35Z�=Mm dR=$�pJ51^� K)m91]nA69=9- q3�n>478^Z]8\,.-a`x?A1ELe=5JY3 #356�3�JY=.69nodR<>K)J5Z]8�?>3d>8�� m9K)k]8^693)- � =.4^3 ]8�n>1r=Dm m9K)k]8^6)1Em9K94z?A87691 P^X q3 6@?AK n>1r=.J5=5bc8/dR= L�=.nAdR3XBM8�87nAdp3dR35J�BY3xm9K)k]8^693)- ��8�?>35�.=.69354�3 ]DL9<>1*b}3x��87dR35�.=.<A8^69=.b dR1*=.<>1*b K ]�8^bc3 m9K94�?A8^6�K' R X�q3

Page 9: MATEMATIKA 1

4 1. REALNI I KOMPLEKSNI BROJEVI [1.1]

dRK m9K9k*8^6�K�n>1�L�=.nAdR3#BD8)=.J5=.bx87d>=[?A1]m)8^698 �]6�3Sm9K)k]8^693)-�IDL�=@?A6987Z#3[?A1 �)8^L�=5dR1*6MK #3{K L9<R3 �B.=.J�K)d>69=.b|d><>=.J�K)d>K ]��]8�?A1{JY3@dR1*d>1G8^bc3'?AKEm9K94�?A8^691 ' R 8 P^X��q87Le=YdR1]6�K ]3 8^bc3 ])L9<A1]bc3dR=.bx1 ]�m9K94�?A8^6�K' T X���JY=�6�3xd>K�n>L�=@?A6987Z]K�Le=.nodp3#BM8^bx=c=5J5=.bx87d>={?A1*m98^698 �]6�Kwm)K9k]876MK.]n>L�=@?A698^Z]3B_]1G8^bc3YdR8em9K94�?A8^6�K ' V9P�8/dRmv-�����O�/�]�M�D(]� (]�/�c�O���"� J�$ &'�D(]��+9� �O� � &'��+9� �I)35m�3@_]1*bc=�=5L98^n>3YdR8.J@35JY=2L9<>87m9<>K9k*K@?A1]bx= dR=$�pJ51s:9<A=@?A1*BM87b}3 JY=@?A8�698^nAKG<R35Z*8^=.6�3Y4^698 - `v3L9<>87b{?A1*< K *bc87bc=q:9<>='?�� X.W�<A=@?���?A1 ?A1]m96�3YJHL�=XBD<A�>87698)J�<>K)��3{<R35m987K9nR3<P^X.��<>87:94^87k]6987b<R3 �*K96�356@?A1*b L�=XBD<A�>87691 m9=.4^3 ]8qn>1 m9= 698�#3 L�35<A=XB53 m)1]Z]87b}3Y4^698��~:9<A=@?A1*BY3 8�*bc1*m � KJ5=@?A8�� nA1H69354�3 *8;:9<A=@?�� X

T����iVT X\P���� T X RT X\PYV���� T X P oT X P�VqP���� T X P�VQRT X PYV P o ��� T X P�VqP��

XYXYX�X�XYX�XYX�X�XYXYX��1]Z*8^bc354^698�:9<A=@?A1*BM8en>KE<R3YZ]8^=56�354^6)8p]�6�3�L)<]- T X PtL l hh � P T XvR�L l %h � PqT X\PYV<L l h nh ��� PqT X P o Ll h kh ��� P�87d>mv-\]�L�3�8�� ]6�3Ybc= 693569=.nA87dR8\6�3�:)<>=@?A1CBD6)8�L9<>3XBY35ZY- y!]6�3 �*8^bx= n�� d>= �pJ�KL9<>87m9<>K9k*1]6�K�:)<>=@?AK� PO35J5=wdR35J�BY3 L�=.nAd>=@?A8 -�W�K9m9Kq_*8%m93�n>1x:9<A=@?�� 69354�3 *8�8�*bc1*m � K=Dm9�5='BY35<>3'?AKq_*8�� m91*Z]8^bc3547698��H:9<>=@?A1CBY3 ]�dR=$�pJY3��M_]12n>126�354^3 ]8/dR8M8�*bc1*m � K dR=$�#35J@3 ].JY=@?A1L9<>87L�35m�3'?AKrdR87b m91*Z]8^bc3547698^b�:9<>='?A1*BM8^bc3)- \1]J@3{?A1 M h dR=$�pJY3xL9<>87m9<>K)k]1]693c:9<A=@?AK T)PM \ h dR=$�pJY3xL9<>87m9<>K)k]1]693x:9<A=@?AKDVqX�� =$�pJ@3��tnA1H69354�3 *8"8�*bc1*m � KrdR=$�#35J@3 M h P M \ h X& qm�3 �4z?A1]6)=.nAd[dR=$�#35J@3 M h 8 M \ h ?A1�?A1]m96�3YJY3nP^X \1]J@32?A1q:9<>=@?AK�T X P�L9<>87m9<>K9k*1]6�3FdR=$�pJY3 M % PD3:9<>=@?AKDT XvR dR=$�pJY3 M \ % X9� =$�pJ@3���n>1G6�354^3 ]8v8�]bx1]m � K d>= �]35J@3 M % P M \ % X� qm�3Y4z?A1]6)=.nAdd>= �]35J@3 M % 8 M \ % ?A1*m96�35J@3�?A1 hh � X(q1*JY3�?A1

3 4

A A’

3.1 3.2

A A’

3.14 3.15

A A’

1 1

2 2

3 3

"$# %'&�()2* �$-R.0(21436587918:;7 H9=T3a: (��

:9<A=@?AK T X\PYVEL9<A8^m9<AK9k]1*6�3�dR=$�pJY3 M l Pv3�:9<A=@?AKT X\P o d>= �pJ@3 M \ l X)� =$�pJ@3�� n>1G6�354^3 ]8e8�*bc1*m � Kd>= �]35J@3 M l P M \ l X qm�3Y4z?A1]6)=.nAd�d>= �]35J@3 M l 8 M \ l?A1*m96�35J@3�?A1 hh ��� X'� 3'?OLe=.nodRK9L935JG6�35nAdR3#BD4�?>35bx=m9=5J nA1Hd>= �pJ@3�� 691HLe=.J�47=.L98Onqd>= �pJY=.b M � P]3 691*JM8 Z P[8^478 K :�1]nAJ5=.6�3 �]69=.nod#-_��<>82dR=.bK9nABY3'?>35bx=Fn>4z?A1*m91�_*K��i= �*8^�.471]m96�K�� �]8^6'?A1]6987Z]K ]�m�3GLe=5nAdR='?A8�n>35bx= ?A1*m96�3GdR=$�pJY3 ]MJY=@?>3HnA16�354�3 ]8;8�]bx1]m � KrL�3Y<R3 dR=$�#35J@3 M � P M \� P ]3�noBY35J�8>Z X

������ ���%$�&'�)(*��+"����� &'�)(*��+"� �[� &'��+9� �`v3wnABY35J�K dR=$�pJ�K 6�3wL9<>3#B.Z]K bx=.k]1*bc=w6�3 _]8[698�}L�35<A=XB53wd>= �]35J@3 ] JY=@?A1�L9<A8^L�35m93'?AKm91]Z*8^bc354^6987b :9<>='?A1*BM8^bc3�8(�*8z?>3 bx1]m � K)n>=.:9693 K9m�354�?A1]69=.nod2Le=5nAdp3X?A1SnAB51Fbc356@?>3D- � 3YJ5=#35J�4z?AK �]K@?A1*bc=Hm�3 n>1SnoBY35J5=@?%d>= �pJ�8;693�L9<R3#B5Z]K �Ebx=.k]1qL9<>87m9<>K9k*87d>8�6)1]J�8v:9<A=@?*-[IDJ�K9L

Page 10: MATEMATIKA 1

[1.1] 1.1. REALNI BROJEVI 5

noBM8���dR35J�BM8��:9<>=@?A1CBY3 n>1 ]=XB.1 !]� �O�|&'������� �KJ $ &'�D(]��+9� 82= *6�3 �#3#BY3 nA4^=XB.=5b��:X��<>3XBY35Z ��n>3HnAB5=@?AnAdAB.=.bD]9m�3 ?A1qnoBY35J5=@?�6@?A1*�.=XB.=@?[d>= �pJ�8�L9<>87m9<>K)k]1]6cLe=�?A1]m�3Y6�<>1]354�356:)<>=@? 6�3�=.L987nR356)8�6�3 �*8^6 ] *=XB.1rn>1 $�&'�)(]��+O��� ��&@��+)� � - �qJ5=}?A1�dR=$�pJ�8�� L)<>8^m)<>K �k*1]6 :9<>=@?���P"=569m�3�nA1xd>= �pJ@3�� ]=XB.1 L�&@��� $ &'�D(]� � ] 3 :9<A=@?�wnA1 *=XB.1 ���v��& �����O�)�X� �A�9� !%��� !*��� d>= �pJY1�� X�� 35J5=.m � 1*<qnA1�J@35k*1Hm�3S?A1H=XBM8^b�L)<>8^m)<>K9k*87BY356@?A1*b #35m�3Y6� �9&X�X� ���a(*��+ ���v��& ��� �O�)�'��� !%��!*�X��+~��� � &'��+ ��� - n>J�K9L)K� bx=.k]1*bc= *:9<R3'?>3@dR8�8.bx69=.k*87dR8 -O��8z?A1*4z?A1*6@?A1�n h ?A1 #35L)<R3#B.=qbc69=5k]1]6'?A1�n<A1]Z*8^L9<A= �*698^b�:)<>=@?A1*b h� L h�� h X5I�B53YJM8�=MmH6�K9471%<>3 ]478!�*87dO<>1]354�3Y6F:)<>=@?�87b}3�<A1]Z]87L9<>=$�#3Y6:)<>=@?*- ySm�3Yd>4^1�n>4^8�?A1]m98\m�3 nA1 n>bx8z?A1wm)8z?A1]4787d>8�nR3 nABY35J�87b <A1#3547698^b :9<A=@?A1]b =.n>87b n6�K947=.b - � 3YJ5=S?A1]m96�3Ym9k]:�3

h3e Lkj� 8^bc3\?A1]m969=�8"n>35bc=�?A1*m969=�< ?A1*�>1]6'?A1 ]�35J5=S?A1 h��Lku �� 8^bc3 :�1]nAJ5=.6�3 �]69= bx69=.�.=�< ?A1*�>1]6'?>3 ]�35JY=x?A1 h L j L uDP�?A1*<Hdp3Ym�3�:9874^= J5=@?A8<>1#3Y4^698v:)<>=@?)#35m)='B5=.4z?>3#BY3�?A1]m96�3Ym9k]:9K��� 691]bc3 < ?A1]�A1]6@?>3 ]�35J5=S?A1 h Lku 8 j �L u X

� &@� �}(]��&���������� � ��� ������� �! #"%$& ('()+* R eBf Pe s�T s o s � ee s T L � X

,.-0/01&/023-0/54 R eBf Pe s(T s o s � e

e s T s ��L u)P e �L TR egf P"s o f � e s � eBf P(6

e s(T LMu)P e �L T X798 � � �! � R egf P"s o f � e s � eBf P(6�L u)P �:� 4 R e Lrs�PYV9P<;+ #"�;(=>"�; e LOs@? X� &@� �}(]��&����7�A��� � ��� ������� �! #"%$& ('()+* R eBf Pe s�T s o s(V ee s T L � X

,.-0/01&/023-0/54 R eBf Pe s(T s o s(V ee s T s ��L u)P e �L T

R egf P"s o f V e s � eBf P(6e s(T LMu)P e �L T X

B &$ � 8 � h nC � lLku)P �EDGF �IH&$�= 8 � � �! � &$ � �! #"%$& ('()�$�" �>JG$LK � ��� �>" � $ 4

� &@� �}(]��&������A��� � ��� ������� �! #"%$& ('()+* R e s P Te s(T s o s V ee s�T L � X,.-0/01&/023-0/54 R e s P T

e s(T s o s V ee s�T s ��L u)P e �LkT

Page 11: MATEMATIKA 1

6 1. REALNI I KOMPLEKSNI BROJEVI [1.1]

R e s P T-s o f V e s � eBf P(6e s T Lku)P e �LkT X

B &$ � 8 � �C � lLkuDP �ED F �IH&$�= 8 � � �! � &$ � �! #"%$& ('()�$ � JG$ ) ��= � ; "%$ F "�; J "�;!H3; K � ��� �>" � $ 4

� K ��� �ED " � � ��� K � ��� �>" � � � � ) � 8 ; � ; � � K �!$ 8 $#" )+K ; � e K $ D 8 �IF>��� ;+ T X� &'� � ��( � !]� ��� � � n>J�K9L9Kr<A1#3547698��c:9<>=@?A1CBY3 8^bc35bc=FK9<A1]m � 3'?%]X?A1]<)]3 nABY35J@3 m)BY3 :9<>='?>3 e 8��cbx=.k*1]bx=K)BM8z?A1]J K)dABM<>m98/dR8sm�3 BM<A8z?A1]m)8 e � 8^478�� e X�� =w6�35b =.bx=.�.Kq_]3XBY3rm�3�K�n>J�K9L9K<>1#3Y4^698���:9<A=@?A1*BY3x< ?A1]�>3#B53Ybc=c691 ?A1*m96�35JY=.nAd>8 -\��<>8OdR=.b�JY=.<>87nAdR87bc=xn>4�?A1]m91%_#3xnAB.='?AnAd>BY3K9<>1*m � 3'?>3 �

� 691 ?A1*m96�35JY=.nAdqn>1G691Gbx8z?A1*6@?>3 ]93YJ5=x4^8z?A1CB.= 8"m91*n>69=xm9=Mm�35bx= 8^nodR8v:9<A=@? �� 691 ?A1*m96�35JY=.nAdqn>1G691Gbx8z?A1*6@?>3 ]93YJ5=S?A1{Le=.bx69=.k*8^bx= L�= ]8/dR87BM6987b�:)<>=@?A1*b �� 691 ?A1*m96�35JY=.nAdHn>1xL9<A=.bc8�?A1]698 K�=.:)<R3Yd>6MK 691 ?A1]m96�3YJ5=.nodY] 3YJ5= ?A1xL�=.bx69=.k*8^bx=�n691]�.3YdR8/BD6)8^b�:9<>=@?A1*b�-

� &@����(]��& � � � ��� � ��� ����� " � � �! #"%$ � ;(= � Tas � eR eBf P�� s o X

,@-0/#1&/023-0/54�� $ D+��� " � � " � =>J � � � ) ��� � u)P �

-4 -3 -2 -1 1 2

20

40

60

80

������������� "!$#B(9=d(2H93V# (

% K �>JG$ � ; J � J ; K!$) ��� � e �LOsKh% X'& $ ��� J 3;"( &$#J ; 8 � � � � ; � ��=>"�; o P� &$ ) � =>J ;�"%$ ��=>"�; �= � K $#" � 3;#) � 8 � u X

Tas � eR egf P f o � u)P

V e f 6R e f P � u X

7 $& &$ J "�;+' � J ; " � � �! #"%$ � ;(= � = " � F>� J D $� � ; =>J ; = � H#*3K " � &$ � � % ; D+������� "�;)� $ � ; � �+*pR egf P-, % X/. ;#) ��� $#J ;

*KV eBf 60,1*pR e f P), � u X2 � � � � $ = � K $#"%$ � �3* V e f 60,1*pR e f P-,+L 6 e % f R u e f 6 � � % ; 8 � "�; J #K *#H3;!H = � * % " � $"�F>� � � H#K $�4 � � % $#K!$&)>; 8 $ 465 $ � ; � � � ; �876� � � �>" � * D e % % ; D+������� $#" � % $#K $&)>; 8 $ � ��; � K �>" * � $% K �>JG$ H3; K � 4:9 $ � ;<; � % ; 8 � "�; J � JG$ ��� % ; D+��� ��� " � � K � � �! #"�;(= ��� 8 � � � � ; ;+ �JG$#" � �IH � ��=>"�; ;+ � ��; �IHLK � ��� �>" � $ % K � % $& #" � � � $& #K $ � " � � �! #"%$& ('() �

* V eBf 60,1*pR e f P-,3LMu)P " ,.-7, $;+ #"�;(=>"�; = � ��� � � � $ % $#K!$&)>; 8 ��= ;(= � e>= � 4 = 8 4@?&4�ACB#4 B = � J � ;!H&$ * " � � �! #"%$& ('() � = � 3; DD� ; 8 � $ � $ � � �! #"%$ � ;(= � � % $ � K �+)�$ * � 8 � * F>�����.� K � ��� �>" � $ � �! #"%$& ('() � = ?&4�?CB �$ � ; =>*

Page 12: MATEMATIKA 1

[1.1] 1.1. REALNI BROJEVI 7

K $ D 8 �IF>��� $ ;+ s h% X � � ��� �>" � $ % K � % $& #" � � � $& #K $ � " � � �! #"%$& ('() � = ?&4�?CB = �G 3;#) � � * � $ � ; &$ = ��= � $ � � ;+ 4 $ � � ; K!$ �ED � �! #"%$ F>� = " * 8 ; J 4 B &$ � 8 � e h L stRDP e % L s h% X � K �>JG$� ; J � = � * % = �(� � K � ��� �>" � $L" � � �! #"%$& ('() � � ���4s�� PYstR����5s h% P�� �%X� � !]�����O�'�O� +"&@�a(*�����O�e!C��qL9n>=54^K)d>6�3 BD<A8z?A1*m969=.nodq<A1#354769=.� :9<A=@?>3 h n>1Fm91���698^<>3 ='BY35JY=

� h � L�� h P 35J5=S?A1 h�� us h Pt35JY={?A1 h u�qJ5=w?A1 h 6)1]��3Yd>87BY356 :9<A=@?%]\=.69m�3�?A1(s h L�= ]8/dR87BY356;- � 35JY=�?A1 KDBD8�?A1]J � h � � u XySnA8^b�d>=.��3q?A1 � s h � L � h � P9L93�d>= *6�3 �*8�m93�nA1HK)6MKDdp35<\35L9nA=.4^KDdR698�� ]35�.<>35m�3 n>bx8z?A1L�=.bx69=.k*87dR8en s<P^X\1]J@3q?A1 M dR=$�pJ@3 L9<>87m9<>K)k]1]693 :9<>=@?AK h Xqb �m91���6)8^Z]8�?A1S:9<A=@?A1*BM69=.��L9<>3#B.Z#3 nA4^8z?A1*m98m93E?A1 � h � K9m9354z?A1*69=.nAdxdR=$�#3YJY3 � 8 M X%��<A1]bc3 dR=5bc1 :9<>='? � h s j � ?A1�K9m9354z?A1*69=.nAdd>= �]35J@3�6�3�:)<>=@?A1CBD6)=.b L)<R3#B.Z*K�JY=@?A8^bc3 nAK L9<>87m9<>K)k]1]6)8�:9<A=@?A1*BM8 h 8:jlX�0 ?A1*�>1*6@?>36)1 ?A1]m)6�35m9k*:e1 � e s h � �

nAK L9<A1]bc3 d>=.bx1 =5698 e P2J5=@?A8Gn>K_K9m�354�?A1]698G=Mm h b}356'?A1 =Mm��lX2� 35J5= ?A1 �5=.<>6@?>36)1 ?A1]m)6�35m9k*:�3c1*J�BM8/B53Y4^1]6�d>6�3 nh s�� e h-f �'P

=Mm969=5n>69=s�� e s h �� X

�qL9n>=.47K)dR693�BM<>8�?A1]m96)=.nAd287b}3 nA4z?A1]m)1�_#3�nAB5=@?AnAdABY3,.- � h-f j � � h � f � j � PUD- ��� h � s � j ��� � h s�j � � h � f � j � P`)- � h j � L � h ��� j � Ph9-���� h j ��� L

� h �� j � X� &@� �}(]��&����7�A��� � ��� ������� �! #"%$& ('()+* ����

o e s RR f(e % ���� L�P^X,.-0/01&/023-0/54! � ; � � k C � %%#" C�$ � uDP ; "% &$�J ;+' �>J ; � = % *&= � ����� $ % =(; 8 * � " � D $(H#K $& ���

% $ � JG$#J ; � �! #"%$& ('()+* o e s�RR f�e % LrP^X

Page 13: MATEMATIKA 1

8 1. REALNI I KOMPLEKSNI BROJEVI [1.1]

� "�;+' ��; � = e % f R 3;#) ��� $#J ; � � $& #K $ � " * � �! #"%$& ('()+*e % s o egf V Lku)P

F>� � $LK � ��� �>" � $�=>* e h L�P.P e % LkVqX � ; � � k C � %%#" C�$ uDP ; "% &$"� � = % *5� � $ � * ; � $ % =(; 8 * � " � D $(H#K $& � � K �+)�$#J ; % K ; J � � �>" �����% K �! D "%$ � K $ D 8 ; J � *s o e s RR f�e % L�P X

� "�;+' ��; � = e % f R 3;#) ��� $#J ; � � $& #K $ � " * � �! #"%$& ('()+*e&%+f o e LMu)P

F>� � $LK � ��� �>" � $�=>* e l L�s o P e n Lku X.�$ � 8 ��� K � ��� �>" � $ =>*Ds o PWu)PYP.PWV X���9�������M�O��� y�BMm@?A1c6)8z?A1 dR<A1]:�3547=�L�=.nA1]:969=�8^nAL987d>87BY3YdR8 J5=@?A8sn>K dR= e #3 J5=@?A1S?A1k C � %%#" C $ � u)PM?A1]<%?A1*m96�35JY=.nAd k C � %%#" C $ L P =5n>8^�5K9<R3#BY3ELe= *87d>87BM69=.nodS<R3 ]4^=5bcJ@3�6�3E4^8�?A1*B5=@?nAdR<>35698"691 ?A1]m96935J5=.nodR8 - b nodp3�L9<>87b{?A1*m9:�3 BM<>8z?A1*m98"8 ]3x691 ?A1]m96935J5=.nodSK m9<>K)�.=.b m98�?A1]47KL9<>87b{?A1*<R3)- � =q]�bx1]m � K)dR87b ]D698z?A1{K)BM8�?A1]J}dR35J5=q]�J@35=��odR=�Le=5JY3 ]K@?A1Gn>4�?A1]m91%_]8"L9<A8^bS?A1]<*-� &@����(]��& � ���A��� � ��� ������� �! #"%$& ('()+* �� e % s � �� L e X,.-0/01&/#2 -0/&4 � ; � � e % s � � u)P ; "% &$ � �

e&% s ��L e P� � 4

e&% s e s ��L u X� � ��� �>" � $ ; � � � � $& #K $ � " � � �! #"%$& ('() � =>* e h L stRDP e % LOT X � ; e % h s � L stR� u)P� e %% s �<LkT Y�uDP % $ e h LrstR�" � � � K � ��� �>" � � 4 � ; � � e % s � u)P ; "% &$ � �

s e&% f ��L e P� � 4

e&% f(e s ��L u X� � ��� �>" � $ ; � � � � $& #K $ � " � � �! #"%$& ('() � =>* e h L s:T)P e % L�R X � ; e % h s � LrT Y u)P �e %% s �<LrstR u)P % $ e h LOstT�" � � � K � ��� �>" � � 49 $ � ; =>* K � ��� �>" � $ e h LkRDP e % L T X

Page 14: MATEMATIKA 1

[1.1] 1.1. REALNI BROJEVI 9

� �e�X��&X+9�9� �\1]J@3�n>K h PWj � �\PO8v691]J@3�?A1 h �j X�IDJ�K9L

� h PUj�� LrN e � � � h e �j [nA1 ]=XB.1 � ���X��&'+)��� 874^8 ���]+e��&'�M� �%� ���X��&'+)��� -

IDJ�K9L

� h PUj �.LON e � � � h e j [nA1 ]=XB.1 !]��L����M�e� 8^4^8 ���)�#+���&'�D��� ���e�X��&X+9��� -

IDJ�K9L

� h PUj �mLrN e � � � h e j [nA1 ]=XB.1 ����� ��� ���X��&'+)��� 8^4^8 ����� �O���#+���&'�M�������e�X��&X+9��� 8^478 ����� ��!]��L����M�e� 8^478 ������� ���D�#+���&'�M��� � ���X��&'+)��� -

IDJ�K9L

� h PUj�� LrN e � � � h �e �j [nA1 ]=XB.1 ����� ��� ���X��&'+)��� 8^4^8 ����� �O���#+���&'�M�������e�X��&X+9��� 8^478 ����� ��!]��L����M�e� 8^478 ������� ���D�#+���&'�M��� � ���X��&'+)��� -

b 6�dR1*<ABY35478"n>1G6�3 :9<>='?A1*BM69=.b�L9<>3#B.Z]K�L9<>87J@3 ]K@?AKrJ@35=�6�3�n>4�?A1]m91%_]=@?�n>4^87Z]8 -

a b a b

a b a b

Otvoreni interval Zatvoreni interval

Poluotvoreni (poluzatvoreni) intervali

Page 15: MATEMATIKA 1

10 1. REALNI I KOMPLEKSNI BROJEVI [1.1]

1 24132�� � ?�t;�� t?�� ��;m� ���W�8^69=5bc698�dR1*=.<>1*b�8^478 :98769=.bx698 L�=.K �#3YJx?A1 � =.<>b K)4�3 ]vJY=@?>3r6�35b�=.bx=.�.K _#3#BY3r<>3 �]K �6�356@?A1{L�=5dR1*69Z]8�?A1G:98^69=5b}3)-� ����&'�M� � � � ������� ���9�X����&@�M� � & $ = � $ � � % $#K K �!$ 8 " � � )+K ; � � � $ h PUj � % K ; �EDD� ; 8 � " �% K � K ;+ #" � )+K ; � Z � K � � �! �

* htf jC, � L� Z u� h � f � Z P� h � � h j f � Z R h � � % j % f ����� f � ZZ� j � PH& � � � �

� Z u LrP.P � Z � L Z * Z�s P-, �^XYX�X � *KZ�s �f P),

P �FR � XYXYX � � P�LrP.PURDPYXYXYXCPWZ X

y!*6�35J@3�� � ��� nA1 �*87dR3 �>" % ; � K � � $5-sW%<>=@?A1CBD8� Z u P � Z P P � Z R PYX�XYX]P � ZZ P Z � N

n>1 ]=XBMK $ � �O��� ���[���v��� ���a(]�M�e�X� -��<A=Dm9K)J�d\L9<oBM8���L)<>8^<A=Dm)698��E:9<A=@?A1*BY3�= ]693 �#3#BY35bx=���

LrP �FR � X�XYX � � P �� N"X��� �]8/dp35bx= � $ 4 $ � � ; K � � � 8 $5- js<>8z?A1*m98

� Z � L Z����

* Z�s�,� X

`v358^nodp3 � Z � L Z *KZ�s P), � XYXYX � * Z s � f P-,P �lR � XYX�X � �

L Z * ZDs P-, � XYXYX � *KZ s � f P-, � * Z�s �,1*KZ�s

�s�P), � XYXYX � P

P �FR � X�XYX � � � *KZ�s �,1* Z�s

�s P-, � XYXYX � P L Z

����*KZ s

�,� X

W%8^69=.bx698eJ5=M1���Z*8z?A1]6�d>8�87b}3X?AKEn>4z?A1*m91�_]3 nAB.='?AnAd>BY3)-

Page 16: MATEMATIKA 1

[1.1] 1.1. REALNI BROJEVI 11

� Z � L � ZZ�s

� P � Z � f � Z�f P L � Z f P�

f P (]8^bc3'?AKq_*8vL�=xm)1���6987Z]8�?A8 � uu� LOP.P

8sJY=.<>87nAdR1%_]8s=XBY3 noB.=@?Anod>BY3 ] :)8^69=.bx691�J5=M1��9Z]8z?A1*6�dR1xbc=.k*1]bx=�nA4^=.k*87d>8 K dR35:9478^Z]K JY=@?>3nA1 ]=XB.1 � ��!%�.�9���M+�#&@��� �"�Z Lku ,Z LrP , ,Z L R , U ,Z LkT , ` ` ,Z LMV , h � h ,Z L o , u ,#g ,Xg u ,Z L � , � ,'u U5g ,'u � ,����� �����������)�����������)�����)�����)�����������������)�����������

� &@� �}(]��&���� ��� D K $ F *3"%$ � � � P^P� X,.-0/01&/023-0/54�� J � ��= � ; &$ K $ F *3"%$#J ; � hah� � P � ; K � = � � J ;G= � ; � = � � ; � hah� � L � hahhah � � � P% $ � JG$#J ; � P P� L � P^PR L P^P �^P u

P �lR L o`o X

� &@� �}(]��&�����A� $ = % � =+$ � � % ; ) � "�; J "�; J � ��; K �>J * *pR e s � , k X,.-0/01&/023-0/54 � D � $ =)�!$ 8 ; � ;!H � K ; � * � $ F>��� $#J ; � ; �876� � � �>" � ��� % $ � JG$#J ;

*pR e s � , k L�P � *pR e , k f o � * R e , n *4s � , f P u � *pR e , l *4s �', % f P u � *pR e , % * s � , lf o ��*pR e ,1*4s �', n f P �D* s � , k LkT R e k s 6 u e n � f 6^u e l � % s�V u e&% � l f P u e � n s � k X1324132� � ���� /���,.-:`v35L98^n>3YdR8eJ@35=�8^6�dR1*<ABY354^1{8"nAJ�8^Z]87<R3Yd>8;6�3�:9<A=@?A1*BM69=.b|L9<R3#B.Z*K

��� N e � � � stT� e ' o [�P � � N e � � � ' T e s(V� 6 [�P��� N e � � � s@? Tas�R e o [�P � � N e � � � s:T� e f V X P ? o � [�P� � N e � � � s.6 s V�s�T e< o [�P � � N e � � � s ' T� e s o

�' 6 �R [QX

Page 17: MATEMATIKA 1

12 1. REALNI I KOMPLEKSNI BROJEVI [1.2]

UD-qIDJ�8^Z*8^<R3@dR8;693�:)<>=@?A1CBD6)=.b�L9<R3#B5Z]KwnAJ�K9Le=XB51� � N e � � � � e � cR [�P � � N e � � � � R eBf T � ? [�P� � N e � � � ����

e s(TeBf P

���� kP [�P � � N e � � � egf Re s�P�� PH[�P� � N e � � � � e s o �e f o � s � [�P � � N e � � � � e s�T �e f � s V [QX

`)-qID4z?A1*m91�_*1G691 ?A1*m96�35m9k*:e1FL9<A1]L987nR3Yd>8vLe=5bc= _]K 35L9nA=.4^KDdR698���BD<A8z?A1*m969=.nodR8� � s R e �)P � � R �e< 6)P� � s P �e s�T o P � � s o � f�e kP.P� � s ?

T s6� f�e s<P.P � � s�P�� P s e

6 �RT X

h9-\0\8�?A1]�A87dR8en>4�?A1]m91%_]1�?A1]m96935m9k]:�1� � � eBf P � s � R e s�T � L RDP � � � o s(V e � s � � e s V � L ?DP� � � � f � e � s�R�L � s ?-s V e � P � � o s � � e s ? � L � ? f T e � P� � V s � � f R e � L � V e s(V � P � � � s P"s�T e � f � V e s R � LrP^X

uD-"b ]<>3 �]K9693YdR8� � � oV� P � � � P u^u�06 P � � � �^To ? P � � � V VT#6� P � � � T �R � P � � � T^RR P X

�)-"b ]<>3 �]K9693YdR8"=.693'? �*4�356r=Mm � ' e s R�' e h k JY=@?A8"691GnR3Ym9<>k*8"1]J�n>L9478^Z*87dR6)= e X

�D-(�35L)8^nR3@dR8;L�1*d>8 �]4^356r=Dm * e % f � , � X�)-"b n>L987nR3Yd>8 � ' e s P' e n X�)-(�35L)8^nR3@dR8;nA1]m9bx8 �]4^356r=Dm * e&% s P

e , � X

,Xg)-(�35L)8^nR3@dR8(�*4�356r=Mm * e % f Pe , h % J5=@?A8"n>35m9<Ak]8 e l X

,.,.-"b ]<>3 �]K9693YdR8 * h-f P), n f * h s�P-, n X,'UD-"b ]<>3 �]K9693YdR8 * ' T f P-, h � s * ' Tas�P), h � X

Page 18: MATEMATIKA 1

[1.2] 1.2. KOORDINATNI SUSTAVI 13

����� � * * )���&%$ !��>$�&������>! /n&132 �0251 �;@;m���:?��� � t?�� 8����0� = 8 � � =:?J:?�\B53r<>1]354^693�:9<>=@?>3 h 8 jXP"L9<A8 �]1*b KE?A1 BY35k*69=rJ5=@?A8;?A1 L9<oBD8 ]�3rJY=@?A8;?A1 m9<>K)�.8p] *='B51nA1 ��&'� � �M��� � �9& &'������� �KJ $�&@�D(]��+9� 8 #3YL98^nAK@?A1En>1 * h PUjC, X�IDJ�K9L~noBD8�� K9<>1*m � 1]698��L935<>=XBY3 <>1#3Y4^698��E:9<>=@?A1CBY3xnA1F= ]6�3 �]3#B53�=XBY35J5=

��� �kL � % LrN * h PUjC, � h � �\PUj � �"[QX\1]J@3 ?A1�m�356�3�<R3#BM69876�3��<XX0\3#BM698^6�KGn ��BY3 �

x

y

T

A

B

a

b

O

"$# %'&�()2* �Q- c�323f=d@A%'14(Fea16%������ e (FI���=T(FI219%'16%

_]35bx=SJ@35={n>J�K9L dR=$�#3YJY3D- q1*J@3Sn>K�K <R3#BM698^6)8� m�35693xm)BY3xbc1*m � K9n>=5:969=}=5J5=.bx87dR3�L)<R3#B.Z]3)- ?A8��9=XB5=.b n ?A1]Z*8^�Ad>K � L9<>87m9<>K)k]8^bx=�:)<>=@?�g693 =.:93 L)<R3#B.Z]3)- ySm9<A1]m987bc=�d>= �pJ�K�� h 6�3L)<AB.=5b�L9<R3#B.Z*K <R3 *4^8 �]87d>KE=DmrdR=$�pJ51�� 8"L9<>8 �m)<>K9k*8^bx=x?A=@?�:9<>='?E,.- �3�m)<>K9�.=5b L9<>3#B.Z]K=Mm9<A1]m987bc=Sd>= �pJ�K � % dR35J5=Fm�3Gm9K9k*8^691 ��� h 8� � % 87b}3X?AKw8^nodR1Hm9K94z?A87691 ]e8 L9<A8^m9<AK9k]87bc=S?A=@?:)<>=@?-P.-���8^bx1 ]D<R356)8z?A1S=.L)8^nR3Y698^b�6�3 �*8^69=.bD])L)<ABM8v8vm9<AK9�.8vL)<R3#BY35ZGLe=.nodp3'?AKr:9<A=@?A1*BM698L)<R3#B.Z*8 -x� =$�pJ5=.b N K <>3XBM6987698�L�='BMK �*1]bx=�L935<R35471]471 nHL)<ABM8^b�8�m)<>K9�.87b L9<>3#B.Z]1*b�-yS691qn>8�?A1]J�K�L9<oBD8�L9<>3XBY35ZqK}dR=$�pJ�8/N h PM3Hm9<AK9�.8�K}dR=$�pJ�8/N % X �3�L)<AB.=5b�L)<R3#B.Z*K�dR=$�pJM8N h L9<A8^L�35m93 <>1]354�3Y6 :9<>='? h P%m9=.J dR=$�pJ�8 N % 6�3�m9<AK9�.=.b L9<R3#B5Z]K L9<A8^L�35m93�<>1]354�356:)<>=@?aj Xv� 3YJ5=rn>bx=EL9<>=58�*B5=.4z?A6)=@?qdR=$�pJM8�NtK <R3#BM6987698 L9<A8^m9<AK9k]874^8OL�35<{:9<A=@?A1*BY3 ]"L)<>1 �Z*8�*698z?A1sK9<A1]m � 1]6)8ML935<6* h PUjC,O:9<A=@?A1*BY3 h 8 jXPR?A1]<9?A1%6'?A8��9=XB{L�=.<>1*m�35JG=Mm9<>1*m � 1]6HLe=.<A1*d>J5=.bL)<R3#BY35Z#3\6�3qJY=@?A8^bc3\nA1�6�3Y4�3 *15- ySBM87b Le=.nodRK9L)J5=.b~?A1[Le=5d>L9K969=q=Dm)<>1]m � 1]69=qL9<>87m9<>K9k*8 �BY356'?A1 N��� * h PUjC,CP�=Mm969=5n>69=�� � � % X��s<A8�dR=5b ?A1*m969=@?cdR=$�pJ�8SL9<A8^L�35m93r?A1]m�3Y6K)<>1]m � 1*698"L�35<�<A1#3547698��E:)<>=@?A1CB53D-yS:9<>3YdR69= ].691]J@3%?A1 m�3Y6 K9<>1*m � 1]698)L�35< <A1#3547698��H:9<>=@?A1CBY3 * h PUjC, X.W%<>=@?AK h 6�3SL9<oB.=.bL)<R3#B.Z*K}L9<A8^L�35m93{d>= �pJ@3 M P�:)<>=@?AK j�L9<A8^L�3Ym�3{6�3{m9<>K9�5=.b L9<>3XB5Z]KxdR=$�pJY3�!�X���=$�pJ5=.bM L�='BMK �*1]bx=�L�3Y<R35471]4^K nxm9<>K)�.8^b L)<R3#B.Z*1]b 82d>= �pJY=.b ! L�=XBMK �]1*bc= L�35<R3Y4^1]47K nL)<ABM8^b L9<R3#B5Z]1]b - � 1EL�3Y<R35471]4^1xn>1EnA8z?A1*JMK K d>= �pJ�8 N � �<X y�BD87b L�=.nodRK9L9JY=.b�?A1m93569=xL9<>87m9<>K9k*87BY356@?A1 * h PUjC,"�� N2P�=Mm969=5n>69=�� % � �<X���<A8Od>=.b ?A1*m969=.b�K9<A1]m � 1*69=.bL935<>K <>1]354^698��E:9<>='?A1*BY3 L9<>87L�35m�3q?A1]m)6�3�d>= �pJ@3)-q3Fdp3X?[6�3 �*8^6S?A1qm�3Y69=�=.:�=.nodR<R3Y69=2?A1*m969= *6�3 �]6)=�L9<A8^m9<AK9k]8/B53Y6@?A128�]bx1]m � K}dR=$�#3YJY3<>3#BD6)8^691#��8vK9<A1]m � 1*698��rL�35<A=XB53 <A1#3547698��E:9<A=@?A1*BY3)-���=�L9<>87m9<>K)k]87BY356'?A1 ]=XB.1*bc= � �9& �#� ���i(]��+O��� � &'��+���� �O�X� ��� ���;��& ��� �O�)�'����� !%� !C�X��+e��� ��&'��+"� ��� � - ��= �pJ@3 NnA1�]=XB51 L�&@��� ��&'� � �M�O� L���9&'� * h PUjC,SX;��<ABM8 L9<R3#BY35Z�nA1#*='B51 ��!}�9� !%��� !*� -��q<>K9�.8L)<R3#BY35ZGn>1 ]=XB.1 ��!x��& ��� �O�)�X� -[W�<A=@? h n>1 ]=XB51 �9� !%����!]� d>= �pJY1 N"X�W�<>=@?"j�n>1 *='B51��& ��� �O�)�X� dR=$�pJ51[N"X�W�<A=@?A1*BM8 h PUj n>1 ]=XBMK ���v��& �������)�#� �#� "@��� NF-E��= �pJ@3 ��nA1

*=XB.1 � !YJO� ���8�C�X�����v��& ��� �O�)�'�O� L !%��!*�X��+9� -

Page 19: MATEMATIKA 1

14 1. REALNI I KOMPLEKSNI BROJEVI [1.2]

1 2 �02�� ;@;�� �t?��� � t? � 8���� �>= 8 9 �q; � � ;m�q8� <A8;<>1]354^693�:9<>='?>3 h P jq8 � L9<A8(�]1*b KH?A1�BY35k*69= J5=@?A8�?A1SL9<ABM8 ])J5='?A8M?A1Sm9<AK9�.8p])3 J5=@?A8�?A1dR<>1%_]8 ]�*=XB.1�nA1 �O&'� � �M��� �X&'�)(]�D��&'������� �KJ~$�&@�D(]��+9� 8 ]35L987n>K@?A1Fn>1 * h PUjXP � , XeIDJ�K9LnABM8��rK9<A1]m � 1]6)8��EdR<A=@?AJ�8"<>1#3Y4^698��E:9<>=@?A1CBY3xnA1F= ]6�3 �]3#B53�=XBY35J5=

� ����� �kL � l LrN * h PUjXP � , � h � �\PUj � �qP � � �"[QX\1]J@3 ?A1 m�3Y6 L9<A=.nAd>=.<��tX\��<>=5nAdR=5< n ��B53H_#35bx=~J@35=n>J�K9L�dR=$�#35J@3)- q1]J@3n>KK_L9<A=.nAd>=.<>K�� m�3Y6�3 d><>8{bx1]m � K9n>=.:)69=~=.JY=.bx87dp3 L)<R3#B.Z]3)- �?A8��9=XB.=.b n ?A1]Z*8^�odRK]�L9<>87m9<>K9k*8^bx= :9<A=@?\g 6�3�nABY3 dR<A8"L9<R3#B.Z]3)- ySm9<>1*m98^bx=GdR=$�pJMK � h 693HL9<oB.=.b L9<>3XB5Z]K

T

b

a

c

O

A

B

C

T’

"$# %'&�()+* �B-Rc 3f3f=d@f%'1U(Fea19% ����� e (FI��O<9=T3 � e 3f= �

<>3 ]478!�]8/dRKH=Dm d>= �pJY1 �_89L9<>87m9<>K)k]8^bx=s?A='? :)<>=@?,.- q3m)<>K9�.=5b L9<R3#B5Z]K =Mm9<A1]m987bc= d>= �pJ�K� % P 693�dR<A1�_]1*b d>= �pJ�K � l dp35JY=�m�3wm)K9k]87691� � h P ��� % 8 ��� l 87b}3X?AKE8^nAd>1Gm9K94z?A87691S8;d>8^bd>= �pJ@35bc3�L9<A8^m9<AK9k]87bc= :)<>=@?tP^X9��87bc1H]D<>35698�?A1=.L)8^nR3Y698^b_6�3 �]8769=.bD]YL)<ABM8p]@m9<>K)�.8�8�d><>1%_]8�L9<R3 �BY35ZxLe=5nAdp3X?AK :9<>='?A1*BM698�L)<R3#B.Z*8 -r� =$�pJ5=5b NK L9<A=.nAd>=.<>K L�=XBDK �]1]bx= L�35<>354^1*4^K n�d><>1�_*8^bL9<>3#B.Z]1*b�-\yS6�3xn>8�?A1��]1H<R3#BM698^6�K�=Dm9<A1]m � 1*6�K�nL9<oBM8^b 8�m9<AK9�.87b L9<>3#B.Z]1*b K dR=$�pJ�8 N \ X b dR=$�pJ51 N \ L�=XBDK �]1]bx=wL935<R35471]471 nHm)<>K9�.87b�=Mm969=.nA69=�L)<ABM8^b�L)<R3#B.Z*1]b -}��1cL�3Y<R35471]4^1n>8z?A1*J�K L9<ABM8�=Mm969=.nA69={m9<>K)�.8)L9<>3#B53YZ�K�d>= �pJ@35bc3 N h =Dm96)=.n>69=jN % X���<R3#BY35Z 8��dR=$�pJ51NL�35<R3Y4^1]4^356Gn m)K9k]8769=.b �!N \ n>8�?A1��*1%dR<A1�_*8ML)<R3#BY35Z�KFdR=$�pJM8 N l X �3qL)<AB.=5b L)<R3#B.Z*K�dR=$�pJ�8

N h L)<>8^L935m�3c<A1#354^356w:)<>=@? h Ped>= �pJ�8�N % 693}m9<>K)�.=.b�L9<R3#B5Z]K L9<A8^L�35m93c<>1]354�3Y6w:9<A=@?tjXPm9=.J�6�3 d><>1�_*1]b�L9<>3#B.Z]K dR=$�pJ�8�N l L9<>87L�35m�3 <>1]354�3Y6 :)<>=@? � X�� 35JY=cnAbc=xL9<>=58�*B5=.4z?A6)=@?dR=$�pJM8�N K L)<>=.nodR=.<AK�L9<A8^m9<AK9k]874^85d><>=@?AJ�K :9<A=@?A1*BY3 ]YL9<>1*Z]8�]698�?A1%K9<A1]m � 1*6MKHdR<>='?AJMK * h PUjXP � ,:9<>=@?A1CBY3 h PUjF8 � PM?A1]<%?A1 6@?A8��9=XB�L�=.<>1*m�35J�=Dm9<A1]m � 1*6 Le=.<A1*d>J5=.b�L)<R3#BY35Z#3E6�3EJ5='?A8^bc3n>126�354^3 ]1Y-�y�BM8^b L�=.nAd>K9L9JY=.b�?A12Le=YdRL9K96)=F=Mm9<A1]m � 1*69=HL)<>8^m)<>K9k*87BY356@?A1 N �� * h PUjXP � ,CP=Dm96)=.n>69=���� � l X9��<A8;dR=.b�?A1]m)69=@?%dR=$�pJ�8vL9<>87L�35m�3\?A1*m96�3 K9<A1]m � 1*6�3�dR<A=@?AJ@3 <>1#3Y4^698��:9<>=@?A1CBY3)-yS:9<>3YdR6)=q]�691]J@3�?A12m�3Y6�3HK9<A1]m � 1*6�3Fd><>=@?AJ@3G<>1]354^698���:9<>=@?A1CBY3 * h PUjXP � , X�W%<>=@?AK h 6�3L9<AB5=.b L9<>3XB5Z]K�L9<>87L�35m�3 dR=$�pJ@3 M P�:9<>='?AK jSL)<>8^L935m�3 6�3�m9<>K)�.=.b L9<>3#B.Z]K dR=$�pJ@3 !cP:9<>=@?AK � L9<>87L�35m�3�6�3}d><>1%_]1]b L9<R3#B.Z*K d>= �pJ@3�� X <>3XBM6987698 =Mm9<A1]m � 1*69=@?Sn{L9<ABY3Em)BY3L9<R3#B.Z]3 ]ed>= �pJY=.b M L�=XBDK �]1]bx=�L9<>3#B53YZ�L�35<>354^1*4�356rnqm9<>K9�58^b�L9<>3XB5Z]1*b ]�dR=$�pJ5=.b !L9<R3#BY35Z�L�35<>354^1*4�356Hnsm9<>K9�58^b L9<R3#B.Z*1]b - ��89L9<>3#B.Z]8�nA12n>8z?A1*J�KxK d>= �pJ�80NO\ X b dR=$�pJ51NO\Le=XBMK �]1*bc= L)<R3#BY35ZSL�35<>354^1*4�356xn�d><>1�_*8^b�L9<R3#B5Z]1]bD]98�dR=$�pJ5=.b� L)<R3#BY35ZSL�35<>354^1*4�356cnm9K9k]8769=.b �!N \ -{��8 L9<R3#B5Z]8 nA1 n>8�?A1]J�K K�dR=$�pJM8 N � �tX"y�BM8^bfL�=.nAd>K9L9J5=5b ?A1 m�3Y69=L9<>87m9<>K9k*87BY356@?A1 * h PUjXP � , �� N2P)=Dm96)=.n>69=� l � �tX)�s<A8ed>=.b ?A1*m969=@?�K9<A1]m � 1*69=@?%dR<A=@?AJ�8<>1#3Y4^698��E:9<>=@?A1CBY3xL9<A8^L�3Ym�3\?A1]m9693�d>= �pJ@3)-

Page 20: MATEMATIKA 1

[1.3] 1.3. KOMPLEKSNI BROJEVI 15

q3Fdp3X?[6�3 �*8^6S?A1qm�3Y69=�=.:�=.nodR<R3Y69=2?A1*m969= *6�3 �]6)=�L9<A8^m9<AK9k]8/B53Y6@?A128�]bx1]m � K}dR=$�#3YJY3L)<>=.nodR=.<>3 � 8"K9<>1*m � 1]698��rd><>=@?AJ�8O<>1]354^6)8��E:9<A=@?A1*BY3)-[� =xL9<A8^m9<AK9k]8/B53Y6@?A1 ]=XB.1*bc= � �9& �#� ���i(]��+O��� ��&@��+���� �"�'� ��� ���v��& �������)�X� ��� !%��!*�X��+��e� � ��&'�e!C�X��& � - � =$�pJ@3N�n>1 *='B51 L�&'� � ��&'� � �D�O�~�X&'�D(]��� * h PWj'P � ,SX���<ABM8 L9<>3XBY35ZEnA1 ]=XB.1 ��! �)� !%����!]� -�q<>K9�.8�L9<>3XBY35Z�n>1�*='B51 ��!���& �������)�#� -q��<>1%_]8 L9<R3#BY35Z nA1�]=XB.1 �e!��)� �����D�)�X� -qW�<A=@?h nA1#]=XB51 �9� !%��� !*� dR=$�pJ51�N"XeW�<A=@?:j{n>1�]=XB.1 ��& ��� �O�)�X� d>= �pJY1 N"XeW�<>='? � nA1#*='B51�)� �����D�)�X� d>= �pJY1 N"X W%<>=@?A1CBD8 h PUjXP � nA1 ]=XBMK ���v��& � �����D�X� dR=$�pJ51 N"X�� =$�pJ@3��fnA1*=XB.1 � !YJO� ���8�C�X� JY=D=.<Am98^693YdR69=5� n>K9nodp3#BY3)-132 �02�� � ���� /���,.-qIDJ�8^Z]87<R3Yd>8;nAJMK)LwnABM8�� d>= �]35J@3 ]3 J5=@?A1 ?A1 P@s � e P f � P � Y u)P

��� 693xL9<>3#B.Z]K.] � � K�<>3#BD6)8^698 ] � � KrL9<A=.nAd>=.<>Kv-UD-\lq=@?A1 JY=D=5<>m9876�3YdR1H8^bc3xd>= �pJ@3 NO\"K�<>3XBM6987698p]en>87bc1CdR<>8 �]6�3�dR=$�pJ�8DNrL * h PWj�,\K=Dm96)=.n>K 6�3

� � 87n �9=Mm987�AdR1@P � � =.n e P ��� =.n ��P� � L)<R3#BY35Z � L e P � � L9<>3XBY35Z � Lrs e X

`)-\lq=@?A1SJY=D=5<>m9876�3YdR1q8^bc3Fd>= �pJ@3�NO\�KEL9<A=.nAd>=.<>K ]Dn>87bc1CdR<>8 �]6�3FdR=$�pJM8/NcL>* h PUjXP � ,K�=Mm969=.nAKr6�3��� 8^n �9=Mm98^�odR1@P � � =.n e P � � =.n ��P� � e ��<>3XBM69876�K"P � � ����<R3#BM698^6�KvP � � � e <R3#BM698^6�K X

����� � *�� � #% � $�& '�)+*-,. 0/�&132 �"251 �;���9j��� 7�� t?�� �q; ��� =@?� ����� � �M�v!]���~$�&'�)(W%<>=@?�=.:94^87J@3

�<L h-f j��>P�5m@?A1Gn>K h 8 j�<A1#3547698v:9<A=@?A1*BM8p]�3 �s:9<A=@?�JY=@?A8O8^bc3�nAB5=@?AnAdAB.=

� % L�s<P5P

Page 21: MATEMATIKA 1

16 1. REALNI I KOMPLEKSNI BROJEVI [1.3]

n>1 ]=XB.1 ������� � ���"!]����$ &'�D( -W%<>=@? h nA1�]=XB.1 &@����� ��� � � � J5=5bcL9471]J�n>6)=.�}:9<A=@?>3 �}8�L987�>1�nA1 h L ��� � XvW�<A=@?jHn>1 *='B51 � ���0Le���O�9&'��� ����� J5=.bxL9471]J�n>69=5� :)<>=@?>3 �r8 L987�>1 n>1 j�L�� � � X"W%<>=@? �n>1 ]=XB51 � ���0Le���O�9&@��� (]� ��� ��� �.� - W�<>=@? �{698�?A1}<A1#354^356 :9<A=@?*- \1�L�=.nAd>=@?A8 <>1]354�3Y6:9<>=@? �]8z?A8 ?A1�J�BY35m)<R3Ydc691]�.3YdR8/B53Y6v-�lq=.bxL94^1*J�n>6982:9<A=@?A1*BM8�nAK ?A1]m)6�35J�8p]�3YJ5= nAK 8^b<>1#3Y4^698vm)8z?A1]47=XBD8�?A1]m96�3YJM8O8"87b}35�58^6�35<A698�m98z?A1*4^=XBM8M?A1]m96935J�8 -%lq=.bxL94^1*J�n>698":9<A=@?A1*BM8 ]��]8z?A8?A1{8^bc35�.8^6935<>698�m987=nuDP ��� L�� !]� �����M�e�X� � ����&'�)�X��!x&'������� ��� $ &'�D(]��+O����� -IMJMK)LwnABM8�� JY=.bxL94^1*JMnA698�� :9<A=@?A1*BY3 n>1F= ]693 �#3#BY3 n>4^=XB5=.b��@X `v35L98^n�<L h-f j��

n>1 ]=XB.1 !*�X�9� �O�9& � ��� 8^478 ��� L���$ �9&@!]�v� =.:9478^JxJ5=.bxL94^1*J�n>69=.�x:9<A=@?>3)-� &@����(]��& � ��� � $ ; � K �!$ 8 $#" �<� JG$(H � "%$#K $#" � ; = 8 � �! ��; � � � ; J � % 8 � � =>" � � )+K ; � � � $

?&4 � L R f T �>P� 4 � L ' T-s R �>P 4 � LrP@s R egf T ��s ' R f � � �AP $ � ; =>* e � � K �!$ 8 " � )+K ; � � �(� 4

,@-0/#15/#2 -0/&4?&4 �� �<L RDP�� � �<L T)P� 4 �� �<L ' TDP�� � �<L�stRDP 4 �� �<LrP"s R e s ' RDP�� � �gLMT f � �mX

� &@����(]��& � ���� � $ ; � K �!$ 8 " ��)+K�; � � � � e � � � $ � � � &$ � �stR f o e ��s�T�� �+L � � f R e s(V �dX

,.-0/01&/#2 -0/&4 � D � �! #"%$ � ;(= ��� � ; J % 8 � � =>" � � )+K ; � � � $ s-R f o e �3sMT�� �<L � � fR e s V � = 8 � � �! � stR f * o e s(T��',�� L R e s(V � f � � X B &$ � 8 �R e s(V � L stRo e s�T�� L �

� D % K � � � �! #"%$& ('() � "%$ 8 $ D+� J ;� &$ � �e L R��<s�P.P " ,.- U $

% $ � $& * � K = � � J ;L* #K *#H#* � �! #"%$& ('()+* 3;#) ��� $#J ; ��L�R X � � K�� � $ � $#" � �>J � ;!H&$ � *= ?&4 � B 3;#) ��� $#J ; e L T X

Page 22: MATEMATIKA 1

[1.3] 1.3. KOMPLEKSNI BROJEVI 17

W�<A=@?�<L h s�j��

nA1 ]=XB.1 ���e�M(%��L���&'���O� ������� � ���"!]��� :)<>=@?AK � X� � � � � JY=.bxL94^1*JMnA69=.��:9<A=@?>3 �<L htf j��;?A1G<>1]354�3Y6E:9<>=@?

� � � L ' h % f j % X��=S?A1{:9<>=@?�K)BM8z?A1*J}B.1%_]8O=Dmr6�K9471F874^8.?A1]m96935JE6�K94^8 -� � ��!#!]�D+)��&'��+O��� �O�I�B53YJM8�JY=.bcL)4^1]J�n>356�:9<A=@?9?A1[Le=YdRL9K96)= ]35m�356Hn m)BY3\<>1#3Y4^6�3�:9<A=@?>3 ]58�L9<A8.dR=.b�?A1sBY35k]6)=JY=@?A8�?A1�L9<ABM8 " <>1]354^698�m987= $%3HJ5=@?A8em9<>K9�58 "�87b}3Y�.8^6�3Y<>6989m)8^= $ - � =�6�35b�=.bc=5�.Kq_#3#BY3Hm93JY=.bxL94^1*JMnA691G:9<>='?A1*B.1FZ]<odp35bx=�K�<>3#BD6)8^698vJ@35= d>= �pJY15- �<R3#BM698^6)8q6�3YZ]<AdR35bx= m)BY3 bc1*m � K9nA=.:969=

a

i b

O x

i y

z = a + i b

z| |

ϕ

"$# %'&�( )+* �B-�c 3���<+# 76& ��16%/H9=T3a:&�(43!e 3��9&a(���0(�� � � 36IF3�: =d(FI+16%'16%

=5J5=.bx87dR3�:9<>='?A1*BM6�32L9<R3#B.Z]3 ]'B.=Mm9=.<R3#BM698.8YB.1]< �d>8^J@3547698 -"js=Mm9=.<R3#BM6989L)<R3#BY35Z2n>1 ]=XB.1 &'����� �O���! 8�= ]6�3 �#3#BY3FnA1qn e - js1]<odR87JY3Y4^6989L)<R3#BY35Z2n>1*=XB.1 ����� L������)&Y�O� �e! 8O= ]693 �#3#BY3cnA1Hn �0�e- ?A8��9=XB5=�n ?A1*Z]87�AdR1�n>1�*=XB.1 ��!YJO� � � �*�X� - \1]J@3?A1 ��L h f j��5X"021#3547698 m)8^= h n>1 6�3Y69=.n>8 6�3<A1#35476�K =.n%] 3Dj��2nA1c6�3Y69=.n>8�693 87b}35�58^6�35<A6�K=5n!#3�jG=Mm�8^n �9=Dm)8^�AdR3 " Be-in>4 - ,.-a��$ -S0\3XBM69876�3K JY=@?A=@? n>1�Z*<Adp3X?AKxJY=.bxL94^1*JMnA698):)<>=@?A1CBD8 ]=XB.1nA1 � � � !#!*�D+9��&'��+O� ���O� 8^4^8 ������� �����"!#�O�&'��+O��� �O� - q3Hn>478^Z*8�,5-V��nA1qBM8^m)8em�3Fn>L�=@?A6987Z#387n �9=Mm987�Adp3 8%d>= �pJY1 ]sJ5=@?>3�L)<>1]m)nAdp3#BM4z?>3�JY=.b �L)4^1]J�nA698�:9<>='?{<>3 ]478!�]8/d�=Mm 6�K94^1H] #3YdAB53Y<R3EJ�K)d� n{Le= *87d>87BM698^b�m98�?A1]47=.b <A1#3547691 =.nA8 -� 3'?FJ�K)dFnA1 ]=XB51 �9&VL������M�e��������� �����"!#�O� L $ &'�D(]� � X W%<>=@?AK � ?A1xL9<>87m9<>K)k]1]6)=:�1]nAJ5=.693 �]69=qbc6)=.�.= BM<>8�?A1]m969=5nAdR8�3Y<>�.K9bx1]6�dR3 ]�%P�� f R � P��0s R ��P�� f V ��P��0s-V � PYXYXYXUXjs<A8z?A1*m969=.nod2J5=@?>3�n>1F6�354^3 ]8eK � u)PSR � ��n>1�]=XB.1 L�����+O�O� +v&Y�i(]� ������!*�x�9&VL�� � �D���X� -��<R3#B5=.J�K)dp356�d><>=.J�K)d�K�J5='?A1]b�n>1S6�3Y4�3 *8�J�K)d�� 8^bc3GJY3@dR1*d>1 h 8mj'PML�32?A1qm9K94�?A8^6�3nALe='?A698^Z*1 K9L9<>3XB5=�?A1]m96�3YJY3Ebx=Dm)K94^K�:9<>=@?>3 � "��s8/dp35�5=.<>876wL�=.K �#3YJ $ -G� 35JY=.m � 1]<{nA1 8�nA4^87J51SBM8^m98"m93�?A1

�� � L jh X "o,5-V`�$

Page 23: MATEMATIKA 1

18 1. REALNI I KOMPLEKSNI BROJEVI [1.3]

� 3 � =.<>b�K94�3�6)1Hm�3X?A1 ?A1*m969= *6�3 �]356w=Mm9�.=XB.=5<�6�3xL)87dp3Y6@?A1{J5=.478^J�8M?A1F35<A�.K9bx1]6�d(]:�=.�dR=.��3 �Ad>=�87nAdR8 dR3569�.1*69n�3Y<>�.K9bx1]6�dR3 87b}3 82J5=.bxL9471]J�n>698\:9<A=@?%]�JY=@?A8�?A1 n>87bc1CdR<A8!�#3Y6m�3569=.bx1{Kr=Dm)69=.n>K 6�3�8^n �9=Dm)8^�Ad>15-3`v3@dR=K)BM8z?A1*J}dR<A1]:�3�K)dABD<Am987d>8vK J5=@?A1*b�n>1GJ�B53Ym9<R356�d>K�6�3Y4�3 *8vJ5=.bxL9471]J�n>698":)<>=@?*-

� =�n>1Fbx=.k]1{L�=.bx= _*KE='B51FdR35:�1]4^1lsB53Ym9<R356�d 0\1]354^698;m98^= b b}3Y�.8^6�3Y<>698em98^=

,5- f fUM- s f`D- s sh)- f s

��J5= ?A1 h LouDP"=.69m�3Edp356)�.1]69nH35<A�.K9bx1]6�dp3r691�Le=5nAdR='?A8 - d>=.b�nA1cnA4^K �]3'?AK JY=.b �L94^1*JMnA698�:9<>=@?%69354�3 *8e693H=.nA8$��PML932?A1S35<A�.K9bx1]6�d�� % PD35J5=\?A1tjjY�u � l��% PD35J5=\?A1tj u)P3�6)1]=Mm9<>1*m � 1]6 ]�35JY={?A1 j0L u)P)d ?*-�35J5=�n>1F<R3Ym98v=�J5=.bxL9471]J�n>69=5b�:9<>=@?AK � Lku X� &@����(]��& � ����� � $ ; � J ;+ #* 8 � H 8 $ � " * � K � � �! #"�;(= � $#K H#*3J �>" � $ = 8 � �! ��; � � � ; J % 8 � � (=>" � � )+K ; � � � $

��� �<L �>P � � � Lrs o �>P � � �<L�P f �>P � � �<L R-s�R � X,.-0/01&/#2 -0/&4?&4 � Lku f �>P % $ � � J ;+ #* 8 P^X 5 $& "%$ �>K � $#J ; � $ � � ; J % 8 � � =>" � )+K�; � *�$#*&=�=(; � ; �

K $ � " � " � � �(� � J ;L &$ � � � L�� % P� 4 � L u s o �AP % $ � � J ;+ #* 8 o X B � $ � )+K ; � = � "%$ 8 $ D+� "%$ " �IH&$ ����� "�; J � � � 8 *

� JG$(H � "%$#K " � ;(= � � % $ � �$#K H#*3J �>" � � L l��% P 4 B � � � � � h L�P � jtL�P.P % $ � �J ;+ #* 8 ' P % f P % L ' R X � K�; � = �"%$ 8 $ D+� "%$

% K $ � �>* �BL e P * % K � ; J � � $& #K $#" � *0� % $ � �$#K H#*3J �>" � � L � n P� 4 h LORDP j L�stRDP % $ � �J ;+ #* 8�� R % f *4stR , % L ' 6gLOR ' R X ��K ; � = �"%$ 8 $ D+�

"%$ % K $ � �>* �gL�s e P * F � � � K � ; J � � $& #K!$#" � *0� % $ � � $#K H#* J �>" � � L � �n X

2

3i

O x

i y2 + 3i

-3

-2i

1

1

� &Y����(]��&���� �M� � $ �>K � $ ��� = 8 � �! ��; � � ; J % 8 � � =>" �)+K ; � � � � *��$#*&=�=(; � ; � K $ � " � " � � L RDP ��L stTDP�gLMT �>P�� L�stR �>P�� L R f T � X,@-0/#1&/023-0/54�� � � = 8 � � *

Page 24: MATEMATIKA 1

[1.3] 1.3. KOMPLEKSNI BROJEVI 19

132 �"2�� �(9 �R� ���.?d��� � 73;���9��J� 7 � :? � � �q; ��� =@? � �� $ &'��(]�9�D(]�\1]J@3�n>K � L htf j �>P��ML � f � ��m)BY3xJY=.bcL)4^1]J�nA6�3x:)<>=@?>3)-[yS698;n>1�]:9<>3'?>3'?AKrdp35JY=m93 n>1 ]:9<A=@?A1~<A1#3547698�m98z?A1*4^=XBM8x8x8^bc35�.876�35<A698 m98�?A1]4^=XBM8 -�`;:9<>='? <>1]354^698���m)8z?A1]47=XB53L)<>1]m)nAdp3#BM4z?>3H<>1#3Y4^698�m98^=�]:9<A=@?>3 ]D3#]:)<>=@?�8^bc35�.876�35<A698�� m98�?A1]47='BY3GL9<>1*m9nAdR3#BD4�?>3�8^bc35�.8 �6935<>698"m)8^= ]:)<>=@?>3)-[�S3YJM471

� f �ML>* htf � , f *Kj f � ,�� X

�qJ5= dR<A1]:�3 =Mm9:98/dR8em)BY3 J5=.bxL94^1*J�n>6�3 :9<A=@?>3 ])=569m�3 n>1{=Mm9:98�?AKE<>1]354^698�m98�?A1]4^=XBM8;8e8^bc3 ��58^6�35<A698vm98�?A1]47='BM8 ]DL�3�8^bc35bx=� s��ML>* htf j�� ,+s * � f � � , L>* h s � , f * j s � ,��5X

`;:9<>3'?>356@?A1q8;=Mm9:98�?>356@?A12dR=$�#35J@3�K �G35K9nAn>=XB.='?�<>3XBM6987698�n>1�BM<>�A8;L�= L9<>3XBM874^K�L�3Y<R3 �471]47=.�.<R3Yb}3FJY3Y=x693xnA4^8^Z*8 ,.-a�)-� &@� �}(]��&������ � � DD� K � ����� ; % �>K $ � � � �

��� *KV f R � , f *4P f o � ,CP � � * T f o � ,+s * �as(T � ,SX,.-0/01&/023-0/54?&4 *KV f R � , f *4P f o � ,3L *KV f P-, f * R f o ,��>L o f ? �AP� 4 * T f o � ,>s * �as�T � , L *KTas �0, f * o s*4s:T0, ,�� Lrs:T f 6 � X

� �O�����D�M(]�l\=.bcL)4^1]J�nA698�:9<>='?A1*BM8 �<L h f j��O8��ML � f � �

x

iy

z

w

-w

z+w

z-w

"$# %'&�( )+* �B-� H9=d(8:G(218:;7�%S3f@BH6% :G(218:;7&a3 ��<2# 79& ��16%'CSH9=T3a:G7�IU(

nA1 bc69=5k]1 =.6�3YJ5=q]qJY3YJ5=n>1 bc6)=.k]8S:)8^69=.b nE:98 �6)=.bc=5b ]DK)BY35k#3#BY3'?AKq_*8"m�3S?A1 � % LOs<P�� L * h-f j�� ,�* �3f � � ,

L h � fih � � f j�� �3f j��5� �L h � fih � � f j � � s(j��L * h � s j�� , f * h � f j � ,�� X

��35J�4^1��ML * h � s�j�� , f * h � f j � ,��5X

Page 25: MATEMATIKA 1

20 1. REALNI I KOMPLEKSNI BROJEVI [1.3]

js<>8z?A1*m98���� L � � � % X

� &@����(]��& � ����� � DD� K � ����� "%$ D "%$ F �>" � ; % �>K $ � � � ���� R � � T �>P � � *pR-s(T � ,1* R f T � , P � � * o s V � ,1* T f R � , X

,.-0/01&/#2 -0/&4?&4 R � �lT �+L � � % L � *4s�P-,3Lrs �)P� 4 *pRts�T � ,1* R f T � , LMV f � ��s � ��s � � % LkV s � * s<P), LrP T)P 4 * o s(V � ,1*KT f R � , L o �lTas * s:V0, �FR f * o �FR f * s:V , �lT ,��>L R T-s R � X

� &@����(]��& � ���M� � D K $ F *3"%$ � �

��� � h � P � � � % k P � � � h k P � � *4s � ,��XP � � * s � , � X,.-0/01&/#2 -0/&4?&4 � h � L>* � n , n LrP n LrP5P� 4 � % k L � % n � L>* � n , � � L �>P 4 � h k L � h % � l L * � n , l *4s � ,3LOs �AP� 4 *4s � , � L>* s<P), � � � L>* � n , % LrP.PA&4 *4s � , � L>* s<P), � � � L�s � n � l L�s � l LOs * s � , L � X

� &@����(]��& � ��� � � D K $ F *3"%$ � � *4P f � , � X,.-0/01&/#2 -0/&4 *4P f � , � L * *4P f � , % , n L *4P f R � f � % , n L * P f R � f * s<P-,�, n L

*pR � , n L R n � n L�P�� XlG35= K~nAJMK)L9K <>1]354^698���:)<>=@?A1CB53 ] dp35JY=�82K n>J�K9L)K �2P\J5=5bcL9471]J�n>6)8��~:)<>=@?A1CB53 ]?A1]m96�3Ym9k]:�3

� �<L��� 8^bc32?A1]m)69=c8"n>35bx=q?A1]m969=x< ?A1*�>1*6@?A1 ]�35JY={?A1 � �LMu �� 8^bc3E:e1*n>J5=56�3 �]6)=�bc6)=.�.= < ?A1]�A1]6@?>3 ] 35JY=�?A1 � L� L u)P)?A1]<Gdp3Ym�3�:9874^=rJ5='?A8J5=.bxL9471]J�n>698":)<>=@?)#35m)='B5=.4z?>3#BY3q?A1]m96935m9k]:)K �

Page 26: MATEMATIKA 1

[1.3] 1.3. KOMPLEKSNI BROJEVI 21

� 691]bc3 < ?A1]�A1]6@?>3 ]�35J5=S?A1 � Lku�8 � �LMu X0 ?A1]�>3XBY356'?A1]b =XB.1w?A1]m)6�35m9k*:e1m9=.:98�?A1 n>1 <R3 ]4^=5b}35J�n J5=.bxL9471]J�n>6987b :9<A=@?A1 �BM87b}3rK :9<A=@?A698^J�K 8s6�3 ]87BM6987J�Kv-w��3wn>1c< ?A1]�A1]6@?A1}m9=.:98�?A1cK nodp356)m�35<>m)69=.b =.:9478^J�K ]L�=5d><>1]:)69=�?A1F:)<>=@?A6987J}8"6�3 ]87BM6987J}<>3 ]47=.bcJ@3�bx69=.k*87d>8;n2J5=.6'?AK9�.8^<>3569=�J5=5bcL9471]J�n>6)8^b693 ]8/BD6)8^J5=5b ]9J@35JY=�:98"n>1FKr6�3 ]8/BM698^J�Krm9=.:987=�<>1#3Y4�356r:9<A=@?*- �3 L9<*-haf j��� f � � L

htf j��� f � � � � s � �� s � � L

* h-f j � ,�* � s � � ,� % f � % L h � f j>�

� % f � % fj � s h �� % f � % �5X

� &@� �}(]��&������ ��� DD� K � ����� "%$ D "%$ F �>" � ; % �>K $ � � � ���� R

T � P � � PP f � P � � P f �

P"s � P � � Ras T �V f o � X

,.-0/01&/023-0/54

?&4 RT � L

RT �

�� L

R �T � % L�s

RT �AP

� 4 PP f � L

PP f �

P"s �P"s � L

P"s �R L P

R sPR �>P

4 P f �P s � LP f �P s �

P s �P s � L

P f �P s �

P f �P f � L

*4P f � , %R L P f R � f � %R L R �R L �>P

� 4 Ras T �V f o � LR-s�T �V f o �

V s o �V s o � L

*pR-s(T � ,�*KV s o � ,V % f o % L 6as P u � s PlR � s P o

VqP Ls ?VqP s

R^RVqP �5X

l\=.6@?AK9�.87<R356'?A1�8)bx=Mm9K94Mn>1 L�=.6�35�>3'?AK L9<A1]bc3�=.L�1]<R3YZ]8z?>3Yb}3\n J5=.bxL9471]J�n>6987b :9<>= �?A1CBM8^bc3�dp35JY=q]�m�3 BD<A8z?A1*m98� f �ML � f �HP � �ML � �HP � �

��� L ��X

� � f � � � � � f � � � P � � � � L � � ��� � � P �������� L

� � �� � � X� &@� �}(]��&������ � � � � $ � � &$#" � ; J % 8 � � =+$#" )+K ; � �(L P f � f R � % f T � l f V � n X� $ % � =+$ ��� % K � % $& #" � � ; " � *0H � K $#"�; � ; J % 8 � � =+$#" )+K ; � 4

,.-0/01&/023-0/54 .$ ) � =>J ; "%$ % � =+$ 8 � % K � % $& #" � � ; " � *#H � K $#"�; � ; J % 8 � � =>" � )+K�; � �<J ;"(K $#J ; )+K ; � � "%$ % � =+$ ��� * ;#) 8 � � * haf j � X 5 $ � ; � � � % L�s�P.P = 8 � � �! � � l L � % � L�s �>P� n L � % � % L *4s�P-,�*4s�P-,3L�P^X 9 $ � ; � �

� LrP f � f R � %+f T � l f V � n LOP f � f R *4s�P-, f T * s � , f V LkTas R � X� K �>JG$ � ; J �

�� LkT f R � X

Page 27: MATEMATIKA 1

22 1. REALNI I KOMPLEKSNI BROJEVI [1.3]

1 2 �"2�� ��� ?�� ;�:; � ��� � ?g� �Q7@? ;m�j� ? 7�73;���9j��� 7�� t;�� ��� ;����q1]J@3q?A1 �gL h-f j �>P�8 � �L u Xqb GnA4^8^JY1�,.-V� 6�3 nodR<]-",X� nA1FBM87m98vm�3q?A1

h L � � ������ �%P j@L � � ����� � X� 35JY={?A1

�gL h-f j�� L � � ������� � f � � � ������ � L � � � * ���� � f � ���� � ,SX`v35L98^n

� L � � � * ���� � f � ���� � , " ,.-ah�$n>1 ]=XB.1 �X&@� L����O�������X&@�a(#!*�"����$ ����� ������� �����"!#�O� L�$�&'�)(]� -� &@����(]��& � ��� � � $ % � =+$ � � = 8 � �! ��; � � ; J % 8 � � =>" � )+K�; � � � � * � K � H3; "�; J � � K � � = � ; J ;#)D(8 � � * 4

��� RDP � � � �AP � � s R f R ' T �>P � � R-s R �>P � � s ' T-s � X,.-0/01&/#2 -0/&4

?&4 ��K ; � R L R f u � = � "%$ 8 $ D+� "%$ % ; D+��� ��� "�; J � � � 8 * K �!$ 8 " � ;(= � � % $ � � $#K H#* J �>" �� L u X � ;+ #* 8 � ��"%$#K $ � "�;<R X 9 $ � ; � �

R L R * ���� u f � ���� u0, X� 4 ��K ; � � � Lru f � �.= � "%$ 8 $ D+� "%$ % ; D+��� ��� "�; J � � � 8 * � JG$(H � "%$#K " � ;(= � � % $ � �

$#K H#* J �>" � � L�� % X � ;+ #* 8 � � � X 9 $ � ; � �� �>L � * ���� � R f � ���� � R , X

4 B � � � � � h L s-RDP>j�L R�' T)P % $ � ��J ;+ #* 8�� R % f * R�' T0, % L ' V f PlR�L' P���L VqX � K �>JG$ 4 ; K J * 8 � = ?&4 B "%$ = � K 46?�� � �� ��L��� L s %�� l% L s ' T X5 $ � ; = �)+K ; � "%$ 8 $ D+� *� #K *0H3; J � � $& #K $#" � * � � L % �l X 9 $ � ; � �

stR f R ' T � LMV � ����� R �T f � ���� R��T X

Page 28: MATEMATIKA 1

[1.3] 1.3. KOMPLEKSNI BROJEVI 23

� 4 h L RMP"j(L stRDP % $ � ��J ;+ #* 8�� L � R % f *4stR , % L ' 6ML ' V��FRcLR ' R X ��*� #* ; � &$ � �nj L s h P@)+K ; � = � "%$ 8 $ D+� "%$ % K $ � �>* ��L s e P $ � ;� � = � J � � K $ 8 $ #K *#H3;!H �.F � � � K � ;!H � � $& #K $#" � $ 4 5 $ � ; � � h<% ; D+������� $#" �@)+K ; � = �"%$ 8 $ D+� * F � � � K � ; J � � $& #K $#" � * � % $ � � $#K H#* J �>" � � L � �n X 9 $ � ; � �

R-s R �>L R ' R � ���� ?��V f � ���� ?��V XA&4 h L s ' T)P jDL s<P.P % $ � � J ;+ #* 8�� L � *4s ' T , % f *4s�P-, % L ' V�L�R X

� K �>JG$ 4 ; K>J * 8 � = ?&4 B � � ��L �� L h� l L � ll P ��K ; � = � "%$ 8 $ D+� * � K ��; �>J� � $& #K!$#" � * 4 9 $ � ; � � � L � f � � L � �

�X1.$ � 8 �

s ' Tas �+LkR � ���� ?��� f � ���� ?��� X� &@� �}(]��&����7� � $ % � =+$ ��� = 8 � �! ��; � � ; J % 8 � � =>" � )+K�; � � � �@* = � $#"% &$#K #"�; J ;#) 8 � � *

��� R * ���� R � f � ���� R�� ,CP � � ' R � ���� T �V f � ���� T �V X,.-0/01&/023-0/54

?&4 R * ���� R � f � ���� R�� , L R * P f �Qu0,3L RMP� 4 ' R � ���� l��n f � ���� l��n

� L ' R � s � %% f � � %% � Lrs�P f � X��<>87�.=.69=.bx1*d><>8�?An>J�8�=.:9478^J{J5=5bcL9471]J�n>6)=.�S:9<A=@?>3s?A1�=5n>=.:98/dR=qLe=.�5=Dm�3Y6##3q=.Le1*<R35Z*8z?A1bx69=.k*1]6@?>3 ]9m98z?A1*4z?A1*6@?>3 ])L�=5d>1]69Z*8^<R3Y6@?>3 8vJ5=.< ?A1]69=XBY356@?>3�J5=5bcL9471]J�n>6)8�� :9<>=@?A1CBY3)-

� �O�����D�M(]�\1]J@3En>K ��L � � � * ���� � f � ���� � ,\8 ��L � � � * ������ f � ���� �� ,qm)BY3EJ5=5bcL9471]J�n>693:)<>=@?>3)-

� �ML � � � * ���� � f � ���� � , � � � * ������ f � ���� �� , L� � ��� � � * ���� � ������ s ���� � ���� � f � * ���� � ���� � f ���� � ����� ,�, XW%K9m9Kq_*8�m93�?A1 ���� * ��� � , L ���� � ���� � � ���� � ���� � P "o,5- u $

���� * ��� � , L ���� � �������� ���� � ���� � P "o,5-V��$

Page 29: MATEMATIKA 1

24 1. REALNI I KOMPLEKSNI BROJEVI [1.3]

n>4^8�?A1]m98� �kL � � ��� � � * ���� * � f � , f � ���� * � f � , , - " ,.- � $

ySBY3�� =.<Ab K94^3SLe=.J@3 *K@?A1 ]�m93GnA12m)BY3GJY=.bxL94^1*JMnA6�3{:9<>='?>3Gbx69=.k*1 dp35JY=q]�m�3{n>12bx=Dm)K94^8Le=.bx69=.k*1 ]�3�35<A�.K9bx1]6�dR8 ]:9<A=@?A15-� &@����(]��& � �7�"� � D K $ F *3"%$ � � R � ���� � � f � ���� � � � �lT � ���� �PlR f � ���� �PlR � X,.-0/01&/#2 -0/&4

R � ���� � � f � ���� � � � �lT � ���� �P R f � ���� �PlR �L R �lT�� ���� � � � f �

PlR � f � ���� � � � f �PlR ���

L � � ���� � V f � ���� � V � L ��� ' RR f �' RR�� L T ' R f T ' R �5X

� &@����(]��& � �7����9� ; % K �! = � $ � 8 � $ J "�;+' �>" � � = � JG$(H � "%$#K>"�; J � �! � " � ��; J *��$#*5=�=(; � ; �K!$ � " � " ��

,.-0/01&/#2 -0/&4 9 K � H3; "�; J � � K � � = � � ;#) 8 � � � JG$(H � "%$#K " � � �! � " � � � � �� L ����� � R f � ����

�R P

% $ � � � $ � ;� �+L � � � * ���� * � f �

R , f � ���� * � f�R ,�,CP

� � ; � � � ; J % 8 � � =>" � )+K ; � � = � ;!H J ;+ #* 8 $"� &$ � 8 � "%$ =>K �! � �>" � ; � � K>*#'+" � � � K $& � *&=+$ � � �� $3; � �)P�$ $#K H#*3J �>" � $ D $ � % � ��; �IH�" �IH3;� X 9 ; D "%$ F>� &$J "�;+' �>" � � = � JG$(H � "%$#K "�; J� �! � " � ��; J * �$#*5=�=(; � ; � K!$ � " � " � % K �! = � $ � 8 � $ K ; � $ � � � * D $ � * � � % ; � ; � = � ;+ � � � $ *=>J � �>K>* % K ; ����� "�; J � $ D $ 8 � � � "%$�=+$ � * 4

� �i(]�M�i(]�M�D(]���L � � � * ���� � f � ���� � ,� � � * ���� � f � ���� � , L� � �� � � � ���� � f � ���� ������ f � ���� � � ����� s � ���� ������� s � ���� �� L� � �� � � � ���� � ����� f ���� � ���� � f � * ���� � ����� s ���� � ���� � ,����� % f ���� �� % X

Page 30: MATEMATIKA 1

[1.3] 1.3. KOMPLEKSNI BROJEVI 25

`;:�=.� ������ % f ���� �� % LOP.P�8 � =.<Ab K94�3 " ,.-Vu $ ]�" ,.-a��$�8^bc35bx=��L � � �� � � * ���� * � s � , f � ���� * � s � , ,SX "o,5-V��$

��35J�4^1 J5=5bcL9471]J�n>6)8�n>1�:9<>='?A1*BM8�m98z?A1*4^1�dR35J5=rm�3EnA1xbx=Mm9K94^8 Le=Mm98�?A1]4^1H]v3r35<A�.K9bx1]6�dR8=Mm9K *b Kv-� &@� �}(]��&����7��� � D K $ F *3"%$ � � PYu � ���� T �V f � ���� T �V �� � R � ����� � V f � ���� � V � � X

,.-0/01&/023-0/54

P u � ����� T �V f � ���� T �V �� � R � ���� � V f � ���� � V � �L P uR� ���� � T �V s � V f � ���� � T �V s � V ��

L o � ���� � R f � ���� � R � L o * u f � P-,3L o � X� ���#�D� ��� &@�9�D(]���=5dR1*69Z]87<R356'?A1x?A1�bx69=.k]1*6@?A1w:)<>=@?>3 n>3 nR35bx8^b nA=.:e=5b BM8^�A1�L9K)dR3)- � 35J5= 87b}35bx=� =5<>b K947K #3�Le=YdR1]6)Z]8^<>356@?A1

�� L � � � � * ���� Z � f � ���� Z � , X "o,5-V��$

IDL�1]Z*8z?>354769= #3 � � � LOP.P � =.<Ab K94�3H�.4�35nA8* ���� � f � ���� � , � L ���� Z � f � ���� Z � X "o,.-/,Xg�$

� =.<Ab K94^3 "o,.-/,Xg�$�nA1 ]=XB.1 � �e� +"&'���D+)� � ��&@� � � �� &@� �}(]��&����7�9� � D K $ F *3"%$ � �

��� � ���� � � f � ���� � � � � P � � � T R s ' TR � � h � X

,.-0/01&/023-0/54

Page 31: MATEMATIKA 1

26 1. REALNI I KOMPLEKSNI BROJEVI [1.3]

?&4 � ���� �� f � ���� � �

�� L ���� � �

� f � ���� � �� L ����� � f � ���� � L�s�P^X� 4 ��*� #* ; � &$ � � J "�;!H3; � �! #"�;(= � $ � " � � � J "�;+' ����� )+K ; � � � � D $ % � =+$#" � * � K � H3;"(

"�; J � � K � � = � ; J�;#) 8 � � *0� % ; � K �+)+"�; � � "%$ � % K � � � )+K ; � "%$ % � =+$ ��� * � ; J ;#) 8 � � * 4� ;+ #* 8 � � � L�� �fl% � % f � s � l% � % L ' T X � $& &$ 8 � � �� � L �� L s � ll X ��K ; �= � "%$ 8 $ D+� * F � � � K � ; J � � $& #K $#" � *0� % $ � � � Lrs � � X 9 $ � ; � JG$#J ;� T R s ' T

R � � h � L � ' T � ���� � s � � � f � ���� � s � � � � � h � L� ' T � ����� � � � � s � ���� � � � � � � h � L ' T h � � ���� � PYu �� s � ���� � P u �� ��

L T k � ���� � o �T s � ���� � o �T �� LkT k � ���� � � T � f � ���� � � T � �LkT k � PR f �

' TR�� L RHV T

R * P f � ' T ,� &@����(]��& � �7��� 5 ; K � = � ��; � � ; ��� K ��; � * 4 ; K>J * 8 *� 3; � $ D $ � � � &$ � K � � �! � 4 ; K>J * 8 �

?&4 ���� R � L ���� % � s ���� % �%P ���� R � L R ���� � ���� �[P� 4 ���� T � LMV ����� l � s�T ����� �%P ���� T � L T ���� � s(V ���� l � X,.-0/01&/#2 -0/&4?&4 � ; � ; ��� K ��; � ; � 4 ; K J * 8 �

* ����� � f � ���� � , % L ���� R � f � ���� R � X7 #K *0H � = � K $#" �

* ����� � f � ���� � , % L ���� % � f R � ���� � ���� � f � % ���� % �L ���� % � f R � ���� � ���� � s ���� % � X

� D � �! #"%$ F $ � $#" � �>J K �!$ 8 " � � � � JG$(H � "%$#K>" � � � � � 8 ; � $ ; �(� � � �! #"%$ � ;(= � � 3;#) � (� $#J ; � K!$(' �>" � 4 ; K>J * 8 � 4

� 4 � $ � = ��� "%$ F>� " � JG$#J ;* ����� � f � ���� � , l L ���� T � f � ���� T �%P

* ���� � f � ���� � , l L ���� l � f T � ���� % � ���� � f T � % ���� � ���� % � f � l ���� l �L ���� l � f T � ���� % � ���� � s�T ����� � ���� % � s � ���� l � X

� D � �! #"%$ F $ � $#" � �>J K �!$ 8 " � � � � JG$(H � "%$#K " � � � � � 8 ; � $ ; �(� � � �! #"%$ � ;(= � � � � ; K � =C(� ��; � ;(=>"�; � " * 4 ; K J * 8 * ���� % � f ���� % � L�P.P 3;#) ��� $#J ; � K $(' �>" ��4 ; K J * 8 � 4

Page 32: MATEMATIKA 1

[1.3] 1.3. KOMPLEKSNI BROJEVI 27

� ��&o(]�M�O�D+9�9�D(]�Z � d>8��EJ5=5<>8z?A1*6�3�J5=.bxL94^1*J�n>69=.��:9<A=@?>3�8^bc3HdR=$�]69= Z 8"=.698;n>K m�35698"=XB.=5b � =.<>b K)4^=.b

�' � L �� � � � � ���� � f R � �Z f � ���� � f R��

Z P�Lku)PYP5PYXYXYXCPWZ�s P^X

"o,.-/,., $q3 _]8 �' �<L ��?A1{87nAdR=��odR=x8v6�3 _*8 � � �_dp35J@3#BEm�3q?A1 � � L � X�q1*J@3S?A1� L � � � * ���� � f � ���� � ,3L � � � * ���� * � f R � � , f � ���� * � f R � � , , P � ��� X

��<A1*dRL�=.nodp3#BM8^bx=xm93�?A1�ML � � � * ���� � f � ���� � , X

� 1*m96�35JY=.nAd � � L �xL)<>1]4^3 ]8;K ?A1*m96�35JY=.nAd� � � � * ���� Z � f � ���� Z � , L � � � * ���� * � f R � � , f � ���� * � f R � �/, ,CP � ��� X

ySm�3@dR4^1

ϕ_

2π__n

n

2π__n2π__

n

"`# %'&a( )+*,)��Q- c 3f=>% :;7916% &a3���<+# 76& ��1436XH6=?3�:G(

� � � L �� � � � P� L � f R

��

Z L �

Z fR��Z P

���� X

��35J�4^1 ]�]3{nABY35J�8���� 87b}3Ybc=qLe=%?A1*m�356 Z+s2dR8JY=.<>8�?A1]6 :9<>='?>3 � X � 1*m � K)dR87b ]�bx1]m � Kw6@?A87b}3 8^bc3?A1*m96�35J�8��v- `;:e=5�

� f R'*�f Z , �

Z L �

Z fR��Z f R ��P

8"L�1]<A8^=Mm98!�*69=.nodR8�d><>8^�5=.69=.bx1*d><>8z?AnAJ�8�� � K969JYZ]8�?>3 ]nA4^8�?A1]m98vm93�nA1GJ5=.<A8z?A1]6)8"Le=.693XBM4�?>3'?AKr6�35J5=56�noB53 �J�8��DZ Z*8z?A1]478���:)<>=@?A1CB53D-%��<A1]bc3 d>=.bx1 ])BM<>8�?A1]m98"nA4z?A1*m91�_*15-

� Z � d>8vJ5=5<>8z?A1*698"J5=5bcL9471]J�n>6)=.��:9<>=@?>3 �x6�354�3 ]1{n>1GK �F3YK9n>nA='B5=@?2<>3#BD6)8^698"6�3n><>1*m98^�A6@?A=@?�JM<AK9k]6)8^Z]8"n2<>35m98^K)n>=.b �� � � � -� �s<oBM8"J5=.<A8z?A1]6 8^bc3 35<A�.K9bx1]6�d�� � P�3 n>4z?A1*m91�_*8"J5=.<A8z?A1*698"n>1Gm9=.:)87BY3'?AKK)B.1%_#3#BY356@?A1]b�3Y<>�.K9bx1]6�dR3�L)<>1*d �9=Mm969=.�xJ5=.<A8z?A1*6�3 #3 % ���X� � = ]693 �]8Om�3 n>KDZ � dR8vJY=.<>8�?A1]698"JY=.bxL94^1*JMnA69=.�x:9<>='?>3 BM< �9=XBD8O=Mm9<>1*m � 1]6)=.�L9<R3#BM8^4769=.�BZ+s2dR1*<>=.J�K)dR3xK)L98^n>3569=.��K n><>1*m98^�A6@?AK JM<AK9k]6)8^Z]K <R3Ym98^K9n>3 �� � � � X

Page 33: MATEMATIKA 1

28 1. REALNI I KOMPLEKSNI BROJEVI [1.3]

� &@����(]��& � �7� � � D K $ F *3"%$ � �

��� �' s�P.P � � �� s�P s ' T � X,.-0/01&/#2 -0/&4?&4 � ;+ #* 8 � � P�� $ $#KIH#*3J �>" �9� ��� X1.$ � 8 � � K ��; � � ; K � � �>" � =>*

���� � T f � ���� � T LPR f �

' TR P

���� � f R �T f � ���� � f R �T L ���� � f � ���� � L�s�P.P���� � f V �T f � ���� � f V �T L P

R s �' TR X

� 4 � ;+ #* 8 ;+ s�P<s ' T � � � � � � L ' P f T L R X � K �>JG$ � ; J � � � �' R J ;+ #* 8= � $ � ;!H � ; K � � �>"%$ 4 � � L � � l� h L ' T X K H#*3J �>" � � � ��� &$ � 8 ��� � l � 8 � � l f � Ln �l X 5 $ � ; = � )+K ; � � F>� � � � ; K � � �>" � � K $(' � J ;)��"%$ 8 $ D+� * 4 � � $& #K $#" � *0���Ln �l X K H#*3J �>" � % K � ;!H � ; K � � �>"%$ � ��� n L � l P $ $#K H#*3J �>" � ;(= � $ 8 � � = � 3;#) � � �* � ��;!$ � $#" � �>J % K � � � ;+ #"�;!H D $ % �n L � % P % $ =>* $#K H#*3J �>" � � #K *0H3;!H"� � K ��; �IH �F � � � K � ;!H � ; K � � �>"%$ K �! 3; J � l f � % L k �� P k �� f � % L n �l Pmn �l f � % L hah �� X � K �>JG$� ; J � F � � � K ��� � ; K � � �>" � =>*

�' R � ���� � T f � ���� � T � L �' R � PR f �' TR�� P

�' R � ����� o �� f � ���� o �� L �' R �+s ' TR f � PR � P

�' R � ���� V �T f � ���� V �T L �' R �+s PR s � ' TR � P

�' R � ���� P^P �� f � ���� P^P �� L �' R � ' TR s � PR � X1 2 �"2� � ���� �� �,.-(�35Z*<AdR3YdR8vK �G35K9n>nA=XB.=@?�<R3#BM698^698"nA4z?A1*m91�_*1FJY=.bxL94^1*JMnA691F:9<>=@?A1CB.1

� � �<L R-s(T �>P � � �gLOs-R f T �AP � � �<L�stRas�T �AP� � �<L ' R f ' T �>P � � �gLkR-s ' T � X

Page 34: MATEMATIKA 1

[1.3] 1.3. KOMPLEKSNI BROJEVI 29

UD-(�35L987nR3Yd>8 JY=.6@?AK9�.87<R356)=�J5=.bxL9471]J�n>691 :)<>=@?A1CB.1�n>4�?A1]m91%_]8^bfJ5=5bcL9471]J�n>6)8^bf:9<>= �?A1*BM8^bc3� � �gL R f �>P � � � LkT s �AP � � �<L�stT �AP� � �gL ' T �>P � � � L Ras ' T � X

`)-\�S356 ?A1xJ5=.bxL9471]J�n>698[:9<A=@?�� L s:T f R � X �3YZ]<AdR3YdR8s8[6�35L987nR3Yd>8�J5=.bxL9471]J�n>698:9<>=@?%]�JY=@?A8"n>1GK �F3YK9n>nA='B5=@?\<>3XBM6987698v6�3Y4�3 *8"�3�$En>8^bx1*d><>8 �]69= :)<>=@?AK �xK =Mm969=.nAK�6�3 <A1#35476MK =.n%]" :�$En>8^bx1*d><>8 �]69= :)<>=@?AK �xK =Mm969=.nAK�6�3 87b}35�58^6�35<A6�K�=.n�]" Z $En>8^bx1*d><>8 �]69= :)<>=@?AK �xK =Mm969=.nAK�6�3 87n �9=Mm98^�odR1Y-

h9-(�3 _*8"<>1#3Y4^691{:9<A=@?A1*B51 e 8 �}dR35J�B.1 ]�m�3q?A1����� %������ � ������ �������������� � � �

� �� ������� ������� ��� � ���� �� ���!�#"����$� � �&%��'� � � � � �(�$)�� �*���+,�-) � �$���,���/.��0�� � � � �����1�-� � ���23���� 4�$���65

uD-(�3 _*8 bx=Dm9K)4 8 �54�3#BM6MK�BM<A8z?A1]m)69=.nAd{35<>�.K)bc1*6�dR3�n>4�?A1]m91%_]8�� JY=.bxL94^1*JMnA698��w:9<>= �?A1*BY3��� �gLMT)P � � � LrstT)P � � �<L�stRas R �AP � � �gLrP f ' T �>P� � �gLMT �>P � � � LrstT �>P 7 � �<L�P@s ' T �AP 8 � �gLrs ' T f �5X

�)-\lq=.478^J�8�?A1F35<A�.K9bx1]6�d� � Le= *87d>87BM69=.� :9<A=@?>3 ] � � 691*��3Yd>87BM69=.��:9<A=@?>3 ]� � Le= *87d>87BM69=.� 87b}35�58^6�35<A69=.�H:9<>=@?>3 ] � � 6�K9471:9

�D-\lq=.478^J�8;3Y<>�.K9bx1]6�d287b}3'?AKEJY=.bxL94^1*JMnA698v:9<A=@?A1*BM8"JY=@?A8"n>1GK �F3YK9n>nA='B5=@?2<>3#BD6)8^6986�354�3 ]1{6�3 n>87bc1CdR<>354^8em9<>K9�5=.��8 �]1*dABM<AdR=5�cJ�BY35m9<>356�dp3�9�)-(�35Z*<Adp3@dR8�K �F35K)n>n>=XB5=@?�<>3#BD6)8^698�=.691SJY=.bxL94^1*JMnA691S:9<A=@?A1*B51{J5=@?A8;8^bc3'?AK�35<A�.K �bc1*6�d � L � l X�)-(�35Z*<Adp3@dR8MK �F35K)n>n>=XB5=@?�<>3#BD6)8^698D=.691 JY=.bcL)4^1]J�nA691 :9<A=@?A1*B51\JY=@?A8)87b}3X?AK�bx=.m9K94R X

Page 35: MATEMATIKA 1

30 1. REALNI I KOMPLEKSNI BROJEVI [1.3]

,Xg)-\lq=.478^J�K �.4^3XBM6�K BD<A8z?A1*m969=.nod 35<A�.K9bx1]6�dp3E87b}3�JY=.bcL)4^1]J�nA698s:9<>=@? h s�j��>PO3YJ5=?A1{�.4�3#BM6�3 BM<>8�?A1]m969=5nAdq35<>�5K9bc1*6�dp3 :9<>='?>3 htf j �v?A1*m96�35J@3 ���,.,.-"b *BM<>�A87d>8"6�3 ]693 �]1*691H=5Le1*<R35Z*8z?A1

" 3�$ * T f � , f * stT s 6 � , P"�:�$ * o s(V � , f *I? f V � ,CP"�Z $ *4s � s�R � ,+s *4s � f R � , P"�m�$ * u X 6as�u X\P � , f * u XvR f P^X\P � ,CP"�1 $ *pR-s�T � , f * o f 6 � ,+s * o s R � , f * 6 f o � , X

,'UD-"b ]<>3 �]K9693YdR8� � � � f � % � f � l � f � l � f � k n P � � � f � hah f � % h f � l h f � n h P� � � � % � l � n � k P � �

P� f

P� % % f

P� lal f

P� nan f

P� kak X

,X`)-"b *BM<>�A87d>8"6�3 ]693 �]1*691H=5Le1*<R35Z*8z?A1� � ��� �����/ �� ���0� � � � �,��)�� ���0�� � � ) � �� � ) � �� � � � � �,��)�� � � ����� �� � � 1�&��� ��-� ),��)�� � �,�&%�� � � � � + �� �� � ,�$��� �� � ),��� � �4��)�� �7 � � �

) ��) �� �

) ��) �� � 8 � � " 5 %1� " 5 )�� � ) 5 � �$� 5 ��� 5

,#h9-"b *BM<>�A87d>8"6�3 ]693 �]1*691H=5Le1*<R35Z*8z?A1� � �

� �� � �

� � � �� � � ���

� ��� �

� � ) � ���� � )�� �

� � � � �&��� � �4��� ) ����� � � � � ��)��

� ��� � �1����� �

7 � � ) �$��� � �,��� � � �$)�� � ����� �

8 � ��,� �'� ��� � � ���� � � � � � � ���� � � ��� ������ � � )��

� �&� � ��(���)����$� �

� � � ���'� ���'� � ���'� ���'� 5,'uD-"b ]<>3 �]K9693YdR8

� � *4P@s � , h % P � � * P f � , h � P � � � s<P f � ' TR � l P

� � � ' RR f PR � � % P � � * P f � , � % P � � � ' R f � ' R

R � � � X

Page 36: MATEMATIKA 1

[1.3] 1.3. KOMPLEKSNI BROJEVI 31

,X�D- �35L987nR3Yd>8vn>4�?A1]m91%_]1GJ5=5bcL9471]J�n>6)1H:9<A=@?A1*B51HKEd><>8^�5=.69=.bx1*d><>8z?AnAJ5=.b�=.:9478^J�K� � T �>P � � s P f �AP ��� P"s � ' T� � ' Tas �AP � �

' TR s P

R �>P � � s�T f V � X,'�M-@b ]<R3 �]K96�3@dR8"n>4�?A1]m91%_]1FL9<>=Mm9K9J�d>1

"�3�$ T � ���� � 6 f � ���� � 6 � � � ���� o �RHV f � ���� o �RFV P" :�$DR � ���� � T f � ���� � T � � o � ���� s �V f � ���� s �V P" Z $ * ���� o f � ���� o , � * ����� R f � ���� R ,�P" m�$ � ����� R �T f � ���� R��T � � ���� s �R f � ���� s �R P" 1 $�V * ���� P u�� f � ���� P u���, �FR * ����� T o � f � ���� T o ��,eP" � $ � ����� o �� f � ���� o �� � � ���� R��T f � ���� R �T X

,X�D-@b *BM<>�A87dR8�n>4�?A1]m91%_]1 =5Le1*<R35Z*8z?A1FJ5=.<A8^nAd>1�_*8 dR<A8^�.=569=.bx1*dR<A8z?AnAJM8;=.:94^87JEJ5=.bxL9471]J�n>69=5�:9<>=@?>3��� � �

�� � �

�� � �% � � � %

%�� � � � � � ��� � ) � �4�,����� � ) ��� � � ��� � ) �$)�� � ) � � � � % �$��� � ) � � ) ��)�� � � � � �$��� �������/� � ���� ��� �/� � � � � ) � ��� ���. ���� ��� ���. �&� ) � � )�� 5

,X�D-@b ]<R3 �]K96�3@dR8"�3�$ T � ���� T �V f � ���� T �V � � ���� � R f � ���� � R � P" :�$ * ���� R P u�� f � ���� R P u���, � * ����� P o u�� f � ���� P o u���,;P" Z $ * ���� P o u�� f � ���� P o u���, � * ����� *4s�PlR u ,�� f � ���� *4s�PlR u0,���,mX

U5gD-@b ]<R3 �]K96�3@dR8� � � ' TR s P

R � � � P � � � T � ���� � 6 f � ���� � 6 ��� �� � * ���� T o � f � ���� T o ��, � h % X

Page 37: MATEMATIKA 1

32 1. REALNI I KOMPLEKSNI BROJEVI [1.3]

UD,.-"b ]<>3 �]K9693YdR8��� *4P"s � , h % f *4P f � , h % P � �

* P f � , � s*4P"s � , �*4P"s � , � *4P f � , � X

U.UD-"b ]<>3 �]K9693YdR8"nA4z?A1]m)1�_]1GJY=.<>8�?A1]691� � �' s�P.P � � �' �RP � � �' V9P � � �� stR f R � ' TMP � � �' P^X

U5`)-"b ]<>3 �]K9693YdR8 P f � f � % f � l f ����� f � h ��� X

UYh9-"b ]<>3 �]K9693YdR8 � � k f R� h � f P % X

U.uD-\0\8�?A1]�A87dR8�?A1]m96935m9k]:)K � l L �qXU5�)-"b ]<>3 �]K9693YdR8

� �' R0? f � ' 6' T f � ' R P � � � V' T f � % P � �

P* P f � , n f

P*4P"s � , l P

� �R � ���� � l f � ���� � l

�V�� ���� �h % f � ���� �h %

� P � � � s PR f' TR X

U.�D-(�3 _*8vnABY3�< ?A1*�>1]6'?>3S?A1*m96�35m9k*:98� � e l s 6�L u)P � � R#? e l f P-LMu)P � � e n f � V<L u� � e � s R#6 e l f R0? L u X

U5�)-"b ]<>3 �]K9693YdR8� � * Ras�T � ,D*KV f R � ,CP � �

o f o �Tas(V � P � �

T � � � s � h �R ��s�P P

� � � s PR f T R � n P � �P"s�T �� f P s � l �

� f R P � � � ' T f �R � � X

U5�)-(�35L)8^nR3@dR8;KrdR<A8^�.=569=.bx1*dR<A8z?AnAJ5=.b�=.:9478^J�K� � s o f o �AP � � P"s �>P ��� T �>P � �

PR f

' TR � X

Page 38: MATEMATIKA 1

[1.3] 1.3. KOMPLEKSNI BROJEVI 33

`.gD- �35Z*<Adp3@dR8vK �F3YK9n>nA='B5=@?\<>3XBM6987698vnA4z?A1]m)1�_]1FJ5=5bcL9471]J�n>6)1F:)<>=@?A1CB.1� � V � ���� T �o f � ���� T �o P � � � � ���� � T f � ���� � T � P� � ���� o u �T f � ���� o u �T X

`),5-@b ]<R3 �]K96�3@dR8"8"6�35Z*<AdR3YdR8vK �G35K9n>nA=XB.=@?\<>3#BD6)8^698� � �' s�P��)P � � � s PR s �

' TR P � � �� P f � ' T)P

� � * R f � ' PlR , k P � � �� *4P"s R � , % f *pR-s � , % P � � �� R f � ' PlRMP7 � �' s �RP 8 � � PR s �

' TR X

`�UM- q1]J@3�?A1 �gL � l% s��% X�ySm9<A1]m98/dR8 � % f � l P � � % f � l � P � % � P �� �� P � � �� X`.`D- �3 _*8"nAB.1FJ5=5bcL9471]J�n>6)1F:)<>=@?A1CB.1��xdp3YJ�B51Gm�3S?A1

��� � % f � �as *4P f � , L u)P � � � % f *pR-s � , � f 6�L u)P ��� � l L � X`5h)-@b ]<R3 �]K96�3@dR8"8"n>J�87Z]8^<>3YdR8eK �G35K9nAn>=XB.='?\<R3#BM698^6)8

��� ' �AP � � ' Tas V �AP � � �' P5P � � �' s:T� � �' T R �AP � � �� s T R �>P 7 � �' stR f R �AP 8 � �� s.6 f 6 ' T � X

`�uM- �3 _*8"nAB.1F=.691GJY=.bcL)4^1]J�nA691G:9<>=@?A1CB.1FJ5=@?A8 ]35m9=XB.=54z?>3#BY3'?AK ?A1*m96�35m)k]:9K����� l �-� +3� � ��� l �!�4. � � ��� �� ���$� � �!���� ��� % � � �-� � � � � �� % � � ��� n �� � % �$),��" � � ��� l �!� � � � ) �8 ]3YdR87b|8��r6�3YZ]<AdR3YdR8;K �G35K9nAn>=XB.=@?2<R3#BM698^698 -

Page 39: MATEMATIKA 1

34 1. REALNI I KOMPLEKSNI BROJEVI [1.4]

�<��� � ����>! /n&(#%&%$� "! )+$�&�� ! #��� @'D! ) � n&�� ,. � $ ! ���0' &1 2 251 Z�0��� �R�q; =3; 9 � � =@?�� ;:2� ��� �R� ��?���� � �I ��!*�X��+�� � �O+"�a(]��(]� � �O� � ��$�� ! �"+O�i(]���O�����������������.�� <A1]:�3�<>8�?A1]�>8/dR8en>K9nodp3#B�?A1]m96935m9k]:)8

h egf j � L ��megf � � L sP

��=.bx69=.k]87bc= L)<ABMK ?A1*m96�35m)k]:9K�n ��P�3 m9<AK9�.K n stj�8 *:9<>='?A8^bx=h e f j�� L � � � ��meBf � � L �� *4s:j�, � f

h � e s � j e L � �<s� je * h ��s � jC,�L � �<s� j

��J5=S?A1 h � s�j � �LMu ]9=.69m93S?A1e L � � s� j

h ��s � j X \BM<>nodR8^bx= 4^8%dp35JY= m9=5:987B51]698 e K�:9874^= JY=@?AK ?A1*m96�35m)k]:9K ]�8 8�*<R3 �*K96�35bx= �eP m9=.:98/d_]1]bx=

� L h s � �h ��s � j X

jS8^m)8 nA1 m�3G?A1 K =5:�3}n>47K �#3X?>3}K 6�3 *87BM698^J�K�87nAd>8 :9<A=@?%];m)=.:987B51]6 6�3�=Mm9<A1]m � 1*6 6�3 �]8768�{J5=M1��9Z]8z?A1*6�3YdR3�K F6)1]L�= ]6�3Y698^Z*15-s� 3X?2:9<A=@?�nA1�]35L987n>K@?A1{J@35JY=cnA4^8z?A1*m98����h j� �

���� L h �<s�j �8 *='B51 �O���#�M&@� ���O���e�X� ���q&@� �O� -� �:9<>='?A698^Z*8^bc3 nA1�6�354^3 ]1x:9<>='?A1*BM8�JY=@?A8�nAK 6�3n>4^8 �#356�6�3 �*8^6�m9=5:987B51]698 ]v35478 JY=.<>87�AdR1*6@?A1]b �]4^3569=XBY3cnSm91*n>691�nodR<R3Y691\?A1]m)6�35J5=5nAdR8 ]vL�3 ]35J5=xK)B.1*m91]bx=x= ]6�3YJ51

� L ����h j� �

���� P � C L ����� j �

���� P ��� L ����h ��

���� P=.69m�3 < ?A1*�>1*6@?A1H�5=.<>6@?A1*��n>K9nodp3#BY3xbx=.k]1*bc=�6�3YL98^n>3YdR8v=XBY35JY=

Page 40: MATEMATIKA 1

[1.4] 1.4. SUSTAVI JEDNADŽBI 35

e L � C� P �BL ���

� "o,.-/,'U $

y�B.=�L9<>3#BD874^=�#3 <R3 �]K96�3Y6@?A1S691*Le= *6�356987Z#3 e P �xn>1 *=XB.1�� &'������&'�D+�� � &'��+O����� -yS69=�nA1Hbx=.k]1{L)<>8^bx8z?A1*6987d>8�nR35bx=�JY3Ym ?A1 � �Lku X� &@� �}(]��&����7� � � $ � ;+ 3; K $ � "�; % ; 8 ;+' �>"�; � H#K �! � % ;+ #* % K � ; � "%$ � K $ � � �(� JG$ �ED $&) �>K �C(J ; �(� � � � ; F � � N h � N % � ; � � " � =>* � K $ � " � � 4�� �! � " �IF "%$.= � 8 $�* � ; F � � N h P ; � ; J ��� $ "%$H#K �! #*0� * D K�; � * � � % K ;!H � ) � * ��� J � ; F � $#JG$"� ��� ;@* � ; F � � N h % K ;!H � ) u X R o P9$* � ; F � � N %% K ;!H � )au X\P � �! � " �IF "%$G= � 8 $ * � ; F � � N % � $ � ;# ( �>K* D K ; � * � � % K�;!H � ) ��* � � J � ; F � $#JG$"�� � ; * � ; F � � N h % K ;!H � )Bu X u RDP�$ * � ; F � � N % % K ;!H � )Bu X u06 X 5 ; � � JG$ � = � JG$ 8 " � = � 8 �=>J � � * � � 8 ; � $ ��� * � ; F � $#JG$ N h � N % P $ � ; =>* JG$ � = � JG$ 8 " � 3; DD� ; 8 � �>" � % K ;!H � ) � *��� J � ; F � $#JG$LK �! 3; J u X T � u XvR �

,.-0/01&/023-0/54 � ; 8 $ D+� J ; ;+ �;(=>"�; � " � � % K � � % ;(= � $ � � � &$ � ;(= � K * � ; � ��;!$ = � 8 $ * D K ;"(� * � � � ;(= � K * � ; � ��; � % K�;!H � )C� � &$ � � % K ;!H � ) *5= 8 � � �! � � 8 ; � $#" � $�= � 8 $ * K $ D " � J � ;"(F � $#JG$ � �! #"%$ � D )+K ; � * % K ;!H � )�$*&= 8 � � �! � � 8 ; � $#" � $ = � $ � � ;+ �" � � � 4 9 $ % K � � % ;(= � $ � � $;+ (H3; � $#K $LK �!$ 8 "�;(= ��� � $ � ; =>* = � 8 � JG$ 8 � 4

B D "%$ F>� J ;�=�� h = � 8 * * � ; F � � N h P $ =�� % = � 8 * * � ; F � � N % X 9 $& &$ � �au X R o � h fu Xvu R�� % * � * % " � % K ;!H � ) * � ; F � � N h P $�u X P�� h f u X u06�� % P * � * % " � % K ;!H � ) * � ; F � � N % X� $ � = � JG$ 8 " � 3; % *&� � �>" � � K � � �! #"�;(= ��� = � 8 $�=>* ; " � D $ � ; � � =>* ; �(� % K ;!H � ) � JG$ � = � (JG$ 8 " � 3; % *5� � �>" � 4 9 $ � ; � JG$#J ; =>*&= � $ � � �! #"%$& ('() �

u XvR o � h f u X u R�� % L u XvTu X\P�� h f u X u06�� % L u X R

� � ��� �>" � � J ;+' �>J ; "%$ ; � % ; J ;);>* K!$#J �>K ; � ;!H % K!$ �(� 8 $

� L ����u X R o u X u Ru X P u X u06 ���� L u X R o �lu Xvu06as(u Xvu R �lu X\P:Lku X u P(6 �L uDP

���� L ����u XvT u X u Ru X R u X u06 ���� LMu XvT �lu X u06as(u X u R �lu XvR Lku X u RDP

��� $ L ����u XvR o u X Tu X\P u XvR ���� Lku XvR o �lu XvRts�u XvT �lu X\P:L u X u R

9 $ � ; � ��� h L ��� � %��� �Fh � L�P^X��P:L�� % X

Page 41: MATEMATIKA 1

36 1. REALNI I KOMPLEKSNI BROJEVI [1.4]

I ��!*�X��+r� �E�X&@�'(]� � �O� � ��$�� � IM4^8!�*69=�<R3 ]bc3YdR<>356@?A1 bx=.k]1*bc=�L9<>=XB.1*nAd>8MJ@35m93�dR<>1*:�3<>8z?A1*�>8/dR8;nAK9nAdR3#Bh h e f h % � fih l � L �j h eBf j % � f j l � L "o,5-7,X` $� h egf � % � f � l � L ��P

��J5=S?A1h h j % � l s h h j l � % fih % j l � h s h % j h � l fih l j h � % s h l j % � h �L u)P=.69m�3 n>1{< ?A1]�A1]6@?A1Gn>K)nAdp3#BY3�bc=.k*1{6�35L987nR3Yd>8;nA4^8!�*69= =.69=5bc1SJY=Dm n>K)nAdp3#BY3�n�m)BM8z?A1%?A1]m �6�35m9k*:e1Y-� d>K�noBM< ��Kwm91���6987<R35bx='� :9<A=@?

� L ������h h h % h lj h j % j l� h � % � l

������L h h j % � l s h h j l � % f(h % j l � h s h % j h � l f(h l j h � % s h l j % � h

n>1 ]=XB.1 �O���#�M&@� ���O���e�X� ��� &'� ��� -�q1*dR1*<>bx8^6�3Y6�dR3E`)-;<A1]m�3EnA1 bc=.k*1 8�*<R3 �*K96�3Yd>8p]vL�=.bx= _*K�m91CdR1]<Abc876�356�dR8 UD-;<A1]m�3 ]6�3 n>4z?A1*m91�_*8"6�3 �*8^6������h h h % h lj h j % j l� h � % � l

������L h h ����

j % j l� % � l

���� s h %����j h j l� h � l

���� f h l����j h j %� h � %

����l\=.<>87nAd>1�_]8�m)1*dR1*<>bx8^6�3Y6�d>1\`)-�<>1*m�3 ]�< ?A1*�>1]6'?A1qnAK9nAdR3XBY3 "o,.-/,X`�$�?A1\m�3569= � =.<Ab K94^35b}3

e L � C� P �BL ���

� P �<L � �� "o,5-7,#h�$

�5m@?A1�?A1� C L

������� h % h l j % j l� � % � l

������P ��� L ������

h h � h lj h j l� h � � l

������P � � L

������h h h % �j h j % � h � % �

������X

y�B5=�L9<>3XBM874^= #3 <R3 �*K96�356@?A1�691]L�= *6�356987Z#3 e P �eP � 82K~=XB.=5b n>4^K �#3'?AK�n>1 *=XB.1� &'��� �M&'��+�����&'��+"� � � ])8"=.69=�m�3X?A1F< ?A1]�A1]6@?A1H]e3YJ5=�?A1 � �Lku X� &@����(]��& � �7� �A��� � ��� ����� =>*&= � $ �

egf R � f R � L TR e f T�� f o � L P uT e f ? � f V � L T

Page 42: MATEMATIKA 1

[1.4] 1.4. SUSTAVI JEDNADŽBI 37

,.-0/01&/023-0/54 � JG$#J ;

� L ������P R RR T oT ? V

������L�P � ����

T o? V ���� f * s-R , � ����

R oT V ���� f R �

����R TT ?

���� L�P

� C L������T R RP u T oT ? V

������LMT�� ����

T o? V ���� f *4stR , � ����

P u oT V ���� f R �

����P u TT ?

���� L T��� L ������

P T RR PYu oT T V

������LOP � ����

P u oT V ���� f * stT0, � ����

R oT V ���� f R �

����R P uT T ���� L�stR

� � L������P R TR T P uT ? T

������LrP � ����

T P u? T ���� f * s-R , � ����

R P uT T ���� f T �

����R TT ?

���� LkRDP% $ � � K � ��� �>" � � e L T)P �gL�s-RMP �<L R X�qJ5=�nAK~nA4^=.:�=Dm)698 �]4^3569=XBM8�K~n>K)nAdp3#BMK ?A1*m96�35J�8 u)Ps=.69m�3 n>1 n>K)nAdp3#B ]=XB51 JO� � �/L��M� -��\=.bc=5�.1]6Hn>K9nodp3#BFK)BM8z?A1]JG87b}3�:�35<A1]b~?A1]m)69=�< ?A1]�>1*6@?A1�8�d>= e L �BL �<L u X��=E< ?A1*�>1*6@?A1 n>1�*=XB.1 �X&@� +"�a(]�9� �O� &o(]� �]�M�D(]� - ��JY=H?A1\?A=.�SJrdR=5bc1 � �L�u ]e=.69m�3F?A1d><>8/BD8�?>354^6)= < ?A1*�>1]6'?A1 ?A1*m98^6)=x< ?A1]�A1]6@?A1H]��odR=xn>478z?A1]m)8;8�F��<>35bx1]<>=XB5=.�cL)<R3#BM8^4�3D-�qJ5=�?A1Sn>K)nAdp3#B �)=.bc=5�.1]6�8 � LMu ]9=.6)m�3���3 691{bx=.k*1]bx= <>8�?A1]�>8/dR8e��<R3Ybc1*<>=XBM8^bL)<R3#BM8^4^=5b ] B51�_ ��3 bc=5<R35bx= < ?A1*�R3#BY3YdR8�6�3 m9<>K9�51 693 �]876915- dR=.b n>4^K �#3'?AK ]q1]478 �bx8^6)8^<R3Y6@?A1]bf691]L�= *6�356987Z#3rJY3Y=�JY=Dm n>K9nodp3#BY3�nGm)BM8z?A1�691*Le= *6�356987Z]1H] m9=.:)8^4^8 :98^nAbc=

� =5<>b K9471e � L � C P � � L ��� P � � L � � Pn[dR87b m�3�nR3Ym�3�n � 691SnAbc8�?A1]bx=Fm)8z?A1]4787d>8p]C?A1*<O?A1 � L u X)lG35JY=2?A1�nAK9nAdR3#B �9=.bx=.�.1*6 ]

� C L ��� L � � L u)PO?A1*<H?A1�K nABY35J5='?E=Mm =XBD8�� m91*d>1]<Abc876�356�dR8�?A1]m�356 nodRK9L�3YZn>35nAdR3#BD4�?A1]6=Dm n>35bc8�� 6�K94�3)- |d>=.b nA4^K �]3'?AK=.n>87b dR<A87BM8z?>3Y4^69=.��8^bc35bx=�8 m9<AK9��3 ]6)1*dR<A87BM8z?>3Y4^6�3�< ?A1]�A1]6@?>3)-�qJ5=SnAK9nAdR3XBH698�?A1 �9=5bc=.�51]6 ]Y3qm91CdR1*<>bx8^6�356�dR3\nAK9nAdR3XBY3[?A1 � L u)P'8M35J5=[?A1[:�35<A1]b?A1*m�356r=MmE:9<>=@?A1CBY3 � C P � � P � � <R3 ]4^8 �]8/d =MmE6MK)4^1 ])6�3 L9<]- � C �LkuDP9=.69m�3 691{L�=.nodR=@?A8< ?A1]�A1]6@?A1H]#?A1*<�691]bc3Sdp35J�B5=.�G:9<>=@?>3 e P.JY=@?A8 #3Ym9=XB.=.4�?>3XBY3[?A1*m96�35m9k*:9K e � u<L � C X ��JY=?A1 � LruDP � C Lru)P � � L�uDP � � Lru)P�=.69m93cn>K)nAdp3#Bwbc=.k*1H87b}3@dR8vBM8^�A1�< ?A1*�>1*6@?>3 ]v3Y4^8nA1Gbc=.k*1Gm9=.�.=Mm987d>8;8vm93x691GL�=.nAd>=@?A8v< ?A1]�>1*6@?A15-

� &@� �}(]��&����7���A��� � ��� ����� =>*5= � $ � � �! #"%$& ('() �e f �<s R � L uR e s � f T � L uV egf � s � L P

Page 43: MATEMATIKA 1

38 1. REALNI I KOMPLEKSNI BROJEVI [1.4]

,.-0/01&/#2 -0/&4 � JG$#J ;

� L ������P P s-RR s�P TV P s<P

������L�P � ����

s<P TP s<P ���� s P �

����R TV s�P ���� f * s-R , � ����

R s<PV P ���� LMu)P

� C L������u P stRu s�P TP P s�P

������Lku � ����

s�P TP s�P ���� s P �

����u TP s�P ���� s R �

����u s<PP P ���� LOP^X

9 ; D "%$ F>� &$ =>*5= � $ � " �>JG$LK � ��� �>" � $ 4� &@����(]��& � ��� ��� � ��� ����� =>*&= � $ � � �! #"%$& ('() �

eBf R � f T � L PR egf V � f � � L ReBf R � f T � L T

,.-0/01&/#2 -0/&4

� L ������P R TR V �P R T

������L�P � ����

V �R T ���� s R �

����R �P T ���� f T �

����R VP R ���� Lku

� C L������P R TR V �T R T

������LOP � ����

V �R T ���� s R �

����R �T T ���� f T �

����R VT R ���� LMu

��� L ������P P TR R �P T T

������L�P � ����

R �T T ���� s�P �

����R �P T ���� f T��

����R RP T ���� LMu

� � L������P R PR V RP R T

������LrP � ����

V RR T ���� s R �

����R RP T ���� f P �

����R VP R ���� Lku

7 � � � � �>K J � "%$#" � � � � F � D $ � $ � *0� % $L= � =>*5= � $ � " � J ;+' ��K � � ��� ����� K!$#J �>K ; �(� J % K $ (�(� 8 ; J 4 � % $ � � � $ =>"�; � � &$ % K � $ � � K ��;!$ � �! #"%$& ('()�$ % K �! = � $ � 8 � $ � * J �+ ( *5=(;#)+"�; � ; " (� K $& � � � ; K>" � � � K #" � ��� % $ % K �>JG$ � ; J � =>*5= � $ � " �>JG$LK � ��� �>" � $ 4� &@����(]��& � ���"� . � = � * � � K $ ��� =>*5= � $ � � �! #"%$& ('() � * ;+ #"�;(=>* "%$ % $#K $#J � � $#K h X

h eBf R � L h6 eBf h � L R h

Page 44: MATEMATIKA 1

[1.4] 1.4. SUSTAVI JEDNADŽBI 39

,.-0/01&/023-0/54 . � = � * � � K $ ��� =>*5= � $ � � �! #"%$& ('() � * ;+ #"�;(=>* "%$ % $#K!$#J � � $#K D "%$ F>�;+ #K �! ����� � K � � �! #"�;(= ��� % $#K!$#J � � K $ D $ = 8 � �! ��; � J ;!H#* ;>"�;(= ����� =>*5= � $ � � JG$ � �! � "�= � � �>"�;K � ��� �>" � ��� =>*&= � $ � � JG$ ) ��= � ; "%$ F "�; K � ��� �>" � $"� =>*&= � $ � " �>JG$LK � ��� �>" � $ 4

� JG$#J ;� L ����

h R6 h

���� L h % s P��<L * h s�V ,�* h f V0,CP � C L ����h RR h h

���� L h % s�V h L h * h s�V ,CP��� L ����

h h6 R h

���� LkR h % s 6 h L R h * h s(V , X � ; � � h % �L P��DP �:� 4 h �L �aV ; "% &$ � � � �L uDP % $ J ;+' �>J ; � = � ; K � = � �����

K $#J �>K ; � ; % K $ �(� 8 ; 4 � � ; J = 8 * F $ � * � JG$#J ; � �! � "�= � � �>"�; K � ��� �>" � � � ; "�; � �e L h * h s V0,

h % s P�� L hhaf V P � L R h * h s(V ,

h % s�P�� L R hhtf V X � ; � � h % LrP��)P ; "% &$ " � J ;+' �>J ; % K � J � � �>" ��� � K $#J �>K ; � ; % K $ �(� 8 ; 4 � $ D 8 � � * (

� �>J ;G � $�= 8 * F $ � $?&4 h LMVqX 9 $& &$ =>*5= � $ � % ;(= � $ � �

V eBf R � L V6 eBf V � L 6

. K *0H&$ � �! #"%$& ('()�$ � �*&= � � $#K � % K � $ % ; J "�;+' �>"%$G= � $ 4 � K �>JG$ � ; J � #K *#H&$� �! #"%$& ('()�$ " � &$ � � " � � $ � $ � "�; �(� * � � � � "%$ " � % ; D "%$#" � � � e � �mX 9 ; D "%$ F>� &$ � � � �! � " � * � � � � "%$ " � % ; D "%$#" � � � &$#" % K � ; J � �! #"%$& ('()>; J � �ED � ; � � ; "% &$"%$ 8 $ D+� J ;G &$ � �

e LOP s PR ��P � % K ; �EDD� ; 8 � $#"

5 $(' �>J ;� &$ � ��� " ��;+ #K �+ ( �>" � % $#K!$#J � � $#K 4�5 $ � ; J ;+' �>J ; �ED $&)+K $ ��� ) � 8 ; � ; � �� � �\P � JG$#J ; ) ��= � ; "%$ F "�;GJ "�;!H3; K � ��� �>" � $ 4 � K � * � �! #"%$& ('()+* =>J ;LJ ;!H 8 �K � � ��� ����� % ; �dX � � ; J = 8 * F $ � *�) � e ) � ;�" ��;+ #K �+ ( �>" � % $#K $#J � � $#K 4

� 4 h L�s VqX 9 $& &$ � � � LOu)P � C LrT RMP ��� L � V X � K �>JG$ � ; J � =>*5= � $ � " �>JG$K � ��� �>" � $ 4 9 ; = � � $ =>"�; �(� � � $& �= ��"%$ % � � �@=>*&= � $ �

s:V e f R � L s V6 e s(V � L s 6

. � � � 8 ��; � % K � * =�s-RDP $ #K *0H#* = V9P 3;#) ��� $#J ;R e s � L RR e s � L stR

� � ; ; F>��� ; " � � �GJ ;!H#* ; �G" � D $ � $ � � � )+K ; � � � � e � �mX�.$ � 8 ��� * � ; J = 8 * F $ � *=>*5= � $ � " �>JG$LK � ��� �>" � $ 4

Page 45: MATEMATIKA 1

40 1. REALNI I KOMPLEKSNI BROJEVI [1.4]

1 2 2�� ��� �R� ��?� ����0���1*d>1]<>bx8^69356�dp3�dR<A1�_*1]�x<>1]m93�nA1Gbc=.k*1S8�*<R3 �*K96�3Yd>8v8v6�3 m9<AK9�.8v693 �]876 ]Dd *B�- I �9& ��!]� +O� � ��&'��+O� � ��� L�=cnA4z?A1]m)1�_]='?2n �)1]bx8

����������

h h h % h l � h h h %� � � � � �

j h j % j l � j h j %� � � � � �

� h � % � l � � h � %

����������L

h h j % � l f h % j l � h fih l j h � % s � h j % h l s � % j l h h s � l j h h % X =XB.=@?}n �91]bx8�nodR<>1*4^87Z]1wJY=@?A1�87m9K m9=.4�?A1wm91*n>69= L)<>1]m)nAdp3#BM4z?>3X?AK L9<>=Mm9K9J�dR1wn�Le= ]8 �dR87BM6987b�L9<>1*m ]6�3YJ5=.bD]"3}nodR<>1*4^87Z]1 JY=@?A1 8^m9Kw�.=.<>1�m91]nA69=EL9<>1*m9nAdR3#BD4�?>3'?AK L9<>=Mm9K9J�d>1 n691]��3@dR87BM6987b�L)<>1]m ]6�35JY=.b -�q8z?>35�.=56�354�3rm91CdR1]<Abc876�356�dR1H]�J5=@?>3�87m91}8�}�.=5<>6@?A1*��4^8�?A1*B.=5�wJ�K)dp3�K m)=.6@?A8[m91]nA698JMKDdY] ]=XB51HnA1 L�� ��+O��� ���a(]�0L����O��� � -�q1*dR1*<>bx8^6�3Y6�dR3 ]vK JY=@?A=@?�n>K 1]471]bx1]6�dR8 8^nALe=Mm�8^478O8�]6935m �.4�3#BM691 m)8z?>35�.=56�354^1 ?A1]m �6�35J�8;6�K9478p] ]=XB.1{nA1 �X&'��� �O�#��!*�X� �O���X��&Y��� �O���e�X� ]D8�dR= L���&@�D(]���#&@��� �"�X��!C�X� ]93YJ5=n>K 6MK)4^1{8^nALe=Mm ]�3 �O���D(]� �X&'��� �O�#��!*�X� ]�3YJ5=�n>K�6MK)4^1{8�*6�35mr�.4^3XBM691Gm98�?>35�.=.69354^1Y-

I +��D(#!*�#+)� �O���X��&Y��� �O���e�'� �,.- ��JY=En>K nABM8 1*4^1*bc1*6�d>8 6)1]J5=5�E<>1*d>J@3�8^4^8OnodRK9L�Z#3�6�K9471 ];=569m�3F?A1�m)1*dR1*<>bx8^6�3Y6�dR3?A1]m96935J@3�6�K9478 -UD-2� <A=.J�K)dp3YnAdp3�m)1*dR1*<>bx8^6�3Y6�dR3�?A1G?A1*m96�35J@3�L9<A=Dm)K9J�dRK :9<A=@?A1*BY3�6�3��.4^3#BD6)=@?Hm98 �?>35�.=.69354^8 -`)- ��JY=Em)BY3�nAdRK)LeZ]3�8^4^8�m)BY3�<>1CdRJ@3 ]35bc8�?A1]691Hb{?A1*nAdR3 ]v=.69m93�m91*d>1]<>bx8^69356�dp3}bx8 �?A1]6@?>3 *6�35J�-h9- ��JY= n>KEm)BY3�nodRK9L�Z#3 874^8�m)BY3�<>1CdRJ@3\?A1]m)6�35J@3 ])=569m�32?A1Sm)1*dR1*<>bx8^6�3Y6�dR3�?A1*m96�35J@36�K94^8 -uD- ��JY= 6)1]J5=5b�nAd>K9LeZ*K 874^8�<>1CdRJ�K m)=Dm�3Ybc=E691*J�8�m9<>K9�58 nAd>K9L�35Z 874^8 <A1]m�3YJwL�=.b �69=.k*1]6 :9<>=@?A1*b ])=.69m�3�n>1{BM<>8�?A1]m969=5nAd\m91*d>1]<Abc876�356�dR1{691Gbx8z?A1*6@?>3)-�)-\��1*d>1]<Abc876�356�dp3\n>1�bx69=.k*8�:9<>=@?A1*b dR35J5=�m�3qnA1 691]J�8M<>1*m�35JF8^4^8�nodRK9L935Z�L�=.bx69=.k]8dR87b�:9<A=@?A1]b -y�BY3 nAB5=@?AnAdABY3\=.bx=.�.K _#3#BY3'?AKGm�3 n>1sK{691*JM87b�n>47K �#3X?A1*BM8^bc3O?A1]m)69=.nAdR3#BD6)8z?A1�8�*<R3 �*K96�3m91*d>1]<>bx8^69356�dp3)-

Page 46: MATEMATIKA 1

[1.4] 1.4. SUSTAVI JEDNADŽBI 41

� &@� �}(]��&��������A��� � ��� ������� �! #"%$& ('()+*

� L ������e s P e s R e s�Te s(V e s o e s �e s ? e s 6 e s �

������L u X

,.-0/01&/023-0/54 .$G= � �(� � ; � ; � ; � = � $ 8 H �+)�$#K�= � ; �<� �! #"%$& ('() � K!$& � � � K �+)�$ �ED K $ F * ("%$ ��� � � �>K J � "%$#" � * � X � J � ��= � ; K!$ F *3"%$#" � $ � � �>K J � "%$#" � � % ;L �87 " � � � � � � � �! #"�;(=C(� $ � " � � � � � � ; K � = � ����� = � ; � = � � $ � � �>K J � "%$#" � � 4 � "�;+' �>" � �>J % K � ;!H K � � � $ =Ds<P.P � 3;+ &$ � $#" � �>J #K *0H3; J �<� K ��; �>J K � � � *0� 3;#) ��� $#J ;

� L ������e s P e s R e s�Ts:T s:T s:Ts � s � s �

������X

7 $& &$"� � ; K � = � ��; � = � ; � = � � ;)� � ; � � H3; � ; K � ;�J "�;+' �>" � * � � �>K J � "%$#" � � )+K ; � �>J ��J ;+' �>J ;�ED 8 * F>�����<�ED@D $& #" � �IHLK � � � $BR X

� L R ������e s P e s R e s�TstT s:T s:TstT s:T s:T

������X

� $ � $ � � ) � ; e PL � � �>K J � "%$#" � $ � � � �! #"%$ � $ " * 8 � � � �>K =>* #K *#H � � � K ��; � K �! &$ �J �+ ( *5=(;#)+"�; � �! #"%$ � � 4 & $ � 8 � * F * � �>J ;L &$ � ��K � ��� �>" � ��) � 8 ; � ; � � K �!$ 8 " � )+K�; � 4

132 2�� � ���� /���,.-"b ]<R3 �]K96�3@dR8

��� ����R Ps<P R ���� P � � ����

P RR R ���� P � � ����

u uT � ���� P � � ����

P Ts<P T ���� X

UD-"b ]<R3 �]K96�3@dR8���

������P R TV o �? 6 �

������P � �

������R s�P To V �6 ? �

������P � �

������u 6 Rs�P R s.?R u �

������P

� �������P R TR T VT V o

������P � �

������h j �j � h� h j

������P � �

������htf�e e ee htf�e ee e haf�e

������X

`)-\0\8�?A1]�>8/dR8�?A1]m96�3Ym9k]:9K ������e % V �e R TP P P

������L u X

Page 47: MATEMATIKA 1

42 1. REALNI I KOMPLEKSNI BROJEVI [1.4]

h9-\0\8�?A1]�A87dR8���<R3Ybc1*<>=XBM8^b L9<R3#BM8^47=.b n>4z?A1*m91�_*1 n>K9nodp3#B.1 478^691]35<>698�� 3547�.1]:�3Y<>n>J�8��?A1]m96935m9k]:)8� �

o e s R � L ?T eBf V � L R o � � T e s R � L o

eBf T�� L � ��� V egf R � L Ro egf T�� L o

uD-\0\8�?A1]�A87dR8���<R3Ybc1*<>=XBM8^b L9<R3#BM8^47=.b n>4z?A1*m91�_*1 n>K9nodp3#B.1 478^691]35<>698�� 3547�.1]:�3Y<>n>J�8��?A1]m96935m9k]:)8

� �e f R � f T � L Ps-R egf � L TeBf R �<s � L s<P

� �T e s � f � L Ve s �<s � L s Vegf R � s � L R

� �e f R�� f T � L PR egf V �<s � � L stRs eBf R � f � � L V

� �T e s o � f R � L s o� eBf R � f T � L R TV e s(T��<s � L 6

�)-\�S35nAJY3\?A1�=.n>47=.6@?A1]693 6�3�dR<A8;=.L9<AK9�.1H]9m)BM8z?A1Sn>3 nAd><R35691{8�?A1]m96�KrKEn><A1]m987698 -�ID8^4^3=Dm�P�� 6�3r:98^47= JY=@?A1]b <AK9:9K K ]<A=.J�K@?A1cL)<>=.�.87: 6�3rd>=.b�<AK9:9K u Xvu u o � P"6�3m9<>K)�.=.b <AK9:9K�u X u^u R � PX3 KFn><A1]m987698 u X u^u V � XXIM8^4�3%=Dm P�� KGn><>1*m98^6)8�K ]<A=.J�K@?A1L9<>=5�.8^:EKrn><A1]m987698 u X u^u V � P�3 6�3 <>K):e=XBM8^bc3Bu X u^u R � X9��<>1]:93x8�]<R3 �]K96�3@dR8vnA8^4^1J5=@?A1 m@?A1*4^K@?AKK�d>8^b d>= �pJ@35bc3 ]%35J5= n>K~L)<>=.�.87:98�<>1*m9=.b u X u VQR � P u Xvu^T u � Pu X u^T � � X�D-\�qBY3{<R35m96)8^J@3S<R35m)1�_]8�=Mm9<A1]m � 1*698�Le=5nR35= #3Y<R35m91 R o`o u � Z+X.�s<oBM8�<R35m96)8^J2?A1�<>35m987=P u m�356�3 ]�3 m)<>K9�.8 � m�35693)- l\=.4^87J5=}?A1rnABY35J�8q=Mm6@?A8�� #3Y<R35m987=q]%35J5= L9<ABM8p]<R35m)1�_]8 o m�3Y6�3 ] #3Y<R35m98+P o u

�Z�BM8^�A1F6)1]�.=�m9<AK9�.8p])<R35m91%_]8 T m�35693�9

�)- qm�3Y4z?A1]6)=.nAd�=Mm � � u � � 8�]bx1]m � KHm)BY3\bS?A1]nodp32L9K)d>698!�pJ�8�BM4�35J{L9<A1]m � 1&#3�BM<>8�?A1]bx1Vwn>3Ydp3�J�<R3H_]1}6)1]�.=�d>1]<>1CdR698sBM4�35J�- q3 _]8[:9< ]8^6)1}=.:�3 BD4^35J@3 ] 3YJ5=c?A1cd>1]<A1*dR6)8BM4�35J #3nR u�� ��� h�� nALe=.<A8z?A8e=DmrL9K)d>698!�pJY=.�9-

�)-"b n>L98/dp3Yd>8v< ?A1*�>8/B.=.nodqnA4z?A1*m91�_*8�� �9=.bx=.�.1*698��EnAK9nAdR3XBY3S?A1]m96�3Ym9k]:98

���R e s � f T � L ue f R �<s o � L uT eBf � s R � L u

� �e f � s R � L ue s R � f � L ustR e f � f � L u

,Xg)-"b ]<>3 �]K9693YdR8[<>1]354�356 L�35<>35bc1Cdp35< h dp3YJ5=q] m93wn>4�?A1]m91%_]8 �9=.bx=.�.1]6)8[nAK9nAdR3#B ?A1]m �6�35m9k*:98"8^bc3�691CdR<A87BM8z?>35476�3 < ?A1*�>1*6@?>3e f � f h � L ue s � s � L uh egf � s o � L u

Page 48: MATEMATIKA 1

[1.4] 1.4. SUSTAVI JEDNADŽBI 43

,.,5-2��8^nAJMKDdR8^<>3YdR8;n>4z?A1*m91�_*1Gn>K9nodp3#B.1�?A1]m96�3Ym9k]:98OKr=Mm969=.nAK�6�3 L�3Y<R35bx1*dR35< h

� �h3eBf � f � L Pegfih � f � L Pegf � fih � L P

� �*4P f h , e f � f � L Pegf *4P f h , � f � L hegf � f *4P fih , � L h %

� �V egf 6�� f * h-f T0, � L stR* h-f R , eBf ��� f T � L Ps e f R h � fih � L s�P

� �e s � s h � L Ph egf T�� f T � L s�Ph egf � f h � L P s h

Page 49: MATEMATIKA 1

44 1. REALNI I KOMPLEKSNI BROJEVI [1.4]

Page 50: MATEMATIKA 1

� ����� ��� � �� �

� ���������

���� ��������� �����! "�$#%�&('*)+',) -/.103254 6+7�8:9;.=<;2>:?A@CB1DFEG@IHKJML�@NPO�QAR�SUTWVYX[Z1\UO�R^]`_;X^aC\,bAc,OedfXhg1i=\UOeSU]`XjQARkdlR^_mc,OnT$\oRFdf_CX`_CXqpkQ^bAc,O=rUbtsuQ3X *wv"xoy',{z \UXj|C\UTC}eTAc,OrUbtsuQ3T *GvI~wxUyf~ ,�z b��Gb[\,��TC]�Rl��R

v ~I� v�� V x y ~t� y�� Z x �h� gj�m�� bkd[OWSUO�� ?m@IB�DFE�@CHKJ�L�@ g� ?AJq��L��3?��������P�K�����,�^�;�¡ ¢�f£¡¤ ¥e�$¦{�o§u�¡ ¨¤`�^�^©A�!�ª�k«u�A¬ *q­txu®0, ¬/�¯�k«u�A¬ *h°fx±­ ,¡x ¬²�K�¯¥±¬³�k§�ª�k«u�A¬´¦{�u§u�¡ ¨¤`�^�^©A���¯�k«u�^� *¯µ¶®tx±­ ,U·¸¶¹[º[»Kº[¼f¹[º3½W¾ ©A¿,¥F§=¥F§ v � ­txoy � ®;x ¤ v ~ � °txoy ~ � ­tx ¦;�P¥F§

° � ­P� V x ­ � ®P� ZkÀ¾ ¿K�^�� `§ V � ®tx Z � µWÁ À �P�K�Â�ª�¬t©k�o�¡��¤wÃ��Ĭ�ÅF�A�±Ã´¬t `§ÂÆÈÇ ½wÉ¡ÊkË ¤PÌk�^�q¤wÃÍ�¡�h�^©k¤wÃ��v � µY®;xoy � ­tx ¿f�^Î�¤w©A�^Ã�� vI~ �ÐÏ xoy3~ � Á ÀPÑ �A�K�´�ª�k«u�^� **µY®;x±­ , Î�¤w©A��¦{�o§u�¡ ¨¤`�^�^�{�Ò¬�ª�k«u�A¬ * Ï xFÁ), À� ?AJq��L��3?����j�ÔÓW§u�^�!¥F§�Õ�Ö�×�سÙ�ÚÛ¦{�U�^©k¤w ¨�I¤ÝÜk§u�¡�¯§¡�o�k�A¬f� Ë ¤��Þ§u�^�´¥F§ß¿K�^�{�Ä���,�^� (�¡ ¢�f£¡¤ ¥e�à�K�¯¥F�AÃá�k§²©k�uâãÖá¦{�o§u�¡ ¨¤`�^�^©A�ã¬ä©k�oâã× À�å �K�¯¥±¬æ�¯�k«u�A¬ç�k§�¦{�u§u�¡ ¨¤`�^�^©A�ã©k�oâÕ · ¸¶¹[º[»Kº[¼f¹[º3½ �P�K��¥F§³�{�²¦{� ½ Õ � * Ï x Ï ,±x Ö � **Á[x Ï ,¡x �A�{¿K�à�¡¬è�k�¡�È�^ ¨¤Y©k�oâI�A©k¤Ük§u�¡�ª§¡�o�k�A¬t�h�³�o§U¿f�AÃé× �ÛêIëì x[í ëì$î x Ø � *¯Á[xeï ®0,¡x Ù � * Ï xeï ®0,¡x Ú �Ûê µ/ðì xKí ëì$î Àñ �o§¡Ã!���ª�AÃ�§ V �òëì µóÁ � ðì x Z � í ëì ÀPÑ �A�K���ª�k«u�^��Õ � * Ï x Ï , Î�¤w©A�W¦{�o§u�¡ ¨¤`�^�^�{�Ò¬�ª�k«u�A¬ ê ðì x í ëì î x Ü¡�¯�Ý¥F§��¡�o§U¿^¤`Ü¡�ª§�Ük§u�¡�¯§¡�o�k�A¬f�È� ½

ôKõ

Page 51: MATEMATIKA 1

46 2. VEKTORI [2.1]

��� Le@I� � ��� ��� ?m@NYO�QAR�S,T���X�Ð\oR � ]`Xjs�X¢roO+robfsuQ^O^g�tQ3T z robfsFR^QAR¶_IR z \oRFd �eT!X � �!O�| �hT���X�ÐTCQ3] c,T;s�Xjd��,XXI_Ac,X���SUO � bkd^O������ J�B"@ XIb � _IR^s�RkdlR ����À��Y|CR^] c,Oe_Cb[S,r=rUbts�R^QAR�� X�� � bkd[Oe�Òb���� EMLFJ��B � � ����� J�B�� ����À

¶T;}�X`_CR ��� x QlbAc,bAc5c,OPc,O�|C_CR³\UTCaC_CR²rUbtsuQAR;p

P

Q

!#" $&%('*),+.-0/21435%(687�9

_IR z \�g:�<;��>= � � B�@ p RÒ|C\,T4?KR@�BA @C� ?,DFB"@ p� bmd^O/SUOE� D��³L��3?m�tB"@ ����� JqB"@ X`]`X �{��� �F� ? pX z X��UO/S,O µ�G�H�!Àni1bfs�OerU_IRÄrUbtsuQARãSUO/ruRlQ^b[| � Oe\� bmd^OJI �C@ � JKD � � p;R � Rkdf\L�U_IR � ? I �{��� �F� ?A@ g ¶TC] c,X`_IRÄ|CTC}eX`_CO �H�áSUO � bkd^OM��� E�L�JqB"@

�{��� �F� ?m@ X`]jX JqB � �tB A J � � � � ��� ��� ?m@ µCG�H� Xz XN�UO�SUOPO µCG�H�@O gJQ ?AJML��fB � @IHKJML�@ d^O�QKrob^\oR µ�G���c,O�bt|;\UO�| �ÈO�_IR�roXj�ÒOR�,rUb�robfsuQ^O��XS� _CXjSUT²\oRFdf_Cb z \oRFdf_CO^gUT$R^}�O�S,O�|IR µ�G�H�X`�ÒR�b^\UX �c,O�_KruR#�eX c,T�bt|�robfsuQ^OJ� z \UOe��R´robfsuQ3XV��À:W�R�d^O�QKrob[\,O µ�G�H� X µCG�H� QAR^}�Oe�Òb!|IRÒXj��Rkc,T�ÒOe| � TCSUb^aC_Cb!SUT z \,b^ro_;OWb^\UX c,Oe_KruR#�eX c,O^gW�Rà|td^R�d^O�QKrob^\oR µ�G��� X µLGX�Y QlRl}�O��!bã|IRãSUT � � EqJ�B"�f@;?lB�J p=R^Q^bã]jO�}eO²_IRàX`S*rob[�z \oRFd �eT�Xj]`X{_IR z R^\oR^]jO�]j_CX`� z \URkd#��Xj��R;g Pd^R³d^O�QKrob[\UR µ�G����X µLGX�Y�S,T L�� � B"@4� J p"R^Q^b z b[S,rUbAc,X1rU\oR^_;SU]�RZ��X cURtpÞQ^bmcUR z \UOed^bt|;X

� TEXX�� T[Y%À� ?AJ��³L��3?Ò� �N\ÔÓW§u�^�!¥F§ß¿K�^�¦{�,�^©k¤w ¨�I¤YÜk§u�¡�ª§¡�o�k�A¬t�ÝÕ¶Ö�×�Ø�Ù�Ú À Ó��^©^§u�¡��¤Y�¡©^§/©^§u� (�¯�A�o§ Ë �K�¯¥±¤+�¡¬Â��¿^�o§�¿ ( §¡�I¤5�F¥F§^]f�A©k¤wà ©k�oâI�A©k¤wÃ!� Ë ¤5Ã�§�¿ ( ¬à�F¥±¤wÃ!�ß��¿^�o§U¿^¤w��¤:Ã�§�¿ ( ¬K�k�^Î��Þ��K�A ¨¤w�Þ§U�^�¡�Þ§�¤=Ã�§�¿ ( ¬K�k�^Î��Þ��¥F§U¿^�{�A�K§ ½

A

BC

D

E F

¸�¹[º^»3º^¼t¹[ºK½ _ §u�A�¯�A�±¤ ��¿^�o§�¿ ( §¡�I¤ã©k�oâI�A©k¤wÃ!�Ük§u�¡�¯§¡�o�k�A¬f�È�ç�¡¬ µCGÕ�Ö x µ,GÕ¶× x µ�µ`GÕ¶Ø x µ GÕ�Ù x µ,GÕ¶Ú xµCGÖ�Õ x µ`µ`GÖ�× x µqµ�GÖ�Ø x µ�µaGÖ�Ù x µ�µ`GÖ�Ú x µ,G×$Õ x µ�µ`G×WÖ x µwµ�G×�Ø xµ`µbG×�Ù x µ�G×�Ú x µ�µaGØ�Õ x µqµNGØ³Ö x µwµNGØ³× x µ�µNGس٠x µwµNGØ³Ú x µ GÙ�Õ xµ�µcGÙ�Ö x µ`µ`GÙ�× x µ�µNGÙ�Ø x µ�GÙ�Ú x µ,GÚWÕ x µjµaGÚWÖ x µ�GÚ�× x µ�µdGÚ�Ø xµ�GÚ�Ù ÀUe �A ¨¤w�Þ§U�^�±�I¤�� µCGÕ�Ö �¡¬ µ GÖ�Õ x µ�GÚ�× x µ�G×WÚ xµGµ�GÙ�Ø ¤ µqµNGس٠¤w�h¿ ½ Ìk�^��¤wà � µZGÕ¶× �¡¬ã�K�A ¨¤w�Þ§U�^�±�I¤µZG×WÕ x µGµdGÚWØ x ¤ µGµdGØ³Ú ¤w�È¿ ½gf §�¿ ( ¬K�k�^Î��Þ��¥F§U¿^�{�A�A¤�¡¬ß©^§u�A�ª�A�±¤ µCGÕ�ÖÛ¤ µGµNGÙ�Ø ¤w�h¿ ½ Ìk�^�q¤wà µ,GÕ¶× ¤ µwµdGÚWØ ¤w�h¿ ½&�'*)+'È& hji�7�<;2Uk:l¨037nm 6+7�8�9t.+<l*4 2o O�S,rUb z X��UOe�Òb[pV x pZ x pq x ÀFÀFÀ;TC��c,OeS,rUb µCG�H� x µrGX�Y x ÀFÀFÀ g

Page 52: MATEMATIKA 1

[2.1] 2.1. POJAM VEKTORA 47

��� ?m@3L�@CBtL���+OeQKrob[\,O pV � µ�G��� X pZ � µLGX�Y � aC\oRmcURl�Òb�ruR^Qlbà|IR z bfs�OeroR^Qãd[OeQ3rUb[\oR pZ´_IRl_CO�S,O��!b_CR!df\ ��d^O�QKrob^\oR pVIÀ��+\ �ßroR^Q^bÒT � O¡rob ?Òd[O�QKrUb[\oR pZ�_COeQAR�c,O�rUbtsuQAR��ÝÀSWÞa;\UbAc pV � pZ�c,Od^O�QKrob^\ µ G��� � SU]qg � g � �¡g

�RãaCXjSU�!bà�!b ?[]`X � aC\UbAc,X¢roX:aCX`]jbàQ^bAcURà|td^Ràd^O�QKrob[\UR;p z RàX�d^O�QKrob[\,O µ�G��� X µ�G�H�!pTtd[bf|CX`�!b B � E8�{��� �F� ? g�1b¶c,O�d[OeQKrob[\pÏ�� µCG�H� � µZGX X � ÀFÀFÀeÀ

YTC] c,Xj_IR���T�c,O�;pIR�b[\UX c,O�_KruR#�eX cUR���T´c,O z \,b[X � d[b[] c,_IR;g� � � LFD � �C@ A � ?m@3L�@IBfL�@��

P

S

R

T

Q

!#" $&%(' ),+ ),/����59a'�� '�����3�� 35%(687�9a'

�[g * pV � pZ , � pq � pV � * pZ � pq ,¡x� g pV � pZ � pZ � pV x� g z b[S*robAc,X�d^O�QKrob^\ pÏ ruRlQlRFd�|IR�df\,X c,O�|;X

pV � pÏ�� pÏ � pV � pV xô g � R�S,dlR^Q3X�d[OeQ3rUb[\ pV x;z b[S*robAc,X�d^O�QKrob^\ µ pVruR^QlbÒ|IRPpV � **µ pV , � **µ pV , � pV � pÏ ÀW�R´aCXj]`b´Q^bmc,O$rU\UX�rUbtsuQlOJ� x � x X�c,O

P

R

Q

!#" $&%('U),+ �,/������ "!$# �%� &(' �)���&!

µ�G�H� � µ#G�HX � µCGX �!ÀfroRFdtXj�Òb pV � µ G��X x pZ � µ GX �!À��1R^|IRÒc,OµCG�H� � pV � pZkÀ*�+O�QKrob[\,X pV x pZ/X pV � pZ/s�Xj_COrU\Ub[Q3T;r�p z R¶df\UX c,O�|CX B��¡L�� � B�@4� � D ��� ? � � � � @

O4pV � pZ�O)+ O pV O � O pZJO3ÀQ�����A Jq�Â@IBtLe� �{��� �F� ?m@�� �+OeQ3rUb[\ pV µ pZ$|Cb[aCX c,O��!bÒruRlQ^b²|IR z bfs�OeroR^Q/d[O�QKrUb[\oR pZ_CR^_CO�S,O��!b�_IR z bfs�O¡ruR^Q´d[OeQKrob[\UR pV x X � RlrUX`� d^O�QKrob[\HpV µ pZ%c,OPd[OeQ3rUb[\�seX c,X^c,O z bfs�OeroR^Qdf\L��d^O�QKrob[\UR pZkp R � RFdf\ �,OeruRlQ³dt\L��d^O�QKrob^\oR pVIÀ NYR�S,]`XN��X � g � c,O µCGX � � µ�G�H� µ µ#G�HX�À� ?AJq��L��3?����-, å �K�k£u�A¤f�+©k�oâI�A©k¤wÃ!�:Õ�Ö�×WØ�Õ ~ Ö ~ × ~ Ø ~ �{�¡¦{¤`���^��¤C©^§u�A�¯�A�o§ Ë �K�¯¥±¤I¤wÃ!� (¥±¬¶¦I�k«u§¡�h�A�¶¬WÕ x �$©k�oâ�¬´�Þ§u�K�AÃé��¿(¦{�u§u�k�¡�h�^ ¨¤`â�©k�uâI�A©A�¶�K�k£u�K§�¦I�AÃ��/.¡¬�©^§u�A�¯�A�,� µ GÕ�Ö xµ`µaGÕ¶Ø ¤ µªµKGÕYÕ ~ À¸¶¹[º[»Kº[¼f¹[º3½ µ,GÕ�× � µCGÕ�Ö � µ�µaGÕ�Ø x µ,µ GÕ¶Ö ~ � µ GÕ�Ö � µªµKGÕ¶Õ ~�x µ*µ GÕ�× ~ � µCGÕ�Ö � µ�µ`GÕ�Ø � µªµKGÕYÕ ~wxµuµLGÕ¶Ø ~ � µ�µaGÕ¶Ø � µªµKGÕ¶Õ ~wx

Page 53: MATEMATIKA 1

48 2. VEKTORI [2.1]

� B ��� �fBtL��àD � ? � L��f� �UD �t@IEG@C? � ���NYO�QAR+c,O:|IR^_�d^O�QKrob^\�pV � µ�G�H��Xf_COeQlR=c,O�����PÀ��+OeQKrob[\� pV5c,O�d[OeQ3rUb[\ µ#G�HX x QlbAc,XfX`�ÒR|CTC] c,Xj_3TjO�� O�ONpVSO x |IRlQf]jO:c,O@O�� pVSO � O�� O�ONpVSO x R�b[\,X c,O�_KroR#��X cUR���T�c,O�X`S*ruR�QAR^b´XÞd^O�QKrob[\,T pVR^Q^b�c,O��� Ï � S,]hg � g ô �¡p{RÒS,T z \,b^ro_IRÒb[\UX c,O�_KruR#�eX c,XÞd^O�QKrob^\oR pV²R^Qlb$c,O���� Ï À��¶Q^b�c,O� � Ï x b^_C|IR¶c,O���pV � pÏ À �%R^Qlb[| � Oe\nc,O�� pÏW� pÏ À

�+OeQKrob[\,XVpV�X pZ:SUT�Q^b[]jX`_CO�R^\U_;Xhp[RlQ^b$XCSoRl�Òb

P

R

Q

!#" $&%('U)Z+ �#/�� � 7��(3 � � 3 � 35%(687�9a' � 9b7 ��3��

R^Q^b z b[S*robAc,X{aC\,bAc���ruR^QARFd{pt|IR�c,O pZ � ��pV�X`]jXpV � � pZk
� � � L�D � �C@Â�çB ��� �tBfL�@ � ? � L��f� �

�[g Á�� pV � pV x� g�� * pV � pZ , � � pZ � � pV x� g * � ���/, pV � ��pV ��� pV xô g�� *�� pV , � * � �/, pVCÀ

� ?AJ��³L��3?Ò� �! ÔÓ�� .¡¤�¿^¬t  ¥±¤w�I¬ �o§UÌ�¬f ¨�È�^�I�ª§ pX ¿^©k¤ ¥±¬æ�¡¤w ¢� pÚ ð ¤ pÚ ì x «¡¤ ¥F§/�¡¬ó¿^¬f  ¥±¤w�Þ§Ú ð �#"%$ x Ú ì �'&$ x ¤:Ìk�^�q©A�^�,�,¥±¬ã�A¬t��( �)&^Ï+* x ¤��A¬f�ª§¡©^§!Ü¡�ª�ߤ`â pX Ìk�^�q©A�^�,������¡¤w ¢�^Ã!� pÚ ð ¤ pÚ ì À

A B

C

60 120° °→

→ →

F

F R

1

2

¸�¹[º^»3º^¼t¹[ºK½-, §UÌ�¬f ¨�h�^�I�È��¥F§àÌkÎ��o�¯¥ Ë ¤��^�f�äÜ¡�ª�æ�k§¤¢Ì��¡ ¨¤`�K§�©k¤�¿^¤ Ë �A�{�$¥F§��¡���U�^�I¤h£U��¬Â���o�k�A¬t��¬/.²Õ�Ö�׫¡¤ ¥F§Y�¡¬²¿^©k¤ ¥F§P�¡���,�^�I¤h£u§Y¤"�A¬f�nÃ�§�¿ ( ¬³�F¥±¤wÃ!�Y¦I��Ì��{�^��¤ ½Ó%¥F§UÌ�¤w�I¬ä¿^¬f  ¥±¤w�I¬ �,�f«¡¬t�{�^Ã��!¦I��ÅF�A�±Ã´¬f ¨¤�Ìk���K�k�¡¤ (�I¬3�¡�I¤Þ¦I�A¬I«U�A� Ë �K�¯¥±¤n¬ã�A©^�Aà �¡ ¨¬I«U�,¥±¬@]^ ¢�A�¡¤00 Õ�× 00 ì � 00 Ö�Õ 00 ì � 00 Ö�× 00 ì µ ­ 00 Ö�Õ 00 00 Ö�× 0021436587:9 Ö�Õ x Ö�×�; À

Ñ �A�K�´¤wÃ!�^Ã��O pX O ì �<" ì � & ì µä­=� " � & � 143+5 Ám­ Ï * �?>6& x

¤W��¿K�^�� `§ O pX O � X � ­ ï ÁA@ À e ¬t�ª§¡©^§/Ã��4BA§¡Ã����{� .¡¤:¦I��ÅF�A�±Ã´¬f ¢�^Ã!��Ìk�ã�¡¤w�I¬K�¡�I¤¦I�A¬ «U�A�5DC!EF7 ×$Õ�Ö5GCHE Ám­ Ï * � Ú ì

X I 5DC!E�7 Ö�Õ¶× � Ú ìX 5DC!E Ám­ Ï * � "

­:ï ÁA@ 5DCHE &[Ï * �KJ ®ÁA@ À¾ ¿K�^�q `§ Ë ¬m¦I�A���o§�Ρ�AÃÔű¬f�;�K£¡¤ ¥F§ 5DC!EML ð �{�ß¿ABA§ª¦{�Þ�Aà �,�f«¡¬t�{�^ ¨¬ Ë 7 Ö�Õ¶× � ­l® À " Ák®K­ * x��¿^�Þ�k�¡�Þ� ­^® * ­ " ~ "ON ~ ~ À � ¬;¿^¬ .¡¤=¿K���A¬f�:¤¢Ì�Ã�§�¿ ( ¬ pX ¤ pÚ ì Ã��A�,�����A©k¤wà Ìk�,¥F§U¿^�Þ��«¡¤w�I¤w��¤�A¬t����¿ &[Ï+* x ¿^�±¬#]^¤%�A¬t�{¥F§ ® & À ° N+&+N6* x ��¿^�Þ�k�¡�Þ� ® &+* ®[°A~�Ám­m~ ~ À

Page 54: MATEMATIKA 1

[2.1] 2.1. POJAM VEKTORA 49

� ?AJq��L��3?������ . �^�{��¥F§��K�A�fÌA�A ¢�²�^�f�³�{�/�¡ ¨¤h£¡¤ ½ Ó$���F¥±¬´¥F§��^Îq¥F§uÜk§¡�Þ�³�q¤ ¥F§¡ `�²Ã!�A�k§­���� À+Ñ �o§�Îu���{� .¡¤Þ�¡¤w `§ Ë �K�¯¥F§�¿,¥F§¡ ¨¬±¥±¬�¬ÒÜ¡�h�¡¦I�A©k¤wÃ!�W�K�A�fÌA�A `§ ½�ñ �o§¡�¨¦I�k�¡�È�^©k  ¥e���k§�¿K��¥F§]^�,�^©k¤w�h�f£¡¤ ¥e� Á Ï��� L ì À

P R

Q

30o

2 kg

¸¶¹[º[»Kº[¼f¹[º3½�Ñ §DB�¤w�{� Ë �K�¯¥e��¿,¥F§¡ ¨¬±¥F§��{�$�¯�K«u�A¬ � x¥F§� � ­�� � �3Á Ï��� L ì � ­ Ï$ À�� Ì´©k�oâ;�²©^§u� (�ª�A�,���ª§DB�¤w�Þ§Y�q�o§�Îu�¶¦I�A©k¬�.¡¤C¦;�^�,�^ `§¡ `§��:¦{�,�^©^£¡¤wÃ!��A�o��ÌÄÜ¡�h�¡¦I�A©^§��K�A�fÌA�A `§ ½ Ñ ¤¶¦{�,�^©^£¡¤Ò��¿^�o§�¿ ( ¬±¥±¬¿^©A��©^§u�A�ª�A�,�Ò�{�$¦{�,�^©^£¡¤wÃ!���A�o��Ì$Ü¡�h�¡¦I�A©^§��K�A� (ÌA�A `§ ½�� Ì��¡ ¨¤`�K§(¥F§�¥e�A�¡�Þ��¿K�³ÌkÎ��o�¯¥��h�à¿^©A�ß©^§u�A�ª�A�,��¿K�,¥F§�©^§u�A�¯�A�´�ª§DB�¤w�Þ§ ½ã¾ �I¤�¦{�o§U¿ (�¡�h�^©k  ¥e�,¥±¬!�¡¤w `§ Ë �K�¯¥F§�¿,¥F§¡ ¨¬¡¥±¬Ò¬ÒÜ¡�h�¡¦I�A©k¤wÃ!���K�A�fÌA�A `§ ½�ñ �o§u�k�¡�È�,¥F§Y�{� .¡¤"¤w�I�¯§¡�fÌ�¤w�ª§¡�ª§���¤`â�¡¤w ¢� ½�¾ �I¤%�¡¬ã¿^¬f  ¥±¤w�Þ§�âf¤ ¦I�A�ª§¡�I¬[ÌA§W¤%�^�^�ª§¡�¯§�¬�¦{�U�^©^�k�A¬f���Þ�Aà �q�o�k�A¬f�q¬Â«¡¤ ¥e�Y¥F§�¿^�±¬#]K��^�^�ª§¡�h� ­ Ï x �W�A¬f�%�{�A�¡¬k¦{�o�A�1�F¥F§"¥F§ ® Ï+* Àn¾ ¿K�^�� `§(�¡ ¨¤ ¥F§U¿^¤ �HX � ­ Ï � 1���� ® Ï+*5� ­ Ï ï ®;x� �H� � ì������� ë ����� "KÏ À�ñ �o§¡Ã!�²�ª�AÃ�§ Ë �¡¤w ¢���K�¯¥F�Aà ¬f�ª§^]/¤¢Ì�©k ¢�f«¡¤+¤¢Ì$Ì�¤�¿K��]f�A�¡�F¥±¤nÜ¡�h�¡¦�K�A�fÌA�A `§¶¤¢Ì��Þ�k�¡¤ ­ Ï ï ®�� ® " À &6" Á $ x ���¡¤w ¢���K�¯¥F�AÃé¬t�ª§^] ]^¬f�U�!¿f�A�F¥±¤ Ü¡�È�¡¦ß�K�A�fÌA�A `§�¬Ì�¤�¿!¤¢Ì��Þ�k�¡¤ "KÏ$ À

&('*)+'! "à7�8:9;.=<l$# 8+.�.=<&%Rl('Y2n9)'Y.54 m*#Rm39t2"6+#, ��� �F� ?AJ � ?A@C�"B�J�B1J

�YQ^b�c,O�Tã\URkdf_CXj_CX � R^|IR^_MT$R^\*roO � X c,O¡d z \oRld^b[Q3T;r �A

A’

A’’

O x

y

a

a

i

j→

! " $&% '@)Z+ -Z/ 1435%(687�9/. 9a' ���5$ � $102 � ' 6^$ 38683��4. $ 0�2 765�$ 3K6�.

_;X;Q^bfb[\,|CX`_IRAro_CXfSUTCS*ruRFd{p3b[_C|IR¶Xj��Rl�ÒbP|;dlR�X`S*ruR^Q3_3T;ruRd^O�QKrob^\oR³X1rUb�d[OeQKrob[\ p7 x s�X cUR�c,O z btseOero_CRÒrobfsuQAR�X`SL�Cb �|;X��,rUO98 � * Ï x Ï ,±x R¶df\ �!��T¶c,O(robfsuQlR *¯Á[x Ï ,±x X;d^O�QKrob[\p: x seX c,X�c,O z btseOeruRlQÄroR^Q^b[| � O�\�XjS �Cb[|;X��,rUO^p+Rßdf\L�çrobfsuQlR* Ï xFÁ-, ÀNPO�QAR�c,O$|IR^_�d[OeQ3rUb[\�pVÒS z btseOerUQ^b[� TßX`S �;b[|CX��*roTXPdf\ �Cb[� TórobfsuQfX Õ � * V<; x V<= ,±x |IRlQf]jO pV � µZG8 Õ À�+\,X c,Oe|CXhp � SU]qg � g õ �

pV � µZG8 Õ � µ*µ^G8 Õ ~ � µlµ G8 Õ ~ ~ xµ*µ^G8 Õ ~ � V<;�p7 x µlµ0G8 Õ ~ ~ � V<= p: À ¶R^Q3]`O

pV � V<;Vp7 � V<= p: À�1R^Qlb³SUOWS,dlR^Q3X"d[O�QKrUb[\¶S z bfs�O¡roQ^b^� TßX`SL�Cbt|;X��,rUTß�!b[}eO�_IR z X`SURlroX z b[�!b*>eT�d^O�QKrob[\URp7 X p: ÀNPbÄX�aCX`]jb�Q^bmc,X�|C\UT4?^X�d[OeQ3rUb[\�p5_CO²_3TC}e_Cb S z bfs�O¡roQ^b^�ÍTæX`S �;bt|CXN�,rUT�p=SUO²�!b[}�O_CR z X`SURlroX z b[�!b*>eTßroXN��d^O�QKrob^\oR;g¶NYO�QAR�S,T � XV�é|;dfX c,O$robfsuQ^OlpÞX�_CO�QAR$c,O pV � µ�G�H�!À? � S,]`X`QlO � gA@�S,OWdfXj|CX�|IR¶c,OµCG�H� � µ#G�HX � µCGX � � *wvCBßµ vED1, p7 � *Gy<B²µ yFD , p: À

Page 55: MATEMATIKA 1

50 2. VEKTORI [2.1]

��\UbAc,O¡dfX *GvCB²µçvED/, X *Gy<B²µçyFD , SUO � bkdfT D0�;@IEG@C?AB�� � � � ;�� B"�fB � � d[O�QKrUb[\oR;g:i1b ��Òb�>�T²_Ac,XN�/SUOWSÝd^O�QKrob^\UX`�ÒR�]�RlQ��,O$\oR^seTC_IR;g� ?AJ��³L��3?Ò� ��� Ó�� .¡¤1�K�k�A�,¿^¤w�{�^�¯§�©^§u�A�¯�A�,� µCGÕ�Ö x �A�K�(¥F§ÝÕ � **µWÁ[xFµ¶­ ,¡x Ö � *q®tx " , À¸¶¹[º[»Kº^¼t¹[ºK½ v�� µóv�� � ®�µ **µWÁ-, � " x=y��µ�y�� � " µ **µ¶­ , � & x ¦;��¥F§µ GÕ�Ö �<" p7 � & p: À YTC] c,Xj_IR�d[OeQ3rUb[\oR µ�G�H�óc,O�TCS*rUdlR^\UX T;|IR^] c,Oe_Cb[S*r

Q

RP

O P Q

P

Q

xx

y

y

i

j→

! " $&% ' ),+ �,/1435%(687�9C. 9`' ��� $ �5$ . 7��(3��57," 7��r'�� .

robfsFR^QAR��X�� xIz RYc,OO µ�G�H�@O �� *GvCB/µçvED/, ì � *�y<B/µçy D/, ì À

� |CRlro]jO�SU]`X c,O�|CXC�Gb^\U��TC]`R � R�|;TC] c,Xj_fT´d^O�QKrob[\UREpV �V ;�p7 � V<= p:O�pV O � V ì; � V ì= À

WÞaC\UbAc�d[O�QKrUb[\oR pV � V<;�p7 � V<= p: X pZ � Z�; p7 � Z = p:c,OpV � pZ � * V ; � Z ; , p7 � * V<= � Z�= , p: À

�PR � ]`X`QAR�d^O�QKrob^\oR pV � V<;Vp7 � V<= p: X pZ � Z�;Vp7 � Z�=gp: c,OpV µ pZ � * V<; µ Z�; , p7 � * V = µ Z = , p: À

�P�Ò_;b[}FR^Q!d[OeQ3rUb[\oR pV � V<;�p7 � V<= p: aC\Ubmc,O�� �´c,O� pV � �¶V<;�p7 � �¶V<= p:

-6 -1 1 3 9

-6

-2

1

4

� ?AJq�³Le�f?Ò�����ÔÓ$�f£¡�±�h�^�q¤/©^§u�A�ª�A� pV �ã¦I�k«u§¡�w�K�Aà ¬¤`�uâI��¿^¤`Ü¡��¬Ò¤ ©k�oâI�Aà ¬ *q®;xFµ¶­ , À Ó��f£¡�±�È�^��¤"©^§u�A�¯�A�o§ ® pV¤ µ¶­ pV À¸¶¹[º[»Kº[¼f¹[º3½ _ ¤�¿^¤%�¡ ¨¤`�A¬ ½�+OeQ3rUb[\UXUpV � V<;�p7 � V<= p: X pZ � Z�;�p7 � Z = p: SUT�Q^b^]`X`_;O �R^\,_CXhp;R^Q^b�c,O pZ � � pVCÀCrGcegIR^Qlb�c,OZ�; � �¶V<; x Z�= � �¶V<= � Z�;V<; � Z�=V<= � � À

z O0��X cURl]`_CbCpk_3TC]¢d[OeQ3rUb[\ pÏ c,O+Q^b^]`X`_;OFR^\UR^_$S1aCXj]`b�QlbAc,X`� d^O�QKrob^\Ub[��g �+OeQ3rUb[\UXKXj��Rkc,TX`S,rUT/b[\UX c,O�_KruR#�eX c,T�p;R^Q^b�c,O�� Ï x R�S,T z \,b^ro_Cb!SUT�b[\,X c,O�_KrUX`\oRl_CXhptR^Q^b�c,O���� Ï ÀTPb[]`Xj_COFRl\U_Cb[S*r¶d^O�QKrob[\UR²Tã\oRFdf_CX`_CX1SUOYc,Oe|C_Cb[S*ruRFdf_Cb/X`S z XjroTmc,O z b[�Òb�>�T�|COerUO�\U�!X �_IR^_KroO$s�X c,O�\UO¡roQ^OWs�Xj_CO�Q^b^� z b[_COe_3rUOWd^O�QKrob^\oR;g

Page 56: MATEMATIKA 1

[2.1] 2.1. POJAM VEKTORA 51

�+OeQ3rUb[\UX pV � V<;Vp7 � V<= p: X pZ � Z�;Vp7 � Z�=gp: S,TßQlb[]`Xj_COFRl\U_CXqpCR^QlbÒX�SUR^�!bÒRlQ^b�c,O0000 V ; V<=Z ; Z�= 0000 � V ;1Z�= µ V<="Z�; �ÐÏ À

� ?AJq��L��3?������ � �ª¦{¤w�h�^��¤5¿K�Ò ¨¤%�¡¬ß©^§u�A�ª�A�±¤ µCGÕ�Ö ¤ µ�µdG×�Ø �K�A ¨¤w�Þ§U�^�±�I¤ Ë �A�K��¥F§ÉK½ Õ � **Á[x�Á-,¡x Ö � * > xu® ,¡x × � **µ " xFµ¶° ,¡x Ø � *h°tx�µ�­ ,��� ½ Õ � *h­tx�Á-,¡x Ö � **µ " x " ,±x × � *¯µ�Á^xFµ�Á),¡x Ø � * > xFµ¶° ,��� ½ Õ � *h­tx�Á-,¡x Ö � * & x±° ,¡x × � *q®;x�µ�Á-,±x Ø � * > xFµ¶­ , À¸¶¹[º[»Kº[¼f¹[º3½ÉK½ pV � µCGÕ�Ö � & p7 �è­ p: x pZ � µGµdG×WØ � @ p7 ��® p: À:¾ ¿K�^�� `§ Z ;V ; � @& � ® ­ x Z�=V<= � ® ­ x ¤¦{�u§¡Ã!�!�¯�AÃ�§W©^§u�A�ª�A�±¤1�¡¬/�K�A ¨¤w�Þ§U�^�±�I¤1¤=¤`�¡�¯§��¡¬ã�A�±¤ ¥F§¡�I�È�f£¡¤ ¥F§ ½� ½ pV � µ GÕ¶Ö � µ & p7 �/® p: x pZ � µGµdG×WØ �?N p7 µ " p: À1¾ ¿K�^�q `§ Z�;V ; � Nµ & � "µY® � µ " ® xZ =V = � µ "® � µ " ® x ¤�¦{�o§¡Ã!� �¯�AÃ�§�©^§u�A�ª�A�±¤¶�¡¬æ�K�A ¨¤w�Þ§U�^�±�I¤�¤��¡¬k¦{�o�A�q�I¤`â �¡¬�A�¡¤ ¥F§¡�I�h�f£¡¤ ¥e� ½� ½ pV � µ GÕ¶Ö �?" p7 � " p: x pZ � µGµdG×WØ � " p7 µ p: À ¾ ¿K�^�q `§ Z�;V<; � "" � Á[x Z�=V<= � µWÁ" �� Á[x¤Þ¦{�u§¡Ã!�!�¯�AÃ�§$©^§u�A�ª�A�±¤=�I¤`�¡¬³�K�A ¨¤w�Þ§U�^�¡�I¤ ½

� @ID � @C� � ��� ��� ?m@ ;�� � @ A J�P\UOe| �ªO�_CX z Rl\�_CO�Qlb[]`Xj_COFR^\,_CX��²d^O�QKrob[\UR!T�\oRFdf_CXj_CX�SUO � bkd^O � @ A @ � ?m@�� B1J�B1J g� ?AJq��L��3?������ � �ª¦{¤w�h�^�q¤ Ë ¿K�! ¨¤=©^§u�A�¯�A�±¤ pV �<" p7 � p: x ¤ pZ � µ¶­ p7 ��® p: «¡¤w�Þ§�Îu�kÌ�¬ ½¸¶¹[º[»Kº[¼f¹[º3½ � Ì 0000 " Áµ¶­ ® 0000 � Ám­Ý�è­ � Á "�¡ ¨¤ ¥F§U¿^¤=¿K���¡¬ß©^§u�A�ª�A�±¤=�Þ§u�K�A ¨¤w�Þ§U�^�±�I¤ Ë ¦;�$¦{�o§¡Ã!�Ò�ª�AÃ�§´«¡¤w�Þ§�Îu�kÌ�¬ ½fdlR^Q3X�S,O�d[O�QKrUb[\YT/\URkdf_CXj_CX �!b[}�O:c,Oe|C_Cb � _IR^s�_;bÒ\UR^S,roRkdfX¢roX _IR´Q^b^� z b[_COe_3rUO$TSU��c,O�\,T�d^O�QKrob^\oR�aIR � Olg

Page 57: MATEMATIKA 1

52 2. VEKTORI [2.1]

� ?AJ��³L��3?Ò� ��� �ÐÓW§u�^��¥F§ pV � " p7 � p: x pZ � µ�­ p7 �è® p: ¤ pq � µ�­ p7 ��Á Ï p: À�¾ ¿^�u§U¿^¤w��¤� ¤ �h�A�K��¿K�²Î�¬C¿f§ pq � � pV � pZmÀ¸¶¹[º[»Kº^¼t¹[ºK½ µ¶­ p7 ��Á Ï p: � " � p7 � � p: µä­ p7 ��® p: À" � µæ­ � µ�­tx

� �ä® � Á Ï À¾ ¿K�^�q `§��¡ ¨¤ ¥F§U¿^¤ � � Á[x � ® À� @ ;�� � �fB"@�� �bkd^b[� z \UXj��c,Oe\UT�_;X c,OWaCX`]jbÒ_3TC}e_Cb z \UbkdFc,O�\URFd^RAroX�|IRÒ]jX"d^O�QKrob^\UX pVX pZÒseX`_CO²aIR � T�p+r�cegn|CR ]jX�S,Tä_;O�Q^b^]`X`_;OFR^\,_CXhg �nc,O0�oRFdlR^_Ac,O²SUT;S,ruRFdlR�c,O�|C_IRl|C}�aCX�|CRmc,Obt|Cb#?^d[b[\+_IR�rob z X¢ruR^_Ac,Olg �YQ^b�S,TCS,roRFdÒXj��R�XCrUb�SUR^�Òb(c,O�|;_Cb�\wc,O �UOe_Ac,O^pfb[_C|CR$d^O�QKrob[\,Xs�X`_;O�aIR � TÞg%�YQ^b!_CO z b[S*robAc,X \wc,O �UOe_Ac,O^p Xj]`X�RlQ^b!\Gc,O �,O�_AcUR�X`�ÒR�dfX��,O^pIb[_C|CR�d^O�QKrob[\,X"_COs�X`_;O�aIR � TÞg, ��� ��� ?AJ � ; ? � D �F� ? �NYO�QARàc,O � R^|IR^_ TWRl\,roO � X c,Oed z \URFd[b[Q3T;rU_CX�Qlbtb[\,|CX`_CRlro_CX�S,TCS,roRFdÐT z \Ub^S,rob^\UT�g��^O �|CX`_CXjs�_CO�d[OeQ3rUb[\UO�_IRçQ^bfb[\U|;X`_IRlrU_CX`� b^SUX`�ÒRÂS �Kd^RAroX��*roXj��RÄTèrobfsuQ3X * Ï x Ï x Ï , XYdf\ ��Cb^dfX`�ÒR�TàrobfsuQAR^�ÒR **Á[x Ï x Ï ,¡x * Ï xFÁ[x Ï ,±x * Ï x Ï x�Á-, b � _IR^seX`�!b³\UOe|Cb[�ÛS�p7 x p: x p� À��1bfsuQ3XÕ T z \,b[S,rUb[\UT�c,O z \,X`|C\,TC}�Oe_IR!T;\UO�| � Oe_IR�ro\,bAc,QAR!\,OFR^]j_CX��²aC\,bAc,OedlR * V<; x V = x V�� , À

��bfsuQ^b[� 8èQAR^b z bfs�O¡ro_Cb[��X^rUbtsuQlb[� Õ � * V ; x V<= x V�� ,A

A’’A’

a

a

a

O

1

1

1

y

x

z

ij

k

→→

! " $&% '>)Z+ �Z/ 1435%(687�9<. 59`7 08687�9�.0 57�(3r6 % 7 � .g$ 0�2 7 5F$ 386�.

QAR^b�dt\L�Cb[� bf|C\UOe| �ªO�_�c,O�d[OeQ3rUb[\ µZG8 Õ � pVIÀ3i=\UOe��R�|CO�I_CX ���X c,X�b z O�\oRZ��X cUR�S�d^O�QKrob[\,X`�ÒR�dt\,X c,Oe|CX � S,]hg � g �[�

pV � µ#G8 Õ � µAµ0G8 Õ ~ ~ � µ�µIµaGÕ ~ ~ Õ ~ � µªµKGÕ ~ Õ xµmµ�G8 Õ ~ ~t� V<;Vp7 x µ`µIµcGÕ ~ ~ Õ ~;� V<= p: x µªµKGÕ ~ Õ � V�� p� À

�R^Q3]`OpV � V ;�p7 � V<=gp: � V�� p� 
��\UbAc,O¡dfX"V ; x V<= x V��PSUO � bkdfT D0�;@IEG@C?AB�� � � � ;�� B"�fB � �[�{��� �F� ?m@ pV{À�+\,X c,Oe|CX���� � ì�� � ������ � ì������ ��� � ~"! ì$#%��� � ~ � � ! ì����&� �'� � ~ ~"! ì$#%��� � ~ ~ � � ~(! ì$#)��� � ~ � � ! ì

� V ì; � V ì= � V ì� À �R^Q3]`O

O�pV O � V ì; � V ì= � V ì�

Page 58: MATEMATIKA 1

[2.1] 2.1. POJAM VEKTORA 53

�YQ^b�c,O@pV � V<;�p7 � V = p: � V�� p� x pZ � Z�;�p7 � Z�= p: � Z � p� x b[_C|CRpV � pZ � * V ; � Z�; , p7 � * V<= � Z = , p: � * V�� � Z � , p�{x

� pV � �¶V<;�p7 � �¶V<= p: � �¶V�� p� À�+OeQ3rUb[\�T z \Ub^S,rob^\UT�p bf|C\UOe| � O�_ S z btseOerU_Cb[� rUbtsuQlb[�

Q

yy

x

x

z

z

R S

P

QP

Q

P

Q

P

!#" $&%(' )Z+ �Z/���9`7�$ � � 7 " ��'�� � 35%��687�9 . 9b7�08687�9�.

��Xtdf\L�Cb[� � x roR^Q^b^| � O�\n�!b[}�Oe�ÒbY_IR z XjSoRlrUX z b[�!b*>eT�SUQAR �]`R^\U_;X���Q^b[� z b^_CO�_KroXqg¶NPO�QAR$c,O pV � µ�G���´ÀC? � SU]jX`Q^O � g��SUOdfXj|CX�|IR¶c,O µ�G�H� � µ#G�HX � µLGX�Y � µ GY*�µ�G�H� �� vCB�µçvED � p7 � y<B²µ yFD�� p: � �� B/µ � D � p� À

� ?AJq��L��3?������f�ÔÓ�§u�^�Ä�¡¬è¿K�^�Þ§²�ª�k«u�K§!Õ � µ¶­tx " xFÁ��¡x Ö � ®;x�µ & x�µ¶®��±x × � " xFµ¶­txu®��±x Ø �� Á[x±°fx Ï �¡x ¤n�Þ§u�^�Ý¥F§ pV � µ GÕ¶Ö x pZ � µZGÕ�× ¤ pq � µ�µ`GÕ¶Ø À�� Ì��,�f«¡¬t�{�^��¤

��� pV � pZ � � ­ pZ µ pq � � ® pV � pZ µä­ pq¸¶¹[º[»Kº[¼f¹[º3½(ñ �u§¡Ã!��ÅF�A�±Ã´¬f ¨¤�Ìk���K�Aö¦I�A�Þ§¡�I�¯§Y©^§u�A�ª�A�,�³��¿^�o§�¿ �,§¡�Þ� ]��$¿^©k¤ ¥F§Y�ª�k«u�K§¤wÃ!�^Ã�� pV � ° p7 µÁ Ï p: µ " p� x pZ � & p7 µ & p: � ­ p� ¤ pq � ® p7 � p: µ p� ÀW¾ ¿K�^�� `§

pV � pZ � Á[Á p7 µßÁ & p: µ³­ p� xt­ pZ µ pq � @ p7 µßÁk® p: �/° p� ¤ ® pV � pZ µ�­ pq � Ák° p7 µÒ® N p: µ N p� À� ?AJq��L��3?�������\��1�K¿K�^�{�!¥F§�¦I�k«u§¡�q�{�Ä�¯�k«u�^��ÕÍ©^§u�A�ª�A�,� pVIÀ e �¯¥F§²�K�k�A�,¿^¤w�{�^�ª§�¤wÃ!�©k�oâÒÖ x �A�K��¥F§��� Õ �� ­txFÁ^xFµ�Á��¡x pV � ­ p7 ��® p: µ p� � � Õ �� µWÁ[xu®;x±­��¡x pV � p7 �è° p: � " p�

¸¶¹[º[»Kº[¼f¹[º3½ pV � µ GÕ¶Ö �� v���µ v���� p7 � y��ßµçy ��� p: � �� ��µ � ��� p� ÀÉK½��  ¨¤ ¥F§U¿^¤ v��¶µÒ­ � ­txKy �Yµ�Á � ®;x � ��µ µ�Á�� � µWÁ À�¾ ¿K�^�� `§�¥F§+Ö �� " x " xFµ¶­��� ½��  ¨¤ ¥F§U¿^¤ v��ßµ µ�Á�� � Á[x y���µæ® � °fx � ��µä­ � " À:¾ ¿K�^�q `§=¥F§YÖ ���Ï x N x & � À

� ?AJq��L��3?������ , � Ì��,�f«¡¬f�{�^�q¤+¿^¬f  ¥±¤w�I¬�©^§u�A�¯�A�,� pV ���� ° p7 � " p: µä­ ï ­ p� � � " p7 �è­ p: µä­ p� � � Á® p7 � ­® p: � ­® p�¸¶¹[º[»Kº[¼f¹[º3½

ÉK½�O�pV O �! V ì; � V ì= � V ì� � ° ì � " ì � µ¶­ ï ­�� ì � ï " @ � >� ½�O�pV O � " ì �è­ ì � µ¶­�� ì � ï ­ "�� ­:ï &� ½�O�pV O � 9 ðë ; ì � 9 ìë ; ì � 9 ì ë ; ì � Á À

Page 59: MATEMATIKA 1

54 2. VEKTORI [2.1]

� @ID � @C� �{��� �F� ?m@ ;�� � @ A J�Y\UOe| � O�_CRYro\,bAc,QARYd[OeQ3rUb[\oRtp[Q^bAc,Xt_CO�]jO�}eO�TPc,Oe|C_CbAc%\oRFdf_CXj_CXhp � bkd[O�SUO � @ A @ �P; ? � D �F� �? �+g���\UXId[OeQKrob[\UREpV � V<;�p7 � V<= p: � V�� p� x pZ � Z�;Vp7 � Z = p: � Z � p�Þx pq � q ;�p7 � q = p: � q � p�s�X`_;O�aIR � TÞp R^Q^b!X SoR^�!b�R^Qlb�c,O

000000V<; V<= V��Z�; Z�= Z �q ; q = q �

000000 �� Ï À

� ?AJ��³L��3?Ò� ��� � �ª¦{¤w�h�^��¤ Ë ¿K�� ¨¤+©^§u�A�ª�A�±¤ pV � µ¶­ p7 µ N p: � ­ p�{x pZ � ® p7 � > p: � @ p� xpq � µ " p7 µ�@ p: µ @ p� «¡¤w�Þ§�Îu�kÌ�¬ ½¸¶¹[º[»Kº^¼t¹[ºK½

000000µ¶­ µ N ­® > @µ " µ�@ µ�@

000000 � µ¶­ 0000 > @µ @ µ @ 0000 � N 0000 ® @µ " µ�@ 0000 �è­ 0000 ® >µ " µ�@ 0000 � ® N À� �A�A `§ Ë �A©k¤=©^§u�A�ª�A�±¤:«¡¤w�Þ§�Îu�kÌ�¬ ½fdlR^Q3X�d[OeQ3rUb[\PT z \,b[S,rUb[\UT/S,O��!b[}�O:c,Oe|C_Cb � _IR^se_CbÒ\UR^S,roRFdtX¢roX�_CR!Qlb[� z b[_COe_KroO$TS,��c,Oe\UT²d[OeQ3rUb[\oR!aIR � O^g

� ?AJ��³L��3?Ò� ����� , �A�¡�È�^©k¤w��¤�©^§u�A�ª�A� p� � N p7 �ó° p: µè­ p� �{�³�K�Aö¦I�A�Þ§¡�I�¯§�¬à�¡Ã(¥F§¡�¡¬©^§u�A�¯�A�,� pV � µ " p7 µ ° p: � & p� pZ �?> p7 µä­ p: � N p� ¤ pq �<N p7 � N p: µ N p� À¸¶¹[º[»Kº^¼t¹[ºK½�, �A�¡�È�^©k¤w��¤P©^§u�A�¯�A� p� �{�ß�K�Aö¦I�A�Þ§¡�I�ª§!¬Â�¡Ã(¥F§¡�±¬ ©^§u�A�ª�A�,� pV x pZ ¤ pqÌ��{�f«¡¤n¿K���q�o§�Îu�Ò�{� .¡¤nÎ��u�¯¥F§¡©^§ � x 5x�� �h�A�A©^§W¿K�Ò©k�±¤ ¥F§U¿^¤ p� � � pZ �� pZ ��� pq À�� �A�A `§ Ë� �� #� � ��� � � ��� ��� �� � � � #� � �� #�� ��� �� ��� � # � � �� #�� � � �� # � � � � � ��

� Ìq¥F§U¿^�{�f«U�^©A�^�F¥F§¡Ã �K�Aö¦I�A�Þ§¡�I�q¤Y¬[Ì�©^§u�A�ª�A�o§ p7 x p: x p� ¿f�^Î�¤w©A�^Ã����¡¬K�¡�È�^© ��¿Ä�q�±¤n¥F§U¿ ��{�K¿ABkΡ§¶�W���¡¤=�Þ§ª¦I��Ì��{�^�I¤h£u§µ " � � > ²� N � � Nµ¶° � µæ­ ²� N � � °& � � N ßµ N � � µ�­

, ¥F§uÜk§¡�F¥F§��A©^� ]!�¡¬3�¡�h�^©A�P¥F§U¿^�{�K¿ABkÎ�¤;¥F§ � � ®;x � Ï x�� ��� ì À

Page 60: MATEMATIKA 1

[2.1] 2.1. POJAM VEKTORA 55

&('*)+'�� "à037�����7��� L�@C� �{��� �F� ?m@�[gPNYO�QAR�SUT�|IR^_CX�d^O�QKrob^\UX pV x pZ x pq À�TYb[_CS*ro\,TCX`\URlroX � aC\Ubmc pV � pZ � pq À� g TYbAc,XtT;dFc,Oer+�!b[\oRmc,T � R^|Cbkd^b[] cURFdlRlroXfd[OeQ3rUb[\UX�pV x pZ x pq |IR�SUO�bf|�_Ac,XN�´�Òb^}�O��Gb[\,�ÒX �\oRlrUXÞro\,b[Q3T;r��� g � z \URkdfXj]`_Cb[� �,O�S*roO�\,b[Q3T;roT Õ¶Ö�×�Ø�Ù�Ú X � \oR � XjroX$S*d[Oç|CX cUR#?[b[_CR^]`O z b[�Òb�>�Td[O�QKrUb[\oR µCGÕ�Ö x µjµaGÖ�× x µ�µdG×�Ø À4TYbAcUR¶c,O�d[O � RÒX � �!O�| �hT�d^O�QKrob[\UR µ#GÕ¶Ö x µ`µ`GÖ�× x µwµdG×WØ ·ô g �R!]jX3c,O$�!b ?[T&>eO�ro\oRl_CSU]`R#��X c,b[��rUO�}eX��U_;X��FR�rU\Ub[Q3T;roR��Gb[\,�ÒXj\oRlrUX _;bmdfX�rU\Ub[Q3T;r��õ g��¶Q^b�c,O!rUbtsuQAR 8 T rU\Ub[Q3T;rUT ./Õ�Ö�× roR^QKdlRß|IR�c,O µZG8 Õ � µ�µ`G8 Ö � µ�G8 × � pÏ xb[_C|IRYc,O�robfsuQAR$8 rUO�}eX��,rUO�ro\Ub^QfTtruR;pCrGcegCSGc,O0��X��*roO�roOe}�XN�U_CXN�FR;g* ¶b^QlR � RlrUXhg@;g ¶b[QAR � RAroX;|CR�S z bAc,_CX��eO�X � c,Oe|C_Cb ?�df\L�IR z R^\UR^]`Oe]`b ?[\UR^�ÒRP|Cb z b[]jbmdfXN�,ruRYSUT z \,b^r �_CX��/S,rU\oR^_;X��FR´|CX c,O�]jO�|CX cURZ?[b[_IR^]jT z R^\UR^]`Oe]`b ?^\oR^�ÒR�_IR´ro\,Xfc,O�|;_IR^QAR!|;X c,O�]`R;g�tg ¶b[QAR � RAroX |IR¶c,O�S,TC�ÒR�d^O�QKrob[\UR;p Q^bAc,X"Xj��Rmc,T z btseOeroR^Q²TßS,\UOe|CX��*roT�p{R�Qf\URmc,Oed^OT�df\ �;bmdfXj��R z \URFdtXj]`_Cb#? � rUO�\,b[Q3T;ruR¶c,O�|C_CR^QAR!_3TC]¢d[O�QKrUb[\UT�g�;g ¶b[QAR � RAroX�|IR�c,O s�Oer,d[Oe\Ub[Q3T;r z R^\oRl]`O�]jb ?[\UR^�ßpÝRlQ^bèX�SUR^�!b�RlQ^bäSUOÄ_Ac,O ?[bkd^O|CX cUR#?^b[_IR^]jO¶\oRlS z b[]�RFdf] cURmc,TÞg� gPNYO�QAR³S,T d^O�QKrob^\UX pV x pZ x pq b[_CX%a;\UX`|;bmdfX z \oRFdfX`]j_CO�rU\Ub[S*ro\oRl_CO z Xj\oR^�!X`|COlp QlbAc,X%_;O]`O�}eO�Tßc,Oe|C_CbAc�\oRFdf_CXj_CXhp1X�_COeQlR!c,O p� dtXjSUXj_IR z Xj\oR^�!X`|COlg ? � \oR � XjrUXJp� z b[�Òb�>�Td[O�QKrUb[\oR pV x pZ x pq À

, ��� �F� ?AJ � ?A@C�"B�J�B1J�[gPN¶R#�e\,ruRAroXÞd^O�QKrob[\ µCGÕ�Ö x R^Q^b�c,O

�� Õ �� µ�Á^xFµ�Á��¡x Ö ���" xFÁ���� � � Õ ��qÏ x±­��¡x Ö �� " x Ï � À� gPN¶RF>eX SUQAR^]�Rl\U_CO�Qlb[� z b[_COe_KroO µCGÕ�Ö x RlQ^b�c,O

�� Õ �� µ¶­txFµ¶­��¡x Ö �� " xFµWÁ���� � � Õ �� Á[xFµY®��¡x Ö ���" xFµ¶°�� À� gPNYO�QAR¶c,O@pV � µ¶­ p7 µæ® p: x pZ � ° p7 x pq � ® p7 µ ° p: À ? � \UR^s�T;_IRlroX

�� pV � pZ x � � pV µ pq x � � pV � pZ µ pq x� � ­ pV x � � ® pV µ pq x � � pV µæ­ pZ �è­ pq À

Page 61: MATEMATIKA 1

56 2. VEKTORI [2.2]

ô g9?ªS z X¢ruRlrUX�|IR´]`XÞSUT/d[O�QKrUb[\UX µ#GÕ�Ö X µGµdG×WØ Q^b[]jX`_CO�R^\U_CXqpCR^Qlb�c,O� RK� Õ �� µY®;x & �¡x Ö �� Á[xu­��¡x × ���" xFµ & �±x Ø �� µ�­fx Ï ���� a � Õ �� µY®;xFÁ��¡x Ö �� ®;xo®��¡x × �� µ¶­txFµY®��¡x Ø �� & x�µ�Á����� �k� Õ �� µY®;xFµ & �±x Ö �� µ�Á^x±­��¡x × �� ®;xFµ¶°��±x Ø �� °txu®�� À

õ g � |C\UOe|CXjrUX � ruR^QlbÒ|CR´d^O�QKrob^\UX pV � ­ p7 ��® p: X pZ � � p7 µ p: aCTC|;TßQlb[]`Xj_COFR^\,_CXhg@;gPN¶RF>eX=|CTC] c,X`_3TÂ\,O � TC]jroR^_KroO!SUX`]`R pÚ ð X pÚ ì x R^Q^b´c,O O pÚ ð O �#N $ x O pÚ ì O � & $ x RQ3T;r �,rob�?KR � RlrUdlR^\URmc,TßS,X`]jO5c,O &[Ï+* À

, ��� ��� ?AJ � ; ? � D �F� ? ��[gPN¶R#�e\,roRlroXÞd^O�QKrob^\ µ#GÕ¶Ö x R^Q^b¶c,O

�� � � ��� � � ��� ! � � � � � � � � � !�� � � � � ��� � � � � ! � � � � � ��� � � !��

� � � � � � � � � ��� ! � � � � � ��� � � !��

� gPN¶RF>eX�Q^b^� z b[_COe_3rUOWd^O�QKrob^\oR µCGÕ�Ö x R^Qlb�c,O �� � � � � � � � � � ! � � � �

� � � � ��� !�� � � � � � � � � � � ! � � � ���� � � ��� !��

� gPN¶RF>eX �XÄruR^Qlb�|IR²d[OeQKrob[\,XHpV � µ¶® p7 � p: � " p� X pZ � µ�­ p7 � " p: � p�aCTC|CT�Q^b^]`X`_;OFR^\,_CXhgô gPNYOeQlRYc,O pV � ­ p7 ��® p: µ " p�{x pZ � p7 ��­ p: � p� X pq � ® p7 ��­ p� À&? � \UR^s�T;_IRlroX

�� pV � pZ x � � pV � pq x � � pV � pZ µ pq x� � ® pV x � � µ pV ��­ pq x � � ­ pV �ä® pZ µä­ pq À

õ g9? � \UR^s�TC_CRlroX |CT;] c,X`_3T³d^O�QKrob[\UR pV � � µ p7 µä­ p: �è­ p� x � � p7 ��­ p: µæ® p� x � � p7 µ p� À

@;g � Qlb^ro]jX�>eTèb[afc,O0�UOe_Cb[� bÂdf\ �3TèrU\UX �,ruR z RÂQ3T4�IRÂSUO 4� z R z \,X`QAR#�eg��fruR z bkdfXSUTÒc,Oe|C_IR^QlO´|CTC] c,Xj_CO�X1s�Xj_CO�aC\,X`|Cbkd^O z \oRFdfX`]j_CO�rU\Ub[S*ro\oRl_CO z Xj\oR^�!X`|COlg� ¶T;] c,X`_CRaC\UXj|IRÝaIR � O z X`\UR^�!X`|CO c,Oe|C_IR^QAR+c,O5|CTC] c,X`_CXC�*ruR z bkd^Rtg TYblro]`X�>^p � Rkc,O�|C_Cb�SURYS,��c,O �SUb[� roO�}eX ° Ï$ À TPb[]`XjQ3X3c,O�X`_KrUO�_ � XjroO¡rPSUX`]`R�T �,ruR z bkdfX`�ÒR �

Page 62: MATEMATIKA 1

[2.2] 2.2. SKALARNI PRODUKT 57

��o �!��������#������²#%���²�! ���²#%���Þ�������w� � �����! "�$#%�&('h&(',) �(812��¯2+<)'�l i¶<;.+% #P8�9æ6+7�8�9t.=<C2�YQ^b!SUT pV x pZPd[OeQKrob[\,X�\UR � ]jX`seXjroX{bf| pÏ X 7 pV x pZ � Q3T;rPX � �!O�| � Tß_mc,X���pCb^_C|IR´SUOWaC\Ubmc

pV � pZ � O4pV OFO pZJO 1436587 pV x pZ � �h� g � �� bkd[O D �;@CE�@C?AB�J ; ? �>��� � �´d^O�QKrob[\URjpVßX pZkg��¶Qlb�c,O´aIR^\UOe� c,Oe|IR^_ bf|ã_Ac,X�� pÏ x b[_C|CRc,O$S,QlRl]�R^\,_CX z \,bt|CT;Q3r%c,Oe|C_IR^Q Ï À� dlRmc z \Ubf|CTCQKr=S,O � bkd^O�SUQAR^]�Rl\U_CX � RlrUbCp¡c,Oe\{c,O(\UO � TC]¢ruRlr%TC�!_Cb �UQAR¶a;\UbAcepKR�a;\UbAc,O¡dtXS,O$T � X��eX s�O�S*rob � bkdfT�S,QlRl]�R^\,Xhg

W�R(Q3T;r�X � �ÒOe| � T�d[OeQKrob[\URÝT � X`�ÒR^�!b

a b 0→ →

⋅ > a b 0→ →

⋅ = a b 0→ →

⋅ <

! " $&% ' ),+ �,/ �29b3 5 � � ' % 0(%(' " '59 � 7�� 9b765 .0%(6K'

TtdtX c,O�Q��ÒR^_Ac,X[Q3T;r1�!O�| � T�_Ac,X`�ÒR;g �1R^Q^bc,O Ï�� 7 pV x pZ � ��� À T$R^|�S,O�Q3T;r¶�ÒX �c,Oe_AcUR�bt| Ï |;b � x Qlb[SUXj_3TCSYS,O��!X c,Oe_AcURbf| Á |Cb µ�Á À TWRl|àc,O²Q3T;r!b �*ruR^\´Qlb �S,X`_3TCSnc,O z b � XjroX¢dlR^_�p � R z \URkdfX"Q3T;r�Qlb �S,X`_3TCS:c,O Ï x R � R�roT z X%QfTtr�Q^b[S,X`_3TCS�c,O_;O ?KRlrUXjdlR^_�g ��b � _IR^seX%|IR�c,O�SUQAR^]`R^\U_;X z \,bt|;TCQKr z b � X¢roXjdlR^_Þp RlQ^b�d^O�QKrob[\,X � RArUdlR^\oRkc,Tb#�,ruRl\�QfTtrFp{R´_CO ?KRAroXjdlR^_ÞpIR^Q^b � RlrUdlR^\URmc,T�rUT z X Q3T;r � S,]hg � g � �±gtQAR^]`R^\U_;X z \Ubf|CTCQKrPX`�ÒR�S,] c,O�|;O >FR�S,d^bAc,S,r,dlR ��[g pV � pZ � � pq � pV � pq � pZ � pq x� g � pV � � pZ � � pV � pZ �¡x� g pV � pZ � pZ � pV xô g pV � pV�� Ï xõ g pV � pV ��Ï � pV � pÏ À� SUXj�òrob#?KR�X � �Gb[\,��TC]jO � R�SUQAR^]`R^\U_CX z \Ubf|CTCQKr �h� g � ��S,]`X c,Oe|CX

pV � pV � O4pV OFOpVEO 1 3+5 Ï�� O4pV O ì x� ?AJq��L��3?������ � � Ì��,�f«¡¬f�{�^�q¤ ­ pV � pZ � � ­ pV µÂ® pZ �±x �A�K�(¥F§ O pV O �?& x O pZ�O � ® ¤"�A¬t�¤¢Ì�Ã�§�¿ � ¬ß�F¥±¤`â 7 pV x pZ � � &[Ï6* À¸¶¹[º[»Kº[¼f¹[º3½ Ó$�³�ª§¡Ã�§¡  ¥±¬³�¡©^�¯¥o�¡�È�^©A���u�^�^ ¢�^�±�Þ� ]$¦{�o��¿^¬K�A�È�!¤CÅF�A�¡Ã´¬f `§!Æ � ½ � Ê ­ pV � pZ � � ­ pV µæ® pZ � � " pV � pV µ & pV � pZ ��­ pZ � pV µæ® pZ � pZ� " � & ì µ & � & �k® � 143+5 &[Ï * ��­ �m® � & � 1 3+5 &[Ï * µæ® �k® ì� N Á À

Page 63: MATEMATIKA 1

58 2. VEKTORI [2.2]

� �t@IE�@;?lB�J ; ? �>��� � � J � � � �çJ ��� D � �{��� �F� ?A@ z O0��X cUR^]`_Cb;pKR^Q^b(c,O�Q3T;r5�ÒOe| � T�d[O�QKrUb[\UXj��R z \URkdfXqp[r�ceg 7 pV x pZ � ��� ì x b[_C|IR�c,O�SUQAR^]`R^\U_CXz \Ubf|CTCQKrnc,O�|C_CR^Q³_3TC]`Xqg � aC\oRAro_CbCpCR^Q^b�c,O$SUQAR^]�Rl\U_CX z \Ubf|CTCQKr%c,O�|C_CR^Q²_3TC]`X

pV � pZ � O4pV OFO pZ�O 143+587 pV x pZ � � Ï xb[_C|IRàS,Tçd[O�QKrUb[\UX��!O�| �ªT;SUb[aC_;bãb[Q^b[�!XjrUXhg Yb[X`S*ruR;p+R^QlbãSUT d[OeQKrob[\,X(\oR � ]`Xjs�XjrUX+bt| pÏ xb[_C|IRÄSUT _Ac,XN�Cbkd[Oà|;TC] c,Xj_CO z b � XjrUXjdf_CX�aC\,bAc,OedfXhp z R 143+587 pV x pZ � �Òb[\URÄa;XjroX Ï x RÄrUb� _IR^seX=|IR�c,O 7 pV x pZ � � � ì À �YQ^b�c,O�_COeQ3X5bf|ãd[OeQ3rUb[\oR�_3TC]jd^O�QKrob[\ep1b^_C|IR�c,O!_mc,O ?[bkdlR|CTC] c,Xj_IR1c,O�|C_CR^QAR Ï xmz RP_CO5�Òb[\UR 143+5M7 pV x pZ � _fT;}�_Cb�a;XjroX Ï À���O�| � T;rUX`� TWrob[� S,]`TCs�Rmc,TSU��c,O�\Ý_3TC]jd^O�QKrob[\UR��!b[}�Oe�Òb!bt|;\UO�|;XjroX z bÒd^b[] c,Xqp z R!X"roR^Q^b�|IR!b^_�aCTC|;O�b[Qlb[�ÒX¢rP_IR|C\UT4?^XÞd[OeQ3rUb[\PTßS,QlRl]�R^\,_Cb[� z \Ubf|CTCQKroT�g

¶R^Q3]`OpV � pZ � Ï � pV�� pZ

� �t@IE�@;?lB�J ; ? �>��� � � � ?m@C�"B1J�B�J�+O�QKrob[\,X p7 X�p: SUTã�!O�| �ªT;SUb[aC_;b²b[Q^b[�!XjrUX"XIc,Oe|CX`_CXjs�_CX � |;TC] c,Xj_IRÒXj� c,O�c,O�|C_CR^QAR Á �¡p z Rdt\,X c,Oe|CX

p7 � p7 � OZp7 OFOZp7 O 1 3+5 ÏW� Á[xp: � p: � O p: OFO p: O 143+5 ÏW� Á[xp7 � p: � OZp7 OFO�p: O 14365 � ­ ��Ï À

NPO�QAR�SUT�|IR^_CX�d^O�QKrob[\,X pV � V<;�p7 � V = p: x pZ � Z�;�p7 � Z�= p: À �1R^|IRYc,OpV � pZ �� V<;�p7 � V<= p: � � Z�;Vp7 � Z�= p: � � V ;�p7 � Z�;�p7 � V<;�p7 � Z = p: � V<= p: � Z ;�p7 � V<= p: � Z�= p: �

� V<;1Z�;Vp7 � p7 � V<;%Z�=�p7 � p: � V<=�Z ; p: � p7 � V<= Z�=gp: � p: � V ;1Z�; � V<= Z�= ¶R^Q3]`O$SUQAR^]`R^\U_CX z \Ubf|CTCQKrÝSUOW\oRls�TC_IR z b!�Gb^\U��TC]jX

pV � pZ � V<;�Z�; � V<= Z�=^À �q� g � �bt|IRlQf]jO�SU]jX c,O�|;X �Gb[\,��TC]�R � R´|CTC] c,Xj_3T/d^O�QKrob^\oR

O pV O � ï pV � pV � V ì; � V ì= À �q� g ô �

Page 64: MATEMATIKA 1

[2.2] 2.2. SKALARNI PRODUKT 59

�1R^Q^b^| � O�\�p z \UO��ÒR �h� g � ��_IR´S*ro\�g õ �tpCX`�ÒR^�!b

1 3+587 pV x pZ � � pV � pZO pVEOFO pZ�O �

V<;1Z�; � V =�Z�= V ì; � V ì= Z ì; � Z ì= x �h� g õ �

z R z b[�!b*>eT/SUQAR^]�Rl\U_Cb ? z \Ubf|CTCQKruR��Òb^}�O��!b´\oRls�TC_IRAroX X�Q3T;rPX � �ÒOe| � T²d[OeQ3rUb[\oRtg� ?AJq��L��3?������ �ÔÓ$� .¡¤%�u�^�^ ¢�^�±�I¤ ¦{�o��¿^¬K�A�:©^§u�A�ª�A�,� pV � µY® p7 ��­ p: ¤ pZ �<" p7 ��® p: À¸¶¹[º[»Kº[¼f¹[º3½5V<; � µY®;x V<= � ­tx Z�; � " x Z�= � ®;x ¦;�Ý¥F§�¦{�u§¡Ã!�ßÆ � ½ � Ê �{���¡��� ½����

pV � pZ � µY®�� " ��­=�m® � µ & À� ?AJq��L��3?������ �ÔÓ$� .¡¤%�A¬f�5¤¢Ì�Ã�§�¿ �Ȭ�©^§u�A�ª�A�,� pV � µ " p7 ��® p: ¤ pZ � ® p7 µ " p: À¸¶¹[º[»Kº[¼f¹[º3½5V<; � µ " x V<= � ®;x Z�; � ®;x Z�= � µ " x ¦;�Y¥F§(¦{�o§¡Ã!��Æ � ½��¡Ê

143+587 pV x pZ � � µ " � �m®P�ä® � µ " � µ " � ì ��® ì ® ì � µ " � ì � µ ­ "­^° À

¾ ¿K�^�� `§ Ë ¦I�AÃ��/.¡¬�ű¬f�;�K£¡¤ ¥F§ 143+5 L ð �{�²¿ABA§ª¦{�Þ�AÃò�,�f«¡¬f�{�^ ¨¬ Ë 7 pV x pZ � � Á & ® À > "O* À� ?AJq��L��3?����j� � �ª¦{¤w�h�^�q¤ Ë ¿K�! ¨¤%�¡¬/�¡  ¥F§U¿f§ .¡¤1©^§u�A�¯�A�±¤=Ã�§�¿ �ȬK�k�^Î��Þ�³�k�K�Aô¤w��¤ÉK½ pV � µY® p7 �è­ p: x pZ � " p7 � & p: �� ½ pV � ®" p7 µ Á° p: x pZ � " ® p7 �è° p: �� ½ pV � µ¶­ p7 �è° p: x pZ � ® p7 � p: À¸¶¹[º[»Kº[¼f¹[º3½ÉK½ pV � pZ �� µ¶®�� � " ��­=� &���Ï x ©^§u�A�¯�A�±¤%�¡¬�Ã�§�¿ �Ȭ3�k�^Î��Þ���k�K�Aô¤w�q¤ ½� ½ pV � pZ � ®" � " ® � µ�Á° �m° �ÐÏ x ©^§u�A�¯�A�±¤%�¡¬�Ã�§�¿ � ¬K�k�^Î��Þ�³�k�K�Aô¤w�q¤ ½� ½ pV � pZ �� µ�­�� �m®Y��°=�[Á � µ�Á �� Ï x ©^§u�A�ª�A�¡¤%�I¤`�¡¬ßÃ�§�¿ � ¬K�k�^Î��Þ�³�k�K�Aô¤w��¤ ½

� ?AJq��L��3?����j� ���:§u�¡�È��¿f��©k�oâ;� f §U¿^©^§U¿^�I¤h£u§ Ë �K�¯¥±¤��k§ �{�^ ¢�kÌ�¤´�{� Á Ï ®K° � �{�K¿ �Ã��A�o�u�K§$©k¤`�¡¤w�Þ§ Ë �A�u§ .u§´��¿W¦I��¿^�Þ�4Bq¥e� Ë �K�¯¥F§��k§$�{�^ ¢�kÌ�¤n�{� ­ Ï^Ï�� �{�K¿^Ã��A�u�u�K§�©k¤`�¡¤w�Þ§ ˤ�¿^¬f  ¥±¤w�Þ§ ¥F§ Ám­�� � À e �A ¨¤`�A¤��,�K¿�¤¢Ì�©k�oÜ¡¤ Ã��A�¯�A�P�^¬f�ª�AÃ��^Î�¤w ¢��Ã!�A�k§ Á Ï[Ï[Ï ��� ©^��ÌA§ .¡¤1��¿¦I��¿^�Þ�4Bq¥e��¿f��©k�oâ;��� � �� ¨¤:Î�¤n�k§W�U�K¿�¦{�o�Aô¤ ¥F§¡�I¤h� Ë �A�K�³Î�¤�£u§u�¡�h��Î�¤w ¢��¬k¦I�A ¢�Ò�A�,� .U���å �^Îu�!�¡ ¨¬I«U�,¥e��Ìk�^�Þ§¡Ã!�^�±¬¡¥F§Y�k§W�q�o§¡�F¥F§ ½

Page 65: MATEMATIKA 1

60 2. VEKTORI [2.2]

¸¶¹[º[»Kº^¼t¹[ºK½ , �K¿ �¡¤w `§�¥F§²�u�^�^ ¢�^�±�{�Ä©^§¡ ¨¤h«¡¤w�{� Ë ¤��,�f«¡¬f�{� �k§�¦I��ÅF�A�±Ã´¬t ¨¤�� �pÚ � p� x ]K¿,¥F§=¥F§ pÚ �¡¤w ¢� Ë � p� ¦{¬f� ½Rf �4BA§¡Ã���¦{�u§¡�¨¦I�k�¡�h�^©k¤w�q¤+¿K�Y¥F§´£u§u�¡�h���,�^©k�{�Ò¤5¿K�Y¥F§¬3�ª¦I�A�ã�¡©k¬C¿K��¥F§U¿^�{�A� ½ Ñ ��Ì��{�f«¡¤(¿K��¥F§Y¦{¬f�P�^¬t�ª�AÃ��^Î�¤w ¢�²©^§u�A�¯�A� p� x «¡¤ ¥e��¥F§�¿^¬f  ¥±¤w�{�Ám­ Ï[Ï[Ï�� x âf©A�^��¤`Ü¡�ª§�ô¬�¥F§�¬ã¤`�uâI��¿^¤`Ü¡��¬ Ë �³�u�^�^ ¢�^�±�{�Ò�K�Aö¦I�A�Þ§¡�I�h�²¬��¡Ã(¥F§¡�¡¬Ä�k�¡¤ y¤¢Ì��Þ�k�¡¤ N ®K° � À � �^�^ ¢�^�±�{�P�K�Aö¦I�A�Þ§¡�I�h�¶¬��¡Ã(¥F§¡�±¬!�k�¡¤ v ¤¢Ì��Þ�k�¡¤ Ë ¦{�o§¡Ã!� ñ ¤w�h�F]f�A�±¤w�Þ�AæI�A¬ «u�A¬ Ë ï Ám­ Ï[Ï[Ï ì µ N ®K° ì � Á[ÁA@ >^Ï À @;Á � À � �A�A `§�©^§u�A�¯�A�n¦{¬f�È�:¥F§ p�Y� Á[ÁA@ >lÏ À @tÁ p7 �N ®K° p: À Ó$�ä�^¬f�¯�AÃ��^Î�¤w Y¿,¥F§¡ ¨¬±¥F§ �n§¡Ã´  ¥±¤w�{�Ä�¡¤w ¢�ç�ª§DBk� Ë �M¥ ½ �ª§DB�¤w�{���^¬f�ª�AÃ��^Î�¤w ¢� Ë �K�¯¥e�¤¢Ì��Þ�k�¡¤ @ N Á Ï$ ¤n�¯�²�k�K�Aô¤w�ª��¦{�o§¡Ã!�³¿f�A  ¥F§ Ë ¦;�Y¥F§ pÚ � µ�@ N Á Ï p: À , �K¿��¡¤w `§$�ª§DBA§+¥F§

� � µ�@ N Á Ï p: � Á[ÁA@ >lÏ À @tÁ p7 � N ®K° p: � � µ @ N Á Ï � N ®K° � µ N ÁA@;Ák®K° Ï�� Àñ �o§¡Ã!�Ò�ª�AÃ�§WÃ��A�ª�A�W�^¬t�ª�AÃ��^Î�¤w ¢�Ò¤¢Ì�©k�oÜ¡¤n�,�K¿ N ÁA@;ÁF®K° Ï�� À� ��¥F§ç£u§u�¡�h��¬m¦I�A ¢� �A�U� .U� Ë ¦{�o�Aô¤ ¥F§¡�I¤w ¢��Î�¤��k§ß���^Ã��ç�u�^�^ ¢�^�±�{� �K�Aö¦I�A�Þ§¡�I�h�©^§u�A�¯�A�,� p� ¬��¡Ã(¥F§¡�±¬Ð�k�¡¤ v À ÓW� Ë ¦{�o�AÃ(¥F§¡�{�ç�¯§��K�Aö¦I�A�Þ§¡�I�¯§��Þ§¡Ã!�ç¬f�M¥F§u£U�,¥e� �{�]f�A�¡�F¥±¤%�U�f«¡¬f� ½ � �A�A `§ Ë �U�K¿!�k§��Þ§�Î�¤ ¦{�o�Aô¤ ¥F§¡�I¤h� ½� �t@IE�@;?lB�J ; ? �>��� � � � ; ? � D ��� ? ��+O�QKrob[\,X�p7 x p: X p� S,T´c,Oe|CX`_;X`s�_;X�X��!O�| � TCS,b[aC_Cb!b[Qlb[�ÒX¢roXqp z R�df\UX c,O�|CX

p7 � p7 � Á[x p: � p: � Á^x p� � p� � Á p7 � p: � Ï x p: � p� � Ï x p� � p7 ��Ï À� |CRlro]jO5S,O^p[QAR^bYX � RPd^O�QKrob^\UO(T�\URFdt_;X`_CXqpl�!b[}�O5X � d[OeS,roX3�Gb[\,��TC]�R � R¶SUQAR^]`R^\U_CX z \Ubf|CTCQKrz b[�!b�>�T²Q^b^� z b[_COe_3rUX

pV � pZ � V<;�Z�; � V<= Z�= � V�� Z � �q� g @[�?[|Ac,O:c,O pV � V<;�p7 � V<= p: � V�� p� x pZ � Z�;�p7 � Z = p: � Z � p� 
? � �Gb[\,��TC]jOpV � pV � O pV O ì � V ì; � V ì= � V ì�

SU]`X c,O�|CX{�Gb[\U��TC]�R � R!|CT;] c,X`_3T³d^O�QKrob[\URO pVEO � V ì; � V ì= � V ì� À �q� g �^�

? � �q� g � ��SU]`X c,O�|CXÞ|IR´SUO$Q3T;r¶X � �!O�| �hT�|td^R´d[OeQKrob[\UR!\UR^s�TC_CR z b´�Gb[\U��T;]`X

1 3+587 pV x pZ � � pV � pZO pV OFO pZJO �

V<;1Z�; � V<= Z�= � V��{Z � V ì; � V ì= � V ì� Z ì; � Z ì= � Z ì� À �q� g �[�

Page 66: MATEMATIKA 1

[2.2] 2.2. SKALARNI PRODUKT 61

� ?AJq��L��3?����j� �ÔÓ$� .¡¤��u�^�^ ¢�^�±�I¤;¦{�o��¿^¬3�A�%©^§u�A�¯�A�,� pV �?" p7 µ�® p: � p� ¤ pZ � ° p7 µß­ p: µ® p� À ¸¶¹[º[»Kº[¼f¹[º3½(ñ �ÝÅF�A�¡Ã´¬f ¨¤ÝÆ � ½��uÊ �{���¡��� ½���� ¤wÃ!�^Ã��pV � pZ �?" �A°Ý� µY®�� � µ¶­��"��Á � µ¶®�� � ­l® À

� ?AJq��L��3?����j��\ÔÓ$� .¡¤I�A¬f� ¤¢Ì�Ã�§�¿ � ¬´©^§u�A�¯�A�,� pV � µ " p7 µ�® p: ��° p� ¤ pZ � µ¶­ p7 �´® p: � p� À¸¶¹[º[»Kº[¼f¹[º3½(ñ �ÝÅF�A�¡Ã´¬f ¨¤ÝÆ � ½ �eÊ ¤wÃ!�^Ã��143+587 pV x pZ � � µ " � � µ¶­�� � µ¶®�� �m®Y��°=�KÁ

µ " � ì � µY®�� ì ��° ì µ¶­�� ì �ä® ì ��Á ì �"

ï ° Ï ï Á " � ­° ï > À¾ ¿K�^�� `§ 7 pV x pZ � � 14365 L ð ì� í � � Á À " ÁA@ Ï ® ¬ã�,�K¿^¤ ¥e�^�I¤wÃ!� ½ � �²�k§!¿f�^Î�¤ ¥±¬��¡�q¬k¦{�F¥F§¡©k¤���o§�Îu��ô�Þ�4B�¤w�q¤�� ð�� � �

�ÀÝÑ �A�K�(¥F§ 7 pV x pZ � �?N Á À ® Ï6" ® * À

� ?AJq��L��3?����j� , Ó�§u�^���¡¬Ä©k�oâI�A©k¤��q�o�k�A¬f�È��Õ � µWÁ[x " xFÁ��¡x Ö � ®;x " xFµ¶­��¡x × � °tx±­tx�µ�Á�� À Ó$� .¡¤%�A¬f� 7 Õ�Ö�× À¸¶¹[º[»Kº[¼f¹[º3½ Ñ �u§�Îu�à¬K�¡�q©A�^�±¤Y�{� .¡¤��A¬f�¶�K��¿ã©k�uâ;�/Ö x ¤w ¨¤ Ë Ü¡�¯��¥F§³¤`�¡�ª� Ë �{� .¡¤(�A¬t�¤¢Ì�Ã�§�¿ � ¬ ©^§u�A�ª�A�U� µ GÖ�ÕÛ¤ µ`µaGÖ�× À , �K¿^¤��A�,�^�w�K�/.u§´Ìk�¡¦{¤`����Ã��4BA§¡Ã��´¦{¤`���^��¤�¥F§U¿^�Þ�k�¡�h�^©k�Þ�µ GÖ�Õ � µ�Á^x " xFÁ��ݵ ®;x " xFµ¶­�� � µ " x Ï xu®�� À µ`µ`GÖ�× � °tx±­txFµWÁ���µ ®;x " xFµ¶­�� � ­txFµ¶­txFÁ�� À � �K¿K���^�f��¬!¦{�o§¡�wâI��¿^�Þ�AÃÔ¦{�±¤wÃ(¥F§¡�±¬1 3+5M7 µ GÖ�Õ x µjµaGÖ�× � � µ " � �A­Ý� Ï � µ¶­�� �ä® �KÁ

µ " � ì � Ï ì �ä® ì ­ ì � µ¶­�� ì ��Á ì � µ¶°ï ­[° ï @ � µ Á® Àe ¬f�=¥F§�¦{�o§¡Ã!�ã�¯�AÃ�§ 7 µCGÖ�Õ x µ`µaGÖ�× � � 143+5 L ð 9 µ²ðë ; � Á À @;Á Ï6& ® ¬ �U�K¿^¤ ¥e�^�I¤wÃ!� Ë ¤w ¨¤Á Ï @ À " > Á * À� ?AJq��L��3?����j�� ¾ ¿^�o§U¿^¤w�q¤%�A¬f�:¤¢Ì�Ã�§�¿ � ¬à¿^©k¤ ¥F§(¦{�o�k�¡�ª�A�±�Þ§�¿^¤ ¥e�F]f�A�{�^ `§��K�k£u�K§ ½¸¶¹[º[»Kº[¼f¹[º3½ � Ìk�KΡ§¡�o§¡Ã����K�k�A�,¿^¤w�{�^���I¤��¡¬K�¡�È�^©´�h�A�K�Ò¿K�P¥F§n¥F§U¿K�^��©k�oâ�¤`�uâI��¿^¤`Ü¡�¯§ Ë ¤¿K���K�k�A�,¿^¤w�{�^���Þ§��k�¡¤%¦{�o�A ¢�kÌA§ÒÎ��±¤�¿f�A©k¤wÃ!�/�K�k£u�K§ ½ ¾ Ì��{�f«¡¤wÃ��³©k�oâI�A©^§´�K�k£u�K§��o§U¿f�AÃ8 x Õ x Ö x × x 8 ~ x Õ ~ x Ö ~ x × ~ À �1Ρ� ]��¡¤wÃ�§¡�q�±¤ ¥F§ Ë �¡©^§G¥F§U¿^�Þ�Y¥F§��K�¯¥F§´¿^©k¤ ¥F§P¦{�u�k�¡�ª�A�±�Þ§¿^¤ ¥e�F]f�A�{�^ `§Ò¬^Ì�Ã�§¡Ã�� ½ Ñ �A�K�ßÃ��4BA§¡Ã��߬[ÌA§¡��¤¶�{��¦{� ½ µuµrG8 Ö ~ � p7 � p: � p� ¤ µuµrG8 ~ Ö �p7 � p: µ p� À

1 3+5 ( � µuµrG8 Ö ~ � µuµrG8 ~ ÖO µuµrG8 Ö ~ OFO µuµrG8 ~ Ö O

� Á® ÀÑ �A�K��¥F§�( � 1 3+5 L ð ðë � >^Ï6* ®;Á�~ " ®l~ ~ À

Page 67: MATEMATIKA 1

62 2. VEKTORI [2.2]

&�'h&('È& hç<t9t.��5.�'Y2 ��'Y2 i¶<C.�037�8*kSl¨032é6+7�8�9t.+<;2Q ? �F��� � B"@IE�B�@ ; ? � L����{HKJ�Le@ B"@ ; ?m@C�C@IHNYO�QARWc,O�|CR^_ z \oRFdlR#� À � \,rob#?[b[_IR^]j_IR z \UbAc,OeQ#��X cUR�d[OeQ3rUb[\oR p� � µ�µNG8 Ø _IR z \oRFdlR#� c,O�d[OeQKrob[\ µ¡µ G8 Ø ~ p s�X c,XIc,OWdt\L� Ø ~ |Cb^aCXjd^O�_ãQAR^b�Swc,O �eX��,rUO´b[Q^b^�ÒXN��OWX � Ø S z T4�*roOe_CO�_IRz \oRFdlR#� � d{gISU]jX`Q3T � gj� K�¡gi=\,b[��RAro\oRAr+>�Oe�Òb�SoRl�Òb�b[\*rob ?[b^_IR^]`_;O z \,bAc,O�Q �

O

D

D ’u s

p→ →

!#" $&%('*),+.-��Z/��V9.687 � 7 � ' " � ' 59b7 ��3 %� $ � '� 3 %(687�9`' � ' 59a' � '�

��X c,Olp z R ruR^Qlb QAR^|èS,OàQAR^}�O z \,bAc,O�QZ��X cURtp��ÒXjSU]`X�SUO_IRÂb[\*rob ?^b[_IR^]j_fT z \,bAc,O�QZ��X c,TÞgÐNPO�QAR²c,O p� d[OeQ3rUb[\SU��c,O�\oR z \oRFd ��R x R p� � � � � �z \,X z R^|;_CX"c,Oe|CX`_CXjs�_CXd[O�QKrUb[\�g�? � SU]jX`Q^O � g¢�/´SUO�dfX`|;X�|IR¶c,Oµ¡µ G8 Ø ~t� ê O p� O 14365�7 p� x p� � î p� À

i+\,O��ÒR��Gb[\U��T;]`X �q� g�K��SU]jX c,O�|;Xµ¡µ G8 Ø ~t� O p� O p� � p�

O p� OFO p� Op� � ê p� � p� î p� À

�Y��c,O�S,rUb µeµ G8 Ø ~ \oR^|CX c,O >�O��!b z X`SoRAroX µ G��� � p� x c,Oe\=c,O�TßrobmcPb � _CR#��X dfX`|C] c,Xjd^bÒ|IR!SUO�\oR^|CXb z \UbAc,OeQ#��X c,X�d[OeQ3rUb[\oR p� _IR z \URFd^RZ�^pCd[OeQKrob[\URÒSU��c,O�\UR p� À4TWRlQ^b�c,OPp� � � � � �x X`�ÒR^�!b

µ G��� �

p� � p� � p�O:p� O ì p� x �q� g � �

tQAR^]�R^\,_IR�Q^b^� z b[_COe_3roR z \UbAc,OeQ#��X c,O�c,O

��� � p� � p� � p�

O:p� O À �h� gj�/[�

� ?AJ��³L��3?Ò� �j�E�ÔÓ�� .¡¤Ý¦{�o�¯¥F§u�K£¡¤ ¥±¬ä©^§u�A�¯�A�,� p� � µ¶­ p7 �Ô® p: � p� �{�ߦ{�U�^©A�f£/�A�o��Ì©^§u�A�¯�A� pV � p7 µä­ p: �è­ p� À¸¶¹[º[»Kº^¼t¹[ºK½�ñ �o§¡Ã!�YÅF�A�¡Ã´¬f ¨¤�Æ � ½��¡ÊkË ¤CÅF�A�±Ã´¬f ¢�^Ã!�ßÆ � ½��uÊ ¤ÝÆ � ½��,Ê �{�!�¡�q� ½����µ G��� ��

p� � µ¶­ p7 ��® p: � p� � � p7 µæ­ p: �è­ p� �OZp7 µä­ p: �è­ p� O ì p7 µæ­ p: ��­ p� �

� µ ­® p7 µä­ p: �è­ p� � � µ ­® p7 � " ® p: µ " ® p� À

Page 68: MATEMATIKA 1

[2.2] 2.2. SKALARNI PRODUKT 63

� ?AJq��L��3?����j� � å �K�k£u�A¤%��©k�oâI�A©k¤wÃ!��Õ �!qÏ x Ï x Ï �±x Ö �! Á[x Ï x Ï �¡x × �! Á[xFÁ[x Ï �¡xØ � qÏ x�Á[x Ï �±x Õ ~ � qÏ x Ï xFÁ��±x Ö ~ � Á[x Ï x�Á��¡x × ~ � Á[xFÁ^xFÁ��¡x Ø ~ � �Ï xFÁ[xFÁ�� �{� .¡¤¿^¬f  ¥±¤w�I¬�¦{�o�¯¥F§u�K£¡¤ ¥F§P¿^¤ ¥e�F]f�A�{�^ `§%Õ�× �¡�q�,�^�I¤h£u§��K�k£u�K§��{��¦{�o�k�¡�¯�A�±�I¬Ò¿^¤ ¥e�F]f�A�{�^ ¨¬�Õ�× ~ À¸¶¹[º[»Kº[¼f¹[º3½ Ñ �,�ABA§¡�{�ä¿^¬t  ¥±¤w�{��¦{�o�¯¥F§u�K£¡¤ ¥F§W¥F§Ä�¡¦I�k�A ¨¬f�q�{� ©k�±¤ ¥F§U¿^�Þ�k�¡���u�^�^ ¢�^�±�Þ§�K�Aö¦I�A�Þ§¡�I�ª§Ý¦{�o�¯¥F§u�K£¡¤ ¥F§�©^§u�A�ª�A�,� µZGÕ¶× � p7 � p: �{�´¦{�,�^©A�f£$�A�o��Ì�¦{�o�k�¡�ª�A�¡�I¬ã¿^¤ ¥e�F]f� ��{�^ ¨¬ ½ �1�³©^§u�A�ª�A�$�¡Ã(¥F§¡�,��¦{�o�k�¡�¯�A�±�Þ§�¿^¤ ¥e�F]f�A�{�^ `§$Ã��4BA§¡Ã��!¬^ÌA§¡�q¤ µ,µ^GÕ�× ~ � p7 � p: � p� Àñ �o§¡Ã!�PÅF�A�±Ã´¬f ¨¤ÝÆ � ½wÉ �uÊ ¤wÃ!�^Ã����� L L������� µZGÕ¶× � µ,GÕ�× � µ*µ GÕ¶× ~

O µ,µ GÕ�× ~ O � ­ï ® � ­® ï ® Àe �A�K�5¥F§Ý�u�^�^ ¢�^�±�{���K�Aö¦I�A�Þ§¡�I�È�P¦{�o�¯¥F§u�K£¡¤ ¥F§=¦I��Ì�¤w��¤w©k�{� Ë �ª�:¥F§¶¬±¥F§U¿^�Þ��¤1¿^¬t  ¥±¤w�{�Y¦{�o� �¥F§u�K£¡¤ ¥F§ ½Q ? ��� ��� B"@IEqB"@ ; ? � L���� HKJML�@ÄB"@Â?m@C�"B�JqB �� \*rob ?[b^_IR^]`_CR z \UbAc,OeQ#�eX cUR�d[OeQ3rUb[\oR µwµNG8 Ø _IR�\oRFdf_CXj_fT��äc,O�d[OeQ3rUb[\ µeµ G8 Ø ~ p�s�X c,X3c,O�dt\L�Ø ~ |;b[aCXjd^O�_�QlRlbYSwc,O ��XN�,rUO:b[Qlb[�!X���O+X � Ø S z T �

O

D

D’

D’’

n

Π

!#" $&%(' ),+.- -0/ ��9b687��07 � ' " � ' 59`7 � 35% � $ ��' � 35%��687�9`' � ' 9`' ��� $ ��.

�*roOe_CO(_IRP\oRFdf_CX`_3T��Wg �+O�QKrUb[\ µ¡µ G8 Ø ~ �Òb[}eO��!b|;b[aCXjrUX z b^�Òb�>�T z \,bAc,O�QZ��X c,OÄ_IR z \oRFdlR#�Ä_IRS,] c,Oe|CO >eX�_IR^seX`_�g �+O�QKrob^\ µGµ�G8 Ø z \,bAc,X��eX`\UR^�Òb_CR z \oRFdlR#�²Q^bmc,X1c,O³b[Q^b^�ÒX¢r�_IRã\oRFdf_CXj_fT�� xX:|Cb[aCX c,O��!b�d^O�QKrob^\ µtµ#G8 Ø ~ ~ À��1R^|IR´c,O µGµdG8 Ø �µ¡µ G8 Ø ~ � µfµ#G8 Ø ~ ~ x X z \UOe��R$rob[�!O µ¡µ G8 Ø ~ � µGµNG8 Ø µµfµ#G8 Ø ~ ~%� d{gIS,]hg � g¢�[�m�±g � |IRAro]`O$S,]`X c,Oe|CXÞ�Gb[\,��TC]`R� R�b[\,rUb ?[b[_IRl]`_3T z \Ubmc,O�Q#�eX c,T$d[OeQ3rUb[\oRP_IR�\oRFd �_;X`_3T µ G���� p� � p� µ µ G��� � p� x

?^|Ac,O�c,O p d^O�QKrob^\Y_Cb^\U�ÒR^]`O�\URFdt_;X`_CO��WÀ�TYb[\,X`S,rUO >eX��Gb[\U��T;]`T �h� g � �±pCX`�ÒR^�!bµ G���� p� � p� µ p� � p

O:p O ì p%À �h� g¢�[�m�

� ?AJq��L��3?����j���ÔÓ$� .¡¤�¦{�o�¯¥F§u�K£¡¤ ¥±¬�©^§u�A�¯�A�,� p� � p7 � ­ p: �è® p� �{���,�^©k�I¤w�I¬ã�k�K�Aô¤w�q¬�{�!©^§u�A�¯�A� p � p7 � p: � p� À¸¶¹[º[»Kº[¼f¹[º3½(ñ �u§¡Ã!�YÅF�A�±Ã´¬f ¨¤�Æ � ½wÉKɡʵ G���� p� � p7 �è­ p: ��® p��µæ­ ê p7 � p: � p� î � µ p7 � p� À

Page 69: MATEMATIKA 1

64 2. VEKTORI [2.2]

&�'h&('! "�037�� ��7� �t@IE�@;?lB�J ; ? �>��� � ��[gRW�R¶|IR^_;O(robfsuQ^O Õ �� µ¶­tx " �¡x Ö �� ®;xFµ & �¡x × ���" x�µ�­��±x Ø �� Á[x±°�� X � \UR^s�T �_IRlrUX�SUQAR^]`R^\U_CX z \Ubf|CTCQKr µ GÕ�Ö � µGµdG×WØ À� gPN¶RF>eX1Q3T;r¶X � �ÒOe| �ÈT�d[OeQKrob[\UR µCGÕ�Ö X µwµNG×�Ø x RlQ^bWc,O Õ � ®txFÁ��¡x Ö � > x " �±x × �

®;xu­��¡x Ø �� & x & � À� g9? � \UR^s�TC_CRlroX=\UR^|ÂQlbAc,X+SUXj]�R pÚ � ­ p7 µ p: X � df\ �,X5_CR z TtroT z b z \oRFd#��TçX � robfsuQ^OÕ �� Á^xFµ�­�� |Cb!rUbtsuQlO Ö �� °txFµ¶°�� Àô g � |C\UOe|CXjrUX�Q3T;rPX � �!O�| � T�d^O�QKrob^\oR�S z bfs�OerUQ^b[�òTßXjS �Cbf|CX��*roT/S�df\ �CbkdfX`�ÒR

�� Á[x±­tx�Á��¡x µ�Á^xFÁ[xFµWÁ�� � � � Á[x Ï xFÁ��±x Á[x�Á[xFÁ�� � � � µ�­tx�µ�­��±x ®txu®�� �� � Á[xFÁ��±x Á^x Ï � � � � Á[x�µ�Á��±x Á^x Ï � À

õ gPN¶RF>eX S*ro\UR^_CX��eO�X{QfTtrobkd[O�rU\Ub[Q3T;roR�S�df\ �CbkdfX`�ÒR Õ �� µ�Á^x±­txu®��±x Ö �� ­txFÁ[xu­��¡x× ���Ï xu®;x Ï � À@;g9? � \UR^s�TC_CRlroX@pV � pZ x R^Qlbãc,O pV � ­ p� µ p x pZ � p� µÔ­ p x O�p� O � ­fx O8p*O �" x 7 p� x p � � � ë À�tgPN¶RF>eXIQ3T;r5X � �!O�| � T!d^O�QKrob^\oR pV � p� � p/X pZ � p� µ p x R^Qlb�c,O O p� O � O p O � ­ À�;gRW�R�d^O�QKrob^\UOEpV � p7 � ° p� x pZ � µY® p7 � ­ p: µ p� x pq � p7 � p: � p� _IRF>eX pV � pZ x pZ �

pq x pq � pV x pV � pZ � pq �¡x O pV � pq OFO pV µ pZHOtÀ� g9? � \UR^s�TC_CRlroX ­ pV µæ® pZ � ì x R^Qlb$c,O O�pV[O �<" x O pZJO � ° X"Q3T;rPX � �!O�| �hT�d^O�QKrob^\oRMpVX pZ+c,Oe|C_IR^Q Ák­ Ï+* À�/;g TYbAc,XITtdkc,O¡r:rU\UOeaIRmc,T�XjS z T;_AcURFd^RAroXCd[OeQKrob[\,X�pV�X pZ(|CR$d^O�QKrob[\,X*pV � pZ:X pV µ pZ(a;TC|CT�ÒOe| �ÈTCS,b[aC_Cb!b[Qlb[�ÒX¢roX ��[�[gPN¶RF>eX�\UO � TC]¢ruR^_KrUTóSUX`]`R p� ð � p7 � ­ p: � p�Þx p� ì � µ�° p7 � ® p: µ ­ p� x p� ë �" p7 � " p: µ ® p� x p��� � µ p7 ��° p: � " p� À � |;\UO�|;XjroX1_Ac,O � X`_ãXj_3rUO�_ � XjrUOer�XnQ3T;rUbkd[O

�,rUb!XN� � Rlr,d^Rl\oR´SÝQ^bfb[\U|CXj_IRlrU_CX`��b[SUXj��Rtg� � g T$R^QARkd��ÒOe| � TCS,b[aC_CX z b[]`b^}FRmc(X`�ÒRmc,T³d[OeQKrob[\,X pV!X pZ x R^Q^b�c,O

� RK��O pV O � O pZ�O � O4pV � pZJO x � aI� OpVEO µ O pZHO � O2pV µ pZ�O x� �k�JO pV � pZ�O � OpV µ pZ�O x � |I� OpVEO � O pZ�O � OpV µ pZ�OfÀ

Page 70: MATEMATIKA 1

[2.3] 2.3. VEKTORSKI I MJEŠOVITI PRODUKT VEKTORA 65

� � g � z \oRFdfX`]`_;bAcYc,Oe|C_IR^Qlb[S,rU\oR^_;X`s�_;bAc�ro\,b[S,rU\oR^_;bAc z Xj\oR^�!X`|CX5bf|C\UOe|CXjrUX�QfTtr�aC\,X`|IRz \UOe��R´b[S,_CbkdtXN��XqpCX Q3T;rPS,ro\UR^_CO ��z b[a{btsuQlOk� z \,O��ÒR�b^SU_CbkdfX��eXhg� ô gÝNYO�QAR(c,O pV � ­ p7 µà­ p: � p� x pZ � Z�;�p7 � p: � " p� À � |C\,O�|CX¢roX{Z�;¶roR^Q^b�|CRWd[OeQKrob[\,XUpVX pZÝaCTC|CT²�!O�| � T;SUb[aC_;b´b[Q^b[�!XjrUXhg ? � \UR^s�TC_CRlroX OpVEO[XÞQlb[SUXj_3TCSUO�S,��c,Oe\oR�d^O�QKrob[\UR

pV À� ? � Le���{HKJML�@ �{��� �F� ?A@�[gPN¶RF>eX5|;TC] c,Xj_fTÄb[\*rob ?[b^_IR^]`_;O z \UbAc,OeQ#�eX c,O!S,ro\UR^_CXN�FR z \oRFd[b^QfTtro_CXjQlR�_IRß_mc,O ?[bkdfT|CX cUR#?^b[_IR^]jT�p;RlQ^b!SUT���T/S,ro\UR^_CXN��OWV � ­ X Z � Á À� gPN¶RF>eX:|CT;] c,X`_3Tçb^\,rob#?[b[_IR^]j_CO z \UbAc,OeQ#�eX c,O³aC\,X`|IR�Q^b��uQ^O²_IRà_mc,O � Xj_3T z \Ub^S,rob^\U_3T|CX cUR#?^b[_IR^]jT�g� gPN¶RF>eXÞb[\*rob ?[b^_IR^]`_3T z \UbAc,OeQ#�eX c,T pV ~ d[OeQ3rUb[\oR pV � ® p7 �ç­ p: � p� _IR z \oRFdlR#�¶Q3\Ub �

8 bt|C\,O�| � Oe_�d^O�QKrob^\Ub[� p � p7 µ p: Àô gPN¶RF>eXÞb[\*rob ?[b^_IR^]`_3T z \UbAc,OeQ#�eX c,TjpV ~ d[O�QKrUb[\oRPpV � ® p7 � ­ p: _IR z \URFd^RZ� y � ­Av Àõ gPN¶RF>eX(b[\,rUb ?[b[_CR^]`_3T z \UbAc,OeQ#��X c,T pV ~ d[OeQKrob[\UR pV � ­ p µ�® p� _IR z \oRFdlR#�³Q3\Ub �

p � p� x R^Q^b�c,O O�p O � ­tx O>p� O � ®;x 7 p x p� � � � ë À@;gPN¶RF>eX{d^O�QKrob[\�pV ~ ~ S,X`�!OerU\UX`s�R^_�d[O�QKrUb[\UTjpV � ® p7 � ­ p: � p� T³bf|C_Cb[S,T²_IR z \URkdlR#�Qf\,b � X`SL�Cbt|;X��,rUO�S�d[O�QKrUb[\Ub[�òSU��c,O�\oR p � p7 µ p: À�tgPN¶RF>eX�d^O�QKrob[\EpvY~ ~ SUXj�ÒO¡ro\UXjsFR^_/d[OeQKrob[\,Tnpv � v ð p7 ��v ì p: Tàbt|;_Cb[SUT�_IR z \URkdlR#�y � ­%v À

���� � ���� "�W#�� � ��� � �Þ���"�Y� �¡ ���²#1� �²�� ò�����! "�$#n�&(' Ý',) "à7�8:9;.=<mf8gl iY<C.+% #P8�9æ6+7�8�9t.=<C2NPO�QAR�SUT�|IR^_CX�d^O�QKrob[\,X pV � V<;�p7 � V = p: � V�� p� X pZ � Z�; p7 � Z�= p: � Z � p� À��+O�QKrob[\

pV� pZ � 000000p7 p: p�V<; V<= V��Z�; Z�= Z �

000000 �h� g¢� � �

S,O � bkd[O �{��� �F� ?lD0� J ; ? � ��� � �Wd[O�QKrUb[\oR pV�X pZk
Page 71: MATEMATIKA 1

66 2. VEKTORI [2.3]

� d^bç_CX c,O z \URkdlR |;OeroOe\U�!X`_IRl_3roR;p�c,Oe\ÒS,TóT z \,d^b[� \UO¡roQ3T d[OeQ3rUb[\UXqpÝRÂ_COßaC\Ub �c,OedfXhg ? z RlQ�d^O�QKrob[\,SUQ3X z \,bt|CT;Q3r¶ruR^Qlb � R z XjSUTAc,Oe�Òb�\oR^|CX1Q3\oRlrUQ^b�>�O^g �YQ^b ?KR³}eO�]`Xj�Òb_IR z XjSoRlrUX z b^�Òb�>�T²Qlb[� z b[_COe_KroXhp;b[_C|IR´ro\,O�aIR^�!b´\oR � dfXjrUX�|COerUO�\,�ÒXj_IR^_KroT z b z \*d[b[�\UOerUQ3T�g"�%R^QlbÒXj��Rl�ÒbpV � pZ � 0000 V<= V��Z�= Z � 0000 p 7 µ 0000 V<; V��Z�; Z � 0000 p: � 0000 V<; V<=Z�; Z�= 0000 p�

�� V<= Z � µ V�� Z�= � p7 � V�� Z�; µ V ;1Z � � p: � V<;1Z = µ V =�Z�; � p� À? � |;O I_CXN��X c,O�SU]`X c,O�|CX |IR¶c,O

pV � pV � pÏ xc,O�\�SUT�T�|COerUO�\U�!X`_CR^_KroX�T/rob[� SU]jTCsFRmc,T�|;dlR�\UOerUQAR¶c,Oe|C_IR^QAR;g z O �eX cUR^]j_Cb

p 7 �Ep 7 � p: � p: � p� � p� � pÏ À²|;\UT4?[O$S*ro\oRl_CO

p 7 � p: � p� x p: � p� � p 7 x p� � p 7 � p: ÀN¶R z \UXj��c,Oe\p 7 � p: � 0000 Ï ÏÁ Ï 0000 p 7 µ 0000 Á ÏÏ Ï 0000 p: � 0000 Á ÏÏ Á 0000 p� � p� À

� � � LFD � �;@ �{��� �F� ?AD � ��� ; ? � ��� � � @���[g pV � pZ � µ pZ � pV� g pV � pZ � � pq � pV � pq � pZ � pq� g � pV � � pZ � � pV � pZ �

�+O�QKrUb[\US,QfX z \Ubf|CTCQKr"_CX c,O$RlSUb���X cURAroXjdlR^_ pkr�ceg

O

a b

α αa a

b b v =b sinα�

×

→ →

→→

→ →

! " $&% 'E),+.-L),/��23r7 ��3(6 9d$ ��0r%(' 0 � 7 � 086 � ' � 35% �687�9 0(% 7 � 59`765 . %(6K'

pV � pZ � � pq �� pV� pZ � pq � À ¶TC] c,X`_IR�d^O�QKrob^\USUQlb ? z \,bt|;TCQKruRYc,OO pV � pZHO � O4pV OFO pZHO 5GCHE ( À �h� gj� � �

�R^Q3]`Olp O*pV � pZ[O3c,O z bkdt\L�UXj_IR z Rl\oR^]jO�]`b#?[\oR^�ÒR �*rob[?[R�\UR � R z X`_Ac,T pVàX pZ � SU]qg � g¢� � �¡g� |CRlro]jO�X`�ÒR^�!b�bkdtT z b[SU] c,O�|CXN��T�gpV x pZYQlb[]`Xj_COFR^\,_CX � pV� pZ � pÏ

Page 72: MATEMATIKA 1

[2.3] 2.3. VEKTORSKI I MJEŠOVITI PRODUKT VEKTORA 67

�+OeQKrob[\,SUQ3X z \Ubf|CTCQKr pV � pZ$c,O³d[OeQ3rUb[\!b[Q^b[�!Xjr�_IRàd[O�QKrUb[\UO pVÂX pZkÀ* ¶TC] c,X`_IRà��Tàc,Oc,Oe|C_IR^QAR z bkdf\ �,X`_CX z Rl\oR^]jO�]`b#?[\oR^�ÒR�\UR � R z OerUb ?ÄS pV X pZ x RÄS,��c,Oe\¶c,Oßbf|C\UOe| �ªO�_är � d gz \oRFdfX`]`b^�|COeSU_COP\UT;Q^O � R^Q^b z \US*roOÝ|COeSU_COP\UTCQlOÝSoRFdfX c,O��!b$bt| pV z \UO��ÒR pZ z b$��R^_mc,O��Q3T;rUT�pIb[_C|CR z Rl]�R#� z b[QAR � TAc,O$SU��c,O�\ pV� pZ � SU]qg � g¢� � �¯_IR´S,ro\egE@<@;g� ?AJq��L��3?����j� �ÔÓ$� .¡¤ pV � pZ � � pV � pZ �±x �A�K�(¥F§ O pV O � O pZHO � Á[x ¤ 7 pV x pZ � ��� � À¸¶¹[º[»Kº[¼f¹[º3½

pV� pZ � � pV � pZ � � O4pV� pZJO ì � O pV O ì O pZHO ì 5GCHE ì 7 pV x pZ � � Á­ ÀT$R^Qlb�c,O@pV � pZ � O4pV OFO pZHO 1 3+5 ( X OpV � pZ�O � OpV OFO pZ�O 5DCHE ( x dt\,X c,Oe|CX

ê pV � pZ î ì � O4pV � pZ�O ì � O pV O ì O pZ�O ì À �h� g¢� ô �

� ?AJq��L��3?����N\ Ó�§u�^�Y¥F§ OpVEO � Á Ï x O pZ�O � °tx pV � pZ � Ám­ À�Ñ �o§�Îu�Ò�{� .¡¤ O4pV � pZ�O3À¸¶¹[º[»Kº[¼f¹[º3½O pV � pZHO ì � OpV O ì O pZ�O ì µ pV � pZ � ì � ­^®[° &

¾ ¿K�^�� `§O4pV � pZ�O � ­ ï ° N @ À

� ?AJq��L��3?����N\ �ÐÓ$� .¡¤5©^§u�A�ª�A�u�u�A¤ ¦{�o��¿^¬3�A��©^§u�A�¯�A�,� pV � ® p7 µè­ p: �ó° p� ¤ pZ � ­ p7 µp: �ä® p� À¸¶¹[º[»Kº[¼f¹[º3½

pV � pZ � 000000p7 p: p�® µ¶­ °­ µWÁ ®

000000 �0000 µ¶­ °µWÁ ® 0000 p7 µ 0000 ® °­ ® 0000 p: � 0000 ® µ¶­­ µWÁ 0000 p� � µ p7 � p: � p� À

��� � ?,DFJ�B�@ ; @C?m@IEG�tE ��� ?A@C� @�� ��� � ?,DFJqB"@ � ? � � �"� @? � bkd^b ?KR �,rUb¶c,O�\UOes�O�_;b � R^Q3] c,TCseTAc,O��!bCp;|CRPc,O z bkdf\ �,X`_IR z Rl\oR^]jO�]`b#?[\oR^�ÒR�\oR � R z Oerob#?S�d^O�QKrob[\,X`�ÒR[pV�X pZ+c,Oe|C_IR^QAR

� � O pV � pZ�O3À �h� g¢� õ �

Page 73: MATEMATIKA 1

68 2. VEKTORI [2.3]

� ?AJ��³L��3?Ò� �N\ �ÔÓ�� .¡¤ ¦I�A©k�oÜ¡¤w�I¬´¦;�^�,�^ `§¡ `� ]^�U�^Ã!�!�U�kÌk�¡¦I§¡�ª� ]!�W©^§u�A�ª�A�¡¤wÃ!� pV � ­ p7 �p: �è­ p� ¤ pZ � ® p7 �è­ p: ��­ p� À¸¶¹[º[»Kº^¼t¹[ºK½

pV � pZ � 000000p7 p: p�­ Á ­® ­ ­

000000 �0000 Á ­­ ­ 0000 p7 µ 0000 ­ ®­ ­ 0000 p: � 0000 ­ Á® ­ 0000 p� � µ¶­ p7 �è­ p: � p� À

¾ ¿K�^�q `§ O pV � pZ�O � µ¶­�� ì �è­ ì ��Á ì � ® À�� �A�A `§ Ë ¦I�A©k�oÜ¡¤w�{�¶¦;�^�,�^ `§¡ `� ]^�U�^Ã!�(¥F§ ® À��\Ub^QfTtr�\oR � R z Oer�d[O�QKrUb[\UXj��R pVàX pZYc,O�T z b[]`R��ÒR^_Ac,X+bf| z Rl\oR^]jO�]`b#?[\oR^�ÒR;p z R�c,O_Ac,O ?[bkdlR z bkdf\ �,X`_IR¶c,O�|;_IR^QAR

��� � Á­ O pV� pZJO3À �h� gj�6@[�

� ?AJ��³L��3?Ò� �N\�\ÔÓ�� .¡¤¶¦I�A©k�uÜ¡¤w�I¬����o�k�A¬t�h�Ы¡¤ ¥±¤��¡¬ ©k�oâI�A©k¤�Õ � µWÁ[x " xFÁ��¡x Ö � ®;x " xFµ�­��¡x × �� °tx±­txFµWÁ�� À¸¶¹[º[»Kº^¼t¹[ºK½ _ §u�A�ª�A�¡¤wÃ!� µ GÕ¶Ö ¤ µ,GÕ�×é¥F§³�,�kÌk�¡¦I§¡�+¦;�^�U�^ `§¡ `� ]^�,�^à ¿^©^�k�¡���±¬3�K�ß©^§ .u§¦I�A©k�uÜ¡¤w�Þ§ ½

µ#GÕ¶Ö � µ,GÕ�× � 000000p7 p: p�" Ï µ¶®& µ¶­ µ�­

000000 �0000 Ï µ¶®µ�­ µ�­ 0000 p7 µ 0000 " µ¶®& µ�­ 0000 p: � 0000 " Ï& µ�­ 0000 p�

� µ & p7 µ Á Ï p: µ N p�{x¦;�P¥F§ Ë ¦{�o§¡Ã!��Æ � ½wÉ �uÊkË ¦I�A©k�oÜ¡¤w�{�Ò���o�k�A¬t�h�

��� � � � � Á­ O µ GÕ¶Ö � µ#GÕ�× O � Á­ µ & � ì � µWÁ Ï � ì � µ N � ì� Á­ ï ® & ��Á Ï[Ï � &6"�� Á­ ï ­ Ï[ÏW� ° ï ­ À

&�' Ý'È& � 037��f."6glÈ9l iY<C.+% #P8�9ä6+7�8�9t.=<C2NYO�QAR²SUT |IRl_CX%d[OeQKrob[\,X�pV � V<;�p7 � V<= p: � V�� p�Þx pZ � Z�;Vp7 � Z�= p: � Z � p� x pq � q ;Vp7 �q = p: � q � p� À i+\,O��ÒR´|Cb�SoR^|IR�\UOes�Oe_Cb[��p

pV � pZ � pq � � V<; Z�= q � µ Z � q = � � V<= Z � q ; µ Z�; q � � � V�� Z�; q = µ Z�= q ; � �

Page 74: MATEMATIKA 1

[2.3] 2.3. VEKTORSKI I MJEŠOVITI PRODUKT VEKTORA 69

V<; 0000 Z = Z �q = q �

0000 µ V<= 0000 Z�; Z �q ; q �

0000 � V�� 0000 Z�; Z�=q ; q =

0000 Ài=\,O��ÒR´rUb[�!OpV � pZ � pq � �

000000V<; V = V��Z�; Z = Z �q ; q = q �

000000 �h� g¢���[�

X�roRmc(aC\UbAc�SUO � bkd^O �³Le�2D � �"J � J ; ? �>��� � �Kg�YQ^b ��X`Q3]jX`suQ3X � Rl��c,Oe_CX`�!b�d[OeQKrob[\,O�Tæ��c,O0�UbkdfXjrUb[� z \,bt|;TCQKroT�p:b[_C|IRàrob � _IR^s�X|CR�S,�Òb�T�|COerUO�\,�ÒXj_IR^_KroX�QlbAc,b[�Ôc,O$|CO�I_CXj\oR^_/��c,O �UbkdfXjrUX z \,bt|CT;Q3rP|;dlR z T;roR � R^�!X �c,Oe_CX`]jX%\,OeroQlO^g �+\,X c,O�|;_Cb[S,r�|COerUO�\U�!X`_CR^_KroO´SUO´rUX`�!O�_CX c,O z \Ub[�!X c,Oe_CX`]`R;g$i=\UOe��R³rob^�ÒOT���c,O0�UbkdfXjrob^� z \Ubf|CTCQKroTãS,�ÒX c,O��!b���X`Q3]jX`suQ3X � R^�!X c,O�_;XjroX d[O�QKrUb[\UOlg � SUX`� rUb ?KRÒS*d[O �c,Oe|C_Cb�c,O�TßQlbAc,O�� z b[\,OeroQ3T z X��,O��!b�SUQAR^]�Rl\U_CX z \Ubf|CTCQKrFp z R�df\UX c,O�|CXpV � pZ � pq � � pZ � pq � pV � � pq � pV � pZ � �� pV � pZ � � pq �� pZ � pq � � pV �� pq � pV � � pZkÀ� |IRAro]`O´S,O´dtXj|CXn|IR²b[S,X`� ��X`Q3]jX`suQ^O � R^��c,Oe_CO^p X � _IR^Qlbmd^O � X � TÄ��c,O �UbkdfXjrUb[� z \Ub �|;TCQKroT��!b[}eO��!bWS*ruRFdfXjrUXIaCX`]jb�QlRlQ^bCgUW�RlrUb$SUOPTC��c,OeS,rUb pV � pZ �[pq � s�OeS,rob z X��,O�� pV x pZ x pq�� À,H� E � � �fB ; @C?m@IEG�fE�� ; J ; � � @�� ; ?AJ A �Â��J ; JG?A@C�çJ � �� @C?m@IE��fEG� ; J ; � � � i1b[�!b�>�T ��c,O �UbkdfXjrUb ? z \Ubf|CTCQKruR��!b[}eO��!bà\oR^seTC_IRlrUX5d^b[]`T;�ÒOe_z R^\oR^]jO�]jO z X z Oe|IRP\UR � R z O¡rob ?�S�ro\,Xfd^O�QKrob[\UR pV x pZ x pq g �1b5c,O5roX c,O�]`bPs�X cUR=c,O(aCR � R z R^\oR^]jO �]jb ?[\UR^� \oR � R z Oer=Snd^O�QKrob[\,X`�ÒR pV$X pZ x^z Rl\oR^]jO�] �

a

bc

v

→→

!#" $&%('*),+.- �Z/ �,'59a' " 35" 3�5$ 53 5

b#?[\oR^�!X{\oR � R z O¡roX�S(d^O�QKrob^\UX`�ÒR pV�X pq bf|C_Cb[S �_;b pZ´X�pq S,Tç��T S*ro\UR^_CX��eO^p1X � RlroXj� c,OÒ|Cb z �T;_Ac,O�_Cb�S+c,b �Pro\UX"S*ro\oRl_CX��eO z R^\UR^]`Oe]`_CO$bkdfX`�ÒR� dfX`|CXlSU]`XjQ3T � gj� � �¡g �+b[]`T;�ÒOe_ z R^\UR^]`Oe]`O z X z O�|IRc,O � � Ö � � x?^|Ac,O:c,O Ö z bkdf\ �,X`_IR�aIR � O^p R � dfX`SUXj_IR;g=i�b^df\ �,X`_IR´aIR � O:c,O Ö � O pV � pZ�O3À���X`S,X`_IRPc,O� SU]qg � g¢� � � � � O�pq OFO 143+5 ( O x ?[|Ac,OPc,O ( Q3T;r�X � �!O�| � T pq X pV � pZ � SU]hg � g¢� � �±g��bmd^bAc�Gb^\U��TC]jXK�Òb^\oRÝ|Cb*>eX;R z SUb[]jT;ro_CRPdf\UX c,O�|C_Cb^S,r�O 1 3+5 ( O x c,O�\Ic,O:dfX`S,X`_IRÝT;dfX c,OeQ z b � XjroX¢df_IR;p|;b[Q 14365 ( �!b[}�O�a;XjroXÞX z b � XjrUXjdlR^_²X�_;O ?KRlrUXjdlR^_ � RlQ^b�c,O ( rUT z X Q3T;r±�±g"�%R^Qlb�c,O� � O pV � pZHOFO pq OFO 143+5 ( OfÀi=\,O��ÒR �q� g � ��_IR�S,ro\eg õ �tp

pV � pZ � � pq � O4pV� pZ�OFO pq O 1 3+5 ( À

Page 75: MATEMATIKA 1

70 2. VEKTORI [2.3]

i+\,O��ÒR�rob[�!O��Gb[\U��TC]�R � R�d^b[]`T;�ÒOe_�c,O� � O pV� pZ � � pV O x �h� gj���[�

bt|C_;b[SU_Cb;p z b^�Òb�>�T/Q^b^� z b[_COe_3rUX�d[OeQ3rUb[\oR� � O 000000

V<; V<= V��Z�; Z�= Z �q ; q = q �

000000 O3À �h� gj� � �

�5R^_Ac,SUQlO � R#?[\UR^|CO � _CR^s�OW|IR�ro\,O�aIR�T � O¡roX"R z SUb[]jT;ro_3T/dt\,X c,Oe|C_Cb[S*rÝ|COerUO�\U�!X`_CR^_KroO^g� ?AJ��³L��3?Ò� �N\ , � Ì��,�f«¡¬f�{�^�q¤$©^�A ¨¬fÃ�§¡� ¦;�^�,�^ `§¡ `§ª¦{¤ ¦I§U¿K�Â�,�kÌk�¡¦I§¡�¯� ]ç©^§u�A�ª�A�¡¤wÃ!� pV �µ & p7 � " p� pZ � ­ p7 � " p� ¤ pq � > p7 µ N p: �è­ p� À¸¶¹[º[»Kº^¼t¹[ºK½

000000µ & Ï "­ Ï "> µ N ­

000000 � µ & � 0000 Ï "µ N ­ 0000 µ Ï � 0000 ­ "> ­ 0000 � " � 0000 ­ Ï> µ N 0000 � µ�­[° & À� �A�A `§ Ë � � ­[° & À

� �KL�� � � � � ; E�@CB�@C?AB � D � JW�R�rU\UXCd^O�QKrob[\URWQlbAc,X ]`Oe}�OÝT�c,Oe|C_CbAc=\oRFdf_CX`_;XhpKX`]jX;S,T�S+_Ac,b[� z R^\oR^]jO�]j_CXhplQlRl}�O��!b$|IR$SUT� � � ; EG@IB�@;?lB�J g ? � |CXjSUQ3TCSUX c,O�b�d[b^]`TC�!O�_3T z R^\UR^]`Oe]`O z X z O�|IRWSUO�dfX`|;XÞ|IR�rU\UX d^O�QKrob^\oR]`O�}eO:T(c,O�|;_CbAc1\oRFdf_CXj_CXhpmX`]jX[SUT�S1_mc,b[� z R^\UR^]`Oe]`_CXqpmR^Q^bYXfSUR^�!b¶R^Qlb+c,O5_Ac,X��;bmd���c,O0�UbkdfXjroXz \Ubf|CTCQKrnc,O�|C_CR^Q³_3TC]`Xqg=i=\UOe��R�rob^�ÒO�T;dFc,O¡rYQlb[� z ]�R^_CR^\U_Cb^S,roX3c,O

pV � pZ � � pq ��Ï x �h� g � [�bt|C_;b[SU_Cb z b�Q^b[� z b^_CO�_KruRl��R

000000V<; V<= V��Z�; Z�= Z �q ; q = q �

000000 ��Ï À �h� g � �k�

Page 76: MATEMATIKA 1

[2.3] 2.3. VEKTORSKI I MJEŠOVITI PRODUKT VEKTORA 71

� ?AJq��L��3?����N\� � Ì��,�f«¡¬f�{�^�q¤��+�h�A�K��¿K�¶©^§u�A�¯�A�±¤ pV � µ¶® p7 ��@ p: � & p� pZ � µ p7 µ�­ p: � " p�¤ pq � � p7 � p: µ ® p� Î�¬;¿^¬²�K�Aö¦{ ¢�^�{�^�¡�I¤ ½¸¶¹[º[»Kº[¼f¹[º3½000000µ¶® @ &µ�Á µ�­ "� Á µY®

000000 � µ¶® � 0000 µ�­ "Á µ¶® 0000 µ�@ � 0000 µ�Á "­ µ¶® 0000 � & � 0000 µWÁ µ¶­­ Á 0000 �?"ON � µæ®+@ À� Ì�Ìk�Aâf� ¥F§¡©A�³¿K�²¿f§¡�¯§¡�±Ã´¤w�{�^�I�h�³Î�¬;¿f§=¥F§U¿^�{�A�^�Ò�I¬f ¨¤1�¡ ¨¤ ¥F§U¿^¤�� � ð ëð�� À� ?AJ A �Â@�� ��R � R z \,X � �!O:c,O z b^]`X�?^b[_�gni�b[]`XN?[b[_³S,O��!b[}eO�\oR^S*ruRFdfXjroXÞ_IR�rU\Ub[Q3T;rUO^g3d^RlQlR�S,O z \UX � �ÒR;p[|IRlQf]jO^p[�!b[}eO(\oR^S*ruRFdfXjrUX;_IR�ro\,b[S,rU\oR^_;O

a

bc

→→

!#" $&%('U),+.- �#/��29`7 0K6 9`'�� ' 9c$ � �V'

z \UX � �ÒOlg �1\,b[S,rU\oR^_IR z \UX � �ÒR�c,OWroX c,Oe]`b!QAR^b�_IRÒSU]hg � g¢� ô g�PR � R z O¡ruRÝc,OYS�ro\,X{d^O�QKrob^\oR[pV x pZ x pq À2�YS z b^\UO�|;a b[��SoR�SU]hg� gj� � dfX`|;X[SUO+|IR1c,O=ro\,b[S,rU\oR^_IR z \,X � ��R�rUX c,O�]jb(T z b[]�R(�ÒR^_ �c,O0? d[b[]jTC�ÒOe_IR _CO ?^b z Rl\oR^]jO�]`O z X z O�|ó\UR � R z O¡r/S�XjS,rUX`�d^O�QKrob^\UX`�ÒR;g�i=\,O��ÒR�rob[�!O�d^b[]`TC�!O�_ z \UX � �!O�\oR � R z OerUOS�d^O�QKrob[\,X`�ÒR[pV x pZ x pq c,O� � Á­ O

000000V ; V<= V��Z ; Z�= Z �q ; q = q �

000000 O3À �h� g �[� �

� JG?A@C�çJ � @�� �+b[]`T;�ÒOe_ z X`\UR^�ÒXj|CO+c,O� � Ö �® x

?[|mc,O�c,O Ö z bkdf\ �,X`_IRÝaIR � O^plR � dfXjSUX`_CR;g �(R � R

a

bc

→→

! " $&% 'U),+.- -,/��#3(6 9a' 3 5 ' 9

z X`\oRl�ÒXj|CO$c,O z b[]jX�?[b[_ÞgÂi�b[]`XN?[b[_çS,O²�Òb^}�O³\UR^S �roRFdtX¢roXI_IR$ro\,b[Q3T;roOlg*fdlR^QAR�S,O z Xj\oR^�!X`|CR;p[|IR^Q3]jO^p�!b[}eOY\UR^S,roRkdfX¢roX{_IRWrU\Ub[S*ro\oRl_CO z Xj\oR^�!X`|;O^g �1\,b[S �rU\oR^_CR z X`\UR^�!X`|IR²SUO � bkd[O³� � � ?m@C� � @C? g ��OerU\oR �Oe|IR^\=c,O�roX c,O�]jbÒ\UR � R z OerUb³SYrU\UX"d[OeQ3rUb[\oRtp�s�X c,O�S,TS*ro\UR^_CX��eO�ro\Ub^QfTtroX \oR � R z OeroXIS z b�|;dlR$bt|!bkdlR$rU\UXd^O�QKrob^\oR;p RÒs�Oer,df\,ruR³S*ro\UR^_CX���R$c,O�rU\Ub[Q3T;r�s�X c,X"S,Tdf\L�CbkdtXtT z \URkd^b¶df\ �CbkdfX;bkdfX���d[O�QKrUb[\oR � SU]qg � g¢� õ �±g��R � R´roO¡ro\oRlO�|C\UR¶c,O z b[]`bkdfX���R�aIR � O z R^\oR^]jO�]jO z X z Oe|IR�\oR � R z Oerob#?!SÝXjS,roXj��d^O�QKrob^\UX`�ÒR;pR!dtXjSUXj_IR�rUOerU\oR^Oe|C\oR$c,Oe|C_IR^QARÒdfXjSUX`_;X z R^\oR^]jO�]jO z X z Oe|IR;gPi=\UO��ÒR!�Gb^\U��TC]jX � RÒd^b[]`T;�ÒOe_

Page 77: MATEMATIKA 1

72 2. VEKTORI [2.4]

z X`\UR^�ÒXj|CO�S,]`X c,O�|CXqpÞ|IR�c,O��Gb[\,��TC]�R � R³d[b[]jTC�!O�_àroO¡ro\UR^O�|C\UR²\oR � R z O¡rob ?/S�d^O�QKrob[\,X`�ÒRpV x pZ x pq

� � Á& O000000V<; V<= V��Z�; Z�= Z �q ; q = q �

000000 OfÀ �h� g � � �

� ?AJ��³L��3?Ò� �N\E� _ �oâI�A©k¤´�¯§¡���,�f§U¿^�,�ä�¡¬ qÏ x Ï x Ï �±x Á^x Ï x Ï �±x qÏ xFÁ[x Ï �±x qÏ x Ï xFÁ � À�Ñ �o§�Îu��{� .¡¤n©^�A ¨¬tÃ�§¡� ½¸¶¹[º[»Kº^¼t¹[ºK½�ñ �o§¡Ã!�YÅF�A�¡Ã´¬f ¨¤�Æ � ½ �� Ê� � Á& OZp7 � p: � p� � O � Á&

000000Á Ï ÏÏ Á ÏÏ Ï Á

000000 �Á& À

&�' Ý'! "�037�� ��7�[gRW�R�d[OeQ3rUb[\UO pV � p7 � p: x pZ � µ p7 ��­ p: x pq � ­ p7 ��® p: � p� _CRF>�X

�� pV� pZ x � � ­ pV � ® pZ � � pV µ pZ � � pq µ pV �� � pZ µ pq � � ­ pV � � pV ��® pq � � pZ x � � pV � " pZ � � O pV O pZ � O�pq O pV � À

� g��¶Qlb!rUO�}�XN�U_CXN��O�rU\Ub[Q3T;roR�rU\oR^_CS,]�RlrUX`\UR^�Òb;pf|;b[aCXjdlR^�!b�ro\,b[Q3T;rFg*TPb[]`XjQARÝc,O z b^df\ ��UXj_IR�rob ?�_Cbkd[b#?!rU\Ub[Q3T;roR �[� Q^bAc,Oe�Ôc,O$b[��c,O�\UT z \,O��ÒR z bkdf\ �,X`_CX S*ruR^\,b ? �

� gPN¶RF>eX z bmdf\L�UX`_3T/ro\,b[Q3T;ruR�S�dt\L�CbkdfX`�ÒR �� " x " x±­��¡x ­tx " x±­��¡x ®;xu®;x & �¡x � � �" x�µ�­tx & �¡x �& xFµWÁ[x > �±x °fx Ï x±°�� À

ô gPN¶RF>eX z \Ubmc,O�Q#�eX c,T/d[OeQ3rUb[\oRMpV� pZ � pq � _IR´d[OeQKrob[\ pZ x RlQ^b�c,O pV � p: � ­ p�{x pZ �­ p7 � p: µ p� x pq � ­ p7 � p: � p� Àõ g9? � \UR^s�TC_CRlroX d[b^]`TC�!O�_�roOerU\oR^Oe|C\oR!SPdf\L�CbkdtXj��R Õ �! Á^xFÁ[xFÁ��±x Ö �! ­fxFµ�Á^x Ï �¡x× � ®;xFµWÁ[xFµWÁ��¡x Ø � Á[xFÁ[xo®�� À ? � \oR^seTC_IRlrUX(dfX`SUXj_3T�X � dt\L�IR Ø _CRÄaIR � T./Õ�Ö�× À

!��� � #%�P� � � �ç#n�Ý����� �²�&�' �P',) -à<;2�6*k:l # <C2"6+'Rl('Rl� ?m@C�C@IH ��? ��A[� �"JML�� ���>= � �i+\URFd^RZ�Pc,O � R^|IR^_ãS�|tdtX c,O�\UR � ]jX`s�X¢roO�robfsuQ^O�� � vED%xoyFD�� XV� � vCBnxoyFB�� À ? � SU]jX`QlO� gj� @ßSUOÒdtXj|CX5|IR;p � RZ�3dlR^] c,TAc,T&>eX:S,]`X`se_Cb[S*roX=ro\,b[Q3T;ruR . �HX � X . �JY�� x Q^bfb[\U|CXj_IRlrUO

Page 78: MATEMATIKA 1

[2.4] 2.4. PRAVCI I RAVNINE 73

z \Ub[X � d[b^] c,_CO�rUbtsuQlO � �� v"xUy � _IR z \URFd ��TßQ3\Ub � � X�� � R^|Cbkd[b[] cURFd^Rkc,TvÒµçvEDvCB/µçvED � y�µ y Dy<B²µ yFD À

� |IRlrU]`OnS,]`X c,O�|CX L�� � B"@ ��� � @ ; ?A@C� H[@ ��? ��A

x

y

xP

yP P

Q

xQ

yQ

x

yT

O

R S

! " $&% 'U),+.- �,/ �29`' � '� %59`7 � 5 � $ ��3 687�5% 3

� �"JML�� ���>= � �y�µ y D � yFB/µ y DvCB�µçvED v�µçvED � À

�h� g � ô �� ?AJq��L��3?����N\ � Ó$�¡¦{¤`���^��¤ ¥F§U¿^�{�K¿ABkÎ�¬!¦{�,�^©^£U�Ò�K�¯¥±¤ ¦{�o�A ¢�kÌ�¤5�¯�k«u�^�^Ã!� � � ­txFµY®��¡x� �� µWÁ[x " � À¸¶¹[º[»Kº[¼f¹[º3½

y�µ µ¶®�� � " µ µY®��µWÁÝµä­ v�µæ­��±xy���® � >µY® v³µæ­��y � µ >® v�� °®

� � D ; EqJ�HKJ � B1J ��� E�J8�/L�� � B"@ ��� � � ; ?m@C� H[@�^Oe|IR^_C|;}�aIR z \oRFd ��R!X � z \UXj��c,Oe\oR � g � �Pc,O�b[aC]jX`QAR

y � V v�� ZkÀ �h� g � õ �� dlRmcPb^aC]`XjQWc,O�|C_CR^|C}�a{O z \URFd �FRÒSUO � bkd[O ��� D ; E�JqHKJ � B�J g TWRl|�SUO�S,roRkdfX v � Ï x b[_C|CRc,O y � ZkÀ W�Rlrob�SUOWZ � bkd[OH�>� DhL�� = @4� B"@ � DFJ y g� ?m@C�C@IH ��? ��A��F� = � � D�@ A @ � @IB�J�� � � ���%HKJ�L��fB ��� � D��³L��3?m@T$R^| S,O!Tã�Gb[\,��TC]jX �h� g � õ � v z \,b[�!X c,O�_;X � R�� v"x b[_C|CR�S,O yßz \Ub^�ÒX c,O�_CX � R�� y x�z RXj��Rl�Òb y�� � y � V v�� � v �"� Z xbf|C_Cb^SU_Cb y�� � y � V v�� V�� v´� ZkÀ

Page 79: MATEMATIKA 1

74 2. VEKTORI [2.4]

WÞa b ? �q� g � õ ��SU]jX c,Oe|CX� y � V � v bt|C_;b[SU_Cb � y

� v � V À? � S,]`XjQ^O � g¢����SUOÝdtXj|CXC|IR�c,OPV�ruRl_4?[O�_;S:Q3T;roR ( �,rUb�?KR z \URFd^RZ� � RlrUdlR^\UR$S z b � X¢roX¢dt_;X`�|CX c,Oe]`b[��b[SUX v À

�1RmcPQ3T;r¶bt|;\UO�| � TAc,O�S,��c,Oe\ z \oRFd ��R�X � RlrUb�S,O

x

y

x

y

y

T

T’

x+ x

y+

x

y

O

∆ϕ

!#" $&%('*),+.- �Z/ � 7�3�� � $ � 3 � 6 0 ����359a' 9`' ��r'

V � bkd[O � � ���nHKJML��fB � DF�³Le�f?m@ ; ?m@C� H[@ gUTYbfO ���X c,Oe_Kr�S,��c,Oe\oR z \oRFd ��R � Rl|IR^_Cb ?ßS�|;dfX c,O!rUbtsuQlOc,O^pKQAR^Q^b$S,O(dtXj|CX;X � \oRl_CX c,O(S,]`XjQ^O^pec,Oe|C_IR^Q =�� L =��;�� L ;�� À�¶Q^b�c,O�b^_ � R^|IR^_�p{b[_C|CR!_IRl� ro\UOeaIR�c,b#�PSUR^�!bc,O�|C_IRãrobfsuQAR � � vED=xoy D�� |IR z \URkdlR#��aCTC|;Oz b^r z TC_CbÂbt|;\UO�| �ÈO�_�g � rob^� S,]`TCs�Rmc,T _Ac,O0?[bkdlRc,O�|C_IRl|C}�aIR¶c,O

y�µ yFD � V vÒµçvED � À �h� g � @K�� dlR:c,O�|;_IR^|C}eaIR�S,O � bkd[O Le� � B"@ ��� � @ ; ?m@C�ÞH[@E��? ��A L�� � B � ���>= � � D�@ A @ � @CB1J��� � � �%HKJML��fB �F� � DF�³L��3?m@ g� ?AJ��³L��3?Ò� �N\��ÔÓ��¡¦{¤`���^�q¤ ¥F§U¿^�{�K¿ABkÎ�¬²¦{�U�^©^£U���A�o��Ì��ª�k«u�A¬ � � °txFµWÁ�� ���K�k§�(£¡¤ �¥F§¡�I�¯�Aà �¡Ã(¥F§¡�,� V � ® À¸¶¹[º[»Kº^¼t¹[ºK½

y�µ µWÁ�� � ® v�µä°�� I y � ®=vÒµóÁ & À � ; E�JqHKJ � B�J � � E�JK�/L�� � B�@ ��� � � ; ?m@�� H[@�¶Q^bæS,OãTçc,Oe|C_IR^|;}�aCX z \URFd �FR S*dtX�se]�R^_;bmdfX z \UO�aCR#��Oã_IR ]jX c,OedfT S*ro\UR^_3T�p¶b[_;|IR _IR|CO�S,_CbAcÝb^S,ruRkc,O Ï À � z >�Oe_CXjrUb¶c,O�|C_IRl|C}�aIR´ruRl|IR´X � ?^]`O�|CR�bmdlR^Qlb

Õ v´� Ö y�� × ��Ï À �h� g � �^�� dlRYc,O�|;_IR^|C}eaIR!S,O � bkd[O Jq� ; E�JqHKJ � B�J ��� E�JK�/Le� � B"@ ��� � � ; ?m@C�ÞH[@ g, ��� ��� ?ÒB � ?A� @CE�� ; ?m@C� H[@�¶Q^bÒT � �!O��!b!|;dfX c,O�robfsuQ^O�_IR z \URFd ��TP� � vEDnxoy D � X�� �! vCBnxUy<B �±x b[_C|IR � a{b ?�h� g � �[�5df\,X c,O�|;X

Õ vED�� Ö yFDÒ� × �ÐÏ x Õ vCB�� Ö y<BÒ� × � Ï À

Page 80: MATEMATIKA 1

[2.4] 2.4. PRAVCI I RAVNINE 75

� |Ca;X c,�!b´bmd^O�c,O�|C_IRl|C}�a{OÕ vCB/µ vED � � Ö y<B²µ yFD�� ��Ï À

��b � _IR^seX |IRYc,O�d[O�QKrUb[\p � Õ p 7 � Ö p: �h� g � �K�

b^Q^b[�!Xjr1_IR¶d[OeQKrob[\ vCBYµ�vED � p 7 � y<B�µ´y D � p: À � d^Rkc z b[S,] c,Oe|C_Ac,Xmc,O5d[OeQ3rUb[\=Q^bmc,X;S z RmcUR|tdtX c,O²robfsuQ^O�_CR z \URFd ��TÞp z R�c,O z \,O��ÒR rUb[�!O³d[O�QKrUb[\ÒS,��c,Oe\oR z \oRFd#�FR;g Yb[aCXjd^O�_CX\,O � TC]jroRlr z b[QAR � Tmc,O³|IRàSUTæQlbtO� ��X c,O�_KroX Õ X Ö T Xj� z ]jX��eXjro_;b[�Ûb[a;]`X`Q3T�c,Oe|C_IR^|;}�a{Oz \oRFd ��R¶SUQAR^]`R^\U_CO+Qlb[� z b[_COe_KroO+d[O�QKrUb[\oR;p^Q^bAc,X�c,O5b[Q^b[�!Xjr"_CR z \URkdlR#�lg�W�RlrUbÝSUO:d^O�QKrob^\�q� g � �K� � bkd^O �{��� �F� ?³B � ?A� @IEG� ; ?m@�� H[@ g� �"� J A � � � � � � �;@ ; ?m@C�ÞH[@T�T;r�X � �ÒOe| �hT²|;dlR z \URFd �FRPc,OYQ3T;r�X � �ÒOe| �ÈT³_mc,X��CbkdfX��!d[O�QKrUb[\oR�S,��c,Oe\oR;ptX`]`X �*robPc,O¶X`S,rUbCpX � �!O�| �hTß_Ac,XN�CbkdfX��²d[OeQ3rUb[\oR�_Cb[\,��Rl]�R;gV �R^Q3]`Olp R^Q^b!SUT�|IR^_CX z \oRFd �eX

Õ ð v´� Ö ð y$� × ð � Ï x Õ ì v´� Ö ì y�� × ì � Ï xR ( Q3T;rPX � �!O�| � Tß_mc,X���pCb^_C|IRYc,O$Q^b[S,X`_3TCSÝQ3T;ruR�X � �ÒOe| � T�_Ac,X��/|IR^_/�Gb[\,��TC]`b^�

143+5 ( � Õ ð Õ ì � Ö ð Ö ì Õ ì ð � Ö ìð Õ ìì � Ö ììÀ �h� g � � �

� �3Le� � � � � � J �F� D � J � � �3L�� � ; @C?m@IEG�fEqB � D � J �%DhL��fHKJ D � �? � �Gb[\,��TC]jO �h� g � � ��S,]`X c,O�|CX>� �3L�� � � � � � J �F� D � J

Õ ð Õ ì � Ö ð Ö ì � Ï Ài=\oRFd#��X SUT z Rl\oR^]jO�]`_;XhpfR^Q^b´S,T/_Ac,X��CbkdfX d^O�QKrob^\UX�S,��c,Oe\oR�Q^b^]`X`_;OFR^\,_CXhg%NYbCpfruR^|IR�S,TX{d[OeQ3rUb[\UX _;b[\U�ÒR^]`OYQ^b[]jX`_CO�R^\U_;Xhp3r�cegtdf\,X c,O�|;X Õ ì p 7 � Ö ì p: � � Õ ð p 7 � Ö ð p: �¡x bt|;_Cb[SU_;bÕ ì � � Õ ð X Ö ì � � Ö ð � |IRlrU]`O�S,]`X c,Oe|CX>� �3L�� � ; @;?A@CE��fE�B � D � J

Õ ì Ö ð � Ö ì Õ ð À YdlR z \oRFd#�FRÒS,O$SUX c,OeQ3T�p R^Q^b z b[S,rUbAc,X�\Gc,O0�UOe_Ac,O�S,TCS,roRFd^R�c,O�|C_CR^|C}�a;X

Õ ð v�� Ö ð y�� × ð � Ï xÕ ì v�� Ö ì y�� × ì � Ï

Page 81: MATEMATIKA 1

76 2. VEKTORI [2.4]

X�T�rUb[�òS,]`TCs�Rmc,T�\Gc,O �,O�_Ac,O v � xUy � � c,O$_Ac,XN�Cbkd[b DÈL��fHKJKD � � gtR^|IR´�Òb^}�O��!b�|IRAroX ?[Oeb[�!Oero\,X c,S,QfT�X`_KroOe\ z \,OeruRZ��X c,T � R^|IRlrUQAR��ª\UX c,O �UX¢roX{SUTCS*ruRFd²bf||;dfX c,O�c,Oe|C_IR^|;}�a{OàS³|;dfX c,Oß_CO z b � _IR^_CXN��O��og T$R^b �*robçdfX`|;X`�!bCp"c,Oe|C_IR^|C}eaIRçS³|;dfX c,O_CO z b � _CR^_CX��eO z \UOe|CS,roRFdt] cUR;pmT$Q^bfb[\U|CXj_IRlrU_Cb[��SUTCS*ruRFdfT�T$\oRFdf_CXj_CXhp,c,Oe|C_IR^|C}eaCT z \oRFd ��R;g�PX c,O �UX¢roXKS,TCS,roRkd�bf|�|;dfX c,O�c,O�|C_CR^|C}�a{O(S1|;dfX c,O�_;O z b � _IRl_CX��eO^p z \,O��ÒRPrUb[�ÒO � _CR^s�Xf_IRF>eXrobfsuQfTÞp[Q^bAcUR�]jO�}eX;_IR¶b^aIR z \URkd#�FR;g �¶Q^b�S,O z \URkd#��XCS,X c,OeQfTÞpKb[_C|IR¶Xj��Rl�Òb%c,O�|;_fT´rUbtsuQ3T� c,O�|;_Cb³\Gc,O0�UOe_Ac,Ok�±g=�¶Qlb²SUT z \URkd#��X z R^\oRl]`O�]j_CX X%_;O z R^|;_fTãS,Q3T z R;p�b^_C|IR�_CO z b^S,robmc,XruR^QKdlRÒrobfsuQAR � _;O z b[S,rUbAc,X1\wc,O �,O�_Ac,OF�¡g �¶Qlb²SUO�\oR^|CX1b$c,Oe|C_Cb[� |;d[b^S,ro\,TCQ^b^� z \URkd#��T� c,O�|;_IR^|C}ea O z \UO�|;S,ruRFdf] cURkc,T�c,Oe|IR^_�rUO(X`S*roX z \oRFdlR#�k�±p[b[_C|CR+c,O(S,dlR^QAR¶rUbtsuQAR¶_IR5c,Oe|C_Cb[�z \oRFd �eTÒTmc,O�|C_Cb$robfsuQAR�_IR�|C\UT?[b[� z \oRFd �eT ��z b[S*robAc,XCa{O�S,Q^b[_CR^s�_CbW�!_Cb ?[b�\wc,O �UOe_AcURK�±g

� ?AJ��³L��3?Ò� �N\ �ÔÓ�� .¡¤1�G¥F§u£¡¤`Ü¡�¯§�¦{�U�^©A�f£U� °%vÒµ�Ám­ny�µ�Á &W� Ï ¤ ®=v�� " y�µ�Ám­ � Ϥn�{� .¡¤%�A¬t�5Ã�§�¿ �Ȭ��F¥±¤wÃ!� ½¸¶¹[º[»Kº^¼t¹[ºK½�Ñ �o§�Îu�Ò�±¤ ¥F§uÜ¡¤w��¤1�¡¬K�¡�È�^©°nvÒµóÁm­ny � Á &®=v�� " y � Ám­

Ø � 0000 ° µWÁm­® " 0000 � ° � " µæ® � µWÁm­�� � ° &Ø ; � 0000 Á & µ�Ám­Ám­ " 0000 � Á & � " µ Ám­=� µWÁm­�� � ­ Ï+N

Ø = � 0000 ° Á &® Ám­ 0000 � ° �KÁk­�µç® �KÁ &�� Ám­¾ ¿K�^�q `§ v � ì

��x{y � ëð � Àe �k�¡¤w�I¬K���A¬f�È��¤¢Ì�Ã�§�¿ �h¬!¦{�,�^©A�f£U�Ý¥F§

143+5 ( � °=�m®Y� µWÁm­�� � " ° ì � µWÁm­�� ì ï ® ì � " ì � µ ®[®& ° � µ Ï À ° Ï+>6& @K­ À

ñ �o§¡Ã!�Ò�ª�AÃ�§��A¬f�{¥F§ ( � ­ À Á Ï ®^® ¬ß�U�K¿^¤ ¥e�^�I¤wÃ!� Ë � Ám­ Ï À °tÁ * ¬/�¡��¬k¦{�F¥F§¡©k¤wÃ!� ½�E� @IEML��fB � D ���F� = � � � � ; ?m@C� H[@�Y|IR^] c,O�_Cb^S,r�robfsuQ^O � ð bf| z \oRFd ��R ´c,O$|CTC] c,X`_IR z \UbAc,OeQ#��X c,OWd^O�QKrob^\oR�Q^bAc,X"S z RmcUR´aCX`]jbQ^bAc,T�robfsuQfT z \oRFd ��R � � X robfsuQ3T � ð _IR z \oRFdlR#�WQf\,b � d^O�QKrob^\¶_Cb[\,��Rl]`OEpÄ_IR z \oRFdlR#�� SU]qg � g¢���´_IR´S,rU\�g � �[�±gNPO�QAR²c,O Õ vß� Ö y�� × � Ï c,Oe|C_IR^|;}�aIR z \oRFd ��R x XÝ_CO�QAR²c,O�|IR^_CRÄrobfsuQAR� ð �� v ð xoy ð � T/\URkdf_CXj_CXhg ? � R^a{O�\,O��!b z \Ub[X � d[b^] c,_3T³robfsuQ3T � � �� v � xoy � � _IR z \URkd#��T À �Y|CR^] c,Oe_Cb[S,r�rUbtsuQlO�� ð bt| z \URkd#�FR ´c,O

� � 0000 µlµ0G� � � ð � pO8p O0000 � 0000 v ð µçv � � p7 � y ð µ y � � p: � � Õ p7 � Ö p:ï Õ ì � Ö ì

0000

Page 82: MATEMATIKA 1

[2.4] 2.4. PRAVCI I RAVNINE 77

� 0000 Õ v ð µçv� � � Ö y ð µçy � �ï Õ ì � Ö ì

0000 � 0000 Õ v ð � Ö y ð µ Õ v � µ Ö y � �ï Õ ì � Ö ì0000 À

��bfsuQlR � � ]`O�}eXI_IR z \oRFd �eT�p z R(c,O Õ v � � Ö y � � × � Ï x rGceg µ Õ v � � Ö y � � � × À� SUXj� rob ?[R;plQlb[\UX c,O�_�T�_IR � Xjdf_CX`Q3T(c,O�T;dfX �

T0

n

dp

T1

!#" $&%('*)Z+&- �,/��*5 ' " ��3 � 7�086�687�5% 3 765 59a' � �L'

c,OeQ z b � X¢roX¢d^Rl_�p z RWc,O�|Cbkd[b[] c,_Cb³T � OerUX=R z S,b �]jT;ro_3T df\UX c,O�|C_Cb^S,r�aC\,bAc,_CX`QAR;g �%RlQ^bÄX`�ÒR^�Òb�Gb^\U��TC]jT � R$TC|IR^] c,O�_Cb^S,r=robfsuQ^O � ð �� v ð xoy ð �bf| z \oRFd#�FR Õ v�� Ö y�� × �ÐÏ� � O Õ v ð � Ö y ð � × Oï Õ ì � Ö ì À �h� g � [�

� ?AJq��L��3?����-, Ó$� .¡¤=¬;¿K�^  ¥F§¡�Þ�k�¡�+�¯�k«u�K§ � ð �� ®;x�Á�� ��¿�¦{�U�^©^£U� y � µÝv�� & À¸¶¹[º[»Kº[¼f¹[º3½ � ö¦{ ¨¤h£¡¤w���I¤W�^Î� ¨¤`�´¥F§U¿^�{�K¿ABkΡ§�¦{�,�^©^£U�!¥F§ vß� y/µ &æ� Ï À(ñ �o§¡Ã!�Æ � ½ � �uÊ� � O ®Ý��Áݵ & Oï ­ � ­ï ­ � ï ­ À

&(' �P'È& �è2"6+'Rl('Y2 # iY<C.*mK9;.=<)#� @�� B1J�B�@ ��? ��A�� ?lJ �F�>= � ���\UXlrobfsuQ^OU� �� v ð xoy ð x � ð �¡x � �� v ì xUy ì x � ì �±x

P

Q

R

T

! " $&% ' ),+.- �Z/�� ' ���5$ � 'g%59`7 ��6 9d$�687� % 3

X � v ë xoy ë x � ë � T z \,b[S,rUb[\UTæQlbAc,O/_CO/]`O�}eO_CRàX`S,rUb[� z \oRFd#��Tæbt|;\UO�| �ÈTAc,T�c,O�|;_fTæX:SoR^�!bc,Oe|C_3T�\URkdf_CXj_3T�g � � _IR^seX`�!bYc,O$S �WÀ��btsuQAR � � v"xoy{x � � ]`Oe}�X=TÄ\oRFdf_CX`_CX � xRlQ^bWX{SUR^�!b�RlQ^b$d[O�QKrUb[\UX µ�G� � x µ#G�HX x µ�G�H� ]`O�}eOTÒ\oRFdf_CX`_;X �WÀ ��b � _IR^seX |IR(c,OYd^b[]`TC�!O�_ z R^\ �Rl]`O�]jO z X z Oe|IR�\UR � R z OerUb ?�S µFG��� x µ G��X x µ�G���ãc,O�| �_CR^Q³_3TC]`Xqg��1R^Q^b�c,O�|C_CR^|C}�aCRÒ\oRFdf_CXj_CO�Q3\Ub � ro\,X�robfsuQ^O�?[]`R^SUX

000000v�µ v ð y�µ y ð � µ � ðv ì µ v ð y ì µ y ð � ì µ � ðv ë µ v ð y ë µ y ð � ë µ � ð

000000 � Ï À �h� g � �m�

� ?AJq��L��3?����-,��ÐÓ$� .¡¤ ¥F§U¿^�{�K¿ABkÎ�¬��,�^©k�I¤w�Þ§W¬ß�K�¯¥F�¯¥W `§DBA§��ª�k«u�K§ � � Á[x±­txo®��¡x � � µ�Á^x Ï xFÁ�� ¤ X �� ­tx�Á[xFµWÁ�� À

Page 83: MATEMATIKA 1

78 2. VEKTORI [2.4]

¸¶¹[º[»Kº^¼t¹[ºK½000000v³µ Á y�µä­ � µ ®µ�­ µ¶­ µ�­Á µWÁ µ "

000000 �� v³µóÁ�� 0000 µ¶­ µ�­µWÁ µ " 0000 µ y�µä­�� 0000 µ�­ µ�­Á µ " 0000 �� � µæ®�� 0000 µ¶­ µ¶­Á µWÁ 0000 �?& vÒµóÁ��1µóÁ Ï y�µä­�� � " �� µæ®�� � Ï x

��¿^�Þ�k�¡�Þ� & v�µóÁ Ï y¶� " � �è­ �ÐÏ À � ; E�JqHKJ � B�J � � E�JK�/L�� � B�@ ��� � �ã?m@C�"B�JqB"��^O�|C_IRl|C}�aIR�\oRFdf_CXj_CO$T z \,X`��c,O�\,T � g ô �WXj��R�b[aC]`XjQ

Õ v´� Ö y�� × � � Ø ��Ï À �h� g �K� ��%Rmc�b[aC]jX`Q!SUO � bkd[O J�� ; E�J�HKJ � B�J ��� EqJ8�/L�� � B"@ ��� � �ã?m@�� B1J�B�� g, ��� ��� ?ÒB � ?A� @CE���?m@�� B1J�B���¶Q^b�SUT � � vEDnxUyFD%x � D � X*� � vCBnxoyFB%x � B � aCXj]`b²Q^bmc,OÒ|;dfX c,O�rUbtsuQlOÒT \URkdf_CXj_CXhps�X cURPc,O�c,Oe|C_IR^|C}eaIR Õ v´� Ö y�� × � � Ø � Ï x b[_C|IR´df\UX c,O�|CX

Õ vEDÒ� Ö yFD!� × � DÒ� Ø �ÐÏÕ vCB�� Ö yFB!� × � BÒ� Ø �ÐÏ� |;aCX c,Oe�Òb´]jXÞbkd[OW|;dfX c,O:c,Oe|C_IR^|C}ea Olp |Cb[aCX¢d^Rl�Òb

Õ vCB/µçvED � � Ö y<B²µ yFD�� � × �� B/µ � D � �ÐÏ À? � bkd[O��Gb[\,��TC]`O´S,]`X c,O�|CXn|CR´c,O´d[OeQ3rUb[\ Õ p7 � Ö p: � × p� b[Qlb[�!Xjr$_IR²d[OeQ3rUb[\ µ�G��� � vCBÒµàvED � p7 � y<B�µãyFD�� p: � � BÒµ � D � p� À4T$R^Qlb�SUT³rUbtsuQlO��ÔX:� z \,b[X � d[b[] c,_COÝrobfsuQ^OTà\oRFdf_CX`_;Xhp d[O�QKrUb[\ µ�G��� c,O z \Ub[X � d[b^] cUR^_�d[O�QKrUb[\�Tã\oRFdf_CXj_CXhg �1b � _IR^seX%|IR$c,OWd[OeQ3rUb[\Õ p7 � Ö p: � × p� b[Q^b[�!Xjr5_IR�aCX`]jb�QlbAc,X{d^O�QKrob^\(T³\oRFdf_CXj_CXhpfX z \UO��ÒRWrUb[�!OYb[Qlb[�!Xjr:_IR\oRFdf_CX`_3T�g W�RlrUb´SUO�d[OeQ3rUb[\

p � Õ p7 � Ö p: � × p� �h� g � � �� bkd[O �{��� �F� ?³B � ?A� @CE���?m@�� B1J�B�� g

Page 84: MATEMATIKA 1

[2.4] 2.4. PRAVCI I RAVNINE 79

� @�� B1J�B�@ ��? ��A����>= � � D�@ A @ � @CB1J�� � ��� ��� ? � � B � ?A� @CE����bfsuQ^b[� � � �� v � xoy � x � � � T²\URkdf_CXj_CX{X{d^O�QKrob[\,b[�ò_;b[\U�ÒR^]`O p � Õ p7 � Ö p: � × p� c,Oz b^r z TC_Cb � R^|IRl_IR�\oRFdf_CXj_IRWQAR^b�SUQ3T z rUbts�R^QAR�� �� v"xoy{x � � ruRlQ3dfXN�³|IR�c,O µÈµ8G� � � � p%ÀµÈµ G

� � � �� v³µ v � � p7 � y�µ y � � p: � � µ � � � p� À� |IRAro]`O

p � µÈµ8G� � � �ÐÏ xrGceg

Õ v�µçv � � � Ö y�µ y � � � × �� µ � � � � Ï À �h� g � ô ���bÒc,O$c,Oe|C_IR^|;}�aIRà\URkdf_CXj_CO³Q3\Ub � robfsuQ3T � � � v � xoy � x � � � SoR � Rl|IR^_CXj�ád^O�QKrob^\Ub[�_;b[\U�ÒR^]`O p � Õ p7 � Ö p: � × p� À� � @IEML��fB � D �!�F�>= � � �>� ?m@C�"B�JqB"��P|IR^] c,O�_Cb[S*r�rUbtsuQlOàbt|�\oRFdf_CX`_;O!c,O�|C_CR^QAR/c,O

T

Tn→

d0

1

!#" $&%('U),+ ) �Z/ �)50' " � 3 � 7 0K6 687� % 3V7 5�9a' ���5$ � 3

|;TC] c,Xj_CX z \UbAc,OeQ#��X c,OÝS z bAc,_CX��eO(aCXj]`b�QlbAc,O�robfsuQ^OTã\URFdt_;X`_CX1X1robfsuQ^O � ð _IR z \URFd^RZ��Q3\Ub � d^O�Q �rUb[\(_Cb^\U�ÒR^]`OY_IR�\oRFdf_CX`_3T � S,]hg � g � K�¡g�? � d[bf|�pS,]`XjsFR^_�X � d[bf|CT � RÝT;|IR^] c,Oe_Cb[S*r robfsuQ^O=bf| z \oRFd ���R!T�\oRFdf_CXj_CX � S*ro\�g � @K�¡pI|Cbkd^bt|CX |;b!�Gb[\,��TC]jO� RÄT;|IR^] c,Oe_Cb[S*r!rUbtsuQlO � ð � v ð xUy ð x � ð � bf|\URFdt_;X`_CO Õ v³� Ö y�� × � � Ø � Ï x Q^bAcUR?^]�R^S,X

� � O Õ v ð � Ö y ð � × � ð � Ø Oï Õ ì � Ö ì � × ì À �h� g � õ �

� ?AJq��L��3?����-, �ÔÓ$� .¡¤�¬;¿K�^  ¥F§¡�Þ�k�¡�n�¯�k«u�K§ � ð �� Á[x±­tx " � ��¿´�,�^©k�I¤w�Þ§ ­%v¶�ãy��Ä­ � µ"�� Ï À¸¶¹[º[»Kº[¼f¹[º3½� � O ­=�[Á:��Á��A­Ý�è­=� " µ " Oï ­ ì ��Á ì �è­ ì � N® À

&(' �P'! -à<C2"612Uk # i¶<C.*mK9t.+<)#� ?m@C�C@IH ��? ��A[� �"JML�� �F�>= � �� @C?m@I� � � @C?AD � ��L�� � B�@ ��� � � ; ?A@C� H[@�� T�\,b � |tdtX c,OY�!O�| � TCSUb[a;_Cb�\UR � ]jX`s�X¢roO(rUbtsuQlO� ð � v ð xoy ð x � ð � X� ì � v ì xoy ì x � ì �$z \Ub[]`R � X c,Oe|IR^_ X=SUR^�!b´c,Oe|IR^_ z \oRFdlR#� �À� ¶R

Page 85: MATEMATIKA 1

80 2. VEKTORI [2.4]

robfsuQlR � � v"xoy{x � � aCTC|;OÒ_IR z \oRFd#��T x _3TC}e_Cb!c,O�X+|Cbkd[b[] c,_Cb�|IR/d^O�QKrob^\UX µÈµ�G� ð � Xµlµ0G� ð � ì aCTC|CTßQ^b[]jX`_CO�R^\U_CXqpfrGceg µÈµ�G

� ð � � � µAµ G� ð � ì xbt|C_;b[SU_Cb v�µ�v ð � p7 � yYµày ð � p: � � µ � ð � p� � � v ì µ�v ð � p7 � � y ì µãy ð � p: � � �� ì µ � ð � p� À

� |IRlrU]`O�SU]jX c,Oe|CXT

T

T

1

2

! " $&% ' ),+ ) - / �29`' � '� . 59`7 0K687�9�.

v�µçv ð � � v ì µçv ð �y�µ y ð � � y ì µçy ð �� µ � ð � � � ì µ � ð ��h� g � @[�

�^Oe|C_IR^|C}ea O �h� g � @K�Þ�!b[}eO��!b z \,O z XjSoRlrUXKT�b[a �]jX`Q3Tv � v ð � � v ì µçv ð �y � y ð � � y ì µ y ð ���� � ð � � �� ì µ � ð �

�h� g � �^�

�^O�|C_IRl|C}�a{O �q� g � �[�:S,O � bmdfTE; @;?A@C� � � @C?AD � �´L�� � B�@ ��� � � ; ?A@C� H[@ g� @IB � B1D � �YL�� � B"@ ��� � � ; ?m@�� H[@�� �¶Q^b�c,O v ì µ�v ð �� Ï xly ì µ�y ð ���Ï � ì µ � ð �� Ï xb[_C|IR´X � c,Oe|C_IR^|;}�aCX � g � @´SU]jX c,O�|;Xv�µ v ðv ì µçv ð � � x

y�µ y ðy ì µ y ð � � x� µ � ð� ì µ � ð � � x

R�bf|IRlrU]`Ov�µçv ðv ì µ v ð �

y�µ y ðy ì µ y ð �� µ � ð� ì µ � ð �h� g � �[�

�^O�|C_IRl|C}�a{O � g � ��S,O � bkdtT �;@CB � B�D � ��L�� � B"@ ��� � � ; ?m@C� H[@ g� ?m@C�C@IH ��? ��A����>= � � D�@ A @ � @CB1J�� � ��� ��� ? � � DF�³L��3?m@, ��� ��� ?AD �t@ Le� � B"@ ��� � @ ; ?A@C� H[@�� i=\URkdlR#� �!b[}eO aCX¢roX � R^|IR^_ rUbtsuQlb[� � � � v � xoy � x � � � XPd[OeQ3rUb[\Ub^� SU��c,O�\UR p��� � ;Vp7 � � = p: � � � p� x \oR � ]`X`seXjrUX`�Íbf|ó_3TC]jd^O�Q �rob[\UR;g ��btsuQAR �Ô]`Oe}�X%_CR z \oRFd#��T�p"R^Qlb²X%SUR^�Òb³R^Q^b²S,Tàd[O�QKrUb[\UX µhµ8G� � �ÔX�p� Q^b^]`X`_;OFR^\,_CXhg�1b � _CR^s�X µÈµ8G

� � � � � pVIÀ

Page 86: MATEMATIKA 1

[2.4] 2.4. PRAVCI I RAVNINE 81

�1R^Qlb�c,OEp� µ p

�� � � pV p;bt|C_;b[SU_Cb

p�� p

�� � � pV

R�rUb�c,O �{��� �F� ?AD � J ��� EqJ8�/L�� � B�@ ��� � � ; ?A@C� H[@ g� @C?m@I� � � @C?AD � ��L�� � B�@ ��� � � ; ?m@�� H[@�� �YQ^b�c,O � � �� v � xoy � x � � �±x � �� v"xoy x � �¡xpV � V<;Vp7 � V<= p: � V�� p� pfb[_C|IR�d^O�QKrob[\,SUQ3T�c,O�|C_CR^|C}�a;T��!b[}eO��!b z \,O z XjSoRlrUX T²Qlb[� z b �_;O�_KruR^�ÒR;p z R!|Cb^aCXjdlR^�!b ; @C?m@I� � � @C?AD � �´L�� � B�@ ��� � � ; ?A@C� H[@ g

v � v � � �YV ;y � y � � �¶V<=��� � � � �¶V��kÀ

� @IB � B�D � �ÐL�� � B"@ ��� � � ; ?m@�� H[@�� �¶Q^bçc,O T z R^\UR^�ÒO¡ruR^\,SUQ3X`�Íc,O�|;_IR^|C}eaIR^�ÒRV<; �� Ï x V<= ��ÛÏ x V�� ��ÛÏ p5b[_C|IRÒc,O � � v�µçv �V<; x � � y�µ y �V<= x � � � µ � �V�� pz R�Xj��Rl�Òb v�µçv �V<; � y�µ y �V<= � � µ � �V����b�S,T �;@CB � B�D � �ÒLe� � B"@ ��� � � ; ?A@C� H[@ g �YQ^bWc,OW_IR z \�g{V�� � Ï p b[_;|IR!QAR^_;b[_CSUQlOc,Oe|C_IR^|;}�a{O�?[]`R^SUO v�µ v �V ; � y�µçy �V<= x ��� � � xX�rUb�b[_C|IR � _CR^s�X |IR�SUO z \URFd^RZ�W_CR^]�R � X�T�\oRFdf_CX`_CXqp;seX cURYc,O:c,O�|C_CR^|C}�aCR ��� � � À� ?AJq��L��3?����-,:\ÔÓ$� .¡¤=¥F§U¿^�{�K¿ABkÎ�¬ã¦{�,�^©^£U� Ë �K�¯¥±¤(¦{�o�A ¢�kÌ�¤��¯�k«u�K�Aà � � Á[xFÁ[x�Á��¡x ¤�k�K�Aô¤w�I¥F§W�{�Ò�,�^©k�I¤w�I¬ ­%v�µçy���® � µ Á ��Ï À¸¶¹[º[»Kº[¼f¹[º3½ _ §u�A�ª�A���Þ�A�±Ã!�^ `§��{�²�U�^©k�I¤w�I¬W¥F§ p � ­ p7 µ p: � ® p� ÀYÑ �P¥F§�©^§u�A�ª�A��¡Ã(¥F§¡�,�$¦{�,�^©^£U� ½ � �A�A `§=¥F§U¿^�{�K¿ABkÎu��¦{�,�^©^£U�P¥F§

p�� µ G8�� � �@p x

v p7 �äy p: � � p� � p7 � p: � p����­ ��p7 µ � p: ��® � p�{xv � Á:�è­ �y � Áݵ �� � Á:��® � ¤w ¨¤ v�µóÁ­ � y�µóÁµ�Á � � µèÁ® À

Page 87: MATEMATIKA 1

82 2. VEKTORI [2.4]

�E� @IEML��fB � D ���F� = � � � � ; ?m@C� H[@�Y|IR^] c,O�_Cb^S,r�rUbtsuQlO�� ð bt| z \oRFd ��R;p � R^|IRl_Cb ?³robfsuQ^b^� � � X�d[O�QKrUb[\Ub[�ÛSU��c,O�\oR p� x S,O\oR^seTC_IR z b��Gb[\,��TC]`X

� � 00 � � � ð � p� 00O�p� O À

� b^\U��TC]`R�SU]jX c,Oe|CX%X � s�X`_mc,O�_CXN��O´|IR�c,O´TC|IRl] c,O�_;b[S,r�rUbtsuQlO!bf| z \oRFd#�FR � R z \URFd[bßdfXjSUX`_CR_IR´aIR � T O�p� O3T z R^\UR^]`Oe]`b ?[\UR^��TÒ\oR � R z O¡rob[�òSÝd^O�QKrob^\UX`�ÒR � � � ð X p� À� ?AJ��³L��3?Ò� �-,�, Ó�� .¡¤W¬;¿K�^  ¥F§¡�Þ�k�¡���ª�k«u�K§ Á[x�Á[xFÁ�� ��¿�¦{�U�^©^£U� vÒµóÁ® � y�µæ­­ �� µ ®Á À¸¶¹[º[»Kº^¼t¹[ºK½

� � �� Á[xu­txu®��±x � ð Á[xFÁ[x�Á��¡x µlµ G� � � ð � µ p: µ ­ p�{x pV � ® p7 �è­ p: � p� À

� � O

000000p7 p: p�® ­ ÁÏ µWÁ µ�­

000000ï Á " O � O µ ® p7 � & p: µæ® p� Oï Á " � ®fï ®ï > � Á À @ & À&�' �P'�� -/.��¯. �Þ210 <;2�6 '�l�'¶2Bl i¶<;2�612*kÞ2 # i¶<C.*mK9t.+<)#

� � J�L��ß?m@�� B1J�B�� YdfX c,O�\oRFdf_CXj_CO

Õ ð v´� Ö ð y�� × ð � � Ø ð � Ï x p ð � Õ ð p7 � Ö ð p: � × ð p�Õ ì v´� Ö ì y�� × ì � � Ø ì � Ï x p ì � Õ ì p7 � Ö ì p: � × ì p�SUT ; @C?m@IE��fE�B�� p;R^Q^b�X SoR^�!b´R^Qlb�SUT²d^O�QKrob[\,XÞ_Cb^\U�ÒR^]�RWQ^b[]jX`_CO�R^\U_CX � p ð � p ì � pÏ x r�ceg

000000p7 p: p�Õ ð Ö ð × ðÕ ì Ö ì × ì

000000 �pÏ �h� g � � �

PdtX c,O�\oRFdf_CX`_;O�SUT��ÒOe| � TCS,b[aC_Cb�� � � � J � � pKRlQ^b$X;SUR^�Òb$RlQ^b$SUT�d[OeQ3rUb[\UXI_;b[\U�ÒR^]�R�ÒOe| � TCSUb^aC_Cb!b[Q^b[�!XjrUX � p ð � p ì �ÐÏ x rGcegÕ ð Õ ì � Ö ð Ö ì � × ð × ì � Ï �h� g ô [�

Page 88: MATEMATIKA 1

[2.4] 2.4. PRAVCI I RAVNINE 83

� �"��X � �!O�| � T�|;dfX c,O�\oRFdf_CX`_;OÝc,OWQfTtr�X � �ÒOe| � Tßd^O�QKrob^\oR³_Cb[\,��Rl]�R;p z R�c,O�Qlb[SUXj_fT;SrUb ?�Q3T;ruR�|IR^_²�Gb[\,��TC]`b^�

1 3+5 ( � Õ ð Ö ð � Õ ì Ö ì � Õ ë Ö ë Õ ì ð � Õ ìì � Õ ìë Ö ìð � Ö ìì � Ö ìë �h� g ô �m�

� ?m@��;@IH p[bf|C\UOe| �ªO�_´QAR^b DÈL��fHKJ D � � � � J�L � ?m@C�"B�JqB"@ p[Xj��RÝd[O�QKrUb[\=SU��c,O�\UR p ð �Ep ì xc,Oe\:]jO�}eXITÒb[a3c,OY\URkdf_CXj_CO^p z R�c,OYb^Q^b[�!Xjr+_IR$b[aIR�d[OeQKrob[\UR�_Cb[\,��R^]jO^gVW�R z b^r z TC_Cb � R �|CRkdlR^_mc,O z \URFd �FR z b^rU\UOeaC_IR�c,O=c,b ��c,O�|C_IR$robfsuQAR;ptQlbAc,T³|Cb^aCX c,Oe�Òb$\Gc,O0�oRFdlRmc,T&>eX S,TCS,roRkdÕ ð v�� Ö ð y�� × ð � � Ø ð � ÏÕ ì v�� Ö ì y�� × ì � � Ø ì � Ï À

;Rl|IR��Òb^}�O��!b�|IRAroX4?[Oeb[�!Oero\,X c,S,QfT�X`_KroOe\ z \,OeruRZ��X c,T´\wc,O �URkdlR^_mcUR�SUTCS*ruRFdlR$bf|´|;dfX c,Oc,Oe|C_IR^|;}�a{O�S�rU\UX+_CO z b � _IR^_CXN��Olg T$R^b �,rUb�dfX`|CXj�ÒbCptc,Oe|C_IR^|;}�aIR�SWro\,X5_;O z b � _IRl_CX��eOz \UO�|;S,ruRFdf] cURtp;T³Qlbtb[\,|CX`_CRlro_Cb^� SUTCS*ruRFdfT�T z \Ub[S*rob[\,T�pmc,Oe|C_IR^|;}�aCT²\URkdf_CXj_CO^g �ÝX c,O0�UX¢roXS,TCS,roRFd�bf|ä|;dfX c,O�c,O�|C_CR^|C}�a{O�S�ro\,X�_CO z b � _IR^_CXN��O^p z \UOe��Rãrob[�!O � _IRls�XÝ_IRF>eXPS,Q3T zrUbts�R^QAR;p�Q^bAc,OÒ]`O�}eOÒT b[afc,O!\oRFdf_CX`_COlg �¶QlbàSUOÒ\oRFdf_CX`_CO!SUX c,O�Q3T�p1b[_C|IR�X`�ÒR^�Òb �eX c,Oe]`Xz \oRFdlR#� � Rmc,Oe|C_CX`suQ3XN�ÄrUbts�R^QAR � a OeSUQlb[_IR^se_Cbà�!_Cb ?[b²\wc,O �UOe_AcUR � c,O�|C_;b z R^\UR^�ÒO¡ruR^\,SUQlb\wc,O �,O�_Ac,OF�¡g�¶Qlb!S,T/\oRFdf_CX`_CO z R^\oRl]`O�]j_CO¶X _CO z R^|;_fT/S,QfT z R;pCb[_;|IR�_CO z b[S,rUbAc,O�ruR^QKd^OrUbtsuQlO � _CO z b[S,rUbAc,XÝ\Gc,O0�UO�_mc,Ok�¡g �YQ^bçS,O�\oRl|CXÝb/c,O�|;_CbAc!|;d^b[S,rU\UTCQlbAc�\oRFdf_CX`_;X � c,O�| �_CR^|C}�a{O z \UOe|CS,roRFdt] cURmc,Tàc,O�|C_3TæroO/X`S*roTæ\oRFdf_CX`_3T �±p:b^_C|IRÒc,O²S,dlR^QARãrobfsuQlRãT�c,O�|;_CbAc\URFdt_;X`_CX+TAc,Oe|C_CbßrUbtsuQAR/T |C\,T4?[bAc$\oRFdf_CX`_CX �Gz b[S*robAc,X+a{O�S,Q^b[_IRls�_Cbà�!_Cb ?^b�\wc,O �,O�_AcUR �|td[b z Rl\oR^�!OeroR^\US,Q^b!\Gc,O �,O�_Ac,OF�¡g� �;@ ; ?m@�� H[@ Pd^R z \oRFd ��RàT z \Ub[S*rob[\,T SUO³�!b ?[T SGc,O >eXhpna;XjroX z R^\UR^]`Oe]`_CX+Xj]`X+aCXjrUX � Jq� � DF��L��3?lB�J p�*rob � _IRls�X |IR´SUOW_CO$SUX c,O�Q3T�_CXjrUXÞSUT z R^\UR^]`Oe]`_CXqg

YdlR z \oRFd#�FR� ð �� v ð xoy ð x � ð �¡x pV � V ;�p7 � V<= p: � V�� p�� ì �� v ì xoy ì x � ì �¡x pZ � Z ;�p7 � Z�= p: � Z � p�

S,T ; @C?m@IEG�fEqB�J p;R^Q^b!X SoRl�Òb!R^Qlb�c,O pV � pZ � pÏ x rGcegIR^Qlb�c,O000000p7 p: p�V<; V<= V��Z�; Z�= Z �

000000 �pÏ �h� g ô � �

Page 89: MATEMATIKA 1

84 2. VEKTORI [2.4]

�YQ^b�SUT ; ?m@C�ÞHKJ1�çJ�� � DF�³L��3?AB1J p^b^_C|IR�c,OP_mc,X��CbkdlR �Â� � � � D ��� B"@ ��� @IE�Le�tB � D �� R z \URFd[b��!O�| �ªT;SUb[aC_CR¶TC|IR^] c,O�_Cb^S,rn\URFdt_;X`_IR;plQ^bAc,O z \Ub[]`R � O+roXj� z \oRFd#��X`�ÒRYX z R^\UR^]`Oe]`_COSUT�g$�+OeQ3rUb[\�_;b[\U�ÒR^]`O�roXN�ç\oRFdf_CXj_IR�c,O pV � pZAp z R�c,O�ro\UR^}�Oe_IRàTC|IRl] c,O�_;b[S,r � R z \URFd[b|CTC] c,Xj_IR z \,bAc,O�QZ��X c,O�d^O�QKrob[\UR µAµ G� ð � ì _IR z \URFd^RZ�WQ3\,b � pV� pZ��I|IRlQf]jO� � 00000

µAµ�G� ð � ì � pV� pZ

ONpV � pZUO00000 �

O � pV x pZ x µlµ G� ð � ì � OONpV � pZUO x

X`]`X z b[�Òb�>�T/Qlb[� z b[_COe_KroX

O000000V<; V<= V��Z�; Z�= Z �v ì µ v ð y ì µ y ð � ì µ � ð

000000 OO pV � pZ�O �h� g ô � �

Pd^R z \oRFd ��R�SUO D�J�L���� �+pCRlQ^bPc,OY_Ac,X��CbkdlR��!O�| �ÈTCSUb[a;_IR�TC|IR^] c,O�_Cb^S,r�c,Oe|C_IR^QAR�_3TC]jXhgN=c,X��;bmd^b¶Swc,O ��XN�,rUO(SUO(|;b[aCX c,O+ruRlQ^bCpl|IR¶SUO�T�_Ac,X��;bmdfXj� z R^\oRl�ÒO¡ruR^\,SUQ3X`��c,Oe|C_IR^|C}eaIR^�ÒRX � c,Oe|C_IR^seO$|Cb ?[bkdlR^\oRkc,T&>�O�|COeSU_CO�S,rU\oR^_COv ð � �¶V<; � v ì ��� Z ;y ð � �YV = � y ì � � Z�=� ð � �¶V�� � � ì � � Z �

X � RlrUX`� \UX c,O0�UX�bkdlRmc�SUTCS*ruRFd/bt|²rU\UXtc,O�|;_IR^|C}ea O$SÝ|;dfX c,O$_CO z b � _IR^_CXN��O��ßX � ÀtR^|IRß�!b[}eO��!bß|IRAroX*?[O�b^�ÒO¡ro\UX c,SUQ3TÄX`_KroOe\ z \,OeruRZ��X c,TÂ\Gc,O0�oRFdlR^_AcURßS,TCS,roRFd^Rßbt|Äro\UXc,O�|C_IRl|C}�a{O�S�|;dfX c,O´_CO z b � _IR^_CXN��Olg T$R^b �,rUb/dfXj|CX`�!bCp rUb � _IR^seX=_IRF>eXnSUQ3T z robfsFR^QAR;pQ^bAc,O$]`Oe}�O�_IR´|;dlR z \URkd#�FR�T z \Ub[S*rob[\,T�g �¶QlbÒS,O z \oRFd �eX SUX c,O�Q3T�pIb[_C|CR�X`�ÒR^�ÒbÝc,O�|C_3T� Rmc,Oe|C_CX`suQ3T robfsuQ3T � c,O�|C_;b�\wc,O �,O�_Ac,OF�¡g �YQ^b/SUT z \URkd#��X z Rl\oR^]jO�]`_;X1Xj]`X��ÒXj�Òb[S,��c,Oe\U_CXqpb[_C|IR _;O z b[S,rUbAc,O�ruRlQ3d^O�robfsuQ^O � _CO z b[S*robAc,XY\Gc,O �,O�_Ac,OF�¡g �YQ^b S,Oà\oR^|;XYb�c,Oe|C_Cb[�|;d[b[S*ro\,TCQ^b[� z \oRFd#��T�p�b^_C|IR�c,O�S,dlR^QARÒrUbtsuQAR�_IR�c,O�|C_Cb^� z \oRFd �eTÄTmc,O�|C_CbÒrobfsuQlRÒ_IR|C\UT4?^b[� z \URFd ��T ��z b[S,rUbAc,X a{O�SUQlb[_IR^se_Cb��!_Cb ?^b´\Gc,O �,O�_AcUR[�¡g

� ?AJ��³L��3?Ò� �-,M ÔÓ�� .¡¤=Ã�§�¿ � ¬3�k�^Î��I¬�¬;¿K�^  ¥F§¡�Þ�k�¡� ¦{�,�^©A�f£U�v³µóÁ® � y�µä­­ � � µæ®Á ¤ v³µóÁÁ � y�µ ÁÁ x ��� ­ À

¸¶¹[º[»Kº^¼t¹[ºK½� ð �� Á[xu­txu®��±x � ì �� Á[xFÁ^x±­��¡x

pV � ® p7 �è­ p: � p�{x pZ � p7 � p: x µAµ�G� ð � ì � µ p: µ p�

Page 90: MATEMATIKA 1

[2.4] 2.4. PRAVCI I RAVNINE 85

��pV x pZ x µAµ�G� ð � ì � �000000® ­ ÁÁ Á ÏÏ µ�Á µ�Á

000000 � µ¶­ À

pV � pZ � 000000p7 p: p�® ­ ÁÁ Á Ï

000000 � µ p7 � p: � p� À� �A�A `§ � � ­ï ® � ­ ï ®® À� ?m@C�C@IH�J�?m@C�"B1J�B"@i=\URkdlR#�

� ð �� v ð xoy ð x � ð �¡x pV � V ;�p7 � V<= p: � V�� p�X \URFdt_;X`_IR Õ v´� Ö y�� × � � Ø ��Ï x p � Õ p7 � Ö p: � × p�S,T ; @C?m@IEG�fEqB�J p;R^Q^b!X SoRl�Òb!R^Qlb�c,O pV � p �ÐÏ x r�cegCR^Q^b�c,O

V<; Õ � V<= Ö � V�� × � Ï �h� g ô[ô �i=\oRFdlR#��X{\oRFdf_CXj_IR�S,T²�ÒOe| � TCSUb^aC_Cb � � � �çJ � J p3R^Qlb�X{SoR^�!b�R^QlbPc,O pV � p � pÏ x r�cegRlQ^b�c,O

000000p7 p: p�V<; V<= V��Õ Ö ×

000000 �pÏ �h� g ô3õ �

� �"� ( X � �!O�| �hTP; ?A@C� H[@æJ�?m@�� B1J�B�� c,O�Q^b[� z ]`Oe�ÒOe_Kr¶Q3T;roR�X � �ÒOe| �ÈT pV²X�p x z Rc,O5DCHE ( � V ; Õ � V = Ö � V�� ×

V ì; � V ì= � V ì� ï Õ ì � Ö ì � × ì �h� g ô @K�� ? � ��� � JKD � � � � �� v � xUy � x � � ��z \oRFd ��R!X \URkdf_CXj_CO$]`Oe}�X�_IR z \URkd#��T�p |IRlQf]jO

v � � v ð � �¶V<; x y � � y ð � �¶V<= � � � � ð � �¶V��X T/\URkdf_CXj_CXhp z RYc,O z \UO��ÒR�rob[�!OÕ v ð � �YV ; � � Ö y ð � �¶V<= � � × � ð � �¶V�� � � Ø �ÐÏ À

Page 91: MATEMATIKA 1

86 2. VEKTORI [2.4]

� df|Ac,O�c,O�_;O z b � _IRArob SUR^�!b � p �,rUb S,O�]�RlQ^b X � \UR^s�TC_CRÄXP_IR^Qlb[_�rUb ?KR z b[�!b*>eT:�X � \UR^s�T;_IR^�!b v � xoy � x � � g� ?AJ��³L��3?Ò� �-, �ÔÓ�� .¡¤I¬C¿K�^  ¥F§¡�Þ�k�¡� �ª�k«u�K§ � �� ®;xFµ¶­txFµ�@�� ��¿Y�,�^©k�I¤w�Þ§ Ë �K�¯¥e�+¦{�o�A ¢�kÌ�¤�¯�k«u�K�Aà � � ��qÏ x�µ�Á[x Ï � ¤{¦{�U�^©^£u§¡Ã v³µ Á­ � y Á � � ��Á® À

¸¶¹[º[»Kº^¼t¹[ºK½ÂÑ �k«u�^�²¬Ä�,�^©k�I¤w�I¤ ¥F§ � � � qÏ xFµWÁ[x Ï � À¶Ñ �k«u�^���{�´¦{�,�^©^£¡¬�¥F§ � ð � Á[x Ï xFµ�Á�� ÀR_ §u�A�¯�A�¶�¡Ã(¥F§¡�,�$¦{�,�^©^£U�P¥F§ pV � ­ p7 � p: ��® p� À�_ §u�A�¯�A�$�Þ�A�±Ã!�^ `§=¥F§p � pV � µlµ0G� ð � � �

000000p7 p: p�­ Á ®µWÁ µWÁ Á

000000 �?" p7 µä° p: µp� À

� §U¿^�{�K¿ABkÎu���,�^©k�I¤w�Þ§=¥F§ " v񵊡 y���Á��1µ ��� Ï x�M¥ ½ " v!µä°ny�µ � µä° � Ï À� �A�A `§ � � 0000 " �m®�µæ°=� µ¶­��%µ µ @��%µä°ï " ­ 0000 � ­ &ï " ­ À&�' �P'�� "�037�� ��7� ?m@C� HKJ � ?m@C�"B�JqB�J�[g9? � \UR^s�TC_CRlroX |CT;] c,X`_3T/|CTC}eX`_CO$QlbAc,T�_IR z \URkd#��T " v���®=y�µæ® &��ÐÏ bf|CSUX c,O ��Rmc,TQ^bfb[\U|;X`_IRlrU_CO�b[S,Xhg� gPN¶R z X`SoRAroXmc,Oe|C_IR^|;}�aCT z \oRFd ��RWQlbAc,X z \,b[]�R � X;robfsuQ^b^��� � x b[Qlb[�!Xjrob#?�_IR�d[OeQ3rUb[\µ GÕ�Ö x R^Q^b�c,O

�� � � �� µ¶­txFµY®��¡x Õ �� µ�°txu­��¡x Ö �� µWÁ[x " �¡x� � � � �� ­tx±­��¡x Õ �� Á[xFµY®��¡x Ö �� & xFµ�°�� À

� gPN¶R z X`SoRAroX;c,O�|C_CR^|C}�a;T z \oRFd ��R³s�X c,XIc,O�bt|C\,O � R^Qß_CR�b[SUX y c,O�|C_CR^Q�Z x R�Q3T;r��*rob� � Rlr,dlR^\oR´S z b � XjrUXjdf_CXj��|;X c,O�]jb[��b[SUX v c,O � x R^Qlb�c,O

�� Z � Ï x � � &[Ï * x � � Z � ®;x � � � & x� � Z � µ�­fx � � Ák®K° * x � � Z � ®;x � � ®K° �® À

Page 92: MATEMATIKA 1

[2.4] 2.4. PRAVCI I RAVNINE 87

ô g ¶X cUR#?^b[_IR^]`R z \URFd[b[Q3T;rU_CX`QAR;pÝ|CTC] c,X`_CO ­ Ï x ]`Oe}�X¶_CR z b � XjrUXjdf_Cb[� |CX c,O�]jT v b[SUXruR^Qlb�|IR$c,bmcnc,O�XjS �Cbf|CXN�,roO z btseOerU_IRÒrobfsuQAR;gÝN¶R >�X"dt\L�Cbkd[O z \oRFd[b^QfTtro_CXjQlRtp�R^Qlbc,O(c,Oe|C_IR´S,rU\oR^_;X��FR´|;dlR z T;rÝd[O >�RÒbf|/|C\UT4?^O^gõ gPN¶RF>eXYc,O�|C_IRl|C}�aCT z \oRFd#�FRÐQlbAc,X z \Ub^]�R � X�b[\,rUb2�eO�_Kro\,b[� X�rUO�}eX��,rUO�� rU\Ub[Q3T;roR./Õ�Ö�× x R^Qlb�c,O

�� Õ �� µ�°txu­��¡x Ö �� µWÁ[x Ï �±x × �� µY®;x " �¡x� � Õ �� ­txFµY®��¡x Ö �� ®;x�Á��¡x × �� µ > xFÁ[Á��±x� � Õ �� ®;x±°��±x Ö ���N xFµ " �¡x × �� & x & � À

@;gPN¶RF>eX{c,O�|C_CR^|C}�a;T z \URkd#�FR/Q^bAc,X z \Ub[]`R � X1SGc,O �eX��*roO�� z \oRFdlR#�FR ð X ì Xnb^Q^b[�!Xjrc,OW_CR´d^O�QKrob^\@p x R^Q^b¶c,O �� p � µ¶® p7 �è­ p: x ð ÀFÀ�À ­%v´�ä®=y�µ Á >W�ÐÏ x ì À�ÀFÀ v´�äy�µ &W� Ï x� � p � µ " p7 µæ° p: x ð ÀFÀFÀ ®=v��äy�µóÁ ÏW�ÐÏ x ì ÀFÀ�À ­%v´�æy�µ &��ÐÏ À

� @�� B1J�B�@ � ; ? � D �F� ? ��[g �YRFdf_CX`_CR5c,O�|IR^_IR5c,Oe|C_IR^|C}ea b^� ­%v:�²®+y5µ � �àÁ ��Ï ÀKNYRF>�X;d^O�QKrob^\=_Cb[\U�ÒR^]jO^pX�_CO�Q3T�robfsuQfT�T�\oRFdf_CX`_CXqg� gPN¶RF>eX TC|IR^] c,O�_Cb[S*r�robfsuQ^O ­txo®;xFµWÁ�� bf|�\URFdt_;X`_CO > v�µ & yWµ & � ��Ám­ � Ï À� gPN¶RF>eXIc,Oe|C_IR^|C}eaCTã\oRFdf_CXj_CO�QlbAcURWc,O�b[Qlb[�!XjruR�_IR�\URFdt_;X`_3T�pÞseX cUR�c,OÝc,O�|;_IR^|C}eaIRv´� " y�µä­ � ��° � Ï x X z \,b[]�R � XÞrUbtsuQAR^�ÒR Á[xu­txu®��±x µ¶­txFµWÁ[xu®�� Àô g �^O�|C_IR�\oRFdf_CX`_IR z \Ub^]�R � XCrobfsuQlRl��R Á[xu­txFµWÁ��¡x µWÁ[x Ï x " �¡x µ�­fxFµ�Á^xFÁ��¡x RW|C\UT �

?KR Á[xFµY®;x " �±x �Ï xFµ¶­txFµWÁ��¡x Á[xFÁ[xFµWÁ�� À NYRF>�X;c,Oe|C_IR^|C}ea O�\oRFdf_CX`_IR!X1bf|C\,O�|CX¢roXQfTtrYX � �!O�| �hTß_Ac,XN��gõ gPN¶RF>eX�Swc,O �eX��,rUO�\URFdt_;X`_IR v���y$��® � µóÁ � Ï x v!�æy$� � µ "�� Ï x ­%v��y�� " � �è° �ÐÏ À@;g �1bfsuQ^O Õ �� µWÁ[x Ï x Ï �¡x Ö ���Ï xFµ¶­tx Ï �±x × �� Á[xFÁ[x�Á�� SUT�rU\UX dt\L�IR�rUOero\UR^O�|;\oR;gN¶RF>eXKc,Oe|C_IR^|C}eaCT³S,QfT z R�S,dfX��!robfsFR^QARWT z \Ub^S,rob^\UT�QlbAc,O�QAR^b�s�Oer,df\,roX{df\ �³|IRkc,TroOerU\oR^Oe|IR^\�d[b^]`TC�!O�_IR³�^g�tgPN¶RF>eXnb[\,rUb ?[b[_CR^]`_3T z \,bAc,O�QZ��X c,TÄd^O�QKrob[\UR pv � v ð p7 �èv ì p: �èv ë p� _IR³\URFdt_;X`_3Tv�µä­ny�� " ����Ï À�;gPN¶RF>eXnd[O�QKrUb[\ pvP~ SUXj�ÒO¡ro\UXjsFR^_àd^O�QKrob^\UT pv � v ð p7 �èv ì p: �óv ë p� TÂbf|C_Cb[S,TÂ_CR\oRFdf_CX`_3T v�µä­ny�� " ���ÐÏ À

Page 93: MATEMATIKA 1

88 2. VEKTORI [2.4]

� gPN¶RF>eX;c,O�|C_IRl|C}�aCT�\oRFdf_CX`_CO�Q^bAcUR z \Ub[]`R � X�rUbtsuQlb[� µ¶­txFÁ[xu°�� X1b[Qlb[�!XjruRYc,O�_IR\oRFdf_CX`_;O ­nv�� & y�µæ® � ��° �ÐÏ x v´� " y�µä­ � �ä® � Ï À�/;gPi=\UbkdFc,O�\UX¢roX1|IR²SUO�\oRFdf_CX`_;O ­nv/µ�®=y�� � ��° �éÏ x ®nvÒ��­nyW��­ � µ >³�Ï xUv!�èy´µ " � � Á[Á �ÔÏ x " v³µ�yW� ® � µä® �Ï S,X c,OeQfTãTÒc,Oe|C_CbAcYrUbtsuQ3X�Xbt|;\UO�|;XjroX{roT/robfsuQ3T�g

� ?m@C�C@IH � ; ? � D ��� ? ��[gPi=\oRFdlR#��c,OW|CR^_´c,Oe|C_IR^|;}�a{b[� v³µç®Á � ®�µæ­ny­ � µ �® À NYRF>�X�d^O�QKrob[\PSU��c,O�\URz \oRFd#�FR;pIX _COeQ3TßrobfsuQ3Tß_CR z \oRFd �eT�g� gPN¶RF>eXfc,O�|;_IR^|C}eaCT z \URFd �FR �Q^bAc,X z \,b[]�R � XÞrUbtsuQAR^�ÒR qÏ xu®tx±­��¡x µWÁ[x Ï xFÁ�� À� gPN¶RF>eX¡c,O�|;_IR^|C}eaCT z \oRFd ��RPbf|C\UOe| �ªO�_;b ?Y\URFdt_;X`_IR^�ÒR v�µ " y;��° � µ�Á ��Ï x ­nvÞ�®=yP� � � @ ��Ï x SGc,O0��XN�,roO�rUb ? z \URkd#�FR´S�\oRFdf_CXj_Cb[� v�µç­nyY�ç® � � Ák® �ÐÏ x XQ3T;r z bf|/Q^bAc,Xj� c,O$SUX c,O�s�Olgô gPN¶RF>eX c,Oe|C_IR^|C}eaCT z \oRFd#�FR/Q^bAc,X z \Ub[]`R � X"robfsuQ^b[� qÏ x�Á[xFµ¶­�� X � RlrUdlR^\UR³Q3T;roO¡d[Obt| &[Ï * x " ° * xFÁm­ Ï * SÝQlbtb[\,|CX`_CRlro_CXj� b^SUX`�ÒR;gõ gPN¶RF>eXAc,O�|;_IR^|C}eaCT z \URFd �FR$Q3\Ub � rUbtsuQ3T Á[x±­fxFµ�Á�� p[QlbAc,XISUX c,O�s�O z \URFd ��O v³µèÁ­ �y���Á& � � �ä®® x v�µä­® � y Á � � �䮵�Á À

� @ A B�J A @ � @IHKJ�[gPN¶RF>eX;c,O�|C_IRl|C}�aCTã\URFdt_;X`_CO�Q^bAcUR!X`|CO$robfsuQ^b[� Á^xFµ�Á^x±­�� X z \oRFd �eO�� � R^|IRl_CX`�SÝ\oRFdf_CX`_IRl��R ®nv��äy�µ " � �è° � Ï x v�µçy���­ � µ Á �ÐÏ À� gPN¶RF>eX^c,O�|C_IRl|C}�aCT²\URFdt_;X`_COYQ^bAcUR z \Ub[]`R � X z \URFd ��Oe� � R^|IR^_CXj� S v¶�Ä­=y:� ® � µ"�� Ï x ®nv´� � µä° �ÐÏ X bf|CSGc,O0�FR¶c,O�|C_CR^Q^OWbt|;SGc,O�suQlO�_CR y b[SUX X � b[SUXqg� gPN¶RF>eX�SGc,O0��XN�,roO z \URkd#�FR p

�� " p7 µ ® p: � p� � � µ & p7 µ N p: XÞ\oRFdf_CX`_CO p

� � ® p7 �° p: µ p� � � ­tx p� � v p7 �äy p: � � p� Àô gPN¶RF>eX+TC|IR^] c,O�_Cb[S*rWX � �!O�| � T z \URFd^RZ�FR v���ÁÁ � y Á � � µ Á­ x v Á � y���Á® �

� µä­" Àõ gPN¶RF>eX�TC|IRl] c,O�_;b[S,rÝrobfsuQ^O Á[xFÁ[xFÁ�� X z \oRFd#�FR ­nvÒµóÁ &Á & � y�µä­µ & x ��� Ï À

Page 94: MATEMATIKA 1

[2.4] 2.4. PRAVCI I RAVNINE 89

@;g � |;\UO�|;XjroX roR^Q^b/|IR²S,O z \oRFd �eX v³µ ÁÁ � y�µæ­­ � � ­ x X v � ­¶� � xoy �Á(µ � x ��� Á=�� � SUX c,O�Q3T�p R � RlroXj� bf|C\UOe|CXjrUX \URFdt_;X`_3T/T�QlbAc,bAc(]`Oe}�O�roX z \oRFd#��Xhg�tgPN¶RF>eX{c,O�|C_CR^|C}�a;T z \URkd#�FR/Q3\Ub � robfsuQ3T Á[x±­txo®��¡x b[Q^b[�!XjrUb ?³_IR/\oRFdf_CXj_fT QlbAcURz \Ub[]`R � X robfsuQ^b[� Á[xFÁ[x�Á�� X z \URkd#��Oe� v Á � yµWÁ � � Á À�;gPN¶RF>eX TC|IR^] c,O�_Cb[S*r�robfsuQ^O Á[x�Á[xFÁ�� bf| z \oRFd#�FR v³µóÁ® � y�µ ° � � �ä®­ À� g � |;\UO�|;XjroX z \oRFdlR#�$TßQlbAc,O�� S,OWS,X c,OeQfT�\oRFdf_CXj_CO ­%v���®=y�µ � µæ® � Ï x v�µy��è­ � µóÁ �ÐÏ À�/tgÝN¶RF>eXIc,Oe|C_IR^|C}eaCT \oRFdf_CX`_;O^pÞQlbAcUR³SoRl|C\U}eX%SGc,O0��XN�,roO z \oRFdlR#�FR v³µóÁ­ � yW�ó­ �

� µæ­µ " x X v��ÐÁµ " � y�µä­® � � � Á X z \oRFdlR#��T Q^b[�!O�SUO�SUX c,O�Q3TÄ\oRFdf_CX`_COv�µ y�� � µ "��ÐÏ x ®=v��äy�µä­ ����Ï À

�[�^g W�R^|IR^_CX�SUT z \oRFd �eX v³µ Á­ � y�µóÁÁ � � µóÁµWÁ X v � ®tx yW� Á � µ � À NYRF>�Xc,O�|C_IRl|C}�aCT�\oRFdf_CX`_;O:QlbAcUR z \Ub[]`R � XKXjS �Cbf|CX��*roOe� X z R^\UR^]`Oe]`_IR�c,O+S"roX`� z \oRFd#��X`�ÒR;g

� � gÝN¶RF>eXlc,O�|C_IRl|C}�aCT z \oRFd ��R�QlbAc,X ]`O�}eXIT�\URkdf_CXj_CX ®nv�µ�­ny�µ�­ � µãÁ � Ï xKz \,b[]�R � XrobfsuQ^b[� Á[x Ï x�Á�� X b[Qlb[�ÒX¢r1c,O$_IR´b[S � À� � g � |;\UO�|;XjroX+c,O�|C_IRl|C}�aCT z \oRFd#�FRæQf\,b � robfsuQfT Á^xFµ�Á^x±­��¡x Q^bAc,X:c,O z R^\UR^]`Oe]�R^_èSd[O�QKrUb[\Ub[� p�¶� p7 � p: µ p� x X3bf|C\UOe|CXjrUX z \Ub[a{bf|CX��*roO+rob ? z \oRFd ��R¶S vYy � \URFdt_;X`_Cb[��g� ô g �Ðro\,b[Q3T;roT ./Õ¶Ö�× S,T � R^|IRl_CXÞdf\ �CbkdfX Õ �� Á[xFÁ[x Ï �¡x Ö �� ­txFÁ^xFµ�Á�� À � |;\UO �|CXjrUXÞdf\ � × roR^Q^bÒ|IR�]`O�}eX _IR z \oRFd �eT v��ä® � y�µóÁµ�Á � � µ�Á X |IR z bmdf\L�UX`_CR

ro\Ub^QfTtruR´aCTC|CO ®­ À� õ gÝN¶RF>eX"c,O�|;_IR^|C}eaCT \oRFdf_CX`_;O³Q^bAcURàSUR^|C\,}�X z \oRFdlR#� vÒµóÁ­ � y��Э � � µæ®® Xb[Q^b[�!XjroRPc,O�_IR�\oRFdf_CX`_3T ­nvÒµ " y�� ���ÐÏ À�6@tgÝN¶RF>eX;TC|IRl] c,O�_;b[S,rnrUbtsuQlO ­tx�µ¶®;x " � bf| z \URkd#�FR�Q^bmc,X z \,b[]�R � XfrUbtsuQAR^�ÒR ®;x " x Ï �¡x

qÏ x Ï x±­�� À���fgÝN¶RF>eX z \Ub^a bf|CX��*roO z \URFd �FR v��è­® � y�� >²� � �è­­ Xn\URkdf_CXj_CO´Q^bmcUR z \,b[]�R � XrobfsuQ^b[� Á[x±­txo®�� X b[Qlb[�ÒX¢ruRPc,O�_IR � Rl|IR^_CX z \URFd^RZ�^g

Page 95: MATEMATIKA 1

90 2. VEKTORI [2.4]

���;gPN¶RF>eX:b^\,rob#?[b[_IR^]j_3T z \,bAc,O�QZ��X c,T d^O�QKrob[\UR pv � v ð p7 ��v ì p: ��v ë p� _IR z \oRFdlR#�v�µóÁ � y��è­µ¶­ � � µ ®® À� � gPN¶RF>eXnd[OeQ3rUb[\ pvY~ SUXj�ÒO¡ro\,X`sFRl_àd[O�QKrUb[\UT pv � v ð p7 �èv ì p: �èv ë p� TÂbf|C_Cb^SUTÄ_IRz \oRFdlR#� v�µóÁ � y��è­µ¶­ � � µ ®® À� ;gPN¶RF>eX;c,O�|C_IRl|C}�aCT�\oRFdf_CX`_COWQ3\Ub � z \URkdlR#� v³µèÁÁ � y�µä­­ � � ��ÁµWÁ z R^\oRl]`O�]j_3T

S z \oRFd �eO�� v � Á[x y ® � � µ Á­ À� �[gPN¶RF>eXIc,Oe|C_IR^|;}�aCT \oRFdf_CXj_CO�Q^bmcUR z \Ub[]`R � X rUbtsuQlb[� ®;xFµWÁ[xFµ¶°�� X z R^\UR^]`Oe]`_IR¶c,O

S z \oRFd �eX`�ÒR v³µä­® � y��è°µY® � � µ Á­ x v��ä®­ � y�µóÁ° � � � "µ > À

Page 96: MATEMATIKA 1

� �����������³� �

� �� �� � � ���� ��� � � ��������

�Ò��� � ���(�P�����²#1�����(��� Ý'*)+',) -/.103254 'Rl��Þ2� ���%B1J�HKJ�Le@���Ó�§u�^�³¥F§ Y �Þ§u�A¤��u�A¬k¦ Î��o�¯¥F§¡©A� ½�� ¬f�;�K£¡¤ ¥±¬ V���� G Y ÌA�A©^§¡Ã��B�J AC� � � ? � Le���;@ ¤¢Ì Y%À

�P��c,OeS,rob²|CR�SUO z XN�UO´V �¡x �,rUb�c,O�TCb[aCXjsFRmc,Oe_Cb³Qlbt|ã�GTC_CQZ��X cUR;p z XN�UO�S,O�V À! +]jO ��!O�_KrUX V ð x V ì x ÀFÀFÀ�SUO � bkdfTE= E�@CB � �"J:B�J A @ g" =]`O��!O�_KrÝV S,O � bkd[O���;"# J = E�@IB�B1J A @ g� ?AJq��L��3? \����ÐÓ��¡¦{¤`���^�q¤Þ¦{�±©k¤`â�¦I§¡��«¡ ¢�^�Þ�A©A�Ò�I¤¢Ìk�/«¡¤ ¥±¤;¥F§´�u¦ .¡¤5«¡ ¢�^� V �

��Á À¸¶¹[º[»Kº[¼f¹[º3½ Á­ x ­® x ®" x " ° x °& À� ?AJq��L��3? \��j�ÔÓ�� .¡¤��u¦ .¡¤:«¡ ¢�^�à�I¤¢Ìk� Ë «¡¤ ¥±¤%�¡¬ã«¡ ¢�^�Þ�A©k¤ ­tx " ® x & ° x N > x ÀFÀ�À¸¶¹[º[»Kº[¼f¹[º3½(ñ �¡©k¤5«¡ ¢�^��¤wÃ!�Ò¬ßÎ��o�¯¥±�I¤`�A¬ ­tx ¿^�¡¬#]^¤5«¡ ¢�^��¤wÃ!�!¬�Î��u�¯¥±�I¤`�A¬ " x ���o§ .¡¤«¡ ¢�^��¤wÃ!�¶¬�Î��o�¯¥±�I¤`�A¬ & x ¤w�h¿ ½!å �{�kÌ�¤w©k�I¤`�A¬5¥F§(Î��o�¯¥%Ìk�n¥F§U¿K�^��Ã!�^�F¥±¤I�Þ§^]f�Y¬�Î��o�¯¥±�I¤`�A¬ ½ñ �o§¡Ã!�Ò�ª�AÃ�§ V � ­ ­ µóÁ À� ?AJq��L��3? \��N\ÔÓ�� .¡¤��u¦ .¡¤:«¡ ¢�^�à�I¤¢Ìk� ï ­3x ­3ï ­tx ­ ­3ï ­tx ÀFÀFÀ¡À¸¶¹[º[»Kº[¼f¹[º3½

V ð � ­%$& x V ì � ­(') x V ë � ­!*+ x V � � ­�$-,$/. x ÀFÀFÀeÀÑ �A�K��¥F§ V � ­ &1032 $& 0 À

� �

Page 97: MATEMATIKA 1

92 3. NIZOVI I REDOVI BROJEVA [3.1]

T$R^}eO��!b�|IR´_CX � \,OFR^]j_CX��/aC\,bAc,OedlR V �?m@ID � � R^Q^b�c,OWV �� ð�� V x � R´S,dlR^Q3X /� � xD � ? ����� ?m@ID � � R^Q^b�c,OWV �� ð V x � R!S*dlR^Q3X� � � x; @ � @ R^Q^b¶c,OWV �� ð � V x � R�S,dlR^Q3X�/� � xD � ? ����� ; @ � @ R^Q^b¶c,OWV �� ð �óV x � R�S,dlR^Q3X�/� �ÝÀNYX ��� bkd[Oe�Òb � � B �I�F� B�Jq� R^Q^b!\oR^S*roO$X`]jX z Rl|IR;g

� ?AJ��³L��3? \ �-, � �ª¦{¤w�È�^��¤%Ã��A�Þ�A�ª�A�Þ�k�¡�n�I¤¢Ìk� Ë «¡¤ ¥±¤f¥F§��u¦ .¡¤+«¡ ¢�^� V � Á ì µóÁ x � ­ À

¸¶¹[º[»Kº^¼t¹[ºK½V �� ð � Á

��Á�� ì µóÁ � Á ì µóÁ

ì µ Á ��Á�� ì µóÁ � V

ì µóÁ ì µóÁ:�è­ ��Á À

� ¬C¿^¬ .¡¤=¿K��¥F§ ­ �èÁ Ï x �¡ ¨¤ ¥F§U¿^¤ ì µóÁ

ì µóÁ5��­ ��Á � Á À�Ñ �A�K�:¥F§ V �� ð �óV x �M¥ ½�I¤¢Ì$�¡�q�o� ]f��¦;�K¿K� ½NPX � \,OFR^]j_CX��²aC\,bAc,OedlR V � c,O��� ?m@IB�J = �tB � ����A ���"pÞR^Qlb z b[S,rUbAc,X � ���ÔroR^QARFd/|IR�c,O�V � � x � RÒS*dlR^Q3X�� � ���� ?m@IB�J = �tB �>����A����"p R^Qlb z b^S,robmc,X � � � roR^QARkd�|IRWc,O�V � � x � R³S*dlR^Q3X�� � ���� ?m@IB�J = �tB pIR^Qlb�c,O�b#?[\oR^_;X`s�Oe_/bt|Cb � ?[b�X bf|Cb � |;b �B�� ��� ?m@IB1J = �fB R^QlbÒ_CX c,O�b ?[\UR^_CX`seO�_�g

� ?AJ��³L��3? \ �! � �ª¦{¤w�È�^��¤:� ]^�,�^�I¤h«u§¡�Þ�k�¡�+�I¤¢Ìk� V � ��Á À¸¶¹[º[»Kº^¼t¹[ºK½�� ¬;¿^¬�.¡¤%¿K�Ý¥F§$Î��o�¯¥±�I¤`��©^§ .¡¤=��¿!�{�kÌ�¤w©k�I¤`�^� Ë �¡©A�A�A¤+«¡ ¢�^���I¤¢Ìk�(¥F§�©^§ .¡¤��¿ Á À �1�^�q¤wÃ

V �� ð � � ­ �ÐÁ � ��Á

��­�� ��Á�� ì � V

ì ��­ ì �è­ ��Á �èV À

Ó�¤¢ÌP�¡���o� ]f�P¦;�K¿K� Ë ¦;�:¥F§=¦{�o§¡Ã!���ª�AÃ�§ V ð �{�,¥±©^§ .¡¤�§¡ `§¡Ã�§¡�I� ½ � �A�A `§P�I¤¢Ì1¥F§�� ]^�,�^�I¤h«u§¡�¤:��¿f��Ì ]f��¤���¿f��Ìk¿f� ½

Page 98: MATEMATIKA 1

[3.1] 3.1. NIZOVI BROJEVA 93

Ý'*)+'È& � l*4 7>m '�l�� 2Y'�� .�'�6+7�< �+7 ':9*'�l$'�l��Þ."6gl� ���%B1J�HKJ�Le@ � e �ABA§¡Ã���¿K���I¤¢Ì V � �o§U�^ ¨�I¤`âÂÎ��o�¯¥F§¡©A� � � B � �3? � J�?m@�� V � x �A�K��Ìk��¡©A�A�A¤�� Ï ¦I�k�¡�ª�¯¥±¤ � � � �h�A�K��¿K�

/ � I O V µ V � O � � Àå �ª�Aà �¡ ¨¬ «U�,¥±¬��^�ABA§¡Ã��Y�h�A�K�^¿ �U§¡��¿K���I¤¢ÌݤwÃ!�ÝEqJ�� �fD V � x ¤K¦{¤`Ük§¡Ã���� C�� � V � V � À�1���I¤¢ÌP�K�¯¥±¤ ¤wÃ!�� ¨¤wÃ�§u���^�ABA§¡Ã��W¿K�:¥F§U� � B:�{�3? � �tB � @IB ½ �1���I¤¢Ì Ë �K�¯¥±¤ �Þ§¡Ã!�� ¨¤wÃ�§u� Ë� ¥ ½ �K�¯¥±¤n�Þ§��K�A�I©^§¡� ]^¤w�,� Ë �^�ABA§¡Ã��Ò¿K� � J��{�f? � JG?A@ Ë ��¿^�Þ�k�¡�Þ�!¿K�Y¥F§ � J�� �3? � �fB � @IB ½

i=\UOe��R bkd[bmc²|CO�I_CXN��X c,XqpÝT z \Ub[X � d[b^] c,_Cb �ÒR^]`bmcÒb[Q^b[]jX`_CXP]`Xj�ÒOeSoR _CR^]�R � OàSUO S*dtXse]�R^_;bmdfX _CX � R�b[S,X`� _mc,X��²Q^b^_IR^s�_;b��!_Cb ?[bCg �R^Q3]`O�df\UX c,O�|CX S,] c,Oe|CO >�R�r,dt\,|C_AcUR;g>:� � ?m�f� � �P�K�!�I¤¢Ì$�K�A�I©^§¡� ]^¤w�,� Ë �A�{¿K�P¥F§´�A�Â� ]^�,�^�I¤h«u§¡� ½

i=\UOe��R´rob^�ÒO �Þ§u� ]^�,�^�I¤h«u§¡�ß�I¤¢Ì��Þ§¡Ã!�Ò ¨¤wÃ�§u� ½� ?AJq��L��3? \���� � �ª¦{¤w�h�^��¤%�K�A�I©^§¡�^]f§¡�Þ£¡¤ ¥±¬²�I¤¢Ìk� V � Á

À¸¶¹[º[»Kº[¼f¹[º3½ Ó�§u�^�Y¥F§�� Ï ¦{�o�A¤¢Ì�©^�A  ¥e�^� ½ � �È�^©k¤wÃ��0000 Á µ Ï 0000 � Á

� �

¾ ©A���Þ§G¥F§U¿^�{�A�K�k�¡��©k�±¤ ¥F§U¿^¤ÞÌk���¡©A�A�A¤ / Á�À � �A�A `§ Ë �A�K��¬^Ì�Ã�§¡Ã�� � �^�f���{�,¥±Ã!�^�F¥±¤

¦{�±¤w�o��¿K�^� Î��o�¯¥�©^§ .¡¤���¿ ð�x �A�{¿K� � I O V µ Ï O � � À

ñ �o§¡Ã!�Ò�ª�AÃ�§W�I¤¢Ì$�K�A�I©^§¡� ]^¤w�,� Ë ¤ � C�� �� Á�ÐÏ À

Ó���¦{� ½ Ìk��� � Ï À Ï[Ï[Ï ® ¤wÃ!�^Ã�� ð�� ®^®[®[® À ®[®;x ¦;��¥F§�¿f�A©^�A  ¥±�Þ�W¬^ÌA§¡�q¤ � � ®[®^® " À

� ?AJq��L��3? \���� � �ª¦{¤w�h�^��¤%�K�A�I©^§¡�^]f§¡�Þ£¡¤ ¥±¬²�I¤¢Ìk��� V � � À¸¶¹[º[»Kº[¼f¹[º3½ �P�K��¥F§ O � O Á^x �A�{¿K�Ý¥F§$�I¤¢Ì V � � �Þ§u� ]^�U�^�I¤h«u§¡� Ë ¦;�³¿^¤w©^§¡� ]^¤w�,� ½�P�K��¥F§ � �ÐÏ x �A�{¿K��¥F§Y�¡©A�A�A¤+«¡ ¢�^�ß�I¤¢Ìk��¥F§U¿^�{�A� Ï x ¦;���I¤¢Ì��K�A�I©^§¡� ]^¤w�,� Ë ¤1 ¨¤wÃ�§u��ô¬¥F§ Ï À Ó�§u�^��¥F§ Ï � O � O � Á[x ¤5�Þ§u�^�¶¥F§�� Ï ¦{�o�A¤¢Ì�©^�A  ¥e�^� ½ Ó��F]K�K¿ � �^Ã��³¿K� � �ª§DB�¤� Ï À � �k�^�AB�¤wÃ��´�ª� ½O � µ Ï O � � xO � O � � x

� E O � O � � E � x

Page 99: MATEMATIKA 1

94 3. NIZOVI I REDOVI BROJEVA [3.1]

Ü¡�¯��ÌkΡ� ]Ò�Þ§^]K�^��¤w©k�Þ�k�¡��¤ � E O � O ¿K�,¥F§ � E �

� E O � O ÀÑ �A�K��¥F§�¿f�A©^�A  ¥±�Þ�²¤¢Ìk�KÎ��,�^��¤ � �^�f�/�{�,¥±Ã!�^�F¥±¤�¦{�±¤w�o��¿^�I¤�Î��o�¯¥´©^§ .¡¤Ý��¿ � � �

� � � � � À �  ¨¤ ¥F§U¿^¤¿K��Ìk� O � O � Á �I¤¢Ì � �K�A�I©^§¡� ]^¤w�U� Ë ¤ � C�� �� � ��Ï À�P�K�W¥F§ � � Á^x �A�{¿K�à�I¤¢ÌÒ�K�A�I©^§¡�^]^¤w�,��¤Ý ¨¤wÃ�§u�P¥F§ Á[x � �A�K�W¥F§ � � µ�Á^x �A�{¿K�¤wÃ!�^Ã����I¤¢Ì µ�Á^xFÁ[xFµWÁ[xFÁ[x�µ�Á[x�Á[x ÀFÀFÀ±À$å �I¬t�h�^�¶¦{�o�A¤¢Ì�©^�A  ¥±�Þ�ÒÃ!�^ `§Ò�k�K�A ¨¤w�Þ§!�k�K� Á �k§¿f��¿^¬3Ük§P�{�^ ¢�kÌ�¤"Ρ§u�u�K�A�{�f«¡�Þ��ô�Þ� ]f��«¡ ¢�^�Þ�A©A���I¤¢Ìk� Ë �Þ�W¤ ¤¢Ì�©A�^�²�F¥F§��k§P�{�^ ¢�kÌ�¤�Ρ§u�u�K� ��{�f«¡�Þ��ô�Þ� ]f�Ä«¡ ¢�^�Þ�A©A� ½�Ñ �A�K� Á �I¤ ¥F§Ò ¨¤wÃ�§u� ½ �  ¨¤h«¡�I¤wÃá�U�kÌ�Ã!�^���,�^�F¥F§¡Ã Ìk�A�A  ¥±¬ «¡¬ �¥F§¡Ã��²¿K�²�I¤w��¤ µWÁ �Þ§�Ã��4BA§�Î�¤w�q¤: ¨¤wÃ�§u� ½ Ó�§u�A¤�¿^�±¬ ]^¤�Î��o�¯¥��Þ§�Ã��4BA§�Î�¤w��¤5 ¨¤wÃ�§u� Ë ¥F§¡�¦I�k�¡�¯�¯¥±¤n¤w�I�ª§¡�±©A�^ 1�k�K�!�F¥F§^]K�Ò¬²�K�¯¥F§¡Ã �k§$�Þ§W�{�^ ¢�kÌ�¤1�I¤w�q¤C¥F§U¿K�^�«¡ ¢�^���I¤¢Ìk� ½� z \UXj��c,Oe\UT � g � � R � � ­ X`�ÒR^�!b�_CX � ­tx " x N x ÀFÀ�À�À��1Rmc�_CX � X`�ÒRÒS,d^bAc,S,r,d[bß|IR� R z \Ub^X � d^b[] c,_;X � ��� z b[S*robAc,X � � � ruR^QARFd²|IR

/ � I V �ÐÀ�%R^QARFdà_;X � _CR^\oRFdf_Cb/_CO´Q^b^_3d^O�\L?[X`\UR;pfc,O�\:c,O�_CO�b ?^\oR^_CXjs�Oe_�p�_Cb � a b ?²S*d[bAc,S*rUdlR/X`SUQAR �� R^_Cb#?!T�bkd[bAc(�Gb[\U��TC]`X z X��,O��!b

� C�� �� V ��� À�%R^Qlbß_;O �,rUb�_CO!�!b[}�Oe�Òb²_IR z X`SURlroX � R�_CX � X � z \,X`��c,O�\oR � g �²TÂS,]`TCs�Rmc,T � � µWÁ Xj]`X� � µ¶­ À NYbCpCR^Q^b � R z \Ub^X � d^b[] c,_;X � � � z b^S,robmc,X� � � � ruR^QARFd³|CR

/ � I V � � xb[_C|IR´|Cbf|CT4�,OW_;X � |CXjd^O�\L?[X`\UR;pCR^]jXÞ_Ac,O0?[bkdfX�se]�R^_;bmdfX z b[S*ruRmc,T�S,d^O��ÒR^_Ac,Xqp z R z XN�UO��!b

� C�� � V � µ � À>�� � ?m�f� \ f �A�Þ�A�¯�A�à¤�� ]^�,�^�I¤h«u§¡�à�I¤¢ÌW�u§U�^ ¨�I¤`â�Î��u�¯¥F§¡©A�´�K�A�I©^§¡�^]^¤w�,� ½>�� � ?m�f� , ÓW§u�^�!�¡¬ß�I¤¢ÌA�A©k¤ V � ¤ Z � �K�A�I©^§¡� ]f§¡�I�q�I¤ Ë ¤n�Þ§u�^�P¥F§

� C�� �� V � V � x � C�� �� Z � Z � ÀÑ �K¿K�!©k�±¤ ¥F§U¿^¤1�¡  ¥F§U¿f§ .u§ ½ÉK½ Ó�¤¢Ì V � Z � �K�A�I©^§¡�^]^¤w�,��¤

� C�� �� V � Z � � � C�� �� V � � C�� �� Z � V � � Z � 
Page 100: MATEMATIKA 1

[3.1] 3.1. NIZOVI BROJEVA 95

� ½ Ó�¤¢Ì V Z � �K�A�I©^§¡� ]^¤w�,�!¤� C�� �� V Z � � � C�� �� V � C�� � Z � V � Z � À

� ½ Ó�¤¢Ì �¶V � �K�A�I©^§¡� ]^¤w�U�!¤� C�� �� �¶V � � � � C�� �� V � �¶V � À

� ½ßå Ì�¿f��¿K�^���I¤n¬f©È¥F§¡� Z ���Ï Ìk���¡©A�A�A¤ �� � x ¤ Z � ���Ï x �I¤¢Ì�� V Z �� �K�A�I©^§¡� ]^¤w�,�¤

� C�� �� � V Z �� � � C�� � V � C�� � Z �V �Z � 
� ?AJq��L��3? \����ÔÓ�� .¡¤= ¨¤wÃ�§u�k§��¡  ¥F§U¿f§ .¡¤`â²�I¤¢ÌA�A©A���� Á

ì x � � Á � � "

ë µ ® ì ��­tx � � ® µä­­ � " x� �

ì ��Á x � � ­ ì µæ® µ "® ì µ " ��Á x � � ï ì µ ® µóÁ�µ ­ µ ® À

¸¶¹[º[»Kº[¼f¹[º3½ÉK½ Ó�¤¢Ì Á

�K�A�I©^§¡� ]^¤w�U�ß� Ï x ¦;��¦I�Ò¦{�o§¡�wâI��¿^�Þ�AÃá�¯§u�A�o§¡Ã´¬ß¦{�o��¿^¬K�A���¯� ]ã�I¤¢Ìk�ß������^ô¤wà �k�^Ρ�AÃ��K�A�I©^§¡� ]^¤w�,�Ò�h�A�K�^¿ � §¡�¶� Ï ÀPÑ �A�K�(¥F§� C�� � Á

ì � Ï À� ½

� C�� �� � Á � � " ë µ ®

ì ��­ � � � � C�� �� Á � � � " � � C�� � Á

� ëµY® � � C�� �� Á

� ì �è­ � ­ À� ½ � �

��

��� ���� � # ��

� ��

� �ì� # �

� � ���� � �

� �

�� � � # ��� � � ���

� ��

ð� # �

� ��

ð

� �� �� ½

� C�� ��ì

��Á � � C�� ��Á��òð� � C�� �� Á:� � C�� �� ð

� � À

Page 101: MATEMATIKA 1

96 3. NIZOVI I REDOVI BROJEVA [3.1]

�K½ �� ��

� � ì � ��� � ���� ì � � � # � � � ��

��� � ð � � ð &� � � ð # ð

&� � �� � ��� � ð

� � ð & � � �� � � � � ð # ð

& � � � � ��^½ �

��

� � ì � ��� ��� �

� � � ��

� � ��

� � ì � ��� ��� �

� � � � �� � ì � ��� �

� # �� � ì � ��� �

� # � � � ��

� ��� ��

� � � � � ! � � � ì � ��� ��$# � ! �

�� ��

� � � ð� � � ë

! ��� �

� ë � ð

&# ð!�

��� �

P'*)+'! �Ð7�8gl´6%2 � '�l¨0�l�'�l��Þ."6gl�YR � �Òblro\UX¢r >eO��!b!SUR^|IR�_CO�QlOWdlR^}e_CO$]`Xj�ÒOeSUO^g� ?AJ��³L��3? \ ���

� C�� � 0ï � Á À¸¶¹[º[»Kº^¼t¹[ºK½ � �k�^�AB�¤wÃ��²�ª� ½ Ó�§u�^��¥F§ � Ï ¦{�o�A¤¢Ì�©^�A  ¥e�^� ½ � Ìk�KΡ§¡�±¤wÃ�� � ����È�A�^�^©�¿K�Y¥F§�� L ðì �

ì Á ÀÝÑ �K¿K� Ë Ìk� / � x ©k�±¤ ¥F§U¿^¤ � � µóÁ��­ �

ì� µ Á��­ �

ì À¾ ¿K�^�q `§ Ë Á � � Á:� � � x¥F§¡��¥F§ � L ð�ì �

ì ���o§ .¡¤Ò«¡ ¢�^� ¬ Î�¤w�Þ�Aô�Þ�¯¥�ÅF�A�±Ã´¬t ¨¤!��¿ Á�� � � tx ¬ �K�¯¥F�¯¥��¡¬ó�¡©k¤«¡ ¢�^�Þ�A©k¤�¦I��Ì�¤w��¤w©k�I¤ ½ � ��¤:�K�A�±¤ ¥F§¡��«¡¬t©A���Þ§G¥F§U¿^�{�A�K�k�¡�q¤5�{��¦I��Ì�¤w��¤w©k�I¤wà Î��o�¯¥F§¡©k¤wÃ!� ½Ñ �A�K�´¤wÃ!�^Ã�� Á�� � � 0ï � Á À�1Ρ� ]$¦{�o�A¤¢Ì�©^�A  ¥±�Þ�k�¡�q¤ �/�¡ ¨¤ ¥F§U¿^¤ � C�� �� 0ï � Á À� ?AJ��³L��3? \ ���

� C�� �� 0ï V � Á[x Ìk� V � Á À¸¶¹[º[»Kº^¼t¹[ºK½ �1� �� � �È�A�A©^§�¿K�Ý¥F§ èV ©k�¡¤ ¥F§U¿^¤

0ï � 0ï V � Á À¾ ¿K�^�q `§ Á � � C�� �� 0ï � � C�� �� 0ï V � Á À

Page 102: MATEMATIKA 1

[3.1] 3.1. NIZOVI BROJEVA 97

� ?AJq��L��3? \���� �� C�� �� 0ï V � Á[x Ìk� Ï �óV � Á À

¸¶¹[º[»Kº[¼f¹[º3½ �1� Ï �óV � Á ¥F§ ð� Á[x ¦;�

� C�� �� 0ï V � � C�� ��Á0 ð

� Á� C�� �� 0 ð

� Á À� ?AJq��L��3? \����f�

� C�� ��V ��� Ï x Ìk� V � �ÝÀ ��� gj�m�

¸¶¹[º[»Kº[¼f¹[º3½ ÓW§u�^�$¥F§ V� Ï ¤ � ��� �h�A�^�^©²¿K��¥F§ � � V�� ��� Á À�Ñ �K¿K� Ë Ìk�/ � x

Ï � V ��� ê V Á � V ­ � ÀFÀFÀ � V� î � V

����Á � ÀFÀFÀ � V � � � V�$��Á � L�� x

]K¿,¥F§"¥F§���� � ��Ì��{�f«u§¡��¦{�o��¿^¬K�A�1¬/�k�A�¡¬#]^ `�¯¥:Ìk�F]^�,�K¿^¤ Ë ¤Þ�K�¯¥±¤ �Þ§W�A©k¤`�¡¤%� 1À �1���h�A�^�^©� ©k�¡¤ ¥F§U¿^¤ �

� � ð � Á[x ¦;�Ý¥F§� C�� �� � V

�W��Á � L�� � Ï À¾ ¿K�^�� `§��¡ ¨¤ ¥F§U¿^¤�]f�A�±�F¥e�Ò��©k�,¿^�F¥e� ½�P�K��¥F§ V � Ï x �A�{¿K�(¥F§ � 0

���� µWÁ�� � � � 0

��x ¦;��¤wÃ!�^Ã���¤`�¡��¤ Ìk�A�A  ¥±¬I«U�A� Ë ¥F§¡� ]f�A�±�F¥e�¿^¤`�u�A¬K�¡¤ ¥e�Ò©k�±¤ ¥F§U¿^¤"Ìk� � � � 0

��
�1� V ��Ï  ¨¤wÃ�§u�=¥F§��k«¡¤w�ª� Ï À Ý'*)+'�� �Ä<;.10

�YQ^b�c,O��� µWÁ[x b[_C|CR´df\,X c,O�|;X Á:� � � � Á:� � x � R´S,dlR^Q3X � �PÀ

� dlR´_CO¯c,Oe|C_IR^Qlb[S,rYSUO � bkd^O�� �3?AB � � EqE�JML��C�C@ãB"�¡L�� � B"@4� � D �Kg�PbtseX`�!b´_CX � V �� Á:� ð

� À i=\,O��ÒR �:O�\U_;b[TC]`]jX c,O¡d[bAc�_COªc,O�|C_IRlQ^b[S*roX"X`�ÒR^�!b� Á:� Á

� � Á:� Á � ­tx

Page 103: MATEMATIKA 1

98 3. NIZOVI I REDOVI BROJEVA [3.1]

XÞruR^Qlb[| � O�\ � ÁPµ Á ì � � Áݵ Á

ì � ÁPµ Á x� Á�µ Á

� ��Á�� Á � � ÁPµ Á

x� Áݵ Á � L ð � Á�� Á

� � Á ÀWÞa b ?

Áݵ Á� ÁÁ:� ð

L ðx

X`�ÒR^�Òb Á��òð

Á�� ð L ð � L ð �

Á À� |CRlro]jO�V L ð � V xCz R´ruR^QlbÒ_;X � V � \oR^S*roOlgW�RAroX`��p z b�aCXj_Cb[�!_Cb[� rUO�b[\,O���TÞp

V � Á:� Á � µèÁ��Á��m­ � Á � ì �<�A�A�k� µèÁ����A�A��ÁÁ��A­��A�A� � Á � � ­Ý� ÁÁ �A­ �<�A�A�m� ÁÁ �A­��A�A� � ­Ý� Á­ � Á­ ì � �A�A�k� Á­ L ð� ­Ý� Á­ ðì 0 µóÁðì µ Á� ­Ý� Á­ �{­�µ Á­ L ð �� ® À

i+\,O��ÒRYrob^�ÒO5bkd^Rkc1_CX � c,O�b ?[\UR^_CXjs�O�_ÞgnNYX � c,O��Òb[_;b^rob[_�Xtb#?[\oR^_;X`s�Oe_�p z R¶Q^b[_Kd^O�\ ?^X`\oRtg�"Xj�ÒOeS�rob#?!_;X � R´b � _IR^s�RkdlR^�!b�SU]jbmd^b[���WX � bkd[Oe�Òb!aC\,bAc,O����[À ¶R^Q3]`O

� C�� �� � Á5� Á � � �[À

i+\,X`aC]jX`}e_IR�df\UX c,O�|C_Cb^S,rPaC\UbmcUR��W_IR z O¡ro_IRlO�S,rY|CO0��X`�ÒR^]`RÝc,O ­ À > Á N ­ N Á N ­ N6" ° @ Ï6" À

Page 104: MATEMATIKA 1

[3.1] 3.1. NIZOVI BROJEVA 99

� ?AJq��L��3? \�����\ÔÓ$� .¡¤ � C�� �� ��Á�� ­ � À¸¶¹[º[»Kº[¼f¹[º3½

� C�� �� � Á:� ­ � � � C�� �� ��Á�� Á

ì � À� �h�^©k¤wÃ�� ì � � À �P�K� G � x �A�{¿K�Ò¤ � G � x ¦;�Y¥F§

� C�� �� �"Á5� ­ � � � C��� ��

�"Á:� Á� � ì � �

� C��� ��

� �"Á:� Á� � ��� ì � �

� C��� ����Á�� Á

� � ��� ì � � ì À� ?AJq��L��3? \���� , Ó$� .¡¤ � C�� �� � µóÁ

��Á � À¸¶¹[º[»Kº[¼f¹[º3½� � ���� � �

�� # ��� � � ���� � � �� # ��� �

� �

� � # ì L ð �

� � � ��� � # �� �

� � �� �h�^©k¤wÃ�� � � L ðì À �P�K� G � x �A�{¿K� � G � x ¦;�Y¥F§� � �� � � # �� �

� � � �� �� � �$# � � ì � � ð �� �

� � � # � � � � ì �� �� � �$# � � ��� ì �

Ñ �A�K�(¥F§� C�� �� � µ Á ��Á � � � L ì À

Ý'*)+'�� "à037�����7�[g9?ªS z X¢ruRlrUX��Òb^_Cb^rob^_Cb[S,rÝS,] c,Oe|CO >eX��/_CX � bkd^R�V �

��

��Á x � �ì

ì ��­ x � �­

ì ��Á x � �® ��°­ ��Á À

� g9?ªS z X¢ruRlrUX�b ?[\UR^_CX`seO�_Cb^S,rÝSU] c,O�|CO�>�XN��_;X � bkdlR�V � �

��Á x � �

Á ì x � �

­ ��Á�� x � �

­ ­ µóÁ À

Page 105: MATEMATIKA 1

100 3. NIZOVI I REDOVI BROJEVA [3.2]

� gPN¶RF>eX�]`Xj�ÒOeSUO�S,] c,O�|;O >�XN�/_CX � bmdlR�V � ��

°Ý� µæ® ì" µ �è­ ì x � �® �è°® ì �è­ � " x � �

��­�� �ä®�� � " � ë � ��Á x

� � ��Á�� �è­��

ì ��Á x � �® ì µä° ��Á­ ë ��® ì x � �

­ µóÁ�� µä­�� µæ®��® ë �ä® ì µ Àô gPN¶RF>eX�]`Xj�ÒOeSUO�S,] c,O�|;O >�XN�/_CX � bmdlR�V �

�� ï ��Áݵ ï x � � 'ï ì ��Á ��Á x � �

'ï ë �è° x

� �ï � � ì µóÁ

ì ��Á x � � ê ï ì ��Áݵ î x � � µ N'ï µæ­ À

õ gPN¶RF>eX�]`Xj�ÒOeSUO�S,] c,O�|;O >�XN�/_CX � bmdlR�V � �� �

��Á � x � � � ��Á µæ® � �� ð x � � � ­ ��Á

� À���U � � ²�Y� � �²#1���Þ�(��� P'h&(',) -/.�032:4 <C7 %¶2P' � .�'�6+7�< �+7 '�kSl¨032 <C7 %Y2

N¶R$SU]jX��eX � gj�PQKdlR^|C\oRAr:|;TC] c,Xj_CO�S,rU\oR^_CXN��O Á

! " $&% ' �,+.-0/ � � ' 5 9a' 6 5765F$ ��35" � 3 � � ' 6 9d$�53 0(% 7 � ' � � ' � $ �r' % � ' 5,9`' 6K'

|CX c,O�]jX`�!bß_IRãseOeroXj\UX�c,Oe|C_IR^QARãQKdlR^|C\oRAruR;p � R �rUX`�ÍQKdlR^|C\URlr³T�|Cb[_Ac,Oe� ]jX c,O¡d[b[� Q3T;rUT |CX �c,Oe]`X`�!b´_IR�seOerUX`\UX;c,Oe|C_IR^QARÒQKdlR^|C\URlruRtp X ruRlQ^bTßa OeSUQ^b^_IR^s�_;b[S,r�g ¶b[aCX¢dlR^�Òb�ruRlQ^b�rU\UX"_CX � RQKdlR^|C\URlruR �Gz ]�RFdfX��ÞpnQ^bAc,Xj��R´c,O�|C_IRàS*ro\UR^_CX���R]jO�}�XP_IRç]jX c,Oed^bAc!a{btse_CbAc�S,rU\oR^_;X���X z btseOero_;b ?QKdlR^|C\URlruR � � O�]jO�_CXN��pIQ^bAc,Xj��R´|CX cUR#?[b[_CR^]�R�]jO�}�X_IR³|;X cUR#?[b^_IR^]`X z btseOero_;b ?²QKd^Rl|C\oRlroR;p X �e\,d[O �_CXN��p;QlbAc,X`�ÒRÝc,Oe|C_IR�S,rU\oR^_;X��FR�]jO�}eXÞ_IR�|Cb^_Ac,bAcS*ro\oRl_CX��eX z bfs�O¡ro_Cb#?!QKdlR^|C\URlruR[�¡gi1bkdf\ �,X`_COE��\*d[Oe_CX���Q3dlR^|;\oRlroRÄS,T�\,O�|Cb[�9 ðì ; ì x 9 ð� ; ì � 9 ðì ; � x 9 ð�; ì � 9 ðì ; � x 9 ðð�� ; ì �9 ðì ; � x À�ÀFÀ�À i�bkdt\L�UXj_CO � O�]`Oe_CX���X z ]�RFdfX���QKdlR^|C\oRAruR�SUTàXjS,rob´rUb[]`XjQ^O^g ��bAc,Oe_CX"Q3dlR^|;\oRlrUXSUO��!O�| � TCS,b[aC_Cb�_CO�S,X c,OeQfTÞp R � Rmc,Oe|C_Cb�s�Xj_CO�d[Oe]`X`Q3X Q3dlR^|;\oRlr�g ¶R^Q3]`O�S,TC��R z bkdt\L�UXj_IRQ3dlR^|;\oRlroR z bAc,Oe|CX`_CO$a{bAc,O�X � _Cb[S,X ðë À �%R^QlbÒ�!b[}eO��!b � R^Q3] c,T;s�XjrUX�|IRYc,O� Á­ � ì � � Á­ � � � � Á­ � � � � Á­ � � �<�A�A� � Á® À

Page 106: MATEMATIKA 1

[3.2] 3.2. REDOVI BROJEVA 101

�¶X`|CXj�Òb$|IR$SUT;��RWa OeSUQ^b^_IR^s�_;b´�Ò_Cb#?[b$aC\UbAc,O¡dlR��Òb^}�OÝ|IRlrUX{Qlb[_IR^s�R^_³aC\,bAceg���b�_IRlS�!b^rUXjdfX`\UR�|IR´T;d[Oe|CO��!b z bAcUR^� \UOe|IR!a;\UbAc,O¡d^Rtg� � � � ? � L��C�;@ c,O$a{O�SUQlb[_IR^se_IRÒS,TC�ÒR�a;\UbAc,O¡d^R

V ð � V ì � V ë �<�A�A�k� V �<�A�A� À�:\UbAc,O¡dtX�V ð x V ì x V ë x À�ÀFÀ x V x ÀFÀ�ÀISUO � bkdfTP= EG@IB � �"J�?m� � @ g � _CX�rUd^b[\UOW_CX � V �¡x X�roRmc_;X � SUO � bkd^O B�J A = EG@IB � �;@ ?m� � @ g �POe|�S,OßQ3\URF>�O � R z X`SUTmc,O z b[�!b*>eTæSUX`��a b[]`R��� d[Oe]`X`Qlb�?[\UsuQlb�SU]jbkd[b Y+�

V ð � V ì � V ë �<�A�A�F� V �<�A�A� � ��� ð

V À� SU_;bmdf_CX z \Ub[a;]`O�� \UOe|CbkdlRÄc,O � |IR ]`X z b^S,robmc,X�SUT;��Rè\,O�|IR � T$R^Q^b � aC\UbAc,X¢roXa{O�S,Q^b[_CR^s�_CbÒ�Ò_;b ?[b´aC\,bAc,OedlR

��� ð

V � V ð � V ì � V ë �<�A�A�k� V �<�A�A�I·i�b[S,rUT z R^Qàc,OàQAR^bÂXYQlbt|óQlb[_IR^se_COàSUT;�ÒOlg WÞaC\oRkcUR^�Òb ruRlQ^bç|IRtp�_IR^Q^b^_ �,rob SU�!b� aC\Ubmc,X`]`X%_CO�Qlb[]`XjQ^b z bfs�O¡ro_CXN�Âa;\UbAc,O¡d^Rtp1|Cbf|IRmc,Oe�Òb/S,] c,O�|;O >�Xqg��%Rmc z b[S*roT z R^Q!c,O�Q^bf|a{O�S,Q^b[_CR^s�_CO´S,TC�!O�a OeSUQlb[_IR^s�R^_�g �%RlQ^b³|Cb^aCXjdlR^�!b B�J A � � |Ac,O�]jb[�ÒXjs�_CXN��p ; @C?AHKJ��Le@IEqB�J I D � � @

� ð � V ð x� ì � V ð � V ì x� ë � V ð � V ì � V ë x�A�A�� � V ð � V ì � V ë � �A�A�m� V x�A�A�

�YQ^bP_CX � z R^\ �eX cUR^]j_CX��¶SUTC�ÒR � � Q^b[_Kd[Oe\ ?[Xj\oRÝQ�_COeQ^b[� a;\UbAc,T � x b[_C|CRÝa;\UbAc � � bmd^O��!bD � � � � \,O�|IR�� �� ð V x X z XN�UOe�Òb�� �� ð V � � À� rob[��SU]jTCsFRkc,T�QAR^}eO��!b´|IR�\UOe|� �� ð V � � B:�{�f? � JG?A@ g �¶Qlb�_CX � � � _COe��RY]`X`�!O�Seplb^_C|IR¶QAR^}eO��!b¶|IR¶\,O�|�� �� ð V � J�� �3? � J�?m@ g �¶Q^b�c,O � C�� �� � � � � x b[_C|IR z XN�UO��!b� �� ð V � � � À� ?AJq��L��3? \���� � �ª¦{¤w�h�^�q¤%�K�A�I©^§¡� ]f§¡�Þ£¡¤ ¥±¬²¤=�{� .¡¤1�¡¬fô¬��u§U¿K�

��� ð

Á ��Á�� � ÁÁ��m­ � Á­=�m® � Á® � " � �A�A�m� Á

��Á�� � �A�A�¸¶¹[º[»Kº[¼f¹[º3½W¾ ¦ .¡¤�«¡ ¢�^�à�o§U¿K�P¥F§

� � ÁÁ��m­ � Á­=�m® � Á® � " �<�A�A�k� Á ��Á�� �

Page 107: MATEMATIKA 1

102 3. NIZOVI I REDOVI BROJEVA [3.2]�"Áݵ Á­ � � � Á­ µ Á® � � � Á® µ Á" � �<�A�A� � Á µ Á ��Á � � Áݵ Á

��Á À¾ ¿K�^©A¿f§¶�¡ ¨¤ ¥F§U¿^¤+¿K�Y¥F§

� C�� �� � � Á[x¦;�Ò�o§U¿!�K�A�I©^§¡�^]^¤w�,��¤%�¡¬tÃ!��ô¬�¥F§ Á À�[��� @IB � �3L�� � � � B:�{�3? � �fB�HKJ�Le��?m� � @i+\,Oer z b[S*ruRFdfX`�!b´|IR�\UO�| � �� ð V Qlb[_Kd[O�\L?[X`\URÒX�|CR!Xj��R�S,TC��T � À�� rob[� S,]`TCs�Rmc,T

� C�� �� � � � X�ruRlQ^b[| �ªOe\ � C�� � � L ð � � À� |CRlro]jO

� C�� �� � µ � L ð � ��Ï ÀNYb � µ � L ð � V À �1R^QlbÒXj��R^�!b�S,] c,O�|;O >�X _3TC}�R^_�T;dFc,OerYQ^b[_Kd[Oe\ ?[Oe_4��X c,O�\,O�|IRtg

� C�� �� V ��Ï À

� ?AJ��³L��3? \ ����� � �ª¦{¤w�h�^��¤1�K�A�I©^§¡� ]f§¡�Þ£¡¤ ¥±¬��o§U¿K��

�� ðÁ Ï � ��Á � ÁÁ Ï[Ï[Ï[Ï Á � ­­ Ï[Ï^Ï[Ï Á � ®® Ï[Ï[Ï[Ï Á �A�A� À

¸¶¹[º[»Kº^¼t¹[ºK½�¾ ¦ .¡¤:«¡ ¢�^�à�o§U¿K�Y¥F§V � Á Ï � ��Á À

� C�� ��Á Ï � ��Á � ÁÁ Ï � Ï x

¦;��ÌkΡ� ]Ò�ª� ]K�!Ü¡�¯�!�I¤ ¥F§$¤`�ª¦{¬f�F¥F§¡�à�I¬6Bk�^�à¬f©È¥F§¡�+�K�A�I©^§¡� ]f§¡�Þ£¡¤ ¥F§��o§U¿K� Ë �o§U¿³¿^¤w©^§¡� ]^¤w�,� ½� dlRmc´T;dFc,OerÒ_CO/|IRmc,O�bt|4?^bmd^b[\´_IR z XjroR^_Ac,O/|IRã]`X�\,O�|äQ^b[_Kd^O�\ ?^X`\oRtg � _äSoR^�!brUdf\U|CX5|IR;p%R^Q^b�c,O � C�� �� V �� Ï x b[_;|IR�\UOe| � �� ð V |CXjd^O�\L?[X`\UR;gE �R�]`X=df\UX c,O�|CXb[aC\oRArFp;rGcegC|IR�]`XÞX � � C�� �� V � Ï SU]`X c,O�|CXÞQ^b[_Kd[Oe\ ?[Oe_4��X cUR!\,O�|IR� �� ð V � �1b�_CX c,OX`S,rUX`_IR�QAR^Qlb z b[QAR � TAc,O�SU] c,O�|CO�>�X z \,X`��c,O�\�g

Page 108: MATEMATIKA 1

[3.2] 3.2. REDOVI BROJEVA 103

� @C?A� � B1JMLFD ��J:?m� ��ÝO�|

�� ðÁ� Á:� Á­ � Á® � �A�A�m� Á

� �A�A�S,O � bkd[O�I @;?l� � B�JMLFD � J�?m� �+pCX btseXjrUb

� C�� � V � � C�� �Á� Ï x

_;b�X z R^Q�\UOe|Ä|;Xjd[Oe\ ?[Xj\oR;pKc,O�\�_Ac,O0?[bkd[O z R^\L��X cUR^]`_CO�SUTC�!O � � R^|Cbkd[b[] cURFd^Rkc,TÄS,] c,Oe|CO >eO_;O¯c,O�|;_IR^Q^b^S,roXqg� ì � Á:� Á­ � Á:� Á­ x

� � � � ì & � Á:� Á­ � Á® � Á" � Á:� Á­ � Á" � Á" � Á���­ Á­ x��� � ì ' � Á:� Á­ � Á® � Á" � Á° � Á& � Á> � ÁN

� Á:� Á­ � Á" � Á" � ÁN � ÁN � ÁN � ÁN � Á:��® Á­ x�A�A�� ì 0 � Á:� Á­ � Á® �<�A�A�m� Á­ � Á:� Á­ x�A�A�

W�R z \,b[X � d[b[] c,_Cb³d[Oe]`XjQ�aC\,bAc � z b[S,rUbAc,X :� � ruR^QARFdã|IR�c,O ÁÝ� ðì � x |IR^Q3]`O� ì 0 �ÐÀ NYX � � � \UR^S,rUO^pI_COeb ?[\oRl_CX`seO�_�c,O^p z R¶c,O z \,O��ÒR´rUb[�!O � C�� �� � � � X�CR^\U�!b[_CX c,SUQ3X�\UOe|ß|;Xjd[Oe\ ?[Xj\oR;g Ý'h&('È& �ó7 .54 7Þ9f<4l¨0�m38gl´<C7 %NYRmc*dlR^}�_;X c,X z \,X`��c,O�\(\,O�|IR¶c,O � � � �Â� � ?lJMLFD ��J:?m� �5g �ÝO�|

V ð � V ì � V ë � �A�A�m� V � �A�A�seX c,XIS,T³s�]`R^_CbkdfXI\oR � ]`X`seXjrUXCbt|!_3TC]`OlptS,O � bmd^O�?[Oeb[�!Oero\,X c,S,QfXqp3R^Q^b�c,O V �� ðV � � � R�S*d^RlQfX x r�cegCR^Q^b¶c,O�QKd[b���X c,O�_KrÝSUTCSwc,O�|C_;X���s�]�Rl_Cbkd^R�a;X`]`bJ?[|Ac,O�T/\UOe|CT�c,O�|IR^_²rUO�X`S,rUXÞaC\,bAc � À�:\UbAc � SUO � bkd^O �S� � HKJML��fB � � � � �Â� � ?lJMLFD � ��� ?A� � @ g

WÞa{b ? V ìV ð � � x V ëV ì � � x ÀFÀFÀ x V �� ðV � � x À�ÀFÀ x S,]`X c,O�|CXV ì � V ð � x V ë � V ì � � V ð � ì x À�ÀFÀ x V �� ð � V � � �A�A� � V ð � x �A�A� À

Page 109: MATEMATIKA 1

104 3. NIZOVI I REDOVI BROJEVA [3.2]

�%R^Qlb´dtXj|CX`�!b�|IRYc,O ?[Oeb[�!Oero\,X c,S,QfX \UOe| z b^r z TC_Cb � R^|CR^_/S z \,dfX`� s�]`R^_Cb[� V ð X�QKd^b ���X c,Oe_Krob[� � x X�|CR!S,OW�!b[}eO � R z XjSoRlrUX�T�b[aC]`XjQ3TV ð � V ð � � V ð � ì �<�A�A�k� V ð � � �A�A� � �

��� V ð � À

¶R!S,OWTtrUdf\U|CX � R!QlbAc,O � ?[O�b^�ÒO¡ro\UX c,SUQ3XÞ\,O�|�Q^b[_Kd^O�\ ?^X`\oRtpCro\UOeaIR�X`S z XjruRAroXÞQlb[_Kd[Oe\ �?[O�_4�eX c,T/_CX � R z R^\L��X cURl]`_CXN�³SUTC�ÒR;g�?ª�ÒR^�!b

� � V ð � V ð � � V ð � ì �<�A�A�k� V ð � L ð xX

� � � V ð � � V ð � ì �<�A�A�m� V ð � L ð � V ð � À�YR � ]`XjQlRWroX��/|;dfX c,T�c,Oe|C_IR^Qlb[S,rUX;c,O

� µ � � � V ð µ V ð � À�¶Q^b�c,O � �� Á[x bt|IRAro]`O¶SU]`X c,O�|CX� � V ð µ V ð � ÁPµ � � V ðÁݵ � µ

V ð � ÁPµ � À�^O�|CXj_CX�se]�R^_ QlbAc,X�_IRà|COeSU_CbAc´S,rU\oR^_CX�bmdfXjSUX(b Âc,O � À��%RlQ^b�c,O � RãQ^b^_3d^O�\L?[O�_4�eX c,T?[O�b[�!OerU\UX c,SUQ^b#?¶\UOe|IR z \,O�SUT;|C_Cb z XjroR^_Ac,O:|IR¶]`Xf_CX � � �� Q^b[_Kd^O�\ ?^X`\oRtg � _´Q^b[_Kd^O�\ ?^X`\oRtpXÞrob!Q Ï x RlQ^b�c,O µ�Á � � � Á À � rob[� SU]`T;sFRmc,T�c,O

�¶� V ðÁݵ � À

�¶Q^bÒc,O � � µ�Á Xj]`X � Á[x b[_;|IRà_CX � |CXjd^O�\ ?^X`\oRtgMt]`T;sFRmc � � Á ro\UOeaIR z b[SUOeaC_Cb\oR � ��RlrU\oRlrUXhp c,O�\�T�rob[� SU]jTCsFRkc,Tó_CO�S,�ÒX c,O��!bÂ|CX c,O�]jXjroX�S Á�µ � x �*rob S,�ÒbÂT ?[b[\ �_Ac,O�� X � d[bf|CTÄQ^b[\,X`S*roX`]jXhg �¶Qlb�c,O � � Á[x b^_C|IR´c,O � � $V ð x"z R�c,O � C�� �� � �� C�� �� $V ð � � � x bkdfX`S,_Cbãb�rob^�ÒO!|IR�]jX c,O�V ð Ï x X`]`X c,O³V ð � Ï À� �R^Q3]`OlpnTrob[�éSU]jTCsFRkc,T³\UOe|³|CXjd^O�\L?[X`\UR;g*W�R�V ð �ÐÏ S*dtX s�]`R^_CbkdfX \,O�|IR�S,T�c,O�|C_CR^Q3X Ï xfz RWrUb�_CX c,O?[O�b[�!OerU\UX c,SUQ3XÞ\,O�|�g� ?AJ��³L��3? \ ��� � � ©A��� ]^ `§U¿K�^ ¢�!�¡¬�¦I�k�¡�È�^©k  ¥F§¡�{�$¦I��¿Ò�A¬f�¯§¡Ã � � À�f ¬3â;���k§W�{�^ ¢�kÌ�¤=�{�¥F§U¿^�Þ�Aà ��¿´�F¥±¤`â��{��¬;¿K�^  ¥F§¡�Þ�k�¡�q¤ � ��¿��ª¦I�¯¥e� ½ e �A ¨¤`�K� .u§¶©k�o§¡Ã�§¡�{�´���o§�Îu�^�q¤1ô¬3âf¤%¿K��¡�q¤d]^�Þ§�¿f�´�ª¦I�¯¥e�²� ]^ `§U¿K�^ ¢� Ë �A�K���¡�h�^ ¨�Þ�! `§¡�q¤=Î��UÌ�¤w�Þ�Aà � Ã��I��¦{�u§¡Ã!�´�¡©^�¯¥F�¯¥¶�¡ ¨¤h£¡¤ �

Page 110: MATEMATIKA 1

[3.2] 3.2. REDOVI BROJEVA 105

dd

d

dd

1

2

34

π4

¸¶¹[º[»Kº[¼f¹[º3½�ñ �±©k¤=¿^¤h�ݦ{¬t�h�Ý¥F§��í ì x ¿^�±¬#]^¤n¿^¤h�¥F§ �� í ì & x ���o§ .¡¤n¿^¤h� �� í ì ' x ¤�� ½ ¿ ½Òå �A¬k¦;�^��¦{¬f�¥F§�¿K�A�A `§��� ð

� ï ­�� �

�í ìÁݵ ðí ì�� Á:� ï ­�� � À

_ �±¤ ¥F§¡Ã�§$¦I�A�q�o§�Î��Þ�ã¿K�àô¬3â;���¡�q¤d]^�Þ§Ò¬Â���^Ã�A¬f� ¥F§� � � �Z

���� �V � Á5� ï ­�� �

�� � � � � � 
� ?AJq��L��3? \���� ���:§¡Ã´¬W¥F§n¥F§U¿^�{�A�ÒÎ��o�¯¥ Ï À��@K·¸¶¹[º[»Kº[¼f¹[º3½ Ï À��@ ¥F§³¬3�¡��©A�^�±¤P�A�,� .¡¤�Ìk�¡¦{¤`�²Î��o�¯¥e� Ï À @+@+@+@6@+@+@+@ ÀFÀFÀ�À�Ñ �,¥³Î��u�¯¥!�k§Ã��4BA§PÌk�¡¦{¤`���^�q¤1�^�f�!Ρ§u�u�K�A�{�f«¡�{�´�¡¬fÃ!�Ï À �@ � Ï À @P� Ï À Ï @Ý� Ï À Ï^Ï @P�<�A�A� � @Á Ï � @Á Ï[Ï � @Á Ï[Ï[Ï � �A�A� À¾ ©^�1¥F§U]f§u�AÃ�§¡���±¤ ¥o�u�A¤ �o§U¿��%¦{�±©k¤wÃé«¡ ¢�^�Þ�Aà V ð � �ð � x ¤ �A©^�k£¡¤ ¥F§¡�I�¯�Aà � � ðð � À � ¬C¿^¬ .¡¤¿K�Ý¥F§ Ï � � � Á[x �o§U¿��K�A�I©^§¡� ]^¤w�U� Ë ¤%�¡¬tÃ!�P¥F§

Ï À �@ � �ð �Áݵ ðð �� Á À

��b z >eO�� S,]`TCs�Rmc,T³_COe��R^�!b��Gb[\U��TC]`O � RWSUTC��T³\UOe|IR;g �PR^s�T;_IR^_Ac,OYSUTC�!OYbkdfX`S,X brUb[�!O(|IR�]`X � _IRl�Òb�X � \oRls�TC_IRAroX � x b z >�X;s�]�Rl_´_CX � R z R^\L��X cURl]`_CXN��SUT;��R;g �1b$S,O�\UX c,O¡roQlbQAR^|��!b[}�O�TCseX`_CX¢roXqp;R�XÞruRl|IR´�ÒO¡robf|CO�\oR^seTC_IR^_mcUR�dlR^\,X`\oRkc,T²bt|/SU]jTCsFRkcUR!|Cb�S,]`TCs�RmcUR;g Ý'h&('! �Ð<lÈ9;7�<l¨0�l!8+.�'�6+7�< �57 'RkSl¨037 <C7 %Y.�612�æ_COeQfXj� SU]jTCsFRmc,O¡dfX`�ÒRP_CO:�Òb^}�O��!bP_IRF>�X3S,TC��T�\,O�|IRtp[R^]jXK�Òb[}eO��!bYXjS z X¢ruRlrUX[|IRP]`XK\UOe|Qlb[_Kd[Oe\ ?[Xj\oR�Xj]`X�_COlgÝN¶RFd[Oe|CX`�!b�SUR^|IR!_CO�QlO�|Cbkd[b[] c,_COWQf\,XjrUO�\UX c,O$Q^b[_Kd[Oe\ ?[Oe_4��X c,O�\UOe|IR;g Ybmd^b[] c,_;XtQ3\UX¢roOe\UX c b[SUXN?[TC\URkdlRPQ^b[_Kd[Oe\ ?[Oe_4��X c,T�QlRl|Pc,O�XjS z TC_mc,O�_�p^R^]`XfR^Qlb�_CX c,O5X`S z TC_Ac,Oe_b^_C|IR³_COe��R�bf|C]jTCQ^OlgJ�|;\UT4?[O�S,ro\UR^_CO�_3TC}�R^_ T;dFc,Oer$_CO�b[SUXN?[TC\oRFdlR�Qlb[_Kd[O�\L?[O�_��X c,TÞpRl]`X�RlQ^b!_CX c,O�XjS z TC_mc,O�_�pIb[_;|IR!\,O�|�|CXjd^O�\L?[X`\UR;g� � ��� � J(D ;�� A J � J��"B�Jq� = E�@IB � � Jq� @� ?F�"J ��?AJ � �3?lJML � D ;�� ?A� � � J8�;@IBtLe�t��� NYOeQlR!SUTß|IR^_CX"\UOe|CbkdfX � �� ð V X � �� ð Z xX _;O�QARYc,O

� C�� ��V Z � q x

Page 111: MATEMATIKA 1

106 3. NIZOVI I REDOVI BROJEVA [3.2]

?[|Ac,O$c,O Ï � q � � À �1R^|IRà\,O�|CbkdfX �áV X �áZ X`S,rUbkdt\,O��!O�_Cb�Q^b[_Kd[Oe\ ?[Xj\oRmc,T Xj]`X|CXjd^O�\ ?^X`\oRkc,T�g� ?AJ��³L��3? \ ��� � � �ª¦{¤w�h�^��¤1�K�A�I©^§¡� ]f§¡�Þ£¡¤ ¥±¬��o§U¿K�

�� ðÁ ì � Á�� Á­ ìY� Á® ì¶�<�A�A�F� Á

ì�� �A�A� À¸¶¹[º[»Kº^¼t¹[ºK½

� C�� ��ð &ð

� �� ð�� � C�� �

��Á�� ì � � C�� �

ì � ì � � C�� ��

Á��òðÁ � Á À

� ¬C¿^¬ .¡¤+¿K���o§U¿ � ð� �� ð� �K�A�I©^§¡� ]^¤w�,� Ë �K�A�I©^§¡� ]^¤w�,�!�h�A�K�^¿ � §¡�$¤=�u§U¿ � ð

& À� ? � � J ��?AJ � �3?AJML � D ;�� ?m� � � J8�;@IBfL��f�è� NPO�QAR�SUT´|IRl_CX;\,O�|CbkdfX � �� ð V X � �� ð Z xX�_CO�QAR z b^S,robmc,X� � ruR^QARFd²|IR � � z bkdf]�Rls�X"V � Z À �1R^|IR�df\UX c,O�|CX S,] c,O�|;O >�Olg�[g��¶QlbÒ\,O�| � Z Qlb[_Kd[O�\L?[X`\UR;p b[_C|IR´X \,O�| � V Qlb[_Kd[O�\L?[X`\UR;g� g��¶QlbÒ\,O�| �áV |CX¢d[Oe\ ?[Xj\oR´b[_C|IR´X \,O�| � Z |CX¢d[Oe\ ?[Xj\oR;g

� ?AJ��³L��3? \ �j� � �ª¦{¤w�h�^��¤1�K�A�I©^§¡� ]f§¡�Þ£¡¤ ¥±¬��o§U¿K��

�� ðÁï � Á:� Áï ­ � Áï ® �<�A�A�k� Áï � �A�A�

¸¶¹[º[»Kº^¼t¹[ºK½ �1�/�¡©A�A�A¤ � � ¥F§ ï � 1ÀP¾ ¿K�^�q `§ ð� ðí Ìk�³�¡©A�A�A¤ :� ��À� ¬C¿^¬ .¡¤+¿K���o§U¿ � ð

¿^¤w©^§¡� ]^¤w�,� Ë ¿^¤w©^§¡� ]^¤w�,�Ò�h�A�K�^¿ � §¡�W¤%�u§U¿ � ðí À

� ?AJ��³L��3? \ �j� � � �ª¦{¤w�h�^��¤1�K�A�I©^§¡� ]f§¡�Þ£¡¤ ¥±¬��o§U¿K��

�� ðÁ ë � Á:� Á­ ë � Á® ë �<�A�A�k� Á

ë �<�A�A�¸¶¹[º[»Kº^¼t¹[ºK½ �1�²�¡©A�A�A¤ ��� ¥F§ ì � ë Àݾ ¿K�^�� `§ ð

' � ð & Ìk�²�¡©A�A�A¤ � ��À� ¬C¿^¬ .¡¤+¿K���o§U¿ � ð

& �K�A�I©^§¡� ]^¤w�,� Ë �K�A�I©^§¡� ]^¤w�,�!�h�A�K�^¿ � §¡�$¤n�o§U¿ � ð ' À

Page 112: MATEMATIKA 1

[3.2] 3.2. REDOVI BROJEVA 107

����� EG�t� � �3? �F� �j��?AJ � �3?AJML^� NPO�QAR¶c,O$V ��ÐÏ � R!S*dlR^Q3X� � � x X�_;O�QAR�c,O� C�� �

V �� ðV ��� À�1R^|IR´df\UX c,O�|CX�S,] c,Oe|CO >eO^g�[g��¶Q^b�c,O � � Á^x b[_C|IR´\UOe| � �� ð V Qlb[_Kd[Oe\ ?[Xj\oR;g� g��¶Q^b�c,O � Á^x b[_C|IR´\UOe| � �� ð V |;Xjd[Oe\ ?[Xj\oR;g� ?AJq��L��3? \��j� � � �ª¦{¤w�h�^�q¤%�K�A�I©^§¡� ]f§¡�Þ£¡¤ ¥±¬²�o§U¿K�

��� ð

­ µóÁ­ À¸¶¹[º[»Kº[¼f¹[º3½

� C�� ��ì�� ðì 0�� $ì L ðì 0 � � C�� ��

­ ��Á��I­ ­ �� ð ­ µèÁ�� � � C�� ��­ ��Á­ ­ µ Á�� � Á­ x

¦;�W¦{�o§¡Ã!� �� �¶ `§¡Ã!Ρ§¡�¡�ª�A©^�Aà �A�¡¤w�ª§¡�±¤ ¥±¬ß�o§U¿!�K�A�I©^§¡� ]^¤w�,� ½�� �� ,I������ � ������� � ��� ����� ��!�"$#%�

� C��& �� 0' ( &�) �+* ,.-0/214356"�78":9<;�=>#%��7?=�@%AB#%�C7?� >C� /D /FE !�GH#%� �JI�K�L G4M?78":;��C7 � &���N ( & !OG4MP94�C;�Q4=R;S" /10/FE !�GH#%� �JT�K�L G4M?78":;��C7 � &���N ( & 7U=R94�C;�Q4=R;S" /V ���.W ��� �YX �RZ X\[^]`_badcfe�c.ahgPi�j8k�lnm.o<lnjqpna rtsumSl�vPe

&��?wx & *

y$z4{4|P{4}<z4{�~�R� �& �� 0� �

x & ) � ���&��F� �' ��' x & )

Kx L_Ue�_bmSln��e��e�s8p^�<��r�lnk�i���g�mtadc�lnmta rts�mSl�v�gPi�j8k�lnmfo�adm%e ~

Page 113: MATEMATIKA 1

108 3. NIZOVI I REDOVI BROJEVA [3.2]

� ������� ��� �� � � ������ � 6� W � ��� ��� � W � �"����u@���78"�;��C7 =��Y""�A�����;�MU=�;S"OM?����A�"�M?G�94��� "�!OG @�� G�M?= M8"�=����H#%��M��C����G���=���=R9<M?= =M?��QP"��S=R9<M?= / � "!�^"�!P9���;%��7?G�94��="� "���G @%AB#%��7U��#�= !�;�=$�S�C;�=B# /% � �'&(��*) ���,+ ����� � ��� ��� � �C!O"uM?=��.- ( &0/ ��G���=���=R9<M?=�132?;%G�#%�C9O"u@���;�G4Q4G��?"�78"4� =6M?��!�"#%� � ��� &��F� ( &�)65 * 56"�78" ;���7

( N87 (:9(; (:< 7 (:=(;,>?>?>!�G4MP94�C;�Q4=R;S" !.@�=A�U;�=B�SG�� #%� 5 I @ I ( N *V ��� W ��� � X �RZ�C [^]`_badcfe�c a gPi�j8k�lnm.o<lnjqpna rts �� � � ������ � ��DFE4�HGJI � ��W � 6� � � +K�KG � �L� �m^l�vPe �M

&?N�N - 7 K / &�O8NK� ) K 7 Kx ; KP 7 >?>?>?; - 7 K / &�O8N K� ;,>?>?> *

y$z4{4|P{�}0z4{P~RQ s?v�sSna vPe j8a$T ( & ) N& ]nc mSi�o<i _UePvPe�U�a vPe r�luj�r�lfo<i�k3V ad�Yl^] 5 Le�V c�lnmtj8adm%e%rtsKSna �Ue�mt�Yi�j8a rS]^g�a6mSl�v�Uq_bmSln��e!W�lna*X�j8a$T�i�k�i�� g�mtadc�lnmta rts gPi�j8k�lnm.o�adm%eH_bmSln��ejql^gPi��YX�mSi�rts a$T��Yl�v Zfs 5 a K�*E !�G @��!��A�"�M?G�9<=0;%��78"H;�"���AR="��=$�S=�1[�?;��C7���M8"O!O"L�P=�A�=P@��:@%9<=UMU��QP"���=R9<M?=\�OG4MU78"]�^"O!�G47 ^`�C;90;%=B#%�C7?�`_ba E A��c�d2b��;e�SG�9 =[f "����g1:h�#%�C9 !�;�=�����;%=B#c�F@S"���GJi���Gj�k��G0� @%A"����" #��k�S;��c28"����=��Y"���=8"��?@%G4A"�L�SM?�+9<;�=>#%��7?M?G�@��S=�CA "�MUG 9O" ;��C78" /ml ���c�?A��S"�� !�G�#%= 7?G02U=B#%����G G<7?M?G4@%=b@%�M8" ;��C7u@F"��?@�G�A"�4��M?="� 9<;�=>#%��7?M?G�@��S=��Y"n��A�"�M?G�9O" / E !OG:;���7 @F"��U@�G4A��4�SM?=��o��A "OM?G�90=��Y"!�G4MP94�C;�Q4=R;S"4� G�M?78" =(�bG4A�"���M?=�;��C7 !�G4MP94�C;�Q4=R;S" /�E !OG ;���7 @ "��?@�G4A��4�SMU="�p��A "OM?G�90=��Y"7?=R9���;�Q�=�;S"L�UG4M?7?"�Gq�bG4A "��CM?G0��;��C7��M?�r��G0���c� G:MU="i��S"s��"�!�AB#��4��=���= /

V ��� W ��� � X �RZKtvu e gPi�r�lxw gPi�j8k�lnm.o�adm%e mSl�v�M&yN?w

w &�(z|{y$z4{4|P{�}0z4{P~�Q s?v�sSna�vPe�jql}T�jbe��YiHgPi�r�lfo ]ns _bmSl�v?T�jbe�g�e i�j8aLw~T�e gPi�r�lFmSl�v gPi�j Zk�lnmfo�adm%e�U<_bmtad� r�lnj�rtsnr�ln�Yi|��� ��V�ln��Xnlnmtc`i�k g�mtadc�lnmta r(T�e en_8]�i�V s0c jql k�mna r�l�v�jqi�]nc aB��V�e�jqi�k�em^l�vPe

� ) � ���&�� ����� ���0�� &?��N\��� ����� � �&�� �� ) � ���&��F� � w �� ; K )�5 *

� e�gPi+r�l � I K�L a c`ibT�e ]nk�e�g�a�w3�3� L mSl�v�gPi�j8k�lnm.o�adm�e�T�e�]nk�e�g�a�w *

Page 114: MATEMATIKA 1

[3.2] 3.2. REDOVI BROJEVA 109��������� ���� ����D /]� "@�A>#%��7?�c#�= ;%��7 M?"�#�= � ^ � � �8"�;���=B#�"OA�MH� @����!�B� 7UG4!�"���"���= 78" !�G4MP94�C;�Q4=R;S" =="��;�"����UM8"��S=qM�#%��Q4G�9���@ ���!� /

��� �M&yN�N

K- x � 7 K / - x � ; K / L�� � �M&?N�N

K- P � 7 x / - P � ; K / *10/�� @ �?=$�^"���= !OG4MP94�C;�Q4�CM���=>#�� @�AB#%�C7?��#C="1 ;%��7?G�9O" �U@ �bG4;��C7 ^ =R9O"�M�#%�c� =�A�=|�U;�="�H#%��MUG0�M��4��M?G4Q��U9�#%�c�S"�!OG4MP94�C;�Q4�CM���=>#%� /

��� �M&?N�N

K- x � 7 K / - x � ; K / L � � �M&?N�N

�� � ; x L � � �M&?N�N

K��� � L� � �M

&?N�N��� �� L � � �M

&?N�N� ; xP � 7 K L � � �M

&?N�NK � - � ; K / *

-U/�� @ �?=$�^"���=�!�G4MP9���;�Q���M��C=B#��@%AB#%�C7?��#C="1�;���7UG 9O"q_ba E AR���!2b��;e�SG�9<="� !�;�=$�S�C;�=B#%�c� /�!� �M

&?N?wPO&�(z L � � �M

&?N�N�P & L � � �M

&yN�Nx�&�O8N- x � / z *" /�� @ �?=$�^"���=�!�G4MP9���;�Q���M��C=B#��@%AB#%�C7?��#C="1�;���7UG 9O"�f "����g1:h�#%�C9<=�� !�;%=��S�C;�=>#%��� /

�!� �M&?N?w

� 9� & L � � �M&?N�N

P &� N w`w L � � �M&?N�N

# x �P � ; x%$ & *& /�� @ �?=$�^"���=�!�G4MP9���;�Q���M��C=B#��@%AB#%�C7?��#C="1�;���7UG 9O"(' ��=�2?M?="�CG�90=�� !�;�=$�S�C;�=B#%�c� /

��� �M&yN�N

- 7 K / &�O8Nx � 7 K L � � �M&?N�N

- 7 K / &�O8N� 9 L � � �M&?N�N - 7 K / &�O8N

x � ; K� - � ; x / *

) /]� " !OG�#%� ;���"�A�M?�r2?;%G�#%�C9���!OG4MP94�C;�Q4=R;S" ;���7 �M&?N�N

- w 7 P / &- w ; K / � 9 {* /,+ !�; �?Q ;S"O7?="�?@�".- #%�s���U=�@S"OM�!�9O"�7U;S"����B� !�9O"�7U;S"�� #%�s�4�?=�@�"�M�!�; �?Q��A� !�; �UQ!�9O"�7U;S"��F=$�S7 / � "�#�=A�?!H���UM��~��G�9<; i%=�MH�.�^"�!OG 7?G�2?=R9���M?=�1�!�;��?Q4G�9O" // /,+ =�@e�SG4@e�S;�"�M?="�CM?= �S;�G�!��L� @���;S"�MU="��� ( #%�d���?=R@S"�M !�; �UQ��8� !�; �?Q #%�����?=R@S"�M =R@ ^�SG4@e�S;S"OM?="�CM?=���;�G4!H�4����� =R@��SG�@��S;�"�M?=���M?=��S;�G�!��L� !<;��?QF=���7 / �$"�#C=0�?!H���?MH�n��G�9<; i%=�MH��^"�!OG 7?G�2?=R9���M?=�1.��;�G4!H�4�S" /

Page 115: MATEMATIKA 1

110 3. NIZOVI I REDOVI BROJEVA [3.2]

Page 116: MATEMATIKA 1

� ����������� � �

����������� ���� � ����� � �!��"�� ��#%$��&� ��' ��#

(*),+ -/.103254 687:9*;=<?>@03AB D +DCFEHG �JILKNM �,O�7PO�MPOL�QO8R�G�@ � �SO�7POOMPO�709TOuM M �?;UO���MPO�@VRH���POXW =YW[Z L =m�U;�G0�?=R@���bG:R�G KNM � KNM @%98OTROG0� M A M � M M:��� ="�\W �?;%=�7?;���� M M �bG KNM 7PO�M M A M � M M:��="�\W Z^] 56G @ MR�;VO��UROGd�,O��?=�@�� KNM G�9TO8R�G I`_ Wba W Zc]d RH���JW �CG�9 M ��G em�A�gf�D � G,h W �ihFj Eck

f

x

f(x)

S

S’

lTm nHoqpsrTtHu,vPwDxypVz|{}oUnF~�x�nHoqpU�i�@�,��oq�Vn �c�

CFEHG,h =�AR=�� � W h � W O�@VRH����W[Z + � � � W h�k � W�� �?M�R���= KNM�I�]|�?M @e�SGF@ M 7?G0� M M�O � �?M�R��C= KNMI G0��M�O��SO�98O @i�~- I / ]|� A M � M M:�F�?;�=R7?; �4� M M M A ^M � M M:��� w G0��MPO��SO�98O�� G @ I - w / =]��G�9 M � G� � E'+K� W h � h W h �� � w �O7?GTR w �CG 9 M ��G]��f�E'GPkE �� � W G<7 I - w / ]i� G�M M R�O�7 @ M R�O�� M 7PO KNMw3 h ) � �iE �y � � � f�EHG � & � � ��O I - w / ) � ��E �y �� � f�E�G � & ���3� d RH���`� - I /���� I - w / � w �W?��CG�� M ��G � � E'+K� W   D +DCFEHG,h IQ�Y¡ �,¢$�SG KNM � - I /¤£ W¥Z ]

��h ��� h   D +�CFEHG,hLf�h �� h3� � f�EHG � & � h+§¦ OT¨ K M KNM �Y# M ��G�©UO ¦ ¢��V¢gªVO���G�ª � �UM�R���¢ K O��«Od��¢ KNM ª � ¦ G�� M M M ¢gR�G ¦ G0� M M M ��G ¦ ^ªNRH����G��¬¢�� � ]i­ OTRF� M � �?M�R��,¢ KNM ��G�� M ��G�f|h �� E W   D +DCFE�G � W ��® G,h�� h�¯\f|h �� h� � f�E�G � & � hE R�G KNM � �?M�R���¢ K OJ�SO ¦ O�MPO°ªUO���G � G�©��!��¨�G��~�+G4M ¦ O ��G ¦ ©UO������%¢ KNM �TO�� G ¦ O KNMROG ¦ G0� M MPO � L O ¦ G0� M MPO±ªVRH���²ªN�¬¢�1³© M OT¨RM�¢"1 2´©�G KNM �TO �,OµROG KNM¶KNM ªV¨^¢·R�O~�}OTROG ¦ ^ M ©© M OT¨^O�M 2�©�G K��¸­ OTRF�L� ¦ G0� M MH����G�� M ��G eQf�E¹f �A� � W � � W h � W ¢^¨^¢�egf�Eºf �A� E Wem�B�gf�D � G,h W �ihFj E»CFEHG,h �¼�?M�R��,¢ K G0� IXKNM ªN�8OTR�G��½© M OT¨RM?G0� 2�©%G K � w ¢�� ¦ G0� M M M ��©V¢ ¦ © ��� M M KNM ¦ O�Mb© M ^O8¨cO�Md2�©�G K¤I - w / ]¾� © M ��Or�SG0� M � �UM�R���¢ K G0� KNM G ¦ © M ¦ ^ M M*ªVRH���*ªN�¬¢�1���© M ¦ ^ M M�¢�1 �PO8©�G��8O- w L I - w / / R�O ¦ w ��©V¢���OµªN� M ��G4Q0�4# M �¬©V¢ KNM ¦ MUG�ª��V¢¿¢"� ¦ G0� M M M �x� K�� � �?M´R��,¢ K G0� KNMÀ�ÀTÀ

Page 117: MATEMATIKA 1

112 4. FUNKCIJE, NEPREKIDNOST, LIMES [4.1]

� ¦ © M ¦ ^ M MLªNRH������ � � - w�� I - w / / � w~�

�~- I / � �¢ �UO K ªNR��4�±ª M � � � M GDf �  ¿  D +DCFE�G�h IQ� � ¨ M � M MH� M ¢�� ¦ � � M M M �,©��UO�� � MPO � ªV¢ w�� O��©V¢��PO ¦ M M �¬©N¢ KNM ¦ M � ª��V¢ � �?M�R��,¢ KNM5I - w / �,©e�}O�� � MPO � ªV¢�� ]¼�?M�R��,¢ K O � � � M 2�¢��V¢��SO ¦ O�MPO¤ª � � K ¢�� Q�©UO ^

domena

slika

lTm nHoqpsrTt �8v�� �g���}p?n��qm nHoqp¥�@�,��oq�Un �^�

� � � � � K�� R ©V¢��L�´¨ K � ����O��,©e�}O�� � � ��R ��� © ¦ ¢ ^�PO���� � ��ª ��ªe�}OS���3� ©UOS����¢��´¢ ���¸M � � � M 2�¢^¨ �R � K OLR ©V¢�����¨ K O���© M ¦ ªe�}OS�¬¨ K O��V¢ QT©UO ��� ����R���¢ KNM8�d O�� ��� � M R ©N¢·����¨ KNM �|R � KNM �POT©VOT¨ M ¨ M ª � ªV¢��¿ªV¢ ^KNM R�����O K �¬¢"i M � KNM ¦ � � K � � �}R ¢\�0��© M ¦ ª��UOS�¾¨ K O K �Q�©VO � � � M � ����R���¢ K O � d �8OTR � K � � �}R¬¢��POd�UOTRF� � KR ©V¢�����¨ K ¢A��©N¢"�PO ¦ Os��© M ¦ ^ M ��¢ �POT©¸© M OT¨��´¢"1.2�© � ^KNM �TO!- w�� � / ¢�� � �UOTR � � ¦ O KNM ¦ � � � w ��©N¢"�PO ¦ OªUO�� � KNM ¦ O���� ]¬­ � ��R ©V¢��L�´¨ K � � KNM � ¦ OTR ¨ M �4�SO ¦ O��PO � ���´R��,¢ K O4��R � K O\© M O8¨�� � �o2�© � K �w ��©N¢ ¦ ©������ KNM © M O8¨���¢F2�© � K � ]� R � � ����R���¢ K � � ���PO��,¢�� � ª I � � � ¦ O.� � � M � � ��¢^ªVO��U¢

� � I - w / ] � © � KNM R��,¢ K O«R¬©N¢·����¨ KNM �PO � ª w KNM ¦ � � M �PO � ����R���¢ KNM � O �´© � KNM R��,¢ K O �PO � ª� KNM ªV¨·¢^R�O � ����R��,¢ KNM"! ªV¨ � " �$#�%��& e h f � CFE�G,h �%  D +DCFE�G � W �

¼����R��,¢ KNM ª M ��2�©VO K O K �r�}OTR � � ¦ O¤ª M �c2�© � KNM

zbrojf (x)

f (x) + g(x)

g (x)

produktf (x)

f (x) g (x)g (x)

1

kompozicija

f (x)

f (g (x) )

g (x)

inverzna funkcija

f (x)

f −1 (x )

l�m nHo pYr8t '�v)(Q~���x p}�Un �^��� �@���,oq�Vn �@p*�Qp

� K ¢�1 � � M �¾©N¢ KNM ¦ � � ªe�U¢ �,+ & f �´G   D +�CFEHG �µI ¢- KNM � ���´R��,¢ K O/.q�}OTRF�8O ¦ O KNM . - w /Y� I - w / ;- - w / ]¼����R��,¢ KNM I ¢ - ª M �"� � � M �UOTR � � ¦ O ª M� � �0� � � M � K ¢"1 � � M �¾©N¢ KNM ¦ � � ªe�U¢ �i­ OTR � KNM egf �Pk��D�+ �=  D +DCFEHG � I ¢ - � ����R��,¢ K O1.��UOTRF�TO ¦ OKNM . - w /s� I - w / - - w / ]¼����R��,¢ K O I ª M �0� � ��¢ 2�© � KNM � �}OTR � � ¦ Oª M ªN�8OTR�O1� KNM �,¢���O5�¬©V¢ KNM ¦ � � ªe�|� � �"� � �,¢ 2�© � ^KNM � � ­ O8R � KNM ��© � ¦ ��R:� � ���´R��,¢ KNM%I ¢82�© � K O2 � �3��R���¢ K O"..�}O8R �8O4� ¦ O KNM . - w /s� 2¿I - w / ]4��65Jem� ) E»CFEHG �   D +DCFEHG � I ¢ - KNM � ����R ^�,¢ K O7.s�UOTRF�8O ¦ O KNM . - w /s� - - I - w / / ] 8 ¢ ¦ ¢¬ª M ¦ O KNM � �8O1R � ��� � �,¢"��¢ K Ox� ��9 ��#SO�ªUO�� �OTR � ¢���O�� ¦ � � M �´¢ � ¦ I �UOTRF�¾¢�1 w ¦ O KNM=I - w / � ¦ � � M ��¢ � ¦ - ]: � � M � � ª�� � K O��U¢R � ��� � �,¢"��¢ K O � �3��R���¢ K O I ¢ - � ¦ ©�� 9;� � � � © M �VR����=<B- w /µ� I - - - w /�/ ]¤¡ � # M ��¢�� �ª � I - - - w /�/ ¢ - - I - w / / ©UO��,¨^¢��,¢$� M � �3��R���¢ KNMT�³� � ª M 23� � ª��³¢>�H� M © M ªUO?�H�@� M R � � � �,¢��,¢ KNM� ����R���¢ KNM±I ª � �3��R���¢ K � � - - w /:� w 7BA ] ¢x� �C� 2��,¢·© � �D�PO 9 ©UO � � ­ OTR � KNM 9 ©VO �� ����R���¢ KNM�I - - - w / / � I - w 7�A�/ ��ª��N�8OT©V¢��V©UO���ªN¨cO��V¢^©VO���¢ 9 ©UO ��� ����R���¢ KNM�I � ¦ M ª@� � �SO A ]d ¦ © � 9 M ªe�U©UO?� M 9 ©UO ��� ���´R��,¢ KNM - - I - w /�/ � I - w /47EA KNM 9 ©VO �D� ����R���¢ KNM�I �U©VO���ªV¨^O��U¢·©UO���SO A ��© M �«O ¦ � ¨ KNM8�

Page 118: MATEMATIKA 1

[4.1] 4.1. POJAM FUNKCIJE 113

� O�ªV¨^¢��,¢ " ��� KNM � ��¢·ªUO�� � �,©e�}O�� KNM 9 ©UO � O�R � ��� � �,¢��,¢ KNMJI - - - w / / ]7� O K ��©V¢ KNM ª M� ¦ © M ¦ ¢ - - w / ¢�� 9 ©VO � O � ���´R��,¢ KNM - R�O �1� © ¦ ¢��PO��}On� � �}R M - w�� - - w / / ] � O��V¢"� �U© M 2PO �PO�#,¢I - - - w /�/ ] + � � ªN�¬© 1H�`�U© M 2POE�PO�#�¢ - - w / �PO � ªN¢ w ]3­ � ª M � � ª��U¢�� M � � � � #c� ��©UOS�0�,O� � w ! ªN¢"� M �V©UOT¨ M �´©N� ��9 ¢K�U© M # M 9 RF�TO ¦ ©UO��:�UO %�� � On� � � ��©UOS�0�c� KNM � © ¦ ¢���O��}O ªN�8OTR M� � �}R MiKNM ¦ �POTR�O¿O���ª ��¢^ªV¢H� M � � �}R M ��R�O � ie� � KNM ¦ �PO ¦ ��2PO�¢H�N�¬© ¦ ¢ � _1OTR ¨ M � � © ¦ ¢>�PO��}O - - w /ª M �U©VO���ªN¨cO��V¢^©UO ¦ � ��©VOS�0�SO1� � w ]�� O�� � � � KNM ªe��� ª M ��© � �,¢$�}O R � ¨·¢^R�O KNM �¬©N¢ KNM ¦ � � ª��� �3��R���¢ KNM5I � ¢A�,O��U¢���ª M �UO\�¬©N¢ KNM ¦ � � ª�� �¬©UO��U¢ �PO ¦ w ]¼����R��,¢ K O4��R � K O.2�© � K � I - w / ��©N¢ ¦ ©������ KNM 2�© � K w � � � M ª M E �Dh f )H �   D +DCFEHG �� �3��R���¢ KNM I � ¢ � ���PO��,O��8O I O�� ] _ � � M ��O � ¦ I O�� KNM ªV¨^¢·R�O � ����R��,¢ KNM I � O=ªN¨^¢·R8O � ¦ I O��KNM ¦ � � M �PO � ¦ ID]_1Od2�¢Qª �8OTR � � I - w / 2�¢ � ��©N¢ ¦ ©���� M �±ªUO�� � � � KNM ¦ O?� w�� �H����� � KNM ¦ O � ����R��,¢ K OI ��© M ªN¨^¢^R�OS�8O\©UO���¨^¢"��¢�� M w � ©UO��,¨^¢��,¢$� M I - w / ]� 2 �;9 � �;9 Oqie� � KNM5I O�� - I - w /�/Y� w�� 9 ©UO � � ¦ I O�� KNM

� ���� � �

- I - w / � w / � w���~- I / � ���O KNM ��© M �«On� � � M 9 ©VO � ¢��F� M © ��� M � ����R��,¢ KNM I O�� ªN¢"� M �V©V¢"���PO ªV¨^¢·R�O 9 ©VO � O � ©N¢ 9 ¢>�POT¨>� M� �3��R���¢ KNM I � � ¦ � � ª�� �PO�ªV¢�� M �U©VOT¨"�~��©N� �;9 ¢F�U© M # M 9 RF�TO ¦ ©UO��:�UO4��� K�� � � ¦ � � ª � ��O�´©UOS�8O��,� � w ! ªV¨ � " ����%��� f�E 5�G,h f�C���� l^g� r�l�v� �j� ��ts<jUgPp�� r� I - w / � w < 7 x w 9 ; w 7�� ] � �S�� I - 5:/ �I - � / � I - 7�� / � I - x / ]y$z4{4|P{4}<z4{�~ I - 5:/ ��5 < 7 x > 5 9 ; 5 7��1� 7�� � I - �?/ ��� < 7 x > � 9 ; ��7��1�v7�� �I - 7�� /s� - 7�� / < 7 x > - 7�� / 9 ; - 7�� /(7����v7 � � I - x / � x < 7 x > x 9 ; x 7��1��� ]

� f�E 5�G,h f�C������ �S��! bm��dmSi�v�jql�v<i��Ylnjql"�ts0jUgPp�� r� I - w / �#%$ w 9 & $ �w ' $ �x w 7)( * $

�w 9 7 � w ; (y$z4{4|P{4}<z4{�~+ ~ru -,nk. �g.� mSl/ �V j��Bw X�mSi�r w 9 r�l�mSl/ �V0 �j4U1 2 r�l v<i��Ylnj� r� ]3 ~[� .4�56,%7-8!7�,n�9� r:7 v�� r:7�V;�=<>�?,-88sLV@5��bU w �65�m/ 3X��=<>� mA ?T�V;� ���=<B5�vC88s�V@7 ~ �� .4�V@7�~- I / �ED�7BF � 5�G�HID 5 � F�G ]J ~LKNM vAO:7P8!7Q,n�9� O:7[X��=<>� x w 7�(5�65 ] �� .4�V@7R8!7R,n�9� O:7[X��=<>�Kw � P ]TSVU 7n�W -<X5��67�~- I / �ED�7BF � P G�HID P � F�G ]Y ~Z� ?T�� M 8��@4B8!7N,n�9� O:7 X��=<��O:7�v�8� .4[8�\�V;�"U� 2 �< U 7�X] ��$THv^5��67�8!7_�@,]4�V O`\���=<� U O:7]a%7�8:O� 4 M �b U �<8!7cO:7/b�8� �b%d?X�7�w 9 7 � w ; ( ��5 ]1e O:7]a%7�8:O� -,�\

w �Xf 9 � �hgji k � 7 k.lk � �k g �k �

Page 119: MATEMATIKA 1

114 4. FUNKCIJE, NEPREKIDNOST, LIMES [4.1]

2 QO:7xw � � P �w 9 � k ] � 5��67�8� QO:7N U 7n�W L<X5��67�~- I / � De7BF � k G H D k � P G H D P � F�G ]

�5f�E 5 G,h fqC � � � �S��! U � U 5�b�8!7�b^5��67�8!7"�`\^824���� O� I - w /s�#%$ i w & $ i k w 7 l ' $ i w ; i w 7�� * $

� P w 7 kk w ; (y$z4{4|P{�}0z4{P~

+ ~ � U \����_4�5 U � O:7�8CO:7 U 7/ �V0 �8RX U 5 O�UZ,� ��65 .4�5 O:7 �5�b 4�5 U � O:7�8!5�� 8!7�8!7��� �<� M �8X U 5 O ~ �� .4�V@7gUVb^5��67�8� _O:7 D 5 � F�G ]3 ~6KNM bAO:7 �65 U �X��=<� k w 7 l�� 5 �"5�b� .4�V@7 k w ��l �c5�b�8!5%,�8!5 w3� k � F�G ]J ~nu X�5�� O:7/b�8!5���4�5 U � O:7�8� �65 U qX��=<>�Kw � 5 �� �T?X�5��-b U \��^5�� w 7 � � 5 � 5�b�8!5%,�8!5w � � ] � .4�5 �65 U X��=<>�h�@,X �\^8:O:7�8!5 � O:7/b�8!5 �Qb U \��^5?UZb^5��67�8� �O:7 �~- I / �

� � F�G ]Y ~� �b� �65 U nw X��=<�c< .4� M b� �X�\2b^7P w 7 kk w ; ( � 5 ]

SVU � O:79, M 7��� \I8� ?T�� M 8��@4.\ 8!79,n�9� O:7 X��=<� 5 � 2 �65 U X��=<>�mw��� 7 P ] � 7 O:7/b Z8� �b%d?X�\�8!7 ,n�9� O:7n�65 �98!5�d��=<�Z,C8� ?T�� M 8��@4�5��bU O:7 U 8!7�T�8� ��65 b� V;�?O:7 5.8 �5�T��=<>� M �8 � V;� 8!7��� �<� M �8 ~qu �<X5 �5��98!5�d��d�65-, - k w ; (:/ 9 O:7 U O:7�< 5L,�����\ U 8!5 �5�T��=<>� M 8!5 ~ ��5�X�� M ��65- P w 7 k / - k w ; (:/ � 5 ]

� \�V;<X5?�]4�7B,�\ ,� ��65[w � 9< ��w � 7 P ] S 5�V;�=8!5�� - P w 7 k / - k w ; (:/ �d�W 94� ^5, M 5 O`\),�V;�@4.\� 2 U :X�5�V;\HUW5%4 U 7�8�\ <\ U 7n�W ��^5 U 7�� M�~ ,�V;�@4.\ Y ~ Y 8� ,�< U ~ +�+���� ~� T�,�V;�@4�7�,%7 M �b�� b� Z�`\^824���� O� �d�W 8!7�8!7��� �<� M 8!7 M U � O:7/b�8!5%,�<>�?8� �=8�<X7 U M �V;�d�W D�7PF � 7 P�� �� 9 < � F�G ] u X�5���w�� 7 P � b^5��67�8� O:7 �~- I / �ED�7BF � 7 P G�H 9< � F�G ]

�5f�E 5 G,h fqC � C � 7]4� O:7 I - w /J� w 7��w ; ���� - - w /J� �d7 w 9 ] � �S�� 4�5��P �5�T������ O:7

- - I - w /�/ � I - - - w /�/ ]y$z4{4|P{�}0z4{P~- - I - w /�/ ���x7 I - w / 9 �E�x7 # w 7��w ; � $

9���x7 w 9 7 k w ; �w 9 ; k w ; � �

l w- � ; w / 9 �I - - - w / /¥� - - w /(7 �

- - w / ; � � �x7 w 9 7 �� 7 w 9 ; � �

w 9w 9 7 k ]

Page 120: MATEMATIKA 1

[4.1] 4.1. POJAM FUNKCIJE 115

� f�E 5�G,h f�C���t�� 7]4� RO:7I # k w ; �w 7�� $ � w 9 ; k w ]

� �S�� I - w / ] yHz4{�|P{4}<z4{�~[KNM bAO:7Q�d�W ��65]T% �b� �8!7 I - - - w / /

-4 -3 -2 -1 1

-20

-10

10

20

30

����������� ���´wDxypV�F�@���,oq�Vn �^�� ����������� �������� �

� - - w / �" < U 7�X] 8� �S�� I - w / ] �� .X��",%7 8� .a�V0 �:5 U �9\LV0 �� U 5] ��@, � T% I � < U 7�X] W,�< M �=<>�- - w /s� k w ; �w 7 � �"! �

� T% �<>�d� b^7],�8�\-,�< U �8�\C5] ��@,� �<� �5��65?S�\ ! ]$#<\ , M U �^\I< U 7�X] w��$T U ���\ 8� �<�N4� ^5[�`\ 824���� O`\5�b ! ] � �W ��65k w ; �w 7 � �%! & w � ! ; �

!F7 k �

I - !�/s� # ! ; �!F7 k%$ 9 ; k ! ; �

!F7 k � P - ! 9 7�� /- !(7 k / 9 ]' .4�5_O:7

I - w /s� P - w 9 7�� /- w 7 k / 9 ]�,�)( ��( ���� ����À � ��M R�O KNM I - w /5� w 7 �w ; k ] � O�#,¢ I - 5:/ � I - � / � I - 7 k / � I - P /}7 I - k / � I - �?505050/ �I - 7�� �+*,*-* / � I - 7 k � 505�52� / ]#¾� � O�#�¢A� � �¬© iN¢��H�LR ©�� 9 O\R�O � � ����R���¢ K � ¦ ¢ K O�� M �U©UO ��´� � O�#�¢A� � �¬© iN¢��H� KNM ¦ �POTR � ª��V©UO��´¢"�*� �;9 �V© � RH�4�UO\R8O � � �3��R���¢ K �:�¾¢·ªV¢>� MT�" � ��M R�O KNM I - w /s� w 9 ; �w 9 7 k w 7��

])� O�#,¢ I - w 7�� / ]& � ��M R�O KNM I - w /s� w ; kw 7��

])� O�#,¢ I # ww 7�� $ ]) � ��M R�O KNM I - w /s� i w < 7�� ])� O�#�¢ I -/.i w 9 ; �?/ ]* � ��M R�O KNM I - w 7 � /s� w 9 ; �w 9 7 k w 7��])� O�#�¢ I - w / ]

Page 121: MATEMATIKA 1

116 4. FUNKCIJE, NEPREKIDNOST, LIMES [4.2]

/ � ��M R8O KNM5I # w ; �w $ � w 9 7�� ] � O�#,¢ I - w / ]� � ��M R8O KNM«I - w /1� A w 9 ;�� w ;�� � ¢ � M R�O KNM%I - � /1� � � I - k /¿� k � I - P /�� � ]� O�#�¢ A � � � � ]À�� � ��M R8O KNM5I - w /Y� i w � - - w / � w 9w 7 �

])� O�#�¢ - - I - w /�/ ¢ I - - - w / / ]À�À � � O�#�¢B��©N¢^© � ¦ � M ¦ � � M � M ªV¨ KNM ¦ M #,¢"1 � ���´R��,¢ K O

�!� �l w 7�� � � � w ; kk w 7� � � � w 9 7 lw ; k �� � �w 9 7 w 7 � k

� � � l w 7 �P w 9 7 � w 7 k � � � w 7 �w 9 7 *8w ; k 5 � � i �x7 w � � � i P w 7�� l � � � P i � 7 w 7 l

i w 7 P ��� � i w 9 7 k w 7�� � � ��� � w 7��� k 7 w � � � � � l w 7��P 7)( w ]

(:)�� ����� A�� 2�����;¶A 687:9*;=<?>@03A� ������( � �"! �$#&%(' ��

¼����R��,¢ KNM � � w�� w 9 � w < ��w = � w*) � ]S],] ª M � � ���

-4 -2 2 4

-4

-2

2

4

11

x

x

x2x2 x3

x3

x4 x5

x5

lTm nHoqp r8t +�v-, /.¹���}�Vn �^�

em� � h CFE�G,h � _ � � M �PO ¢¥R � ¦ � � M �PO�� � � M � ^��¢ KNM�KNM � ] d ¨^¢^R�O � ���´R��,¢ KNM5I - w /s�E� KNM ªVRH���R � K ¢3ªUO ¦ © ��¢3ªUO�� � KNM ¦ O��.2�© � K ¢ � � � ] ¼K�3��R ^��¢ K O4���,¢ K O�ªV¨^¢·R�O�ªUO ¦ © ��¢�ªUO�� � KNM ¦ O�� M ¨ M � M �:�y�� � � M ª M +K� ���� � �� �3�X� � � M ����¢ KNM ª��POT© ��¢"�M R¬ª�� � � M �:� � � w 9 � w = � w*0 ��w*1�� ]S]S] ¢"�«O K �1ªV¨·¢^RH� 5 � F�G ]¿¡ � M ��© M ªN¨^¢^R�OS�8O K � w ¢ 7 w � ¢·ª��U¢2�© � K � KNM © KNM - 7 w / 932 � - 7�� / 942 w 942 � w 942 ]� � ªV¨ KNM ¦ ¢��SO � �;9 O KNM ¦ O � M � � ª�� � K ¢ KNM ¦ ¢�� ^ªe�V� M �PO°¢��F� M © ���PO � ����R���¢ K O � ¦ � � � M ���,¢ KNM ª�PO8©@��¢�� M R¬ª�� � � M �:� � � �²­ O8R � ¢"�«O�� � i w

�65i w �87i w�� ],]S] ¢ 7 i w � 7 5i w � 7 7i w�� ]S]S]�� � ��¢��U¢�����¢�R � ©N¢ KNM ��¢�ª �L¢��F� M © �*� M � ���´R��,¢ KNM� ¦ �POT© ��¢"1 � � � M ����¢ K O*ª ¦ � � M � � � 5 � F�G � OE� M 9 O��V¢·����¢¥ª��b¢>� � M ©��*� M � ����R��,¢ KNM � ¦�POT©@�´¢"1.� � � M �4�,¢ K O=ª ¦ � � M � � � De7BF � 5 � ]� � � M ���,¢ KNM ª"� M �PO8©@��¢�� M R ª � � � M �:� � � w�� w < ��w*) � w:9 � ]S],] ¢���O K �³ªN¨^¢^RH� � ]1¡ � M��© M ªV¨^¢·R�O��8O K � ©UO��,¨^¢��,¢$� M w �L©UO���¨^¢��,¢�� M I - w / � �POq�SO«ª �8OTRH�~�}O8R ���~� � � M ����¢ K � � � ª�� � K ¢

Page 122: MATEMATIKA 1

[4.2] 4.2. ALGEBARSKE FUNKCIJE 117

KNM ¦ ¢��´ª��V� M �PO ¢��F� M © ���PO � ����R���¢ K O � ­ OTR � ¢���O�� � ¦ O KNM ¢>� � M ©��*�PO � ����R��,¢ K O � ¦ w � ��OªVO��«O4�PO\¢��F� M © ��� M � ¦ �¬¢"iV¢�1.� � � M ����¢ K O\ª � R � ©V¢ KNM ��¢ .i w ���i w ���i w�� ]S],] ]� f�E 5�G,h f�C������ �S��! U � U 5�b�8�\Cb^5��67�8�\Z�`\ 824���� O:7 I - w / � i ww 9 7 �

]������� ���� # U � U 5�b�8!5 O b^5��67�8��Q,�\ 5.8�� w � � T% 4�5 O:7PO:7sw 9 7�� �� 5 �w�� 5 ] � T[ U M 5��C\ M O:7�< ,�V;� O:7/b��(w �� � � w �� 7�� �ca�< 5 T% AO:7/b�8!5L,Lb U \����d� \ M O:7�<X5��

b� AO:7 �~- I / �§� w3�3� � w�� 5 � w ��E� � � 5 � � G H DA� � F�G ]� � � � � � ���� O � ���´R��,¢ K � I R�O�� M � � ¦ O f � ��� hK��OTR �

w ��� w 9 & I - w ��/�� I - w 9 / �� ¦ � � ª@� � ¦ O\e � � � �DOTR �

w ��� w 9 & I - w ��/ � I - w 9 / ]� R � � ����R��,¢ K O ©UO8ª�� M ¢·¨^¢ �PO ¦ O4� � � ¦ O\R�O�� M � � ¦ O KNM 5 � � � � �¼����R��,¢ K O I ��� f �KGK�Jf � ��� h ��OTR �

w ��� w 9 & I - w ��/�� I - w 9 / �� ¦ � � ª@� � ��� f �KGK�Je � � � ��O8R �

w ��� w 9 & I - w ��/�� I - w 9 / ]� R � � ����R���¢ K O ª��V© �;9;� ©VOTª�� M ¢^¨^¢�ª��V© �;9;�

raste pada

strogo raste strogo pada

lTm nHoqp«r8t ��v�� |�� . ��V�%n�� . x$��� � |�� . ��V��@�,��oq�Un �^�

��O ¦ O4� � � ¦ O�R8O�� M � � ¦ O KNM � �PO ��� f �KGK�5 � � � � � �d �V© �;9�� � � � � � � �PO � ����R��,¢ K O ��© M ªV¨^¢·R�O��8O©VO��,¨·¢"��¢�� M w � ©UO���¨^¢"��¢�� M I - w / � �PO ��© M ��O� � � M ¢���Oµ¢��F� M © �*�H� � ���´R��,¢ K � � � �F� M © ���PO� ¦ ªe�U© ��9;� ©UO8ª����4# M � ���´R��,¢ KNMYKNM ªe�U© �;9;� ©VOTª ^� ��#SOL�¾O � ¦ ªe�U© �;9;� �PO ¦ O K �4# M¥KNM ªe�U© �;9;� �PO ^¦ O K ��#SO � ����RH��¢ K O �� � � M ���,¢ KNM ªE� M �POT© ��¢"� M R ª � � � M �:� � �ªe�U© �;9;� ©UOTªe��� � � Oq�´©V¢"� KNM © w < ] � R � KNM w ��� w 9 � � � ¦ O KNMw <9 7 w < � � - w 9 7 w � / - w 99 ; w 9 w � ; w 9 � / ]

Page 123: MATEMATIKA 1

118 4. FUNKCIJE, NEPREKIDNOST, LIMES [4.2]

� © �¬¢ � OTR:� � ©,�PO ¦ M ª � � K ª��U©VO���¢ KNM � � �,¢��V¢·�8O���� � ��© M ��� � ª��UO����,¢\�[O ¦ ©�� 9 ¢ � OTR:� � © ª M� � � M ��© M ��¢^ªVO��U¢�� � 2´¨^¢^RH�w 99 ; w 9 w � ; w 9 � � w 9 � # w 99w 9 � ; w 9w � ; � $ ]

� OTR � � ª �4��ª��V¢����4�,¢ KNM ���� ��%! � ¢��,©VO��x���SO 9 ©UO ¦ ¢)�PO ¦ M ª � � K ª��V©UO���¢K� � ª��UO KNM ! 9 ; ! ; � ]­ � KNM R �8O ¦ ©UO��@�PO � ����R��,¢ K O4� � KNM ��¢�� 9 ©VO � KNM ��OT©UO�2 � ¨^O � OTR � KNM ¦ ¢·ªVR ©V¢��«¢>�PO��:�}O� � � 9 7 l A � � �n7 l � 7 P � 5 � � �PO � M ªN¢ KNM � M � ª w ] � © M �«O3� � � M �,¢ KNM ¨^Oª M �POT¨^O��,¢Q¢"�*��O ¦ ¢^¨^¢g¢^ª�� � ¦ � ªV¢ w ] O8R � KNM � � ¦ M #�¢ R � M�� ��¢ KNM �:� AL� � � 5 � � �PO KNM

� R © M �H�4�UO �´© M �«O 9;� © M � �PO|� � ©UO�2´¢��U¢��,¢ KNM ¨cO?¢��*�PO ¦ � ªV¢ w ]S­ � �*�PO��,¢ ¦ O ª � �¬©V¢ KNM ¦ � � ª��V¢� ¦�� � ��� � �

; ���� �; ��� � � �,¢$�U¢���� M 2 M � � 2��,¢·©UO=R�OTRF�¬¢�2´¢^¨^¢ w � ¢ w 9 ]P­ OTR � KNM w <9 � w < � ]� � � M ���,¢ KNM ªd�PO8©@��¢�� M R ª�� � � M �:� � � ªe�U© ��9;� ��O ¦ O K � �PO wv� D�7PF � 5 � � KNM © ¢��w � � w 9 � 5 ªV¨^¢ KNM ¦ ¢ I - w ��/ � I - w 9 / � O*ª��V© �;9;� ©UO8ª���� �PO 5 � F�G ] � O �´©V¢"� KNM ©��SOw ��� w 9 �k5 KNM w 99 7 w 9 � � - w 9 7 w � �� ��� / - w 98; w � �� ��� /��k5 ]

d ¦ © � 9 M ªe�U©UO?� M �SO 5 � w � � w 9 KNMw 99 7 w 9 � � - w 9 7 w � �� ��� / - w 98; w � �� ��� /��k5 ]

� � f � ��� E h e � f � ���� � � M ����¢ KNM ª � M �PO8©@��¢�� M R ª�� � � M �:� � � ¢���O K �*ª � � K ªe�V� �

I - 7 w /�� 7 I - w / ]� Os��©V¢�� KNM ©

parna

neparna

l�m nHo pYr8t ��v-,�p�x·�}p?n��V��~Up�x^�Ups�@���,oq�Vn �cp

I - 7 w /s� - 7 w / < � 7 w < � 7 I - w / ]¡ � � ª � � K ªe�V� � � ���´R��,¢ KNM ª M � � � M h e � f � ��� �f?©��UO�� KNM 9 ©VO � O � M �POT© � M � ���´R��,¢ KNMgKNM � ¨cOTRHiUO?� ��U¢�� M ie� � KNM 9 ©UO � � M �POT© � M � ����R��,¢ KNM ªN¢"� M �U©N¢ ^�SO�� � � ¦ � � ª � �PO\¢^ª�1 � ¦ ¢"i�� M0! ªN¨ � " � * %��� � � M ���,¢ KNM ª ��OT©@��¢�� M R¬ª�� � � M �:� � �!¢"�«O K �*ªN� � K ª��N� �

I - 7 w /s� I - w / ]

Page 124: MATEMATIKA 1

[4.2] 4.2. ALGEBARSKE FUNKCIJE 119

� Os��©V¢�� KNM © I - 7 w /s� - 7 w / 9 � - 7 w / - 7 w /Y� w 9 � I - w / ]¡ � � ªN� � K ª��V� � � ����R���¢ KNM ª M � � � M e � f � ��� � f?©��UO�� KNM 9 ©UO � OR��OT©@� M � ����R���¢ KNM KNM� ¨cOTRHiUO?� � �V¢"� M ie� � KNM 9 ©UO � �POT©@� M � ����R��,¢ KNM ªV¢�� M �U©N¢"�SO?� � � ¦ � � ª � �PO � ª � ! ªN¨ �" � * %���,����� � � ��� ' # ��� '� R � � � � M ����¢ KNM � � �0� � �,¢�� � ª 2�© � KNM �¬¢���O ¢��2´© � K ¢�� � � ¦ � 2�¢·�8O�� � � ����R��,¢ K ��R � K O ª M� � � M em� � E �65�� � _1OTR ¨ M � � ¨^¢>� � �%¢�ª�� � ���´R��,¢ KNM ¦ M�� �´¢^©UO?� M �PO � � � © �b��¨ � �

�d- w / �BA � ; A � w ; A 9 w 9 ;,>?>?> ; A 2 w 2 ]��© � KNM �¾¢ A � � A � � A 9 � ]S]S] � A 2 ª M � � ��� +K�3hFj[CFE�G,h �� E5em� � E � 5 � � O�2�© � K � ª M � � � M��� Dge � G%em� � E �65 �3�[� � ¨·¢�� � � ���,¢ K ¢�ª �:R � M�� �,¢ KNM �:�U¢��H��¨ M ��� � � M ª M D � em� � E �65 �� O!�UO K � � ¨·¢�� � � � M ¦ M�� ��¢^©VO�� � ª����4�PO�� K����� G�h & � f � + � G,h�� � � & ���© � K w�� �SO\R � K ¢ KNM �d- w /s�65 � � K��

A � ; A2� w ; A 9 w 9 ;,>?>?>?; A 2 w 2 � 5 ! " � À %� � � M ª M +K��f�E�G�h em� � E �65 � ¢^¨^¢ D � � em� � E �65 � ¢^¨·¢ D � � � � + � em� � E �65 � � �� M ¦ �PO ¦ ��2PO ! " � À % ª M � � � M �� G�h & � f � + � G,h�� � �� & � � k � �KG ��� Dge G �3�C8sM #LO8¨ ^9 M 2POT©NªVR�O KNM ¦ ��O ¦ ��2�O ¦ © � 9;��9 ª����4��� K O�� M � � ©UO�¢���O��V¢Q© M OT¨>�PO © KNM i M � K O �1� � �iOTR �© KNM i M � K Ox� � �U©UO��,¢"� � � M ¦ ^ � R � �d��¨ M R ª@�´¢"��2´© � KNM �¾¢���OL� � � ¦ O¸OT¨ 9 M 2POT©NªVR�O KNM ¦ �PO ¦ �c2PO� ^ � �;9 ª����4��� K O ¢"�«O�� � �*� � � © KNM i M � K O4��©UO��c���PO K �4#,¢�R ©UO��@� � ªe� � � Os��© � � � ¨·¢�� � �

� - w / � - w 7�� / < � w < 7 P w 9 ; P w 7��¢���O �H��¨$� � �}RH� � ] :LM ¦ ^ �4�U¢��~�A�´©V¢"��O ¦ �PO OT¨ 9 M 2POT©NªVR�O KNM ¦ ��O ¦ ��2�OLª M � � � M �SO���¢^ªVO��U¢R�O � - w 7�� / - w 7��?/ - w 7 � /s� 5 ]� © � ¦ �´RH�%© M OT¨>��¢"1 2´© � KNM �TO KNM ¦ �POTR KNM �H��¨·¢ �YOTR � KNM 2�¢·¨ � R � K ¢ � ¦ � OTR:� � ©UO KNM ¦ �POTR�H��¨·¢ ��� © M �«O�� � � M ¢"�«O�� � �U©V¢����4�UO�¢^ªe��� KNM ¦ �PO ¦ ��2�� w 7 �5�v5 � ��¢ KNM © KNM i M � KNM¸KNMw � � ] ��� ¦ ��#�¢ ¦ O%ª M � ¦ � 2´¢ KNM �U©N¢A���4�}O%R�O � © KNM i M � KNM �DR�O�� M � � ¦ O KNM � �V© � ªe�U©���R�O�H��¨$� � �}R�O4��¢^¨·¢ ¦ O KNM � D � � � � + � + f � � � ��� EF�U©N¢ �

������������������ ���"!$#%�'&"�(���')*�*+-,/.��0�����%�1+324� 5�6 7�8

Page 125: MATEMATIKA 1

120 4. FUNKCIJE, NEPREKIDNOST, LIMES [4.2]

�5f�E 5 G,h fqC ��� e � O:7]a��=<� �V �^7�X] U ,]4.\ZO:7/b�8� �b%d?X�\w < 7 P w 9 ; l w 7 k ��5 ]

������ � ����xu X U 5 OP4�5%7�� ��� O:7�8� �< _O:7 7 k ; l 7 P ; ����5 ] ' 5rT�8� ���� b� nw � �E�T% �b^5 M 5�V O� M RO:7/b�8� �b%d?X�\ �b� �bdT�8� ��65QO:7/b�8!5 U O:7]a%7�8:O:7gUQ5.8�b� �5�b�� O:7�V;�d�65[ �5�V;�=8!5��8� dV;� O:7 M 5 OP,�< U �8�� O:7/b�8� �b%d?X�7R,xw 7�� ]- w < 7 P w 9 ; l w 7 k / _ - w 7�� /s� w 9 7 k w ; k

g w <�� w 97 k w 9 ; l w� k w 9 g�k w

k w 7 kg�k w � k

5K ,�< �V0 U O:7]a%7�8:O� b^5�X�� M ��65��$TVO:7/b�8� �b%d?X�7

w 9 7 k w ; k �65 ]' 5_O:7B4 M �b U �<8� QO:7/b�8� �b%d?X] �Uc�mV0 .4�598� �V0 ?T��d�65Lb� QO:7xw 9 �E�x7�� �Kw < �E� ; � ]B � + � ��f�E ) � CFEHG �� R � ª � w � � w 9 � ]S]S] ��w 2 R � ©N¢ KNM �´¢B� � ¨^¢�� � ��O � - w / � � � ¦ O KNM

�d- w /s� A 2 - w 7 w � / - w 7 w 9 / >?>?> - w 7 w 2 / ] ! " �$#�%��M R ¢¸R � ©N¢ KNM ��¢x� �;9 �R2�¢$�U¢ R � �d��¨ M R ª@�´¢]2�© � KNM �¬¢ � � R � ª���R � M�� �,¢ KNM �:�U¢ � � ¨·¢�� � ��O© M O8¨���¢�2�© � KNM �¬¢ � � � ¦ O R � �d�´¨ M R ª ��¢"1±R � ©V¢ KNM �PO«¢"�«Od�POT©VO���2�© � K �3¢ � ��¢F�,¢�� M �POT© � � MR � � K � 9 ¢^©VO�� � R � ����¨ M R ª@��¢�1 2´© � KNM �TO ��� ©V¢·R8O���� � ¨·¢�� � ��OXR�O � � � � © �!��¨·¢ ! " �$#�% ª M� � � M   � + � ��f�E ) � CFEHG � em� � E �65 �3�� M ¨^¢"� � ¨·¢Q¢���2 KNM #,¢QR � ����¨ M R ª@� M 2�© � KNM � M � � OTR ^� � ©N¢"�SO��,¢ K ¢\� � � ©UO�� � � � �0� � ��¢��U¢ � OTR:� � © M � R � K ¢���Obª �,� M ¦ ^ ��ª � 2�� � R � � K � 9 ¢·©UO���¢R � ©N¢ KNM �´¢ �µ­ OTR � ¦ � 2�¢��TO�� � � O8RH� � ©V¢��SO���¢ K � ��R � K � K ¢���O � OTR:� � ©VO���©N� �;9 ¢ � OTR:� � ©VO¦ © � 9��;9 ª����4��� K O ��5f�E 5 G,h fqC �� � .4.< 5 U �$T�� U �<�T �5�V;�=8!5��vw < 7 P w 9 ; l w 7 k ]

������ � ���� # U �d�NO:7 U \ Y ��� ,n�65B8� .a�V;�!b� P,�\ 4�5 U � O:7�8�� 5 M 5��V �5�V;�=8!5��W |w � �E� �w 9 �E��7�� ��w < ��� ; � ] � 5%7�� ��� O:7�8�< \0T M 5�b^7gS�\Z �5.<X7�8 ��� O`\_O:7 � � 2 ?O:7 �� .4.<X5 U �$T% ��� O� w < 7 P w 9 ; l w 7 k � - w 7�� / - w 7��|7�� / - w 7�� ; � / ]

Page 126: MATEMATIKA 1

[4.2] 4.2. ALGEBARSKE FUNKCIJE 121

�Q4�5Zd.7�V;�d�65��$T?X>O:7gS���4�5��P V@7]4%,�8!7 X U 5 O:7 M 7gU 5.8�b� -< U 7�X] W�$T��98!5�d��=<���� .4.< 5 U 7P\64�5 O`�d�W ,�\ 4�5.8:O`\���� U �8!5 4�5��P V@7]4%,�8��mX U 5 O:7 M �

- w 7��x7�� / - w 7 � ; � /s� - w 7�� / 9 ; ��� w 9 7 k w ; k ]' .4�5-�d�W ��65N�� .4.<X5 U �$T% ��� O`\~X�7 T�4�5��P V@7]4%,�8����.X U 5 O:7 M

w < 7 P w 9 ; l w 7 k � - w 7��?/ - w 9 7 k w ; k / ]�,����� � ��� %(' � #�� � # �����&#� %-' ��~D � � � � +�hXEYem� � ���iE¼���´R��,¢ K Os�SO ¦ O?�PO � � © �!��¨ � � I - w / � �d- w /

� - w / �9 ¦ KNM ª�� ��¢ � � � ¨^¢�� � �«¢\�4� � � M ª M f � CFE'� �� �   D +DCFEHG � ��� _ � � M �PO ©UO���¢ � �PO8¨�� M� �3��R���¢ KNM?KNM ªVRH��� �~- I / � � w��3� �

� - w / �� 5 � ]� ��¨�� � �}R M 2�© � K ��¢·R8O%ª ��� KNM ¦ � � �H��¨$� � �}R M � ����R���¢ KNM8� � �´¨�� � �}R M �PO���¢·����¢^R�O ª ��� � �}R M� R � K ¢"�«O � ����R���¢ K O ��¢ KNM ¦ M�� �´¢^©UO?�PO ��¡ � M ª M � � ���Lem� � �L�iE �� f�E 5�G,h f�C������ �S��c8�\LV;<X5?�]4�7��T �5�V@5 M 7 U ��� 5.8� �V;8!7"�`\^824���� O:7

I - w / � w < 7 k w 9 7 � w ; (w < 7 w 9 7 k w ]������� ����N� \�V;<X5?�]4�7 U ��� 5.8� �V;8!7 �`\ 824���� O:7B,�\ 8�\�V;< 5?�]4�7�X U 5 O`8��@4� �

w < 7 k w 9 7 � w ; ( ��5 ]u X U 5 Oc4�5%7�� ��� O:7�8� �< O:7 5 �. 2 "O:7�w ��� O:7/b�8!5 U O:7]a%7�8:O:7 �ZK ,�< �V0 bS]7n�65Bb^5�X��=<�Tb�� O:7�V@7gS�� �5�V;�=8!5�� 8� !V;� O:7 M 5 ON,�< U �8�� O:7/b�8� �b%d?X�7_, - w 7 � / ] �BM 5 ��� O:7�8�<^O:7 w 9 7 w 7 ( ] � O:7��^5 M 78�\�V;<X5?�]4�7Z,�\�w � �v7 k ��w 9 � P ] S U 7n�W 6<X5��67[8�\�V;< 5?�]4�7 �`\^824���� O:7 I ,�\ 7 k � � � P ]S 5�V@5 M �?,�\ 8�\�V;< 5?�]4�7�8� ?T�� M 8��@4� sw < 7 w 9 7 k w ]�� �b��V,%7Wb� ZO:7_O:7/b�8� 8�\LV;<X5?�]4� w ��5 ] � �b �$T�V;\K���d�65xw�� 5%,�< AO:7 w 9 7 w 7 k ] � \�V;< 5?�]4�7[5 M 5��R �5�V;�=8!5��W [,�\bw � �v7���Bw 9 � k ] �� .4�V@7gUT �5�V@5 M � ,�\ 7�� � 5 � k ]

l O��,¢ � �POT¨>�PO � ����R��,¢ K O:ª M � � � M eQf � � � �QOTR � KNM ª�� ���PO�� K � � ¨^¢>� � �«O � 2´© � K ��¢·RH��«O�� K ¢ � ¦ ª�� ����� K Or� � ¨^¢>� � �«O�� �PO��,¢�����¢^RH� � + ��© � �U¢���� � ��ª M � � � M h egf � � �3��� R �� ����������������� ���"!$�4�����(� � � &"� �"! ��,������ � � �1+-, .��0��� � �*+324� 5�6 7��

Page 127: MATEMATIKA 1

122 4. FUNKCIJE, NEPREKIDNOST, LIMES [4.2]

KNM�I - w /1��� � � �� � � � � M ��©UOS�8O ©VO��,¢ � �POT¨>�PO � ����R��,¢ K O4� � � ¦ O:ª M � � � � M � � ¦ ¢ KNM ¨·¢��V¢Qª � ��PO KNMI - w /s��� - w / ;�� - w /� - w / �

9 ¦ KNM¥KNM � R � � ��¢ KNM �H����O � � ªe�}O��UOTR ¦ ¢ KNM ¨ KNM � K O � ¼���´R��,¢ K O�� � � �� � � � KNM ��©VOS�TO ©UO���¢ � ��OT¨��PO� ����R���¢ K O4� ¦ � R KNM � - w / � � ¨^¢>� � � ��5f�E 5 G,h fqC � e .,�< M �=<� U ��� 5.8� �V;8�\Z�`\ 824���� O`\

I - w /s� w < 7 P w 9 7 k w ; �w 7 k8� [ �5�V;�=8!5�� �T U M \ U ��� 5.8� �V;8�\Z�`\^824���� O`\ �

������ � ���� �[� O:7�V O:7�8:O:7n� b^5�X�� M ��65B4 M 5 ��� O:7�8�< w 9 7 w 7 l �c5%,�< �< .4 7 P ] �� .4�V@7w < 7 P w 9 7 k w ; �w 7 k � w 9 7 w 7 l ; 7 Pw 7 k ]� ������� � ��� %� �À � � O�#�¢3¢��F� M © ���H� � ����R��,¢ K � � ¦ ªN¨ KNM ¦ M #�¢"1 � ����R��,¢ K O �YI - w /s��!� ww ; �

� � � w < 7 � � � � A w ; �� w ;�� ]#¾� � O���©��UO��U¢ 9 ©UO � � � M ªN¨ KNM ¦ M #,¢�1 � ����R���¢ K O ��I - w / ��!� P w 7�� � � � k w ; P � � � w < 7 � �� � w 9 ; k w 7�� � � � w 9 7 k w�� � � w 9 7 P w ; k �

� i 7 w�� � � i k w ; P � � � �x7 k i w ]�´� � O�#�¢B��©N¢^© � ¦ �H� ¦ � � M �H� � ����R���¢ KNM5I - w /Y�

�!� 7 - w 7 k / 9 - w ; � / - w ; � / � � � w 7 �w 9 ; P w ; k � � � i * 7 w 9w ; ��

� � i w 7 �w 7 k ;�i � 7 w 9 � � � i w < 7 l w�� � � i w ; �w 7 k ]" � ¼�OTR:� � ©N¢"�,¢·©UO��V¢�ªN¨ KNM ¦ M # M � � ¨·¢�� � � M�!� w = ; � � � � w ) 7 P w = 7�� w < ; � k w 9 ; �%( w��� � w 0 ; � � � � w ) 7 w = 7 � w < ; w 9 ; � w ; l ]

Page 128: MATEMATIKA 1

[4.3] 4.3. TRANSCENDENTNE FUNKCIJE 123

& � � O�#�¢[�¬©V¢ KNM ¦ � � ªe�U¢¥ªN¨ KNM ¦ M #�¢"1`� � ¨^¢�� � ��Oq� � M R � ¨^¢·R � � � �SO8R8OL��� M �PO���©��UO��U¢�� K ¢ ^1 � � M 9 ©UO � � � M�!� w < 7 k w 9 7 � w ; k � � � w = 7��?5 w < ; P � w 9 7 � 5 w ; k l �� � w < ; w 9 7 P w ; � � � � w ) 7 P w = 7�� w < ; � k w 9 ; �:( w��� � w = 7 � w 9 ; l � � � w ) 7 w = 7 � w < ; w 9 ; � w ; l ](*)�� � �¥2 9 �i<?A 9��:A 9��g9*A&687:9*;=<?>@03A�,������( � ��� � # �$# %-' ��� # � ���&#� %-' ��¼���´R��,¢ K O I - w /L� � � � 9 ¦ KNM KNM �²� �� � 2 � ���/� ; �2�� 2�� k ]�� ��� k �2� � k � � � � M ª MhH+ � em� h CFEHG �� �   D +DCFEHG ����� ¼����R��,¢ K O��,O ¦ O��PO � � © �b��¨ � � I - w /�� A � � 9 ¦ KNM KNMA � 5 ¢ A ��E� � � � M ª M hH+ � em� h CFEHG �� �   D +DCFE�G � & � ) h A � _ � � M �PO�2´¢^¨ � R � KNMM R ª � � � M �4�,¢ K O8¨�� M � ����R��,¢ KNM¤KNM � � O\ªV¨·¢^R�O D 5 � F�G ]� R ª � � � M ���,¢ K OT¨�� M � ���´R��,¢ KNM ¢"�«O K � � �TO ªN� � K ª��N�8O �À � A � ��� �BA � A � �#¾� - A � / � �BA � � ��´� � R � KNM A ��� � � � ¦ O A � ª��V© �;9;� ©UOTªe� M8� � R � KNM 5 � A �E� � � � ¦ O A � ª��V© �;9���PO ¦ O �

� f�E 5�G,h f�C�� �� �S��c8�\�V;<X5?�]4�7 �`\ 824���� O:7 I - w / � l � ; k � �T� 7�� ]������� ���� ' U 7�X] U � O:7]a��=<� O:7/b�8� �b%d?X�\l � ; k � �T� 7�� ��5 ]

� �W ��65k 9 � ; k � k 7�� ��5 �- k � / 9 ; k > k � 7�� ��5 ]

< M �d�65 k � �%! �� 2 b^5�X�� M ��65 4 M �b U �<8�\ZO:7/b�8� �b%d?X�\!9 ; k !(7�� ��5 ]

e O:7]a%7�8:O� �5 M 7 4 M �b U �<>8!7!O:7/b�8� �b%d?X�7V,�\ ! � �v7 l � ! 9 � k ] SVU M 5 U O:7]a%7�8:O:7N8!7Qb^5�V0 ?T��\�5�XgT�� U U�O:7 U O:7 k � \ M � O:7]4B �5�T��=<� M �8 � �� .4�V@7 k � � k ���! U 7n�W W< 5��67xw ��� ]� ����������������� ���"!$� � +-#%�'��� � � � � � &"� �"!$��,���� ��� � �*+ ,/.�� ����� �*+324� 5 6 7��

Page 129: MATEMATIKA 1

124 4. FUNKCIJE, NEPREKIDNOST, LIMES [4.3]

�5f�E 5 G,h fqC �^��� �S��! U � U 5�b�8�\Cb^5��67�8�\Z�`\ 824���� O:7 I - w /s� i � � 7��� � 7 � ]������ � ���� � T U ?T �5�bQ4�5 U � O:7�8!5�� 8!7c,n�9� O:7}X��=<��8!7��� �<� M �84U1 �5.8� AO \ 8� ?T�� M 8��@4.\�65 U X��=<>� U ?T�V;� ���=<N5�b68�\LV@7 � �� .4�V@7� � 7�� � 5 & � � � � & w � 5 �� � 7 � �� 5 & � � �� � & w ���� ]

S U 7n�W L<X5��67 b^5��67�8� hO:7 �~- I / � 5 � �%G H DA� � F�G ]�5f�E 5 G,h fqC � � � �S��! U � U 5�b�8�\Cb^5��67�8�\Z�`\ 824���� O:7 I - w /s� # �k $ � 7 �%( ]

������ � ���� � T U ?Th �5�b94�5 U � O:7�8!5�� 8!7B,n�9� O:7�X��=<�c8!7��� �<>� M �84U1 2 ��65 U X��=<>�# �k%$ � 7 �%( � 5 & �k � � �:( & k � � ��%( � k O = & w � 7 l ]

S U 7n�W L<X5��67 b^5��67�8� hO:7 �~- I / � De7BF � 7 l�� ]� ����� � � ��� ��� ' ! � � � � � ���&#�� %(' ����� ¦ ��#�¢ ¦ O%ª�� M R¬ª�� � � M ����¢ K OT¨>� M � ����R��,¢ KNM ª��V© �;9�� � � � � � � � M � � � M ¢"�«O K �:¢��F� M © ��� M� ����R���¢ KNM8�§­ � ª � ¨ �;9 OT©N¢��}O��«ªNR M � ����R���¢ KNM8� ­ OTR � KNM ���� ¢��F� M © ���PO � ����R���¢ K O � ¦M R ª � � � M ���,¢ K OT¨�� M � �3��R���¢ KNM ª|2PO�� � � A ]P­ � �*�PO��,¢

A � � � ¢^ª�� � KNM ie� � ¢ w � ���� � ]d � M �,¢ K OT¨�� � � OTR � KNM 2PO��,O � � � � ¦ O ª M ��� KNM ª�� � ���� � ��¢�i M ��� ]3­ O � �3��R���¢ K O ª M � � � MeQf�E¹f��B� E � �KG � f�E � � 5�� �1­ O8R � ¦ ^ M ©��3O8R � KNM 2�O��SO �y5 � � � ¦ O�ª M ��� KNM ª�� � ���� � � ��¢"i MªUO�� � ���� ]i­ O � ����R���¢ K OXª M � � � M �ihH+ � � � +�E � �KG � f�E � � 5 � �}� ¦ ��#�¢ ¦ O ª � ¨ �;9 OT©N¢ ^�}O��%ªVR M � �3��R���¢ KNM ¢��F� M © ��� M � ¦ M R ª�� � � M ����¢ K OT¨>��¢"1B��� K ¢"1 � � M ¦ � � M � M ª �%ªV¨·¢^R M M R ª � � ^� M ����¢ K OT¨>��¢"1�� O�� � KNM D 5 � F�G ] d ¦ © � 9 M ªe�U©UO?� M � ¦ � � M � M�M R ª � � � M ���,¢ K OT¨���¢�1 � ���´R��,¢ K Oª � ªV¨^¢·R M ¨ �;9 OT©N¢��}O��«ªNR¬¢�1 �g­ OTR � KNM ªN¨^¢^R�O=ª �TO8R M ¨ �;9 O8©V¢��UO��%ªVR M � ����R��,¢ KNM � ]d � � K ªe�V�8O«¨ �;9 OT©N¢��}O��«ªNR¬¢�1 � ���´R��,¢ K OÀ � ���� - w � / � ���� w ; ���� � � �SO ªN�8OTR ¢ w�� � �R5 �#¾� ���� # w � $ � ���� w 7 ��� � � � �SO\ª �TO8R¬¢ w�� � � 5 ��´� ���� w � � � ���� w�� �SO\ªN�8OTR ¢ w �R5 ]� ������������� ��� ���(! &"���'�0�4�"24�0)1+-���"!1��, ����� � � �1+-,/.��0�����%� + 2-� 5 6����

Page 130: MATEMATIKA 1

[4.3] 4.3. TRANSCENDENTNE FUNKCIJE 125

" � ���� �1� 5 �& � ���� w � ���� � ������ w��) � ���� � w � ��� � w���� � �* � ª � M �,¢ K OT¨�� � ���� w � ���� A ��� w��/ � �SO A � � � ����R��,¢ K O ���� ª��V© �;9;� ©VOTª�� M � ¦ � R �SO 5 � A � � � ����R��,¢ K O ���� ª��U© �;9;� �PO ¦ O �� f�E 5�G,h f�C��:C � �S��c8�\�V;<X5?�]4�7 �`\ 824���� O:7 I - w / � ������ < w ; ��� � < w ; ���� �.

w 7 ( ]������� ���� ' U 7�X] U � O:7]a��=<� O:7/b�8� �b%d?X�\��� ��� < w ; ���� < w ; ���� �.

w 7 (5�65 ]# <>\6, M U �^\ < U 7�X] qV@5��� U �=< �67Q, M 7],�<��8� _O:7/b�8�\�X] ?T�\ �_� AO=O:7/b�8!5%,�< M 8�� O:7�O:7R, M 7],�<�����8� X] ?T�\ P ] SVU 7n�W -, M 5 O ,�< M �d�W �V@5��� U �=< ��W L�d�W ��65

��� � � < w � ���� < w���� < i P � ���� < w���� < P ��

� ���� < w�9 � k ���� < w������ �.

w � ���� < w���� < �< � ��� � < w���� < P O�� � ���� < w7�� � 7 ��� � < w ]' .4�5 �^5 U 8:O� QO:7/b�8� �b%d?X] Z �5%,�< AO:7

k ��� � < w ; ���� < w 7 ���� < w 7 (¶� 5 & k ���� < w � ( ]K b� �<*V@7 ���� < w � P � �$Tq�]7��� 9,�V;� O:7/b���w � P < � k �¾]� f�E 5�G,h f�C���t�� �S��! U � U 5�b�8�\Cb^5��67�8�\��`\^824���� O:7 I - w / � ��� - 7 w 9 ; P w 7 k / ]������� ������ .4�5ZO:7 �~- ���/ � D 5 � F�G � �65 U X��=<� 7 w 9 ; P w 7 k � 5 ]��NU A� �5�V;�=8!5��W 7 w 9 ; P w 7 k O:7c 2 U :X�5�V0 � S 5�T��=<>� M 8!7 M U � O:7/b�8!5%,�<�2 �5�V;�=8!5��� �5] U �d�W T% 5.8!7 w�� ��bAO:7h,%7? 2 U :X�5�V0 �8� �V0 ?T����$T�8� �bL5%,�� w ] � 5�b^7gS�� 4�5%7�� ��� O:7�8�<^O:7 7�� � 2 NO:7[5.8� 5%4 U 7�8�\^< � U 7n�W b^5�V O:7 � SVU 7n�W <X5��67 M U � O:7/b�8!5%,�<>�1 �5�V;�=8!5��W ~S]7�X��=<� �5�T��=<>� M 8!7[T% 5.8!7�w�� 4�5 O`�?,%7�8� �V0 ?T.7��$T��67�b Z \ 8�\�V;< 5?�/ .4� � �5�V;�=8!5��W ��>, O:7 ���@a�< � 2 U :X�5�V@7�,65%,���w � �' U 7�X] b� .4�V@7[8� �S��"8�\�V;< 5?�]4�7 �5�V;�=8!5��W �UN5�b�8!5%,�8!5 U � O:7]a��=<� 4 M �b U �<8�\ZO:7/b�8� �b%d?X�\

7 w 9 ; P w 7 k ��5 � V;�"Uca�<X5hO:7[�@,�<X5?U w 9 7 P w ; k �65 ]e O:7]a%7�8:O� -,�\qw � �E� �Kw 9 � k �� 2 RO:7�b^5��67�8� �~- I / �EDA� � k G ]

Page 131: MATEMATIKA 1

126 4. FUNKCIJE, NEPREKIDNOST, LIMES [4.3]

�5f�E 5 G,h fqC � ��� �S��! U � U 5�b�8�\Cb^5��67�8�\Z�`\ 824���� O:7 I - w /s� � ���� �.w 7 k ]

������ � ������ 5 U �X��=<�Bw � 5 ������� �.

w 7 k � 5 < O � ���� �.w �jk ]

Q \ b�\S��Vb� PO:7qX] ?T% V@5��� U �=< �W u�W �8:O� C5�b � �^�`\ 824���� O� ��� � �.,�< U 5��^5� 2 �b� �U �1 U 7n�W

< 5��67�8:O:7 T��=8!7 M U � O:7/b�8!5%,�<� ,�\ M 7gS]7�T% C5.8!7xw�� 4�5 O`� ,�\�W �8:O`� 5�bC5.8!5��� �w � T% W4�5 O`�O:7 ���� �.w � � k ] � T95 M 7 O:7/b�8� .4�5%,�<>��,�V;� O:7/b���w � � � �< � 9 � �� �� 2 QO:7 �~- I / �ED 5 � ���� ]� ����� � � � ' �6� # ��� �-! � ' �� � � ���&#� %-' ��

� f�E*GK� �65Jh � f�EHG � + � +3f�D� EºC �� O KNM ¦ ¢>��¢"���H�\R¬©����*�´¢"��� ªVO ªN© M ¦ ¢"ie� M �v� ¢^ª 1 � ¦ ¢�i�� �

x

y

tg tt

cos t

ctg t

sin t

l�m nHo p�r8t ��v¾x�n � ��@ �g� . x�n ��� o pgo�x^������n �Np

� � ªe�}OS�¬¢"� � 2�© � KNM ����¢L��©UOS�8O��¤R�O � �UO�� 9 M �:���s�b� � � ^R¬¢]- � � 5:/ � ¢m��ª � KNM ©N¢"� �E9 O:R8O � ¢ � ª � ] � O��V¢"� 9 O�PO�� � �}O�� � �PO R © ������¢"�c� � � O �UO K ��O��,¢>�%ª�� � � � � ^R8O���O%R¬©����*�´¢"� M ��©V¢ ¦ © �4�,¢^¨·¢3© M OT¨�� M 2�© � KNM � MT�¸­ O8R �¦ � 2�¢�� M ��OLR © ������¢"�,O ª M � � � M � f8E'GK� �65Jh � f�EHG � + �¢^¨^¢ & f �¾G,h:� � +3f�D� EºC �3� � R � KNM � � �}R ¢�� �POR¬©����*�´¢"�,¢}��©V¢ ¦ © �4� M � 2�© � K ! � � � ¦ OXª �°¢·ª�� � K � � �}R ¢��©V¢ ¦ © ��� M ��¢L2�© � KNM �¬¢ ! ; k�� � !�7 k�� � ! ; l�� � !�7 l�� �]S]S] �,O�� � � KNM © KNM ¦ ��¨ K ¢��PO KNM ¦ ¢���¢��*� M R ©����*��¢�� M k�� ]� f�E*GK� �65Jh � f�EHG � +�h   D +DCFEHG,h� � � � #c� �V©V¢ 9�� � � � M �V©V¢ K ªNR M R © �4�*��¢�� M ¦ M�� ��¢·©UO�� � �U©V¢ 9;� � � � M �U©V¢ K ªVR M � �3��R���¢ KNM�� �POªV¨ KNM ¦ M #�¢��PO���¢�� � �¸M R�Os2�© � K � ! ��©V¢��PO ¦ O!� � �}R�O�� �POs2�© � KNM ��� � K R¬©����*�´¢"�,¢ ��� ��ª��,¢·ª �� � �}R M � � �*�PO��,OS�TO�� � ª�� ����! � O � © ¦ ¢��PO����`ªUO �� ��$! ]�� O��UO K �PO���¢�� ª � � ¦ M�� ��¢^©VOT¨^¢� ����R���¢ KNM

!��a � ��$! � !��a � ����!�PO � � R � KNM � � � M � � � E D � ¢B+K� � E D � � � O��U¢"� ¦ M�� ��¢^©VO�� �

� ��!s� �� �� !� ����!� � � � ! � � ����!� �� !

R � KNM � � � M � � � � G�h �� ¢�+ � � � G�h F� � � 2 �;9 � ��9 O i�� � KNM ©VO ¦ ¢���ªB2�© � KNM ��� M R © ������¢"� MÀ �¾�¬©V¢ KNM ¦ � � ª��V¢ � ����R��,¢ KNM �}O�� 9 M ��ª � �,¢$�}OS�8O�� � �PO��UO�� 9 M �:�U¢B��� � �}R ¢m- � � 5:/ � O5�¬©N¢ KNM ¦ ^� � ª��V¢ � ����R��,¢ KNM R � �}O�� 9 M ��ª �POs�}O?� 9 M �:�V¢A�.� � �}R ¢}- 5 � � / ]_ � � M �PO � ¦ ªV¢>�H��ªUO ¢�R � ªN¢��H��ªVO KNM � ] _¿OTR ¨ M �~- �� ��/s� �~-�� ����/s� � ] ¼���´R��,¢ KNM�}O�� 9 M ��ª%¢ R � �UO�� 9 M ��ª�ª�� ¦ M�� ��¢^©VO�� M R8O � ©UO��,¨ � �d��¢ � �PObª�� � K ¢�1 � � M ¦ � � M � M © M ^OT¨���¢�2�© � KNM �¬¢m2 M ���H��¨�� � �,OTR�O �PO���¢·����¢^R�O � � M ¦ �PO ¦ �c2PO � ��� w � 5 ¢"�«O 2 M ªNR � �PO��*� �! ������������� 2-�4� �'� ���')*��2-�4� � + ���(! ��,���� ��� � �1+ ,/.�� ����� �*+ 2-� 5 6 ��6

Page 132: MATEMATIKA 1

[4.3] 4.3. TRANSCENDENTNE FUNKCIJE 127

�0� �;9�� © KNM i M � K O ¢B� ����� 9 ; < � �< ����� � �PO KNM �~- � ��/Y� �� ��� 9 ; < � �

< ����� ]� �POT¨ �;9 � � �~- � � ��/?� �� � < � �

< ��� � ]�­ OTR � ¦ ^ M ©¸� - �� ��K/¤� � -�� ���g/¤� 7�� � � � � O�`- � ��/s� � -�� � �|/ � � ] ¼����R��,¢ KNM � �� � � ��� � � � � � � � � � � M � � � f8E'GK� �65Jh � f�EHG � +�E 5  D +DCFE�G � 5 �3�� f�E 5�G,h f�C�� � � T U ���\^8� �<>� I � � l � � .4�5_O:7

I - w /s� � �� � � l ; w � ; k � ��� - � ; k w / ; P � � � � k 7 w � ]������� ����N� .4�5.8�\ M U a�< M �8:O� � = \<�NO:7],�< 5[w �d�W ��65

I � � l �X� �� �� � � l ; � l � ; k � ��� � � ; k � l � ; P � � � � k 7 � l �� � �� � k ; k � ��� P��k ; P � � � l �E� ; k > 5 ; P > ��� l ]

8 ©N¢ KNM ¦ M O ¦ ¢"��¢ � � M � � © �!�´¨ M �,O%ªN¢��H��ª ¢3R � ªV¢��H��ª �� �� - w g � / � � �� w � ��� � g � ��� w � �� � � ! " � ��%� ��� - w g � / � � ��� w � ��� � � � �� w � �� � ] ! " � " %

� ��� K ¢"1=ª M � �;9 �=¢"��� M ªe�U¢Pª � M � � �*�PO�� M � � ©��!��¨ M �SO1ªN¢��H��ª��FR � ªV¢>�H��ª��:�}O?� 9 M �´ª ¢´R � �}O�� ^9 M ��ª � � O��´©V¢"� KNM ©c��OTR � � ! " � " % ª��}OS�¬¢"� � � � w�� ¦ � 2�¢·�8O�� �

� ��� 9 w 7 � �� 9 w � � ��� k w�� ¢ � ��� 9 w ; � �� 9 w �E� ]� R � ª��UO��¬¢�� � � � w � ! " ����% � ¦ � 2�¢��TO�� �

�� �� k w � k � �� w � ��� w ]­ OTR � ¦ ^ M ©

� � - w ; � / � � �� - w ; � /� ��� - w ; � / � � �� w � ��� � ; � ��� w � �� �� ��� w � ��� � 7 � �� w � �� � ]� OTR � � ¦ ¢ KNM ¨ KNM � K O!2�© � K ��¢·R8O\¢ ��O��,¢����´¢^R�O\ª � ��� w � ��� � � ¦ � 2�¢��TO�� �

� � - w ; � / � � �� ����� �;� �� ������

� 7 � �� ����� � �

�� ������ �

� � w ; � � ��x7 � � w � � � ]

Page 133: MATEMATIKA 1

128 4. FUNKCIJE, NEPREKIDNOST, LIMES [4.3]

�5f�E 5 G,h fqC � �� �S��"8�\LV;<X5?�]4�7"�`\^824���� O:7 I - w / � k � �� 9 w 7 � �� �� w ; P 8� W�=8�< 7 U ZM �V;\ � � P�� ]������ � ���� ' U 7�X] U � O:7]a��=<�2O:7/b�8� �b%d?X�\k � �� 9 w 7 � � �� w ; P � 5 ]

� .4�5.8C,�\% �,�<�=<>\ ��� O:7 � �� w � ! �d�W ��65�4 M �b U �<8�\ZO:7/b�8� �b%d?X�\k ! 9 7 � ! ; P ��5 ]

e O:7]a%7�8:O� ,�\ ! �Y� �9 � ! 9 � P ] � U \��^5 U O:7]a%7�8:O:7 5?���=<X5 8!7bT% �b^5 M 5�V O� M �U�O:7 U O:79,�V;�@4� �`\ 824���� O:79,��=8�\�,L�=8�< 7 U M �V 7�� � � � ] �� .4�V@7��65 U `X��=<� � �� w � �9 ]?S 5��65?S�\ < U ���^5.8!5 Z�67�< U � O ,]4�7�4 U \�d�8����]7 M �b��d�65 b� �5�b� �<*V@7 ,�V;� O:7/b�� b� [O:7�w ��� � 0 �(w 9 � � 7 � 0 � ) �0�mX�� V@5 4�5 O`� b U \���� w 4�5 O`� ,%7B�$T95 M ��� b^5�X�� O:7[b^5�b� M �8:O:7n� � O:7�V@5�X U 5 O`8!5�� M �@a%7]4 U �<8��@4� 5�b k�� ] Q U 5 O � 0 O:7 �W �8:O`�B5�b � �_b^5%4�O:7 � � ) �0 � k ] (2� � *,* � P � 2 O:7L< U %d.7�8!5U O:7]a%7�8:O:7 w � ) �0 ]� � �gE�G � E¤E ��� Die G,h:�iE�?M ª�� � ª M �´¢"i M �� �� * 5���� � �� - ��� k /«� � ] ­ � ��¢ KNM R � © M R:��� � � ¼����R��,¢ K O`ªN¢��H��ª KNM¦ M�� �´¢^©UO?�PO �POXªNRH������ªN�¬¢"1°© M OT¨>��¢"1 2�© � KNM �8O4�sO * 5�� ��¢ KNM © M O8¨cO�� 2�© � K��µ¡ � ¦ KNM ª M©UO ¦ ¢ � � � � M ¦ O R��L��� � ¦ * 5�� ��©V¢��PO ¦ O �PO �U©V¢ 9;� � � � M �U©V¢ K ªVR � K R © ������¢"��¢1© M OT¨cO?�2�© � K ��� k ] _1OTR ¨ M R8O ¦ �´¢"i M � � �� �� * 5 � � � � ¦ O ª M �SO��´©UOS� � ©UO ¦ ¢ � � � � M ¦ O��PO K ��©V¢ KNM� ¦ © M ¦ ^ M � � � � ����R���¢ K � � ��© M � M ¦ M � � * 5�� � ����k � ¢4� M R!�,O��U¢��v��©N¢"�%¢ KNM ��¢"� � � �3��R���¢ K �ªV¢��H��ª � ¼K�3��R���¢ K O4��R � K �~�V© M 2PO�� � ��2PO���¢��U¢\� ¦ � 2�¢ KNM ª M �PO\ªN¨ KNM ¦ M #,¢���O��,¢>� �

! _�� � � � _ ���05 � �!s� � � ����05 � ]

�1h f8E'�A�gE �: � ���­ ©N¢ 9;� � � � M �U©N¢ K ªVR M � �3��R���¢ KNM ª �*e h f�E'�A�QE �: h   D +DCFE�G,hK��� K�� � K ¢"1 � � M �¾©N¢ KNM ¦ � � ªe�U¢ ª M� � ��O��¬¨ K O K ���POs��©UOS�¬¢^¨^O��E�PO���¢�� �s� © M �,¢��*��¢ KNM ���¬©V¢ KNM ¦ ¢

�� �� w � � �� - w ; k�� / � �,O%ª �8OTR ¢ w��3� �� ��� w � � ��� - w ; k�� / � �,O ª �8OTR ¢ w3�3� �� � w � � � - w ; k�� / � �SO\ª �TO8R¬¢ w3�3� �� � � w � � � � - w ; k�� / � �,O%ª �8OTR ¢ w��3� ]

¡ � M � � © �!��¨ M �¬©V¢ KNM ¦ M � KNM ©x2�© � KNM �¬¢ w ¢ w ; k�� ��©N¢"�PO ¦ O K �:¢^ªe� � K � � �}R ¢ ��Oq�V©V¢ 9�� � � ^� M �U©V¢ K ªVR � K R ©����*��¢��,¢ �

Page 134: MATEMATIKA 1

[4.3] 4.3. TRANSCENDENTNE FUNKCIJE 129

¡ � # M �´¢�� � ��ªN�8OTR ¢ � � �,¢��V¢·�8O���2´© � K�� �UOTR�OS� � ¦ O\�¬©N¢ KNM ¦ ¢I - w ; � /s� I - w / � �,O ª �8OTR ¢ w3� �~- I /

� � � M ª M e h f�E*�A� � ����R���¢ KNM«I - w / ] � R � KNM�� � M ©V¢ � ¦ � � � ¦ O*ª � k � � P � � ],]S] �}OTR � ¦ ^ M ©� M ©N¢ � ¦ ¢ � � O K �«O�� K ¢�� M ¦ ^ �~� M ©N¢ � ¦ ¢"�«O5ª M � � � M � h�5Jh � G Ese h¬f�E'�A� �¼����R��,¢ KNM ªN¢��H��ª ¢¤R � ªV¢>���´ª%¢���O K � � M � M ¨ K ��¢�� M ©N¢ � ¦ k�� � ¦ � R KNM �SO��}O�� 9 M ��ª ¢R � �}O?� 9 M �´ª � M � M ¨ K ��¢�� M ©N¢ � ¦ � ] _ � ¢·ª��UO �� �� - w ; � / �v7 � �� w ¢�� ��� - w ; � / � 7 � ��� w����O KNM � � - w ; � /s� � � w ¢ � � � - w ; � /s� � � � w ]� ©UO � � M ©V¢ � ¦ ¢��*� M � �3��R���¢ KNM¤KNM ¦ � � � ¨ K � � � � �*��O��8O��V¢��PO%ª M 9 � M �:� � ¦ ��¨ K ¢�� M � M ©N¢ ^� ¦ O � _ M ª@� � ¢3¨·¢ KNM � � ª M � �.� M ©V¢ � ¦ ¢��}R ¢B� � �POS�¾¨ K O �� f�E 5�G,h f�C�� ��� �S��! �7 U � 5�bQ�`\^824���� O:7 I - w /s�BA � �� -�� w ;�� / ]������� ���� SVU 7�<; �5%,�< M �d�656b� QO:7_ �7 U � 5�b ��] ' �b� �65 U X��=<>�

I - w ; � /s� I - !�/ 5�b�8!5%,�8!5 A � �� -��3- w ; � / ;�� /s� A � �� -�� w ;�� / ]K b� �<*V@7

A �� �� -� w ; � � ;�� /Y� A � �� -�� w ;�� / ��� �� -� w ;��.; � � /Y� � �� -�� w ;� / ]

' 7n�67�V O`8��� �7 U � 5�b-,��=8�\�,� QO:7 k�� � 2 Y�65 U �X��=<>� � � � k�� ] ' .4�5 O:7 � � 9 �� ]�?© � K �R�.��©V¢�� KNM © � " � À�� ª M � � � M   f|hH+��Dh CFEHG � ��O � � � ��O8R � � O��,¢ �

� f�E 5�G,h f�C���� E� � U < �<>� � U A�"�`\^824���� O:7 I - w /Y� P �� �� w ; i P � ��� w ]������� ������ �b �d�W ��65-4�5���X��=8� ��� O`\ ,��=8�\�,� �c4�5%,��=8�\ ,� 6, �@,�<>�d��� U 7]4 M 7�8 ��� ZO� ��W �U 5.8�b� R,%7T�`\^824���� O� H�65�d.7 , M 7],�<>��8� V �5��W .4.8�\ <\�,��=8�\�,�8�\V�`\^824���� O`\�8� R,�V O:7/b^7gS��8� ����=8P � �� w ; i P � ��� w � � P 9 ; i P 9 P � �� w ; i P � ��� w� P 9 ; i P 9 �

k i P � k i �� ������ i

k i � ��������� k i � i k � ������ �k � ���������

k i � � ��� � ( �� ������ � �� � ( � ����� � � k i � �� � ��� � ( � ]' AO �5%,�<\ 2 .4 5��0 .4%a� M � U < �8:O:7 � U A�� �

Page 135: MATEMATIKA 1

130 4. FUNKCIJE, NEPREKIDNOST, LIMES [4.3]

�5f�E 5 G,h f�� ��� �� ����! �7 U � 5�bh�`\ 824���� O:7 I�� ���s� �� �� k ��� �� �� � ]������ � ���� # U ��NO:7 U \ Y � +� O:7B �5%4� �% �8!5 b� - �7 U � 5�b�5 M �@,��V,� ��65C5Z�� .4.<X5 U \� \�� M U � O� �� �;\ � # 5 M 5�� , �;\��/ AO`\9O:7_�`\^824���� O� �� � U 5 OWb M � O`\ �7 U � 5�b�����8������`\^824���� O� �� O`����5 M �"<X7��67 � O`8��T �7 U � 5�b�� ,�\� �Y� k��k � � � ��� � k�� ]

M .4.� M �@a%7]4 U �<8��@4P �7 U � 5�b� hO:7B< .4�5�b �/7 U �7 U � 5�b��T 2 L< U 7��] -8� ������% AO:7/b�8����]4.� M �@a%7]4 U �< �8��@4� �7 U � 5�b� � � � ��� � .4�56< .4� M �5%,�<X5 O`� � � �@a%7]4 U �<8������_5�b � � ,�\ � O:7 �@5�� U 5 O`8�� M �@a%7 �4 U �<8������c5�b � ] � AO��W �8:O`� < .4� M �67�b �X\ M �@a%7]4 U �<>8�������W L5�b ��� O:7 k�� ]!SVU 7��W -<X5��67 �7 U � 5�bh�`\ 824���� O:7 I O:7 k�� �>, � � Y � �� ��! #"$ #� % � � � �'&�%-' �1� � �)(-! � '+*�� �,(�- ���&#� %-'+*.(

� ©VR./�ª � /3��R�0�¢ KNM ¢^¨^¢10,¢^R ¨ �32 M�4 ©N¢ K ªVR M � /���R.0,¢65π−−−2

π 3 π−−−−−−−2

2 π

-4

-2

2

4

sin 2x + 3 sin 3x

sin 3x

sin 2x

lTm nHoqpYr8t 7�v�wDx pV�´�@�,��oq�Vn �c�,8� �-�

KNM ª9/`¢��F� M ©;:�� M � /���R<0,¢ KNM=4 ©V¢ 9;� � �32 M�4 ©V¢ K ªVR ¢�>� /��´R�0�¢ K O �@? ª 4 �8OT©N¢ � M 20�3A M 2"� ¢>� � M © 4 ¢^©VO 4 ¢4 ©V¢ 9�� � �32 M�4 ©V¢ K ªNR M � /3��R�0�¢ KNM�B´KNM © ª9/ � � M�C�M 5©N¢ � ¦ ¢�D�� M�B�C O 2 � �;9 M � C © M ªN¨^¢^R�OS�8O K /E/b¢·ª 4 ¢IF� ��� ]7� O C © � � ��$G�� G � OT¨^¢ KNMH4 O8R � ¦ 5 M ©�� �� � � � �� �JI � � � � �� k�� � �� �� �KI k�� � �]S],] �LG ]�M O 4 �$2"� ©UO 20� /N: M�4 ¢ ªUO 2"� ¦ ¢ KNM ¨ � � M4 ¢�> � /���R<0,¢ K O ¢ 4 � �PO � ��¢ 2 ¢�� 4VM ©N�8OT¨·¢ 2 O B 9 ¦ KNMª;/ � � M ª 4 © �;9;��20� � � 4 � � M8�­ OTR � ¢ 2 O 2"� ¦ O KNM ªV¢>�./�ª ª 4 © �;9;� ©VOTª 4 /NOSO � /3��R�0�¢ K O �POEP I � � � � � � � ¢ C � C ©N¢ 2 O�ª � M�¾©N¢ KNM ¦ � � ª 4 ¢s¢�: 2 M ¦ 5 / I � ¢ � � /�R ¨ K /ND�¢·��QV¢s¢ � K ¢�> ! ª 4 © � À R¾À %��«� © M 2 O 4 �32 MSC � ª 4 � K ¢¢��F� M ©;:*��O � /���R�0�¢ K O B ¢ � ��O C © M ªV¨·¢^R�OS�TO@:SO 4 � � © M ��¢Q¢�� 4UM ©N�8OT¨ I � � � � �PO PI � � � � � � ] ­ O� /���R�0�¢ K O\ª M : � � M�� f�TVUXW@WSEZY[UXW�\ B ¢ C ¢�Q M ª M^]�_ � � �� ¢·¨^¢ � ��a` � ]b � ªV¢>�./�ª KNM ª 4 © �;9�� C O ¦ O K /cOSO � /���R<0,¢ K O1��O G � ��� � ¢ C © M ªN¨^¢^R�OS�8O G � ��� �PO I � � � �! ª 4 © � ÀdR¾À %��¸� © M 2 O 4 �32 Me4 O K ¦ ¢ � � /��´R�0,¢ KNM R � ªV¢>��/´ª¿¢ 2 O ¢��F� M ©;:*�./ � /��´R�0,¢ K / ��¡ �POª M : � � M�� fdT�UfWgT�haWSE#YVUfW C ¢iQ M ª Mj]�_ ��� ��� ¢^¨^¢ � ��� ` � ¢ C © M ªN¨^¢·R8OS�8O I � � � � �PO G � ��� ]�5f�E 5 G,h f�� ��� ��� ���� IEk�]�_ � � �� l � ]�_ � � �� l l[mHnFo�p 5NOrqts � ���vu �� ����xw

������ � ���� # �zyrq|{�}X5 � }#~�q�� o���� ~|{�}#�}#� ]�_ � � ��S�) � ]<_ � �� ��S� ) n ���a~�q�� o }X5���q����~ o � ���ao }#�� �� k ]�_ � � �� l � ]�_ � � ��S�l m w� ~�q�� o�o�� ����� 5 � 5KyX�:5�~�� � �+�f� o {�� ��� {@��� ����� �,}X5$yrqvyrq ���ao�p 5

�� �� ]�_ � � �� l � ��� ]�_ � � �� � l � � ��� ]<_ � �� �� l � �� ]<_ � �� �� � l� ���������������0�4��, + ��,d��� ��� � � +-,/.���� ��� �*+324� 5.�����

Page 136: MATEMATIKA 1

[4.3] 4.3. TRANSCENDENTNE FUNKCIJE 131

u l � ��� ]�_ � � ��S�l � � l � ��� ]�_ � �� �� l w� � �:5�~�� � ��q �� �� � ��� � ��� � � u�� { �+� yrq � � � ����� u�� � � I ����� � �Xw ��o } ��q��� � ]�_ � ����� � l u ��� � I�� ��� � ]�_���� ��� � l u�� � I k � ��� ]<_���� ��� � l[m �

u�� � I k � l[m � u�� � � I ���� l u�� � �� l u�� l w� o�p 5 o ~ p�� {|{�� ��� {X�a~��� oe� ~�� yrq ��� 5 {�}#�a������q � � � I�� � � � � nNp 5 {�� ��� { � q �65���q$���}Z� � q�� o �}#� ��o��! #"�o�p 5fyrq � � ��]�_���� ��� � $ u �$ w&% o ��{�}#� �ao ��� ��� 5���� ��o �65 ��o yrq � � �a]�_���� ��� �$ u � $ w� ~�q�� o }X5���qs k ]�_���� ��� l � ]�_���� ��� � l m u l�' l � � l�' � l u(�3w)+*-,/.10�,/243�052 476�8 . 896 *:2 4 /cO;*=< //,/><0�?@3�*A,B*A?C, 4 0 6ED *:F�/HG I � � n � �JI n ? C!83C/6 ? 2 *K2 D 0DL6 ?@3�0�M&, 8 2 4 ?N?i:PORQS2 476�TVU R U�WXTZY[6 0 2 * 4�8 2 0 C\8 2 478 3�?V?], D 0 6 :�,B*5? 8 ,B* C&6 0�2�F]?C>:* D *^O,/*_G I � � n � �JI w )N*`< //,/><0�?@3�*`2�0 : 8aD 0 �&b TVUXW`c � Yedgf YfW B ? C ?iQ�0Z2�0 ]�_���h�i ?]FC? h7i `Bj wb 8�4 *-,&.10�,/2k2 476�8 . 8@C *-MB*l,/*l?], 4 0 6�D *-Fi/�G G n�m I n ? 4�8�8 M9n M 8 I n Qo2 476�TNU R U�WXTY[6 0 2 * 4�8 2 0 C\8 2 478 3�?1?], D 0 6 :�,B*p< /&,/>�0�?@3�* B ? 8 ,/* C&6 0�2�F]?C>:* D *qO�,B*rG G n�m I w )N*s< //,/><0�?t3�*2�0e: 8�D 0 �/b T�UfW@T�hBc � Yed!f�YfW B ? C ?iQ�0u2�0 ]�_�����h�i ?]FC? �Xh7i `Bj wv bxwzyl{ f b �e|C}g~ % o ���[�a~��~ 5 ����� � 5���q ��� � ���cp ��� yrq

s � ���vu ]<_���� ��� � � �� I � w�k�1�1���1�L�1� � ~ � 5���} 5 � � � ��65 yrq|{�}Kq ��o �65�~ o ���}Z� ���u � w�� 5���q �ao � ���cp ��� yrqo ~ p�� { {�� ��� {FyrqP� I � n ��� � o � �65�~ o � o�� 5 � 5�� y o���o }#� � q yrq ���ao�p 5 {�}I ��� � � �� I � ����w"c� { qt� o �a~ o�� 5S~ o�� �?5 ��� � yrq � q yrq ���ao�� � ��q|� p 5Kyrqe~yrq�� o���o �65 �ao { � yrq � q|��� �ao ��� �! ��� �� I � ��� � � � �� I � I �r� G � �� I � � G n

5 ��o�p ��qt{ �+� yrq � � �=� � wq {��� } 5�� o �65�~ o ���}#�f� o�� 5 � 5�� yrq �ao � � ~ � � o�� q yrq ���ao�p 5 {�}��� �� I �A� I � � ��� �� I � �H� � G � � �� I �A� G w

Page 137: MATEMATIKA 1

132 4. FUNKCIJE, NEPREKIDNOST, LIMES [4.3]

� o���� y � � q yrq ���ao�p 5 {�}[��5�� � 5�����65 { � � I � � � we% o�p 5 � p ~ o �|q � y o �� o �65� � � � I � � � Gcw% o �+� yrq � 5Ky!{�}Z~ o�� � � q yrq ���ao�p 5 {�}#� yrqz��5��+� � 5�� � ~ � �^5���{�} � � � y o �F} 5z� o�p } 5�~������~ o�� �V� o� � � ��65 ��o { � � � ��� �+}X5 � p q � j u G � � � u � wk% yrq��^5 � ��~ o �^yrq@� o ~ o ��5�� o �^} 55 p ~|q ��� } o �a~�q�� o �^5�~�q|�Nyrq�~Fyrq p 5 q��z��� yrq � } � � � � ��5����}#� ��o��! � ~�q�� o }X5���qe~yrq�� q � yrqyrq ��� G ���+� � � � w � 5 �ao � � 5 ~yrq�� q � yrq@{ � 5 � � � n p 5Ky��z� o�� 5 � 5�� y o���o y � yrq ����� �� ~ � � � � q yrq ���ao�� � � �/ � ~�q�� o }X5���q �=� G we� o�p ��q�� � s �vu G I n n G:��w�! #"$ �� � *.(�� (U1T � *�O�? C/6 ? 6�8 M/,./�M 8 2 0�,./�< //,/>�0�?@3�0 s � ��� u����� � ������� � ��� � � � � ��� �� ��� �"! � �#� � � $ � � % �'&c�� � �)( �* � � +-,/.10 &c�2�435& �6(7!�8 � 9 � +;: & � � %& � � ! &<�'= � > ��? +-,/.A@B 0 &<�4C 8 �D � � EGF : &�� H � (EIF : � &J� ! EIF : &J�'= � K � � � EGF : &L� (�M� EGF : &ON , E & ��QPR�RSUT NVN , E � ( �'&�� �����RSUT NVNXW . (A� &( �'& � � � �RSUT N EGF :Y+Z: &��� $ � (

� EGF : &c� � � * � (( �4N , E & � � 9 � � N , E & � EGF : &��� > � NXW . ! &�� � D � (EIF : � &J� EGF : & � � H � NXW . &EGF : &L�[N , E &#\

] T � *�0 694 * 4 ? . 6 *:< 8�D 0Z2�F@3�0�M&0�O�?i>5< //,/>�0�?@3�* T s � ���vu��� � I_^ ` � n � � ^ j ` � n $ � ��� � � I � � � n* � � ���'` � I m�ba n 9 � � ��� ���dc � � � � n > � � � ��� � � I m � nD � � ����� � � ��� � � n H � m � � ]<_���� ��� � � I �d� n K � m � � ]�_��Xh7i �xw

e T � *�O�? ?], D 0 6 :�,./K< //,/><0�?@39/ 8 M_2�F@3�0�M/0�O�?�>5< //,/><0�?@3�* T s � ���,u��� ��� � � �� I � n � � ]�_���� � � � I �� n $ � ^Uf�gih�jikRl � wm Ton M 6 0�M/? 4 ?qM 8 2 0�,./ B 2�F]?]>./ ? C 0 6 ? 8 M B ?]2 C ? 4 * 4 ? C * 6 , 8 2 4 8 M/, 8 2�, 8 ,/0 C * 6 , 8 2 4�B4 0u2�>L?i0�? 6 * 4 ? ,x3�0�, . 6 *:< ,B*-M 2�0�. 2 0�, 4�8 2 � Iqp mvn p m � n *-> 8 3�0 :�*-MB*-,/* < //,&>�0�?t3�*

Page 138: MATEMATIKA 1

[4.3] 4.3. TRANSCENDENTNE FUNKCIJE 133s ��� �,u��� � ��� � � ��� p � n � � � � �d� � ����� � n $ � � � � � m ���� �d� n* � �� � � � � ` �� m� a

n 9 � I � � ��� �� ����� m � n > � � � ��� ` � � I m a wR T � 2 C ? 4 * 4 ?V/ 8 M/, 8 2;/�,B* C * 6 , 8 2 4 ? ,/0 C * 6 , 8 2 4 2�Ft3�0�M/0�O�0u< //,/><0�?t3�0 s ��� �,u��� � �� � I � n � � � � � � � n $ � c ��I � n* ��� � � � � � ��� n 9 � ��� h�i�� n > � � � � � ��� � nD � ��� � ���� I�� n H � � � � ��� � n K � � ��� � � � w

� T � 2 C ? 4 * 4 ?V/ 8 M/, 8 2;/�,B* 6 *-2 4 ? C *-M 2�F@3�0�M/0�O�0u< //,/>�0�?@3�0 s �� � u��� ��� � n � � � � n $ � p I � ��I�� � n * � � I � � n9 � � � ��� n > � h7i�� n D � ��� ��� � I � ��� p � n H � � � i @B ���@I �d� � w

� T � 2 C ? 4 * 4 ? C 0 6 ? 8 M/?iD�, 8 2 4rB ?�,B*<O�? C 0 6 ? 8 Mr*-> 8!C!8 2 4�8 3�? B 2�F@3�0�M&0�O�?i>r< /&,/>�0�?@3�* s ��� �,u��� � � ���� � � ��� � n � � p � ��� ��� � ��� � � n $ � � ��� �� n* � c h�i�� n 9 � � ��� �=� ��� p�� n > � � ��� � � nD � h7i��� � ��� � � n H � � h7i � � I)p[h�i � p n K � � ��� ��� � ��� m � n�5P�� c � ��� � n ����� � ��� c � n � � � � ��� � � � w

Page 139: MATEMATIKA 1

134 4. FUNKCIJE, NEPREKIDNOST, LIMES [4.4]

����� ���������� ���������� ��� �� ����� ����"!# %$��&(')&*',+ -/.�0213.�4�5762829;:=<?>A@28(4;BC5EDF. � 0�>x*`3�0HGA?C,=I70 6ED *-F;J O n ? sLK GNM O

c c

f(c)+ f(c)+

f(c)− f(c)−

f(c) f(c)

ε ε

ε ε

δ δ δ δ

OQP RTSVU�WYXTZ\[^]_P R `ba7ced ]CfeahghijahSeR k^fedml)npoqn)dsrASeR�tAuk�avlvf\dY]CghiwamSeR k(o;n)dsrASeRxt

y *-MB*-,B*=<)J/,&>Yz�?t3�* T|{ *K<)J/,&>Yz�?t3,J s >x*Y}�0�~ 8MB* 3�0��ef�� b fF� w�� ����� cs���^� w���� G n *-> 8 y *2 D *:>L?�������� 8 2,I 8 3�?������"I�*-> 8 M/*� �H�|� � � � � � sq� �C��� sq� ��� � � � w� > 8 3�0l<)J/,/> z�?@3�*=,&0�� 6 0�>J?]M/,/*�J 2 D *:> 8 3I 8�� >J?�? y G n 8 ,/MB* >x*Y}�0�~ 8 MB*`3�0��efF� b fF� wb�� ��� ���NG T;¡ � 6�8 I7? D , 8 ~ >x*Y}�0�~ 8 MB*�?¢~l*�� b fF� w£� �¤�NG9Q D\T 2�F T m TCUs¥1WXTv bxwoy�{ f b§¦ |C} ¦ � 5 � {�} o�� } o s�� �C� u©¨ yrq � q �a~�q p � ���ao � ���cp ��� y o@�ao O w�k�1�1���-� �1� � o ��{�} o ª � q p�o yrq ��� O �a~ 5��¬« � 5^­ y o�� � �"�®� �a~ 5��¬« � 5^­ y o��!

� s�� �C��� sq� ��� � � �� ¨ � ¨ � u � � � w ��o�� q yrq ���ao�p 5 {�} � q95 � ��{�� 5 � n � o yrq ��o�p ­�q2« o { ��o�p � � ��{ � ��� yrq �ao� l" 5�« �ao�¯ � ��o« o �a~ 5��¬« � 5^­ y o�� �"��� � ~�� yrq � �

� �°��� � � � � � s�� �C��� sq� ��� � � � w� ~�qm± o }X5^±�qX� ���cp ��� y o yrq � q �a~�q p � ���aoj� }X5 ¯|p � � w � o�p 5 yrq ��� O �a~ 5��¬« � 5^­ y o�� ª s�yrq� q �a~|q p � ���ao�� { ��o�p 5Ky } 5 ¯|p �v�¬« O nz��o�p ­�q �ao O wv bxwoy�{ f b§¦ |C}³²µ´ � �cp ��� y o sq� �C� u � yrq � q �a~�q p � ���ao@�ao O w�k�1�1���-� �1� % q p�o yrq ��� O �a~]5��¬« � 5^­ y o�� � �"��� �a~]5��¬« � 5^­ y o��! � s�� �C��� sq� ��� � � �

� �H��� � � ��¶��o�p ­�q ª o�p 5 � «�±�qm±65 � � � � � n 5 �a��og� ~�� yrq � �� �°��� � � � � � s�� �C��� sq� ��� � � � w"�o�p 5 yrqts � q �a~�q p � ���ao@� }X5 ¯|p � � nFo·��N���_¸ � ��o yrq � �a~ 5��¬« � 5^­ y �ao }X5 ¯|p�o ª {m­+� yrq � � ��oyrq!s � q �a~�q p � ���aog�ao O w

Page 140: MATEMATIKA 1

[4.4] 4.4. NEPREKIDNOST I LIMES FUNKCIJE 135

� fF� b fF� w£� ������c�f��Sf y f��\cs� b � w���� �¤�¤�� w { � f�� b f y � �³�[f b �� w { � y ��� �ef�� b fF� w�� � wzy � ������ w { � y � | % q p�o { � � ���cp ��� yrqs K G§M O �� °K G§M O � q �a~|q p � ��� q �ao G n � � q p�o yrq�� � O w "�o���o yrq� s � � q �a~�q p � ���ao��ao G n� s� � q �a~|q p � ���aog�ao G n� � s � q �a~�q p � ���aog�ao G w� � p 5 yrq� p� �C� �u � n « o { ��o�p � � � G 5 �a��o yrq s � q �a~�q p � ���ao��ao G wn MB* I�F]0u2�F]?@3�0�M/? MB*`2,J � 8 I70�, z�?t3�0u,/0�� 6 0�>J?CM/,/0Z<)J/,/>Yz�?@3�0Z,B*`O w { *-?]2vI�*�� ? y ,/0�� 6 0��>J?CM/, 8 2vI7?N<)J/,&>Yz�?t3�0 s j � �C� u � Q)� 6 ?¢~u3�0 6 m T ]�� W � 2�FC?@3�0�M&?NMB*�3�0#,/0�� 6 0�>J?]M/,B*5<)J/,/> z�?t3�*s��^� �C� u � �

n 3�0 6 3�0 s��^� �C� u �'� u s j � �C� ' s j � �C� w � 8 I�*-MB*u3�0#? <)J&,/>Yz�?@3�* s j � �C� 's��^� �C� u �

'� � u � � ,/0�� 6 0�>J?]M/,B* ?¢I�M TY 8 F]?C, 8 ~�?2,J ,/0�� 6 0�>J?]M/,/0�<)J/,/> z�?t3�05,B*9O w � 8 ?]2,I7*��;� 8 I70�,3z�?@3�052,J ,&0�� 6 0�>J?]M/,&0<)J&,/>Yz�?@3�0 ,B*�O n > 8 ,/2vI�*-,=I70�2\J ,/0�� 6 0�>L?CM/,/0 <)J/,/> z�?@3�0 ,B*�O Q)� 6 ?¢~u3�0 6 m T ] m W � �/*�2,J,&0�� 6 0�>J?]M/,&0P? <)J/,/> z�?t3�0 ¨"! � !

ny *$# u � n � n � n p n wrw�w w {&%/6�8 3p,/0�� 6 0�>L?CM/,/?('_<)J/,/> z�?t3�*3�0�,/0�� 6 0�>J?]M/,B*p<)J/,/> z�?@3�*��Y�B*N3�0 ¨ � � ¨ j � ,/0�� 6 0�>J?CM/,B* <)J&,/>Yz�?@3�*�� � ¨ � � ¨ j �C� � ¨ � � � u¨ � � ¨ j �� ¨ � � � ,/0�� 6 0�>J?CM/,B*`<)J/,/>Yz�?@3�*��B?¬I7M T)#J&M J�*�? MB* 2\J 6 *Yz�? 8 ,B*-FC,/0�<)J/,/> z�?@3�0 > D18 z�?t3�0�,=I7? ,/0�� 6 0�>J?CM/,/?+' <)J/,/> z�?@3�* Q£� 8 F]?,�, 8 ~l* W[8 ,/0k2,J�,/0�� 6 0�>J?CM/,/0k<)J/,&>Yz�?t3�0(J I 8�� >:* ~l* J�> 8 3�? ~^*s3�0 ,B* y ? D ,/?]> 6 * y FC? � ?¢I 8 M,FJ/FC0 T.- F]?t3�0�M/?eMB*43�0#2 D *->x* 6 *Yz�? 8 ,B*-FC,B*#<)J/,/>Yz�?@3�*l,&0�� 6 0�>J?]M/,/*�,B*l2 D-8 3 8 32� 6 ? 6�8 M/, 8 3M 8 ~^0�,/? T

f�� b f y � �ef�� b fF� w�� ���/�Xc wVy � ���gc �C� w0�1� �¤�¤�� w { � | % q p�o yrqzs {�}#~ 5��^5�±65 � 5�2}X5 �ao � ���cp ��� y o � q�� � �~ o��ao��ao�p 5 �ao�¯�� 5^± �%­+� · q|{ p 5 �ao�¯�� 5^± 5�} � 5�~�q � 5^± � � }Kq�~ ��o ­ �G n � � q p�o yrq � yrq\«�� �ao {m­+� p�o p 5 �ao�¯;o�� �%­+� · q|{ p 5 �ao�¯;o�� 5�} � 5�~�q � �z� � } q�~ ��o ­ "�o���o yrqs � q �a~�q p � ���ao � ���cp ��� y o �ao G w � o }#�%± ��5 {�}X5Ky��e� ��� q�~\« �ao � ���cp ��� y o s43 j �95 �ao yrq� q �a~�q p � ���ao��ao { � 5Ky:5Ky � 5^±�q � �z�Z{m­+�����c� ���cp ��� yrq!s � � *§I�0�~�0�F@3,J 8�D-8 .�* ? ~^*Y~ 8 2�Ft3�0�M/05*�0 y *->JF@3,J � >-0 T�$6�>J2,� 8 ,&0�, z�?@3�*-FC,/0P<)J/,/> z�?t3�0`2\J9,/0�� 6 0�>J?CM/,/0`,B*lO n 3�0 6 2\J9M/057/,/? 6 *-,/0#,B* % 08�2�> 8 ,B* � , 8 ~ 8 I D18-6 0�, 8 ~ ?],=I70 6�D *-F J G � n n n I n ?Z2�F]?C>x* ? ~ 3�0 % 0�2�> 8 ,B* � *-,8 I D-816 0�,/? ?],=I70 6�D *-F�G�� n n I ? 2,I 6�8 . 8 2,J ~ 8 , 8 I 8 ,/0 T�$9 8 .�* 6 ?¬I�*Y~�2�>:0+<)J/,&>Yz�?t3�0:�x>x* 8 ?], D 0 6 y ,/0 8 MZ0�>J2,� 8 ,&0�, z�?@3�*-FC,/?+'���2,JZ,/0�� 6 0�>J?]M&,/0 T�$;³J&,/>Yz�?@3�*42�?C,FJ/2\3�0s2,I 6�8 . 8 ~ 8 , 8 I 8 ,/*k,B* G � m < � n�m < � I n I�*�3 8 I D18-6 0�,&?/?],=I70 6�D *-F� 6 0�2�F]?C>x* D *r,B*�G � � n � I n �B* 3�0 ,/0�� 6 0�>J?CM/,B*#,B*�G � m < � n�m < � I n *�> 8 2�?],FJ/2 3�04,/*

Page 141: MATEMATIKA 1

136 4. FUNKCIJE, NEPREKIDNOST, LIMES [4.4]?]2vI7? ,B* � ?],�,/0�� 6 0�>J?]M/,B*`<)J/,/> z�?t3�* ,/*KG � n�m I w� ��� �H� �!u � ��� �°��� ��� m � u � � ��� � � � m� � � � � ��� m� w

�Z*-MK3�0 � � � � m � < � � G � m < � n�m < � I n 8 ,/MB*l3�0 � � � � m � < � � G m < � n�m I n *� � G�� n p m < � I n �B*�2,J y *"I�*->x* D � ,&0�� 6 0�>J?]M/,&0r<)J/,&>Yz�?t3�0 � ��� � � 3 �� ? � � � � ��� �� n* 8 MB* I�F]0P3�0 � ��� ,&0�� 6 0�>J?]M/,/* ,B* G�� n p m < � I�� MB*->JF]0 8 ,B*�3�0K,/0�� 6 0�>J?]M/,B* ,B*G � m < � n�m < � I�� G�� n p m < � I u G � m < � n p m < � I w- F]? � ,/?¢~ 6 * y ~l* I 6 *-,a3�0�~ < 8-6 ~"J/FC0� ��� ��� �!u � ��� �� � ��� m � u � � ��� � ��� m� � � � � � � m

� wM 8�% ? D *Y~ 8 MB*�3�0 � ��� ,/0�� 6 0�>J?]M&,B* ,B* G �op m < � n�m < � I�� I 8 y *a3�0�M/, 8 2 8 ,/? ~6 *-,&?@3�05MB*a3�0 ,/0�� 6 0�>L?CM/, 8 2vI�,B* G �op m < � n p m < � I w nkD *a3�?],=I�0 6�D *-F 2�*-M 6 }�?p2�0�. �~^0�,=I � � mvn�m � n �/*N3�0 y %\8 . ,/0�� 6 0�>J?]M&, 8 2,I�?�,B* ,x3�0�~�Ju?Q�\0 6 ? 8 M/? � , 8 2,I7?���<)J/,/> z�?t3�*� ��� ,&0�� 6 0�>J?]M/,/*�,B*`O w � � ��� u � ��� ` m � ��� an

�B*[3�0>x* 8 > 8 ~ � 8 y ? z�?t3�* ,/0�� 6 0�>J?]M&,/?+'P<)J&,/>Yz�?@3�* ?L27* ~l* ,/0�� 6 0�>J?]M&,B* T ;_J/,&>Yz�?t3�0I�*-,&.10�,/2�?> 8 I�*:,/.10�,&2#2\J > D-8 z�?@3�0�,=I�?q,/0�� 6 0�>L?CM/,/?(' <)J/,/> z�?t3�*�Qo2�?],FJ/27*_?> 8 2�?,�,FJ/27* W �_�B*`2\J_? 27*Y~�0Z,/0�� 6 0�>J?CM/,/0Z,B* 2 D18 3�? ~ M 8 ~^0�,B*Y~^* T� � 6 >�J&2<)J/,/> z�?t3�0k2\Jl?], D 0 6 y ,&0 8 Ml2,I 6�8 . 8 ~ 8 , 8 I 8 ,&?+'��=�B*r2\J5,/0�� 6 0�>J?]M/,/0 T � *2\J�� ��� ��� ? �� ��� � � ,/0�� 6 0�>J?]M/,/0k?\,B* 6 J %!8�D ?¢~l*Z2�0�.Q~�0�,=I�* � � � n ��� M 8 >x* y Jx3�02�0 � 8 2�0 % , 8 � � I 8�8aD Mx3�0Z,/05*�0�~ 8 J 6 *:M/?¢I�? T T

fF� b f y � � fF� b f�� w�� �¤����c w �³� y � ��� w w { fg| �p 5j{ � � ���cp ��� yrq s �/ �ao { � 5Ky��%±� 5^±�q �ao ± o � q �a~�q p � ��� q ª 5 �a��o yrq p 5^±t��5�«������ y o p�Zsq� �C�,� } o�p 5 � 2 q�~ � q �a~�q p � ���ao �ao{ � 5Ky:5Ky � 5^±�q � �

;_J/,&>Yz�?t3�0 M 8�% ? D 0�,&0 8 M9. 816 0 ,B* D 0�M/0�,/?+' � 8 ~ 8 *�J9> 8 ,/* � , 8 ~�, 8 . 8�8 �!0 6 *Yz�?t3�*y %/6 *a3�*-,x3�*��;~�, 8 }�0�,x3�*��;~�, 8 }�0�,x3�* %/6�8 3�0�~ ��> D-8 z�?@3�0�,FI�? 6 *-,x3�*��[> 8 ~ � 8 ,/? 6 *-,a3�*��[?],��D 0 6 I7? 6 *-,x3�* y 8aD J 2�0rf �of y f��\cs� b �ef � ������ w { f T)+*-> 8 ? ~^*Y~ 858�D *�3 D *Y};*-, y *:>LFt3,J � *:> T�� ­�qm±�q � } o ~ � q$� � �cp ��� yrqS{ �E� q �a~�q p � ��� q�ao { � 5Ky��%± � 5^±�q �ao ± o� &(')&*'�� ��5�� . :|>A@(8(4;Bp5EDF.{ *P<)J/,/>Yz�?@3,J s M/057B,&? 6 *:,�J ,B*`?],=I�0 6�D *-F¢JG n 8 2�?¢~ ~ 8 }�MB*"J�I 8�� >J? � ? y ?C,3I70 6�D *-F]*"G n>:* }�0�~ 8 MB*`? ~^* � woy f ���®J�I 8�� >J? � n *:> 8 y * 2 D *->J?����®��� 8 2,I 8 3�? �"�®�§I7*-> 8 MB*

� � � � ��� � � � � � sq� �C��� � � � � w¡ I 8 ~ 2�F J � *a3,J��/? � 0�~ 8 � u �]� � ����� sq� �C� w

Page 142: MATEMATIKA 1

[4.4] 4.4. NEPREKIDNOST I LIMES FUNKCIJE 137

f�� b f y ���!f � wqw � y f � � � � woy f ��� w �efF� b fF� w£� ������c w� % q p�o yrq s � q �a~�q p � ���ao � ���cp ��� y o@� }X5 ¯|p � ��� G w "�o���o s �%± o ­+�%±�q|{ � }X5 ¯|p �� � �C� � ����� sq� �C� u sq� ��� w� % q p�o s �%± o ­+�%±�q|{ � }X5 ¯|p � � n � � q p�o yrq �]� � ����� s�� �C� u s�� ��� w "�o���o yrq=s� q �a~|q p � ���ao�� }X5 ¯|p � � wv bxwzyl{ f b�¦ |C}�� % o�¸ � �C� ���� j �H� �

� � � � w�k�1�1���1�L�1� s yrqj~ o ��� 5 �ao ­ �ao � � �cp ��� y o ª � o yrq � q �a~�q p � ���ao��ao { � 5Ky:5Ky � 5^±�q � � ª} y !� } 5 ¯|p�o ± o � � yrq yrq �ao «�� � � � p ~ o «�­+� ¯ �}95 �E��� ­�q � }X5 ¯|p � � u � yrq �ao «�� � � � p~ o «�­+� ¯ �} 5 � ��� ­�q ª � o yrq � � u � � � �cp ��� y o s � q �a~|q p � ���ao� � ~�qm± o �^5�~ � yrqm± }Kq]5�~�qm± �­+�%±�q|{1��5 {�} 5Ky��F�Nyrq ���ao�p yrq � ~�� yrq ��� 5 {�}Z�c� ���cp ��� yrq � } 5Kye}X5 ¯|p � � o�p ­�q�]� ���� j �°� �

� � � � u � � �� � � � u � w� 0�2,I 8 2�0rF]?¢~^0�2 6 * � J/,B*�I�*-> 8 M/*�2�0 8 M 6 0�M � 0�,/? ~ 8 �\0 6 *Yz�?@3�*Y~^*P<)J/,/> z�?@3�*�� 6�8 � ? 6 ?M 8 <)J/,/> z�?@3�0�> 8 3�*u3�0P,/0�� 6 0�>L?CM/,B*°J I 8�� >J? � n ? 8 ,/MB*l2�0:�C� 8^8aD-8 ~ I70 8-6 0�~�J�� FC? ~�0�26 * � J&,B*�J D 6 � I7* D *-,a3�0�~ Tv bxwzyl{ f b�¦ |C}�� % o�¸ � �C� ���� � � � ������ �p � � � � � w�k�1�1���1�L�1� � ~ 5Ky � � p � �ao «�� � � � p }Z~�q ·|o ~ o {�} o�� �}Z� �ao � o�p } 5�~�q�����5�±65�� �_¸�� 5 {�}#�{ p ~ o }#�}Z�

� � �� ��� �^u � � � j � � u � � c � ��� � �� u � ���� w"�o�p 5zyrq � j u � n � � u p w " 5�« �ao�¯ � ��o yrq � � �� ��� � u � �°� � � � ���_p=� w � o }#�%±p � � � � � u p�� � �H�6pQ� w� ± o ±65�]� ���� � � � ��� ��� �p�� � � � � u �]� ���� � � �°� � � � � �_p=�p�� � � �6p=� u �]� ���� � �H� �p�� u �C� ���� � p � �p ' p u �� wv bxwzyl{ f b�¦ |C}���� «�~ o�¯����ao }Z� �C� ���� j c � � �

�°� � w�k�1�1���1�L�1� �C� ���� j c � � �

�°� � u �]� ���� j c � � �c � � � � u �]� ���� j c � � �� c � � � � � c �� � � u �]� ���� j �c �� � u �� w

Page 143: MATEMATIKA 1

138 4. FUNKCIJE, NEPREKIDNOST, LIMES [4.4]

¡pD ?@3�0�>(I 6 0 % *p,B*a3,� 6 ?@3�0 J DL6 2vI7?¬I7? %/6�8 3e> 8 3�0�~ I�0�}�? � w � > 8 M 8�% ?@3�0�~ 8 >x* 8p6 0 y J&F¢I�*^I6 0;*:F *-, %/6�8 35� 8 ,/MB*k3�0�J3� 6 * D18 I�*a3 %/6�8 3pF]?¢~^0�2 T ¡ DL6 � I�* D *-,x3�0�~�~ 8 }�0�~ 8 M 8�% ?¬I7? n?]F]? � n >x* 8 3�0�MB*:,_?CF]? D ? � 0 � F]*-, 8�D * T ¡ I 8 ~ 2�F¢J � *a3,J ? ~^*Y~ 8#8�D *§� 6 * D ?]F *n � n u n n n � ¨Su n n � n � n u � n n � n � ¨Su � n n� n ' n u � n n � ¨n u � n ¨

' n u � n n *-> 8 3�0 ¨ ���� n n *-> 8 3�0 ¨�� �� 8 �B*:> 8 2�0ZM 8�% ?t3�03�0�MB*:, 8 M�2�F@3�0�M/0 *�?+'�? y 6 * y *

��n � nn n n � n n � ' n n n � n � � n ��� n Q m T � W8 ,/MB*#,/0 ~ 8 }�0�~ 8 ,/? � I�* 6 0 *�? T )N*:MB*�~ 816 *Y~ 8P6 * y ,/?¢~�~�0�I 8 MB* ~l*P2 D 0�2,I7? <)J&,/>Yz�?@3,J,B* 8�% F]?]>l> 8 3�? *�0P,/*-> 8 , J DL6 � I7* D *:,x3�*lMB* I�? 6 0;*-F]*-, %/6�8 3 ?CF]? 3�0�MB*-, 8 M � 6 0�I ' 8 M&,/?+'��6 3�0 � ? D ?+' ? y 6 * y * T � > 8 2�0�I 8 ~ � 6 ?CF]?C> 8 ~ >x* 8 F]? ~�0�2PM 8�% ?t3�0 n ?CF]? � n n 8 ,&MB*�I 8

y ,B* � ? MB*�F]? ~�0�2 ,/0�� 8 2vI 8 3�?�� ?!MB* DL6 ?t3�0�M/, 8 2,I7?g<)J/,/> z�?t3�0�� 8 2,I�*�3,J52 D 0 D 0 *�0:� 8 M/, 8 2�, 82 D 0 ~^*-,x3�0u>x*-> 8 2�0 � 6 ? % FC? }�* D *Y~ 8 I 8�� >J? J > 8 3 8 3�I 6 *Y}�?¢~ 8 FC? ~�0�2 T� � � { ��c �3� � wzy f����� 0�>x*#<)J/,/> z�?t3�0 s ? ? ~^*a3,J5F]?¢~^0�2�0�J�I 8�� >J? � w )+*-MB*U1T s � ?¢~l*#FC? ~�0�2#J�I 8�� >J? � ?�C� ������ �Zsq� �C� � p� �C�\� u\�]� ������ sq� �C� � �]� ������ p� �C� n] T y * � � O n � s ? ~^*#F]?¢~^0�2 JI 8�� >J? � ?

�]� ������ � �tsq� �C�,� u � �C� ������ sq� �C� ne T s� ?¢~l*PFC? ~�0�2 J�I 8�� >J? � ?�]� ������ ��s�� �C� p� �C�,� u\�C� ������ s�� �C� �C� ������ p� �C� w

m T*¡ y M 8 MB* I�,/?�J D 3�0�I p� ��� �u � ? �C� � ����� p� �C� �u � n��� ? ~^*#F]?¢~^0�2 JI 8�� >L? � ?�]� �������� sq� �C� p� �C�

m u �C� � ����� sq� �C��]� � ����� p� �C� w� T � > 8 3�0 8 2�?¢~ I 8 .�* sq� �C� � � �C� � p� �C� n ? �C� � ����� sq� �C� u �]� � ��� � p� �C� u �

n8 ,/MB* 3�0�]� ������ � �C� u � w

Page 144: MATEMATIKA 1

[4.4] 4.4. NEPREKIDNOST I LIMES FUNKCIJE 139v bxwzyl{ f b�¦ |C}���� «�~ o�¯����ao }Z� �]� ���� � p�� � ��� � �� � � �_p���� � w�k�1�1���1�L�1� � u �C� ���� � p�� � � �H� �� � � �6p���� � u �C� ���� � p � j� � j� B� � �� � �� B u �C� � ��� � � p � j� � j� B ��C� � ��� � � � � �� � �� B � u p � wv bxwzyl{ f b�¦ |C~���� «�~ o�¯����ao }Z� �]� ���� � � � � � � �Y� � � � � � w�k�1�1���1�L�1�

� u �]� ���� � � � � � � �Y� � � � ��� u �]� ���� � �� � � � � � �Q�

� � �� � m�

u �C� ���� � � � �]� ���� � � � � � �Q�� � �

� � m u ` �C� ���� � � � a ' �!u n w-0�MB*-, 8 M D *Y}�,/?('�F]? ~�0�2�*p3�0

�]� ���� � � ��� �� u(�3w Q m T � Wn , 2�0 ~ 8 }�0 8�% 3�*-2�,/?¬I7? 2�F]?C> 8 ~ m TCU-U1TY 8�D 6 � ?C,B* I 6�8 >�J�I�*��� �������3�0 j� � ��� �K� � ��� w

O A

A’

B

B’

tg xxsin x

1cos x

OYP RTS7U W X ZmZ�]�������������! " ��$#&%

n ,B* 3�0 ~^*-,x3�*s?CF]?73�0�M/,/*->x* � 8�DL6 � ?],/?1> 6 J }�, 8 .?C2S3�0 � >:*' )()�*� n > 8 3�* 3�053�0�M/,/*->x*?� 8 F 8�D ?],/?J3~^, 8 � >x* 6 *:M/? J/2�* ?kM3J/F@3�?C,/0_F¢J/>x* T nkD Mx3�03�0 6 *-M/?¢J/2 � n *#M J&F@3�?],/*�F J&>:* � n �B*�� 8�DL6 � ?C,B*> 6 J }�, 8 .=?]2 3�0 � >x*_? y , 8 2�? � � w Y 8�D 6 � ?C,B*_> 6 J3}8�, 8 .�?]2 3�0 � >x*r3�0"~^*-,x3�*�?]F]?&3�0�M/,B*->x*°� 8aDL6 � ?],&?I 6�8 >FJ3I7*&�+ )(,(�� n > 8 3�*P3�043�0�M/,B*:>:* j� h7i � wn MB*^I7F]0u2�F]?t3�0�M/? �� � ��� �A� � ��� � � � � �� h7i � u �� � ��� �� � ��� n8 M/, 8 2�, 8 �B,/*-> 8 , M/?t3�0�F@3�0�,x3�*#2 j� � ��� � n� � ��� � �� ��� � � �� � ��� wY[6 0�F * y 0 *�? ,B* 6 0�z�? � 6�8�� ,/0 D 0�F]? � ?],&0:�/,/0 3�0�M/,/*-> 8 2vI7?e2�0 ~�?@3�0�,a3�*a3,J��3�/*�� � ��� � � ��� �� � � � ��� w

Page 145: MATEMATIKA 1

140 4. FUNKCIJE, NEPREKIDNOST, LIMES [4.4]n M/* I7FC0�C� ���� � � � ��� �\�]� ���� � � ��� �� �\�]� ���� � �� � ��� n�C� ���� � � � ��� �\�]� ���� � � ��� �� � ��]� � ��� � � � ��� w

�r*:> 8 3�0�]� ���� � � � ��� u � � � � u � n2�F]?t3�0�M/?

�]� ���� � � ��� �� u �3wv bxwoy�{ f b§¦ |C~�� � «�~ o�¯����ao }Z� �]� ���� � � ��� p��� w�k�1�1���-� �1� � u �C� ���� � � ��� p �� u �C� ���� � p�� ��� p��p�� u p �C� ���� � � ��� p �p�� w� } o�� �%±�� p�� u���w � o�� � M � n � �a��o � � M � n � o yrqe} o�p �

� u p �]� �� � � � ������ u p ' �tu p w fF� b f y � �³� y �ec � w {�w � wzy f ��� w � fF� b f�� w�� � f � ������ w { f% q p�o � � �cp ��� y o s �%± o ­+�%±�q|{ � }� ¯|p � � n � � q p�o yrq� � q �a~�q p � ���ao � ���cp ��� y o� 9"�o���o{m­����q �ao � ���cp ��� y o p��sq� �C�\� �%± o ­+�%±�q|{ � }�� ¯|p � � �

�]� ������ p��sq� �C�\� u p� �]� ���� � s�� �C�\� w- F@3�0�M&0 *�? D *Y}�*-, F]? ~�0�2 3�0

�C� ���� � � � � ��� �� ^��

v bxwoy�{ f b§¦ |C~g}�� «���� ¯���� ���Z� �]� ���� � � � � #�� � ��k�1�1���-� �1�

� �C� ���� � � � � #

�� � �C� ���� � � � � ��

!� � �]� ���� ��� � � � ��

!������ ! �

Page 146: MATEMATIKA 1

[4.4] 4.4. NEPREKIDNOST I LIMES FUNKCIJE 141� � � � � M n�� � �a� ��� � ! M n���� � ��� ���� ����%±�� � ! � � �� � �� �]� �� � � � � � � � � � � � ! � �]� �� � � � � � � � � � � ! ^ ! �

v bxwzyl{ f b�¦ |C~g~�� «���� ¯�� ����� �C� ���� � ��� � � ���C�� ��k�1�1���1�L�1�

� �C� ���� � ��� � � ���C�

�C� ���� � ��� � � � �C� @� ��� �]� ���� � � � � �C� @� ��� �C� ���� � � � � � j� � @� �� � � � � M ��� �� � � j� M n � � ���^­�� ª ��� ���� ����%±�� j� � � �� � ���%± �Y±��� ���u�]� �� � � � � � � � � � ��� ^ � �

� 8 }�0Z2�0ZM 8 . 8 M/?¬I7?\MB*#<)J/,/>Yz�?@3�*`,/0�~l*#FC? ~�0�2 JI 8�� >J? � *-FC? MB*�� 8 2,I 8 3�0uF]?¢~^0�2�?!23�0�M/,/0Z2,I 6 *-,&0 T ¡ I 8 ~ 2�F J � *a3,J�. 8�D1816 ? ~ 8`8 3�0�M/, 8 2,I 6 *-,/?¢~ F]?¢~^0�2�? ~^* Tv bxwzyl{ f b�¦ |C~ ¦ � � � � � ����� � �� �x���� ������ � ������ �����q� �C� ^ @� � ��� �^­��� �� � � ��k�1�1���1�L�1� ´ � ������ � � �� ����!"���# �� ���� � �

-2 -1 1 2

1

2

3

4

5

$&%('()+*-,/.1032/4�5 ijU36�6%o�f�S87eR ` a:9�;<

� � � �����%± ª ��� � � M � �=!"�>�� ?�@��� ���� ?� ª�A� � �>�>� � � ��«B� �C��� ���DE �F� ���3!� ������� ª �� G! � j� Mn���� ������]� ���� � � ^ @� ^ � n �

H �F�%±I� �����C� �8�J! �K��� ���!+��� � �]��� � M � � ! �·�#��� ���Y­ �����%­�L! �L��� ����!��-���Y±�� �­��%±J�>� ��M!"�>�� � � !�� � �"�N��� � �� ?� ��� � � M � ��­�� ������O��� ���� ?� ª �A� � �P�>� �Q ?��� ���C��� ���D �F� ���3!� �����C� ª �� G! � j� M � n���� �R���

�]� ���� � 3 ^ @� ^ 3 � � �

S � wzy �ecs�Bc�fS � wzy �ecs�Bcs� <)J/,/>Yz�?@3�0 � 3�0°� 6 * D *Yz�> 8 3�?q2�05. 6 *x<)JQT � <)J&,/>Yz�?@3�0 � � 6 ? % F]? }�* D *�2 D 0D ? � 0Z>x*-> 8 I 8�� >x* ,/*�> 6 ? D J/F@3�??T � 8 M&F * y ?�J % 0�2�> 8 ,B* � , 8 2,I T

Page 147: MATEMATIKA 1

142 4. FUNKCIJE, NEPREKIDNOST, LIMES [4.4]

OQP RTSVU2WYXTZ��^]��xd^feU�� U�f£`ba 6%o�f�S87\R `ba��¬l(P R ` avceU�feU k�avlvf\d� o dxSVdxP RTfmR=n)d rhSVa(t�_U�SVd ` a������ ��� ��������� #� ������ � ��������� #�� � ����� ��� ����������� #�� � ������ � � ����������� # � )����� ��� �! "������� #� ������ ��� �! #������� #$� �%�f b c w �3� �£��� � � wzy �ecs�Bcs� | � > 8 <)J/,/> z�?@3�* � ,/?t3�0�M&057B,/? 6 *-,/*HJ I 8�� >J? � �³~ 8 }�0P2�0M 8 . 8 M/?¢I�?[Q D\T 2�F T m TCU e W MB* % J/M/0

�]� ���� � �q� �C� � n�� ?CF]? �C� ������ � �q� �C� � n�� ?]FC? �]� ���� � 3 �q� �C� � n �¡ 2 D *-> 8 ~ 8 M I�?+' 2�F¢J � *�3�0 D * . 6 *:<r<)J/,/> z�?@3�0 � 2�0 2 D 0 D ? � 0�� 6 ? % F]?¢};* D * � 6 * D z�J8 > 8 ~�?¢I 8 ~ ,B* 8 2 � J|I 8�� >J? �

� � � I 8 2�0 D ? � 0�J&MB*-F@3�* D *Y~ 8 � 8 > 6 ? D J/F@3�? T � J% 0�2�> 8 ,B* � , 8 2,I T�{ * I 8 >x*Y}�0�~ 8 M/*_<)J/,/> z�?@3�*_? ~^*�J I 8�� >J? � �!f b c w �3� �£��� � � woy � �cs�Bcx� T � 3�0 y ?],B* 3�0�M&,B*-M } % *43�0

� �v bxwoy�{ f b§¦ |C~³²�� � � � � ���C� � �� �x���� ����:� � ������ ���R�q� �C� ��� � � · ­��¬«B�� �� �

� ��k�1�1���-� �1� � �^±J�� � �B! � �F� � �B!� ��� ­��� ����� �£± ����� �� �8���F��Y­ G ����n I �#� � � �P�82����� �+��� ��C!+�����C� ����� � ��� � �� �x���E� � ������ � � ����! � � M � �J!"�>�� ?�I��� ���� ?� % �>���=����]� � ��� � � ��� � & � � ��� �@��� ��� ?� � �P�>���C!� � � � ������ � � ª �m­�� ���3!�� ��� � �]� � ��� � � �C� &

� �B! ���£­�� �C� � ��� � � � ^('�� % � � ������8�F� & � ������ ! �K��� ^(' ��� ±J�B! 2 � ���%± ª ��� �

& M � n�� �� G! � ^(' M � � H �P�m± � ���^±J� �C� � ��� � � ��� � � n � " �«B � ¯ �@! ����

� � ����"� ª ¯ � � � ���-���3!� ��!�� · � � �*) � ������ ��� &,+ ª ���� �������Y­� � �����%± � ����� �@� � ������ ������ �

-°�/����� � woy � c �gc � | Y[6 * D *Yz & # � �/. 3�0H�³������� � wzy �ecs�Bcs� <)J/,/>Yz�?@3�0 �q� �C� �*-> 8�6 * y F]?C>:* 816 M/?C,B* I7* ��� �C��� � # ���0.£� I70�}�? J ,�J&F J��B>x*-M � I�0�}�? JKn ?]F]? � n�� Q D!T2�F T m TCU m W MB*->JF]0 �B*-> 8

�C� ����21 � � ��� �C��� # �°�3.��

� �

Page 148: MATEMATIKA 1

[4.4] 4.4. NEPREKIDNOST I LIMES FUNKCIJE 143

� y F¢J � ?¢~ 8��

OYP RTS7ULWYXTZ,W ] �=dml U/UelVR��;g,n)dmn£U ��7AiwnVS7U�fhRghijU\cAU>7 �

�C� ����21 � �� � �q� �C�� � # � .

�� � � �

�Z*-> 8 � M � n���M 6 J/.-?/<o*->=I 816 ,FJ }�, 8 ~ 816 *I70�}�?¬I7? >�,FJ/FC? �3IS3 T�]� ����21 � � �q� �C�� � # � .

��

� �{&%!8 .

�]� ����21 � .�

�C� ����21 � . ��

. �]� ����21 � �

���2�F]?t3�0�M/?

�]� ����21 � � �q� �C�� � # � �? 8 MB* I�F]0

#

�C� ����21 � �q� �C�� � Q m T � WY 8 2,I 8 3�*-,x3�0 8�D18 .^F]? ~�0�2�* 3 8 � ,&0 y ,B* � ? ,FJ }�, 8 � 8 2,I 8 3�*-,x3�0r> 8 2�0#*-2�? ~��3I 8 I�0 T { *§I 83�0 � 8 I 6 0 % , 8 M/* % J&M/0

�C� ����21 � � �q� �C��� # �H� .£�

���IS3 T

.

�]� ���� 1 � ���q� �C��� # �C� � Q m T���W)+*-> 8 3�0q3�0�M&,B*-M } % *�> 8 2�0�*-2�? ~��3I 8 I�0

& # ��� . �.-Mx3�0Z2�0 #�? .N6 * � J/,B*a3,J�� 8 < 8-6 ~"J/F]*Y~^*5Q m T � W ?�Q m T���WXT� > 8 3�0 # ��� 8 ,/MB*`2�0�*:2�? ~��3I 8 I�* y 8�D 0 � � bxw �=�C�!cs� �£�¤� � � wzy �ecs�Bcs� T;¡ I 8 ~2�F J � *a3,J#3�0

.

�C� ����21 � �q� �C� �? 3�0�M/,B*-M3} % * ' 816 ? y 8 ,FI7*-F],&0u*-2�?¢~ ��I 8 I�0 3�0& .��

Page 149: MATEMATIKA 1

144 4. FUNKCIJE, NEPREKIDNOST, LIMES [4.4]v bxwoy�{ f b§¦ |C~�� % �>���R����q� �C�

���� � ���

�% � ¸ � �����%± � ����� � ����:� � ������ ��� ª ��� � � ������8��� �k�1�1���-� �1� % � ­��Q �s«B��� ������ � � �

-4 -2 2 4

-4

-2

2

4

$&%('()+* ,�. 0��/4�5 iEU36�6%o�f�S 7eR ` a R � ghi R��³` ahiEU W X ���

�� � � ��� � �C�%± ��� ¯ ���Y± �=� � ������ � �O �� ���

!"���# �� � �� � � ��! � � M ��Q� � · � �8�F ���� �8���B�� �>�m± � �� � �Q �s«B��� ���� �8���B� � � ­�� � �>�>� �� ��«B� ����� ���D@ ��� ���3!� �����C� � !�� � �"� ��� ���� ?� ª ��� �� M �� � � �� G! � · � �8�F ���� �G! �Y­ ��� � ���B� � �>�m± ��� � ! ��� �s«B��� ����R����! � � ���B� � �P�m± � � � �>�>� � ?��� ������� ���DL ��� ���3!� �����C� �" ��� � ���

�]� ���� 3 j 3 � �� � ���

� ��� ��

� n�� �]� ���� 3 j � � �� � ���

� ��� �� n �

� ��! � � M �Q� � �� G! � · � �8�F ���� �8���B� � �P�m± � � � � �s«B��� ���� � �>�m± � �R� �P�>� �� ?��� ���C��� ���D ��� ���3!� �����C� � !�� � �"� ��� ���� ?� ª ����! � � M � � � �� G! � · � �8�F ���� �8���B� � �P�m± � � � ! ��� �s«B��� ���� � ���B� � �>�m± � ��� �Y­�� ����! � � �P�>� � � ��«B� ����� ���DL ��� ���3!� �����C� �" ��� � ���

�C� ���� j 3 ���� � ���

� �� �

� � n�� �]� ���� j � ���

� � ���

� �� �

� n �� ���^­�� ª � �������� � � � �

�� � � ���� �C�����Y­� ?� �����%± � ���� � � ���C�%± ª

# �C� ���� �

� �� B 3 j� �]� ���� � � �

� � ���

�]� ���� � �

��� j� B ���. �C� ���� � � ���

� � ������ �

�]� ���� � �� � ���

�]� ���� � j�

��� j� B � � ¯ � �Y­��3!� � ! � · ����Y±��E�����8� # � . � ��� � � M � n � H �P�m± � ���^±J� ���3!��� �E� ����� �����%± � 2���� �R��� � ������"� & � )

�m­ � ��� +

&(')&*'�� � DF. �� .U1T � y 6 * � J/,/* I7?

Page 150: MATEMATIKA 1

[4.4] 4.4. NEPREKIDNOST I LIMES FUNKCIJE 145

�C� ���� � �°�6p� � � � � �6p � �C� ���� � ��� � � p�� � ���p�� � � �

� �]� ���� � � � ��� ��� �� � ������� � � �

�C� ���� j � $ ���� � ���

� �]� ���� � c � � � � �_pc �°� � � �]� ������ � � ���H��� � � ¨�H� ¨ �

�]� ���� � � ��� � �� � � � ��� � �]� ���� � p��� ��� � � � �]� ���� � � � ��� ���

� � �

�C� ���� � ����� � � � ��A� ��� � � �]� ���� j � ��� � � ���x�� � ���

� �]� ���� � � ��� � �� �x��� �

�C� ���� � h7i#p��� ��� � � � �C� ���� � � � � p�� � �

� �]� ���� � � � � h�i �C� h j k � ��C� ���� � ��� � �����C�

� � �C� ������ ��� �°����°�)^ � �C� ���� � ��� � � � � � �

��� � � � p � � �] T � *Yz 6 I�*^I7?g. 6 *x< 8aD 0 2�F@3�0�M/0 *�?+'^<)J&,/>Yz�?@3�*��L?]2,�/?¢I\Jx3,J�*�?B,a3�?+' 8�D 0 ,FJ/F¢I 8�� >:0:�3� 8 ,B* � *��,x3�0(J % 0�2�> 8 ,B* � , 8 2,I�? �L0 D 0�,=IeJB*:F],/0 % 0�2�> 8 ,B* � ,&04F]?¢~^0�2�0�Jl> 8 ,B* � , 8 2vI7? ��� 8 ,B*��� *-,x3�0Z,B* 6 J %\8�D ? ~^*`M 8 ~�0�,/0 �3I70r*-2�? ~��3I 8 I70 T& � (& � (& � �4� & �"! � & � �4� & �6( � 0 & � ( 8 � 0 &L� ( 8 0 &L� !�8 �0 & � � 8 0 &<�4� 8 0 & �'= 8 � �� &( � & � � & �& � � &L�4� � & �& � � � & �6( � 0 & �)( 8 � 0 &<� ( 80 & � � 8 0 & �4� 8 0 &<�'= 8 � �� &( �'& � && � � & �)( � � EIF :�� ! & ��� ! � 0 � &<� !�8 0 &<� !�8 �& � 0 & � � 8 � �+Z: W . &�� SUT NVNXW .�� ( � (&� � (

EGF : & � N , E & � 0 &<� ( 8 0 & � !�8 �& � 0 &<�[� 8 �+Z: ( � &( �'& � SUT NXW . � ( � (& � (( � � @� � +;: 0 ( � � � 8& \

Page 151: MATEMATIKA 1

146 4. FUNKCIJE, NEPREKIDNOST, LIMES [4.4]

-2 -1 1 2

4

1

x2

-2 -1 1 2

9

-1

-9

1

x3

-2 -1 1 2

16

1

x4

-2 -1 1 2

32

-1

-32

1

x5

OYP RTS7U WYXTZ �^]�� 6 *:< 8�D ? ,/0�>J?+'�� 8 I�0�, z�?@3�*

Page 152: MATEMATIKA 1

[4.4] 4.4. NEPREKIDNOST I LIMES FUNKCIJE 147

-2 -1 1 2

1

x3 −x

-2 -1 1 2

4

1

x − 3 x + 5 x4 3

-1 1 2

4

1

− 2 x + 2 x − x + 13 2

-1 1

1

− 2 x + 2 x − x + 14 2

OYP RTS7U WYXTZ��^]�� 6 *:< 8�D ? ,/0�>J?+'�� 8 FC?], 8 ~l*

Page 153: MATEMATIKA 1

148 4. FUNKCIJE, NEPREKIDNOST, LIMES [4.4]

-2 -1 1 2

4

1

x + 13x − 1

-2 -1-3 3-4 41 2

-4

-1

8

-8

4

1

xx − 12

-10 -5 1 5 10

8

4

1

-1

1 + 3 x + xx

2

2

1

1

-1

1 − x − x − x + x2 3 410 + 5 x − x + 5 x2 3

OYP RTS7U WYXTZ��^]�� 6 *:< 8�D ? ,/0�>J?+' 6 *Yz�? 8 ,B*:F],/?('l<)J/,/> z�?@3�*

Page 154: MATEMATIKA 1

[4.4] 4.4. NEPREKIDNOST I LIMES FUNKCIJE 149

-2 -1 1 2

1e

1

e

e 2

Eksponencijalna funkcija ex

-2 -1 1 2

1e

1

e

e2

Eksponencijalna funkcija e−x(1e ) =x

-2 -1 1 2

12

1

2

4

2 x

-2 -1 1 2

12

1

2

4

Eksponencijalna funkcija (12 )x

OYP RTS7U WYXTZ��^]�� 6 *:< 8�D ? ,/0�>L?('_0�>J2\� 8 ,/0�,3z�?@3�*:F],/?('�<)J/,/>Yz�?@3�*

Page 155: MATEMATIKA 1

150 4. FUNKCIJE, NEPREKIDNOST, LIMES [4.4]

1e

1e e 2

-2

-1

1

2

Logaritamska funkcija ln x

110

1 10

-1

1

log10

x

12

1 2 4

-2

-1

1

log 12x

110

1 10

-1

1

log 110x

OQP RTSVU;W X �m[^]�� 6 *:< 8�D ? ,/0�>J?('_F 8 .�* 6 ?¢I�* ~^2�>L?('^<)J/,&>Yz�?t3�*

Page 156: MATEMATIKA 1

[4.4] 4.4. NEPREKIDNOST I LIMES FUNKCIJE 151

1−2 π − 3 π2

−π − π2

2 π3 π2

ππ2

-1

1

sin x

1−2 π − 3 π2

−π − π2

2 π3 π2

ππ2

-1

1

cosx

1−π − 3 π

4− π

2− π

4π4

3 π4

ππ2

-1

1

tg x

1π− − 3 π

4− π

2− π

4π4

3 π4

ππ2

-1

1

ctg x

OQP RTSVU W X �xZ�] � 6 *:< 8�D ?pI 6 ?]. 8 , 8 ~^0mI 6 ?@3�2�>J?('l<)J/,/> z�?@3�*

Page 157: MATEMATIKA 1

152 4. FUNKCIJE, NEPREKIDNOST, LIMES [4.4]

-1− 1

212

1

1

π− 2

− π4

π2

π4

arcsinx

-1− 1

212

1

1

π

3 π4

π2

π4

arccos x

-3 3-1-2 21

− π��2

− π��4

π��2

π��4

arctg x

-3 3-1-2 21

π

π2

arcctg x

OYP RTS7U W X � �^] � 6 *:< 8�D ?e* 6 >FJ/2 <)J/,&>Yz�?t3�*

Page 158: MATEMATIKA 1

� ����������� � �

� ���������������� � ������� ������

�§� � ! � � �"$#�!# %$%# � ����"!# %$��� 'v+;',+ & 1 9 (' . � <*) 8,+;. 8 <�.;'-& 1 9 $' . � 1/.p578(.v b �10 �Sf y cs�_�ed!f��\c;f� 0�>x*#3�0 MB*:,B*�<)J&,/>Yz�?@3�* � K�� � � � M OR�

f

x

f

f(x)

(x)

x+ x

x

f (

α

x+ x)∆

OYP RTS7U32 XTZ�]_O ahS7U�f\n£UsX��i RTiEUel)n?6%o�f�S87\R `ba34 �������65�Qced�7\R `bahf\nCk R 6 amiwamfP7eR `bU87:9�; �=<7 � #?>A@CB

? ,/0�>:*�3�0 �L� � ��� ����¡ I 8�� >J? � � � �q� �C�\� ,/*> 6 ? D J/F@3�? & �q� �C� }�0�F]? ~ 8 � 8�D J�*�?qI�*:,/.10�,=I\JQo*-> 8 � 8 2vI 8 3�? WXT � * % ?C2\~ 8 I 8 ~ 8 .1FC?¤J � ?],&?¢I7?��8 2�? ~ I 8�� >-0 > 6�8 y > 8 3,J§� 6�8 F * y ?FI�*-,/.-0�,=I�*��=� 8 �I 6 0 % *-, ,/*Y~ 3�0Z3 8 � > 8 057 z�?@3�0�,=IP2,~u3�0 6 *�I7*-,��.-0�,=I70 T � 8 ,x3�0�.�*ZM 8 F * y ? ~ 8 I7*-> 8 �LMB*Z,B*a3,� 6 ? �3�0 � 6�8 ~^* I 6 *Y~ 8 2�0�>:*:,FI\J�> 6 ? D J/F@3�0N> 6�8 y I 8�� >FJ� � � �q� �C�\���

- 0�>x*-,=IeJ > 6 ? D J/Ft3�0_> 6�8 y I 8�� >FJ � � � ��� �C�\�M 8�% ?@3�0�~ 8 I�*-> 8 MB*2J y ~^0�~ 8 3 8 � 3�0�M/,FJ"I 8�� >FJ,/*^> 6 ? D J&F@3�? �&,B*�� 6�T � ���ED � � ��� ��FD �C�,� ?> 6�8 y I70PM D ?@3�0�I 8�� >:0�� 8�D J � 0�~ 8 � 6 * D *Yz�QS2�F T � T UaWXT � 8 057_z�?@3�0�,=Iu2,~u3�0 6 *l2�0�>x*-,=I70 3�08 ~u3�0 6 � 6 ? 6 *-2vI�*P<)J/,/> z�?t3�0r? � 6 ? 6 *-2,I7* D * 6 ?t3�* % F]0 Tv bxwob � ��c � � bxw { �/0 �of 3�0 6 * y FC?]>x*�*Y�/2\z�?]2�*_2S3�0�z�? � I�* 2�0�>:*:,FI�0l? > 6 ? D J/Ft3�0:� � I 8 3�0�J8�D-8 ~ 2�F¢J � *�3,J D�� � v bxwSb ����c � �¤�¤�� w { fHJ�I 8�� >J? � �_J y � 6 ? 6 *-2vI D * 6 ?@3�* % F]0 D�� �:3�0D �q� �C�

�q� ���D��C��� �q� �C� �

G ~43�0 6 � 6 ? 6 *-2,I7*P<)J/,/>Yz�?@3�0Z? � 6 ? 6 *:2,I�* D * 6 ?@3�* % F]0 3�0D �q� �C�D �

�q� ����D��C� � ��� �C�D�� Q � TCUaW

U ��e

Page 159: MATEMATIKA 1

154 5. DERIVACIJE I PRIMJENE [5.1]?�I7*a3 %/6�8 3 2�0 y 8aD 0"� � �4 w { f��\c �+w � f b f�� w { � � �¤���/ w { f �q� �C� � cs���^� w � � � � bxw%�b ����c �3� bxw { �/0 �Sf D��eT � 8 057_z�?@3�0�,FI 2\~43�0 6 *�2�0�>x*-,=I70s3�0 J � 6 * D-8 3�0�M&,B*->�> D18 z�?@3�0�,=IeJM/?C<S0 6 0�,3z�?@3�*#��

�q� ���FD �C��� �q� �C�D �

h7i�� �� y 2�FC?]>:0 � T U 2�0 D ?CM/? �:MB*k2�0s> 8 057_z�?@3�0�,FIN2\~43�0 6 *k2�0�>:*:,FI�0�~ 8 }�0 y ,B* I�, 846 * y F]?C> 8�D * I7? 8 M> 8 057_z�?@3�0�,=I7*P2\~43�0 6 *�I�*-,&.10�,=I70 T )N* 6 * y FC?]>x* *�0 8 ��*�0�,/?¢I 8 % ?¬I7?³~^*-,x3�*�� *-> 8 J y ~�0�~ 8~l*-,a3�?p� 6 ? 6 *:2,I D * 6 ?t3�* % FC0:� D�� �

� * 6 * y FC?]>x* � 8 Ie�3J/, 8 ,/0�2vI�*-,&0:�#~ 816 *Y~ 8f

x

f

f(x)

(x)

x+ x

x

f (

x+ x)∆

OQP RTSVU 2 X � ]��QU�f���ahf\n£U2S7Ued��xiEU�fmR rAfmR l7P oArvU�`l�ahS7U�f\n)a

� J/2vI7?¢I�?#MB* D � M � � ¡ I 8 ~ 2�F¢J � *�3,J *�0I 8�� >x* � ����D�� � �q� ���ED �C�,� >LFC? y ?¢I7?p� 8 > 6 ? �D J/F@3�?=� 6 0�~^*�I 8�� >J? � � � �q� �C�,��� �Z* 8 � 8 2�F@3�0�M/? z�JM 8�% ?¬I *�0�~ 8 ~�, 8 � I D-8 2�0�>x*-,=I7?[QS2�F T � T ] WXT � > 8� 8 2,I 8 3�? %/6�8 3# � �C� � ���� �q� ����D��C��� �q� �C�

D � �8 ,/MB*`3�0 � 6 ? 6�8 M/, 8 I�*�3 %/6�8 3�2\~^* I 6 * I7?[> 8 087��z�?t3�0�,=I 8 ~ 2,~u3�0 6 *�I�*-,&.10�,=I70r,B*�> 6 ? D J/Ft3,J & �q� �C� J�I 8�� >J? � � � �q� �C�\� �� > 8 I�*�3sFC? ~�0�2,/0�� 8 2,I 8 3�? � 8 ,/MB*��ef � ����c � {;w cs�_�edgf��!cs��,B*#> 6 ? D J/Ft3,JJ°I 8�� >J?� � � �q� �C�\� �v b �10 �Sf y 0 b � w �ef� 0�>x* 2�0 I�?@3�0�F 8 .1? % *�� 8 � 6 * D z�J T�� 0�>x*_2�0 J � *:2 � ,B*:F * y ? JNI 8�� >J? � � � � �N*�J � *-2� � D � ,/0�>:*Z2�0p,B*:F * y ? J�I 8�� >L?�� � � � D � ���"- 6 0�M/,x3�* %/6 y ?],B*u.1? % *-,x3�*�J DL6 0�~�0�,&2�> 8 ~?],=I70 6�D *-F J � � � � � D � � 3�0�M/,B*->x*V3�0 � 6 0�M � 0�, 8 ~ � J3I\J D � � � � � 8 M/?@3�0�F@3�0�, 8 ~�2�� 6�8 I70�>JFC? ~D 6 0�~�0�, 8 ~ D � �gY[6 0�M � 0�,&? � J3IV3�0

D � � � � � � � ��D � ��� � � � ���� *->JF]0 �/2 6 0�M/,x3�* %/6 y ?],B*`.1? % *-,x3�* 3�0

��

D � � � �D � � � � �FD � ��� � � � �D � �

-L6 0�M&,x3�* %/6 y ?C,B*�J DL6 0�~^0�,/2�> 8 ~R?],=I70 6�D *-F J D � ~ 8 }�0Z2�0 y ,B* � *a3�, 8^6 * y F]?C> 8�D * I7?8 M %&6 y ?C,/0k,/*�� 8�� 0mI7>FJ���J°I 6 0�,FJ3I7>FJ � � G ,B* *�0 % ?¬I7?_I 8 %\8 Ft3�*�* � 6�8 >J2�? ~^*Yz�?t3�* � 6 * D 0%/6 y ?],/0 J"I 6 0�,FJ3I7>FJ � � � I 8 3�0 DL6 0�~�0�,/2�>L?B?C,=I70 6ED *-F �^J`> 8 3�0�~ ~43�0 6 ? ~ 8 � 8 F 8 };*a3�I�?@3�0�F *��> 6 *:*�? T � * M 8�% ?t3�0�~ 8 � 6 * D J %/6 y ?C,�J�J�I 6 0�,FJ3I7>FJ � I 6 0 % *`2,I 8 .�*§J y 0mI7? MB* D � M � �)N*-> 8 3�0 � 6 * D * 0 b � w ���Ac w { f��)�����Q� � �

� � � � �C� � � �� � � � ��D � ����� � � �D � �

Page 160: MATEMATIKA 1

[5.1] 5.1. DERIVACIJA FUNKCIJE 155

� > 8 I�*a3 F]? ~�0�2q,/0 � 8 2vI 8 3�?�� 8 ,&MB* �ef � ����cs� {;w 0 b � w ����J � *-2 � �v bxwzyl{ f b ² | � % � ¸ �����3!� ��!�� ·�� ���>���� � � ���F�� � ­ ��� ª « ��! �� ?�����3!� ��!�� · �^± & �q� �C�

p�� � � � � � �8� � � � �^­ �s«B� ��� ¯ ���Y± �°� � � ��� � h�,� �;� � ��FD � � �q� � ��FD �C�,����k�1�1���1�L�1� � �3!� ��!�� · � ���>���� �8� ���

& � & #�� � �°� � m���

H �F� ���^± ��� & �q� � h� p�� � � � � � � ����� ��� ���� ���m± ������� ���>���� � �:���� ������� 0 & 8

�& ���

�& ��� 0 & � � & 8 � � 0 & 8

�& �

! 0 & � � & 8 � � �M� 0 ! & � � � 8�&

�! & � � � & � & � ! 0 � & 8 � � ��� ! & � � �

�& �

� & � & �"! 0 � & 8 ��& � � & � ! � & \

H �P�m± � ���^±J�#���3!� ��!�� · �I���>���� � �:���&

� � � �� p:D��C� �°�6p�� � �6p�� D��H� � �� � �>��� � �Y­� � ª ��� � ��� � � � � � � ���3!� ��!�� · ����>���� �8�#���&

� � � p3D��C� �H� � �_p3D�� �������! � � ���C�%±��J! � D � M ��� ! � · ����Y±�� ���3!� ��!�� ·�� � �� L�"�� � �

& � � � � �v bxwzyl{ f b ² |C}�� �

· �� ���� ± ��� ����� � �Y­� ?� �� ¯ ���#���=! �� � � ���h± � ­�^± � � � � ��� ¨ ^ 3�� � �¨ � �����(����� � �8� �^± ��� � � ��� � ��� ������� ����� � � � � � � � � �E �P�m±J�� � � � % � ¸ � � � ��� ��� ¯ �· �,«B�� � �� � � m� � ��� ¯ ��� � � ������� ������� � �P�m±J�� ��>� �^± �� �8���F��Y­ � D � ��k�1�1���1�L�1� � � �I��� �F� ���m±J� � � �^±I� ���� ���« � D � � � �P�B! 2 �� �� � � � ¸ � · � �C�D � � � m� � � � ��FD � �q� � � � A� ��� ¨ ^ 3���� ��� � ��� � � ��� ¨ ^ 3�� ��� �

¨ ^ 3�� ��� � �*�)^ 3�� � � �H �P�m± � ���^±J� � � ��� ��� ¯ � · �,«B�� �R���

�� � � m� D � � � m�D � ¨ ^ 3�� ��� � ���_^ 3�� � �D � ¨ ^ 3�� � � ���_^ 3�� �D � �� ��! ���� ?��±������ ª ��� � � � �P����D �B!� �^± � �F�%± ����� � ª ­ ��� �I��C!+�����C� ��������E! � · ���� ª ����!�

����C�%±��J! � D � M � � � � � �� �>D � � ��� �P� · � ��� �¬«���� ¯�� ���C�

��� � � �� ���_^ 3�� �D � �

Page 161: MATEMATIKA 1

156 5. DERIVACIJE I PRIMJENE [5.1]��'v+;'�� � .�135�� );Bp5ED ) >A@28*4;Bp5EDF.��f bxw � � w { �Y�6�8�% FC0�~�I7*-,/.10�,=I70Z? � 6�8:% F]0�~ %/6 y ?],&0 � 8 >x* y Jx3,J��/MB*k3�0 D *Y}�, 8 ? y 6 * � J/,B*^I7?

��� � ���� D ��� �C�D �

��� � ���� �q� ����D��C��� �q� �C�

D�� �*-> 8 I�*a3sF]?¢~^0�2 � 8 2,I 8 3�? T) 6�8 3

� � � �C� ��� � ���� �q� ���FD �C�q� �q� �C�D � Q � T ] W

2�0 y 8�D 0 � f bxw �3� w { � � �¤�¤�� w { f � �9c � �^� w �eTq¡ ~43�0�2,I 8 � � � �C� ~ 8 }�0s2�0��/?]2�* I7?�� � � � ��� �{ *Z<)J/,/> z�?@3,J � >x*Y}�0�~ 8 M/*p3�0 � f b:w � � 0 w ����� � cs���^� w � � *-> 8 ? ~^*rM/0 6 ? D * z�?@3,J�JI 8�� >L? � � � > 8 3�0�<)J/,/> z�?t3�*^M/0 6 ? D * % ?]F],/*§JK2 D *-> 8 32I 8�� >J?�� 8 ,/MB*^<)J/,&>Yz�?t3,J � � �!> 8 3�* �� 6 0�2�F]?C>x* D *"J � � � �C� y 8�D 0�~ 8H� f bxw �3� w { � y � ������ w { f��&? >:* }�0�~ 8 MB* 3�0 � � f bxw � � �

0 w ����� � �¤�¤�� w { � Tv bxwoy�{ f b ² |C~ % � ¸ �-!"���F����"��� � � � �� ���� �� � �R�q� �C� ¨ ��k�1�1���-� �1� � � � ���� ��� ����D �C�q� ��� �C�

D��

� � � ���� ¨ � ¨D��

��� � ���� �

D �

� �

�!�_¸� ! � ��� � � � ���¬«B��^­ �F � ��� ¯ ��� ª � �� ���� �� � � �%± �N!"���F����"��� � � �

������ �8� ��� ¯ ��� ��� �����#���3!� ����� � ­�� v bxwoy�{ f b ² | ¦ % � ¸ �-!"���F����"��� � � � � ������ ���R�q� �C� � ��k�1�1���-� �1� ��� � ���� �q� ����D��C��� �q� �C�

D�� � � � ���� ����D �H���

D�� � � � ���� D��D��

���

�!�_¸� ! � ��� � � � ���¬«B��^­ �F � ��� ¯ ��� ª � � ������ � ��� �%± � !"��������"��� � � �

������ �8� ��� ¯ ��� �� � � �C� ���� ���=�_� � � { f�c � f b:w � � 0 w ��������c w | � � � ����� � ������ � �M!"���F���� · �%­� � �� G! � ��� �� �N� ?� � �>�>���C!� �

� y 8aD 0 I DL6 M&,x3�0 � 6�8 ? y F * y ? MB* <)J/,/>Yz�?@3�* ,FJ }�, 8 ~ 8-6 * % ?¬I7?p,/0�� 6 0�>L?CM/,B*�MB* % ?? ~^*-F *�M/0 6 ? D *Yz�?@3,J T ) 8 ~^0�M � J3I7?¢~ ,&?@3�0lM 8aD-8 F@3�, 8/T - F@3�0�M&0 *�? � 6 ?¢~u3�0 6 � 8 >x* y Ja3�05MB*,/0�� 6 0�>J?]M&,B* <)J&,/>Yz�?@3�*`,/0 ~ 8-6 * % ?¢I�? M/0 6 ? D * % ?]FC,B* T

Page 162: MATEMATIKA 1

[5.1] 5.1. DERIVACIJA FUNKCIJE 157v bxwzyl{ f b ² |¢²�� � � � � ���C� ?� � �P�>���C!� ����� � !"���F���� · �%­� ������� � ������ ��� �q� �C� � � � � � ­�� �k�1�1���1�L�1� � � � � ���¬«B��^­ � �� �"� � �%± �Y±��� � � � � � � �¢� � �"� � � � � � ��� � � �H� � � � � �� ���^­�� ª « � � � � �F� ���3!��

� � � � � � � � � � � � ��� �C��� �q� � � � � � � �� �R����� ?� � �P�>���C!� � � � � �

-1 -0.5 0.5 1

0.2

0.4

0.6

0.8

1

� !�� � �"� ��� ���� ?� ª ��� �I��� ����%±�� � ��� �������� ���� � !�� 2

�����P�� ?��� � ������ 0 � & 8 � � 0�� 8

�& ��� � & �

�& ��� ( � ���� ��

�&�� �� ( ������ ��

�&�� �� ­�� ���3!��#! � � � � ���� � � � � 3 � � � � ?� � ������8�F� % � �m­�� �������p��� �+��� � ������ ��� � � � ��� �C!�� ��� ! � � ��� ¯ ��� � � ?� � ������8�F� � �� L�"�� � � v b � � w �)� � f bxw � wSb � � { �� 0�>x*52\JA<)J/,/> z�?t3�0 � K G M O ? �K G M O M/0 6 ? D * % ?]FC,/0:�\?N,/0�>:*�3�0 � � O � )N*-M/*2,J M/0 6 ? D * % ?]F],&0�<)J&,/>Yz�?@3�0 ��� � �� � �@� � � > 8 3�0 3 8 � p� �C� � ��� 8 ,/M/* � ?¢~l*M&0 6 ? D *Yz�?t3,J T[Y[6 ?¬I 8 ~ D 6 ?@3�0�M/0Z2�F@3�0�M/0 *�*�� 6 * D ?]F *#M&0 6 ? D ? 6 *:,x3�*

� ��� �C� �� p� �C�,� � � � � �C� � � � �C� Q � T e W� �q� �C� p� �C�\� � � � � �C� p� �C� � �q� �C� � � �C� Q � T m W

� �@��� �C�\� � �@� � � �C� Q � T � W� �q� �C� p� �C�

� � � � � �C� p� �C��� ��� �C� � � �C� � � �C� Q � T � W

Y 8 >x*Y}�?¢~ 8 �3� 6 ?¢~u3�0 6 * 6 *-M/? �&MB* D 6 ?@3�0�M/? < 816 ~�J/F * y *�M&0 6 ? D *Yz�?t3,J� 6�8 M J/>=I�* T0 � 0 & 8�� 0 & 8 8 � � + F�� ���� � 0 & � � & 8�� 0 & � � & 8 � � 0 & 8�� 0 & 8�

&

Page 163: MATEMATIKA 1

158 5. DERIVACIJE I PRIMJENE [5.1]

� + F � ���� � 0 & � � & 8�� 0 & � � & 8 � � 0 & 8�� 0 & � � & 8�� � 0 & 8�� 0 & � � & 8 � � 0 & 8�� 0 & 8�&

� + F�� ���� � 0 & � � & 8 � 0 & � � & 8 � � 0 & 8�& � + F�� ���� � 0 & 8 � 0 & � � & 8 � � 0 & 8�

&� + F�� ��� � 0 & � � & 8 + F�� ��� � 0 & � � & 8 � � 0 & 8�

& �� 0 & 8 + F�� ���� � 0 & � � & 8 � � 0 & 8�

& \�Z*-> 8 3�0 M&0 6 ? D * % ?]FC,B*�� 8 ,B* 3�0 ?g,/0�� 6 0�>J?]M&,B*��3�/* 3�0 � ��� ���� p� � � D��C�

p� �C���)N*-> 8 3�0

� �q� �C� p� �C�\� � � � � �C� p� �C� � �q� �C� � � �C���v bxwoy�{ f b ² | � % � ¸ �-!"���F����"��� � � � � ������ ���R�q� �C� � � ��k�1�1���-� �1� � � � ��� ����%±�� p� �C� � � �� G! � ���@�q� �C� �� �C� p� �C� ��� �°±������m±��� ���������C� �C��� ���h± � ­ � « � !"���F����"��� � � � � �B! � ��� � � � �F�%± ����� � �

� �m±�� ��C!+���m­��@! � ���

� � ��� " ��� � �%± �Y±��� � � �C� � � � � �

� � ' �C� � � � ����� � � � � �

��f bxw � � w { � �³� y � ��� w w { f � �¤�¤�� w { �� 0�>x*`2\J <)J/,/> z�?@3�0 � ? M/0 6 ? D * % ?CF],/0 T )N*:MB*43�0u> 8 ~�� 8 y ? z�?@3�*#M/0 6 ? D * % ?]F],/*P? DL6 ?t3�0�M/?� p� �q� �C�\� � � � ��� �C�\� � � � �C��� Q � T � W

v bxwoy�{ f b ² | � % � ¸ �-!"���F����"��� � � � � ������ ��� � �C� � ��� � �x� � ��k�1�1���-� �1� ´ � ������ � � ��� � �^± � ��«B� ��� � ��!��� � � � � ������ � � ª � ���=�q� �C� ����� � � �� �C�

� � � �����:���

p� �q� �C�\�

� �q� �C�\� � � � � � � � � �� · ���

� � � �C� � � � � � � � � � � � �

� � � � � ����� � � � � � ����� � p�� �

� � � �C� � � � � �

� � ��%± �Y±�� ª � �P�m± ��� ���h± � ­��¤« �J!"��������"��� � � � �^± � ��«B� ��� ��� ª p� �q� �C�\� � � ���q� �C�,� � � � �C� � �q� �C� � � � �C� � � � � � � � p�� � � � � � � � � � � �

Page 164: MATEMATIKA 1

[5.2] 5.2. DERIVACIJE ELEMENTARNIH FUNKCIJA 159

�5f bxw �3� w { � w � �\f b �F�ef � �¤�¤�� w { f� 0�>x*�3�0 <)J/,/>Yz�?@3�* � M/0 6 ? D * % ?CF],B*A,/0�>:* 3�0 � � � �C� � ���? ,/0�>x* � 8 2vI 8 3�? ?], D 0 6 y ,B*<)J&,/>Yz�?@3�* � 3 j � )+*-MB*k3�0 � 3 j M/0 6 ? D * % ?CF],B*P? DL6 ?@3�0�M&?� � 3 j � � � & � �

� � � �C� � Q � T���W.-Mx3�0q3�0 & �q� �C���v bxwzyl{ f b ² | � % � ¸ �-!"��������"��� � � � � ������ ���R�q� �C� c � ��k�1�1���1�L�1� ´ � ������ � � � ���J�� �����,«B �=� � ������ � � �B!=� � ������ ��� &

p� �C� � � �� ���^­�� 3 j � & � �

c & � H � � ���m± � ­��¤« �L!"���F����"��� � � �� �����,«B ?�:� � ������ ��� �%± �Y±��� � � & �

� 3 j � & � � � � � � �C�

�� �

�� c & �H �P�m± � ���^±J�

� � � �C� �� c � ��§��� ! � � �"$#�!# %$p� ������� ����� # q� �� �Y����"!# %$%#� ' � ',+ � .�1 5 � ) BC5EDF.�) ' +;.��$) 13:�4�5�� >A@28*4;Bp5ED )2�� ��� �������� � �/���£�¤������������ ��!��#"\~%$&�(')� �*�+��,-�/.0'Yz��1�-'324$65("vI7'45=I-�8� ���(59'42�':5FJ(!���� �<; � � � � �=; � � � > ; ��<; �m� � ? ; � �G ��*���5+�¢I�$�� y '§�(,-�@,-$A�9'45 % , $��CB�<;9D � � � ;9D 39E ; � �

� ;9D 39E � � ;8FG;9D 39E �<; � � � B ���s� ;9D 3 � ;8FH;9D 39E

B ;9D 39E �I=��I

�=; D � � B ; D 39E J � ILK�M

;9$6,,~"J(!�$Y~ J � INK�MO� �P, �Q� � � ��5 �+,-$ % !@��~R�(��,-�@.A�@,�'45��-' �S$YI-��5 z��Q� �P"2�S$ y �¢I-�@.A5(� ~�z�� �� ��!��¢~T��2U",�S$65+��5=I�$Q~VI �W$4,-��"vI��5*����(,�' .A��!�' y 'X�+��,-�/.A��,�'05�� � J � I � MY� J � I � MY59'Z",I�,�I\[ �6] �"-'4�9'§~X$Y}���~%$8�(��,-�@.A�@,�' I-�p��$6!��@5($Q~%�4I_^��`�)���U^H²�a �cb ���F���� ��������� � ������ � � �q�=; � ; � � ? ; � FedO; � > �

f�g6h6i�h6jAg6hUk H �^±�� ¸�� � ������%­ �?« ��!"���F���� ���� �����« · � �8� � ) ���s«�­������ + � � ±I �ml>����� ������ ���

· � �8���m± ª �%± �Y±��� ; � � ? ; � FedO; � > � � � ; � � � � ? � ; � � � FGd �<; � � � � > � � ? ; � �Gn ;PFed �

Page 165: MATEMATIKA 1

160 5. DERIVACIJE I PRIMJENE [5.2]

�°� ��)�C��� �£� � � �¤�¤��������� $YI-��5 z��Q�-'H"*5(���6' I��/. 5+� ~ z��Q� ��!�� ~ % , $�� ��~ 20'0$e��2U"\��$65(��5=I-$Q~ "-��~%$Q}�� y 'Y�(��"-' I��J $ % !��@2FJ �q�=; �

;�3 D ���4��� �%� �3B ��$ y �¢I��/.0'45 z��1� ��!@� % ,-$���I�� $Y~X$ *�J��(,-' . �@! ' y '

�(��, �@.A��,-'45�� � 2�.6$�z��1� ��5=I7' J � I���M 5('%"vI�,�I [ �6] � ~X'Y~%$

� ; 3 D � � � �; D � � � �x� � ; D ���� �<; D � �

�<; D � � � B ; D 39E

; � D

� B ; 3 D 39E � '420$ . �@�(� ~%$Y�9'��=$6,,~"J(!�' J � INK�M�.A, �Q� ���+�6� y '���$YI���5 z��1� � "\5(���6' I��/. 5+� ~ ��2U"\��$65(��5FI-$Q~VI�O,-'m.A�@!�$8$Z�(��, �@.A��,-'45��,J*2�.6$�z��1� ��5=I7'8$Q~%$ �QJ�* ' .0'P�(��, �@.A��,-'45�� � ,-'Yz��@$659'4!@5(�+'��)J(5(2��z��Q�-' I ^���� ���U^ ² a � � b ���F���� ��������� � ������ � �

�q�=; � �� ��n ;PF n ; �

n F�� ;PFG; � �f�g6h6i�h4j g6h�k H �P�m± � ) � k�� + � ��� � k ������ � �=; � � � ��n ;PF n ; � � � � n F�� ;PFG; � ��� � � ��n ;PF n ; � � � n F�� ;8FH; � � �

� n F�� ;8FH; � � � � �Wn F � > ; � � n F��O;PFG; � ��� � � �Hn ;8F n ; � � ��� F > ; �� n F�� ;PFG; � � � � d � � > FH;ZFG; � �� n F�� ;8FH; � � � �

-°��^�������� �� ",I�$��(,�' .A��!@$ �(��,-�/. �@,�'45 �-' J � ILK6M .A, �Q� ���+�S� y '��)J(5(2Yz��Q�,J ���=; � ;�� � �� ; � �!�6��� �W"\J" ��B�z��1� ��!@� % , $�� ��.A� I� �¢~X� � � $Q~%$ �QJ�*���5+$%�+��,-�/.A��,�'05�� � 24$4,-�Q� ��59'+I

^���� ���U^ ² a � � b ���F���� ��������� � ������ � � �q�=; � > ; � �� ;� ; �f�g6h6i�h4j g6h�k � ± ���>�����O! � �� � � � ������ � � !"���F���� � �Y±�� � � � ������%­ � « � �������� ���� � ª���3!� ����� ��� �� ���E��� � �������s« ���C� ��� ��� � � ���8�� ?��� � � � � �"��� �� �Y­� ��%± �>��� � �� ?�� ���^± ª � �« �����%± !"���F���� �����C� k� � �<; � � > ; � �� ;� ;

� � $#> ; � ;�%� ; 3 %&(' � )#

> ; � � %� 3 %&�' � )#> ;�%+*,-' �

> � �/.n ; %+*, 39E �/.? ; %0%,

�1.? ;W;32, �/.

? ; ,� ;54 �

Page 166: MATEMATIKA 1

[5.2] 5.2. DERIVACIJE ELEMENTARNIH FUNKCIJA 161

� ' � '�� � .�1 5 � ) BC5EDF.©<�1 );82:�Bp. 826(. 8 <�825�� >A@(8(4;BC5 D )�2�4��� � � ��� ��N��� ���\� � ��������N���

����� � � � � � ��

� �� � � � �

D ;

� � � ��� ���

� � ���D ;

��� � ��� �

��� � ���

D ; �� y ,�' � J(59' �,~%$°��$6"-� % 5($ � ��� �

��� � ���

D ; ��- I7' .A� ~%$ D ;

��� � � F �

� � � ' % ��",~X$�¢~)'0!�� D ; M ��~X$4,�'85FJ }�5($ � M � � '424$%� ~X'Y~%$

� ��� ���

� � ���D ;

� � �� � � F E

���

��� � � F E �

� ���� � E

�� � � F E

� ���� � �

� ��� � � F E �

� ���� � �

��� � � F E �

� ����� � ��� � � F E

��� � ����� � � � F E

��� �

���

�O, ��~X'�I-$Q~%������ � � ��� � J � I/[ ¥ M

_^��`�)���U^H²�a �� cb ���F���� ��������� � ������ � � �q�=; � �<; � � ? ;PF > � ��� & � E �f�g6h6i�h6jAg6hUk�� ���F����� � ¸ � � ������%­� « � !"���F����"��� � � � � �B! � ��� � ) � k � + ��� � k ����� ª �G!"���F����"��� � �� �^± � ��«B� ��� ��� ) � k � + ��� � k ����� ª �%± �Y±��� � �=; � �<; � � ? ; F > � � ��� & � E F©�<; � � ? ;PF > �

#��� & � E ' � � > ; � ? � ��� & � E F

F��<; � � ? ;PF > � � � & � E � ; � F � � �

� > ; � ? � � � & � E F/�=; � � ? ;8F > � � � & � E > ; � > ; � �Gn ; � F n ; � ? � ��� & � E �� $6,-�@",I��5*��Q�+,�' .A��!�$ y ' �(��, �@.0'Yz��Q�,J 24$Y~ ��$ y �¢z��1� �:� ��$Q~%$�*�J �=$6,\~"J+!�� J � I/[ ¥ MC~%$Q}���~X$

5(':*�� �(��,-�/.4' z��Q�,J �)J+5(2Yz��Q� � �q�=; � ¨ � �� ¨ �^� �

� ����� � � � � � � � ��� � � �

� � ���� �=; ��� ¨ � �

¨ � ��� ¨ ��V~X'Y~%$8�9'42U!�� �=$4,\~"J(!¢J

� ¨ � � �

¨ � ��� ¨ � J � I/[6[ M

_^��`�)���U^H²�a ���cb ���F���� ��������� � ������ � � �q�=; � ? � � & �f�g6h6i�h6jAg6hUk

� � �=; � ? � � & ��� ? � > ; � � �

d ; ? � � & ��� ? �

Page 167: MATEMATIKA 1

162 5. DERIVACIJE I PRIMJENE [5.2]

� ���³�(^��= �9� ����� � ��������N���;³J+5(2Yz��Q�-' ��� ; � �V�@5�.6��, y 59' $A� �)J+5(2Yz��Q� � � � � $ y 59' � ��� '024$ � � &

� � �O$45(�9'X� �

;

�� & � � , ��~X' �=$6,\~"J+!�� y '%�+��,-�/.0'Yz��1�,J*��5�.6��, y 5+���)J(5+2Yz��1� � � ~X'Y~X$

� ��� & � �

��� � � �

�� �

&�

- '4�9'�~%$Q}���~X$ �=$6,,~"J(!¢J�(,-���(��"-' I�� "vI7' .A!Q�-' �,J�*�� ; J ~ � ��"vI�$ &

� ��� ; � � �; � J � I@[��4M

� $ �6'4,-�¬I7'Y~%"-2�' �)J(5(2Yz��Q�-' % ' y � ¨ " �"~%$Q}����(,-�@20' y ' I-�¤��$Q~%$�*�J �(, ��, $ �(5+$ �)!@$ ��'��,-�¢I\~)'��=$6,\~"J+!�$Q~ ���� � ;

��� ����� �_�9'W� �

� ���� � ; � � � ��� ;�� ¨

� � ���� ¨ � �� ; � � �

; ��� ¨ �� , ��~X'"I�$Q~%� � ~X'Y~%$ �=$6,,~"J(! J

� ���� � ; � � �; ��� ¨ � J � I@[�6M

^���� ���U^ ² a � ¦ b ��� �F�� ��������� � ������ � � �q�=; � ������ ;� FG; �

f�g6h6i�h4j g6h�k � �3!� ����� ��� �� ���:��� � ���F�����C� ��� ����8�P���C�� ­� � ���F� � �Y±=�>���#� � ������ ��� ª ?��� �!"�������� �����C� �������� ���� � k� � �=; � � ���

��� ;� FG;

� � � ��� � ��� ; �\� � � � ��� � � FG; �,� � �

��� ; � ��� ; � � � �� FH; � � Fe; � � � �

�*� ; � �� FH;

>; � ���

� ^����³� �¤��� ��m^���� ����� � �¤�¤��������� , ��~X'2��$ y 59'^I�$�� �=$6,,~"J(!��U" .6$6� � ��5��-' ,�' y !��@24� I-,-�+�6$65($Q~%��I-,-�1� "-2U�+' �)J(5(2 z��Q�-' 5(' 5�� �+'($m.�(,-$A� J(2=I �9�pJ y � . � ��J $ % y ��, 5+���(, ��2U���(5+$6",I*I��(' �)J(5(2Yz��Q�-'��9�¢~)' ~X$

��� � � ; � � � ��� ���

� � � �=;8F D ; ��� � � � ;D ;

� � � ��

> � � � ���� � �x�<;8F �� �D ;

Page 168: MATEMATIKA 1

[5.2] 5.2. DERIVACIJE ELEMENTARNIH FUNKCIJA 163 � ��� �� � � �x�=;PF D ;

> � � � � ��

� � � �� ��

� � �9; �

� � � �(; � �

� ��� ���

� � � �=;ZF D ; ��� � � �(;D ;

� ��� ���

� > � � � �� � � ���� ��

D ; � � ��� �

�� � � �> ;ZF D ;

> � � � ���

� � � �� ��

� � � � ; �

�O, ��~X'§�+,�' .A��! J y 'Z�+��,-�/.0'Yz��1�,JV2�.4$�z��Q� ��5=I�'��� � ; � � � � � � ;

� � �(;� � � � �

� ;8F � � �� ;

� � �� ;

� � �� ;

� F�� �

� ; �� � � � ; � � � � � �

� ;ZF � � �� ;

� � �� ;

� �

� � �� ;

� � � F � � �

� ; ��� '420$X�¢~)'Y~%$ �=$6,,~"J(!@�

� � � � ; � � � � �(; J � I/[��UM

� � � �(; � �

� � � � ; J � I/[ � M

��� � ; � � �

� � �� ; J � I/[1��M

� � � � ; � � � �

� � �� ; J � I/[ ] M

_^��`�)���U^H²�a ��²cb ���F���� ��������� � ������ � � �q�=; � ��� � � � ;� F � � � ; �

f�g6h6i�h6jAg6hUk

� � �<; � � ��� � � � ;� F � � � ;

� � � ��� � � � ; � � � � F � � � ; ��� � ��� � � � ; � � � F � � � ; � �� � F � � � ; � � � � � �(;�� � F � � � ; ��� � ��� � � � ; � � � �(;� � F � � � ; � �

� > � � �(;� � F � � � ; � � �

Page 169: MATEMATIKA 1

164 5. DERIVACIJE I PRIMJENE [5.2]

S ^^��� � � �¤�¤��������� ,-2FJ(" �)J+5(2Yz��Q� �*"\JG�@5U.4��, y 5(�*$A�H,-��",I�, ��5��4��,�'05(�+'NI�,-�+�6$65($Y~X�mI�,-�1� "-2U�+' �)J(5(2 z��1�-'��;�9'"-� �=$6,,~"J(!�� y ' �(��,-�/.4' z��Q� ��~X$ �QJ3� y .6��",I�� ��$Q~%$�*�J �(,-'m.A�@! ' y ' �(��, �@.0'Yz��1�,J3��5�.4��, y 5(��)J(5(2Yz��Q� �0I

� �� � � � � & � �

���� � � ; � �

� � �(;

�� ��� � � ��� ;

� ��� & ��

��� � � � � &���

�� � � �(; �

� �� � � ;

� �� ��� � � � � ;

� �� ��� & �

����� � � � &���

� � � ; �

� � � � ;

� F � � � ;

�� F & �

����� � � � � &���

� � � � ; �

� � � � � ;

� �� F � � � � ;

� �� F & � �� , ���X'���$��%� ���X'��%$ �=$6,����(!��

���� � � � � ; �

�� ��� ; �J�� I@[ � M

��� � � � �(; ��

� �� ��� ; �J�� I@[mK6M

���� � � � ; ��

�� FH; � J�� I ���6M

���� � � � � ; ��

� �� FH; � J�� I � [mM

^���� ���U^�� a� "!cb ���F���� ��������� � ������ � � � � ; � ; �� � � � � ;8F � ��� ; � �f�g6h6i�h4j g6h�k

� � ; � #

; �� � � � � ;8F � ��� ; � ' �� � � � � ;PF ;� ��� ; �F �

> � ��� ; �� ��� ; � ��

�� � � � � ;8F ;� ��� ; �� > ;

> � ��� ; �

�� � � � � ; �

Page 170: MATEMATIKA 1

[5.2] 5.2. DERIVACIJE ELEMENTARNIH FUNKCIJA 165

�W' �����%��!1�����($:"-'4�9':,-������5+$ � ���X'��X$V"-!1� ���(����� �7'��S��!����(��,-�/.4'����Q�-'V$6"-5+$ .A5(�����!�� �X��5 ��'4,-5+�� � �(5(2����1�-'+I

� � ; � � � ; � � � ; � � � ; � � � ; � � � ; �

;� �S;�� 9E � � � � ��� ��� �� �

��� ; �; ���� � ; �

; ��� � � � � ; � � �(;

� � �(; � � � � ; � � ; �

� � � � ; � � � ; � �

� � � � ;�� � � � � ; �� ��� ; �

�� � � � �9; � �� ��� ; ��� � � � ; �

� FG; ��� � � � � ; � �

� FG; �

������� � ������������� �!�#" ) ' ��$%�%&'�(�#")��+*�',�S��,-� �X$ �-$-�72 � ; /./0 �(5(2����Q�-'-1m24$��-'Y.0'32

x x

f(x + x)−f(x )df(x )=f’(x ) x

T

S

S’

0

0 0

0 0

0+ ∆

∆∆

α

x

4,5 687�9:2^X �^] �-:;68:#9=<?> 6A@�BC787D6 EGF'63H/6 I;FJ:KFJB�LD6 EG9C5

, �Q�-',�+!�� D ;NM ,-���+, ��O ��� �QP � ; � D ;SR *�$m.6� "-�T �?U �U^��WVYX��N��Z\[]U+^YVY_`X������aPb^ /c�de_ � ; �����" ��$%"-� M �f �,1�*�'�� � ��5������������ D ; "hg ;SR

g�P � ; �'i P � ; � g ; . J�� I ��4M

� $��X$W��� "-!@��24� � I �%$jO����%$ �4��$��%� �-,-�k2� " 2U�S$j�U�-'4"-5(� ��� M $��-'�� �(� �=��,-��5����1�-'4! ' Iml ��,-$322 ��� �on]prq q3� � s

q'q s

sp q

s i � � � i P � ; �G �9' ��!�� s

q'q si P � ; � D ; .

tW�+�=��, ��5����Q�-'4!u1 �9'42U!@�O,�',� �(59' M ,-$�� � ��5"� .A, �Q� ���+5($6"��-�6$6, �(��59' ��� M $ �7'45 �6��5 ���459' 2A, �@."�(!1���� ��$W�72U� ; /.v 24$ � �(5(2,���Q�-'Z���X'P�(��, �@.0',���Q��� �V" .0'424$ ����$W�72U��1($45(�9'�� � �=$6, ���+!�$��

g�P � ; �'i P � ; � g ; J�� I � �M

Page 171: MATEMATIKA 1

166 5. DERIVACIJE I PRIMJENE [5.2]

�9'45 T �?U �U^ �WV X����CZ\[ U+^ VS_`X��N���oP I ^���� ���U^�� a� ����������� ��������� ������ ��������� ��� P � ; �'i �� � � � � ; .

f�g6h6i�h4j g6h�k �� � �! P � ; � i#" �� � � � � ;%$ i &� � � � ; � � � � � ; � &> � ; i

� � � � ;> � ; � � � � ; .

' �(� � �*) �� � g�P � ; � i � � � � ;> � ; � � � � ; g ; i

� � � � ;> � ; g ; .

+ �(� ����� �9' � � � �=$6,����(!@��* ')�(� �=��, ��5����Q�-'4!S�(� �7'45 �(��$X�(��, �@.0',���1�-' 19" .4$�� "�� .0' �+�+�=� 2,-��5 ���Q�-'0! 'P" � '459'0!�$ �65(' " .4$�� "�� . � �)'Z�(��,-�@.0',���Q� �0I '420$X� �)'�X$

[6Ihg � � F ��� i g � F g � R� Ihg � � � ��� i g � � g � R+Ihg � � ��� i � g � F � g � R�(Ihg �-, � � i , g � R * ' ,/./0 R� Ihg

#�

�' i � g � � � g �

� �R

�+Ihg � � � ��� �mi � � � ����� g �� �����21 &Q� �43 ")��� �5 Z\V ���WVS Z � VYc�^�� Z\[?Z�+*_�+��"-2 �(" �Q� � � � I/[6I@[ 59'8" ��,�I [ � 1(� �=$6,����(!@� J�� I �6M " � .A�@�(��1(�('�� �

P � ; �'i � � � �6 P � ; F D ; � � P � ; �D ;

_`c �87mX������WVS:9 �)���U^3Z� Z\V ���WVSm� 59'!;=< ^ /c�de_ � � ; R P � ; ��� . �O,-���X'��-$��X�Y� ���W259'4��O��9' ��'45��6��5 ��� 59'82U,-�@."�(!1���?> i P � ; � � �-$-�72U� � ; R P � ; ��� � �

> � P � ; �'i P � ; � � ; � ; � J�� I � ��M

v 24$ � �(5(2����Q�-' P 5(���X'&�+��,-�/.0',���1��� � ��$W�72U� ; R $45(�9' 2U, �@."�(!Q�-'@> i P � ; � 5(���X'�7'45��4��5 � � � ��$W�72A� � ; R P � ; � � .

Page 172: MATEMATIKA 1

[5.2] 5.2. DERIVACIJE ELEMENTARNIH FUNKCIJA 167

� c�^�� Z�[ Z 59'H2U,-�/."�(!Q��� ; < � ��$W�72A� � ;��/R P � ;�� � � � � M ,�' .0',�,1W24$�� � � �:$424$��%� �5(' ��'45��6��5 � ��I t '42U!���1#'024$)� �*24$A���\���Q� ��5 �Z"�� � ��,�' ��'45��6��5 �-����� i � � R $65(�(')� �20$ ���\���1� ��5 � " � � ��,-'Z5+$6, �X'4!��

� D i � �

# F � > ' i ��� � " F � � $

� � � " F � � $i � � �

� ��� �� i � &� � i � &��� .

�O,-� �)' ��$��X� 5+$6, �X'4! 'P� �)' � ���(59'0��OC� �

> � P � ;�� �'i � &P � ;�� �� ; � ;�� � . J�� I � � M

_^��`�)���U^ ��a� �� � ���� ��� ��%������ � )-��� ���� ) � � � � � ��� � �%� ������� ��� ��� > i �� ; �) �� ����� ����� �� � �� ; i & .f�g6h6i�h6jAg6hUk"! ���� �� �� ��� ��� & i # R�) �� ��� �%� ������� ��� ��� ��� � & R # � . �������� ���P � ; � i � ��� ; � i E

�R ���)2� � P � & � i & R$��� ���%�%�(� � �� � � ��� �'&)( k *�+�, ��� ��%��������

)-��� ���� ) �> i ; � &� ��� ��%�������� � � � ��� � ���

> i � � ; � & � R �� �� > i � ;ZF & ._^��`�)���U^ ��a� �-/. � ��� � ) �� ��� � �:���@)-��� ���� ) � �%� ������� ��� ��� > i ;�0 F ; � >����� ��� �� �%�1��%� ������� � > i dO; � & .f�g6h6i�h6jAg6hUk ' � ������2��3����� ��� �� � � 4 ��� �� � � � �65 �� ���� )2�7� � ���� �:��� ��%����� k8 �(�9���*������ � �%���� ��� ; � � ��� � � ��� � ;�0�F ; � > � i d R ) � k ? ; � F & i d .;: ���)2� ��� � ��� ��S; E=< � i?> & . 8 �� ��� �%� ������ ��� ���@� )2� � ����� �� � � � �A�� � � & R � d � � � & R # � .B ^\X�6CU� � TED ^ _�^��6F�^ [��CZG ���)�* �X��� 2 � �+.A�Q� � 2U,-�@."�(!1� �Z� �32 ��� �*��%��� 2 � �7'05��6��5 �-��59' 2U, �@."�(!Q� � � 5�� ��+$ .4$��"<� �C���f�� ��IHG ���O��*��%��� 2 � ��'45��6��5 ���+5(' " ! I � I � "���,�I([1��IO� � i � �J E R �4��� � � � E 2"���f ��$ �6' ��'45��6��5 ��')59' M , ."�32U,-�/."�(!Q��� ��"=� ������f�� � * '� .4'0,�'X" M $,*�� �-�@.A5(� � �(�Q� ��!�$��T$6"-�;SR ' � 2 ��� f���$ ��' ��'45��6��5 �7' 5(' �(, � ���)2U,-�/."�(!Q�����)"=� ������f�� � * '� .4'0,�' " M $,*�� �-�@.A5(� ��+�Q� ��!@$�� $6" � ; . '45��4��5(" � �����32 ����� .4' "��:24$A���\���Q� ��5 �-� " � � ��,-')$m.A�� �7'05��6��5 �-� I7K 5(�"�� ��� ���(5($ � ���(59'42U� �(��, �@.0',���Q�-'��X' ������� �(5+2,���1�-' � "=� �C���f � � � ;��/R > � � 2U,-�/."�(!Q�-' 1 ����I.A, �Q� ���+�

� �L E i ��� % i P E � ;�� � R � �L � i ��� & i P � � ;�� �t�'42U!��,1

� �L i � � � � �M E � .

Page 173: MATEMATIKA 1

168 5. DERIVACIJE I PRIMJENE [5.2]

�+* '0�(�����$65($ � ����$6,-� �)' * ' �7'05��6��5+" ,-',*�!@��20� "-!��1� ���(�

� � i � � � � � �L E& F � �L E � � �

R

� �7'420$ ���X'��%$ �=$6,����(!�� *�' 2 ��� ��*��%��� 2 � 2U,-�/.��+!Q�-'@> i P E � ; � � > i P � � ; � �"=� �C���f � ��1�24$�� �_���X'8' M " ���@" � ;��

i �� � � �P � � ;�� � � P E � ;�� �& F P E � ;�� � P � � ;�� �

. J�� I � �6M

K�.0' �=$6,����(!�'P5(�Q� � � M $���, �C�(!1� �@.0' 1+'424$ � �

x

y

f

f

0

0

1

2

α α

α − α = α

2 1

2 1

4,5 687�9�� X �Y]���@D>�6 ��� F H ��@ 7J:;6 C@C5 EG9

59'�*��@.A5(�@2 � ���(59'42 5 �(!@��1"����IP E � ;�� � P � � ;�� � i � & .

l �-$�� "-! ��� 'm���8� �

��� & i � &��� % RM ' " � ��'45��6��5 ��� �%��� 2 �("-$j�+5($ $620$��X� ����10�A2 �����*��%��� 2 �V2U,-�/.��+!Q�-' � � M ,�' .A� I

^���� ���U^�� a � ������ ����)�� � � � � �:������ ��� ��� > i E�� > i ; � .

f�g6h6i�h4j g6h�k P E � ; �'i E�R P � � ; � i ; � .�� �������l) � � � ��� �! � � ��� ��%�������

&; i ; �

� � �� � ��� ��� � � ���7l ������ ��� ; i & .

P E � ; �'i � &; � P � � ; �'i > ; P E � & �'i � & P � � & � i > R���*� � � � ��� �J&)( k * � , �� � ��� ��

i �� � � � > � � � & �& F � � & � � > i

�� � � � � � ? �'i & # � . d ?���� i & # � �7> n n .

Page 174: MATEMATIKA 1

[5.2] 5.2. DERIVACIJE ELEMENTARNIH FUNKCIJA 169

�P^ CU� VYZ� ��2�' � �(5(2,���Q�-'�� ��� � M , ���(" �7' .A!Q�-'o* '420$65��6��9'05��-' �)' ����, �Q�-'4!@5(���-$-�720�4I���'420$65��4�k2�('45��-'Z$��X$ ����� ' .0'Z�9'%" � � " .0'420$�� ��, ��5 ����2 � � $ �(, ���(� M $6!�$,O ' ��� ��� � �)' ����, �Q�-'4!@5(��-$-�720�4I���',��.0'4!Q������� ��� �(��" 2"�+"-�Q� ��� � I/[6I/[j1C"���,�I�[ � 1 �(,D*���59' �X'�-��,-�1�-'4!�5+� �-$-�720� ��-,-��5"����2 � � � � �

� �� � � i ��� � 6 �� �� � F�� � � � � ��� � �

� �.

_^��`�)���U^ ��a . �%�� � ������ ( k * �%� �)2� k�� ( ( �%���� �%� ��� � � � � � � �@� ������� �� )2�(� �� ��) ��� k � � � ��� ��� � � � � �%� �%�7� �� �) ��� 4 � � i #�� . � ��� � ) �(�� ��) ���@���2� � � � �%� � � )2���� � � � �������*����� �%� � �� �) �����

f�g6h6i�h6jAg6hUk�� ��� � ��� ��������� ���� ��� �'i & � � � ��

� R��� ��� � � � � �%�

� ��� �'i � ��� � i � � � �� � � ��� � i � � � �� � .. ) �(�� ��) ��� � i # ��� � � � � �%� � � # � i � �/. ! � � � �%� ��� � � ) � ��� � � � �������/� � ��� � �� � R � ��� � ���7l ����� ��� ��%������ �

&> � � i � � � ��� R

�� �� &> i � �� � .

� ������� ) � � � � ��� ��%�%��� � �� � � � ������� ) �! �� 4A�%�� � ������������ �� � � ��� � � ������� ) � �� � �� ���� )-� 4 � ��� � � � ��� �� � ��� � � �� ��� � & i # R � ����� �!

� i � >�.

������� � � ")����� �[6Ih��',��� M ,-$4"=� �C��'45 M ,-�@,�'4" ��� �(5+2,���1� � P � ; �'i > ; � F � R 2�'4�9'8"-� ; �%�Q� ��5��-' $A� >

�($ ? .� Ih��',��� M ,-��,-'4"��� �(5+2,���1� � P � ; � i ? ; � � > ;ZF � R '024$)" � ;QM ,-$��%�Q� ��5(��* ' �e; .��',��� �(��, �@.0',���1��� $ � P M $%�(���95+����1� � I GW$4!���2U�A� � M , ��,�'0"����7'05��6��5 �-� � ��$W�72U� ;SR'424$ "-� ; M , $��X�1� ��5(�,* ' �e; � lW" M $4,-���+� ��� M ,-��,-'4"�� � �+5(2,���Q� � � M ,-��,-'4"�� ��'45��6��5 ���4I��',��� � �(5(2,���Q���! R 20$��-'X� �)' " .6$�� " �-.4$ �9'W� �

P � ;8F"�e; �'i P � ; � F P � ; � �G;ZF � ; � �G; .

Page 175: MATEMATIKA 1

170 5. DERIVACIJE I PRIMJENE [5.2]

+I���'�-��,-�1�-'4!�5(' ��$W�720'V"-� �6��9' M $ M ,-' .j��� M $ * '420$65 � �6���9'45��-' � ��� � i � � � F. � F � . ��',��� �+,D*��@5 �:� '42�����!���,-',���1��� � �-,-��5 ���-2 � � i ? � . ��',��,���'��� �6,�' �=$ .4�* '420$659'��6��9'05��-' 1\�(, *���5+� � '42�����!@��,-',���1� �4I ��'��6,�' � � *�'424$65(' �6��('45��-' M ,-$4. � �J2,-� ��� �($j�(�/.6��5(� , �C*��+! �7' � * 'Q�+,D*��@5 ��1 '�59' �4,�' � � �+,D*��@5(� M , $m.m� ��,-� ��� �($j�(�/.6��5+�,-��*��(! �7'� *�'%'02,����!���,�',���Q����I

�(I � $j*��@!�$Z"-���6���9' M $ M ,�' .j� � M $ * '420$65 � �6���9'45��-' � ��� ��i � � F d � �en J � ��� � � �M ��� � �%� ��, ���X' 19' � � � .A,-�1� ���%� ��"-��2 �(5+�9'��X'�M Ih��'���� M ,-$6"<� �C��5"� �+,D*��@5 � �2U��!�$��X� ��,-� �)' 59'Z"�'�C1(�* �X��� 2 � "-��� �X� � �(��"-� ���_"-��2 �(5+�(�4I

� I���' * '4�('45 � � �(5(2����1��� 59'������(��,-�/.4'����Q��� � ��$W�72U���� P � # � R P � ; �'i ; � � ; � � P � � � R P � ; �'i � ; � &��� P � � & � R P � ; �'i � � F &� � � &

� � P � > � � R P � ; � i � � � ;� FH; � P

#� d ' R P � ; � i � � � > ;

��� � ; � P � > � R P � ; �'i ? �� � � � ;

�+Ih��',�����(��,-�@.0',���Q� � " !Q� ���+�C����� � �(5(2,���Q�-'��� ; � � � ? ; 4 ��� �� ; �� � ; � � ; �� ; � ; � &;ZF & � ; � � ;ZF &; � FG;PF &� � � ; � � dO;8F n � � � > ; � & � �

�& � > ; � � ;� ; � F &����� �� ; 0 � & ����� � � � �

� � F > � � � ? ��� ������ ��� � � � � � � ; � � ; � F & � � � ; ��� � ;� � � � �(;PF &� � �(; � &

� � � � � � > ; � � � � � ��; 0

� � � � � ; ��� � � ; � ��� &� � � � > ; � ��� � � ��� &; ������ � �� � � � � � ; � & � ��� �� � ��� � � � � � �

� � F � � � � � � ��� � � � ; � & �� � ; � � � � � � ; � 4 ; � � � �� � � � &;PF &

� � � � ��� � ; � � � �(;� � � ��� � 0 ; ��� � � � � �(; ����� �����! & �

] Ih��',���U� ���(59'4��O�� � �7'45��4��5 ��� 59' �6,-' �-� �(5(2����Q� � P � ; �'i > ; � � ? ; F � � ��$W�72U����1�-' � � ' M "D����"�' ;�� i & .

Page 176: MATEMATIKA 1

[5.2] 5.2. DERIVACIJE ELEMENTARNIH FUNKCIJA 171

I+Ih��',���#� ���(59'0��OC� � M '4,�'��S$6!@�@> i ; � F � ; Fa�3R 24$ �-' � ��$W�72A� �& R & � � �)'

�7'45��4��5 � � M '4,-'4!���!�5 �*" M ,�' .j����� > � ;PF & i # .K+Ih��',����� ���(5('4��OC��� ��'45��6��5 �-�C59' 2A, �@."�(!1��� > i � � R 20$��-' M ,-$6!�',*��"��$W�724$�� �

& R & � .[ � I ��',��� �-$-�720� 5('X2U,-�/.��+!Q� � > i ;�0 � ? ; � �Gn ;ZF � � 20$�� ���X'�� � ��'45��6��5 �7'X5('

2A, �@."�(!1��� M '4,�'4!@��!@59' "�'Z"-� �X� ��,-'4!�$�� M , .6$ �%� ��, �C�����%2U.0'4�+,�'45 �7' I

[6[4I l 20$�� $�� ��$W�72A� 2U, �@."�(!Q� ��> i � � �7'45��4��5 �7' M , $6! ',*�����" �($A�(�f �������[��AI ��',��� ��$W�72 � �G24$ � $��Z" �V" �Q� ��2"�(1 � 2"��� M $A�H24$�� � � "-�*" �Q� ��2 �e2U,-�@."�(!1� � > i

� � ;ZF & � � > i � � ; � F & � � > � ; .[� I ��',������$W�72 � � 24$ � $��\" �O"-�Q� ��2 ��10�42"��� M $A� 24$�� � � "-�O" �Q� ��2"�_2U,-�/.��+!Q� � > i�� � �� �

� > i � ; � � � ; � .[��+I ��'4�9'459'8� � � �(5(2����Q�-' �=$4, ���(!@$�� P � ; � i �

� &�� � R � ��$W�72�' p i � > R � � . GW$4!���2�'� � M $m.A,Df ��59' �-,-$62 ����' f ��$ ��'P" 20$ $6, �(��5('��5(� � $6"-� �)' ����5(� �7'45 �6��5 �7'859' ; < ���$W�72A��p��

[ � I�K �+,-���+� ��� � ��'424$ �9' M ,�' .0',� > i ; � �+�(����'45��6��5 �7' 5('��6,-' � � �+5(2,���Q� � P � ; �'i � � ;ZF � � . K �(,-���(� �-� �(��,-'4!���f��-�4I

[1� I v .A��$45 " � M , ��!��@24$�� M $4!��Q� � �7'45 �-'Y2A, �C��� M �@"���$��e� ���(5+$6!��@24$����(,D*�'45($�'42,����!���,�',���k2� $�� � i > . � � "� � � . �W'424$65 � � # " " ��$A�+.6$�� ��$A� M �@"����0IHGW$4!���2 � �(,D*���5 � � �)'M ,-�@!���20$�� $ �+.0' �-'05��-'P$ � M �@"��-��

[ ] I v ��!�� ����� '4, M , � �-,D��� & #�# �%� ��'4,�' * ' & # " ��2 �(5(�+� I;GW$4!���2 � �(, *���5 �X���X' � ���@!Q� 5($ �,�' .A5(��5(�u1Y'420$ ���3� � M $W��� ��59' �(,D*���59' � � i # R ���-,D��� � ���(5($6!@��20$ � �(,D*�'45($��GW$6!@��2�'C� � 5�� ���4$ .0' M , $6"=� ����59' �(,D*���59'��

[�I I GW$6!@��2 � ��� �+,D*��@5 �8���X'��� ���1� ��!�$W24$�� � M '4�9' " ��$4,-5��-'W.A�@"-$620$ � & � # " M ,-���(�9'4,��� *����%!Q����1+'424$ * '45+���X'4,-� �X$P$� M $6, *�,-'42�'��

[mK I� $ . � ��2V.A��" ��5(� & .�. " �(�9'4!1����� � " � $A�3" . � � ����!1� 24� $j�A� �Cf ��5(� 59'X.A��" ��5(�\$A� ? "�(,D*���5($�� � . > � "� � � � . G $�� $�� "-� �(,D*���5($�� 2U,-�C���_.A, � 5�� � �6$m.6�_"=� ��5(����� I �Q� ��!@$ �)'0"-� & # ���P" � �4��9' M ,-' .6$W��,��-5($ M $ �=$6, � �(!�� � �� � i ? � � F � F d . �W',���

2A�@5(� �-��72 �V��5(��, �6�1��� �-�Q� ��! ' d "-��2"�+5(�(�_59'424$45�"���'4,���'+I

� [4I �Q� ��!@$�"-� *�' �6, �Q�-' .0' ��$620$�� .A, ���%��59' M $ �=$6, ���+!�� p i # . > � � . GW$4!���2�' � ��(,D*���59' M , $�� � ��5(� ��� � M ��,-'� �+,-� � � '4" � i & � R '820$6!��@20'�� � i & # � �

Page 177: MATEMATIKA 1

172 5. DERIVACIJE I PRIMJENE [5.2]

�� I +Y',*���5��P$,�(!��@2"� M $6!��(2 ���4!��,1 M $6!�� � � ��,-'�� �X� �7'4,-' 1 M �(5(�A"-� .4$ �($��a�+,D*��@5($��� !@� �7'0,�' �G"-��2"�+5(�(� I ��'���� �(, *���5 � M ,-$�� � ��5(� � ���(�@5(� .6$A�(� � $m.A��" 5($6"��-� $.A,-���%��5 ��I

� +Ih��',�����(� �=��,-��5����1�-'4!�" !Q� ���+�C����� � �(5(2,���Q�-'��� &> � ; � � ; � F &; � � &

��� �& FG; � ; � � 0

� � � � � ; � � � �(;

& � ; � � � �� � ��� � ;ZF � � � � � ;

Page 178: MATEMATIKA 1

[5.3] 5.3. LAGRANGEOV TEOREM 173

����� �������� �������� ��������� ������� ���� �!�"#������ $�%����"

&��(' ��) *,+ ��-�. � �0/-�1- ��� 3 �2'c�_ Z\[ V4365)_ 987:9;5=<>3�@?BADC�E�?r*BCGFHCGIJC%K �JIJA��BLMENC PPORQTS 0 .

a b c d

4j5 687+9 �^X �^]VUXWe7�9C5 B 6 � 9C7 <�6 �'@ � @0YGZS5 W37+9C5 B 6 � 6 �B 6 �'@ ��@\[XZ-< >+:]W8^ 6�5 We7�9C5 B 6 � 68BJ6 � @ �N@_`Z <?>+:aWb^ 65 W37�9C5 BJ6 �m9C7 <�6 �'@ � @dc

v AGe��fIJ?8AGe��gLhI �N?BikjGCml���enAGe �`eW�XAG? �j=i�LME�?BFoL P �qp �sr P � � � R enIJFHCtADC,OB? �VeFJC�PuL��VC [ c�_-Z\[uV43v< Z _ 9w3(< ^4< ��Ne-�XAxL � . v AGe �$IJ?8AGe��yLzI �`?8i�jmCGl��VenAGe�Ne-�XAm? � j=iNLME�?8FJL%P �qp �v{ P � � � R enIJFHCADC,O8?��!esFHC�K �JIJA,�8LMENC P|L��VC [?c�_ Z\[ V�3<�3uV43}<o^4< � �`eW�XAxL � .v AGe,~N?�e:jn?PIJ?�E�?BFJIJCGAGen~ �`L *wC�VL;2

E�?8IJ?~��NiNen�nL ��Io?�E�?BFoIHCGAGeG~��`L ��C-1oenIJFJC��GeGjneni�L��!eTe 987:9ec���c�< [ c�_ Z�[uVSc�< < Z�_ 9B3 D<o^4<o^�e=FJIJeG~NIJe�<�3uV43}<o^4<o^d�@GC,OB? �Ve%FHC PfL ��C [ c�_-Z\[uV43�5)_ 987:9;5=< 1=e�FoIJen~NIoe9b7:9ec���3 [ c�_-Z\[uV43\5)_ 987:9;5=< � �Ne-�XAxL �eR CGAGe � �NeDE �`eW�XAxL�L ��C�lzenADCGlhIJL �VCGAx~NL�� � �LhlzLHlhenADCGlzIJL��VLhIJL������ 1ne=FJIJeG~NIJeT~ �`i�en�nL�lzenADCGlhIJL �VCGAx~NL�� � ��LzlhLH~��`i�en�nL�lzeGAmCmlzIJL �!LzIJL;2� � �f��19;5=< Zo7/c�F�Z [q5�< Z5 5Wc�9;5=< ���N�15x9m< Zo7/c F Z [(5=< Z��D� � ����� ��������� ��� P|O�QfS 0 � � � ���=�%�(�����2�� ������������� ���?�%� Q � �������*� � �*� ����� � �������) �(� � � ) �� ���S� . Q . 8 ���� ��� P � � � i # .v AGe�E�?�K �JIJA��BL�ENC@FJ?8iNL�jGC��JLzlhIHC�IHC�Q R eGIJFHC

dc

4,5 687�9 �^X �^]�U�6 EGF �9 7J:k6 C@�5 EA9%6 � 9rB=F��J:KFJ7�6 HeBC@H F :;6 �9�LD6 E�@@�G6 �m9 > 9CB`^ F B >+@ @ < �9C7�W+E\>qW:��7=6 �k��=9�EF��n h¡h[k¢ #$£m¤ B�9 H F <�B`W+E\7J:k6 �@C5 E?6eB=F���W < �>qW+E 6,> 9CB`^ FJBD> 9 @h>qWw�J7=6Rcm¥H��9 B=F �4W8¦�F�§J6 >�6�   ¡hcB¢ #,£ ¥H�J:KF �mH�9¨� 6 � 9 5 We7�9C5 B 6 � 9C7 <+6 ��'@ � @�c

��~�jmCGAmeDE��Ne-�XAxL�L*\QVL��VC �XCGIo�n?BI � ��� l �Ne-�J2ADC��VC\lzenADCGlhIJen�\?8A=~ �`i�?��VC �`CGIJ�n?8I �`C%IHCAxiNL;2j"�Jl�E��@> i P �#p � �!eni`C �JL �NL M Cmi`CGlh?BlzIJCV~\en~�Lp . t�CGAxlz?,AGe=?��\�8LME�?8I �t~��\E�?8i`C �XCGIo�n?BI �`? ��Ne-�XAxL � �VeniNC �JL �NL�E�?8FJIHCGA©I �JlhLª� «�iN?��VC�Ne��!? P � � � i # .¬4e-�XADC �3R �vAmeDE�eDE�E�? P � � � i # R ~N? *Be:jn?9b7/Z\XR3?c!VSZJ93VSZt7/c�d3_-Z�K �oIJA,�8LME�? P .­+* 0 ?Bi���C �`e:jn?�lh?��!?�~NlhLME�?8FJL�FJC6E�?6LfD�8?C*BC32

jmCGI;E�?VFJ?8iNL�jGC��BLME�?�I ��OBCGI �ojwE�? � *wC M en~ �`ebENCe2I;E�?�lzenADCGlhIJen��?8Ax~��`i�?��VC\FJ?Bi�LhjmC,�JLhlzIJ?�K �JIJA)�BL;2E�?m��¬�e%IJLME�?@FJe:jneGlMENCGI��ojwE�? � 1�ADCGAGe M enADC,* �DE�?~�lME�?8FJ?C�8L M iNL �\E�?8iB�®�9D3}<�¯B5x9 ��°h±�± � �����!��� P �#p � i p 0 . 8 �* ��������� ��� �)2� N²� � � �) � � ' �(� � � ) �� ���� � � � ����� � �z³ �����) �(� � � ��´ ����� P �qp �'i¶µ p � R���� ��� P � # � i # .

Page 179: MATEMATIKA 1

174 5. DERIVACIJE I PRIMJENE [5.3]

�]c`[u[q5)c F>7:5)c�9;5=<v AGe�E�?�K �oIJA,�8LMENC PfIo? M i�?BAxLzFJIJCTL M enIJLf�2

ca b

4,5 687�9���� ����� ���GW35 5 FkW >?F�W : F �

�XCwjmC�~�? � �Ne-�XADC��VC � L � R eGIJFHC � �HCGiN? �E�?BFJIJe;E �Ne-�XAxL � L* �V?8F 2 � � L � K �oIJA,�8LMENC L��VClzenADCGlhIJL;?BAx~��NiN?�� ��CmA=~�L������ LhlzL �VLhIJL�� � �����v AGeTE�?�K �JIJA��BLMENC0E�ejfA �`e��V?�L�IJ? M iN?8AxLzFJIJeFJ?Bi�LhjmC,�JLhlzIHC 1DenIJFJC �!~kjmCGAGeDE �`eW�XAxLJL��VC��`CGI-2�n?BI � �(1 M C�L � �Ne-�XAxL � . ­+* 0 ?Bi���C�Ne:jn?0lh?��!?~NlzL�E�?BFJL�FHC�E�? P � � � i # q~Nlª� � �� ��b�,«�iN? ��C�`e��!?¨j=iNLME�?8FJL�~�lME�?BFo?C�BL �N?Beni�?����5 5)c�9;5=< !����]c`[ [(5)c�F��m� � ����� ��������� ��� P OoQVS 0 � � � ���=�%�(�����2�� �/����������� ����%� Q ��������� ��� P � � �'i P � � �'i # � ��������� � R � . Q � ��� � � . 8 ����� �) ���-� .�� � R ���) �������94 �� ��� P � � �'i # .2 ZJ��9eZ\V���5Wc�F 7:5)c�9;5=<5 5)c�9;5=< � �N2'ZJ��9eZ\V4��5)c F 7:5)c�9D5=< 9B9;5 T V=¯B5 F19D3 ¯B5 T VSc%987;3 � � ����� ��� ��������� ���PPORQTS 0 ���=�%�(�����2�� ��������� � � � �%� �%� Q . 8 ���� � �7�%� � �9� � ����� � R � . Q R � ��� � �� �) ����� .�� � R ��� )-�������94 �� ���

P � � � � P � � �'i P � � � � � � � � � ���� ��

0 eni����JlzC� � ���� ��6~�? �VejO8? M iN? M Lz~NC�`L�ADCGe

a c b

4j5 687+9 ��� �����j9CB`^ FJBD> 9]@ >qW:��7=61[�EF���9C:K9 �5 F 5 B=9%<u9 <uFJ7�9CB >qW � 7 :]W ��>qWw�J7+F¨¡hYG¥ª�J¡�Y:¢}¢ 6¡z_`¥ª�J¡z_�¢(¢

P � � � � P � � �� � � i P � � � .

K\IJC�Lz~��NL�8?�FHC�E�?�AGe=?��\�8LME�?8I ��~��\E�?8i`C�~�?BADCGI �`?(lzL�E�?8jmC�~ �`iNCGIHC �xE�?8FJIHCGA¨Ame�?��\�BL�E�?BI � � �`CGIJ�n?8I-2�`?��VIo?BAGe;E �`eW�XAxL�L�*��!?BF 2 � � L � (FJ?8~NIHC�~��`iNC32IHC � 1 �(E8�4FHC M en~ �`eDE�L �`eW�XADC �>AGe;E�eDE�E�?��`CGI-2�n?BI��`C M CGi`Cmlz?BlhIHCT~N?8ADCGI �`L!(~�lª� � �EI ���

�@?BADC�E�?� �qp � i P � � � �M � � � p � L " �#p �'i P �qp � � � �#p � .

­���C��!e" � � � i P � � � � � � � � i # .

­+* *BC,� �(E�?bjGC�" � � �'i # R �qE8��P � � � � � � � � i # ~NlzL�E�?BFJLP � � � � P � � �$# � � � � � i # R � ����I��

Page 180: MATEMATIKA 1

[5.3] 5.3. LAGRANGEOV TEOREM 175

e=FHCGAxlh? i P � � � � P � � �

� � � .� FJi �J�G?v~��Ni`CGIJ?�1 M iN? ��C���enlhlz?Be:jGe�� �`?8eniN? ����1 M en~��NeDE�L � . � � R ��� �`CGADC:j FHC�E�?" � � � i # R �(E8�

P � � � � � � � �'i # � P � � � �M i # � i P � � � .� CGFHCTKqeni � �Jl C � ��� I � M eG~��XC:E�?

P � � �'i P � � �$# P � � � � � � � � Rf �`e¨E�?\FJi �o�nL1IHC,�8LzI *wC M Lz~`C�E�?8FJIHCGF�O���? � ���� ��b�«�iNL �VL�E�? �NL��!e�FJCT~ �!e � �!en�nlhL M iNenL�*8jGenlME�IJe%L*BC,�Ji`C �`L �JI ���XCGi6FJe��!?BIJ?�K �oIJA,�8LME�?G�

¬�CGAme *BC!~kjGCmA=L p j=iNLME�?8FJL�Kqeni����JlzC

P �qp �'i P � � �$# P � ��� � �#p � � � . � ����� �

l��\E�?8~��Ne � ~NCGFHC�~N? �$Kqeni � �JlzL�IHCGl C�*BL ��� R E�?Bi � e:j=Lz~�L�e p .&��(' ��� � ���43 ")���%� c`VSc�7 c!VSc%987�3 T 5=9D3�F�Z\XR3 ¯CZ0 �JIoA,�BL�ENCdE�? �!enIJe��NenIHC 1GCGAGe\iNCG~��N?�LzlzL M CmFHCo��«4eDE��Ve:j=LoADCGe f �`e\~��!iNCG~��C1 M CGF(1R~��`i�en�nLiNCG~��C1H~��NiNen�nL M CGF�K �JIJA,�8LME�?�1Hej�=ENC,f�IDE�?BIJL1~��siNCGIJLME�?�1���J����IJC!~ �`iB� �����o�5 5Wc�9;5=< �����$5x9m3�F�Z�XR3 ¯CZ 3f< c`VScH7/c`VYc%987G� � ����� ��������� ��� P O%Q S 0 � � ����=�%�(�����2�� � ������������ ���?�%� Q . 8 ���� � ��� ��� ��@�� ��� ������ ��R��� � ��������� ���*� � �) � �%� Q R �%�� ��� P �qp ��{ # .: � � ��)2� 4 ��� ��� P �#p ��{ # R �%�� ��������� ��� � � �) � �*=��� � ��������� ��� ������!�%� Q R �%�� ��� P �qp ��r # .: � � ��) � 4 ��� ��� P �qp �@r # R �%�� ��������� ���'������ �t�eGLz~��`C 1�CGAmevK �JIJA,�8LMENCoP iNCG~��N?$IHCvQ R eGIJFHCQ*wC M ej*8L �`L�j=IJ? � p j=i�LME�?BFoL P �#p #

� p ��{ P �qp � . K\FJC�`lh?P �qp # � p � � P �qp �

� p { # � � � � 6 �P �qp # � p � � P �qp �

� p i P �qp ��{ # .v AGe�K �JIJA,�8LMENC P M CmFHC 14enIJFHC�IHCfLh~��NL�IHC,�BLhI�1S*wC��¨E�?BI;E��DE����BL { ~ r R FJenlzC,*BL �Ve$Foe*BCGAxlME����XADC�FHC�E�? P �#p ��r # .

Page 181: MATEMATIKA 1

176 5. DERIVACIJE I PRIMJENE [5.3]

Kr�JiNC�`Ioe�1�IJ?BADC�E�? P �qp �0{ # *wC�~�jmCGAxL p . Q R L�Io?BADCTE�? � p�� # . ¬�CGFJC M e�4Cm�ni`CGIo�n?Be:jne�� �`?8eniN? ���

P �qp # � p � � P �qp � i P ��� � � p R � �������~ �`L��!?�FJC@E�? p � � � p # � p . �(��en� P ��� ��{ # R L � p�� # R ~NlzL�E�?BFJL(P �#p # � p ��{P �qp � R f �`e *8IHC,�BL�FHC%K �oIJA,�8LMENC PfiNCG~��N?G�'��C%Lz~ �`L�IHC,�8LzI�FoenADC,*��DE�? �Ve0FHC%L�* P �qp ��r #~NlzL�E�?BFJL�FHC�K �JIJA,�8LMENC P M CGFHC��

t�C M C,�8?,11L*� � ����� ��~N?Tj=LzFoL�FHC L�* P �qp � � # ~NlhLME�?BFoL�FHC�K �oIJA,�8LMENC ~��NiNen�Ge i`CG~ �`?�1L6FHCPL* P �#p � � # ~�lzL�E�?BFJL�FHCvK �JIJA,�8LMENCv~ �`iNeG�ne M CGFHCo�3Kr�Ji`C �`IJe�IJ? j=iNL�E�?BFJL}� ��CM iB�4K �JIJA,�8LMENCoP �#p � i p 0 ~��`i�en�neviNCG~��N?,1�IJe�IJL�E�? P �qp � � # *wCv~kjmCGAxL p . ��E�?�*BLhIHCFJ?Bi�LhjmC,�BL�ENC@E�? P �#p �'i¶µ p � M C�E�? � p i # E�?8FJIHCGADC�I"�olzLª�

�n� v AmeE�? T 5x9m3�F�Z�XR3 ¯CZ P �qp � IHC�LzI �N?Bi�jmCGl ��Q�� c�Cx3q7:36FSVSZ�1enIJFJC�K �JIoA,�BL�ENC P �qp � 987:9ec���c�9eZ 987w5�IHC�Q

��� v AmeE�? T 5x9m3�F�Z�XR3 ¯CZ P �qp � IHC�LzI �N?Bi�jmCGl ��Q]V�5=��Zo7:36FSVSZ�1enIJFJC�K �JIoA,�BL�ENC P �qp � 987:9ec���c�YZ T ZsIHC�Q

®%9D3(< ¯B5x9��1°h±� ������ � � ) �� ����� � �! � ) � �) �� ��������� ���P �qp �'i � p 0 � µ p � � µ�� p # & � .

���������������R� ' �(� � � ²� ���!�(� � �� �� � � ) �� ����� � � � �)-� ��������� ���J�� � � ) �������� � �%�� ��� � �:��� ����������� ��� ��������� ��� � � � )2��� �%� 4!� � � ) �� ����� �������� � � �%� � ��� � � �������������� ��� ��� ² ��) ��� �%� ��� ����������� ��� �! ��� � � ���������)2� �%�(� � �%��� � � �! � �)-���� �%��� �� � � ) �� ��� � � 4 ) � � � ) �� ��� � � � � ��� � � � �*������������ ���1� � ���)-����� �?' ��� � �/) �� ��! � � �! �%������)-���� �%�������?) �� ��� 4 � ��) � � �� )2� � ��� �%�(� � �%��� � � � ������������ ��� �%�� � ) �� ����� � � � � � � � � �/�����z³ �

P �#p �'i�� p � � � p � µ�� i � �qp � � p � � �'i # .: ���) � � �� � ��� �� p�� i � � R p � i µ . 8 ��� � �� P �#p � i � �qp #!��� �qp � µ � R ���*���P � � µ � i"� � � µ ##��� � � µ � µ � � # R P � # � i$� � # #���� � # � µ � � # R P �&% � i� �'% #(��� �'% � µ � � # . 8 ��� ���

p ��) � � µ )P �qp � # # � # #P �qp � * + *

Page 182: MATEMATIKA 1

[5.3] 5.3. LAGRANGEOV TEOREM 177

®�9D3}<�¯B5x9 ��°h±�� � ���� � � ) �� ����� � �! � ) � �) �� ��������� ��� P �#p �'i p�� p .

����������� ���x� � �� ��%� ��������� ��� ��� ��(� � ��%�/��� ���) � � � p�� # � �� p��i # R ) � �p��i & . � ����� � 4 �� ��%� ����� � P � i � # R & � �& R ) � . � ��)2� �

P �#p � i�� p�� p� i �� p � p ��

�� � p i �� p � &�� � p i # R

������ � �� � ��� �� �� p i & R �� �� p i�� . ��� �� ���� � � # R & � �� ����:������������ ���� � ���'� � ���)-����� 4 �) � �%� � � �� �%�/) �� �� ���� � � � � �)-��� � � �) � �%�(� � �%��� � 8 ��� � � � �! � �@� �=�%� ) ��)2�H�%��� � �%���/������������ ���*�%�@� � ) �� ����� � � � � # R & � R � & R � � � � � R ) ��.´�� � �!

P � &� � i �� �� � &�� � �� i � & � &� � & � �

� # R P ��� � �'i �� � � � &�� � � � i

�� � &" �� $ �

� # R

P � � � �'i ���� � � &�� � � � i � � &% � # .

' �(� � �*) �� �p # & � )

P �qp � � � # #P �qp � + + *

2'c�_ Z\[ V4365)_ 987:9;5=<>3�@?BADC�E�?%*wCGFHCmIHC%K �JIJA��BL�ENC PPOnQ�S 0 IJ? M iN?8AxLzFJIJe0FJ?Bi�LhjmC,�JLhlzIHCIHC0Q . ¬�CmFHC%j=iNL�E�?BFJLKqeGi ���JlzC � ����� �dIHC!~ �`i8� � � �

�@?BADC�E�? � . Q ~��`C,�BLhenIHCGi�IHC �Ne-�XADC *wC

f ’ (x)>0 f ’ (x)<0 f ’ (x)>0 f ’ (x)<0a a

4,5 687�9 ��� �����W:KF H ��B�9C7�H�FJ:k6 =9�L=6 EF < F���WeB�9��u9@�WD§=9 <�5 @X� 9uEA9h6 <?>qWG�39C5 6W7�W/H H F <�B=F'IA@CB�7�L=6 EFYrB 6 EF <?> 9�L=6 WeB�9J:B�9 >qW:��7�9

K �oIJA,�8LME�� P R �qE8��IJ?BADC�E�? P � � � i # . v AGeFo?BiNL�jmC,�BL�ENC P �qp � �VL�E�?BIDENC M i�?BF�*8IHCGA�ADCGF pM iN?BlzC,*BL M i�?BAme � R enIJFHC�K �JIJA,�8LMENC@L��VC � �`eW�XAxL� lzenADCGlhIJL�?8Ax~��`i�?����t¨C �JLh~ �!e�~N? � �`e �ojwE�?8iNLzlhL�1 M iNe���C�Ni`C;E�2

�!e��XCGADCwj¨e�NjneGiN?BIoL=LhI �`?BikjmCGlnenAme � R ��AGeDE�? �E�? P �qp � �i # R en~�L�� � � . «�i�? � M en~ �XCmj=L �Ve�FHCE�? P �qp � � # R *BC p � � R L1FHC\E�? P �qp � � # R*BC p�� � . ¬�e *BIJC,�BL�FHC�E�?%P � � � �qp � � � � # RADCGFV�ne=FV~�? p L � IHCGlzC,*B?�~dLz~ �`?@~��`iNCGIJ?@e�F � .­+*¨KqeGi ���Jlh? � ����� �d~�lzL�E�?BFJLu1�FHC@E�? P �qp � � P � � � R ��?�*\ej��*BLhi`C0FJC0lzL�~N? p IHCGlzC,*BL�lzL�E�?8jneLhlzL�FJ?B~�IJefe=F � . «�i�?��VC �Ne��!? � �Ne-�XAxL � K �JIoA,�BL�ENC$L��VC ~��`i�en�nL�lhenADCGlzIoL �!LzIJL ��� ���«�i�? � M en~ �XCwj=AmC P �qp � � # R *wC p � � *BIHC,�8L�FJCVK �JIJA��BLMENCV~��`i�en�ne M CGFHC�lhLME�?bjne!e�F � R

Page 183: MATEMATIKA 1

178 5. DERIVACIJE I PRIMJENE [5.3]

FJenA M i�? � M en~ �XCwj=AmC P �#p � � # R *wC p � � *8IHC,�BL�FHCK �JIJA��BLMENC�~��NiNen�ne%i`CG~ �`?@FJ?B~�IJeTe=F� RCM C�E�?�lzen�GL�wCmIr*wCGAxl�E����wCGA�FHC�K �JIJA��BLMENC�� � L ��C�~��`i�en�nLmlzenADCGlhIJL�!LzIoL���� ��� � lhL�8IJe��FJLz~�A"�o~NLME�e�� �VejO8?��!e *BCGAxlME����8L �NL1FHC!K �JIoA,�BL�ENC � � L ��C�~��NiNen�GL4lhenADCGlzIoL ��CmA=~�L������ 1CGAGe¨E�? P �#p � � # R *BC p � � R LYP �#p � � # R *BC p�� � .

� C��VesLz~ M L �`L�jmCGIDE�? M iN?8F�*BIJCGADC�Fo?BiNL�jmC,�BL�E�?VlhLME�?8jGevLdFJ?B~�IJe�e�F � IJL�E�?�FJe:jneGlME�IJe�1AmCme f �`e M enADC,*��DE�?�~�lzLzADC � � �o� ����OBIoe$E�?$IHC:E M iNL�E�? ���Nj=iNFoL �`L6FHCVE�? � ~��`C,�BLhenIHCGi�IHC�`eW�XAmC��

v AGe¨E�? P � � �'i # R L�CGAme M ikjmC�Fo?BiNL�jmC,�BL�ENC�� �Ne-�XAxL � �!LME�?8IDENC M i�?BF�*8IHCGA�1�enIJFHCK �JIoA,�BL�ENC P �qp � L��VC�� �`eW�XA=L � [ c�_-Z\[uV43�5)_ 9b7:9;5�< 1JL �`e

�n��CGAme\E�? P �qp � � # lzL�E�?8jne�e=F � LYP �qp � � # FJ?8~NIJeVe�F � RenIJFJC¨E�? � � [?c`_-Z\[ V�3d< Z�_ 9B3}<o^4<����CGAme\E�? P �qp � � # lzL�E�?8jne�e=F � LYP �qp � � # FJ?8~NIJeVe�F � RenIJFJC¨E�? � � [?c`_-Z\[ V�3d<>3 V�3(<o^�<

®%9D3(< ¯B5x9��1°h± � ������ � ����� ��� �����)2��� � � ��������� ���P �qp �'i &� "

p � # & $ �������dp � � � p � � p � &� .���������������R�28 �(�9��� �%������)-���� �%��������) �� ��� 4 � � �=�%� ) ��)2� �� � � � ����� � � ������������ ���

� � ��������'�%�(� � �%��� �P �qp �'i � &� " p � # & $ ��������p � � � p � � p � &� � i p ���������p # & # p �� &

& # p �� � p% � &� i � � p% # p ��������p i � p � � � % ���������p �

% .

� p � � � % ���������p �% i # �

p i # R���������p i � � � p i & .

� ) ���� �%������� ��@) �� �����%�(� � � ) �� � p i"# � p i & . � �� ��%� ��������� ��� ��� 0 R ���� � � �=�%� )2�����������;�%��� � �%����� ������������ ��� �! ��� �! � ���)2� �%� � �9� � ����� � � ������� �6´�� � �!

P � � � µ i �% � µ � # R P �� � µµ� i � �& �� µ � # R P � � µ i �% � µ .

: ���) � � � �2�� �! ��* ��������� ��� � � � � ����� � � � ������ � � � � ) �� ��� p i # R ��� ����� � �� � � � � � � � ) �� ��� p i & .�� ��� ��� P � # � i �� R � P � & � i � � R ) �� ��� � ������ � � � � ���" # R �� $ R �!) �� ��� � � � � � � � � ��� " & R � � $ .

Page 184: MATEMATIKA 1

[5.4] 5.4. TAYLOROV TEOREM 179

&��(' �}' � ")����� ��n�h��C,�8L1~��XC��BLzeGIHCGiNIo? �`eW�XAG?�~NlME�?8FJ?C�8L�$K �JIJA��BL�ENC

��� p 0 � � p � #�� p � % R � � � p& #p � R ��� p � � µ p #(�p � # � p # &

R� � �������dp � �� � & # p � ��

R � p � � R � �����Jp # ���� � p�

��� K\FoiN?BFoL �`L�LzI �`?8i�jmCGlz? �!enIJe�`enIJeG~��`L!*wC�~Nl�E�?BFJ?��B?\K �JIJA��BLME�?��� � # p � p � R � � p

& #p � R ��� � p 0 #|µ p � � & �

p � % R� � p � � µ p � %p � � p #(� R � � � � � p # ����� � p R � �qp 0 � µ p � # � p � & ��� �

�o�h��C,�8L�~��`C,�BLhenIHCGi�IJ? �Ne-�XAm?,1JLhI �`?BikjmCGlz? �VenIoe��`enIoen~��NL�L�?BAx~��NiN? �V?\~�lME�?BFo?C�BL���K �JI-2A,�BL�ENC

��� p � � � p # & � R � � p � � � R ��� p �� p R� � � p 0 � � p � # & � p �� R � p # &p R � p � � � p �

���� ���� ��8����� ��������� ������� ���� �!�"#������ $�%�1��"

&�� 1h��) � ������.�� �!�#")�©. ���-��� � ������ _`Xn5W[q5=9eZ\XR3 ¯CZGCGFJC�~N? �NLME�?8lze@�nL�HC M e M i`Cwj,����IJ?�E�?8FJIJenlhLzAme�1GIDE�?8�ne:jmC �JiD*8LzIHC�~N? �!LME�?8IDENCo�4«�iNe��¨E�? 2IJC]�JiD*8LzIJ? M e%E�?BFJLhIJL�8L4j=i�?��!?BIHC *Be:jG?!~�?�CGA,�8?Blh?Bi`C��BLMENC (iN? �XCGi�FHC,�8LMENC ���%«�i�?C�BL�*BIJL�E�?,1FJC,Foej�JLME�? �Ve>CGA,�8?Blz?8i`C,�8LME�� � e=FJiN?8F 2 ?BIJe�� �`i�?BI ���NA"� � R �NiN?C�JC,iNC,*BlhLzA �N�Ji *BLzIJC ��NiN?8I"� �BL��VC � L � # � � M e=FJLME�?8lzL �NL�~ � � R L%*BC�`L � M �J~ �`L �NL�FJC � � S # . ¬�CGAGefE�?CmA,�B?8lz?8i`C,�8LMENC � �NiN?8I"���`A � �

� �� �'i ��� � 6 �� �� # � � � � � �� �

� �.

t�CGAxlz?,1�CGA,�8?Blz?8i`C,�8LMENC¨E�?TFJ?Bi�LhjmC,�8LMENC �oiD*BLhIJ? M e�j=iN? �V?8I"��� ��e �Ji *BLzIJCE�?TFJ?8iNLhjmC,�8LMENCM ���XC M e�j=iN? �V?8I ��1 � ��� �'i � �� � R�M C�E�?

� ��� �'i � � � 6 �� �� # � � � � � ��� �

� �R

Page 185: MATEMATIKA 1

180 5. DERIVACIJE I PRIMJENE [5.4]

�(E8��CGA,�8?Blh?Bi`C��BLMENC\E�?0FJ?8iNLhjmC,�8LMENC�FJ?Bi�LhjmC,�8LME�? M ���XC M eVj�i�?��!?BI ��� ��C�`eVAmC�OB?��!e FHC¨E�?CGA,�8?Blz?8i`C,�8LMENC�FJi��J�RC�FJ?Bi�LhjmC,�8LMENC M ���`C M e�j=iN? �V?8I"�(1�L M LfN? �Ve

� ��� �'i � ��� � � � ��� � �

GCGe f �`e�~N?�L�*�e:jn?�FJLh~NA �J~NL�E�?�j=LzFJLu1:FJi �J�nC�FJ?Bi�LhjmC,�BL�ENC�E�?�FJ?8iNLhjmC,�8LMENC M i�jn?�FJ?8iNL�jGC��BLME�?m�®%9D3(< ¯B5x9��1°h± ! ������%� � � � � � � �������� �� ���� ��� � ��) ���� ����� ���*) �� ���*� ��� � � ² � ��� � �%� ������ �%�(� � � � ��� � � ² � ��������� � ��� �'i & #

�& � � �0 � � .

���������������R� ! � � � �%� ��� ����������� ���2�%��) � � � �(� � �� � 4 � �������� �� ���� ��� ��� ����� ������� ��� � � � � ��� � � �(� � �� � � ' �(� � �!) �� �2� � � � �%� ���� �� � i � �� � i " & # � & � � �0 � � $ i & # " & � � �0 � $ i & # " � � �0 � $ � � µ�� i µ�# � �0 � R� �������� �� ���� ���� ��� �'i � ��� �'i � �� �'i#"�µ�# � �0 � $ i µ�# "�� �0 � $ i¶µ�# "�� �0 � $ � � µ�� i � ��#�� �0 � .� Z�_�9D3�FS[ ¯B5WVYc%987 _�9D3�FS^ [ ¯B5

K *wCGAxiNL�j=lME�?BIoen~��NL �!ejOB? �Ve��ne:jneni�L �`L4~`Ce2

(x) (x+ x)

ss

τ τ ∆

∆τ

∆τ∆∆

(x) (x+ x)τ τ ∆

4j5 687+9 ������� ���(@N¦Y6 < >qWb^6��@D> 9����N�k�e7 @ > > 9CB �^�FJBD>?F��J:KF �m9�W <�6���H8Wb¦D6 6�B�9�H F <�B`W+E-7 :;6 C@�5 E 6=F��J@��J:aW �\EGFJBC@�� ���D�

�!eVAme�FP�Gl C�NA=L��fAxi�Lhj"�JlMENC-1 �qE8��Ame�FsA=i�Lhj"�Jl�ENCAmeDE�? ��~�jmCGAGe;E �Ne-�XAxL�L ��C;E����XCGIJ�G?BI � ��1oL M i�L�Ne�� ~N?��`CGIJ�n?8I �`C%IJ? M iN?8AxLzFJIJe �!LME�?BI;ENC 1RADCGFFJLhi`CGlhLf �`?�A=lhLO8? M e Axi�Lhj"�JlME�L}� ¬�e *8IHC,�8L\FHCK �JIoA,�BL�ENC P �#p � R �8LME�LwE�?��niNCmK M iNe���C�Ni`CGIJC�AxiNLk2j"�Jl�ENC 1 �VeniNC �JL �NL�IJ? M i�?BAxLzFoIJesFJ?8iNL�jGC��JLzlhIHCo���CGAxi�Lhj=lME�?8IJen~��6E�? �Ne�jG?C�BC 1mf �`e�~N? �JiDO8?��!Lk2E�?8IDENC�A ��� �XCmIJ�n?BI �N? M iN? ��C eG~NL p . � FJi �o�n?~ �`i`CmIJ? *BCGAxiNLhj=l�E�?BIJen~ ��E�? �`e �VCGIDENC-1�f��Ne�E�?F �olME�L M ��� M efAxi�Lhj"�JlME�L M e��NiN?��HCGI�FJC�~�?VFJe32

�ne�FoL�e�FoiN?BF 2 ?BIHC M iNe��\E�?8IHCTA ���XC �XCGIo�n?BI �`?m��@?BADC �`CGIJ�n?8I �XC�IHC!Axi�Lhj"�JlME�� � �Ne-�XAxL �qp R P �qp ��� *BC�NjmCGiNC!~@en~�L p A ����� �qp � R C �

�`eW�XA=L �qp # � p R P �qp # � p � � A ����� �qp # � p � R L�IJ?8ADC�E�?6F �olME�LzIJC@l �JADC@AxiNL�j"�JlME�?dL* �V?8F 2 ��`L� �`eW�wCGADC � � �qp � . t�?��HIJLhi`C��!e M i�en~qE�?��BI � *wCmA=i�Lhj=lME�?8IJen~ �TAxiNL�j��olME�?!> i P �qp � IHC~N?B���V?8I � ��� p R p # � p�� Kqeni � �Jlze��

�� i�����

� �qp # � p � � � �qp �� � �qp � ����

.t�C�FJej�oLME�?��!e *wCGAxi�Lhj=lME�?8IJen~��4AxiNL�j"�JlME�? � �Ne-�XAxL �qp R P �qp � � R �`iN?��HC M �J~��NL �NL=FJC��`eW�XADC

�qp # � p R P �qp # � p ��� A=lhL*8L M e�Axi�Lhj"�JlME�L M iN? ��C �qp R P �qp ��� . ¬4e�~�?VeG~��NjmCGi��DE�?��XCmAGe

Page 186: MATEMATIKA 1

[5.4] 5.4. TAYLOROV TEOREM 181

FJC M �J~��NL��!e!FJC � p S # . ¬�CGAme�~N? �Ji�eDE� �#p � i�����

��� � 6 �� �#p # � p � � � �qp �

� � �#p � ����R

CmAGe M en~ �`eDE�Lu1�*Be:jG?2C Z�_�9m3�FS[ ¯B5WVYc%987Axi�Lhj"�JlME�?�> i P �#p � � �`eW�XAxL p .� � �qp � E�?�F �Jl�E�LzIHC�l��oAmC!AxiNLhj"�Jl�E�? > i P �qp � IJCGFv~N?8���!?BI �`e�� � p R p # � p�� . ¬�C;E

l �JA �!ejO8?��!e M iNL�olzLO8IJeTL�*Bi`C����JIHC �`L

��������� � ����������������������������������������� � �"! ������������������������� # ��$ ��� $&%K¨FHC�'`lh?

�)( p+* i ��������

� � � 6 �-,/. � � �10�2 ,/. �10 �

� � � 6 �43 & # � < . � � �10�2 < . �10 � ���������65G@e�?��7BL�E�?BI8'$~:9\E�?8i`C;'`CGIJ�n?8I<'N?vIHC>AxiNL�j>=JlME:=?=@'`e>AXA=L p E�? ��� � ( p+* iCBEDF( p+*1G CH='NeIAXAxL p # � p E�? ��� � ( p # � p+* i B D ( p # � p+*

5� lhLME�?8FJL � ( p+* i JLK ����� B D ( p+*1G� ( p # � p+* iMJLK ����� B D ( p # � p+*1G L

�)( p+* i ������

��� � 6 �ONQP ��R�S <UT . � � �10�2 NQP �FRVS <WT . �10 �

� � � 6 � � & #M(�B D ( p+*:* � ������ 5�1LV9V?8~ ��� � 6 �

JLK ����� B D ( p # � p+*-X JLK ����� B D ( p+*� p

E�?�FJ?Bi�LhjmCL7BL�ENC�KF=JIoAL7BL�E�? JLK ����� B D ( p+* qj�� �Y�������IHCT~Z'`i �[Y�� �b��¬�e�E�?¨~�lze]\8?BIHC0KF=oIJAL78LMENC_^` C�E�? � � � 6 �

JLK ����� BEDF( p # � p+*-X JLK ����� BaDF( p+*� p ib(cJLK ����� B D ( p+*d* D i &

& #M(�B D ( p+*:* � (�B D ( p+*d* D 5t�CGAxlz?L�AGe=FfeBCGAxiNLhj=l�E�?BIJen~Z'`L1~�?%~:=J~Ni�?/gB?h9VeV~ ` eL'NiN?/i�e]9 FJC!~�?%FJ?8iNL�j�Lhi`C�FJ?8iNLhjmCL78LMENCKF=oIJAL78LME�?G� v Ame�~:'`Cwj�LV9Ve (jB D ( p+*d* D ikB D D ( p+*1G enIJFHC�Kqeni:9l=Jl CmeBCneBCGAxiNLhj=l�E�?BIJen~Z' ` en~Z'XC;E�?�)( p+* i s B D D ( p+* s

� " & #o(�B D ( p+*:* � $ 0 5�Y���� ���

®�9D3}<�¯B5x9qp�°h± ��� �� � � �! � �������� � ���� �) �� � ��� � �1rs r #bt r� r i & � ²� ������� � ) ��� � �� ��%� �� >

5

Page 187: MATEMATIKA 1

182 5. DERIVACIJE I PRIMJENE [5.4]

�¨¯B5��B5���¯B5���� ��� � ����������� � ��� ��%������� �� � ��� � � > G � ����� �! > i?> � � � & X p �� � �� ��� �%� �/� � ) ��(� �� � � � ��������� � ���� �) � ²� ������� � ) ��� � �� � �%� �� > G ) �(�9��� �����) �

²� ������ � � � �� � ���� � : �%� ��� ² � � ��������� ���

B-( p+* i � 3 &X p �� � i �

�� � � X p �

58 �(�9��� �%������ ��������� � ���� �) � p i #

5B D ( p+* i X � p� � � � X>p � G B D ( # * i #

B D D ( p+* i X � �(�� � X p � * � � � X>p � G B D D ( # * i X � �(�� � * � � � i X �� � 58 ��� ��� 4 �%�(� � � � � ��� � &)( ����*9, 4

�)( # * i �

� � 5��5x9D3�F��R3 ¯B5 F�3��85=� 9;5� �G�e=F ` i�e]iJlh?/9VC\CGAL78?Blz?8i`CL78LME�?@LewCGAxi�Lhj=lME�?8IJen~:'NL ` e;ENC:j=Lhl C\~N? ` e�'`iN?hiHC ewCFJ?Bi�LhjmCL7BL�E�e]9FJ?Bi�LhjmCL7BL�E�?�KF=JIJA�7BL�E�?G��+6iNe;E

B D D ( p+* i � � � 6 �B D ( p # � p+*-X B D ( p+*

� p GCGAGe ` eG~:'`e;E�L�^ e8e:jn?/9!e� �9��4��c�< �5x9m3�F�R3 ¯Cc�< ���������R3 ¯B5 B � 7������13 p

5v AGe

KF=JIJAL78LMENC B D L�9VCTFJ?8iNLhjmCL78LME:= =�~�jmCGAmeDE '`e>AXAxL�^JeGIJFHC�~N?\KF=JIJA�7BLMENCI^HAGeDENC p ` i�?B~NlhLzADCwjmC= B D D ( p+* eLeBIHCLABCwjGC B D D L e8e:jn?� 49������ 45x9D3�F��R3 ¯�����������R3 ¯B5 B � �Cl'XC;E�IHCLABLhI 9Ve]\8?/9!e�IHCG~Z'XCwj=LV'`L}� v Ame ` en~:'NeDE�L

B D D D ( p+*"! � � � 6 �B D D ( p # � p+*-X B D D ( p+*

� p GenIJFHCv~�? B D D D ( p+* eBe:jn?$7:9;5�#$% 45x9D36F&��R3 ¯�'���(�����R3 ¯85 B �u7)�*����3 p

5� v Ame$E�? B D DFJ?Bi�LhjmCLiJLhlzIHC�=f~kjGCmAGeDEm'`e>AXA=Lj^oenIoFHC�~N?IDE�?/e8LzIHC�FJ?8iNL�jGC�7BLMENC eBe:jn?7:9;5�#$+ 45x9D36F&��R3 ¯�

���(�����R3 ¯85 B ^xLV'NF�� t�i:=J�RC_^8'NiN?/gBC_^��B�B�dFJ?8iNLhjmCL78LME�?�~�? eBe:j>=, �5x9D36F&��R3 ¯85 F�3-�B5x�s9;5� ���K\Io?@~�?�e]iJL�A8IJee]eBIJCLAwCwjmC;E:=!e;jmCGAme B D D G B D D D G B�.0/ G

56565G CGlhLJLJe:jmCGAGe B . � 0 G B .01 0 G B .32 0 G

56565G

LzlzL"4 r <4 � r G 4 � <4 � � G 465 <4 � 5 G

5/565

Page 188: MATEMATIKA 1

[5.4] 5.4. TAYLOROV TEOREM 183

®�9D3}<�¯B5x9qp�°h±�� � ���� B .01 0 G ��� ��� B-( p+* ! &X>p � X�p �

5����������� ���x�t´� � �! B D ( p+* ! X � p X %�p 0 G B D D ( p+* ! X � X & �p � G B D D D ( p+* !X � %�p)G B . � 0 ( p+* ! X � %�G B .31 0 ( p+* ! #

5®�9D3}<�¯B5x9qp�°h±�- � ��������� ² � ������������ ���� ��������� ���

B-( p+*"! p �� X � p JLK ��� J � p #"���( & # p � * 5����������� ���x��´� � �!

B D ( p+* ! p X �OJLK ������p X � p& #p � # &

& #p � � p ! pqX �OJLK ������p

B D D ( p+* ! & X �& # p � ! p � X &p � # & 5& � 1 � � � ������-�o-4. /�1-�� �� + ���������¶.�� ���������- + /��

� ����-��9 � F 7:5 ��9;5=<� 5���9;5=< -�� � ���� ��9���F¶7:5 ��9;5=< �B9;5� ���¯B5MF19D3 ¯B5� (�����87;3 �! #"%$'&)(*" B O1QtS +, " ��- "%$/.10 , &3254 , $�67. (8& 4 . , "%$'&9.;:<& , " ��- "%$/.10 , " ��� "<0=" - . � &=67. (*"<0=>@? #BADC >N² - "E0�&, &0Q G . , "%$'&F(*" �!G Q

58H&�0�& 4 � & ��� &/$/. p G Q G � > �7I >J(5.�K � . � :!"L0 C 4 � . p I &/$'& � 0�&

(*"

�������������NM8�� � D �NM]��*O ���l�PM8��RQ%Q%Q/� ��S��NM]�T O

���l�UM8� S � ��S � � �NV � �� T ���1�WO ��� �PM8� S � � %X;YDZ\[][_^

`Heni:9l=Jl C jY������ ��~�? e8e;jG? � ����-��9 � F&�� ��9m<+���-�^HC�~`CG~Z'`eDE�L�~N?e=F ` enlhLzIJeL9�Ca S ( p+* ! B-(-� * # B D (�� *

ADb ( p X � * # B D D (�� *��b ( pqX � * � #dc]c]c # B S (�� *

? b ( p X � * S G�Y����� �

AmeDE�L1~N?�eBe:jG? � ���� ��9 � F � ���}3-����<?^oL�ewCmFJIDE�?B� ABlzCGIHC� S ( p+* ! B S � � ( K � *( ? #eA * b ( pqX � * S � � G �Y����8Y��

Page 189: MATEMATIKA 1

184 5. DERIVACIJE I PRIMJENE [5.4]

AGeDE�L1~�?�e8e:jn? � �b7�o7����¬�C � lzeni�e;jmC$Kqenid9 =Jl C$e]9!en�]=�gBCwjGC�C ` iNenAx~NLV9�C�7BLME:=PKF=JIoAL7BL�E�? ` enlhLzIJe]9!e]9���¬�CmAGeIHC ` iB�eBC@? ! A LV9�CL9!e

B-( p+* ! B-(�� * # B D (�� *ADb ( pqX � * # B T T ( K � *

�=b ( p X � * �5«�i�L ` CmFJIJL�¬�C � lheniNe:j ` enlhLzIJe]9¶E�?

a � ( p+* ! B-(-� * # B D (�� * ( pqX � *5 �E�?8�ne:j��niNCmK�E�? 'XCGIJ�G?BI8'XC0IJCTA=i�Lhj>=Jl�E:=�� !

a

f(a)

T (x)

T (x)

T (x)

1

5

3

��� ��� ����� � � �����aW������ ������ �������� �!�"� ��# �$&% �� W'�aW (� �t��W)� ��NW �*� ��

B-( p+* =@'`e>AXA=L (�� G B-(-� *:*1G '(E8� ` i`CwjmCL7L^@AGe;E�L~N?�^He�F$~kj�L,+ ` i`CwjmCL7wC�AmeDE�L ` iNeGl CLe8? '`e>AXAGe]9(�� G B-(-� *d*1G IHC;E:i�enlME�? ` iNLhlME:=�iolME:=DE�? =�e\AxiNL�jI=.-lME:= =�enAGeGlzLzIoL+'`e>AXAG? (�� G B4(�� *d*5K\~Z'XCGlhL�¬�C � lzeni�e:j�L ` enlzLhIJe]9!L�L�9VC;E:= 'XC�-AGenF - ?8i%~kjneDE�~Z'NjGePFHC_^4L�e/9!?BF - =�~kj�L,+ ` enlzLhIJe/-9�CtLz~Z'`en�t~:'d= ` IDENC_^�AmeDE�L ` iNenlzCLeB? '`e>AXAGe]9(�� G B-(-� *d*1G IHC:E:i�enl�E�?�C ` iNeGA=~�L�9!LziNC;E:= KF=JIJA�-7BL�E:=�=�enAmenlzLhIJL+'NeIAXAm? (-� G B-(�� *:* q~Nl}�aY�� ��� �b�­�e�~NlhLzAG?�~�? 'XCmAGenF - ?8i4j=LzFoL=FJC��niNCmK ` enlzLhIJe]9VCm9VeL\B?�eBIHCLABC;E�IJe¨e=FJ~Z'W= ` C '`Lxe�F%�ni`CDK(CKF=JIJAL78LME�? = '`e>AXADCL9�CI^JAGeDE�?�~d= ` e�FHCmlME�?¨e=F '`e>AXAG? (�� G B-(-� *:*

5®%9D3(< ¯B5x9 p1° � 3&.07.%8H&$1)2 > - >)354 >)2�. , >/: µ56 I 474 , (8&�254 , $�67. (*" B-( p+* ! � � G � & � !8 G .94 >/:!>7074 , (*"ª²�&<. �L- &.:74 , & I .94 - .<; 2�.>= , > 5� �5? 67. (*" , . I .�² - " � $/4J�

���������������R�A@H&$1)2 > - >)3/&F2*> - : 4B2 &DC]& ? ! µ . � ! 8 ²$2 & 6 .� � ! B-( 8 * # B D ( 8 *�p # B D D ( 8 *

�p � # B D D D ( 8 *

�pFE # B�.0/L( K � *

� %pHG G

@H&$1)2 > - >)3I4 >)2�. , >/: µ56 I 474 , (8&F(*"

a E ( p+* ! B-( 8 * #?B D ( 8 *�p # B D D ( 8 *�p � # B D D D ( 8 *

�pFE5J 3/&/$'& 0=" - .�3/&=67. (8& >L0 � � (*" � � G 4�&�(*" I1- &7=/" , .K@H&$1)2 > - >)354 >)2�. , >/:

a E ( p+* ! A!# p # p �� #p E� 5a E ( p+*ML � � G 6 I .;: 0�&f² - " � $'& , . (*"N3'"�0E& >L0 :<&/$ 6 .;:<&$2 , " &(4 6 >)2�4 I , "O3 - . (*"E0 , > 6 I .

> 6 I & I $'&R�P@ >QC , &.:7.0�&�(*"5� � ! �SR5 L a E T A

%VU !% �nµµ � % ! A

5�� µ �XW

5

Page 190: MATEMATIKA 1

[5.4] 5.4. TAYLOROV TEOREM 185

� - " � $'& , . (*" 3'"�0E& >L0�qJ�� ����

B .0/ ( K � *� %pHG ���� ! � J�� ����

������ %pHG ���� 5K � 6 " , &$2 &7CL. 4 - "7:<& @ &$1/2 > - >)3'>/: I "%> - "7: 4� .>CL:!"L0 C 4 � ! 8 . p ! �G

5� 4 , $�67. (8& � �6 I1- >N²=> - & 6 I " 4�&�(*" �qJ���� ��� ! � R5 � µ

5� - "7:<& I >/:!"

�qJ�� ���������� %p G ���� �

µ� %

A% G ! A� 8 % � � A

� 8�8�8 ! 85W��

A 8 2 E ! 858�8�8 W

5�#&/$)2 "A

5�� µnµ W � 5� � � A

5�� % µ W

52���� ��� ��3q7) �-����� �49 ��13 � �������en~ ` LV'`CGlze:jGe ` iNC:j=LhlzeseL9Ven�L=�gwCwjmCfIHCml CL\8?BIDE�?!lzLV9V?8~`C$KF=JIJAL78LME�? ` e]9!e]g/= FJ?Bi�LhjmC)-78LMENCo��� ~NlV=�AwC;E�?bj=L�9VC�ADCGF>IoLME�?¨E�?BFJIJeG~:'XCwj=IJevIJCLgBLdlzLV9V?8~/^ ������eG~ ` L 'XCGlhe;jGe ` i`Cwj=Lzlze9!e]\8?�iJLV'NIJe�enl CGA��NC�'`L�iNCLA/=oIHCGIDE�?m�d¬4e ` i`Cwj=Lzlhe�E�?FHCGIJe�Kqeni:9l=JlzeL9

� ��"! s B-( p+*#�( p+* ! � ��"! s B D ( p+*# D ( p+* 5�Y������ �

«�i�L�'Ne]9 � 9VeL\B? iJLV'NL�iN?wCml CGI iJiNe;E%LzlzL�$ )5�@jwE�?1'`L�ewC ` i�L�9¨E�?BI<= '`en� ` i`Cwj=LzlzC�~:=~�lME�?8FJ?/g8Lª�`=JIJA�7BLME�? B L # 9VeniNC;E:= iJLV'NL�FJ?8iNLhjmCLioLzlzIo?L^oL�9VeniNC iJLV'NL

� ��"! s B-( p+* ! 8 L �% ��"! s # ( p+* ! 8LhlzL

�% ��"! s B-( p+* ! $ ) L � ��"! s #�( p+* ! $ )

5& i=ENCG~�IJL�9!e jmCGl�ENCGIJen~Z'�Kqenid9l=olz? =�E�?8FJIJen~Z'XCwj=IJLME�?h9 ~�l�=�ABC;E:= ADCGFtE�? � iN?BCGl CGIioiNeDEh^�L�ADCGF�E�? � � �"! s B-( p+* ! 8 L � � �"! s #�( p+* ! 85� 'Ne]9 ~�l�=�ABC;E:=�E�? eBC ` iNC:jGeB4(�� * ! 8 L #�(�� * ! 8 G L�j�i�LME�?8FJL

B4( p+* ! B-(-� * #�B D (�� * ( p�X � * # B D D ( K � *� ( p�X � * � ! B D (�� * ( p�X � * # B D D ( K � *

� ( p�X � * �L

#�( p+* ! #�(�� * #'# D (-� * ( p X � * # # D D ()( � *� ( p X � * � ! # D (�� * ( p X � * # # D D (*( � *

� ( p X � * �5

Page 191: MATEMATIKA 1

186 5. DERIVACIJE I PRIMJENE [5.4]

«�i�?/9VCl'`e]9!?� ��"! s B4( p+*# ( p+* ! � ��"! s B D (�� * ( p X � * #�� T T . � � 0� ( p X � * �

# D (�� * ( pqX � * #�� T T . 4 � 0� ( pqX � * � 5«�e=FJLME�?8lzL�9!e ioiNeDE�IJLhA�L1IHC�eBLhj=IJLhA�~ p X � G ` C�Foe]iJLhjmCL9!e� ��"! s B-( p+*#�( p+* ! � ��"! s B D (�� * # �

T T . �)� 0� ( pqX � *# D (�� * # � T T . 4 � 0� ( p X � * ! B D (-� *

# D (�� * ! �% ��"! s B D ( p+*# D ( p+* 5®%9D3(< ¯B5x9 p1° �� � >/:!>7074��� #> 6 4�. I &$2 >)3'>N² 4 - &$3].�2 & , &.07. � ��"!�� � � pp5���������������R�

� ��"!��� � pp ! � ��"!�� ( � � p+* D( p+* D ! �% ��"!��

�����JpA

! A

5 AGeT~ ` i�j=LV9�FJ?Bi�LhjmCL7BL�ENCL9VCIo? =J~ ` LME�?h9Ve�^8'qE8��CmAGeT~�?�FJen�Ge�FJL �% � �"! � B D ( p+* ! 8L � � �"! � # D ( p+* ! 8 G eGIJFHC_^�=�e ` iN?1' ` en~:'`C:j=A<=tFHC j�i�LME�?8FJ?lewC B D G # D Lh~:'`L =ojwE�?h'NL�ADCGeewC B G # L�9VCL9!e

� ��"! �B-( p+*#�( p+* ! �% ��"! �

B D D ( p+*# D D ( p+* G

LV'`F��®%9D3(< ¯B5x9 p1° �± ´"C - &.:74 , & I . � ��"!�� �

p E5���������������R�

� ��"!�� ��

p E ! �% ��"!�� � �µ p � ! �% ��"!�� � �

� p ! � ��"!�� ��

�! )

5 @?Be=FJiN?8F - ?BIJL4e]iJlhL�78L4IoLz~d=s~`CL9!e �� LzlhL �� jn?/g�L 8 c ) G ) X ) G ) � G 8 � G A �5�'`L�9 ~�l�=�ABC;E�?8j=LV9�C 'XCGAmenF - ?Bi 9!e]\B?h9Ve ` iNLV9VL�E�?BIJL '`L�������en~ ` LV'`CGlze:jGe ` iNC:j=Lhlze�^�CGlhL ` iNL�E�?'`en�RC 9!eni`C�9Ve0KF=oIJAL78LME:=s~kjn?8~:'`L4IHC�e]iJlhLzA � � LzlhL ��

5«4enADCL\BLV9Ve�IHC ` iNLV9\E�?8iNLV9�C�AmCmAGe~N?�'`e�i`CmFJLª�

��� �(3 � 8 c )5«�i�e�F�=oA<'n'`i�?/iHC ` iNLzADCLeBC�'`L�ADCGe ARjGeI78LME�?BI8'�qFojne;E�IJL�iNCLeBlhe]9�CmA � ^ ` C~N?�'XCGFJC�iNCGFJL1e�E�?BFoIJe]9 e=F��neniNI;E�L +$e]iJlhLzADCo�

®%9D3(< ¯B5x9 p1° � ´"C - &.:74 , & I . � ��"!���� p � � � p5���������������R�

� ��"!���� p � � � p ! � ��"!����� � p�� r ! �% ��"!����

��X ���� ! �% ��"!����

p �X � ! 85

Page 192: MATEMATIKA 1

[5.4] 5.4. TAYLOROV TEOREM 187

� � �(3-� ) X )5­�eBlV=�ABL�jGCmIDE�?/9 ~�?0~kjn?BFo?0IHC�e]iJlhLzA 8 c ) G L�ewC�'NL�9 ~�?%iNCGFJL�ADCGe =` iNL�9¨E�?Bi:=�Y������o�

®�9D3}<�¯B5x9qp�° �� ´"C - &.:74 , & I . � ��"!����T Ap X A

� � p U 5����������� ���x�� ��"!����

T Ap X A� � p U ! �% ��"!���� A

� � pT � � pp X A U ! �% ��"!����

� � p X pp�� � p !

�% ��"!���������HpqX A

� � p # p �����Jp ! �% ��"!����X � � p

� �����op X p�� � p ! 85� � �(3-� A �

5�1en�RCmiNLV'd9VLhi`CGI;E�?/9 ~N?�e:jmC;E%e]iolzLzAs~�jn?8FJ? IHC 8 c ) G L eBC�'`LV9 ~N?�iNCGFJLADCGe = ` iNLV9\E�?8id=�Y������o�

®�9D3}<�¯B5x9qp�° ap ´"C - &.:74 , & I . �% ��"!�� (JA # p+* R�5����������� ���x�

� � �% ��"!�� (JA # p+* R� ! �% ��"!�� � �)(JA!# p+* R� ! �% ��"!�� Ap � ��(JA # p+*! � ��"!��

� ��( A # p+*p ! � ��"!���� � �A

! A

5? 0�& I 2 "�% ��"!�� (JA # p+* R� ! �

5� � �(3-� ) �

5�1en�nCGiNL 'W9!Lzi`CmIDE�?/9g~N?!e:jmC;Ee]iolzLzAf~�jG?BFJ?VIHC 8 c ) G L ewC�'NL�9 ~�?ViNCGFJLADCGe = ` iNLV9\E�?8id=�Y������o�

®�9D3}<�¯B5x9qp�° � ´"C - &.:74 , & I . � ��"!����TA # Ap U �

5����������� ���x�

� � � ��"!����TA # Ap U � ! �% ��"!���� p � � T

A # Ap U !

�% ��"!����� � � � ����

! �% ��"!������ � ��� X �� r��X �� r ! � ��"!����

pp #eA

! 85? 0�& I 2 "

� ��"!����TA # Ap U � ! A

5

Page 193: MATEMATIKA 1

188 5. DERIVACIJE I PRIMJENE [5.4]

��� �(3 � 8 �5��eG�RCGiNL 'W9!LziNCGIDE�?/9 ~N?\e:jmC;E�e]iJlhLzA�~kjn?BFo?\IHC 8 cL( X ) * G L+ewC�'NL�9�~�?\i`CGFJLAmCme = ` i�L�9¨E�?Bi:= Y=�������

®%9D3(< ¯B5x9 p1° ��¶´"C - &.:74 , & I . � ��"!�� p������ �5���������������R�

� � � ��"!�� p������ � ! � ��"!�� � � p � � p ! �% ��"!��� � p������ �

!

� ��"!����2�� � �

����� r � ! � ��"!��X � � � pp ����Jp ! X � ��"!��

� � pp � � p�����p ! 85? 0�& I 2 "

�% ��"!�� p������ � ! � � ! A

5� ����-��9 � �|3 �R2 ���9D3���� �|9;5� AGe�KF=JIJA�7BL�ENC!LV9�C�FJ?8iNLhjmCL78LME�?�iJLhlze�AmeDE�?B�ViN?BFJC_^HenIJFHC�L�9VCL9!e�¬�C � lzeGiNe:j>=�Kqeni:9l=JlV=KF=JIJAL78LME�? B eBC ioLzlze%AGeDE�L�?

5 Ame ` =J~:'NL�9!eTFHC ?fS ) G enIJFHC�~�?�9Ve]\8?\FJen�ne=FJL '`L�FHCen~:'`C�'XCGA '`?h\BL�A 8

5�k'Ne]9y~�l�=�ABC;E:=f¬�C � lzeni�e;jmCTKqeni:9l=Jl C ` en~Z'XC;E�?

B-( p+* ! B-(�� * # B D (-� *A'b ( p X � * # B D D (-� *

�=b ( pqX � * � # B S (�� *? b ( p X � * S #ec]c]c

�Y=��� �� �?B~�IHC!~Z'`iNCGIHC =�Kqeni:9l=JlhL �Y=��� ��1E�?iN?BF�KF=JIJA�7BL�ENC ` e�'`?BI_7BLMENC��

B-(-� * # B D (-� *A'b ( p X � * # B D D (�� *

��b ( pqX � * � # B S (�� *? b ( p X � * S #ec]c]c �Y=�������

¬�C;E%i�?BF ~�? eBe:jn? � ����-��9 � �©9D5� � �(�����R3 ¯B5 B �'��~ ` ?/78LMENCGlhIJe]9 ~�l�=�ABC;E:= � ! 8 GL�9VCL9Ve%iN?8F

B-( 8 * # B D ( 8 *ADbp # B D D ( 8 *

�=bp � #dc]c]c # B S ( 8 *

? bp S #ec]c]c �Y=�������

¬�C;E�iN?8F�~�? e8e:jn? �R2 ���9D3���� �|9;5� ����(�����R3 ¯85 B �¬�C � lzeni�e;j L���7 ��CL=Ji�LzIJe:j$i�?BFs~:=si�?BFJe:j=L4KF=oIJAL78LMENC_^mE�?8i@~:=sIDE�L,+Je:j=L�A8l CGIoe;j=L�KF=JI.-AL7BL�E�?G���CGF ~N? p ewC�9VL�E�?BIJL�IJ?8A=LV9 iN?wCmlzIJLV9CiJiNeDE�?h9f^m'NL�i�?BFJe:j=L ` en~:'`C;E:= iN?8FJe:j=LiJiNeDE�?bjmCo� � A<= ` iN?wCmlzIJL,+�iJiNeDE�?bjmC_^)ewC$AGeDE�?!iN?8FtKF=oIJAL78LMENC$AGenIRjG?BiN�GLzi`CI^JE�? ` e=FJid=�A�E�?FJ?��HIoL�7BL�E�?¨KF=JIJA�7BLME�?�^HAGeDENC�~�jmCGAme]9 i�?wCGlhIJe]9 ioiNeDE:=�L�e�'Nen��~NA<= ` C ` iNLhFJid=_\/=DE�?\~:=�9l=` iNL ` CGFJIJeG��iN?BFJC iJi�eDE�?8jmCo�

Page 194: MATEMATIKA 1

[5.4] 5.4. TAYLOROV TEOREM 189

®�9D3}<�¯B5x9qp�° �� &(4�. 6 & I .�� 6 ��&'4 - . , >)3 - "E0 254 , $�67. (*" � � G . >L0 - "E0'. I . > , " p)G C]&#$�>J(*"- "E0<$�> , 3'" - ²'. - & $ � �

5����������� ���x� ? 3/0W(*" (*" B-( p+* ! � � G 4�&�(*" B D ( p+* ! � � G B D D ( p+* ! � � G . I 0R� J 2�. (*"E0'.B4( 8 * ! A G B D ( 8 *"! A G B D D ( 8 * ! A G . I 0R��� - "7:<& I >/:!"�� 6 � &'4 - . , >)3 - "E0�(*"A #pADb #pa���b #ec]c]c #

p S? b #dc]c]c@ &$1/2 > - >)3/&�2*> - : 4.2 &MC]& � ! 8 ²$2 & 6 .

� � ! A #pADb #p ���b #dc]c]c #

p S? b #

� �)�( ? #dA * b p S � � 5K � 6 " , &$2 &7CL. .>CL:!"L0 C 4 8 . p)G 4�&�(*" � � �r � �5� & ;L.�2 >)$�>J(5. p)G .>C����x��� , & 6 I1- � ��� 6 2�. (*"E0'.

�% �S !��� � �( ? #eA * b p S � � r � � � �S !��

p S � �( ? #dA * b ! 85� - "7:<& I >/:!"�� 6 ��&'4 - . , >)3 - "E0P$�> , 3'" - ²'. - & $ � � C]& 6 3/&/$/. p G + G I (8�*C]& 6 3/&/$/. p3 - . (*"E0'.

� � ! A #pADb #p ���b #dc]c]c #

p S? b #dc]c]c �Y�� �� �

� ���F��� � � � � �����2 � �& �-�4365 ���87:9;5=<>3 � ��< �*# � 49�����5 �5=9D3 ���R3 ¯B5«4enADCL\BLV9Ve ~NCGFHC ADCGAGe,~�?tlhenADCGlzIoL�?8A=~Z'`i�?/9!L�KF=JIJA�7BLME�? 9!en�]= IHC�gBL ` e]9!eIgh= ` i�jG?L�Foid=J�n?�FJ?8iNL�jGC�7BLME�?m�,«�iN?h' ` eG~:'XCwj=L�9!e�FHCvKF=JIJA�7BLMENC B-( p+* LV9�CvIo? ` i�?BAxLzFJI<= FJid=J�L=Fo?BiNL�jmCL7BL�E:=�� ��eGAmCmlzIJLD?BAx~:'NiN?h9 FJ?Bi�LhjmCLiJLhlzIJ?4KF=JIJAL78LME�?O9!e]\B?4iJLV'NLG~`C�9Ve =~:'`CL7BLhenIHCGi�IJeDE'NeIAXAxLj^�'(E8�= '`e>AXA=Lj^=fAmeDE�eDE@~�? ` i�jmC!Fo?BiNL�jmCL7BL�ENC ` enIoL�:'`CwjGC��d¬�C � lzeni�e;jmC�Kqenid9 =Jl CleBC? ! A �nlzCG~NL

B4( p+* ! B-(-� * # B D (�� * ( pqX � * # B D D ( K � *� ( p X � * �

5�Y�� � �

@?BADC!E�? � ~:'`CL7BLhenIHCGi�IHCf'`e>AXADCo�v¬�CGFHC!E�? B D (�� * ! 8 G L�Kqeni:9l=Jl C �Y�� � � ` e ` iNLV9�CeLiJlzLhA B4( p+* ! B-(-� * # B D D ( K � *� ( p X � * �

5�Y�� ���

� Kqenid9l=olzL �Y�� ��� ewCGFoIDE�L�A8l CGI%E�? ` e]e8LV'`L�jmCGI ^=CGAGe�E�? B D D ( K � * � 8 G C%IJ?B�RC '`LhjmCGI�^JCGAmeE�? B D D ( K � * � 8

5¬�e!e]9!en�]=�gBCwjGCT~�lME�?8FJ?/gh=fFJLh~NA<=J~�LME:=��

Page 195: MATEMATIKA 1

190 5. DERIVACIJE I PRIMJENE [5.4]

AGeTE�? B D D (�� * � 8 G enIJFHC%E�?L^�ehi�eG��Io? ` i�?BAxLzFJIoen~:'NL�FJid=J�G?�FJ?Bi�LhjmCL7BL�E�?L^ =�IJ?8AGeDEenAGenlhLzIJL4enAme � FJi:=J�RC FJ?8iNL�jGC�7BLMENC ` e]e8LV'NLhj=IHCo�¨­�eBCLi�?BiN?h9Ve$lhL p L�e '`?TenAmenlzLhIJ?L^ K � g8?'XCGAmenF - ?Bi iJL '`L�LVel'`?�enAmenlzLhIJ?L^�E�?8i\~N?!IHCGl C�eBL�LVe/9!?BF - = � L p

5� lzLME�?8FJL B D D ( K � * � 8

5¬4eeBIHCLA8L�FHC!E�?�^ ` iN?/9VCsKqeni:9l=JlzL �Y=� ���1^O=H'`e;E�enAmenlzLhIJL B-( p+* { B-(-� *

5«�iN?h9�C 'Ne]9!?9Ve]\8?/9!e ewCGAxl�E:=�ABL '`L�~�lME�?BFo?/gB?m�

AGe¨E�? B D (-� *"! 8 G L1CGAme\E�? B D D (�� * � 8 GeGIJFHCTKF=JIJA�7BLMENC�L�9VC = '`e>AXAxL � �-� �� ���43d<>3��43(< �4< �

AGe�E�? B D D (-� * � 8 G enIJFHC�E�? =%IJ?8AGeDE�eGAGenlhLzIJLneGAGe � FJid=o�RC@Fo?BiNL�jmCL7BL�ENC�Io?B�RC�'NLhj=IHCo�­�ewCLi�?Bi�?/9!ePlzL p L�eq'N?$enAGeGlzLzIo?L^K � g8? 'XCGAmenF - ?8i ioLV'`L�L�eq'N?$enAGeGlzLzIo?G� � lzL�E�?BFJL�FHC!E�?B D D ( K � * � 85«�iN?h9�CPKqenid9 =JlzL �Y�� ��� ^�'Ne e8IHCLA8L@FJC = '`eDE�enAGeGlzLzIoL B-( p+* ` iNL�9VC ='`e>AXA=L � IHC;Ekjn?hg/=�j�i�LME�?8FJIJen~Z'w� �fe]\8?/9!e eBCGAxlME:=�A8LV'NL�~Nl�E�?BFJ?hgB?m�

AGe¨E�? B D (-� *"! 8 G L1CGAme\E�? B D D (�� * � 8 GenIJFHCTKF=JIoAL7BL�ENC!LV9�C =�'NeIAXAxL � � � �& �-��3d<�� �w3}<+�4< �

®%9D3(< ¯B5x9 p1° �� 3&.07. 2 >]$'&$2 , " "%$ 6 I1- "7:!"254 , $�67. (*" B-( p+* ! p E X � p � # � %�pqX A �

5���������������R�B D ( p+* ! µ p � X A

� p #(� %�! 8 � p�� ! � G�p � ! %5� & I .;: B D D ( p+* ! � p X A � G 4�& (*" B D D ( � *"! � c � X A � ! X � � 8 G . B D D ( %<* ! � c % X A � !

� � 85@ &/$�> 4 I >7:%$/. p�! � 254 , $�67. (8&P.;:<& :<&/$ 6 .;: 4=: . I >@a�� s � ! ( � G � *1G & 4

I >7:%$/. p ! % : . , .;: 4=: �. I > a��. S ! ( %�G %<*

5®%9D3(< ¯B5x9 p1° ��� 3&.07.52 >]$'&$2 , "P"%$ 6 I1- "7:!"�254 , $�67. (*" B-( p+*�! � � � � p # � � %�p , &. , I " - 3/&$2�4 � 8 G ��� �

5���������������R�� 3&�0 C .;:!> 6 I &=67. > , & - , " I >7:%$�"B D ( p+* ! % ����� � p # % ������%�p,! 8 � ����� � p # ����� %�p,! 8 ������ � p # ����� � � p X � � � � p ! 8 � � ����� � � p # ����� � p X A ! 85J I &$3].;:!>A2�. ����� � p !� G 0=>$;L.�3/&':!> $)3/&�0 - & I , 4 (*"E0 , &�07=7;L4

� � � # �4X A ! 8 G:7. (8& 6 4 - (*" � " , (8& � � ! X A G�� � ! ��5� &/$)2 "���� � p,! X A � � p ! � #(���� � p ! �

� # ��G

Page 196: MATEMATIKA 1

[5.4] 5.4. TAYLOROV TEOREM 191����� � p,! A� � � p,! $ A

µ � #(���� � p ! $ A� � # �� G

²�0W(*" (*" ;L.�2 ><$�>J(5.�67. (*"(2�. ; - >J(8� ? 0 >)3]. ³9- (*" � " , (8& 4 . , I " - 3/&$2�4 � 8 G ��� � 6 " , &$2 &7C/" 4 > - "E0�& , >A4 >�3'"(2�. :7. , .�� 2 G � � G 1 �2 G�� �2 G E �� G � � �25@ > 6 4 6 I &=67. > , & - , " I >7:%$�" 4 C]& C

0�& , >/: . , I " - 3/&$2�4o� � - 4n²�& 0=" - .�3/&=67. (8&@(*" B D D ( p+* ! X � � ��� p�X A � � � %�p)G .346 I &=67. > , & - , .;: I >7:%$'&':<& .;:<& 6 2 (*"E0="�0%" 3 - . (*"E0 , > 6 I .B D D � � � ! X A � � µ � 8 G B D D � � � ! 8 G B D D T W

�� U ! A � � µ � 8 G

B D D T �� U ! X A � � µ � 8 G B D D T µ �� U ! 8 G B D D T ADA �� U ! A � � µ � 85��& 67, >F(*")0�&!4 I >7:%$'&':<& p ! �

2. p !�� �

2254 , $�67. (8& .;:<&�2 >]$'&$2 , .�:<&/$ 6 .;: 4=: �& 4

I >7:%$'&':<& p+! 1 �2. p+! � � �

22 >]$'&$2 , . : . , .;: 4�:!��´"C 0 - 4G²=" 0=" - .�3/&=67. (*" , . (*" (8& 67, >

�7I >@(*" 6 254 , $�67. (*>/: 4 I >7:%$'&':<& p ! � � . p ! E ��5� "L0 C 4 I .;: B D � � G � ! X %�G .B D � � �E � ! X %�G 4�&�254 , $�67. (8& 4�&�0�&�2�. (*"(3'> >L0�� � . , & 6 I &$372 (8&Q4�&�0�& I .0=" 67, > >L0�� �

5@�>C , &.:7.�0�& 4 I >7:%$/. � � 254 , $�67. (8& , "7:<&N2 >]$'&$2 , . "%$ 6 I - "7:!�

�F$�>�(*> � .>C - &.:74 , &':!>M3 - . (*"E0 , > 6 I .�254 , $�67. (*"34 6 I &=67. > , & - , .;: I >7:%$'&':<&� .;:<&':!>a�� s � ! � � � G µ � µ� G a � ! � � � G 8 G a��

. S ! � W��G X µ � µ� G

a�� s � ! � �� G µ � µ� G a � ! T µ ��G 8 U G a��

. S ! � A'A �� G X µ � µ� 5

π6

π2

5 π6

π 7 π6

3 π2

11 π6

2 π

1

-1

3 �√−−3

2

− 3 �√−−3

2

� - &W2e>)3'"P254 , $�67. (*" , & . , I " - 3/&$2�4 � 8 G ��� ��G, &=6 -5I & , 4 >/:!>7074 4 - >N² - &': 6 $�>N² 4�&/$�" I &�sC�'"+J?/9VC�'`LV7wCP.>CX²$2 "E0�&@$'&=> , & 6 2�. 67.(�

�,��� ��5 ���)�����87� � �����& ����� �b7 3 49������ 45x9D3 ���R3 ¯� @?BADC�E�?�eBCGFHCGIJC!IJ? ` iN?8AxLzFJIHC�KF=JIJA�7BL�ENC B ORQ�S +

5�CL\B?h9Ve�FHC�E�? B ����� ��5 ���)��

��tQ CGAmeB T p�� # p �

� U r A� (jB-( p��d* #?B-( p � *d*�G ewC�~�jmCGAxL p��1GNp � G Q�

� �����& ���� �� Q�CGAGeB T p�� # p �

� U { A� (jB-( p��d* #?B-( p � *d*�G ewC�~�jmCGAxL p��1GNp � G Q�

Page 197: MATEMATIKA 1

192 5. DERIVACIJE I PRIMJENE [5.4]

�C�~NlzLV7BL)Y=� � �TlhLME�?8jGe�E�?�ni`CmK�AGeGIxjG?BAx~NIo?L^�C�FJ?8~NIJeVAGenIoAmCwj=IJ?KF=JIJA�7BLME�?m��CGe �:'Ne�~:9Ve 9VeG�nlzL�L�e ` iN?8F�eBIJCGADC ` ikjn?sFo?BiNL�jmCL7BL�E�?�e=FJi�?BFJL '`L�FHCtlzL�KF=JIoAL7BL�ENCi`CG~Z'`?�LhlzL ` CmFHC_^ '`CGAGe ` e]9!e>g/=t~NlME�?8FJ?/g8?B� 'N?Beni�?/9VC�9!e]\B?h9VefL�e ` iN?8F�eBIJCGADCsFJid=o�n?FJ?Bi�LhjmCL7BL�E�?¨e=FJiN?8FJLV'NL�FHC�lzL=E�?\KF=JIoAL7BL�ENC�AGenIRjn?8Ax~NIHC LhlzL�AGenIJADCwj=IHCo�

� 5 ��9;5=< � � � �,��� ��5 ���)��� �b7� � �����& ����� �b73* 45x9D3 ���R3 ¯��� #"%$'&KC]&�0�& , &�254 , $ C67. (8& B ORQ�S + .;:<& , "�4 - "%$/.10 , 4 0 - 4G²'4 0=" - .�3/&=67. (54 , &!. , I " - 3/&$2�4!Q

5@ &�0�&P3 - . (*"E0'.6 2 (*"E0="�0%"B�

�R� �F$�> (*" B D D ( p+* { 8 , &VQ G > , 0�& (*" B $�> , 3'"%$ 67, & , &!Q5? ; - & I , > �&/$�>�(*" B

$�> , 3'"%$ 67, & , &%Q G > , 0�&F(*" B D D ( p+* { 8 , &%Q

5� � �F$�> (*" B D D ( p+* r 8 , & Q G > , 0�& (*" B $�> , $'&$3 , & , &�Q5? ; - & I , > &/$�> (*" B

$�> , $'&$3 , & , &%Q G > , 0�&F(*" B D D ( p+* r 8 , &%Q

5­�e$~NlhLzAm? Y�� � �s~N?$j=LzFJLj^�FHCv~N?��niNCmK�AGeGIB-

x1x1−−−−−−−−−−−−−− −−−−−−−−−−−−−−−+ x2�����������������

2 x2x1x1 + x2�����������������

2 x2��� ����� � �������xW����"#(�&�!��*����W�� �!����� ����� ���"� ��

jG?BAx~NIJ?VKF=JIJAL78LME�? =�~kjmCGAGeDE�'`e>AXA=L�IHCml CLe8L�L�e(-IHCmF 'XCGIo�n?BI8'`?m�¨­�ewC�i�?8iNL�9!e '`e>AXA>= (-� G B-(�� *:*IHCVA=i�Lhj>=Jl�E�L ` iNenLVe8jneGlME�IJeJ� � Kqenid9l=olzL!�Y=� � �IHC�~Z'`iB� � ����L�9VCL9Ve ABl CmI

� ( p+*"! B-(�� * #?B D (-� * ( p X � *5 i`CmK�KF=JIJAL78LME�? � ( p+* E�?n'`CGIJ�n?8I8'XCTIHC0�Gi`CmK�e=FB-( p+* = '`e>AXAxL (�� G B-(-� *:*

5`Heni:9l=JlV= �Y�� � �6~NCGFHC 9VeL\B?/9!e ` iN? ` Lz~NC�'`L�AmCmeB-( p+* ! � ( p+* # B D D ( K � *

� ( pqX � * �5

�Y=� ���� AGe E�? B D D ( p+* { 8 IHCPIJ?8AGe]9 LhI<'N?BikjGCml�= Q G enIJFJC�E�? A8l CGI � T T . �)� 0� ( p�X � * � =Kqenid9l=olzL jY�� �� ��IJ?BIJ?8�RC�'NLhjmCGI ^ ` C�~d=sj=i�LME�?BFoIJen~:'NL1KF=JIJAL78LME�?jn?hgB?0e=Ffj=i�LME�?BFoIJen~:'NL�IHC'XCGIJ�G?BI8'`Lj^ '(E8���niNCmK�KF=oIJAL78LME�?�~N?sIJCGl CLe8L�L�e8IHCGF?'`CGIJ�n?8I8'`?�=?'`e>AXAxL (-� G B-(�� *:*

5��i�eG�` iNenLVe8jGenlME�IJeG~:'`L�e=FHCLioi`CGIJ? '`e>AXAG?�^m'`e ~N?sFoen�RCGF - C = ~kjGCmAGeDE '`e>AXAxL�^�L ` i�?/9VC 'Ne]9!?KF=JIJAL78LMENC�E�?AGenIRjG?BAx~NIHC��

& iJiNC�'`Ioe�^6CmAGe E�? KF=JIJAL78LMENC�AGenIRjG?BAx~NIHCI^�enIJFHCP~N?��niNCmK@KF=JIJAL78LME�?�IHCGlzCLeBL6L�eBIJCGF'XCGIJ�G?BI8'`?n= ~�jmCGAmeDE�'`e>AXAxL�AxiNL�jI=olME�?L^Rj=iNL�E�?BFJIoen~:'NL�KF=JIoAL7BL�E�?�~:=�jn?hgB?\IJ?8�ne%j=iNL�E�?BFJIoen~:'NLIHC 'XCGIJ�G?BI8'`Lj^ ` C =�Kqeni:9l=JlzL��Y�� �� � A8l CGI�~FJi:=J�ne]9 Fo?BiNL�jmCL7BL�E�e]9 9!eniNC iJLV'NL ` eLeBL>-'`LhjmCGI�� �CGAGeTE�? ( pfX � * � { 8 ewC�~�jmCGAxL p)G 9!eniNC ioLV'`L B D D ( K � * { 8

5«O=J~Z'`L�9!e�FHC

p S �

5¬�CGFHC�L K � S � G ` CE�? BED D�(�� * { 8

5­�ewCLiJiNCGIHCq'NeIAXADC (-� G B-(�� *d* IHC�Axi�Lhj>=JlME�LE�? ` iNeGL�e8jGenlME�IJC_^ ` CTe:jGe!iNCLe/9VC�'Ni`CGIDE�?�j�i�LME�?8FJL�eBC�~kjmCGA<= 'NeIAXA<= � LVe¨LzI8'N?Bi�jmCGlzC0Q G '(E8�B D D ( p+* { 8 eBC!~kjmCGAxL p G Q

5 �C�~NlzLVAwCGI�IHC�ABLzI�~�?�9!e]\8?�eLi=ENCG~NIoLV'`L�FJid=J�nC '�j=iNFJIDENC��

Page 198: MATEMATIKA 1

[5.4] 5.4. TAYLOROV TEOREM 193

�n� AGe¨E�? 49���� � �5x9m3 ��R3 ¯� B D D ( p+* IJC!LhI<'N?BikjGCml�=$Q � ���x3#7;3��*�� ^enIJFHC�E�?\KF=JIJA�7BLMENC B-( p+* ����� ��5 ���)��sIJC�Q��� AGe¨E�? 49���� � �5x9m3 ��R3 ¯� B D D ( p+* IJC!LhI<'N?BikjGCml�=$Q ��5x���7;3��*�� ^enIJFHC�E�?\KF=JIJA�7BLMENC B-( p+* �������& ����sIHC�Q

®�9D3}<�¯B5x9qp�° � � &.07.�. , I " - 3/&$2 " $�> , 3'"%$ 67, > 6 I . . $�> , $'&$3 , > 6 I .�254 , $�67. (*"B-( p+* ! pHG X � pFE # � p X %5����������� ���x� � (�B * ! +

5´7:<&':!>

B D ( p+*"! %�p E X � p � # � G B D D ( p+* ! A � p � X A � p ! A � p ( p X A *5 �4.2 I >7:%$�" 0 - 4n²=" 0=" - .�3/&=67. (*" 6 4 p�� ! 8 G�p � ! A

5@ - " ;%& . 6 4�. I & I . 4 - "E07C , &/$ 0 - 4G²="

0=" - .�3/&=67. (*" , &3. , I " - 3/&$2�.;:<& �:X ) G 8 � G � 8 G A � . � A G ) �

5´7:<&':!> B D D ( X A * ! A � c�( X A * c( X � * � 8 G BED D � �� � ! A ��c �� c � X �� � � 8 . BaD DF( � * ! A � c � c�A � 8

5� - "7:<& I >/:!"

p X ) 8 A )B D D ( p+* # 8 X 8 #B-( p+* $�> , 3'"%$ 67, & $�> , $'&$3 , & $�> , 3'"%$ 67, &®�9D3}<�¯B5x9qp�° ��± &.07.�. , I " - 3/&$2 " $�> , 3'"%$ 67, > 6 I . . $�> , $'&$3 , > 6 I .�254 , $�67. (*"B-( p+* ! � ��( A # p � *

5����������� ���x� ? :7. I > (*" A # p � � 8 G C]& 6 3/&/$/. p)G 4�&�(*" � (jB * ! +

5´5:<&':!>

B D ( p+*"! � pA # p � G B D D ( p+*"! �f(JA # p � *4X %�p �(JA # p � * � ! �f(JA X p � *(JA # p � * � 5 �4.2 I >7:%$�"90 - 4G²=" 0=" - .�3/&=67. (*" 6 4 p�� ! X A . p � ! A G 4�& I - " ;%& . 6 4�. I & I . 4 - "E07C , &/$

0 - 4G²="�0=" - .�3/&=67. (*" , &�. , I " - 3/&$2�.;:<& �:X ) G6X A � G �:X A G A � . � A G ) �

5´7:<&':!> BED DF( X � * !� ( � 2 . 2 � 0 r *. � � . 2 � 0 r 0 r � 8 G B D D ( 8 *"! � ( � 2 � r *. � � � r 0 r � 8 . B D D ( � * ! � ( � 2 � r *. � � � r 0 r � 85� - "7:<& I >/:!"

p X ) X A A )B D D ( p+* X 8 # 8 XB-( p+* $�> , $'&$3 , & $�> , 3'"%$ 67, & $�> , $'&$3 , &

Page 199: MATEMATIKA 1

194 5. DERIVACIJE I PRIMJENE [5.4]

������5 ���B3 ¯�¬�e>AXADC =AmeDE�eDE1KF=oIJAL78LMENC 9VL�E�?BIDENC�AmCmi`CGA8'`?8i�=e�FJIoen~d=�IHC�AGenI�jn?BAx~�IJen~:'�LnAGeGIJADC:j=IJeG~:'eBe:jn?�~N?�7��*� �&!3�����5�� �w3 ¯85�� `=JIJA�7BLMENC�E�?dAGenIRjn?8Ax~NIHC '`CL9Ve@�nFDE�?�E�?dFJid=o�RC@Fo?BiNL�jmCL7BL�ENC` e]e8LV'NLhj=IHC_^�C0AGeGIJADC:j=IHCl'`CL9Ve0�nFDE�?dE�?¨Foid=J�RCTFo?BiNL�jmCL7BL�ENC%IJ?8�RC�'`L�j=IHCo��«�iN?h9�C 'Ne]9!?I>=_\wCGI =ojwE�?h' eBC 'NeIAXA<=tLzI��J?BAx~NL�E�?�E�? B D D (-� * ! 8

5¬4e�9!?BF - =_'`LV9 IJL�E�?�FJe:jnenl�E�IJe�^�E�?8i

FJid=J�nC�Fo?BiNL�jmCL7BL�ENCl9Ve]\8?\L�9VC�'`L�Lz~Z'`L ` i�?BF�e8IHCGA$~�e]i=E�?~Z'`i`CmIJ?~�jne;E�?%I<=Jl '`e>AXAG?G� Ame\E�? B D D (�� * ! 8 G L�CGAGe!FJid=o�RC�FJ?Bi�LhjmCL7BL�ENC B D D ( p+* 9VL�E�?BIDENC ` iN?BF_eBIHCGA` iNenlzCG~NAme]9yAxi�e]e�'`e>AXA>= � G enIJFHC�E�?�'`e>AXADC (-� G B-(�� *:*'`e>AXADC!LhI��H?BAx~�LME�?¨KF=JIJA�7BL�E�? B4( p+*

5®%9D3(< ¯B5x9 p1° � 3&.07. I >7:%$�" . ,�� "%$ 6 . (*"�254 , $�67. (*" B-( p+*"! AA # p � 5���������������R� &7CL.�3 , . $ 6 " , "D4 > , . �7I &$3/& , . I . C]&@(*"E0�& , p)G 4�&@(*" � (�B * ! +

5´7:<&':!> B D ( p+* ! 2 � �. � � � r 0 r GB D D ( p+* ! X ��( A # p � * � # � p � ( A # p � *(JA # p � * G !X ��( A # p � * # � p �( A # p � * E ! �f((µ p � X A *( A # p � * E 5 4.2 I >7:%$�")0 - 4G²=" 0=" - .�3/&=67. (*" 6 4 p�� ! X �� E . p � ! �� E G 4�& I - " ;%& . 6 4�. I & I . 4 - "E07C , &/$0 - 4G²=" 0=" - .�3/&=67. (*" , & . , I " - 3/&$2�.;:<& �:X ) G6X �� E � G �ZX �� E G �� E � . � �� E G ) �

5� &/$�> (*"B D D ( X A *"! �� � 8 G B D D ( 8 * ! X � � 8 . B D D ( A * ! �� � 8 G .;:<&':!>

p X ) X �� E �� E )BED D�( p+* # 8 X 8 #B-( p+* $�> , 3'"%$ 67, & $�> , $'&$3 , & $�> , 3'"%$ 67, &4�&F254 , $�67. (8&@: . (*" , (8& $'& - &/$ I " - >$;�CL. - >/: , &@$�> , 3'"%$ 67, > 6 I . $�> , $'&$3 , > 6 I �A@�>QC , &.:7.

0�& 4 I >7:%$'&':<&A:7. (*" 6 4!&(4 6 67. 6 " p ! X �� E . p ! �� E 254 , $�67. (8&#.;:<& . ,�� "%$ 6 . (*"B� � &/$�>(*" B-( X �� E * ! EG ! B-( �� E *1G I >7:%$�"3. ,�� "%$ 6 . (*" 6 4@a � ! � X �� E G EG . a � ! � �� E G EG

5®%9D3(< ¯B5x9 p1° � � 3&.07. I >7:%$�" . ,�� "%$ 6 . (*"�254 , $�67. (*" B-( p+*"! � 2 E � 2 �62 � �1r5���������������R� � (�B * ! +

5B D ( p+* ! � 2 E � 2 �62 � �1r ( � X %�p+*�GB D D ( p+* ! � 2 E � 2 �62 � �1r� ( � X %�p+* � X %� ! A � � 2 E � 2 �62 � �1r ( p X � * ( p X A *

5� &/$)2 " , 4B2 I >7:%$�"@0 - 4G²="<0=" - .�3/&=67. (*" 6 4 p�� ! A . p � ! �5��&/$ I > - A � � 2 E � 2 �62 � �1r (*"4 > CL. I .�3/& , C]& 6 3/&/$/. p)G 4�& 4 - "E07C , &/$P0 - 4G²="<0=" - .�3/&=67. (*" >L0 - "L0 C 45(*" ( pqX � * ( p X A *

5� - &W2#>L0 ( p X � * ( p X A * (*" 4�& - &X;7>)2 & >]$ - " , 4 I &K4 - "7:<&�²=> - " S4�&�(*"#0 - 4G²�&!0=" - .�3/& C67. (8&D2�. (*"(3'> >L0 A 4 > CL. I .�3 , &� .>CL:!"L0 C 4 A . �<, "ª²�& I .�3 , &� . 0=" 67, > >L0 � >�4 " I 4 > CL. I .�3 , &R�� - "7:<& I >/:!"#4 p ! A . p ! � .;:<&':!>@. ,�� "%$ 6 . (*"B� B-(JA * ! � ! B-( � *1G 4�& 6 4 I >7:%$�". ,�� "%$ 6 . (*"�a � ! ( A G � * . a � ! ( � G � *

5

Page 200: MATEMATIKA 1

[5.4] 5.4. TAYLOROV TEOREM 195

�8� ���������&���¯������ �� ������� ��� ¯�­�~ ` LV'NLhjmCGIDE�? 'NenADC�KF=JIoAL7BL�E�?V~�?V~NCG~:'NeDE�L =;'Ne]9V?�FHC�~N?!Lz~ ` LV'`C;E:=�e�FJi�?BF - ?8IHC�~kjneDE�~Z'NjmCKF=oIJAL78LME�?L^HL�eBC�'`LV9y~�A=LV7BLhi`CT�niNCmK�� & IJe �:'`e '`i�?/iHC =�A8LzIJL '`LxE�?~�lME�?BFo?/gB?m�

�n� �CLg8L1FJe]9!?BI<=$KF=JIJAL78LME�?m�����­�~ ` L 'XC�'NL�?8jG?BI8'W=HCmlzI<= ` CmiNIJen~Z'6^HIJ? ` CGi�IJen~:'@L ` ?Bi�Lze=FJL�A8IJen~:'B��o� �CLg8L '`e>AXAG? =fAmeDE�L�9VCT�niNCmK ` iN?B~#E�?/7BCVAGe=eni�FJLzIHC '`IJ?\en~�Lª�J� �CLg8L�CG~NLV9 ` 'NeL'`?�^oL1Lh~ ` L 'XC�'NL ` enIHC �NCGIDE�?�=�i�?8~NAGeGIHCLABIoen~:'NLª�Y�� �CLg8L1LzI8'`?8i�jmCGlz?�i`CG~Z'XC�L ` CGFHC�KF=JIJA�7BL�E�?�L�lzenADCGlhIJ?¨?BAx~Z'`iN?h9V?m��o� �CLg8L1LzI8'`?8i�jmCGlz?�AGenIRjn?8Ax~NIJen~Z'`L�L1AGenIJADCwj=IJen~Z'`L�L '`e>AXAG?LzI �H?BAx~NL�E�?G� �� �CL78i:'XC '`L��niNCmK4KF=JIJAL78LME�?AGeGiNLz~Z'`?hgBL1FJe]ioLhjn?8IJ? ` e=FHC�'NAG?G�®���� �¯��qp�° �+p ´ 6 4�. I & I . I >]$�254 , $�67. (*" B-( p+* ! p E X � pa� #�� p X µ

5����������� ���x��R� � �� ������� � 4 , $�67. (8&�(*" 4 >)2�. , >/: 94�&F(*" � (jB * ! +

5� �@® ��������� ����� ������������ ������-�� ��-� �������x� B-( X@p+*"! X�p E X � p � X � p X µ !X ( p E # � p � #�� p # µ * G 4�&�254 , $�67. (8& , . (*" , . I .94�& - , & , . I . , "�4�& - , &R� ��& 67, >(*" 0�& , . (*" 4 " - . >L0'. : , &R�

�x���R¯�����-���� � � ���� ��-��������� ������ �� J (*"%67. �7I " 6 > 6 . � (*" I >7:%$'& ( 8 G B4( 8 *:*5� >)3'>/: 6 2�4F:E&W(54 B4( 8 * ! X µ G 4�&F(*" 6 (*"%67. �7I " 6 > 6 .9� I >7:%$'& ( 8 G6X µ *

5J (*"%67. �7I "6 > 6 .��<(*" I >7:%$'& ( � G 8 * G 4�& I - " ;%& , &.07. > , &W(�� C]& $�>J(5.�(*" B-( � * ! 8

5� >)3'>/:6 2�4F:E&W(54 I > , . (*" (*"E0 , > 6 I &$3 , >�� � & , "ª²�& I .�3/& , � (*" 6 3/&/$/.P:(2 & , 4 >)2�. , >/:<&

, "ª²�& I .�3/& , 4�& 6 " , 4B2 I >7:%$�" :!>N²'4 , &$2 &7CL. I . 6 &':!> , & 4 > CL. I .�3 , >/: 0'. (*"(2�4 > 6 .�

5 3&�0�&$2 (*" H4 >)2�. , >/: (*" I1- "�0%"ª² 6 I 474 , (8&�F4�& .;:<& (*"E0 , 4<.�2�. I - . , 4.2 I >7:%$�"� �F$�>

.>C - &.:74 , &':!>I3 - . (*"E0 , > 6 I .*254 , $�67. (*"4 , "%$�>)2�. $�> I >7:E&/$'&��0=>$;L.�3/&':!> B4( 8 * ! X µ GB-( A * ! A G B-( � * ! X A G B-(}µ * ! X µ G B4( %<* ! A

5� &/$)2 " , 4.2 I >7:%$�" 6 " , &$2 &7C/"#4

. , I " - 3/&$2�.;:<& � 8 G A � G � A G � � . � µ G % �5 � � ���� �����!���"� � >)2�. , >/: . , "7:<&W(549& 6 .;: 4 I > I &��

# �%$, ����'&(� (����� ����)�* +�,� B D ( � * !.- � � X A�/ �10 �

5? 3'>(*" 4 >)2�. , >/: 0 - 4�2=>,26 I 474 , (8&� , (*"32=>)342 - &W2�(*" 4�& - &X;7>)2 &P>]$ - " , 4 I &Q4 - "7:<&52=> - " V4�& 6 4�3 - . (*"E0 , > 6 I .4 >)2�. , >/:<& , "32�& I .�3 , " .>CL:!"L0 C 4 , (*"32=>)3].76 , 4B2 I >7:E&/$'&��

- � � X A)/ �50 � ! 8 8 � � X:9 �;0 -�! 8 8 �=< ! A G � � !>-

5� - "7:<& I >/:!"

Page 201: MATEMATIKA 1

196 5. DERIVACIJE I PRIMJENE [5.4]

� X�� A - �BEDF( � * 0 8 X 8 0B-( � * � A � X - �

? 0�& I 2 " 6 " :!>,2'4 >7:7. I & I . 2 >]$'&$2 , . "%$ 6 I1- "7: . a�� s�� ! ( A G A * . a�� . S ! ( -_G6X -8*5� � �,��� ����� �)������� � � � ���& ���������(�5���*� ��� ��������� �������'� B D D ( � *,! � X A)/

5? 3'>�(*" 4 >)2�. , >/: 4 - 3'>,2 6 I 474 , (8&� , (*"32=>)3�2 - &W2�(*" 4 - &$3/&=6 $�>J(5. 6 I1- >,2=> - & 6 I "� � X A)/ ! 8 8 � ! /4�& .;:<&':!>

� X�� / �B D D ( � * X 8 0B-( � * $�> , $'&$3 , & X A $�> , 3'"%$ 67, &? 0�&$3/0=" 6 "Q3].10'.0�& (*" I >7:%$'& . ,�� "%$ 6 . (*"�a . S � � ! (3/ G6X A *5�)��� � ��������������"�

-1 1 2 3 4 5

-3

-1

1

� ��� ���� p���� ��� 6 4�. I & I . I >]$ 254 , $�67. (*" B-( � * ! ( � � X A *�� �5������� �"!#�����

����$ �" ���� � � 4 , $�67. (8& � � X A (*"�0="&% , . - & , & , &�+ G "%$ 6 4 > , " , 67. (8&$2 , &�254 , $�67. (8&(*" 0="&% , . - & , & , &#+ G 4�& (*"(' (�B * ! +

5� �)� ����� � �� � ��&(� �������� &����� �* ��-� ��� � �*� B-( X � * ! (d( X � * � X A *�� 2 � !( � � X A *�� 2 � G 4�&�254 , $�67. (8& , . (*" , . I . 4�& - , & , . I . , "�4�& - , &�� ��& 67, >�(*"30�& , . (*"4 " - . >L0'. : , &��

Page 202: MATEMATIKA 1

[5.4] 5.4. TAYLOROV TEOREM 197

����� ������-���� � � ���� ��-��������� ������ � J (*"%67.�� I " 6 > 6 . � (*" I >7:%$'& ( 8 G B4( 8 *:*5� >)3'>/: 6 2�4H:E&W(54 B-( 8 * ! X�� � ! X A G 4�& (*" 6 (*"%67.�� I " 6 > 6 .9� I >7:%$'& ( 8 G6X A *5J (*"%67.�� I " 6 > 6 .'� (*" I >7:%$'& ( � G 8 *1G 4�& I1- " ;%& , &.07. > , &W( � C]&@$�>J(5.�(*" B-( � * ! 8

I (�� - . (*"��7. I .H(*"E0 , &�07=7;L4 ( � � X A *�� � ! 85J 2�. $'& "%$ 6 4 > , " , 67. (8&$2 , "254 , $�67. (*" (*"

� 8 G ���hG 4�&(*" � ��� 8 C]&D;L.�2 >�$�>J(5.*� G +5? 6 I &W(*" � �>X A ! 8 G & I &�(*"E0 , &�07=7;%&

.;:<& - (*"��]" , (8& � ! X A . � ! A

5� - "7:<& I >/:!" 2 - &W2 254 , $�67. (*" 6 . (*"�:%" > 6 �e4

I >7:%$'&':<& ( X A G 8 * . ( A G 8 *5 �� ���� &����!���"�� 4�0'4F07.30�&<(*"3254 , $�67. (8& 0="&% , . - & , & , & 6 $/474�4 6 3].76 - "E&$2 , .76; - >J(*"(3/&� > , & , "7:<&N3'" -5I . $'&$2 , 49& 6 .;: 4 I > I 4��

! � �� !��B-( � *�

! �% �� !��( � � X A *(� �

�! � �� !��

T� X A

� U � � ! �

5� &/$)2 " 4 � , "7:<& & 6 .;: 4 I > I "� ! �% �� ! 2 � B-( � *

�! �% �� ! 2 � ( � � X A *�� �

�! � �� ! 2 � T

� X A� U � �

! � �� ! 2 � � � X <� �� 2 � ! �% �� ! 2 � � A 0 <

� r �X�� 2 � ! 8��3�� 2 - &W2*>)3'")>L0 � � . � 2 � , & 6 I - � � ��

5 ! � �� ! 2 � (jB-( � *4X � * ! �% �� ! 2 � � � � X A � � � ! � �� ! 2 � � ��X A� 2 �

! �% �� ! 2 � / �X)� 2 � ! �% �� ! 2 � /X)� 2 � ! 85� - "7:<& I >/:!"254 , $�67. (8& .;:<& & 6 .;: 4 I > I 4 4 X��MG . I >Q� ! 8 G >L0 , > 67, >!> 6 �

5# �%$, ���� &( � � ��������* +� � B D ( � *�! � � ( � � 0 / � X A *5J I &=67. > , & - , " I >7:%$�"6 4 - (*"��]" , (8& (*"E0 , &�07=7;7" � � 0 / � X A ! 8

5��(*"��]" , (8& >)3'" $)3/&�0 - & I , " (*"E0 , &�07=7;7"6 4 �=< ! X A X�� / G � � ! X A 0 � /

5� - "E07C , &/$M4 - 3'" 0=" - .�3/&=67. (*" >L0 - "L0 C 45(*"4 >)2�. , >/: � � 0 / � X A G (*" - (*" � � 4 > CL. I .�3 , > C]& 6 3/&/$/. �

5 (*"32=>)3 2 - &W2 (*"4�& - &X;7>)2 &��>]$ - " , 4 I & 4 - "7:<& 2=> - " HC7;7>,2 4 > CL. I .�3 , > 6 I .�$�>]"&%�67. (*" , I &�4�C � � G 4�& 6 43 - . (*"E0 , > 6 I .X4 >)2�. , >/:<& 4 > CL. I .�3 , " 2�. (*"(3'>#>L0#:<& , (*" �.�0=" 67, >#>L0Q3'"�0%" , 4B2 I >7:%$�"

& , "32�& I .�3 , " .>CL:!"L0 C 4 , (*"32=>)3].76 , 4B2 I >7:E&/$'&���� - "7:<& I >/:!"� X�� X A X � / X A 0 � / �B D ( � * 0 8 X 8 0B4( � * � A � X - �

Page 203: MATEMATIKA 1

198 5. DERIVACIJE I PRIMJENE [5.4]? 0�& I 2 " 6 " :!>,2'4 >7:7. I & I . 2 >]$'&$2 , . "%$ 6 I1- "7: .��A@ > 6 4 I >7:%$�"a�� s � !��LX A X � / G / � A 0 � / � � 2 < 2 � ��� .a��

. S ! � X A 0 � / G6X / � X A 0 � / � � 2 < � � � �5� � �,��� ����� �)������� � � � ���& ��������� �����*� ��� ��������� �������'� � - 4 2�&e0=" - .�3/&=67. (8&

(*" B D D ( � * ! � � ( � � 0 9 � 0 A *5 �4B2 I >7:%$�" 0 - 4�2=" 0=" - .�3/&=67. (*" 6 4 - (*"��]" , (8&

$)3/&�0 - & I , " (*"E0 , &�07=7;7"�� � 0 9 � 0 A ! 8 G & I > 6 4 �=< ! X / X � -IG .� � ! X / 0 � -

5� - "E07C , &/$ 0 - 4�2=" 0=" - .�3/&=67. (*"�>L0 - "L0 C 47(*" 4 >)2�. , >/:>� � 0 9 � 0 A

5 (*"32=>)3 2 - &W2 (*"D4�& - &X;7>)2 &� >]$ - " , 4 I & 4 - "7:<& 2=> - " KC7;7>,2 4 > CL. I .�3 , > 6 I .F$�>]"&% C67. (*" , I & 4$C � � G 4�& 6 4 3 - . (*"E0 , > 6 I . 4 >)2�. , >/:<&�4 > CL. I .�3 , "�2�. (*"(3'> >L0 :<& , (*" .0=" 67, > >L0�3'"�0%" , 4.2 I >7:%$�" �& , "32�& I .�3 , "#.>CL:!"L0 C 4 , (*"32=>)3].76 , 4.2 I >7:E&/$'&�� � - "7:<&I >/:!"

� X�� X / X � - X / 0 � - �B D D ( � * 0 8 X 8 0B-( � * $�> , 3�� $�> , $�� $�> , 3��? 0�&$3/0=" 6 " 3].10'. 0�& 6 4 I >7:%$�" . ,�� "%$ 6 . (*" a < ! ( X / X � -_G � 0 9 � - � � 2 � 2 � E *. a � ! ( X / 0 � -IG � �X+9 � - � � 2 � � � E *

5�)��� � ��������������"�

xmax xminx infl x infl

Page 204: MATEMATIKA 1

[5.4] 5.4. TAYLOROV TEOREM 199

� ���F� � � ������ ��� �Lg���� ����������������Z'����h9������! ���"#�/g�,+%$F=����L7�! �� �

&�' � A X �50(� ( ' � E�X A)/ � � 0 -� �)�' � 0 A

� * ' � � � 2 �+ ' X /

- ��, � X � � 0(� - ' / � //.�0�1 �50 .�0�1"/ �

23� �Lg��"��d=�4��5"#����768�L7�9 ������9 ���"��hg� +%$F=��#�L7�9 ��&�' � 2 X+9 � E 0 9 ( ' A

A 0:�;: )�' � � : X � :

* ' (JA 0(� : * JLK�.�<�= � + ' AA 0 � �

- ' � � �

>#� �Lg� ` ��6���A���?�����"#����768�L7�9 ��$F=�����7�! ��&�' � s�� ( ' 1 �, � � )�' .�0�1 : �* ' � � � + ' ��, ( �50 A * - ' �

�;: X A

@ � �Lg����A?�����68������� ��A6��������� ��B?�C��� ������D6E�� ��B?�F���9 ���"��hg� +%$F=��#�L7�9 �� �&�' � E�X � : 0 / � X ( ' � G X / � E X A)/ � : 0 / 9 �50HG)�' � � : X(- �50 / � � � * 'JI A 0(�LK �8M � r+ ' ��, I A 0(� : K - ' JLK�.N<�= �

A 0:� :Y � �Lg�O?� >AP���������������9 ��5���! ���"��/g� +%$F=�����7�! �� �

&�' � E X � ( ' � G X G � E 0 A G � : X:9 G � 0 - A)�' � �8M � * '

A 0(�A 0(� :

+ ' 9 1 �, � 0 1 �, / � - ' � NQP RVS �Q#� � ` ����8?� �f7�RS��=������ T6%����"U$F=��#�L7�9 ������! ���"��/g� +%$F=�����7�9 ��

&�' 1 �, � G ( ' .�0�1 � G )�' ��, I A 0:�LK

5

Page 205: MATEMATIKA 1

200 5. DERIVACIJE I PRIMJENE [5.4]

� ��� ��#����������#����� ���� �E�� T6�� ����� ���� � ����� ���"#� ���� ���?������������ �4�?��� ����#?����?������.-�������� ���� �?��E�� T63�9 �������������;���4�����"��?����?��������9 ���� ������������������� ���� ���� � ����������D6� ����#?������� � � �������%"����������9 �� ?� �4������T6� ����#?��#���� ?���� � ��! #�?�"� " � ���"� � �9 ���� � B6����S6� ������ ����#

� ��$ ��" ����%��4������?� ����L ������� ������&��?����� ���L ���?P�D6E�?����6D ���?���! ����5?P���8 �" � ���� ' ��#"��� �8�E����������# % ���6D ���?��! ���� � �����#?���(*)����� ���? ���6D ���?��! ���� ��/ �� "���� �U$ ��%�'���� ��+*,

�� �.-/1032 4�"� �� ��546��"����! ����� ���? ?� 7�P�8� E" ���6� ���� ��6D ���?�� ���;�*8 ��3?���������� ��� 9�����:�� E"U�8 � ��� ������ ���6� ����/��6D ���?�� �/6E�"� ?� 7�P��� �

;#�=< ����������3���� E" � ��%���������>�� 3"�����" - ���� � '��! ����� �� � ?�����D6� ����#?��� "#� ��6� �4��� ���9 ���?����A�� � ����� �9���� ���� ��������8?�L�8 ��� ������ � "��#4A�9�P���� A 8�8A@ � � �� ��� �8�E������������B�� 6E� ������*����� �! ��B?P���E�� �� � � ?P�T � �9���� ����� �9�5� ���� �����#�?� �

� � � �C�L ��������%�#4 ����"�������64 ?����� ��*���#�����?�������D6� ����#?����� ��� B6�� ��?�� T6E� ������ ������ & "U?����" ������� ���������D��?���� ��� �E����#�?�:��! �� U?����� " �*�L ��#��������F������� ����%����

� �8�E������������G�� T6E� ������ �� 23� � � �� "����������9 �� ?���� � �� �8?� �� ����9� " �B�����D��"����� 9���� � �� �� �H���������� ������

6� ������ ����#�T>#��I ������ �� �9�����7?�����#?�! ��* L� ���� ����� ����D���J��! �� ��� �9�D���A68��"�����?K�3��6� ������ ���MLA�

� �����8�?����� � ��N �7?�O"����������9 ��9�3" �*�3?��� �����G���8?�����9 ���� �D ���"��5� ����� �8� ��� �� @ � & " 6��8�! �������?� �4/"�� �� � ?����� �� ��������D��?�O4�����"��O�����D6� ����#?��� �4*������� ������/?P���8 " �

���%���D�M���������� �������U �?P�� �����D639 ����� �� � & ?P�� �����T6E9 ����� �� ��'�#�� ��� ��%��� ������ ������� E"����A?%� ������������A68��"����8?P� 6E�������H�� ����������# �4Q�#����� ������ �

�SR3� ������?� �� 9 �����8�/�A68��"����8?P���;"��#�! ���#�5�B?�����������?� 2 ?����� ������������8?��� � 6E�"+� T6E����?P���8 " � ����"� � �9 �� ��3?�! ��/� �T B6������4 6� ���������� � ��TQ#�&T � ������?� �� � � ������� ������4A�/����"#������6U ?���� �/����������8?�L�E�������#��� �� �D��� ?P���8 " �

��?� ��D�9�E� �� � ������ 3"U�� ���4�� ���9�����D6EV�#���� � � B6�� ��6� ������ ��� �� � � ���� �?����� � �� R���� ������?����� T6� �46�����D6E���� � �9�����! ���"����� ���� ����� �

&�' � �� !��� ��W A1 �, � 2 ( ' �% �� !��

1 �, / �1 �, - � 2 )�' �% �� !��

��, .�0�1 �� 2

* ' �% �� !��� G � M � 2 + ' � �� !�� I � W /AX9Y�.�<�= �LK ��, � 2 - ' �% �� ! <

T �� W A

W A��, � U

Z ' � �� !��� ����� � 2 [ ' �% �� !��

T A� U \�] �

2 ^ ' �% �� ! < I� � 0(�LK R�

Page 206: MATEMATIKA 1

[5.4] 5.4. TAYLOROV TEOREM 201

� � � �5�E����� ��H �9�����U6����B?���������� 6�%6E��=�� 7����?��# �� �������� �� � � @�� M < ��� ������� ��� �������������� ��6E����� �/�� � ��U"� �����4��#�B����! �� ����4� �L ���#�D����" �8?� # � ����?P�� ��B?P�D6X-�! ��9� �" � ����8�9�����������9��! �� ������ ?������ # , A 8A@�� M : 2 �" � ���� �?%�L �� ���������B� �����D����� � �8���?� �

� ;3�=T �%��7?P�8?� ?� �� ���! ���"���� +%$ �����E��9 ��

&8' - � E W � 2 ( ' � E W � : 0 A 2 )�' � E�;: W A 2

* '�

� : W 9 2 + ' � : W A� 2 - ' ��, I � : 0 A K 2

Z ' � W � � 2 [ ' � : � � W - 2 ^ '�� �;: W � 2&��A' � W ��, I �50 A K 2 & &8' � : � M � 2 & ( ' ��, .�0�1 � 2

&D)�' ��, �� 2 & * '

���, � 2 & + ' A

� � W A 2& - ' � R� 2 & Z ' � � M � 0 2 & [ ' 1 �, � W .�0�1 �

Page 207: MATEMATIKA 1

202 5. DERIVACIJE I PRIMJENE [5.4]

Page 208: MATEMATIKA 1

���������

� ��4��� ��������8� ���"�����"��� �� ?F- ?� �4 �B?P���B-�� ���� ��� ;

�8���?%���N?���P�8� ������"������� 2�8����*�#?� �?P��� � @ �

�8 ������ � @ 2�/�E�D�6� �#�� ��B?� ������ R @ ��9�D� � ���D6E�����"� R3� #��� �� ��L�� E������! ����A?�V� � � #�� � ��N63�# �#���D68�9�9� R #�%���� � ?�9 ���� �7� �SR @ #�%���� � ?�9 ���� �'�O����� � � �SR @� �9����+ � ��N6 �����?�����9 � � � � ���9� ���� T6� Q�����D63��� �� >JR � >�Q$ � �����' ����B?� T6 ����7?�����! � � � �"#����768�9��9 �� $ �����9��! ��E� �SR�Q"#����768�9��9 �� $ �����9��! ��5� ?� �P�E"� �SR�Q"#��?����%� �� �8��?��� �8�%���� 6� M�����D63��� �� @ �

"#�$ ����������! �����$ �����E��! ��E� �TQ�Q"#�$ ����������! ���� $ �����E��! ���� � ?� 7�P�� � � �

�TQJR"#�6�����4����� ����"�� � � �"# ��� �� ?��� ����#?P���B?P��� @ �"#�%��4A�/"�����76��E��! ��7� � � 2"������� ��� @ Q

����� �������� ��� @ Q"����! ��� � "���������E� @ Q� ���%���8?� T68�/��� � ��� � � >$ �����A6�������9 ���� � 29;$ �#���9��! ���� �����

��������� �� ����������� �T> �

�8������� �� �?�����4�������� �T>3��8������� �������� � �T> ��8������� ?P����4������ � �T>#��8����*�#?� �?P��� � @ �+� ������ ���?���������� � @ >6�����?��������� �7� � @ 2

�8����*�#?� �?P���3�� ������ � @ 2"#����768�9 ����� ��� �SR�Q"#����768�9 ����� �?� ?� �P��V� �SR8Q"#����768�9��9 ���63%����4 ����" �7� � � 2"# ������ ��� �����"#�%��4A� "������68�9��! ��?� ?� �P��V� � � 2�����%�� ���������! ��8��� ��� �T2�>�����%�� ���������! ��8��� ���� ��9���D��� � 2�>4����8$ � ��� 2�8 3"# ������ ��� ������8 ����������� � 2�Q�8 �?P�8��4����#��� � 2�Q���� ��� � �T>�Q�� �4A�����?��9�������"�������"#������� � 2 @������� E"�� ��� � 2 @

� ��� 8?� �� �7� ��� ��#��� ������ ��B?K� ��� ��#�����������"���� � � +�� �T> @�#�����������"����*� ?� �P��V� �T> @�#���D�D6E���� � 68����! ��9 #� ��� ����� ����4��� ���"� ���������" ��� ��� ��������� ���?K� ��� ;������� E"�� � 2E;������� E"��#?���� ���! ��#V� � 29;������� E"����� ��� � 2 �

2 � >

Page 209: MATEMATIKA 1

204 INDEKS [5.4]

�� E"��%��� �� "����������! ��9� ������#�������"U���*+�� �T> @�#����� 3"#� � "� �� ��� �7� ������#����� 3"#�� �� 3"������ �� "#��� �����9 ��9� ��������9��� �� ����� ��� � 23������#���D68��� � 23��L ��� T6EV� �T23������D68��� �T23�

������?��9� ��� ����D����� ����� ���"������F����������� 68����9 ��9 ����9�

������������� � � 2�Q������8�7� �����������8� ����� ������?���� ������B?��� �4� �� ��� �?� �� ��� ��� ��B?��� �4� � ��" �7� ��� ��B?��� �4� �����B?��E� ��� �?�����4�������� �T2�Q?���� D� "������68�9��9 ���� � � 2?���� D� "������68�9��9 ��?� ?� �P�E"� � � 2���D63���� �/68����9 ��9 ������ �����

$ �����9��! ������� ������?������#�9� �T>�Q?����4� ��� �� ��?���9 ������E� � 2 �

� �9������ T68� ���D63�#�� ��� � ��� �84��� �8��� �5 ���� � ���"+� E"�%��?��E� � ����D����� � �� � � �

4�� �D6E� �/"�! ��84� �� ������� @ �4� ���� �� ?��� ���3?P���B?P��� @ �4����8$ ��� � ���� R4����8$ ������" - ����� ?��� ����9� �SR4����8$ ������" - ���� �4*� �����7� �T>�U68�8?�%��?��9� @ Q� ����4��� ������� ���"���������� �DQ��A?�����68���V� ;��"+# 3"�%��?��9� �SR��"+# 3"�%��?����� E ���"#�� �8?��� �4 �%�#��?P�D68��� �T>

� ���B?�� ��! ��N6�8 3 ���"��� �8?��#��%�#��?P�D6�� � �#���D6X-� ��� R

������?�����9 ���6 �����D6� ���3?��� �8 3 ���"�����8?���������?��D6O� ���� ���?� ��%�:� �SR

������?�����9 ���6 �����D6� ���3?��� �8 3 ���"�����8?���������?��D6O� ���T6E�����V� �T>

�� E������! �����? ��� ������ ?P���#4����A?��E� �TQ�Q�� ��*������� ������V� � ��� ��*�������������N ��� � � �TQ

����4���������?�� � �4�� �D6E� � 6E��9 ���"��� ���?S����4���� ���#?���� � ������4������������"�� �� �TQ�� ��� ��#4�������� �� ��*�������������:� � ����D�8� ��� "�� �� �TQ?����4� ��� 9���N?���9 ������ � ������� 2�2

�� ��*����������� � ���D6E���� ��� � ��� ��#�8�D6E� � $ �����9��! ��/� � +�� � ;#��� ��#��?P�8��?���� ���TQ�� ��A6�������� � $ �����9��! �� � �6+�� � ;#��� ��A6�����4����� ����"�� � � ��� E ���"#�� �8?�� ?� �P���E� R�� E ���"#�� �8?��9� � R�� E ���"#�� �8?���?� �P���E� �D>���%����������

��� � ��N6E� ��� � 2�Q?����4� ��� 9���N?���9 �������� � 2�Q

�A6� ��! ����A? "#�$ ����������! ���� �SR @� �84������#4��� T6U?��� ������ ������"��� �� 6E��! ���".-

�# ���?�V� � ��@R���� #����� 6 �����?�����! � � ����� ����������������?������N� � � >�� ����������� ��������'���N� � � >�� �����������������'��� � � � >� �DRF�9������� T6%����" $ �����9��! ��E� � ���� �� �� T6E�?������ E"����A?�� Q�;� E"������� 9�Q�����������# �4 ��� � ��7� � �� �763���� T68� $ ��%�'�#� ��� 2�R� � ���"�� �8�� ��B?

� ������ �������! ��N68��� ; �

Page 210: MATEMATIKA 1

[5.4] INDEKS 205

�#� ���"#� ���� ���? ?��� ���3?P��� @���#��

��� ���� T6EV� ;#�"�76�����4�����?������ ;�>�8 ��A6�����4����A?������ ;�>���� ����� ;�>� ��� �?� ���� ;�2���� �4��������������� ;�2 �4��������������� ;A2 �4�������������U E"� ���"� �� ;�2 �4�������������U E"� ���4� �� ;�2 ���� ��� ���:� ;#�� �8" ��� ;A2������?��9� ;A2�B?��� �4� � ��" ��� ;�2�B?��� �4� �����B?��9� ;�2

�#��H�������� T68�/����"���� � � ��#��H ��� � ���68��� ;#��# ��%����� �7� �TQ ��������6�L ������ 9� ��� ���K;�������L �����# �� � ���K;�����76�����?� ���� @��� � �E������8��?P��� �SR �� �E���%������7� �T> � �SR �� ���"��� �8?P�7� �T> � �SR 8?�6� ������#���A?�����68���V� ;� �����D���� 6�?��� ����#?K� ���������� E"�� � 2E;�� ������ ��N� ��� ;

$ ���A?� �����D�9��! ���� � 2 ��8 3� ����9 ����A?�"� ��� ;�8 ���9 ������ ���K;�����7?� �P�8�7� ��� ;�����7?� �P�8�7�������8?��� ���?�� ��� ;�B?P��� �8�� � ��� ;

�� �������A?�����68���"� ;�� ����� �?�6� �������O���?����B6��8�V� ;�� ���������4������A?K� ;�� ������D�8?�6� ����������A?����B68���V� ;

�L �?�������! ��E� ���TQ�����D68�9�

#�� � ��N63�#����4��8?�76��8�U��� ������ >�L 9���?��68���%��� ������ >

���"�� ��"��� ������%�#������?���O � ������� � >��*�������7?���; � ������� ��@

���"�� ��"��� � �E�� ���"#6E! ���?� 7�P�8�9� � >�����# ������8� ���"�� ��"��� ��9� � ����� ��8 3� ����9 ����A? �%�� ������7� �8@ E"�� ����D�8�%� �/ ������� � >�������9� ��?����������L ���"�� ��"�� L�E� � ��� � �6����A?� �������S � ������ ���"�� �8"��� ��9� � �

����������B? $ �����9��! ��E� �SR�>����������B? 6��8��! ��E ����E� �SR�>$%�D63�#�� �

��Q�#������?���; � ����� ���"�� ��"��� ��9� � �����"

4��� �� ��?���! �����V� � � >�A6� ��! ����A?K� � � >+����%� ���9 �����V� � � >����?����������� ����"� � � �

� �� ������ ��������?��D6�� ?����6E! ������� �� > �

� ������� 6 ?��� ���� � � � �8@�O��4������A?K� ;�������

��! ������� #�� � ��N6��7� 2�#����� 3"#���� ��� � ���68��� ����9��� �� ��������M ��� � ��N68��� 2���D�������� #�� � ��N6��7� R

��?P�E��� �� �������/?� 7�P����� � � >��?��� �4���� ���������������B?���� � � � � >��?��� �4���� ��������������������?��� � � � >��?��� �4���� ����������� �����'���N� � � >�%�����/����"���� � � ��%���B?P�D6

�# ��� �4������ > �

Page 211: MATEMATIKA 1

206 INDEKS [5.4]

� ���E�� ��� 6 ����"U$ ���#�9��9 ��9� � � �� ���E�� ��� T6 ?��� ������ ������"��� ���6E��! ���"#�� ����

?�V� � � >� ���E�� ��� T6�� $ ����'������� � � >

���?P��?P����� � � @�C���E�� ��� 6M�L �����# �� � � � >

?��� ������ #��� �� ��"� � � 9�L�����9��! ��9��� ����� �������E�"����� $ �������

��! ��9����� �T>JR?���?�������" ��� � � �?� �P�8�

�E������8��?P��� �SR�E���%������7� �T> � �SR ���"��� �8?P�7� �T> � �SR�� ����?�� ��� @ Q���D63� ��� �7� @ Q

?� �P�8�/���� ������! ��9� �K; @?����8�������9��9 ���� @ R?��� ���3?P���B?P�/"���?��������� ���A?P��� @ �� ����" � ��� � ?��� � ���� ���D��������* ��� ���68��� � @������" � ���� ����� ���D�8���� � ��� � ��N68��� �T>� ���A?� �� � @ Q

"����! ��� ��� @ Q��A?��������?���?�� @ Q�8 ��*�L ��#���A?�����������������E� R ��� R�2

���! ����A?P�9��! ���� @ Q6E� ��� @ Q

6����A?� �� �� ��%������� �����D69�D��� � R6����A?� ���

���"�� ����"� @ Q�8 �������D�8����"� @ Q������� ����������� 3"����A?K� R ��B6� � ��B?�68�Q� �� ������� ��6 ��� � ����N� @ ��B6� � ��B?�68�Q� ����T ����� ���� @J�

6����A?� ������EF���� 3"����A?K� QJR ������76E�! ����# ���?�� � � ��D�8?�6� �����������?����B6��8�V� ;