Coloquio de orientación Matemática

Efraín Vega Landa

Geometrías

Imaginen que los convierten en Planilandios

¿Cómo se vería su planeta?

¿Cómo sería el universo de los planilandios?

¿Un pedazo de plano?

¿Un plano infinito?

¿Podría tener área finita su universo?

¿Cómo podrían descubrir la forma de su universo 2D?

Ahora pensemos en…

¡Nuestro universo!

¿Qué forma tiene?

¿Por qué no podemos ahora ver las posibles formas del universo como lo hacíamos en el caso 2D?

¡Porque nuestro espacio geométrico es tridimensional!

¿Cómo es que un planilandio puede imaginar un toro?

=

Si pegamos solo un par de lados opuestos del cuadrado obtenemos

un cilindro

Si identificamos el par de lados opuestos al revés obtenemos la

banda de Mobius

Si identificamos ahora ambos pares de lados opuestos, uno al derecho y

el otro al revés obtenemos una botella de Klein

Un planilandio puede obtener un posible universo (2-variedad)

pegando los lados de un polígono

De la misma forma nosotros como seres 3D podríamos obtener un

posible universo (3-variedad) pegando los lados de un poliedro

¿Cómo sería nuestro universo situvieran que pegar

los lados de este cubo?

Toro tridimensional

Otras 3-variedades que se obtienen identificando caras de poliedros

¿Nuestro universo tiene la forma de cual de éstas 3-variedades?

Nadie lo sabe

Hemos motivado con la pregunta¿qué forma tiene nuestro universo?

el concepto de variedad

¿Cómo asignamosuna geometríaa una variedad?

En 2 dimensiones toda variedad (superficie) puede admitir una tres

geometrías especiales

Esférica

Plana

Hiperbólica

¿Cómo asignar una geometría a la variedad?

Viendo a la variedad “sumergida” en el plano euclidiano, la esfera, o el

plano hiperbólico

¿El doble toro puede estar “inmerso” en el plano euclidiano?

Al hacer el pegado en el plano euclidiano los ángulos del octágono

no ajustan, su suma excede a 2

En el plano hiperbólico podemos encontrar un octágono cuyos

ángulos interiores sean 2 /8 para que al pegar su suma sea 2

Con el octágono podemos teselar el plano hiperbólico

El doble toro adquiere la geometría del plano hiperbólico

Casi todas las superficies son hiperbólicas, es decir, se pueden obtener de alguna teselación del

espacio hiperbólico

¿Qué pasa en el caso de las 3-variedades?

A las 3-variedades también se les pueden dar geometrías…

Pero ahora serán 8 las posibles...

Conjetura de geometrización de Thurston

cuya prueba fue concluida con los trabajos de Perelman y Hamilton

Gracias