Nombres: Paula mena Frederick Manzo

4°A

Geometría

o Según su Angulo: Acutángulo Isósceles Equiángulo Rectángulo Obtusángulo

Clasificación de triángulos

o Tres ángulos desiguales

Acutángulo – escaleno

o Dos ángulos iguales y otro desigual el ángulo se llama Angulo del vértice

Isósceles

o Tres ángulos iguales, cada uno mide 60°

Equiángulo

o Tiene un ángulo recto, es decir que mide 90 °

Rectángulo

Tiene un ángulo mayor a 90°

Obtusángulo

oSegún sus lados : Escaleno Isósceles Equilátero

Clasificación de triángulos

o Tres lados de medidas desiguales

Escaleno

o Dos lados iguales y uno distinto el lado distinto se llama base

Isósceles

o Tres lados iguales

Equilátero

o La suma de los ángulos interiores miden 180°o La suma de los ángulos exteriores miden 360°o Un ángulo exterior es siempre igual a la suma de

los interiores no adyacentes o En un triangulo rectángulo la suma de sus lados

agudos debe dar 90°o En un mismo triangulo a mayor lado se opone

mayor ángulo o La suma de las medidas de dos lados es siempre

mayor que el tercer ladoo La diferencia de las medidas de dos lados es

siempre menor que el tercer lado

En todo triangulo :

oDos o mas triángulos son congruentes si …

Postulados de congruencia de triángulos ( igualdad )

o Tienen sus tres lados respectivamente congruentes

1-. L.l.l (lado , lado, lado )

o Dos lados y el ángulo comprendido

2-. L.a.l ( Lado , Angulo , lado )

o dos Angulo y el lado común congruente (A.L.A)

2-.A.L.A(ANGULO , LADO . ANGULO)

o IMPORTANTE: LA RELACION DE CONGRUENCIA ES UNA RELACION DE EQUIVALENCIA, esto es porque:

o 1º reflexiva: todo triangulo es congruente con el mismo.

o 2º simétrica: si un triangulo es congruente con otro, este ultimo es congruente con el primero.

o 3ºtransitiva: si un triangulo es congruente con un segundo, y este es a la vez congruente con un tercero, entonces este ultimo es congruente con el primero.

Importante:

o Aplicando la congruencia de triángulos se pueden establecer otras relaciones métricas en los triángulos y cuadriláteros.

o 1°Las alturas de un triangulo equilátero son congruentes

o 2° La altura a la base de un triangulo isósceles divide al triangulo en dos triángulos rectángulos congruentes.

o4.-las tres alturas de un triangulo equilátero divide a este en seis triángulos rectángulos congruentes.

o5.-los ángulos agudos de los triángulos anteriormente mencionados están en la razón 2:1

o 6.-las diagonales de un cuadrado son congruentes. Miden cada una el lado por raíz de dos.

o 7.- las diagonales de un rectángulo son congruentes.

o 8.-las diagonales de un cuadrado se dimidian perpendicularmente.

o 9.- las diagonales de un rectángulo solo se dimidian.

o 10.-las diagonales de un rombo se cortan perpendicularmente.

o 11.-cada una de las diagonales de un rombo divide a la otra en dos trazos congruentes.

o Además se verifica:

o 12.-Teorema de la mediana: todo trazo que une los puntos medios de dos lados en un triangulo es paralelo y equivale a la mitad del lado opuesto.

o 13.- si en el triangulo anterior se traza la altura al lado sobre el cual se ha trazado la mediana, entonces la altura se dimidia.

o 14.-las transversales de gravedad se cortan en la razón 2:1.

o 15.- EN TODO TRIANGULO SE VERIFICA: el área es igual a la base por la altura a la base.

o 16.-Las simetrales se cortan o concurren a un mismo punto denominado circunscentro. Genera la circunferencia circunscrita. (El circunscentro puede ser un punto interior o exterior al triangulo)

o 17.- las tres bisectrices concurren o se cortan en un mismo punto denominado incentro, que es el centro de la circunferencia inscrita al triangulo. (El incentro es siempre un punto interior al triangulo)

o 18.-las tres transversales de gravedad se cortan o concurren en un mismo punto siempre interior denominado baricentro.

o 19.-las rectas notables trazadas a la base de un triangulo isósceles son congruentes.

o 20, Las rectas notables trazadas sobre cada uno de los lados de un triangulo equilatero son todas congruentes.

o 21.-los puntos notables en el triangulo equilátero son todos coincidentes.

o 22.-en todo triangulo equilátero las circunferencias inscrita y circunscrita son concéntricas (de centro común)

o Para cualquier tipo de triangulo. o 1.- teorema general de Pitágoras: el cuadrado del

lado opuesto a un Angulo agudo equivale a la suma de los otros dos lados menos el doble de uno de ellos por la proyección del otro sobre el.

Relaciones métricas generales:

o Si el Angulo es obtuso la proyección se suma:

Una de las alturas

donde

y axial cada una de las otras.

3.-el área esta dada por

FORMULA DE HERÓN

4.- el radio de la circunferencia inscrita esta dada por:

5.- el radio de la circunferencia circunscrita esta dada por:

6.-Teorema de los senos:

7.-teorema de los cosenos:

8.- el área también se puede calcular atendiendo a la formula trigonométrica

y las otras dos variaciones de la misma.

9.- por otro lado también se puede establecer que:

Teorema particular de Pitágoras

FORMULAS PARTICULARES

Teorema de Euclides

en el triangulo rectángulo:

además:

teorema de la bisectriz interior (valida para cualquier tipo de triangulo).

Teorema de la bisectriz exterior:

Circulo de Apolonio

Teorema generalde Thales

Caso particular

en el caso particular de la figura que se indica la proporción correcta es:

un caso especial son las diagonales de un trapecio

Dos o mas triángulos son semejantes si se cumple que

1º.los ángulos son respectivamente iguales 2º los lados son respectivamente

proporcionales.

SEMEJANZAS

Distancia entre centros

ELEMENTOS EN EL CIRCULO

Arco: porción de circunferencia: se mide en grados (medida angular) Se mide en unidades de longitud (Medida

lineal).

Ángulos.

Central: mide lo mismo que el arco.

Inscrito .mide la mitad del arco subtendido

Interior. Mide el promedio de los arcos subtendidos por los lados y las prolongaciones del mismo

Exterior: mide la semidiferencia de los arcos subtendidos por las intersecciones de los lados del Angulo con la circunferencia

División de trazos en la circunferencia; Cuerdas

Secantes.

Tangente (potencia de un punto a una circunferencia)

División Áurea de un trazo: Consideremos el trazo:

Se dice que P divide de modo áureo al trazo AB. Es decir el mayor de los trazos es mediaproporcional entre el trazo y el trazo menor.

De acuerdo a las medidas dadas se puede establecer que:

si se aplica la ecuación de segundo grado se obtiene:

Espero que esto no se le olvide, memorícelo y discrimine correctamente cuando lo debe aplicar.

En matemática no es recomendable aprender cosas de memoria, lo importante es deducir y aplicar, pero hay relaciones que por el usofrecuente se memorizan y ayudan mucho.

ATTE. MONTOYA.-

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