Geometría analítica

Es la unión entre la geometría y el algebra, en el que las líneas rectas, las curvas y

las figuras geométricas son representadas en un conjunto de ejes y coordenadas,

donde desde el punto plano se puede localizar con respecto de ejes

perpendiculares dando las distancias del punto a cada uno de los ejes.

La figura se representa con expresiones algebraicas demostrando como aplicar

los métodos de una disciplina a otra

Secciones Cónicas

Son todas las curvas de intercepción entre un cono y un plano, si dicho plano no

pasa por el vértice, se obtiene las cónicas propiamente dichas. Se clasifican en

cuatro (4) tipos: Eclipse, Parábola, Hipérbole y Circunferencia.

Segmento

El segmento es una porción de una recta unida por un par de puntos se dice q los

segmento son consecutivos cuando poseen un extremo en común. Si pertenece a

la misma recta se denomina segmentos colineales, de lo contrario reciben el

nombre de segmentos no colineales.

Tipos de Segmento

Segmento nulo

Un segmento es nulo cuando sus extremos coinciden.

Segmentos concatenados o no colineales

Dos segmentos son concatenados cuando tienen un extremo en común.

Segmentos consecutivos o colineales

Dos segmentos son consecutivos cuando además de tener un extremo en común pertenecen a la misma recta.

Mediatriz de un segmento:

La mediatriz de un segmento es la recta que pasa por el punto medio del segmento y es perpendicular a él.

Igualdad de segmentos

Dos segmentos son iguales cuando superpuestos coinciden.

Desigualdad de segmentos

goza de las propiedades transitivas para las relaciones de mayor y meor.

Operaciones con segmentos

Suma de segmentos

La suma de segmentos es otro segmento que tiene por inicio el origen del primer segmento y como extremo el final del segundo segmento.

La longitud del segmento suma es igual a la suma de las longitudes de los segmentos que lo forman.

Resta de segmentos

La resta de dos segmentos es otro segmento que tiene por origen el final del segmento menor y por extremo el final del segmento mayor.

La longitud del segmento diferencia es igual a la resta de las longitudes de los dos segmentos.

Multiplicación de un número por un segmento

El producto de un número por un segmento es otro segmento resultado de repetir el segmento tantas veces como indica el número por el que se multiplica.

La longitud del segmento obtenido es igual al número por la longitud del segmento inicial.

División de un segmento por un número

La división de un segmento por un número es otro segmento tal que multiplicado por ese número da como resultado el segmento original.

La longitud del segmento obtenido es igual la longitud del segmento inicial divido por el número.

Coordenadas Cartesianas

Las coordenadas cartesianas o coordenadas rectangulares son un tipo de coordenadas ortogonales usadas en espacios euclídeos, para la representación gráfica de una función, en geometría analítica , o del movimiento o posición en física, caracterizadas porque usa como referencia ejes ortogonales entre sí que se cortan en un punto origen. Las coordenadas cartesianas se definen así como la distancia al origen de las proyecciones ortogonales de un punto dado sobre cada uno de los ejes. La denominación de 'cartesiano' se introdujo en honor de René Descartes, quien lo utilizó de manera formal por primera vez.

Proyección de puntos sobre los ejes

Si el sistema en si es un sistema bidimensional, se denomina plano cartesiano. El punto de corte de las rectas se hace coincidir con el punto cero de las rectas y se conoce como origen del sistema. Al eje horizontal o de las abscisas se le asigna los números enteros de las equis ("x"); y al eje vertical o de las ordenadas se le asignan los números enteros de las yes ("y"). Al cortarse las dos rectas dividen al plano en cuatro regiones, estas zonas se conocen como cuadrantes:

Primer cuadrante "I": Región superior derecha Segundo cuadrante "II": Región superior izquierda Tercer cuadrante "III": Región inferior izquierda Cuarto cuadrante "IV": Región inferior derecha

Circunferencia.

El plano cartesiano se utiliza para asignarle una ubicación a cualquier punto en el plano. En la gráfica se indica el punto +2 en las abscisas y +3 en las ordenadas. El conjunto (2 , 3) se denomina "par ordenado" y del mismo modo se pueden ubicar otros puntos.

Las coordenadas cartesianas se usaron un ejemplo para definir un sistema cartesiano o sistema de referencia respecto ya sea a un solo eje (línea recta), respecto a dos ejes (un plano) o respecto a tres ejes (en el espacio), perpendiculares entre sí (plano y espacio), que se cortan en un punto llamado origen de coordenadas. En el plano, las coordenadas cartesianas se denominan abscisa y ordenada. La abscisa es la coordenada horizontal y se representa habitualmente por la letra x, mientras que la ordenada es la coordenada vertical y se representa por la y.

Tres ejemplos de coordenadas asignadas a tres puntos diferentes (verde, rojo y azul), sus proyecciones ortogonales sobre los ejes constituyen sus coordenadas cartesianas y el origen de coordenadas (0,0) en magenta.

La Recta

En geometría euclidiana, la recta o la línea recta, se extiende en una misma dirección, existe en una sola dimensión y contiene infinitos puntos; está compuesta de infinitos segmentos (el fragmento de línea más corto que une dos puntos). También se describe como la sucesión continua e indefinida de puntos en una sola dimensión, es decir, no posee principio ni fin.

En geometría analítica las líneas rectas pueden ser expresadas mediante una ecuación del tipo y = m x + b, donde x, y son variables en un plano cartesiano. En dicha expresión m es denominada la "pendiente de la recta" y está relacionada con la inclinación que toma la recta respecto a un par de ejes que definen el plano. Mientras que b es el denominado "término independiente" u "ordenada al origen" y es el valor del punto en el cual la recta corta al eje vertical en el plano.

Ecuación de la Recta en el plano

E A 2cm

B 8cm C 3cm 6cm D

G H GH

En un plano cartesiano, podemos representar una recta mediante una ecuación general definida en dicho plano ya sea mediante coordenadas usando puntos y vectores, o bien funciones que especifican dichas coordenadas.

Ejercicios:

1. Si se tiene un segmento AB alineado con un segmento BC y uno CD represente el segmento formado y diga de que tipo de segmento estamos hablando.

Segmento Consecutivo o colineal.

AB BC CD

2. Si en un segmento coinciden sus extremos de que tipo de segmento se esta hablando y represéntelo gráficamente.

Segmento Nulo

3. Represente gráficamente un segmento no consecutivo que tiene 2cm, 8cm, 3cm, 6cm.

4. Si se tienen cuatro (4) segmentos AB= 2cm, CD= 2cm, EF= 3cm y GH= 8cm

dígale cual es su representación (iguales o desiguales)

Desigualdad de Segmentos

A B C D

2cm

2cm

3cm DF

D F

Pendiente y ordenada al origen

Dada una recta mediante un punto, , y una pendiente :

Se puede obtener la ecuación de la recta a partir de la fórmula de la pendiente (ecuación punto-pendiente):

Donde es la tangente del ángulo que forma la recta con el eje de abscisas X.

Ejemplo

La ecuación de la recta que pasa por el punto y que tiene una

pendiente de: :

Obteniendo el punto medio

Para obtener geográficamente el punto medio de un segmento, mediante regla y compás, consiste en trazar dos arcos de circunferencia de igual radio con centro en los extremos y unir su intercepción para obtener la recta mediatriz. Si se tiene definido las coordenadas de los extremos se puede obtener el punto medio a través de la siguiente formula:

Ejercicio N° 1

o

A B X + 1 L 1 2X + 14 L 2

C D

Ejercicio N° 2

Ejercicio N° 3

A 9cm B 5cm E D C 10cm

Secciones Cónicas Cuando tomamos un compás y trazamos una circunferencia hablamos de los puntos del plano x distante de otro llamado centro.

Todos estos puntos cumplen una determinada condición, por lo tanto nos estamos refiriendo a un lugar geométrico. La distancia entre dos puntos del plano. Sean los puntos A= X1, Y1 y B=X2, Y2

Es la distancia correspondiente a la hipotenusa del triangulo rectángulo cuyos catetos representan la diferencias entre las abscisa y la ordenada respectivamente.

Las curvas obtenidas al corte un cono recto circular en un plano que no pase por el vértice se llama secciones cónicas o simplemente cónicas. Según sea la inclinación del plano que corte el cono circular, se obtiene una circunferencia, una hipérbole o una parábola. La circunferencia es el lugar geométrico de los puntos del plano que se encuentra e igual distancia (equivalente) de otro punto fijo llamado centro El centro de la circunferencia es C (Xo , Yo) mientras que la distancia del centro o cualquier punto de la circunferencia es igual a la longitud del radio. Si hayamos la distancia del centro ( c ) de la circunferencia del punto “p” dicha distancia es constante e igual al radio de la circunferencia, obtenemos entonces que la distancia del centro al

punto viene dada por la raíz

D(c,p) =

R2 =

= R2

Esta expresión recibe el nombre de la ecuación canonica de la circunferencia de radio R Y centro C