GEOMETRÍA 1
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Conceptos '------_---------'1 topológicos OBJrnVOS C<M1QCer los oonceplo.'i topológicos básicos. Estudiar el conjunto convexo y no convexo. Dt>linir el conjunto conexo y no conexo (inconexo). Diferenciar de manera gráfica los diversos conjun tos Que se han planlcado. INTRODUCCiÓN La lopologia es una de las ramas más activas de las matemáticas contemporáneas. En el lexto desarrollamos las ideas generales de la nah.lrale.za de ciertos conceplos tOpOlógicos. Las grandes divisiones de la topoJogfa son: La topologia combinaloria (o algebraica) Que tiene aplicaciones importantes en la teoría de las La topología general. un aspcClO panicular de la cual es la topología de }os conjuntos, creada por Cantor (1879). A partir de los trabajos de Cantor se desarrolló la lopok>gfa de los espacios abstractos, t r'eada por Frechct (1914). El topólogo considera los mismos objetos que el gcómetra, pero de modo distinto, no se fij a en las distancias o los ángulos, ni siquiera la alineación de los punlos. Para un topólogo una cin.: \mfcrcncia es equivalente a una elipse; una es fera no se distinguc de un cubo, se dice Qlle estas figuras son objctos topol6gicamenle cQuival entes, porque se pasa de uno al otro mediante una transformación continua y reversible, en olras palabras. hay una correspondencia biunívoca entre los puntos Pero un top6loeo. IH)Q rosquIlla llef)C ieuaks de la figura original '1 los de la transfonnada. coroclo-ISUr:OS qur uno tozo. www.PDFN.blospot.com
Transcript of GEOMETRÍA 1
Conceptos '------_---------'1 topológicos
OBJrnVOS
C<M1QCer los oonceplo.'i topológicos básicos.
Estudiar el conjunto convexo y no convexo.
Dt>linir el conjunto conexo y no conexo (inconexo).
Diferenciar de manera gráfica los diversos conjuntos Que se han planlcado.
INTRODUCCiÓN
La lopologia es una de las ramas más activas de las matemáticas contemporáneas. En el pres~nlc
lexto desarrollamos las ideas generales de la nah.lrale.za de ciertos conceplos tOpOlógicos.
Las grandes divisiones de la topoJogfa son:
La topologia combinaloria (o algebraica) Que tiene aplicaciones importantes en la teoría de las
ecuacion~.
La topología general. un aspcClO panicular de la cual es
la topología de }os conjuntos, creada por Cantor (1879). A
partir de los trabajos de Cantor se desarrolló la lopok>gfa de
los espacios abstractos, t r'eada por Frechct (1914).
El topólogo considera los mismos objetos que el gcómetra,
pero de modo distinto, no se fija en las distancias o los ángulos,
ni siquiera ~n la alineación de los punlos. Para un topólogo
una cin.:\mfcrcncia es equivalente a una elipse; una esfera no
se distinguc de un cubo, se dice Qlle estas figuras son objctos
topol6gicamenle cQuivalentes, porque se pasa de uno al otro
mediante una transformación continua y reversible, en olras
palabras. hay una correspondencia biunívoca entre los puntos Pero un top6loeo. IH)Q rosquIlla llef)C ieuaks
de la figura original '1 los de la transfonnada. coroclo-ISUr:OS qur uno tozo.
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ESPACIO TOPOLOGICO
DEFINICiÓN
Sea e un conjunto no yacIo Un conjunto T
de subconjuntos de e define una l opologia de e, si Tverifica los siguientes axiomas:
Axioma I La unión de (:ualquicr número de elementos
de Tes un elemento de T.
Axioma2
La intersección de dos elementos rualcsQuiera de Tes un c lemento de T.
Axloma3
El conjunJO e y el vacío pertenec:en a "(.
Luego, e conjuntamente con el conjunlo T. es
decir. el par ce. 7) es un espaclo ,op~6gico.
Ejemplo 1
Sea el COOjlUlto C = ~ I ;2,3:4 ;5} luego,podemos
establecer 32 sutx.'fJnjunlos de e de I~ cuales elegimos los sisuienles:
(l. C. x.=( 1:21, xf =(3:41.
x,= I! :2;3:41. x, = 13;4;5)
y con ello formamos el conjunto T, es decir
T= fltl;C;x, :X,;Xl ;x~t_
¿Es (C. n un espacio topológico?
Para establecer que el par (e. T) es un espacio topológico, entonces, en T deberán de verificarse los tres axiomas cslablcddos en la definición.
Axioma I
La uni6n de cuak]uier número de elementos
('le Tes un elemento de T. En nUCstro caso
X1UX.= {I :2 :3 ;4} =xl ;
x.vx2 vx,={1 :2;3;4:S} =C
C...on eUo flOIamos Que se cumple el axkma l .
Axioma 2
La interSección de dos elementos cualf'squiera de Te!> tln elemento de T.
En nuestrOCMoOX3f'1X, ={3; 4} =xl
; X,I""'IXz =9 Con ello, notamos QUP se cumple el axioma 2.
Ar;oma 3
El ronjunto e y cl ",aclo pertenecen a T puesto que en T se cumplen los Irc~
axiomas, por lo lanto, el par (e , n es un espacio tClfX)l6gico, tambi{>n es posible decir que T es una topología de e o T confiere a: e estructura topológica.
CONJUNTO ABIERTO
Sea ce, n lln espacio topológico. A los subconjuntos dí' e Que rorman la topología T se les denomina: los abiertos de e a J~ T abiertos.
CONJUNTO CERRADO
Sea (e, n un espacio topológico. Se
denominacenadoo T cerrado a todosubconjunto de e cuyo complemenlo sea un elemento de T.
Ejemplo 2 Sea el espacio topológico ce, n, donde
C= 11 ;2;31 A T= IO.C. IIl . m.1! ;3J. 12 :3lJ. mencione los conjunlos abiertos y certados del espacio lopol6Rico ce, 1). 1. Por definición, los conjuntos abiertos de la
topologfa r en e son
Q. C. IIJ. m. {. ;3}. 12;3} 2. De Jos siguien tes subconjuntos de C. se
ha de establecer los (''errados de T, así por ejemplo: {l }: es cerrado de T. puCSIO Que su
complemento 12;3) se cnaacntra en T. {2} : es ccrrado de r, pueslo Que su
complcmeruo (1 ;3) se Cfl(.'UCnlrn en T.
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{3}; no e::. cerrado de T, pue:;,.to que su corrt¡jl!lllerll:o {I ; 2} no se enctJ('I'"tra en T.
(2;3} : es cerrado, puesto qUf> su
c. (:omplemento {I) se encuenlra en T.
es cerrado de T, puesto qul.' su
complemento el Q se enc:uentra en T.
es cerrado de T, puesto que SlJ
complemento es e el cual ::.e
encuenlra en T.
LueRO los conjuntos cerrados de la IOpoJogl8
Ten C son {i 1, (2l, {2;31, C,~.
n
l . Del ejemplo anllPriOf de lodos los subconjumos de e son
( 1) , m, (1 ;21. {J ;3), 12;3}, e, Q de los cuales algunos SQn abiertos y cerrados a la vez comO 111. (2;3}, e, 1)
micnlrao; qoe olros no figuran ni cnlrf' 1m
atnertos ni entre los t.'errddos como (1 ; 2) , (1 ;3)
2. En un conjunto no vaciO C. plJl.'de definir5e mas de una topología.
CONCEPTOS TOPOLÓCICOS
Sea el conjunto S formado por lodos los subconjuntos del <..."onjunlo no vacío C. Se observa
que S cumple los axiomas yes por consiguiente
una lopo1ogía ~ C. Esta es la topología discreta
de C y en eSlc caso el par (C,S), es un espac io
lopolÓRiro discreto o simplemellle un espacio discrelO.
Por el axioma 3 toda LopúlQRfa de un
conjunto no vacío e ha de (;onlencr los
(:onjuntos e y Q. Luego J= fC;(I), Que consta únicamente de e y (lo es una IO¡xJlogíd de C.
Esta b la 10000Iogía hivial o 10000Iogía indiscreta
de e yen este caso el par (C,J) es un espado
lopoIógico indiscreto o simplemente un espacio discreto.
INTERIOR. EXTERIOR Y FRONTERA DE UN
COfLIUNTO
L En R
a"~_~_-----,b p
rrgura 2.1
Sea el conjunto de puntos P (:uyos exlrcmos
son los ptlntos a \" b. Al intervalo (a;b) se le denomina interiOr de P, y al intervalo
(-00;0) v{b; +oo) se le denomina. exterior
de P. La frontera es el (.'onjunlo de los punlOS extremos, es decir o y b.
El conjunto clausura de P L"S la unión del
interior (:00 la frontera de P, es decir, lo; b] ,
2. En W
R
exterior de P
o R
Rgura2.2
3. EnR'
A~ '!1 R
O R
R Rgura2.3
e se cncuenlra en el interior del cubo.
A se encuentra en la frontera del cubo.
M se encuentra en el exlerior del cubo.
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CLASIFICACIÓN TOPOLÓGICA DE LAS SUPERFICIES
La mayor parte de los objCIOS, lopológicamentc
pueden Iran~fOrn'\arse. es decir, sufTir variaciones en la
forma de ¡ou superficie perO dctando inallcradas ciertas
propiedades básicas.
T~ las Iran~(ormacionCs topológicas como la
mostrada en la parte derecha comprenden una propiedad
denominada el genero. E5le se define por el número
de agujeros Que licncn él objelo 0, cúmú dicen \os
topologos. por el número ere rorte~ circulares ce rrados
sin inlersccción o CúIYlplClamcntc circulares que pueden
hacerse en dicha superficie sin romperla en dos partes.
GÉNERO DE UNA SUPERFICIE
1.tI teollO de Iludo! es uno rorntl de ro topoklflo ~t
r~noe I~ muchos problMOS 1>0' rt:soIvtr. Un l'IIJdo
se ~ con1Hkror como lNl/l C!6WJ $lCncitlo. h«ho. (0"'0 y que SC' puede reforCe\". OIor¡ClI o de(ormat de cuc!qtlfef (Off'l1O et1 un f:spocio I,.d¡men~i()na'. QtJfIqiJe
no se puede romper.
PUeden ser de género O: 1; 2; 3 6 más. Para un mayor entendimiento se muest ra las siguienlcs
figuras.
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SUPERFICIJ;5 UNILATERALES
Una superllcie ordinaria tiene siempre dos caras. El malemáti<:Q astrónomo alemán Augustus F.
Móbius (1 790-1868) hizo el descubrimiento sorprendente de que c>\islcn superficies de una sola cara.
La más sencilla de dichas superficies, llamada cinta o banda de Mooius, se forma lomando una tira
larga y rCclangular de papel y pegando sus dos extrCIllOS después de darle media vuella, como se
indica en la fisura (a). Otra superficie unilalCml interesante es la botella de Kleln, descubierto por el
matemático alemán Félix Klein (1849- 1925).
(o) Lo cm'o de MobNs COI! Un solo lodo. (bJ -DMSiOI'l- de unt1 Ol1to de MObi'us CuOfldo SI! h«t
un CDl"t,e por lo mlfod de uno cinto de M5bi~ podrio
esperCJt;e dI'IKI/f lo t¡,.a en dos. ~rD coondo ~ hoce d corle Jxtr U")(I linefl IRJ<lIIIlOI"I(I por el medio de fa cinta.
fe) V lewh..:Jo no es dos lilaS sino uno tiro de dos lodos. Uno
CInto de Móbws solo llene un borde; el corte oñode un
segundo borde Y un segundo lodo. (d) Dondo color .:11 una cinto de Mtibius. Cualqwer" puede
pintor un anillQ de pope' «dlnClfIO de un color por un lodo
(a)
r Olro por el Olro lodo. Pero no 5e podría lJ«ef e$to con (bJ uno cmto de Mbb.IIS. S. oIfU~n lo jntentoló ~rÍ<J que lo l'fO flene Uniccmel'tte un ledO' el! el que comci<lcn omb05
cololes.
Gnto de 1t1iibu1 11. 1963. J(jlo¡,o{io en Ues
(/files
(di
Al di:seño de ~ moderoos O"l.ICcs de otItoptnas ha
OOfltnbu.do una rema de lo malemótico que r«ibe el
nombre de TOPOLOGlA.
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re) ... y SI!- Uf/O a le! base
CONSTRUCCIÓN DE LA BOTfLLA DE K.L.ElN La!!' (res dKw~ de: la firuro
5VpItf1ilr ¡IusUdo eómo 5e hoce lo botello de !<h,n (o) Un ed,-emo ~I rubo se comrfette
CtI el euelfo. el olto en lo base: (b) d f;Uc/Jo a tnMeso el kIdo de la botella: (e) el wclJo
'110 base se unen. tronsfOll7londo en ...., $UCesiOn eontinuo el mtenOt" r exterror.
LA BOTELLA QUE NO TIENE JNTERIOR E:ste modelo de botella de Klcin. que
no Oenen nineun lfllCt"irIt; pertenece 01 topotJgo Albert W. Tuc:k.er. <k lo Uf'Ii!l'eutdod ~
1'1incelon. NOOie l'eró JOf11ÓS uno verdadero bxello de KJcin rG que i SIG sólo existe en
lo lfI'IOIlinoc& del lopó/ofo La botella de KSeill se Q(rOlriero G d mifmo sin qJC hGyo Ftlu( KJcin (Duswldot( 18i9 -
Goti"fO 1915J .en 1871preSCfll6ullO
norable dasif;cOCi6n de lo geOlTlCtríO.
el "Programo de Erlongen" ponlf!rldo fin o lo CK¡sión entre geomctrio
pura '1 reameldo QnclIitJeo.
La. botella de Klcin es una soperficie cerrad" con una sola cara y sin ¡nlcriar. Dos dnlas de M5bius unidas por los costados forman una botella de KIt...¡n. Tanlo la banda de Mobius como la botella de Klein son ejemplos de "superficies no orienladas~ la
primera ron borde ~' la segunda sin el. La botella de Klein rue inventada el! 1882 por Félix Klcin.
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• CAMINOS Y ENCRUCuAOAS
Una vilrianlc de la topología es dar solución a vicjos problemas que consisten en reproducir
l.Ifla figurd sin levantar el lápiz dt!1 papel, con un solo trazo ininterrumpido y sin pasar dm
\'eces por e l mismo silio. Lo'! topología 110S pcrmile decidir él priori,
~in recurrir a lanleos, si dada una figura determinada es posible o imposible dibujarla de un solo (r-elZO , de qué mancm podemos
dch...-nninar el numero de lr.v.os (l(,.·( ,:esarios y
como debemos proceder para rCLllizar1os.
Empecemos por definir a lgunos términos que
se uliliZilll en este acapile. RED (o S .... fo); figura fOlTTlélda por un número
arbilmJkl de puntos dispueslos de un modo cualquiera en el espacio (o en el plano) y
unidO! ~mlre si por lineas rt!c~s o curvas, CAMINO (o lado): Unca, rt..'Cla o CUf\"o.I, que
une dos puntos de una n .. -d. CRUCE (o encrucijadu o lumbién vértice):
punlo de una red. GRADO: numero de caminos {¡ue un cruce
l.'Onl.,<.:ta entre sí. Hablaremos esencialmente
de cruces de gr.xlo par y de grado impar. 1'RAZ0: sucesión .;,:ontin(¡a de caminos distinlOS. Un Ird.ZO I~un cruce de saJida yotro de Ueg,ada que pueden coincidir. El recorrido \'eriñcado
con un solo trazo de lápiz es un. trazo.
5
El sobre ot»ello
Se Imm de una red que consta de 6 <-TOCCS y 10 caminos; 4 Cf\.I{."es son de gmdo par (1 , 6, 4, 5)
Y dos de grado impar (2 y 3).
2· 1-5-4·5· 1 es un tra7.o.
r--DATOS HISTÓRICOS
El nombre de topología que en nuestros
dias se wgna a La. disciplina de una rama
de la geometría que se ocupa únicamente
de aquellas propiedades de las figuras
geométricas Que no cambiiln c.uando
eSIa.~ se deforman, independientemen te
del (amaño, fue Uamuda por primcw IICZ
en 1679 por el filósofo y científico alemán
Leibniz mmo Analysis sitw. (an..'iltsis de la
sih.ociÓll). PosleñOl'mCfllc es FélOi: Kleín
quien la denornina Topología.
Las medias lunas dc Muhoma
Una leyenda afirma QUC M'lhoma, et profeta, dibujada su firma compuesta de
dos medias lunas opuesta!l de un solo
tmzo con la punta de §tJ dmilana.
F61ix Klcin probó b independencia de
la geometria proycdiva del axioma de
Euclides de las par.llclas, demostrando
asf que, tanto la geometría cudidiana
como la no eudidiall(! $C enf;Oll lraban
(:omprendidas en la geomelría proycctha
y que cmll igualmente verdadcrdS con
r~pccto a una métrica particular.
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CONJUNTO CONVEXO
DEFINICiÓN
Un conjunto de punto P se denomina
convexo, si pilJ"8 dos punlos cUilJe~uiera A y B
del conjunto P, el sesmenlo de ('xlremos A )' B
(AB) se encuentra contenido en el conjunto P.
l.d clMu«eión ck., Sol es retnstntodo
como IJI'I ,It,u!o fI! el plono o lXlCJ esfera
en el espacio omboI represernoclOf)ft 5Of'1
e~mpJos de conjurllo COf'MtIlO
Ejemplo3
RegiÓll trid;n~u l llr (t:onjunto P)
RlJu .. a 2.4
De La figura 2.4, Id A, B E P tal que AfieP entonces, P es un conjunto corn'f':xo
Ejemplo 4
8
A~
Región interior de una curva simple cerrada
(conjunto Q)
Rguro2.5
De la ligwa 2.5, si V A, B e Q, tal Que AOcO, enlonces Q es un conjunto convexo
EjemPlo 5
.-' -
Cono de revoluci n (conjuntoS)
RIJura2.6
De la figura 2.6, si "rI A. 8 E S tal (Iue' ABeS.
entonces S es un t:onjun lo con\'eJlo.
En cada uno de los ejemplos anteriores,
nolamos que es posible ir eje un punto A
cualquiera a otro punlo 8 cualquiera, si se
mueve a Jo largo de un segmento de recia, sin
salir del conjunto en m~"d6n y a lo!> cuales se les denomina convexo!,.
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CON~UNTO NO CONVEXO
DEFINICiÓN
Un conjunto de puntos P. es denominado no
convexo cuando existe por lo tanlo dos puntos A y B elel conjunlo P. laI Que el segmento de extremos A y n (AH) no se encuenb3 contenido en el conjunto P.
Lo ~rficie '* tJr) Iq¡o fIOI¡ do Idea de <Of1jUflIO no
-~.
Ejemplo 6
ConjunloP
Figuro 2.7
En la figura 2.7, si AeP,BeP y AB c P, entonces P es tln conjunto no convexo
Ejemplo 7
Región inlerior de una curva simple cerrada (conjunlo Q)
RguI'a1.B
En la figura 2.8, si A e O,Be O y ABczO entonces Q es un conj unlo no convexo.
Ejemplo 8
ConjuntoL
f7gura 2.9
En la figura 2.9. siA E L. 8 E L yAB a: L entonces
L es un conjunto no con'w'eJ\:O.
En cada uno de los ejemplos anteriores
notamos que existen segmentos que se
encuentran con!('nidos en tos conjuntos P, Q
y L. perO también observamos la existencia
de por lo menos un segmento CAB) que no se
encuentra contenido en dichoS conjuntos en
mención, a los cuaJes se les denomina conjuntos
no COnvexos,
, .
ünea cunra continua: Es aquella curva
qUf' r(,.'Sulla de lil lran:-.(nrrnación topológica
de una rt!clil. un segmento de recta o una
circunrcrcnci<.l.
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CON.lUNTO CONEXO
DEFINICiÓN t;jemplo 9
Un conjunto de puntos es denominado
conj unto conexo, si para todo par de puntos
del conjunto existe vna linea curva continua
contenida en dicho conjunto que contiene a
dichos puntos. Una idea imuithJCJ de Uf! conjunto
conexo es flue {'stó "hecl/o de una pieza".
Lo superficie dE Utl rfo nos do Ideo de IIn COtljullCO
conexo.
ta'
ConjuntoP
FISura 2.JO
De la flgurd 2.10, 'Pes unu cueva continui.I del
conjunto P, ooscr\lumos que la curva T se
encuentra contenidiJ en el conjunto P y contiene
a todo A y B del conjunto P. Resulta as( 'IUé e l
conjunto P es un conjunto conexo.
tb,
En 1(1 lIO(uroHu:ll .enconlromos ejemplos de con;untO$ <one.tOS como
(G' Id d!:StI'lbtJclótl rnoJ,ecufOf' ck /0$ mfIIeroles.. lb) tos copas concll!ntticos de los tleJtdm en los ciJltrpos wgerales. y kn: CJtHIIM de creclmle1l10 de UIl ábol. Jos cuales no¡ dCJf1 ,QrQl de CUfWJS conttocllbles en un p&.w'IfD.
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Curva simple abierta. Es aquella que resulla de la transforma66n topológica de un
segmenlo de recia.
A B
nan~om~
-_(1 : \J ,
FJguro2.11
CON.lUNTO MULTIPLEMENTE CONEXO
Esta calegona se establece a lodo conjunto
de puntos del plano en el ('"ua! existe porlo menos
una curVa simple cerrndü que nO eS confractible
en un punto.
Ejemplo /O
ConjunloQ
FIgura 2.12
De la figura 2.12, '( es una curva simple
cerrada. que puede deronnarse. COnlm}'éndose
conlinuamenle, menos en un punto. Obvia·
mente no puede dejar de estar contenido en el
conjunloQ.
Luego se dice que Q es no simplemen te conexo.
La categoría de conj unto no simplemente
conexo, doblemente conexo, triplernente
conexo se establece por la. cantidad de aQujeros
que tiene el conjunto (uno. oos, tres, agu}eros
Tespedivamente ).
Lo ~~Je de Uf! loro con LnJ ISla nos do Ideo de ConJlIfKO canuo o no ~nft':" cone.w
Ideo dt: conJunto doblt':"rnt':"rltc COflUO
ÚJ supb'flCot: de un toro con vaJczs hJm¡ ntlIS dct lo .deo de conjunro mutrIplementt: COllbO
Curva .. bnple (;er ... ada.: Es i.qllel ~ wrva
que resulta d~ J¡¡ Imnsformc.¡dón topológica
de una ciromfert~ncia.
o "'I~'"":.oo ~ FIguro 2.13 I
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ORDEN DE CONEXIÓN
Conjunto Slmplement. coneKo
Esta C'él legoríCl se cslüb[c~ a todo conjunro
de puntos del plano. en el cual 10005 las turvas
ct=!nadas conlcnidclS existentes son contráctiles
en un punto.
Cjm1plo 11
ConjunloP
FIIlIlNl 2.14
\
De la figura 2.14, ( es una curva simple
cenada Que puede deformarse, contraytndose
continuamente haSl.l reducirse y convertirse en
un punlo. Obviamente no pued~ dejar de estar
contenido en el conjunto P.
luego. se dice qUE' e l conjunto P es simplemente
conexo.
lq $l..f1~H! de un Iooio $HJ !$1m 1105 rk la ideo de Url
COflJlXlCO ~mt'nu COM,o
o Si al conjunto Q lIC'! ejemplo colljunlo COII~~O se le hac~ un cortll! en la forma (Iue se apre<:ia en la figur." este se c.:ollvictle el simplli!lTIt!nte COI'Je)."()
ConlunloQ
Figura 2.IS
CON~UNTO NO CONEXO O INCONEXO
Definición
Un conjunto de l)unlOS del plano es no
conexo, si existe per lo menOS una curVil continua
no contenida en el conjunto dado.
Un río ~ por puentes tlO$ da n:fc.o • C~UI'lto no CCJneMO o incone.wo
Ejemplo 12
Figura 2.16
De la figura 2.16, sea H=P u Q. Si r es una curvu del conjuntn 1-1, obsc..'fVUnlOS
Que la curva '7' no 5e en{'uenlrü contenida en H.
luego, e l conjunto H es no ronexo o inconexo.
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. . Oisoo cef1"'3do! Es un conjunto de puntos. confOl'Tl'\ado por lodos kls pontos del círculo. incluidos los puntos de su respediva dn:unrerenda.
o Figura 2.17
Notación: Disco cerrado (,.'on cenlro en O y mdior: D,CQ). DIKa abierto: &. un ronjunto de pomos ronrormooo por lodos los puntos del drculo. peR'J excluyendo lodos los punlos de su respectiva clrcunfcrenda.
figura :t.18 I Notación: Disco abierto con centro en O y r.xlior: D,CO) .
Punto Inlenol" de un oonjunto: En el planocudidiano (W),A es un ronjunlodc puntos contenidos en R~ y P un elemento de A. Se dice QU(> P es un punto ¡ntenor de A si v solo si e l disco ubit:r1o de ccnlro Py mdior (r < O) secocu('ntrc contenido cnA. Del grcÍfico, P es en un punto interior de A, puesto 'lue 3 r>O, tal que P E DJP} cA.
y
A
• • p
L.. ____ ~~
Nodón de Homeomorfismo: Consideremos
un hilo eláslico en forrna de circunferencia y
marquemos e n el mismo, tres puntos A. B Y
C. Si lo deformamos estirando algunas de sus
partes, obtendremos contornos diversos: la
circunferencia. se transformará en cuadrado. en
polígono, en ehpse.en una línea cerrada sinucsa,
pero, en todos los casos, B est..-ará siempre enue
A y e y un insecto que se desplazara sobre este
hilo pasnría primeramenle por A des pues por B
Y por ultimo por e, o bien sucesivamente, por e, B y A. Erllre la circunrerencia inicial y la curva
deronnada. exislen numerosas diferencias,
pero suhsiste Uf\¡] propiedad Que permanece
invariante en la deformación: el contorno
dibujado por el hilo siempre es un contOrno
cenado.
A las propiedades, que se manlienen así
invariantes se llaman topológicas y atañen 00
a su medida sino a SI,I continuidad: dos puntos
a y b t.:ontiguos en la línea inicial (puede ser
también superficie) pasan a ser unos puntos a
y b conlisuos en la linea lransrormada, ya lodo
pumo de la primera conesponde un puniD)' solo
uno de la 5esunda.
La transformación que coosesrva
asi la cualidad de las figuras se llama homeomorftsmo,
Homcomol'fismo: es una correspondencia
biunívoca y biconlinua entre las dos
figuras consideradas antes y después de la
transformación.
Es posible dar una definición axiomáJic:¡,¡ de los homeomomsmos } demostrdJ qlK" COIlSliluven un grupo, que es el grupo fl,.lnd<lmenl~1 de la
\, lopok>g(¡:¡ ~
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L E e T u R A
LOS PUENTES DE KÓNIGSBERG
En esta secti6n pretendemo!; dar aIguus COI'lSicfe. adOi es generales y algunos ejemplos. quenos pemitirán
ir' «wldbiendo las Ideas intrinsec.u de la topología-
1:$ CDnOOdo c¡ue la Gec::w'neIria COfTlO ciencia .momatica tuvo SlJ ongen en la arrugua G.-eáa, o.ando
Eucldc:s ~nbe I.m e~ lI"Iol fT'IOr"IUrY'Iel obr-a geotnetríca que: domino hasta el SIglo XVU y d.! algún
modo mamene SU ....genoa hasta 1'l.JeSlr05 dIas. Se sabe que la geometria ciasKa estudia figtras geornemc::as como la recta. la c .. ClKlfcr-encia, las cónicas; es ded. se encarga del e5tUdio de f.gt.r.l$ SIfl'l>Ies.
Esl:imutados por la gCOf11llDÍa no eodKtiana d~ siglo XIX. (el Siglo de la geometría y de la
m<!.ter'T\áric.a en general) , los: maten'\átM;OS r-wli¡:arOfl mayores (~istas geométñczi, Asi David Hllbert
publica en 1989 un importante trabajo sobre la OXIOmOtizoción de la ff:O/TI'tCtia. Oenuo del desarrolk> geomémco. surge una nueva rama que estudia figuras exuañas como por- e jemplo, bs curvas que no
tienen ~tes. las curvas que pasan por todos los puntos dt! un cuadrado y otras COSilS novedosas.
Este tipo de geometría. susteotada en 13 ~rÍ3 de conjuntos. fue llamada ondl,$lS S/tus para despues ser
bautizada con el nombre de topologla. A fin de comprender- las características de la topología Vi!amO$
algunos problemas objetivos. conocidos desde hace muchos anos amis como rompecabezas. pero que
hoy en día los recO! 1OCCt . ros como problemas topológicos.
EJemplo: Problema de los Siete puentes Kónigsbcrg.
Este problema CO/lSIsce en atntvesar los siete puentes que une a la oerra firme con dos rstas. de ~ que no se pase: dos veces por un miSmo pUente.
11,g1WtJ 2.20
Este problema fue tratado por- Elrler- en 1735, qu.en demostró que t al travesía no en. posib'e. En
efecto, ...emes cl SIguiente argunento.
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la figura 2.20 es equiY<lIcm:e al siguiente gráfICo.
D'f---------:~
4Es factible hacer la travesía en la figura 2.21?
Obser.oe que en a análISis; de este problema no interviene para
nada la forma del río ni de las ISlas: tampoco depende de las dtmenskH1es
respectivas., sino de la posición de los puentei. Por esta nu:ón. a w. ramas de la ~l(!fTl~ que nacian se les llamo anilisis; de b posición (o
anátysas SRUS) "Geometna de la gOffQ elasoa-.
e Con el objeto de
encontrar- alguna sentenoas
valedera$ en este tipo
de problema. veamos el slguienEe caso particular.
Figuro 2.21
Si partimos deAy de 8 podemos "<lcer un recorrido similar
al del problema que tratamos. En cambio si partimos del
p4..lnEo e, 1011 recotTIdo no e'5 factible.
Figuro 2.21
iA ql.lé se debe esto'
Observe que A '1 B son véruce.s Impares (etl el sentldo que concl6ren I '1 3 caminos): en cambio
e es un ...erttce par. Además.. cuando tal paseo es (actib'c, el vértice par e es de paso (es decir no es
inic;b.1 ni final) El redproco no m cierto. esto es, si el vértice es par, el no es necesMlafTlente de paso
por ejemplo.
ACJB r.guro2.23
Además. observe que todo vértice impar no puede SU' de paso (si lo
fuera tambien seria par): el es Intdaf o final.
Ahora vatnQ$ a nlJe$tro problema inici~. Miremos ;¡ la ftgur.l 2.23
razonemos asi los vertices A. B. e.., o son impares (bastaría asom.r que
exrste tres vértices; Impares). Como se n01: pide partir de lIn vénlce (punlo iT'Meial) y llegar a ovo (p.I1to
final), debemos necesariamente pasar por los 00'05 vértices. que serian de paso '1 a la vez impares. lo
que no es posible.
El termll10 top:>logia fue usado por pnmera vt!% por J. B. lJsting en 1836 en una. carta a:su anttgUO
profesor de la esaJela primaria, y posIeriormente en $lIlibro VorJIudien zur topoJogie (Enudios previo$
de topologia), publado en 1847.
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B I o G R A F I
GEORGECANTOR(1845 - 1918)
lJ.e: padres daneses. George Cantor Iba 21 cabo su labor cief'ltifica en
A.Iem3rna. Emgr.t a este pat5 a 105 J I ÑIo5)' allí ildquier'e $U$: conociMIentos:.
Adelanta estuc:tlos de fngenieria en Wiesbaden. de matemátic:a$ en Ztrlch
y de Flboft;ll en Bcrnn. Como esn.ldianre de matemáticas. Canlor goza de mae.suos muy destacados como KUI'\"'W'I'Ier", responsable de importantes
aporte$ al estudio 00 los nÚfncrw c:omplejQs. y de Weierstrass. quien introdujo cambiQs en las nociones sobre fundones elrptlCa'$, Desde el pnrner fnOfl"IeIltO de su carrera corno investigador. Cantor asume de las bases
conceptuales de la gcomcuia y de la teoría de nUmeros. donde se ubica la
mayor parte de sus innovactoncs. y 50gTa enunoar los rllndi5l1Cnros teóricos
de los números translnfinitos. Su t:raba¡o lamben alcanza gran trMecndencia en la teOría de cCflJuntos:
de hecho, se le reconoce como el fund<tdor de I!$a a~ de estudio. Por- mis de dos ctecadas Calltor es profesor de Malem8rtcas en la universidad ele Halle y es en I ea). cuando publICa F.ufKfomenIo$ de uno
1etN'/O genrrol rk """I~dodn . HaCia el fin;J1 de su VIda se ve aquej;Jfjo por una enfermedad ll')@flf;¡1 de la
CUiJI nunca se puede sobreponer.
JOHANN BENEDICT LlSTING
NaciÓ en 1808 y rTlU'"ió en 1862 en Alemania. So padre t.ene el mismo nombre y fue un rabncante de «:pinos.: mientras que su madre. CaroIine
Friederike Usting fue descendiente de un c;ampe$ino pobre. Ust.ng era
el un"o hilO de una 'arrlllla que luchó a pesar- de la dificultad económica
Era un muchacho brillame y lUS takmt:Q$ le sirvieron para que re<:ibief'a
3)'Uda en lU educación de valio5 benefactores induyendo la fundactón
Stadd, k)s partidarios del arte y IQS muSCOl, En la escuela. el $.e interesó en ciel"lQ3S y mat~ttCaS, por mfluencia de su profesor Müller. pero ",detnis
COIltab3 COfl un talento verdaderQ par;. el ....-te. !Q ~ le permitió ayudar
ecol'lÓmteamente a sus padres '" 13 edad de 13 3ños. En el añcJ 1825. liltlng ingresa a un gimnasJQ. do~ estudió S anos;. Dominó @! inglés. frances;, el
italiano y ellabn. y Supo aprO'Vccharlo para aumentM sus conocimiento!. de matemátlca y la ciencia en es.a escuela. Como sus talentos fueron reconocidos, le concedieron UIlil beca por la fundaoón Stadel
para estudiar matemaricas y arquitectura. que en su epoca no eran consideradas por separado. Ingresó en 1810 a la un.ve,-¡K!ad de Gomng~. donde, además pudo romilr cursos en Astronomía, Alliltomia, FtsK>Iogí<l, Botárllca. Mineralogia. GeoIogla y QuÍtTlIc:a. Pronto atendio QJr'SOS de matemáticas de Gauss,
qUIefl se sorprendió por sus traba¡as. Era de Gwss que lJitmg commzó a aprender conceptos topo'ógicos. USI'lng decid.o resumir los pensamlel1cos de su VIejo profesor Muller en una palabrnlarp. la cual es t:opo&ogia
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• --~~~--~~~~~--~~~-=================================== Problema I
Indique el \.alor de verdad de las siguienles
proposiciones.
1. Si la región triangular ABe es R yen ella
se traza la mediana AM. entonces R-AM
es un conjunlo no convexo.
11. Si la circular R se le extrae un diámetro,
enlonces la resultanlc es un conjunto
conexo.
111. La inrersección de 2 conjuntos conexos
siempre es conexo.
A)VFV O)FVF
Reso)udón
l. VERDADERO
B M
11. FAlSO
B)FFV
e B
FlgrlNl 2.24
C)WF E)VFF
OCD Flgm"C12.2S
e
111. FAL50
Problema 2
'7'tf"'l1'12 =(A; B}
f1¡Jura 2.26
A
B
CLAVE E
Indique el valor de verdad de las siguientes
proposiciones.
1. El inrerior de una circunrerencia es una
región convexa.
JI. El interior de una eslera es un ~urlo 1;OrlW.XO.
111. Si P es un plano y 'J' una recia de P, entonces
P- y es un conjunto convexo.
AJFVF D)VW
BJWF CJFW EJVFV
Re.oluclóo
1. VERDADERO
FIgur-a 2.27
Sea I el inlerior de la circunrerencia.
como MN e I entonces I es una región
convexa.
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11 VERIlADERO
Flgrlra 2.28
Si I es el interior de la c!'or('1'a corno
MN e " enlont:es I es un conjunto convexo.
111 .;uso
lAI Figuro 2.29
MN e O P, considerando 9' e O P
Oadoque ~ a.O P(P-'I ) -+ MNq O P.
por lo cual P- ir SOfl dos semipl.mos, es
un conjunto no conVC}l:O.
CLAVE B
PrDlJlema3
Indique pi vdlor de ver~d de l:ts sigui('nles
p~idones.
l. Si P es un plano y A un punto de P, entonces
P-IA. es un conjunto conve:lo:o.
11. En una regi6n triangular, si :':le omilC" el punlo
medio de un lado, siempre resu lw. una
region convexa.
111. La región interior de un cuadri látero
equilálcroes ~ie~re convexa.
AJFVF
OJFTV BJFVV C)VfF
E1WF
Re80luclón
1. FAL50
lillur-a 2.30
MN e CJ P, coru.iderando A E CJ P pero
AeDP --+ MNezOP por lo cual P- ~A}
es un ronjunlo no convexo.
11. FAL50
Q N
M R
Figuro 2-'iJ
Sea la reglon triAngular R, MN e R
considerando Q E MN.
Pero Q i! R -+ MN a. R por lo cual la rt"gión
resullante es un ~'Oniunlo no convexo.
111. VIRIlADERO
a R
a
R8um 1.31
Cuadr'lLJlcro e<¡Ullalero
Sea R la región inteñor R del cuadrilátero
equilátero y MN e R, cnlonce!o la región
intertor LOS siempre convexa.
CLAVE O
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Problema 4
Indique el valor de verdé.ld de las siguientes
proposiciones.
1. El exterior de un plano es un conjunto convexo.
u. La interscl:dón de un plano con una esfera
es \.In l:onjunlo convexo. 1Il. Si la inlcrsec .. :cióo de dos conjuntos es un
convexo, entonces dichos conjuntos siempre son conjuntos convexos_
A)VW D)FFF
Re.olución l. fAlSO
B)FFV
A
e
B
f1gum2.:J3
C)FVF E)VFf
Se observa que A y B pertenecen a l exte rior
del plano P, pero AB no está ("ontenido en
el e:xtcrior porque e € par O P.
11 . VERDADERO
f1¡¡um2.:J4
Si loa intersección de un plano cun una esfera
es un circu lo, un pumo, o el vacío, entonces la intersección es un conjunto conve.."(o.
111. FAlSO
(a)
Rgllrtl 2.35
No solo la intersección de dos conjuntos
convexos es un conjunlo convexo, dichos conjuntos también pueden ser conjunto
no convexos (cóncavos).
CLAVEC
Problema 5
Indique el valor de verdad de las siguientes proposiciones.
1. La intersección de regiones circuJarcs es
siempre un conjunto convexo.
n. Sea R, Ja región poligonnJ convexa ABeDE
y AC un.LI diagonal, entonces R1nAC es uo conjunto convexo,
m. Un cuadradoABCD)' un triángulo equilátero
ABF siempre limilfln una región MBCD convexa.
A)FFV
D)VFf B)VVF C)VFV
El fVF
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Resolución
l. VERDADERO -----~..---~~'!!'.!
FlfllJrtr2...36
Si MN e /. entonces I el siempre conjunto convexo
11. VERDADERO
A D
e Flgum2.37
Si la región ~Iigonal es R lt por consiguiente
RI('\AC=AC y ACes un conjunto convexo.
111. FA150
<t] 'ca' A O A O
Rguro 2.3R
Segun la proposición !le tienen do!l
posibilidades, ~ una es no convexa
(<,:ofl!iiderándoles en un plano)
CLAVES
Problema 6
Indiquc el valor de verdad de las siguientes proposiciones. l. Si dos regiones d rculares R, y R2 son
concénlricas de diferentes radios. enlonces N¡ u N~ es un conjunlo convpxo.
11. Si a una región triangular ABe; se le reliran los vértice!'. A, B Y e, enlonces la r~gión
resullanle no es conjunlo convexo. 111. La intersección de dos regiones l riangulares
es un conjunto convexo.
A)VVF O)FFV
Resolución
1. VERDADERO
Sea
B)VFV
Figura 2.39
C)VFF E) fFF
Rl: región circular de radio a.
R2
: región circular de radio b.
Pue<leconcluirsedelgraficoque RI u fS=Rz y se sahe qve el circulo es un conjunto
convexo.
11. FAL'iO
L B
A e Figura 2.40
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Sea R la región rriangular ABe)' S la
rcgión R-{A;8;C} . Si M e S; Ne5 y para
cualquier MN setieneque MNcS. entonces
S es un convexo.
111 . VERIJAIlERO
Fl/Jura2.41
Sea S la intersección de las regiones
triangulares. del gráfico se observa Que
siempre es un conjunto conve.xo al ser
MNcS.
CLAVE B
Si se une de una región no convexa con otra
región convexa, de tal rarma que la resultante
sea un conjunto convexo. entonces dichas
regiones podrfan ser
A) una regtón cuadrangular y un círculo.
B) una región cuadrangular )' una región
triangu lar.
e) una región pentagonal y una región
triangular.
D) solo B y c. E) A.ByC.
Re801uclón
Al FAlSO
FiSura %.42
Bl VERIJAIlERO
FIgura 1.43
el VERDADERO
Figura 2.44
CLAve E
Problema 8
Indique el vaJor de verdad de las siguientes propoSiciones.
1. El e,.terior de una línea recia es un conjunto
convexo.
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11 . Si a una región triangular se le eX'rae una nltura, entonces siempre se tiene un conjunto convexo.
111. Una región triangular al girar una vuelta alrededor de un eje coplanar, que contiene stMamente a \.In vértice, genera una región nocon\lexa.
A)VW D)fFV
Resolución
1. FA1Ml
B)VFF C)fVV E) FVF
7 -B
FIgura 2.45
A Y B pertenecen al exterior de la recia ']' pero AB no está contenido en el exterior debido a que e e P.
JI. FALSO
B
A e Rgura2.46
Si a la región triangular ABe le extraernos la aHura 8H, entonces la región resultanle es un conjunto no convexo porque MN no está contenido en dicha región al pertenecer T a la aJlura 8H.
111. VERDADERO
FIguro 2.47
Al girar la reg ión triangular PQR se
determina un conjunto no convexo, ya que
AB no esta contenido en dicho conjunto.
CLAVE O
PrMIema9
Según el gráfico, A, B, C. O y U son regiones
circulares. Indique qué regiones son conjuntos
doblemente conexos.
u
OD l. A'uB'uC 11. (A u D)' JlI. A n U
IV. uve v. (A u B u D)"
A)ly lV B)lIyV C)HI
D)Ninguna E) Todas
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Re80ludón
1. Alu B'vC'esun
conjunto conexo.
11. (A vD)' es un conjunlo
doblemente cone.."<O.
111. A' r. U es conjunto
simplemente conexo.
rv. U ("\ e' es un conjunto
conexo.
V. (AvBvCvD)'esun
conjunto doblemente
conexo.
FIguro 2.48
Figura 2.49
A'nU
o Rgura 2.$0
® Figura 2.51
F'l/lUTtJ2.S2
CLAVEB
Problema 10
Segón la ligura, se tienen las líneas curvas 'P" 'l~ y 'iP3• Indique verdadero (V) o falso (F) según corresponda.
1. (if'~. n (~) - (~ es un conjunlo conexo. 11. (l(:'. v 'Pi) - ~ es un L'Onjunto no conexo.
111. (~ v or~) - (~('\ ~) es un conjunto conexo.
A)VFV D)FVF
Resoludón 1. FAlSO
B)FVV
fTglJra 2.S3
C)FFV E)VVF
r,("P,~{A ; 8l ( 'e,nW,) - ~~ (A ;8) Así se tienen dos punlos A y B disljntos Que repreSEnlan un conjunto no conexo.
11. VERDADERO
RglJm2.S4
(~ u~) - ~ = ( ~Rlu V.;) - {M; N; L; n. Se
comprueba que es un conjunto no conexo.
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111 fALSO
f7gura2.SS
Dado que ~r.Q12={M;T} enlonces se
observa que es conjunto no conexo.
r::LAVE O
1'10_11
Si 9"es una recia. "(/ una circunferencia y P un
plano que las contiene, determine el valor de
verdad.
1. P - {ffu.p¡. resulta ser la unión de un
má.'(imo de !.los conjuntos convexos y dos
conjuntos no convexos.
11. 71 n rpuede ser un no vado y convexo.
111 . 7f y 'l/ determina una partición en P con un
mínimo de 3 elementos.
A)VVF
D)VW
Resolución
B)fVV C)VFV
E) Fff
Para establecer el valor de verdad de las
proposiciones dadas es necesario establecer las
diferentes posidones entre 'j' y ren el planoPy
establecer los lipos de conjuntos dClerminados
en las diferentes P'"'idones.
(a)
Jk. conjunto convexo. m: conjunto no convexo.
C: conjunto convexo.
Si Y;r.~.I= {T;M}
(b)
Jk. conjunlo 110 COI1\1eXQ.
m: conjunto convexo.
([:; conjunto conVC!XO.
ID: conjunto no convexo
Si T = ~ V.rd"" 1
(e)
FtguraZ.56
lA:. conjunto convexo.
lB: conjulllo no convexo.
ce:- conjunlo convexo.
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Concluimos
L VERDADERO
De los graficos podemos concluir
que de P-t'iu r\ re~ulta la unión de 2 conjunlos conve:<os y 2 conjunlos no
convexos como máximo. Figura 2.56 (a).
11. VERDADERO La inlersección en V y '1' puede ser no
vacío y a la vez convexa. Figura 2.56 (b).
111 VERDADERO
De la figura 2.56 (c), podemos concluir qu€'
'7 y '('determina en Puna partición con lln
mtnimo de elementos.
Cl...AveD
Problema 12
Dados dos ángulos, cuyas regiones interiores se denotan por A y B; t.al que A n 87:.Q y ninguna
de ellas contiene a la olra, entonce~ se puede
afirmar que
1. A u B es un conjunto com'exo. 11. A - B es un conjunto no (.'On\l('xo.
111. A n 8 es un conjunto convexo.
A) solo I
0)11 Y 111
Resolución
L FALSO
A
B) solo 11
FiguroZ.57
e) solo UI
E) Iyll
De la ligura 2.57, podemos concluir que
Au B no siempre es un conjunlo convexo.
11. FAl..'!O
Figura 2.S8
De la figura 2.58, podemos concluir '1ue
A - 8 no siempr e es un conjunlo no
convexo.
111. VERDADERO
Rallra 2.$9
De la figura 2.59, y de los expuestos
anleriormente podemos concluir que A () B
siempre es un t:onjunlo convexo.
CLAVE e
1'nll1e1llll13
En el gráfico se muestran dos regiones R,
y Rl' Al desplazarse RJ' como lo indican las
flechas. ¿qué puede afirmar con respecto a la
intersección?
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A
A) Siempr"e .se detennina un conjunto no
convexo. B) Cuando A llega a B, se delermina un
conjunlo no convexo. C) Cuando e llega a B, se determina un
conjunlo convexo,
O) Enlonces se determina como máximo
dos conjuntos conve¡,¡:os. E) Cuando A llega a D, entonces se
determina un conjunto convexo.
ResoIudón
Al FALSO
(a)
(b)
.'
(e)
RSura2.60
Del gráfico R, " R2' no siempre resu lTa un conjunto convexo.
B) FALSO
R n R
B,A
Figuro 2.61
Cuando A llega a 8. R, n H2 es un punto y
sabemos que lB) punto es un conjt.lfi.O convexo.
e) FALSO
I Gfl Rtluro2.62
Cuando e llega aB se observa que R,f'lRl es
un conjunto no convexo.
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D) FALSO
R n R
B
(a)
(b)
(el
Flguru 2.63
Se observa Que R I r. R2 detennina más de
dos conjuntos convexos.
E) VERDADERO
17gura2.64
Cuando A llega a D, R I ,..., R2 es un conjunto
convexo.
CL.A.ve E
Pnlblema14
Sefl(t1e el valor de verdad de las siguientes proposiciones.
l. Una región pcntagolliil sin 2 vértices puede
ser una legión convexa. 11 . Tres punlo5siempre determinan un conjunto
convexo.
111. Tres rectas cualesquiera en el espacio siEmpre delerminan un conjunto convexo.
A)FVF
D)VFF
Resolución
l. VERDADERO
S)VVV
A
17gura 2.65
C)FVV
E)FFV
B
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~a La reglon pentagonal I y la reglon
resuUante S~T-{A: 81
Para este gráfico. cualquier MÑ donde
M E S Y IV E S enlonce'i puede ser región
convexo (porque S también puede ser no
convexo).
IL FALSO
e Flgum2.66
Se muestra una de lélnlas regiones que se
determinan con A. By C. donde MI\' no está
coolenida en la región y no siempre es un
conjunlo convexo.
111. FALSO
Hgura2.67
Se expone una superficie curva en el
espacio donde M y N se encuentran en la
supeñidc, pero MN no es tá contenida en
ella concluimos así. que no siempre es un
conjunto convexo.
CLAVE O
Indique el valor de verdad de las siguienles
proposiciones.
1. Alguna diferencia de dos con.juntos no
convcxos es un conjunto convexo.
U. SeanAy B dos conjuntos convexos, enlonces
Al1B es un conjunlo convexo.
1lI. Una región pentagonal equilátera puede ser
un conjunlo no convexo.
A)WF
D)FFV
Resolución
l. VERDADERO
(conjunto nooonvexo)
B)VVV C)FFF
E)VFF
=
(ronjUflto no ('()fl\ocxo)
Figuro 2.68
(conjunto convexo)
Como se muestra en la figura 2.68. la
direrencia de conjuntos no convexos. da un
conjunto convexo, ITIi:lS no por ello podemos
generalizar.
11 FALSO
Rgum2.69
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Sea A un círculo de radio r l Y B un. circulo de
radior2" Ver figura 2.69.
SeS«be
ALlB=A v B-An B
por lo cual MN « (A h. B) entonces es Un
conjunlo no conYeXO.
111. FALSO
Se llOta/U{Vr;J.R entonces la regi6nsombreada
(R) es un conjunto no convexo (pero puede
ser convexo).
a......AVE E
PnIIIIema 16
Indique el vak>r de verdad de las siguienlcs
proposiciones.
l. Una región circular de cuyo contorno
se exduycn dos puntos diam~lralmente
opuestos es una región convexa.
U. Un polígono con\-'CXQ es un conjunto no
convexo.
m, Una esrcra menos un polo es una región no
convexa.
A)WF
D)WV S)vrv C)FFV
E) FFF
Resolución
1. VERDADERO
ON \ B
M· • . . . '. A. '.
Figura 2.7J
Sea 13 n.--gión circular R y la región rcsullanle
S = R - {A; Bl para cua.lquier M y N E S como
MN e S afirmamos asi, que S es un conjunto
convexo.
11. VERDADERO
Figuro 2.12
Sea e l poUgono L y MN ct. L, entonces L es un conjunto no convexo.
111. FALSO
A · U
Figuro 2.73
Sea la csrcra E y la región resullante E- fA)=S, dondcMe SyNe ScomoMNcS, se concluye que S es un conjunto convexo.
CLAVE A
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ProbI8III8 n Dadas las siguienlcs proposiciones. indique el
ValOT de verdad (V) O falsedad (F).
l. Si e es un polígono regular de 5 lados con
su región interior.
L es una diagonal del polígono regular
cnl()fICCS, e - L es una región (."Orlvcxa
11. La diagonal de un rombo divide a este en
dos regiones convexas.
111. Sea
Q; un lriángulo con su región interior.
E: dos cevianas del triángulo.
COncluimos Que E divide a Q en un máximo
de tres regiones convexos.
A)FVF
D1FFF
Resolución
B)Frv C)VFF
E1VW
Analizando lao¡ proposiciones enunciadas
podernos concluir.
l. FALSO
L
FIguro 2.14
En la figura 2.74 se observa que e - L resulla
ser el conjunlo de los puntos de la región e sin unsegrncnlodesu inleñoryes una región
no convexa, puesto que PO t;¡. {e - L }.
11. fAlSO B
p Q
A~------'¿C
o Figl/NJ 2.75
Efcctivamente laI como se observa en la figura 2.75, la diagonal del rombO divlde
al rombo (no a la región rómbica) en dos
regiones no convexas.
111. FAlSO B
A e F'Rum2.76
En la figura 2.76. dosreYianas en un triángulo
determinan en la región triangular 4 regiones
convexru. corno máximo.
CL..AVEO
Prolllema 18
Señale el valor de verdad (V) o ralscdad (F) de
las siguientes proposiciones.
1. Una región triangular de la que se han omitido los (res vértices es un conjunto
COflvexO.
U. En un plano, la inlersccciÓll de los dos semiplanos dctcnninados por una recta
CQI1lerUda en el pfano es un conjunto no vacio.
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111. Un lri.1.ngulo inscrito en una circunrerencia
contenida en un plano determina 4 conjuntos
con~s sin considerar ni al triángulo ni a la circunrerenda.
AlVVF O) Fl'V
Resolución
1. VDUWJERO
B)VFV
f7gllrtl 2.71
el"FF ElVVV
Ningún ~gmento puede unir oos punlos
de la región triangular ~ contenga algún punto Que no sea de la región.
JI. FALSO Según el postulado de la separación de los
puntos del plano, la rccta que determina a
los dos semiplanos no esta contenida en ninguno de ellos y por lo tanto al no tener
puntos comunes, la intersección de estos
semi planos es un conjunto vacío.
III VERDADERO
B
Rgum2.78
Los conjuntos de puntos determinados por
el triángulo inscriloconsti tuyen 4 conjuntos
convexos (sin incluir los bordes), lal como lo muestra la figura adjunta.
CLAveB
De las siguientes proposiciones, señale el valor
de verdad (V) o falsedad (f).
1. Una región poligonal convexa de la que se
han excluido SU5 vértices es un conjunlo COfl\lC>.:O.
11. Ninguna región convexa resulta de la reunión
de dos regiones no convexas.
111. La reunión de los dos semiespacios, determinados por un plano de separación
cOntenido en el espacio tridimensional, es una región convexa.
AlVVF D)VFV
Resolución
J. VDUWJERO
BlVVV e)VFF El FFF
Al excluirse los vérlkes de una región poligonal convexa, no existe un segmento
que uniendo dos pun tos de la región
puede contener el pun to excluido. Por lú
tanro, la región permanece como región
convexa.
JJ. FALSO
Fisura 2.19
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la figura 2. J<J muestra la reunión de dos regiones no oonvexa ... A y B (con sombreados distintos). La reunión (A u B) resulla ser convexa por tanto si exbte alguna región convexa de dos rt.--.gionc!). no convexas.
LII . FALSO
Como el p1<tno ele separación de dos semiespacios no li('ne punlos comunes con ninguno de ellos, enlonces ta reunión de estos semiespaclos no es una región convexa, pU('5 un segmento que una dos puntos de semiespacios direrentes contiene un punto que no pertenece a la reunión.
CLAVE e
PnJ.ema20
De las siguientes protJOsidones, dé el valor de ve,dad (V) o falSt.>dad (Fl. 1. La rWlcion seno illler5ccado con la furx:ión
cosenO es un ronjunto conexo. 11. Sea R región triangular ABe y L:::.MNP.
Si M e A8: NeBC y P e AC, enlonces
R - D.MNP (>5 un conjunlo conexo-111 Si a una rt.-gion triangull'lr se le sustrae el
segmento correspondiente a una .\llma del tri(m¡.julo que limita la wgión triangular siempre será un conjunto no conexo.
AlVFF DlFFF
Resoluclón
1. FALSO
BlFVF
Flgum2.80
C1FW El FFV
El conjunto cOnformado por los puntos A, B,
C ... no es un conjunto conexo.
11. FALSO
B
A e FiNura 2.81
Si R=,ó,ABC u I'Ó.tHC.1 y R-,ó,MNP no es un conjunto de una sola pieza: por lo tanto no es contimlo (confllnlo no roOC'xo).
111. FALSO
B
AL-----1...JC
(o)
Sea R la región triangular ABe
BC: altura. R - Be ('!i un conjunto de una sola pieza (conjunto conexo)
LJ' A e
(b)
Figura 2.82
CLAve O
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I'I1IIIlIIlIa 21
Deterrrunc el valor de verdad (V) o faJsedad (F)
de las siguienres proposiciones.
l. Si la intersecci6ndedos regiones es convexa, las dos regiones (ambién lo son.
11. La reunión de una circunferencia (con un punto de- ella omitido) y .su interior es una región convexa
111. La prO)CCCiÓfl ortogonal de una región llÚ cOnvexa es siempre Una región no convexa.
A1VFF D)FFF
Resolución
B)FVF
Analizando las proposiciones
1. FAl.SO
Fl,lflrO 2.83
ClFW E)VVV
Si la intersección de dos regiones es convexa, entonces las dos regiones son convexas. Se determina asi, que es falsa, porque A ro B puede ser convexa, pero ni A yB no 100011_
11. VERDADERO
Pumo --RegiÓll
Figura 2.84
La r("unión de una circunrerencia (con
un punlo de ella omitido) y su interior es
una región convexa. Se demuestTa Que es
verdadera, puesto que la exclusión de un
punlo del conlOrno de una región convexa
no elimina su con .... exidad.
111. fALSO
La pro~cción ortogonaJ de una región no
cOmlexa es siempre una región no convexa.
Lo anlerior e<O falso, pues si la región no
convexa que se proyecta es plana y está
contcnidaen un plano perpendicular al plano
de proyección, la pro~cción resulta ser un
segmento '4ue es un" región convexa.
FlfPJrt1 2.85
RegiónA no convexa (A c P).
El plano P es perpendicular al plano Q.
La proyección de A sobre el plano Q es el
segmento MN Que es una región convexa
CLAVE B
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1. ¿Es posible unir cada uno de los puntos
A, B, e, con cada U(lO de los pun.tos x, Y. z mediante lineas que no se crucen?
2. SINCRUCECAMINOS
A o B
o Sedesea construir caminos de lal manera que eslosnosecruccn, pero que solamente unan las ciudades
de azul y Ia. .. cil...ldade:ci de r* como se muestra en la figura (a). lEs posible oon~ir dichos caminos
bajo las condiciones anteriores para las ciudades de la f,!!Ufa (b)?
o
(o)
3. UN VIGILANTE DE MUSEO ASOMBRADO
o (b)
o
Debajoaparec:e representado el plano de un museo de una pe<Jueña dudad COI"1"\arcal. Una noche,
el vigilante del museo encargado de cerrar todas las puertas de toda-, las salas decidió actuar de la
siguiente manera: par1iendo del vestíbulo de entrada, entró en una sala, cerró la puerta delrás de
si)' prosiguió con SU ronda, sin olvidar cerrar una puerta cada vez que pasaba de una sala a otra.
¿Qué le ocurrió al \1gilanle?
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ResoluciÓn 1
Hagamos la prueba. Tras múltiples intentos,
obtendremos siempre situaciones análogas
a las de la figura. donde conslalamos Que
el punto B se encuentra al exlerior de la
zonÓj coloreada, mientras Que el punto y se
encuentra en su interior. Si una Iínca que una
B con y ticne que corlar necesariamente olra
línea trazada con anterioridad, es imposible
resol\ler esle problema.
Rcsolud6n 2
Sí es posible resolver dicho problema, según la
siguient<,~ figura
ReNtludón 3
Podemos sustituir eJ plano del museo por
el siguiente esquema, en el Que cada punlo
representa una sala y cada línea que une dos
punlos una puerta
A ___ ---13. _____ e
E vestíbulo
F ----e Con .. tiJtamos QUe dos salas poseen un número
impar de puertas. o; en otras palabr'ls. Que dos
punlOs de esta red,A r D. son de grado impar {ver
teoremas). Sabemos que es imposible recorrer
esta red por cnlero de un solo trazo, asi qut'
podemos estar seguros de Que en un momento
dado. el vigilante del museo se encontrará
encerrado en cualquiera de la'i salas A o D.
Teorema I
Es posible reproducir cOn un sob trazo todas
lal¡ redes que no tengan mnguna encrucijada de
grado impar. fJ cruce de salida (el mismo Que el
de llegada) puede ser elegido arbitrariamente.
Teorema 2
E.'i posible reproducir con un solo Irazo las redes
Que presentan dos cruces de grado impar.
fJ cruce de partida debe ser unode los <ruces de
grado impar mientras que el otro ~rá el cruce
de llegada.
(ver demostración en las páginas 77 y 78
Enciclopedia Salval del esludiantc, tomo lO,
LingOislica-Matemálica)
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1. Indique el valor de verdad de las siguienles
proposiciones.
1. La uruón de dos segmentos COfl5C(:ulivos
es siempre un conjunto convexo.
IL La r\.-'giÓll triangular, cuyo incentro se ha
omitido es un conjunto convexo. JIJ. Sia Ufl(t linea rectaAB se le exlrae el punto
A, la resultante es conjunto convexo.
A)WF
D)FFF B)FVF e)FW
E) FfV
2. Señale el va.lor de verdad de las siguientes
proposiciones:
l. Dos regiones lJiangulares determinan
como má.ximo siete conjuntos convexos disjuntos, al superponerse entre SI,
n. Un cilindro puC'de ser un conjunto
convexo. 111. Si a una región triangular se le extrae
una altura. puede Que sea un t::onjunto COtl\'eXQ,
A)FW D)WF
B)VfF C)FFV E)VVV
3. Determine el valor de verdad de las siguientes
propc).''iidonc:~:
1. Ningún conjunto convexo resulta de la
reunión de dos conjunlos no convexos.
11. Toda reunión de dos conos de revolución
que lienen la misma base es un conjunto
convexo.
111. Sea una región lriangular R de ortocenlro
H, R-{H} es un conjunto no convexo.
A)VfF D)FW
B)FVF e)vw E) FFF
4. Halle el valm de verdad de las siguientes
proposiciones:
1. Sea P un pollgono regular de seis lados con su región inlerior y D una diagonal del polígono anterior. entonces P-D es un conjunto convexo.
11. Una semi recta es un conjunto convexo.
111. La superficie de una ~sfera es un conjunlo .convexo.
A)VFV D)VVF
B)FVF C)FFF E)VfF
5. Indique el valor de \'erdad de las siguientes proposiciones:
1. En un círculo e CSI! inscrito un IriAngulo T.
Sialcírculose le extrae la región interiordel triángulo T, rcSlllla un conjunlo convexo.
11. La interset::ción de una recta secanle t::on una corona circular puede ser conjunto
convexo. 111. La intersección de dos regiones
cuadril:í.leras es una región convexa
A)FVF D)VfF
B)WF C)FFF E)WV
6. Indique cuAJes de la .. siguienles proposiciones son verdaderas o ralsas:
1. Sea R. una reijión cuadr~di\ y R4 una región triangular. enlonces R. u R2 es un conjunto convexo.
11. Dos reglones hiangulares al superponerse determinan como máximo seis regiones
parciales convcxa~. 111. Si Rl 'i R2 son conjuntos no convexos,
tales que R. r'l R2 ~ ~ , entonces (R. - R) no siempre es un conjunto 00 convc.xo.
A)FVf
D)FFV B)VfF e ) FFF
E)WF
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7. Si dos regiones exagonales, una convexa y otra no convexa. se superpon!"n, podemos deducir:
8.
1. como máximo se dete rminan ocho
regjollf. .. ~ triangulares.
JI. como máximo se deLerminan nueve
regiones convexas entre triangulares y
<:uadréU agulales.
111 . La región común puede se r no convexa,
A)VFV D)WF
B)FVV C)WV E)FFV
En el gráfil.'O, BM=MC=AN=a y AB=C'fY. Si
la región no convexa se desp1a7..a hacia la
i:t..quic rda. podernos asumir.
Bi-r-_",M'-_6C
A N D
l. Cwndo AB coincide con C'V , la región
n.'Su llanlc es cOllvexa,
11. CUW'lOO MN coincide con CU , la región
común entre eUas es no convexa .
111 Cuando CD coincide ron C'V, las dos
regiones determinadas son no convexas,
A)WV D)FFF
B)VFV C)FVV
E)FFV
9. En el gráfico, se muestran los círculos r.. tr.; y~.illtí
1. ( 'P,v7-')--r; rcsulla una región no convexa.
11 . ( r(~v'P)_7~ resulta una región convexa. 1II . ( ¡Pto~)- -r-; resulta una n ,'gión no
convexa ..
A)FFV D)FFF
B)WF C)VFV E)FVF
10 .. Si se tienen dos regiol1e cuadradas, ¿qué
ocurre al inlersecarse? 1. Se determina como mfnimo cuallo
regiones pardales wnvexas. 1I . .se determina como máximo nueve
r~giones pardales 1.;OJJvexas. 111 . La unión de ellas puede determinar un
l..'Onjullto convexo.
A)FVF D)VFV
B)FW C)VW E) FFV
11. Indique e l valor de verdad de Las sigLñentes
proposiciones. i. Si a un plano se le extrae un punto, el
nmjullto restante es l..'OlIvexn. 11. Si a una región Iriangu1atse le extraen dos
biscc ln<.:cs ínceriúres, la región obtenida puede ser un conjunto convexo.
111 . Todo állgulo es un <;onjunto convexo.
A)WV D)FFF
B)FFV C)VFV E)PW
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12. Indique el valor de verdad de las siguientes
proposiciones:
l. Si se trazan do~ rectas SL'Cantes a una
región cuadrangularconvcxa, las regiones
parcial e!::. delerminada. .. por dichas recias
son COilvexas. 11. A1lrazar do~ langenles a la circunrerencia
menor, estas rectas y la circunferencia
mc.nordeterminan sicmprt! dos conjuntos
no convexos y un máximo de cuatro con
juntos t:OllveXOS ell el dn . .'ulo del gráfir."o.
o IIJ. La circunferencia inscrita en un región
triangular determina 3 regiones no
convexas.
A)WF
D)FFF B)FFV C)WV
ElVFF
13. En los siguientes gráficos, seleccione cuáles
son conjuntos conexos.
(1) (11)
Al solo 1
O) solo III
Blsolo 1 Y 111 e) 0010 11
El todos
14. Determine el valor de verdad de las siguien
tes proposiciones:
1. Si a una rC/oIión lriangular se le omite
una med iana, se delcrmina un conjunto
inconexo.
n. Si a un cín.'ulo se le exlrae la circunreren
cia ( p.JC lo limi ta, se determina un conjun
to incoll(~xo.
lit. Si el conjunto A es la uniÓn de dOs
conjulltos no vacios y separados, significa
<lue es conexo.
A)WV
DlFFF B)VFV e lVFF
El FVV
15. En el gráfi(.'o se mucslran cualro círculos.
Señale el valor de verdad de las siguientes
proposiciones:
t. El conjunto (I'('I V~V'<';V~) -~ es
simplemente I.:onexo.
1[. El conjunto ~- '(-'. es (·onexo.
III.FJ conjunlo ~- ( r-~v ~v r) es un
'-.""Onjunlo no ~implefllente (:onexo.
AlFFV DlVfF
Bl WF e lFFF ElVFV
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16. Si la reunión de unu región no convexa con
una región convexa, de tal forma que no
se intersecan, resulta una región convexa;
entonces didJ.aS regiones no podrán ser:
A) una región cuadrdllgular y un círculo.
B) una región cuadrangular y una región
triangular.
C) una región pentagonal y una región
biangyl.ar.
O)Ay B.
ElBye.
17. Dadas las siguien tes proposiciones, dé el
valor de verdad (V) o ralsedad (F) .
1. La unión de dos regio lles convexasresulla
unu región convexa.
11. Una reCia secanle a una región convexa
determina en ella dos regiones convexas.
111. La intersección de dos regiones no
convexa!, puede ser una fl.'gión convexa.
A)VFF
OlFFV B)FVV C)VVF
E) FVF
18. Indique la verdad o falsedad de las siguicn
les proposiciones:
1. fJ dn'ulo es un conjunto conexo.
11. En un triángulo ABC, se traza tu mediana
AM, si R es la región triangular ABe;
entonces R·AM no es un conjunlO
conexo.
111 . La intersección de dos conjuntos conexos
siempr-c es conexo.
A)VFf
D)FFV B)FVV C)VVV
E)VVF
19. Determine si son verdaderas o ralsas las
siguientes proposiciones:
1. Un suocolljun1o de la recta euclidiana es
conexo si y solo si es un segmento de elJa. 11 .
Interior A. deA(I,lI)
/ flOfalil de Á ~)
f~=C(J ... v t ..... ); C: t:omplemento
111. ,,-
A
B . '. ...
Siendo A, conjunto A y B conjunto B.
Si AvTu B=E. Ees un conjunt.o conexo.
A)VVV
OlFVV
B)VFV C)VFF
El FVf
20. De las siguicnrcs proposiciones. sei¡ruc su
condkión verdadera o falS<J;
l. EJ vado es un conjunto convexo.
11. EJ punlo es un t.·onjunlo l.·Ouvexo.
111. El punlo es un t'OfljYnlo conexo.
IV Infinilos pumos consecutivos forman un
conjunto conexo.
A) VVFF
OlfFVV
B)VFVf C)FVFV
El FVVF
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~ ~
---LfE ---.!l..JC
J lB ---'..L.lE
----L.fB ---H......fC
--L.SA --1LfB
-L.JD --1L.fA"
-LJ"E ~
-ª---..IC ---.l.LIE
-----L.fC --..!.LJl)
~ ~
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III
Línea recta, segmento y ángulo
Lo. fCOIlifo¡ elron(e5 de Nosco.ton hneos trcn:odm eJJ el sudu de diVffJOS formas. comoe' "cdibrl". queseenc:uemro ubicodoolll'JOS 4OOkmalsurdeLmo.
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Linea recta, '------_---.JI segmento y ángulo
OBJETIVOS
Conocer la diferencia entre línca. línea recia, !';Cgmcnln y ~(.'8menfo de rf'(.;til_
Diferenciar entre ángulo y par angul.1r.
EsI<.tbk.'(:cr las p~icioncs I"clativas de dos rect~ en el plano y las propiedades de los ángulos
dplcrmill<ido!> por dos re<;las paralelas y una lransVt"r~J.
INTRODUCCIÓN
Si nos remontamos a la prehL<;:toria, es posible Que
el hombre con ~ COI!t"Cptos primitiv05 sobre número
y rn<.'CÍida haya COfllado COII los dt.-'dos u otros objetos
que lo rodeaban. RC!JopedO a las medidas longitudinales
de ciertas lineas. pudo conseguirlas al compararlas
con ciertas partes del cuerpo: codos, pies. palmas, ctc.
(medición anlrqx>ffiélrica).
Todo c!)Lo nos indica que ya se tcnfa la idea de
línea, la cual fue perfeccionada hasta lograr una mayor
froojO de linea qu~ fe observo en ~ OI'1,rncJI'<'$. como en ID (ebra.
precisión eJl el desarrollo de tu humanidad. Podemos comprobar lo mencionado no solo en la
construcción de Iac; pirámides, templos, palacios efectuada por los egipcios; sino también en lo tlecho
por los incas (andenes, templos y canales de irrigación).
La idea de á.ngulo ya se encontraba presente y sirvló para dar forma a las figuras cerradas que se
usaban pata delimilar los Lerrenos de cultivo y a los bloques de IadriUos para sus edificaciones.
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En la m:lualitlad podclIlo:, lIotar el uso de estas figurils en el discr)() tic cienos objctos. como
ventanas, puertas, mesas, pieZé1.3 de máquinas, elc.
Cande/obro. GeoRlI(o de mm de /10 m M utMsion ubicodo 01 nOl"Ootne de lo 8oI!io
de I'arocctl. conocido tom~ como Tres
CrUCCI Q Trldentc N¡vnos GSe¡utan que t"S
WI ,«tui. un $Jm()oIo etc Chovlll.
NOCIONES PREVIAS
lmecn HJOOO$ por el "lC':mo en UflO c1unQ de
."n.
Dentro de los primeros principios de Euclides~' enunciados de las propohlctones dcllibro '1 podemos
~ las explicaciones ydefinicione inic;:ia1es:
Un punto es lo que no tiene partes o dimensión.
Una línea es una lon~ilud sin anchurd.
Una rccta es una línea (Iue tiene todos sus pumos en la misma dirección.
Un ángulo plano es la inclinación culre si de dos líneas de un plano si estas se conan y no están en
una misma recta.
Cuando liIS lincas (lIJe comprenden el ángulo sún recias, el ángulo se dice que es roclilinco.
ReCias paralelas son las que, CSlando en el mismo pluno y prolongándolas indefinidamente en
ambos sentldo!!o, no!!oe cortan ni en uno ni en el otro sentido.
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Por citar algunas de las 23 definiciones que aparecen en dicho libro,
asi rambién de lo~ 5 postulados de Euclides, podemos mencionar: 1. Una rC<.'ta puede traz.arsc dcsdc un punto <.'uaJquicra hasta otro, 2. l/na recia fiuila pucde prolongarse conlinuamenlc y hacer:,c uml
recia ilimilada o indefinida, 3, Todos los ángulo:,. fL'CIOS son iguales entre sí. 4. Por un punlo cualesquiera como <."€ntro)' radio arbitrario se pUl.-de
trawr una circunferencia.
5. Si una rt.'cla que corte. a otras dos forma uno de. estos ángulos intcriofl.'S del mi~mo lado de ella , que sumados sean menores
que dos rel1os, las dos rectas, al prolongarse indefinidamente, se
cortarAn del lado en que dicha ~uma de ángulos sea menor que
dos rt..'í..1os.
Se presumió que el quinto postulado se podía demostrar a partir
de los 4 anteriores, es dl.'Cir, para muchos matemáticos el postulado de las paralelas prcscntaoo un verdadero problema sin resolver.
En 1733, el matemá tico y lógico jesuita Sal'cheri (1667-1n3) emprendió la till'ca de dcmostmr en su obra maestra Euclides libre de
toda mancha, Que el ::.btcnla !Ijlcom()lrico de Euclides, con su postulado
de paralela~ e:, el (Juico J)O!)ible Cilla lógica y la e>:perienda.
Qulpu Incaico. LO!! quipus I!fan un
H1'Utlmento básICo ~ la lol11tlnf("o-
don r cOfl[obJhdad. Los cuerdos y W5
nudos (líneas y pumos, poro lUiln·
rlrrcm casechos. cenwr lo pobIOClOO.
,,,nodo. e'c. El color equJVolia al
ginera)' e/l'lido Q lo lDlltidod.
Hoy en día muchos conceptos han cambiado; así podemos citar los postulados de Hilbcrt para la
geometría euclidiana plana.
Grupo I PostuJado8 de conexlón Hay una y solo una recia que pasa por dos puntos dislinto~ dado~.
Toda reda (.:ontienc '" menos dos puntos distintos, y rc:,pcclo a una recta hayal menos un punto
Que no esta en elJa
LíNURECTA
CONCEPTO
Es un elemento de la gcomctria y a su vez
e S un cntcJ OKIlcm ático constituido por infinitos
punlos que tienen Ulla misma direccióll.
Represenlación
Figura 3.1
Notación
A la líned recia se le denota de dos maneras .-
_ _______ --'7' Unca recta '1': T
LInea redaAB: AB A B
Figura 3.2
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Una so¡o hlrn l~ IJO$ dG lo deo de Iofla pot"CJÓn de linea recta.
Lm; 'ClbIc.s de un posle de alumbf-oda o de o/lo lensoon
nos do idrd de 'lI'tf:o rKIO
la línea recia am .. '('C de cxlrcmo$ por lo tanto es infinita, es dt)cjr. no es rne<.Hble.
I la cultU'o O!;mv 1!I.,¡zó Jos ~ como doe-cOlotlÓff de ws tmodcxIH
Clfqtnt~rónKos ('"'"0$ de borro) • C,udodIela 0tan-Chc7n.
RAYO
Es cada una de las porcione!' determinadas en una recia por cualquiera de Sll.'i punlos,
considerándolos a eslOs.
o
Figuro .'.3
Asi en la figura 3.3 se mueslTafl la. recta '/' y e1 punto O que pertenece a ella, el cual determina
dos porciOIlC!:> de rl .. 'C1a. Al cor1!,kJcrar el punto O en
dichas porciones, cslas reciben el nombre de rd~'O.
rayo .r O~ ...... .. ...... ··_· .... · .... -
o Figura .'.4
rajO
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Repn:sentadón Se le representa como una porción de recta lirnilada en un extremo e ilimitada en el otro.
o A
FIgura .1.5
Notación Rayo OA: OA
lhl toyo ck hJZ. r~~nlondo el ,jn1QO de un ~ poder y el momento cuIm;nonle de lo revoJuci6n bokhmqur:
SEGMENTO DE RECTA
acl6tt
Semirrecta. E.s cada una Cle las porciones
determinadas en una recta por cualquiera
de sus p.lnlos. sin consM:Ierar a e5los.
semirrecta _-====-"O .... mmu.m • •
A O
semirreda o O
F1guro3.6
Notación
Scmirre('la DA: DA
A
furcial de linea reCia comprendida entre dos puntos de ella, a los cuales se les denomina exlr-emos.
En la figura 3.7, se muestra una recta 9' y los puntos A y B. los cuales determinan el segmento AB.
------------------~--~~ B A
Figura 3.1
Representació n
A B
figura 3.8
Notación
Segmento de reCia de exlrernosA yB: AH l4~stll"kl de fllero ckJOdop« ttn conele en el despefut:
represento un sc¡menlo de rectcI.
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LONGITUD DE UN SEGMENTO DE RECTA
En la métrica euclidiana, al valor numérico
de la fundón distancia se le denomina también
longitud del segmento.
La longilud del segmento ~ UII numero
real positivo y remira flulo solo en el caso en
que los extremos del segmento coincidan, esto
es, cuando el segmento se reduce a un punto.
Por tanto. cualquier segmento no reducido a un
punto tendrá longitud pOSitiva.
A B .... , --- 1----<
Figuro 3.9
De la figura 3.9, la longitud deAB es l: AB= {
PUNTO MEDIO DE UN SEGMENTO
Es aquel p .... nlo que pertenece a un segnlento de recia y que determina Con 1m extremos de
este dos r.egmentos de iguaJ longitud.
A Al
f7gura3.1O
B
Si Me AB yM1 = MB. si y solo si M es punID mediode AB.
Todo segmento de línea liene un único punlo medio.
OPERACIONES CON LAS LONGITUDES DE LOS SEGMENTOS
Puesto que se puede asociar a la longitud
de IOdo segmento un número rea] positivO', podC1l1OS realizar la .. siguientes operaclOllCs
matemálicas con dichas longitudes.
Adición
A B
, d,
Rgura3.11
SUstracción
A B
t-----d,
Rgum3.12
RAZÓN DE LONGITUDES DE DDS SEGMENTOS
e d,
e
La razón AB = ~ ~e lee AB es a BC como OC 3
2esa3, esdecir, AB=2n y BC=3n
El cual gráficamente representarla
A B e 2n 3n
RtpJf"tl3.13
AXIOMA DE ORDEN EN LA LiNEA RECTA
Si los puntos A, B Y e M>n colineales y A8+8C=AC, enlonces se dice que B eslá entre A y CoB está entre CyA.
A B e
FiguI'CJ 3.14
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tos postulad os y axiomas de Euclldell. Euclides basó su geomdría en In.'!! d~ de enuncié'ldos; las definiciones, los postulados y los axtumdS (en la adualidi:td no se estabtecen direrencias entre axioma
y postulado).
Cinco de ellos son comunes a todas las cien~las que ~tudian mBRni1udes: l . Dos canlklades iguales a una tercera son igua}es entre sr. 2. Si añadimos a dos caOOdades IgUales ctIaS dos cartida<les iguales, los .aak>s QUe se obtienen son iguales. 3. Si reo;t(lmos de dos cantidades iguales otras dos cantidades iguales, la ... direrencias que se obIienen
5()fl iguales.
4. La" cos.a. .. que pueden superponen.e unas a otras son iguales.
S. la totalidad es mayor que la parte.
Los ol(os dnco son postulados e.spccificOs de la g<..-ometria:
1. Siempre podemos trazar una recia enlre dos puntos.
11. Siempre podemos prolongar las dos extremidades de un segmento reclilineo rara obtener una recta infinita y l'Ominl l3.
111. Para delerminar un círculo, bal'll.c con inc1icar su ('enlro y ('uulQuiera de sus radios.
IV: Todos los ángulos !'e<'tos son iguales !'¿Ootre sí.
v: Por un punto exterior a una re<'la. podemos trazar una paralela a esta re~fa y solamente llna.
E"le llltimo postulado es cloblen lenle c@{ebre.Primero,parlas¡nti tilestentativasque.sehanhechopara
demostmrlo a partir de los poslulados anteriores )' segundo, en rCiZOO de la .. (,onscruencias que lu\'o para el desarrollo de La geometría su sustitución por uno cualquiera de los axiomas siBuientes:
Por un punto e:lo.lerior a una recia podemos trazaruna infinidad de paralcld.sa esta recla (geomelna de Lobachevski).
Por un punlo e:xleriQf a una recia, no podemos 'raz.ar ninguna paralela a esta recia (geometría de Riemann).
ANGULO
Es la figura geomélrica formada por un par de myos (¡ue
lienen el mismo origen y que no están en lín ea rec ta.
Representación
A
oL----e-
F(¡¡ura 3. J S
lo fOlO¡roflCJ mueilffO da~nt:e el tk!pIo..tan~nro de lo luz en lineo re<la, (ÓmO los
1'Icrce! de luz {omton qulos.
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En la figura 3.15, se muestran los rayos DA y ÜB denominados lados del ángulo yal origen
común O que se le denomina vértice. (Los lados
y el vértice Consliluyen los elementos de un
ángulo).
Notación
Ángulo A08 de vértice O: >tf.AOB
Es necesario lener presenle que al denotar
un ángulo, la letra intermedia corresponde a1
vértice.
Segun HilberI
Por ángulo se indica un punlo (llamado
vértice del ángulo) y dos ,.ayos (llamados lados
del ángulo) que emanan del punlo.
REGIONES DETERMINADAS POR UN ÁNGULO EN EL PLANO
Dado un ángulo ADB que está contenido en un
plano H. si luego en DA )1 Da Se ubican los punloS M
y N respeclivamente (M1:0yN""O); la porción del plano
H en la que está contenido e l segmento de recta MN,
exceplo sus extremos, es la región interior del <A08.
R~16n exterior de un ángulo
>tf.AOB cOH
l 1guro 3./6
Es el conjwlto de lodos los pWltos del plano Que conlienen a
un ángulo y que no están en el ángukl ni en su inlerior
'f.AOB cOH
F/¡¡uro 3.17
105 plumos de UI'I pavo red fonnon On(uIo.1 y la rtgu~n compt'r:ndldo poi
~stas el la 'e¡ión jflf~'Io, dr.1 6n¡:tI1o.
Ala r~m e)(lel"iof de un ángulo se le {'OflOCe por cuesliones práclicas como exterior de un angulo.
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MEDIDA DE UN ÁNGULO
Usualmente Ilafnamos mooida de un ángulo a la medida de la amplilud
de un ángulo'.
A la amplitud de un ángulo se le asigna un número real cnlre 00 y 18O'} al
Que llamaremos medida del ~l1gulo (sistema sexagesimal).
Si la medida del <ADB es denotada por m<AOB, entonces m-4:AOB= Ct
o u
B a: Es un número QUC indica cuántas \teces el <AOB contiene al ángulo
unitario (ángulo cuya medida es I O~ y que coIWencionalrnCflIe se ('ni de
en su inlerior).
¡ O" < u < 180" )
POSTULAbb bE LA CONSTRUCCiÓN DE ÁNGULOS
Sea (jjj un rayo )' HI uno de los se rniplanos
determinados por la OO. Para cada número real u entre
()O)' 1800, twy exaclarncllle un rayo DA' con A en H., tal
que m4AOB = a.
H,
Flgu"a 3.18
Hgum3.19
POSTULADO DE LA ADICiÓN DE LAS MEDIDAS bE ÁNGULOS
Si O está en el interior del <ADB, entonces m..v\OB = m<AOD + ffi--«:DOB.
o
B
f1guro 3.20
D
Un #Ka Imer e, uno lineo recw de luz -mucholJld5 intenso 'l1Jlt Iot(oc.Ol "o.mo/es.
El e(eclo Qtle producen. le'Sf.leCiarmeme de noche, permlfe (orrnor con ellos fÍflfUlos C~[iYot.
(3) Se llama amplitud de un ángulo ilI la ~ eustente entre SuS lIIdos
(4) fJ StStema fl UtiIU.ar en la mediciOn del 6llQU1o e$ el Si5l:ema ~1IT'IoII! .
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ÁNGULOS CONGRUENTES
Dos ángulos son cOllgruentes cuando sus mwidas son respeclivamente iguaJes.
A M
a O LJ.-=--____ _
B
a Q LJ.-=----___ _ N
FIguro 3.21
Si -i/\OB es congruerlle COIl -dfQN (<AOB "=- 4.MQN), entonces 1Il<r1.0B .., rn4.MQN = a.
BISECTRIZ Df: UN ÁNGULO
Es aquel rayo cuyo origen es el vértice de un ángulo, y sus demás punlos al eslar en el interior del ángulo, rorman con sus lados ángulos congruentes.
En la figura 3.2'l. P está figura. mc;AOP= rn<POB = e.
en el interior de ~OB. De ta si y solo si OP es bisectriz
A
p
dedOB. o'~~------------R
CLASIFICACiÓN DE LOS ÁNGULOS Rgum 3.22
De acuerdo a su medida
Ánguk) agudo. Es aquel ángulo cuya medida es mayor que 00, pero menor que 9()0.
ÁngulO redo. Es aquel ángulo cuya medida es 9()0.
Ángulo oblUso. Es aquel ángulo cuya medida es mayor que 000, pero menor que ¡&JO.
L A
A
a
O B o B O B
~a<~ <íAOB: <11. agudo -4:A0B: '4: recio
( 9()O<a< 1800J
<A08: -« obtuso
Figura 3.23
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De acuerdo a la pGslcU,n de sus lados
Ángulos adyatcntes
Dos ángulos SOIl adyacentes si tienen un
lado común, sus interiores son disjunlos5 yeslán
conlelüdos en un mismo plano.
Figu,.o 3.24
<UlOBcOH v .. BOCCO;¡ • I
Según la ngura 3.24, -«AOB y <BOC 5011
adyacentes (el lado Cornun es (011).
l.os ángulos ADB y AOC tienen un laCIo
común OA", pero 110 son ady-ócentes, ya Que sus
il1lenores no son disjuntos.
FIguro 3.2$
[ <AOB c OH. <UlOCcOH 1 Sea:
1(AlJlf) : Interior del <AOB
1V«1 : Interior del ~OC
Donde:
IfIOII) n JfIIX.) '*- 4', entonces sus interiores no son
disjunlos.
Ángulos consecutivos
Son aquellos ángulos con el mismo vértice
que están contenidos en un mismo plano, sus
interiores son disjuntos Que al ser tomados uno a
continuación del otro presentan Ulllado común.
f~:7 Figura 3.26
Los ángu los AOB. 8OC. COD y DOE están
contenidos en el plano H. Si sus interiores
son disjuntos (no se inlersKéln) y están uno él continuaciÓll del otro, significa entonces que
dichos ángulos son COJ lscculi\'os.
1..0:1 copos de las órbol!:s impkkll dpcrSCJ <k kJs ItI)ItI S rkt SclI en ~ bosquor 6e>nso y oq~11os. ~e logran pasOf (J trC/\'és de un daro (arman
án¡uIos COII5CCUtivos.
f'igura 3.21
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Los ángulos AOB, COD y EOF están conte
nidos en el plano H. sus interiores son disjunlos
y están uno a continuación del OIro sin $C!r
C<:nSeCutivos. En la figura . .se puede apreciar que
~ y 4..COD 110 presentan WlladO en común.
La fotorltafia l'I'lUe5UO (Óf7lO Jo5- roytI$ de luz (JU<MeSDIIItn. df:tos: aboles rformon~
uno o ccn6nu«& *1 otro. sin.ser UlIlSeCtIlÑOIi.
Ángulos opuesto. por el vértice Son dos ángulos que tienen el mismo \'eruce
en donde los lados de uno de e llos son los ra)'os
opuestos del otro.
PAAUNeAL
A B'
A'
Flgum3.28
DA y QA1; 75B y 00: si son rayos opuestos.
~ y -«.,A'OO son ángulos opuestos por e l v@rtice •
. . l.Jos rayos opuestos son aquellos que
U('nen el mismo origen y <:uya reuruón ('5 una
línea recta.
A o Figura 3.29
Si DA y No son rdyos opue:!>tos y 0iJ un rayo arbitrario.
entonces los ángulos AOB) 80A' forman un par lineal.
A
POSTULADO OEL PAR LINEAL
o Figurrr 3.30
A'
Si dos ángulQs forman un par lineal, entonces la suma de sus medidas es 1800. Asi en la figura 3.30,
m-«AOB + m4..80A' = lSOO.
Teorema Si dos á ngulos son opuestos por el ... ·e rtice. e ntonce s son congruentes.
Rgura 3.31
Si m<A08 y m<A'OO' son opuestos por el vértice,
e ntonces:
[ -<AOBo -<A'OB' ) .... [ o. = ~ )
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Demost roC'Mn o s_ . n 1. Si los ángulos AOB y BOA' forman un par
lineal , rn<A08 + m4:BOA' = ISOO.
ti. Si los ángulos BOA' y A'OEl forman un par
lineal, m<BOA' + m~'OB' :::t laoo
De (1) Y (11), si se obtiene que
m-<AOB + rn4.80A' = m<BOA' + m<A'OB.
entonces m<AOB = m-<A'08'
.-. ( <AOB-<A·OB" ) .... [o.-p ) Iqqd
DE ACUERDO A LA SUMA DE SUS MEDIDAS
ÁngUlOS complementarlos
Si prolongamos uno de kls lados de un ángulo en sentido opuesto, entonces el
<.4'00 rorma un par lineal con el <ADB.
f1guro3.32 ---...,j
Oos angulos son complementarios si la suma de sus medidas es 900,
A B M
N
Si m<AOB + m4.!1QN - 00". <AOB Y <MQN son complementarios.
Án9 .... OS . "pleenent. rfos
A
B
o
Si m-L4OB + m-«COD = 000, - <AOB Y -«COD son OOInplernerllaños..
Dos ángulos son suplementarios, si la suma de sus rnedidas es IW',
~~? A O Q N
A B
e
o D
Si m<.4OB + md1QN :: Iso<', SL merAOB + rn-«COD = 18()O,
- erAOB y ~QN son suplementarios. 4J40B y <COD son suplementarios.
I7gum3.34
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01> ""' C(a) : Es la medida del ángulo complemt:'nMrio al ángulo de medida a (OO<(l<~)_
As! C(~) = ~ - <x.P=9O" 5(9): Es Id medida del ángulo suplementario di ángulo de medida e (00< 9< .goa).
Asó S(e)=Q - e •• = 18O"_--..J
POSlCIDNES AELATIVAS DE DOS RECTAS EN EL PLANO
Dos recia ... ell un p~no adoplan solo dos
posiciones: seCanlcs o paralelas.
Rectas secantes
San aquellas recias que tienen un sclopunlO en
común,. al cual se dcnominl'l punlo de intersección.
(a)
En la figura, se l1lue~ran Iasrecl<L'i 'f I Y 'I'z que tienen Wl puflfo comúnP: JX'I' lo tanto. dichas rectas
son rectas secantes y P es el pomo de intersección. Si las recIas ~cante!'> delprminan dflgl .. JlOS
rectos. a dichas recta:o se les d.enomina reCias
perpendiculares.
!I' I
(u)
Fisurn3.3S
En la figura 3.35, si las recias secantes T I 'i !l2 determinan cualro ángulos recios. implica que dichas rectas son perpendiculares.
Notación
PI.l ~2
PlornocJo erpc.¡o tJ!ilizotkJ por /0$ CMWU«ores egiPCIOS poto hallor lo verocal 01 co,lolr o o/ cclocot
Iodrillr;,s y pH!drOJ lm p«lros de lo IIron p;rómkle
tienen sajo uno WKfoc¡on ~Q ,es/nCto Q tltlC lineo Icclo de 0.25 mm y se ur'H.et'on CM uno opt'OXlmoct<in
de 0,05 mm.
Rectas pa,.a'el ••
Dos reCIas coplanares, es decir, que est'dn en un rrUsmo plano, se denominan paralcldS cuando
dichas rectas no se intersecan. Por consi!oluienle.
dichas recias no tienen un punto en común,
~ • I
r,
En la figura 3.36. si las rectas '.1 1 y 'l'J no logran intersecarse, se denomimm rectas par.alela~.
Notaoclón
r¡"Y2 Se lee: La recia 'l', es paraleld a la recta Y'l"
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![Geometría Analíticacalculo/1/material/sem03/Semana03_print.pdf · Semana03[1/26] Geometría Analítica 16 de marzo de 2007 Geometría Analítica. Sistema de coordenadas cartesianas](https://static.fdocuments.ec/doc/165x107/5f584aca442dc608ff7d67e7/geometra-anal-calculo1materialsem03semana03printpdf-semana03126-geometra.jpg)
