Unidad 1 GEOMETRÍA DESCRIPTIVA

Módulo 1

Escuela de Diseño Industrial / 2020 / Profesor: Juan C Morales Dimarco

GEOMETRÍADESCRIPTIVAUnidad 1

Módulo 1Sistemas de Representación

Proyectar es llevar los puntos, líneas y planos de un objeto sobre una superficie o plano, en dirección rectilínea.


ProyeccionesEn toda proyección independientemente del tipo que se trate, se consideran los cuatro elementos siguientes:el foco de proyección, la figura a proyectar, las líneas proyectantes y el plano de proyección (donde se encuentra la figura la imagen o figura proyectada).

Al interponer una forma en este caso un triángulo entre un foco luminoso y un plano de proyección, se observará sobre este último una sombra proyectada: la imagen o figura del triangulo

Lineas proyectantes

Foco de proyección

Figura

Plano de proyección

Figura proyectada

El termino “proyección” hace referencia al metodo por el cual nos servimos de rectas para llevar los puntos del espacio a un plano de proyeccion



Tipos de Proyección

Proyección Cónica Proyección Cilindrica Ortogonal Proyección Cilindrica Oblicua

Así podemos decir que, un punto A se proyecta sobre un Plano de Proyección cuando la línea proyectante pasa por el punto A e intersecciona con el plano de proyección, obteniendo el punto A’.De la misma forma, obtendremos la proyección del segmento AB, obteniendo el segmento proyectado A’B’.Un plano, formado por tres puntos, quedaría proyectado cuando sus tres puntos A, B y C se proyectan sobre un plano teniendo los puntos A’, B’ y C’. Obtendríamos la figura proyectada.

A

BC

A’

B’

= 90°

C’

A

BC

A’

B’C’

= 90°

O

A

BC

= 90°

A’

B’C’

Dos son los tipos de proyeccion que dan base a los sistemas de representaciónProyección Cónica o CentralProyección Cilindrica o Paralela

Es el sistema de representación gráfico en donde un haz de lineas proyectantes que confluyen en un punto —el ojo del observador—, proyectan el cuerpo como una imagen sobre el plano auxiliar que intercepta dichas rectas

Es aquella en la que el centro de proyección de donde emanan todos las lineas proyectantes se encuentran en el infinito (punto impropio), es decir, los rayos de proyección son paralelos, y forman un ángulo recto respecto del plano de proyección.

El centro de proyección de donde emanan todos las lineas proyectantes tambien se encuentran en el infinito, los rayos de proyección son paralelos, y forman un ángulo que no es perpendicular respecto del plano de proyección.



Sistemas Perspectivos

El término perspectiva (en latín, perspicere "para ver a través de")1 se utiliza en las artes gráficas para designar a una representación, generalmente sobre una superficie plana (como el papel o un lienzo), de un motivo tal como es percibido por la vista, de forma que se pueda intuir su configuración tridimensional.

Geométricamente, estas representaciones se obtienen a partir de la intersección de un plano (el plano del dibujo) con un conjunto de visuales (las líneas rectas o rayos que unen los puntos del objeto representado con el punto desde el que se observa (denominado el punto de vista).

En este sentido, existen dos tipos fundamentales de perspectivas, en función de la posición relativa entre el modelo representado y el punto de vista:

Perspectiva cónica: También denominada perspectiva central, sus características más distintivas son que los objetos representados son más pequeños a medida que aumenta su distancia al observador; y la convergencia en un punto de fuga de la representación de las líneas paralelas del modelo. Las visuales forman un haz cónico, con su vértice en el punto de vista.

Perspectiva axonométrica: es un tipo de proyección en la que todas las visuales son paralelas entre sí, lo que equivale a que el punto de vista se sitúe en el infinito. En este tipo de perspectivas, las líneas paralelas en el modelo conservan su paralelismo en la imagen, por lo que los objetos no reducen su tamaño a medida que se alejan del observador, ni existe ningún punto de fuga en el que converjan las líneas del dibujo.


Perspectiva

Cónica

Axonométrica

Ortogonal

Isométrica

Dimétrica

Trimétrica

Caballera

Militar

Oblicua


Pegar las figuras (planos) sobre un cartón cartulina, recortar y armar



1

1

2 2

3

3

4

4

7

7

9

9

10

10

11

11

12

12

1313

14

14

1616 15

1517

20

20

22 22

23

23 23

21

21

17

18

1919

18

8

8

5

5

6

6

4

4

Poliedro.




Haga click en la figura para activar la visualización en 3D

Con el mouse puede rotar la figura.Visualizar diferentes vistas.Activar diferentes iluminaciones y visualizaciones


Perspectiva CónicaUn solo punto de fuga

Ocurre cuando una de las caras del cubo es paralela al plano de proyección, por tanto dos ejes del espacio son paralelos al plano de proyección. Las proyecciones de las rectas en esas direcciones se verán realmente paralelas en el dibujo



Perspectiva CónicaDos puntos de punto de fugaOcurre cuando el cubo está parcialmente ladeado, y solo un eje espacial es paralelo al plano de proyección. Las rectas con esa dirección se proyectan realmente paralelas en el dibujoo



Perspectiva CónicaDos puntos de punto de fuga

Para aplicar este método se realizan los siguientes pasos:

1. Se dibuja la arista más cercana al observador, y se sitúan los puntos de fuga sobre una misma línea horizontal.2. La línea de horizonte puede tomar diferenteposiciones, según la ubicación del observador.3. Se trazan líneas desde los puntos de fuga hasta los extremos de la arista dibujada, y se traza el resto de líneas verticales en función de la profundidad del objeto.4. Desde los puntos de corte de las líneas verticales con las líneas que llevan hasta los puntos de fuga, se trazan las líneas hasta los dos puntos de fuga y se completa el dibujo destacando las aristas visibles



Perspectiva Paralela - OblicuaAxomométrica - Militar

Proyección paralela oblicua, un sistema de representación por medio de tres ejes cartesianos (X, Y, Z)

En el dibujo, el eje Z es el vertical, mientras que los otros dos (X, Y) forman 90° entre sí, determinando el plano horizontal (suelo). Normalmente, el eje X se encuentra a 120° del eje Z, mientras que eje Y se encuentra a 150° de dicho eje.

La principal ventaja radica en que las distancias en el plano horizontal conservan sus dimensiones y proporciones. Las circunferencias en el plano horizontal se pueden trazar con compás, pues no presentan deformación. Las circunferencias en los planos verticales se representan como elipses.

60º30º


De Dnu72 - Trabajo propio, CC BY-SA 4.0, https://commons.wikimedia.org/w/index.php?curid=11625936


Perspectiva Paralela - OblicuaAxomométrica - CaballeraEs un sistema de representación que utiliza la proyección paralela oblicua, por medio de tres ejes cartesianos (X, Y, Z)

En perspectiva caballera, dos dimensiones del volumen a representar se proyectan en verdadera magnitud (el alto y el ancho) y la tercera (la profundidad) con un coeficiente de reducción. Las dos dimensiones sin distorsión angular con sus longitudes a escala son la anchura y altura (x, z) mientras que la dimensión que refleja la profundidad (y) se reduce en una proporción determinada. 1:2, 2:3 o 3:4 suelen ser los coeficientes de reducción más habituales.

Los ejes X y Z forman un ángulo de 90º, y el eje Y suele tener 45º (o 135º) respecto a ambos. Se adoptan, por convención, ángulos iguales o múltiplos de 30º y 45º, dejando de lado 90º, 180º, 270º y 360º por razones obvias.

45º


Perspectiva Paralela - OrtogonalAxomométrica - Es un sistema de representación gráfica, consistente en representar elementos geométricos o volúmenes en un plano,

mediante proyección paralela o cilíndrica, referida a tres ejes ortogonales, de tal forma que conserven sus proporciones en cada una de las tres direcciones del espacio: altura, anchura y longitud. Dependiendo de la disposición del triedro con respecto al plano del

dibujo, tendremos varios tipos de sistemas axonométricos


TrimétricoLos tres ángulos son distintos: α ≠ β ≠ γ

Dimétrico

IsométricoLos ángulos existentes entre los ejes, tienen el mismo valor de 120º, esto es: α = β = γ = 120º

ISOMÉTRICOα = β = ω

α

β

ω

Z

X

Y

α

β

ω

Z

X Y

Z

X

Y

Z

X Y

DIMÉTRICOα = β = ω

Z

X Y

Z

X Y

TRIMÉTRICOα = β = ω


Dos de los ángulos son iguales y el tercero, distinto: α = β ≠ γ

La perspectiva isométrica es una técnica de representación gráfica de un objeto tridimensional en dos dimensiones, donde los tres ejes coordenados ortogonales al proyectarse forman ángulos iguales de 120º cada uno sobre el plano. Las dimensiones de los cuerpos paralelas a los ejes se representan a una misma escala.

El término isométrico deriva del griego igual medida, debido a que la escala de medición es la misma a lo largo de cada eje.La perspectiva isométrica generalmente usa un coeficiente de reducción de las dimensiones equivalente a 0.82.

Existe el dibujo isométrico donde no se utiliza reducción sino la escala 1:1 o escala natural (lo que se mide en el dibujo corresponde al tamaño real del objeto).



Perspectiva Paralela - OrtogonalAxomométrica - Isométrica

30º30º

Resumen 1

En el tema anterior hemos explorado la habilidad de observar los objetos desde diferentes perspectivas, relacionándolo directamente con el desarrollo de su inteligencia espacial, a través de ella ya debe estar en capacidad de imaginar un espacio tridimensional en el cual puede moverse mentalmente logrando visualizar un objeto desde diferentes ángulos. Lo anterior debe permitirle entender a la geometría descriptiva como una ciencia de carácter multidisciplinario, cuyo objetivo consiste en resolver gráficamente problemas representables; localizando, comprendiendo y analizando los elementos geométricos situados en el espacio para relacionarlos entre sí, para posteriormente interpretar y manejar dicha información en un medio bidimensional.

Estará en capacidad de identificar y reconocer los elementos y componentes principales que intervienen en los diferentes sistemas de representación, diferenciará los sistemas de proyección utilizados para generar dibujos en perspectiva y comprenderá el uso del sistema axonométrico para la representación en tres dimensiones de un objeto en el espacio y cómo proyectar puntos, líneas y planos sobre un plano de proyección en el espacio lo cual le permite posteriormente trasladar los a un entorno bidimensional.




Módulo 2Principios de representación


Sistemas de Proyección En la perspectiva conica las dimensiones reales de un objeto se proyectan deformadas, debido a la convergencia de los rayos visuales desde el objeto hacia el observador

En un sistema de proyección intervienen:Un observadorUn plano de proyecciónUn objeto o modeloUn Plano de apoyo (referencia)

Observador

Plano de Proyección

Objeto o Modelo

Plano de Apoyo

90°

Módulo 2Principios de Representación


Sistemas de ProyecciónEn la perspectiva diedrica los rayos visuales son paralelos entre sí, y por lo tanto, los elementos rectos o planos del objeto que son paralelos al plano de proyeccion se proyectan con las mismas medidas en él.

En un sistema de proyección intervienen:Un observadorUn plano de proyecciónUn objeto o modeloUn Plano de apoyo (referencia)

Observador

Plano de ProyecciónObjeto o Modelo

Plano de Apoyo

90°



Sistema Diédricoo de Monge

Es el procedimiento de representación basado en la proyeccion cilindrica ortogonal sobre fundamentalmente dos planos perpendiculares denominados horizontal y vertical de proyección, que dividen el espacio en cuatro cuadrantes o diedros, la linea de intersección se denomina línea de tierra.

Nombre que toma del matemático y científico frances Gaspard Monge (1746 - 1818) .Buscaba representar los objetos de forma clara para su construcción, el resultado de sus estudios es la GEOMETRÍA DESCRIPTIVA y en concreto el sistema diédrico|

Los elementos a representar pueden situarse en cualquiera de los cuatro cuadrantes) diedros; no obstante, las dos posisiciones normalizadas corresponden a objetos ubicados en el primer diedro o cuadrante (Sistema Europeo) o en el tercero (Sistema Americano)

Isoplano XZ (Plano frontal) - Isoplano XY (Plano horizontal). Ubicación de un objeto en el tercer cuadrante o diedro y sus proyecciones sobre los planos horizontal y vertical (frontal).

Del griego Di = dos y Hedra = cara

III

Z

X

Y

X

Cuadrantes

II

IV

I

Z

Y



En esta representación se muestran las tres dimensiones de un objeto (ancho, altura y profundidad). Si relacionamos estos tres ejes con el sistema de coordenadas cartesianas (x,y,z), el eje X corresponde a las dimensiones de ancho, Y a las dimensiones de profundicad y el eje Z equivale a la altura.

Sistema Diédricoo de Monge

Abatimiento del plano horizontal 90° para quedar alineado con el plano vertical (frontal)

Disposición de las dos vistas sobre el plano de dibujo (2D). Es el sitema idoneo, por su exactitud y claridad de interpretación, para las representaciones industriales, así cómo en arquitectura para la representación de plantas y alzados de edificios.

Dimensiones en el espacio

90°Plano frontal

Altura

Profundidad

Ancho

Plano apoyo

Plano horizontalLinea de pliegue

X

Z

Y

Linea de pliegue

Plano frontal

Plano horizontal

Z

X

Y

X ProfundidadAncho

Altura



Linea de proyección

Fundamentos de laProyección diédrica

A

Ba

b

CD

c-d

90° 90°

Todo punto situado en el espacio, se debe identificar con una letra mayúscula, de tal manera, que al proyectarlo en un plano de proyección, éste se designa con su respectiva letra en minúscula, acompañada del subíndice del plano en que se proyecta; la línea que parte desde el punto hacia el plano de proyección se denomina “línea de proyección”, la cual es perpendicular al mismo.

Cuando varios puntos coinciden en una misma línea de proyección, se deben designar los puntos en el orden de cercanía respecto al observador, es decir, primero se designa el punto que se encuentra más cerca al observador, luego, el segundo más cercano, y así sucesivamente.

Plano de apoyo



C

Ec

e

CD

c-d H

Mh

m90°90°90°

Toda linea paralela a un plano de proyección, se proyecta en longitud real (verdadera magnitud).

Toda linea que no es paralela ni perpendicular a un plano de proyección, se proyecta deformada, con un tamaño menor al real.

La posición del objeto en el espacio, afecta de manera directa la forma en que se proyecta la imagen en el plano de proyección; a manera de introducción, se enuncian unas normas que deben tenerse en cuenta al proyectar líneas y planos.

Linea proyectada en longitud real Linea proyectada como un punto Linea proyectada en tamaño deformado

Toda linea perpendicular a un plano de proyección, se proyecta como un “punto”.

Sobre las lineas (unidireccionales), situadas en el espacio:





CA

FD

c-da-f

C

EHc

he

ca

b

n Plano de apoyom

90°

eo

A

B

C

EO

M

N

90° 90°

La posición del objeto en el espacio, afecta de manera directa la forma en que se proyecta la imagen en el plano de proyección; a manera de introducción, se enuncian unas normas que deben tenerse en cuenta al proyectar líneas y planos.

Plano proyectado en tamaño real Plano proyectado como filo Plano proyectado deformado

Todo plano paralelo a un plano de proyección, se proyecta en tamaño real (verdadera forma).

Todo plano que no es paralelo ni perpendicular a un plano de proyección, se proyecta deformado, con un tamaño menor a su forma real.

Todo plano perpendicular a un plano de proyección, se proyecta como una “linea” o “filo”.

Sobre los planos (superficies planas), situadas en el espacio:



Una proyección isométrica es un método de representación gráfica, más específicamente una axonométrica cilíndrica (paralela) ortogonal. Constituye una representación visual de un objeto tridimensional que se reduce en dos dimensiones, en la que los tres ejes ortogonales principales, al proyectarse, forman ángulos de 120º, y las dimensiones paralelas a dichos ejes se miden en una misma escala.

Proyección ISOMÉTRICA

El término isométrico proviene del idioma griego: "igual al tiempo", y al castellano "igual medida" ya que la escala de medición es la misma en los tres ejes principales (x, y, z).

La isometría es una de las formas de proyección utilizadas en dibujo técnico que tiene la ventaja de permitir la representación a escala, y la desventaja de no reflejar la disminución aparente de tamaño -proporcional a la distancia- que percibe el ojo humano.

La isometría determina una dirección de visualización en la que la proyección de los ejes coordenados x, y, z conforman el mismo ángulo, es decir, 120º entre sí. Los objetos se muestran con una rotación del punto de vista de 30º en las tres direcciones principales (x, y, z).

Esta perspectiva puede visualizarse considerando el punto de vista situado en el vértice superior de una habitación cúbica, mirando hacia el vértice opuesto. los ejes x e y son las rectas de encuentro de las paredes con el suelo, y el eje z, el vertical, el encuentro de las paredes. En el dibujo, los ejes (y sus líneas paralelas), mantienen 120º entre ellos.

Z

X Y

Z

X

YZ

X Y



Un dibujo isométrico es la representación gráfica de un objeto geométrico tridimensional que se reduce a dos dimensiones mediante una proyección paralela basándonos en tres ejes, de tal manera que conserve sus proporciones en cada una de las tres direcciones del espacio: altura, anchura y longitud.

Se dibuja con escuadras de 30º x 60º x 90º (cartabon)Las aristas son paralelas a los ejes cartesianos y tienen la misma medidaLos angulos de 90º del cubo, se proyectan en angulos de 120º ó 60ºToda recta paralela a X, Y, y Z se denomina recta isométricaLa medida real de una recta isométrica se asume igual (sin reducción)

Dibujo ISOMÉTRICOProyecciónIsométrica

Linea Horizontal - 0° Linea Horizontal - 0°

Z X Y

Linea Horizontal - 0°

120º

120º

120º120º

120º

60º

60º 60º

60º

120º



Dibujo ISOMÉTRICOProyecciónIsométrica

ProfundidadAncho

Altura

Z

-Z

X

-X

Y

-Y

30º30ºEn esta representación se muestran las tres dimensiones de un objeto

(ancho, altura y profundidad) manteniendo las dimensiones reales medidas en cada uno de los ejes constructivos del dibujo.

Si relacionamos estos tres ejes con el sistema de coordenadas cartesianas (x,y,z), el eje X corresponde a las dimensiones de ancho, Z a las dimensiones

de altura y el eje Y equivales a la profundidad. Los valores negativos y positivos se toman como indica el grafico

El procedimiento tradicional de trazado consiste en dibujar el prisma que envuelve la pieza u objeto e ir eliminando material de la misma hasta obtener el objeto deseado, utilizando las medidas de las vistas y reproduciéndolas en cada eje.

El prisma se dibuja usando ángulos de 30° para formar la base, y paralelas para definir la forma.Usando la regla y el cartabón 30°-60° dibujamos la vertical (paso 1)Despues desplazamos el cartabon sobre la regla y trazamos una recta sobre el angulo de 30º (paso 2).Volteamos la escuadra y trazamos una recta para completar las lineas que representaran los 3 ejes (paso 3).

1 2 3 4



Planos de proyección ProyecciónIsométrica

Se denominan vistas principales de un objeto, a las proyecciones ortogonales del mismo sobre 6 planos(plano vertical -PV-, plano horizontal -PH-, plano de perfil -PP- y sus planos paralelos),

Denominación de las vistasSi situamos un observador frente al cubo, se realizarán las proyecciones ortogonales según las seis direcciones indicadas por las flechas, obtendríamos las seis vistas posibles de la pieza.

Vista A: Vista de frente o alzadoVista B: Vista superior o plantaVista C: Vista izquierda o perfil izquierdoVista D: Vista posteriorVista E: Vista inferiorVista F: Vista derecha o perfil derecho

Z A F C

B

E

D X Y

Z

Z X Y

A

BC D

E

F



Planos de proyección principalesProyecciónIsométrica

Generalmente se utilizan tres planos de proyección principales:

el plano superior (identificado con el Nº 1)el plano frontal (identificado con el Nº 2), yel plano lateral derecho (identificado con el Nº 3).

los tres planos de proyección restantes de la misma caja, es decir, el plano inferior, el plano posterior, y el plano lateral izquierdo, se descartan porque sus proyecciones son similares a las obtenidas en los demás planos de proyección

2 3

1

Z

X Y

Z

X

Y

X

Z

12 3

Y



Vistas de proyección principalesPlanimetría

Después de obtener las tres vistas principales del objeto con sus respectivas líneas de relación (proyección), es necesario procesar esta información en un medio bidimensional, para ello, se giran los planos de proyección hasta que coincidan en un solo plano de trabajo, por conveniencia, el plano frontal se toma como referencia para realizar el abatimiento de los demás planos de proyección; este proceso da origen a la “planimetría” del objeto, la cual, se convierte en el lenguaje gráfico primordial que comunica la idea acerca de la forma del objeto tridimensional, proporcionando los fundamentos de la construcción y el diseño en Ingeniería.

Z

X Y

Z

Ejes de pliegue y líneas de relación

X

Y

Eje de pliegue óLinea de referancia

Lineas de relación

12 3

Frontal / AlzadoSuperior / Planta

Lateral / Perfil

123

X

Z

Y

Eje de pliegue

Lineas de relación

Lineas de relación

Abatimiento de los planos de proyección

1

2 3



Plano apoyo

Dist

ancia

s igu

ales

Vistas anexas y adyacentesPlanimetria

Después de la planimetría obtenida, se evidencia que existen vistas adyacentes a una en común, las cuales se denominan “vistas anexas entre sí”, las vistas anexas entre sí, son la vista superior y la vista lateral derecha, porque comparten la vista frontal; tanto en las vistas anexas entre sí como en las vistas adyacentes, se cumplen las siguientes reglas:

Regla 1: A todo punto proyectado le corresponde una sola línea de relación, desde una vista cualquiera hacia otra vista adyacente, la cual será perpendicular al eje de pliegue que las comparte.

Regla 2: En todas las vistas anexas entre sí, la distancia medida desde un punto hasta el plano de proyección común, es igual; es decir, la distancia medida desde el punto proyectado hasta el eje de pliegue que comparte con la vista común, es la misma en todas estas vistas.

Z

X Y

Z

X

Y Lineas de relación

SF L

AD

F

H

CB

EO

G

I

J

K

L

M

N

ab

b-g

a-f c-d

h-l l-ge-o-b

c-a d-f

h

m-k k-j-im-nn-ji

eo

i

g

j

o-n c-e m

h

klf d

Distancias iguales



Vistas auxiliaresProyecciónIsométrica

Las vistas auxiliares, son aquellas vistas que son diferentes a las tres proyecciones principales de un objeto; éstas permiten representar el mismo desde una dirección específica, y por consiguiente, obtener información geométrica adicional que se requiera del objeto. Estas se emplean para:

Conseguir nuevas visualizaciones del objeto, y por consiguiente, analizar detalles constructivos.Determinar representaciones especiales de los elementos geométricos.Encontrar verdaderas magnitudes y formas, de rectas, planos, y ángulos.

Dependiendo de los diferentes puntos de vista del observador, se pueden plantear y construir infinitas vistas auxiliares para representar un objeto; por tal razón, es necesario conocer la construcción de éstas, y estudiar los tipos de vistas auxiliares más empleados

Construcción de las vistas auxiliaresEl principio por el cual se rige la construcción de las vistas auxiliares, se fundamenta en la aplicación del concepto de las vistas anexas entre sí, en las cuales, la distancia desde un punto del objeto hacia el plano de proyección común, es igual; sencillamente, la nueva proyección que se va a construir, partirá desde una vista adyacente, la cual, será identificada como la vista común, y por consiguiente, la nueva proyección será una vista anexa entre sí, con respecto a las demás que comparten la vista común

C

E

H

C

E

H

Construcción de un plano de proyección auxiliar

Vista auxiliarpara el plano C-E-H

Plano de apoyo

Vista superior

Vista frontal

Lineas de proyección



ConstrucciónProyecciónIsométrica

Para representar esta información en 2 dimensiones, se procede de la siguiente manera:

Medir las distancias desde los puntos c, e, h, ubicados en la vista frontal hasta el eje de pliegie o linea de referencia, (S-F) utilizando para ello un compás de precisión o una regla o escuadra

Se trasladan dichas distancias respectivamente desde el eje de pliegue o linea de referencia (S-Aux1) hacia los puntos c, e, h, a lo largo de las líneas de relación que le corresponde a cada punto.

S

SAux1

F L

ab

b-g

a-f c-d

h-l l-ge-o-b

c-a d-f

h

m-k k-j-im-nn-ji

eo

i

g

j

o-n c-e

c

e

h

m

h

k

lf d

Eje de pliegue óLinea de referencia

Lineas de relación oproyección

1

2

1

2

Traslado de puntos entre vistas



Clasificación - vistas de alzadaProyecciónIsométrica

Son todas las vistas adyacentes a la vista superior; se caracterizan porque en ellas se visualiza la línea de tierra, la cual, se representa paralela al eje de pliegue que comparte con la vista superior, debido a que todos estos planos de proyección son perpendiculares al plano de apoyo; también se distinguen, porque la altura real del objeto se proyecta en verdadera magnitud, ya que los planos de proyección son paralelos a la vertical.

De las vistas de alzada se deducen lo siguiente:

En cada vista de alzada se percibe la línea de tierra, la cual es paralela al eje de pliegue que comparte con la vista superior.

En todas las vistas de alzada se visualiza la altura del objeto en verdadera magnitud.

S

SAux1

F L

ab

Plano de apoyo LT

Plano de apoyo LT

Altura

b-g

a-f c-d

h-l

m-kn-ji

eo

i

g

j

o-n c-e

c

e

h

m

h

k

lf d

Vistas de alzada

Plano de proyección auxiliar - VISTA DE ALZADA

Tamaño o verdadera formadel plano C-H-E

Tamaño o verdadera formadel plano C-H-E



Vistas inclinadasProyecciónIsométrica

Son vistas adyacentes a las vistas de alzada; se caracterizan porque sus planos de proyección no son paralelos, ni perpendiculares al plano superior de proyección; esto quiere decir, que los rayos visuales del observador, en ningún momento apreciarán el plano de apoyo como filo.

Las vistas inclinadas más utilizadas son las vistas adyacentes al plano frontal, y las vistas adyacentes al plano lateral derecho; en dichas vistas se deduce lo siguiente:

En todas las vistas inclinadas nunca se aprecia la línea de tierra.

En todas las vistas inclinadas adyacentes al plano frontal de proyección, incluidas las demás vistas adyacentes al mismo, se visualiza la profundidad del objeto en verdadera magnitud.

En todas las vistas inclinadas adyacentes al plano lateral derecho de proyección, incluidas las demás vistas adyacentes al mismo, se visualiza el ancho del objeto en verdadera magnitud.

Vistas Inclinadas

SF

FAux 2

L

LAux 1

ab

b-g

a-f c-d

h-l l-ge-o-b

c-a d-f

h

m-k k-j-im-nn-ji

eo

i

g

j

o-n c-e m

h

k

lf d

Ancho

Ancho

Ancho

Prof

undi

dad

Profundidad

Prof

undi

dad

a

a

c

c

f

f

d

d

e

e

l

l

h

h

m

m

g

g

b

b

o

o

i

i

k

k

n

n

j

j



b

i

j

af

g

d

l

k

m

n

h

e

o

c

Aux 1Aux 3

Son vistas adyacentes a una vista inclinada y/o de alzada, y de aquí en adelante; se caracterizan porque brindan la sensación de “tridimensionalidad” del objeto, debido a la mayoría de apreciación de planos del objeto en proyecciones deformadas; es decir, que las tres dimensiones del objeto no se proyectan en verdadera magnitud.

Z

X

Y

Vistas adyacentes a otra auxiliar

Vistas adyacecntes ProyecciónIsométrica

SF

FAux 2

L

LAux 1

ab

b-g

a-f c-d

h-l l-ge-o-b

c-a d-f

h

m-k k-j-im-nn-ji

eo

i

g

j

o-n c-e m

h

k

lf d

Ancho

Ancho

Ancho

Prof

undi

dad

Profundidad

Prof

undi

dad

a

a

c

c

f

f

d

d

e

e

l

l

h

h

m

m

g

g

b

b

o

o

i

i

k

k

n

n

j

j



ca

b

n

Plano de apoyo

m90°

e

A

B

C

E

M

N

Normalizaciónde los sistemas derepresentación

Este sistema, también conocido como sistema americano o proyección en tercer cuadrante, se caracteriza porque el plano de proyección está situado entre el observador y el objeto; teóricamente, el observador se considera localizado en el infinito; el plano de proyección se supone transparente, ya que el observador debe visualizar el objeto a través de él, y de esta manera, se obtiene la proyección o vista del mismo.

Sistema Americano y Europeo

Sistema americano de representación ASA

Abatimiento de los planos sistema ASA

Observador


Objeto ó figura




Sistema americano de representación ASA

X

Z

Y


Sistema Americano y Europeo Módulo 2Principios de Representación


ca

b

n

Plano de apoyo

m

90°

e

A

B

C

E

M

N

Este sistema, también conocido como sistema europeo o proyección en primer cuadrante, se caracteriza porque el objeto está situado entre el observador y el plano de proyección; teóricamente, el observador se considera localizado en el infinito; el plano de proyección se supone opaco, ya que el observador debe visualizar el objeto y proyectar su representación en él.

Sistema europeo de representación DIN

Observador


Objeto ó figura


Z

XY




Sistema europeo de representación DIN

X

Z

Y




Resumen 2

En el tema anterior abordamos los principios de la representación isométrica y su utilización en la geometría descriptiva para dimensionar en el espacio medidas reales y proyectarlas a los planos de proyección principales mediante la proyección cilíndrica ortogonal. Se espera que el estudiante entienda el proceso de desdoblamiento de la caja de proyección a partir de sus ejes de pliegue y como estos se convierten en líneas de referencia representando los límites de los planos de proyección en dos dimensiones. También que el estudiante comprenda la importancia de las líneas de relación (proyección) para el correcto posicionamiento de los puntos en el espacio y aprenda a evidenciar y diferenciar entre vistas adyacentes y anexas y su apropiada utilización en los diferentes trazos de líneas interpretando criterios de intensidad, espesor y tipos de línea.

También estará en capacidad de comprender la utilización de planos de proyección auxiliares (vistas auxiliares de alzada, inclinadas y adyacentes a las auxiliares) para representar el objeto desde una dirección específica y por consiguiente obtener información geométrica adicional que se requiera, realizando el respectivo traslado de puntos entre las diferentes proyecciones mediante la regla de las terceras distancias, comprendiendo y aplicando los criterios de visibilidad estudiados al trasladar los puntos entre vistas. Finalmente mediante la utilización de herramientas de dibujo análogas como escuadras, formatos de papel y lápices podrá dibujar un objeto en tres dimensiones y representar sus vistas principales diferenciando los dos sistemas de proyección utilizados ASA y DIN.





Módulo 3Los elementos geométricos básicos


EL PUNTO

El punto es la entidad geométrica más sencilla que se puede identificar; no posee forma, dimensión, ni tamaño; pero, si se puede referenciar y localizar en el espacio mediante la utilización de un sistema de representación cartesiana (representación numérica), o un sistema de proyección diédrico. Módulo 3

Los elementos geométricos básicos

El sistema cartesiano o sistema de coordenadas rectangulares, es muy empleado en Matemáticas, sobre todo en la rama de geometría analítica de los cuerpos; este se caracteriza por tener un origen “O”, el cual, es determinado por la intersección de tres ejes perpendiculares entre sí (ejes X, Y, y Z).

Todo punto en este sistema se denomina “coordenada”, la cual, se designa por cantidades numéricas correspondientes a los desplazamientos rectangulares medidos en los tres ejes respecto al origen; de esta manera, un punto P (X, Y, Z) diferente al origen O (0, 0, 0), se puede localizar, trazando paralelas a estos ejes; siendo cada eje subdividido en unidades iguales; la dirección de dichos ejes respecto al origen puede ser positiva o negativa.

El punto en el sistema cartesiano

o 1

1

1

2

2

2

3

3

3

4

4

4

5

5

5

A (4,6,8)

B (8,-6,-3)

C (-9,3,-1.5)

6

6

6

7

7

7

8

8

8

9

9

9

10

10

10

11

11-11

-11

-10

-10

-10

-9

-9

-9

-8

-8

-8

-7

-7

-7

-6

-6

-6

-5

-5

-5

-4

-4

-4

-3

-3

-3

-2-2

-2

-1-1

-1

Z

Z

-Z

Y

Y

-Y

-X

X

X

Los planos de referencia XY (z = 0); XZ (y = 0); e YZ (x = 0) dividen el espacio en ocho cuadrantes en los que, los signos de las coordenadas pueden ser positivos o negativos.

Z

-Z

X

-X

Y

-Y

Z

X X - coordenada

Y - coordenada

Z - coordenada

Y

o 1

1

1

2

2

2

3

3

3

4

4

4

5

5

5

A (4,6,8)

B (8,-6,-3)

C (-9,3,-1.5)

6

6

6

7

7

7

8

8

8

9

9

9

10

10

10

11

11-11

-11

-10

-10

-10

-9

-9

-9

-8

-8

-8

-7

-7

-7

-6

-6

-6

-5

-5

-5

-4

-4

-4

-3

-3

-3

-2-2

-2

-1-1

-1

Z

Z

-Z

Y

Y

-Y

-X

X

X


EL PUNTOMódulo 3

Los elementos geométricos básicos

Las coordenadas se pueden referenciar de dos maneras:Coordenadas universales: Son aquellas que se localizan respecto al origen.Coordenadas relativas: Son aquellas que se localizan respecto a otro punto distinto al origen.

Coordenadas absolutas y relativas

Referencia de puntos Desplazamientos diferenciales (∆) y direcciones ∆ X 4 12 11Negativo

Negativo

Negativo

Negativo

Negativo

Negativo

Negativo

Negativo

4 12 11Positivo

Positivo

Positivo

Positivo

Positivo

Positivo

13

13

17

3 9.5

3 9.5

9 1.5

17 9 1.5

Positivo

Positivo

Positivo

NegativoDirección

Desde A hasta B

Desde B hasta A

Desde A hasta CDesde C hasta A

Desde B hasta C

Desde C hasta B

∆ Y Dirección ∆ Z Dirección


El puntoen el sistema Diédrico


Distancia, Cota, Alejamiento

Para localizar cualquier punto en el sistema diédrico, es necesario conocer la perpendicular o distancia mínima que existe desde el punto hasta cada uno de los planos de proyección principales; y cuando se requiere localizar más de un punto en dicho sistema, es necesario considerar el manejo de los desplazamientos diferenciales y las direcciones que existen entre ellos. El punto en este sistema, se determina conociendo la distancia, la cota, y el alejamiento.

DISTANCIA: Es la medida perpendicular desde el punto hasta el plano lateral derecho.

COTA: Es la medida perpendicular desde el punto hasta el plano superior.

ALEJAMIENTO: Es la medida perpendicular desde el punto hasta el plano frontal.

Teniendo estos tres valores establecidos se procede a determinar el punto, trazando las perpendiculares desde el punto a los respectivos planos de proyección principales.

FRONTAL

SUPERIOR

LATERALP

PF

PS

PL

PLANO DE APOYO

Determinación y localización de un punto en el sistema diédrico


LA LÍNEA Según el comportamiento espacial que presentan dentro de la caja de proyecciónLíneas horizontales / Línea vertical / Líneas inclinadas / Línea oblicua

Todas las lineas horizontales se ven en longitud verdadera en la proyección superior y en las vistas de alzada todos sus puntos estara a la misma altura.

La linea vertical se ve en longitud real en las vistas de altura (alzada)


Clasificación de los tipos de Línea

A

a

aa-b

b

b

BA

a

a

b-a

b

bB

A

a

a

a

b

b

b

B

A

a

a-b

a

b b

B

F

F

a

aa-b

b

b

LD

S F

F

a a

a-b

b b

LD

S

F

F

a b-ab

a b

LD

SF

F

a bab

a

b

LD

S

Horizontal tipo 1 Horizontal tipo 2 Horizontal tipo 3 Vertical


EL PLANO Se fundamenta en el comportamiento que posee un plano respecto a los planos principales de la caja de proyección, los cuales se resumen en siete posiciones especiales.


Clasificación de los planos en el espacio

F

F

a

c-aa

b

b

c

c b

LD

S F

Fa c-a

a

b

b

c

c

b

LD

SF

Fa c-a

a

b

b

c

c

b

LD

SF

Fa a

a

b

b

c c

c

b

LD

S

A

a

a

a-c

b b

b

c

c

B

C

A

a

a

bc

c

c-a

b

b

B

CA

a

a

bb

b

cc-a

cB

C

A

a

a

a

b

b

b

c

c

c

B

C

Horizontal Vertical_1 Vertical_2 Vertical_3


El puntoSistema cardinal / cartesiano


la línea Norte-Sur coincide con el eje Yla línea Oriente-Occidente coincide con el eje Xla línea Cenit-Nadir coincide con el eje Zdel sistema cartesiano

De acuerdo a los criterios anteriormente descritos, se pueden determinar y localizar los puntos P y Q, de la siguiente manera:

El punto Q se encuentra 20 mm al Norte de P, 42 mm al Oriente (este) de P, y 25 mms por encima de P.El punto P se encuentra 20 mm al Sur de Q, 42 mm al Occidente (oeste) de Q, y 25 mm por debajo de Q.

También son utilizados los términos hacia la derecha o izquierda para indicar las direcciones Oriente y Occidente respectivamente; y los términos hacia adelante o hacia atrás indicarán las direcciones Norte y Sur respectivamente.

CENIT

NORTE

OESTE

ESTE

SUR

NADIR

Relación de un sistema cardinal con los sistemas cartesianos y diédrico

S

42 mm

20 m

m25

mm

20 mm

F

F

p

pEO

N

S

p

q

q

q

LD

El sistema cardinal conserva una relación directamente proporcional con el sistema cartesiano, donde:


El puntoEjercicio de aplicación


Coordenadas absolutaslas coordenadas absolutas de los puntos A, E y D, se toman con respecto al punto de referencia 0Se expresa la distancia desde el punto 0 hasta el otro punto midiendo sobre cada uno de los ejes de coordenadas

10 mm 0 mm 35 mm

25 mm 20 mm 35 mm

25 mm 0 mm 15 mm

Coordenadas rectangulares

Coordenadas A (10 , 0 , 35)D (25 , 20 , 35)E (25 , 0 , 15)

con respecto a

Plano apoyo

Z X Y

Z

X Y Lineas de relación

SF L

AD

F

H

CB

EO

G

I

J

K

L

M

N

a

a

e

a d

e

d

Z

X

Y

0

e

d

0

0

0

0

con respecto a 0

con respecto a 0

XA

D

E

Y Z45

15 15

20

10 15 20

10 10 520

35

30

Medidas en Milimetros (mm)

20

15


El puntoEjercicio de aplicación


La ubicación de un punto en el espacio se define con respecto a otro punto conocido, carece de dimensiones y describe la ubicación espacial de una posición determinada. Teniendo un punto conocido es posible ubicar otros puntos mediante el empleo de coordenadas cartesianas rectangulares (X, Y, Z) o describiendo su ubicación, indicando si se encuentra arriba, abajo; derecha, izquierda; adelante o atrás.

Coordenadas relativaslas coordenadas relativas de los puntos A, E y D, se toman con respecto a otro punto de referencia diferente al origen 0En este caso se tendra en cuenta la posisión para localizar un punto con respecto al otro y el signo dependera del desplazamiento sobre los ejes cartesianos si es a la derecha, arriba o adelante sera positivo (+) y si es a la izquierda, abajo o atras sera negativo (-)

Plano apoyo

Z X Y

Z

X Y Lineas de relación

SF L

AD

F

H

CB

EO

G

I

J

K

L

M

N

a

a

e

a d

e

d

Z

X

Y

0

e

d

0

0

0

45

15 15

20

10 15 20

10 10 520

35

30

Medidas en Milimetros (mm)

20

15

A está a la izquierda de D 15 mm A está adelante de D 20 mm A está a la misma altura de D 0 mm A (-15, 20, 0)D

D está a la derecha de A 15 mm D está atras de A 20 mm D está a la misma altura de A 0 mm D (15, -20, 0)A

E está a la misma distancia de D 0 mm E está adelante de D 20 mm E está abajo de D 20 mm E (0, 20, -20)D

D está a la misma distancia de E 0 mm D está atras de E 20 mm D está arriba de E 20 mm D (0, -20, 20)E

dirección dirección dirección CoordenadaCoordenadas rectangulares

con respecto a D

con respecto a A

con respecto a D

XA

D

E

con respecto a ED

Y Z

LA LÍNEA Según el comportamiento espacial que presentan dentro de la caja de proyecciónLíneas horizontales / Línea vertical / Líneas inclinadas / Línea oblicua

Inclinada con respecto a frontal se ve en longitud real en frontal Inclinada con respecto al perfil se ve en longitud real en lateral

La única linea que no esta el longitud real en las proyecciones principales es la linea oblicua. Para hallarla en LR es necesario una proyeccion auxiliar


Clasificación de los tipos de Línea

Plano de apoyo

Plano Auxiliar

A

B

b2

b1

90°

90°

a2

a1

Θ

Θ

R

R

A

a

aa

b

bb

B

A

a

a a

b

bb

B

A

a

a

a

b

b

b

B

F

F

a

aa

b

b

bLD

S

F

F

a

aa

b

b

bLD

SF

F

a

aa

b

b

bLD

S

Inclinada frontal Inclinada de perfil


La lineaEjercicio de aplicación


45

15 15

20

10 15 20

10 10 520

35

30

20

15

AD

F

H

CB

EO

G

I

J

K

L

M

N

Z

X

Y

0

Plano apoyo

c

longitud real 38°

h

Z

X Y

Z

X

Y Lineas de relación

SF L

ab

b-g

a-f c-d

h-l l-ge-o-b

c-a d-f

h

m-k k-j-im-nn-ji

e

o

i

g

j

o-n c-e m

h

k

lf d

TIPO LR (mm) LINEA

Horizontal T1Horizontal T2Horizontal T3VerticalInc. frontalInc. de perfilOblicua

252025152515.832

C-DJ-KE-HO-NM-EL-KC-H


EL PLANO Se fundamenta en el comportamiento que posee un plano respecto a los planos principales de la caja de proyección, los cuales se resumen en siete posiciones especiales.


Clasificación de los planos en el espacio

F

F

a

a-c a c

bb

b

c

LD

SF

F

a

a-cac

b b

b

c

LD

SF

F

a

a ac c

b b

b

c

LD

S

A

a

a

a-c

b

b

b

c

c

B

C

A

a

aa-c

b

bb

c

c

B

CA

a

a

a

b

bb

c

c

c

B

C

Inclinado Frontal Inclinado Perfil Oblicuo


El PlanoEjercicio de aplicación


45

15 15

20

10 15 20

10 10 520

35

18

53

78

7853

53

18

20

15

AD

F

H

CB

EO

G

I

J

K

L

M

N

Z

X

Y

0

Plano apoyo

c

eTamaño real

h

Z

X Y

Z

X

Y

S

S

S2

23

1

F L

ab

b-g

a-f c-d

h-l l-ge-o-b

c-a d-f

h

m-k k-j-im-nn-ji

e

o

i

g

j

o-n c-e m

m

m

h-e

h

e

h

k

lf d

TIPO ÁREA (mm2)PLANO

HorizontalVertical T1Vertical T2Vertical T3Inc. frontalInc. perfilOblicuo

NJKMACEMNOBNOJCEHCDHLBOJIEHM

Resumen 3

En este tema estudiamos los 3 elementos básicos que conforman un sistema de representación, el punto, la línea y el plano.

Aprendimos a posicionar un punto en el espacio y sus respectivos desplazamientos con respecto a un sistema de referencia determinado a partir de los conceptos de distancia, cota y alejamiento y la forma de relacionar el sistema cartesiano con el sistema cardinal.

Estudiamos el comportamiento espacial que presentan las líneas y los planos con respecto a los planos principales de una caja de proyección determinando su clasificación.

Módulo 3Elementos geométricos básicos


Unidad 1 GEOMETRÍA DESCRIPTIVA

Documents

Transcript of Unidad 1 GEOMETRÍA DESCRIPTIVA