Libro 1 Anual Uni Geometría

TRIÁNGULOS : TEOREMAS FUNDAMENTALES Y CLASIFICACIÓN

Sean A, B y C tres puntos cualesquiera no alineados,

entonces la reunión de los segmentos , y

se llama triángulo ABC, y se indica con ÄABC. Lospuntos A, B y C se llaman vértices, y los segmentos

, y se llaman lados. Todo triángulo ABC

determina tres ángulos: ËBAC, ËABC y ËACB. aéstos los llamamos los ángulos del ÄABC. Si estáclaro a qué triángulo nos referimos, frecuentementepodemos designarlos por ËA, ËB y ËC.

Notación:Triángulo ABC: ÄABC

ÄABC =

Elementos:

Vértices: A, B y C

Lados: , y

Ángulos: ËA; ËB y ËCÁngulos externos: ËKAB, ËTBC y ËNCA

TEOREMAS FUNDAMENTALES:

01. En todo triángulo la suma de las medidas desus ángulos es igual a 180.

á + â + è = 180

02. En todo triángulo, la medida de un ánguloexterno es la suma de las medidas de losángulos internos no contiguos.

x = á + â

03. Para todo triángulo la suma de las medidasde los ángulos externos, uno en cada vértice,es igual a 360.

x + y + z = 360

04. En todo triángulo a mayor lado se oponemayor ángulo.

a > b ] á >â

05. En todo triángulo se cumple que un lado esmayor que la diferencia pero menor que lasuma de los otros dos.

Sea a > b > c

b - c < a < b + c

PROPIEDADES ADICIONALESa)

x = á + â + è

b)

m + n = p + q

c)

a + b + c + d + e = 180

d)

a < x + y < m + n

CLASIFICACIÓN DE LOS TRIÁNGULOS

A) Según la medida de sus ángulos :1. ÄRectángulo: Es aquel que tiene un ángulo

recto, los lados que lo forman se llamancatetos y el que se le opone se llamahipotenusa.

y : Catetos

: Hipotenusa

á + â = 90a

2 = b

2 + c

2

2. ÄOblicuángulo: Es aquel que no tieneángulo recto. Puede ser:-ÄAcutángulo: Es aquel que tiene sus tresángulos agudos.

á < 90; â < 90 y è < 90a

2 < b

2 + c

2

-ÄObtusángulo : Es aquel que tiene unángulo obtuso.

á > 90; â < 90 y è < 90

a2 > b

2 + c

2

B) Según la congruencia de sus lados1. ÄEscaleno: Es aquel que tiene sus

lados diferentes, también susángulos son diferentes.

2. Äisósceles: Es aquel que tiene doslados congruentes, también tienedos ángulos congruentes.

á = 90 -

3. ÄEquilátero: Es aquel que tienesus tres lados congruentes, tambiéntiene sus tres ángulos congruentes.

Recomendación:

Trazar para formar el triángulo

equilátero MNL.

LÍNEAS NOTABLES DE LOS TRIÁNGULOS

01. MEDIANAMediana de un triángulo es el segmento derecta cuyos extremos son un vértice deltriángulo y el punto medio del lado opuesto

En la figura si “M” es el punto medio de ,

entonces es mediana relativa al lado

02. ALTURAAltura de un triángulo es el segmentoperpendicular trazado desde cualquiera desus vértices a la recta que contiene al ladoopuesto.

En la figura : , entonces es la

altura relativa al lado

03. BISECTRIZEs el rayo que biseca a un ángulo interno oexterno del triángulo

04. MEDIATRIZEn un plano dado, la mediatriz de unsegmento es la recta perpendicular alsegmento en su punto medio

Si “M” es el punto medio de y z ,

entonces es mediatriz de

En la figura adjunta la mediatriz de

interseca a en el punto “P”

es mediatriz de

OBSERVACIÓN:

CEVIANA de un triángulo es el segmento de rectacuyos extremos son un vértice del triángulo y unpunto cualquiera del lado opuesto o de suprolongación

En el triángulo ABC mostrado :

: Ceviana interior

: Ceviana exterior

Si son cevianas concurrentes

Y T : Punto ceviano

RECOMENDACIÓNEn el triángulo ABC, si mËBAC = 2mËBCA, se trazauna ceviana de modo que se formen dos triánguloisósceles. Esto es posible de dos formas diferentes

observe los dos gráficos siguientes :

PROBLEMAS PROPUESTOS

01. Del gráfico mostrado, calcular “x + y + z”

A) 180 B) 270 C) 360D) 450 E) 540

02. Calcular “á”

A) 45 B) 30 C) 40D) 50 E) 60

03. En los lados de un triángulo

isósceles ABC, AB = BC, se ubican lospuntos P y Q respectivamente. Si PQ = QC ymËACP = 16, calcular la mËBPQ

A) 16 B) 24 C) 32D) 48 E) 64

04. Dos lados de un triángulo escaleno miden 8y 10. ¿Cuántos valores pares puede tomar lamedida del tercer lado?

A) 4 B) 5 C) 6D) 7 E) 8

05. Calcular “x”, si BC = AC

A) 30 B) 45 C) 37D) 53 E) 60

06. Si: BC > AB, calcular el máximo valor enterode la mËBEC

A) 91 B) 92 C) 93D) 94 E) 95

07. Se tiene el triángulo escaleno ABC : AB = 5;BC = 12 y mË ABC < 90. Si “AC” toma sumayor valor entero, calcular el perímetro deltriángulo ABCA) 25 B) 26 C) 27D) 28 E) 29

08. Dos ángulos exteriores de un triánguloacutángulo miden “9x” y “6x”. Determinar lasuma de los valores enteros que puedeasumir “x”

A) 70 B) 135 C) 77D) 33 E) 49

09. En un triángulo ABC : AC = 2(AB) y mËA =2(mËC). Calcular la mËBACA) 30 B) 45 C) 60D) 53 E) 37

10. Del gráfico, calcular “x”

A) 90 B) 100 C) 120D) 150 E) 105

11. En la figura AB = OD = DC, luego podemosafirmar que :

A) 10 < á < 70B) 15 < á < 60C) 20 < á < 80D) 5 < á < 75E) 5 < á < 65

12. En la figura AB = AC = CD. Calcular “x”

A) 12 B) 15 C) 22,5D) 30 E) 36

13. En un triángulo obtusángulo ABC obtusoen A; mËA = 2(mËC) y AB = 4. Calcular elmáximo valor entero de ACA) 2 B) 3 C) 1D) 4 E) 5

14. Calcular “x”, si BP = AC

A) 10 B) 12 C) 15D) 18 E) 20

15. En la figura adjunta :AB = DC = CE

¿Cuántos valores enteros puede tomar “x”?

A) 1 B) 2 C) 3D) 4 E) 5

16. En la figura AP = PC; BQ = MC, el triánguloMBC es equilátero. Calcular “x”

A) 40 B) 50 C) 60D) 70 E) 80

17. Del gráfico, calcular “á” si p+ q = 216

A) 8 B) 10 C) 12D) 14 E) 16

18. En un triángulo ABC, recto en “B”, se traza la

altura . La bisectriz interior del ËA

intersecta a en “M” y a en “P”. La

bisectriz interior del ËC intersecta a en

“N” y a en “Q”. Calcular MN si : BP - BQ

= 6

A) 6 B) 3 C) 4D) 1,5 E) 2

19. En la figura AB = BC y AE = ED, calcular “x”

A) 135 B) 60 C) 125D) 90 E) 120

20. En la figura BC = CD. Calcular “x”

A) 10 B) 20 C) 15D) 30 E) 22,5

TAREA

01. En un triángulo ABC, AB = BC, sobre se

toma el punto “D” tal que AB = DC y en la

prolongación de se toma el punto “E” tal

que BC = BE. Si la mËDAE = 35, calcular lamËC

A) 35 B) 40 C) 45D) 50 E) 30

02. Las medidas de los lados de un triánguloestán en progresión aritmética de razón“r”(“r” es un número entero positivo).Calcular el mínimo valor entero que puedeasumir el perímetro de la región que limita eltriángulo

A) 7r B) 9r + 1 C) 12r - 1D) 6r + 1 E) 6r - 1

03. Se tiene un triángulo obtusángulo ABC,obtuso en “A” tal que mËA = 2mËC y AB =6. Calcular el mayor valor entero de “AC”

A) 4 B) 5 C) 6D) 8 E) 11

04. Dado un triángulo equilátero ABC y “P” unpunto interior, tal que : PA = 2 y PC = 7.Calcular el mayor valor entero de “PB”

A) 6 B) 7 C) 8D) 9 E) 10

05. En la región exterior a un triángulo ABC y

relativo al lado se toma el punto D,

de modo que ; AB = BC = AD. Calcular :mËBAC, sabiendo que :

A) 20 B) 25 C) 35D) 45 E) 36

06. En un triángulo ABC, mËBAC = 2(mËACB),se traza la bisectriz interior BD. Calcular“DC”, sabiendo que AD = 4 y “AC” toma sumínimo valor entero.

A) 6 B) 8 C) 3D) 7 E) 5

07. En un triángulo ABC, recto en B, se traza la

ceviana , de modo que : AB + AD = BC,

mËABD = 3á y mËACB = 2á. Calcular “á”

A) 11 B) 15 C) 30D) 10 E) 20

08. Interiormente a un triángulo rectángulo ABC,recto en “B”, se toma el punto “P” tal quemËPAC = mËBCP y AB = PC = BC.Calcular la mËPCB

A) 15 B) 22,5 C) 18D) 30 E) 26,5

09. Dado un triángulo ABC en el exterior seubica el punto “P” tal que el perímetro de laregión triangular BPC es igual a 12 u.Calcular el máximo valor entero de “AC”, siAB y BC con enteros. (mËBAC > mËBCA)

A) 11 u B) 10 u C) 9 uD) 8 u E) 6 u

10. Se tiene un triángulo ABC, se trazan la altura

y la bisectriz interior

intersectándose en “O”. Si : AO = 4, OC = 12y CD = 15, calcular el máximo valor entero

de , si toma su mínimo valor entero,

además “D” es un punto exterior y relativo al

lado

A) 20 B) 21 C) 23D) 25 E) 27

TRIÁNGULOS : PUNTOS NOTABLES

01. BARICENTROTodo triángulo tiene tres medianas las cualesconcurren en un punto denominado“Baricentro”

En la figura “G” es el baricentro del triánguloABC, se cumple :

AG = 2GMBG = 2GNCG = 2GL

02. ORTOCENTROEs el punto donde concurren las tres alturasdel triángulo o sus prolongaciones.El ortocentro está ubicado en el interior enun triángulo acutángulo, en el exterior en untriángulo obtusángulo y en el vértice delángulo recto en un triángulo rectángulo.

El ortocentro de un triángulo rectángulo coincide conel vértice del ángulo recto.

03. INCENTROEs el punto donde concurren las bisectricesde los ángulos del triángulo.

I : Incentro del triángulo ABC

04. EXCENTROEl excentro de un triángulo es el punto dondeconcurren la bisectriz de un ángulo interno ylas bisectrices de los ángulos externos en losotros dos vértices

E : Excentro del triángulo ABC relativo al lado

En todo triángulo se puede determinar tresexcentros, uno relativo a cada lado.

05. CIRCUNCENTROEn todo triángulo las mediatrices referentes acada uno de sus lados concurren en unpunto denominado “Circuncentro”.El circuncentro está ubicado en el interior enun triángulo acutángulo, en el exterior en untriángulo obtusángulo y en el punto medio dela hipotenusa en un triángulo rectángulo.

El circuncentro de un triángulo rectángulo coincidecon el punto medio de la hipotenusa.

O : Circuncentro

PROPIEDADES

01. Ángulo formado por dos bisectrices interiores

x = 90 +

02. Ángulo formado por una bisectriz interior yuna bisectriz exterior

x =

03. Ángulo formado por dos bisectricesexteriores

x = 90 -

04. Ángulo formado por una altura y la bisectrizinterior trazadas desde el mismo vértice

x =

05. En la figura, se cumple :

x =

06. En la figura, se cumple :

x =

07. En la figura, se cumple:

x = 180 - è


01. Del gráfico, calcular “x + y”

A) 50 B) 60 C) 80D) 100 E) 120

02. Calcular “x”, si CM = CN :

A) 35 B) 40 C) 50D) 55 E) 70

03. En la figura, AB = BC, PQ = QR = PS.Calcular “x” :

A) 45 B) 60 C) 30D) 40 E) 75

04. En la figura, calcular á, si AB = AD = DC

A) 10 B) 20 C) 30D) 25 E) 15

05. Calcular “x”, si AB = 3, BC = CD = 4 y AD = 7

A) 100 B) 110 C) 120D) 135 E) 140

06. Se tiene un triángulo ABC, tal que AB + BC

= 30 y AC = 20; en se ubica un punto

“P”. Calcular el menor valor entero de “BP”A) 5 B) 6 C) 7D) 8 E) 4

07. En la figura mËBAC = mËACB + 20.Calcular “x” :

A) 30 B) 40 C) 50D) 60 E) 70

08. Calcular la medida del ángulo quedeterminan las rectas p y q

A) 30 B) 40 C) 50D) 60 E) 70

09. En un triángulo ABC, AB = 3 ; BC = 3

y mËABC > 90, calcular el mínimo valorentero de AC

A) 4 B) 5 C) 6D) 7 E) 8

10. Calcular “x” si a + b = 6

A) 1 B) 4 C) 5D) 6 E) 3

11. En la figura. ¿Qué punto notable es “K” delÄABC, si los triángulo AKD y BKE sonequiláteros?

A) IncentroB) CircuncentroC) BaricentroD) OrtocentroE) Excentro

12. Del gráfico mostrado, calcular “è”

A) 15 B) 16 C) 20D) 18 E) 22

13. En la figura BC = CD. Calcular “x” :

A) 10 B) 20 C) 15D) 30 E) 22,5

14. En la figura, calcular “x”

A) 40 B) 25 C) 50D) 30 E) 80

15. Dado un triángulo ABC, recto en B. Sea “I” el

incentro y “E” el excentro relativo a , tal

que AC = IE. Calcular la mËAA) 30 B) 45 C) 37D) 60 E) 53

16. En la figura “I” es incentro del triángulo ABC

Calcular “x”

A) 20 B)60 C) 45D) 30 E) 40

17. Del gráfico adjunto, calcular “x”

A) 30 B) 45 C) 60D) 37 E) 53

18. En un triángulo ABC, se trazan las

bisectrices interiores (P en ; Q

en ); por “P” se traza una paralela a ;

intersecando a la prolongación de en

“T” y a en “V”. Calcular BV, si TV = 4 y

AP + PV = 24A) 14 B) 13 C) 10D) 8 E) 6

19. Calcular “è”

A) 140 B) 110 C) 125D) 120 E) 70

20. En la figura, calcular : á + â + è

A) 135 B) 120 C) 150D) 180 E) 220

TAREA

01. Si : “I” es incentro del ÄABC, calcular “x”

A) 100 B) 105 C) 110D) 115 E) 120

02. Calcular “x”

A) 40 B) 25 C) 50D) 30 E) 80

03. En un triángulo rectángulo ABC, recto en

“B”, mËC = 26. Se traza la altura y la

bisectriz del ËHBC(“E” 0 ), sobre la

prolongación de se toma el punto “D” tal

que : mËBDH = 29. Calcular “DE”, si AB -AH = 12

A) 4 B) 6 C) 8D) 12 E) 16

04. Dado un triángulo ABC, en el cual, AB = 11 y BC = 16. Por el incentro de dicho

triángulo se traza la paralela a que

interseca a en P y a en Q. Calcular

el perímetro del triángulo PBQA) 18 B) 21 C) 25D) 27 E) 33

05. En un triángulo isósceles ABC (AB = BC) mËBAC = 70, se ubica el punto interior“P” de modo que mËBAP = 40 y mËPCB =20. Calcular mËPBC

A) 15 B) 18 C) 10D) 20 E) 25

06. Se tiene un triángulo ABC, AB = BC, sobre

se toma un punto “D” tal que AB = DC y

en la prolongación de se toma el punto

“E” tal que BC = BE. Si la mËDAE = 40,calcular la mËC

A) 10 B) 20 C) 30D) 40 E) 50

07. De la figura, calcular “x + y”

A) 60 B) 120 C) 90D) 135 E) 100

08. Sean ceviana de un triángulo

isósceles ABC (AB = BC). Calcular lamËAEF, si mËEAC = 60, mËFCA = 50,mËECF = 30 y mËEAB = 20

A) 10 B) 20 C) 30D) 40 E) 15

09. Calcular “è”

A) 36 B) 37 C) 20D) 35 E) 25

10. Del gráfico adjunto, calcular “x” si : mËDOR = 2(mËRON)

A) 30 B) 36 C) 45D) 25 E) 40

CONGRUENCIA DE TRIÁNGULOS

CONGRUENCIA DE SEGMENTOS

Dos segmentos son congruentes si tienen la mismalongitud. Así, por ejemplo:

Si AB = CD, entonces es congruente con y

se denota:

CONGRUENCIA DE ÁNGULOS

Dos ángulos son congruentes si tienen la mismamedida. Así, por ejemplo:

Si mËAOB = mËMNL, entonces el ËAOB escongruente con el ËMNL y se denota:

ËAOB �ËMNL

CONGRUENCIA DE TRIÁNGULOS

Definición : Dos triángulos ABC y DEF soncongruentes si sus lados y ángulos sonrespectivamente congruentes.

Para indicar que el “triángulo ABC es congruente altriángulo DEF”; se escribe :

ÄABC � ÄDEF

Esta sola expresión nos dice a la vez seis cosas, asaber:

, o AB = DE

, o BC = EF

, o AC = DF

ËA � ËD , o mËA = mËD

ËB � ËE , o mËB = mËE

ËC � ËF , o mËC = mËF

En cada una de las seis líneas anteriores, lacongruencia de la izquierda significa lo mismo que laigualdad de la derecha. Podemos por tanto, utilizaruna u otra notación según nos convenga.

En dos triángulos congruentes, a lados congruentesse le oponen ángulos congruentes y recíprocamente,a ángulos congruentes se le oponen ladoscongruentes.

CASOS O CRITERIOS DE CONGRUENCIA

Para reconocer si dos triángulos son congruentes, nonecesariamente los seis pares de elementoscorrespondientes deben de ser congruentes, sinosimplemente tres pares de ellos, entre los que por lomenos debe figurar un par de lados correspondientes,esto implica la congruencia de los restantes.

De acuerdo con la naturaleza de los elementoscongruentes, resultan los siguientes casos decongruencia de triángulos :

PRIMER CASO : Dos triángulos son congruentes sitienen un lado y los ángulos adyacentesrespectivamente congruentes (postulado ALA)

SEGUNDO CASO : Dos triángulos son congruentessi tienen dos lados y el ángulo comprendidorespectivamente congruentes (postulado LAL)

TERCER CASO : Dos triángulos son congruentes sitienen sus tres lados respectivamente congruentes(postulado LLL)

CUARTO CASO : Dos triángulos son congruentes sitienen dos lados y el ángulo opuesto al mayor dedichos lados respectivamente congruentes.

En la figura sólo si b > a, se podrá afirmar que lostriángulos son congruentes.

OBSERVACIÓN:Si dos triángulos rectángulos tienen congruentes uncateto y la hipotenusa entonces serán congruentes(4

to caso)

LA DISTANCIA ENTRE UNA RECTA Y UN PUNTO

La distancia entre una recta y un punto fuera de ellaes la longitud del segmento perpendicular trazadodesde el punto a la recta. La distancia entre una rectay un punto de la misma se define como cero.Así en la figura P es un punto exterior a la recta L y

, luego PQ es la distancia entre la recta L y el

punto “P”

La distancia entre dos puntos es la longitud delsegmento de recta que los une.

CONSECUENCIAS DE LA CONGRUENCIA DETRIÁNGULOS

TEOREMA DE LA BISECTRIZ DE UN ÁNGULOTodo punto de la bisectriz de un ángulo equidista delos lados del ángulo

Si es la bisectriz del ángulo AOB,

P 0 ,

Y

Y

TEOREMA DE LA MEDIATRIZ DE UN SEGMENTOTodo punto de la mediatriz de un segmento equidistade los extremos de dicho segmento

Si es mediatriz de y P 0

Y

RECOMENDACIÓN :Cada vez que en un problema se observe unaperpendicular a la bisectriz de un ángulo, se debecompletar un triángulo isósceles.

En la figura se prolonga para formar el triángulo

isósceles PQR, luego :

PQ = PR y QH = HR

TEOREMA DE LOS PUNTOS MEDIOSSi por el punto medio de uno de los lados de untriángulo, se traza una paralela a cualquiera de losotros dos lados, entonces dicha paralela intersecaráal tercer lado en su punto medio.

Si “M” es punto medio de y

Y

NOTA : A se le denomina la base media

OBSERVACIÓN :

TEOREMA DE LA MENOR MEDIANA EN ELTRIÁNGULO RECTÁNGULO

En todo triángulo rectángulo la mediana relativa a lahipotenusa mide igual que la mitad de dichahipotenusa

Si es mediana :

Y

NOTA : Observe que los triángulos AMB y BMC sonisósceles.

1. Ángulo formado por la altura y la medianarelativas a la hipotenusa, en un triángulorectángulo

x = á - â

2. Propiedad en el triángulo rectángulo de 15 y75


01. El ÄABC es equilátero y AM=NB. Calcular “è”

A) 10 B) 15 C) 18D) 20 E) 12

02. En la figura: calcular “á”

A) 10 B) 15 C) 18D) 20 E) 25

03. En un triángulo ABC; mËA=20; mËC=10.Calcular la medida de la distancia del vértice “C”a la bisectriz interior del ángulo A. (AB=2)

A) 2 B) 3 C) 3

D) 1 E) 2

04. En la figura : AD = 1; BD = 4. Calcular : CD

A) 2 B) 4 C) 3D) 1 E) 5

05. De la figura, calcular AB si : AC - PQ = 8

A) 4 B) 6 C) 10D) 8 E) 12

06. En un triángulo isósceles ABC (AB = BC) la

mediatriz de y la bisectriz del ángulo interior

A se intersecan en un punto de . Calcular

mËBA) 18 B) 22,5 C) 30D) 36 E) 45

07. En un triángulo rectángulo ABC, recto en B la

mediatriz de interseca a en D tal

que DC = 2(BD). Calcular la mËCA) 25 B) 26,5 C) 30D) 45 E) 37

08. En un triangulo escaleno ABC, se traza la

mediana , luego en el triángulo BMC se traza

la mediana , tal que BN = 9. Sea F y un punto

de , tal que . Calcular MF.

A) 6 B) 4 C) 8D) 10 E) 9

09. En un triángulo ABC se traza la mediana tal

que mËMBC = x, mË ABM = 2x. Si BC = 2BM,calcular el valor de “x”A) 18 B) 22,5 C) 25D) 30 E) 36

10. Dado el triángulo isósceles ABC(AB =BC). Sea P

un punto que pertenece a tal que mËPBC =

90 y PC = 2(AP). Calcular la mËCA) 30 B) 26,5 C) 45D) 10 E) 7

11. En un triángulo rectángulo ABC recto en B seconstruye exteriormente el triángulo rectánguloisósceles DAC recto en A luego se traza

. Calcular DE si BC = 15 y EC = 4

A) 19 B) 26 C) 20D) 24 E) 18

12. Calcular mËBCD, si AC = 2BD

A) 30 B) 45 C) 60D) 37 E) 53

13. En la figura AD = 2DB. Calcular mËFDE

A) 30 B) 45 C) 15D) 60 E) 75

14. En el triángulo ABC; AP = PQ, MC = RM y AB =QC. Calcular “x”

A) 10 B) 15 C) 20D) 25 E) 30

15. En el gráfico, calcular BD, si CD = 12

A) 4 B) 6 C) 6

D) 8 E) 12

16. En un triángulo ABC recto en “B” la bisectriz

exterior del ËA y la prolongación de la altura

se intersectan en “F” tal que : AB + AH = 4; HF =3. Calcular BHA) 2 B) 2,5 C) 1,5D) 0,5 E) 1

17. Si “O” es circuncentro del ÄABC, calcular “á”

A) 20 B) 30 C) 40D) 50 E) 25

18. En la figura, calcular “è”, si CE = 2HC

A) 10 B) 12 C) 15D) 8 E) 18

19. En un triángulo ABC: mËB = 2mËA; se traza

perpendicular a la bisectriz interior del ËB. Si

BH = 3, calcular ACA) 6 B) 3 C) 4D) 5 E) 4,5

20. Se tiene un triángulo ABC, tal que AB = 4; BC = 8y AC = 10, desde el vértice C se trazanperpendiculares a la bisectriz interior de A yexterior de B. Calcular la medida del segmentoque une los pies de estas perpendicularesA) 3 B) 2 C) 1D) 1,5 E) 0,5

TAREA

01. En la figura : AB = AC; AD = DC. Calcular “x”, si :mËBAC = 2mËDBC

A) 20 B) 25 C) 30D) 37 E) 45

02. En un triángulo ABC (mËB = 90) se sabe mËC =

24. Sobre se ubica el punto “P”, tal que AB =

PC, la mediatriz de y de se intersectan

en “E”. Calcular mËACE.A) 24 B) 36 C) 34D) 33 E) 23

03. En un triángulo rectángulo ABC, recto en B, labisectriz exterior trazada del vértice A intersectana la perpendicular a la hipotenusa trazada por elvértice “B” en el punto “E”. Si dicho punto dista 3

de y 4 de , calcular BE

A) 3 B) 4 C) 5D) 6 E) 7

04. En un triángulo ABC, AB = 2 y BC = 9. Calcular el

mayor valor entero de la mediana

A) 4 B) 5 C) 6D) 3 E) 7

05. En la figura BD = 6 . Calcular EF

A) 6 B) 4 C) 3

D) 6 E) 4

06. Si : BM = MC; AB = 2DM, calcular “è”

A) 10 B) 12 C) 15

D) 18 E) 20

07. Calcular x”, si AC = BD y BC = CD

A) 45 B) 22,5 C) 60D) 37 E) 53

08. Calcular “á”, si : 2AB = DC

A) 20 B) 15 C) 22,5D) 18 E) 17,5

09. Calcular “x”, si : AP = 4; PB = 3 y PC = 5

A) 135 B) 120 C) 105D) 150 E) 165

10. Un triángulo ABC recto en B; I es el incentro “O”es el circuncentro; mËAIO = 90. CalcularmËBACA) 37 B) 60 C) 30D) 45 E) 53

PROPIEDADES ADICIONALES DE CONGRUENCIA

1. PARA TODO TRIÁNGULO ISÓSCELES ABC (AB = BC)

AH = PM + PN

AH = PM - PN

2. PROPIEDAD EN EL TRIANGULO EQUILÁTERO

1er. Caso

Si : AB = BC = AC“P” es un punto interior al triángulo ABC

0 BH = PM + PN + PQ

Ejemplo :

c Si : AB = BC = AC; PQ = 1; PR = 3; PS = 20 h = 1 + 2 + 3 � h = 6

2do. Caso

Si : AB = BC = AC“P” es un punto exterior al triángulo ABC

0 BH = PQ + PS - PR

Ejemplo :

c Si : AB = BC = AC;PQ = 2; PR = 3; PS = 42 h = 3 + 4 - 2

� h = 5

3. SEGMENTO QUE UNE LOS PIES DE LASPERPENDICULARES TRAZADAS DE UNVÉRTICE A LAS BISECTRICES EXTERIORES

2

Ejemplo :

c Si : AB = 13; BC = 15; AC = 14

2 PQ =

� PQ = 21

4. PROPIEDAD EN EL CUADRILÁTERO NOCONVEXO

1er. Caso

Si : AB = BC = CDy mË BCD = 2(mËBAD)

2 x = 120 - 2è

Ejemplo :c Si : AB = BC = CD y

mËBCD = 2mËBAD = 20

2 x = 120 - 20� x = 100

2do. Caso

Si : BC = CD = ADy mËBCD = 2(mËBAC)

2 x = 120 - èEjemplo :c Si : BC = CD = AD y

mËBCD = 2mËBAD = 20

Y x = 120 - 10

� x = 110


01. Calcular el segmento que une los puntos medios

de , si : AM = CN = 6 y á + è = 30

A) 1 B) 2 C) 3D) 4 E) 5

02. En un triángulo ÄABC, la bisectriz exterior del ËB

y la mediatriz de se intersecan en “O” por el

cual se traza (H en ). Calcular AB,

si BH = 3 y BC = 8A) 4 B) 5 C) 6D) 7 E) 4,5

03. En el gráfico adjunto: AC = BD. Calcular “á”

A) 12 B) 10 C) 15D) 18 E) 9

04. En un triángulo ABC se traza la ceviana

interior tal que AP = BC y mËABC = mËBAP

+ 2(mËPAC). Si BP = 3 y PC = 5, calcular AB

A) 6 B) 10 C) 16D) 8 E) 12

05. De la figura : AB = BC. Si : PQ = 8 y QC = 3,calcular AP

A) 11 B) 7 C) 4D) 5 E) 6

06. De la figura, calcular el máximo valor entero dePN, si HQ = 2 y MN = 12

A) 14 B) 10 C) 16D) 18 E) 19

07. De la figura, calcular DC, si BE = EC, AB = 6; AC= 8

A) 2 B) 3 C) 4D) 1/2 E) 1

08. En la figura: AB = BC y AC = AD. Calcular “è”

A) 15 B) 22,5 C) 30D) 45 E) 18,5

09. En el triángulo rectángulo ABC, recto en B, se

ubica en los puntos “E” y “F”, tal que la

mËBAE = mËEAF = mËFAC. Se traza

, tal que EC = 2PC. Calcular la mËBCA

A) 18 B) 24 C) 30D) 36 E) 45

10. En un triángulo ABC, se traza la altura y la

mediana . Calcular la mËBPC, si BH = CM y

= {P}

A) 140 B) 160 C) 80D) 100 E) 120

11. En la figura, AP = QC; QM = 1; CH = 6 y AB =BC. Calcular PB

A) 3 B) 4 C) 5D) 6 E) 2,5

12. Si : ; BC = 16; DE = EC, calcular AE

A) 4 B) 6 C) 8D) 10 E) 5

13. En un triángulo rectángulo ABC recto en B, en

se ubica el punto T y en el punto

medio M. Si TC = 2(AB) + BT. Calcular mËMTCA) 30 B) 53/2 C) 60D) 53 E) 15

14. Interiormente a un triángulo equilátero ABC seubica el punto P tal que mËAPC = 90, luego setrazan exteriormente al triángulo APC lostriángulos equiláteros APQ y PCE. Calcular lamËQBEA) 120 B) 100 C) 140D) 150 E) 90

15. En la figura : AB = BC; AH = HC y HM = ML. Calcular “x”

A) 90 B) 60 C) 75D) 53 E) 120

16. Del gráfico, si AE = 7 y DC = 2, calcular AB

A) 9 B) 10 C) 11D) 12 E) 13

17. En la figura : AC = BD. Para los valores dados,calcular “x”

A) 10 B) 15 C) 20D) 25 E) 30

18. En un triángulo ABC, sea “P” un punto interior talque: mËPAC = 20, mËPBC = 10 y mËPCB = 40.Calcular la mËPCA, si BP = AP + ACA) 25 B) 30 C) 36D) 15 E) 18,5

19. Se tiene un triángulo ABC, se ubica los puntos :

M, D y N en respectivamente, tal

que ; ; mËMDC =

mËNDB = x ; AB = 2(DM + DN). Calcular el valorde “x”A) 30 B) 45/2 C) 37/2D) 15 E) 14

20. En un triángulo ABC se traza la perpendicular

la bisectriz interior . Si : AP = 12, calcular

“PQ” si además : AC = 2(AB)A) 3 B) 2 C) 4

D) 2 E) 5

TAREA

01. En un triángulo rectángulo ABC recto en “B”, se

traza la ceviana interior tal que AB = MC;

en se ubica el punto N, siendo mËNMC = 90;

en la prolongación de se ubica el punto H tal

que: mËBHC = 90; BH = 6 y mËBAC = mËAMB.Calcular HCA) 4 B) 3 C) 5

D) 6 E) 2

02. Se tiene un triángulo ABC tal que mËA = 40 y

mËC = 30, se traza la ceviana tal que : AB =

CD. Calcular la mËABDA) 50 B) 60 C) 70D) 80 E) 90

03. De la figura, calcular “x”, si HM = 3; AH = 8

A) 37 B) 35 C) 60D) 30 E) 53

04. En un triángulo ABC, las alturas se

intersecan en un punto Q interior al triángulo. Sila mËABC = 45, calcular la razón entre AC y BQA) 1 B) 2 C) 0,5D) 1,5 E) 2,5

05. En un triángulo isósceles ABC (AB = BC), la

altura mide 8; por el punto P de se

levanta una perpendicular que intersecta a en

Q y a la prolongación de en R. Si PQ = 5,

calcular PRA) 11 B) 12 C) 13D) 14 E) 15

05. Del gráfico, calcular el valor de “x”, si AB = QC y5AH = 4PQ

A) 120 B) 137 C) 127D) 135 E) 150

07. En la figura adjunta el triángulo ABC es equiláteroy AM = MC = 2. Calcular “MP”

A) 2 B) 2 C) 2

D) 4 E) 6

08. En la figura CD = 3BH. Calcular el valor de “á”

A) 15 B) 22,5 C) 26,5D) 37 E) 30

09. En el triángulo acutángulo ABC las mediatrices

de intersecan a en los puntos M y

N, tal que la mËABC = 2mËMBN. Calcular lamËMBNA) 30 B) 45 C) 36D) 60 E) 40

10. En el lado de un triángulo ABC se ubica el

punto P y en el punto Q tal que AB = BP =

PQ = QC. Calcular mËABP, si BQ = 5 y AC =

4

A) 30 B) 45 C) 53D) 21 E) 37

POLÍGONOS

Sean P1; P2; P3; .... Pn una sucesión de “n” puntos distintos de un plano (coplanares) con n $ 3.

Supongamos que los “n” segmentos ; ; .....

; tienen las siguientes propiedades:

1. Ningún par de segmentos se intersecan, salvo ensus extremos.

2. Ningún par de segmentos con un extremo común

son colineales.

Entonces la unión de los “n” segmentos se denomina“polígono”, los puntos P1; P2; .... ; Pn son los vértices

del polígono y los segmentos ; ....

; son los lados y los ángulos del polígono

son el Ë PnP1P2; ËP1P2P3; y así sucesivamente.Para abreviar a menudo denotaremos, los ángulos Ë

P1; Ë P2; .... etc.

ÁNGULOS DETERMINADOS EN UN POLÍGONO

* Medida de los ángulos interiores : á1; á2; á3; á4;....

* Medida de los ángulos exteriores : è1; è2; è3; è4;....

t Se denomina diagonal al segmento de recta queune dos vértices no consecutivos.

t Se denomina diagonal media al segmento derecta que une los puntos medios de dos lados.

Ejemplo:

t : Diagonal

tSi : M y N son puntos medios de y

Y : Diagonal media

POLÍGONO CONVEXOSe denomina polígono convexo si la recta quecontiene un lado determina el polígono en unsemiplano.

POLÍGONO NO CONVEXOSe denomina polígono no convexo si la recta quecontiene un lado puede determinar al polígono en dossemiplanos.

OBSERVACIÓN.:Según el número de lados, unpolígono se le nombra:

Triángulo 3 ladosCuadrilátero 4 ladosPentágono 5 ladosHexágono 6 ladosHeptágono 7 ladosOctógono 8 ladosNonágono 9 ladosDecágono 10 ladosDodecágono 12 ladosPentadecágono 15 ladosIcoságono 20 lados

Los demás polígonos se le nombra según el númerode lados.

PROPIEDADES GENERALES PARA TODOPOLÍGONO CONVEXO DE “n” LADOS.

01. Número de diagonales trazadas desde un solovértice

Y N° d1 = n - 3

02. Número de triángulos determinados al trazardiagonales desde un solo vértice

Y N° Äs = n - 2

03. Suma de las medidas de los ángulos internos.

Y Si = 180(n - 2)

04. Número total de diagonales

Y N° d =

05. Número de diagonales trazadas desde losprimeros “k”vértices consecutivos.

Y N° d(k) = n.k -

06. Número de diagonales medias que se traza a

partir del primer punto medio del lado de unpolígono.

Y N° dm(1) = n - 1

07. Número total de diagonales medias.

Y N° dm =

08. Número de diagonales medias que se traza desdelos primeros “l” puntos medios consecutivos delos lados de un polígono.

Y

09. Suma de las medidas de los ángulos externos.(Considerando uno por vértice)

Y Se = 360

CLASIFICACIÓN

a. Polígono Equilátero:

Es aquel polígono cuyos lados son congruentes.

Ejemplo:

Y Perímetro = na

b. Polígono Equiángulo:

Es aquel polígono convexo cuyos ángulosinternos son congruentes, en consecuencia susángulos externos también son congruentes.Ejemplo:

Hexágono equiángulo

Propiedades:

Y

Y

c. Polígono Regular:

Es aquel polígono equilátero y equiángulo a lavez.

Ejemplo:

Hexágono regular

Propiedades:

Y

Y

Y


01. Las medidas de cinco ángulos internos de unpolígono regular es 700. Calcular la suma de lasmedidas de sus ángulos internosA) 700 B) 1 700 C) 1 820D) 1 260 E) 1 900

02. En un polígono convexo ABCDEF equiángulo AB= 7; CD = 6; DE = 8. Calcular BF

A) 7 B) 14 C) 7

D) 7 /2 E) 5

03. Si el número de lados de un polígono disminuyeen 2, el número de diagonales disminuye en 15.¿Cuántos lados tiene el polígono?A) 10 B) 12 C) 14D) 8 E) 11

04. Los ángulos interiores de dos polígonos convexosregulares se diferencian en 20 y los ángulosexteriores suman 100. ¿Qué polígonos son?A) Exágono y monágonoB) Pentágono y octágonoC) Octágono y decágonoD) Nonágono y decágonoE) Exágono y octágono

05. En un polígono equilátero se sabe que desde 5vértices consecutivos se pueden trazar 29diagonales. Calcular el perímetro si uno de suslados mide 3A) 34 B) 30 C) 27D) 40 E) 10

06. En un polígono convexo equilátero; el númerototal de diagonales equivale a la tercera parte dela diferencia entre el número que expresa superímetro y el número de ángulos rectos a queequivale la suma de sus ángulos internos.Hallar el perímetro del polígono, sabiendo que lalongitud de su lado es una cantidad enteraA) 48 B) 64 C) 144D) 84 E) 72

07. En un polígono de “n” lados desde (n - 4) ladosconsecutivos se trazan (2n + 1) diagonalesmedias. Calcular “n”A) 3 B) 5 C) 7D) 9 E) 12

08. Calcular la suma de las medidas de los ángulosinteriores de un polígono convexo cuyo númerode diagonales excede en 8 al número dediagonales de otro polígono que tiene un ladomenosA) 1 440 B) 1 800 C) 1 080D) 3 600 E) 1 700

09. Si el número de lados de un polígono aumenta; lasuma de las medidas de sus ángulos internosaumenta en 360 y su número total de diagonalesaumenta en 11. Calcular su número total dediagonales mediasA) 54 B) 15 C) 66D) 78 E) 35

10. El número de triángulos en que se descomponeun polígono convexo al trazar las diagonales deun solo vértice y el número de diagonales que sepueden trazar del quinto vértice consecutivo estánen la relación de 7 a 5. Calcular la suma de lasmedidas de los ángulos internos de dichopolígonoA) 2 340 B) 2 700 C) 2 880D) 3 600 E) 2 520

11. En un polígono se trazan las diagonales mediasdesde 15 lados consecutivos y se observa queestas aumentan en 285 cuando aumenta elnúmero de lados del polígono. ¿Cuántos lados sehan aumentado?A) 17 B) 18 C) 19D) 15 E) 20

12. Interiormente a un pentágono regular ABCDE, seconstruye un triángulo equilátero APB. Calcular lamËDPEA) 42 B) 54 C) 66D) 72 E) 84

13. En un polígono regular, si su número dediagonales aumenta en “b” este resultado es igualal número de diagonales medias disminuido en“a”. ¿Cuánto mide el ángulo central de dichopolígono?

A) B) C)

D) E)

14. Si el ángulo interior y el ángulo exterior de unpolígono regular miden â y kâ, ¿cuáles son losvalores enteros que puede tomar “k”para que elpolígono exista?A) 800/7 B) 800/3 C) 900/5D) 800/9 E) 900/7

15. Se tiene dos polígonos regulares. Si la suma totalde las medidas de sus ángulos interiores es 2340°, la diferencia del número de diagonales deambos polígonos es 31, calcular la medida delángulo interior del polígono de menor número deladosA) 800/7 B) 800/3 C) 900/5D) 800/9 E) 900/7

16. ¿En qué polígono regular se verifica que elcociente entre la medida del ángulo interior y lamedida del ángulo central es igual al máximonúmero de diagonales del polígono de 7 ladosmenos?A) Pentágono B) Exágono C) OctógonoD) Nonágono E) Dodecágono

17. ¿Cuántas diagonales se pueden trazar desde tresvértices consecutivos en un polígono convexo,donde su máximo número de diagonales mediasexcede en 8 al número de diagonales

A) 15 B) 14 C) 13D) 21 E) 10

18. En qué polígono convexo se cumple que elcuadrado de su número de vértices es igual a lasuma entre su número de diagonales, número dediagonales medias y seis veces el máximonúmero de ángulos interiores agudos que puedetener

A) Exágono B) Pentágono C) NonágonoD) Decágono E) Octágono

19. Dado el pentágono regular ABCDE, se toma el

punto exterior “S” relativo , tal que : BS = AD.

Calcular la mËESD

A) 9 B) 15 C) 18D) 30 E) 36

20. Se tiene un pentágono regular ABCDE. Se tomaun punto interior “P” tal que PD = DE y mËPAB =42. Calcular la mËPDE

A) 42 B) 45 C) 60D) 48 E) 54

TAREA

01. ¿Cuántas diagonales se pueden trazar desde tresvértices consecutivos en un polígono convexo,donde su máximo número de diagonales mediasexcede en 8 al máximo número de diagonales

A) 15 B) 14 C) 13D) 21 E) 10

02. En un pentágono convexo ABCDE, irregular,

interseca a en “P y N” . Si

: BP = PE = CN; mËBNC = 2mËDBC =2mËPEC, calcular mËPCE

A) 36 B) 72 C) 18D) 30 E) 60

03. ¿Cuántos lados tiene un polígono cuya suma delas medidas de sus ángulos internos y externos es 3 960?

A) 12 B) 20 C) 22D) 30 E) 32

04. Al aumentar en 3 el número de lados de unpolígono, el número de diagonales se duplica.Calcular la suma de las medidas de los ángulosinternos

A) 1 240 B) 1 250 C) 1 260D) 1 280 E) 1 270

05. Si el número de lados de un polígono convexoaumenta en 3, entonces su número de diagonalesaumenta en 33. Calcular el número de lados delpolígono inicial

A) 9 B) 13 C) 11D) 12 E) 8

06. De dos polígonos regulares uno de ellos tiene treslados menos que el otro; y el ángulo central deuno de ellos mide 27 menos que la medida delángulo central del otro. Calcular la suma de lasmedidas de los ángulos interiores de dichospolígono

A) 1 610 B) 1 620 C) 1 650D) 1 630 E) 1 640

07. Se tiene dos polígonos regulares cuyos númerosde diagonales se diferencian en 27 y cuyosángulos centrales están en la relación de 3/4.Calcular la diferencia de las medidas de susángulos centrales

A) 10 B) 20 C) 30D) 40 E) 50

08. La suma de las medidas de los ángulos internosde dos polígonos se diferencian en 360 y lasmedidas de sus ángulos centrales se diferencianen 6. Calcular la suma de su número de lados

A) 12 B) 22 C) 32D) 40 E) 52

09. En un polígono regular al disminuir en 10° cadaángulo interior, resulta otro polígono regular cuyonúmero de lados es los 2/3 del número de ladosdel polígono inicial. Calcular el número de ladosdel polígono inicial

A) 12 B) 16 C) 18D) 20 E) 22

10. El menor ángulo de un polígono convexo mide120 los otros forman con el una progresiónaritmética de razón 5. Calcular el número dediagonales

A) 9 B) 27 C) 32D) 28 E) 30

CUADRILÁTEROS

DEFINICIÓN : Es el polígono que tiene cuatro lados

Y á + â + è + ù = 360

Y x = á + â + è

CLASIFICACIÓN DE CUADRILÁTEROS SEGÚN ELPARALELISMO DE SUS LADOS

1. PARALELOGRAMOEs el cuadrilátero cuyos lados opuestos sonparalelos. En todo paralelogramo se cumple quelos lados opuestos son congruentes, los ángulosopuestos son congruentes y las diagonales sebisecan

CARACTERÍSTICAS

* ; AB = CD = a y ; BC = AD

= b

* mËA = mËC y mËB = mËD

* AO = OC y BO = OD

* á + â = 180

CLASIFICACIÓN DE PARALELOGRAMOS

A. ROMBOIDE : Es el paralelogramo que no esequilátero ni equiángulo

Ejemplo :

a � b

á � â

B. RECTÁNGULO: Denominado también“cuadrilongo”, es el paralelogramo equiángulo

* Las diagonales son congruentes

C. ROMBO : Es el paralelogramo equilátero

D. CUADRADO : Es el paralelogramo que esequiángulo y equilátero a la vez.

*Sus diagonales son congruentes y se bisecanperpendicularmente

2. TRAPECIOEs aquel cuadrilátero que tiene sólo dos ladosparalelos

CARACTERÍSTICAS:

* Bases : ( )

* Lados no paralelos :

* Altura : (BH = h)

* Mediana : ( // )

CLASIFICACIÓN DE TRAPECIOS

A. TRAPECIO ESCALENO : Es el trapecio cuyoslados no paralelos son diferentes

B. TRAPECIO ISÓSCELES: Es el trapecio cuyoslados no paralelos son congruentes

C. TRAPECIO RECTÁNGULO : Es aquel trapecioque tiene uno de sus lados no paralelosperpendicular a sus bases

* En la figura y

* CD > AB

TEOREMA 1En todo trapecio, la mediana es paralela a sus basesy su medida es igual a la semisuma de las medidasde sus bases .

* En la figura :

es mediana del trapecio

Y //

Y

TEOREMA 2En todo trapecio el segmento que une los puntosmedios de sus diagonales es paralelo a sus bases ysu medida es igual a la semidiferencia de las medidasde sus bases.

* En la figura :

* P y Q son puntos medios de

Y

Y

3. TRAPEZOIDEEs el cuadrilátero que no tiene lados opuestosparalelos ni características especiales

y

Se denomina “trapezoide simétrico” si una de susdiagonales biseca perpendicularmente a la otra

* y BM = MD

* : Diagonal de simetría

*El trapezoide simétrico se denomina también cuadrilátero bisósceles

TEOREMA

En todo cuadrilátero al unir en forma consecutiva, lospuntos medios de sus lados se detemina unparalelogramo

Si : M, N, L y S son puntos medios

Y ~ MNLS : Paralelogramo

OBSERVACIÓN :El perímetro del paralelogramo es igual a la suma delas medidas de las diagonales del cuadrilátero ABCD.

2P(MNLS) = AC+BD


01. De las siguientes proposiciones indicar (V)verdadero o (F) falso:( ) Si un cuadrilátero tiene sólo 2 lados

paralelos entonces es un trapecio( ) Un cuadrilátero de diagonales

perpendiculares y congruentes es uncuadrado

( ) Un trapecio rectángulo es un trapecioescaleno

A) VFV B) FFV C) VFFD) FVF E) FFF

02. Se tiene un cuadrilátero convexo ABCD. SimËBCD-mËBAD=20, calcular el mayor valordel ángulo que forman las bisectrices interioresde los ËB y ËD

A) 160 B) 135 C) 150D) 170 E) 100

03. Se tiene un trapezoide ABCD, tal que :AB=CD=12; mËABD=75, mËBDC=15. Calcularla medida del segmento que une los puntosmedios de las diagonales.

A) 6 B) 8 C) 4D) 4,5 E) 9

04. En un trapecio ABCD ( ) en y en

se ubican los puntos M y N

respectivamente tal que CN=ND y mËNBC =

mËNMD. Si la distancia de B a es 10,

calcular la distancia del punto medio de

A) 6 B) 8 C) 3D) 4 E) 5

05. Del gráfico: . Calcular PQ

A) 1 B) 1,5 C) 0,5D) 2 E) 1,75

06. En un trapecio ABCD ( ):

mËBAD=2(mËADC) la mediatriz de

interseca en “P” a la bisectriz exterior del ËA.

Calcular PB, si PC=13A) 12 B) 5 C) 15

D) 14 E) 13

07. Una diagonal de un trapecio isósceles mideigual que la suma de las medidas de las bases.Calcular la medida del menor ángulo queforman las diagonalesA) 30 B) 60 C) 45D) 90 E) 75

08. Desde los vértices de un romboide se trazanperpendiculares hacia una recta exterior cuyasuma de longitudes es 80. Calcular la distanciadel punto de intersección de las diagonales delparalelogramo a dicha recta exterior.A) 10 B) 40 C) 35D) 20 E) 60

09. Del gráfico adjunto : CM=MD, ABCM:Trapezoide simétrico, ABPM : Romboide. Si

AB=4 , calcular PD

A) 4 B) 4 C) 8

D) 6 E) 9

10. En un trapecio isósceles ABCD, en se

ubica el punto E, tal que ABCE es un rombo. Si

BD=AD y ={F}, calcular la mËBFA

A) 30 B) 24 C) 36D) 54 E) 60

11. De la figura adjunta: AP = 17; DQ=12. CalcularBD, si ABCD es un cuadrado

A) 17 B) 12 C) 13

D) 13 E) 11

12. Se tiene un rectángulo ABCD, sobre la

prolongación de se toma el punto “P” tal

que BP = 16 m. Calcular la longitud del

segmento que une los puntos medios de y

.

A) 2 m B) 4 m C) 8 mD) 12 m E) 16 m

13. En un trapecio ABCD ( ), si:

mËC = 2mËA y CD = 14, calcular la longituddel segmento que une los puntos medios de lasdiagonales de dicho trapecio.A) 7 B) 3,5 C) 6,5D) 6 E) 10,5

14. De la figura adjunta : ABCD y PQLD :Cuadrados. Calcular “x”

A) 45 B) 75 C) 120D) 90 E) 60

15. En un cuadrilátero ABCD: mËABC=90, AB=BC;AD=AC y las diagonales se intersectan en elpunto “M” (BM=MD). Calcular mËBADA) 75 B) 60 C) 15D) 30 E) 45

16. Del gráfico adjunto: ABCD : Cuadrado, LAUP:Trapecio isósceles. Calcular “x”

A) 98 B) 75 C) 60D) 82 E) 85

17. Del gráfico adjunto : ABCD es un trapecio,BN=6; MN = 2. Calcular “x”, si CM = MD

A) 53 B) 37 C) 45D) 53/2 E) 37/2

18. En un triángulo rectángulo ABC (recto en B) en

y en la región exterior relativo a , se

ubican los puntos M y Q respectivamente demodo que BMCQ es un rombo. Calcular AQ, siAB=8 y mËBAQ=2(mËBCQ)A) 12 B) 16 C) 10D) 32 E) 15

19. Si ABCD es un cuadrado, EF = AB y AG = GD, calcular “x”

A) 30 B) 15 C) 45D) 37 E) 53

20. Se tiene un trapecio rectángulo ABDE recto

en D y E, en la prolongación de se ubica

el punto “C”, tal que AB = BD, CD = 8 ,

mËCDB = 82 y mËBCD = 45. Calcular AEA) 12 B) 16 C) 18

D) 8 E) 20

TAREA

01. De la figura adjunta: . Calcular BC

A) 6 B) 8 C) 12D) 7 E) 10

02. Las diagonales de un trapecio miden 8 y 10. Elvalor máximo entero de la mediana es:A) 8 B) 9 C) 5D) 7 E) 6

03. Del gráfico adjunto calcular “x”, ABCD :Romboide

A) 37/2 B) 53/2 C) 15D) 45 E) 30

04. En un rombo ABCD, las diagonales y

miden 16 y 12 respectivamente. Calcular la

altura relativa a

A) 6,2 B) 8,3 C) 9,6

D) 6,9 E) 3

05. ABCD: Cuadrado, FM = MD. Calcular è

A) 20 B) 35 C) 22,5D) 30 E) 36

06. En un trapezoide ABCD, biseca en “Q” a

, las mediatrices de las diagonales se

intersecan en un punto “P” que pertenece a

. Calcular la mËBPC, si mËPQD = 40.

A) 80 B) 40 C) 50D) 60 E) 45

07. En un rectángulo ABCD se ubican los puntos

medios P y Q de y respectivamente (R

es punto medio de ). Calcular la mËQPR, si

mËRAB = 48.A) 36 B) 42 C) 48D) 32 E) 45

08. En un trapecio ABCD ( ); es la base

menor tal que: ; BC=6. Calcular DM,

siendo “M” punto medio de

A) 4 B) 2 C) 3D) 4,5 E) 1,5

09. En un triángulo escaleno ABC (AB<BC), se traza

la altura , sean “M”, “N” y “Q” los puntos

medios de , respectivamente.

Entonces MNQH es un : A) Trapecio isósceles B) Cuadrado C) Trapecio escaleno D) Romboide

E) Trapecio rectángulo

10. Si ABCD y GFED son cuadrados y AG=10,calcular la distancia entre los puntos medios de

A) 5 B) 5 C) 4

D) /2 E) /3

CIRCUNFERENCIA

Se denomina circunferencia al conjunto de puntos delplano que equidistan de otro punto dado en el plano.El punto dado se llama centro y la distancia es elradio.

El interior de una circunferencia es el conjunto detodos los puntos del plano cuyas distancias al centroson menores que el radio. El exterior de unacircunferencia es el conjunto de todos los puntos delplano cuyas distancias al centro son mayores que elradio. Todo punto que pertenece a la circunferenciase llamará aferente.

En la figura “P1” es un punto interior a lacircunferencia (OP1<r), “P” es un punto que pertenecea la circunferencia (aferente) y “P2” es un puntoexterior a la circunferencia (OP2>r). Se llama círculo ala reunión de la circunferencia con su interior.Toda circunferencia queda determinada como mínimopor 3 puntos no colineales.El centro de una circunferencia queda determinadopor la intersección de las mediatrices de dos de suscuerdas.

En la figura las mediatrices de y se

intersecan en el punto “O”, que es el centro de lacircunferencia.La razón entre la longitud de una circunferencia y sudiámetro es un número constante llamado “pi” (ð)

ð = 3,1416La longitud de una circunferencia cuyo radio mide “R”es 2ðR

LÍNEAS RELACIONADAS CON LACIRCUNFERENCIA

01. Cuerda:

02. Diámetro:

03. Arco:

04. Flecha o sagita:

05. Recta secante:

06. Recta tangente:

07. Recta exterior:

Posiciones relativas entre dos circunferenciascoplanarias

01. Circunferencias exteriores:

02. Circunferencias tangentes exteriores:

: tangente común interior

03. Circunferencias secantes:

: Secante común ( z )

NOTA: Las circunferencias mostradas a continuaciónse denominan ortogonales, se observa que los

radios y son perpendiculares.

04. Circunferencias tangentes interiores:

MN = R - r

: Tangente común

05. Circunferencias interiores

MN < R - r

06. Circunferencias concéntricas:

v

PROPIEDADES GENERALES

1. Todo gráfico es perpendicular a una rectatangente en su punto de tangencia

2. Los segmentos de tangente trazados desde unpunto exterior a una circunferencia soncongruentes

NOTA: Si “O” es el centro, entonces es

bisectriz del ángulo APB

3. Todo diámetro perpendicular a una cuerdabiseca a ésta y al arco que subtiende

4. En una misma circunferencia o encircunferencias congruentes, las cuerdascongruentes subtienden arcos congruentes.

5. En toda circunferencia se cumple que los arcoscomprendidos entre cuerdas paralelas soncongruentes.

OBSERVACIONES :

01. Tangentes a una circunferencia que formanángulo recto

02. Si “P”, “Q” y “T” son puntos de tangencia:

03. y : tangentes comunes exteriores, “O”,

“Q” y “P” son colineales

04. y : tangentes comunes interiores, “O” “P”

y “Q” son colineales

MN = KL


01. Indicar las proposiciones verdaderas (V) o falsas(F):( ) Por un punto coplanar a una circunferencia se

pueden trazar dos rectas tangentes( ) Todas las cuerdas de igual longitud de una

misma circunferencia son tangentes a otraconcéntrica y cuyo radio es la distancia de lascuerdas al centro común

( ) La mediatriz de un segmento es el lugargeométrico de los centros de las infinitascircunferencias que pasan por sus extremos

( ) Una recta y una circunferencia pueden tenermás de dos puntos comunes

A) VVVF B) FVVF C) FFFVD) VFVF E) VVVV

02. De la figura adjunta M, N y P: Puntos detangencia; A, B y C: Centros. Calcular elperímetro del triángulo ABC

A) 10 B) 5 C) 20D) 7,5 E) 12,5

03. Los diámetros de dos circunferencias situadas enel mismo plano están en la relación de 5 a 3, y ladistancia entre sus centros es como 1, talescircunferencias son:

A) Exteriores

B) SecantesC) Tangentes exterioresD) InterioresE) Tangentes interiores

04. Si el perímetro del triángulo ABF es 8, calcular el perímetro del triángulo ACF. D; E y F sonpuntos de tangencia

A) 4 B) 6 C) 8D) 5 E) 9

05. De la figura adjunta AE-CE=26. Calcular BD

A) 12 B) 13 C) 6D) 6,5 E) 26

06. De la figura adjunta AB=8 y BC=10. Calcular PQ,si M, N, L: Puntos de tangencia

A) 6 B) 7 C) 8D) 9 E) 7,5

07. De la figura adjunta P, Q, L, son puntos detangencia. Calcular PS, si AM=5; ML=3

A) 10 B) 16 C) 12

D) 8 E) 8

08. En la figura O, P, Q y S son centros. Calcular larelación entre los perímetros de los triángulosOQS y PQO.

A) 1 B) 2 C) 3/2D) 4/3 E) 3

09. En el cuadrante AOB calcular “r”, si OH = 6m, EF= 1 m

A) 2 m B) 3 m C) 4 mD) 3,5 m E) 2,5 m

10. Calcular el máximo valor del radio de lacircunferencia pequeña en función de “r”

A) r/ B) r/ C) r/4

D) r/5 E) r/6

11. De la figura adjunta calcular : “R” P; Q, L, T: Puntos de tangencia; LP=1

A) 3 B) 1,5 C) 2D) 3,5 E) 4

12. De la figura adjunta si O: Centro AB = 5; CD = 8,calcular á

A) 74 B) 36 C) 60D) 37 E) 53

13. ¿Cuánto mide la hipotenusa de un triángulo, silos radios de las circunferencias ex-inscritasrelativas a los catetos miden 6 y 8?A) 10 B) 12 C) 13D) 14 E) 15

14. Una circunferencia es tangente a tres lados de unromboide, cuyas alturas miden 8 y 10. Calcularla longitud de la cuerda determinado en lacircunferencia por el cuarto ladoA) 5 B) 6 C) 7D) 8 E) 9

15. ¿Cuánto mide la hipotenusa de un triángulo, si elinradio mide 1 y su ex-radio relativo a lahipotenusa mide 6 ?A) 3 B) 5 C) 6D) 2,5 E) 7,5

16. En la figura: y son diámetros. Si DE = 4

y EF= 1, calcular AD

A) 10 B) 5 C) 8D) 7 E) 9

17. De la figura adjunta calcular “x”, si M, N y P sonpuntos de tangencia.

A) 18 B) 36 C) 30D) 27 E) 37

18. De la figura adjunta calcular “x”, si P, Q y T sonpuntos de tangencia.

A) 60 B) 53 C) 37D) 45 E) 75

19. Los radios de dos circunferencias secantes miden6 y 8. Los tangentes de ambas circunferencias enuno de los puntos de contacto sonperpendiculares entre sí. Calcular la distanciaentre los centros.A) 5 B) 20 C) 2D) 10 E) 14

20. En un cuadrante AOB, está inscrita unacircunferencia cuyo radio mide 4. Calcular lamedida del radio del cuadrante.

A) 4 B) 2 + 2 C) 1

D) 4 + 4 E) 8( - 1)

TAREA

01. En el paralelogramo ABCD mostrado la mËC =50. Calcular mËODO1 (O y O1 son centros)

A) 50 B) 65 C) 70D) 40 E) 55

02. En el gráfico : “O” y “O1” son centros; “A” y “B”son puntos de tangencia. Calcular “x”

A) 100 B) 120 C) 90D) 75 E) 105

03. En el gráfico indicar lo correcto :

A) a+c=d+b B) a-c=d-b C) a+b=c+dD) a-b=c-d E) a+d=2(b+c)

04. En la figura calcular “x”, si P; Q; R; S son puntosde tangencia

A) 2y+z B) C) y+z

D) y - z E) 2y - z

05. Se tiene una circunferencia de radio 6, inscrita en

un cuadrante AOB (“O” es centro). es

tangente en “P” a la circunferencia, la rectatangente en “P” corta en “Q” a la prolongación de

. Calcular BQ

A) 4 B) 5 C) 3D) 2 E) 6

06. Calcular “x” siendo ABCD un cuadrado (O escentro)

A) 20 B) 18 C) 15D) 22 E) 22,5

07. En el gráfico “O”: Centro ; BE=3; EH=2.

Calcular AE

A) 6 B) 7 C) 8D) 9 E) 7,5

08. Si : á + â = 200°, calcular “x”, P, Q, R y S sonpuntos de tangencia. (A y B son centros)

A) 40 B) 30 C) 45D) 20 E) 25

09. De la figura adjunta : BM+CD=10; AP = QD;calcular AB+NC

A) 20 B) 15 C) 8D) 10 E) 5

10. El inradio de un triángulo rectángulo ABC recto

en B mide 1 y el exradio relativo a mide 7.

Calcular la medida del ángulo que forman

con

“I” : Incentro : “Ea” : ExcentroA) 53 B) 37 C) 60D) 45 E) 75

ÁNGULOS RELACIONADOS EN LA CIRCUNFERENCIA

ÁNGULO CENTRAL: ËAOB

Un ángulo central de una circunferencia es un ángulocuyo vértice es el centro de la circunferencia.La medida en grados de un arco menor es igual a lamedida del ángulo central correspondiente.

En la figura: m = m ËAOB = á.

á = è

Sea C una circunferecia y sean A y B los extremos de

un diámetro. Una semicircunferencia es la

reunión de A, B y los puntos de C que están en un

semiplano dado de arista . Los puntos A y B son

los puntos extremos de la semicircunferencia.

La medida en grados de una semicircunferencia es 180 .

= 180

ÁNGULO INSCRITO: ËABC

á =

ÁNGULO SEMINSCRITO: ËATB

á =

“T” es punto de tangencia

ÁNGULO INTERIOR: ËAPB

á =

ÁNGULO EXTERIOR: ËAPB

Primer caso:

á =

Segundo caso:

á =

Tercer caso:

á + è = 180

PROPIEDADES ADICIONALES

01. Un ángulo cualquiera inscrito en unasemicircunferencia es un ángulo recto.

02. Todos los ángulos inscritos en el mismo arco soncongruentes.

á = â = ... = è

03. Si “T” es punto de tangencia:

á = è

04. Para dos circunferencias tangentes interiores.

05. Para dos circunferencias tangentes exteriores.

06. Si “T” es punto de tangencia.

07. Si “P” y “T” son puntos de tangencia.

á = â

08. Si “P” y “T” son puntos de tangencia.

á = â


01. Si “O” es centro y la m =100, calcular “x”

A) 45 B) 50 C) 55D) 60 E) 65

02. Del gráfico mostrado calcular “á”

A) 100 B) 105 C) 120D) 135 E) 150

03. Si P y Q son puntos de tangencia, calcular “x”

A) 45 B) 60 C) 75D) 63 E) 67,5

04. Del gráfico calcular “x”, siendo A y B puntos de

tangencia y =120

A) 80 B) 60 C) 40D) 30 E) 50

05. Del gráfico calcular “R”, si DE = 8

A) 2 B) 2,5 C) 6D) 4 E) 5

06. En la figura mostrada: =a y =b.

Calcular “x”

A) (a+b)/2 B) (a+b)/3 C) (a+b)/4

D) E)

07. En el gráfico se tiene que : P, Q y S son puntos

de tangencia y . Calcular la

A) 55 B) 65 C) 75D) 85 E) 70

08. Si la m = 70, calcular la m

A) 55 B) 60 C) 70D) 75 E) 40

09. Si M y N son puntos de tangencia y m =160,

calcular “x”

A) 80 B) 100 C) 120D) 130 E) 110

10. En el gráfico: “B” es punto de tangencia.

Calcular “x”, si : m =40, AO = OB

A) 20 B) 10 C) 5D) 15 E) 25

11. Si T es punto de tangencia, , =30,

calcular “x”

A) 75 B) 60 C) 45D) 70 E) 80

12. En la figura: “P” es punto de tangencia, ED=DP y

=100. Calcular “x”

A) 20 B) 40 C) 50D) 55 E) 65

13. En la figura AB = 5; BC = 4; BE = 3. Calcular CD

A) 5 B) 6 C) 7D) 8 E) 9

14. De la figura calcular el valor de “x”, si A, B, C yD son puntos de tangencia.

A) 50 B) 40 C) 45D) 30 E) 60

15. En la figura T y S son puntos de tangencia.

Calcular “x”, si m = 80 y m = 40.

A) 20 B) 30 C) 35D) 40 E) 50

16. Si ABCD es un cuadrado, calcular la m .

A) 45 B) 30 C) 53D) 37 E) 60

17. De la figura calcular el valor de “x”.

A) 80 B) 160 C) 100D) 120 E) 140

18. Calcular “x”, si P y Q son puntos de tangencia

A) 40 B) 50 C) 100D) 80 E) 90

19. Si : Diámetro, m =90; AP=3; PQ=5,

calcular QB

A) 3 B) 4 C) 5

D) 3 E) 4

20. En un cuadrado ABCD la circunferencia

inscrita es tangente en M, L, F y Q a , ,

y respectivamente. Se traza (

N 0 ) ,

1 = {P}, � . Calcular la medida

del ángulo determinado por y .

A) 53 B) 60 C) 75D) 90 E) 45

TAREA

01. De la figura calcular “x”

A) 100 B) 120 C) 140D) 150 E) 160

02. En la figura el triángulo ABC es equilátero, P y A

son puntos de tangencia. Calcular la m .

A) 30 B) 60 C) 45D) 75 E) 40

03. En el gráfico los puntos P, Q, R y L son puntos detangencia. Calcular el valor de “x”.

A) 45 B) 53 C) 60D) 37 E) 75

04. Si m = 40, hallar m

A) 20 B) 80 C) 10D) 40 E) 50

05. En una circunferencia se trazan las cuerdas

perpendiculares ; BC = 8. Calcular la

distancia del centro a

A) 8 B) 4 C) 5

D) 6 E) 2


A) 30 B) 60 C) 15D) 45 E) 53

07. En una circunferencia de centro “O”, se trazan el

diámetro y la cuerda que se intersecan

en P y 3m = m . Calcular PC, si AP = 2 y

AB = 10.A) 3 B) 4 C) 5D) 2,5 E) 6

08. Si “O” es centro de la semicircunferencia; M y Nson puntos de tangencia, calcular á

A) 100° B) 120° C) 135°D) 105° E) 160°

09. De la figura calcular el valor de “x”, si la

mËACB= 113, ; ; y son rectas

tangentes (A, B y D son puntos de tangencia)

A) 20 B) 21 C) 22D) 23 E) 24

10. Calcular è, si A, B, C, D y E son puntos detangencia.

A) 15 B) 20 C) 22,5D) 30 E) 36

CUADRILÁTERO INSCRITOTEOREMAS DE PONCELET - PITOT Y STEINER

CUADRILÁTERO INSCRITO

Es aquel cuyos vértices pertenecen a una mismacircunferencia, también se le llama cuadriláterocíclico.

En este cuadrilátero las mediatrices de sus cuatrolados concurren en el centro de la circunferencia.

PROPIEDADES

1) Los ángulos opuestos son suplementarios

2) Las diagonales forman ángulos congruentes conlos lados opuestos

3) Un ángulo interior es congruente con el opuestoexterior

CUADRILÁTERO INSCRIPTIBLE

Es el que se puede inscribir en una circunferencia,para que esto suceda dicho cuadrilátero deberácumplir cualquiera de las propiedades que secumplen en el cuadrilátero inscrito.

Ejemplos:

PROPIEDAD

Para dos circunferencias secantes

CIRCUNFERENCIA INSCRITA EN EL TRIÁNGULOEs aquella circunferencia tangente a los tres lados deltriángulo.

En la figura : el triángulo está circunscrito a lacircunferencia.

p : Semiperímetro BP = BR = pABC - ACAP = AQ = pABC - BC CR = CQ = pABC - AB“O”: Incentro del ÄABC

: Inradio del ÄABC

CIRCUNFERENCIA CIRCUNSCRITA ALTRIÁNGULO

Es aquella circunferencia que pasa por los tresvértices del triángulo.

“O” : Circuncentro del ÄABC

: Circunradio del ÄABC

Del gráfico, el triángulo ABC está inscrito en lacircunferencia de centro “O”

CIRCUNFERENCIA EX-INSCRITA A UNTRIÁNGULOEs aquella circunferencia tangente a uno de los ladosdel triángulo, al cual es relativa, y tangente a lasprolongaciones de los otros dos. En este caso elcentro de la circunferencia es el excentro del triánguloy su radio es uno de los exradios del triángulo.

POLÍGONO CIRCUNSCRITOUn polígono está circunscrito a una circunferencia, sicada lado del polígono es tangente a lacircunferencia. En este caso se dice que lacircunferencia está inscrita en el polígono, y a sucorrespondiente radio se le denomina inradio.

En la figura se muestran un pentágono y un triángulocircunscritos, “R” y “r” son los inradioscorrespondientes.

TEOREMA DE PONCELETEn todo triángulo rectángulo la suma de las medidasde los catetos es igual a la medida de la hipotenusamás el doble del inradio.

“r”: inradio del triángulo ABC

TEOREMA DE PITOTEn todo cuadrilátero circunscrito se cumple que lasuma de las medidas de dos lados opuestos es iguala la suma de las medidas de los otros dos lados.

Se llama cuadrilátero circunscriptible al cuadriláteroque se puede circunscribir a una circunferencia, paraque esto suceda los lados de dicho cuadrilátero debencumplir con el Teorema de Pitot.

CUADRILÁTERO EX-INSCRITOUn cuadrilátero se dice que está ex-inscrito a unacircunferencia, si las prolongaciones de sus cuatrolados son tangentes a dicha circunferencia.En todo cuadrilátero ex-inscrito se cumple que ladiferencia de las medidas de dos lados opuestos esigual a la diferencia de las medidas de los otros doslados (Teorema de Steiner)


01. En un triángulo ABC, recto en B, mËBAC=37 yBC=12. Calcular la medida del radio de lacircunferencia inscrita en el triángulo

A) 2 B) 3 C) 4D) 5 E) 6

02. Se tiene un trapecio rectángulo circunscrito a unacircunferencia. Los lados no paralelos miden 3 y5. Calcular la medida de la base mayor.

A) 9 B) 5 C) 6D) 7 E) 8

03. En la figura BC = 3, CD = 2 y AD = 5. Calcular elinradio del triángulo ABC

A) 0,5 B) 1 C) 1,5D) 2 E) 2/3

04. De la figura adjunta: CN=MN. Calcular BC, sia+2b=8

A) 16 B) 4 C) 8D) 10 E) 6

05. En la figura: r=1; R=3. Calcular BE

A) 1 B) 2 C) 3D) 4 E) 5

06. Del gráfico calcular “x”

A) 60 B) 70 C) 80D) 85 E) 95

07. Calcular “x”, si á + â = 250

A) 40 B) 50 C) 60D) 70 E) 80

08. En la figura: AC = AD y CM = MD. Calcular “w”

A) 5 B) 10 C) 12

D) 15 E) 20

09. Calcular “x”, si es diámetro y m = 80

yPM = MQ

A) 20 B) 40 C) 30D) 50 E) 60

10. Calcular “x”, si I es incentro del triángulo ABC.

A) 15 B) 18,5 C) 26,5D) 8 E) 10,5

11. En el gráfico las circunferencias están inscritas enlos triángulos ABC y BLC. Si BQ = 8 y PL = 2,calcular la medida del radio de la circunferenciainscrita en el triángulo ABC

A) 5 B) 6 C) 3D) 10 E) 4

12. En un trapezoide ABCD circunscriptible; AB=7;BC=1; mËCAD=30; mËADC=90. Calcular lamedida del inradio del triángulo ACDA) 1 B) 2 C) 3D) 4 E) 5

13. Calcular el radio de la circunferencia inscrita en elcuadrilátero ABCD, si mËABC=90, mËBAD=53,BC=6, CD=5 y AD=11.A) 1 B) 2 C) 3D) 4 E) 5

14. Se tiene un cuadrilátero el cual es circunscriptibley ex-inscriptible a la vez. Entonces el cuadriláteroes :

A) Trapezoide simétricoB) CuadradoC) RomboD) RomboideE) Trapecio isósceles

15. En la figura m = 110. Calcular “x”

A) 70 B) 35 C) 55D) 60 E) 65

16. Según el gráfico, calcular el valor de “x”

A) 10 B) 15 C) 25D) 50 E) 75

17. Si la m = 40, calcular á

A) 40 B) 50 C) 20D) 25 E) 35

18. En la figura son diámetros y “D” es

punto de tangencia . Calcular è

A) 10 B) 20 C) 15D) 25 E) 35

19. En el gráfico: EF=12. Calcular la medida delinradio del triángulo ABC

A) 6 B) 8 C) 9D) 7,5 E) 10


A) 20 B) 40 C) 30D) 50 E) 60

TAREA

01. Siendo M, N, P, Q, S y T puntos detangencia, BM= PQ y BS = 9, calcular la medidadel inradio del triángulo ABC

A) 9 B) 4,5 C) 6D) 8 E) 3

02. Se tiene un cuadrilátero ABCD circunscrito a unacircunferencia de centro “O”, tal que la mËB=90;AD=OC=13 y AB+CD=30. Si “M” es el punto de

tangencia con , calcular la medida del inradio

del triángulo OMC

A) 1 B) 2 C) 3D) 4 E) 2,5

03. Un trapecio escaleno de perímetro 40, estácircunscrito a una circunferencia. Si la distanciaentre los puntos medios de sus diagonales es 3,calcular la longitud de la base mayor.

A) 10 B) 11 C) 13D) 12 E) 14

04. En la figura mostrada calcular “x”, si :

m =m y mËOCD = 80

A) 20 B) 60 C) 30D) 80 E) 40

05. En la figura calcular è

A) 18 B) 15 C) 10D) 24 E) 36

06. En un octógono circunscrito a una circunferencia, sus lados consecutivos miden 1; 2; 3; 4; 5; 6; 7.Calcular la longitud del último ladoA) 3 B) 4 C) 8D) 6 E) 5

07. En un ÄABC, recto en B, la circunferencia inscrita

es tangente a en “P”, se traza la altura .

Calcular , si los inradios de los triángulos AHB

y BHC son 2 y 5 respectivamenteA) 1,5 B) 2,5 C) 3

D) E)

08. Dado un triángulo equilátero ABD exteriormentese construye el triángulo BCD. Si mËACB = 30,mËDAC = 18, calcular la mËBDCA) 84 B) 96 C) 48D) 76 E) 54

09. En la figura: MF = 4, MN = 6 y NL = 10. CalcularFL.

A) 6 B) 7 C) 8D) 9 E) 10

10. En la figura: T es punto de tangencia.

Calcular “x”, si m = è

A) è B) C) 45 -

D) 15 + E) 90 -

PUNTOS NOTABLES - RECTA DE EULER

ORTOCENTRO (H)Es el punto donde concurren las tres alturas de untriángulo o sus prolongaciones.El ortocentro está ubicado en el interior en untriángulo acutángulo, en el exterior en un triánguloobtusángulo y en el vértice del ángulo recto en untriángulo rectángulo.

H : Ortocentro

H : Ortocentro

H : Ortocentro

BARICENTRO (G)Es el punto donde concurren las tres medianas de untriángulo.

G : Baricentro

Se cumple: AG = 2GMBG = 2GNCG= 2GL

INCENTRO (I)

Es el punto donde concurren las tres bisectricesinteriores.El incentro es el centro de la circunferencia inscrita yequidista de los lados del triángulo

EXCENTRO (E)

Es el punto donde concurren las bisectrices de dosángulos exteriores de un triángulo y la bisectriz deltercer ángulo interior.El excentro es el centro de la circunferencia ex -inscrita y equidista de los lados. Todo triángulo tienetres excentros.

Ea: Excentro relativo a

ra: Exradio

CIRCUNCENTRO (O)

Es el punto donde concurren las mediatrices de loslados de un triángulo.El circuncentro es el centro de la circunferenciacircunscrita al triángulo y equidista de los vértices.El circuncentro está ubicado en el interior de untriángulo acutángulo, en el exterior de un triánguloobtusángulo y en el punto medio de la hipotenusa enun triángulo rectángulo.

O: CircuncentroR: Circunradio

O: Circuncentro

TRIÁNGULO MEDIANO O COMPLEMENTARIOEl triángulo mediano o complementario se obtiene alunir los puntos medios de los lados de un triángulo.El baricentro de un triángulo es a la vez baricentro desu triángulo mediano.El circuncentro de un triángulo es a la vez ortocentrode su triángulo mediano.

TRIÁNGULO ÓRTICO O PEDALEl triángulo órtico o pedal se obtiene al unir los piesde las alturas de un triángulo oblicuángulo.El ortocentro de un triángulo acutángulo es el incentrode su triángulo pedal y cada vértice del triánguloacutángulo es excentro del triángulo pedal.

OBSERVACIÓN: A, B y C son excentros del triánguloLFE

TRIÁNGULO EX - INCENTRAL

El triángulo ex-incentral se determina al unir losexcentros de un triángulo.El incentro de un triángulo es a la vez ortocentro desu triángulo ex-incentral.

ÄEaEbEc: Ä Ex-incentralI: Incentro del ÄABCI: Ortocentro del ÄEaEbEc

RECTA DE EULEREn todo triángulo no equilátero se cumple que elortocentro, baricentro y el circuncentro estáncontenidos en una misma recta llamada la Recta deEuler.

Se cumple:HG = 2(GO)HB = 2(OM)HA = 2(ON)

OBSERVACIÓN:

A) Si AB = BC

B)


01. De la figura adjunta:H : Ortocentro ÄABCO : Circuncentro ÄABCSi HB = 8, calcular OM

A) 4 B) 5 C) 2D) 6 E) 7,5

02. La altura de un triángulo acutángulo ABC

(Q 0 ) mide 27. Calcular la distancia del

circuncentro del triángulo al lado , si la recta

de Euler es paralela a este ladoA) 9 B) 13,5 C) 7,5D) 18 E) 12

03. La suma de las medidas de dos ángulos exterioresde un triángulo es 270. Si el lado mayor mide 36,calcular la distancia del ortocentro al baricentro deltriángulo.A) 15 B) 12 C) 9D) 18 E) 6

04. Calcular è, si: ABCD: Romboide, C:Excentro ÄABD

A) 150 B) 154 C) 100D) 120 E) 160

05. Se considera el triángulo acutángulo ABC deortocentro “H” y circuncentro “O”. CalcularmËHBO, si : mËA - mËC = 30A) 30 B) 10 C) 20D) 15 E) 25

06. La distancia “x” del baricentro al circuncentro de untriángulo acutángulo se obtiene resolviendo laecuación : x

2 + 10x = 0. Si una de las alturas mide

18, calcular la distancia del ortocentro a un lado

A) 6 B) 2 C) 9

D) 5 E) 6

07. En un triángulo ABC, de circuncentro “O”, ¿qué

punto notable es “O” de su triángulo mediano?A) Baricentro B) ExcentroC) Cevacentro D) Ortocentro E) Incentro

08. En un triángulo acutángulo ABC, se traza la

altura (H 0 ). Si “O” es el circuncentro

del triángulo y mËABH = 29, calcular la mËOBC

A) 61 B) 58 C) 14,5D) 29 E) 97

09. En un triángulo acutángulo ABC, mËB -mËC=40. Siendo “I” el incentro y “O” elcircuncentro del triángulo. Se pide calcular mËIAO

A) 10 B) 15 C) 25D) 30 E) 20

10. De la figura adjunta :H : Ortocentro ÄABCO : Circuncentro ÄABCCalcular “x”

A) 45 B) 90 C) 120D) 60 E) 75

11. De la figura adjunta calcular è, si :I : Incentro ÄABCH : Ortocentro ÄABC

A) 10 B) 15 C) 32D) 18 E) 24

12. De la figura adjunta. E : Excentro ÄABC,

2DE = CD. Calcular mËBAC

A) 37 B) 75 C) 74D) 69 E) 79

13. Se tiene un triángulo ABC, recto en B, se trazan la

altura y luego las bisectrices (P y

Q 0 ) de los ËABH y ËHBC. ¿Qué punto

notable para el triángulo PBQ es el incentro deltriángulo ABC?A) Excentro B) OrtocentroC) Baricentro D) IncentroE) Circuncentro

14. De la figura adjunta :P ! Incentro ÄAHBQ ! Incentro ÄBHCI ! Incentro ÄABC¿Qué punto notable es “I” del ÄPBQ?

A) Cevacentro B) IncentroC) Baricentro D) OrtocentroE) Circuncentro

15. De la figura adjunta : E : Circuncentro ÄABC,ABCD: Cuadrado, E y T: Puntos de tangencia.Calcular è

A) 60 B) 75 C) 70

D) 45 E) 65

16. En el triángulo acutángulo ABC: “H” es el ortocentro y “O” el circuncentro. Si BH = BO ymËHBO = mËOBC, calcular la mËAA) 40 B) 50 C) 60D) 70 E) 80

17. Calcular la medida del ángulo B de un triánguloacutángulo ABC, si el cuadrilátero AIOC esinscriptible; siendo “I” el incentro y “O” elcircuncentro de dicho triángulo

A) 53 B) 60 C) 45D) 30 E) 75

18. ¿Qué tipo de triángulo es aquel en el cual a lacircunferencia que contiene a 2 vértices y alincentro de dicho triángulo es tangente a uno de loslados, en uno de dichos vértices?

A) Rectángulo B) EquiláteroC) Obtusángulo D) IsóscelesE) Acutángulo

19. De la figura adjunta, O : Ortocentro del triánguloequilátero ABC. Calcular è

A) 15 B) 30 C) 18,5D) 22,5 E) 26,5

20. De la figura adjunta :H : Ortocentro ÄABCO : Circuncentro ÄABCCalcular è, si O y T: Puntos de tangencia

A) 26,5 B) 30 C) 50D) 45 E) 63,5

TAREA

01. Calcular la medida del menor ángulo del triánguloexincentral, correspondiente a un triángulorectángulo notable de 30 y 60A) 30 B) 15 C) 60D) 75 E) 45

02. Dos ángulos de un triángulo miden 60 y 70.Calcular la medida del menor ángulo de sutriángulo medianoA) 30 B) 50 C) 70D) 60 E) 35

03. De la figura adjunta O : circuncentro, ÄABC.Calcular “è”

A) 65 B) 50 C) 45D) 55 E) 60

04. De la figura adjunta:H : Ortocentro ÄABCO : Circuncentro ÄABCAF = 2FC = 2HB. Calcular : mËFOC

A) 18,5 B) 22,5 C) 45D) 26,5 E) 30

05. En la figura el incentro del triángulo ABC es el.............. del triángulo DBE

A) incentro B) baricentroC) ortocentro D) circuncentroE) excentro

06. Dado un cuadrilátero ABEC, calcular la diferenciaentre las medidas de los ángulos determinadospor las diagonales, si la diferencia entre lasmedidas de los ángulos BEA y CEA es 10 y E :Excentro del triángulo ABC

A) 5 B) 10 C) 25D) 20 E) 15

07. Calcular “x + y” del gráfico mostrado

A) 180 B) 210 C) 240D) 270 E) 300

08. De la figura calcular el valor de “x”, si E1 :Excentro del triángulo ABD, E2 : Excentro deltriángulo BDC

A) 8 B) 10 C) 12D) 14 E) 9

09. En un triángulo ABC, se cumple que: mËEIC - mËIEC = 36

Donde I es el incentro y E es el excentro relativo

al lado . Calcular la mËABC

A) 46 B) 50 C) 54D) 62 E) 68

10. En la figura BC = 5 y AP = 5. Calcular “PC”

A) 9 B) 10 C) 11D) 12 E) 13

PROPORCIONALIDAD

La historia nos dice : ... “Y por los años 585 a. deJ.C., estando Tales en Egipto entró en contacto conlos sacerdotes de esta notable Cultura , quienesquedaron maravillados de su talento cuando calculóla altura de una pirámide comparando la longitud desu sombra (ver figura adjunta), con la sombra de unapértiga P de altura conocida, lo que supone saber laproporcionalidad entre los lados homólogos de lostriángulos semejantes, que es al fin y al cabo elteorema que lleva su nombre”...Este breve pasaje de la historia de la Geometría noshace ver la importancia de la proporcionalidad no sólocomo medio para resolver problemas de carácterabstracto, sino, como un instrumento poderoso pararesolver problemas de la vida cotidiana.

RAZÓN DE DOS SEGMENTOS

Se llama razón de dos segmentos al cociente que seobtiene al dividir sus correspondientes medidasexpresadas en la misma unidad.

Así, si en la figura el segmento mide 6 m y el

segmento mide 2 m, entonces la razón de dichos

segmentos será:

SEGMENTOS PROPORCIONALES

Dos segmentos rectilíneos son

proporcionales a otros dos cuando lo son

sus correspondientes valores numéricos.

Por ejemplo: sean AB = 3 m, BC = 5 m, CD = 6 m y DE = 10 m. Estos números que expresan sus

medidas, forman la siguiente proporción : por

tanto los segmentos son proporcionales a

los segmentos formándose con ellos la

proporción:

RECUERDA QUE:Dos cantidades son directamente proporcionalescuando la variación de una de ellas origina lavariación del mismo orden y sentido de la otra,además si “a” es directamente proporcional a “b”,entonces: a = kb, donde k se denomina constante deproporcionalidad.

DIVISIÓN ARMÓNICASe dice que dos puntos C y D dividen armónicamente

a un segmento dado cuando se verifica la

relación :

Donde el punto C está en el interior del segmento

y D en su prolongación tal como se presenta en lafigura. Los puntos C y D se llaman conjugadosarmónicos respecto de A y B y viceversa.

Los cuatro puntos A, B, C, D, se dice que forman unacuaterna armónica. Además se cumplen lassiguientes relaciones:

................. (Relación de

Descartes)

................. (Relación de Newton)(OC)2 = OD. OB

Siendo O el punto medio de

MNEMOTECNIA

Una forma de recordar la relación :

Que se cumple cuando los puntos A, B, C y Dforman una cuaterna armónica, es nombrando a lossegmentos por : AB = 1

ro , BC = 2

do, CD = 3

ro y AD = 4

to tomamos de

izquierda a derecha (pudiendo tomarse en sentidocontrario) de esta forma de escribirá

TEOREMA DE TALES

“Tres o más paralelas determinan sobre dos o mássecantes segmentos proporcionales”

En la figura, las rectas L1 y L2 y L3 sonparalelas y las rectas m y n son secantes,luego se cumple que :

Corolario : “Toda paralela a un lado de un triánguloque corta a los dos o a sus prolongaciones, los divideen partes directamente proporcionales”.

Sea el ÄABC y una paralela al lado .

Sea además paralelo a (P y Q)

están en las prolongaciones de .

Luego se cumple que :

PRIMEROS TEOREMAS DE LA BISECTRIZ

“En todo triángulo se cumple que los lados queforman el vértice de donde parte la bisectriz interior(exterior) son proporcionales a los segmentosdeterminados por dicha bisectriz sobre el ladoopuesto”

En la figura (A), es bisectriz interior, luego se

cumple que :

En la figura (B), es bisectriz exterior, y se verifica :

MNEMOTECNIA

El teorema de la bisectriz interior puede serfácilmente memorizada por la siguiente figura :

TEOREMA DEL INCENTRO

“En todo triángulo se cumple que el incentro divide ala bisectriz interior en dos segmentos que sonproporcionales; el que une el vértice con el incentroes a la suma de los lados que concurren con labisectriz como el que une el incentro con el ladoopuesto es a este”

En la figura I es el incentro del ÄABC y es una

bisectriz interior de él, de modo que se visualizan lossegmentos BI e ID, verificándose la siguienteproporción:

¡OJO!Respecto al teorema del incentro (I) de un triángulo

ABC:

Ya que : AB + BC > AC ! BI > ID

TEOREMA DEL INCENTRO Y BARICENTRO

“Si en un triángulo se cumple que el segmento queune el baricentro con el incentro es paralelo a un ladoentonces dicho lado será igual a la semisuma de losotros dos lados”.

Los puntos I y G representan al incentro ybaricentro respectivamente del ÄABC.Así pues, si IG // AC, se cumplirá que :

(á)

OBSERVACIÓN : El teorema recíproco al teoremadel incentro y baricentro se cumple, es decir: Si se

verifica la relación (á) entonces . También

se comprueba que el único triángulo rectángulo quecumple con esta característica es aquel cuyos lados,son proporcionales a 3; 4 y 5

ATENCIÓNSi los lados de un triángulo forman una progresiónaritmética, entonces en dicho triángulo, el segmentoque une el incentro con el baricentro será paralelo allado cuyo valor es medio respecto a los otros

TEOREMAS DE MENELAO Y CEVA

Teorema de Menelao : “Una recta secante a untriángulo determina sobre sus lados seis segmentos,cumpliéndose que el producto de tres de ellosconsiderados en forma no consecutiva es igual alproducto de los tres restantes”.

En la figura, la línea L es una recta secante al ÄABC;donde P, Q y R son los puntos de intersección de Lcon AB, BC y la prolongación de AC respectivamente;luego según el teorema se cumplirá que :

AP. BQ . CL = PB . QC . AL

INTERESANTEEl teorema recíproco al de Menelao es válido, es decir

: “Si sobre los lados , de un triángulo

ABC (ver figura), se consideran los puntos P, Q y Ltal que : AP.BQ.CL = PB.QC. AL; entonces P, Q y Lestarán en línea recta”

Teorema de Ceva : “Tres cevianas concurrentestrazadas desde los vértices de un triángulo,determinan sobre sus lados seis segmentos,cumpliéndose que el producto de tres de ellosconsiderados en forma no consecutiva es igual alproducto de los tres restantes”

Sean las cevianas concurrentes

trazadas en el ÄABC.

Entonces se verificará la siguienterelación :

AM . BN. CL = BM . NC . AL

DEBES SABER QUEv Si en un problema dado se mencionan tres

cevianas concurrentes entonces, es probable quesu solución sea a partir del teorema de Ceva.

v El teorema recíproco al de Ceva es igualmenteválido, es decir: “Si sobre los lados

de una ÄABC (ver figura) se

consideran los puntos M, N, y L respectivamente,de modo que:AM.BN.CL = MB. NC.AL, entonces las cevianas

serán concurrentes”

HAZ ARMÓNICOEs el conjunto de cuatro rectas concurrentes quepasan por cuatro puntos colineales y consecutivosformando una cuaterna armónica

En la figura si los puntos A, B, C y D forman unacuaterna armónica, entonces las rectas

forman un haz armónico.

En el punto O se llama Centro del haz y las rectas

se dice que son conjugados armónicos

respecto a las rectas y viceversa

Corolario: “En todo triángulo, las bisectrices interior yexterior que parten desde un mismo vérticedeterminan un haz armónico”.

Sean bisectrices interior y exterior

respectivamente del Ä ABC.

Luego los lados y las bisectrices

forman un haz armónico.

Para demostrarlo, bastará demostrar que lospuntos A, D, C y E forman una cuaternaarmónica y esto ocurrirá si y sólo si:

De los teoremas de la bisectriz:

luego de (1) y (2)


01. En la figura L1 // L2 // L3 AC=8; DF=12; EF-AB=1.Calcular DE

A) 9 B) 2 C) 6D) 4 E) 3

02. En la figura calcular EC si:

AD=4; DE=1

A) 2 B) 3 C) 3,5D) 4,5 E) 1,25

03. En la figura “G” es baricentro del triángulo ABC.Calcular “x”

A) 14 B) 10 C) 9D) 8 E) 15


A) 5 B) 4 C) 2D) 6 E) 3

05. En un triángulo ABC, AB = 20, BC = 10 y AC =

21, se trazan la bisectriz interior y exterior

. Calcular DE

A) 21 B) 25 C) 26D) 27 E) 28

06. En un triángulo ABC, se traza la ceviana tal

que mËABD=90, mËDBC=45°; .

Calcular mËACBA) 26,5 B) 37 C) 30D) 8 E) 15

07. En un triángulo ABC, recto en “B”, la bisectriz

interior mide , sea “I” incentro del

triángulo ABC. Si ID= . calcular AC

A) 24 B) 18 C) 36

D) 35 E) 35


A) 2 B) 3 C) 4D) 1 E) 5

09. En un triángulo ABC; , si :

mËACB = mËABC+90, calcular mËABCA) 53 B) 30 C) 60D) 45 E) 37

10. En la figura . Calcular “x”

A) 4 B) 3 C) 5D) 6 E) 7

11. Del gráfico mostrado ID = y el perímetro del

triángulo ABC es 20 m (I es incentro). CalcularBD.

A) 3 m B) 5 m C) 7 mD) 6 m E) 4 m

12. En un ÄABC : AB=8, BC = 6 y AC = 7. Lasbisectrices interior y exterior del ángulo B

intersecan a y a su prolongación en los

puntos E y F, respectivamente. Calcular “EF”A) 20 B) 24 C) 18D) 22 E) 26

13. En un triángulo ABC, la mediatriz de corta en

“D” a y en “P” a la prolongación de ;

AP=16; . Calcular BP

A) 3 B) 4 C) 2D) 8 E) 1

14. Si : NB = 2, AM = 3 y MP = 9. Calcular NP(P y T puntos de tangencia)

A) 4 B) 5 C) 6D) 7 E) 8

15. En un triángulo ABC de incentro “I”; mËA=73;mËC=39. Calcular IB si AB=C, BC=a, AC=b

A) B) C)

D) E)

16. En la figura, calcular mËPQL

A) 90 B) 80 C) 60D) 4á E) 90 - á

17. En la figura AB = 10, BC = 4 y MP = 6. CalcularPN (M y N son centros)

A) 3 B) 3,1 C) 3,4D) 2,8 E) 2,4

18. En un trapezoide ABCD, la recta que pasa por los

puntos medios de las diagonales interseca a

y en los puntos “P y Q” respectivamente.

Calcular AP, si PB=9, CQ=3, QD=6A) 3 B) 4 C) 4,5D) 5,4 E) 6,2

19. En la figura “O” es centro DE=EF; m =m ;

BC=a; CD=b. Calcular AB

A) ab/(a+b) B) 2a+b C)

D) E) (a-b)2 / (a+b)

20. En un triángulo ABC se trazan la mediana y la bisectriz que se intersecan en P. Si

AB= y AM=6AP, calcular BC

A) 10 B) C) 15

D) 20 E)

TAREA

01. , AB = 1; MN = BC = 2, CD =

3 y RS = 2(AP). Calcular PQ

A) 18 B) 15 C) 16D) 12 E) 20

02. De la figura calcular AD, si FC = 3, CR = 10 yAR=4

A) 1,5 B) 1,3 C) 1,2D) 1,4 E) 1,6

03. Si : , AB = 11, BC = 7, AE = EF y BP =

14, calcular PF

A) 8 B) 6 C) 5D) 10 E) 16

04. Si , BC = 2 y CD = 6, calcular

AB

A) 4 B) 3 C) 2D) 6 E) 5

05. De la figura (AB)(BE) = 144, 3AB = 4AC. Calcular BC

A) 15 B) 16 C) 21D) 18 E) 14

06. Si : , calcular CD, AB = 5 y BC =

3

A) 2,4 B) 2 C) 3,4D) 4,8 E) 3,2

07. Calcular “x”, si 3AB = 4AC

A) 30 B) 60 C) 53D) 45 E) 37

08. Si: y CQ // , halle “x”

A) 1 B) 2 C) 3D) 4 E) 5

09. Si: AB = BC, AP=3PQ, BQ=5, calcular QC

A) 5 B) 6 C) 10D) 15 E) 8

10. ABCD es trapecio isósceles. Calcular “x”

A) 6 B) 8 C) 9D) 10 E) 12

SEMEJANZA

TRIÁNGULOS SEMEJANTES

Dos triángulos son semejantes si tienen la mismaforma, es decir, los ángulos de uno son congruentescon los ángulos del otro respectivamente y sussegmentos homólogos son proporcionales.Son lados homólogos aquellos que se oponen en unoy otro triángulo a los ángulos que sonrespectivamente congruentes, así como también laslíneas notables que parten de los vértices de estosángulos. Son homólogos también los radios de lascircunferencias inscritas, circunscritas, ex - inscritas,etc.

~ : Se lee “Semejante a”

Si ÄABC ~ ÄDEF

Y

Donde k : razón de semejanza

CASOS DE SEMEJANZA

PRIMER CASO

Dos triángulos son semejantes si dos ángulos delprimero son congruentes a dos ángulos del segundo.

Y

SEGUNDO CASO

Dos triángulos son semejantes si dos lados delprimero son proporcionales a dos lados del segundo ylos ángulos formados por dichos lados soncongruentes

TERCER CASODos triángulos son semejantes si los tres lados delprimero son proporcionales a los lados del segundo.

OBSERVACIÓN :

1.

Si :

Y ÄABC ~ ÄPBQ

2.

Si : son alturas

Y ÄNBM ~ ÄABC

PROPIEDADES

1.

Si :

Y

Corolario :

2.

En el trapecio :

Y

3. Cálculo de una medida del lado de un cuadradoinscrito en un triángulo, si uno de los lados delcuadrado descansa en la base del triángulo

Y

OBSERVACIÓN :

Y

4.

Si : : ceviana y mËBAC = mËDBC

Y

5.

Si A y B son puntos de tangencia y P 0

Y

6. En todo triángulo el producto de las medidas dedos lados es igual al producto de las medidas deldiámetro de la circunferencia circunscrita y laaltura relativa al tercer lado.

R : Circunradio

Y

OBSERVACIÓN :

Y ac = 2R.h

7.

Si “T” es punto de tangencia, es secante

Y

OBSERVACIÓN :

Si “T” es punto de tangencia

Y


01. Si los lados de un triángulo miden 15; 18 y 24 y ellado menor de un triángulo semejante al primeromide 6, calcular la medida del lado mayor delúltimo triángulo

A) 9,8 B) 9,6 C) 8,5D) 8,8 E) 9,5

02. En el gráfico, calcular la longitud del lado delmenor cuadrado

A) 2 B) 2,5 C) 3D) 4 E) 5

03. En la figura calcular “x”

A) 1 B) 2 C) 3D) 4 E) 5


A) 8 B) 9 C) 10D) 11 E) 12

05. Calcular “x”, si ABCD : romboide

A) 2 B) 4 C) 3D) 1 E)

06. En un trapezoide ABCD, la recta que pasa por los

puntos medios de sus diagonales interseca a

y en los puntos P y Q respectivamente.

Calcular AP si PB = 9, CQ= 3 y QD = 6.

A) 3 B) 4 C) 4,5D) 5,4 E) 6,2

07. En la figura O1 y O2 son centros de los cuadradosABCD y BPMN; PC = 6. Calcular O1O2

A) 6 B) 3 C) 3

D) 4 E) 2

08. En un triángulo ABC, AB = 16, se traza la

mediana . Calcular BM, si mËMBC = mËA +

mËC

A) 8 B) 12 C) 8

D) 8 E) 4

09. Si PQRS es un romboide, PQ = 2 , QB = 3, SH =1, calcular “AP”

A) 1 B) 2 C) 2,5D) 1,5 E) 4

10. Se tiene un rombo ABCD cuyo perímetro es 84,

se toma M punto medio de tal que

se intersecta en P, se intersectan en Q.

Calcular PQ

A) 12 B) 6 C) 10D) 5 E) 7

11. Si : AB = 9 y CD = 16, calcular PQ

A) 8 B) 10 C) 6D) 9 E) 12

12. Del gráfico: m =2m ; BH=2 además:

9AB=4AD. Calcular HE

A) 5 B) 6,3 C) 22/3D) 44/9 E) 24/7

13. Si: AB=6, BC=8 y AC=7, calcular AP

A) 3 B) 4 C) 5

D) 3 E) 3

14. En el gráfico: 2AF=3AB; EF=9. Calcular BC

A) 4 B) 5 C) 6D) 3 E) 1,5

15. La bisectriz interior del ángulo B de un triánguloABC intersecta a la circunferencia circunscrita en

“E” y al lado en “D”. Calcular AE, si DE=4;

BE=9A) 6 B) 8 C) 7,5D) 5 E) 4,5

16. En un triángulo ABC se traza la bisectriz interior

. Si “I” es el incentro del triángulo ABC y BI =

4, calcular el máximo valor entero de

A) 1 B) 2 C) 3

D) E)

17. En un triángulo ABC : AB = 8, BC = 12 y AC = 10.

Sobre y se consideran los puntos M y N

respectivamente tal que // . Si el perímetro

del triángulo MBN es igual al perímetro deltrapecio AMNC, calcular BMA) 4 B) 5 C) 6D) 6,5 E) 32/5

18. En un triángulo acutángulo ABC, se une el vértice

“B” con el circuncentro “O”, prolongado

interseca a en “M”. Luego se trazan

z y z . Si BH = 6, AH = 2 y BC = 12,

calcular BNA) 3 B) 6 C) 7,5D) 9 E) 8

19. En un ÄABC; mËB = 90 y AC = 7.

Se traza la ceviana , tal que : 2DC = 3BD y

mËBAC = 2 (mËADB). Calcular ABA) 1 B) 2 C) 3D) 4 E) 3,5

20. Un cuadrilátero ABCD está inscrito en una

circunferencia de diámetro , sea P un punto

de . y , intersectan a en M y N

respectivamente. Si AB=AD; BM=2 m y MN = 1m, calcular NC.A) 2 m B) 3 m C) 4 mD) 5 m E) 1,5 m

TAREA

01. Si: . AM=3/5(AB), halle “x”

A) 14 B) 7 C) 21D) 24 E) 18

02. En la figura P y Q son puntos de tangencia,PT=2TA y BL=6. Calcular LQ

A) 2 B) 3 C) 4,5D) 6 E) 8

03. En un ÄABC, recto en B. AB = 6, BC = 8 y AC =10. Por el incentro se traza la perpendicular a la

bisectriz interior que corta a la prolongación

de en P. Calcular AP

A) 6 B) 8 C) 4D) 10 E) 3

04. Se tiene un cuadrilongo ABCD y AD=CD , se

construye una semicircunferencia exteriormente

de diámetro , desde un punto del arco se une

con “A y D” cortando a en “M y N”; BM=4,

NC=9. Calcular MN

A) 6 B) 3 C) 3

D) 6 E) 6

05. De la figura, PB = 12 y 3(BC) = 4(AQ). CalcularAP

A) 6 B) 7 C) 8D) 9 E) 10

06. En un trapecio rectángulo ABCD, recto en A y B

se tiene que AB = BC, se ubica “P” en . Si P

dista 5 de y mËADC = 53, ¿cuánto dista “P”

de ?

A) 6 B) 8 C) 9D) 5 E) 4

07. En un triángulo ABC de incentro “I”; mËA=73;mËC=39. Calcular IB, si AB=C, BC=a, AC=b

A) B) C)

D) E)

08. Se tiene un trapecio rectángulo ABCD

mËA=mËB=90, sobre se toma “M” punto

medio. Calcular AB, si BC=4 y AD=9. AdemásmËCMD=90A) 6 B) 8 C) 10D) 12 E) 14

09. En un triángulo ABC de baricentro “G” se traza

una recta por G que intersecta a y en K y

L y a la prolongación de en P. Si:

y AC = BA ; calcular GK

A) 1 B) 2 C) 3D) 4 E) 0,5

10. En un triángulo ABC se traza la bisectriz interior

(“R” en ) luego se traza la ceviana

que interseca a en su punto medio. Si

BM = 2 y CM = 5, calcular AB.A) 20/7 B) 10/7 C) 4D) 3 E) 14/3

RELACIONES MÉTRICAS EN EL TRIÁNGULO RECTÁNGULO Y EN LA CIRCUNFERENCIA

PROYECCIONESProyección ortogonal de un punto sobre una recta esel pie de la perpendicular trazada del punto a la recta. Así la progresión ortogonal del punto “P” sobre la

recta es el punto P’.

La perpendicular se llama proyectante. Si el

punto pertenece a la recta su proyección sobre ella esel mismo punto.

Así la proyección de “Q” sobre es Q’ (Q=Q’)

La proyección de un segmento sobre una recta es elconjunto de todos los puntos de la recta que sonproyecciones de los puntos del segmento sobre larecta.

Si el segmento dado es oblicuo a la recta L laproyección es menor que el segmento, si el segmentoes paralelo a la recta su proyección es congruente aél y si el segmento es perpendicular a la recta, suproyección se reduce a un punto.

SEMEJANZAS EN EL TRIÁNGULO RECTÁNGULO

TEOREMA

En todo triángulo rectángulo, la alturacorrespondiente a la hipotenusa divide al triángulo endos triángulos semejantes entre sí y tambiénsemejantes al triángulo dado.

RELACIONES MÉTRICAS EN EL TRIÁNGULORECTÁNGULO

TEOREMAS FUNDAMENTALES

01. y

02.

03.

04. (TEOREMA DE

PITÁGORAS)

05.

PROPIEDADES

01.

3 x2 = a.m

02.

3 x2 = m . n

03

Si: P, Q y T son puntos de tangencia.

3 x = 2

04.

Si: P y Q son puntos de tangencia

3 PQ = MN

05.

3 a2 - b

2 = m

2 - n

2

RELACIONES MÉTRICAS EN LACIRCUNFERENCIA

1. TEOREMA DE LAS CUERDAS

AP . PB = CP . PD

2. TEOREMA DE LAS SECANTES

PA . PB = PC . PD

3. TEOREMA DE LA TANGENTE

(PT)2 = PA . PB

4. TEOREMAS DE PTOLOMEO

i. ac + bd = ef

ii.

RECTAS ISOGONALES

Son aquellas rectas que pasando por el vértice de unángulo dado forman con la bisectriz de éste ánguloscongruentes; pueden ser:

A) ISOGONALES INTERIORES

B) ISOGONALES EXTERIORES

CONSECUENCIAS DE LAS RECTAS ISOGONALES

1RA. CONSECUENCIA

En todo triángulo el producto de las longitudesde dos lados es igual al producto de laslongitudes de las isogonales, que contienen aun vértice estando una limitada por el ladoopuesto y la otra por la circunferenciacircunscrita.

En la figura si y son isogonales respecto al

ángulo ABC se verifica que:

(AB)(BC) = (BP)(BQ)

2DA. CONSECUENCIAEn todo triángulo se cumple que el productode las longitudes de dos lados es igual alproducto de las longitudes de la altura relativaal tercer lado y el diámetro de lacircunferencia circunscrita.

En la figura si y (BF = 2R) son isogonales,

luego:AB . BC = BH . BF

� (AB)(BC) = (BH)(2R)

3RA. CONSECUENCIAEn todo triángulo se cumple que la longitud dela bisectriz interior, elevada al cuadrado esigual al producto de las longitudes de loslados que concurren con dicha bisectrizmenos el producto de las longitudes de lossegmentos que determina la bisectriz sobre ellado opuesto.

En la figura, las rectas y son isogonales (la

bisectriz es isogonal con sí misma), luego por primeraconsecuencia:AB.BC = BD.BE(BE = BD + DE)AB.BC = BD(BD + DE) = BD

2 + BD.DE

Por cuerdas: BD.DE = AD.DCluego: AB.BC = BD2

+ AD.DC

� BD2 = AB.BC - AD.DC

4TA. CONSECUENCIAEn todo triángulo se cumple que el cuadradode la longitud de la bisectriz exterior es igualal producto de las longitudes de lossegmentos determinados por la bisectrizsobre el lado opuesto menos el producto delas longitudes de los lados que concurren condicha bisectriz.

Las rectas y son isogonales exteriores

respecto a el ËABC, luego: AB.BC = BP.BEpero: BP = EP - BEY AB.BC = (EP - BE)BE AB.BC = BE.EP - BE

2

Por secantes: BE.EP = AE.CEluego: AB.BC = AE.CE - BE

2

� BE2 = AE.CE - AB.BC


01. Dado un triángulo rectángulo ABC( recto en B)

sobre su lado se considera un punto “O”; por

el vértice “C” se traza una perpendicular a la

prolongación de de manera que sea

bisectriz del ËBCD. Calcular AB, si AO.AC = 32

A) 4 B) 4 C) 8

D) E) 4

02. Las diagonales perpendiculares de un trapeciomiden 8 y 15; la base menor mide 6. Calcular lamedida de la base mayor

A) 14 B) 12 C) 13D) 11 E) 15

03. En la figura representa una escalera apoyada

en una pared. Si “A” cae hasta la mitad de sualtura y “B” se aleja 2 m cuanto mide la escalera

A) 5 B) 10 C) 2 /3

D) E)

04. En un triángulo ABC, recto en “C” se traza la

altura . Calcular BF, si: AB=c;

BC=a

A) B) C)

D) E)

05. En el gráfico calcular “x”, si “O”; “C” y “D” soncentros además AO = OB = 6

A) 1,5 B) 2 C) 2,5D) 2,4 E) 1,8

06. En la figura son diámetros, si CE =

2; AF = 5 y DG = 4, calcular EG

A) 8 B) 10 C) 12D) 14 E) 16

07. El diámetro de una semicircunferencia se

prolonga hasta “C” y se traza la secante CDE,

BC=2, DE=1, =3(mËC). Calcular DC

A) 3 B) 1 C) 4D) 2 E) 3,5

08. En el gráfico AC=AB, “O” es centro A y F son

puntos de tangencia. Calcular

A) 2 B) 1 C)

D) 3 E) 4

09. Calcular “FA”, si AB=6, BC=ED=8. ID=5; GF=4 yFH=3. (“A” es punto de tangencia)

A) 10 B) 7 C) 6D) 8 E) 5

10. Se tiene un cuadrado ABCD, en el arco se

considera el punto “E” tal que : AE+EC=4 .

Calcular BE

A) 2 B) 4 C) 2

D) 6 E) 8

11. En el gráfico: “O” centro; EF=3; FD=2. CalcularDH

A) 3 B) 2,5 C) 4D) 5 E) 3,5

12. En el gráfico adjunto calcular OT, si : AP=4

A) 4 B) 3 C) 5

D) 2 E) 2

13. En un trapecio rectángulo ABCD, la altura ,

mide 13. Con diámetro se traza la

semicircunferencia que corta en “Q” a , la

tangente corta a en “P”, AP = 12, PC=3.

Calcular PQ

A) 2,5 B) 3,5 C) 4D) 3 E) 5

14. En la figura ABCD es un rectángulo BQ=QA,PQ=3; QM=8; MN=1. Calcular CM

A) 1 B) 2 C) 1,5D) 2,5 E) 0,5

15. Calcular AB, sabiendo que las circunferenciasson concéntricas, los radios son 1 y 2, y MP = 1 (“O” ÷ centro)

A) B)

C) D)

E)

16. Una hoja rectangular ABCD, de papel se dobla de

modo que “A” coincida con “C”; AB= ; AD=3.

Calcular la longitud del doblez

A) 1 B) 1,5 C) 2

D) 2,5 E)

17. En la figura marcar la relación métrica entre h, a,b y c

A) h=ab/c B) C) h=a+b-c

D) E) h3=abc

18. Del gráfico “O” es centro AB=15; LD=CD=10.Calcular ML

A) 6 B) 8 C) 9D) 7 E) 5

19. En la figura calcular CD si AB=1, BC=2, CE=

“C” punto de tangencia

A) 2 B) 6 C) 10D) 8 E) 7

20. Calcular FG, si AB=BC=CD y CF=9 (D es puntode tangencia)

A) 6 B) 8 C) 9D) 10 E) 12

TAREA

01. Calcular : R, si AD = 18 y FG = 24

A) 6 B) 10 C) 12D) 13 E) 15

02. En la figura mostrada ABCD es unparalelogramo, BM = 4; MC = 6 y “O” es centrode la semicircunferencia. Calcular AB

A) 2 B) 3 C) 2

D) 4 E) 4

03. Del gráfico calcular el lado del cuadrado ABCD si CE = CF, EH = 6, FQ = 4 y “A” es centro del arco

A) 10 B) 8 C) 2

D) 2 E) 9

04. Si ABCD es un cuadrado de lado “a”, calcular BF

A) a /2 B) a /2 C) a /4

D) a /4 E) a /2

05. Si es diámetro, “M” es centro y PQ = 4,

calcular QM

A) 1 B) 2 C) 3D) 4 E) 5

06. Del gráfico calcular AC, si CP2 + AT2

= 338m

2 (O1 v O2 : centros)

A) 13 m B) 2 m C) 2 m

D) 13 m E) 5 m

07. En la figura adjunta, el triángulo ABC es

equilátero, M es punto medio del lado y D es

punto medio del arco . Si x e y representan las

longitudes de los segmentos

respectivamente, hallar x/y

A) 5/3 B) 2 C) 4D) 8/3 E) 7/3

08. En la figura A, B y C son puntos de tangencia,PA=8, PC=6. Calcular PB

A) 10 B) 2 C) 5

D) 5 E) 4

09. En un rectángulo ABCD, se ubica el punto “P” en

, tal que: mËAPD = 90, BP = 4 y PC=9.

Calcular la distancia entre las proyecciones de B

y C sobre respectivamente

A) 7 B) 8 C)

D) 6,5 E)

10. En un cuadrante AOB de centro “O” por un punto

M del arco se traza la paralela a la cuerda

que interseca a la prolongación de en A’

y a la prolongación de en B. Calcular AB, si

MA’ = a y MB’ = b

A) 2 B) C)

D) E) 2

RELACIONES MÉTRICAS EN LOS TRIÁNGULOSOBLICUÁNGULOS

I. TEOREMA DE EUCLIDES

TEOREMA 1En todo triángulo se cumple que la medida dellado opuesto a un ángulo agudo es igual a lasuma de los cuadrados de las medidas de losotros dos lados, menos el doble producto entrelas medidas de uno de estos lados y laproyección del otro sobre él.

De acuerdo a la figura siendo á < 90 y “m” lalongitud de la proyección se cumple :

.... (1)a2 = b

2 + c

2 - 2bm

OBSERVACIÓN :

En el : m = cCosá

En (1) : “Ley dea2 = b

2 + c

2 - 2bcCosá

Cosenos”

TEOREMA 2

En todo triángulo obtusángulo se cumple que elcuadrado de la medida del lado opuesto al ánguloobtuso es igual a la suma de los cuadrados delas medidas de los otros dos lados mas el dobleproducto entre las medidas de uno de estos ladosy la proyección del otro sobre él

En la figura : á > 90 y es la proyección de

sobre (AH = m), luego :

.... (2)a2 = b

2 + c

2 + 2am

OBSERVACIÓN :

En el : m = cCosá

En (2) : “Ley de Cosenos”a2 = b

2 + c

2 - 2bcCosá

II. RECONOCIMIENTO DE LA NATURALEZA DEUN TRIÁNGULO

Dado el triángulo ABC, donde AB = c, BC=a y AC= b, siendo a > b > c, entonces se verifica que :a

2 < b

2 + c

2 ] el ÄABC es acutángulo

a2 = b

2 + c

2 ] el ÄABC es rectángulo

a2 > b

2 + c2 ] el ÄABC es obtusángulo

III. TEOREMA DE STEWART

Si es una ceviana entonces se verifica la

siguiente relación :

(3)c2n + a

2 m = x

2b + bmn

OBSERVACIÓN :Si el triángulo es isósceles con a = c la expresión(3) se reduce a :

a2 = x

2 + mn

IV. TEOREMA DE LA MEDIANA

Si es mediana (BM = mb) se cumple lo

siguiente:

c2 + a

2 = 2(mb)

2 +

OBSERVACIÓN :

Siendo las medidas de las otras medianas ma y mc secumple que :

V. TEOREMA DE HERÓN

Si es altura (BH = hb) además :

se verifica la siguiente relación :

VI. TEOREMA DE EULER

En todo cuadrilátero convexo o no convexo severifica a la siguiente relación :


01. En un paralelogramo ABCD: AB=3, BC=5 yAC=7. Calcular la mËA.A) 30 B) 53 C) 45D) 60 E) 75

02. En la figura el radio R=12. Calcular “x”

A) 1 B) 2 C) 3D) 4 E) 5

03. Si en un triángulo ABC, se cumple que:

;

uno de los ángulos del triángulo medirá:A) 45 B) 60 C) 120D) 135 E) 105

04. En un triángulo ABC se trazan la bisectriz interior

(D en ) y la mediana tal que BD=DM.

Calcular AC; si (AB)(BC)=144A) 12 B) 16 C) 18D) 20 E) 24

05. Las longitudes de los lados de un triángulo estánrepresentados por tres números enterosconsecutivos. Si la medida del ángulo mayor esel doble de la medida del menor, calcular lalongitud del mayor lado del triánguloA) 5 B) 6 C) 7D) 8 E) 10

06. En la figura se muestra dos circunferenciasconcéntricas. Si AQ2 + QD2 =100, calcularPB2+PC2

A) 10 B) 120 C) 100D) 81 E) 64

07. En un trapecio las bases miden 12 y 26 y loslados no paralelos miden 13 y 15. Calcular lalongitud de la altura de dicho trapecio.A) 10 B) 11 C) 12

D) 13 E) 14

08. En la figura, ¿cuánto mide el radio de lacircunferencia si el radio R = 9?

A) 1 B) 5 C) 4D) 6 E) 4,5

09. En la figura: AB=BC=AC=2 , “O” es centro y

DM=MC=3. Calcular OM.

A) 1 B) 2 C) 3D) 4/5 E) 3/2

10. En la figura O, A y P son centros. Si: OB= ,

calcular “x”

A) 0,5 B) 1 C) 1,5

D) E)

11. En el gráfico calcular MN, si: “O” y “O1” soncentros; AN = 3; NB = 5

A) 5,5 B) 6,5 C) 7,5D) 6 E) 7

12. Si AQ=9 y QC=4, calcular BQ

A) 2 B) 18 C) 3

D) E) 10

13. En un triángulo acutángulo ABC, se cumple que: BC= a, AC = b y AB = c además : a2

=c2+bc;

mËABC=63. Calcular : mËACBA) 30 B) 45 C) 37D) 39 E) 38

14. Se tiene un cuadrilátero ABCD, donde AB=CD,BC=9, BD=10, AC=13, ademásmËBDC=mËBAD+mËADB. Calcular : ABA) 4 B) 5 C) 6D) 10 E) 8

15. La circunferencia inscrita en un triángulo ABC, es

tangente a en D. Calcular BD, si AB = 5; BC

= 7; AC = 6A) 5,5 B) 4,5 C) 6D) 5 E) 4

16. Sea ACB un triángulo rectángulo en “C’, cuyahipotenusa mide “d”. Se divide la hipotenusa entres segmentos de igual longitud por medio de lospuntos “M” y “N”. Entonces la suma de loscuadrados de las medidas de los lados deltriángulo CMN es igual a :

A) B) C) d2

D) E)

17. Se tiene el trapecio ABCD: tal que:

AB=9; BC=6; CD=13 y AD=16. Calcular lamedida del segmento que une los puntos mediosde las bases.A) 10 B) 11 C) 12D) 9 E) 11,5

18. En un triángulo ABC se tiene que AB=10, BC=4 yAC=9. Calcular la medida de la bisectriz exterior

BQ (Q en la prolongación de )

A) 2 B) 5 C) 5

D) 4 E) 2

19. Se tienen dos circunferencias concéntricas deradios “r” y “2r”. En la circunferencia mayor seubican los puntos A; B y C tal que AB = BC = AC.En la circunferencia menor se ubica el punto “P”próximo a “B”. Si (AP)

2+(BP)

2 + (CP)

2 = 15.

Calcular “r”

A) 1 B) C)

D) 2 E)

20. En la figura adjunta el lado del triánguloequilátero ABC mide 4. Calcular : PA

2 - PB

2 -

PC3

A) 4 B) 8 C) 16D) 32 E) 9

TAREA

01. Los lados de un triángulo ABC miden AB=13,BC=20 y AC=21. Calcular la distancia del

baricentro al lado .

A) 2 B) 3 C) 4

D) 5 E)

02. Los radios de dos circunferencias miden 7 y 5, yla distancia entre sus centros es 14. Si un puntoexterior dista de las dos circunferencias 8,calcular la distancia de dicho punto a la línea queune los centros.

A) 10 B) C) 12

D) E) 13,2

03. En el triángulo ABC, calcular la medida delángulo A, si se cumple que:

2a2 = b

2 + c

2 + (b+c)

2

A) 105 B) 60 C) 90D) 120 E) 135

04. De la figura es diámetro FB=2AH=4.

Calcular PH

A) 2 B) C) 4

D) 8 E) 2

05. En el romboide ABCD, donde AB=13; BC=20 yAC=21. Calcular PD

A) 10,5 B) 10 C) 12D) 13,75 E) 15

06. Se tiene un triángulo ABC tal que: AB=BC=2AC.

Si la distancia de “B” a la bisectriz interior del ËA

mide , calcular AC

A) 1 B) C) 2

D) 3 E) 4

07. De la figura calcular BP; si: (AB).(BC)=32 yBP=PQ

A) 1 B) 2 C) 3D) 4 E) 5

08. Siendo ABCD un romboide, MB=MD, MN=1 yAD=DE=3, calcular :

K = 4(AM)2 + (BD)

2

A) 85 B) 95 C) 80D) 90 E) 92

09. Del gráfico, calcular AC, si: AB = 2AC, BH

=

A) 1 B) 2 C) 2

D) 3 E) 4

10. ABCD es cuadrado de lado igual a “4”. Calcular :PR

A) 2 B) 2 C) 2

D) 3 E)

PROBLEMAS DIVERSOS DE RELACIONES MÉTRICAS

01. La bisectriz del ángulo recto de un triángulorectángulo, cuyo perímetro es 60, divide a lahipotenusa en dos segmentos tales que lamedida de uno de ellos es 2,4 veces la medidadel otro. ¿Cuánto mide la hipotenusa?A) 24 B) 15 C) 30D) 25 E) 26

02. En la figura “O” es centro, diámetros,

DE=3 y BC=4. Calcular AO

A) 3,5 B) 4,5 C) 5D) 7 E) 12

03. En el gráfico “O” es centro y es diámetro. Si

AB.AC=72, calcular “r”

A) 3 B) 3 C) 6

D) 6 E) 4,5

04. Del gráfico adjunto calcular : PC, si: BC= ;

AB=AC, O: Centro

A) 2 B) 3 C) 1,5D) 1 E) 4

05. En la figura adjunta “T” punto de tangencia. OP=9; PL=6. Calcular PT, si: O: Centro

A) 6 B) 6 C) 5

D) 12 E) 15

06. Si : r.(DC) = 6 y EM = MC, calcular DF (“F” puntode tangencia)

A) 2 B) 6 C) 3

D) 6 E) 4

07. En la figura AB = 3BC = 6. Calcular DT (“T”,punto de tangencia)

A) 3 B) 2 C) 2

D) 2 E)

08. Si : B y C son puntos de tangencia, EC = 4 y AE= 16, calcular CD

A) 4/7 B) 8/5 C) 5/6D) 7/4 E) 6/5

09. En un triángulo acutángulo ABC: “H” esortocentro. Si AC2

+BH2=100, calcular la medida

del circunradioA) 2,5 B) 4 C) 5

D) 5 E) 10

10. En un rectángulo ABCD (AB>BC) si: AB=a, BC=b,calcular la longitud de la proyección de la

diagonal sobre

A) B)

C) D)

E)

11. En el gráfico adjunto calcular : OT, si AP=4

A) 4 B) 3 C) 5

D) 2 E) 2

12. De la figura adjunta A, B : Puntos de tangencia.Calcular AB, si : BL = 3

A) 2 B) 5 C) 6

D) 3 E) 5

13. Calcular QT del gráfico adjunto, si : AP = 4 y BQ= 9

A) 5 B) 6 C) 7

D) 8 E) 2


A) B)

C) D)

E) N. A

15. De la figura:P, T, L : Puntos de tangencia. Calcular BP, si

OT=

A) B) 2 C) /2

D) 4/3 E) 2

16. De la figura adjunta: : diámetro GF=4, EH=2.

Calcular EF.

A) B) 2 C) 4

D) 3 E)

17. En la figura : PQ = a y QL = b. Calcular : PT

A) B) C)

D) 2 E)

18. En la figura, hallar NF, si : ME = 12 y EN = 4“O” : Centro

A) 6 B) 4 C) 5

D) 9 E) 4

19. De la figura adjunta: O: Centro, AN=5; NC=4. Calcular BC

A) 5 B) 6 C) 8

D) 3 E) 4

20. Los lados de un cuadrilátero inscrito,considerados en forma consecutiva, miden 1; 2; 3y 4. Calcular la longitud de la diagonal menor delcuadrilátero.

A) B) C)

D) E)

TAREA

01. En una circunferencia de centro “O” y radio 15, se

ubica una cuerda y en ella se toma el punto

“P”, tal que: AP.PB = 200. Calcular OP

A) 2 B) 3 C) 4

D) 5 E) 6

02. son diámetros. Calcular “x”, si: AB=

2ED

A) 90 B) 120 C) 105D) 106 E) 60

03. Si ABCD es un cuadrado cuyo lado mide 2 ,

calcular MC

A) 2 B) 4 C) 6D) 8 E) 10

04. En el gráfico, calcular PQ/QF, “O” es centro

A) 1/2 B) 2/3 C) 1/4D) 3/5 E) 1/3

05. Calcular AF, si : BF = 3 m y FC = 12 m

A) m B) 2 m C) 8 m

D) 6 m E) 6 m

06. Hallar : DE, si AC = 12 y BD = 4

A) 6 B) 3 C) 5

D) 4 E) 8

07. Calcular TB, si AT = 4, BC = 2 y “T” es punto detangencia.

A) 1 B) 1,5 C) 2D) 2,5 E) 3

08. En la figura calcular “x”, si ABCD es un cuadrado

A) R/2 B) R/3 C) R/4D) R/5 E) 2R/3

09. Calcular á, si :

AE=EC; BE=3, EF = 2

A) 53 B) 37 C) 36D) 45 E) 30

10. Del gráfico adjunto A, B y C : puntos detangencia. Calcular el valor del radio de lacircunferencia inscrita en el triángulo ABC.

A) B)

C) D)

E) 2( )

POLÍGONOS REGULARES

Se llama polígono regular al polígono equiángulo yequilátero a la vez.Todo polígono regular se puede inscribir ycircunscribir a circunferencias concéntricas, siendo elcentro de éstas el centro del polígono regular.

Se llama apotema de un polígono regular alsegmento perpendicular trazado desde su centro acualquiera de los lados.Se llama triángulo elemental de un polígono regularal triángulo isósceles cuyo vértice coincide con elcentro del polígono regular, sus lados congruentesson circunradios, su base es el lado del polígonoregular y el ángulo en el vértice es el ángulo centraldel polígono regular.

ELEMENTOS

1) Centro: “O”

2) Lado: (AB=ln)

3) Apotema: (OH=an)

4) Ángulo central: ËAOB (mËAOB=án)

5) Inradio:

6) Circunradio: (ON=R)

7) Triángulo elemental: AOB

OBSERVACIONES :

a) Para todo polígono regular el cálculo de lamedida del ángulo central es:

mËCentral =

b) Si AB = ln 3 m =

c) Cálculo del apotema de un polígono regular:

ESTUDIO DE LOS PRINCIPALES POLÍGONOSREGULARES

01. TRIÁNGULO EQUILÁTERO

02. CUADRADO

03. PENTÁGONO REGULAR

04. HEXÁGONO REGULAR

05. OCTÁGONO REGULAR

06. DECÁGONO REGULAR

07. DODECÁGONO REGULAR


01. El perímetro de un hexágono equiángulo convexoes 12. Calcular la medida del radio de unacircunferencia inscrita en dicho polígono.

A) B) 2 C) 0,5

D) 1,5 E) 3

02. En la figura ABCD es un cuadrado cuyo lado

mide , A y D son centros de los

cuadrantes. Calcular EC

A) 1 B) 2 C) 3D) 4 E) 5

03. Si: ; r= +1, m =60 y m =120,

calcular “x”

A) 1 B) 1,5 C) 2

D) 2,5 E)

04. Del gráfico, el radio de la circunferencia mide

, AB = 2 y CD = - 1. Calcular “è”

A) 75 B) 105 C) 120D) 135 E) 126

05. Calcular el circunradio de un triángulo ABC, si AC = 2 y mËB = 54

A) 2( - 1) B) -1 C)

D) E)

06. En un triángulo ABC recto en “B” se traza la

altura . Calcular BH, si AC=4; mËC=11,25

A) B) C)

D) E)

07. Se tiene un cuadrado ABCD inscrito en una

circunferencia cuyo radio mide : . Calcular

la distancia del vértice “A” al punto medio del

arco

A) 2 B) C)

D) E) 1

08. En un heptágono regular ABCDEFG se cumple

que: . Calcular el perímetro del

heptágono regularA) 49 m B) 70 m C) 35 mD) 25 m E) 63 m

09. En un trapecio ABCD de bases , se

sabe que : mËA=72, mËD=36 y CD = +1.

Calcular AB

A) 1 B) 2 C) -1

D) 4 E) ( -1)/2

10. En la figura calcular EF, si m = 55

A) r B) C)

D) E)

11. Sabiendo que el lado del dodecágono regular

inscrito en una circunferencia mide ,

calcular la longitud del lado del polígono regularde 24 lados inscrito en la misma circunferencia

A) B) C)

D) E)

12. Si AB es diámetro y m = 112, AB =

2PQ y mËABQ = 4, calcular “á”

A) 26 B) 30 C) 36D) 45 E) 37

13. Se tiene un pentágono regular ABCDE, en eltriángulo ACE la circunferencia inscrita es

tangente en “M” y “N” a los lados y

respectivamente. Calcular MN, si : AE = a

A) B) C)

D) E)

14. Al trazar los segmentos que unen los puntosmedios de los lados no consecutivos de unpentágono regular, se determina otro pentágonoregular cuyo lado mide 1. Calcular la longitud dellado del polígono original

A) ( +2) B) ( -1) C) ( -2)

D) ( +1) E) 2

15. En un triángulo acutángulo ABC, donde

AC= +1, se trazan las alturas .

Calcular MF sabiendo que : mËABC=72

A) B) -1 C)

D) 1 E)

16. En la figura AB = BC = AC. Calcular “á” si EC =L4; BD = L5 y AF = L10

A) 127 B) 126 C) 125D) 124 E) 123

17. En un nonágono regular ABCDEFGHI se

tiene que AB + BD = 8 . Calcular BG

A) 8 B) 8 C) 16

D) 16 E) 4

18. En un triángulo ABC, se ubica el incentro I, luego

la prolongación de interseca a la

circunferencia circunscrita al triángulo ABC en

“F”. Si : mËBIC = 126 y AF = 2, calcular IC

A) B) C) ( -1)

D) E) 2

19. Si en un decágono regular ABCDE..., la suma delas medidas del lado y el circunradio es 10,calcular “AD”A) 3 B) 7 C) 10D) 8 E) 6

20. En la figura, las dos circunferencias soncongruentes; AB=AD y AC=2. Calcular: PC, si:

es la sección áurea de

A) 1 B) C) - 1

D) E)

TAREA

01. Responder con (V) si es verdadero y con (F) si esfalso:( ) Respecto a una misma circunferencia:

(L5)2 = (L6)

2 + (L10)

2

( ) En un cuadrado se cumple que:L4 = 2(ap4)

( ) Si “r” representa la longitud del radio de la circunferencia inscrita en un decágonoregular y “R” de la circunferencia circunscrita,entonces:

A) FVV B) VFF C) VFVD) VVV E) VVF

02. En una circunferencia de centro “Q” y radio 2, se

trazan los diámetros ortogonales entre

sí. La recta que une el punto A con el punto

medio “O” de , lado del exágono regular

inscrito corta a en N. Calcular: QN

A) B) C)

D) E)

03. En un triángulo acutángulo ABC; mËB=72 se

trazan las alturas . Si: AC = ,

calcular: MNA) 2 B) 2,5 C) 1

D) 4 E)

04. El lado de un pentágono regular mide (3 +

); calcular la longitud del lado de otro

pentágono regular determinado al trazar todas lasdiagonales del primero

A) 1 B) C) 2

D) 3 - E)

05. En un triángulo ABC, obtuso en “A”, se sabe que

AB = 2, BC = + 1 y mËC=18. Calcular la mËB

A) 18 B) 16 C) 24D) 12 E) 30

06. En un exágono regular cuyo lado mide (2+ ) cm

se inscribe un dodecágono regular de maneraque sobre cada lado del exágono, se encuentreun lado del dodecágono. Calcular la longitud dellado del dodecágono

A) cm B) cm C) cm

D) cm E) 2 cm

07. En un triángulo rectángulo ABC recto en B setiene que : AC = 8 m y mËC=9. Calcular la alturaBH

A) - 1 B) 2( -1) C)

D) E)

08. En un decágono regular ABCDE..., la diagonal

AD interseca a los radios en “P” y

“Q”, respectivamente. Calcular AP, si AQ = 4

A) ( - 1)/2 B) ( +1)/2 C) ( -1)/4

D) 3( -1) E) 2( -1)

09. Calcular la base mayor de un trapecio sabiendo

que los otros tres lados miden (3- ) cm y que

uno de sus ángulos mide 36A) 2 cm B) 4 cm C) 6 cm

D) 2( +1) cm E) 4( +1) cm

10. : diámetro, mËPQB = 75; QB = a. Calcular :

PQ.

A) a B) C) a

D) E)

ÁREA DE REGIONES TRIANGULARES

REGIONES POLIGONALESUna región triangular es un conjunto de puntos,reunión de un triángulo y su interior.Una región poligonal es la reunión de un número finitode regiones triangulares que se encuentran en unplano dado, tales que si dos cualesquiera de ellas seintersecan, su intersección es o bien un punto o unsegmento.

Las líneas punteadas en las figuras anteriores indicancómo se podría representar cada una de las dos

regiones poligonales mediante tal reunión. Lasregiones triangulares de cualquier descomposiciónasí se llaman regiones triangulares componentes dela región poligonal.

POSTULADOS

01. Dada una unidad de área, a cada región lecorresponde un número único, llamado área dela región.

02. El área de una región poligonal es la suma delas áreas de cualquier conjunto de regionescomponentes en el cual puede dividirse.

03. Si dos polígonos son congruentes, entonces lasregiones polígonales correspondientes tienen lamisma área.

A continuación se presentan una serie de fórmulaspara calcular el área de diversas regionestriangulares.

FÓRMULA FUNDAMENTAL

FÓRMULA TRIGONOMÉTRICA

FÓRMULA DE HERÓN

Donde “p” es el semiperímetro.

OBSERVACIONES:

a) Para todo triángulo obtusángulo:

b) Para un triángulo rectángulo.

c) Para un triángulo equilátero

FÓRMULAS ADICIONALES

01. En función del inradio


02. En función del circunradio

03. En función del ex-radio


04. En función del inradio y los ex-radios.

Sea “r” la medida del inradio de un triángulo ABCy “ra”, “rb” y “rc” las medidas de sus tres exradios, entonces:

OBSERVACIONES:

01. Dos figuras son equivalentes si tienen formadistinta pero igual tamaño. La siguiente figuramuestra un círculo y una región triangular deigual área, es decir son equivalentes.

02. Para todo triángulo rectángulo

03. Para todo triángulo rectángulo.

04. En todo triángulo:

RELACIÓN ENTRE LAS ÁREAS DE DOSREGIONES TRIANGULARES

01. Si dos triángulos tienen alturas congruentes,entonces la relación entre sus áreas será igual ala relación entre las medidas de sus respectivasbases.

Si : BH=EM 3

CONSECUENCIAS

a) Si en el triángulo ABC se traza la ceviana ,

entonces la relación entre las áreas de lostriángulos ABD y DBC será igual a la relaciónentre “AD” y “DC”.

b) Si en el triángulo ABC se traza la mediana ,

entonces los triángulos ABM y BMC seránequivalentes, es decir, tendrán áreas iguales.

c) Si “G” es el baricentro del triángulo ABC,entonces:

02. Si dos triángulos son semejantes entonces larelación entre sus áreas será igual a la relaciónentre los cuadrados de sus elementoshomólogos.

Si ABC~ MNL, entonces:

Siendo “k” la razón de semejanza

CONSECUENCIA

Si: // y //

3

03. Si dos triángulos tienen ángulos congruentes osuplementarios, entonces la relación entre susáreas será igual a la relación entre los productosde las medidas de los lados que forman dichosángulos.

Si á=â 0

Si è+ù=180 0


01. Se tiene una circunferencia de radio igual a 10,en ella se inscribe un triángulo isósceles, cuyabase mide 16. Calcular el área de la regióntriangular correspondienteA) 16 B) 18 C) 32D) 24 E) 28

02. Dos lados de un triángulo miden a y b. Calcular elárea de la región correspondiente tomándose sumáximo valor

A) ab B) C) (ab)

D) (ab) E) (ab)

03. Se tiene un triángulo rectángulo ABC, seconstruye exteriormente el cuadrado ACDE. H es

la proyección del punto “D” sobre . Si AB= 4 y

BC = 6, calcular S(DEH)A) 10 B) 15 C) 20D) 25 E) 30

04. Se tienen tres circunferencias tangentesexteriores dos a dos, cuyos radios miden r1; r2 yr3. Si :

r1 + r2 + r3 = r1 . r2 . r3 = 6calcular el área de la región triangular cuyosvértices son los centros de las circunferenciasA) 3 B) 4 C) 5D) 6 E) 7

05. En un exágono equiángulo ABCDEF se sabe que BC = 3; DE = 2, EF = 4 y AF = 1. Hallar el área dela región exagonal

A) 14 B) 7 C)

D) 35 E)

06. Según la figura, calcular la razón de las áreas delas regiones sombreadas, si CD=2(AB) y A es

punto de tangencia

A) 1/2 B) 2/3 C) 1/4D) 2/5 E) 1/8

07. La circunferencia inscrita a un ÄABC es tangente

a en M y a en N; las prolongaciones de

se intersecan en “P”. Calcular la

relación de las áreas de los triángulos MPA yPBC, si : AB = 5; BC= 7 y AC = 6A) 2/3 B) 3/4 C) 1/5D) 2/5 E) 3/5

08. En la figura : S1 = 35 m2; S2 = 30 m

2; S3=40

m2. Calcular “Sx”

A) 48 m2B) 52 m2

C) 56 m2

D) 66 m2

E) 70 m2

09. En un ÄABC, recto en B, se trazan las bisectrices

interiores , siendo “I” el incentro de

dicho triángulo. Calcular:

A) 1 B) 2 C) 3D) 4 E) 5

10. De la figura calcular “Sx”, si S1 = 9 y S2 = 4 y AM = MC

A) 15 B) 20 C) 18D) 36 E) 24,5

11. En un triángulo ABC la circunferencia ex-inscrita

es tangente a y a la prolongación de en

M y N respectivamente. Calcular el área de laregión triangular BNM, si: AB=7 u; BC = 8 u y AC= 9 u

A) 2 u2

B) 2,5 u2

C) 3 u2

D) 4 u2

E) 3,5 u2

12. En un triángulo ABC la circunferencia inscrita es

tangente a en M y N respectivamente.

Calcular el área de la región triangular MCN si: AB = 8 u; BC=15 u y AC = 17 u

A) u2

B) u2

C) u2D) u2

E) u2

13. Según el gráfico “T” es punto de tangencia yOT=LE+TB=8 cm. Calcular el área de la regiónsombreada

A) 36 cm2

B) 54 cm2

C) 24 cm2

D) 48 cm2

E) 64 cm2

14. Calcular el área de la región triangularsombreada, si AB = 32 y BC = 18 (P; Q y T sonpuntos de tangencia)

A) 256 u2

B) 224 u2

C) 236 u2

D) 244 u2

E) 212 u2

15. Según la figura mostrada calcular el área de laregión sombreada. Si ED = 10 m y AP=6 m (O :centro del cuadrado ABCD)

A) 45 m2

B) 55 m2

C) 66 m2

D) 75 m2E) 65 m2

16. El área de un triángulo ABC es 72 m2, por el

baricentro “G” se trazan paralelas a ,

que intersectan a en los puntos E y F

respectivamente. Calcular el área de la regióntriangular EGFA) 6 u

2B) 7 u

2C) 8 u

2

D) 9 u2E) 10 u2

17. La circunferencia inscrita a un ÄABC es tangente

a en M y a en N. Las prolongaciones de

se intersecan en P. Calcular la relación

de las áreas de los triángulos MPA y PBC, si AB= 5, BC = 7 y AC = 6A) 2/3 B) 3/4 C) 1/5D) 2/5 E) 3/5

18. Si G es el baricentro del triángulo ABC recto enB, la distancia del baricentro de dichotriángulo a los puntos medios M y N de los

lados miden 5 u y 3 u respectivamente.

Calcular el área de la región triangular AGN

A) 4 u2

B) 3 u2

C) 3 u2

D) 4 u2

E) 5 u2

19. Los lados de un triángulo ABC son 13; 14 y 15 m.Determinar el área de la región triangular donde

sus lados son las medianas del triángulo ABCA) 84/3 m

2B) 63 m

2C) 42 m

2

D) 58 m2 E) 66 m

2

20. En la figura AP.PQ = 16. Calcular Sx

A) 8 B) 4 C) 12D) 16 E) 20

TAREA

01. Los lados de un triángulo miden .

Calcular el área de la región correspondiente

A) B) C)

D) 2 E)

02. Dado un triángulo cuyo inradio mide 4; se sabeque la circunferencia inscrita determina en uno delos lados, segmentos que miden 6 y 8. Calcular elárea de la región correspondienteA) 80 B) 82 C) 84D) 86 E) 88

03. Hallar el área del triángulo TOK, si el área deltriángulo AOB es 6 m

2

A) 4,5 m2B) 5,5 m2

C) 6 m2

D) 3 m2

E) 1,5 m2

04. En un cuadrado ABCD se ubica un punto “M”interior tal que mËAMD=90 y el producto de las áreas de las regiones triangulares AMB y CMD es48 cm

4. Calcular el área de la región triangular

AMD

A) 2 cm2B) 2 cm2

C) 6 cm2

D) 3 cm2E) 4 cm2

05. El exradio relativo al lado de un ÄABC mide

4. Calcular el área del ÄABC, si los segmentosdeterminados por la circunferencia exinscrita

sobre el lado mide 1 y 2

A) 12/5 B) 12/7 C) 15/4D) 18/5 E) 21/8

06. En un rectángulo ABCD se traza una

semicircunferencia inscrita de diámetro y

también otra semicircunferencia de diámetro

las cuales se intersectan en el punto T. En el arco

AT de la mayor se ubica el punto P tal que

intersecta a la menor en R. Si RP = a, calcular S1- 4S2, siendo S1 y S2 área de las regiones BRA yAPD

A) B) C) a2

D) E) 2a2

07. Según el gráfico AM = MB, CN = 3BN = 9 y

. Calcular el área de la región

sombreada

A) 9 B) 12 C) 9

D) 99 E) 18

08. De la figura adjunta, calcular : , si =106;

B y C puntos de tangencia

A) 9/7 B) 25/9 C) 25/16D) 9/16 E) 14/9

09. En la figura AB = 2 y BC = 7. Calcular S(MBO)

A) 1,5 B) 2 C) 2,5D) 3 E) 3,5

10. En un triángulo ABC recto en “B” se traza la

ceviana tal que la mËBPA = 45. Si el área

de la región triangular PIC es 20, “I” es incentrodel triángulo ABC, calcular el área de la regióntriangular, determinada al unir el ortocentro, elincentro y el circuncentro del triángulo ABC

A) 5 B) 5 C) 10

D) 20 E) 10

ÁREA DE REGIONES CUADRANGULARES

REGIÓN CUADRANGULAR

Es una región plana, que está limitada por uncuadrilátero, esta región puede ser convexa o noconvexa.

Cálculo del Área:

ÁREA DE UNA REGIÓN TRAPECIAL

ÁREA DE UNA REGIÓN PARALELOGRÁMICA

Cuadrado Rectángulo

Rombo

ÁREA DE REGIONES CUADRANGULARES(FÓRMULAS)

PROPIEDADES SOBRE ÁREAS DE REGIONESCUADRANGULARES

t MNPQ: ROMBOIDE

t


01. Sobre los lados de un triángulo ABC se

construyen los cuadrados ABFL y BCQR,exteriores al triángulo. Hallar el área de la regióncuadrangular AFRC, siendo AR = 8 u

A) 16 u2B) 18 u2

C) 20 u2

D) 24 u2E) 32 u2

02. Calcular el área del romboide ABCD, si AC=15

A) 36 B) 54 C) 48D) 72 E) 108

03. En el gráfico: ( ); AM = MB; CN= ND; S1 =

4; S2 = 9. Calcular Sx

A) 13 B) 12 C) 16

D) 15 E)

04. Calcular el área de la región rectangular ABCD, si BP = 2 y PD = 1

A) B) 2 C)

D) 4 E) 2

05. En un triángulo ABC de incentro “I”, AB=2u, BC=4 u y AC=3 u. Calcular el área de la región

trapecial AMNC, sabiendo que M 0 ; I 0 MN

y N 0

A) B) C)

D) E)

06. Calcular el área del rectángulo ABCO, si EM= 3 y

EO = 2

A) 6 B) 8 C) 10D) 12 E) 15

07. En un romboide ABCD siendo “O” punto deintersección de las diagonales, si las distancias

de “O” a los lados son 2 u y 3 u

respectivamente y mËABC=135. Calcular el áreade la región ABCD

A) 12 u2

B) 16 u2

C) 18 u2

D) 20 u2

E) 24 u2

08. En una semicircunferencia de diámetro y

centro se ubican los puntos P; Q y R. Calcular el área de la región limitada por el rombo

PQRS tal que QS = 2(SO)=2a, (S 0 )

A) a2

B) a2

C) 2a2

D) 2a2 E) a

2

09. En un rombo ABCD en se ubica el punto

medio M. Las diagonales del rombo intersectan a

en N y Q respectivamente. si : NQ=5 u

y mËBAD=74. Calcular el área de la regiónlimitada por el romboA) 284 u2

B) 216 u2C) 324 u2

D) 356 u2E) 420 u2

10. En los lados de un cuadrado ABCD, se

ubican los puntos E y F respectivamente de modo

que EB=FD=2 y EF= . Calcular el área de la

región cuadrada ABCDA) 25 B) 24 C) 18D) 36 E) 15

11. En un trapecio ABCD AD=4BC, se

inscribe un rectángulo PQRS, tal que : Q 0

, R 0 y “P” con “S” están ubicados en

. Calcular la razón de áreas de las regiones

limitadas por dichos cuadriláteros, si AQ=2QBA) 8/19 B) 7/16 C) 9/1D) 2/3 E) 8/15

12. Calcular Q/P, , ABCD: romboide y

AE=EM=MD

A) 2 B) 3 C) 5/3D) 4/1 E) 7/3

13. En un trapecio isósceles ABCD se

traza (H 0 ). Calcular el área de la

región trapecial ABCD, si AC = 6 u y BH = 2 u

A) 8 u2

B) 6 u

2C) 5 u

2

D) 8 u2

E) 12 u2

14. En un cuadrilátero convexo, ABCD, M; N; Q y R son puntos medios de

respectivamente, en la prolongación de se

ubica el punto F y la suma de las áreas de lasregiones triangulares RMF y QNF es 10 m

2.

Calcular el área de la región cuadrangular ABCDA) 40 m

2B) 36 m

2C) 20 m

2

D) 25 m2E) 50 m2

15. En un cuadrante AOB de radio 2 en se ubica

el punto “C” de modo que la longitud delsegmento que une los puntos medios de

es igual a . Calcular el área de la

región cuadrangular ACBO

A) 3 B) 2 C) 2

D) E) 2

16. En la figura , r = 6, BC = 7 y CD=13.

Calcular el área de la región cuadrangular ABCD

A) 140 B) 168 C) 136D) 145 E) 196

17. En un romboide ABCD la semicircunferencia de

diámetro pasa por “B” e interseca a en

“P”. Si BP = 8 y PC = 2, calcular el área delromboide ABCDA) 16 B) 20 C) 25D) 30 E) 40

18. Se tiene un cuadrilátero bicéntrico ABCD talque AB = 6; BC = 5 y CD = 9. Calcular la medidadel radio de la circunferencia inscrita

A) 1 B) 2 C) 3

D) 2 E) 3

19. Una circunferencia es tangente a los lados

de un rectángulo ABCD y además

contiene a C, dicha circunferencia intersecta a

en “M”. Calcular el área de la región

cuadrangular ABMD, si AB = 9 u, AD = 8 uA) 8 u

2B) 32 u

2C) 16 u

2

D) 40 u2

E) 24 u2

20. Se tiene un rectángulo ABCD, desde “D” se traza

, luego se traza perpendicular a la

prolongación de . Si BF=6 y DE=4, calcular el

área de la región cuadrangular ABCDA) 10 B) 20 C) 30D) 40 E) 80

TAREA

01. Sobre los lados de un cuadrado se construyen exteriormente triángulos equiláteros. Calcular el

área del cuadrilátero que se forma al unir losvértices libres de los triángulos equiláteros, si ellado del cuadrado mide “b”

A) b2( +1) B) b2

(2 -1) C) 3b2

D) b2(2+ ) E) b2

(4+3 )

02. Se tiene dos circunferencias concéntricas de

centro “O”. Se traza la cuerda que es

tangente a la circunferencia menor, si los radios

intersectan en N y M respectivamente

OA = R y mËAOB=120. Calcular el área de laregión cuadrangular ANMB

A) B) C)

D) E)

03. La circunferencia inscrita en un ÄABC, recto en B,es tangente en P; Q y M a los lados

, respectivamente. Luego se traza

(H 0 ), siendo APHM un rombo.

Calcular la relación entre las áreas de lasregiones ABQM y QMC

A) 1:1 B) 2:1 C) 3:1D) 4:3 E) 5:2

04. Calcular el área del rombo ABCD, si AP = 9 y DP= 13

A) B) 24 C) 3

D) 12 E) 8

05. Calcule el área de la región paralelográmica

BCDK, si SK = KE = 2 y

(T: punto de tangencia).

A) 2(3+ ) B) 3(3+ ) C) 3

D) 4(4 + ) E) 2(2+ )

06. ABCD es un cuadrado cuyo lado mide 8 u, laregión cuadrangular ECGF es de área 4 u

2.

EFGH es un cuadrado donde .

según se muestra la figura. Si BN=NA, AM=MD,determinar EF.

A) B) 2 C) 3

D) 4 E) 2

07. En un cuadrante AOB de radio 2 en se ubica

el punto “C” de modo que la longitud delsegmento que une los puntos medios de

es igual a . Calcular el área de la

región cuadrangular ACBO

A) 3 B) 2 C) 2

D) E) 2

08. El área de la región correspondiente a uncuadrado es 100. En el cuadrado se inscribe unrectángulo, cuya diagonal mide 12. Calcular elárea de la región rectangularA) 10 B) 24 C) 28D) 30 E) 36

09. Calcular el área de la región correspondiente alcuadrado ABCD, si AD = DQ

A) 4S B) 5S C) 6 S

D) 8S(2+ ) E) 12S

10. En la figura: “H” es ortocentro del ÄABC,

y AB = 8. Calcular el área de la región sombreada

A) 64 B) 50 C) 48D) 32 E) 24

ÁREA DE REGIONES CIRCULARES

01. CÍRCULO

El círculo es una porción de plano limitadopor una circunferencia

02. CORONA CIRCULAR

Es aquella parte del círculo mayor, limitada por 2circunferencias concéntricas.Área� = ð(R

2 - r

2) T: Punto de tangencia

03. SECTOR CIRCULAR:

Es aquella porción de círculo limitada por unángulo central y su arco correspondiente.

04. SEGMENTO CIRCULAR:

Es aquella porción de círculo determinada poruna cuerda de dicho círculo.

05. FAJA CIRCULAR:

De la figura adjunta

La región sombreada se denomina faja circularS ÷ Área de la fajaá y â ÷ Medida de los ángulos centralesR: Radio de la À

LÚNULA

Es una región plana no convexa limitada por dosarcos de circunferencia secante.

De la figura adjunta la región sombreadaes una lúnula, limitada por los arcosAMB, ANB

LÚNULAS DE HIPÓCRATES


01. Calcular el área de la región no sombreada si lasombreada es “S”

A) S B) S/2 C) (3/4)SD) S/3 E) 4S/5

02. Según el gráfico, calcular la razón entre el áreadel círculo y el área de la región triangular ADB

A) ð B) 2ð C) 3ðD) ð/2 E) 3ð/4

03. Calcular el área de la hoja circular, si el lado del

cuadrado mide

A) ð B) ð + 3 C) ð +

D) ð - 2 E) 2ð - 1

04. Si PQ=6, calcular el área de la región sombreada (O; O’ y O’’ son centros)

A) 4ð B) 9ð C) 18ðD) 36ð E) 12ð

05. En la figura “T” y “O” son centros; S1=6; S2=11.Calcular Sx

A) 4 B) C) 5

D) 4 E) 3,5

06. El área de una corona circular de 2 m de espesores 32ð. Calcular el radio mayor

A) 4 B) 5 C) 6D) 8 E) 9

07. Calcular el área de una faja circular limitada porel lado de un hexágono regular y el lado de untriángulo equilátero inscritos en la misma

circunferencia de radio

A) ð B) 2ð C) ð/2

D) 3ð E) ð

08. En una circunferencia de radio “R” y centro “O”,se divide en 3 partes iguales por los puntos A, B y

C sobre tomados como diámetro

se construyen 3 circunferencias. Calcular el áreadel rosetón de tres lóbulos que se forma.

A) B)

C) (ð - )R2

D) ð

E) ða2

09. En la figura ABCD es un cuadrado de área “S”,“A” es centro, AC=AE. Calcular el área de la partesombreada

A) S B) S/2 C) S/3D) S/4 E) 2S/3

10. Se tiene dos circunferencias tangentes exteriores

de radios y 3 . Calcular el área de la región

limitada por un triángulo mixtilíneo al trazar latangente exterior común.

A) +11ð B) 13 +ð C) 12

D) E) 24 -11ð

11. Calcular el área de la región sombreada; en elcuadrado de lado a. A, B, O y O’ son centros.

A) B) C)

D) ða2

E) a2/4

12. Siendo diámetros, calcular el área

de la región triangular ABC

A) B) C)

D) S1 - S2 E) 2S1 - S2

13. En la figura la suma de las áreas de las regionessombreada es igual a 40 m

2. Calcular el área del

exágono regular ABCDEF

A) 40 m2 B) 50 m

2 C) 60 m2

D) 70 m2 E) 80 m

2

14. Si : S1=S2, calcular la relación entre a, b, y c

A) a.b = c B) a + c = 2b C) a2 = bc

D) 2c2 = a2

+ b2E) a2

+ b2 = c2

15. Calcular el área de la región sombreada si CDEFes una región cuadrada cuya área es 4

A) ð B) C) ð

D) ð E)

16. Según el gráfico, calcular el área del segmentocircular sombreado si mËPDB=82,5 y AB=12

A) 3(4ð-5 ) B) 2(ð-3) C) 3(ð-3)

D) 2(ð- ) E) 3(3ð-2 )

17. Según la figura N y B son puntos de tangencia, AOCD es un trapecio isósceles donde AD=22 yR=8. Calcular el área de la región sombreada

A) 1016ð/45 B) 1106ð/25 C) 1108ð/45D) 1616ð/45 E) 1621ð/15

18. Según el gráfico AB=4 y =37 (P y Q son

puntos de tangencia). Calcule el área de la regiónsombreada

A) 3ð B) ð C) 3ð/2D) 2ð E) 4ð

19. En la figura mostrada, hallar el área sombreadasi : AOB es un cuadrante de radio “R”, OM=MA yð=3

A) 11R2/20 B) 9R

2/20 C) 7R

2/15

D) 4R2

E) 4R2/13

20. Según el gráfico mËBAC=60 y AM= . Calcular

el área de la región sombreada

A) B) 2ð- C)

D) 3ð- E) ð

TAREA

01. En la figura, calcular el área de la regiónsombreada, si AO1=O1O2=O2C=BC=R

A) B) C)

D) E)

02. Según el gráfico Q dista de . Calcular el

área de la región sombreada (P y O son puntosde tangencia)

A) 36ð B) 20ð C) 24ðD) 18ð E) 16ð

03. En la figura, calcular el área de la región

sombreada, si R=

A) (2+ð) B) (5+2ð) C) (9+2ð)D) (14+ð) E) (9-2ð)

04. Según el gráfico, calcule el área de la región

sombreada si CP= (T, P y Q son puntos de

tangencia)

A) ð B) 3/2ð C) ð/2D) 5ð/2 E) ð/3

05. Calcular el área de la región comprendida entre lacircunferencia inscrita y circunscrita a untriángulo de 30 y 60 cuya hipotenusa mide 2R

A) B) C)

D) E)

06. Del gráfico mostrado ABCD es un cuadrado. Si: S1 + S2 + S3 = 8, calcular: S

A) 16 B) 12 C) 15D) 8 E) 4

07. En la figura mostrada, se muestran lascircunferencias inscrita y circunscrita al triánguloequilátero ABC. Si BC = 12, calcular el área de laregión sombreada.

A) 10ð B) 12ð C) 14ðD) 16ð E) 18ð

08. Calcular el área de la región sombreada si TQ=8; P y Q puntos de tangencia OQ=QP

A) 12(ð-2) B) 15(ð-3) C) 9(ð-30)

D) 4(ð-2) E) 10(ð-2)

09. Del gráfico m =36; m =72 y OD= ,

calcular el área de la región sombreada

A) ð/2 B) C) 3ð

D) 4ð E) 2ð

10. En la figura calcular el área “S” si se conoce elárea “A” (O1 y O son centros de lassemicircunferencias respectivamente)

A) 3A B) 3/2 A C) 2A

D) 4/3 A R) A

GEOMETRÍA DEL ESPACIO : RECTAS - PLANOSÁNGULOS ENTRE RECTAS ALABEADAS

DETERMINACIÓN DE UN PLANOUn plano se determina por :

v 3 puntos no colinealesv 2 rectas paralelasv 2 rectas secantesv Una recta y un punto exterior

POSICIONES RELATIVASConsideremos las posiciones relativas entre :

I. DOS RECTAS :

A. Paralelas .- Son coplanares y no seintersectan :

B. Secantes .- Son coplanares y se

intersectan = {P}

C. Alabeadas .- No son coplanares ni seintersectan

II. DOS PLANOS :Pueden ser :

A. Paralelos .- Si los planos no se intersectan

B. Secantes .- Si se intersectan determinando

una recta

.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

III ENTRE UNA RECTA Y UN PLANO

A. Paralelos .- Si no se intersectan

B. Secantes .- Se intersectan determinando un

punto 1 P = { N}

C. Recta contenida en el plano .- Si dos puntos

de la recta pertenecen al plano d P

RECTA PARALELA A UN PLANOUna recta es paralela a un plano cuando la recta y elplano no tienen ningún punto común. Para que unarecta sea paralela a un plano es condición necesaria ysuficiente que dicha recta, siendo exterior al plano,sea paralela a una recta contenida en el plano.

Si : d P Y

TEOREMA :Si una recta es paralela a un plano, todo plano quepase por la recta y que corte al primero, leintersectará según una recta paralela a la dada

Sea : // P y d Q Y P 1 Q = { }

Luego : //

COROLARIOS

1. Dos planos paralelos determinan sobre dosrectas paralelas segmentos congruentes

2. Toda recta paralela a dos planos que se cortan esparalela a su intersección

// P, Y

TEOREMA DE TALES“Tres o más planos paralelos determinan sobre dos omás rectas secantes o alabeadas segmentosproporcionales”

Sean los planos :P // Q // R

RECTA PERPENDICULAR A UN PLANOPara que una recta sea perpendicular a un plano escondición necesaria y suficiente que dicha recta seaperpendicular a dos rectas secantes del plano

son secantes contenidas

en el plano P

y Y

TEOREMA DE LAS 3 PERPENDICULARES“Si por el pie de una recta perpendicular a un plano setraza una segunda perpendicular a una rectacontenida en el plano, entonces, al unir el pie de estasegunda perpendicular con un punto cualquiera de laprimera, el segmento resultante será perpendicular ala recta contenida en dicho plano”

L : 1era

perpendicular

: 2da perpendicular

: 3era perpendicular

z P y z Y z

ÁNGULO FORMADO POR UNA RECTA Y UNPLANOEl ángulo que forman una recta y un plano se definecomo el ángulo formado por dicha recta y suproyección sobre el plano.

: Es la proyección de L sobre P

ËBAH es el ángulo formado por la recta L y elplano P

ÁNGULO Y DISTANCIA ENTRE 2 RECTASALABEADAS“El ángulo formado por dos rectas alabeadas seconsidera como el ángulo formado por una de lasrectas alabeadas, con una paralela a la otra”Del gráfico :

Si :

“è” ! Es la medida del ángulo formado por las

rectas alabeadas

“La distancia entre dos rectas alabeadas viene a serla longitud del segmento de recta perpendicular adichas rectas alabeadas y limitado por ellas”

Del gráfico :

y

MN : Es la mínima distancia entre las rectas

alabeadas

MÉTODO PARA CALCULAR LA DISTANCIAENTRE 2 RECTAS ALABEADAS

v Es recomendable fijar un plano perpendicular auna de las rectas, el cual es denominado planode proyección

v Luego, las proyecciones de dichas rectas sobredicho plano pueden ser :A. Un punto y una recta, donde dicho punto no

pertenece a la recta

H : Plano de proyección

: Alabeadas

P: Es proyección ortogonal de sobre el plano “H”

: Es proyección ortogonal de sobre el plano “H”

Luego : d : distancia entre y

B. Dos rectas paralelas

H : Plano de proyección

y : Rectas alabeadas


01. Se tiene 8 rectas paralelas en el espacio y 6puntos cada cuatro no coplanares. Calcular elmáximo número de planos que se puedendeterminarA) 96 B) 68 C) 108D) 136 E) 54

02. Se tiene en el espacio 6 puntos; 8 rectasparalelas y 10 rectas secantes. Calcular elmáximo número de planos que se puedendeterminarA) 206 B) 180 C) 201D) 270 E) 281

03. Si una recta es paralela a un plano, entonces escierto que:I. La recta no está contenida en el planoII. La recta es paralela a todas las rectas del

planoIII. Por dicha recta pasan infinitos planos

paralelos al plano dadoA) I B) I y II C) I; II y IIID) I y III E) II y III

04. ¿Cuál de las siguientes proposiciones no esverdadera? A) Todos los planos paralelos a un plano dado

son paralelos entre sí.B) Todos los planos paralelos a una recta son

paralelos entre sí.C) Si un plano interseca a una de tres rectas

paralelas, también interseca a las otras dosD) Si una recta es paralela a un plano la paralela

trazada a dicha recta por un punto del plano,está contenida en el plano.

E) Por cualquier punto exterior de un plano sólopuede trazarse un plano paralelo al primero.

05. La figura que a continuación se presenta es uncubo. ¿Cuál es la medida del ángulo que forman

y ?

A) 90 B) 45 C) 30D) 60 E) 53

06. Indicar verdadero o falso de las siguientesproposiciones :( ) Pueden dos rectas alabeadas pertenecer a

dos planos paralelos( ) Si una recta es paralela a un plano. será

paralela a todas las rectas del plano( ) Si una recta es paralela a uno de dos planos

secantes, entonces, lo será necesariamente alotro

( ) Si una recta es perpendicular a un plano,entonces toda perpendicular a dicha recta (nocontenida en el plano) será paralela a dichoplano

( ) Dos rectas son paralelas entre sí y

paralelas a un plano Q, entonces el plano quelas contiene será paralelo siempre a Q

A) VFFFV B) VFFVF C) VFFVVD) VVFVV E) VFFFF

07. ¿Cuál de las siguientes afirmaciones no es falsa?

A) Dos rectas perpendiculares a una mismarecta son paralelas entre sí

B) Una recta y un plano exterior, perpendicularesa una misma recta son paralelas entre sí

C) Por un punto de un plano solo puede pasar unplano que le sea perpendicular

D) Todos los planos paralelos a una recta sonparalelos entre sí

E) Si una recta es perpendicular a una rectacontenida en un plano todo plano que pasepor la primera recta será perpendicular alplano

08. Responder verdadero (V) o falso (F)( ) Si una recta forma un ángulo recto con una de

tres rectas paralelas también lo formará conlas otras dos

( ) Por un punto exterior a dos rectas alabeadassiempre se puede trazar una perpendicular adichas rectas

( ) Si los planos en que se encuentran dos rectasalabeadas no son secantes, entonces ladistancia entre ellas es perpendicular a ambosplanos

A) VFV B) FFV C) FVFD) FFF E) VVV

09. ¿Cuál de las siguientes afirmaciones no es falsa?A) Por un punto exterior a un plano pasa un solo

plano no perpendicular a élB) Dos rectas que forman ángulos iguales con un

plano, son paralelos entre síC) Dos rectas paralelas a un plano son paralelas

entre síD) En el espacio, dos rectas perpendiculares a

una tercera son paralelas entre síE) Ninguna anterior

10. Se tiene un triángulo rectángulo ABC, recto en “B”

por “A” se levanta la perpendicular al plano

del triángulo ABC y luego se trazan

perpendiculares a (“P” y “Q” en ). Si :

MQ=6 y PC=8, calcular : AC/MB

A) 10 B) 4/3 C)

D) E)

11. Dos puntos A y B, situados a uno y otro lado deun plano X distan de dicho plano 6 y 9. Si la

proyección de sobre el plano mide 30°,

calcular la distancia entre los puntos “A” y “B”

A) 15 B) 15 C) 12

D) 12 E) 12

12. Se tiene un plano “P” en el cual se halla uncírculo de radio 5,5 y en el espacio el punto “A”cuya distancia al plano es 12. Si la mínimadistancia de “A” a la circunferencia es 13, calcularla máxima distancia de “A” a la circunferenciaA) 15 B) 16 C) 18D) 20 E) 25

13. La diferencia entre las proyecciones de un

segmento de recta sobre un plano “P” y sobre

una recta perpendicular al plano es igual a 7 cm.

Si el segmento mide un centímetro más que

su proyección sobre “P”, calcular la medida del

segmento

A) 13 B) 5 C) 10

D) 10 E) 12

14. En la figura el plano R es paralelo al plano S; AM = MB y “G” es baricentro del triánguloABC. Calcular : PG/GQ

A) 1/2 B) 1/3 C) 1/4D) 1 E) 1/6

15. Uno de los catetos de un triángulo isósceles estácontenido en un plano “P” y el otro forma condicho plano un ángulo de 45°. Calcular el ánguloque forma su hipotenusa con el plano “P”A) 45° B) 30° C) 60°

D) ArcSen E) ArcCos

16. Por el extremo “A” del diámetro de una

circunferencia se levanta una perpendicular alplano del círculo, sobre esta pependicular setoma un punto “M” y se une “B” con un punto “C”de la circunferencia. Calcular MC, si MB = 26 yBC = 14

A) 2 B) 4 C) 4

D) 18 E) 20

17. Los puntos A y B se encuentran a 8 y 4 cmencima de un plano horizontal, además la

proyección de sobre el plano mide 9 cm.

Calcular la longitud del menor camino de “A” a“B” pasando por un punto del plano.A) 13 B) 15 C) 17D) 21 E) 14

18. Dado un triángulo ABC, equilátero, se traza ,

perpendicular al plano del triángulo. Si AE=BC,calcular la medida del ángulo con que se cruzan

A) 75 B) 90 C) 120

D) 150 E) ArcCos

19. Se tiene un plano P y un punto exterior “S”, desde

el cual se trazan las oblicuas , que

forman con “P” ángulos que miden 30; 45 y 53respectivamente. Si A, B y C se encuentran en elplano, y SB=8, calcular SA+SC

A) 8 B) 12 C) 11

D) 10 E) 13

20. Dado un cuadrado ABCD, por “M” punto medio de

se levanta perpendicular al plano del

cuadrado tal que AB=PM=3. Se une “P” con “D”

de modo que interseca en “E” al plano que

pasa por y es perpendicular al plano del

cuadrado. Calcular el área de la región triangularCED

A) B) 2 C) 3

D) /2 E) 2

TAREA

01. Se tienen los segmentos alabeados y

perpendiculares tal que AB=12 y CD=16.Calcular la medida del segmento que une los

puntos medios de

A) 5 B) 12 C) 15

D) 10 E) 13

02. La hipotenusa de un triángulo rectángulo BVC,

mide BC = 13. Por “V” se traza , perpendicular

al plano BVC, de modo que AB=9 y AC=10. Si

“M” es punto medio de , calcular la mËVMB

A) 30 B) 45 C) 60D) 75 E) 53

03. De las siguientes afirmaciones cuántas sonincorrectas :( ) Dos rectas en el espacio determinan un plano

siempre( ) Dos planos al intersecarse pueden determinar

un solo punto( ) La intersección de tres planos es

necesariamente una recta( ) La proyección de un triángulo sobre un plano

es siempre un triángulo( ) Las rectas alabeadas pertenecen a un mismo

planoA) 2 B) 3 C) 4D) 5 E) 1

04. En un triángulo ABC, BC=6 y AC2+AB

2=68. Por

“A” pasa un plano tal que la perpendicular trazada

del punto medio de al plano mide 3. Calcular

la distancia del vértice “A” al pie de laperpendicularA) 3 B) 4 C) 5

D) 6 E) 3

05. Por el vértice A de un triángulo ABC, se levanta la

perpendicular al plano del triángulo. Se

trazan . Si MQ = 5; PB = 6;

MP=4 y mËBMC=30, calcular SBMC

A) 15 B) 20 C) 30D) 40 E) 18

06. De las siguientes afirmaciones cuántas sonincorrectas: ( ) Dos rectas en el espacio determinan un plano

siempre.( ) Dos planos al intersecarse pueden determinar

un solo punto.( ) La intersección de tres planos es

necesariamente una recta.( ) La proyección de un triángulo sobre un plano

es siempre un triángulo.( ) Las rectas alabeadas pertenecen a un mismo

plano.A) 2 B) 3 C) 4D) 5 E)1

07. Por el centro “O” de un cuadrado ABCD se

levanta la perpendicular a su plano. Calcular

la distancia desde “A” al plano SCD; OS = 4 y AB= 6

A) B) C) 4,8

D) 2,4 E) 3

08. El radio de la circunferencia circunscrita a un

triángulo equilátero ABC mide . Por B se

levanta perpendicular al plano del triángulo.

Si BE = 1, calcular el área de la región triangularAEC

A) /4 B) /2 C)

D) 4 /3 E) 4

09. Determinar el lugar geométrico de los pies de lasperpendiculares trazadas desde un punto delespacio a las rectas que se encuentran en unplano dado y que concurren en un puntoA) Triángulo equilátero B) Un círculoC) Una circunferencia D) Una cuadradoE) Una elipse

10. Se tiene dos rectas alabaeadas , es

la mínima distancia entre ambas (“M” en y

“N” en ) . Sobre se toma un punto “P” y

sobre un punto “Q”. ¿Qué ángulo forman las

dos rectas si mËMPN=45, y mËNPQ=45 ymËMPQ=60?A) 30 B) 37 C) 45D) 60 E) 90

DIEDROS - DISTANCIA ENTRE RECTAS ALABEADAS

ÁNGULO DIEDRO

DEFINICIÓN: Un ángulo diedro es aquella figurageométrica formada por dos semiplanos que tienen unarecta en común. A dicha recta se le denomina arista ya los semiplanos se les denomina caras

ÁNGULO PLANO O RECTILÍNEO DE UN ÁNGULODIEDRO: Es aquel ángulo cuyo vértice es un puntocualquiera de la arista y sus lados son perpendicularesa dicha arista y se encuentran en las caras del ángulodiedro. Un ángulo diedro será agudo, recto u obtusosegún como sea su ángulo plano. ELEMENTOS:

Caras: P y Q

Aristas: ABÁngulo plano: è

NOTACIÓN

Diedro PABQ ó diedro AB

TEOREMA: Si desde un punto interior a un ángulodiedro se trazan dos rayos perpendiculares a las caras,se cumplirá que el ángulo formado y el ángulo diedroson suplementarios.

Si : z plano P

z planto Q

Entonces :x + y = 180

DEMOSTRACIÓN

Por el teorema de las tres perpendiculares.

y Y

y Y

En el cuadrilátero ANBO

x + y =180°

PLANOS PERPENDICULARESDos planos son perpendiculares si son secantes y

forman cuatro ángulos diedros iguales.

En la figura, los planos P y Q son perpendiculares.

TEOREMASi una recta es perpendicular a un plano, entonces todoplano que la contiene será perpendicular al primerplano

En la figura si la recta L es perpendicular al plano Pentonces se podrá afirmar que el plano Q esperpendicular al plano P.

PLANO BISECTOR DE UN ÁNGULO DIEDRO

Es aquel plano que contiene a la arista del ángulodiedro y determina dos ángulos diedros de igualmedida.

En la figura el plano R es el plano bisector del ángulodiedro PABQ


01. Indicar con (V) lo verdadero y con (F) lo falso, enlas siguientes proposiciones :( ) Si dos planos son perpendiculares toda recta

incluida en uno de ellos será perpendicular alotro

( ) Si una región es perpendicular a un plano,dicha región no tiene proyección sobre elplano dado

( ) Si dos rectas son alabeadas, todo plano quecontiene a una de dichas rectas será paralelaal otro

A) VVV B) FFF C) FVFD) VFV E) FFV

02. De las siguientes proposiciones indicarverdadero (V) o falso (F):( ) Las proyecciones de dos rectas alabeadas

sobre un plano pueden ser paralelas( ) Todo plano perpendicular a la arista de un

diedro es perpendicular a las caras del diedro( ) Si una recta es perpendicular a una de las

caras de un diedro y paralela a la otra caraentonces la medida del diedro es 90

A) FVV B) VFV C) FFFD) VVF E) VVV

03. Se tiene un diedro MN que mide 60 y un punto F

situado en su plano bisector. Si F dista de 10

u, calcular la distancia de F a las caras del diedro

A) 3 B) 4 C) 5

D) 10 E) 5

04. Los cuadrados ABCD y CDEF están ubicados enplanos perpendiculares. Calcular la medida del

ángulo que determinan los segmentos y

A) 30 B) 45 C) 60

D) 75 E) 90

05. Dos regiones rectangulares congruentes ABCD yABC´D´ forman un ángulo diedro que mide 60. Si AD=2AB, calcule la medida del ángulo que

determinan las diagonales y

A) ArcCos(-1/5) B) ArcCos(-2/5)C) ArcCos(3/5) D) 30E) 45

06. Una placa cuadrada ABCD está doblada por la

diagonal de forma que el plano ABC es

perpendicular al plano ACD, P 0 . Si 3CP =

PA. entonces el ángulo formado por y

mide:

A) ArcCos B) ArcCos C) ArcCos

D) ArcCos E) ArcCos

07. Las rectas L1 y L2 se cruzan ortogonalmente

es perpendicular común entre ambas, 0 L1,

0 L2, y M es punto medio de . Si PA2 +

AB2 + BQ

2 = 32; calcular : AM

A) 4 B) 2 C) 6

D) 2 E) 8

08. En la figura P y Q son 2 planos perpendiculares,

es un segmento tal que M 0 P y N 0 Q, si

MN=L, la medida del ángulo entre y P es

Igual a 30 y la medida del ángulo entre y Q

es Igual a 45. Calcular la distancia entre y

.

A) B) C)

D) E)

09. Un segmento es secante a un plano P (A 0

P), se ubican los puntos C y D en P. Si zP;

z , mËBAD=mËDAC=45 y la medida del

segmento es L, entonces la distancia entre

y es:

A) L B) L C) L

D) L E) L

10. Se tiene una región cuadrada ABCD y una regióntriangular equilátera ABE, cuyos planos que loscontienen son perpendiculares. Si AB = a,

entonces la distancia entre y es:

A) a B) a C) a

D) a E) a

11. Los cuadrados ABCD y ADEF están contenidosen dos planos perpendiculares, tal que AB=2.

Calcular la menor distancia entre y

A) 2 B) C)

D) E) 1

12. Sobre las caras P y Q de un ángulo diedro recto,se ubican los puntos A y B, tal que AB=10 . Elsegmento AB forma con las caras P y Q ángulosque miden 37 y 30 respectivamente. Calcular lamenor distancia entre la recta AB y la arista delángulo diedro.

A) 20/ B) 30/ C) 16/

D) 18/ E) 10/

13. Se tienen los cuadrados ABCD y ABEF ubicadosen planos perpendiculares y cuyos centros sonlos puntos P y Q respectivamente, calcular la

distancia entre si AB = 4 m.

A) m B) 2 m C) 3 m

D) /2 m E) /4 m

14. En la figura mostrada la arista del cubo mide “k”.

Calcular la mínima distancia entre

A) B) 3 k C) 5 k

D) /3 k E) /4 k

15. La circunferencia de centro O y el cuadradoABCD, están contenidos en planos

perpendiculares, siendo una cuerda de dicha

circunferencia. Se ubica el punto M en , tal

que 3DM = 5MC, AB = 40 y OA = 25. Calcular la

distancia de M a

A) 40 B) 41 C) 42D) 43 E) 44

16. Se tiene un triángulo rectángulo ABC (recto en B),por el circuncentro “O” de dicho triángulo se traza

perpendicular al plano del triángulo (OP = 4

u). Calcular la mínima distancia entre y

, si BC = 4 u

A) B) C)

D) E)

17. Se tiene un cuadrado ABCD y un triánguloequilátero ABP ubicados en planosperpendiculares. Calcular la medida del ángulodiedro que forman los planos de los triángulos

AMD y MBC, siendo “M” el punto medio de

A) 45 B) 60 C) 75D) 90 E) 110

18. Se tiene un cuadrante AOB (AO=OB=2 ) y un

triangulo equilátero OBC ubicados en planos

perpendiculares, calcular la distancia entre y

la proyectante de C sobre el plano del

cuadrante (P 0 AB) sabiendo que m = 37

A) 3 B) 6 C) 9D) 4 E) 2

19. Dado un cuadrante AOB de radio r se ubica unpunto P exterior, de modo que los triángulos OPAy OPB son equiláteros, calcular la mínima

distancia entre

A) r B) r /2 C) r/2

D) r E) r /2

20. Según la figura, calcular el área de la regiónsombreada si el semicírculo y el rectánguloABCD se encuentran en planos perpendiculares,AB=2BC y MN=MO

A) B)

C) D)

E)

TAREA

01. Sea perpendicular a un plano que

contiene al ÄABC. Si AB=15, AC=14, BC=13 yBD=12, entonces la medida del ángulo diedro quedeterminan los planos ADC y ABC es:A) 15 B) 30 C) 45D) 60 E) 75

02. En un ÄABC equilátero la medida de su lado es L,

considerando el lado como eje de giro se

rota el triángulo ABC hasta que el vértice Balcance la posición B1, tal que él ángulo diedroque forman los planos que contienen a los

triángulos ABC y AB1C es recto. Si es la

altura, entonces la distancia entre los baricentrosde las regiones triangulares BHC y CHB1 es:

A) L B) L C) L

D) L E) L

03. Una placa de forma rectangular ABCD, tal que:

2AB=AD=2a, se dobla según la diagonal ,

determinando un ángulo diedro recto. Calcular ladistancia entre las rectas AC y BD.

A) a B) a C) a

D) a E) a

04. ABCDEF y ABGHIJ son 2 regiones hexagonalesregulares que determinan un ángulo diedro recto.

Si AB=a, entonces mide:

A) B) C)

D) E)

05. Dos regiones limitadas por los triángulosequiláteros ABC y ABE determinan un ángulo

diedro. Si AB=2 y CE= ; entonces la

medida del ángulo diedro AB es:A) 60 B)18 C) 45 D) 30 E) 36

06. Por el centro I de un triángulo rectángulo ABC

recto en B, se traza perpendicular al plano

del triángulo tal que el área de la región MBC es30 cm

2, dicha región forma con el plano del

triángulo un diedro de 53° y la mËBCA=37,calcular AM.

A) B) C) 6,5

D) 7,5 E) 2

07. Se tiene un trapecio isósceles ABCD ( );

donde AB=BC=2m con centro en A se traza elcuadrante BAN de tal manera que el plano que locontiene sea perpendicular al plano que contiene

al trapecio. Calcular la distancia entre

A) 2 /7 B) /7 C) 2 /5

D) 2 /6 E) /5

08. Un cuadrado ABCD y un triángulo equilátero AEBestán contenidos en planos perpendiculares. Se

ubican los puntos medios M y N de

respectivamente. Calcular la distancia del punto

C al punto medio del segmento si AB=6.

A) 2 B) 3 C) 6D) 8 E) 9

09. Se tiene un cuadrado ABCD cuyo lado mide 4 u,

con diámetro se traza una semicircunferencia

perpendicular al plano del cuadrado y se traza la

cuerda de longitud igual a 2 u ( // )

Calcular la menor distancia entre y

A) B) C)

D) E)

10. Dado un triángulo ABC se traza la altura

(AB=BC=5) y perpendicular al plano que contienea dicho triángulo se traza el cuadrado BHPQ.Si AC=6 m, calcular el área de la región triangularAPQA) 2 m

2B) 6 m

2C) 10 m

2

D) 12 m2

E) 16 m2

ÁNGULOS POLIEDROS - ÁNGULOS TRIEDROS -POLIEDROS

ÁNGULOS POLIEDROSUn ángulo poliedro es una figura geométrica formadapor infinitos rayos que tienen el origen común y

contienen a los puntos de un polígono que está en unplano que no contiene a dicho origen.Vértice : Es el origen común “O”

Aristas : Son los rayos que pasan por los vértices delpolígono : OA, OB, OC, ........Caras : Son las regiones angulares formadas por dosaristas consecutivas : a, b, c, d, .............Diedros : Son los ángulos diedros formados por doscaras consecutivas : x, y, z, w, ..........

CLASIFICACIÓNLos ángulos poliedros se clasifican de acuerdo a sunúmero de caras de la siguiente manera:* ÁNGULO TRIEDRO : Si tiene 3 caras* ÁNGULO TETRAEDRO : Si tiene 4 caras* ÁNGULO PENTAEDRO : Si tiene 5 caras

TEOREMAEn todo ángulo poliedro la suma de las medidas detodas las caras es mayor que 0° y menor que 360°

ÁNGULO TRIEDROEs aquel ángulo poliedro que tiene 3 caras.

Vértice : O

Aristas : , y

Caras : a, b, cDiedros : x, y, z

PROPIEDADES1. En todo ángulo triedro se cumple que la suma de

las tres caras es mayor que 0° y menor que 360°

0° < a + b + c < 360°

2. En todo ángulo triedro se cumple que una cara esmenor que la suma y mayor que la diferencia de

las otras dos.

b - c < a < b + c

3. En todo ángulo triedro se cumple que la suma delos tres diedros es mayor que 180° y menor que540°.

180° < x + y + z < 540°

4. En todo ángulo triedro se cumple que a carasiguales se oponen diedros iguales.

Si a = b entonces x = y

CLASIFICACIÓN DE ÁNGULOS TRIEDROS

1. TRIEDRO ESCALENO. Si sus tres caras sondiferentes.

2. TRIEDRO ISÓSCELES. Si dos de sus caras soniguales.

3. TRIEDRO EQUILÁTERO. Si sus tres caras soniguales.

4. TRIEDRO RECTÁNGULO. Si una de sus carasmide 90°.

5. TRIEDRO BIRRECTÁNGULO. Si dos de suscaras miden 90°.

6. TRIEDRO TRIRRECTÁNGULO. Si sus tres carasmiden 90°. Sus tres diedros también miden 90°.

PROPIEDADES EN EL TRIEDROTRIRRECTÁNGULO1. En todo triedro trirrectángulo se cumple que la

proyección del vértice sobre un plano secante alas aristas coincide con el ortocentro de lasección determinada por dicho plano.

En la figura “H” es el ortocentro del triángulo ABCy además es la proyección del vértice “O” sobreel plano ABC

Demostración

Por el teorema de las tres perpendiculares se puedeafirmar que:

z y z Y z

z y z Y z

Además se tiene que:

z plano AON Y z ......... (1)

z plano COM Y z ......... (2)

de (1) y (2) se concluye que z plano ABC

Luego : “H” es la proyección de “O” “H” es el ortocentro del ÄABC

2. En todo triedro trirrectángulo se cumple que lainversa del cuadrado de la distancia del vérticehacia un plano secante a las aristas, es igual a lasuma de las inversas de los cuadrados de lasdistancias del vértice hacia los puntos deintersección de las aristas con dicho plano.

Demostración

BOC : .................. (1)

AOM : .................. (2)

Reemplazando (2) en (1) :

�

3. En todo triedro trirrectángulo se cumple que altrazar un plano secante a las aristas, el área deuna región triangular determinado en una cara, esmedia proporcional entre el área de su proyecciónsobre dicho plano y el área de la seccióndeterminada por el plano.

Demostración:Área (ÄBHC) = Área (ÄBOC).Cos èÁrea (ÄBOC) = Área (ÄABC).Cos è

Luego:[Área (ÄBOC)]

2 = Área (ÄBHC). Área (ÄABC)

4. En todo triedro trirectángulo se cumple que altrazar un plano secante a las aristas, el cuadradodel área de la sección determinada, es igual a lasuma de los cuadrados de las áreas de lasregiones triangulares determinadas en las caras.

Demostración:

Aplicando la propiedad número 3

Área2 (ÄBOC) = Área (ÄABC) . Área (ÄBHC)

Área2 (ÄAOB) = Área (ÄABC) . Área (ÄAHB)

Área2 (ÄAOC) = Área (ÄABC) . Área (ÄAHC)

Si sumamos miembro a miembro quedarádemostrado la propiedad.

POLIEDROSUn poliedro es una figura geométrica formada porcuatro o más regiones poligonales no coplanares, detal manera que entre dos regiones adyacentes ocontiguas existe una arista común.La diagonal de un poliedro es aquel segmento queune dos vértices que no pertenecen a una mismacara.Un poliedro se denomina convexo si sólo tiene dos

puntos en común con cualquier recta secante

Caras : ABCD, BCGF, ................Aristas : AB, BC, CD, ..................Vértices : A, B, C, ........................Diagonales : BH, DF, AG, ............

CLASIFICACIÓN DE LOS POLIEDROSLos poliedros se clasifican de acuerdo al número decaras, de la siguiente manera :

POLIEDRO N° CARAS

Tetraedro 4

Pentaedro 5

Exaedro 6

Heptaedro 7

Octaedro 8

Nonaedro 9

Decaedro 10

Endecaedro 11

Dodecaedro 12

Pentadecaedro 15

Icosaedro 20

PROPIEDADES

1. TEOREMA DE EULER :En todo poliedro se cumple que la suma entre losnúmeros de vértices y caras es igual al númerode aristas aumentado en dos

V + C = A + 2

Donde :V = Número de vérticesC = Número de carasA = Número de aristas

2. En todo polígono se cumple que la suma de lasmedidas de los ángulos internos de todas lascaras es igual a 360° multiplicado por el númerode vértices menos dos

3 Ë i = 360° (V - 2)

Donde : V = Número de vértices

3. El número de diagonales de un poliedro sedetermina mediante la siguiente fórmula

Donde :V = Número de vérticesA = Número de aristas

D.C = Número de diagonales de todas las caras


01. Dos caras de un triedro miden 150 y 170.Entonces, la mayor medida entera de la terceracara es:

A) 39 B) 21 C) 30D) 25 E) 38

02. En un triedro OABC, las caras BOC y AOB miden 179 y 79, respectivamente. Si la medida dela cara AOC es un número entero, entonces lamedida de dicha cara es:A) 100 B) 101 C) 102D) 103 E) 104

03. OABC es un triedro isósceles (OB=OC). Si OAmide 45 entonces entre qué valores puede estarla medida del diedro OB.A) 68 < è < 112 B) 67 < è < 110C) 67,5 < è < 100 D) 67,5 < è <

112E) 67,5 < è < 112,5

04. En un triedro OABC donde las caras AOB y BOCmiden 26,5 y el diedro OB mide 90, calcular lamedida de la cara AOC.A) 30 B)37 C)53D) 60 E) 45

05. En un triedro trirrectángulo OXYZ:- En la cara OXZ se ubica A que dista de OZ y

de OX, 4 y 6 respectivamente.- En la cara XOY se ubica B que dista de OX y

de OY, 3 y 6 respectivamente- En la cara ZOY se ubica C que dista de OZ y

OY, 6 y 2 respectivamente.Si el plano ABC intersecta al eje OY en el punto

P, entonces la medida de es:

A) 6 B) 6,5 C) 7D) 7,5 E) 8

06. Indicar en las siguientes proposiciones, cuálesson verdaderas (V) y falsas (F):( ) En todo poliedro se cumple que el número de

caras más el número de vértices es igual alnumero de aristas más dos.

( ) Una superficie poliédrica está determinadapor cuatro o más regiones poligonales planas.

( ) Si a un poliedro se traza una recta secante y ésta, sólo determina dos puntos de intersección, el poliedro será denominadoconvexo.

A) VFV B) VFF C) FFFD) FVF E) FVV

07. Se tiene un poliedro convexo que está formadopor “x” triángulos, 4 cuadriláteros y “z”pentágonos. Si además se sabe que la suma delas medidas de los ángulos de todas las caras es4680, calcular :

(“z” - “x”); (z > x)A) 1 B) 3 C) 4D) 2 E) 5

08. En un poliedro de seis caras y doce aristas,calcular la suma de las medidas de los ángulosde todas las caras A) 2 520 B) 1 800 C) 3 600D) 2 160 E) 1 440

09. El número de caras más el número de vérticesmás el número de aristas y más el número deángulos rectos a que equivale la suma de lasmedidas de las caras de todos los ángulossólidos de un poliedro convexo excede en 14 aldoble de la suma del número de aristas yvértices. Calcular el número de vértices

A) 8 B) 9 C) 10D) 11 E) 12

10. Un poliedro de 29 vértices está formado por 6triángulos, 18 cuadriláteros y “n” pentágonos.Calcular su número de aristasA) 35 B) 45 C) 55D) 65 E) 75

11. En las aristas OA, OB y OC de un ángulo triedroOABC se ubican los puntos M, N y Trespectivamente. Calcular la medida del diedroOA si las caras AOB y AOC miden 90, mËOMN

= 45; mËNMT = 18,5 y

A) 30 B) 60 C) 45D) 26,5 E) 18,5

12. Calcular la medida del mayor ángulo diedro de unángulo triedro en el cual dos de sus caras miden53 y la tercera 74A) 60 B) 37 C) ArcCtg(3/5)

D) ArcSen(3/4) E) ArcSen

13. En un ángulo triedro OABC los ángulos diedrosOB y OC miden 127 y 173. Si la medida deldiedro OA es entero y menor que 122, calcule sumedidaA) 120 B) 110 C) 115D) 90 E) 121

14. En un triedro OABC si OA=BC; OB=AC yOC=AB, calcular la suma de las medidas de lascaras del triedro.A) 60 B) 120 C) 180D) 270 E) 90

15. Se tiene un ángulo triedro equilátero S-ABC,cuyas caras miden 30. Entonces la medida deuno de sus ángulos diedros es :

A) ArcCos(2 +3) B) ArcCos(3 )

C) ArcCos( -1)

D) ArcCos(2 +2)

E) ArcCos(2 -3)

16. En el ángulo triedro O-ABC, mËBOC=60 y los

ángulos diedros OB y OC miden : ArcCtg .

Calcule la medida del ángulo que forma OA conla cara BOCA) 45 B) 60 C) ArcCtg(1/2)

D) ArcCtg( /3) E) ArcCtg(2 )

17. Se tiene un poliedro convexo que está limitadopor cierto número de regiones triangulares ycuadrangulares, y además por tres regioneshexagonales. Si el número de aristas y el númerode vértices de este poliedro son respectivamente25 y 15, calcular el número de regionestriangulares que limitan a este poliedro A) 1 B) 2 C) 3D) 4 E) 5

18. El número de caras, más el número de vérticesmás el número de aristas de un poliedro es 98.Calcular cuántas caras tiene, sabiendo que lasuma de las medidas de los ángulos de sus carases 7 200A) 14 B) 18 C) 24D) 28 E) 32

19. La diferencia entre la suma de las medidas de losángulos de todas las caras de dos poliedros A y Bes 2 880. Si la diferencia entre el número decaras es 18, hallar la diferencia entre el númerode aristas A) 13 B) 18 C) 26D) 30 E) 34

20. En un tetraedro, dos aristas opuestas miden 6 y 8 m respectivamente. Calcular la suma de lasmedidas de todas las aristas del tetraedro,sabiendo que sus aristas son tangentes a unaesfera.A) 42 B) 28 C) 32D) 56 E) 47

TAREA

01. Un plano intersecta a las aristas de un ángulotriedro O en los puntos A, B y C de modo que :mËAOB=mËCOB = 60 y mËAOC = mËABC =90. Si OA+OC=m, calcule OBA) m/7 B) m/6 C) m/5D) m/2 E) m/3

02. En un triedro OABC los diedros y miden

cada uno 164. Calcular la medida del diedro ,

si ésta es menor que 150.A) 130 B) 128 C) 138D) 149 E) 141

03. En un triedro O-ABC los diedros y miden

60 cada uno y a= 60. Calcular la medida delángulo AOC.A) ArcCos(2/7) B)

ArcCos( /7)

C) ArcCos(1/8) D) ArcCos(1/6)E) ArcCos(2/9)

04. Se tiene un triedro O-ABC en el cual c = a = 45 yCosá=3/5 (á es la medida del ángulo AOC).

Calcular la medida del ángulo que forma con

el plano que contiene a los puntos A, O y C.

A) 37 B) 15 C) 16

D) ArcCos E)

ArcCos

05. Sea el ángulo triedro O-ABC, las caras AOB yBOC miden 45, la semicircunferencia de

diámetro (E 0 ) intersecta a en el

punto A. Si OC=15, EC=5 y AE=4, calcular la

medida del diedro .

A) 30 B) 26,5 C) 18,5

D) ArcSen( /2) E) ArcTg(2 )

06. Determinar el número de caras de un poliedrosabiendo que la suma de las medidas de losángulos internos de todas sus caras es igual a 7200 y la suma entre el número de caras, elnúmero de vértices y el número de aristas esigual a 98.A) 16 B) 20 C) 28D) 30 E) 32

07. Un poliedro está formado por 3 regionescuadrangulares, 5 pentagonales y x triangulares. Calcular x, sabiendo que la suma de las medidasde los ángulos de todas las caras es 4 320.A) 1 B) 2 C) 3D) 4 E) 5

08. Un poliedro convexo, está conformado porpolígonos de cinco diagonales; si las caras fuerantriangulares se necesitarán 40 caras más, paraque el número de aristas no varíe. ¿Cuántascaras tiene el sólido inicial?

A) 80 B) 65 C) 60D) 45 E) 50

09. Calcular el número de aristas de aquel poliedroconvexo cuyo número de caras es igual alnúmero de vértices, además la suma de lasmedidas de los ángulos de todas sus caras, es de1 440A) 8 B) 9 C) 10D) 12 E) 4

10. ¿Cuántas diagonales tiene aquel poliedroformado por 6 cuadriláteros y 8 triángulos?A) 36 B) 26 C) 24D) 48 E) 30

POLIEDROS REGULARES

Un poliedro regular es aquel cuyas caras sonpolígonos regulares congruentes, de tal manera queen cada vértice concurren el mismo número de caras.Existen solamente cinco poliedros regulares, loscuales son :

A. TETRAEDRO REGULAR :Está formado por cuatro triángulos regulares. Encada vértice concurren tres caras

V = 4C = 4A = 6

B. EXAEDRO REGULAR :Está formado por seis cuadrados. En cada vérticeconcurren tres caras

V = 8C = 6A = 12

C. OCTAEDRO REGULAR :Está formado por ocho triángulos regulares. Encada vértice concurren cuatro caras

V = 6C = 8A = 12

D. DODECAEDRO REGULAR :Está formado por doce pentágonos regulares. Encada vértice concurren tres caras

V = 20C = 12A = 30

E. ICOSAEDRO REGULAR :Está formado por veinte triángulos regulares. Encada vértice concurren cinco caras

V = 12C = 20A = 30


01. De las proposiciones señale verdadero (V) o falso(F):( ) Si por un vértice de un poliedro regular pasan

5 de sus caras, entonces el poliedro es unicosaedro regular.

( ) El poliedro que se forma al unir los centros delas caras de un exaedro es un octaedroregular.

( ) Si el poliedro regular tiene 30 aristas,entonces puede ser un dodecaedro regular.

A) VVV B) VVF C) VFVD) FVV E) FFF

02. En un tetraedro regular cuya arista es de longitud

3 calcular la distancia del baricentro de una

cara al plano de cualquier otra cara.

A) 1 B) 2 C)

D) 2 E)

03. En un tetraedro regular ABCD la distancia del

centro de la cara BCD hacia es 2 , calcular

el volumen de dicho sólido.

A) 9 B) 12 C) 15

D) 18 E) 16

04. ABCD-EFGH es un hexaedro regular, se ubicanlos puntos medios M y N de las aristas HG y FG

respectivamente. Si P es punto medio de y

AB=1 u, entonces la longitud del segmento PA es:

A) /4 B) /4 C) /4

D) /4 E) /4

05. En el cubo ABCD-EFGH, G1, es el centro de lacara ABFE. Calcular la medida del ángulo

determinado por

A) ArcTg2 B) ArcTg3 C) ArcTg

D) ArcTg E) 60

06. En un octaedro regular M-ABCD-N la arista mide

a unidades, el punto P es punto medio de ,

entonces, la mínima distancia entre lossegmentos BC y MP es:

A) /5 B) /4 C) /3

D) /2 E)

07. En un octaedro regular E-ABCD-F se une elvértice A con el baricentro G de la cara ECD. Si

AG = 3 unidades, entonces la distancia de G

al plano que contiene los vértices A, B, C y D es:

A) B) 3/2 C) 1/2

D) 1/4 E) 1

08. Si en un dodecaedro regular, dos carasadyacentes son los pentágonos regulares ABCDE y EFGHD, entonces, la medida delángulo formado por las rectas AB y FH es:A) 15 B) 30 C) 36D) 45 E) 72

09. Calcular la razón de áreas de las superficies deun octaedro regular y un icosaedro regular, si elinradio de una de las caras del octaedro es igualal circunradio de una de las caras del icosaedroregular.A) 5/8 B) 7/8 C) 12/7D) 8/5 E) 8/7

10. En un octaedro regular cuyo volumen es V,calcular el volumen de su correspondientepoliedro conjugado inscrito.A) V/9 B) 2V/9 C) V/7D) 3V/7 E) V/5

11. Analizar las siguientes proposiciones: ( ) Si en un poliedro todas las caras están

limitadas por polígonos regularescongruentes, entonces dicho poliedro esregular

( ) En un tetraedro regular los radios de la esferainscrita y circunscrita están en la razón de 1 a4

( ) En todo poliedro regular existe un puntointerior que equidista de todos sus vértices yde todas las caras

( ) Los radios de las esferas inscrita ycircunscrita a un cubo están en la razón de 1

a

A) VFFF B) VFVF C) FFFFD) FFFV E) FFVV

12. En un tetraedro regular sabiendo que la distancia

entre dos aristas que se cruzan es 3 , calcular

la longitud de la arista del poliedro conjugado deltetraedro.

A) 4/5 B) 4/3 C)2

D) 4 E) 6

13. En un tetraedro OABC en donde el triángulo ABCes equilátero y OA=OB=OC el radio de lacircunferencia inscrita en el triángulo ABC es 2 uy el radio de la circunferencia inscrita en el

triángulo OBC es u . Calcular el área de la

superficie total del tetraedro.A) 72 B) 156 C) 48D) 96 E) 36

14. En un hexaedro regular la arista mide a unidades,se traza un plano perpendicular por el puntomedio de una de las diagonales del hexaedro.Calcule el área de la sección determinada en el

hexaedro.

A) a2

B) 3a2

C) 2a2

D) a2

E) (3 /4)a2

15. En un cubo la arista mide a unidades, teniendocomo referencia un vértice se dibuja un tetraedroregular uniendo los vértices no adyacentes delcubo. Uniendo los centros de cada cara del cubose dibuja un octaedro regular. Entonces, la razónentre el área total del tetraedro y el área total deloctaedro es:A) 1/3 B) 1/2 C)1D) 2 E) 3

16. En un octaedro regular la longitud de su diagonales igual al radio de la esfera circunscrita a untetraedro regular. Calcular la razón de volumende dichos poliedros.

A) 3 /16 B) 3 /8 C) 5 /8

D) 5 /16 E) 8 /9

17. En un octaedro regular, la distancia del centro auna cara es d unidades. Entonces la longitud dela arista es:

A) d B) d C) d

D) d E) d

18. En un dodecaedro regular, calcular el valor de la

siguiente expresión:

donde:T: Número de triángulos contenidos en la

superficie del sólido y cuyos vértices son losvértices del dodecaedro regular.

M: Número de trapecios contenidos en lasuperficie del sólido y cuyos vértices son losvértices del dodecaedro regular.

V: Número de vértices del dodecaedro regular.A) 18 B) 20 C) 22D) 24 E) 26

19. Calcular la razón de áreas de las superficies deun octaedro regular y un icosaedro regular,sabiendo que el circunradio de una de las carasdel octaedro tiene igual longitud que la arista delicosaedro.

A) B) C)

D) E)

20. En un octaedro regular S-ABCD-R en las aristas

se ubican dos puntos P y Q. Si

SP/PC=1/2; DQ=QC. Si la arista del octaedromide L unidades, entonce el perímetro de lasección plana determinada por el plano que pasapor los punto P y Q y el centro del octaedro es:

A) B) C)

D) E)

TAREA

01. En un octaedro regular, calcular la razón de áreasde las proyecciones de dicho octaedro sobre unplano perpendicular a una arista y a la diagonaldel octaedro.

A) B) /2 C)

D) /2 E) 3

02. En un tetraedro regular la medida de una altura

es /2 Calcular la medida del menor recorrido

para ir de un vértice al baricentro de la caraopuesta a través de la superficie.A) 1/2 B) 1 C) 3/2D) 2 E) 5/2

03. Dado un octaedro regular, se traza su poliedro

conjugado inscrito y a esto nuevo poliedrotambién se le traza su poliedro conjugadoinscrito. Calcular la razón de las longitudes delas aristas del octaedro y segundo poliedroconjugado trazado.A) 1 B) 2 C) 3D) 4 E) 5

04. En un hexaedro regular ABCD-EFGH, se ubica N

punto medio de . Si AB= , calcular la

distancia entre y .

A) 1 B) C)

D) 2 E) 2,5

05. Se tiene el hexaedro regular ABCD-EFGH,

calcular la medida del ángulo diedro determinadopor los planos EBH y BGH.A) 90 B) 120 C) 135D) 150 E) 75

06. En un tetraedro regular O-ABC la longitud de su

arista es a; la altura intersecta al plano BMC

en el punto P, siendo M punto medio de .

Calcular OP.

A) B) C)

D) E)

07. Se tiene un exaedro regular ABCD-EFGH cuyaarista es de longitud a, si P es punto medio de la

arista y Q centro de la cara ABCD, calcular la

distancia entre

A) a /5 B) a /4 C) a /3

D) a /6 E) a /7

08. En un octaedro regular P-ABCD-Q, se traza un

plano paralelo a que contiene al punto P y al

punto medio de , si el volumen del octaedro

es 72 , calcular el área de la sección

determinada por el plano y el octaedro.

A) 12 B) 10 C) 5

D) 6 E) 8

09. En un exaedro regular cuya longitud de su aristaes a, calcular la medida del ángulo que forman yla distancia que hay entre una diagonal del cuboy una diagonal de una de sus caras sabiendo queambas se cruzan.

A) 60 y a /3 B) 90 y a /6 C) 90 y a /3

D) 90 y a /6 E) 60 y a /6

10. En un exaedro regular ABCD-EFGH, calcular la

distancia entre (O: centro de la cara

ADHE), si la longitud de la arista del exaedro es

3 .

A) 1cm B) 2 C) 3

D) E) 2

PRISMA - PARALELEPÍPEDO

SUPERFICIE PRISMÁTICA - PRISMA

Se llama superficie prismática a aquella superficiegenerada por una recta que se desplazaparalelamente a sí misma, apoyándose en unapoligonal plana cerrada y convexa.

En la figura :

La recta AA’ al desplazarse paralelamente sigue unrecorrido que consiste en tocar permanentemente elborde del polígono plano ABCD, generándose de estemodo la superficie prismática. La recta AA’ se llamageneratriz y al polígono que sirve de base para elrecorrido se denomina directriz.

PRISMA - DEFINICIÓN

Llamaremos prisma, al sólido limitado por lasuperficie prismática cerrada y por dos planosparalelos secantes a dicha superficie.

Las generatrices que pasan por los vértices del planodirectriz se llaman aristas. El conjunto de generatricesque pasan por los puntos de un mismo lado de lageneratriz forman una cara.Los polígonos paralelos y congruentes ABCDE yA’B’C’D’E’ se llaman bases y las distancias entre ellasaristas básicas.Los lados de dichos polígonos se denominan aristasbásicas, la distancia entre las bases es la altura delprisma.Las caras restantes se denominan caras laterales.

PRINCIPALES PRIS-MAS REGULARES

1. PRISMA TRIANGULAR REGULAR

ÄABC : Ä equilátero

2. PRISMA CUADRANGULAR REGULAR

ABCD : cuadrado

3. PRISMA HEXAGONAL REGULAR

ABCDEF: Hexágono regular

OBSERVACIONES :

Un prisma es recto si sus aristas laterales sonperpendiculares a sus bases; en caso contrario seráoblicuo.Un prisma recto es regular si sus bases sonpolígonos regulares.Un prisma se denomina según el polígono que tengacomo base, siendo el menor el prisma triangular.

ÁREA Y VOLUMEN DE UN PRISMA

A. PRISMA RECTO

En todo prisma recto sus caras laterales son regionesrectangulares o cuadradasv Área de la superficie lateral (SL) :

SL = (m + n + l)a

v Área de la superficie total (ST) :

ST = SL + 2S(base)

v Volumen V : V = S(base) . a

B. PRISMA OBLICUOEn el prisma oblicuo las caras laterales sonromboides o rombos.

Sección Recta (S.R) Es la sección determinada porun plano perpendicular a las aristas laterales delprisma como, el ÄMNL de la figura en donde todoslos lados de dicho triángulo son perpendiculares a lasaristas del prismaEn el prisma oblicuo la altura y la arista lateral no soniguales

ÁREA LATERAL (SL).- Es igual al perímetro de lasección recta por la arista

SL = (m + n + l) a

ÁREA TOTAL (ST).- Es igual al área lateral más lasuma de las áreas de sus bases

ST = AL + 2A(BASE)

VOLUMEN (V) .- Es igual al área de la secciónrecta por su arista o el áreade la base por su altura

V = A(S.R)a = A(BASE)h

PARALELEPÍPEDOSe llama paralelepípedo al prisma cuyas caras todasson paralelogramos

En todo paralelepípedo sus caras opuestas soncongruentes, sus ángulos poliedros opuestos tambiénson congruentes y sus cuatro diagonales se bisecanmutuamente.

A. PARALELEPÍPEDO RECTOEl paralelepípedo cuyas aristas laterales son

perpendiculares a los planos de las bases, se llamaparalelepípedo recto y cuando no son perpendicularesse llama oblicuo. En todo paralelepípedo recto las caras laterales sonrectángulos

B. ROMBOEDROEste paralelepípedo se caracteriza por tenertodas sus caras en forma de rombos

C. CUBO O HEXAEDRO REGULAREs el paralelepípedo más conocido y cuyaprincipal característica es el de tener todas suscaras iguales y con la forma de cuadrados

ST = 6a2 V = a3

D. PARALELEPÍPEDO RECTANGULAR,ORTOEDRO O RECTOEDRO

Es el paralelepípedo recto cuyas caras todas sonrectángulos. Las tres aristas a, b y c que concurren enun vértice se llaman dimensiones del paralelepípedo.

ÁREA TOTAL: (ST) ST = (ab + bc + ac)

DIAGONAL (D) :

VOLUMEN (V) : V = abc

TRONCO DE PRISMAEs el sólido determinado al cortar un prisma medianteun plano no paralelo a sus bases, si el prisma cortadoes recto, el tronco de prisma será recto (a) y si elprisma es oblicuo se originará un tronco de prismaoblicuo (b)

A. VOLUMEN DE UN TRONCO DE PRISMARECTO TRIANGULAREl volumen de un tronco de prisma recto de basetriangular se calcula multiplicando el área de labase por el promedio de las longitudes de susaristas

B. Volumen de un tronco de prisma oblicuotriangularEl volumen de un tronco de prisma oblicuo debase triangular se obtiene al multiplicar el área desu base por el promedio de las longitudes de susalturas


01. En un prisma triangular regular cuya altura mide8 y el desarrollo de su superficie lateral es unaregión rectangular cuya diagonal mide 16,entonces, el volumen del sólido limitado por elprisma es:

A) 24 B) 25 C)

D) E)

02. En un prisma triangular regular, los centros desus caras laterales y el centro de una base sonlos vértices de un tetraedro regular cuya

superficie total tiene por área 9 m, entonces el

volumen del prisma es:

A) 50 B) 52 C) 54

D) 56 E) 58

03. En un prisma oblicuo triangular el área de unacara lateral ABCD es 5, el área de la base es 12.Sabiendo que las aristas laterales estáninclinados 60° respecto a la base y tienenlongitud 4, calcular la distancia de la aristaopuesta a la cara ABCD.

A) 40 /5 B) 41 /5 C) 43 /5

D) 44 /5 E) 48 /5

04. En un prisma oblicuo, el área lateral, el área de lasección recta y el perímetro de la sección rectamiden S1, S2 y 2p. Calcular el volumen delprisma.

A) B) C)

D) E)

05. Un tronco de prisma triangular recto tiene poraristas básicas segmentos cuyas longitudes son8 u, 12 u y 6 u. Las aristas laterales opuestas aestos lados miden 15 u, 5 u y 10 urespectivamente, calcular el área de la superficielateral del tronco.

A) 220 B) 250 C) 270D) 300 E) 320

06. Un tronco de prisma recto cuya base es uncuadrado ABCD de lado 1 m, se levantan perpendiculares al piano de su base las cualesmiden: AE = 3 m, BF=10 m CG=9 m y DH=Xm. Calcular el volumen del tronco de prismaA) 36 B) 27 C) 18D) 6 E) 12

07. En un prisma oblicuo de bases regulares laproyección del vértice A sobre la base PQRcoincide con el centro de dicha base. Si la aristabásica mide L y las aristas laterales estáninclinadas 30° respecto a la base entonces elvolumen del prisma hexagonal de base regularinscrito en el prisma triangular es:

A) B) C)

D) E)

08. Un sólido está limitado por una región rectangularcuyas dimensiones miden 30 y 20 y por cuatroplanos inclinados a 45° sobre el plano delrectángulo, calcular el volumen de dicho solidoA) 3000 B) 4000/3 C) 3000D) 7000/3 E) 8000/3

09. En un prisma regular triangular ABC - A'B'C' setraza un plano secante que pasa por A, E y F. SiE y F pertenecen a las aristas BB' y CC' tal que BE=EB'=3 u. CF=2FC'=4, las rectas AE y AFinterceptan al plano A´B´C´ en P y Srespectivamente, AB=4, entonces el volumen deel sólido EFC'B'-SP es:

A) B) C)

D) E)

10. Dos aristas laterales opuestas de un tronco deparalelepípedo recto miden a y la diferencia delas longitudes de las otras dos aristas opuestas

es 5 , el plano que contiene a la base superior

determina con el plano de la base un ángulo que

mide 30. Si la base es una región cuadrada.Calcule el volumen del sólido limitado por eltronco de paralelepípedo.A) 2a

2B) a

2/2 C) 225a/2

D) 225a E) 225a/3

11. La base de un prisma recto es un rombo, cuyolado mide 2. Si el menor ángulo agudo de la basemide 30 y por un lado cualquiera de la base setraza un plano secante de manera que dichoplano y el plano de la base determinan un ángulodiedro que mide 60. Calcular el área de la seccióndeterminada en el prisma.

A) 2 B) 2 C) 4

D) 4 E) 6

12. En un prisma la medida del diedro determinadopor su base y la sección recta es a. Calcular Iamedida del ángulo que forma la arista lateral conla base de dicho prisma A) 180 - a B) 180 - 2a C) 90 - aD) 90 - 2a E) 45 + a

13. Un prisma recto tiene su base limitada por untrapecio isósceles cuyos no paralelos miden 13 ylas bases miden 10 y 20. Por la base mayor deltrapecio se traza un plano secante al prisma, quedetermina con la base de dicho prisma un ángulodiedro cuya medida es 53 y la altura del prismamide 30. Calcular la razón de volúmenes de lossólidos determinados A) 16/97 B) 32/103 C) 16/103D) 35/91 E) 50/91

14. En un prisma triangular de base regular cuyo lado

mide a , la arista lateral forma con la base un

ángulo de medida á y la proyección de uno de losvértices coincide con el centroide de la baso.Calcular el volumen del prisma.

A) a3Sená B) a

3Cosá C)

a3Ctgá

D) a3Secá E) a

3Tgá

15. Se tiene el cuadrado ABCD, cuyo lado mide .

Los segmentos AE y CF son perpendiculares alplano del cuadrado y se ubican en un mismosemiespacio. Si AE=6 y CF=9, calcular elvolumen del sólido EBDF.A) 5 B) 10 C) 15D) 20 E) 25

16. En un prisma regular ABCDEF-A'B'C'D'E'F' de volumen V, calcular el volumen del sólido BEF´D'A) 2V/5 B) 3V/7 C) 3V/8 D) 2V/9 E) 2V/11

17. En un prisma cuadrangular regular, el segmentoque une el centro de una base con el punto deintersección de las diagonales de una cara lateralmide 4 y además forma con dicha base un ánguloque mide 60. Calcular el volumen de dichoprisma.

A) 64 B) 64 C) 48

D) 48 E) 86

18. En un rectoedro ABCD-EFGH, los centros de susbases ABCD y EFGH son los puntos O y Q. Si elvolumen del solido ABO-EFQ cuyas caras son

cuadrados, es16 , calcular el área de la

superficie lateral de dicho paralelepípedo.

A) 12( -1) B) 24( -1) C) 8( +1)

D) 16( +1) E) 32( +1)

19. En un tronco de prisma triangular recto, la baseABC es una región equilátera y las aristaslaterales miden 8,5 y 4 u. Si el volumen deltetraedro determinado por la base superior y el

vértice B es de 12 , calcular el área de la base

A) 5 B) 6 C)7

D) 8 E) 9

20. ABCD - EFGH es un tronco de paralelepípedooblicuo, si el área de la cara ADHE es S1 y elárea de la cara FBCG es S2; y la distancia entreesas caras es d. Calcular el volumen del troncode prisma.

A) V= B) V=

C) V= D) V=

E) V=

TAREA

01. En un prisma cuadrangular regular el ánguloentre la diagonal y una cara lateral mide 30 y elárea de la base es 4 cm

2. Calcular la longitud delmenor recorrido para ir de un extremo de dichadiagonal al otro sobre la superficie lateral delprisma.

A) B) C) 2

D) 2 E)

02. Calcular el volumen de un prisma recto si eldesarrollo de su superficie lateral es una regióncuadrada de 64 m

2 de área y además en elpolígono que limita a su base se puede inscribir una circunferencia de 1m de radio.A) 6 B) 8 C) 16D) 24 E) 32

03. En un prisma regular ABCDEF-A'B´C´D'E´F¨ se

traza un plano que pasa por y que

interseca a y en los puntos M y N

respectivamente si el volumen del prisma es

12 , calcular el volumen del sólido MF´E´-

NC'D'.

A) 5 B) C)

D) 10 E) 10

04. Calcular la longitud de la diagonal de unrectoedro, conociendo que la suma de laslongitudes al cuadrado de todas las diagonalesde las caras es 160 cm2

A) 2 B) 5 C) 2

D) 5 E) 1

05. En un prisma regular ABCDEF-GHIJKL, se ubica

el punto medio “M” de , ={T} y el

volumen del prisma es V. Calcular el volumen delprisma LJMT-GLSN

A) 5V/9 B) 7V/9 C) 5V/18D) 7V/18 E) 11V/15

06. Calcular el volumen del prisma oblicuo ABCD -EFGH, sabiendo que sus bases son regionescuadradas. La proyección del punto “A” es elcentro de la base EFGH y AE = AB = 4 u

A) 16 u3

B) 32 u3

C) 16 u2

D) 32 u3E) 16 u3

07. Las bases de un prisma recto, son los romboidesABCD y EFGH, en la arista DH se ubica el puntomedio M; en la arista AE se ubica el punto P, si elvolumen del tronco de prisma PBM - EFH es los2/5 del prisma dado y AP =2. Calcular PE

A) 12 B) 9 C)18D) 6 E) 15

08. Calcular el área lateral de un prisma oblicuo,cuya sección recta es un exágono regular de

30 m2 de superficie, al altura del prima es

10 m y las aristas están inclinadas 60° con

respecto a la base.

A) 120 m2

B) 360 m2

C) 240 m2

D) 180 m2 E) 240 m

2

09. Calcular el volumen de un prisma oblicuo cuyaaltura es igual al diámetro de la circunferenciainscrita a la base, si la base es un polígonoregular de 2 m de lado y la suma de las medidasde los diedros básicos es 1 080

A) 24 m3 B) 36 m

3 C) 48 m3

D) 36 m3

E) 30 m3

10. El área de la superficie total de un paralelepípedorectangular cuya altura es 4 cm, es 4 veces elárea de una de las superficies diagonales (planodiagonal) correspondiente a una de las aristaslaterales y el área de esta superficie diagonal eslos 5/6 de la suma de las áreas de las bases.Calcular el área de la superficie delparalelepípedo, si el perímetro de su base es 28cmA) 160 B) 180 C) 200D) 220 E) 240

CILINDRO

SUPERFICIE CILÍNDRICASe llama superficie cilíndrica a aquella superficiegenerada por una recta que, apoyándose sobre unacurva, se mueve paralelamente a una dirección dada.Las rectas que forman la superficie cilíndrica sellaman generatrices y la curva por cuyos puntospasan se llama directriz. Si la directriz es unacircunferencia, resulta una superficie cilíndricacircular.

SUPERFICIE DE REVOLUCIÓNSe llama superficie de revolución a aquella superficiegenerada por una línea cualquiera llamada generatrizal girar alrededor de una recta fija llamada eje, a lacual está invariablemente unida.

: eje

g : generatriz

SUPERFICIE CILÍNDRICA DE REVOLUCIÓN

Se llama superficie cilíndrica de revolución a lasuperficie de revolución cuya generatriz es una rectaparalela al eje.

t : eje

t g : generatriz

t : radio

t r : Longitud del radio de la circunferencia

CILINDRO

La región del espacio situada en el interior de unasuperficie cilíndrica ilimitada se llama cilindroindefinido o espacio cilíndrico.La porción de cilindro indefinido comprendido entredos planos paralelos que intersectan todas lasgeneratrices se llama cilindro finito. Las secciones decilindro indefinido por dichos planos se llaman basesdel cilindro finito y su distancia altura.

Si los planos son perpendiculares a las generatricesel cilindro es recto; en, caso contrario, es oblicuo. Enambos casos las bases son congruentes.

CILINDRO DE REVOLUCIÓNSe genera al girar una región rectangular, una vuelta,alrededor de un eje que contiene a un lado. Las basesson círculos y la altura mide igual que la generatriz.Es también llamado cilindro circular recto.

ÁREA LATERAL DE UN CILINDRO

El área lateral de un cilindro circular recto es igual al

producto de la longitud de la circunferencia de subase por su altura.

AL = 2ðR . h

ÁREA TOTAL :

AT = 2ðR(h + R)

h : Longitud de su alturaR : Longitud del radio de la base

En cilindros semejantes se cumple :

VOLUMEN DEL CILINDRO CIRCULAR RECTOEl volumen de un cilindro circular recto es igual alproducto del área de su base por la longitud de sualtura.

V = ðR2 . h

Desarrollo de la superficie total de un cilindro

OBSERVACIÓN :En el caso de un cilindro oblicuo, el desarrollo puederesultar romboide o rombo.

Su volumen es :

V = SR . g V = S . h

TRONCO DE CILINDROSe obtienen al intersectar la superficie lateral de uncilindro, con un plano no paralelo a las bases.

AL = AðR . e V = ðR2 . e

Donde :

e =

TRONCO DE CILINDRO OBLICUO

CUÑA CILÍNDRICA


01. Si la relación entre el volumen y el área lateral deun cilindro de revolución es 1/4, calcular lamedida de su altura, si el área de la base es 3/2del área lateralA) 3 B) 2 C) 1D) 1/6 E) 1/4

02. Calcular el volumen de un cilindro recto si al

aumentar la medida del radio en (2- ), su

volumen se duplica, y al aumentar la medida desu altura en 16 su área lateral se quintuplica

A) 3 ð B) 9ð C) 5 ð

D) 8ð E) 7ð

03. Un cilindro circular recto cuya altura es 4 m y elradio de su base mide R, al aumentar la altura en12 m, el volumen aumenta en x m

3. Si el radio de

la base aumenta en 12 m, el volumen aumentaen x m

3, calcular el valor de R.

A) 4 B) 6 C) 9D) 12 E) 15

04. Al aumentar el radio de la base del cilindro en 6m el volumen aumenta en x m

3. Si la altura del

cilindro aumenta igualmente en 6 m el volumenaumenta en x m

3. Asumiendo que la altura

original medía 2 m, cual habrá sido el radiooriginal.A) 6 B) 9 C) 12D) 15 E) 18

05. En la figura mostrada se tiene un tronco decilindro circular recto, DC = 5 cm, y el área de lasuperficie esférica inscrita en dicho tronco es de9ð cm2. Calcular el volumen del tronco delcilindro

A) 10ð cm3B) 9ð cm3

C) 8ð cm3

D) 7ð cm3

E) 6ð cm3

06. Calcular el radio de la base de un tronco decilindro circular recto cuyas bases forman unángulo diedro cuya medida es 60°; además lasuma de las áreas de las bases es S y lageneratriz mínima mide 0°

A) B) C)

D) E)

07. El radio de la sección recta de un cilindro oblicuo

mide 2 , la generatriz esta inclinada 60°

respecto a la base y la altura es el doble deldiámetro de la sección recta. Calcular el volumendel cilindroA) 180ð B) 192ð C) 200ðD) 177ð E) 195ð

08. Un cilindro oblicuo se encuentra circunscrito unaesfera de radio “R”. Si el plano que contiene a lasección recta de dicho cilindro y el plano quecontiene a su base forman un diedro de 30,

calcular el volumen de dicho cilindro

A) B) C)

D) E)

09. Según la figura se tiene un tronco de cilindro desección recta circular, MN = 2AB, AM=BN,mËMAB=135 y el área de la superficie lateral esnuméricamente igual al de dicho sólido. Calcularel área de la superficie lateral del sólido

A) 96ð u2 B) 60ð u

2 C) 48ð u2

D) 50ð u2

E) 58ð u2

10. En un prisma recto ABC-A'B'C' se inscribe uncilindro circunscrito a una esfera, si AB=13;BC=15 y AC=14. Calcular el volumen del prisma.A) 438 B) 546 C) 672D) 736 E) 824

11. En un prisma regular se encuentra inscrito uncilindro de revolución. Calcular la razón de áreasde las superficies laterales de dichos sólidos, si lasuma de las medidas de todos los diedros delprisma es 1 800.

A) B) C)

D) E)

12. La diferencia entre la generatriz máxima ymínima de un tronco de cilindro circular recto en3 m además el radio de la base circular mide 2m. Calcular el perímetro de la región elíptica dela otra base.A) 9ð m B) 9ð/2 m C) 6ð mD) 3ð m E) 3ð/2 m

13. En un cubo ABCD - EFGH de arista “a” seencuentra inscrito un cilindro de revolución cuyas

generatrices son paralelas a . Calcular el área

de la sección determinada en el cilindro por un

plano que contiene a y es paralela a

A) B) C)

D) E)

14. Si las áreas de las superficies laterales de doscilindros de revolución semejantes, son entre sícomo 4 a 9, siendo el volumen del menor 16.Calcular el volumen del mayorA) 24ð B) 36ð C) 81ðD) 45ð E) 54ð

15. Calcular en qué razón están las áreas de lassuperficies totales de un cubo y de un cilindro derevolución, si el cubo esta inscrito en el cilindro.

A) B) C)

D) E)

16. Calcular el volumen de un tronco de cilindro de

revolución circunscrito a una esfera de radio 2 ,

si las bases forman un diedro cuy a medida es 30

A) 18ð(2- ) B) 9ð(2- ) C)

12ð((2+ )

D) 24ð((2+ ) E) 6ð

17. Calcular el volumen de un cilindro oblicuo, cuyasbases son circulares, además la generatriz y eldiámetro de la base son congruentes y ladistancia del centro de una base a los extremosdel diámetro de la otra base son 13 y 9mrespectivamente.

A) 60ð B) 50ð C) 70ð

D) 60ð E) 40ð

18. Se tiene un vaso cilíndrico circular recto de radio3cm lleno de agua. Si se trazan 2 planosparalelos que distan 8 cm y que intersecan a lasgeneratrices del cilindro formando con éste unángulo cuya medida es 53, calcular el volumendel líquido que se encuentra entre los planosparalelos.A) 45ð B) 90ð C) 135ðD) 80ð E) 120ð

19. Calcular la razón de volúmenes de un cilindro derevolución y de un cubo que tiene dos vérticesopuestos en los centros de las bases del cilindroy los demás están en la superficie lateral delmismo.

A) 2ð B) C)

D) 2ð E) ð

20. En un cilindro de revolución se traza un planosecante que contiene a un solo punto de lacircunferencia que limita a su base y forma condicha base un diedro de 37°. Calcular el volumendel tronco de prisma triangular regular inscrito enel tronco de cilindro si sus generatrices mayor ymenor miden 12 u y 6 u respectivamente y si laarista lateral menor del tronco de prisma es lageneratriz menor del tronco de cilindro.

A) 99 B) 108 C) 108

D) 120 E) 90

TAREA

01. Se tiene un recipiente cilíndrico recio el cualcontiene cierto líquido en toda su capacidad, seintrodujo en dicho recipiente un sólido equivalentea la esfera inscrita en un tetraedro regular y seobserva que el volumen de liquido derramado es

cm3. Calcular el volumen del tetraedro

mencionado

A) 100 cm3 B) 90 cm

3 C) 45 cm3

D) 140 cm3 E) 144 cm

3

02. En un cilindro se traza un plano paralelo a su ejea una distancia “a” de este, que en lacircunferencia de la base determina un arco demedida “á” si el área de la sección es “S” calcularel volumen del cilindro.

A) B) C)

D) E)

03. En un exaedro regular de volumen V, se inscribey circunscribe cilindros de revolución de talmanera que sus bases están en el plano de unade las caras del exaedro, calcular el volumen delsólido comprendido entre los cilindros.

A) B) C)

D) E)

04. El radio de la base de un tronco de cilindro rectocircular mide 4 cm. En la superficie lateral setoma el punto "P" de modo que al unirlo con loscentros de las bases se forma un ángulo recto en'P'. Hallar el volumen del tronco, sabiendoademás que la distancia de "P" a la base mide 2 cm.

A) 140ð cm3

B) 100ð cm3

C) 150ð cm

3

D) 130ð cm3

E) 160ð cm3

05. Un tanque de forma cilíndrica que tiene una alturade 10 m y su base un diámetro de 6 m, el aguaque contiene dicho tanque tendidohorizontalmente determina una superficie de 40m

2. Calcular la altura a la que se encuentra

dicha superficie, si el volumen de agua es mayora la mitad del volumen del tanque.

A) 2m B) (6 - m) C) (6 - )

m

D) (3 - ) m E) (3+ ) m

06. En un cilindro se encuentra inscrito un exaedroregular. Calcular el volumen del cilindro, si ladistancia del punto medio, de una de lasgeneratrices que pertenece al exaedro, hacia ladiagonal de dicho exaedro que no se intersecta

con dicha generatriz es u.

A) 6ð u3

B) 4ð u3

C) 3ð u3

D) 2 ð u3

E) 3 ð u3

07. Calcular la altura de un cilindro recto de radio

cm, inscrito en un tetraedro regular de arista 3 ,

tal que la base interior esta en una de las carasdel tetraedro y la otra base es tangente a lasotras caras.

A) 1 B) 2 C) 3D) 4 E) 5

08. Las bases de un cilindro oblicuo son círculos de36ð m

2 de área cada una; luego se traza lasección del cilindro que pasa por el extremo de labase inferior formando un ángulo de 30° condicha base e intersecta a la generatriz opuesta en

el punto C que dista de la base superior 7 m.

Calcular la generatriz de dicho cilindro.

A) 10 B) 15 C) 20D) 25 E) 30

09. Las bases de un cilindro circular están inscritasen dos caras opuestas de un exaedro regular ladiagonal de dicho exaedro intersecta a lasuperficie cilíndrica y el segmento que tiene por

extremos a dichos puntos mide . Calcular el

volumen del cilindro.

A) ð B) ð C) 2ð

D) 4ð E)

10. Se tiene un tronco de cilindro circular recto en elcual su volumen es numéricamente igual al áreade su superficie lateral. Si la diferencia entre lageneratriz mayor y menor es ð, calcular lalongitud de la elipse de su base superior.

A) ð B) ð C) 2ð

D) 2ð E) 4ð

PIRÁMIDE

DEFINICIÓNLa pirámide es el poliedro en el cual una de sus carases un polígono cualquiera y las otras son triángulosque tienen un vértice común.

Elementos:

1. Vértice: Es el vértice común de las carastriangulares.

2. Caras Laterales: Son las caras triangulares.

3. Base: Es la cara no lateral que tiene la forma deun polígono.

4. Altura: Es la perpendicular trazada del vértice ala base.

CLASIFICACIÓN DE PIRÁMIDES

1. Pirámide Regular: Una pirámide es regular, si labase es un polígono regular y las aristas lateralescongruentes, que se apartan igualmente del piede la altura (caras laterales son triángulosisósceles).

: Altura

= h ! Longitud de la altura

ABCD : Cuadrado

El pie de la altura siempre está ubicado en elpunto de concurrencia de las diagonales delpolígono regular sólo cuando la pirámide esregular.

2. Pirámide Irregular: Es la pirámide que no esregular (no cumple las condiciones de lasregulares)

OBSERVACIONES:1. Las pirámides según la base, toman el nombre de

triangular, cuadrangular, pentagonal, exagonal,etc.

2. Una pirámide triangular es un tetraedro, cuyabase es cualquier lado.

3. El apotema de una pirámide regular es elsegmento que une el vértice de la pirámide con elpunto medio de un lado.

4. El apotema de la base en una pirámide regular esel apotema del polígono de la base.

5. La sección transversal o plana de una pirámidees la intersección de la pirámide y un planoparalelo a la base.

ÁREA DE UNA PIRÁMIDE REGULAR

Área Lateral: El área lateral de una pirámide regulares igual al semiproducto del perímetro de la base porel apotema (semiperímetro por apotema)

AL = p.a

Donde: p : Semiperímetro de la base

a : Longitud de la apotema de la pirámide

Área Total: El área total de una pirámide regular esigual al área lateral más el área de la base

AT = AL + Abase

AT : Área totalAL : Área lateralAbase : Área de la base

ÁREA DE UNA PIRÁMIDE IRREGULAR

Área Lateral: Es la suma de las áreas de las caraslaterales.

Área Total: Es la suma del área lateral más el áreade la base.

AT = AL + Abase

VOLUMEN DE UNA PIRÁMIDE CUALQUIERA

TEOREMAEl volumen de una pirámide cualquiera es igual a untercio del producto del área de la base por su altura.

Donde: V : VolumenS : Área de la baseh : Longitud de la altura de la pirámide

PROPIEDADES1. La razón de los volúmenes de dos pirámides que

tienen la misma altura, es la misma que la razónde las áreas de sus bases.

Si:

2. La razón de los volúmenes de dos pirámidescuyas bases tienen áreas iguales, es igual a larazón de sus alturas.

Si:

3. La razón de los volúmenes de dos pirámidescualesquiera es igual a la razón de los productosde sus bases y alturas.

4. Si la pirámide triangular tiene un triedrotrirrectángulo entonces: el volumen es la sextaparte del producto de sus aristas laterales.

5. En la pirámide mostrada se cumple:

SEMEJANZA DE PIRÁMIDES

TEOREMA

Al intersecar una pirámide por un plano paralelo a labase, se determina una pirámide pequeña semejantea la mayor llamada pirámide deficiente.

Se cumple:

a)

Donde: S1 y S2 pueden representar áreas totales,áreas laterales, áreas de las bases o áreas decaras homólogas.

b) Los volúmenes son entre sí como los cubos decualquier par de líneas homólogas:

TRONCO DE PIRÁMIDEEs la porción de pirámide comprendida entre su basey un plano paralelo o no a ella que intersecta a todaslas aristas laterales.

TRONCO DE PIRÁMIDE DE BASES PARALELAS- La bases son paralelas- Las caras laterales son trapecios- La longitud de la altura es “h”- Su volumen es:

A y B son áreas de las bases

TRONCO DE PIRÁMIDE REGULAREs aquel que procede de una pirámide regular:En un tronco de pirámide regular:

a) Las bases son polígonos regularesb) Las caras laterales son trapecios isósceles

congruentesc) Las aristas laterales son congruentes

Apotema: Del tronco de pirámide regular es la alturade cualquiera de las caras laterales del tronco.

ÁREA LATERAL, TOTAL DE UN TRONCO DEPIRÁMIDE REGULAR

1.

Donde: p y p1 son los perímetros de sus bases

2.AT = AL + B + B1

Donde: B y B1 son las áreas de las bases


01. En una pirámide triangular A - BCD los puntos My N son los baricentros de las caras BCD y ABC

respectivamente. Si = {F} y FM = 7,

calcular AF.

A) 20 B) 21 C) 22D) 23 E) 24

02. En un hexaedro regular ABCD - EFGH, la

proyección del vértice H sobre es el punto Q,

siendo “a” la medida de la arista del hexaedroregular. Calcular el volumen de la pirámide Q -ABCD.

A) B) C)

D) E)

03. En una pirámide O - ABC las caras lateralesforman con la base un diedro cuya medida es 30.Si AB = 13; BC = 15 y AC = 14, calcular elvolumen de dicha pirámide.

A) 30 B) 40 C)

D) E)

04. En un tronco de pirámide cuadrangular regular,

las aristas básicas miden a y b (a > b). Un planosecante paralelo a las bases determina dostroncos de pirámides de áreas laterales iguales.Calcular el lado de la sección que determinadicho plano.

A) B) C)

D) E)

05. Se tiene un tetraedro regular ABCD, cuya arista

mide a, en la arista se ubica el punto O, si la

altura de la pirámide ABCO es congruente con

. Calcular OD.

A) B) C)

D) E)

06. En una pirámide triangular V - ABC se traza unplano secante que biseca a uno de los ángulosinternos de la base y que contiene al vértice Vdeterminando una sección limitada por untriángulo rectángulo. Si la arista básica mide b,entonces el volumen de la pirámide es:

A) B) C)

D) E)

07. Las aristas laterales de un tronco de pirámideregular triangular forman con la base mayorángulos de medida è. Si las aristas básicasmayor y menor miden a y b, calcular el volumendel tronco:

A) Tgè B)

Cosè

C) Senè D) Tgè

E) Cosè

08. En una pirámide pentagonal regular, el área total es 30 cm2

y el área lateral 20 cm2. Calcular la

medida del diedro determinado en una arista dela base.

A) 30 B) 60 C) 45D) 75 E) ArcCos(1/3)

09. La altura de una pirámide octogonal regular mideh. Si la medida del diedro determinado en unaarista básica es 45, calcular el volumen de lapirámide.

A) B)

C)

D) E)

10. V - ABCD es una pirámide cuadrangular regularcuya cara lateral está limitada por un triánguloequilátero cuyo lado mide a. Calcular la distanciadel centro de la base a una de las caras laterales.

A) B) C)

D) E)

11. En una pirámide V - ABC. VA = ; VB = VC =

6; AB = AC = 5 y BC = 8. Calcular el volumen de lapirámide.

A) 9 B) 16 C) 25D) 36 E) 64

12. En una pirámide V - ABCD, es perpendicular a

la base que es un trapecio rectángulo, (recto en By C), si: BC = 5; CD = 4; VA = 12 y SABCD = SVBC.Calcular SVCD

A) 24 B) 26 C) 28

D) 36 E) 32

13. V - ABC es una pirámide de volumen V, se traza

un plano secante que intersecta a en E,

en D y en F tal que , y

. Entonces el volumen del sólido ABC -

EDF es:

A) B) C)

D) E)

14. La arista lateral de una pirámide regular mide 2;si su base es un dodecágono inscrito en unacircunferencia de radio 1. Calcular el volumen dela pirámide.

A) B) C)

D) E)

15. Una pirámide regular cuya altura es 24 dm tienepor base un cuadrado cuyo lado es 12 dm, se laintercepta por un plano paralelo a la base y sobrela sección se construye un prisma recto cuya base superior pasa por el vértice de la pirámide.Determine la distancia de la sección al vértice

para que el volumen del prisma sea los del

volumen del tronco de pirámide que queda.A) 9 dm B) 10 dm C) 12 dmD) 15 dm E) 16 dm

16. En la pirámide O - ABC, las caras lateralesforman diedros de 45° con la base. Si AB = 13,BC = 15 y AC = 24. Calcular el volumen delsólido limitado por la pirámide.

A) B) C)

D) E)

17. En un tronco de pirámide regular ABCD - EFGHse traza un plano secante que contiene a los

puntos medios M y N de y

respectivamente y el vértice A, determinando asíuna sección cuadrangular regular cuyo lado mide4. Calcular el volumen del sólido limitado por eltronco de pirámide.

A) B) C)

D) E)

18. Se tiene un tetraedro regular de arista igual a L.Calcular el volumen del sólido determinado al uniren forma consecutiva un vértice del tetraedro, conlos puntos medios de las aristas que concurrenen dicho vértice y el centro de una de las carasque concurren en dicho vértice

A) B) C)

D) E)

19. En una pirámide regular cuadrangular, el lado dela base tiene una longitud a y el plano que pasapor una arista básica la base media de la caraopuesta forman un diedro de 45º con la base,entonces su volumen es:

A) B) C)

D) E)

20. En una pirámide triangular las áreas de dos carasperpendiculares entre si son iguales a S1 y S2 . Sila longitud de la arista común entre ellas es a,calcular el volumen de la pirámide

A) B) C)

D) E) (2S1+ 3S2)a

TAREA

01. En un tronco de pirámide regular de basescuadrangulares en todas sus caras se puedeninscribir circunferencias, en las bases los radiosde las circunferencias miden 4 cm y 9 cm.Entonces el área lateral del tronco de pirámidees: (en cm2)

A) 598 B) 612 C) 624D) 648 E) 700

02. En un tronco de pirámide regular ABCD - EFGHel área de sección plana AEGC es S1 y el área dela sección determinada en el sólido por un planoque equidista a sus bases es S2, entonces lalongitud de su altura es:

A) B) C)

D) E)

03. En un tronco de pirámide cuadrangular regular

las diagonales de las bases miden y . Si

el cuadrado de la medida de la altura es ,

calcular el área lateral.

A) B) C)

D) E)

04. Se tiene un hexaedro regular ABCD - EFGH.

Se traza (S 0 ). Calcular el volumen

de la pirámide S - ABCD si DS = 2 u

A) B) C)

D) E)

05. Se tiene el tetraedro ABCD, se ubican G1 y G2 losbaricentros de las caras ACD y DBC de tetraedro.Calcular la razón de volúmenes de tetraedroABCD y el sólido G1 G2 CDA) 2 B) 9 C) 18D) 6 E) 27

06. En una pirámide cuadrangular regular, la medidadel diedro determinado por una cara lateral y labase es 60. Calcular la longitud de la arista lateralen función del radio r de la esfera inscrita endicho sólido.

A) 2r B) 2 C)

D) E)

07. Calcular la altura de un tronco de pirámideregular ABCD - EFGH, si el área de la secciónplana AEGC es S1 y el área de la seccióndeterminada en el sólido por un plano queequidista de sus bases es S2.

A) B) C)

D) E)

08. La superficie limitante correspondiente a untronco de pirámide, cuyas bases son regionescuadradas y una cara lateral es perpendicular alas bases, esta circunscrita a una esfera. Calcularel volumen del tronco de pirámide si losperímetros de las bases suman “S” y el productode las medidas de dos aristas básicas diferenteses “P”

A) B) C)

D) S(S2 - 9P) E)

09. En un exaedro regular ABCD - EFGH, calcular elvolumen de la pirámide M - ABCD, siendo “M” el

baricentro de la región triangular BGD y EC=6

. A) 24 B) 12 C)

D) E)

10. Se tiene un tronco de pirámide cuadrangularregular ABCD - EFGH , donde las caras lateralesestán inclinadas 60º con respecto a la base y eldiedro formado por las regiones ABCD y EFCDmide 15. Calcular el área de la superficie lateral

del tronco, si y distan 6m.

A) B) C) 18

D) E) 20

CONO

SUPERFICIE CÓNICA DE REVOLUCIÓN

Definición : Se llama superficie cónica de revolucióna aquella superficie generada por una recta queintersectando al eje en un punto fijo, gira alrededor dedicho eje, formando con él un ángulo invariable.

- La generatriz es la recta móvil (g)- El vértice es el punto V

- La recta es el eje

- En la figura observamos a la superficie cónica derevolución de dos hojas.

CONO DE REVOLUCIÓNSe genera, al girar la región triangular rectangular,una vuelta completa, alrededor de un eje que contieneal cateto.

- La superficie lateral es generada por lahipotenusa del triángulo rectángulo.

- Un cateto es la altura del cono- El otro cateto genera el círculo de la base cuyo

radio es el mismo cateto.

Área Lateral : AL = ðR . g

Área Total : AT = AL + ðR2

Volumen :

DESARROLLO DE LA SUPERFICIE LATERALEs un sector circular que tiene por radio la generatrizdel cono y por arco, la longitud de la circunferencia dela base del cono.

Sabemos por áreas que :

SEMEJANZA DE CONOS

TEOREMA

Si dos conos son generados por triángulossemejantes que giran alrededor de dos ladoshomólogos, dichos conos son semejantes.También si se intersecta a un cono por un planoparalelo a la base se obtiene un cono pequeñosemejante al total, debiéndose cumplir :

A) Las áreas de sus bases son entre si como elcuadrado de las Iongitudes de sus elementoshomólogos.

B) Los volúmenes son entre si como el cubo de suselementos homólogos.

CONO OBLICUO

Si se intersecta a un cono recto por un plano noparalelo a la base se obtiene el cono oblicuo, cuyabase tiene que ser elíptica.

ELIPSE

* a = Radio mínimo* b = Radio máximo* S = ð ab

Volumen del cono oblicuo :

V = S . h !

TRONCO DE CONOSe obtiene al interceptar la superficie lateral de uncono, con un plano cualquiera, paralelo o no a labase.

TRONCO DE CONO DE REVOLUCIÓNSe llama recto porque la altura cae en los centros delos círculos de las bases y se llama de revolución

porque se les considera generada por la rotación deun trapecio rectángulo alrededor del lado no paraleloperpendicular a las bases.

Donde :

g : Longitud de la generatrizh : Longitud de la alturaR y r : Longitudes de los radios de las bases(círculos)

Área Lateral : AL = ð(R + r) . g

Área Total : AT = AL + ðR2 + ðr

2

Volumen :


01. Siendo el área de la base de un cono recto, lamitad de su área lateral. Entonces la medida delángulo que determina la altura y la generatriz es :A) 20 B) 25 C) 30D) 36 E) 45

02. Se tiene un cono de revolución de 3 m de radiode la base y 4 m de altura. Calcular a quedistancia del vértice se debe de trazar un planoparalelo a la base, para que el área de la seccióndeterminada por dicho plano sea igual al área dela superficie lateral del tronco de conodeterminado.

A) B) C)

D) E)

03. Al desarrollar dos conos rectos se obtienen 2sectores circulares que tienen perímetros

R y R. Si la longitud de la

generatriz de los conos es R, calcular la razón delos volumenes de los conos

A) B) C)

D) E)

04. En una semiesfera esta inscrito un cono circular,el vértice coincide con el centro de lacircunferencia que sirve de base a la semiesfera;la recta que une el centro de la base del cono conun punto de la circunferencia mayor de lasemiesfera determina con el plano de la base delcono un ángulo de 30°. Calcular la razón entre losvolúmenes del cono y la semiesfera

A) /2 B) 3 /3 C) 3 /2

D) /3 E) /9

05. Una esfera está inscrita en un cono equilátero de 108 u

2 de área total. Calcular el área de la

superficie esféricaA) 36 u

2B) 42 u

2C) 48 u

2

D) 54 u2

E) 60 u2

06. Un tronco de cilindro de revolución está inscritoen un cono de revolución donde sus generatricesestán inclinadas formando un ángulo cuyamedida es 30 con respecto a la base. Además el

diámetro de la base del cilindro, está

contenido en el diámetro de la base del cono,

tal que : MA = AB = 2BN. Determine la relaciónde los volúmenes de los sólidos limitados por eltronco de cilindro y el cono rectoA) 9/64 B) 15/64 C) 36/125D) 27/125 E) 18/125

07. Si los radios de las base de un tronco de conocircular recto son R y r. Calcular el área de susección axial para que el área de la superficielateral sea igual a la suma de las áreas de lasbases de dicho tronco.A) 4Rr B) 2Rr C) 6RrD) 3Rr E) 7Rr

08. Un plano secante a un cono recto de revoluciónde base circular cuyo radio mide 2 u pasa por elvértice e intersecta a la base determinando en suintersección con el cono un triángulo equilátero

cuyo lado mide 2 u. Entonces, el volumen del

sólido limitado por el cono es :

A) 8 u3

B) 4 u3 C) 3 u

3

D) 4 u3 E) 2 u

3

09. ABCD - EFGH es un hexaedro regular cuya aristamide L . Si la altura de un cono recto escongruente a la arista del hexaedro y el radio dela base del cono es el radio de la circunferenciainscrita al triángulo ABC, entonces el volumen delsólido limitado por el cono es:

A) ðL3

B) ðL3

C) ðL3

D) ðL3

E) ðL3

10. En un cono circular la altura mide H, se traza unplano secante determinando una seccióntransversal. ¿A qué distancia del vértice del conodebe trazarse el plano para que determine dossólidos equivalentes?

A) B) C)

D) E)

11. En un tronco de cono está inscrito una esfera,cuyo volumen es 6/13 del volumen del tronco decono. Calcular la medida del ángulo entre lageneratriz del tronco de cono y el plano de subase inferiorA) 60 B) 45 C) 30D) 37 E) 53

12. En un tronco de cono de revolución, los radios delas bases miden 4 y 9 respectivamente. Si elárea total del cono es 266ð cm

2, calcular suvolumen es :A) 532ð B) 522ð C) 512D) 502ð E) 492ð

13. Calcular el volumen de un cono de revolución sien él se puede inscribir una pirámidecuadrangular regular con todas sus aristas delongitud L y tal que la base de la pirámide seencuentre contenida en la base del cono

A) B) C)

D) E)

14. En un cono recto la longitud de la generatriz esigual al diámetro de la base, se inscribe unaesfera cuyo radio mide R. Calcular el volumen deltronco de cono determinado por la circunferencia tangencial y la base del cono

A) B) C)

D) E)

15. En un tronco de cono recto la altura mide 8 m y elsegmento de mediatriz de una de susgeneratrices limitada por la altura mide 3 m.Calcular el área de la superficie lateral. A) 10ð B) 18ð C) 28ðD) 38ð E) 48ð

16. En un tronco de cono recto, cuyos radios en susbases miden 4 cm y 9 cm respectivamente, seinscribe una esfera. Calcular el volumen delsólido limitado por el tronco de cono.A) 352ð B) 253ð C) 523ðD) 532ð E) 325ð

17. Se tiene un cono y un embudo congruente, cuyasalturas miden H, se traza un plano paralelo a lasbases de manera que el área de la sección delcono sea el doble del área de la sección delembudo. Calcular la distancia del vértice del conoal plano

A) B) C)

D H( -1) E) H(2- )

18. En un tronco de cono de revolución los radios delas bases y la generatriz miden 1; 2 y 6 cmrespectivamente. Calcular la longitud del menorrecorrido, para ir de un punto de la base inferior aotro de la base superior recorriendo la superficielateral y tal que dichos puntos sean los extremosde una generatriz

A) 6 cm B) 3 cm C) 6 cm

D) 9 cm E) 9 cm

19. En un cono de revolución la medida del ánguloentre dos generatrices diametralmente opuestases 90°, se inscribe un cilindro cuya área de susuperficie total es igual al área de la superficielateral del cono. Calcular la razón de alturas deambos sólidos

A) B) C)

D) E)

20. En un tronco de cono de revolución cuyo volumenes 63, las longitudes de los diámetros de susbases están en la relación de 1 a 2, calcular elvolumen del sólido que se obtiene intersectandolos conos que tienen por bases, las bases deltronco y por vértices los centros de las basesrespectivamente opuestosA) 3,6 B) 3,8 C) 4,0 D) 4,2 E) 4,4

TAREA

01. La generatriz de un tronco de cono forma unángulo cuya medida es 53 con la base inferior yes perpendicular a la recta que une su extremosuperior con el extremo inferior de la generatrizopuesta. Si la generatriz mide g, calcular el árealateral del tronco de cono

A) B) C)

D) E)

02. Un cono de revolución está inscrito en un prismarecto. Calcular el volumen del prisma si elvolumen de la esfera inscrita en el cono es 36ð yel perímetro de la base del prisma es cinco vecesla longitud de la generatriz del cono. (la superficieesférica y la base del cono son equivalentes, labase del cono está inscrita en una base delprisma)A) 1240 B) 1200 C) 2400

D) 1200 E)1200

03. Un cono dea revolución y un cilindro circular rectoson secantes, equivalentes y tienen la mismabase. ¿Qué fracción del volumen del cono no escomún a la del cilindro?

A) 8/27 B) 8/29 C) 6/25D) 9/25 E) 11/30

04. Se tienen dos conos rectos congruentes tangentepor su generatriz y cuyos vértices coinciden. Sisus alturas son H y el radio de la base es r,entonces el área de la región triangular cuyosvértices son los centros de las bases y el vérticecomún de los conos es :

A) B) C)

D) E)

05. En la base de un cono circular recto cuya altura

mide h está inscrito un triángulo rectángulo, losplanos que contienen al vértice del cono y loscatetos de dicho triángulo forman con el plano dela base del cono un ángulo diedro de 30° y 60°.Calcular el volumen de dicho cono

A) ðh3B) ðh3

C) ðh3

D) ðh3E) ðh3

06. El desarrollo de la superficie lateral de un troncode cono de revolución es un trapecio circular cuyoángulo central correspondiente mide 60 y ademáslos radios del mayor y menor sector circular sonrespectivamente R y r. Calcular el volumen dedicho sólido

A) (R3 - r3

) B) (R3 -

r3)

C) (R3 - r

3) D) (R

3+

r3)

E) (R3 + r

3)

07. En un tronco de cono de revolución cuya longitudde su altura es H y los radios de su bases R y r,calcular el volumen del sólido que es laintersección de los conos cuyos vértices son loscentros de las bases es:

A) B) C)

D) E)

08. Calcular el volumen de la intersección de losconos que se encuentran inscritos en un cubo delado k tal que el vértice de un cono se encuentraen el centro de la base del otro y las bases de losconos son círculos inscritos en caras opuestosdel cubo

A) B) C)

D) E)

09. Se tienen dos conos equiláteros que tienen elmismo vértice y que son tangentes exteriormente,tal que la razón de sus áreas totales es k y laaltura del cono mayor mide H (k > 1). Calcular lalongitud de su distancia entre los centros de susbases

A) B) C)

D) E)

10. En un octaedro regular P - ABCD - Q la aristamide L unidades, calcular el volumen del conocircular cuya base se encuentra inscrita en lacara BCQ y su vértice coincide con el punto P

A) B) C)

D) E)

LA ESFERA Y SUS PARTES

DETERMINACIÓN DEL ÁREA DE UNA SUPERFICIEESFÉRICA

TEOREMA DE ARQUÍMEDES:El área que genera una poligonal regular cuando giraalrededor de un eje coplanar que pasa por el centrode la circunferencia circunscrita a dicha poligonal esigual a la longitud de una circunferencia cuyo radio esel apotema de la poligonal multiplicado por laproyección de dicha poligonal sobre el eje de giro.

SABCD =

SABCD = 2ða . A’B’ + 2ða . B’C’ + 2ða . C’D’SABCD = 2ða (A’B’ + B’C’ + C’D’)

SABCD = 2ða . h

ZONA ESFÉRICAEs la porción de la superficie esférica comprendidaentre 2 planos paralelos.

z = 2ð .R. h

CASQUETE ESFÉRICO

Es la zona esférica de una base.

C = 2ð . R . h

SUPERFICIE ESFÉRICA

Es la superficie generada por la rotación de unasemicircunferencia alrededor de su diámetro.

Se = 2ðR . 2R

Se = 4ðR2

DETERMINACIÓN DEL VOLUMEN DE UNAESFERA

TEOREMA:

El volumen que genera un sector poligonal regularcuando gira alrededor de un eje que pasa por suvértice es igual a la tercera parte del área generadapor la poligonal regular multiplicado por el apotemadel sector poligonal regular.

V = VAOB + VBOC + VCOD

V = . a + . a + . a

V = SABCD . a

SECTOR ESFÉRICO

Es el sólido generado por un sector circular cuandogira alrededor de un eje coplanar que pasa por suvértice.

V = . 2ðR . h .

R

ESFERA SÓLIDA

Es el sólido generado por un semicírculo cuando giraalrededor de su diámetro tomado como eje.

V = . . R

V = . 4ðR2 . R

V = ðR3

HUSO ESFÉRICO

Es la porción de la superficie esférica limitado por 2semicircunferencias que tienen un mismo diámetro.

Huso =

CUÑA ESFÉRICAEs una porción de la esfera sólida limitada por 2semicírculos que tienen el mismo diámetro.

Cuña =

ANILLO ESFÉRICOEs el sólido generado por la rotación de un segmentocircular cuando gira alrededor de un eje coplanar quepasa por el centro de la circunferencia a la quepertenece el segmento circular.

CÁLCULO DEL VOLUMEN DE UN ANILLOESFÉRICO

Anillo = Volumen Sector - VAOB = ðR2h - ða

2h

Esférico

Anillo = ðh(R2 - a

2) = ðh

Anillo = ðAB2h

SEGMENTO ESFÉRICOEs la porción de una esfera sólida comprendida entre2 planos paralelos.V = Anillo + tronco de cono

V = ðAB2 . h + (r

2 + p

2 + rp)

V = h(AB2 + 2r

2 + 2p

2 + 2rp)

V = (h2 + (p - r)

2 + 2r

2 + 2p

2 + 2rp)

V = (h2 + 3p

2 + 3r

2)

V =


01. Se tiene un octante de esfera de radio R. Calcule el radio de la esfera inscrita en el octante.

A) B) C)

D) E)

02. Calcule el área de la esfera tangente a las aristasde un hexaedro regular de arista L.

A) ðL2 B) ðL2 C) 2ðL2

D) E) 3ðL2

03. En una semiesfera de centro O se inscribe untronco de pirámide cuadrangular ABCD - PQRSde modo que la base PQRS se encuentra inscritaen la base de la semiesfera. Si el radio de lasemiesfera es R y la mËAOP = 36, entonces laaltura del tronco de pirámide es:

A) B) C)

D) E)

04. En un cono circular recto (cono de revolución)está inscrita una esfera y el radio decircunferencia de tangencia mide a. Si ladistancia del centro de la base del cono a una desus generatrices mide b. Calcular el volumen dela esfera.

A) B)

C) D)

E)

05. P, es un punto exterior a una esfera de centro O,se traza todas las rectas tangentes a la superficieesférica desde P, formándose un cono equiláterocuya base es un círculo menor de la esfera.Calcular la relación de volúmenes del cono a laesfera.A) 5/32 B) 7/32 C) 9/32D) 11/32 E) 13/32

06. En un casquete esférico correspondiente a unasuperficie esférica de radio 8 se cumple que elárea de la base es igual a los 3/16 del área de lasuperficie esférica. Calcular la longitud de laaltura de la zona.A) 1 B) 2 C) 3D) 4 E) 5

07. La altura de un cono de revolución es el diámetrode una esfera. Si el radio de la base del cono escongruente con el de la esfera y ambos miden R,calcular el área del menor casquete que resultade la intersección de los dos sólidos.

A) B) C) ðR2

D) E)

08. Calcular el volumen de la esfera inscrita en unoctaedro regular de arista a.

A) B) C)

D) E)

09. Se circunscribe una superficie esférica a untetraedro regular cuya arista mide a. Calcular elvolumen que determina la superficie esférica.

A) B) C)

D) E)

10. Una zona esférica de una base definido por un plano secante a una superficie esférica cuyo radio mide 8 m, de modo que la suma del áreade la superficie de esta zona y del área de subase sea igual a los 7/16 del área de la superficieesférica. Calcular la longitud de la altura de estazona.A) 1m B) 2m C) 3mD) 4m E) 5m

11. En una circunferencia de centro O se tiene el

segmento circular determinado AB tal que m

= 60, siendo el área del segmento circular 3 (2ð -

3 ). Calcular el volumen máximo generado por

este segmento circular al girar alrededor de undiámetro exterior a este segmento.A) 18ð B) 24ð C) 32ðD) 36ð E) 42ð

12. En un círculo cuyo diámetro AC = 2R se traza la

cuerda tal que m = 120. Calcular el

volumen del sólido generador por la rotación de

región ABC alrededor de .

A) B) C)

D) E)

13. Se tiene una esfera de radio R se traza un planoque divide a la esfera en dos casquetes que estánen la relación de 3 a 2. Calcular la distancia delplano que se ha trazado al centro de la esfera. A) R/4 B) R/5 C) 3R/5D) R/8 E) R/6

14. Calcular el volumen de una esfera tangente a las

aristas , y de un tetraedro regular

ABCD, en los vértices A, B y C respectivamente;siendo “a” la arista del tetraedro.

A) B) C)

D) E)

15. Calcular el volumen de una esfera que estangente a una de las caras de un exaedroregular cuya arista mide 4, en uno de sus vérticesy la superficie esférica contiene al vértice opuestoal ya mencionado. A) 150ð B) 528ð C) 300ðD) 268ð E) 288ð

16. Se tiene un casquete esférico cuya altura mide 2cm y el área de la base es 16ð cm2 ¿Quévolumen tendrá el segmento esférico semejanteal que determina el casquete esférico, sabiendoque la esfera correspondiente al segmentoesférico tiene un radio igual a 15 cm?A) 100ð cm3 B) 404ð cm3 C) 413ð cm3

D) 448ð cm3 E) 468ð cm3

17. El área de un casquete esférico es la quinta partedel área de la superficie esférica correspondiente.Si la altura del casquete esférico es 2. Calcular elvolumen del segmento esférico correspondienteal casquete.A) 85ð/2 B) 72ð/7 C) 52ð/3D) 27ð E) 67ð/4

18. Las bases de un segmento esférico de una basey un cilindro circular recto coinciden, si elvolumen del sólido comprendido entre lassuperficies laterales es igual a 396 ð cm3.Calcular la altura del cilindro si es igual al laaltura del casquete esférico y el radio de la basedel cilindro es dos veces la altura.A) 5 cm B) 6 cm C) 8 cmD) 9 cm E) 11 cm

19. Se tiene una superficie esférica donde el radio esel triple del radio de la base de un conoequilátero. Si la superficie lateral del cono esequivalente a un huso esférico determinado endicha superficie esférica, calcular la medida delángulo diedro para que se consiga el husoesférico mencionado.A) 5 B) 10 C) 15D) 20 E) 25

20. En un semicircunferencia de diámetro igual a

2R se traza la cuerda paralela al diámetro y

que subtiende un arco cuya medida es 120.Calcular el volumen del sólido generado por el

segmento circular CD al girar alrededor de .

A) B) C)

D) E)

TAREA

01. Dada una esfera cuyo radio mide 2, calcular elvolumen del menor segmento esférico determinado en la esfera por el plano mediatrizde un radio de dicha esfera.

A) B) C)

D) E)

02. La arista de un cubo mide 4 m. Calcular lalongitud del radio de dos esferas congruentes quepueden ser introducidas en el cubo de forma queellas no pueden desplazarse en el interior del

cubo cuando este se pone en movimiento.

A) B) C)

D) E)

03. Una esfera está inscrita en un cilindro circularrecto cuyo volumen es 54 ðm3. En dicha esferase desea calcular el área del huso esféricocorrespondiente a una cuña esférica de ð m3

devolumen.

A) B) C)

D) E)

04. En una esfera de de volumen, los

radios de las bases de un segmento esféricomiden 5 m y 12 m, respectivamente. Calcular elárea de la zona esférica determinada si las basesestán a uno y otro lado del centro de la esfera.A) 442 m2 B) 424 m

2 C) 244 m2

D) 440 m2

E) 404 m2

05. Calcular la longitud del radio de una esferatangente a las aristas laterales y a la base de unapirámide cuadrangular regular cuya arista básicay su respectiva altura miden “2a”

A) B) C)

D) E)

06. Se tiene un cilindro inscrito en una esfera de radioR. Donde el radio de la esfera es el doble delradio de la base del cilindro. ¿A qué distancia delcentro debe pasar un plano paralelo a las basesdel cilindro, para que la sección comprendidaentre la esfera y el cilindro sea equivalente a labase del cilindro?

A) B) C)

D) E)

07. Calcular el área de la superficie esférica,sabiendo que las áreas de los casquetesdeterminados por un plano secante a ella estánen razón de 4 a 5 y la cuerda correspondiente alarco que genera el casquete menor mide “a” m.

A) B) C)

D) E)

08. La esfera máxima inscrita en una cuña esféricade centro O es tangente a los semicírculosmáximos en A y C y al huso esférico en B.Calcular la razón de volúmenes de los sólidosmencionados si OABC es un paralelogramo.A) 1/9 B) 3/9C) 5/9

D) 4/9 E) 2/9

09. Calcular la medida del ángulo que le correspondeal huso, sabiendo que el área del huso es igual alárea de la máxima esfera inscrita cuya razónentre sus radios es de 1 a 6.A) 10 B) 11 C) 12D) 8 E) 9

10. El área del casquete esférico es 80ð m2 y el radiode su superficie esférica correspondiente mide10 m. Calcular el área de la base del casqueteesférico.A) 32ð m2 B) 64ð m2 C) 66ð m2

D) 23ð m2 E) 46ð m2

TEOREMA DE PAPPUS Y GULDING

1° TEOREMAEl área que genera una línea cuando giraalrededor de un eje es igual a la longitud de lacircunferencia que recorre su centro de gravedadmultiplicado por la longitud de la línea.

S = (2ðx) . LAB

2° TEOREMA

El volumen que genera una superficie cuandogira alrededor de un eje coplanar es igual a lalongitud de la circunferencia que recorre su centrode gravedad multiplicado por el área de la figura.

V = (2ðx)A

A: Área de la región poligonal


01. Se tiene un paralelogramo ABCD en dondemËA=135; AB=4 y AD=8. Calcular el volumenengendrado por el paralelogramo cuando gira

alrededor de A) 72ð B) 64ð C) 192ð

D) 10 E) 32ð

02. Un rectángulo con lados a y b gira en torno a sueje pasa por un vértice y que es paralelo a ladiagonal que no pasa por dicho vértice. Hallar elvolumen del sólido de revolución obtenido.

A) B) C)

D) E)

03. Los vértices de un triángulo ABC tienen porcoordenadas A(2; 2), B(4; 11) y C(6; 2). Calcularel volumen del sólido que resulta al rotar la regióntriangular ABC alrededor del eje “x”.A) 100ð B) 160ð C) 180ðD) 150ð E) 240ð

04. En un triángulo se traza por el baricentro unarecta paralela a su base. ¿Qué relación existeentre los volúmenes generados por las dos partesen que queda dividido el triángulo cuando estasgiran alrededor de la recta?A) 1 B) 1/2 C) 1/3D) 2/3 E) 3/4

05. Si el radio de una altura mide 12ð. ¿A qué

distancia del centro de la esfera está el centro degravedad del semicírculo que la engendra?A) 12 B) 14 C) 16D) 18 E) 20

06. Se tiene un círculo cuyo radio mide 3, tal que ladistancia de su centro a una recta coplana es 8. Calcular el volumen y el área que se generancuando dicho círculo gira alrededor de la rectatomada como eje.A) 10ð2

y 198ð2B) 96ð2

y 144ð2

C) 48ð2 y 72ð

2D) 72ð

2 y 132ð

2

E) 81ð2 y 165ð

2

07. Dado un rombo cuyo lado mide 5 y su diagonalmayor 8, gira alrededor de uno paralela a éstadiagonal mayor trazada por el extremo de ladiagonal menor. Calcule el volumenengendrado.A) 100ð B) 124ð C) 128ðD) 144ð E) 156ð

08. Calcular el ángulo de un sector circular sabiendoque cuando gira alrededor de un eje que pasa porel vértice y es perpendicular al eje de simetríagenera un volumen igual a la mitad del volumende la esfera de igual radio que el sector.A) 30° B) 45° C) 37°D) 60° E) 75°

09. Se da un triángulo ABC de lados AB=10 cm, BC=6 cm y AC=8 cm, que gira alrededor de una

perpendicular a . Hallar el volumen

engendrado.A) 188,2ð cm

3B) 220,4ð cm

3

C) 384,2ð cm3

D) 262,4ð cm3

E) 396,4ð cm3

10. ABCD es un cuadrado, AB = 4, // .

Calcular el área de la superficie generada por el

cuadrado al girar una vuelta alrededor de

A) 25 B) 32ð( + 1) C) 48ð( + 1)

D) 75ð E) 16ð

11. Calcular el volumen generado por un triánguloequilátero cuyo lado mide 2 al girar 360°alrededor de una recta que pasa por uno de susvértices y es paralelo al lado opuesto.A) ð B) 2ð C) 3ðD) 4ð E) 5ð

12. Se tiene un triángulo y una recta exteriorcoplanares. Si el área de la región triangular es30 y las distancias desde sus vértices hacía larecta miden 8, 1 y 6, calcular el volumenengendrado por esta región triangular al rotaralrededor de esta recta exterior.A) 100ð B) 200ð C) 300ðD) 350ð E) 400ð

13. Calcular el área de la superficie generada por elrectángulo ABCD al girar una vuelta alrededor de

, si 3AB = 2AD = 3DE = 6

A) 70ð B) 60ð C) 50ðD) 40ð E) 75ð

14. En una circunferencia se inscribe un triánguloequilátero cuyo apotema mide “a”. Calcular elvolumen del sólido generado por la regiónlimitada por la circunferencia y el triánguloequilátero al girar 360 ° alrededor de una recta

tangente a la circunferencia y paralela al lado

A) 2ða3(4ð - 3 ) B) 2ða

3(6ð -

2 )

C) 3ða3(2ð - 3) D) 4ða

3(6ð -

2 )

E) 4ða3(4ð - 3 )

15. La razón entre los lados de un paralelogramo es0,6. Calcular la razón de volúmenes de lossólidos que se generan al rotar la regiónparalelográmica en torno a sus lados adyacentes(una vuelta en cada uno)A) 0,3 B) 0,2 C) 0,36D) 0,8 E) 0,6

16. Calcular el volumen generado por la regiónsombreada al girar alrededor del eje coplanar L.“T” es punto de tangencia, “O” es centro comúnAB=8 y BC=2.

A) 192ð2 B) 194ð

2 C) 196ð2

D) 190ð2 E) 198ð

2

17. La figura muestra un cuadrado cuya área es 64m

2. Si BP=6m, calcular el volumen del sólido

engendrado al girar el cuadrado, una vuelta

alrededor de la recta //

A) 208,2 ð B) 307,2 ð C) 406,3 ð

D) 256,2 ð E) 280,2 ð

18. Los volúmenes generados por el exágono regularmostrado al girar en torno a los ejes “x” e “y”; sonV1 y V2. Hallar : V1/V2

A) B) C)

D) E) 1/3

19. Calcular el volumen generado al rotar el área dela región sombreada sobre el eje “A” paraR=3r=3.

(Considerar: ð )

A) 480 B) 520 C) 460D) 580 E) 600

20. Si los lados de un romboide están en la razón de3 a 7. Calcular la razón de los volúmenes de lossólidos que se obtienen mediante la rotación de laregión limitada por dicho romboide en torno asus lados adyacentes.

A) 8/3 B) 7/3 C) 6/3D) 5/3 E) 4/3

TAREA

01. En un cuadrado ABCD se traza la circunferenciainscrita de radio 2. Calcule el volumen del sólidogenerado por la región limitada por el cuadrado yla circunferencia al girar una vuelta alrededor de

A) 2ð(4-ð) B) 12ð(4-ð) C) 32ð(4-ð)D) 16ð(4-ð) E) 20ð(4-ð)

02. En un cuadrado ABCD cuyo lado mide 4. Calcular el volumen del sólido generado por laregión cuadrada al girar una vuelta alrededor deuna recta que pasa por D y paralela a la diagonal

A) 65ð B) 64ð C) 60ð

D) 32ð E) 36ð

03. Calcular la distancia del centro de gravedad de la

región sombreada hacia si AO =6 u

A) 4/ð u B) 8/ð u C) 2/ð uD) ð u E) 2ð u

04. Calcular el volumen del sólido generado por laregión rectangular ABCD al girar una vuelta

alrededor de “L” si // y CD=2 u.

A) 22ð u3

B) 24ð u3

C) 26ð u3

D) 28ð u3

E) 30ð u3

05. Calcular la razón de volúmenes de los sólidosdeterminados por las regiones ABC y APQC al

girar una vuelta alrededor de . (AB=BC=AC)

A) 4/3 B) 2/3 C) 3/4D) 3/2 E) 2/6

06. Se tiene un cuadrado ABCD (AB=5 cm), se

traza por “D” una recta no secante al

cuadrado, que forma con un ángulo que mide

8°, calcular el volumen del sólido generado por la

región cuadrada al girar 360° alrededor de .

A) 10ð cm3

B) 100ð cm3

C) 200ð cm3

D) 300ð cm3

E) 400ð cm3

07. Se tiene un rectángulo ABCD donde AB=3BC,BC=a unidades. Sea L una recta que pasa por elvértice B y forma un ángulo de 45° con el lado demenor longitud. Calcular el volumen del sólidoque genera la región rectangular ABCD alrededordel eje que pasa por la recta L.

A) 2 a3ð B) 3 a

3ð C) 4 a

3ð

D) 6 a3ð E) 5 a

3ð

08. En la figura mostrada AC es diámetro AO=OC=4u. Los triángulos ABO y ODC son equiláteros. Calcular el volumen del solido generado por larotación de la región sombreada alrededor de larecta XX’.

A) 64ð( +ð) B) 32ð( +ð) C) 32 ð

D) 48ð( +ð) E) 24ð( +ð)

09. ABCD es un rectángulo, AB=3, BC=4, se inscribeen ABC una circunferencia. Calcular el volumenque genera el círculo inscrito al rotar alrededor dela recta AC.

A) ð u3

B) u3

C) u3

D) u3

E) 2ð2

u3

10. Se tiene una región triangular ABC, que giraalrededor de una recta trazada por el vértice A nosecante a los lados coplanares al triángulo, demodo que el área de la superficie generadas por

En dicho giro es S y la distancia del vértice

A al lado AC es d. Calcular el volumen del sólidogenerado por la región triangular ABC al girar entorno a dicha recta.

A) B) C)

D) E)

MÁXIMOS Y MÍNIMOS

01. Un rectángulo tiene perímetro igual a P. Hallarsus dimensiones para que su área sea máximaA) P/2; P/2 B) P/3; P/6 C) P/4; P/4D) 3P/10; P/5 E) P/3; P/4

02. En la figura : ABCD es un cuadrado de lado “L”,AP=DS=CR=BQ=x. Calcular los valores de “x”que hacen que PQRS tenga área mínima ymáxima :

A) L/3; L/2 B) L/2; L/4 C) 0; L/2D) L/5; L E) L/2; 0

03. Se desea construir una caja sin tapa y de basecuadrada disponiendo de 300 dm2

de material;calcule la altura de dicha caja para que suvolumen sea máximoA) 4 dm B) 6 dm C) 8 dmD) 5 dm E) 9 dm

04. Hallar las dimensiones de un rectángulo de áreamáxima inscrito en un triángulo de lados 8; 10; 12tal que un lado del rectángulo, está contenido enel lado del triángulo que mide 12.

A) B) C)

D) E)

05. Si tres lados de un trapecio miden cada uno 10cm, ¿cuánto debe medir la base mayor para queel área sea máxima?A) 15 cm B) 25 cm C) 20 cm

D) 30 cm E) 20 cm

06. Calcular el máximo volumen que puede tener uncilindro circular recto inscrito en una esfera deradio “R”

A) B) C)

D) E)

07. Un alambre de longitud L es cortado en dossecciones, una para formar un cuadrado y la otrapara formar un triángulo equilátero. ¿Cuál debeser el lado del cuadrado para que la suma de lasáreas sea máxima?

A) B) C)

D) E)

08. Un cono circular recto de 24 cm de altura escortado por un plano paralelo a su base. ¿A quédistancia de la base debe ser hecho el corte, paraque el cono recto de base en la seccióndeterminada y de vértice en el centro del conodado tenga volumen máximo?A) 4 cm B) 6 cm C) 8 cmD) 10 cm E) 12 cm

09. Se necesita construir un embudo cónico cuyageneratriz debe ser igual a 20 cm. ¿Cuál debe serla altura del embudo para que su volumen sea lomayor posible?

A) 10 B) C)

D) E)

10. Dado el volumen de un cilindro circular recto,hallar la relación entre el radio y la altura,sabiendo que la suma de su área lateral y el áreade su base es mínimaA) 2 B) 1 C) 3/2

D) E) 4/3

11. Un triángulo isósceles está circunscrito a un círculo de radio “R”. Si el perímetro de dichotriángulo es mínimo, calcular su altura.A) 2R B) 3/2R C) 4R

D) 3R E) 3R

12. Si un recipiente cilíndrico de lámina (cerrado enambos extremos) ha de tener V como volumen.Encontrar las dimensiones que requerirán lamínima cantidad de material

A)

B)

C) D)

E)

13. Se inscribe un triángulo en un círculo de radio “r”.¿Cuál debe ser la longitud de su altura para quesu área sea máxima?A) r B) 3r/2 C) 4r/5

D) 5r/4 E) r/2

14. Debe construirse una lámina triangular isóscelesy de 60 cm de perímetro de manera tal que alrotar sobre su lado común a los ánguloscongruentes determine un sólido de máximovolumen; ¿cuáles deben ser las dimensiones delos lados de la lámina triangular?A) 49/4 ; 16 B) 55/4 ; 12 C) 45/2 ; 15D) 39/2 ; 10 E) 49/5 ; 12

15. Encontrar las dimensiones del cilindro circularrecto de máximo volumen que puede ser inscritoen un cono circular recto de radio “R” y altura “H”A) 2R/3 ; H/3 B) R/2 ; H/3 C) 3R/4 ; H/2D) R/3 ; 2H/3 E) R/4 ; 5H/6

16. Un cono circular recto va a ser circunscrito enuna esfera de radio conocido. Encontrar la razónde la altura al radio de la base del cono devolumen mínimo

A) 2 B) 2 C)

D) 2 E) 2

17. Se tiene una plancha metálica de lado igual a 12cm. Se desea construir de ella una caja cortandocuadrados iguales en cada esquina y doblandolos bordes hacia arriba. Hallar las dimensiones dela caja de capacidad máxima que se puedeconstruir de este modoA) 6 ; 3 B) 8 ; 2 C) 6 ; 4D) 10 ; 2 E) 9 ; 2

18. En un rombo ABCD cuyo lado es 3 se traza

por el vértice A la recta paralela a ; luego se

hace girar el rombo en torno a esta recta, unavuelta completa. Calcular el volumen máximo delsólido generadoA) 198 B) 216 C) 248D) 324 E) 216ð

19. Una esfera de radio “a” está inscrita en unapirámide regular cuadrangular de la cual se pidesu volumen mínimoA) 24a

3 B) 64a3/3 C) 32a

3/3D) 24a

3/5 E) 16a

3

20. Determinar el área lateral máxima del tronco decono circular recto si : AB+BC+CD+AD=k

A) ðk2/2 B) ðk

2/4 C) ðk

2/8

D) ðk2/16 E) ðk

2/32

TAREA

01. Un cono circular recto de 24 cm de altura escortado por un plano paralelo a su base. ¿A quédistancia de la base debe ser hecho el corte, paraque el cono recto de base en la seccióndeterminada y de vértice en el centro del conodado tenga volumen máximoA) 4 cm B) 6 cm C) 8 cmD) 10 cm E) 12 cm

02. Se tiene una pirámide exagonal regular O-ABCDEF cuya arista lateral es “a”. Calcular elvolumen de dicha pirámide, si el área de la regióntriangular AOD es máxima

A) B) C)

D) E)

03. En una semicircunferencia de diámetro se

inscribe el trapecio ABCD. Si AD = 4 m. Hallar elárea máxima de la región cuadrangular ABCD

A) 3 m2B) 4 m2

C) 8 m2

D) 6 m2 E) 4 m

2

04. La base de la pirámide M-ABCD es un cuadrado

es la altura de la pirámide. Hallar el valor

mínimo de la longitud de la arista si el

volumen de la pirámide es 9 u3

A) 2 u B) u C) 3 u

D) 3 u E) 0,5 u

05. En la figura AP+BQ=a y PQ=b. Calcular

“AR+RB” si es mínimo.

A) a+b B) C)

D) E)

06. Dos lados de un triángulo miden 11 y 60. Calcular el área del circulo inscrito para que elárea de la región triangular sea máxima.A) 16ð B) 36ð C) 4ðD) 9ð E) 25ð

07. En el trapecio “è” es agudo, AC=12 y BD=16. Calcular el mínimo valor entero de la mediana“MN”

A) 2 B) 4 C) 9

D) 10 E) 11

08. Se tiene una caja de forma paralelepípedorectangular la cual se desea pintar. Si el largo esel doble del ancho y la suma de las 3dimensiones diferentes es 14. Calcular la alturapara que se gaste la menor cantidad de pintura.A) 4 B) 5 C) 6D) 7 E) 8

09. Hallar la altura del cono de volumen máximo quepuede inscribirse en un esfera de radio “r”A) 3r/4 B) 2r/3 C) 3r/2

D) 4r/3 E) r

10. Calcular la altura del cilindro de volumen máximoque puede inscribirse en un cono circular recto de12 cm de altura.A) 6 B) 4 C) 3

D) 5 E) 3

Libro 1 Anual Uni Geometría

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