General Algebraic Modeling

System

GAMS

Gabriela Hernández Luna

gabriela.hernandez@uaem.mx

Temario1. ¿Qué es GAMS?

2. Instalación de GAMS

3. Modelo

4. Modelo de optimización

5. Estructura básica de modelo de optimización

6. Etapas de desarrollo de modelo

7. Método de optimización

8. Expresiones generales

9. Estructura básica GAMS

10. Análisis de grados de libertad

11. Ejemplos 3

¿Qué es GAMS?

GAMS (General Algebraic Modeling System) es un sistema de

modelado de programación matemática que permite resolver

problemas de optimización.

Emplea un lenguaje de alto nivel en un ambiente fácil de editar

(ambiente integrado de desarrollo) donde el usuario escribe la

formulación del modelo seguido de la selección y ejecución del

programa de solución.

Permite trabajar en diversas plataformas, UNIX, LINUX, etc. así como

también permite interrelación con otros lenguajes de programación.4

5

-T

T

T

T

Para trabajar con GAMS Disponer de una versión GAMS

www.gams.com

Limitaciones

Máximo número de filas 300

Máximo número columnas 300

Máximo número de elementos distintos de cero 2000

Máximo número de elementos no lineales 1000

Máximo número de variables discretas 50

6

-T

T

T

T

Es conveniente crear un proyecto mediante el menú File, Proyect,

New Proyect asignarle el nombre y guardarlo donde deseemos.

Posteriormente crear fichero, mediante el editor de GAMS,

eligiendo de la barra de Menú la opción file y de ésta new, y

aparecerá la siguiente pantalla

Instalación

7

-T

T

T

T

Una vez descargado el fichero de web, la instalación es muy

sencilla, casí automática: sólo hay que elegir el directorio donde

se instalará.

Finalizada la instalación, se accede al programa, desde ícono

creado o desde inicio de programas, obteniendo la siguiente

ventana

Instalación

Situaciones reservadas en GAMS

Los archivos en GAMS

tienen extensión *.gms

La solución de algún modelo,

se presenta en un archivo de

resultados en formato de texto,

con el mismo nombre del archivo

del código pero con extensión

*.lst 8

8

Modelo

9

Un modelo es una representación matemática simplificada de una

realidad compleja elaborado para facilitar la comprensión y

estudio de su comportamiento.

Es una herramienta que ayuda a la toma

de decisiones cuyos resultados deben ser

entendidos y útiles.

9

Modelos de optimización

10

Modelos donde existe un conjunto de variables de decisión que deben

maximizar/minimizar una función objetivo sometidas a un conjunto de

restricciones.

10

Función objetivo (of)

• Es la medida cuantitativa del funcionamiento del sistema que se deseaoptimizar (maximizar o minimizar).

Variables (v)

• Son las decisiones a tomar que influencian el valor de la función objetivo. Seclasifican en:

• Variables independientes (principales o de control)

• Variables dependientes (auxiliares o de estado)

Restricciones (st)

• Conjunto de relaciones, expresadas mediante ecuaciones o inecuaciones, que

ciertas variables están obligadas a satisfacer.

Optimizar consiste en encontrar el valor de una alternativa mejor, en

algún sentido, que las demás alternativas posibles.11

-T

T1

2

-T

T

T

Estructura de modelos de optimización

Etapas de desarrollo de un modelo

1. Identificación del problema

2. Especificación matemática y formulación

3. Resolución

4. Verificación, validación y refinamiento

5. Interpretación y análisis de resultados

12

-T

Etapas de desarrollo de un modelo

1. Identificación del problema

Colección de datos

Análisis de los mismos

Para hacer traducción e interpretación convertibles en

ecuaciones matemáticas13

-T

2

T

Etapas de desarrollo de un modelo

2. Especificación matemática y formulación

Escritura matemática del problema

Definición de variables, ecuaciones, función objetivo

y parámetros

Analiza el tamaño del problema

Analiza estructura de matriz de restricciones14

-T

2

T

T

Etapas de desarrollo de un modelo

3. Resolución

Implementar un algoritmo de obtención a la solución

numérica óptima o cuasi-óptima.

El tiempo de resolución depende cómo esté formulado

La solución debe ser suficientemente satisfactoria.

15

2

T

Etapas de desarrollo de un modelo

4. Verificación, validación y refinamiento

Eliminación de errores en codificación, conseguir que

el modelo realice las acciones especificadas incluso

comprobando validez de simplificaciones realizadas

16

Conocer detalle desempeño del modelo haciendo

análisis de sensibilidad, identificar soluciones

alternativas cuasióptimas pero atractivas

17

T

Etapas de desarrollo de un modelo

5. Interpretación y análisis de resultados

Optimización lineal

Optimización lineal entera mixta

Clásicos Optimización no lineal

Optimización estocástica

Métodos Optimización dinámica

de optimización etc.

Optimización evolutiva

Metaheurísticos Optimización simulada

Optimización multiagente

etc.

18

-T

T

T

T

De manera general los métodos clásicos buscan y garantizan un óptimo

local mientras que los metaheurísticos tienen mecanismos específicos para

un óptimo global (aunque su alcance no está garantizado)

Expresiones generales de algunos tipos de optimización

Como principales estructuras de programación tenemos disponibles en GAMS las siguientes:

19

𝐦𝐢𝐧 𝐜𝐓𝐱A x = b

x ≥ 0

x ∈ 𝑹𝒏 , c ∈ 𝑹𝒏 , A ∈ 𝑹𝒏 𝒙𝒎, b ∈ 𝑹𝒎

𝐦𝐢𝐧 𝐜𝐓𝐱 + 𝐝𝐓

A x + B y = b

x, y ≥ 0

x ∈ 𝒁𝒏, y ∈ 𝒁𝒏, c ∈ 𝑹𝒏 , 𝐝 ∈ 𝑹𝒍

A ∈ 𝑹𝒏 𝒙𝒎, B ∈ 𝑹𝒏 𝒙𝒎, b ∈ 𝑹𝒎

𝐦𝐢𝐧 𝐜𝐓𝐱A x = b

x ≤ 0 ≤ x

x ∈ 𝒁𝒏 , c ∈ 𝑹𝒏 , A ∈ 𝑹𝒏 𝒙𝒎, b ∈ 𝑹𝒎

20

Programación cuadrática

Quadratic prograamming

(QP)

Programación no lineal

Non linear prograamming

(NLP)

𝐦𝐢𝐧 f(x)

g(x) = 0

h(x) = 0

l ≤ 𝒙 ≤ 𝒖f : 𝑹 𝒏 → 𝑹g, h :𝑹𝒏 → 𝑹𝒏

𝐦𝐢𝐧 𝐜𝐓𝐱 + 𝟏

𝟐𝒙𝐓𝑸𝒙

A x = b

x ≥ 0

x ∈ 𝑹𝒏, A ∈ 𝑹𝒏 𝒙𝒎

Q ∈ 𝑹𝒏 𝒙𝒎, b ∈ 𝑹𝒎

21

Estructura básica en GAMS

Nombre del bloque Nombre en GAMS

Comentarios TEXT

Variables VARIABLES

Ecuaciones EQUATIONS

Modelo MODEL

Solución SOLVE

22

1. Líneas de comentarios

Líneas de comentarios.

- $ONTEXT, $OFFTEXT para párrafos

Ejemplo

$ONTEXT

Comentario 1

Comentario 2

Comentario 3

$OFFTEXT

- * para líneas aisladas. No acentuar ni usa ñ

Ejemplo

* Comentario en una sola linea

23

2. Bloque de variablesCabecera: VARIABLES .Nombre de variables: (hasta 63 caracteres alfanuméricos)

- una variable por línea (sugerencia) o todas seguidas en una línea

separadas por comas

- seleccionar un variable para la función objetivo sin restricción, sin ser positiva,

binaria

- colocar ; después de la última variable

Ejemplo:

Opción 1 x, y, z, F;

Opción 2 x variable 1

y variable 2

z variable 3

F función objetivo ;

24

2. Bloque de variablesClase de variables: (optativo).

- libres (FREE): valor por defecto - ∞, + ∞

- no negativas (POSITIVE) 0 , + ∞

- binarias (BINARY) 0, 1

- enteras positivas (INTEGER) 0, 1,…, 100

Ejemplo:

POSITIVE VARIABLES x, y;

Cotas sobre variables: (optativo)

- cota superior: Nom.UP = valor

- cota inferior: Nom.LO = valor

Ejemplo:

x.UP= 10; x.LO=3;

25

3. Bloque de ecuacionesAsignar nombre diferentes de las variables

- Cabecera: EQUATIONS

- Nombre de las funciones y restricciones: (máximo 8 caracteres)

- una línea o todas seguidas en una línea separas por comas

- después del último colocar ;

Ejemplo:

Opción 1: REST1, REST2, OBJ;

Opción 2: REST1 nombre de ecuación 1

REST2 nombre de ecuación 2

OBJ nombre de función objetivo (recomendado);

- Definición de funciones y restricciones- Una por línea y al final, colocar ;

- Signos de igualdad y desigualdad

- =E= para =

- =L= para ≤

- =G= para ≥

26

3. Bloque de ecuaciones

- Definición de funciones y restricciones- Signos de operaciones

+ para adición

- para diferencias

* para productos

/ para cocientes

** para potencias (con exponente entero)

Ejemplo

OBJ.. F=E= 2+4*x**2+y*z;

REST1.. 4*x+ 2*z =L=3;

27

4. Bloque de modelo

- Una línea única

- Necesario asignar nombre a modelo

- Declarar entre barras (/…. /) las ecuaciones que formarán parte del

modelo conocido.

En caso de incluir todas ecuaciones, incluir /ALL/.

Esto permite para una sola entrada de datos definir varios modelos y

resolvernos todos, en caso deseado, en una sola ejecución de GAMS.

Ejemplo

Opción 1: MODEL Problema1 /OBJ, RESTR1/;

Opción 2: MODEL Problema2 /ALL/;

28

5. Bloque de solución

- Una única línea con:- Palabra SOLVE

- Nombre del modelo (mismo usado en nombre del modelo)

- Tipo de problema precedido por palabra: USING: NLP, LP, MIP, RIMP, DNLP

- Dirección de optimización

- MAXIMIZING o MINIMIZING

- Nombre de la variable correspondiente a la función objetivo

- Finalizar con ;

Ejemplo:

SOLVE Problem1 USING NLP MAZIMING F;

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Análisis de grados de libertad

- Para un sistema de M ecuaciones y N variables, el número de grados de

libertad, F, está dado por

𝐹 = 𝑀 −𝑁

Presentan tres casos

𝐹 = 0

Solución única 𝐹 ≥ 1

𝐹 0

Sistema factible de optimizarse

Sistema sobreespecificado

30

Ejemplo 01

Consideremos un problema de fabricación de sillas y escritorios, cuyo

modelo es

min 𝑧 = − 𝑥1 − 1.4 𝑥2𝑥1 + 𝑥2 ≤ 400𝑥1+ 2𝑥2 ≤ 580𝑥1 ≤ 300𝑥1 > 0

31

Ejemplo 01$ONTEXT

Problema de elaboración de sillas y escritorios

$OFFTEXT

o

*Problema de elaboración de sillas y escritorios

VARIABLES x1, x2, z;

EQUATIONS obj, rest1, rest2;

Obj.. z =E= -x1 – 1.4*x2;

rest1.. x1 + x2 =L= 400;

rest2.. x1 + 2*x2 =L= 580;

x1.UP = 300;

MODEL ejemplo /ALL/;

SOLVE ejemplo USING LP MINIMIZING z;

32

33

34

Ejemplo 02Caso del transporte.

Sean i fábricas de envasado, j mercados de consumo. Cada fábrica tiene

capacidad máxima de producción de 𝑎𝑖 cajas y cada mercado tiene una

demanda de 𝑏𝑖 cajas (se supone que la capacidad de producción total de las

fábricas es superior a la demanda total).

El coste de transporte entre cada fábrica i y cada mercado j por caja es 𝑐𝑖𝑗.

Se desea satisfacer la demanda de cada mercado al mínimo coste.

34

35

Ejemplo 02

Las variables de decisión serán las cajas transportadas en cada fábrica i, y cada mercado j, xij.

Las ecuaciones a satisfacer son:

Límite de capacidad máxima de producción de cada fábrica

𝑗 𝑥𝑖𝑗 ≤ 𝑎𝑖 para cada fábrica i

Satisfacción de demanda de cada mercado

𝑖 𝑥𝑖𝑗 ≥ 𝑏𝑗 para cada mercado j

La función objetivo será la minimización de los costes totales de transporte

𝑖 𝑗 𝑐𝑖𝑗 𝑥𝑖𝑗 ∀𝑖,𝑗

Ésta es la forma algebraica de representación de este problema de optimización.

36

Ejemplo 02

$TITLE MODELO TRANSPORTE

SETS

i fábricas de envasado /Toluca, Cuernavaca/

j mercados de consumo /León, Tlaxcala, Aguascalientes/

Existen tres formato de entrada de datos:

1.- Listas

2.- Tablas

3.- Asignaciones directas

37

Ejemplo 02

1.- LISTAS

PARAMETERS

a(i) capacidad de producción de la fábrica i (cajas)

/Toluca 350

Cuernavaca 700/

b(j) demanda del mercado j (cajas)

/ León 400

Tlaxcala 450

Aguascalientes 150/ ;

38

Ejemplo 02

2.- TABLAS

TABLE c(i, j) coste unitario transporte entre i y j (miles de $ por caja)León Tlaxcala Aguascalientes

Toluca 0.6 0.12 0.09

Cuernavaca 0.05 0.15 0.11

3.- ASIGNACIÓN DIRECTA

varb1 descripción /8.13/ ;

39

Ejemplo 02

VARIBLES

x(i,j) cajas transportadas entre fábrica i y mercado j (miles de $)

ct coste del transporte (miles de $)

POSITIVE VARIABLE

x

EQUATIONS

coste coste total del transporte (miles de $)

capacidad(i) capacidad máxima de cada fábrica i (cajas)

demanda (j) satisfacción de demanda de cada mercado (cajas)

40

Ejemplo 02

coste.. ct = E = SUM[(i, j), c(i,j) * x(i,j) ];

capacidad(i).. SUM [j, x(i,j) ] =L= a (i) ;

demanda(j).. SUM [i, x(i,j)] =G= b(j);

MODEL transporte /coste, capacidad, demanda/

SOLVE transporte USING LP MINIMIZING ct;

*Notación de producto (índice de sumatoria , sumandos)

41

Ejemplo 02

En cada variable o ecuación podemos apreciar cuatro columnas:

LOWER, LEVEL, UPPER y MARGINAL (contiene el valor de los

multiplicadores de las restricciones).

La columna LEVEL refleja el valor de cada variable optimizada (valor en la

solución).

La columna LOWER representa en valor de cota inferior de la variable en

cuestión.

La columna UPPER representa en valor de cota superior de la variable en

cuestión.

42

Ejemplo 03Una compañía petrolera construye una refinería para elaborar cuatro productos: diésel,

gasolina, lubricante y combustible para aviones. Las demandas de barriles por día son

14000, 30000, 10000 y 8000, respectivamente.

Debido a las cuotas de producción que especifica la OPEP, la nueva refinería puede

recibir al menos 40% de su crudo de Irán y el resto de Dubái. La empresa pronostica que

estas cuotas de demanda y de crudo permanecerán estables durante los 10 años

siguientes. Las especificaciones de los crudos son las siguientes

Rendimiento por barril Irán Dubái

diésel 0.20 0.10

barril de gasolina 0.25 0.65

barril de lubricante 0.10 0.15

barril de combustible para avión 0.15 0.10

43

Ejemplo 03Variables

𝑥1 = 𝑏𝑎𝑟𝑟𝑖𝑙𝑒𝑠 𝑑𝑒 𝑐𝑟𝑢𝑑𝑜 𝑑𝑒 𝐼𝑟𝑎𝑛𝑥2 = 𝑏𝑎𝑟𝑟𝑖𝑙𝑒𝑠 𝑑𝑒 𝑐𝑟𝑢𝑑𝑜 𝑑𝑒 𝐷𝑢𝑏á𝑖

Función objetivo

Minimizar la cantidad de barriles de crudo requeridos para satisfacer la demanda, z

Restricciones

0.20 𝑥1 + 0.10 𝑥2 ≥ 140000.25 𝑥1 + 0.60 𝑥2 ≥ 300000.10 𝑥1 + 0.15 𝑥2 ≥ 100000.15 𝑥1 + 0.10 𝑥2 ≥ 80000.60 𝑥1 − 0.4 𝑥2 ≥ 0

44

1. https://www.uv.es/mmocholi/CGyF/APUNTES-GAMS-CGYF.pdf

2. http://www.academia.edu/30336966/GAMS_ejemplos_introductorios

3. https://www.uv.es/~sala/CUADERN.pdf

Referencias

General Algebraic Modeling

System

GAMS

Gabriela Hernández Luna

gabriela.hernandez@uaem.mx