U.T.AALGEBRAF.I.S.E.I. 1 L. H. Vega Cuvi LGEBRA MDULO INSTRUCCIONAL UNIVERSIDAD TCNICA DE AMBATO U. T. A. FACULTAD DE INGENIERA EN SISTEMAS, ELECTRNICA E INDUSTRIAL F. I. S. E. I. Lic. M. Sc. Leopoldo H. Vega Cuvi 2011 U.T.AALGEBRAF.I.S.E.I. 2 L. H. Vega Cuvi UNIVERSIDAD TCNICA DE AMBATO U. T. A. FACULTAD DE INGENIERA EN SISTEMAS, ELECTRNICA E INDUSTRIAL F. I. S. E. I. MDULO INSTRUCCIONAL I SEMESTRE - 2011 Lic. M. Sc. Leopoldo H. Vega Cuvi. U.T.AALGEBRAF.I.S.E.I. 3 L. H. Vega Cuvi CAPTULO 4 FRACCIONES ALGEBRAICAS A los cocientes entre expresiones algebraicas los llamamos fracciones algebraicas. Dedicaremos este captulo al caso especial de cociente entre polinomios. Como son cocientes que contienensmbolos literales que representan nmeros reales, entonces podemos aplicar las propiedades de los cocientes y de las dems operaciones que estudiamos en este captulo anterior sobre los reales. Iniciamos este captulo con los estudios del M.C.D y M.C.M de expresiones algebraicas, antes de entrar a definirlas operaciones entre fracciones algebraicas y sus respectivas propiedades. OBJETIVOS: Al finalizar el estudio y prctica de este captulo, el estudiante deber ser capaz de: I.Hallar el M.C.D y el M.C.M de dos o ms expresiones algebraicasII.Aplicar el M.C.D para obtener el mayor factor comn de los trminos de un polinomio. III. Aplicar el concepto deM.C.M y los productos y cocientes notables en la simplificacin de fracciones algebraicas. IV.Resolver operaciones de adicin, sustraccin, multiplicacin y divisin de fracciones algebraicas. V.Simplificar fracciones compuestas. 6.1 MXIMO COMN DIVISOR Y MNIMO COMN MLTIPLO Dadas las expresiones algebraicas P y Q diremos que A es un divisor de P y Q es un factor comn de ambas. En otras palabras, si al dividir P y Q la divisin es exacta. Por ejemplo: P = x2 1 = (x + 1) (x 1) Q = x3 + 1 = (x + 1) (x2 x + 1) Luego, x + 1 es el factor de P y los es tambin de Q. El nmero 3 es el divisor comn de 3x + 3y y 27a + 9b, porque: 3x + 3y = (X + Y) 27a + 9b = 9(3a + b) Ambas expresiones tienen 3 como factor, ya que en la segunda, 3 es factor de 9. Unaexpresinalgebraicaesirreductiblesilosnicosdivisoresqueadmitesonlaexpresinmismayla unidad.Cuandosetratadefactoresnumricos,consideraremosaqu,nmerosenteros,esdecir,alfactorizar llevaremos la expresin hasta el final sin incluir nmeros fraccionarios. Por ejemplo a+5 y 17 son expresiones algebraicas irreductibles.Mximo Comn DivisorEl mximo comn divisor de P y Q, M.C.D. (P, Q), es otra expresin algebraica D, que esel producto de todos los divisores comunes de P y Q irreductibles, elevados a su menor exponente. U.T.AALGEBRAF.I.S.E.I. 4 L. H. Vega Cuvi Paraobtener,entonces,elmximocomndivisordedosexpresionesalgebraicas,bastarafactorizarlasal mximoyformarunproductocontodoslosfactoresirreductiblescomuneselevadosasumenores exponentes. Ejemplo 1 Encontremos el mximo comn divisor de las expresiones algebraicas: P=(x2-2x +1) (x2-1), Q=(x-1) (x3-1). Solucin Podemos factorizar a P y aQ de la siguiente manera. P=(x2 -2x+1) (x2-1) =(x-1)2(x-1) (x+1) (por qu?) =(x-1)3 (x+1) Q=(x-1) (x-1) (x2+x+1) (por qu?) =(x-1) (x2+x+1Los factores comunes irreductibles de P y Q se reducenal factorx-1 El menor exponente de (x-1) en ambas expresiones es 2, entonces: M.C.D.(P,Q) =(x-1)2 , es la solucin. Ejemplo 2 Encontremos el mximo comn divisor de P=x2-3x+2, Q=(x-1)2 (x-2). Solucin La expresin Q esta factorizada en factoresirreductibles. Factoricemos P: P= x3-3x+2 = (x-2) (x-1). Hay dos factores irreducibles comunes a P y Q: x J y x 2. Los menores exponentes,en cada caso, se reducen a la unidad, luego: M.C.D. (P, Q) = (x 1) ( x 2) Ejemplo 3 Encontremos el mximo comn di vi sor de A=24 (x - 3)2(x - 1),B = 8 (x - 3) (x - 1)2. Solucin Los nicos factores no irreducibles son el 24 y el 8. Factorizamos as: A = 24 (x - 3)2(x 1) 23. 3 (x 3)2 (x 1) B = 2J (.r-3) (A-- I )2 Los factores irreducibles comunes a A y B son 2, (x 3) y (.r 1). Los tomamos con sus menores exponentes y formamos un producto con ellos. El mximo comn divisor de A y B es: M.C.D. (A, B) --- 23 (x -3) (x- 1)= 8 ( x- 3)(x l ) . Ejemplo 4 Encontremos el mximo comn divisor de A = x3 y3 + x y , B = x2 y2. Solucin A = ( x3 - y3)+ ( x y )= (x - y )( x2 + xy + y2)+ (x - y )= (xy) [( x2 + xy + y - ) +1] =(x y )(x2 + xy + y2 + 1) B = x2 y2 = (x y )(x + y) Luego, M.C.D. (A,B)= x y . RECUERDE M C.D. (a, b) es el mayor de los divi sores comunes de los nmeros a y b. U.T.AALGEBRAF.I.S.E.I. 5 L. H. Vega Cuvi MNIMO COMN MLTIPLO El mnimo comn mltiplo de dos expresiones algebraicas A y B, se escribe M.C.M. ( A,B), es la expresin algebraica que se obtiene al multiplicar todos los divisores irreducibles comunes y no comunes de A y B, elevados a sus mayores exponentes. El mnimo comnml ti pl ode dos expresiones algebraicasA y BC , por definicin, la expresin algebraica ms simple que contiene a .4 y B como divisores. Para obtener el mnimo comn mltiplo se necesita factorizar las expresiones algebraicas dadas en factores irreducibles.Ejemplo 5 Encontremos el mnimo comn mltiplo de las expresiones algebraicas: A = 3(x1)(x+1)B = 32(x1)(x+2) Solucin Las expresiones algebraicas estn factorizadas en factores irreductibles. Los factores (divisores) comunes a A y B son 3 y (x 1). Los factores no comunes son x + 1 y x + 2. Siloselegimos,elevadosasusmayoresexponentes,yformamosunproductoconellos, obtenemos: M.C.M. ( A ,B) - 3' (x - I )2 (x + 1) (x + 2).Ejemplo 6 Encontremos el mnimo comn mltiplo de las expresiones algebraicas: A = x2 3x 4 , B - x2 - 8.x + 16. Solucin Factorizamos las dos expresiones, as: A = x2 - 3x - 4 - (x - 4) (x + 1)B = x2 8 x +16 = (x 4)2 Los factores comunes y no comunes son x 4 y x +1. Al f or mar un producto con estos factores elevados a sus mayores exponentes, se tiene: M.C.M. (A, B) = (x 4)2(x + 1), que es la solucin. EJEMPLO 7 Encontremos el mnimo comn mltiplo de las expresiones:A = (x - I )2 (x - 2) ,B = (x - 3)2 (x - 2) .SolucinLas expresiones algebraicas A y B ya han sido factorizadas. Los factores comunes y no comunes son x 1, .x 2 y x 3. Formamos un productocon estos factores comunes y no comunes, afectados por sus mayores exponentes, para obtener:M.C.M. ( A ,B) - (.x I )2 (x 2) (x 3)2. U.T.AALGEBRAF.I.S.E.I. 6 L. H. Vega Cuvi Ejemplo 8 Encontremos la expresin algebraica ms simple que es divisible exactamente por: A = x2 9y B = x3 -- 27 SolucinLa expresin mas simple que contiene a A y B como divisores es el mnimo comn mltiplo de A y B. Factorizamos A y B: A = x2 9 =x2 - 32 = (x - 3) (x + 3) B = x3 27 = x3 - 33 = (x - 3) (x2 + 3x + 9) El mnimo comn mltiplo de estas dos expresiones es: M.C.M.(A, B) = (x - 3) (x + 3) (x2 + 3x + 9). Esta es la solucin. RECUERDE: M.C.M. (a, b) es e! menor de l os mltiplos comunes de los nmeros a y b. Ejercicio 6.1 Encontrar el mximo comn divisor y el mnimo comn mltiplo de las siguientes expresiones. 1.P = 3x + 3y2. A = 12a + 12b3. A = 5x + 5Q = 3a 27b B = 8x 12yB = 25x +5 4.A = 3a + 8b5. A = 6a + 17b6. A = x - y B = 9a + 24bB = 12a + 34b B = 5x 5y 7. A = 3x 3y8.A = x2 - 49. A = x3 27 B = 9x - 9y B = 2x + 4B = x2 - 9 10. A = x2 3x + 211. A = 4x2 16 12. A = 27x2b3 B = (x - 2) (x2 2x + 1)B = 8x4 8B = 81x3b2 (x - 1) 13. A = 121x (y x)14. A = (a2 2a + 1) (a2 + 3a + 2) B = 84y (x y) B = (a - 1) (a2 + 2a + 1) 15. P = (m2 8m + 7) (m2 + 21m + 110)16. A = 3x2 + 21x2 + 30xQ = (m3 3m2) (m2 10m + 21)B = 8x3 8x2 48x17. P = 4x4 + 4a2x2 + 4a418. P = x3 2x2 + x -1 Q = x3 a3 Q = x3 x2 x + 119. P = 3x (4 3x) (2 - x) Q = 4 (2 - x) (4 5x) 20. El mximo comn divisor de tres o ms expresiones algebraicas se define de la misma manera que para dos. Encontrar el mximo comndivisor de: A = (x - 2)2 (x - 1)B = 4(x - 2)3 (x2 - 1) C = 8 (x - 2)2 (x3 1) Respuestas: Ejercicio 6.1 1. 3; 3 (x + y) (a 9b) 2. 4; 3 (a + b) (8x 12y) 3. 5; (x + 1) (25x + 5) 4. 3a +8b; 9a + 24b5. 6a + 17b; 12 +34b 6. x y; 5x -5y7. 3(x - y); 9x 9y 8. x + 2; 2(x2 - 4) 9. X 3; (x + 3) (x3 27) 10. (x - 2) (x - 1), (x - 2) (x2 - 2x + 1) 11. 4; 2(4x2 16) (x4 - 1) 12. 27x2b2; 81x3b3 (x - 1)13. y x; (121x) (84y) (x - y) 14. (a - 1) (a + 1); (a2 2a + 1) (a2 + 3a + 2) (a + 1) 15. m 7; (m - 1) (m2 + 21m +110) (m3 3m2) (m2 10m +21) 16. x(x + 2); 3(x + 5) (8x3 8x2 48x)17. x2 + ax + a2; (4x4 + 4a2x2 + 4a2) (x - a) 18. 1; (x3 2x2 + x - 1) (x3 x2 x + 1) 19. 2 x; 12x (4 3x) (4 5x) (2 - x) 20. (x - 2)2 (x - 1); 32 (x - 2)3 (x2 - 1) (x3 - 1) (x - 2)2 U.T.AALGEBRAF.I.S.E.I. 7 L. H. Vega Cuvi 6.2 SIMPLIFICACIN DE FRACCIONES Son ejemplos de fracciones algebraicas las expresiones: 8 3 45 3,5 38,1 25 432+ + +++x xx xbb axx donde los smbolos pueden tomar cualquier valor real, salvo aquellos que anulen el denominador. Si tanto el numerador como el denominador de una fraccin algebraica son polinomios, entonces la fraccin recibe el nombre de expresin racional. Las siguientes son expresiones racionales: 1 5 23,4 5 3,12,233, 732 4 23+ + + ++x xx x xxx xaa No son expresiones racionales:xxxxxx+ ++ ++34 3,5,3 25 2

Observemos que sta es la misma definicin que se dio para igualdad de fracciones cuando se estaban definiendo los nmeros racionales. Por ejemplo, las fracciones: 20 168 125 42 3++xxyxx

son iguales porque: (3x-2) (16x+20) = (4x+5) (12x-8) = 48x 40 282 + x Nota: Puede comprobarse que esta igualdad de fracciones es una relacin de equivalencia definida en el conjunto de todas las fracciones algebraicas. Una funcin algebraica es el cociente entre dos expresiones algebraicas, donde el divisor es distinto de cero. Se representa por BA; A se le llama el numerador de la fraccin y B es el denominador. IgualdadDos fracciones algebraicas BAy DCson iguales y se escribe: BA=DC si y solamente si AD=CB. Simplificacin y ampliacin de fraccionesSi ambos, numerador y denominador, de una fraccin algebraica se multiplican o se dividen por una misma expresin algebraica, se obtiene otra fraccin equivalente a la anterior.U.T.AALGEBRAF.I.S.E.I. 8 L. H. Vega Cuvi Esto es claro, porque si BAes la fraccin y multiplicamos numerador y denominador por C, entonces: BA= BCAC ya que A (BC) = B (AC). Si miramos la relacin (1) de derecha a izquierda, vemos que si hay un factor comn en el numerador y en el denominador de la fraccin, que se puede suprimir para obtener una fraccin igual, pero con trminos mas simples. En particular, si en ambos (numerador y denominador) se suprimen todos los factores del mximo comn divisor, se dice que la fraccin ha quedado reducida a sus menores trminos. Ejemplo1Simplificamos la siguiente fraccin a sus menores trminos:14 8 422 + xx x SolucinSi A = 4X2 2 2) 1 ( 4 ) 1 2 ( 4 4 8 = + = + x x x xB = x2-1= (x-1) (x+1). Entonces, M.C.D. (A,B) = x-1. Luego:) 1 )( 1 () 1 ( 414 8 4222+ = + x xxxx x =1) 1 ( 4) 1 )( 1 () 1 )( 1 ( 4+= + xxx xx x La fraccin, reducida a sus menores trminos, es: 1) 1 ( 414 8 422+= + xxxx x Ejemplo2 Simplificamos la siguiente fraccin a sus menores trminos: ) 1 )( 9 3 (2723 + +x x xx SolucinFactorizamos, numerador y denominador, para obtener: ) 1 )( 9 3 () 9 3 )( 3 () 1 )( 9 3 (272223 + ++ + = + +x x xx x xx x xx El mximo comn divisor aqu es: x2 + 3x + 9el cual suprimimos (cancelamos):) 1 )( 9 3 () 9 3 )( 3 () 1 )( 9 3 (272223 + ++ + = + +x x xx x xx x xx 13=xx, que es la solucin.U.T.AALGEBRAF.I.S.E.I. 9 L. H. Vega Cuvi Ejemplo 3.Simplifiquemos la fraccin 3 10 81 622+ +x xx xa sus menores trminos.Solucin.) 1 2 )( 3 4 () 1 2 )( 1 33 10 81 622 + =+ +x xx xx xx x El mximo comn divisor de 6x2 + x 1 y 8x2 10x + 3 es 1, luego la fraccin est escrita en sus menores trminos y, por tanto, no acepta ms simplificacin.Ejemplo 4.Reduzcamos las siguientes fracciones a otras equivalentes, pero con igual denominador:53 x y 14 x SolucinEldenominadorcomnpuedetomarsecomoelmnimocomnmltiplodelosdenominadoresdelas fracciones.Este mnimo comn mltiplo es ( x- 5) (x 1).Laprimerafraccin,debemultiplicarse,numeradorydenominador,porelfactorquefaltaenelmnimo comn mltiplo, esto es:) 1 )( 5 () 1 ( 353 = x xxx En forma similar: ) 5 )( 1 () 5 ( 414 = x xxx La solucin es:) 5 )( 1 () 1 ( 353 = x xxx ) 5 )( 1 () 5 ( 414 = x xxx Regla prctica:Para reducir dos o ms fracciones a otras equivalentes de igual denominador seguimos el procedimiento:1.Se factoriza cada denominador. 2.Se halla el mnimo comn mltiplo de los denominadores y se coloca como denominador comn. 3.Se divide el mnimo comn mltiplo hallado, por cada denominador.

4.Se multiplica cada cociente por el resultado en 3. Ejemplo 5.Reduzcamos a comn denominador las fracciones: .21 32,14 51;4 22+ ++ aaa aaaa U.T.AALGEBRAF.I.S.E.I. 10 L. H. Vega Cuvi Solucin ) 2 ( 2 4 2 +=+ aaaa ) 2 )( 7 (114 512+ += +a aaa aa ) 7 ( 3221 32+=+aaaa M.C.M. [2(a + 2), (a + 2), 3(a 7)] = 6 (a + 2 ) (a 7)Luego,) 7 )( 2 ( 6) 7 )( 3 () 2 ( 2 4 2 +=+=+ a aa aaaaa ) 7 )( 2 ( 6) 1 ( 6) 7 )( 2 (114 512 ++= ++= +a aaa aaa aa ) 7 )( 2 ( 6) 2 )( 2 )( 2 () 7 ( 3221 32 ++ +=+=+a aa aaaaa) 7 )( 2 ( 6) 2 ( 22 + +=a aa Ejemplo 6 Reduzcamos a comn denominador las fracciones: ( ) ( )3 2 211;12;2 23 y y y Solucin ( )( )( )( ) ( ) ( ) | |3 3 23 32 22) 1 )( 1 ( 2 1 , 1 , 1 1 2 . . .) 1 (1) 1 (1) 1 (2) 1 (21 1 232 23 + = + ==+ =y y y y y y M C My yy yy y y Luego, 3 3323 2322) 1 )( 1 ( 2) 1 ( 2) 1 (1) 1 )( 1 ( 2) 1 ( 4) 1 )( 1 ( 2) 1 )( 1 )( 2 .( 2) 1 (2) 1 )( 1 ( 2) 1 ( 3) 1 )( 1 ( 232 23 ++= += + += + = +=y yyyy yyy yy yyy yyy y y U.T.AALGEBRAF.I.S.E.I. 11 L. H. Vega Cuvi 2 22 2 3 322222232) ( ) () )( (. 113 23 4 3. 94 53 4. 79 93 3. 553. 32 24 4. 1b a b ab a b ay x xy yx y xx xx xx xx xx xx xxx+ ++ + + ++++20 910 7. 12. 102712 7. 83 227. 6) 9 (3. 412 69 3. 22243 4 5232 22 3+ + ++ + + + +x xx xc b ac abc b ac abx xx x xx xxx xx xxxEJERCICIO 6.2 Simplificar las siguientes fracciones a sus menores trminos

Reducir las siguientes fracciones a un denominador comn: 4 42 22 222 24,2, , . 2531,9,9 65 2. 23) 1 )( 1 (2,11,14. 216 22,31. 1913,12. 17b ab ab aab aab aaa aaa aax xxx xx xx x + + + + ++ + + RESPUESTASEjercicio 6.2 4 23. 2xx 53. 32xx

31. 4+ x

31. 5 19 3. 62+ + +xx x 43. 7xx 2 2 3 32, ,1. 242,2 35,) 2 3 (6. 2211,11. 202 23,12. 18y xy xxy xxy xx x x xx xx x+ + ++ U.T.AALGEBRAF.I.S.E.I. 12 L. H. Vega Cuvi 9 3) 4 (. 822+ + x xx x

1 33 1. 9+xx

c bc b+. 10 b ab ab a+ + +2 2. 1142. 12xx y x 1. 13 y x +1. 142) 4 )( 2 (. 152+ +aa a

63. 16aa 13 3,12 2. 172 2+xxxx ) 1 ( 23 3,) 1 ( 24 4. 182 2+xxxx 31,31. 19 x x

11,11. 202 2+xxxx 12,11,14 4. 212 2 2 +xxxxxx ) 2 3 () 2 3 ( 2,) 2 3 (5,) 2 3 (6. 222 222 x xxx xxx xx ) 3 ( ) 3 () 3 (,) 3 ( ) 3 () 3 (,) 3 ( ) 3 () 3 )( 5 2 (. 2322222 + + ++ + +a aaa aa aa aa a 3 3 3 32 23 3) (,) (,1. 24y xy x xy xy xy x xy x +++ + + 4 42 24 42 2 24 42 24 42 24,) ( 2,) )( (,) )( (. 25b ab ab ab a ab ab a b a ab ab a b a a + + 6.3 SUMA Y PRODUCTO DE FRACCIONES ALGEBRAICASLa suma de fracciones con igual denominador, se define de la misma forma que se defini para nmeros racionales, esto es: Suma de fraccionesLa suma de fracciones con igual denominador es otra fraccin que tiene por denominador el comn, y por numerador la suma de los numeradores de las fracciones sumadas. CB ACBCA += +Si las fracciones no tienen igual denominador, se reducen a fracciones equivalentes pero con igual denominador, y se procede como en el caso de fracciones de igual denominador. Ejemplo 1 Efectuemos la suma:1312+++ x x Solucin: Como las fracciones tienen el mismo denominador, el resultado es otra fraccin cuyo numerador es la suma de 2 y 3, y por denominador el comn. Esto es:1513 21312+=++=+++ x x x x

Ejemplo 2 Efectuemos las siguientes operaciones: Solucin Aplicando la propiedad asociativa, vlida para reales, se tiene: U.T.AALGEBRAF.I.S.E.I. 13 L. H. Vega Cuvi Hemos aplicado la definicin de suma. Ejemplo 3 Efectuamos la suma:Solucin: Estaesunasumadefraccionescondenominadoresdistintos.Reduzcamosestasfraccionesafracciones equivalentes, pero con igual denominador. El mnimo comn mltiplo de x 3y x + 2 es: (x 3) (x + 2) Se tiene: En el caso del producto de fracciones algebraicas la definicin es anloga a la dada para nmeros racionales. Ejemplo 4 Encontremos el producto de las fracciones: (hemosmultiplicadonumeradorydenominadorpor x + 2) (hemosmultiplicadonumeradorydenominadorpor x 3) , que es la solucin. Producto de fracciones algebraicas El producto de dos fracciones algebraicases otra fraccin, que tiene por numerador el producto de los numeradores y por denominador el producto de los denominadores. En smbolos: U.T.AALGEBRAF.I.S.E.I. 14 L. H. Vega Cuvi Solucin Aplicando la definicin de producto dada, se tiene: La solucin es:Ejemplo 5 Efectuemos las siguientes operaciones y simplifiquemos: Solucin: En primer lugar, efectuemos la suma del corchete: Luego = = = que es la solucin. EJERCICIO 6.3 Efectuar las siguientes sumas de fracciones algebraicas: 1.+ 2.+ 3.4. U.T.AALGEBRAF.I.S.E.I. 15 L. H. Vega Cuvi 5. 6. 7. 8.9. 10. 11. 12.13.14. 15. 16.17.18. 19. 20.En cada uno de los siguientes ejercicios, efectuar operaciones y simplificar: 21.22.23. 24. 25. 26.RESPUESTASEjercicio 6.3 1. 2..3. 4.. 5.. 6.. 7..8. .9..10. . 11.. 12. . 13.. 14..15.. 16. 17..18..19.. 20..21.. 22.. 23. 1. 24.. 25. 26.. 6.4 DIVISIONES DE FRACCIONES COMPUESTAS. El cociente entre dos fracciones algebraicas y, llamadas dividendo y divisor respectivamente, es otra fraccin tal que multiplicada por el divisor da un producto igual al dividendo. U.T.AALGEBRAF.I.S.E.I. 16 L. H. Vega Cuvi Entonces, es el cociente entre las fracciones y , denotando: si y solamente si=conCEl cociente entre dos fracciones algebraicas puede obtenerse convirtiendo la operacin de divisin en la operacin producto, as: = Esto es, para encontrar el cociente entre dos fracciones basta multiplicar el dividendo por el inverso del divisor respecto al producto. Ejemplo 1Efectuemos las siguientes operaciones y simplifiquemos: . Solucin =(hemos multiplicado el dividendo por el divisor invertido) =(aplicando la definicin de multiplicacin) =(hemos factorizado) = 6 despus de simplificar. Luego, = 6, es el resultado. Ejemplo 2 Efectuemos las siguientes operaciones y simplifiquemos: . Solucin Se tiene =(hemos multiplicado por el divisor invertido) = (hemos factorizado) = (se ha aplicado la definicin del producto) =despus de simplificar U.T.AALGEBRAF.I.S.E.I. 17 L. H. Vega Cuvi Luego: = Ejemplo 3 Efectuemos operaciones y simplifiquemos A =. Solucin Tal como lo indican los signos de agrupacin, debe efectuarse, en primer lugar, la suma indicada dentro del corchete, luego el producto dentro de la llave y, finalmente, este resultado dividirlo por.Efectuando operaciones se tieneA = 1) 1 ( ) 1 () 1 ( ) 1 () 2 ( 633+ -+ =x xx xx ) 2 ( 61) 2 ( 6) 1 ( ) 1 () 1 ( ) 1 )( 2 ( 633 ==+ + = xxx xx x x Luego, A=6(x-2), es el resultado. Ejemplo 4 Efectuemos operaciones y simplifiquemos: ) 3 ( 6131233432xx x xx x ((

|.|

\| - |.|

\|+ Solucin Efectuemos, primero, las sumas de los parntesis: 3234 234323432=+ =+=+ x x x x x x 6) 1 ( 2 ) 3 ( 33123 = x x x x =6762 2 9 3 =+ x x x ) 1 ( ) 1 (1) 1 ( ) 1 () 2 ( 2 33 3+ + -=x x x xx) 1 ( ) 1 (1) 1 ( ) 1 (4 2133 2+ ((

+ -=x x xxxU.T.AALGEBRAF.I.S.E.I. 18 L. H. Vega Cuvi La expresin queda de la siguiente forma: 1) 3 ( 6) 3 ( 6) 7 ( 2) 3 ( 616732-=((

- xxxxxx xx =) 1 )( 3 () 3 )( 7 ( 2 x xx x ) 1 )( 3 () 3 )( 7 ( 2 =x xx x Hemos cambiado de signo el factor3-X con el fin de identificarlo con el factor X-3 del denominador para poder simplificar. Luego: ) 3 ( 6131233432xx x xx x ((

|.|

\| |.|

\|+ 1) 7 ( 2 =xx, es el resultado. RECUERDE: 00= BAD D BA 0 no est definido En algunas ocasiones se presentan combinaciones de operaciones como productos y cocientes de productos y cocientes entre fracciones algebraicas o combinaciones de fracciones mediante la operacin suma. Cuando lo anterior ocurre , se dice que tiene una francio compuesta. RECUERDA Si DCyBA son fracciones algebraicas con0 = C , entoncesBCADDCBA=Por ejemplo, la fraccin xxxxx x++13142 4 Es una fraccin compuesta. Lamateriadeoperarconfraccionescompuestasesinterpretarcadaunadelasoperacionesqueallse expresan y operar como lo hemos hecho para fracciones simples. En otras palabras, se lleva la fraccin compuesta a combinaciones de fracciones simples y se efectan las operaciones. Entoncesunafraccincompuestaesunafraccinenlacualelnumeradoroel denominador(oambos)sonfraccionesocombinacionesdefracciones,mediantelas operaciones fundamentales. U.T.AALGEBRAF.I.S.E.I. 19 L. H. Vega Cuvi Enelanteriorejemplo,elsignificadodelafraccincompuestaes,simplemente,elcocienteentrelas expresiones : xxxxyx x ++1314 2 4 Luego |.|

\|++ |.|

\| =++xxxxx xxxxxx x1314 2 413142 4 =) 1 )( 1 () 1 ( 3 ) 1 ( 4 2 4x xx x x xx + + +=) 1 )( 1 (3 3 4 4 22 2x xx x x xx + + + =) 1 )( 1 (7 22x xx xx + +=27) 1 )( 1 ( 2x xx xx + + - =) 7 () 1 )( 1 ( 22x xx x+ + , que es el resultado. RECUERDA abb ab a+= + 1 1 b a b a += +1 1 1 abab a+ =+1bab a+ =+1Efectuemos operaciones y simplifiquemos: Solucin: El resultado de esta operacin es el cociente entre:Luego: Efectuando operaciones dentro de los parntesis, se tiene:

U.T.AALGEBRAF.I.S.E.I. 20 L. H. Vega Cuvi porque: O sea que: , que es el resultado El estudiante debe indicar la justificacin de cada paso que hemos dado al resolver el ejercicio EJERCICIO 6.4 En cada uno de los siguientes ejercicios, efectuar operaciones y simplificar: 1.2. 3.4. 5.6. 7.8. 9.10. 11.12.13. 14. 15. 16. 17.18. 19. 20.21.22. U.T.AALGEBRAF.I.S.E.I. 21 L. H. Vega Cuvi 23) 24) 25) 26) EJERCICIO 6.4 RESPUESTAS: 1.3/2 2. (x+2)/(x-1)3. x4. (a+1)/25. (a-1)/2 6,(a-1)/27. x/(x2+xy+y2) 8. (a-b)(2+b)/(a+2b)9. a2-2a+1 10, 1/(x3+y3)11. 1/(x-y)212. (bx+ay)2/a2b213. (2x2y4)/(x2+y2)2 14, x+2 15. 116. (3x-7)(4-x)17. a-b 16. Y/2x19. 2(a4+x4)/(a2x4(x2+a2)20. (a-1)/(a+1) 21, a+b 22. a/(a2+a-1)23. -2x/(x2+1)24. 3 25, (2a-1)/((a-1)(2-a)(a3-4+3)/2(2a-7) RESUMEN: Sean Ay B dos expresiones algebraicas. Llamamos mximo comn divisor de A y B, M.C.D (A, B), a la expresin algebraica que se obtiene del producto de todos los divisores comunes de A y B, irreductibles y de menor exponente. Llamamos mnimo comn mltiplo de A y B, M.C.M. (A, B), a la expresin algebraica que se obtiene del producto de todos los divisores irreductibles comunes y no comunes de A y B, con sus mayores exponentes. Es una fraccin algebraica, donde A y B son expresiones algebraicas con Si y solamente si Operaciones con fracciones algebraicas Mancill I Suma-Resta Ej. 79 40 prob. Multiplicacin 81 - 30 Divisin82 - 20 U.T.AALGEBRAF.I.S.E.I. 22 L. H. Vega Cuvi Complejas 83 - 30 Una fraccin algebraica es compuesta si el numerador o el denominador son fracciones algebraicas o combinaciones de fracciones algebraicas, mediante las operaciones fundamentales. FRACCIONES PARCIALES EN EL TRABAJO con fracciones se ha explicado hasta ahora la combinacin de dos o ms de ellas por medio de las cuatro operaciones fundamentales del lgebra. Pero a veces, especialmente en el clculo integral, se hacenecesarioexpresarunafraccincomolasumadeotrasdosoms,deformamssencillaquela fraccin original.Las fracciones que se obtienen de esa manera se llaman fracciones parciales. En este captulo se estudiar el problema de expresar una fraccin dada como la suma de fracciones parciales. 1. DEFINICIONES Y TEOREMAS Unafraccinracionaleselcocientededospolinomios.Enestecaptulosetratarexclusivamentede fracciones de esta clase y se desarrollarn mtodos que se aplican solamente a las fracciones propias, esto es, a aquellas en las cuales el numerador es de grado inferior que el denominador. Segn el corolario en Pr. 12.13 se puede expresar cualquier polinomio como producto de potenciasenteras de factores de primer grado y de segundo grado, siendo irreductibles estas ltimas. En consecuencia, toda fraccin racional pertenece a alguno de los cuatro casos siguientes: 1.Todos los factores del denominador son de primer grado y ninguno de ellos se encuentra repetido. 2.Todos los factores del denominador son de primer grado y algunos de ellos se encuentran repetidos. 3.Eldenominadorcontienefactoresirreductiblesdesegundogrado,ningunodeloscualesse encuentra repetido. 4.Eldenominadorcontienefactoresirreductiblesdesegundogrado,algunosdeloscualesse encuentran repetidos. Enloscuatroprrafossiguientesseharusodelteoremaqueseenunciaacontinuacin.Nosedasu demostracin porque se halla ms all del alcance de este libro. Siunafraccinracionalpropiareducidaasumnimaexpresinseexpresacomolasumadefracciones parciales, entonces: I.A todo factordel denominador, que no aparezca repetido, corresponde una fraccin A/(ax + b), en donde A es una constante. II.Atodofactordeldenominadorcorrespondenlasfraccionesparciales. ++ en donde A1,A2, Ak son constantes. III.Atodofactorirreductibledesegundogradodeldenominador,quenoaparezca repetido, corresponde la fraccin parcial, en donde A y B son constantes. IV.Siesirreductible,entoncesatodofactordeldenominador corresponden las fracciones parciales. U.T.AALGEBRAF.I.S.E.I. 23 L. H. Vega Cuvi ++ Donde A1, A2,, Ak, B1, B2,, Bk son constantes. 2. FACTORES DE PRIMER GRADO DISTINTOS El mtodo que debe aplicarse en este caso se ilustrar con el ejemplo siguiente: EJEMPLO Separar en fracciones parciales Solucin:primermtodo.Cadafactordeldenominadorde(1)esdeprimergradoyapareceunavez solamente. Por tanto, segn (1) del teorema 1 las fracciones parciales son,

As se tiene ++(2) En donde A,B y C deben ser determinantes de tal modo que (2) se satisfagapara todo valor de x, excepto posiblemente para aquellos valores, que anulen al de los denominadores. Despus de eliminar al denominador, en (2) se tiene: 2X + X + 1 = A (3X +1) (X + 3) + B (X +2 ) ( X+ 3)+ C (X +2 ) (3X + 1) (3) Efectuando la multiplicacin indicada y sumando los trminos en (3) tiene2x + x +1 = x(3A +B +3C) + x (10A +5B +7C) + (3A + 6B + 2C). Si A, B y C se determinan de tal modo que: 3A +B +3C = 2 10A +5B +7C = 1 3A + 6B + 2C = 1 Entonces los dos miembros de (3) son idnticos y, por tanto, la ecuacin se satisfacepara todo valor de x. En consecuencia, para los valores de A, B y C determinados de esa manera, (2) es vlida para todo valor de x con la posible excepcin de aquellos valores que anulan algn denominador. Se puede resolver este sistema de tres ecuaciones de primer grado en A, B y C por cualquiera de los mtodos expuestos en el capitulo 6 y obtener; Por tanto: U.T.AALGEBRAF.I.S.E.I. 24 L. H. Vega Cuvi Segundo mtodo. Se presentar a continuacin mtodo para determinar A, B y C de tal manera que los dos miembros de (2) sean iguales para los valores de x, excepto posiblemente para x= -2; x= -3 ; para los cuales se anule algunos de los denominadores. Si los miembros de (2) son iguales para todos los valores de x, con la posible excepcin de los tres valores antes mencionados, entonces, segn el teorema en el Pr. 12.17, los miembros (4) son iguales para todos los valores de x, inclusive esos tres. Puesto que los miembros de la derecha de (3) y de (4) son dos formas del mismo polinomio, los dos miembros de (3) son iguales para todos los valores de x. Si se hace x= -2, los coeficientes de B y C en (3) se anulan y se tiene: 8 2 + 1 = A(-5)(1)-5A = 7 combinando y trasponiendo resolviendo para A Anlogamente, cuando (3) se convierte en : eliminando denominadores, 40Bresolviendo para B.

por ltimo, si se hace x = -3 se tiene : 18 3 + 1 = C (-1) (-8) 8C = 16combinando trminos y transponiendo C = 2resolviendo para C. De donde, se tiene (5) El uso del segundo mtodo para resolver este caso 1, evita tener que resolver el sistema de ecuaciones (5) y se ahorra asi de tiempo y trabajo. Puede emplearse con ventaja en otros casos, particularmente cuando un factor de primer grado aparece en el denominador. EJERCICIO: DESCOMPOSICIN DE FRACCIONES EN FRACCIONES PARCIALES: CASO I Descompngase las siguientes fracciones en fracciones parciales 1:2: 3:4: 5:6: 7:8: 9:10: U.T.AALGEBRAF.I.S.E.I. 25 L. H. Vega Cuvi 11:ojo12: 13:14: 15:16: 17:18: 19:20: 21:22: 23:24:ojo 3. FACTORES DE PRIMER GRADO REPETIDOS Si el denominador de una fraccin en su forma factirizada contiene solamente factores de primer grado, pero uno o ms de ellos se encuentran repetidos, se emplea el mtodo ilustrado en el ejemplo que sigue para expresar la fraccin como la suma de fracciones parciales. EJEMPLO:Descomponer la siguiente fraccion en fracciones parciales. *Si el grado del numerador es igual o mayor que el grado del denominador, dividase el numerador entre el denominador y continuese la divisin hasta que se obtenga un residuo R de grado menor que el denominador. Despus exprsese la fraccin en la forma Solucin. Primer Mtodo: De acuerdo con (I) del teorema 1, se debe tener la fraccin parcial A/(x-1) correspondiente al factor (x-1) del denominador y de acuerdo con (II) del mismo teorema y deba tener tambin fracciones parciales B/(x+2) y C/(x+2)2, correspondiente al factor (x+2)2. Por tanto se tiene= A/(x-1) + B/(x+2) + C/(x+2)2 U.T.AALGEBRAF.I.S.E.I. 26 L. H. Vega Cuvi Y sedeben encontrar los valores A,B y C tales que los miembros de (1) sean iguales para todos los valores de x, con excepcin posible de a =1 y a = -z . El primer paso en este proceso es eliminar los denominadores en (1) de esta manera se obtiene. 3 x2+ 5 x+1 = A (x + 2)2+ B(x-1)( x+2)+ C(x-1) 3 x2+ 5 x+1 =(A + B ) x 2+ (4A+B+C) x + ( 4A-2B-C) Los miembros de (3) sern iguales para todos los valores de x si A,B,C , quedan determinados de tal modo que los coeficientes de potencias iguales de x en los miembros de la izquierda y de la derecha, sean iguales. Igualando los coeficientes de x2, x y de los dos trminos constantes se obtiene el siguiente sistema detres ecuaciones de primer grado en A,B,C. A + B = 3 4A + B+ C = 5 4A -2 B - C = 1 La solucin de este sistema de ecuaciones es A=1,B=2,C = -1 Por tanto, 3 x2+ 5 x+1=1+2- 1 (x-1)( x+2)2x-1 x+2 ( x+2)2 Segn mtodo: Este mtodo para la evaluacin de A,B,C es similar al segundo mtodo del caso 1. si los miembros de (2) son iguales para todos los valores de x, con posible excepcin de x=1 y x= -2 entonces, de acuerdo con el teorema del Pr- 12.1, los miembros son iguales para todos los valores de x. Si en la Ec. (2) se hace x=1, los coeficientes de B y C se anulan y se tiene. 3 + 5 + 1 = A(3)2 9A = 9realizando operaciones y transponiendo A = 1 Si x= -2, los coeficientes de A y de B en (2) se anulan y se tiene. 12 10 + 1 = C (-2-1) -3C = 3 C = -1 Puesto que no existe ningn valor para el cual los coeficientes de B y C se anulen simultneamente en (2), sedeberecurriraotroprocedimientoparaevaluarB.Puestoquelosmiembrosde(2) sesatisfacenpara todos los valores de x, se puede sustituir cualquier valor adecuado a esta variable en (2), al mismo tiempo que los anteriores valores de A y de C, obtenindose as una ecuacin que contiene solo B. Si x=0, A=1 y C=-1, la ecuacin (2) queda U.T.AALGEBRAF.I.S.E.I. 27 L. H. Vega Cuvi 1=1(1)(4)+B(-1)(2)+(-1) (-1) 1=5+2B 2B=4 B=2 EJERCICIO: DESCOMPOSICIN DE FRACCIONES EN FRACCIONES PARCIALES. CASO II Descompngase las siguientes fracciones en fracciones parciales. 1: 2x + 52: -2 x + 11 ( x+1)2 .( x+4)2 3: 3x + 14: -6 x - 11 (3 x-1)2 ( 2x+5)2 5: -4x2 + 5x+1 6: -16 x2 +54 x + 40 ( x+1)2 (2 x-3)2 7: 27x2 + 21x+8 8: 20 x2 -144 x + 265 ( 3x+2)2 (2 x-7)2 9: -8x2 + 35x+9 10: 12 x2 -9 x + 20 (2x-1)( x-4)2(2x + 3 )(3 x - 1)2 11: -22x2 + 32x+138 12: 24 x2 -94 x + 88 (5x+2)(2 x-7)2(2x -3 )(3 x -5)213: -14 x3 + 14 x2 + x - 714: 2 x3 -5 x2 -27x- 24 (2x+1)( x-4) ( x+1)2 (x +1 )( x -1) ( x +2)2 15: 4 x3 - 42 x2 + 78x - 3016: -13 x3 -11 x2 +131x+ 189 (2x+1)( x-2) (2 x-3)2 (2x -3 )(3 x -2) ( x -5)2 17: 2x2 +5 x +118: 3 x2 - 16x + 20 ( x+1)2 ( x - 3)2 19: 2 x3 10 x2 + 4x + 11 20: 6 x3 +33 x2 +23x - 45 (2x+1) ( x-2)2 (2 x -1) ( x +3)2 4. FACTORES DE SEGUNDO GRADO DISTINTOS Silaprimerapotenciadeunafuncinirreductibledesegundogradoapareceentrelosfactoresdel denominadordeunafraccinquesevaadescomponerenfraccionesparciales,entoncesdebeaparecer como denominador de una de las fracciones parciales. El numerador de la fraccin parcial cuyo denominador U.T.AALGEBRAF.I.S.E.I. 28 L. H. Vega Cuvi sealafuncindesegundogradoserunafuncindeprimergrado.Losfactoresdeprimergradodel denominador aparecen exactamente como en los casos anteriores. EJEMPLO 1Descomponer en fracciones parciales 14 x3 + 14 x2 4x + 3 (3x2 -x+ 1 )( x - 1) ( x +2) Solucin: el factor de segundo grado 3x2 x + 1 es irreductible; por tanto, se debe emplear como denominador de una fraccin parcial que tenga por numerador una funcin de primer grado Ax + B. Cada uno de los factores de primer grado aparecen como denominadores de fracciones parciales cuyos numeradores son constantes. Esto es:14x3 + 14x2 4x + 3___. Ax +B + C +D__. (3x2 x+1) (x-1) (x+2) 3x2 x+1 x-1x+2 (1) Para encontrar los valores de A, B, C Y D de tal modo que los coeficientes de (I) sean iguales., se eliminan primero en (1) los denominadores y se tiene: 14x3 + 14x2 4x + 3 = (Ax +B)(x-1)(x+2) + C(3x2 - x +1)(x+2) + D(3x2-x+1)(x-1) = (A+3C+3D)x3+(A+B+5C-4D)x2+(-2A+B-C+2D)x + (-2B+2C-D)Se pueden ahora obtener cuatro ecuaciones de primer grado en A, B, C y Digualando los coeficientes de potencias iguales de x, como sigue: A + 3C + 3D = 14 A + B + 5C - 4D =14 -2A + B C+ 2D = -4 -2B + 2C D = 3 La solucin de este sistema se puede obtener de acuerdo con el mtodo del Pr.21.6 o resolviendo la ltima ecuacin para D en trminos de B y C, sustituyendo luego cada D por su valor en las otras tres ecuaciones y resolviendo el sistema resultante de tres ecuaciones con tres incgnitas y por ltimo, obteniendo el valor de D en la ltima ecuacin. La solucin as obtenida es: A=2, B=1, C=3, D=1.Por tanto, 14x3 + 14x2 4x + 3 2x + 1 31 (3x2 x+1) (x-1) (x+2) 3x2 x + 1 x - 1x + 2Ejemplo 2. Descomponer en fracciones parciales. 4x4 + 4x3 - x2 + x + 1 . (x2 + x + 1)(x2 - x -3)(x + 1) Solucin: 4x4 + 4x3 - x2 + x + 1Ax + BCx + DE__. (x2 + x + 1)(x2 - x -3)(x + 1)x2 + x + 1x2 - x -3x + 1 Eliminando denominadores, se tiene= =++ = ++ U.T.AALGEBRAF.I.S.E.I. 29 L. H. Vega Cuvi 4x4 + 4x3 - x2 + x + 1 =(Ax + B)( x2 - x -3)(x + 1) + (Cx + D)( x2 + x + 1)( x + 1)+E (x2 + x + 1)(x2 - x -3) = (A + B + E)x4 +(B + 2C + D)x3 +(-4A + 2C + 2D - 3E) x2

+(-3A 4B + C + 2D -4E)x + (-3B + D -3E) Se puede obtener el siguiente sistema de ecuaciones igualando los coeficientes, las potencias iguales de x. A + C + E = 4 B + 2C + D = 4 -4A + 2C + 2D 3E = -1 -3A - 4B + C + 2D 4E = 1 -3B + D 3E = 1 Se puede resolver este sistema de acuerdo con el mtodo del Pr 21.6 o mediante la obtencin de una expresin para D en trminos de B yde E, a `partir de la ltima ecuacin, sustituyendo luego este valor en vez de D en las otras cuatro ecuaciones, y obteniendo con ello un sistema de cuatro ecuaciones de primer grado con cuatro incgnitas, que se puede resolver por medio de cualquiera de los mtodos de que se dispone.Se puede emplear el mtodo sugerido en el ejemplo I. La solucin es A=1, B=-1, C=, D=1, E=1.Por tanto, 4x4 + 4x3 - x2 + x + 1x - 1 2x + 1 1 (x2 + x + 1)(x2 - x -3)(x + 1)x2 + x + 1x2 - x -3x + 1 EJERCICIO: DESCOMPOSICIN DE FRACCIONES EN FRACCIONES PARCIALES. CASO III Descompnganselas siguientes fracciones en fracciones parciales. 1:-2x + 52:5x2 + x + 2 (x - 1) (x2 + 2) (x + 1)(x2 + 1) 3:3x2 - 10 + 16 4:x2 - 4x - 3 (x 3)(x2 + x +1)(2x - 3)(x2 x - 3) 5:5x3 6x2 + 12x + 136: 5x3 + 14x2 + 71x + 14 (x - 1)(2x + 1)(x2 + 3)(x + 5)(2x - 1)(x2 + 3) 7: x3 + 11x2 + 13x 58: - x3 + 9x2 - 4x - 18 (x - 3)(3x + 1)(x2 x + 2)(x + 2)(x + 3)(3x2 - 2x + 1) 9: 3x3 - 10x2 + 9x 610: -x3 + 8x2 + 2x - 19 (x - 1)2 (x2 + 1) (x - 2)2 (x2 + 5) = ++ U.T.AALGEBRAF.I.S.E.I. 30 L. H. Vega Cuvi 11: 4x3 - 11x2 + 12x - 1912: 4x3 + 19x2 + 18x - 13 (x - 2)2 (x2 + x + 1) (x + 3)2 (x2 + 2x - 1) 13:2x3 - 8x + 414: 3x3- 10x2 + 7x - 3 (x2 + 2)(x2 - 2)(x2 + 1)(x2 - 3x - 1) 15:3x3 - 3x2 - 4x - 14 16: -x3 - 10x2 + 7x - 3 (x2 - 5)(x2 x + 3)(x2 + 3)(x2 - 3x - 1) 17: 2x3 + 2x2 + 2x + 418: 6x3 - 9x2 + 33x - 64 (x + 1) (x2 + 1)(2x - 3)(x2 + 5) 19: 2x3 - 10x2 + 11x + 1920:12x3 + 14x2 + 8x + 39 (x - 5)(2x2 - 3x + 2)(2x + 3)(2x2 x + 3) 5.FACTORES DE SEGUNDO GRADO REPETIDOS El ltimo caso por considerar es aquel en el que los factores del denominador de la fraccin dada, contengan potencias superiores a la primera, de una o mas funciones irreductibles de segundo grado. Segn IV, teorema del Pr. 22.1, por cada factor del tipo (ax2 + bx + c)k que aparezca en el denominador de una fraccin racional corresponden las fracciones parciales siguientes: A1x + B1 A2x + B2 . Akx + Bk ax2 + bx + c(ax2 + bx + c)2 (ax2 + bx + c)k Los factores de primer grado, y los factores de Segundo grado no repetidos se tratan de la misma manera que en los casos anteriores. El numerador de cada faccin parcial cuyo denominador contiene una funcin de segundo grado debe ser una funcin de primer grado. EJEMPLO: Descomponer en fracciones parciales: Solucin: El denominador contiene como factores una funcin de primer grado y el cuadrado de una funcin irreductible de segundo grado: por lo tanto, Calculando las constantes indeterminadas despus de haber eliminado los denominadores se tiene: Por tanto, igualando los coeficientes de potencias iguales de x, se tiene 6x4+11x3+18x2+14x+6 (x+1) (x2+x+1)2 6x4+11x3+18x2+14x+6= A+ Bx+C+Dx+E .(x+1) (x2+x+1)2 x+1x2+x+1 (x2+x+1)2 6x4+11x3+18x2+14x+6 = A(x2+x+1)2+(Bx+C) (x2+x+1) (x+1) + (Dx+E) (x+1) =(A+B) x4 + (2A+2B+C) x3 + (3A+2B+2C+D) x2 + (2A+B+2C+D+E) x + (A+C+E) A+B = 6 2A+2B+C = 11 3A+2B+2C+D = 18 2A+B+2C+D+E = 14 A+C+E = 6 +++ U.T.AALGEBRAF.I.S.E.I. 31 L. H. Vega Cuvi Este sistema se puede resolver mediante el mtodo propuesto en el ejemplo 2, Pr. 22. La solucin esA =, B = 1, C = C -1, D = 3 y E = 2.Por tanto: EJERCICIO: DESCOMPOSICIN DE FRACCIONES EN FRACCIONES PARCIALES: CASO IV. Descompnganse las siguientes fracciones parciales. 1: 2: 3:4:5:6: 7: 8: 9:10: 11:12: 13: 14: 15:16: RESPUESTAS: DESCOMPOSICIN DE FRACCIONES EN FRACCIONES EN FRACCIONES PARCIALES,CASO I 1: 2:3: 6x4+11x3+18x2+14x+6=5 . + x-1 + 3x+2 (x+1) (x2+x+1)2 x+1 x2+x+1 (x2+x+1)2 x3+2x2 - 3 (x2-2)2 2_ 6 x-13x - 2 2x3 - 3x2+3x - 10 (x2+3)2 2x3 x2 6x - 8 (x2 x - 3)2 x3 7x2+7x+8 (x2 2x - 1)2 x3+2x3 x+3 (x2+1)3 x3+4x 5 (x2+2)3 x5+2x4 3x2 3x (x2+x - 1)3 x5+4x4+6x3+x2 3x 8 (x2+2x+2)3 2x4+13x3+13x2 -12x+2 x3(x2+3x - 1)2 2x4 x3+6x2 x+8 x(x2+2)2 -2x5 4x4+12x3+9x2 6x+1 x2(x2+3x - 1)2 2x6 x5 8x4+5x3+9x2+x 1 x3(x2 x - 1)2 4x4+x3 25x2 9x+30 (x+2) (x2 - 3)2 3x4+2x3+8x2+7x+7 (x - 1) (x2+2)2 4x4 7x3+5x2 x+1 (2x - 1) (x2 x+1)2 x4 5x3 10x2+26x+33 (x+3) (x2 x - 3)2 6 _ 3 2x+3 x+3 3_2 3x+72x+5 U.T.AALGEBRAF.I.S.E.I. 32 L. H. Vega Cuvi 5: 6:7: 7:9:10:9:11: 10:13:11:14: 12:15:13:17: 14:18:15: 19: 16:21:22:18: 23: DESCOMPOSICIN DE FRACCIONES EN FRACCIONES EN FRACCIONES PARCIALES,CASO II 1:2: 3: 4:5: 5:6: 6:7:7:9: 8:10:9: 11: 10:13: 11: 14:1 15: 1+ 3 2x+1 x-3 10_ 6 3x+5 x+3 6_3 5x 8 3x 4 5 _4 x 3x 4 6 _ 3 2x 52x 1 4 _5 3x 7 2x 54 _1_ 1 2x+1 x+2x 3 3_2+2 3x 2x+5 2x+1 3 _3_ 4 x+13x 52x+7 2+1_3 2x 3 x+43x 11 +2+3 x+62x+3x+2 1_4 _1 3(x+4) 3(4x - 5)2x 33+2 _ 5 X+1 x - 3 1+4_ 3 2x+3x 5x _5+ 2 2x+1 3x 53 + 2 (x+1)2 x+1 3 _ 2 (x - 4)2 x 42+ 1 (3x 1) 3x 12_3_ 4 (x+x1)3 (x+1)2(x+1) 5+ 3 _6 (2x - 3)3(2x - 3)22x 3 6_5+ 3 (3x+2)2 (3x+2)2 3x+2 2_5+3 2x 1x 4(x - 4)2 2 _ 1+5 2x+33x 1(3x - 1)2 2_3_ 1 5x+22x 7 (2x - 7)2 2 _3_ 5 _ 4 2x+3x 4 x+1(x+1)2 2 _ 3+3_2 x+1 X 1 x+2(x+2)2 2 _2+3 _ 3 2x+1x 2 2x 3(2x - 3)2 U.T.AALGEBRAF.I.S.E.I. 33 L. H. Vega Cuvi 13:17:18: 15:19: DESCOMPOSICIN DE FRACCIONES EN FRACCIONES EN FRACCIONES PARCIALES,CASO III 1:2: 3: 4: A=3, B=-1, C= -25: 2.- 1. + x 4.6: 2. + 3. x 5. X 12x + 1 x2 + 3x + 5 2x + 1x2 + 3 7: 2. + 1. 2x 1 .9: 1. - 2. + 2x 3 X 3 3x + 1 x2 x +2x 1(x 1)2x2 +1 10:2. + 1. 3x + 111: 3. -1 . + x 3. X 2(x 2)2x2 + 5 x 2(x 2)2x2 + x + 1 13:3x 1 . x 1 14: x2 5. + x 2 . X2 + 2x2 2 x2 - 3x -1x2 + 1BIBLIOGRAFA AUTOR(ES)TTULO 0.Garca Ardura, Algebra: 1992, Mc Graw Hill, Mxico. 1.Lehman, Algebra. 2.Luis Leithold, Algebra Superior.3.Proao, R., Algebra Superior: 1980, Copia, Ecuador. 4.ESPOL, Matemticas bsicas. 5.Allendoerfer Carl. Fundamentos de Matemtica Universitaria. 1968, 6.Taylor HMatemticas Bsica con Vectores y Matrices. 1971. 7.Londoo Bedoya. Matemtica Progresiva (1-6 y 6-11) 1993 8.Baldor AurelioAlgebra 9.Gonzlez y Mancill Algebra I-II 2+ 1_ 2 X+1 (x+1)2 3+2_ 1 X 3(x - 3)2 1+1 _2_1 2x+1 x 2(x 2)2 1_x+3 x 1 x2+2 3 + 2x 1x+1x2+1 1+2x 5 x 3 x2+x +1