Apuntes Del Docente Expresiones Algebraic As

5/10/2018 Apuntes Del Docente Expresiones Algebraic As - slidepdf.com

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UNIDADES TECNOLÓGICAS DE SANTANDER

UNIDAD 2

EXPRESIONES ALGEBRAÌCAS

En álgebra se emplean letras para representar números. Mediante letras y símbolos matemáticoslas proposiciones verbales se reducen a proposiciones algebraicas muy cortas. Ejemplo: Sieteveces un numero restado del mismo numero es igual a seis veces dicho numero 7 6n n n , esdecir, n7 equivale a “siete veces un numero”.

Pasar las proposiciones verbales a algebraicas es de suma importancia en la modelación

matemática, a continuación se enuncian algunas palabras que denotan operaciones.

ADICIÓN: suma, mas, ganar, aumentar, elevar, expansionar, más que, mayor que, másgrande que, agrandar, crecer e incrementar.

SUSTRACCIÓN: diferencia, menos, perder, disminuir, bajar, más bajo que, menos que,menor que, más pequeño que, acortar, depreciar y decrecer

MULTIPLICACIÓN: multiplicado por, veces, producto, dos veces, doble, triple, cuádruple yquíntuplo.

DIVISIÓN: divido por, razón, cociente y mitad.

Expresiones algebraicas: Es una combinación de números y letras relacionados con operacionesde suma, resta, multiplicación, división y a veces también por medio de potenciación, radicación, y

logaritmación.

22 2 32 4 ; 7 ; 2 ; x xy a b b x y c b

Dos o más expresiones algebraicas unidas con un signo + ó – reciben el nombre de términos. Doso más expresiones algebraicas unidas por una multiplicación reciben el nombre de factores.Ejemplo:

ab3 −

)3)(( ababa

Primer término segundo término

Tres factores dos factoresTodo término presenta las siguientes partes:

Coeficiente: El que precede a la parte literal.Parte Literal: Está representada por una o varias letras.Exponente: Indica cuantas veces se toma como factor la parte literal.




Exponente

53 x

Parte literal

Coeficiente

De acuerdo al número de términos las expresiones algebraicas pueden ser:

MONOMIO: tiene un término Ej.2 4

5 x y z ; x y

a b

2 2

BINOMIO: tiene dos términos Ej. 75

xy y ; p q

TRINOMIO: tiene tres términos Ej.2

3 5 x x

POLINOMIO: tiene más de dos términos Ej.3 2

3 2 12 x x x

Grado de un términoEs la suma de los exponentes del factor literal

Ejemplo: En el término 3x3 tiene grado 3 (por el exponente de x)En el término 4x2y3 tiene grado 5 (2 + 3, la suma de los exponentes)

Grado de una expresiónEs el grado mayor de sus distintos términos.

Ejemplo: En la expresión 3x3 + 5y5 tiene grado 5 (por el grado del segundo termino)En el término 4x2y3 – 4b3y2z7 tiene grado 12 (por el grado del segundo término)

Términos semejantes: Dos términos son semejantes si la variable contiene el mismo exponente,

por ejemplo los términos 32 x y 3

5 x son semejantes, este concepto se puede extender a

términos que tienen más de una variable, como por ejemplo: ½ x2 y3 ; 6x2 y3 ; 3 x2 y3 ;x2 y3 son términos semejantes

Reducción de términos semejantes.Para reducir términos semejantes se suman los coeficientes numéricos de todos los términossemejantes y a continuación se escribe la parte literal común.

Ejemplo:

2 2 2 2

2 2

3 2 4 6 21

3 1 2 6 1 4 21

x xy xy x xy xy

x xy xy

Reduciendo: 2 22 4 5 21 x xy xy

Recuerden que los términos en un polinomio se identifican porque están separados unos de otros por esigno positivo (+) o el negativo (−).



Se llama término independiente a aquel que no contiene la variable. En el ejemplo anterior −21es el término independiente

Polinomio ordenado: Un polinomio está ordenado con respecto a las potencias crecientes de unade sus letras cuando ésta figura en cada término con un exponente mayor o igual que en el

anterior.

OPERACIONES CON EXPRESIONES ALGEBRAÍCAS

Anteriormente se dijo que con las expresiones algebraicas, se cumplen las operaciones de adición,

sustracción, multiplicación y división. Vamos a trabajar cada operación y aprender un poco más de

ellas.

1. Suma y Resta

En Álgebra, a la hora de efectuar las operaciones de adición y sustracción es de particular

importancia la identificación de los llamados términos semejantes.

Cuando es una suma de monomios

Ejemplo: Sumar: 25 x y x7

Solución: x x x x 757522

Cuando es una suma de polinomios

Ejemplo: Sumar:3

1

4

3 2 x y x x 38

7 2

Solución:

x x x 3

8

7

3

1

4

3 22

x x x 38

7

3

1

4

3 22

x x x 3

3

1

8

7

4

3 22

3

138

7

4

3 2 x x

Luego el polinomio resultante es:

Observa que, como los términosno son semejantes la suma sedeja indicada

Indicamos la operación de los dosbinomios agrupando cada uno entre

paréntesis

Eliminamos los paréntesis, como el signoque los precede es positivo, no se afectaningún término

Agrupamos los términos semejantes

Extraemos la variable con su respectivoexponente como factor dejando loscoeficientes dentro del paréntesis.Observe que estos nos indican una sumade fracciones con diferente denominador




3

138

13 2 x x

Cuando es una resta de polinomios

Ejemplo

Sea 23 76

5 4 A x x y

6

5

2

1

5

1 23 x x x B determinar: A – B

6

5

2

1

5

1

4

76

5

3 232 x x x x x B A

Si eliminamos el paréntesis:2 3 23 7 1 1 5

65 4 5 2 6

A B x x x x x

Agrupamos los términos semejantes:

2 2 33 1 1 7 56

5 5 2 4 6 A B x x x x x

Finalmente, realizadas las adiciones de los términos semejantes y ordenando el polinomio en

forma descendente, tenemos:

3 24 11 31

5 2 12 A B x x x

2. MultiplicaciónPara multiplicar expresiones algebraicas, debes observar los siguientes pasos:

1º Multiplicar los signos ( ley de los signos para la multiplicación )2º Multiplicar los coeficientes numéricos.3º Multiplicar las letras (multiplicación de potencias de igual base).

Estos pasos son válidos para todos los casos de multiplicación en álgebra; esto es, monomiospor monomios, monomios por polinomios y polinomios por polinomios

Ejemplos:monomios por monomios monomios por polinomios polinomios por polinomios

( -4a 5 b

4 )•( 12ab

2 )=

–48 a 6 b

6

7 a 4 b • ( 2 a

3 – a b + 5 b

3 )=

14 a 7 b – 7 a

5 b

2 + 35 a

4 b

4

baba 7332

6a 2 –14ab –9ab + 21b

2 =

6a 2 –23ab +21b

2



( 6 m 5 n

-3 p

-4 ) • ( 5 mn

-1p

2 )=

30 m 6 n

–4 p

–2

aaa mmm

5132

2

5

4

5

5

2

3743

2

1 aamm

4222

x x x

x 3+2x

2+4x – 2x

2 – 4x – 8=

x 3 – 8

3 2 14 3 5 4

4 3 2a b ab a b

( a x + b y – c z ) • ( − x y )=

– ax 2 y – bxy

2 + cxyz

23822322

mmnmnm

¡Hazlo tú!

3. DivisiónDividir polinomios es tan sencillo, como dividir cantidades enteras, sólo que un polinomio es como

un grupo de números enteros descompuestos en una adición de muchos sumandos. Los

polinomios se disponen como en la división de números y ordenados por sus potencias de

mayor a menor. Los términos del cociente se obtienen en varios pasos, parecidos a la divisiónnumérica.

Sabemos que el proceso de dividir consiste en: dadas dos cantidades “dividendo” y “divisor”, se

debe buscar otra cantidad llamada “cociente” que multiplicada por el “divisor” nos resulte el

“dividendo”. Vamos a explicarlo por medio de un ejemplo:

Resolveremos la siguiente división de polinomios paso a paso:

2 3 5 23 10 4 6 1 2 x x x x x x

Se ordenan los dos polinomios tomando encuenta los exponentes de la variable (x) enorden decreciente y completando concoeficiente cero (0) la potencia faltante.

1263100422345

x x x x x x x

Se divide el primer término del polinomiodividendo entre el primer término del divisor

1263100422345 x x x x x x x

Para efectuar esto se divide el coeficientedel dividendo entre el del divisor y con lavariable se aplica la regla de potencia de uncociente de igual base.

325

2

5

2

5

441

44 x x

x

x

x

x

1263100422345 x x x x x x x

34 x

Este es el primer término del cociente

Se multiplica el primer término del cocientepor todos los términos del divisor, a estosproductos se les cambia el signo y seordenan debajo del dividendo según elexponente de la variable.

1263100422345 x x x x x x x

345484 x x x 3

4 x Estos productos se resta del dividendo 12631004

22345 x x x x x x x

345484 x x x 3

4 x



63148234 x x x x

Se repite todo el procedimientoconsiderando que ahora el primer términodel nuevo dividendo es 8x4

224

2

4

2

4

881

88 x x

x

x

x

x

1263100422345 x x x x x x x

345484 x x x 23

84 x x 63148

234

x x x x 2348168 x x x

65223 x x x

Continuamos ahora dividiendo los demás términos

1263100422345 x x x x x x x

345484 x x x 1284

23 x x x 63148

234 x x x x 234

8168 x x x 652 23

x x x x x x 242

23 63

2 x x 12

2 x x 75 x

El cociente de la división es : 128423 x x x

Y el residuo: 75 x (como el grado de este residuo es inferior al del divisor, no se puedecontinuar dividiendo por lo que la división es inexacta)

VALOR NUMÉRICO DE EXPRESIONES ALGEBRAICAS

Valorar una expresión algebraica significa asignar un valor numérico a cada variable de lostérminos y resolver las operaciones indicadas en la expresión para determinar su valor final.

Veamos un ejemplo:

Hallar el valor numérico de la expresión: 2 2 35 8 9 x y xy y considerando x = 2; y = –1

No olvidar:

Veamos el ejemplo propuesto: 2 2 35 8 9 x y xy y

1º Reemplazar cada variable por el valor asignado.

2º Calcular las potencias indicadas3º Efectuar las multiplicaciones y divisiones4º Realizar las adiciones y sustracciones



32232219128125985 y xy y x

= )1(9128)1(45

= 2791620

UNIDAD 3

PRODUCTOS Y COCIENTES NOTABLES

PRODUCTOS NOTABLESTanto en la multiplicación algebraica como en la aritmética se sigue un algoritmo cuyos pasos

conducen al resultado. Sin embargo, existen productos algebraicos que responden a una reglacuya aplicación simplifica la obtención del resultado. Estos productos reciben el nombre deproductos notables.

Se llama producto notable a un producto que puede ser obtenido sin efectuar la multiplicación.Los productos notables se repiten con mucha frecuencia en el cálculo algebraico, por lo que resultamuy conveniente conocer su resultado de memoria para poder operar con rapidez.

Algunos de ellos son los siguientes:

1. Cuadrado de un Binomio

Recordemos que a la expresión algebraica que consta de dos términos se le llama binomio. Elproducto de un binomio por sí mismo recibe el nombre de cuadrado del binomio. El desarrollo deun cuadrado de binomios siempre tiene la misma estructura.Tenemos dos casos.

El cuadrado de la suma de dos cantidades El cuadrado de la diferencia de dos cantidades

En ambos casos se tiene la misma estructura diferenciándose sólo en un signo. A partir de estehecho podemos presentar la fórmula para desarrollar el producto notable cuadrado del binomio:

“El cuadrado de un binomio es igual al cuadrado del primer término más (o menos) el doble del producto del primer término por el segundo más el cuadrado del segundo término ”

La estructura que representa esta fórmula es:

2 2 2( ) 2a b a ab b

Algunos ejemplos:

2 22 2 2

2 2( )(2 ) 2 4 4 p b p p b b p pb b

Es el valor

numérico



2 2 2 2 2

5 5 2(5 )( ) 25 10 x y x x y y x xy y

2. Producto de la suma por la diferencia de dos cantidades

Consideremos el producto de la suma de dos términos “ba

” por su diferencia “ba

”. Al

desarrollar el producto podemos observar que el resultado tiene una estructura como la siguiente:

2 2( )( )a b a b a b

Es decir, la suma de dos términos por su diferencia es equivalente a la diferencia de los cuadradosde los términos. La fórmula para el producto notable suma por diferencia se enuncia como sigue:“El producto de una suma de dos términos por su diferencia es igual al cuadrado del primer término menos el cuadrado del segundo ”

Algunos ejemplos:

5 4 5 4 5 2 4 2 10 8( 2 6 )( 2 6 ) (2 ) (6 ) 4 36 p q p q p q p q

2 22 2 2 41 1 1 1

3 3 3 94 4 4 16

x x x x

3. Cubo de un binomio

Consideramos también dos casos:

Cubo de la suma de dos cantidades Cubo de la diferencia de dos cantidades

En ambos casos se tiene la misma estructura diferenciándose sólo en un signo. A partir de estehecho podemos presentar la fórmula para desarrollar el producto notable cubo de un binomio:

“El cubo de un binomio es igual al cubo del primer término más (o menos) el triple del producto del cuadrado del primer término por el segundo más el triple del producto del primer término por el cuadrado del segundo más(o menos) el cubo del segundo término ”

La estructura que representa esta fórmula es:

3 3 2 2 3( ) 3 3a b a a b ab b

Algunos ejemplos:

3 2

2 3 2 3 2 2 3 2 3 3 35 3 (5 ) 3(5 ) (3 ) 3(5 ) 3 (3 )a b a a b a b a a b a a

= 6 3 7 2 8 9125 225 135 27a b a b a b a

3 3 22 2 2 2 3

2 2 3(2 ) ( ) 3(2 ) ( ) x y x x y x y y

= 3 2 2 2 68 12 6 x x y xy y

4. Multiplicación de Binomios con un Término Común



Este producto notable corresponde a la multiplicación de binomios de la forma “ ba ” por “ ca ”.

Al desarrollar el producto se observa que la estructura es la siguiente:

bcacbacaba 2

La fórmula para el producto de binomios con un término común se enuncia como sigue:

“Cuadrado del primer término, más la suma de los términos distintos multiplicada por el término común y más el producto de los términos distintos ”

Ejemplos:

2 23 2 3 2 3(2) 5 6 x x x x x x , observa que

3 2 5

3 2 6

2 28 7 8 7 8( 7) 56a a a a a a , observa que

8 ( 7) 1

8 ( 7) 56

COCIENTES NOTABLES

Existirán algunos casos en los cuales podemos dividir dos polinomios fácilmente pues susrespuestas son conocidasDefinición: Son aquellos cocientes que sin efectuar la operación de división, pueden ser escritospor simple inspección. Los cocientes notables son cocientes exactos.

a. Primer caso: babann

En este caso tendremos respuesta exacta solo cuando el exponente n sea un número impar.Veamos entonces el siguiente ejemplo: (x5 + y5) ÷ (x + y)Debemos empezar la respuesta tomando el primer término, pero bajándole un grado, es decir, porx5-1 = x4 A partir de ahí bebemos ir intercalando los signos (mas, menos, mas, menos, etcétera).En el segundo término debe seguir bajando el grado del primer término (ahora será x 3), peroademás deberá aparecer el segundo término (aparece y): x3y.

Para los demás términos de la respuesta se seguirá bajando el grado del primer término (hasta queeste desaparezca) y se irá incrementando el grado del exponente del segundo término.

(x5 + y5) ÷ (x + y) = x4 -x3y + x2y2 -xy3 +y4

b. Segundo caso: baba nn

En este caso tendremos respuesta exacta siempre, no importara si el exponente es un número paro impar.Veamos entonces el siguiente ejemplo: (x6 - y6) ÷ (x - y)La mecánica es prácticamente la misma que en el caso (a), con la única diferencia que en larespuesta todos los términos se estarán sumando (es decir todos los signos serán más).

(x6 + y6) ÷ (x + y) = x5 +x4y + x3y2 +x2y3 +xy4+y5



c. Tercer caso: babann

En este caso tendremos respuesta exacta solo cuando el exponente n sea un número par.Veamos entonces el siguiente ejemplo: (x4 - y4) ÷ (x + y)Debemos empezar la respuesta tomando el primer término, pero bajándole un grado, es decir, porx4-1 = x3 A partir de ahí bebemos ir intercalando los signos (mas, menos, mas, menos, etcétera).En el segundo término debe seguir bajando el grado del primer término (ahora será x2), pero

además deberá aparecer el segundo término (aparece y): x2yPara los demás términos de la respuesta se seguirá bajando el grado del primer término (hasta queeste desaparezca) y se ira incrementando el grado del exponente del segundo término.

(x4 - y4) ÷ (x + y) = x3 -x2y + xy2 -y3

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