Marco TericoLa historia delteorema de Gauss, oteorema de la divergencia, tiene se inters en el sentido de que ni mucho menos es Gauss el nico implicado en el enunciado y demostracin del mismo. De hecho parece ser que en principio Gauss consider tres casos particulares (que se preocup de demostrar) de un teorema ms general que enunci y demostr el matemtico rusoMikhail Ostrogradskien un trabajo que present a laAcademia de Ciencias de Parsen 1826 (aunque, si nos ponemos estrictos, podemos considerar aLagrangeyLaplacecomo los verdaderos precursores, gracias a la utilizacin delTeorema Fundamental del Clculo). Los matemticos francesesSimeon Denis PoissonyFrederic Sarrustambin presentaron, en 1828 y de forma independiente, demostraciones de este resultado. El matemtico inglsGeorge Greentambin tuvo cierta relacin con este interesante y til teorema.Por otra parte, parece que todos los matemticos que enunciaron y probaron versiones de este teorema estaban interesados en l por razones fsicas (aunque en algunos casos demostraran resultados generales): Gauss en teora de atraccin magntica, Ostrogradski en teora del calor, Green en electricidad y magnetismo, Poisson en cuerpos elsticos y Sarrus en cuerpos flotantes. En casi todos los casos el teorema estaba incluido como herramienta en un trabajo ms extenso que tena una finalidad fsica.

El Teorema de la divergencia es una analoga, en tres dimensiones, del Teorema de Green en el plano, donde en este caso se establece la relacin que existe entre una integral sobre la superficie S y la integral triple de una regin slida B, en la cual la superficie S es su frontera.Relaciona una integral triple extendida a un slido con una integral de superficie tomada sobre la frontera de dicho slido. Concretamente, asegura que el flujo de un campo vectorial hacia el exterior de una superficie cerrada es igual a la integral de la divergencia de dicho campo vectorial sobre el volumen encerrado por la superficie.Se trata de un resultado paralelo a los teoremas de Green y Stokes, en el sentido de que vincula una integral sobre un objeto geomtrico cerrado (curva o superficie) con otra integral sobre la regin contenida (superficie o volumen).

Que viene a decir que toda cantidad que surge o se consume, pues la divergencia equivale a una fuente o a un sumidero, segn sea el signo que tenga, en el interior de un volumen, (miembro izquierdo de la igualdad), es igual a la cantidad que atraviesa la frontera de dicho volumen (segundo trmino). Esto se ve ms claro en la imagen siguiente, dondedenota el volumen yla superficie que delimita dicho volumen:

El segundo trmino del teorema de la divergencia define precisamente el flujo de una magnitud a travs de una superficie. A la hora de aplicar el teorema de la divergencia hay que notar que tanto la magnitud que est fluyendo como la superficie tienen carcter vectorial. En el caso de la superficie esto puede resultar chocante, pero para tratar una superficie de forma vectorial no tenemos ms que definir un vector que tenga como mdulo el valor de la superficie y, como direccin y sentido, los dados por la normal que apunta hacia fuera de la superficie:Del lado izquierdo se tiene la integral de superficie del campo vectorial producto punto con el diferencial de superficie, donde aqu se define una direccin del diferencial de S, con el gradiente de la regin a la cual est pasando el flujo que puede ser bien una esfera un cilindro o incluso un cubo.Del lado derecho se tiene la integral de volumen de la divergencia del campo vectorial F con la diferencia del volumen, donde la divergencia no es ms que el producto punto de nabla con la funcin.DEMOSTRACIN. Sea F = (P,Q,R). Entonces

Por otra parte:

Por lo cual se puede establecer las siguientes igualdades:

Esto demostrar el teorema para todos los slidos que son proyectables simultneamente sobre los tres planos coordenados, y tambin para slidos descomponibles en recintos proyectables sobre los tres planos. En efecto, el teorema de la divergencia se extiende a estos ltimos aplicndolo a cada una de las partes resultantes de la descomposicin y teniendo en cuenta que los conjuntos de volumen nulo no contribuyen a la integral triple, mientras que las aportaciones a la integral de superficie de las caras comunes a los recintos adyacentes se cancelan dos a dos porque las normales exteriores tienen sentidos opuestos sobre esas caras.

Interpretacin fsica de la divergenciaEn un punto P, la divergencia div F(P) es la tasa de flujo neto hacia el exterior en P por unidad de volumen. En efecto, sea una bola en R3 centrada en P, de radio . El punto P se dice una fuente o un sumidero segn que div F(P) > 0 div F(P) < 0, ya que en el primer caso la tasa de flujo neto cerca de P se produce hacia el exterior mientras que en el segundo se produce hacia el interior. Si div F = 0 entonces para toda superficie cerrada S, mostrando que el flujo de F a travs de S es nulo. As pues, si F es el campo de velocidad de un fluido, la cantidad neta de fluido que fluye hacia afuera es nula; esto es, entra la misma cantidad de fluido que sale, por unidad de tiempo. Un fluido con esta propiedad se denomina incompresible.Ejercicios:Ejercicio 5 (Stewart Pg. 1103) Mediante el teorema de la divergencia calcule la integral de superficie. ; es decir el Flujo de F a travs de S.

Ejercicio 7 (Stewart Pg. 1103) Mediante el teorema de la divergencia calcule la integral de superficie. ; es decir el Flujo de F a travs de S.

El Teorema de la Divergencia sirve para regiones slidas simples, pero tambin se puede demostrar para regiones que son uniones finitas de regiones slidas simples. El teorema de la divergencia se llama a veces teorema de Gauss en honor al matemtico alemn Karl Friedrich Gauss (1777-1855), quien descubri este teorema durante su investigacin sobre electrosttica. El teorema nos relaciona con lo que pasa en una superficie cerrada con lo que hay dentro de ella. Si la superficie fuera una cortina opaca que no nos dejara ver que hay dentro, an podramos obtener informacin sobre ese sistema estudiando lo que pasa en la superficie a la que si tenemos acceso.La integral triple de la divergencia de un campo vectorial en un volumen dado es igual al flujo de dicho campo a travs de la superficie que encierra dicho volumen, tiene su aplicacin prctica en el mundo real (calcular la fuerza con la que un hilo cargado atrae a una carga, por ejemplo).El teorema de la divergencia define precisamente el flujo de una magnitud a travs de una superficie. A la hora de aplicar el teorema de la divergencia hay que notar que tanto la magnitud que est fluyendo como la superficie tienen carcter vectorial. En el caso de la superficie esto puede resultar chocante, pero para tratar una superficie de forma vectorial no tenemos ms que definir un vector que tenga como mdulo el valor de la superficie y, como direccin y sentido.