Funtzioak. Ezaugarriak · 2018. 2. 2. · 64 80 81 4 Funtzioak. Ezaugarriak Ebatzi 1. Apur bat...

62

Unitatearen aurkezpena

• Ikasturte honetara heltzen direnerako, ikasleek ondo erabiltzen dituzte funtzioaren kontzeptuari buruzkoak: zer diren, zer modu-tan ageri diren, funtzioen arlo aipagarrienak zein diren, funtzioak aztertzeko zer hartu behar den kontuan (hazkundea, maximoak eta minimoak, etenak, etab.)… Horrez gainera, grafikoen bidez emandako funtzio batzuk interpretatzeko gaitasunak ere badituz-te. Beraz, funtzioen blokeari buruzko lehenengo unitate hau, ia oso-osoan, berrikusketa dela esan dezakegu.

•Beharrezkoa izaten da ondo zaintzea ikasleek argi bereizten di-tuztela funtzioaren ideia eta «adierazpen analitikoarena». Horregatik, funtzioak emateko, adierazpen analitikoa («formula» bat) ez ezik, enuntziatu bat, grafiko bat edo balio-taula bat erabil daitekeela gogoratuz abiatuko dugu unitate hau.

•Adierazpide zehatzena adierazpen analitikoa da. Argiena, berriz, grafikoa. Hori dela eta, ikasturte honetan, adierazpen analitikoen bidez emandako funtzioak grafiko bihurtzen hasiko gara, eta hu-rrengo ikasturteetan sakondu egingo dugu arlo hori.

•Komeni da ikasleek funtzioaren kontzeptua sakontzea (1. atala), eta funtzioen ezaugarri garrantzitsuenetako batzuk finkatzea (3.,

4., 5. eta 6. atalak). Eta hori guztia lantzeko, ahal dela, errealitate-tik ateratako funtzioak erabiliko ditugu.

•Arreta berezia jartzen zaio batezbesteko aldakuntza tasari, fun-tzio batek tarte batean duen hazkundearen neurria baita. Horrez gain, zuzenean erlazionatuko dugu denbora → egindako distan-tzia erako funtzioaren batezbesteko abiadurarekin.

Gutxieneko ezagutzak

Ezinbestekoa iruditzen zaigu ikasleek honako eduki hauek ondo landuta eta menderatuta izatea unitatea amaitzerako:

•Grafikoen bidez emandako funtzioak interpretatzen jakitea.

•Balio-taulen bidez emandako funtzioak interpretatzen jakitea.

•Enuntziatu baten bidez emandako funtzio baten adierazpen grafikoa egitea.

•Grafiko bat deskribatzeko kontuan hartu beharreko ezaugarri garran-tzitsuenak bereiztea.

•Grafiko baten bidez edo adierazpen analitiko erraz baten bidez emandako funtzio baten definizio-eremua lortzea.

4 Funtzioak. Ezaugarriak

62

Unitatearen eskema

FUNTZIOAK

hauen bidez definituta daude

tarte batean honen bidez neurtzen da

hau da kasu honetan gertatzen da

DEFINIZIO-EREMUA

Funtzioa existitu arazten duten

balioen multzoa

Funtzioaren jokabidea behin eta berriro errepikatzen denean, aldagai askeak tarte jakin bat

egitean

PERIODIKOTASUNAJOERA

HANDIAGOTZEA

x1 < x2 bada,orduan f (x1) < f (x2)

Batezbesteko Aldakuntza Tasa

B.A.T. [a, b] = ( ) ( )b a

f b f a––

x1 < x2 bada,orduan f (x1) > f (x2)

Funtzioak balio handiagoa hartzen du puntu horretan

inguruko puntuetan baino

Funtzioak balio txikiagoa hartzen du puntu horretan

inguruko puntuetan baino

TXIKIAGOTZEA MAXIMOAK MINIMOAK

JARRAITUTASUNA ETA ETENAK

63

•Funtzio baten jarraitutasuna aztertzea.

•Funtzio baten hazkuntza-tarteak deskribatzea.

•Funtzio baten joera eta periodikotasuna aztertzea.

•Funtzio batek tarte batean duen batezbesteko aldakuntza tasa kalku-latzea.

Osagarri garrantzitsuak

Horrez gain, komeni da ikasleek ikasketa beste eduki hauekin biri-biltzea:

•Problemak ebaztea, ageri diren funtzioen ezaugarriak erabiliz.

•Grafikoaren bidez emandako funtzio baten ezaugarriak azter-tzea.

Lanak aurreratu

•Enuntziatuen bidez deskribaturiko funtzioak adieraztea eta interpre-tatzea.

•Zuzenkien maldak lortzea.

•Komunikabideetan joeraren bat duten funtzioak, periodikoak edota maximo eta minimodun funtzioak bilatzea.

LANKIDETZAN IKASI PENTSAMENDU ULERKORRA PENTSAMENDU KRITIKOA

82. or. P.D. honetan iradokitako ariketa (*) 82. or. Ariketa ebatzia. P.D. honetan iradokita-ko ariketa

82. or. 1. ariketa

83. or. Pentsatu eta egin 84. or. Ariketa ebatzia 83. or. 1. (*) ariketa

84. or. Pentsatu eta egin 86. or. Ariketa ebatzia (*) 87. or. 1. eta 2. (*) ariketak

85. or. Pentsatu eta egin 88. or. Ariketa ebatzia 92. eta 93. or. P.D. honetan iradokitako ariketa

86. or. Pentsatu eta egin 89. or. Problema ebatziak 94. or. 1., 2. eta 3. (*) ariketak

87. or. Pentsatu eta egin 90. or. Ariketa ebatziak (*) 97. or. ariketa 28 (*)

89. or. Pentsatu eta egin 91. or. Ariketa ebatzia

91. or. P.D. honetan iradokitako ariketa (*) 92. eta 93. or. Ariketa eta problema ebatziak (*)

94. eta 95. or. 1 - 13 ariketak

96. eta 97. or. 14 - 23 ariketak. P.D. honetan ira-dokitako ariketa (*)

DIZIPLINARTEKOTASUNA IKTak EKIMENA PROBLEMAK EBATZI

80. or. P.D. honetan iradoki-tako ariketa (*)

80. or. P.D. honetan ira-dokitako ariketa (*)

81. or. 1. (*) ariketa Ikaslearen liburuan proposatutako problema guztiak atal honetan barneratuta daude. Hemen aparteko interesa duten batzuk nabarmentzen dira.

83. or. 2. ariketa 97. or. 20 - 23 (*) ariketak

94. or. 5. (*) ariketa 97. or. 20 - 23 (*) ariketak

97. or. 21. eta 23. (*) ariketak 99. or. Trebatu problemak ebatziz (*)

98. or. Ikertu (*)

Ondorengo taula honetan, lankidetzan ikastea, pentsamendu ulerkorra, pentsamendu kritikoa, diziplinartekotasuna, eki-mena eta problemen ebazpena lantzeko eta horri guztiari arreta jartzeko ariketak bilduta ageri dira. Batzuk ikaslearen li-buruan (I.L.) proposatuta daude, eta, hemen, zer orrialdetan dauden eta zer ariketa diren adierazi da. Beste batzuk, argi zehazten den moduan, Proposamen Didaktikoan (P.D.) iradokita daude.

Iradokizun hauetako batzuk ikur batekin markatuta daude ikaslearen liburuan; hemen, (*) ikurra erabiliz nabarmendu ditugu.

64

8180

4 Funtzioak. Ezaugarriak

Ebatzi

1. Apur bat inklinaturik dagoen errail batetik bola bat jausten utzi, eta zenbait denbora-tartetan zer distantzia egin duen neurtu dugu:

denbora s-tan (t ) 0 0,5 1 1,5 2 2,5 3 3,5 4 4,5 5

distantzia cm-tan (e) 0 2,5 10 22 40 63 90 123 160 202 250

a) Adierazi aurreko datu horiek koadernoan, eskuinean ageri den koadrikula honen moduko batean. Erabili datuok kasu horren kurba lortzeko.

b) Frogatu lortu dituzun balioek (biribiltze egokia eginez) erlazio hau betetzen dutela:

e = 10t 2 1 2 3 4 5

50

100

150

200

250

DENBORA (s)

DISTANTZIA (cm)

Zer abiaduran jausten dira gauzak?

xvi. mendeko Europan, Aristotelesen ideiek (K.a. iv. mendeko filosofoa) eragin izugarria zuten eta haren sinesmenak ez ziren zalantzan jartzen. Aristotelesen arabera, pisu desber-dineko bi gauza jausten utziz gero, pisurik handienekoa heltzen zen lehenago lurrera.Esaten da Galileok hankaz gora jarri zuela sinesmen hori Pisako Unibertsitatean irakasle hasi berria zela. Eta, horretarako, honako saiakuntza hau egin zuela jende aurrean: oso pisu desberdineko bi gauza jausten utzi zituen Pisako dorretik. Eta aldi berean heldu ziren lurzorura. Lortu zuen, bai, bere tesia frogatzea, baina bota egin zuten unibertsitatetik.Aurreko anekdota horretan, beharbada, gauza asko mito izango dira. Baina egia da gor-putzek plano inklinatuetatik nola jausten diren ikertu zuela, distantziak eta denborak kontrolatuz.

Funtzio kontzeptuaren bilakaera Funtzio kontzeptua denboran zehar garatzen eta zehazten joan da. Eta zer baldintza biltzen ditu gaur egungo kontzeptu horrek?— Funtzioak bi aldagai erlazionatzen ditu.— Funtzioek fenomeno naturalak deskribatzen dituzte. («Naturako legeak

bi kantitateren arteko mendekotasun-erlazioak dira»).— Erlazio funtzionalak formulen bidez deskriba daitezke (erlazio alje-

braikoen bidez).— Funtzioak grafikoen bidez adieraz daitezke.

Matematikari handien ekarpenak Galileo (xvi. mendearen amaiera) izan zen esperimentazio kuantitatiboa erabiltzen lehena (diseinatu, esperimentuak egin, neurtu, idatzi) naturako fenomenoak deskribatzen zituzten zenbakizko erlazioak ezartzeko.Descartesek (xvii. mendea) funtzioak grafikoen bidez adierazteko modua bultzatu zuen, geometria aljebraren mende jarrita.Leibnizek, 1673an, lehenengoz erabili zuen funtzio hitza erlazio horiei esateko.Eulerrek gorputz eman zion kontzeptu horri 1748 eta 1755 bitartean, eta zehaztu eta orokortu egin zuen. Azkenik, bi aldagairen arteko erlazioa funtzio izan daitekeela baieztatu zuen, nahiz eta erlazio hori deskribatzen duen adierazpen analitikorik ez egon. Eulerrek berak eman zuen funtzioak izendatzeko f (x) nomenklatura.

Antzinako SESBko seilua, Galileoren (1564-1642) jaiotzaren 400. urteu-rrena gogoratuz.

Galileo erakusten duen margo-lana. Koadro erdian dagoen irudi altuena da eta pisu desberdineko gorputzen erorketari buruzko ikerketak defendatzen ageri da.

Leibniz (1646-1716) matematikari eta filosofo handiaren omenez Leipzi-geko Unibertsitateko campusean dagoen monumentua.

San Petersburgoko Zientzien Akademia (Errusia). Akademia horretako «Commentarii» ikerketa-aldizkarian agertu zuen lehenengoz Eulerrek f (x) idazkera, 1736an argitaratutako artikulu batean.

Unitatearen hasiera• Gure ikasleei eskola-gidaliburuetan bikain zehaztuta azaltzen diegun fun-

tzioaren kontzeptua prozesu luze baten emaitza da. Irakurgaian, ibilbide horretan mugarri izan diren zenbait gertakizun ageri dira.

Ikasleek zer dakiten argitzeko galderak• 81. orrialdean, historiako osagarri bitxi batek ikasleei proposamen bat

egiteko bidea emango diegu: ustez saiakuntza batean lortutako datue-tatik abiatuta funtzio bat adieraztea, eta adierazpen analitiko jakin bate-na izan daitekeela egiaztatzea.

•Abiapuntu egokia izango da ikasleek beste ikasturte batzuetan ikasita-koa zenbateraino duten finkatuta ikusteko.

Diziplinartekotasuna Honako ariketa hau egitea iradokitzen da:

Irakurgaian ageri diren matematikariak (Galileo, Descartes, Leibniz eta Euler) horiei dagokien garaiko une kultural, politiko eta sozialean kokatzea.

IKTak Honako ariketa hau egitea iradokitzen da:

Irakurgaian funtzioaren kontzeptuaren bilakaerari buruz ageri den informa-zioa sakontzea, baita aipatzen diren matematikariei buruzkoa ere.

«Ebatzi» atalaren soluzioak

1 a)

1 2 3 4 5

50

100

150

200

250

DENBORA (s)

DISTANTZIA (cm)

b) Egiaztatu egiten da.

OHARRAK

OHARRAK

65

8382

Funtzio batek zenbakizko bi aldagai elkarrekin lotzen ditu eta aldagai horiei, normalean, x eta y esaten zaie:

x aldagai askea da. y mendeko aldagaia da.Bi aldagai horiek f funtzioaren bidez erlazionatzean dira, x-ren balio bakoi-tzari y-ren balio bakar bat lotzen dio. Honela adierazten da:

y = f (x )

Funtzio baten jokabidea zein den ikusteko, adie-razpen grafikoa erabil-tzen dugu.

X

Ordenatu-ardatza Puntuaren koordenatuak

puntuaren abzisa

puntuarenordenatua

Y

y

x

(x, y)

Abzisa-ardatza

f funtzio hori betetzen duten x-ren balio multzoari, funtzio baten definizio-eremu esaten zaio eta Dom f izendatzen da.Funtzioak hartzen dituen balioen multzoari f -ren ibilbide esaten zaio. Hau da, f (x) = y betetzen duen x orok berekin lotuta duen y-ren balioen mul-tzoari.

1 Oinarrizko kontzeptuak

1. Grafiko honek zati batean zabalik dagoen txorrota bate-tik ura zer tenperaturatan irteten den deskribatzen du.

a) Zein dira aldagaiak?b) Azaldu zergatik den

funtzioa.c) Zein dira definizio-

eremua eta ibilbidea?

1

102030405060

2 3 4 5 6DENBORA (min)

TENPERATURA (°C)

2. Adierazi funtzio hauen definizio-eremua eta ibilbidea:

a) b) c)

1

1

Y

X 1

2

Y

X 10

1

Y

X

3. Adierazi definizio-eremua [–2, 5] eta ibilbidea [2, 7] dituen funtzio bat. Asmatu definizio-eremua [0, 5] eta ibilbidea {1} dituen beste bat.

Pentsatu eta egin

Ariketa ebatzia

Azaldu zergatik den funtzioa honako erlazio hau:

Bola bat erortzen utzi eta hainbat unetan zer altueratan dagoen neurtzea.

Bi aldagai lotzen dira: denbora, t , segundotan neurtuta; eta egindako espazioa, e, metrotan neurtuta.Lehenengoa aldagai askea da, bigarrena mendeko aldagaia da.Bola une bakoitzean altuera batean egongo da. Hau da, t-ren balio bakoitze-rako e-ren balio bakarra egongo da. Beraz, e espazioa t -ren mendeko funtzioa da : e = f (t ).

X

f-ren ibilbidea

f-ren de�nizio-eremua

f

Y

Funtzioak sarri aurkitzen ditugu matematika ikastean, beste zientzia batzuk aztertzean zein eguneroko bizimoduan.Eta hainbat modutan adierazita ageri zaizkigu: grafikoa emanez, balio-taulak era-biliz, formula baten bidez edo hitzezko deskribapen baten bidez (enuntziatua).

Grafikoaren bidez

Eskuineko funtzioa grafikoaren bidez emana dago. Etxebizitzek azkeneko urteetan eskualde batean izan duten prezioa deskribatzen du.Funtzio baten jokabide orokorra ondoen adierazpen grafikoaren bidez ikusten da. Horregatik, fun-tzio bat aztertu nahi dugunean, grafikoki adierazten saiatuko gara, berdin dio zer modu edo eratan ematen zaigun hasieran.

92

%85

%90

%95

%100

%105

%110

%115

94 96 98 00 02 04 06 08 10 12 14 16

ETXEBIZITZEN PREZIOAREN INDIZEA

URTEA

Enuntziatuaren bidez

Funtzio bat enuntziatu baten edo deskribapen baten bidez ematen denean, ezin izaten dugu kuantitatiboki funtzio horri buruzko irudi zehatzik egin. Baina enuntziatuarekin batera zenbakizko datuak ere ematen badira, funtzio zehaztuta egongo da. Ikus ditzagun itsas mailaren gaineko altuera eta igarotako denbora aldagaiak erlazionatzen dituzten bi adibide:•Felix goizean irten da landetxetik, ondoan dagoen mendiko gailurrera igotzeko

bidea hartu du, gailurrean bazkaldu du eta iluntzerako itzuli da etxera.•Miren goizeko 9etan irten da hondartzako etxetik. 45 min egin ditu oinez

itsas mailaren gainetik 250 m-ko altueran dagoen muinoraino, han gelditu da 10 min ikuspegiaz gozatzen eta etxerako buelta 30 min-an egin du.

Aztertu

Funtzio baten grafikoak modua ema-ten du funtzioaren jokabidea begi-kolpe bakarrean igartzeko.

2 Nola adierazten dira funtzioak

1. Etxebizitzen prezioari buruz goian dagoen grafikoa aztertuko dugu:

a) Grafikoa % 100ean hasteak zer esan nahi du? Arra-zoizkoa iruditzen zaizu?

b) Maximoa % 115ekoa izan zen. Zer unetan gertatu zen? Erantzun gutxi gorabehera.

c) Zein izan zen minimoa? Zer unetan gertatu zen?

d) Zein izan zen prezioaren indizea 2006an?

2. Aztertu goian Felix eta Mirenen ibilaldiei buruz des-kribatu diren itsas mailaren gaineko altuera - igarotako denbora funtzioak.

a) Irudikatu Felixi dagokion grafikoa.

b) Irudikatu Mireni dagokion grafikoa.

c) Aurreko bi grafiko horiek eta zure ikaskideek egin-dakoak konparatzen badituzu, zein izango dira antzekoagoak: Felixi buruzkoak ala Mireni buruzkoak? Azaldu zergatik.

Pentsatu eta egin

Webgunean Ontzien betetzeari buruzko adibideak.

«Bi ibiltari»: grafikoak irakurri.

Webgunean

Iradokizunak• Funtzioei lotutako kontzeptuak zorroztasunez definitzen dira: aldagai as-

kea eta mendeko aldagaia, abzisa-ardatza eta ordenatu-ardatza, puntu baten koordenatuak… Komeni da ikasleei azpimarratzea zer garrantzi-tsua den orrialde honetan ageri den terminologia egoki erabiltzea.

•Grafikoen adierazpenak helburu argi bat du: puntu batek zer ordenatu duen jakitea, emandako abzisa jakin baterako.

Lankidetzan ikasi Orrialde honetako «Pentsatu eta egin» ataleko ariketak, eta, orokorrean, ikasi berri diren edukiak sakontzeko helburua duten ariketa guztiak elkarla-nean egin daitezke, ikasleak talde txikietan banatuz, berdinen arteko ikas-keta bultzatzeko.

Pentsamendu kritikoa Bai orrialde hauetako ariketa ebatzietan, bai hurrengo orrialdekoetan, ikasleak, hasieran, "dagoeneko badakitenarekin" ebazten saia daitezke ariketak, zailtasunak eta blokeoak non dituzten hautemateko. Gero, tes-tuan ematen diren prozesuak aztertuko dituzte, ondorio bateratuetara iri-tsiko dira eta izan ditzaketen dudak argituko dituzte.

Indartzeko eta sakontzekoHauek gomendatzen dira:

• INKLUSIOA ETA ANIZTASUNAREN TRATAMENDUA fotokopiatzeko ba-liabidetik:

Indartzeko: A fitxako Egin ataleko 1.a) ariketa. A fitxako Erabili ataleko 1. ariketa. B fitxako Egin ataleko 1.a) ariketa.

«Pentsatu eta egin» atalaren soluzioak

1 a) Aldagai askea → denbora (min)

Mendeko aldagaia → tenperatura (ºC)

b) Denboraren balio bakoitzerako tenperaturaren balio bakarra dago.

c) Definizio-eremua = [0, 6]

Ibilbidea = [10, 58]

2 a) Definizio-eremua = [–1, 4]

Ibilbidea = [–2, 3]

b) Definizio-eremua = [– 4, 1]

Ibilbidea = [– 4, 6]

c) Definizio-eremua = [–5, 20]

Ibilbidea = [–2, 2]

3 Erantzun bat baino gehiago dago.

OHARRAK

66

Iradokizunak

•Orrialde honetan eta hurrengo bietan, hasierako orrialdeko ikasketa biri-bildu eta funtzio bat adierazteko zer modu dauden erakusten da.

• Ikasleek argi izan behar dute funtzio baten jokabideari buruzko azterke-ta azkarra egiteko modurik egokiena adierazpen grafikoa dela. Helburua emaitzak azkar lortzea eta modu kuantitatiboan erabiltzea bada, berriz, adierazpen analitikoa erabiltzea izango da onena.

•Orrialde bakoitzaren amaieran proposaturiko ariketak oso lagungarriak izaten dira jakiteko ikasleak zer neurritaraino diren gauza grafiko batetik informazioa ateratzeko, grafikoari enuntziatu bat lotzen jakiteko edo for-mula bat emanda funtzio bat adierazteko. Orokorrean, helburua hau da: ikasleek funtzioa aztertzeko modurik egokiena zein den estimatu deza-tela, problemaren testuingurua kontuan hartuta.

Indartzeko eta sakontzeko

Hauek gomendatzen dira:


Sakontzeko: B fitxako Erabili ataleko 4. ariketa.


1 a) Erreferentziazko balioa % 100 dela esan nahi du. Zentzuzkoa da abiapuntua balio hori izatea.

b) 2005. urtean.

c) Minimoa % 87koa izan zen. 2013an gertatu zen

d) % 110

2 a) Erantzun bat baino gehiago dago.

b)

30 45 55 855

100

200

300

IGAROTAKO DENBORA (min)

ITSAS MAILAREN GAINEKO ALTUERA (m)

c) Mireni buruzkoak.

8382

Funtzio batek zenbakizko bi aldagai elkarrekin lotzen ditu eta aldagai horiei, normalean, x eta y esaten zaie:

x aldagai askea da. y mendeko aldagaia da.Bi aldagai horiek f funtzioaren bidez erlazionatzean dira, x-ren balio bakoi-tzari y-ren balio bakar bat lotzen dio. Honela adierazten da:

y = f (x )

Funtzio baten jokabidea zein den ikusteko, adie-razpen grafikoa erabil-tzen dugu.

X

Ordenatu-ardatza Puntuaren koordenatuak

puntuaren abzisa

puntuarenordenatua

Y

y

x

(x, y)

Abzisa-ardatza

f funtzio hori betetzen duten x-ren balio multzoari, funtzio baten definizio-eremu esaten zaio eta Dom f izendatzen da.Funtzioak hartzen dituen balioen multzoari f -ren ibilbide esaten zaio. Hau da, f (x) = y betetzen duen x orok berekin lotuta duen y-ren balioen mul-tzoari.

1 Oinarrizko kontzeptuak

1. Grafiko honek zati batean zabalik dagoen txorrota bate-tik ura zer tenperaturatan irteten den deskribatzen du.

a) Zein dira aldagaiak?b) Azaldu zergatik den

funtzioa.c) Zein dira definizio-

eremua eta ibilbidea?

1

102030405060

2 3 4 5 6DENBORA (min)

TENPERATURA (°C)

2. Adierazi funtzio hauen definizio-eremua eta ibilbidea:

a) b) c)

1

1

Y

X 1

2

Y

X 10

1

Y

X

3. Adierazi definizio-eremua [–2, 5] eta ibilbidea [2, 7] dituen funtzio bat. Asmatu definizio-eremua [0, 5] eta ibilbidea {1} dituen beste bat.

Pentsatu eta egin

Ariketa ebatzia

Azaldu zergatik den funtzioa honako erlazio hau:

Bola bat erortzen utzi eta hainbat unetan zer altueratan dagoen neurtzea.

Bi aldagai lotzen dira: denbora, t , segundotan neurtuta; eta egindako espazioa, e, metrotan neurtuta.Lehenengoa aldagai askea da, bigarrena mendeko aldagaia da.Bola une bakoitzean altuera batean egongo da. Hau da, t-ren balio bakoitze-rako e-ren balio bakarra egongo da. Beraz, e espazioa t -ren mendeko funtzioa da : e = f (t ).

X

f-ren ibilbidea

f-ren de�nizio-eremua

f

Y

Funtzioak sarri aurkitzen ditugu matematika ikastean, beste zientzia batzuk aztertzean zein eguneroko bizimoduan.Eta hainbat modutan adierazita ageri zaizkigu: grafikoa emanez, balio-taulak era-biliz, formula baten bidez edo hitzezko deskribapen baten bidez (enuntziatua).

Grafikoaren bidez

Eskuineko funtzioa grafikoaren bidez emana dago. Etxebizitzek azkeneko urteetan eskualde batean izan duten prezioa deskribatzen du.Funtzio baten jokabide orokorra ondoen adierazpen grafikoaren bidez ikusten da. Horregatik, fun-tzio bat aztertu nahi dugunean, grafikoki adierazten saiatuko gara, berdin dio zer modu edo eratan ematen zaigun hasieran.

92

%85

%90

%95

%100

%105

%110

%115

94 96 98 00 02 04 06 08 10 12 14 16

ETXEBIZITZEN PREZIOAREN INDIZEA

URTEA

Enuntziatuaren bidez

Funtzio bat enuntziatu baten edo deskribapen baten bidez ematen denean, ezin izaten dugu kuantitatiboki funtzio horri buruzko irudi zehatzik egin. Baina enuntziatuarekin batera zenbakizko datuak ere ematen badira, funtzio zehaztuta egongo da. Ikus ditzagun itsas mailaren gaineko altuera eta igarotako denbora aldagaiak erlazionatzen dituzten bi adibide:•Felix goizean irten da landetxetik, ondoan dagoen mendiko gailurrera igotzeko

bidea hartu du, gailurrean bazkaldu du eta iluntzerako itzuli da etxera.•Miren goizeko 9etan irten da hondartzako etxetik. 45 min egin ditu oinez

itsas mailaren gainetik 250 m-ko altueran dagoen muinoraino, han gelditu da 10 min ikuspegiaz gozatzen eta etxerako buelta 30 min-an egin du.

Aztertu

Funtzio baten grafikoak modua ema-ten du funtzioaren jokabidea begi-kolpe bakarrean igartzeko.

2 Nola adierazten dira funtzioak

1. Etxebizitzen prezioari buruz goian dagoen grafikoa aztertuko dugu:

a) Grafikoa % 100ean hasteak zer esan nahi du? Arra-zoizkoa iruditzen zaizu?

b) Maximoa % 115ekoa izan zen. Zer unetan gertatu zen? Erantzun gutxi gorabehera.

c) Zein izan zen minimoa? Zer unetan gertatu zen?

d) Zein izan zen prezioaren indizea 2006an?

2. Aztertu goian Felix eta Mirenen ibilaldiei buruz des-kribatu diren itsas mailaren gaineko altuera - igarotako denbora funtzioak.

a) Irudikatu Felixi dagokion grafikoa.

b) Irudikatu Mireni dagokion grafikoa.

c) Aurreko bi grafiko horiek eta zure ikaskideek egin-dakoak konparatzen badituzu, zein izango dira antzekoagoak: Felixi buruzkoak ala Mireni buruzkoak? Azaldu zergatik.

Pentsatu eta egin

Webgunean Ontzien betetzeari buruzko adibideak.

«Bi ibiltari»: grafikoak irakurri.

Webgunean

OHARRAK

67

8584

Balio-taula baten bidez definituriko funtzioak

Sarritan, funtzio baten balioak taula baten bidez ematen dizkigute eta datuak zuzenean lortzen ditugu taula horretan. Beste batzuetan, ostera, kalkulu zailak egin behar dira behar duguna lortzeko.

Adibidea: Ogasunari ordaintzeko taula

Taula hau aztertuko dugu: pertsona bakoitzak (zergapekoa) Ogasunari zenbat ordaindu behar dion (kuota osoa) kalkulatzeko balio du, kontuan hartuz azke-neko urtean zenbat irabazi duen eta legez onartutako deskontuak kendu ondoren (likidazio-oinarria).

likidazio- oinarria (€)

kuota osoa (€)

gainerako likidazio-oinarria (€)

tasa aplikagarria (%)

10 000 0 10 000raino 1520 000 1 500 10 000raino 2530 000 4 000 20 000raino 3550 000 11 000 hortik gora 45

oharra: Ogasunak darabilen taula horrelakoa da, baina konplexuagoa.

Taula hori nola erabili behar den alboan azaltzen da, adibideen bidez. Baina esanahia hau da:•0tik 10 000 €-rainoko irabaziek ez dute ezer ordaintzen (% 0);•10 000 € eta 20 000 € artean irabazitakoagatik, % 15 ordaindu behar da;•20 000 € eta 30 000 € artean irabazitakoagatik, % 25 ordaindu behar da;•30 000 € eta 50 000 € artean irabazitakoagatik, % 35 ordaindu behar da;•50 000 €-tik gora irabazitakoagatik, % 45 ordaindu behar da.Beraz, 42 000 € irabazten duenak ordaindu beharrekoa honela kalkulatu behar da:

42 000 = 10 000 + 10 000 + 10 000 + 12 000 10 000ren % 0 10 000ren % 15 10 000ren % 25 12 000ren % 35

↓ ↓ ↓ ↓ 0 € + 1 500 € + 2 500 € + 4 200 € = 8 200 €

Adibidea

42 000 € irabazten duena:•3. lerroan egongo da.•Lehenengo 30 000 €-engatik

4 000 € ordaindu behar ditu, eta gainerakoagatik (42 000 € – – 30 000 € = 12 000 €), % 35.12 000 €-ren % 35 = 4 200 €

•Beraz, honenbeste ordaindu behar du: 4 000 € + 4 200 € = 8 200 €

5

10

15

10 20 30 40 50 60

KUOTA (milaka €)

OINARRIA (milaka €)

Taulari dagokion grafikoa.

3. Aurkitu zein den honako likidazio-oinarri hauetako bakoitzari dagokion kuota osoa:a) 12 000 € b) 25 000 € c) 50 000 € d) 100 000 €

4. Goiko taulako bigarren zutabea gainerako datuetatik abiatuta lortu daiteke.Azaldu nola.

Pentsatu eta egin

Ariketa ebatzia

Lortu honako likidazio-oinarri hauei dagokien kuota osoa:

a) 9 500 €

b) 30 000 €

c) 37 840 €

d) 62 500 €

a) Kantitate hori lehenengo lerrokoa da. Beraz, ez du ezer ordaindu behar izango.b) Kantitate horri dagokion kuota zuzenean lortzen dugu, kalkulurik egin gabe,

3. lerroan → Kuota: 4 000 €.c) 3. lerroko kantitatea da. Lehenengo 30 000 €-engatik 4 000 € ordaindu

behar dira.Gainerako 7 840 €-engatik, % 35; eta hori 2 744 € dira. Beraz, 4 000 € + 2 744 € = 6 744 € ordaindu behar dira.

d) Azkeneko lerroko kantitatea da. Lehenengo 50 000 €-engatik 11 000 € ordaindu behar dira. Gainerako 12 500 €-engatik, % 45; hau da, 5 625 €. Beraz, guztira, 11 000 € + 5 625 € = 16 625 € ordaindu behar dira.

Adierazpen analitikoaren edo formularen bidez definituriko funtzioak

Funtzioak emateko modu zehatz eta eraginkorrena adierazpen analitikoa da. Baina gero azterketa zorrotza egitea eskatzen du.Ikus ditzagun adibide batzuk:

1. adibidea

Apur bat inklinatuta dagoen plano batetik behera jausten utzi dugun bola batek 20 cm/s2-ko azelerazioa darama.Bola horrek segundotan emanda dagoen t denbora-ren funtzioan egiten duen e distantzia (zentimetrotan) e = 10t 2 formulak ematen digu.

t (s)

e (cm)

2. adibidea

Esfera baten bolumena erradioaren funtzioan hau da:

V = 34 πr 3 (r cm-tan, V cm3-tan)

r (cm)

V (cm3)

3. adibidea

Pendulu jakin baten T periodoa l luzeraren (m-tan) funtzioan, formula honek ematen digu: T = l4 .Periodoa penduluak oszilazio edo joan-etorri bat egi-teko behar duen denbora da (s-tan). l (m)

T (s)

4. adibidea

Lupa baten bidez ikusten den objektu baten tamainaren

A handiagotzea hau da: A = d2

2–

.

d : lupatik objektura dagoen distantzia, cm-tan.A: handiagotzea (tamaina errealarekin biderkatuko dugun zenbakia).

d (cm)

A

5. 1. adibidean, kalkulatu zer distantzia egiten duen bolak 1, 2, 3, 4 eta 5 segundotan. Zer denborari dagokio 2 m-ko distantzia?

6. 2. adibidean, kalkulatu 5 cm-ko erradioa duen esfera baten bolumena eta 800 cm3-ko bolumena duen esfe-ra baten erradioa.

5 cm

800 cm3

7. Kalkulatu (3. adibidea) 1 m-ko luzera duen pendulu baten periodoa. Zein da 6 segundoko periodoa duen penduluaren luzera?

8. Kalkulatu objektu batek itxuraz A zer tamaina duen (4. adibidea) d -ren balio hauekin:

0; 0,5; 1; 1,5; 1,9; 1,99d = 4 denean, A = –1 lortzen dugu. Horrek esan nahi du objektua tamaina errealean ikusten dela, baina alde-rantziz. Interpretatu A-ren balioak d hauetarako:

10; 5; 2,5; 2,1; 2,01

Pentsatu eta egin


•MATEMATIKAKO ARIKETAK 3. koadernotik:

Indartzeko: 5. orrialdeko 6. ariketa, a) puntua.

Sakontzeko: 5. orrialdeko 7. ariketa.


Sakontzeko: B fitxako Erabili ataleko 1., 2. eta 3. ariketak.


3 a) 300 euro

b) 2 750 euro

c) 11 000 euro

d) 33 500 euro

4 likidazio-oinarria (€) kuota osoa

10 000 0

20 000 0 + 10 000ren % 15 = 1 500

30 000 1 500 + 10 000ren % 25 = 4 000

50 000 4 000 + 20 000ren % 35 = 11 000

5 t (s) 1 2 3 4 5

e (m) 0,1 0,4 0,9 1,6 2,5

e = 2 m izateko, t ≈ 4,47 s-ko denbora behar da.

6 V ≈ 523,6 cm3

r ≈ 5,76 cm

7 l = 1 m → 2 seg

T = 6 seg → l = 9 m

8 d 0 0,5 1 1,5 1,9 1,99

A 1 4/3 2 4 20 200

d 10 5 2,5 2,1 2,01

A –1/4 –2/3 – 4 –20 –200

A negatiboa den kasuetan, balioa A-ren balioak adierazten duen ta-mainan ikusten da, baina alderantzikatuta.

OHARRAK

68

8786

y = x2 funtzioan, x-ri edozein balio eman diezaiokegu eta balio horri dagokion y-ren balioa lortuko dugu. Funtzio hori Á osoan definituta dagoela esaten dugu, edo bere definizio-eremua Á edo (–∞, +∞) dela.y = x funtzioan, ostera, x-ri ezin dizkiogu balio negatiboak eman. Kasu horre-tan, definizio-eremua [0, +∞) da.Funtzio baten Dom f definizio-eremua murriztuta egon daiteke arrazoi haue-tako batengatik:— Eragiketaren bat egin ezin delako. f (x)-n hauek daudenean gertatzen da hori:

• Izendatzaileak. Izendatzailea zero egiten duten balioak ez dira definizio-ere-muan egongo.

Adibidez, f (x) = x 31+ kasuan, definizio-eremua zenbaki erreal guztien

multzoa da, x = –3 izan ezik. Hau da, Dom f = (–∞, –3) ∪ (–3, +∞).• Erro karratuak. Erro azpiko adierazpena negatibo egiten duten zenbakiak ez

daude definizio-eremuaren barruan. Adibidez, f (x) = x 2– kasuan, x < 2 balioak ez daude definizio-ere-

muan. Beraz, Dom f = [2, +∞).— Funtzioari buruzko testuinguru errealak horrela zehazten duelako. Adibidez, karratu baten azalera aldearen funtzioan adierazteko A = l 2 erabil-

tzen dugu; eta kasu horretan, definizio-eremua (0, +∞) da, aldearen luzerak positibo izan behar du eta.

— Funtzioa proposatzen duenaren borondatea hori delako. y = 2x funtzioa (0, 4] tartean definiturik dagoela esan dezakegu, besterik

gabe horrela adierazi nahi dugulako.Kontrakoa esaten ez bada, definizio-eremua funtzioaren adierazpen analitikoa osatzen duten eragiketek zehazten dutena izango da.

Alboko funtzioa jarraitua da bere definizio-eremu osoan. Hurrengo hiru funtzio hauek, berriz, etenak dira:

a

a) c)b)

a a

Zergatik dira etenak?a) Jauzi bat du a abzisa-puntuan.b) Adar infinituak ditu a puntuan. Hau da, funtzioaren balioak mugarik gabe hazten dira x aldagaia a-rantz hurbiltzen denean.c) Puntu bat falta zaio. Hau da, ez dago x = a puntuan definituta.

Funtzio bat jarraitua da ez daukanean inolako etenik.Funtzio bat jarraitua da [a, b ] tartean, tarte horretan etenik ez badu.

Adibideak

Aparkaleku askotan «orduka» kobratzen dute. Horrek esan nahi du aparkalekuan sartu baino ez 1 h ordaindu behar dela. Eta 1 h eta 10 min egonez gero, 2 h. Behean dauden bi grafikoetako lehenengoak ordaintzeko modu hori adierazten du. Jauzi erako hainbat eten-puntu dituen funtzio bat da.

1

2468

10

2 3 4 5 DENBORA (h)

ORDAINKETA (€)

1

2468

10

2 3 4 5 DENBORA (h)

ORDAINKETA (€)1 2

Erabiltzaileek nahiago izaten duten ordaintzeko moduak 2 grafikoaren funtzioari jarraitzea. Argi dagoenez, funtzio hori jarraitua da. Hurrengo bi funtzio hauek ete-nak dituzte:Honek, adar infinituak dituelako. Honek, puntu bat falta duelako.

2

3 4

2

x2 – 2xy = — x – 2

1y = — (x – 2)2

Murrizketak

Ez dira definizio-eremukoak:•Izendatzailea baliogabetzen duten

balioak.•Erro karratuetako errokizuna nega-

tibo egiten duten balioak.

Idazkera

Dom f definizio-eremua x = –3 ken-duta gainerako zenbaki erreal guztiena bada, tarteen batura eginez adieraz dezakegu: (– ∞, –3) ∪ (–3, +∞); edo honela:

Dom f = Á – {–3}

Kontuan hartu

Funtzio bat definitzen duen tartea itxia, irekia edo erdiirekia izan dai-teke.

Aztertu

( )yx

x xx

x x x22

22

––

––2

= = =

Hau da, y = x da x ≠ 2 bada, ezin dugulako zerorekin zatitu. Horre-gatik utzi dugu hutsune bat puntu horretan.

Ohar garrantzitsua

Funtzio jarraitu batean, x-ren aldake-tak «txikiak» izaten direnean, y-n aldaketa «txikiak» eragiten ditu. Eten puntuetan (jauziak), berriz, x-ren aldaketa txiki batek (aparkalekuan minutu bat gehiago egotea) aldaketa handia eragin dezake y-n (2 €).

3 Definizio-eremua 4 Funtzio jarraituak. Etenak

1. Aurkitu honako hauen definizio-eremua:

a) y = x x2 8

1–2 +

b) y = x 5– c) y = x 5

1–

d) y = x x2 8

1– –2

Pentsatu eta egin

Ariketa ebatzia

Aurkitu adierazpen anali-tikoen bidez emandako funtzio hauen definizio-eremuak:

a) y = x x2 8

1– –2

b) y = x 5+

a) x 2 – 2x – 8 = 0 → x = ± ±2

2 4 322

2 6+ = = 42–

x = –2 eta x = 4 balioek izendatzailea baliogabetzen dute eta ez dira defini-zio-eremukoak.

Beraz, Dom f = (–∞, –2) ∪ (–2, 4) ∪ (4, +∞) = Á – {–2, 4}b) x + 5 ≥ 0 → x ≥ –5. Definizio-eremua Dom f = [–5, +∞) da.

y = x2

Dom f = (–∞, +∞)

Dom f = [0, +∞)

y = √—x

1. Eraiki 1 funtzioaren antzekoa, baina kontuan har-tuz ordu erdirik behin 1 € gehiago ordaindu behar dela. Ordaintzeko bi moduetako zein iruditzen zaizu bidezkoena?

2. Aztertu 3 funtzioa «2tik hurbil» dauden balioeta-rako. Egiaztatu x-k 1,9; 1,99; 1,999; 2,01; 2,001 balio duenean y-k «oso balio handiak» hartzen dituela.

Pentsatu eta egin

funtzio jarraitua

Indartu definizio-eremuen kalkulua.

Webgunean

Webgunean Sakondu definizio-eremuen kalkulua.

Iradokizunak• Grafikoaren bidez emandako funtzioek zer definizio-eremu duten zehaz-

tea oso erraza da. Baina adierazpen analitikoaren bidez emanda daude-nean, definizio-eremua izango da aldagaiak formulan inplizitu dauden eragiketetan hartzen dituen balioen araberakoa. Hori da, hain zuzen ere, 86. orrialdeko atal honetan lantzen dena.


•MATEMATIKAKO ARIKETAK 3. koadernotik:

Indartzeko: 3. orrialdeko 1. ariketa.

Sakontzeko: 4. orrialdeko 2., 3. eta 4. ariketak. 5. orrialdeko 6.b) ariketa eta 7. ariketa.


Indartzeko: A fitxako Egin ataleko 1.b) eta 1.c) ariketak. B fitxako Egin ataleko 1.b) ariketa.


1 a) Á – {– 4, 2} b) [5, +∞)

c) (5, +∞) d) (–∞, –2) ∪ (4, +∞)

Iradokizunak• Ikasleek ondo menderatuta dute funtzio jarraitua zer den: arkatza papere-

tik altxatu gabe marratu daitekeen grafikoa duen funtzioa.

Dena dela, komeni da gogoratzea zer eten mota sor daitezkeen aldagai diskretuekin lan eginda; hau da, balio bakanduen kasuan definituta da-goenean. Saldutako tresnak-lortutako irabaziak, egindako fotokopiak-prezioa, obra batean ari diren langileen kopurua-obra amaitzeko behar den denbora… adibideetako funtzioetan, puntuak ezin dira lotu.

• Ikasturte honetan, komeniko litzateke funtzio jarraituaren kontzeptua modu formalean aztertzea, baita jarraitua izateari zergatik utz diezaio-keen ere. Orrialde honetan proposaturiko adibideak landu ondoren, ikasleek gauza izan beharko lukete modu analitikoan definituriko fun-tzioetan gerta daitezkeen bi eten motak bereizteko:

— Polinomioen arteko zatiketa moduan adierazita dauden funtzioak.

— Zatika definiturik dauden funtzioak.

• Oso lagungarria izango da zatika definituriko funtzio etenen ariketak propo-satzea eta jarraituak izateko zer aldaketa egin beharko liratekeen aztertzea.

Adibidez, ( )≥

bada

badaf x

x xx

1 0

1 0– <=

+( etena da x = 0 puntuan.

( )

≥ bada

badaf x

x xx

1 0

1 0<=

+( hartuz gero, funtzioa jarraitua da definizio-

eremu osoan.


1 KOSTUA (€)

1

2

2 3 4 DENBORA(h)

4

6

8

Ordaintzeko modu hau adibidekoa baino bidezkoagoa da.

2 x 1,9 1,99 1,999 2,01 2,001

y 100 104 106 104 106

69

8988

f funtzioa gorakorra da tarte hone-tan, izan ere:x1 < x2 bada, orduan f (x1) < f (x2)

Era berean, f funtzioa beherakorra da tarte honetan, izan ere:x1 < x2 bada, orduan f (x1) > f (x2)

x2x1

f (x1)

y = f (x )

f (x2)

x2x1

f (x1)

y = f (x )

f (x2)

Funtzio bat gorakorra izan daiteke tarte batzuetan eta beherakorra beste batzuetan.

Funtzio batek puntu batean maximo erlati-boa du puntu horretan funtzioak inguruko puntuetan baino balio handiagoa hartzen due-nean. Kasu horretan, funtzioa gorakorra da maximoraino, eta beherakorra, hortik aurrera.Era berean, f funtzioak puntu batean minimo erlatiboa badu, beherakorra da puntu horretaraino, eta gorakorra puntu horretatik aurrera.

MAXIMOA

MINIMOA

GO

RAKO

RRA BEHERAKORRA

BEHERAKORRAGORAKORRA

5 Hazkundea, maximoak eta minimoak

1. Aztertu eskuineko funtzioa eta erantzun:

a) Zer tartetan da gorakorra eta zer tartetan beherako-rra?

b) Zein dira maximo eta minimo erlatiboak?

Pentsatu eta egin

Ariketa ebatzia

Esan zer tartetan den grafiko bidez emandako eskuineko fun-tzio hori gorakorra, eta zer tar-tetan beherakorra.

Zein dira maximo eta minimo erlatiboak?

Funtzioa [–7, 11] tartean definituta dago.

Gorakorra da [–7, –3] eta [1, 11] tar-teetan.Beherakorra da [–3, 1] tartean.

–7 11

Maximo erlatibo bat du –3 abzisa-puntuan. Horren balioa 2 da.Minimo erlatibo bat du 1 abzisa-puntuan. Horren balioa –5 da.Beste puntu batzuetan funtzioak minimo erlatiboa baino balio txikiagoak har-tzen ditu. Adibidez, x = –7 denean, funtzioaren balioa – 6 da.

Funtzioak maximo erlatiboa baino balio handiagoak edo minimo erlatiboa baino balio txikiagoak har ditzake beste puntu batzuetan.

Batezbesteko aldakuntza tasa (B.A.T.)

Funtzio batek tarte batean duen aldakuntzaren azkartasuna (handiagotzea edo txi-kiagotzea) duen neurtzeko, batezbesteko aldakuntza tasa edo B.A.T. erabiltzen da.

f funtzio batek [a, b ] tartean duen batezbes-teko aldakuntza tasa funtzioaren aldakuntza-ren eta tartearen luzeraren arteko zatiketaren emaitza da.

f-ren B.A.T. [a, b ] tartean = ( ) ( )b a

f b f a––

ba

A

B

f (a)

f (b)

f (b) – f (a)b – a

Ikusten duzunez, f-ren B.A.T. [a, b ] tartean AB zuzenkiaren malda da.

B.A.T.-en kasu interesgarri bat batezbesteko abiadura da: igarotako denboraegindako distantzia

.

2. Esan zein den adierazitako f funtzio honen batezbesteko al-dakuntza tasa (B.A.T.), [1, 3], [3, 6], [6, 8], [8, 9] eta [3, 9] tarteetan.

1 3 6 8 9

f

3. Kalkulatu y = x 2 – 4x + 5 funtzioaren B.A.T. (2. problema ebatzia) [0, 2], [1, 3] eta [1, 4] tartee-tan.

4. Kalkulatu 3. problema ebatziko harriaren batezbeste-ko abiadura [0, 1], [0, 3], [3, 4] eta [4, 8] tarteetan.

Pentsatu eta egin

Problema ebatziak

1. Aurkitu zein den grafiko bidez eskuinean emandako funtzio horren batezbesteko aldakuntza tasa [1, 5] eta [5, 8] tarteetan.

Irudian ikusten dugunez:

f (1) = 6, f (5) = 9, f (8) = 3. Beraz:

f-ren B.A.T. [1, 5] tartean = ( ) ( )f f

5 15 1

49 6

43

–– –= =

f

1 5 8 f-ren B.A.T. [5, 8] tartean = ( ) ( )f f

8 58 5

33 9

36

–– – –= =

= –22. Kalkulatu y = x 2 – 4x + 5

funtzioaren B.A.T. [2, 4] eta [0, 3] tarteetan.

B.A.T. [2, 4] tartean = ( ) ( )f f

4 24 2

4 25 1

24 2

––

––= = =

B.A.T. [0, 3] tartean = ( ) ( )f f

3 03 0

3 02 5

33 1–

––– – –= = =

1 2 3 4

5

3. a = 40t – 5t 2 ekuazioak go-rantz jaurtitako harri batek hartzen duen altuera ematen digu (a, m-tan; t, s-tan). Kalkulatu zein den batez-besteko abiadura [0, 2] eta [4, 6] tarteetan.

B.A.T. [0, 2] tartean = ( ) ( )a a2 0

2 02

60 0–– –= = 30 m/s

B.A.T. [4, 6] tartean = ( ) ( )a a6 4

6 42

60 80–– –= = –10 m/s

Abiadura positibotzat hartuko dugu harria gorantz doanean, eta negatibotzat, beherantz datorrenean.

2 4 6 8s

m

20

40

60

80

B.A.T.-en kontzeptua finkatzeko adibideak eta ariketak.

Webgunean

Iradokizunak• Ikasleek, normalean, ez dute zailtasunik izaten testuinguru errealetan

emandako funtzioen handiagotzearen eta txikiagotzearen esanahia uler-tzeko eta analisia egiteko, eta puntu maximoak eta minimoak bereizten jakiteko.

• Tartearen eta zuzenerdiaren kontzeptua eta idazkera lehendik ere landu-ta dutenez, horiek erabiliko dituzte funtzioa zer tartetan den gorakorra eta zer tartetan beherakorra adierazteko.

•Maximo eta minimoei dagokienez, komeni da bi alderdi azpimarratzea:

— «Erlatibo» hitzaren esanahia: maximoa (edo minimoa) den puntu ho-rretatik hurbil ez dago gainetik (edo azpitik) dagoen beste punturik.

— Maximoa edo minimoa adierazteko, X ardatzaren zer puntutan lortzen den eta zer balio hartzen duen zehaztu behar da: «–2 abzisa-puntuan lortzen da eta horren balioa 3 da; hau da, (–2, 3) puntuan lortzen da».

•Batezbesteko aldakuntza tasa lantzen hasiko gara, funtzio batek tarte batean duen hazkundea neurtzeko. Kontzeptu hori datorren ikasturtean sakonduko dugu, ondoren deribatuaren kontzeptua lantzeko.

• Komeni da ikasleek B.A.T. grafiko bidez emandako funtzioetan zein mo-du analitikoetan emandako funtzioetan kalkulatzea.

• Irakasleak egoki baderitzo, puntu jakin bateko hazkundea zein den ere landu daiteke, oso tarte txikiak hartuz eta kalkulagailua erabiliz. Ariketa mota hau aukerakoa izan daiteke, gai honetan aparteko interesa erakus-ten duten ikasleentzat.



Indartzeko: A fitxako Egin ataleko 2. eta 3. ariketak. B fitxako Egin atale-ko 2. eta 3. ariketak.


1 a) Gorakorra da (–5, –3) ∪ (5, +∞) tartean.

Beherakorra da (–∞, –5) ∪ (–3, 5) tartean.

b) Maximo erlatiboa du (–3, 5) puntuan.

Minimo erlatiboak ditu (–5, 3) eta (5, –2) puntuetan.

2 B.A.T. [1, 3] = –23 ; B.A.T. [3, 6] = –

31 ; B.A.T. [6, 8] = 1;

B.A.T. [8, 9] = 4; B.A.T. [3, 9] = 65

3 B.A.T. [0, 2] = –2; B.A.T. [1, 3] = 0; B.A.T. [1, 4] = 1

4 B.A.T. [0, 1] = 35; B.A.T. [0, 3] = 25; B.A.T. [3, 4] = 5; B.A.T. [4, 8] = –20

OHARRAK

70

9190

Paraxutista batek hegazkinetik salto egin du, altuera jakin batetik. Hasieran abiadura oso azkar hazten da, baina denbora aurrera joan ahala, orekatu egin da airearen marruskadura indarra eta grabitatea parekatu egiten dira eta. Hona hemen abiadura eta denbora erlazionatzen dituen funtzioaren grafikoa:

10

5

ABIADURA (m/s)

DENBORA (s)

20

30

40

50

60

10

Abiadura, une zehatz batetik aurrera, balio baten inguruan egonkortzen da. Honako hau baiezta dezakegu:

Denbora igarotzen den neurrian, abiadurak 55 m/s-ra (198 km/h) jotzen du).

Funtzio batzuetan, nahiz eta funtzioaren zati bat bakarrik ezagutu, aztertu ditugun tartetik urrun ere nola jokatuko duten aurreikus dezakegu, oso joera argia duten adarrak dituztelako.

Funtzio baten limitea

Joera horiei funtzioaren limite esa-ten zaie. Batxilergoan limiteak bereiz-ten eta kalkulatzen ikasiko dugu.

6 Joera eta periodikotasuna

Ariketa ebatziak

1. Izozkailua garbitzean, eda-lontzi batean izotz zati bat geratu da. Egin ur horren tenperatura-aldaketaren grafikoa, kontuan hartuz izotza –10 °C-an irten de-la izozkailutik, ordu erdi behar izan duela 0 °C-an egoteko eta 2 h gehiago ur-tzeko. Kanpoko tenperatura 20 °C-koa da.

Izotzaren tenperaturak gora egiten du 0 °C-ra heldu arte. Orduan, 0 °C-ko ten-peraturari eutsiz, urtuz doa apurka-apurka. Hortik aurrera, uraren tenperatura igo egiten da eta gelako tenperaturarekin berdintzeko joera izango du.

0

10

–10

20

3 4

TENPERATURA (ºC)

DENBORA(h)

1 2

2. Zenbaterantz jotzen du kubo baten bolumenak ertza hazten den heinean?

Kubo baten bolumena ertzaren funtzioan V = l 3 da. Zenbat eta handiagoa izan ertza, orduan eta handiagoa izango da bolumena.Hau da, bolumena mugagabe hazten da. Hori honela adierazten da:Ertza mugagabe hazten denean, bolumenak infiniturantz jotzen du.

BOLUMENA (cm3)

ERTZA (cm)1 2 312345678

Periodikotasuna

Alboan, noria bateko saskiak bira bat ematen duenean izaten duen altuera-aldakuntza ageri da adierazita. Minutu erdian (30 segundo) ematen du bira, eta denbora horretan igo, punturik altuenera iritsi, jaitsi eta lurreraino itzultzen da. Eta higidura hori behin eta berriro errepikatzen du. Adierazpen grafikoa hau da:

30

40

60 90 120

Funtzio horretan, [0, 30] tartean gertatzen dena behin eta berriro errepikatzen da. Funtzio periodikoa da, periodoa 30 duena.

Aldagai askeak tarte zehatz bat egiten duen bakoitzean jokabide bera erakusten duen funtzioa funtzio periodikoa da. Tarte horren luzerari periodo esaten zaio.

1. Substantzia baten erradioaktibitate-kantitatea erdira murrizten da urte batetik bestera. Beheko grafikoan, denbora igarotzen den neurrian substantzia horren zati batean zenbat erradioaktibitate dagoen ageri da.

Zenbaterantz jotzen du erradioaktibitateak den-bora igaro ahala?1

ERRADIOAKTIBITATEA

DENBORA (urteak)1 2

2. Komun publiko batzuetako depositua modu auto-matikoan betetzen eta husten da bi minuturik behin, grafiko honetan erakusten den erritmoaren arabera.

a) Marraztu 10 min-ri dagokion grafikoa.

b) Zenbat ur egongo da deposi-tuan une hauetan?

I) 17 min II) 40 min 30 s III) 1 h 9 min 30 s

1

10

20

30

2

BOLUMENA (l )

DENBORA (min)

Pentsatu eta egin

Ariketa ebatzia

Grafiko honetan, periodoa 7 duen funtzio periodiko ba-ten hasiera adierazita dago. Kalkulatu zer balio hartzen dituen funtzio horrek a = 10; b = 19 ; c = 418,5 eta d = 1 778 abzisa-puntuetan.

1 2 3 4 5 6 712345

a = 10 → f (10) = f (3) = 3 (izan ere, 10 = 7 · 1 + 3, eta funtzioa 7 unitaterik behin errepikatzen da)

b = 19 → f (19) = f (5) = 4 (izan ere, 19 = 7 · 2 + 5)

1 2 3 4 5 6 712345

8 910 12 14 16 18 20 22

c = 418,5 → f (418,5) = f (5,5) = 3 (izan ere, 418,5 = 7 · 59 + 5,5)d = 1 778 → f (1 778) = f (0) = 0 (izan ere, 1 778 = 7 · 254)

10

40

5 15 30

ALTUERA (m)

DENBORA (s)

Funtzio periodikoen adibideak eta periodoen kalkulua.

Webgunean

Iradokizunak

•Atal honen helburua da ikasleak gauza izan daitezela funtzio baten jarre-ra zein den bereizteko eta deskribatzeko, baita grafikoan adierazten den zatiaz harago ere, aldagai askearen balioak handitzen diren neurrian. Deskribapen hori ahoz egin beharko dute, funtzioan parte hartzen duten aldagaien esanahia kontuan hartuz.

•Grafikoari erreparatuta funtzio bat periodikoa den zehazten jakitea ez da zaila; maila honetan periodoa identifikatzeko, grafikoa osatzeko edo-ta funtzioak x0 edozein puntutan zer balio hartzen duen kalkulatzeko ariketak proposatuko ditugu.

• Irakasleak egoki ikusten badu, atal hau amaitzeko bizimodu errealean ageri diren funtzio periodikoen adibideak landu ditzake:

— Eguzki-orbanen intentsitateak maximoa lortzen du 11 urterik behin.

— Garunaren jarduera elektrikoa neurtu egin daiteke, eta gutxi gora-behera periodikoa den grafikoa duen entzefalograma ematen du.

— Merkurio planetatik Eguzkira dagoen distantzia, planeta horren orbita 88 egunik behin errepikatzen dela jakinda.

Lankidetzan ikasi

Orrialde hauetako "Pentsatu eta egin" atalak eta ikasi berri diren ezagu-tzak indartzeko ariketa guztiak elkarlanean egin daitezke, ikasleak talde txikietan banatuta, berdinen arteko ikasketa bultzatzeko.


1 Zerorantz jotzen du.

2 a)

DENBORA (min)1

10

20

30

BOLUMENA (l )

2 3 4 5 6 7 8 9 10

b) i) f (17) = 20 litro

ii) f (40 min 30 s) = 10 litro

iii) f (1 h 9 min 30 s) = 30 litro

OHARRAK

OHARRAK

71

Ariketa eta problema ebatziak

93


92


93

1. Definizio-eremua

Esan zein den honako funtzio honen definizio-eremua:

y = x x3 6 9–2 +

Egizu zeuk. Kalkulatu honako funtzio honen definizio-eremua:

y = x x2 14 20– –2 +

3x 2 + 6x – 9 positibo edo zero egingo duten x-ren balioak aurkituko ditugu. Ebatzi dezagun 3x 2 + 6x – 9 = 0 → x1 = –3, x2 = 1. Irudikatu egingo dugu:

•x ≤ –3 bada → 3x 2 + 6x – 9 ≥ 0•–3 < x < 1 bada → 3x 2 + 6x – 9 < 0•x ≥ 1 bada → 3x 2 + 6x – 9 ≥ 0Beraz, x-ri –3 balioa edo edozein balio txikiagoa eman diezaiokegu edo, bestela, 1 balioa edo edozein balio handiagoa.

Horrela, bada, f funtzioaren definizio-ere-mua hau da:

1

2

–3

3x2 + 6x – 9 > 0 3x2 + 6x – 9 > 0

3x2 + 6x – 9 < 0

Dom f = (– ∞, –3] ∪ [1, +∞)

4. Grafiko etena eta periodikoa

Honako grafiko hau periodikoa da, 7 periodokoa.

a) Aurkitu definizio-eremua.b) Gorakorra ala beherakorra

da [14, 16] tartean? Kalku-latu funtzioak tarte horre-tan duen B.A.T.

c) Adierazi zer eten-puntu dauden [– 4, 4] tartean eta sailka itzazu.

d) Zein dira funtzioaren mini-mo erlatiboak [–10, 5] tar-tean?

a) Grafikoan ageri den tartean, funtzioa ez dago definituta x = –1 puntuan. Badakigu funtzio periodikoa dela, 7 periodokoa; beraz, definizio-eremua Á osoa dela ziurta dezakegu, –1 + n · 7 izan ezik (n edozein zenbaki izanda).

b) 7 periodoko funtzio periodikoa denez, [14, 16] tartean eta [0, 2] tartean ber-dina gertatzen da. Izan ere, tarte bera da baina bi periodo mugituta ezkerrera (2 · 7 = 14). Funtzioa beherakorra da tarte horretan.

B.A.T. [14, 16] = B.A.T. [0, 2] = 2 02 2

24 2–

– – – –= =

c) [– 4, 4] tartean bi eten-puntu daude:•x = –1 puntuan adar infinitu bat dago.•x = 3 puntuan jauzi bat dago.

d) Grafikoan ([– 4, 3] tartean), x = 2 puntuan minimo erlatibo bat dagoela ikusten dugu.• Eskuinera beste bat dago x = 2 + 7 = 9 puntuan, baina bila gabiltzan tar-

tetik kanpo dago.• Ezkerrera beste bat dago x = 2 – 7 = –5 puntuan, eta hori gure tarte

barruan dago. Beraz, [–10, 5] tartean bi minimo erlatibo daude, x = –5 eta x = 2 puntuetan.

Egizu zeuk. Irudikatu funtzioa [–15, 15] tartean. Gorakorra ala beherakorra da [–24, –23] tartean? Zer adar infinitu ditu [40, 49] tartean?

2. Txirrindularia

Paulek osteratxoa egin du bi-zikletan. Eskuineko grafikoan ibilbide osoan zer abiadura eraman duen ageri da.a) Lehenengo 15 minutuak

inguru lau batean egin ditu. Zer abiadura eraman du? Zer distantzia egin du?

b) 18. minututik 27.era, aldats gora ala aldats behera doa? Zer abiaduratan?

c) Adierazi aldats behera egi-ten duen 5 min-ko tarte bat. Zer abiaduratan doa?

a) Lehenengo 15 min-etan 25 km/h-ko abiadura eraman du.

15 min = 41 h = 0,25 h

Denbora horretan, distantzia hau egin du: 0,25 · 25 = 6,25 km

5

10

15

20

25

30

35

40

10 20 30 40 50 60 70

ABIADURA(km/h)

DENBORA (min)

b) 18. minututik 27.enera aldats gora doa, abiadura 9 km/h gutxitu baita. Hau da, 25 km/h-ko abiaduratik 16 km/h-ra igaro da.

c) Adibidez, 40. minututik 45.era aldats behera doa, 38 km/h-ra.

5. Batezbesteko abiadura

Eskuinean adierazitako fun-tzioan motor batek egindako espazioa eta denbora erlazio-natzen dira.

a) Zer distantziatara dago atseden-gunea?

b) Aurkitu funtzioaren B.A.T. [0, 9], [0, 5] eta [6, 9] tartee-tan.

c) Zenbatekoa da batezbesteko abiadura lehenengo tartean, atsedenaren aurretik? Eta bigarrenean? Zer erlazio dago batezbesteko abia-duren eta aurreko ataleko B.A.T.-en artean?

d) Kalkulatu bidaia osoaren batezbesteko abiadura.

a) Atseden-guneraino 400 km daude, hor hasten baita motorra 1 h geldi egon dela adierazten digun zati horizontala.

b) B.A.T. [0, 9] = ,9 0700 0

9700 77 78–

– = =

1 2 3 4 5 6 7100

300

500

8 9

700EGINDAKO ESPAZIOA (km)

DENBORA (h) B.A.T. [0, 5] = 5 0

400 05

400 80–– = =

B.A.T. [6, 9] = 9 6

700 4003

300 100–– = =

c) Lehenengo eta bigarren tarteetako batezbesteko abiadurak bat datoz, hurrenez hurren, funtzioak [0, 5] eta [6, 9] tarteetan dituen batezbesteko aldakuntza tasekin.

Egindako espazioa eta denbora erlazionatzen dituen funtzio batean, tarte bateko batezbesteko aldakuntza tasa kalkulatzen dugunean, denbora-tarte horretako batezbesteko abiadura kalkulatzen ari gara.

d) Bidaia osoaren batezbesteko abiadura funtzioak [0, 9] tartean izango duen batez-besteko aldakuntza tasa da, eta hori kalkulatu dugu b) atalean: 77,78 km/h.

Egizu zeuk. Kalkulatu zein den batezbesteko abiadura lehenengo orduan, lehenengo bi orduetan, lehenengo hiru orduetan… eta jarraitu horrela.

3. Kaxa bat eraiki

Kaxa bat egin nahi dugu, 40 cm × 30 cm-ko neurria duen kartulina zati batekin. Horre-tarako, x aldeko karratu bat ebaki diogu ertzetako bakoi-tzean.

a) Kalkulatu kaxaren bolume-na eta ebaki ditugun karra-tuen aldearen luzera erlazio-natzen dituen funtzioa.

b) Aurkitu funtzioaren defini-zio-eremua.

a) Ertz bakoitzean x aldeko karratu bat eba-kitzen badugu, kaxaren oinarrirako lortu dugun laukizuzenaren luzera 40 – 2x izango da, eta zabalera, 30 – 2x. Kaxaren altuera x izango da.

Beraz, bolumena hau izango da x-ren fun-tzioan: V = (40 – 2x) · (30 – 2x) · x =

= 4x 3 – 140x 2 + 1 200 x

40 cm

30 cm

x

xx

30 – 2x

40 – 2x

b) Kaxa egiteko, x ezin da ez negatiboa ez 0 izan; horrez gainera, 15 cm-tik beherako balioa hartu behar du. Beraz, funtzioaren definizio-eremua (0, 15) da.

Egizu zeuk. Egin ariketa bera 1 m × 70 cm-ko kartulina baten kasuan.

Pentsamendu kritikoa Honako ariketa hau egitea iradokitzen da:

Ikasleek, hasieran, bakarka edo talde txikietan banatuta ebatziko dituzte orrialde honetan proposatzen diren ariketak. Gero, beraien prozesu eta soluzioak testuan ageri direnekin konparatuko dituzte, eta ahoz azalduko dituzte ondo egindakoak, akatsak, desberdintasunak, erroreak...

«Egizu zeuk» atalaren soluzioak

1 Dom f = [2, 5]

3 a) V (x) = 4x 3 – 340x 2 + 7 000x

b) Dom V = (0, 35)

4 [–15, 15] tarteko grafiko zatia hau da:

–15 –11 –8 – 4 –1 3 6 10 13 15

Y

X

[–24, –23] tartean gorakorra da.

[40, 49] tartean adar infinituak ditu x = 41 eta x = 48 puntuetan.

5 B.A.T. [0, 1] = 125 km/h B.A.T. [0, 2] = 87,5 km/h

B.A.T. [0, 3] = 91,67 km/h B.A.T. [0, 4] = 87,5 km/h

B.A.T. [0, 5] = 80 km/h B.A.T. [0, 6] = 66,67 km/h

B.A.T. [0, 7] = 67,86 km/h B.A.T. [0, 8] = 75 km/h

OHARRAK

72

94 95

Ariketak eta problemak

TrebatuGrafikoak interpretatu 1. Hozkailutik edalontzi bete ur atera, eta sukaldeko

mahai gainean utzi dugu. Grafiko honetan, denbora igaro ahala uraren tenperatura (gradu zentigradutan) zein den ageri da:

20 40 602

8

16

22TENPERATURA (°C)

DENBORA (min)

a) Zer tenperatura dago hozkailu barruan? Eta kanpoan?b) Mikrouhinetik 98 °C-an dagoen edalontzi bete ur

atera dugu. Marraztu urak denbora igaro ahala zer tenperatura izango duen erakusten duen grafikoa.

2. Atmosferaren presioa itsas mailan, batez beste, 760 mm merkuriokoa (mmHg) da.Grafiko honetan, altuera handitzean presioa nola al-datzen den ageri da.a) Zenbatera jotzen du pre-

sioak altuera handitzen denean?

b) Zer presio jasaten du 10 km-ko altueran hegan doan hegazkin batek kan-poaldean?

10 20 30

100

200

300

400

500

600

700

800 PRESIOA (mmHg)

ALTITUDEA (km)

3. Hona hemen gaixo dagoen pertsona baten tenpe-raturak izandako bilakaeraren grafikoa:

1 2 3 4 5 6 7

36°

37°

38°

39°

40° TENPERATURA (°C)

DENBORA (egunak)

a) Zenbat denbora egon da behaketan?b) Zer egunetan izan du tenperaturak maximoa? Eta

minimoa? Zer tenperatura izan ditu?c) Zer denbora-tartetan da tenperatura gorakorra eta

zeinetan beherakorra?

Enuntziatuak, formulak eta taulak

4. Hiru kirolari ordu erdiz igerian aritu dira. Entre-natzaileak zer distantzia egin duten neurtu du 5 mi-nuturik behin, eta honako datu hauek bildu ditu:

denbora (min) 5 10 15 20 25 30

a distantzia (m) 95 235 425 650 875 1 100

b distantzia (m) 250 500 750 1 000 1 250 1 500

C distantzia (m) 360 710 1 020 1 300 1 490 1 600

a) Marraztu, ardatz beretan, hiru igerilarien distan-tzia-denbora grafikoa. Deskriba itzazu.

b) Aurreratu du baten batek besteren bat?c) Kalkulatu bakoitzaren batezbesteko abiadura.d) Zein da funtzio bakoitzaren definizio-eremua eta

ibilbidea?

5. Soinu-foku baten soinu-intentsitatea, zenbat eta fokutik urrunago joan, orduan eta txikia-goa da eta, gainera, gero eta astiroago txikitzen da.a) Irudikatu soinu-intentsitatea soinu-fokuraino

dagoen distantziaren funtzioan.b) Zein da joera?

6. Hona hemen 1 cm-ko erradioko oinarria duen zilindro baten bolumena (cm3-tan), h altueraren (cm-tan) funtzioan: V = πh. Bestalde, 1 cm-ko altuera duen zilindro baten bolumena, oinarriko r erradioaren (cm-tan) funtzioan, hau da: V = πr 2.

1 cm

1 cm

h

r

a) Kalkulatu 1 cm-ko erradioa duen zilindro baten altuera honako altuera hauen kasuan: 1, 2, 3, 4 eta 5 cm. Irudikatu funtzioa.

b) Kalkulatu 1 cm-ko altuera duen zilindro baten bo-lumena honako erradio hauen kasuan: 1, 2, 3, 4 eta 5 cm. Irudikatu funtzioa.

c) Zer altuera du 1 cm-ko erradioa duen zilindro ba-tek bolumena 37,68 cm3 bada?

d) Zer erradio du 1 cm-ko altuera duen zilindro ba-tek bolumena 803,84 cm3 bada?

Definizio-eremua

7. Idatzi kasu hauetako bakoitzaren definizio-eremua:

a) y = x 31– b) y =

xx

2 103–+ c) y =

xx

12 1–

2 +

d) y = x2– e) y =

x xx

61–

–2 +

f ) y = x x

1–2

g) y = x 7+ h) y = x1 – i) y = x3 9–

j) y = x– k) y = x3 4–3 l) y = 1 – 5 x2 2+

8. Aurkitu kasu hauen definizio-eremua:

a) y = x 9–2 b) y = x x6 7–2 +

c) y = x2 d) y = x– 2

e) y = x4 – 2 f ) y = x x 2– –2 +

9. Aztertu y = f (x) funtzioaren grafikoa. X ardatza ebakitzen du x = –2, x = 0 eta x = 4 puntuetan. Balio positiboak hartzen ditu (–2, 0) eta (4, +∞) tarteetan; eta balio negatiboak, (– ∞, –2) eta (0, 4) tarteetan.

Y

X

Hori kontuan izanda, hau baiezta dezakegu:•y =

( )f x1 -ren definizio-eremua Á – {–2, 0, 4} da.

•y = ( )f x -ren definizio-eremua [–2, 0] ∪ [4, +∞) da.

Arrazoitu antzera eta esan zein den y = ( )f x1 eta

y = ( )f x funtzioen definizio-eremua, grafikoen bidez emandako kasu hauetan:

Y

X

a) Y

X

b)

Y

X

c) Y

X

d)

Funtzio baten ezaugarriak

10. Aztertu funtzio hau eta kalkulatu B.A.T. [0, 4], [0, 5], [5, 7], [0, 7], [– 4, 0] eta [– 4, –2] tarteetan.

–2–4–6 2 4 6

Y

X

–4

–2

2

4

Kopiatu koadernoan grafikoa eta irudikatu kasu bakoitzean zer zuzenkiren malda ari zaren kalkulatzen.

11. Kalkulatu y = 3x 3 + 9x 2 – 3x – 9 funtzioaren B.A.T. [–2, 0], [–1, 0], [–3, –1] eta [0, 1] tarteetan.

12. Azaldu zergatik den periodikoa funtzio hau:

1

Y

X2 3 4 5 6 7 8 9

2

1

Eman horren periodoa eta zer balio duen funtzioak x = 1, x = 3, x = 20, x = 23 eta x = 42 abzisa-puntuetan.

13. Aztertu grafiko eten hauek eta erantzun:

–2

–2–4 2

Y

X2

4

III

–2–2–4 2

Y

X2

4

IV

–2–2

2

Y

X2

4

I

–2–2–4 2

Y

X2

4

II

a) Zein dira eten-puntuak? Azaldu zergatik den etena puntu bakoitzean.

b) Zein da definizio-eremua?c) Adierazi maximo eta minimo erlatiboak, baldin eta

badaude.d) Zer tartetan da gorakorra? Eta beherakorra?

b) Inork ez du inor aurreratu.

c) Vbb (A) = 36,67 m/min

Vbb (B) = 50 m/min

Vbb (C) = 53,3 m/min

d) Dom A = Dom B = Dom C = [0, 30]

Ibilb A = [0, 1 100]; Ibilb B = [0, 1 500]; Ibilb C = [0, 1 600]

5 a) Erantzun bat baino gehiago dago.

b) Soinuaren intentsitatea ia-ia nulua da fokutik urruntzen garen hei-nean.

6 a) h 1 2 3 4 5

V π 2 π 3 π 4 π 5 π

V (cm3)

h (cm)π

2π

3π

4π

5π

1 2 3 4 5

b) r 1 2 3 4 5

V π 4 π 9 π 16 π 25 π

V (cm3)

r (cm)

8π

16π

24π

1 2 3 4 5

c) 12 cm

d) 16 cm

«Ariketak eta problemak» atalaren soluzioak

1 a) Barruan 2 ºC daude, eta kanpoan, 22 ºC.

b)

10

TENPERATURA (°C)

DENBORA(min)

22

98

2 a) 0 mmHg-ra jotzen du. b) 260 mmHg, gutxi gorabehera.

3 a) 7 egun.

b) Tenperaturak bigarren egunean izan du maximoa, 39,5 ºC-koa.

Minimoa bosgarren egunean izan du, 36 ºC-koa.

c) Tenperatura gorakorra da x ∈ (1, 2) ∪ (5; 5,3) bada.

Beherakorra da x ∈ (2; 2,5) ∪ (3,5; 5) bada.

4 a)

5

200

400

DISTANTZIA (m)

DENBORA (min)10 15 20 25 30

600

800

1000

1200

1400

1600

A

B

C

OHARRAK

73

94 95


TrebatuGrafikoak interpretatu 1. Hozkailutik edalontzi bete ur atera, eta sukaldeko

mahai gainean utzi dugu. Grafiko honetan, denbora igaro ahala uraren tenperatura (gradu zentigradutan) zein den ageri da:

20 40 602

8

16

22TENPERATURA (°C)

DENBORA (min)

a) Zer tenperatura dago hozkailu barruan? Eta kanpoan?b) Mikrouhinetik 98 °C-an dagoen edalontzi bete ur

atera dugu. Marraztu urak denbora igaro ahala zer tenperatura izango duen erakusten duen grafikoa.

2. Atmosferaren presioa itsas mailan, batez beste, 760 mm merkuriokoa (mmHg) da.Grafiko honetan, altuera handitzean presioa nola al-datzen den ageri da.a) Zenbatera jotzen du pre-

sioak altuera handitzen denean?

b) Zer presio jasaten du 10 km-ko altueran hegan doan hegazkin batek kan-poaldean?

10 20 30

100

200

300

400

500

600

700

800 PRESIOA (mmHg)

ALTITUDEA (km)

3. Hona hemen gaixo dagoen pertsona baten tenpe-raturak izandako bilakaeraren grafikoa:

1 2 3 4 5 6 7

36°

37°

38°

39°

40° TENPERATURA (°C)

DENBORA (egunak)

a) Zenbat denbora egon da behaketan?b) Zer egunetan izan du tenperaturak maximoa? Eta

minimoa? Zer tenperatura izan ditu?c) Zer denbora-tartetan da tenperatura gorakorra eta

zeinetan beherakorra?

Enuntziatuak, formulak eta taulak

4. Hiru kirolari ordu erdiz igerian aritu dira. Entre-natzaileak zer distantzia egin duten neurtu du 5 mi-nuturik behin, eta honako datu hauek bildu ditu:

denbora (min) 5 10 15 20 25 30

a distantzia (m) 95 235 425 650 875 1 100

b distantzia (m) 250 500 750 1 000 1 250 1 500

C distantzia (m) 360 710 1 020 1 300 1 490 1 600

a) Marraztu, ardatz beretan, hiru igerilarien distan-tzia-denbora grafikoa. Deskriba itzazu.

b) Aurreratu du baten batek besteren bat?c) Kalkulatu bakoitzaren batezbesteko abiadura.d) Zein da funtzio bakoitzaren definizio-eremua eta

ibilbidea?

5. Soinu-foku baten soinu-intentsitatea, zenbat eta fokutik urrunago joan, orduan eta txikia-goa da eta, gainera, gero eta astiroago txikitzen da.a) Irudikatu soinu-intentsitatea soinu-fokuraino

dagoen distantziaren funtzioan.b) Zein da joera?

6. Hona hemen 1 cm-ko erradioko oinarria duen zilindro baten bolumena (cm3-tan), h altueraren (cm-tan) funtzioan: V = πh. Bestalde, 1 cm-ko altuera duen zilindro baten bolumena, oinarriko r erradioaren (cm-tan) funtzioan, hau da: V = πr 2.

1 cm

1 cm

h

r

a) Kalkulatu 1 cm-ko erradioa duen zilindro baten altuera honako altuera hauen kasuan: 1, 2, 3, 4 eta 5 cm. Irudikatu funtzioa.

b) Kalkulatu 1 cm-ko altuera duen zilindro baten bo-lumena honako erradio hauen kasuan: 1, 2, 3, 4 eta 5 cm. Irudikatu funtzioa.

c) Zer altuera du 1 cm-ko erradioa duen zilindro ba-tek bolumena 37,68 cm3 bada?

d) Zer erradio du 1 cm-ko altuera duen zilindro ba-tek bolumena 803,84 cm3 bada?

Definizio-eremua

7. Idatzi kasu hauetako bakoitzaren definizio-eremua:

a) y = x 31– b) y =

xx

2 103–+ c) y =

xx

12 1–

2 +

d) y = x2– e) y =

x xx

61–

–2 +

f ) y = x x

1–2

g) y = x 7+ h) y = x1 – i) y = x3 9–

j) y = x– k) y = x3 4–3 l) y = 1 – 5 x2 2+

8. Aurkitu kasu hauen definizio-eremua:

a) y = x 9–2 b) y = x x6 7–2 +

c) y = x2 d) y = x– 2

e) y = x4 – 2 f ) y = x x 2– –2 +

9. Aztertu y = f (x) funtzioaren grafikoa. X ardatza ebakitzen du x = –2, x = 0 eta x = 4 puntuetan. Balio positiboak hartzen ditu (–2, 0) eta (4, +∞) tarteetan; eta balio negatiboak, (– ∞, –2) eta (0, 4) tarteetan.

Y

X

Hori kontuan izanda, hau baiezta dezakegu:•y =

( )f x1 -ren definizio-eremua Á – {–2, 0, 4} da.

•y = ( )f x -ren definizio-eremua [–2, 0] ∪ [4, +∞) da.

Arrazoitu antzera eta esan zein den y = ( )f x1 eta

y = ( )f x funtzioen definizio-eremua, grafikoen bidez emandako kasu hauetan:

Y

X

a) Y

X

b)

Y

X

c) Y

X

d)

Funtzio baten ezaugarriak

10. Aztertu funtzio hau eta kalkulatu B.A.T. [0, 4], [0, 5], [5, 7], [0, 7], [– 4, 0] eta [– 4, –2] tarteetan.

–2–4–6 2 4 6

Y

X

–4

–2

2

4

Kopiatu koadernoan grafikoa eta irudikatu kasu bakoitzean zer zuzenkiren malda ari zaren kalkulatzen.

11. Kalkulatu y = 3x 3 + 9x 2 – 3x – 9 funtzioaren B.A.T. [–2, 0], [–1, 0], [–3, –1] eta [0, 1] tarteetan.

12. Azaldu zergatik den periodikoa funtzio hau:

1

Y

X2 3 4 5 6 7 8 9

2

1

Eman horren periodoa eta zer balio duen funtzioak x = 1, x = 3, x = 20, x = 23 eta x = 42 abzisa-puntuetan.

13. Aztertu grafiko eten hauek eta erantzun:

–2

–2–4 2

Y

X2

4

III

–2–2–4 2

Y

X2

4

IV

–2–2

2

Y

X2

4

I

–2–2–4 2

Y

X2

4

II

a) Zein dira eten-puntuak? Azaldu zergatik den etena puntu bakoitzean.

b) Zein da definizio-eremua?c) Adierazi maximo eta minimo erlatiboak, baldin eta

badaude.d) Zer tartetan da gorakorra? Eta beherakorra?

10 B.A.T. [0, 4] = 1 B.A.T. [0, 5] = 1

B.A.T. [5, 7] = –2 B.A.T. [0, 7] = 71

B.A.T. [–4, 0] = 47– B.A.T. [–4, –2] = –3

–2–4–6 2 4 6

Y

X

–4

–2

2

4

11 B.A.T. [–2, 0] = –9 B.A.T. [–1, 0] = –9

B.A.T. [–3, –1] = 0 B.A.T. [0, 1] = 9

12 Periodikoa, 4 periododuna.

f (1) = 2; f (3) = 2,5; f (20) = 1; f (23) = 2,5; f (42) = 2,5

13 a) i x = –1 (adar infinituak); x = 2 (puntu desplazatua).

ii x = 2 (zehaztu gabekoa eta jauzi bat).

iii (–∞, –2) ∪ (4, +∞) (zehaztu gabekoa); x = 1 (zehaztu gabekoa).

iv (–∞, –4) ∪ (4, +∞) (zehaztu gabekoa); x = –2 (adar infinituak); x = 0 (zehaztu gabekoa eta jauzi bat).

b) Dom i = (–∞, –1) ∪ (–1, +∞)

Dom ii = (–∞, 2) ∪ (2, +∞)

Dom iii = [–2, 1) ∪ (1, 4]

Dom iv = [–4, 2) ∪ (2, 0) ∪ (0, 4]

c) i Maximoa: (–2, 3). Minimoa: (0, 0).

ii Maximoa: (–2, 1). Minimoa: (–1, –1).

iii Ez du ez maximo ez minimo erlatiborik.

iv Maximoa: (1, 3). Minimoa: (3, –1).

d) i Gorakorra (–∞, –2) ∪ (0, 2) ∪ (2, +∞).

Beherakorra (–2, –1) ∪ (–1, 0).

ii Gorakorra (–∞, –2) ∪ (–1, 2) ∪ (2, +∞).

Beherakorra (–2, –1).

iii Gorakorra (–2, 1) ∪ (1, 4).

Ez da beherakorra.

iv Gorakorra (–4, –2) ∪ (0, 1) ∪ (3, 4).

Beherakorra (–2, 0) ∪ (1, 3).


7 a) Á – {3} b) Á – {–5}

c) Á d) Á – {0}

e) Á – {–3, 2} f ) Á – {0, 1}

g) [–7, +∞) h) (–∞, 1]

i) [3, +∞) j) (–∞, 0]

k) Á l) [–1, +∞)

8 a) (–∞, –3] ∪ [3, +∞) b) (–∞, –7] ∪ [1, +∞)

c) Á d) {0}

e) [–2, 2] f ) [–2, 1]

9 a) Dom ( )f x1 = Á – {–1, 3}

Dom ( )f x = (–∞, –1] ∪ [3, +∞)

b) Dom ( )f x1 = (–∞, –2,5) ∪ (–2,5, 0) ∪ (2; 4,25) ∪ (4,25; +∞)

Dom ( )f x = (–∞, –2,5) ∪ [0, 2] ∪ (4,25; +∞)

c) Dom ( )f x1 = Á – {–2, 2, 4}

Dom ( )f x = [–2, 2] ∪ (4, +∞)

c) Dom ( )f x1 = Á – {–2, 3}

Dom ( )f x = Á

OHARRAK

74

96 97


Ebatzi problemak 14. Aztertu funtzioen grafiko hauek:

DENBORA

TENPERATURA (°C)

2

–12

23

a) Lotu kurba bakoitza urez beteriko edalontziaren tenperaturari buruzko honako enuntziatu haue-tako batekin:

I. Mahaitik hartu eta hozkailuan sartu dugu. II. Hozkailutik atera eta mahai gainean utzi dugu. III. Mahaitik hartu eta izozkailuan sartu dugu.b) Zer tenperaturatan dago etxea? Eta izozkailua? Eta

hozkailua?

15. Osasuntsu dagoen pertsona batek baraurik 50 g glukosa hartzen dituenean, gluzemia (odoleko gluko-saren %) igo egiten zaio, ordubetez gutxi gorabehera: 90 mg/dl-tik (maila normala), 120 mg/dl-ra. Hurrengo 3 orduetan, maila normaletik beherako balioetara jai-tsiko zaio, eta 5 ordu igarota itzuliko da maila normalera.a) Adierazi pertsona baten gluzemia irudikatzen duen

kurba, glukosa hartzen duenetik maila normalera itzultzen den arte.

b) Esan zer unetan lortzen dituen maximoa eta mini-moa.

16. A eta B telefono-konpainiek tarifa desberdinak dituzte. Aztertu grafikoak eta erantzun:

1 2 3 4 5 6 7

0,4

0,6

0,8

1 KOSTUA (€)

DENBORA

(min)

0,2

A

B

a) Esan zenbat balio duen 3 minutuko deiak konpai-nia bakoitzean.

b) Eta ordu erdiko deiak?c) Arrazoitu zergatik aukeratuko zenukeen konpainia

bat eta ez bestea.

17. Triangelu isoszele batek 20 cm-ko perimetroa du. Esan x desberdina den aldeari, eta y, berdinak direnei.a) Egin balio-taula bat, eta hortik abiatuta, y-ren ba-

lioa x-ren balioarekin erlazionatzen duen funtzioa.b) Zein da definizio-eremua?

18. Halley kometaren orbita elipse oso eszentrikoa da, eta fokuetako bat Eguzkia da. Funtzio honek ko-metatik Eguzkira dagoen distantzia denborarekin er-lazionatzen du:

1755 1832 1909 1986

20

30

EGUZKIRAINOKO DISTANTZIA (UA)

URTEA

10

a) Funtzio periodikoa da? Zein da periodoa?b) Zer urtetan hurbilduko da berriro Eguzkira?

19. Honako grafiko honetan, enpresa batek zabaldu zutenetik zer balio hartu duen deskribatzen da.

4 8 12 16 20 24 28

1

2

DENBORA(hilabeteak)

BALIOA (milioika euro)

a) Zenbat balio zuen zabaldu zutenean?b) Zenbat jaitsi zen balioa handik eta 4 hilabetera?c) Zein da B.A.T. [4, 12] tartean? Adierazi emaitza

hileko milaka eurotan.d) Zein da B.A.T. [12, 14] eta [14, 20] tarteetan?e) Funtzio honek maximo erlatibo bat eta bi minimo

erlatibo ditu. Deskribatu.f ) Zein izango da funtzioaren joera hurrengo hilabe-

teetan?g) Egin enpresak lehenengo hiru urteetan izandako

balioari buruzko deskribapen orokorra.

«+» problemak 20. 50 cm × 20 cm-ko neurria duen kartulinazko lau-

kizuzen batekin, tapadun kaxa bat egin nahi dugu.

50 cm

20 cm

a

x

b

x

xx a

a

xx

b

a) Idatzi bolumenaren adierazpena.b) x-ri balioak emanez, adierazi V (x)-ren grafikoa.c) Zein da V (x)-ren definizio-eremua?

21. Irudikatu 7 cm-ko aldea duen ABCD karratua. AB aldearen gainean, adierazi P puntua, kontuan izanda A-tik x-ra dagoela. Gero, irudikatu ka-rratu horren barruan inskribatu-riko PQRS karratua.

xA B

D C

P

R

Q

S

a) x = 3 cm bada, orduan AS = 7 – 3 = 4 cm. Zer neurri du PS -k? Zein da karratu berriaren azalera?

b) Irudikatu x eta inskribaturiko karratuaren azalera erlazionatzen dituen funtzioaren grafikoa. Eman definizio-eremua.

22. Irudikatu 1 dm-ko aldea duen ABCD karratua-ren AC diagonala. Diagonal horretako P puntu bakoitzerako laukizuzen bat eratzen da, irudikoa be-zalakoa.a) Kalkulatu azalera P-tik

AB -rako distantzia hau de-nean: 1/4 dm, 1/2 dm eta 3/4 dm.

D C

A B

1 dm

1 dm P

b) Irudikatu P-tik AB-rako distantzia eta laukizuzena-ren azalera erlazionatzen dituen funtzioaren grafikoa.

c) Adierazi funtzio horren definizio-eremua.

23. f (x) funtzioa periodikoa da, 5 perio-dokoa; eta horren B.A.T. [1, 3] tartean 1 da.a) Zer esan dezakegu funtzioak [6, 8] tartean duen

B.A.T.-i buruz? Eta [11, 13] tartekoari buruz?b) Zer B.A.T. du funtzioak [3, 6] tartean?c) Zein da funtzioaren batezbesteko aldakuntza tasa

[4, 9] tartean? Eta [8, 43] tartean?

Egin teoriari buruzko gogoeta24. Funtzio baten adierazpen analitikoa y = ax 3 +

+ bx 2 + c erakoa da. A (0, –2), B (1, 5) eta C (–2, –22) puntuak funtzioaren grafikokoak direla jakinda, zein izango dira a, b eta c-ren balioak?

25. Kalkulatu zein izan behar diren a, b eta c-ren balioak A (–12, a), B (3/4, b ) eta C (0, c) puntuak y = 3x 2 – x + 3 funtziokoak direla jakinda.

26. Aztertu grafiko hau eta erantzun:Y

X

a) Zein da definizio-eremua? Eta ibilbidea?b) Badu maximo edo minimo erlatiborik?c) Aurkitu funtzioaren B.A.T. [0, 5], [–1, 6] eta

[–5, 0] tarteetan. Zer gertatzen da?

27. a) Kalkulatu y = 2x – 3 funtzioaren B.A.T. [0, 1], [5, 6], [1, 5] eta [0, 7] tarteetan.b) Lortutako balioa berdina da tarte guztietan. Zuze-

neko zer elementu bereizgarrirekin bat dator balio hori?

c) Orokortu, koadernoan honako esaldi hau osatuz: «Funtzio linealetan, edozein tartetako B.A.T. eta … berdinak dira».

28. Esan honako baieztapenak egia ala gezu-rra diren eta arrazoitu:a) Funtzio bat etena bada puntu batean, puntu hori

ez da definizio-eremukoa.b) Puntu bat funtzio baten definizio-eremukoa ez

bada, funtzioa ezin da jarraitua izan puntu horre-tan.

c) Funtzio periodikoak jarraituak direla baiezta dezakegu.

d) Zuzen baten malda zuzen horretako edozein tarte-ren B.A.T. da.

e) Funtzio periodiko baten B.A.T. zero da periodoa adinako luzera duen edozein tartetan.

f ) Parabola batean, tarte bateko B.A.T. zero bada, erpina tarte horretako erdiko puntuan dago.

g) Funtzio ez-lineal guztiek maximo edo minimo er-latibo bat dute gutxienez.

18 a) Periodikoa da, 77 urteko periododuna.

b) 2063. urtean.

19 a) 600 000 €

b) 200 000 €

c) 200 000 €/hilabete

d) B.A.T. [12, 14] = 100 000 €/hilabete

B.A.T. [14, 20] = 133 333 €/hilabete

e) Maximoa: (12, 1 800 000)

Minimoak: (4, 200 000) eta (14, 1 600 000)

f ) Enpresaren balioak 2 600 000 €-ra jotzen du.

g) Lehenengo lau hilabeteetan, enpresaren balioak behera egin du, Hurrengo zortzietan, oso azkar hazi da, eta apur bat jaitsi da hurren-go bietan. 14. hilabetetik aurrera, oso azkar hazi da 6 hilabetez, eta, ondoren ere hazi da, baina gero eta astiroago. Enpresaren prezioa 2 600 000 €-ra hurbiltzen da.

Lankidetzan ikasi Neska-mutilak talde txikietan banatuko dira orrialde honetako eta hurren-go orrialdeko problema-sortak ebazteko.

Taldeko ikasle bakoitzak problema bat ebatziko du eta, gero, gainerakoei ebazpenean erabili duen prozesua azalduko die. Gainerako ikaskideek on-tzat emango dute azalpena edo zuzendu egingo dute.


14 a) I-Berdea, II-urdina, III-gorria.

b) Etxea 23 ºC-an dago; hozkailua, 2 ºC-an; eta izozkailua,–12 ºC-an.

15 a)

1

30

60

90

120

GLUZEMIA (mg/dl )

DENBORA (orduak)2 3 4 5 6 7 8 9 10

b) Maximoa 120 mg/dl-koa da, hartzen hasi eta 1 ordura.

Minimoa 90 mg/dl baino apur bat beherago dago, eta hartzen hasi eta 4 ordura gertatzen da.

16 a) 0,50 euro A-rekin eta B-rekin.

b) 3,20 euro A-rekin. 4,10 euro B-rekin.

c) Normalean dei laburrak eginez gero, B aukeratu.

Dei luzeak eginez gero, A aukeratu.

17 a) y = x2

20 – b) Dom = (0, 10)

OHARRAK

75

96 97


Ebatzi problemak 14. Aztertu funtzioen grafiko hauek:

DENBORA

TENPERATURA (°C)

2

–12

23

a) Lotu kurba bakoitza urez beteriko edalontziaren tenperaturari buruzko honako enuntziatu haue-tako batekin:

I. Mahaitik hartu eta hozkailuan sartu dugu. II. Hozkailutik atera eta mahai gainean utzi dugu. III. Mahaitik hartu eta izozkailuan sartu dugu.b) Zer tenperaturatan dago etxea? Eta izozkailua? Eta

hozkailua?

15. Osasuntsu dagoen pertsona batek baraurik 50 g glukosa hartzen dituenean, gluzemia (odoleko gluko-saren %) igo egiten zaio, ordubetez gutxi gorabehera: 90 mg/dl-tik (maila normala), 120 mg/dl-ra. Hurrengo 3 orduetan, maila normaletik beherako balioetara jai-tsiko zaio, eta 5 ordu igarota itzuliko da maila normalera.a) Adierazi pertsona baten gluzemia irudikatzen duen

kurba, glukosa hartzen duenetik maila normalera itzultzen den arte.

b) Esan zer unetan lortzen dituen maximoa eta mini-moa.

16. A eta B telefono-konpainiek tarifa desberdinak dituzte. Aztertu grafikoak eta erantzun:

1 2 3 4 5 6 7

0,4

0,6

0,8

1 KOSTUA (€)

DENBORA

(min)

0,2

A

B

a) Esan zenbat balio duen 3 minutuko deiak konpai-nia bakoitzean.

b) Eta ordu erdiko deiak?c) Arrazoitu zergatik aukeratuko zenukeen konpainia

bat eta ez bestea.

17. Triangelu isoszele batek 20 cm-ko perimetroa du. Esan x desberdina den aldeari, eta y, berdinak direnei.a) Egin balio-taula bat, eta hortik abiatuta, y-ren ba-

lioa x-ren balioarekin erlazionatzen duen funtzioa.b) Zein da definizio-eremua?

18. Halley kometaren orbita elipse oso eszentrikoa da, eta fokuetako bat Eguzkia da. Funtzio honek ko-metatik Eguzkira dagoen distantzia denborarekin er-lazionatzen du:

1755 1832 1909 1986

20

30

EGUZKIRAINOKO DISTANTZIA (UA)

URTEA

10

a) Funtzio periodikoa da? Zein da periodoa?b) Zer urtetan hurbilduko da berriro Eguzkira?

19. Honako grafiko honetan, enpresa batek zabaldu zutenetik zer balio hartu duen deskribatzen da.

4 8 12 16 20 24 28

1

2

DENBORA(hilabeteak)

BALIOA (milioika euro)

a) Zenbat balio zuen zabaldu zutenean?b) Zenbat jaitsi zen balioa handik eta 4 hilabetera?c) Zein da B.A.T. [4, 12] tartean? Adierazi emaitza

hileko milaka eurotan.d) Zein da B.A.T. [12, 14] eta [14, 20] tarteetan?e) Funtzio honek maximo erlatibo bat eta bi minimo

erlatibo ditu. Deskribatu.f ) Zein izango da funtzioaren joera hurrengo hilabe-

teetan?g) Egin enpresak lehenengo hiru urteetan izandako

balioari buruzko deskribapen orokorra.

«+» problemak 20. 50 cm × 20 cm-ko neurria duen kartulinazko lau-

kizuzen batekin, tapadun kaxa bat egin nahi dugu.

50 cm

20 cm

a

x

b

x

xx a

a

xx

b

a) Idatzi bolumenaren adierazpena.b) x-ri balioak emanez, adierazi V (x)-ren grafikoa.c) Zein da V (x)-ren definizio-eremua?

21. Irudikatu 7 cm-ko aldea duen ABCD karratua. AB aldearen gainean, adierazi P puntua, kontuan izanda A-tik x-ra dagoela. Gero, irudikatu ka-rratu horren barruan inskribatu-riko PQRS karratua.

xA B

D C

P

R

Q

S

a) x = 3 cm bada, orduan AS = 7 – 3 = 4 cm. Zer neurri du PS -k? Zein da karratu berriaren azalera?

b) Irudikatu x eta inskribaturiko karratuaren azalera erlazionatzen dituen funtzioaren grafikoa. Eman definizio-eremua.

22. Irudikatu 1 dm-ko aldea duen ABCD karratua-ren AC diagonala. Diagonal horretako P puntu bakoitzerako laukizuzen bat eratzen da, irudikoa be-zalakoa.a) Kalkulatu azalera P-tik

AB -rako distantzia hau de-nean: 1/4 dm, 1/2 dm eta 3/4 dm.

D C

A B

1 dm

1 dm P

b) Irudikatu P-tik AB-rako distantzia eta laukizuzena-ren azalera erlazionatzen dituen funtzioaren grafikoa.

c) Adierazi funtzio horren definizio-eremua.

23. f (x) funtzioa periodikoa da, 5 perio-dokoa; eta horren B.A.T. [1, 3] tartean 1 da.a) Zer esan dezakegu funtzioak [6, 8] tartean duen

B.A.T.-i buruz? Eta [11, 13] tartekoari buruz?b) Zer B.A.T. du funtzioak [3, 6] tartean?c) Zein da funtzioaren batezbesteko aldakuntza tasa

[4, 9] tartean? Eta [8, 43] tartean?

Egin teoriari buruzko gogoeta24. Funtzio baten adierazpen analitikoa y = ax 3 +

+ bx 2 + c erakoa da. A (0, –2), B (1, 5) eta C (–2, –22) puntuak funtzioaren grafikokoak direla jakinda, zein izango dira a, b eta c-ren balioak?

25. Kalkulatu zein izan behar diren a, b eta c-ren balioak A (–12, a), B (3/4, b ) eta C (0, c) puntuak y = 3x 2 – x + 3 funtziokoak direla jakinda.

26. Aztertu grafiko hau eta erantzun:Y

X

a) Zein da definizio-eremua? Eta ibilbidea?b) Badu maximo edo minimo erlatiborik?c) Aurkitu funtzioaren B.A.T. [0, 5], [–1, 6] eta

[–5, 0] tarteetan. Zer gertatzen da?

27. a) Kalkulatu y = 2x – 3 funtzioaren B.A.T. [0, 1], [5, 6], [1, 5] eta [0, 7] tarteetan.b) Lortutako balioa berdina da tarte guztietan. Zuze-

neko zer elementu bereizgarrirekin bat dator balio hori?

c) Orokortu, koadernoan honako esaldi hau osatuz: «Funtzio linealetan, edozein tartetako B.A.T. eta … berdinak dira».

28. Esan honako baieztapenak egia ala gezu-rra diren eta arrazoitu:a) Funtzio bat etena bada puntu batean, puntu hori

ez da definizio-eremukoa.b) Puntu bat funtzio baten definizio-eremukoa ez

bada, funtzioa ezin da jarraitua izan puntu horre-tan.

c) Funtzio periodikoak jarraituak direla baiezta dezakegu.

d) Zuzen baten malda zuzen horretako edozein tarte-ren B.A.T. da.

e) Funtzio periodiko baten B.A.T. zero da periodoa adinako luzera duen edozein tartetan.

f ) Parabola batean, tarte bateko B.A.T. zero bada, erpina tarte horretako erdiko puntuan dago.

g) Funtzio ez-lineal guztiek maximo edo minimo er-latibo bat dute gutxienez.

b)

11—4

1—4

1—2

3—4

c) (0, 1)

23 a) B.A.T. [6, 8] = B.A.T. [11, 13] = 1

b) B.A.T. [3, 6] = –32

c) B.A.T. [4, 9] = B.A.T. [8, 43] = 0

24 a = 4 b = 3 c = –2

25 a = 447 b = 1663 c = 3

26 a) [–6, 8]; Ibilb = {2}

b) Ez du muturreko erlatiborik.

c) B.A.T. 0 da edozein tartetan.

27 a) 2 da kasu guztietan.

b) Maldarekin.

c) … horren malda.

28 a) G b) E c) G d) E e) E f ) E g) G


20 a) V (x) = 2x3 – 70x2 + 500x

b) x 0 1 2 3 4 5

V 0 432 736 924 1 008 1 000

x 6 7 8 9 10

V 912 756 544 288 0

c) Dom [V (x)] = (0, 10)

21 a) PS = 5 cm; A = 25 cm2

b) x 0 1 2 3 4 5 6 7

A 49 37 29 25 25 29 37 49

Definizio-eremua [0, 7] da.

1 52 63 4 7

10

20

30

40

50

x

AZALERA

22 a) x = 41 dm →

163 dm2

x = 12

dm → 41 dm2

x = 43 dm →

163 dm2

OHARRAK

76

98 99

Matematika-lantegia

Irakurri eta lortu informazioaEulerren problema batLeonhard Euler (1707-1783) historiako matematikari handienetako bat izan zen. Haren ekarpen ugarietako bat, matematikako hizkuntza garatzen lagundu eta gaur egun oraindik erabiltzen diren idazkera motak asmatzea izan zen. Eulerri zor diogu, esaterako, y = f (x) idazkera funtzioak adierazteko.Oso problema interesgarriak ebatzi zituen eta oraindik ere buruko min handiak ematen dituzten beste batzuk planteatu zituen; adibidez, ondoren ageri den bidegu-rutzeen problema.aurkitzeko dagoen funtzioa

Pentsa lursail batean hainbat etxe daudela eta etxe guztiak bide indepen-denteen bidez lotuta daudela.Bada, etxe-kopuruaren arabera gutxienez zenbat bidegurutze egongo diren zehazten duen funtzioa aurkitzeko dago oraindik.Hiru puntu elkar gurutzatzen ez duten bideen bidez lotu daitezke: f (3) = 0.Gauza bera gertatzen da lau punturekin: f (4) = 0.Bost puntu lotzeko, bidegurutze bat egon behar da gutxienez: f (5) = 1.f (6) = 3 dela uste da. f (7), f (8) eta abarri buruz ez dakigu ezer.

1. Grafiko honetan, egun bateko telebista-audientzia ageri da.

2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 22 24

10

20

30

40

50AUDIENTZIA (%)

DENBORA (h)

a) Deskribatu, une esanguratsuenak kontuan hartuz.b) Zein da definizio-eremua? Eta ibilbidea?c) Irudikatu koadernoan igande batekoa izan daite-

keen kurba.d) Irudikatu koadernoan abenduaren 31koa izan dai-

tekeen kurba.

2. Aztertu grafikoa eta aurkitu:a) Definizio-eremua eta ibil-

bidea.b) Maximoak eta minimoak.c) Tarte gorakorrak eta behe-

rakorrak.d) Non den jarraitua eta non

dituen eten-puntuak.

–2

–4

–2–4 2

Y

X

2

4

3. Zehaztu funtzio hauen definizio-eremua:

a) y = x4 8+ b) y = x 71– c) y = x x2 15–2 +

4. a) Funtzio hau periodikoa da?

2

Y

X

2

46

8

b) Zein da periodoa?

c) Kalkulatu zer balio hartzen dituen funtzioak abzi-sa-puntu hauetan: x = 2; x = 4; x = 40; x = 42.

5. Adierazi [0, 5] tartean definiturik dagoen y = –x 3 + 9x 2 – 15x + 26 funtzioa, x-ri balio osoak emanez.

Pentsa y enpresa batek burtsan duen balioa dela, milioika eurotan; eta x, enpresak zuzendaritza-tal-dea aldatu duenetik igaro den hilabete-kopurua.

Deskribatu enpresaren bilakaera bost hilabete horie-tan, tarte gorakor eta beherakorrak, maximoak eta minimoak zehaztuz.

6. Kalkulatu zein den y = x 2 + 4x – 5 ekuazioa duen funtzioaren batezbesteko aldakuntza tasa [–5, 2], [–2, 1] eta [1, 2] tarteetan.

Autoebaluazioa Webgunean Ariketa hauen ebazpenak.

Trebatu problemak ebazten • A B

a) A irudian, utzi hiru karratu hiru zotz kenduta.

b) A irudian, utzi hiru karratu bi zotz kenduta.

c) Zatitu B irudia hiru piezatan bi ebaki zuzen eginda. Eraiki karratu bat pieza horiekin.

d) Zatitu B irudia lau pieza berdinetan.

•a) C irudian, aldatu bi zotz lekuz eta lortu lau karratu.

C D

b) Zatitu D irudia lau pieza berdinetan.

C D

IkertuFuntzio kateatuakPentsa aplikazio informatikoa asmatu duzula f1(x) = x

x11

–+ funtziorako: x-ri balio bat

eman eta «enter» sakatzen baduzu, f1(x) bihurtuko da.Eta berriro «enter» sakatuz gero, aurreko emaitza aldatuko du; zenbatetan sakatu botoia, horrenbestetan aldatuko du.

•Kalkulatu x = 3 sartu eta «enter» behin eta berriro sakatzean elkarren segidan lortuko ditugun emaitzak.

3 –2 –1/3f

1(x) f

1(x) f

1(x) f

1(x)

«enter» birritan sakatzean x aldatu eta lortzen den funtzioari f2(x) esango diogu; hirutan sakatzean lortutako emaitzari, f3(x); …; eta n bider sakatzean lortutakoari fn(x).

•Kalkulatu f12(3), f13(3), f14(3) eta f15(3).•Orokortu eta definitu fn(x) funtzioa.

xf

1f

1

f2 f

3

f1

f1

A BA B

C

CD

C

A B

DE BIDEGURUTZEA

eta ikasiizan ekimena

Irakurri eta lortu informazioa Eulerren problema bat

Oraindik ebatzi gabe dagoen problema horietako bat erakusten duen bi-txikeria.

Ikertu Funtzio kateatuak

Soluzioak

• f12 (3) = 3, f13 (3) = –2, f14 (3) = –31 , f15 (3) =

21

• fn (x) = xx

11

–+ , baldin eta n = 4k + 1, k ∈ N; bada fn (x) = –

x1 , baldin

eta n = 4k + 2, k ∈ N bada;

fn (x) = xx

11–

+, baldin eta n = 4k + 3, k ∈ N bada; fn (x) = x, baldin eta

n = 4k, k ∈ Nbada.

Trebatu problemak ebatziz Soluzioak

• a) b)

c)

d)

• a) b)

Autoebaluazioaren soluzioak

1 a) Audientzia jaitsi egiten da gauerdian hasi eta goizaldeko lauretara, eta ordu horretan du minimo absolutua. Gero, handituz doa arra-tsalde hiruretaraino, eta une horretatik aurrera jaitsi egiten da berri-ro arratsaldeko sei eta erdietara bitartean. Sei eta erdietatik gaueko hamarretara igo egiten da, eta ordu horretan lortzen du maximo absolutua. Hamarretatik aurrera, jaitsi egiten da berriro.

b) Dom = [0, 24]; Ibilb = [2,5; 40]

c) eta d) Erantzun bat baino gehiago dago.

2 a) Dom = [–4, 5]; Ibilb = [–6, 2]

b) Maximo erlatiboak: (–2, 2) eta (5, 2). Minimo erlatiboak: (-4, 0) eta (1, –6).

c) Gorakorra (–4, –2) ∪ (1, 5). Beherakorra (–2, 1).

d) Jarraitua da (–4, 3) ∪ (3, 5) tartean. Etena da x = 3 puntuan.

3 a) [–2, +∞) b) (–∞, 7) ∪ (7, +∞) c) (–∞, –5] ∪ [3, +∞)

4 a) Bai b) Periodoa 6 da.

c) f (2) = 2; f (4) = 2; f (40) = f (4) = 2; f (42) = f (0) = –1

5 x 0 1 2 3 4 5

y 26 19 24 35 46 51

Beherakorra da (0, 1) tartean.

Gorakorra da (1, 5) tartean.

Minimo erlatiboa: (1, 19).

Bi maximo erlatibo ditu: (0, 26) eta (5, 51).

6 B.A.T. [–5, 2] = 1

B.A.T. [–2, 1] = 3

B.A.T. [1, 2] = 7

OHARRAK

77

Funtzioak. Ezaugarriak · 2018. 2. 2. · 64 80 81 4 Funtzioak. Ezaugarriak Ebatzi 1. Apur bat...

Documents

Transcript of Funtzioak. Ezaugarriak · 2018. 2. 2. · 64 80 81 4 Funtzioak. Ezaugarriak Ebatzi 1. Apur bat...