MATEMATIKA B 129

1.Funtzio errealak……………………………………orria. 132 Funtzioak, kontzeptua Funtzio baten grafikoa Eremua eta ibilbidea Zatika definituriko funtzioak

2.Funtzioen ezaugarriak......................orria. 136 Jarraitutasuna eta desjarraitutasuna Funtzio periodikoak Simetriak 3.Aldakuntza-tasa eta hazkundea......orria. 138 Batez besteko aldakuntza-tasa Hazkundea eta beherapena Maximoak eta minimoak Inflexio-puntuak

Ariketak

Gehiago jakiteko

Laburpena

Autoebaluazioa

Tutoreari bidaltzeko jarduerak

Helburuak En esta quincena aprenderás a:

• Funtzioak eta horiek irudikatzeko era desberdinak ezagutzen eta interpretatzen.

• Funtzio baten eremua eta ibilbidea ezagutzen.

• Funtzio bat jarraia edo etena den zehazten.

• Tarte batean funtzio baten batez besteko aldakuntza-tasa aurkitzen.

• Funtzio baten hazkundea edo beherapena zehazten eta haren maximoak eta minimoak aurkitzen.

• Inflexio-puntuak ezagutzen. • Jatorriarekiko eta OY

ardatzarekiko zenbait funtzioren simetria frogatzen.

• Funtzio bat periodikoa den jakiten.

Funtzioak eta grafikoak 8

130 MATEMATIKA B

MATEMATIKA B 131

Hasi baino lehen

Grafikoen hizkuntza

Funtzio bat irudikatzeko modu ezberdinetatik (enuntziatuan, taulan, adierazpen aljebraikoan edo grafikoan), azken honek ematen digu begirada bakar batez portaera globala ikusteko aukera, eta horregatik da garrantzitsua. Gai honetan ezaugarri nagusiak ezagutzen eta interpretatzen ikasiko duzu.

Ikertu Imajina ezazu noria batean igotzen zarela, haren erradioak 30 m neurtzen ditu eta kabina laranjan sartzeko 5 m igo behar dira. Noria biraka hasten da, nolakoa izango litzateke zein altueratan zauden adierazten duen funtzioaren grafikoa? Lagun batzuk kabina berdean daude, nolakoa da haien grafikoa?

Funtzioak eta grafikoak

90º

(x,y)

Ibex 35en bilakaera data honez geroztik: (1987)

Eskala logaritmikoa

Susperraldia 6 urtean

Susperraldia 3 urtean

Susperraldia 17 hilabetean

Susperraldia 6 urte eta erdian

132 MATEMATIKA B

1. Funtzio errealak

Funtzioaren kontzeptua Funtzioa bi zenbaki-multzoren arteko korrespondentzia da, hasierako multzoko elementu bakoitzari azken multzoko, irudiko, elementu bat eta bakarra dagokiola.

Horrela erlazionatzen dira bi aldagai numerikoak, x eta y deitu ohi direnak,

f: x → y=f(x) x aldagai independentea

y aldagai dependentea

Funtzio baten grafikoa Funtzio baten portaera ikusteko, f:x → y, bere irudikapen grafikoa hartzen dugu, ardatz kartesiarretan, abzisen ardatzean (OX) aldagai independentea eta ordenatuen ardatzean (OY) dependentea; grafikoaren puntu bakoitzaren koordenatuak hauek direla: (x, f(x)).

Irudian irudikatzen da funtzioa:

f(x)= 0,5x2+3x+3,5 Balio-taula bat eginez, lortutako puntuak irudikatzen dira, x abzisen ardatzean (OX), f(x) ordenatuenean (OY).

Puntu batzuek arreta berezia eskatzen dute, grafikoak ardatz koordenatuetan mozten dituen horiek. Kalkulatzeko:

Ebakidura OY ardatzean: Ordenatuen ardatzeko puntuek 0 abzisa dute. Nahikoa da x=0 egitea funtzioaren formulan.

Ebakidurak OX ardatzean: Abzisen ardatzeko puntuek y=0 dute. Ekuazioa ebazten da f(x)=0

Grafikoak 2007ko Txirrindularitza Itzuliko 9. Etaparen ibilbidea deskribatzen du, guztizko km-ak eta ibilbideko puntu nagusien altitudea adieraziz. Ezkerraldean aurreko grafikoa agertzen da ardatz kartesiar batzuen gainean trazatuta; sinplifikatzeko, segmentuen bidez lotu dira puntu nagusiak. Egindako km-en arabera altitudea ematen duen funtzioa da. Ikus ezazu balioen taula.

km 0 24 34 71 87 113 121 153 160 168

alt 540 1280 740 1290

630 1020

720 1130

1520

1882

x -2 -1 0 1 2 3 4 5 6 7 8

f(x) -4,5 0 3,5 6 7,5 8 7,5 6 3,5 0 -4,5

Funtzioak eta grafikoak

Ardatzekiko ebakidurak OY ARDATZA: f(0)=3,5 Puntua (0, 3,5)

OX ARDATZA: Ekuazioa ebatziz: 0,5x2+3x+3,5=0

Hau ematen du: Puntuak (7, 0) (-1, 0)

17

435,02

793x

−=±=

⋅−+±−

=

f: egindako km → altitudea m-tan

MATEMATIKA B 133

Eremua eta ibilbidea Emandako funtzio bat f:x → y

f-ren eremua deitzen zaio aldagai independenteak, x-ek, hartzen duen balio-multzioari. f eremu gisa adierazten da. Eremua, beraz, funtzioa duten x-en balio guztiek, hau da, f(x) bat dutenek osatzen dute.

Ibilbidea aldagai dependenteak, y-k, har dezakeen balio-multzoa da, hau da, irudien multzoa. f irudi gisa adierazten da.

Zatika definituriko funtzioak

X-en balioen arabera adierazpen aljebraiko desberdinen bidez definitzen den funtzioei; zatika definituriko funtzioak deitzen diegu. Beste funtzioen zatiek osatutako funtzio bat analitikoki definitzeko tarte desberdinetako adierazpenak ematen dira, ezkerretik eskuinera, tarte bakoitzean funtzioa definituta dagoen x-en balioak adieraziz. Agertokian ikus dezakezu funtzio mota honetako zenbait adibide eta horien irudikapen grafikoa.

Funtzioak eta grafikoak

Kalkulatu eremuak • Funtzioaren adierazpen analitikoa

polinomioa bada, eremua zenbaki erreal guztiak dira.

f(x)=-x4+4x2+1

f eremu = IR f irudi = (-∞ , 5]

• Funtzio baten adierazpen analitikoa zatidura baldin bada, eremua zenbaki erreal guztiek osatzen dute, izendatzailean 0 egiten dutenak izan ezik.

1x2

)x(f−

=

f eremu = IR - {1} f irudi = (-∞ , 0) U (0, +∞)

• Funtzioaren adierazpen analitikoa erro karratua baldin bada, eremua errokizun positiboa duten zenbaki erreal guztiek osatzen dute.

3x)x(f +=

f eremu = [-3,+∞) f irudi = [0,+∞)

2x

1)x(f

+=

f eremu = (-2,+∞) Im f = (0,+∞)

⎪⎩

⎪⎨

⎧

>−≤≤−−

−<−−=

3x5,3x5,03x22

2x2x)x(f

f eremu=[-10, 10]

134 MATEMATIKA B

Ebatzitako ARIKETAK 5. Ondorengo grafiko hauetatik adierazi zeintzuk dagozkion funtzioari eta zeintzuk ez.

Egin ezazu balio-taula bat, marraz itzazu lortutako puntuak eta irudika ezazu funtzioa.

a) f(x)=2x-3 b) f(x)=-x2+4x

x f(x) 0 -3

1 -1

2 1

3 3

-1 -5

-2 -7

c) 1x

x4)x(f

2 +=

x f(x) 0 0

1 2

-1 -2

2 1,67

-2 -1,67

4 0,9

• Funtzio baten grafikoak dira a), c) eta e), izan ere, eremuaren x bakoitzari y-ren balio bakarra dagokio.

• b) eta d) ez dira funtzio baten grafikoak.

x f(x) 0 0

1 3

2 4

3 3

4 0

-1 -5

• GOGOAN IZAN

Balio-taula bat egiteko, funtzioaren adierazpenetik abiatuta, ordezka ezazu formulan x-a nahi duzun balioekin, egin eragiketa eta kalkulatu y=f(x) ekuazioari dagozkionak. Oroh ar, saia zaitez balio positiboak eta negatiboak txandakatzen.

Marraz itzazu horrela lortutako (x,y) puntuak eta lotu itzazu.

Funtzioak eta grafikoak

MATEMATIKA B 135

Funtzioak eta grafikoak

Ebatzitako ARIKETAK 3. Kalkula ezazu ondorengo funtzioen eremua.

a) b)

f eremu = IR – {-2, 0, 4} f eremu = IR – {-1, 1, 5}

Adierazitako puntuetan, bi kasuetan, ezin da f(x) aurkitu grafikoan.

c) f(x)= x3-2x2+5x d) f(x)=2x

x−

Dom f = IR , polinomioa delako f eremu = IR – {2}

e) f(x)= 5x − f) f(x)= x5 −

x-5≥0, x≥5 ⇒ f eremu = [5, +∞) 5-x≥0, 5≥x ⇒ f eremu = (-∞ , 5]

g) f(x)=4x

3

+ h) f(x)=

x2

1

−

x+4>0, x>-4 ⇒ f eremu = (-4, +∞) 2-x>0, 2>x ⇒ f eremu = (-∞ , 2) (Kasu hauetan -4 eta 2, hurrenez hurren, ez dira eremukoak, izendatzailea baliogabetzen baitute)

4. Ondorengo funtzioetan, zatika zehaztutakoetan, kalkula itzazu adierazitako x-balioen irudiak.

a) f(x)=⎪⎩

⎪⎨

⎧

>−≤≤−−

−<−−

3xsi5x3x2si2

2xsi1x5,0

c) f(x)=⎪⎩

⎪⎨

⎧

≥−<<−+−

−≤+

2xsi2x5,02x2si1x

2xsi2x5,0

x f(x) -4 1

-2 -2

1 -2

3 -2

6 1

x=-4 goian ordezten da (-4<-2)

x=-2, x=1 eta x=3 erdikoan ordezten dira, [-2,3]en baitaude.

x=6 behean ordezten da, izan ere, 6>3

x f(x) -6 -1

-2 3

0 1

2 -1

4 0

x=-6, x=-2 goian ordezten da.

x=0 erdikoan ordezten da, hemen baitaude: -2<0<2.

x=2, x=4 behean ordezten da.

136 MATEMATIKA B

2. Funtzioen ezaugarriak

Jarraitutasuna Funtzio jarraiaren lehenengo ideia marra batez irudika daitekeela da, arkatza paperetik jaso gabe. Funtzioa jarraia ez denean, desjarraitutasunen bat daukala esaten da.

Behean marraztutako hiru funtzioak etenak dira x=2n, baina eten-mota desberdinak dituzte.

Funtzio periodikoak Naturan eta zure ohiko ingurunean badira tarte erregularretan errepikatzen diren fenomenoak, hala nola itsasaldiak, penduluak eta malgukiak, soinua, etab.

Fenomeno hauek deskribatzen dituzten funtzioei periodikoak esaten zaie.

Bi funtzio periodiko garrantzitsu:

Badira zenbait arrazoi funtzio bat puntu batean jarraia ez izateko:

• Jauzi bat dauka.

• "Zulo" bat dago grafikoan, bai funtzioa puntuan definituta ez dagoelako, bai balioa besteetatik bananduta geratzen delako.

• Funtzioaren balioa mugagabe hazten da (edo txikitzen da) puntu batera hurbiltzen garenean.

Zisterna automatikoki bildu eta husten da, 6 minuturo 5 litro ateraz, grafikoaren erritmoari jarraituz. Ur-biltegia hutsik dago, betetzen hasten da, 1 minututan betetzen da, 3,5 minututan beteta dago eta 0,5 minututan husten da; gero prozesua errepikatzen da periodikoki 5 minuturo.

Une oro ur-biltegiko ur-bolumenaren berri izateko, nahikoa da lehen 5 minutuetan gertatzen dena jakitea. Zein ur-kopuru dago 14 minutu eta gero? f(14)=f(4+2·5)=f(4)=6

14:5 zatitzean, zatidura=2 hondarra=5

Oro har, periodoa 5 baldin bada:

f(x+5·n)=f(x)

f(2)=1 Grafikoak jauzi bat agertzen du.

x=2 ez da eremukoa. Grafikoak jauzi infinitu bat agertzen du.

Funtzioak eta grafikoak

Funtzio bat periodikoa da bere balioa errepikatzen denean, aldagai independenteak tarte zehatz bat igarotzen duen bakoitzean. Tarte honetako balioari periodoa deitzen zaio.

f(x+periodoa)=f(x)

x=2 ez da eremukoa. Eten hori "sahiesteko modukoa" da.

2x6x

)x(f2

−−

=2x

6xx2x)x(f

23

−++−

=⎩⎨⎧

≥+−<+

=2x5x22x1x

)x(f

y=f(x) funtzioa jarraia da hemen: x=a, baldin eta: • Funtzioa hemen definituta dago:

x=a, badago f(a)=b. • a hurbileko balioen irudiek b-

rantz jotzen dute.

periodoa

periodoa

MATEMATIKA B 137

Simetriak Funtzio batzuen grafikoak simetriaren bat izan dezake, eta aldez aurretik aztertuz gero, errazago marrazten da.

Funtzio bat simetrikoa da OY ardatzarekiko, baldin eta f(-x)=f(x). Kasu horretan funtzioari BIKOITIA esaten zaio.

Funtzio bat simetrikoa da koordenatuen jatorriarekiko f(-x)=-f(x) denean.

En kasu horretan funtzioari BAKOITIA esaten zaio.

Ikus itzazu grafikoak ezagutzeko.

Ikus itzazu grafikoak ezagutzeko.

BIKOITIA f(-x)=f(x)

BAKOITIA f(-x)=-f(x)

Ebatzitako ARIKETAK

5. Kalkula ezazu k-ren balioa ondorengo funtzioak jarraiak izan daitezen grafikoa aldatzen den puntuan:

a) ⎩⎨⎧

>−≤+

=4x3x4xkx5,0

)x(f b) ⎩⎨⎧

>+−≤

=1x1x1xk

)x(f

6. Zein da ondorengo funtzioen periodoa? Kasu bakoitzean kalkula ezazu f(45).

a) b)

Periodoa = 4 Periodoa = 5 45=4·11+1 f(45)=f(1)=2 45=5·9 f(45)=f(0)=0

7. Ondorengo grafikoen artean aukera itzazu funtzio bikoitiei eta funtzio bakoitiei dagozkienak.

Bikoitia: C

Bakoitia: A y D

B B ez da bikoitia, ezta bakoitia ere

8. Ondorengo funtzioak (7. adibidekoei dagozkie) bikoitiak ala bakoitiak dira?

a) f(x)=x3–3x f(-x)=(-x)3–3(-x)=-x3+3x=–f(x) Bakoitia

b) f(x)=2x2–2x-2 f(-x)=2(-x)2–2(-x)–2=2x2+2x–2 Ez BIKOITIA, ezta

BAKOITIA ere

c) f(x)= x6–x4–x2 f(-x)=(-x)6–(-x)4–(-x)2=2x6–x4–x2=f(x) Bikoitia

d) f(x)=-1/x f(-x)=-1/(-x)=1/x=–f(x) Bakoitia

f(4)=0,5·4+k=2+k Beste zatian definitu izan balitz honela izango litzateke: f(4)=4-3=1 bi zatiek bat egin behar dutenez: 2+k=1 ⇒ k=1-2=-1

f(1)=k Beste zatian definituta egon balitz honela izango litzateke: f(1)=-1+1=0 bi zatiek bat egin behar dutenez: k=0

Grafikoa ordenatuen ardatzetik tolestuta, bi adarrak bat etortzen d i r a .

Grafikoa bi ardatzetatik t o l e s t e n d e n a n , b i adarrak bat etortzen d i r a .

Funtzioak eta grafikoak

138 MATEMATIKA B

3. Aldakuntza-tasa eta hazkundea

Funtzio baten aldakuntza-tasa La Funtzio baten aldakuntza-tasa edo hazkuntza funtzioak jasaten duen gehikuntza edo gutxitzea da, aldagai independentea balio batetik bestera igarotzen denean.

TV[x1,x2]=f(x1)-f(x2) Erabilgarriagoa da batez besteko aldakuntza-tasa deritzona kalkulatzea; horrek adierazten digu funtzioaren aldaketa erlatiboa aldagai independentearekiko:

Hazkundea eta beherapena Grafikoetan oso erraz ikus daitekeen funtzioen ezaugarria monotonia da. x-en balioa handitzean y=f(x) balioa handitzen denean, grafikoa "igo egiten da" eta esaten da funtzioa gorakorra dela. Alderantziz, x handitzean y txikitzen bada, grafikoa "jaitsi egiten da", eta funtzioa beherakorra da. Gehiago zehaztuta:

Funtzio bat tarte batean gorakorra da, edozein bi puntu emanda

• Baldin etax1<x2 orduan f(x1)<f(x2)

Eta beherakorra izango da:

• Baldin eta x1<x2 orduan f(x1)>f(x2)

Grafikoan, txirrindulari batek denboraren arabera (minututan) egiten duen distantzia (km-tan) irudikatzen da.

TV denbora-tarte batean egindako distantziari dagokio.

TVM denbora-tarte jakin bateko batez besteko abiadura da.

Funtzioak eta grafikoak

[ ]12

1221 xx

)x(f)x(fx,xTVM

−−

=

Gorakorra x∈(0 , 10)

Konstantea x∈(10 , 15)

Beherakorra x∈(15 , 25)

[ ] 0xx

)x(f)x(fx,xTVM

12

1221 >

−−

=

[ ] 0xx

)x(f)x(fx,xTVM

12

1221 <

−−

=

Funtzio guztiak ez dira berdin haztzen edo txikitzen.

f(x)=x2 da azkarren hazten dena, g(x)=x hazkunde lineala du,

h(x)= x motelago hazten da

TV[0,30]=15 TV[17,22]=4,5

TVM[15,21]=4/6 TVM[22,30]=1/2 4 km

4 km 8 min

6 min

[ ] 5,075,3

5125,26

12,5TVM ==−

−=

Gorakorra

Beherakorra

TVM

TVM

TVM

TVM

MATEMATIKA B 139

Maximoak eta minimoak x=a puntuan funtzio jarraia izanik, maximo erlatiboa duela esaten da, aipaturiko puntu horren ezkerraldean funtzioa gorakorra bada eta eskuinaldean, berriz, beherakorra.

Aitzitik, funtzioa beherakorra bada ezkerraldean eta gorakorra ezkerraldean, minimo erlatiboa dago.

f(a)>f(x) egiaztatzen bada, eremuko edozein x baliotarako, eta ez bakarrik "inguruko" balioetarako, x=a maximo absolutuaz hitz egiten da.

Eta era berean esaten da a-n minimo absolutua dagoela f(a)<f(x) eremuko edozein x-rako baldin bada.

Ahurtasuna, ganbiltasuna eta inflexio-puntuak Funtzioen grafikoetako beste ezaugarri interesgarria ahurtasuna da, grafikoa beherantz edo gorantz kurbatzen den tarteak aztertzea.

Funtzio bat ahurra da tarte batean, kurbako edozein bi puntu lotzen dituen segmentua horren azpian geratzen denean, eta ganbila, kurbaren gainean geratzen denean.

Funtzioa ahurretik ganbilera edo alderantziz bihurtzen den eremuko puntuak inflexio-puntuak deitzen dira.

Funtzioak eta grafikoak

Gorakorra

Maximoa

(6 , 7)

Beherakorra

Minimoa

(20 , 1,1)

Gorakorra

inflexio-puntua

(13 , 4) Ahurra (-∞,13) Ganbila

(13,+∞)

Ahurra (-∞,0)

Ganbila (0,+∞)

x=0 -n aldatu egiten da ahurtasuna, baina ez dago inflexio-punturik, ez da eremukoa.

Minimo absolutua

Maximo absolutua

Minimoa

Maximoa

Ahurra

Ganbila

140 MATEMATIKA B

Ebatzitako ARIKETAK

12. Kalkula ezazu adierazitako puntuen arteko ondorengo funtzioen batez besteko aldakuntza-tasa. Egiazta ezazu irudian grafikoan zuzen bat duten funtzioetan TVM konstantea dela.

a) y=2x+3 b) y=0,5x+3

TVM[1,3]= 224

1359

==−−

TVM[1,3]= 5,02

5,35,4=

−=

TVM[-5,-2]= 236

5271

==+−+−

TVM[-3,0]= 5,03

5,13=

−

13. Grafikoek ontzi desberdinen betetzea irudikatzen dute. Zein grafiko dagokio bakoitzari?

a → 2 b → 4 c → 5 d → 3 e → 1

14. Gogora ezazu Itzuliko etapa baten "profila" ematen zuen funtzioa, lehenengo kapituluan ikusitakoa. a) idatzi handitze- edo txikitze-tarteak; b) Zein kilometro-puntutan erdiesten dira maximo erlatiboak?, zein balio hartzen dute?, eta minimoak?; c) Ba al dago maximo edo minimo absoluturik?

Funtzioak eta grafikoak

1 2

km 0 24 34 71 87 113 121 153 160 168

alt 540 1280 740 1290

630 1020

720 1130 1520

1882

a) Gorakorra (0,24)U(34,71)U(87,113)U(121,168) Beherakorra (24,34)U(71,87)U(113,121) b) MAX: x=24, y=1280 x=71, y=1290 x=113, y=1020 MIN: x=34, y=740 x=87, y=630 x=121, y=720

c) Kasu honetan funtzioak maximo eta minimo absolutuak ditu, eta biek eremuaren muturretan minimoa (hemen: x=0, 540 m-ko

a e b c d

IRTEERA

BoluBolumenaBolumenaBolumena

Altuera

Altuera

Altuera

Altue

Altue

1 2 3 4

Triangeluantzekoak

5

Bolumena Bolumena

Altuera

Altuera

MATEMATIKA B 141

Praktikatzeko

1. Kontuan hartu zenbaki bakoitzari bere karratua ken 1 ematen dion funtzioa. Idatzi adierazpen analitikoa eta kalkulatu hauen irudiak: -1, 1 eta 2. Kalkula itzazu ardatzekiko ebakidurak ere.

2. Kontuan hartu zenbaki bakoitzari bere erdia gehi 3 ematen dion funtzioa. Idatzi adierazpen analitikoa eta kalkulatu hauen irudiak: -1, 1 eta 3. Kalkula itzazu ardatzekiko ebakidurak ere.

3. Kontuan hartu zenbaki bakoitzari bere bikoitza ken 5 ematen dion funtzioa. Idatzi adierazpen analitikoa eta kalkulatu hauen irudiak: -2, -1 eta 1. Kalkula itzazu ardatzekiko ebakidurak ere.

4. Kalkula ezazu ondorengo funtzioen eremua.

a) f(x)=-2x2+5x-6

b) f(x)=4x2

x2−

c) f(x)= 12x4 2 +−

d) f(x)= 20x4 2 +

e) f(x)=4x2

3

−

5. Azter ezazu ondorengo funtzioen jarraitutasuna:

a) f(x)= 3x2x

−− b) f(x)=

3xx+−

6. Azter ezazu ondorengo funtzioen jarraitutasuna adierazitako puntuetan:

a) f(x)= ⎩⎨⎧

>+−≤+

1x2x1x2x

hemen x=1

b) f(x)=⎩⎨⎧

>+≤+

0x2x0x2x2

hemen x=0

c) f(x)= ⎩⎨⎧

−>−≤+−1x41x3x

hemen x=-1

d) f(x)= ⎩⎨⎧

−>−≤+−1x41x3x

hemen x=-1

7. Aztertu funtzioaren simetria:

a) f(x)= x3+2x b) f(x)=2

2

x5

3x −

c) f(x)= 1x2 2 + d) f(x)= 1x1x

−+

e) f(x)=x2

1x4 2 + f) f(x)= x4-3x2-3

8. Kasu bakoitzean grafikoak funtzio periodiko baten zatia edo periodoa irudikatzen du. Adierazi periodoa eta kalkulatu adierazitako abzisako puntuaren irudia:

a) f(-2)

b) f(-3)

c) f(-1)

9. Kalkula itzazu grafikoko funtzioen TVMak tarte hauetan: [0,4] eta [2,4].

a) b)

Funtzioak eta grafikoak

142 MATEMATIKA B

10. Autobidetik egindako 520 km-ko bidala batean nire autoan dagoen gasolina nola aldatzen den erakusten du grafikoak.

a)Zenbart gasolina zegoen 240km eta gero? Deposituan 40 litro sartzen dira, noiz zegoen beteta depositu erdia baino gehiago? b) Zenbat zerbitzugunetan gelditu nintzen? Zein zerbitzugunetan hartu nuen gasolina gehiago? Inon gelditu ez banintz, non geratuko nintzatekeen gasolinarik gabe?

c) Zenbat gasolina erabili nuen lehenengo 200 km-tan?. Zenbat erabili nuen bidaia osoan? Zenbat litro kontsumitzen du nire autoak, autobide honetan, 100 km-ko?

11. María eta Jorge bi pertsona nahiko arruntak dira. Grafikoan konpara dezakezu nola gehitu den haien pisua lehenengo 20 urtetan.

a) Zenbat pisatzen zuen Jorgek 8 urterekin? Eta Maríak 12 urterekin? Noiz gainditu zituen Jorgek 45 kg-ak? b) Zein adinetan pisatzen zuten biek berdin? Noiz pisatzen zuen Jorgek Maríak baino gehiago? Noiz pisatzen zuen Maríak Jorgek baino gehiago? c) Zein izan zen bien pisu gehikuntza, 11 eta 15 urte artean? Zein izan zen aurreko tartean urteko batez besteko gehikuntza? Bere bizitzako zein alditan hazi zen azkarren María? Eta Jorge?

12. Grafikoak ibilbide berbera egiten duten bi autoek egindako espazioa ematen du.

a) Zein da egindako distantzia? Lehen autoa 10:00etan atera bazen, zer ordutan atera zen 2.a? Zenbat denbora behar izan du auto bakoitzak ibilbidea osatzeko?

b) Zenbat denboran egon zen geldirik auto bakoitza? Zein km-tan gelditu ziren? Zein km-tan aurreratu du bigarrenak lehena? Zein km-tan aurreratuko du lehen autoak bigarrena?

c) Zein izan zen auto bakoitzaren batez besteko abiadura ibilbide osoan? Zein denbora tartean izan zen handiena auto bakoitzaren abiadura?

13. Ondorengo grafikoak I eta II funtzioei dagozkie.

I) f(x)=x3-6x2+9x II) f(x)=x

1x2 +−

Kalkulatu bakoitzean:

a) Eremua.

b) Ardatzekiko ebakidura-puntuak.

c) Funtzioa positiboa eta negatiboa duten x-en balioak.

d) Handitze- eta txikitze-tarteak.

e) Maximoak eta minimoak.

f) Zenbat inflexio-puntu dituzte?.

g) Ahurtasun- eta ganbiltasun-tarteak.

Funtzioak eta grafikoak

MATEMATIKA B 143

Funtzio bitxia Dirichleten funtzioa izenekoan, zenbaki erreal bakoitzari 1 ematen zaio, arrazionala bada, eta 0 irrazionala bada. Etena da puntu guztietan.

⎩⎨⎧

−∈∈

=QRx0

Qx1)x(f

Gehiago jakiteko Lehen funtzioa untzio bat eraikitzen lehena Galileo (1564-1642) izan zen. Pisako Dorre makurtuaren tontorretik bi bola jaurti zituen, bata burdinazkoa eta bestea zurezkoa, eta egiaztatu zuen, pisu aldea gorabehera, biak batera heltzen zirela lurrera; gorputzen erorketaren legea aurkitu zuen.

Azterketari jarraituz eta tramankulu bitxi bat erabiliz, egiaztatu zuen ibilitako espazioa denboraren karratuaren araberakoa dela, eta historiako lehen funtzioa idatzi zuen. Sakatu hemen gaiari buruz gehiago irakurtzeko.

Funtzioaren lehen definizio formala Eulerri zor zaio, Introductio in analysis infinitorum izeneko liburuan, 1748an argitaratutakoan. Hauxe dio: Kopuru aldagarri baten funtzioa adierazpen analitikoa da, edozein modutan kopuru aldagarri batez osatua, edo zenbakiz edo kopuru konstantez. 1755ean, Institutiones calculi differentialis izenekoan, gaiari heltzen dio berriro, eta gaur egun erabiltzen dugunera gehiago hurbildu zen bertan.

Tangentea, batez besteko aldakuntza-tasa eta malda

Ikus itzazu bi grafikoak, bi funtzioak 2 periodoko periodikoak diraπ, grafiko berdea desfasatuta dagoπ/2 laranjarekiko; Ikus ezazu non erdiesten diren maximoak eta minimoak. Bi grafikoek bat egiten dutenean, zein altueratan daude?, x=r·sen 45º=21,21 m; 1) 35-21,21=13,79 2)35+21,21=56,21

Funtzioak eta grafikoak

P→Q puntua, PQ zuzen ebakitzaileak P-n y=f(x) kurba ukitzen duen zuzenerantz jotzen du. Sekantearen madla tangentearenera jotzen duen TVM[P,Q] da. Hurrengo ikasturteetan ikasiko duzun funtzioaren deribatua da.

h)x(f)hx(f

lim)x(f0h

−+=′

→

x x+h

x 30

45º

tangentea

144 MATEMATIKA B

Gogora ezazu garrantzitsuena

Funtzioa x eta y aldagaien arteko erlazioa da, era horretan aldagai independenteari, x-ri, egokitzen zaio aldagai dependentearen, y-ren, balio bakarra.

Funtzio baten eremua x-ek har ditzakeen balio posible guztien multzoa da.

Funtzio baten grafikoa planoan irudikatzen diren puntuen multzoa da, (x,f(x)).

Funtzioa jarraia da marra batez irudika badaiteke. Puntu batean etena da, "jauzi" bat baldin badauka edo puntu horretan definituta ez badago.

Funtzioa periodikoa da, t periodoaz, grafikoa t unitate bakoitzean errepikatzen bada, f(x+t)=f(x).

Funtzio bat simetrikoa da OY ardatzarekiko, baldin eta f(-x)=f(x). eta simetrikoa da jatorriarekiko, funtzio bakoitia, baldin eta f(-x)=-f(x).

Funtzio baten bi punturen arteko aldakuntza-tasa (TV) ondoko diferentzia da: AT [x1,x2]=f(x2)-f(x1) Batez besteko aldakuntza-tasa (TVM) da:

Funtzio bat tarte batean gorakorra da, bertako edozein bi puntu emanda

• Baldin eta x1<x2 orduan f(x1)<f(x2)

Eta beherakorra da

• Baldin eta x1<x2 orduan f(x1)>f(x2)

Funtzio jarrai batek x=a puntuan, maximo erlatiboa dauka, puntu horren ezkerraldean gorakorra bada eta eskuinaldean beherakorra. Aldiz, lehenengo beherakorra bada eta gero gorakorra, minimo erlatiboa dago.

Funtzio baten grafikoa ahurra (beherantza) edo ganbila (gorantza) izan daiteke. Ahurtasuna aldatzen den eremuko puntuei inflexio-puntuak deitzen zaie.

Funtzioak eta grafikoak

Eremua Erreal guztiak, 0 izan ezik

Jarraitutasuna Ez da jarraia, 0-n jauzi infinituko etena dauka.

Simetria Simetrikoa da koordenatuen jatorriarekiko, funtzio bakoitia.

Ardatzekiko ebakidurak Abzisen ardatza mozten du (-1,0) eta (1,0). Ez du ordenaten ardatza mozten.

Hazkuntza eta txikitzea Gorakorra da hemen: (-∞, -2,5)U(2,5 ,+∞) Eta beherakorra hemen: (-2,5 ,0)U(0, 2,5)

Maximoak eta minimoak Maximoa hemen: (2,5 ,3); Minimoa hemen: (-2,5 ,3)

Ahurtasuna eta ganbiltasuna Inflexio-puntuak Ahurra da hemen: (-∞, -3)U(0,3) Eta ganbila hemen: (-3 ,0)U(3, +∞) (-3,0) eta (3,0) inflexio-puntuak dira. x=0 -n aldatu egiten da ahurtasuna, baina ez dago inflexio-punturik, ez baita eremukoa.

[ ]12

1221 xx

)x(f)x(fx,xTVM

−−

=BAT

MATEMATIKA B 145

Autoevaluación

1. Kalkulatu x=0 irudia funtzioan:

2. Kalkulatu ondoko funtzioaren eremua:

3. Hurrengo puntuetatik (1,-2) (3,-15) (4,-26) zein ez dagokio ondoko funtzioari f(x)=-x2-3x+2?.

4. Kalkulatu ebakidura puntuak zuzenaren y=-0,25 x-zuzenean 0,75 ardatz koordenatuetan.

5. y=f(x) funtzio BIKOITIA bada eta f(3)=-2 zenbat balio du f(-3) funtzioak?

6. Grafikoak funtzio periodiko baten lehen tartea erakusten du: periodoa 5 eta adierazpena f(x)=-x2+5x (baldin eta 0≤x<5). Kalkulatu f(28).

7. Igar ezazu a-ren balioa ondorengo funtzioa x=3 puntuan jarraia izan da.

8. Kalkula ezazu f(x)=-0,25x2-3x+1 funtzioaren TVM[-3,0].

9. Zehaztu grafikoaren funtzioa zein tartetan den gorakorra.

10. 10 Txirrindulari bat A puntutik 60 km-ra dagoen B puntura abiatzen da 30 km/h-ko abiadura konstantean. Aldi berean, beste txirrindulari bat Btik Aranzko norabidean abiatzen da, 40 km/h-ko abiaduran. Ikus ezazu grafikoa eta kalkulatu A puntutik zenbat kilometrora gurutzatuko diren errepidean.

Funtzioak eta grafikoak

⎩⎨⎧

>≤−

=3x53x1x2

)x(f

4x

1x)x(f

2 −

+=

⎩⎨⎧

>≤+

=3x63xkx2

)x(f

ordu

km

Txirrindularia

Txirrindularia

distantzia

distantzia

MATEMATIKA B 146

Praktikatzeko ariketen ebazpenak

1. f(x)=x2-1 f(-1)=0, f(2)=3, f(1)=0 OY ebakidura: -1 OX ebakidura: 1 y -1

2. y= 32x+

f(-1)=2,5 f(1)=3,5 f(3)=4,5 OY ebakidura: 3 OX ebakidura: -6

3. f(x)=2x-5 f(-2)=-9, f(-1)=-7, f(1)=-5 OY ebakidura: -5 OX ebakidura: 2,5

4. a) Polinomioa da, Dom(f)=IR

b) Erreal guztiak, 2a izan ezik.

c) ( 3,3− )

d) Erreal guztiak

e) (2, +∞ )

5. a) Etena da hemen: x=3

b) Etena da hemen: x=-3

6. a) Etena da hemen: 1. Ezkerraldean: 3; Eskuinaldean: 1 b) Jarraia hemen 0. Ezkerraldean: 2; Eskuinaldean: 2

c) Jarraia hemen -1. Ezkerraldean: 4; Eskuinaldean: 4

c) Jarraia hemen -1. Ezkerraldean: 4; Eskuinaldean: 4

7. a) e) bakoitiak dira; b) c) eta f) bikoitiak dira; d) ez da bikoitia, ezta bakoitia ere

8. a) TVM[0,4]=TVM[2,4]=0,5

b) TVM[0,4]=1,2; TVM[2,4]=1,8

9. a)

b)

c)

10. a) 27,5 litro; 200. eta 360. km-en artean eta 440. km-tik 520. km-ra.

b) Bitan, bat 200. km-an eta bestea 440. km-an; gehiago bota nuen 1.ean; 280. km-an

c) 12,5 l; 32,5 l; 6,25 l/100 km

11. a) J. 25 kg, M. 35 kg ; 14 urterekin

b) 11rekin (30 kg) eta 15ekin (55 kg) J-k M-k baino gehiago: 11ra arte eta 15etik aurrera; M-k J-k baino gehiago: 11tik 15era

c) 25 kg; 6,25 kg/urte; M-k 11 eta 12 artean (10 kg/urte); J-k 12 eta 14 artean (10 kg/urte)

12. a) 80 km; 10:15ean; 75 eta 70 min

b) 10 min 20. km-an, 20 min 30. km-an; 20. eta 30. km-etan, hurrenez hurren.

c) 64 km/h eta 68,6 km/h; 1.: 60-75 min 2.: 15-30 min eta 70-85 min

13. I) a) IR; b) (0,0)(3,0) c) y>0 (0,+∞); y<0 (-∞,0); d) gorak:(-∞,1)U(3,+∞), beherak:(1,3); e) max x=1, min x=3; f) Bat; ahur: (-∞,2) ganbil: (2,+∞)

II) a) IR-{0}; b) Ez du ebakitzen c) y<0 (0,+∞); y>0 (-∞,0); d) beherak.:(-∞,-1)U(1,+∞), gorak.:(-1,0)U(0,1); e) max x=1, min x=-1; f) Batere ez; ahur: (-∞,0) ganbil: (0,+∞)

Ez ahaztu jarduerak tutoreari bidaltzea

Funtzioak eta grafikoak

Ebazpenak AUTOEBALUAZIOA 1. f(0)= –1

2. IR - { 2, -2}

3. (3, -15)

4. (0, -0,75) (-3,0)

5. f(-3)=2

6. f(28)=f(3)=6

7. k=0

8. TVM[-3,0] = -2,25

9. (-3, 1)

10. 4,25 min-tik aurrera, A.