Fundamentos en Sistema de Control Automatico - A. Pardo y J. L. Diaz

FUNDAMENTOS EN SISTEMAS DE CONTROL AUTOMATICO

Primera Edicin

Aldo Pardo Garca Jorge Luis Daz Rodrguez

Dr. ALVARO GONZALEZ JOVES Rector

Dr. FREDDY SOLANO ORTEGA Vicerrector de Investigaciones

Dr. PEDRO LEON PEARANDA Vicerrector de Proyeccin Social

Dr. LUIS ALBERTO GUALDRON

Vicerrector Acadmico

PhD. ALDO PARDO GARCIA Director del Instituto de Investigacin y

Desarrollo de Tecnologas Aplicadas

FUNDAMENTOS EN SISTEMAS DE CONTROL AUTOMATICO No est permitida la reproduccin total o parcial de este libro, ni su tratamiento informtico, ni la transmisin de ninguna forma o por cualquier medio, ya sea electrnico, mecnico, por fotocopia, por registro u otros mtodos, sin el permiso previo o por escrito de los titulares del Copyright. DERECHOS RESERVADOS. Copyright 2004, Por la Universidad de Pamplona. DERECHOS RESERVADOS. Copyright 2004, por Aldo Pardo G. y Jorge Luis Daz R. Editorial.: JAVA E.U. Director: Jaime Vsquez Giraldo Impresin: Javier Orlando Torres Rico. ISBN: 958-97105-6-5 Cdigo UNESCO: 3311-02 Impreso en Colombia Printed in Colombia

Mientras la esencia interior del hombre se mantenga ms fuerte y ms plena que la dicha exterior, mientras interiormente mantengamos nuestra superioridad frente al destino, la dicha seguir sindonos fiel.

I. Ching

A mis hijos Aldo, Manuel Alejandro y Sandro Alexis Aldo

A mi madre y abuela,

Con amor, cario y deuda Jorge Luis

A nuestra Universidad de Pamplona y a su rector lvaro Gonzlez Joves por permitirnos compartir experiencias y conocimientos e impulsar el desarrollo de esta rea de la ciencia, tan importante para Colombia

AUTORES

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Los Autores: Aldo Pardo Garca: De nacionalidad cubana, Doctor en ciencias Tcnicas Cuba-ExURSS. Master en Ciencias. Especialista en Automatizacin. Ingeniero Elctrico (perfil electrnico). Profesor Asociado. Experiencia como docente en Educacin Superior desde 1983 hasta la fecha. Conferencista en Universidades de Cuba, Rusia, Espaa, Bulgaria, Alemania, Colombia, Venezuela y Mxico. Ha escrito varios librasen el rea de automatizacin. Sus trabajos investigativos han estado relacionados con las estrategias de control y las tcnicas en la simulacin y el control industrial. En el pregrado ha impartido las asignaturas de Electrnica Industrial, Control Automtico, Ciberntica Tcnica, Accionamientos Elctricos Automatizados, Controles Anlogos, Controles Digitales, Telecomunicaciones e Inteligencia Artificial. En postgrado ha impartido las asignaturas de Control Avanzado, Mtodos de Control Industrial y Control en Tiempo Real.

En Cuba (1983-1998): Jefe de la Disciplina de Accionamiento Elctrico. Director del Departamento de Controles Automticos. Director del Grupo Cientfico de Automatizacin. Vicedecano de Investigaciones. Coordinador de la Maestra en Ingeniera Elctrica. Miembro del Consejo Cientfico de la Facultad de Electromecnica y de la Universidad de Camagey. Miembro de la Comisin Evaluadora de postgrado del Ministerio de Educacin Superior de Cuba.

En Colombia (1998-2004): Miembro del Comit Tcnico Asesor de la Universidad de Pamplona. Director del Departamento de Mecatrnica. Director del grupo de Investigacin de Automatizacin y Control (A&C). Director del Instituto de Investigacin y Desarrollo de Tecnologas de Avanzadas. Por sus contribuciones a la Educacin Superior y su liderazgo tcnico es Par Evaluador en procesos de verificacin de estndares de calidad en programas de pregrado del Consejo Nacional de Acreditacin y Par Evaluador de Conciencias en el rea de la Electrnica y la Automatizacin. Jorge Luis Daz Rodrguez: De nacionalidad cubana, graduado Summa Cum Laude de Ingeniero Electricista de la Universidad de Camagey en julio de 1996. Master en Automtica de la Universidad Central Marta Abreu de Las Villas en abril del ao 2000. Actualmente es Candidato a Doctor en Ciencias Tcnicas de la Universidad de Camagey. Es profesor del Departamento de Ingeniera Electrnica, Elctrica, Sistemas y Telecomunicaciones de la Universidad de Pamplona, Colombia, donde imparte las asignaturas de Control Automtico, Electrnica de Potencia y Mquinas Elctricas. Ha publicado varios artculos sobre el control de motores elctricos con variadores de velocidad. Trabaja en las reas relacionadas con la Electrnica Industrial y los Controles Automatizados, adems ha desarrollado un trabajo exhaustivo en las tcnicas de control por frecuencia del motor de induccin.

PROLOGO

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Prologo: Este libro es fruto de la lnea de investigacin en Automatizacin y Control, ha sido elaborado para que sirva de texto a las asignaturas relacionadas con los sistemas de control, en las ingenieras de Automtica, Mecatrnica, Sistemas, Elctrica, Mecnica, Qumica y Aeronutica, as como de consulta a los egresados de estas especialidades, especialidades afines y postgrado. En este se recogen los resultados de varios aos de trabajo docente investigativo, de los autores en esta rea de la ciencia y la tcnica.

La importancia y estatura del campo del control se evidencia por el nmero de conferencia y encuentros nacionales e internacionales, publicaciones (incluyendo libros) y posiblemente ms importante, el impacto de la aplicacin industrial que toca la vida de todos. En la arena acadmica, la educacin de la ingeniera de control se ha transformado en una parte integral e importante del currculo de la ingeniera

Por lo tanto al tratar de impulsar el desarrollo de la automatizacin, lo estamos haciendo en toda la rama de la ingeniera, objetivo fundamental del Grupo de Investigacin de Automatizacin y Control (A&C), as como la del Instituto de Investigacin y Desarrollo de Tecnologas Aplicadas de la Universidad de Pamplona.

El libro esta organizado de la siguiente forma:

Captulo 1: Modelos matemticos de sistemas fsicos: Se brindan las herramientas necesarias para obtener los modelos matemticos de sistemas. Se desarrollan modelos de Circuitos Elctricos RLC, convertidor esttico, motores elctricos y conjunto convertidor - motor. Se obtienen los modelos en diferentes representaciones, tales como, funciones de transferencias, diagramas en bloques y representacin de espacio de estado.

Captulo 2: Anlisis de respuesta de los sistemas de control: Se estudia la respuesta transitoria y de frecuencia de los sistemas de control, sus indicadores principales, adems se incluye el anlisis de estabilidad utilizando diferentes procedimientos para sistemas lineales.

Captulo 3: Diseo y ajuste de reguladores analgicos: Se discuten diversos mtodos de diseo de reguladores: manuales, ptimos, por respuesta de frecuencia y Ziegler Nichols. Se muestran ejemplos de clculo para el diseo y ajuste de estos reguladores en cada uno de los mtodos. Por ltimo se discute la optimizacin por criterios del error donde se analizan los ndices de comportamientos utilizando criterios ISE, ITSE, IAE e ITAE.

PROLOGO

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Captulo 4: Fundamentos del control en cascada en sistemas de control de movimiento Se aborda una metodologa de diseo y ajuste de reguladores analgicos para sistemas de control de accionamiento elctrico en control de movimiento, exactamente para tres sistemas tpicos, el sistema convertidor controlado - motor de corriente directa, el sistema de la Cascada Asincrnica a Tiristores (CAT) y el sistema Rectificador Esttico de Tensin (RET) de corriente alterna (Chopper de CA). Todos segn mtodos ptimos de diseo que resultan en la utilizacin de reguladores PID convencionales con la respuesta ms adecuada.

Captulo 5: Sistema de control discreto: Se dedica al estudio de los sistemas discretos de control, empezando por el muestreo de funciones de transferencia, el muestreador, diferentes tipos de retenedores, la Transformada Z como herramienta de anlisis, la discretizacin de funciones de transferencias, criterios de estabilidad y criterios prcticos para la seleccin del perodo de muestreo. Por ltimo se muestra diferentes tcnicas para el diseo y ajustes de reguladores discretos donde se desarrollan varios ejemplos de clculo y simulacin en cada uno de ellos

Para validar los resultados tericos se realizan simulaciones en el software profesional SIMULINK, herramienta para el anlisis y la simulacin de sistemas de control del MATLAB, en el texto se muestran los diagramas en bloques y resultados obtenidos de la simulacin. Por ltimo queremos agradecer las observaciones y comentarios realizados por profesores de la Universidad de Las Villas y Camagey, Cuba, de la Universidad de los Andes, Mrida, Venezuela, La Universidad del Cauca y la Pontifica Javeriana de Cali, Colombia, as como amigos profesionales de empresas dedicadas a la automatizacin como es la FESTO LTDA. y BOSH ambas de Alemania.

Los Autores

Tabla de Contenido

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TABLA DE CONTENIDO LOS AUTORES..................................................................................................................................................................................... i PROLOGO............................................................................................................................................................................................ ii TABLA DE CONTENIDO ................................................................................................................................................................. iv INTRODUCCION .................................................................................................................................................................................1

CAPTULO 1: MODELOS MATEMTICOS DE SISTEMAS FSICOS....................................................................................... 3

1.1 INTRODUCCIN ...............................................................................................................................................................................3 1.1.1 Modelos matemticos........................................................................................................................................................... 3 1.1.2 Simplicidad frente a exactitud .............................................................................................................................................. 3 1.1.3 Sistemas lineales .................................................................................................................................................................. 4 1.1.4 Sistemas no lineales ............................................................................................................................................................. 4

1.2 FUNCIONES DE TRANSFERENCIAS.....................................................................................................................................................5 1.2.1 Funciones de transferencia .................................................................................................................................................. 5

1.3 MODELOS MATEMTICOS DE SISTEMAS FSICOS ...............................................................................................................................6 1.3.1 Elementos pasivos y elementos activos................................................................................................................................. 6 1.3.2 Sistemas mecnicos .............................................................................................................................................................. 6

1.3.2.1 Sistema mecnico de traslacin ...................................................................................................................................... 6 1.3.2.2 Sistema mecnico de rotacin......................................................................................................................................... 6

1.3.3 Sistemas elctricos ............................................................................................................................................................... 7 1.3.3.1 Circuitos RLC serie ........................................................................................................................................................ 8 1.3.3.2 Impedancias complejas ................................................................................................................................................... 8

1.4 DIAGRAMA EN BLOQUES..................................................................................................................................................................9 1.4.1 Diagrama en bloques ........................................................................................................................................................... 9 1.4.2 Detector de error................................................................................................................................................................ 10 1.4.3 Diagrama de bloques de un sistema de lazo cerrado ......................................................................................................... 10 1.4.4 Sistema de lazo cerrado sometido a una perturbacin....................................................................................................... 12 1.4.5 Procedimiento para trazar diagramas en bloques ............................................................................................................. 13 1.4.6 Reduccin del sistema de bloques ...................................................................................................................................... 14

1.5 MODELACIN EN ESPACIO DE ESTADO ...........................................................................................................................................16 1.5.1 Conceptos fundamentales................................................................................................................................................... 16

1.5.1.1 Estado ........................................................................................................................................................................... 16 1.5.1.2 Variables de estado....................................................................................................................................................... 16 1.5.1.3 Vector de estado ........................................................................................................................................................... 16 1.5.1.4 Espacio de estado.......................................................................................................................................................... 16

1.5.2 Representacin de sistemas en espacio de estado .............................................................................................................. 17 1.6 EJEMPLOS DE MODELACIN...........................................................................................................................................................21

1.6.1 Circuitos en conexin serie ................................................................................................................................................ 21 1.6.1.1 Circuito RLC serie con salida voltaje del capacitor ...................................................................................................... 21 1.6.1.2 Circuito RLC serie con salida voltaje del inductor ....................................................................................................... 23 1.6.1.3 Circuito RLC serie con salida voltaje del resistor......................................................................................................... 24

1.6.2 Circuitos serie paralelo................................................................................................................................................... 26 1.6.2.1 Circuito RLC paralelo con rama inductiva en serie ...................................................................................................... 26 1.6.2.2 Circuito RLC paralelo con rama resistiva en serie........................................................................................................ 28 1.6.2.3 Circuito RLC paralelo con rama capacitiva en serie..................................................................................................... 30

1.7 MODELOS MATEMTICOS DE SISTEMAS DE ACCIONAMIENTO ELCTRICO ........................................................................................32 1.7.1 Linealizacin de un modelo matemtico no lineal ............................................................................................................. 32 1.7.2 Modelo matemtico del convertidor esttico controlado ................................................................................................... 33

1.7.2.1 Determinacin de la constante de tiempo del convertidor ............................................................................................ 34 1.7.2.2 Determinacin de la ganancia del convertidor.............................................................................................................. 34

1.7.3 Modelo matemtico del motor de corriente directa ........................................................................................................... 37 1.7.3.1 Generalidades ............................................................................................................................................................... 37 1.7.3.2 Aproximaciones introducidas ....................................................................................................................................... 38 1.7.3.3 Ecuaciones elctricas .................................................................................................................................................... 39 1.7.3.4 Ecuacin del par electromagntico ............................................................................................................................... 39 1.7.3.5 Ecuacin mecnica ....................................................................................................................................................... 39 1.7.3.6 Ecuaciones del modelo matemtico.............................................................................................................................. 40

1.7.4 Obtencin del modelo matemtico en diagrama en bloques .............................................................................................. 40 1.7.4.1 Modelo matemtico aproximado despreciando la constante viscosa BT ....................................................................... 42 1.7.4.2 Modelo matemtico aproximado despreciando La y BT ................................................................................................ 43

Tabla de Contenido

- v -

3.4.6 Diagrama en bloques del sistema convertidor motor de CD.............................................................................................. 43 1.7.5 Modelo matemtico vectorial del motor asincrnico de corriente alterna......................................................................... 44

1.7.5.1 Generalidades................................................................................................................................................................ 44 1.7.5.2 Aproximaciones introducidas........................................................................................................................................ 44 1.7.5.3 Ecuaciones de las concatenaciones de flujo .................................................................................................................. 46 1.7.5.4 Ecuaciones de las corrientes.......................................................................................................................................... 48 1.7.5.5 Ecuaciones de los voltajes............................................................................................................................................. 49 1.7.5.6 Ecuacin del par electromagntico................................................................................................................................ 51 1.7.5.7 Ecuacin mecnica........................................................................................................................................................ 54 1.7.5.8 Ecuaciones del modelo matemtico .............................................................................................................................. 54 1.7.5.9 Obtencin del modelo matemtico linealizado en diagrama en bloques ....................................................................... 55 1.7.5.10 Diagrama en bloques del sistema convertidor motor de CA en control por frecuencia............................................... 59

3.6 CONSIDERACIONES GENERALES SOBRE MODELOS MATEMTICOS DE SISTEMAS DE ACCIONAMIENTOS ELCTRICOS.......................... 60

CAPTULO 2: ANLISIS DE RESPUESTA DE LOS SISTEMAS DE CONTROL ................................................................... 61

2.1 ANLISIS DE LA RESPUESTA TRANSITORIA..................................................................................................................................... 61 2.1.1 Introduccin ....................................................................................................................................................................... 61

2.1.1.1 Seales tpicas de prueba .............................................................................................................................................. 61 2.1.1.2 Respuesta transitoria y respuesta estacionaria............................................................................................................... 61 2.1.1.3 Estabilidad absoluta, estabilidad relativa y error estacionario....................................................................................... 61

2.1.2 Sistemas de primer orden ................................................................................................................................................... 62 2.1.2.1 Respuesta al escaln unitario en sistemas de primer orden ........................................................................................... 63

2.1.3 Sistemas de segundo orden................................................................................................................................................. 64 2.1.3.1 Respuesta escaln de sistemas de segundo orden ......................................................................................................... 64 2.1.3.2 Definicin de especificaciones de respuesta transitoria ................................................................................................ 68 2.1.3.3 Algunos comentarios sobre especificaciones de respuesta a transitorios ...................................................................... 69 2.1.3.4 Sistemas de segundo orden y especificaciones de respuesta transitoria ........................................................................ 70

2.1.4 Anlisis del error ................................................................................................................................................................ 74 2.1.4.1 Clasificacin de sistemas de control ............................................................................................................................. 74 2.1.4.2 Errores estacionarios ..................................................................................................................................................... 75 2.1.4.3 Coeficiente esttico de error de posicin....................................................................................................................... 76 2.1.4.4 Coeficiente esttico de error de velocidad..................................................................................................................... 76 2.1.4.5 Coeficiente esttico de error de aceleracin.................................................................................................................. 77 2.1.4.6 Resumen........................................................................................................................................................................ 78

2.2 ANLISIS DE LA RESPUESTA DE FRECUENCIA DE SISTEMAS DE CONTROL ...................................................................................... 79 2.2.1 Introduccin ....................................................................................................................................................................... 79 2.2.2 Diagramas para el anlisis de la respuesta de frecuencia ................................................................................................. 79

2.2.2.1 Diagramas logartmicos o diagramas de Bode .............................................................................................................. 79 2.2.2.2 Diagramas polares o diagramas de Nyquist. ................................................................................................................. 86

2.2.3 Criterios de estabilidad de Nyquist..................................................................................................................................... 93 2.2.4 Mrgenes de fase y ganancia.............................................................................................................................................. 94

2.2.4.1 Margen de fase.............................................................................................................................................................. 94 2.2.4.2 Margen de ganancia ...................................................................................................................................................... 95 2.2.4.3 Algunos comentarios sobre los mrgenes de fase y ganancia ....................................................................................... 97

2.2.5 Correlacin entre respuesta transitoria escaln y respuesta de frecuencia en sistemas de segundo orden ....................... 97 2.2.6 Correlacin entre la respuesta transitoria escaln y la respuesta de frecuencias en sistemas de orden superior ............. 99 2.2.7 Frecuencia de corte y ancho de banda ............................................................................................................................. 102 2.2.8 Velocidad de corte ............................................................................................................................................................ 103 2.2.9 Resumen de indicadores de la respuesta transitoria ........................................................................................................ 103

CAPTULO 3: DISEO Y AJUSTE DE REGULADORES ANALGICOS .............................................................................. 105

3.1 INTRODUCCIN........................................................................................................................................................................... 105 3.2 ESTRUCTURAS BSICAS DE CONTROL .......................................................................................................................................... 105

3.2.1 Estructura bsica de los sistemas de control.................................................................................................................... 105 3.2.2 Estructuras bsicas del regulador .................................................................................................................................... 106 3.2.3 Aproximacin de bloques de primer orden....................................................................................................................... 107

3.3 MTODOS DE AJUSTE DE LOS REGULADORES ............................................................................................................................... 108 3.3.1 Mtodos manuales (trial and error) ................................................................................................................................. 108 3.3.2 Mtodos ptimos de ajuste................................................................................................................................................ 111

3.3.2.1 Mtodo de ajuste al Modulo Optimo (MO)................................................................................................................. 111 3.3.2.2 Mtodo de ajuste Optimo Lineal (OL) ........................................................................................................................ 114 3.3.2.3 Mtodo de ajuste Optimo Simtrico (OS) ................................................................................................................... 115 3.3.2.4 Sistema equivalente de un lazo controlado ................................................................................................................. 122 3.3.2.5 Respuesta ante perturbaciones .................................................................................................................................... 122

Tabla de Contenido

- vi -

3.3.2.6 Ejemplos de diseo y ajuste.........................................................................................................................................124 3.3.3 Mtodos de repuesta de frecuencia ...................................................................................................................................129

3.3.3.1 Mtodo de diseo.........................................................................................................................................................129 3.3.3.2 Ejemplos de diseo y ajuste.........................................................................................................................................131

3.3.4 Mtodos de Ziegler Nichols (Z-N) ..................................................................................................................................136 3.3.4.1 Mtodos de diseo .......................................................................................................................................................136 3.3.4.2 Ejemplos de diseo y ajuste.........................................................................................................................................137

3.4 OPTIMIZACIN POR CRITERIOS DEL ERROR ...................................................................................................................................139 3.4.1 ndices de comportamiento ...............................................................................................................................................139

3.4.1.1 Criterio de error cuadrtico integral (ISE) ...................................................................................................................139 3.4.1.2 Criterio de error cuadrtico producto integral de tiempo (ITSE) .................................................................................140 3.4.1.3 Criterio de error absoluto integral (IAE)......................................................................................................................140 3.4.1.4 Criterio de error absoluto producto integral de tiempo (ITAE)....................................................................................141

3.4.2 Comparacin de los diversos criterios de error................................................................................................................141 3.4.3 Aplicacin del criterio ITAE a sistemas de orden superior...............................................................................................142

CAPTULO 4: FUNDAMENTOS DEL CONTROL EN CASCADA EN SISTEMAS DE CONTROL DE MOVIMIENTO ..143 4.1 SISTEMAS DE CONTROL DE MOVIMIENTO......................................................................................................................................143 4.2 SISTEMA CONVERTIDOR CONTROLADO - MOTOR DE CD................................................................................................................144

4.2.1 Lazo de control de corriente .............................................................................................................................................145 4.2.1.1 Ajuste del lmite de corriente.......................................................................................................................................146 4.2.1.2 Ajuste del lazo de corriente .........................................................................................................................................147 4.2.1.3 Anlisis del lazo de corriente.......................................................................................................................................148 4.2.1.4 Simplificacin del lazo de corriente.............................................................................................................................149

4.2.2 Lazo de control de velocidad.............................................................................................................................................149 4.2.2.1 Ajuste del lmite de velocidad .....................................................................................................................................150 4.2.2.2 Ajuste del lazo de velocidad ........................................................................................................................................150 4.2.2.3 Anlisis del lazo de velocidad......................................................................................................................................151 4.2.2.4 Simplificacin del lazo de velocidad ...........................................................................................................................153

4.2.3 Lazo de control de posicin...............................................................................................................................................153 4.2.3.1 Ajuste del lmite de posicin .......................................................................................................................................155 4.2.3.2 Ajuste del lazo de posicin ..........................................................................................................................................155 4.2.3.3 Anlisis del lazo de posicin .......................................................................................................................................156 4.2.3.4 Simplificacin del lazo de posicin .............................................................................................................................157

4.2.4 Ejemplo de clculo y diseo..............................................................................................................................................157 4.2.4.1 Formulacin del problema ...........................................................................................................................................157 4.2.4.2 Extraccin de los datos ................................................................................................................................................158 4.2.4.3 Clculo de los parmetros intermedios ........................................................................................................................158 4.2.4.4 Clculo del lazo de corriente .......................................................................................................................................159 4.2.4.5 Anlisis del lazo de corriente.......................................................................................................................................160 4.2.4.6 Simulacin del lazo de corriente..................................................................................................................................160 4.2.4.7 Clculo del lazo de velocidad ......................................................................................................................................161 4.2.4.8 Anlisis del lazo de velocidad......................................................................................................................................161 4.2.4.9 Simulacin del lazo de velocidad ................................................................................................................................161 4.2.4.10 Clculo del lazo de posicin ......................................................................................................................................162 4.2.4.11 Anlisis del lazo de posicin .....................................................................................................................................163 4.2.4.12 Simulacin del lazo de posicin ................................................................................................................................164 4.2.4.13 Simulacin del lazo de posicin con prefiltro............................................................................................................164 4.2.4.14 Simulacin del sistema de regulacin de velocidad...................................................................................................166

4.3 SISTEMA DE LA CASCADA ASINCRNICA CON TIRISTORES (CAT)..................................................................................................167 4.3.1 Lazo de control de corriente .............................................................................................................................................170

4.3.1.1 Ajuste del lmite de corriente.......................................................................................................................................170 4.3.1.2 Ajuste del lazo de corriente .........................................................................................................................................171 4.3.1.3 Anlisis del lazo de corriente.......................................................................................................................................172 4.3.1.4 Simplificacin del lazo de corriente.............................................................................................................................173

4.3.2 Lazo de control de velocidad.............................................................................................................................................173 4.3.2.1 Ajuste del lmite de velocidad .....................................................................................................................................174 4.3.2.2 Ajuste del lazo de velocidad ........................................................................................................................................174 4.3.2.3 Anlisis del lazo de velocidad......................................................................................................................................175 4.3.2.4 Simplificacin del lazo de velocidad ...........................................................................................................................177

4.3.3 Ejemplo de clculo y diseo..............................................................................................................................................177 4.3.3.1 Formulacin del problema ...........................................................................................................................................177 4.3.3.2 Extraccin de los datos ................................................................................................................................................178 4.3.3.3 Clculo de los parmetros intermedios ........................................................................................................................178 4.3.3.4 Clculo del lazo de corriente .......................................................................................................................................179 4.3.3.5 Anlisis del lazo de corriente.......................................................................................................................................179

Tabla de Contenido

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4.3.3.6 Simulacin del lazo de corriente ................................................................................................................................. 180 4.3.3.7 Clculo del lazo de velocidad...................................................................................................................................... 181 4.3.3.8 Anlisis del lazo de velocidad..................................................................................................................................... 181 4.3.3.9 Simulacin del lazo de velocidad................................................................................................................................ 181 4.3.3.10 Simulacin del lazo de velocidad con prefiltro ......................................................................................................... 182 4.3.3.11 Simulacin del sistema de regulacin de velocidad .................................................................................................. 183

4.4 SISTEMA RECTIFICADOR ESTTICO DE TENSIN (RET) DE CORRIENTE ALTERNA .......................................................................... 185 4.4.1 Lazo de control de voltaje................................................................................................................................................. 186

4.4.1.1 Ajuste del lmite de voltaje ......................................................................................................................................... 186 4.4.1.2 Ajuste del lazo de voltaje ............................................................................................................................................ 186 4.4.1.3 Anlisis del lazo de voltaje ......................................................................................................................................... 187 4.4.1.4 Simplificacin del lazo de voltaje ............................................................................................................................... 188

4.4.2 Lazo de control de velocidad ............................................................................................................................................ 188 4.4.2.1 Ajuste del lmite de velocidad..................................................................................................................................... 189 4.4.2.2 Ajuste del lazo de velocidad ....................................................................................................................................... 189 4.4.2.3 Anlisis del lazo de velocidad..................................................................................................................................... 190 4.4.2.4 Simplificacin del lazo de velocidad........................................................................................................................... 191

4.4.3 Ejemplo de clculo y diseo ............................................................................................................................................. 191 4.4.3.1 Formulacin del problema .......................................................................................................................................... 191 4.4.3.2 Extraccin de los datos ............................................................................................................................................... 191 4.4.3.3 Clculo de los parmetros intermedios ....................................................................................................................... 192 4.4.3.4 Clculo del lazo de tensin ......................................................................................................................................... 192 4.4.3.5 Anlisis del lazo de tensin......................................................................................................................................... 193 4.4.3.6 Simulacin del lazo de tensin.................................................................................................................................... 193 4.4.3.7 Clculo del lazo de velocidad...................................................................................................................................... 194 4.4.3.8 Anlisis del lazo de velocidad..................................................................................................................................... 194 4.4.3.9 Simulacin del lazo de velocidad................................................................................................................................ 194 4.4.3.10 Simulacin del sistema de regulacin de velocidad .................................................................................................. 194

4.5 CONSIDERACIONES SOBRE ASPECTOS DE INTERS ........................................................................................................................ 196 CAPTULO 5: SISTEMAS DE CONTROL DISCRETO .............................................................................................................. 197

5.1 INTRODUCCIN........................................................................................................................................................................... 197 5.2 MUESTREO DE FUNCIONES DE TRANSFERENCIA ........................................................................................................................... 197 5.3 EL PROCESO DE CUANTIFICACIN................................................................................................................................................ 198 5.4 CARACTERSTICAS BSICAS DEL CONTROL DIGITAL..................................................................................................................... 199 5.5 EL MUESTREADOR ..................................................................................................................................................................... 199 5.6 RETENEDORES............................................................................................................................................................................ 200

5.5.1 Retenedor de orden cero (ZOH) ....................................................................................................................................... 200 5.5.2 Retenedor de primer orden (FOH) ................................................................................................................................... 201 5.5.3 Comparacin entre los retenedores ZOH y FOH ............................................................................................................. 202

5.7 LA TRANSFORMADA Z................................................................................................................................................................ 203 5.8 DISCRETIZACIN DE FUNCIONES DE TRANSFERENCIAS................................................................................................................. 203

5.8.1 Simulaciones invariantes y/o con retenedor ..................................................................................................................... 203 5.8.1.1 Discretizacin directa o respuesta invariante al impulso............................................................................................. 204 5.8.1.2 Retenedor de orden cero (ZOH) o respuesta invariante al escaln.............................................................................. 204 5.8.1.3 Retenedor de primer orden (FOH) .............................................................................................................................. 205 5.8.1.4 Retenedor triangular o respuesta invariante a la rampa............................................................................................... 206 5.8.1.5 Caractersticas generales ............................................................................................................................................. 207

5.8.2 Transformacin de polos y ceros o Transformacin apareada (matched) ....................................................................... 207 5.8.2.1 Variantes ..................................................................................................................................................................... 207 5.8.2.2 Caractersticas generales ............................................................................................................................................. 208

5.8.3 Discretizacin por aproximacin o Transformaciones s = f(z) ........................................................................................ 208 5.8.3.1 Transformacin por diferencias finitas hacia delante (forward rule)........................................................................... 208 5.8.3.2 Transformacin por diferencias finitas hacia atrs (backward rule)............................................................................ 209 5.8.3.3 Mtodo Trapezoidal, Bilineal, Tustin o Transformacin z Bilineal ............................................................................ 210 5.8.3.4 Mtodo de la aproximacin bilineal con predesvio (prewarping). .............................................................................. 212 5.8.3.5 Caractersticas generales ............................................................................................................................................ 213

5.8.4 Resumen de los mtodos de discretizacin. ...................................................................................................................... 214 5.8.5 Discretizacin utilizando CAD ......................................................................................................................................... 215

5.9 ECUACIONES EN DIFERENCIA ...................................................................................................................................................... 216 5.10 TEOREMAS DEL VALOR INICIAL Y FINAL .................................................................................................................................... 216

5.10.1 Teorema del valor inicial................................................................................................................................................ 216 5.10.2 Teorema del valor final .................................................................................................................................................. 217

5.11 LA TRANSFORMADA Z INVERSA................................................................................................................................................ 217 5.11.1 Transformada Z inversa desarrollando X(z) en una serie infinita de potencia............................................................... 217

Tabla de Contenido

- viii -

5.11.2 Transformada Z inversa desarrollando X(z) en fracciones parciales .............................................................................218 5.11.3 Transformada Z inversa por la integral de inversin......................................................................................................218

5.12 FUNCIONES DE TRANSFERENCIA DE PULSOS ...............................................................................................................................219 5.12.1 Teorema del muestreo. ....................................................................................................................................................219 5.12.2 Caractersticas de respuesta de frecuencia de los dispositivos de retencin de orden cero ...........................................221 5.12.3 Procedimiento general para la obtencin de funciones transferencia de pulsos.............................................................222 5.12.4 Funciones de transferencia de pulsos de elementos en cascada. ....................................................................................222 5.12.5 Funciones transferencia de pulsos en sistemas de lazo cerrado .....................................................................................223

5.13 ANLISIS DE ESTABILIDAD EN EL PLANO Z.................................................................................................................................224 5.13.1 Transformacin de semiplano izquierdo s en el plano z ..............................................................................................224 5.12.2 Anlisis de estabilidad.....................................................................................................................................................225

5.14 DISEO DE REGULADORES DISCRETOS .......................................................................................................................................227 5.14.1 Introduccin ....................................................................................................................................................................227 5.14.2 Algoritmo PID discretizado.............................................................................................................................................227

5.14.2.1 Discretizacin del PID en forma desacoplada............................................................................................................227 5.14.2.2 Discretizacin del PID en forma paralela ..................................................................................................................229

5.15 DETERMINACIN DE LOS PARMETROS DE AJUSTE .....................................................................................................................231 5.15.1 Aproximacin Rectangular en Atraso .............................................................................................................................231 5.15.2 Aproximacin Rectangular en Adelanto..........................................................................................................................232 5.15.3 Aproximacin Trapezoidal ..............................................................................................................................................232 5.15.4 Aproximacin Bilineal o de Tustin .............................................................................................................................232

5.15.4.1 Tablas resmenes de los mtodos expuestos..............................................................................................................233 5.15.5 Modificacin de la accin derivativa ..............................................................................................................................234

5.16 CRITERIOS PRCTICOS PARA LA SELECCIN DEL PERODO DE MUESTREO ....................................................................................234 5.16.1 Econmico.......................................................................................................................................................................234 5.16.2 Efectividad de seguimiento..............................................................................................................................................235

5.16.2.1 Por ancho de banda....................................................................................................................................................235 5.16.2.1 Por respuesta en el tiempo requerido .........................................................................................................................235

5.16.3 Efectividad en la regulacin............................................................................................................................................235 5.16.3.1 Dada por error ante disturbios....................................................................................................................................235

5.16.4 Sensitividad ante variaciones de los parmetros del proceso .........................................................................................235 5.16.5 Errores debido al ruido que introduce el prefiltro analgico .........................................................................................235 5.16.6 Resumen de la seleccin de muestreo..............................................................................................................................235

5.17 EJEMPLOS DE CLCULO Y SIMULACIN ......................................................................................................................................236 5.17.1 Ejemplo con aproximacin rectangular en atraso ..........................................................................................................236

5.17.1.1 Simulacin con planta analgica ...............................................................................................................................237 5.17.1.2 Simulacin con planta digital ....................................................................................................................................238

5.17.2 Ejemplo con aproximacin rectangular en adelanto.......................................................................................................239 5.17.2 Ejemplo con aproximacin trapezoidal...........................................................................................................................240 5.17.2 Ejemplo con aproximacin Bilineal o de Tustin..............................................................................................................240

5.18 ALGORITMOS DE TRANSFORMADA Z (MTODOS DIRECTOS) ......................................................................................................241 5.18.1 Algoritmo de Batimiento o de tiempo mnimo (Deadbeat) ..............................................................................................242

5.18.1.1 Tiempo mnimo con retardo ......................................................................................................................................243 5.18.2 Algoritmo de Dahlin........................................................................................................................................................243 5.18.3 Algoritmo de Kalman ......................................................................................................................................................244

5.18.3.1 Ajustes para cambios en la carga ...............................................................................................................................246 5.19 EJEMPLOS DE CLCULO Y SIMULACIN DE LOS MTODOS DIRECTOS ...........................................................................................247

5.19.1 Discretizacin de la funcin de transferencia .................................................................................................................247 5.19.2 Algoritmo Deadbeat ........................................................................................................................................................248

5.19.2.1 Algoritmo Deadbeat con retardo................................................................................................................................249 5.19.3 Algoritmo Dahlin.............................................................................................................................................................250 5.19.4 Algoritmo Kalman...........................................................................................................................................................252

EJERCICIOS PROPUESTOS .........................................................................................................................................................253 BIBLIOGRAFIA ...............................................................................................................................................................................269

ANEXOS ............................................................................................................................................................................................271

INTRODUCCIN

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INTRODUCCIN

En todas las pocas, la eficiencia del proceso productivo y la calidad del producto terminado han sido temas que han decidido la competitividad. La eficiencia es hoy un factor que resulta de vital importancia, teniendo en cuenta el proceso de globalizacin a que es sometida la economa mundial teniendo que competir con los grandes productores sin ningn tipo de proteccin. El papel de la automatizacin en la ciencia y la tecnologa moderna es imprescindible para el desarrollo econmico de cualquier pas. Es imposible lograr la eficiencia y la productividad industrial sin la automatizacin, esto lo demuestra su gran presencia en el terreno cientfico - tcnico moderno. Estudios realizados demuestran que el 90% de los lazos de control todava operan con reguladores del tipo PID, mientras que en la industria de procesos llegan al 95%. Se pueden encontrar como un componente en la lgica de una mquina secuencial as como en muchas estrategias sofisticadas de control, tales como el control adaptativo y predictivo, u otras organizadas jerrquicamente, donde en los niveles ms bajos se utilizan PID, que reciben los valores deseados de ajuste desde los niveles superiores del sistema multivariable. Esta tendencia se refuerza con el desarrollo de los sistemas de control que utilizas bus de campo, de los cuales el PID es un ingrediente importante, produciendo un impacto significativo en la arquitectura de los sistemas de control distribuidos. Atendiendo a estas razones strom (1995) pronostic una nueva era para el PID en su libro PID Controllers, donde sistematiza las principales experiencias para sintonizar y explotar adecuadamente los reguladores PID. Como elementos cualitativos que pueden producir un cambio en el trabajo prctico de diseo y ajuste de reguladores consideramos los siguientes:

1. Las exigencias del mercado han llevado a una lucha cada vez mayor por la calidad, lo que se refleja en las normas como las ISO 9000. Un sistema con reguladores eficientes garantiza una mayor calidad.

2. El mundo cientfico le ha prestado una mayor atencin a la problemtica del ajuste de los reguladores, existen en la actualidad varios autores con libros dedicados a la obtencin de los modelos matemticos y al ajuste de reguladores de lazos simples y complejos.

3. El desarrollo de potentes herramientas computacionales de anlisis y diseo de sistemas de control, como: el MATLAB, CC, PSI, SIMNON, etc., han simplificado significativamente todo el procedimiento de clculo, hacindolo relativamente simple el empleo de los mtodos clsicos de anlisis y diseo de sistemas de control para cualquier profesional con la formacin adecuada.

INTRODUCCIN

- 2 -

4. La tendencia del uso de reguladores a partir de microprocesadores, microcontroladores y DSP con potencialidades como autosintona, esquedulo de ganancia, etc., presenta un reto adicional para poder utilizar de forma eficiente esta tecnologa.

5. La industria moderna cuenta con los profesionales con el nivel tcnico suficiente para asimilar los cambios que implica el cambio de tecnologa, as como de las herramientas computacionales de anlisis y diseo de sistemas de control.

En este trabajo se muestran un conjunto de herramientas para realizar los procedimientos de anlisis y diseo de los sistemas de control, adems se validan todos los resultados tericos mediante simulaciones en el software profesional SIMULINK, herramientas para el anlisis y la simulacin de sistemas de control del MATLAB.

Captulo 1: Modelos matemticos de sistemas fsicos

- 3 -


1.1 Introduccin Muchos sistemas dinmicos ya sean mecnicos, elctricos, trmicos, hidrulicos, econmicos, biolgicos, etc., pueden ser caracterizados por ecuaciones diferenciales. Se puede obtener la respuesta de un sistema dinmico a una entrada (o funcin excitadora), si se resuelven esas ecuaciones diferenciales. Para obtener las ecuaciones se utilizan las leyes fsicas que gobiernan un sistema particular, por ejemplo las leyes de Newton para sistemas mecnicos, las leyes de Kirchhoff y la Ley de Ohm para sistemas elctricos, etc. 1.1.1 Modelos matemticos La descripcin matemtica de las caractersticas dinmicas de un sistema se denomina modelo matemtico. El primer paso en el anlisis de un sistema dinmico, es elaborar su modelo. Hay que tener siempre presente que desarrollar un modelo matemtico es la parte ms importante de todo el anlisis. Los modelos pueden tomar muchas formas distintas. Segn el sistema particular de que se trate y las circunstancias, una representacin matemtica puede ser ms adecuada que otras representaciones. Por ejemplo, en problemas de control ptimo, frecuentemente es ventajoso usar un juego de ecuaciones diferenciales de primer orden. Por otra parte, para el anlisis de respuesta a transitorios o el anlisis de respuesta de frecuencias de sistemas de una sola entrada y una sola salida, la representacin de la funcin transferida que se tratar en este captulo puede ser ms conveniente que cualquier otra. Una vez obtenido el modelo matemtico de un sistema se pueden usar diversas herramientas analticas y computacionales con el objetivo de su adecuado anlisis y sntesis. 1.1.2 Simplicidad frente a exactitud Al obtener un modelo, hay que llegar a un compromiso entre la simplicidad del mismo y la exactitud del resultado de su anlisis. Los resultados obtenidos del anlisis son vlidos solamente en la extensin en que le modelo se ajuste a un determinado sistema fsico. La rapidez con que una computadora digital puede realizar operaciones aritmticas, permite emplear un nuevo enfoque al formular los modelos matemticos. En lugar de limitar los modelos a los ms simples, se puede, en caso de ser necesario, incluir centenares de ecuaciones para describir el sistema completo. Sin embargo, si no interesa la extrema exactitud, es preferible obtener solamente un modelo razonable simplificado. Al desarrollar un modelo simplificado, frecuentemente se encuentra conveniente ignorar ciertas caractersticas fsicas inherente al sistema. En particular si se desea un modelo matemtico de parmetros concentrados lineales (es decir, uno que emplee ecuaciones diferenciales ordinarias), ha de ser siempre necesario ignorar ciertas no linealidades y parmetros distribuidos (o sean aquellos que dan lugar a ecuaciones en derivadas parciales) que pueden hallarse presente en el sistema fsico. En general, al resolver un problema nuevo, es conveniente en primer lugar construir un modelo simplificado, para poder tener una idea general de la solucin. Luego se puede armar un modelo matemtico ms complejo, y usarlo para un anlisis ms completo. Hay que tener bien presente el hecho de que un modelo lineal, de parmetros concentrados, puede ser vlido en operaciones de baja frecuencia, y puede no serlo a frecuencias suficientemente altas, ya que las propiedades despreciables de los parmetros distribuidos, pueden volverse un factor importante en el comportamiento dinmico del sistema. Por ejemplo, la masa de un resorte puede ser despreciada en operaciones de baja frecuencia, pero se convierte en una propiedad importante del sistema en frecuencias altas.


- 4 -

1.1.3 Sistemas lineales Los sistemas lineales son aquellos en los que las ecuaciones del moldeo son lineales. Una ecuacin diferencial es lineal si los coeficientes son constantes o funciones nicamente de la variable independientemente. La propiedad ms importante de los sistemas lineales es que se le puede aplicar el principio de superposicin, el cual establece que la respuesta producida por la aplicacin simultanea de dos funciones excitadoras distintas, es la suma de las dos respuestas individuales. Por tanto, para sistemas lineales se puede calcular la respuesta a diversas entradas, tratando una entrada por vez y aadiendo o sumando los resultados. Este principio es el que nos permite construir complicadas soluciones a las ecuaciones diferenciales lineales, a partir de soluciones simples. Los sistemas lineales pueden ser invariables en el tiempo y variables en el tiempo. Los sistemas dinmicos que son lineales y estn construidos por coeficientes concentrados e invariables en el tiempo, pueden ser descritos por ecuaciones diferenciales lineales, invariantes en el tiempo. Estos sistemas reciben el nombre de lineales e invariantes en el tiempo (o lineales de coeficiente constante), tambin usualmente se utilizan para describir este tipo de sistemas las siglas LTI, del Ingls Linear Time Invariant. Los sistemas representados por ecuaciones diferenciales, cuyos coeficientes son funciones del tiempo, reciben el nombre sistemas lineales variables en el tiempo o LTV, del Ingls Linear Time Variant. 1.1.4 Sistemas no lineales Sistemas no lineales son aquellos representados por ecuaciones no lineales. Ejemplo de ecuaciones no lineales son: ( )

32

2

yxzxy

xseny

+===

(1.1)

En la ltima ecuacin, z es funcin no lineal de las variables x y y. Una ecuacin diferencial recibe el nombre de no lineal si no es lineal. Ejemplo de ecuaciones diferenciales no lineales son:

( )( )

0

01

32

2

22

2

2

2

2

=+++

=++

=+

+

xxdtdx

tdxd

xdtdxx

tdxd

tsenAxdtdx

tdxd

(1.2)

Aunque muchas relaciones fsicas son frecuentes representadas por ecuaciones lineales, en la mayor parte de los casos realmente las relaciones no son muy lineales. De hecho, un estudio cuidadoso de los sistemas fsicos indica que an los denominados sistemas lineales son realmente lineales solamente en restringidos rangos de operacin. En la prctica, muchos sistemas electromecnicos, hidrulicos, neumticos, etc., involucran relaciones no lineales entre las variables. Por ejemplo, la salida de un componte puede saturarse para niveles elevados de seal de entrada. Puede haber una franja o zona muerta que afecta la seal pequea (las franja muerta de un componente no es sensible). En algunos componentes puede haber no linealidades cuadrticas, por ejemplo, los amortiguadores utilizados en sistemas fsicos pueden ser lineales para operaciones de baja velocidad, pero son no lineales en velocidades altas, porque la fuerza de amortiguacin se vuelve proporcional al cuadrado de la velocidad de funcionamiento.


- 5 -

La caracterstica ms importante de los sistemas no lineales es que no es aplicable el principio de superposicin. En general, los procedimientos para hallar soluciones de problemas que involucran sistemas no lineales, son extremadamente complicados. Debido a sta dificultad matemtica, inherente a los sistemas no lineales, a menudo se encuentra necesario introducir sistemas lineales equivalentes en reemplazo de los no lineales. Estos sistemas lineales equivalentes son vlidos solamente en un restringido rango de operacin. Una vez que se ha aproximado un sistema no lineal con un modelo matemtico lineal, se puede utilizar cierto nmero de herramientas lineales para su anlisis y diseo. En este libro se han de introducir varias tcnicas de linealizacin.

1.2 Funciones de transferencias En la teora de control muy frecuente se utiliza funciones denominadas funciones transferidas, para caracterizar la relacin de entrada salida de sistemas lineales invariantes en el tiempo. El concepto de funcin transferida se aplica solamente a sistemas de control lineales. 1.2.1 Funciones de transferencia La funcin transferida de un sistema lineal invariante en el tiempo est definida como la relacin de la transformada de Laplace de la salida (funcin respuesta) a la trasformada de Laplace de la entrada (funcin excitadora), bajo suposicin de que todas las condiciones iniciales son cero. Sea el sistema lineal invariante en el tiempo definido por la siguiente ecuacin diferencial:

( ) ( ) ( ) ( )xbxbxbxbyayayaya

m

n

m

n

n

n

n

n 01

1

101

1

1 ++++=++++

LL (1.3) Donde y es la salida el sistema y x es la entrada. Para que el sistema sea fsicamente realizable entonces mn , debido a que la funcin de transferencia obtenida para este caso es propia cuando cumple la condicin anterior. Se obtiene la funcin transferencias de este sistema tomando transformadas de Laplace de ambos miembros de la Ec. (1.3) bajo la suposicin de que todas las condiciones iniciales son cero, o sea

Funcin de Transferencia = ( ) ( )( ) 011101

11

asasasabsbsbsb

sXsYsG n

nn

n

mm

mm

++++++++==

LL

(1.4)

La funcin de transferencia es una expresin que relaciona las salida y la entrada de un sistema lineal invariante en el tiempo, trminos de los parmetros de sistema. Y es una propiedad del sistema en s, independientemente de la funcin de entrada excitadora. La funcin transferencia incluye las unidades necesarias para relacionar la entrada con la salida; sin embargo, no provee ninguna informacin respecto a la estructura fsica del sistema (las funciones transferida de muchos sistemas fsicamente distintos, pueden ser idnticas). Usando este concepto se puede representar la dinmica de un sistema por ecuaciones algebraicas en s. La potencia ms alta de s del denominador de la funcin de transferencia es igual al orden del trmino de la derivada ms alta de la salida. Si la potencia ms alta de s es igual a n se dice que se trata de un sistema de ensimo orden.

Para obtener la funcin transferida de un sistema fsico por ejemplo, suponiendo como entrada la la fuerza x(t) y como salida el desplazamiento y(t) de la masa. Se ha de proceder de acuerdo con los siguientes pasos:

1. Plantear la ecuacin diferencial del sistema. 2. Tomar la transformada de Laplace de la ecuacin diferencial suponiendo las condiciones

iniciales iguales a cero. 3. Hallar la relacin de la salida Y(s) respecto a la entrada X(s). Esta relacin es la funcin

transferida.


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1.3 Modelos matemticos de sistemas fsicos 1.3.1 Elementos pasivos y elementos activos Algunos de los elementos en un sistema (por ejemplo, capacidades e inductancias en un sistema elctrico), acumulan energa. Esta energa posteriormente pude ser introducida al sistema. La cantidad de energa que puede introducirse, no puede exceder de la que el elemento ha acumulado, y a menos que un elemento acumule energa antes, no puede entregar ninguna energa al sistema. Debido a ello, estos elementos son designados elementos pasivos. Un sistema que solo contiene elementos pasivos es denominado sistema pasivo. Ejemplo de los elementos pasivos son las capacidades, resistencias e inductancias; masas, inercias, amortiguadores y resortes. Para sistemas pasivos, todos los trminos en el sistema de ecuaciones homogneas tienen el mismo signo. Un elemento que puede entregar energa externa a un sistema, es denominado elemento activo. Por ejemplo, un amplificador es un elemento activo, ya que tiene una fuente de alimentacin y provee potencia al sistema. Tambin son elementos activos las fuentes de fuerza, par o velocidad; fuentes de tensin o corriente, etc. 1.3.2 Sistemas mecnicos Las leyes fundamentales que rigen el movimiento en los sistemas mecnicos, son las leyes de Newton, fundamentalmente la segunda Ley. En este epgrafe se muestra el tratamiento de esta ley para los sistemas mecnicos de traslacin y de rotacin, de forma independiente. Este ltimo tipo de sistema es el utilizado por los motores elctricos.

1.3.2.1 Sistema mecnico de traslacin Estos tipos de sistemas estn regidos por la segunda ley de Newton en la traslacin:

maF = (1.5) Donde: m : Masa; a : Aceleracin ; F: Fuerza

Tambin puede formularse en funcin de la variacin de la velocidad (v) ya que dt

vda =

dtvdmF = (1.6)

En funcin de la variacin del desplazamiento o posicin (S) ya que 2

2

dtSda =

2

2

dtSdmF = (1.7)

1.3.2.2 Sistema mecnico de rotacin Para sistemas mecnicos de rotacin se cumple la segunda Ley de Newton de la siguiente forma:

= JM (1.8) Donde: J : Momento de inercia; : Aceleracin angular; M: Par (Torque o Momento) Puede formularse en funcin de la variacin de la velocidad angular (w) ya que

dtwd=

dtwdJM = (1.9)

Tambin, en funcin de la variacin de la posicin angular () ya que 22

dtd =


- 7 -

2

2

dtdJM = (1.10)

Fig. 1.1. Sistema mecnico rotatorio

Para el sistema que se muestra en la Fig. 1.1, formado por una masa inercial y una constante viscosa. Al aplicarle la segunda Ley de Newton para el movimiento rotatorio, se obtiene:

dtwdJMMM Be == (1.11)

Donde: J : Momento de inercia; w: Velocidad angular; Me: Par motor; MB: Par resistente (viscoso)

Y conociendo que el par viscoso tiene la relacin wBM B = con la velocidad angular, donde B es la constante viscosa. Entonces:

wBdt

wdJM e += (1.12) Como el par es la entrada y la velocidad angular la salida, entonces la funcin de transferencia es ( )

( ) ( ) 111

+=+= sBJB/

BJssMsW

e (1.13)

1.3.3 Sistemas elctricos Las leyes fundamentales que rigen los circuitos elctricos, son la Ley de Ohm y las Leyes de Kirchhoff. En este epgrafe se muestra la modelacin del circuito RLC, el cual posee los tres efectos posibles a lo que se somete la corriente elctrica, que son la resistencia (R), la inductancia (L) y la capacitancia (C). Se trata solamente la conexin en serie de dicho circuito, ya que al final del documento, en la seccin de ejemplos de modelacin, se tratan las diferentes formas posibles de conexin del circuito RLC, las conexiones en serie paralelo y paralelo restantes. Por su utilidad, se recuerda lo que plantea la Ley de Ohm para circuitos resistivos, y se har extensivo para los circuitos inductivos y capacitivos. Estas leyes son las que relacionan las magnitudes de voltaje y corriente en los diferentes componentes de un circuito.

Tabla 1.1: Relaciones de voltaje y corriente en los diferentes componentes

Relacin Resistencia (R) Inductancia (L) Capacitancia (C)

Voltaje iRv = dt

idLv = = dtiCv 1 Corriente

Rvi = = dtvLi 1 dtvdCi =

Tambin, es importante recordar lo que plantea la primera y segunda ley de Kirchhoff, que son leyes de conservacin.


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Primera Ley o Ley de Kirchhoff de Corriente (LKC): Plantea que la sumatoria de las corrientes en un nodo del circuito es cero, o la suma de la corrientes que entran a dicho nodo es igual a la suma de las que salen. O sea, matemticamente,

= 0ni (1.14) Segunda Ley o Ley de Kirchhoff de Voltaje (LKV): Plantea que la sumatoria de los voltajes en una malla, o trayectoria cerrada, en un circuito es cero, o sea, matemticamente formulada:

= 0mV (1.15) 1.3.3.1 Circuitos RLC serie

Fig. 1.2. Circuito RLC

Sea el circuito que puede verse en la figura anterior. El circuito consiste en una inductancia (L), una resistencia (R) y una capacitancia (C) conectadas en serie, cuya salida es el voltaje del capacitor. Aplicando las leyes de Kirchhoff y la ley de Ohm al sistema se obtienen:

=++ iedtiCiRdtidL 1 (1.16) = 01 edtiC (1.17)

Tomando las transformadas de Laplace de estas ecuaciones suponiendo condiciones iniciales cero se obtiene.

( ) ( ) ( ) ( )sEsIsC

sIRsILs i=++ 11 (1.18)

( ) ( )sEsIsC 011 = (1.19)

Si ie es la entrada y 0e la salida, la funcin de transferencia del sistema resultante es: ( )

( ) 11

20

++= RCsLCssEsE

i (1.20)

1.3.3.2 Impedancias complejas Al desarrollar funciones de transferencia para redes elctricas, frecuentemente se encuentra muy conveniente escribir directamente las ecuaciones transformadas de Laplace sin plantear las ecuaciones diferenciales. Sea el sistema que puede verse en la Fig. 1.3. En este sistema Z1 y Z2 representan impedancias complejas. La impedancia compleja Z(s) de un circuito de dos terminales es la relacin entre E(s), la transformada de Laplace de la tensin entre bornes e I(s), la transformada de Laplace de la corriente a travs del elemento, bajo la suposicin que las condiciones iniciales son


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cero, de manera que Z(s)=E(s)/I(s).Si el elemento de dos terminales es una resistencia R, capacidad C, o inductancia L, entonces la respectiva impedancia compleja resulta dada por R, 1/Cs o Ls respectivamente. Si las impedancias complejas estn conectadas en serie, la impedancia total es la suma de las impedancias complejas individuales.

Fig. 1.3. Circuito equivalente con impedancias complejas

Sea el circuito que se ve en la Fig. 1.3 Sean las tensiones de entrada ei y e0, respectivamente. Entonces la funcin de transferencia de este circuito es: ( )

( )( )

( ) ( )sZsZsZ

sEsE

i 21

20

+= (1.21) Para el sistema de la Fig. 1.3:

,RLsZ +=1 CsZ1

2 = (1.22), (1.23) Por tanto la funcin de transferencia E0(s)/Ei(s) puede ser hallada como sigue:

( )( ) 1

11

1

20

++=++=

RCsLCsCs

RLs

CssEsE

i (1.24)

Que es por supuesto idntica a la obtenida anteriormente.

1.4 Diagrama en bloques Un sistema de control puede consistir en cierta cantidad de componentes. Con el objeto de mostrar las funciones cumplidas por cada componente, en ingeniera de control se acostumbra a usar diagramas denominados Diagramas en bloques. 1.4.1 Diagrama en bloques Un diagrama en bloques de un sistema es una representacin grafica de las funciones realizadas por cada componente y del flujo de las seales. Un diagrama as indica las interrelaciones que existen entre los diversos componentes. A diferencia de una representacin matemtica, puramente abstracta, un diagrama de bloques tiene la ventaja de indicar en forma ms realista el flujo de seales del sistema real. En un diagrama de bloques, todas las variables del sistema son enlazadas entre si a travs de bloques funcionales. El Bloque Funcional, o simplemente Bloque es un smbolo de la operacin matemtica que el bloque produce a la salida, sobre la seal que tiene a la entrada. Las funciones de transferencia de los componentes generalmente se colocan en los bloques correspondientes, que estn conectados por flechas para indicar la direccin del flujo de seales. Ntese que la seal puede pasar solamente en el sentido de las flechas. As, un diagrama de bloques de un sistema de control muestra explcitamente una propiedad o caracterstica unilateral.


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La Fig. 1.4 muestra un elemento del diagrama de bloques: La flecha que apunta hacia el bloque indica la entrada y la flecha que se aleja del bloque, representa la salida. A estas flechas normalmente se les denomina seales. Se hace notar que la magnitud de la seal de la salida del bloque es la magnitud de la seal de entrada multiplicada por la de la funcin transferencia en el bloque Las ventajas de la representacin del diagrama en bloque de un sistema radican en el hecho de que es fcil formar el diagrama en bloques global de todo el sistema, colocando simplemente los bloques de sus componentes de acuerdo con el flujo de seales y en que es posible evaluar la contribucin de cada componente en el funcionamiento global de todo el sistema. En general, se puede ver ms fcil el funcionamiento de un sistema, examinando el diagrama en bloques que examinando el sistema fsico en si. Un diagrama en bloques contiene informacin con respecto al comportamiento dinmico, pero no contiene ninguna informacin con respecto a la constitucin fsica del sistema. Por lo tanto, muchos sistemas dismiles no relacionados entre si, pueden estar representados por el mismo diagrama en bloques.

Fig. 1.4. Elemento de un diagrama en bloques

Debe notarse que en un diagrama en bloques, la fuente principal de energa no aparece explcitamente indicada, y, por tanto, un diagrama en bloques de un sistema dado no es nico. Se puede dibujar cierto nmero de distintos diagramas de bloques para un sistema, segn el punto de vista del anlisis. 1.4.2 Detector de error El detector de error produce una seal que es la diferencia entre la referencia de entrada y la seal de retroalimentacin del sistema de control. Al disear, es muy importante la eleccin del detector de error y esta seleccin debe ser efectuada muy cuidadosamente. Esto se debe a que cualquier imperfeccin en el detector de error afectara inevitablemente al funcionamiento de todo el sistema. En la Fig. 1.5 se puede ver la representacin del detector de error en diagrama en bloques.

Fig. 1.5. Diagrama de bloques de un detector de error

Ntese que el smbolo que indica la operacin suma es un crculo con una cruz. El signo positivo o negativo en cada punta de flecha indica si la seal ha de ser sumada o restada. Es importante que las magnitudes que se suman o restan tengan las mismas dimensiones y las mismas unidades. 1.4.3 Diagrama de bloques de un sistema de lazo cerrado La Fig. 1.6 muestra un ejemplo de un diagrama de bloques de un sistema de lazo cerrado. La salida C(s) es alimentada nuevamente al punto de suma, donde se le compara con la de entrada de referencia R(s). La naturaleza de lazo cerrado del sistema queda claramente indicada por la figura. La salida del bloque C(s) es obtenida en este caso multiplicando la funcin de transferencia G(s) por la entrada al bloque E(s).


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Fig. 1.6. Diagrama de bloques de un sistema en lazo cerrado

Cualquier sistema de control lineal puede ser representado por un diagrama de bloques, puntos de suma y puntos de bifurcacin. Un punto de bifurcacin es un punto desde el cual la seal de salida de un bloque va a otros bloques o puntos de suma. Al inyectar nuevamente la salida al punto de suma para comparacin con la de entrada, es necesario convertir la forma de seal de salida a la forma de seal de entrada. Por ejemplo, en un sistema de control de temperatura la seal de salida generalmente es una temperatura controlada. La seal de salida, que tiene la dimensin de una temperatura tiene que ser convertida a una fuerza o posicin antes de compararla con la seal de entrada. Esta conversin es cumplida por el elemento de retroalimentacin cuya funcin de transferencia es H(s), como puede verse en la Fig. 1.7. Otro papel importante del elemento de retroalimentacin es modificar la salida antes de compararla con la de entrada. En el ejemplo que se representa, la seal de entrada que se inyecta al punto de suma para comparacin con la entrada, es B(s)=H(s)C(s).

Fig. 1.7. Sistema en lazo cerrado

La relacin de la seal de retroalimentacin B(s) a la seal de error actuante E(s) se denomina funcin transferencia de lazo de abierto. Esto es,

Funcin en transferencia en Lazo Abierto = ( )( ) ( ) ( )sHsGsEsB = (1.25)

La relacin entre la salida C(s) y la seal de error actuante E(s) se denomina funcin transferencia, de modo que

Funcin de transferencia directa = ( )( ) ( )sGsEsC = (1.26)

Si la funcin transferencia de retroalimentacin es la unidad, la funcin transferencia de lazo abierto y la funcin transferencia de alimentacin directa son la misma. Para el sistema que se muestra en la Fig. 1.7, la salida C(s) y la entrada R(s) estn relacionadas como sigue: ( ) ( ) ( )

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