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Fundamentos de Lógica Digital

L U N E S 1 9 D E N O V I E M B R E D E 2 0 0 7

4: El mapa de Karnaugh

En el capítulo anterior vimos que el álgebra Boleana es un arma

poderosa para el estudio de los circuitos lógicos.

Sin embargo, el álgebra Boleana tiene sus limitaciones.

Considérese la siguiente expresión:

AB + B

Aparentemente, esta expresión ya no se puede simplificar. Sin

embargo, podemos comprobar (construyendo las Tablas de Verdad)

que esta expresión cuya simplificación no es tan obvia pese a todo es

equivalente a la siguiente expresión:

A + B

la cual es mucho más sencilla. Se hace evidente que hay casos en los

cuales el álgebra Boleana no es suficiente. Tenemos pues que

recurrir a otras técnicas que la complementen.

Los diagramas de subconjuntos nos proporcionan una manera

sencilla de poder visualizar las relaciones que puede haber entre

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varias variables. Quizá los diagramas más sencillos de todos son los

que representan al "1" lógico, el cual podemos representar como un

cuadro completamente lleno, y al "0" lógico, el cual podemos

representar como un cuadro completamente vacío:

En este tipo de diagramas, no sólo podemos representar el "uno" y el

"cero". También podemos representar variables. El diagrama más

sencillo de todos es el que utilizamos para representar una sola

variable, el cual está dividido en dos partes: una parte "llena" que es

la parte en la cual la variable A toma el valor de "1" (a la izquierda,

de color ciano), y la parte "vacía" que es la parte en la cual la

variable A toma el valor de "0" (a la derecha, sin color):

Pero con estos diagramas no sólo podemos representar a la variable.

También podemos representar el inverso lógico de la variable, el cual

será como se muestra a continuación:

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Del mismo modo, podemos representar una segunda variable B y el

complemento de la misma de la siguiente manera:

Superimponiendo ambas variables en un mismo diagrama, podemos

contestar algunas preguntas interesantes como la siguiente: ¿en qué

parte del diagrama mixto se encontrará la región en la cual ambas

variables A y B se traslapan? La respuesta se dá a continuación:

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A continuación tenemos la región en donde la variable A se traslapa

con el complemento de la variable B, así como la región en la cual

los complementos de ambas variables se traslapan:

Hagámonos ahora otra pregunta: ¿cuál sería la región en la cual las

variables A y B se unen (en lugar de intersectarse), la porción del

diagrama en donde podemos estar ya sea en A ó en B, o sea la

región que representaría la suma Boleana A+B de dichas variables?

La respuesta se dá a continuación:

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Y el área que representa la suma Boleana de los complementos de

ambas variables es la siguiente:

Por su parte, la expresión Boleana AB+AB que representa la salida

de un bloque OR-EXCLUSIVO es la siguiente:

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Si queremos superimponer en el mismo mapa una tercera variable

C, lo podemos hacer de la siguiente manera:

Y si queremos superimponer en el mismo mapa una cuarta variable

D, lo podemos hacer de la siguiente manera:

El mismo procedimiento constructivo se puede extender hacia una

quinta variable e inclusive hacia una sexta variable, aunque la

ventaja de visualización se va perdiendo rápidamente encima de las

cuatro variables.

Para representar en el mapa una expresión elaborada como (A+B)

(C+D):

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primero localizamos en el mapa la región que representa la suma de

las regiones A y B, o lo que es lo mismo, la suma Boleana de las

variables A y B:

tras lo cual localizamos en el mapa la región que representa la suma

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de las regiones C y D, o lo que es lo mismo, la suma Boleana de las

variables C y D:

tras lo cual obtenemos un mapa que represente las regiones que

ambos mapas de A+B y C+D tengan en común, o sea la región

común en la que ambos se intersectan, lo cual equivale a llevar a

cabo la operación lógica AND de A+B y de C+D.

Los diagramas de subconjuntos permiten verificar de manera casi

inmediata todos los teoremas Boleanos que fueron demostrados en el

capítulo anterior. Por ejemplo, el teorema que dice:

A + A = 1

es verificado de la siguiente manera:

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Es importante señalar que para los matemáticos puros, esto no

constituye una demostración formal, sino una simple verificación de

un teorema. Sin embargo, entanto que nosotros mismos nos podamos

convencer visualmente de la veracidad de algún enunciado Boleano

mediante este recurso, podemos hacer a un lado el rigorismo

formalista y continuar adelante con la mentalidad típica del

ingeniero que busca procedimientos que den resultados

comprobados en la práctica.

Con cambios mínimos, los diagramas de subconjuntos nos sirven de

base para introducirnos a una de las herramientas de simplificación

de circuitos lógicos más populares que hay. Estudiaremos a

continuación el siguiente mapa para dos variables boleanas A y B

conocido como el mapa de Karnaugh, inventado en 1952 por

Edward W. Veitch y refinado posteriormente por Maurice Karnaugh,

un ingeniero de telecomunicaciones trabajando para Bell Labs:

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Para la construcción de nuestro primer mapa de Karnaugh,

utilizaremos un concepto introducido en la sección de problemas

resueltos del capítulo anterior, el concepto del minterm. Supóngase

que desamos localizar el minterm AB en el mapa de Karnaugh.

Estudiando el mapa detenidamente, vemos que podemos representar

dicho minterm en el mapa como se muestra a continuación:

De la misma manera, si deseamos representar los minterms AB y

A·B en el mapa de Karnaugh, podemos hacerlo de la siguiente

manera:

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Ahora bien, también podemos representar variables sencillas en el

mapa de Karnaugh. Supóngase que deseamos representar B en el

mapa de Karnaugh. Esto lo logramos de la siguiente manera:

Estudiamos ahora un hecho de importancia trascendental. Este

último mapa de Karnaugh nos indica que B es igual a la suma de los

minterms AB y A·B, lo cual podemos comprobar mediante el álgebra

Boleana como sigue:

AB + A·B = (A + A)B = (1)B = B

Tenemos aquí nuestra primera indicación sobre cómo podemos usar

el mapa de Karnaugh para simplificar circuitos lógicos.

Supóngase que la salida de un circuito está dada por la siguiente

expresión:

Salida = AB + A·B

Podemos describir la salida del circuito en un mapa de Karnaugh de

la manera siguiente:

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Vemos de inmediato en el mapa cómo los minterms AB y A·B forman

dos grupos adyacentes que están cubiertos completamente en el

mapa por la variable A. Concluímos, pues, que la salida simplificada

del circuito está dada por la siguiente expresión:

Salida = A

La regla general para simplificar un circuito usando el mapa de

Karnaugh es examinar el mapa que le corresponde y determinar los

agrupamientos más grandes de grupos adyacentes que se pueden

describir con el menor número de variables boleanas.

Usando el mapa de Karnaugh, tratemos ahora de simplificar la

expresión que encontramos al comienzo de este capítulo:

AB + B

Su mapa de Karnaugh con una simplificación posible tendrá el

siguiente aspecto (el "minterm" correspondiente a la variable B está

enmarcado dentro de una línea verde cubriendo todo el renglón

representativo de B, mientras que el "minterm" AB es puesto antes

de los agrupamientos simplificadores en la esquina inferior

izquierda) :

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Como se puede ver, es posible hacer dos agrupamientos de grupos

adyacentes, los cuales están descritos por la expresión:

A + B

que es la expresión simplificada que buscábamos.

Asimismo, el mapa de Karnaugh nos indica cuáles son las

expresiones que no se pueden simplificar. Por ejemplo, la siguiente

expresión:

AB + AB

está descrita por el siguiente mapa:

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Esta expresión, como se puede ver en su mapa de Karnaugh, ya no se

puede simplificar.

Existen también mapas de Karnaugh para expresiones con tres o más

variables, algunos de los cuales se muestran al final de esta

introducción.

Supóngase que deseamos simplificar un circuito con tres variables

de entrada A, B y C cuya salida es la siguiente:

ABC + A·B·C + ABC + + A·B·C

En este caso, tenemos que utilizar el mapa de Karnaugh para tres

variables:

El mapa de Karnaugh para la expresión lógica dada se muestra a

continuación:

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La primera simplificación es evidente. Los minterms ABC y ABC

pueden ser agrupados para ser representados por la relación BC

(esta agrupación es la que corresponde a los unos que están

encerrados dentro del rectángulo rojo). La siguiente simplificación

no es tan obvia.

Obsérvese que si conectamos los vértices del mapa alrededor de un

cilindro (esto es, si enrollamos el mapa y unimos el lado izquierdo

con el lado derecho), se puede llevar a cabo otra simplificación. En

efecto, los minterms A·B·C y A·B·C se pueden agrupar dentro de la

relación BC (correspondiente a los unos que están encerrados dentro

del rectángulo verde).

La salida simplificada será por lo tanto:

BC + B·C

Consideremos un circuito cuya Tabla de Verdad es la siguiente:

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Podemos representar esta expresión de salida en función no de sus

minterms sino de sus maxterms, los cuales fueron introducidos en la

sección de problemas resueltos del capítulo anterior, basados en el

producto-de-sumas en lugar de la suma-de-productos, como se

muestra en el siguiente mapa de Karnaugh:

Como se muestra en el mapa, los maxtems A+B y A+B se pueden

agrupar dentro del "maxterm" B.

Asimismo, los maxterms A+B y A+B se pueden agrupar para formar

el "maxterm" A.

Puesto que la salida del circuito sigue siendo el producto de sus

maxterms, la salida en este caso será:

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Salida = (A)(B) = AB

Este es el resultado que buscábamos.

El mapa de Karnaugh se puede extender para manejar cuatro

variables, como se muestra a continuación:

Para intentar simplificar un circuito lógico con cinco variables,

podemos recurrir a un mapa de Karnaugh como el siguiente:

Existe otro tipo de representación para el mapa de Karnaugh, la cual

es completamente equivalente a la que ya hemos visto. Bajo esta

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representación, a continuación tenemos un mapa de Karnaugh para

dos variables A y B:

Aquí la entrada correspondiente a la combinación AB=01 estará

situada en el segundo renglón y en la primera columna. Esta

representación es completamente a la representación que vimos al

principio. A continuación se muestran los dos tipos de

representación, lado a lado, para dos variables A y B:

Para tres variables de entrada A, B y C, bajo la representación

alterna un mapa de Karnaugh tendrá el siguiente aspecto:

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Aquí el casillero correspondiente a la entrada ABC= 011 estará

situado en el segundo renglón y en la segunda columna. Y el casillero

correspondiente a la entrada ABC=101 estará situado en el primer

renglón y en la cuarta columna.

Y para cuatro variables A, B, C y D, el mapa de Karnaugh para este

tipo de representación será el siguiente:

El acomodo de variables en el mapa se puede llevar a cabo de

acuerdo con las preferencias personales de cada persona, lo

principal es que en el mapa aparezcan de modo apropiado todas las

variables con todos sus diversos valores posibles de "unos" y "ceros".

A continuación se llevará a cabo la simplificación de un circuito

lógico de tres variables a, b y c, mediante un mapa de Karnaugh de

este tipo trazado de la siguiente manera:

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Dentro de este mapa de Karnaugh, se destacarán las combinaciones

de valores tanto de las entradas como de la salida:

El propósito del mapa de Karnaugh es aprovechar al máximo la

capacidad humana de poder "agrupar" visualmente patrones

similares para poder descubrir así los agrupamientos de "unos" (o

alternamente, de "ceros") que pueden resultar en una simplificación.

En este caso, podemos llevar a cabo los siguientes agrupamientos:

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El siguiente esquema nos muestra agrupados todos los pasos

agrupados para llevar a cabo la simplificación de un circuito lógico

con dos variables de entrada con este tipo de mapa de Karnaugh:

Empezamos con el circuito lógico puesto en la esquina inferior

izquierda, obteniendo del mismo la expresión de su salida lógica Out

puesta en la esquina superior izquierda:

Out = AB + AB + AB

Esta expresión está justo en la forma que requerimos (suma-de-

productos) para construír el mapa de Karnaugh usando minterms. El

término AB nos produce un "1" cuando A=0 y B=1, y esta es

nuestra primera entrada en el mapa de Karnaugh. El término AB nos

produce un "1" cuando A=1 y B=0, y esta es nuestra segunda

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entrada en el mapa de Karnaugh. Y por último, el término AB nos

produce un "1" cuando A=1 y B=1, y esta es nuestra tercera entrada

en el mapa de Karnaugh.

El siguiente paso consiste en llevar a cabo los agrupamientos que

nos pueden dar una simplificación del circuito. Estos son mostrados

en el mapa de Karnaugh puesto en la esquina superior derecha. El

primer agrupamiento como "minterm" más sencillo es la variable A

(agrupando los valores de A=1) y el segundo agrupamiento como

"minterm" más sencillo es la variable B (agrupando los valores de

B=1). Los "minterms" simplificados en el mapa de Karnaugh nos

dicen que podemos reemplazar la expresión original por la siguiente

expresión (en suma-de-produtos) más simplificada:

Out = A + B

El circuito lógico simplificado se muestra en la esquina inferior

derecha del diagrama, el cual requiere un solo componente lógico,

un OR, a diferencia del circuito original que requería de cuatro

componentes, tres AND y un OR.

Considérese ahora un circuito lógico cuya salida Out está dada por

la siguiente expresión:

Out = A·B·C + AB·C + ABC + AB + ABC

Este circuito lógico con tres variables de entrada tiene una salida

dada como suma de productos, lo cual nos permite localizar los "1"

de los minterms que van dentro del mapa de Karnaugh y lo cual nos

permite llevar a cabo la simplificación "enrollando" el mapa

alrededor de un cilindro como se muestra:

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No resulta difícil ver que la versión simplificada es simplemente:

Out = C

A continuación tenemos otro mapa de Karnaugh, ahora para un

circuito con cuatro variables de entrada A, B, C y D, tanto antes

como después de haber encontrado un conjunto de posibles

simplificaciones:

Existen muchos casos en los cuales no todas las combinaciones

lógicas de "ceros" y "unos" a la entrada de un circuito son

necesarias; un ejemplo de ello es el de un decodificador que toma un

número binario de cuatro bits a su entrada y lo convierte en una

combinación de siete salidas para encender selectivamente los

segmentos de un indicador luminoso numérico hecho a base de

diodos emisores de luz LED; en este caso no se utilizará ninguna de

las combinaciones entre "1010" y "1111" puesto que no representan

dígito alguno en el sistema numérico decimal. Cuando tenemos

algunas condiciones dentro de un circuito lógico en las cuales la

salida puede ser ya sea un "0" ó un "1" sin consecuencia alguna para

el diseño final (conocidas en la literatura de habla inglesa como

condiciones don't care), podemos representar dichas condiciones

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simplemente con una "X" que se sobreentiende que puede tener un

valor de "0" ó de "1". A continuación tenemos otro mapa de

Karnaugh para un circuito con cuatro variables de entrada A, B, C,

D, y cuatro condiciones "X", tanto antes como después de haber

encontrado para dicho circuito un conjunto de posibles

simplificaciones:

Como puede verse en una de las simplificaciones, la simplificación

encerrada bajo una línea de color rojo, estamos aprovechando la

ventaja de que "X" puede representar ya sea un "0" ó un "1" para

tomarlo como un "1" y juntarlo con los demás "unos" del

agrupamiento. Esto mismo se ha llevado a cabo en la simplificación

encerrada bajo una línea de color azul en donde también hemos

agrupado "unos".

Por lo general, para un circuito lógico con más de cuatro variables de

entrada el uso del mapa de Karnaugh va perdiendo su ventaja visual

como instrumento de simplificación. Para un circuito lógico con más

de cinco o seis variables de entrada, se recomienda el uso de otro

método o inclusive de alguno de varios programas computacionales

especializados para lograr minimizar un circuito lógico a su

expresión más sencilla, muchos de los cuales están basados en otro

método de simplificación de circuitos lógicos que va de la mano con

el mapa de Karnaugh, el método de Quine-McCluskey, del cual se

dará a continuación una introducción.

El estudio del método de Quine-McCluskey nos lleva a definir de

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manera más formal cierta terminología que hemos pasado por alto,

empezando con la definición de los implicantes primarios (prime

implicants). En primer lugar, para una salida Y, un implicante se

define como un producto normal de dos o más variables (normal en

el sentido de que cada variable en el producto aparece una sola vez,

con lo cual se descalifica a expresiones como AAB o ABBC) que

implica a Y (esto es, produce un "1" en la columna correspondiente a

la salida del circuito en su Tabla de Verdad), como en la expresión:

Y = AB + ABC + BC

en donde los implicantes son AB, ABC y BC porque cualquiera de

ellos implica a Y. Definido esto, definimos a continuación a un

implicante primario como un implicante de Y tal que si cualquiera

de sus variables es removida, el término que nos queda ya no implica

a Y. Esto quiere decir que en la expresión anterior AB y BC son

implicantes primarios (no es posible remover ninguna de las

variables en ellos sin que pierdan su relevancia), mientras que ABC

no es un implicante primario ya que si se le remueve la variable A

esto nos deja con el término BC que sigue implicando a Y porque

dicho término está contenido en la expresión original de Y. El hecho

de que un implicante no sea un implicante primario tiene que ver

directamente con una simplificación Boleana como la siguiente:

A∙B·C∙D + ABC = A∙B·C(D + 1) = A∙B·C

en la cual el implicante primario ABC se "come" al implicante

A∙B·C∙D que contiene la variable D que podemos considerar

superflua. Cabe notar que un implicante primario no puede ser

reducido más, ya que no contiene ninguna variable que pueda ser

"comida" al combinarlo con cualquiera de los otros términos en una

expresión Boleana; precisamente por ello es un implicante primario.

Es de notar que el método de simplificación de Quine-McCluskey es

conocido también como el método de implicantes primarios,

siendo funcionalmente idéntico al mapa de Karnaugh pero con una

forma tabular que hace más accesible su implementación en

programas de computadora (el mapa de Karnaugh por ser un método

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visual no se presta a la elaboración de un programa de computadora

que busque el diseño óptimo sin intervención humana), y el cual es

superior al mapa de Karnaugh en el sentido de que siempre

garantiza la obtención del diseño más económico posible.

Al cubrir el tema del método de Quine-McCluskey, es rutinario en los

libros de texto utilizar una notación en la cual a los minterms se les

designa de acuerdo con el valor numérico binario que poseen en su

notación de "unos" y "ceros". Esta notación proporciona una manera

compacta de listar los minterms de una expresión Boleana, lo cual

nos puede resultar conveniente en expresiones con más de cuatro

variables. Bajo la notación compacta, en una función Boleana de tres

variables el minterm ABC proveniente de la combinación binaria

"111" es representado precisamente con dicha combinación binaria,

simplificada a su equivalente decimal que es 7, mientras que el

minterm A·B·C proveniente de la combinación "000" es

representado por el decimal 0. Del mismo modo, un minterm como

ABC es representado por "011" o bien por el decimal 3. Esto permite

representar una expresión Boleana como:

f(A,B,C,D) = ABC + AB·C + A·BC

como la suma de los minterms cuyos equivalentes decimales son 011

(3), 100 (4) y 001 (1), o más elegantemente usando la letra griega

sigma mayúscula (Σ) que indica una sumación de términos:

f(A,B,C,D) = Σm(001,011,100)

f(A,B,C,D)= Σm(1,3,4)

en donde "Σm" se lee como "la suma de minterms"

Del mismo modo, para la siguiente función de tres variables:

Z = f(A,B,C,D) = A·B·C + A·BC + AB·C + ABC

Z = Σm(000,001,100,101)

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Z = Σm(0,1,4,5)

así como para la siguiente función de cuatro variables:

f(A,B,C,D) = A·B·C·D + A·B·CD + A·BCD + A·BCD + ABCD +

ABCD + AB·C·D

+ ABCD + ABC·D + ABCD + ABCD

f(A,B,C,D) =

Σm(0000,0001,0010,0011,0101,0111,1000,1010,1100,1101,11

11)

f(A, B, C, D) = Σm(0,1,2,3,5,7,8,10,12,13,15)

Si algún término contiene menos variables que el número total de

variables especificado por la Tabla de Verdad, cada variable

"ausente" en el término es simbolizada en el sitio que le corresponde

con un guión (-). De este modo, para una función Boleana de tres

variables, AC es representado como "1-0" y BC es representado

como "-11".

Cabe agregar que bajo la notación compacta también podemos

representar los términos redundantes X, aquellos cuyo valor no

importa que sea "1" ó "0" en el diseño de un circuito lógico. Por

ejemplo, para la siguiente Tabla de Verdad en la cual se muestran

dos términos redundantes marcados con una "X", los cuales

corresponden a los minterms AB·CD y ABCD que en notación

compacta vendrían siendo m9 y m14:

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la representación en notación compacta usando minterms será:

f(A,B,C,D) = Σm(4,8,10,11,12,15) + d(9,14)

El método Quine-McCluskey, el cual hace uso repetido del axioma

Boleano A+A=1, involucra la siguiente secuencia de pasos, la cual es

obvia para quien haya tenido ya alguna práctica en el uso de los

mapas de Karnaugh:

Primer paso: Se van agrupando los minterms dependiendo de la

cantidad de "unos" que tengan en su representación binaria. Esta

cantidad es conocida como el índice de la representación (0000

tiene un índice de 0, 0010 y 1000 tienen ambas un índice de 1,

1010 y 0011 y 1001 tienen las tres un índice de 3, y 1111 tiene un

índice de 4). Así, en la siguiente expresión Boleana de cinco

variables:

F(p,q,r,s,t) = Σm(0,1,3, 4,6,11,14,15,16,18,24,27,28,31)

el agrupamiento de los términos de acuerdo con sus índices es el que

se muestra a continuación:

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Segundo paso: Se van comparando los grupos vecinos (vecinos en lo

que respecta a sus índices), y se van reemplazando pares de

términos que difieren únicamente en un solo "1", los cuales son

conocidos como términos adyacentes. Este proceso de combinación

requiere poner el guión que simboliza tanto el "0" como el "1" (lo

cual corresponde directamente al "agrupamiento" de dos celdas

vecinas en el mapa de Karnaugh) al llevarse a cabo la combinación,

como lo muestra el siguiente esquema en el cual los valores

ABCD=1110 y ABCD=1111 se pueden combinar como 111- por

diferir los índices de ambos en solo un "1":

Podemos reemplazar dos términos adyacentes cualesquiera que

contengan un solo guión en una posición que corresponda al bit no

apareado. Al ir llevando a cabo este procedimiento, para comodidad

30

nuestra, podemos ir "checando" con una "palomita" o "marcando"

con una "equis" de alguna manera los minterms que van siendo

utilizados para crear términos comunes para que así no sean

incluídos nuevamente por equivocación.

Tercer paso: Repetimos la búsqueda hasta que no sea posible

encontrar más términos adyacentes. Dos términos adyacenes que

contengan guiones son considerados adyacentes solo sí todas las

posiciones con guiones se correspondan en ambos términos y todas

excepto una sola posición literal contengan el mismo valor. En la

expresión Boleana que estamos utilizando como ejemplo, estos pasos

aparecen resumidos en la manera que se muestra a continuación

(obsérvese que tenemos aquí dos listas, la primera que aparece en el

extremo izquierdo, y la lista puesta en el medio y la cual fue obtenida

de la primera):

Cuarto paso: Removemos todos los términos que aparezcan

duplicados y listamos los términos que sobrevivieron al proceso,

indicando cuáles de los minterms originales están cubiertos por los

términos sobrevivientes.

Quinto paso: Seleccionamos el número mínimo de implicantes

residuales necesarios para cubrir todos los minterms, lo cual puede

ser algo laborioso de encontrar conforme aumenta el número de

31

variables. Los últimos pasos están resumidos en el siguiente arreglo

reticular en el cual listamos todos los implicantes primarios (en la

columna extrema izquierda) y todos los minterms de la función (en el

renglón superior), en donde cada minterm cubierto por algún

implicante primario es marcado en la posición apropiada:

Sexto y último paso: Recogemos el conjunto seleccionado de

implicantes primarios para generar una expresión Boleana

minimizada.

Necesariamente, cualquier minimización obtenida bajo el método de

Quine-McCluskey contendrá únicamente implicantes primarios.

Tanto el mapa de Karnaugh como el método de Quine-McCluskey se

pueden extender para llevar a cabo la simplificación de circuitos

lógicos de varias entradas y varias salidas, o sea de entradas

múltiples y salidas múltiples, tales como un diseño de tres entradas

A, B y C, y dos salidas H1 y H2, cuya Tabla de Verdad sea la

siguiente:

32

Sin embargo, esta situación no involucra la invención de ningún

nuevo tipo de mapa de Karnaugh. En realidad, la situación mostrada

en este ejemplo requiere de la construcción de dos mapas de

Karnaugh, uno para la salida H1 y el otro para la salida H2. Esto es

obvio cuando nos damos cuenta de que la Tabla de Verdad mostrada

es un resumen de dos Tablas de Verdad, una para H1 y la otra para

H2. Del mismo modo, un circuito lógico con tres entradas y cinco

salidas requerirá de la construcción de cinco mapas de Karnaugh,

uno para cada una de las cinco salidas. La cantidad de salidas de un

circuito lógico es la que determina la cantidad de mapas de

Karnaugh que serán requeridos para tratar de minimizar los

componentes que serán usados. En el ejemplo mostrado, tenemos

dos mapas, el mapa correspondiente a la salida H1:

33

y el mapa correspondiente a la salida H2:

Una vez que tenemos todos los mapas de Karnaugh a la mano,

tenemos dos opciones: la primera consiste en tratar de simplificar lo

más posible los circuitos correspondientes a cada una de las salidas

de manera independiente consultando única y exclusivamente el

mapa de Karnaugh que corresponda a cada salida, y es la opción más

fácil de todas. La segunda opción consiste en tratar de simplificar las

salidas buscando los términos comunes que aparezcan en los mapas

y que se puedan agrupar con el fin de evitar repeticiones

innecesarias mediante el uso de sub-circuitos que pueden alimentar

en forma común a dos o más salidas, lo cual requiere tener todos los

mapas lado a lado. A continuación se muestran los mapas de

Karnaugh para un circuito lógico con cuatro variables de entrada a,

b, c y d, y dos salidas X y Y, en los cuales viéndolos juntos a primera

34

vista se antojan algunas simplficaciones posibles notando las celdas

que tienen en común:

La aplicación de los conceptos aquí aprendidos a un circuito multi-

salidas para lograr su simplificación óptima se puede convertir en un

asunto algo elaborado. Sin embargo, no se entrará más a fondo en un

estudio sobre una extensión de la técnica del mapa de Karnaugh (y

mucho menos del método de Quine-McCluskey) bajo hoy anticuadas

filosofías de economización porque en la práctica con el bajo costo

del "hardware" puede salir más caro tener a un ingeniero

consumiendo varios días o inclusive varias semanas de su tiempo

para lograr la simplificación de un circuito pese a que con el bajo

costo actual de la microelectrónica no se logre un ahorro que

justifique la inversión del tiempo de ingeniería en estos ejercicios

intelectuales. Puesto de otra manera, en la simplificación de circuitos

lógicos elaborados hay que tener en cuenta también el factor costo

para saber si vale la pena invertir tiempo valioso de ingenieros

competentes cuando hay otras técnicas (como el uso de las memorias

ROM y PROM que serán tratadas en un capítulo posterior) que han

hecho obsoletas las inversiones excesivas en tiempo de diseño. Si en

otros tiempos por el alto costo inclusive de un simple inversor lógico

NOT construído con un bulbo electrónico como el popular 6SN7

(utilizado ampliamente en la construcción de radios de bulbos y

televisores de blanco y negro) era deseable e inclusive necesario

economizar todas las funciones lógicas que fuese posible en un

diseño, esto es ya una cosa del pasado, y hoy hay que adaptarse a los

nuevos tiempos.

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PUBLICADO POR ARMANDO MARTINEZ EN LUNES, NOVIEMBRE 19,

2007

ETIQUETAS: IMPLICANTES PRIMARIOS, MÉTODO QUINE-MCCLUSKEY

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A R C H I V O D E L B L O G

▼  2007 (33) o ▼  noviembre (33)

Prefacio a la publicación en Internet

Prólogo al libro

Contenidos

1: La numeración binaria

1: Problemas resueltos

2: Las tres funciones lógicas básicas

2: Problemas resueltos

3: El álgebra Boleana

3A: Problemas resueltos

3B: Problemas resueltos

4: El mapa de Karnaugh

4: Problemas resueltos

5: El flip-flop R-S. Memorias. Multivibradores

5: Problemas resueltos

6: El flip-flop J-K. Contadores

6A: Problemas resueltos

6B: Problemas resueltos

7: Tópicos Especiales

7: Problemas resueltos

8: Lógica Multivaluada

8: Problemas resueltos

Suplemento # 1: Las familias lógicas

Suplemento # 2: El microprocesador µP

36

Suplemento # 3: Cómo trabaja el microprocesador

Suplemento # 4a: Las instrucciones del µP 8086

Suplemento # 4b: Programación del microprocesador

Suplemento # 5: Las comunicaciones asíncronas

Suplemento # 6: El amplificador operacional

Suplemento # 7: El temporizador 555

Suplemento # 8: El PLC. Diagramas de Escalera

Suplemento # 9: Máquinas Moore. Máquinas Mealy.

Bibliografía

Indice (enlaces)

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