Tema 1 Fundamentos de la Lógica Difusa
Transcript of Tema 1 Fundamentos de la Lógica Difusa
5/7/2018 Tema 1 Fundamentos de la Lógica Difusa - slidepdf.com
http://slidepdf.com/reader/full/tema-1-fundamentos-de-la-logica-difusa 1/39
Tema 1
Fundamentos de la Lógica Difusa
M. en C. Yesenia E. González Navarro
UPIITA‐IPN
5/7/2018 Tema 1 Fundamentos de la Lógica Difusa - slidepdf.com
http://slidepdf.com/reader/full/tema-1-fundamentos-de-la-logica-difusa 2/39
Teoría de Conjuntos Clásicos o
CerterosPara los conjuntos certeros A y B que contienen elementos en el universo X,
elemento x que pertenece al universo X
elemento x ue ertenece al con unto A
⇒∈ X x
⇒∈ x
elemento x que no pertenece al conjunto A⇒∉ A x
es comp e amen e con en a en
(si x A, entonces x B)
A está contenida en o es equivalente a B
⇒⊂ B A
⇒⊆ B A
y A B ⊆ A B ⊆⇒= B A
5/7/2018 Tema 1 Fundamentos de la Lógica Difusa - slidepdf.com
http://slidepdf.com/reader/full/tema-1-fundamentos-de-la-logica-difusa 3/39
Unión Intersección
AA
{ } B xo A x x B A ∈∈=∪ | { } B x y A x x B A ∈∈=∩ |
BX
BX
5/7/2018 Tema 1 Fundamentos de la Lógica Difusa - slidepdf.com
http://slidepdf.com/reader/full/tema-1-fundamentos-de-la-logica-difusa 4/39
A A
Complemento Diferencia (A|B)
X BX
{ } X x A x x A ∈∉= ,| { } B x y A x x B A ∉∈= |
5/7/2018 Tema 1 Fundamentos de la Lógica Difusa - slidepdf.com
http://slidepdf.com/reader/full/tema-1-fundamentos-de-la-logica-difusa 5/39
Conmutativa A B B A ∪=∪
Asociativa
A B B A ∩=∩
( ) ( ) C B AC B A ∪∪=∪∪
Distributiva
C B AC B A ∩∩=∩∩ )(
( ) ( )C A B AC B A ∪∩∪=∩∪ )(
Idempotencia
( ) ( ) ( )C A B AC B A ∩∪∩=∪∩
A A A =∪
A A A =∩
5/7/2018 Tema 1 Fundamentos de la Lógica Difusa - slidepdf.com
http://slidepdf.com/reader/full/tema-1-fundamentos-de-la-logica-difusa 6/39
Identidad
A X A
A A
=∩
=Θ∪
Transitiva Si , entoncesC B A ⊆⊆ C A⊆
X X A
A
=∪
Θ=Θ∩
Involutiva A A =
Ley del Medio Excluido
Ley de la Contradicción
X A A =∪
Θ=∩ A A
Leyes de D’ Morgan
B A B A ∩=∪ ∪=∩
5/7/2018 Tema 1 Fundamentos de la Lógica Difusa - slidepdf.com
http://slidepdf.com/reader/full/tema-1-fundamentos-de-la-logica-difusa 7/39
Transformación de Conjuntos
Clásicos a Funciones
5/7/2018 Tema 1 Fundamentos de la Lógica Difusa - slidepdf.com
http://slidepdf.com/reader/full/tema-1-fundamentos-de-la-logica-difusa 8/39
Funciones de Membresía para
Conjuntos CerterosUna mejor representación para la manipulación matemática de los
conjuntos teóricos se logra al convertir estos conjuntos a funciones.
Sea la función característica⎧ ∈
=A x
x,1
)( χ
donde χ A
expresa “membresía” en el conjunto A para el elemento x en
el universo. χ
∉ x,
1 A
00 x
5/7/2018 Tema 1 Fundamentos de la Lógica Difusa - slidepdf.com
http://slidepdf.com/reader/full/tema-1-fundamentos-de-la-logica-difusa 9/39
Sean los conjuntos A y B definidos en el universo X. A continuación se
describen las operaciones de estos conjuntos en términos de funciones:
Unión ( ))(),(max)()()( x x x x x B A B A B A B A χ χ χ χ χ =∨=→∪ ∪
χ
1A B
χ
1A B
00 x
00 x
5/7/2018 Tema 1 Fundamentos de la Lógica Difusa - slidepdf.com
http://slidepdf.com/reader/full/tema-1-fundamentos-de-la-logica-difusa 10/39
( ))(),(min)()()( x x x x x B A B A B A B A χ χ χ χ =∧=→∩ ∩Intersección
χ χ
1A B
1A B
00 x
00 x
5/7/2018 Tema 1 Fundamentos de la Lógica Difusa - slidepdf.com
http://slidepdf.com/reader/full/tema-1-fundamentos-de-la-logica-difusa 11/39
−= A A
χ χ
1A
1A
00 x
00 x
5/7/2018 Tema 1 Fundamentos de la Lógica Difusa - slidepdf.com
http://slidepdf.com/reader/full/tema-1-fundamentos-de-la-logica-difusa 12/39
χ χ
, B A
1A B
1A B
00 x
00 x
5/7/2018 Tema 1 Fundamentos de la Lógica Difusa - slidepdf.com
http://slidepdf.com/reader/full/tema-1-fundamentos-de-la-logica-difusa 13/39
5/7/2018 Tema 1 Fundamentos de la Lógica Difusa - slidepdf.com
http://slidepdf.com/reader/full/tema-1-fundamentos-de-la-logica-difusa 14/39
1. Un conjunto difuso es aquel donde el cambio de pertenencia a no
pertenencia o viceversa es gradual.
2. Un conjunto difuso debe ser continuo y monotónicamente crecienteo ecrec en e.
3. Un conjunto difuso puede pasar de no pertenencia a pertenencia y
de nuevo a no pertenencia, pero, una vez que decae, no puede.
4. Al menos un elemento del conjunto difuso debe tener el mayorgrado de pertenencia posible (uno).
5. El con unto difuso debe estar definido en todo el universo.
5/7/2018 Tema 1 Fundamentos de la Lógica Difusa - slidepdf.com
http://slidepdf.com/reader/full/tema-1-fundamentos-de-la-logica-difusa 15/39
Funciones de Membresía Difusas en
Una Dimensión
Funciones discretas referente al ti o de ro ramación .
⎪⎧
≤<−
≤
b xaa x
a x
,
,0
⎪⎪⎧
≤<−
− ≤b xa
ab
a xa x
,,0
( )
⎪⎪⎪
⎩
⎨
<
≤<−
−−=
xc
c xbbc
xcacba xTriangular
,0
,
,,; ( )
⎪⎪⎪⎨
≤<
−
−≤<=
d xc
cd
xd c xbd cba xlTrapezoida
,
,1,,,;
µ µ,
1A
1A
00 x
a b c
00 x
a b c d
5/7/2018 Tema 1 Fundamentos de la Lógica Difusa - slidepdf.com
http://slidepdf.com/reader/full/tema-1-fundamentos-de-la-logica-difusa 16/39
Funciones continuas.µ
( )2
2
1
,;⎟ ⎠ ⎞⎜
⎝ ⎛ −−
= σ σ
c x
ec xGaussiana
A
21
0 x cσ
µ
(Con el valor de b
( )b
a
c xcba xCampana
2
1
1,,;
−+
= 21
usua men e pos vo .0 0 x
ac
5/7/2018 Tema 1 Fundamentos de la Lógica Difusa - slidepdf.com
http://slidepdf.com/reader/full/tema-1-fundamentos-de-la-logica-difusa 17/39
µ
( ) ( )c xae
ca xSigmoide−−+
=1
1,;
1 A
0.5
00 x cEl parámetro a controla la razón de
cambio de la pendiente.
5/7/2018 Tema 1 Fundamentos de la Lógica Difusa - slidepdf.com
http://slidepdf.com/reader/full/tema-1-fundamentos-de-la-logica-difusa 18/39
Operaciones con Funciones de
Sean los conjuntos A y B definidos en el universo X.
Membresía Difusas
Unión ( ))(),(max)()()( x x x x x B A B A B A B A χ χ χ χ χ =∨=→∪ ∪
χ
1 A B
χ
1 A B
00 x
00 x
5/7/2018 Tema 1 Fundamentos de la Lógica Difusa - slidepdf.com
http://slidepdf.com/reader/full/tema-1-fundamentos-de-la-logica-difusa 19/39
( ))(),(min)()()( x x x x x B A B A B A B A χ χ χ χ =∧=→∩ ∩Intersección
χ χ
1A B
1A B
00 x
00 x
5/7/2018 Tema 1 Fundamentos de la Lógica Difusa - slidepdf.com
http://slidepdf.com/reader/full/tema-1-fundamentos-de-la-logica-difusa 20/39
1 x x A −=→
χ χ
1A
1A A
00 x
00 x
5/7/2018 Tema 1 Fundamentos de la Lógica Difusa - slidepdf.com
http://slidepdf.com/reader/full/tema-1-fundamentos-de-la-logica-difusa 21/39
, B A
χ χ
1A B
1A B
B
00 x
00 x
5/7/2018 Tema 1 Fundamentos de la Lógica Difusa - slidepdf.com
http://slidepdf.com/reader/full/tema-1-fundamentos-de-la-logica-difusa 22/39
definido sobre el universo X las operaciones que describen a:
Ley del medio excluido X A A =∪
5/7/2018 Tema 1 Fundamentos de la Lógica Difusa - slidepdf.com
http://slidepdf.com/reader/full/tema-1-fundamentos-de-la-logica-difusa 23/39
Caracterización de Universos de
Discurso
5/7/2018 Tema 1 Fundamentos de la Lógica Difusa - slidepdf.com
http://slidepdf.com/reader/full/tema-1-fundamentos-de-la-logica-difusa 24/39
Un universo difuso está completamente
caracter za o por sus unc ones e mem res a.
µBa a Media Alta
1Caracterización de la variable“Velocidad” empleando funcionesde membresía discretas.
Velocidad [Km/h]0 200
1Caracterización de la variable“Velocidad” empleando funcionesde membresía continuas.
a a e a ta
00 200 Velocidad [Km/h]
5/7/2018 Tema 1 Fundamentos de la Lógica Difusa - slidepdf.com
http://slidepdf.com/reader/full/tema-1-fundamentos-de-la-logica-difusa 25/39
Aparte de cumplir con las condiciones antes mencionadas, al
z ,
estos conjuntos deben traslaparse, ya que es precisamente mediante eltraslape como la lógica difusa manipula la ambigüedad o incertidumbre.
1
µ ¡Sí!
1
µ No
0 0
Universo de discurso Universo de discurso
5/7/2018 Tema 1 Fundamentos de la Lógica Difusa - slidepdf.com
http://slidepdf.com/reader/full/tema-1-fundamentos-de-la-logica-difusa 26/39
Es importante mencionar que la difusividad no provienede la aleatoriedad de los elementos que constituyen los
conjuntos, pero sí proviene de la incertidumbre e
imprecisión de pensamientos y de conceptos
.
5/7/2018 Tema 1 Fundamentos de la Lógica Difusa - slidepdf.com
http://slidepdf.com/reader/full/tema-1-fundamentos-de-la-logica-difusa 27/39
Operaciones elementales
aplicables a los conjuntos difusos
5/7/2018 Tema 1 Fundamentos de la Lógica Difusa - slidepdf.com
http://slidepdf.com/reader/full/tema-1-fundamentos-de-la-logica-difusa 28/39
Notación Convencional para Conjuntos
Difusos
Universo discreto finito:
⎭⎬⎫
⎩⎨⎧=
⎭⎬⎫
⎩⎨⎧ +++= ∑
i i
i A
n
n A A A
x
x
x
x
x
x
x
x A
)()()()(
2
2
1
1 μ μ μ μ K
Universo
continuo
e
infinito:
⎭⎬⎫
⎩⎨⎧
= ∫ x
dx x A A )(μ
5/7/2018 Tema 1 Fundamentos de la Lógica Difusa - slidepdf.com
http://slidepdf.com/reader/full/tema-1-fundamentos-de-la-logica-difusa 29/39
Ejemplo de un conjunto difuso con
250200150100500= X
elementos discretos en el universo
donde X es la temperatura en grados centígrados de un horno casero.
A= Temperatura media de cocción μ
0.5
X x x x A ∈= |
0
0 50 100 150 200 250
Tem eratura °C⎭⎬⎫
⎩⎨⎧
+++++=250
3.0
200
7.0
150
1
100
7.0
50
3.0
0
1.0 A
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ){ }3.0,250,7.0,200,1,150,7.0,100,3.0,50,1.0,0= A
5/7/2018 Tema 1 Fundamentos de la Lógica Difusa - slidepdf.com
http://slidepdf.com/reader/full/tema-1-fundamentos-de-la-logica-difusa 30/39
Ejemplo de un conjunto difuso con
elementos continuos en el universo+= R X
donde R+ son las edades posibles en los humanos (en años)B = Edades cercanas a 50 años ( ){ } X x x x B B ∈= |)(,
4
10
501
)(
⎟ ⎠
⎞⎜⎝
⎛ −+
= x
x Bμ
5/7/2018 Tema 1 Fundamentos de la Lógica Difusa - slidepdf.com
http://slidepdf.com/reader/full/tema-1-fundamentos-de-la-logica-difusa 31/39
Operaciones difusas
Ejemplo 1
uponga as s gu entes unc ones e mem res a scretas
para un transistor y un resistor:⎫⎧ 18.06.04.02.00⎫⎧ 19.08.07.03.00
Para estos dos conjuntos difusos realizar lo siguiente:
⎭⎩ 543210 R
⎭⎩ 543210T
µT µR
2) µT µR 6) Graficar µT
y µR
3 ue re resentan las curvas de ?
RT μ μ ∧
4) Rμ
5/7/2018 Tema 1 Fundamentos de la Lógica Difusa - slidepdf.com
http://slidepdf.com/reader/full/tema-1-fundamentos-de-la-logica-difusa 32/39
Ejemplo 2
Considere los conjuntos difusos A, B y C definidos en el
nterva o = , e os n meros rea es por as unc ones
de membresía:
Determine la notación matemática y grafique las
2)(
+= x
x Aμ x
B x−= 2)(μ 2
)2(101)(
−+=
x xC
funciones de membresía para cada una de las siguientes
operaciones:
2) 4)
,,
C BC A B A ∪∪∪ ,,
,,
C AC BC A ∪∩∩ ,,
5/7/2018 Tema 1 Fundamentos de la Lógica Difusa - slidepdf.com
http://slidepdf.com/reader/full/tema-1-fundamentos-de-la-logica-difusa 33/39
Operadores
T‐norma y S‐norma
5/7/2018 Tema 1 Fundamentos de la Lógica Difusa - slidepdf.com
http://slidepdf.com/reader/full/tema-1-fundamentos-de-la-logica-difusa 34/39
‐
forma general por una función]1,0[]1,0[]1,0[: →×T
que agrega dos grados de membresía de la siguiente manera:
)(*
~
)())(),(()( x x x xT x B A B A B A μ μ μ μ μ ==∩
donde es un operador binario para la función T. Este tipo de
operadores de intersección difusa se conocen como
o eradores T‐norma norma trian ular.
*~
5/7/2018 Tema 1 Fundamentos de la Lógica Difusa - slidepdf.com
http://slidepdf.com/reader/full/tema-1-fundamentos-de-la-logica-difusa 35/39
‐
Mínimo:Producto algebraico:
bababaT ∧== ),min(),(min
babaT ap ⋅=),(
Producto frontera: )1(0),( −+∨= babaT bp
⎧ = 1,baro ucto r st co:
⎪⎩
⎨
<
==
1),(,0
1,),(
ba
abbaT dp
5/7/2018 Tema 1 Fundamentos de la Lógica Difusa - slidepdf.com
http://slidepdf.com/reader/full/tema-1-fundamentos-de-la-logica-difusa 36/39
‐
Al igual que la intersección difusa, el operador de unión difusa
está especificado en general por una función101010: →×S
que agrega dos grados de membresía de la siguiente manera:
)(~
)())(),(( x x x xS B A B A B A μ μ μ μ μ +==∪
donde es un operador binario para la función S. Este tipo deoperadores de unión difusa se conocen como operadores S‐
norma o T‐conorma.
+~
5/7/2018 Tema 1 Fundamentos de la Lógica Difusa - slidepdf.com
http://slidepdf.com/reader/full/tema-1-fundamentos-de-la-logica-difusa 37/39
‐
Máximo:Suma algebraica:
bababaS ∨== ),max(),(max
bababaSas ⋅−+=),(
Suma frontera: )(1),( babaSbs +∧=
⎧ = 0,ba
Suma drástica:⎪⎩
⎨
>
==
0),(,1
0,),(
ba
abbaSds
5/7/2018 Tema 1 Fundamentos de la Lógica Difusa - slidepdf.com
http://slidepdf.com/reader/full/tema-1-fundamentos-de-la-logica-difusa 38/39
Aplique los distintos operadores T‐norma y S‐norma a los
siguientes conjuntos difusos descritos en el mismo universo:
⎭⎬⎫
⎩⎨⎧
+++++=5
1
4
8.0
3
6.0
2
4.0
1
2.0
0
0 Rμ
⎭⎬⎫
⎩⎨⎧
+++++=5
1
4
9.0
3
8.0
2
7.0
1
3.0
0
0T μ
5/7/2018 Tema 1 Fundamentos de la Lógica Difusa - slidepdf.com
http://slidepdf.com/reader/full/tema-1-fundamentos-de-la-logica-difusa 39/39
Obtener las gráficas de los distintos operadores T‐norma y S‐
norma aplicados a los siguientes conjuntos difusos (considere
= ‐ , .
4
51
1)(
⎟ ⎞⎜⎛ +
+
=
x
x Aμ 25
1
1)(
⎟ ⎞
⎜⎛ −
+
= x
x Bμ
5.7