Fundamentos de Lógica Difusa (Fuzzy)

José Edinson Aedo Cobo, Msc. Phd.

Departamento de Ing. Electrónica

Universidad de Antioquia

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Primero recordemos las operaciones entre conjuntos clásicos

Para conjuntos clásicos, consideremos dos conjuntos A y B:

- Entonces la unión de A y B será un conjunto C = A B, que contendrá tanto los elementos de A como los de B.

- La intersección de A y B , será un conjunto D = A B, que contendrá los elementos comunes entre A y B.

- El complemento de A, será un conjunto A, que contendrá todos los elementos del conjunto universal que no pertenezcan a A.

Conjuntos difusos

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Ejemplo (conjuntos clásicos):

Sean los conjuntos A = { 1, 2 , 3, 4, 5, 6}

B = {4, 5, 6, 7, 8, 9}

y U = { 0, 1, 2 , 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11} el conjunto

universal.

Entonces: C = A B = {1, 2 , 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}

D = A B = {4, 5, 6 }

A = {0, 7, 8, 9, 10, 11}

Conjuntos difusos

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Propiedades de las operaciones entre conjuntos clásicos: Sean A, B y C conjuntos clásicos y A, B, y C sus complementosSea X el conjunto universo y el conjunto vacío

Propiedad

Conmutativa AB = BA, AB = BA Asociativa (AB) C = A(B C) (AB) C = A(B C)

Distributiva A(BC) = (AB) (A C) A (BC) = (AB) (AC)

Conjuntos difusos

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Propiedad

Contradicción A A =

Tercero excluido A A = X ley de Morgan A B = A B A B = A B

Conjuntos difusos

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Operadores para el complemento de conjuntos difusos: Un operador de complemento para un conjunto difuso es una función N: [0,1] -> [0,1], la cual cumple los siguientes requerimientos axiomáticos:

N(0) = 1 y N(1) = 0 (condiciones de frontera) N(a) >= N(b) si a=< b

La funciones que cumplen estas condiciones forman una clase general de complementos difusos.

Otro requerimiento es: N(N(a)) = a ( involución)

Conjuntos difusos

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Complemento de conjuntos difusos: Ejemplo: N(x) = 1 – x es el complemento clásico con x [0, 1] En este caso: si tenemos el conjunto A con función de pertenencia μA(x), la función de pertenencia del complemento sería: μA(x) = 1 - μA(x)

Observe que también cumple con la propiedad: μA(x1) - μA(x2) = μA(x2) - μA(x1)

Otro ejemplo es el complemento de Yaguer:

Ns(a) = (1 – a)/ (1 + sa), s es un parámetro mayor que 1,

Conjuntos difusos

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Operadores para la unión de conjuntos difusos: La unión del conjunto difuso A (que pose función de pertenencia μA (u)) con el conjunto B (con función de pertenencia μB (u)) da como resultado un conjunto difuso C que tiene como función de pertenencia una función obtenida de la agregación de las funciones de pertenencia de A y B utilizando un operador S:[0,1]x[0,1] ->[0,1] denominado S-norma (T-conorm). O sea:

μC = μAB (u) = S(μA (u), μB (u))

Conjuntos difusos

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Unión de conjuntos difusos: Un operadores para la unión debe satisfacer los siguientes requerimientos:

1. S(1, 1) = 1, S(0, a) = S(a, 0) = a (Cond. de frontera) 2. S(a, b) ≤ S(c, d) si a ≤ c y b ≤ d 3. S(a, b) = S(b, a) conmutativa 4. S(a, S(b, c)) = S(S(a,b), c) asociativa.

Conjuntos difusos

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Unión de conjuntos difusos: Ejemplos de operadores para la unión:

- Máximo: S(a, b) = max(a,b) - Suma algebraica: S(a, b) = a + b - ab - Suma drástica:

S(a, b) =

a, si b = 0.

b, si a = 0.

1, si a, b > 0.

Conjuntos difusos

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Intersección de conjuntos difusos: La intersección de el conjunto difuso A (con función de pertenencia μA (u)) con el conjunto B (con función de pertenencia μB (u)) da como resultado un conjunto difuso C que tiene como función de pertenencia una función obtenida de la agregación de las funciones de pertenencia de A y B utilizando un operador (T-norma) T:[0,1]x[0,1] ->[0,1].

De esta forma: μC = μA∩B (u) = T(μA (u), μB (u))

Conjuntos difusos

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Intersección de conjuntos difusos: Un operador para la intersección debe satisfacer los siguientes requerimientos:

1. T(0, 0) = 0, T(a, 1) = T(1, a) = a (Cond. de frontera) 2. T(a, b) ≤ T(c, d) si a ≤ c y b ≤ d 3. T(a, b) = T(b, a) conmutativa 4. T(a, T(b, c)) = T(T(a,b), c) asociativa.

Conjuntos difusos

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Intersección de conjuntos difusos: Ejemplos de operadores para la unión:

- Mínimo: T(a, b) = min(a,b) - Producto algebraico: T(a, b) = a.b - Producto drástico:

T(a, b) =

a, si b = 1.

b, si a = 1.

0, si a, b < 1.

Conjuntos difusos

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El operador más utilizado para intersección es el “min” y para

para la unión el “max”:

Unión: AB μAB (u) = max(μA (u), μB (u))

Intersección: AB μAB (u) = min(μA (u), μB (u))

complemento: A μA (u) = 1 - μA (u)

Se realizan con base alas funciones de pertenencia

Función de pertenencia delconjunto resultado

Operador

Además del max y min otros comúnmente usados son:

Unión: AB μAB (u) = μA (u) + μB (u) - μA (u) μB (u)

Intersección: AB μAB (u) = μA (u) μB (u)

Conjuntos difusos

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Nota importante: la ley de la contradicción y la del tercero excluido no se cumplen para conjuntos difusos.De esta forma:

A A A A X

Conjuntos difusos

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Ejercicio para realizar en clase: - Verificar las propiedades con dos conjuntos difusos. - Verificar que se cumplen las leyes de Morgan. - Qué pasa con la propiedad de del tercero excluido y de la contradicción.

Conjuntos difusos

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Variables lingüísticas: Son variables cuyos valores son palabras o frases de un lenguaje naturalEjemplo: la variable “voltaje” puede ser descom- puesta en varios términos lingüísticos : T(voltaje)= {muy alto, alto, medio, bajo, muy bajo}

Nota: Cada término es caracterizado por un conjunto difuso dentro de un conjunto universo de los posibles valores del voltaje.

Variables lingüísticas

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Continuación del ejemplo:. Si el voltaje es entre 0 y 100.000 voltios, los conjuntos asociados a los términos se definen dentro del conjunto universo U= [0,100 Kv].

10 20 30 50 60 80 100 voltaje (KV)

Muy bajo bajo medio alto muy alto

1

Variables lingüísticas

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Variables lingüísticas: Una variable lingüística está caracterizada por una “quintumpla” (x,T(x),X,G,M) en el cual: x: es el nombre de la variable lingüística. T(x) es el conjunto de términos lingüísticos o valores lingüísticos.

X es el conjunto universo. G es una regla sintáctica por la cual se generan los términos lingüísticos en T(x). M es una regla semántica la cual asociada con cada término lingüístico A su significado M(A) donde M(A) denota un conjunto difuso en X

Variables lingüísticas

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Ejemplo: sea la variable lingüística “edad”. Podemos definir un conjunto de términos:T(edad) = { joven, muy joven, no muy joven,..... Viejo, no viejo, muy viejo, ........ ...........} Cada término en T(edad) es caracterizado por un conjunto difuso en el universo [0,120]La regla sintáctica se refiere a la forma en que los valores lingüísticos, en el conjunto de términos, son generados.La regla semántica define la función de pertenencia de cada valor lingüístico del conjunto de términos.

Variables lingüísticas

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El concepto de relación difusa es similar al de la matemática clásica. La diferencia radica en el grado de pertenencia Asociado a cada elemento de la relación.

Relación Clásica Relación Difusa

a

b

c

1

2

3

A R B

R = (a,3),(b,2),(c,1)}

a

b

c

1

2

3

A R B

R = 0.9/(a,3),1/(b,2),0.8/(c,1)}

0.9

0.8

1

Relaciones difusas

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Relaciones difusas

Sean dos conjuntos universales U y W. Una relación R(U,W) es un conjunto difuso definido en el producto cartesiano UxW.

Una relación R es caracterizada por su función de pertenencia μR (u,w) donde u U y w W

R(U,W) = { ((u,w),μR(u,w)), / u U y w W}

con μR(u,w) [0,1]

Relaciones difusas

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Operaciones entre relaciones: la composiciónCaso clásico:Composición Max-min de dos relaciones P(U,V) y Q(V,W) es

definida por la función de pertenencia μP o Q(u,w), :

μP o Q(u,w) = { (u,w), maxv [min(μP(u,v), μQ(v,w) ]

donde u U, v V y w W

Composición Max-producto de dos relaciones P(U,V) y Q(V,W)

es definida por la función de pertenencia μP o Q(u,w), :

μP o Q(u,w) = { (u,w), maxv [μP(u,v) . μQ(v,w) ]

donde u U, v V y w W

Relaciones difusas

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Ejercicio: Dadas dos relaciones P(U,V) y Q(V,W) calcular :

P(u,v) o Q(v,w),

v1 v2 v3 v4 w1 w2 w3

w4

u1 0 1 0 1 v1 1 0 0

0

P (u,v) = u2 1 0 0 0 Q (v,w) = v2 0 0 0

1

u3 0 0 1 1 v3 1 1 0

0

v4 0 0 1 0

Calcular μP o Q(u,z)

Relaciones difusas

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Relaciones difusas

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Composición sup-star de dos relaciones difusas P(U,V) y

Q(V,W) es definida por la función de pertenencia μP o Q(u,w)

[0,1] dada por:

μP o Q(u,w) = { (u,w), SUPv [μP(u,v) * μQ(v,w) ]

donde u U, v V , w W , μP(u,v) [0,1] y μQ(v,w) [0,1]

Donde SUP es el operador “max” y “*” es una T-norm, generalmente se usa el “min” o el “producto”.

Relaciones difusas

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μP(u,v) μQ(v,w)u U v V w W

μP o Q(u,w)

P Q

μP(u,v) μQ(v,w)u U v V w W μP o Q o M(u,m)

P Q

μM(w,m)

M m M

Operación de composición de forma gráfica

Cuando son tres relaciones:

Relaciones difusas

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Caso especial: cuando la relación de partida es un conjunto difusoo sea que μP(u,v) tiene la forma μP(u), el resultado de la composi-ción con una relación μQ(u,w) será:

SUPu [μP(u) * μQ(u,w)] = μPoQ(w)

Observe en este caso que U = V. El resultado es un conjunto definido en W

Relaciones difusas

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Ejercicio: Dadas dos relaciones difusas P(u,v) y Q(v,w)

calcular :

P(u,v) o Q(v,w),

v1 v2 v3 v4 w1 w2 w3

u1 0.8 1 0.1 0.7 v1 0.4 0.9 0.3

P(u,v) = u2 0 0.8 0 0 Q(v,w) = v2 0 0.4 0

u3 0.9 1 0.7 0.8 v3 0.9 0.5 0.8

v4 0.6 0.7 0.5

Calcular μP o Q(u,w)

Relaciones difusas

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Ejercicio: Dado el conjunto A definido en u y la relación P(U,V)

calcular :

A(u) o P(u,w), Si

w1 w2 w3 w4

u1 0.1 1 0.6 0.7

P(u,w) = u2 0 0.5 0.4 0.3 A = { (u1,0.5), (u2,0.6),

(u3,0.7)}

u3 0.2 0.3 0.5 0.9

Calcular μA o P(w)

Relaciones difusas

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Relaciones difusas